ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA · Seja f : D f IR2 IR uma função definida no seu...

04-12-2013

1

Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn

5.1 Definição de função de várias variáveis: campos vetoriais e campos escalares.

Uma função f : Df IRn IRm é uma função de n variáveis reais.

Se m = 1 f é designada campo escalar, onde f(x1, … , xn) IR.

Temos assim f : Df IRn IR

(x1, … , xn) z = f(x1, … , xn)

Se m > 1 então f é designada campo vetorial e tem-se

f : Df IRn IRm

(x1, … , xn) (y1, … , ym)

onde yi = fi(x1, … , xn), com i = 1, … , m.

Exemplo 5.1:

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 é um campo escalar

f(x, y) = (x2 + y2, ln(x)) é um campo vetorial

1

Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn5.2 Domínio, representação geométrica e conjuntos de nível de campos escalares.

Seja f um campo escalar tal que f : Df IRn IR.

O domínio da função, Df, é o conjunto dos pontos (x1, x2, … , xn)

para os quais a função está definida, isto é,

(x1, … , xn) IRn : z = f(x1, … , xn) IR

Exemplo 5.2:

Descreva analiticamente e geometricamente o domínio da função

(Ex 3 do Exame da Época Normal - Comp. B do ano letivo 2010/11)

2

2 2

1

1

ln xf x,y

x y

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2


5.2 Domínio, representação geométrica e conjuntos de nível de campos escalares.

Seja f : Df IR2 IR uma função definida no seu domínio, Df,

(x, y) z = f(x, y)

do plano xoy.

Para a representação geométrica de um campo escalar a duas

variáveis deve-se para cada ponto (a, b) Df elevar uma perpendicu-

lar ao plano xoy sobre a qual se traça um segmento igual ao valor de

f(a, b). Obtém-se assim um ponto do espaço cujas coordenadas são:

(a, b, c), com c = f(a, b).

z

c(a,b,c)

b ya

x3


5.2 Domínio, representação geométrica e conjuntos de nível de campos escalares.

O conjunto de todos os pontos do espaço assim obtidos constitui o

gráfico da função f(x, y). Assim, o gráfico de um campo escalar a

duas variáveis é o conjunto definido por

(x, y, z) IR3 : (x, y) Df z = f(x, y)

Considere-se um campo escalar f : Df IRn IR. Dado c IR, o

conjunto

Nc f = (x1, … , xn) Df : f(x1, … , xn) = c

é chamado conjunto de nível de f de valor c.

No caso de n = 2, o conjunto de nível (x, y) Df : f(x, y) = c

chama-se linha de nível de cota c.

Exemplo 5.3: Represente geometricamente a função f(x, y) = x2+y2.4

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3


5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de

campos escalares

Definição: Chama-se bola (aberta) de raio r (r > 0) e centro

a IRn ao conjunto de pontos de IRn cuja distância a a é inferior a r

e representa-se por

B(a , r) = X IRn : d(X, a) < r

onde

d(X, a) = ||X a|| é a distância euclideana entre X = (x1, … , xn)

e a = (a1, … , an) sendo dada por

Assim, tem-se que

B(a , r) = (x1, … , xn) IRn :

5

2 2

1 1 n nd X, x a ... x a a

2 2 2

1 1 n nx a ... x a r



campos escalares

Se n = 2, B(a , r) = (x, y) IR2 : é um cir-

culo de centro a e raio r.

Se n = 3, B(a , r) = (x, y, z) IR3 :

é uma esfera de centro a e raio r.

Definição: Seja D IRn. Um ponto a IRn chama-se ponto de

acumulação do conjunto D quando toda a bola aberta de centro a

contém algum ponto de D, diferente de a.

O conjunto de todos os pontos de acumulação de D chama-se

derivado de D e representa-se por D’.

Exemplo 5.4: Determine o derivado de Df da função do Exemplo 5.2.6

2 2 2

1 2x a y a r

2 2 2 2

1 2 3x a y a z a r

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4



campos escalares

Sejam f : Df IRn IR e a (Df)’. Diz-se que o ponto b IR é o

limite de f(X) quando X tende para a e escreve-se

quando dado qualquer > 0, existe > 0, tal que se X Df,

0 < ||X a|| < implica |f(X) b| < . Simbolicamente,

Teorema:

Sejam f : Df IRn IR e a (Df)’. Se o limite de f no ponto a é b

então ele é único.

7

Xlimf X b

a

0 0 0f

Xlimf X b : X D X f X b

a

a



campos escalares

Exemplo 5.5: Determine o .

No estudo de f.r.v.r. temos que:

De facto, a aproximação ao número real a faz-se ao longo da curva

representativa da função e só pode ocorrer para valores superiores a

a (limite à esquerda de a) ou por valores superiores a a (limite à

direita de a).

Nas funções a várias variáveis não existem apenas dois caminhos

para chegar a a, existem infinitos caminhos através dos quais nos

podemos aproximar de a.8

2

21 2

2

2(x,y) ( , )

x ylim

x y

x a x a x a x a x a

limf x sse lim f x e lim f x e lim f x lim f x

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5



campos escalares

No entanto, se existir o , os limites obtidos ao longo dos

mais diversos caminhos têm de ser iguais em virtude da unicidade do

limite.

É óbvio que não se consegue calcular o limite ao longo de todos os

caminhos possíveis, mas se por caminhos diferentes obtemos limites

diferentes pode concluir-se que não existe limite.

Para o caso de n = 2, o domínio da função f(x, y) é Df IR2, e

a = (, ) (Df)’. Se é indeterminado é habitual começar por

calcular os limites direccionais , isto é, o limite ao longo das retas que

passam pelo ponto a :

x =

y = m(x ), m IR9

Xlimf X b

a

Xlimf Xa



campos escalares

Se (1)

ou (2) depende de m, ou seja, o limite não é o mesmo

ao longo de todas as retas não verticais,

conclui-se que .

Se , k IR, pode-se tentar encontrar

outro caminho que passe pelo ponto (, ) ao longo do qual o limite

seja diferente de k, de modo a concluir que não existe limite.

É usual considerar as linhas definidas por

y = m(x )2, m IR x = m(y )2, m IR

y = m(x )3, m IR x = m(y )3, m IR10

x,y , x,y , x y- =m(x )

lim f x,y lim f x,y

x,y ,y- =m(x )

lim f x,y

x,y ,lim f x,y

x,y , x,y , x y- =m(x )

lim f x,y lim f x,y k

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campos escalares

Note-se que a igualdade dos limites ao longo de vários caminhos não

permite concluir a existência de limite. A única maneira de garantir

que existe limite é provando-o por definição.

A prova de existência de limite pela definição processa-se através da

majoração de até obtermos uma expressão em

no caso de n = 2. Para tal, são muitas vezes úteis as desigualdades,

11

f X b

2 2

X x y a

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

x x y x x y

y x y y x y

x y x y



campos escalares

Se (, ) = (0, 0) as desigualdades anteriores ficam

Exemplo 5.6:

Determine, caso exista,

(Ex 4 do Exame da Época Normal - Comp. B do ano letivo 2010/11)

12

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

x x y x x y

xy x y

y x y y x y

2

20 0

2

2(x,y) ( , )

x ylim

x y

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7



campos escalares

Teorema:

Sejam f, g : D IRn IR, a D’ e b, c IR tais que

então

Sejam f : Df IRn IR e a (Df)’ Df. A função f diz-se contínua

no ponto a se existir limite em a e . Simbolicamente,

Uma função contínua em todos os pontos do seu domínio diz-se

contínua.13

X Xlimf X b e limg X c

a a

X Xlim f X g X b c e lim f X .g X b.c

a a

Xlimf X f

a

a

0 0 0f

: X D X f X f a a



campos escalares

Teorema:

Sejam f, g : D IRn IR funções contínuas em a D’ D, então

f + g, f.g, kf (k IR) e f/g (se g(a) 0) são contínuas em a.

Exemplo 5.7: Estude a continuidade da função

no ponto (1, 0).

(Ex 4 do Exame da Época de Recurso - Comp. B do ano letivo

2011/12)

14

2 4

0 1 0

11 0

1

se x,y ,

x yf x,y se x,y ,

x y

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8



campos escalares

Uma função f : Df IRn IR diz-se prolongável por

continuidade a um ponto a (Df)’ \ Df somente se existir .

Neste caso, chama-se prolongamento por continuidade de f ao ponto

a à função g que coincide com f nos pontos onde f está definida e

que no ponto a toma o valor , isto é,

Exemplo 5.8: Considere a função .

a) Determine o seu domínio e represente-o geometricamente.

b) A função dada é prolongável por continuidade ao ponto (1, 1)?

Justifique a sua resposta.

(Ex 5.6) 15

1

2 3

xf x,y

y x

Xlimf Xa

X

g limf X

a

a

f

X

f X se X Dg X

limf X se X

a

a



campos escalares

Definição: Seja D IRn. Um ponto a D chama-se ponto interior

a D sse existir uma bola centrada em a contida em D.

O interior de D é o conjunto int D formado por todos os pontos

interiores a D.

O conjunto D diz-se aberto se todos os seus pontos são interiores,

ou seja, int D = D.

Exemplo 5.9: Determine o interior de Df da função do Exemplo 5.2.

16

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campos escalares

Seja f : U IRn IR uma função definida em U, subconjunto

aberto de IRn, e seja a = (a1, … , an) U. A derivada parcial de 1ª

ordem de f em ordem a xi no ponto a, com i = 1, … , n, é o limite

caso exista

Se considerarmos a f.r.v.r. g definida por

vem que .

Daqui resulta que a derivada parcial de 1ª ordem de f em ordem a xi

pode ser calculada usando as regras de derivação já conhecidas para

f.r.v.r., considerando a coordenada xi como variável e as restantes

coordenadas como constantes. 17

1 1

0

xi

i n i n

hi

f

f a ,...,a h,...,a f a ,...,a ,...,aflim

x h

a

a

1 1 1i i ng x f a ,...,a ,x,a ,...,a

ix i

f g a a



campos escalares

Se U é um subconjunto aberto de IR2, as derivadas parciais de 1ª

ordem de uma função f : U IR num ponto (a, b) U são dadas

por

e

Exemplo 5.10: Seja f(x, y) = y ln(x). Calcule, pela definição,

e .

(Ex 5.7)

18

0

0

h

h

f a h,b f a,bfa,b lim

x h

f a,b h f a,bfa,b lim

y h

2f

e,x

2

fe,

y

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Seja f(x, y) uma função real de duas variáveis independentes. Vimos

que existem duas derivadas parciais de 1ª ordem,

e

que são em regra geral funções de x e y. Assim, faz sentido calcular

as suas derivadas parciais.

As derivadas parciais das derivadas parciais de 1ª ordem constituem

as derivadas parciais de 2ª ordem de f. Temos então que, se existi-

rem as derivadas parciais de 1ª ordem, e , então as

derivadas de em ordem a x e a y são respetivamente,

ou

ou



campos escalares

19

x

fx,y f x,y

x

y

fx,y f x,y

y

xf x,y y

f x,y

xf x,y

x xxxf f

2

2

f f

x x x

x xyyf f

2f f

y x y x

e as derivadas de em ordem a x e a y são respetivamente,

ou

ou

As quatro derivadas de 2ª ordem de f no ponto (a, b) são

definidas por



campos escalares

20

yf x,y

y yxxf f

2

2

f f

y y y

y yyyf f

2f f

x y x y

2

2 0

2

0

2

0

2

2 0

x x

xxh

x x

xyh

y y

yxh

y y

yyh

f a h,b f a,bfa,b f a,b lim

hxf a,b h f a,bf

a,b f a,b limy x h

f a h,b f a,bfa,b f a,b lim

x y h

f a,b h f a,bfa,b f a,b lim

hy

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11

Exemplo 5.11: Calcular as derivadas parciais de 2ª ordem da

função f(x, y) = x2y+ y3.

(Ex 5.10)

Se derivarmos as derivadas parciais de 2ª ordem em relação a x e

em relação a y obtemos as derivadas parciais de 3ª ordem, que

são em nº de 23 = 8:



campos escalares

21

3 2 3 2

3 2 2 2

3 2 3 2

2

3 2 3 2

2

3

2

f f f f = =

x yx x y x x

f f f f= =

x y x x y x y y xy x

f f f f= =

x x y y x y y x yx y

f

x y

2 3 2

2 3 2

f f f= =

x yy y y

Em funções reais de mais de duas variáveis as derivadas parciais

definem-se do mm modo.

Em geral, a notação representa a derivada de ordem n de f

obtida derivando primeiro f (n-p) vezes em relação à variável y e em

seguida p vezes em relação à variável x.

Para uma função real de k variáveis existem kn derivadas parciais de

ordem n.

Exemplo 5.12: Calcular as derivadas parciais de 3ª ordem da

função f(x, y) = x2y+ y3.



campos escalares

22

n

p n p

f

x y

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12

Definição: Seja f : U IRn IR com U aberto. Diz-se que f é de

classe Ck (k IN) se e só se f admitir derivadas parciais contínuas

até à ordem k (inclusive) em U, e escreve-se f Ck(U).

Teorema de Schwarz:

Sejam f : U IR2 IR, com U aberto e (a, b) U. Suponhamos

que existem no ponto (a, b) e que é contínua em (a, b),

então existe e

Em particular, se f C2(U) então

Este resultado pode generalizar-se:

Se f : U IRn IR, com U aberto e f Ck(U) então é indiferente a

ordem de derivação até à ordem k (inclusive).



campos escalares

23

x y xyf , f e f

xyf

yxf a,b

yx xyf a,b f a,b

yx xyf a,b f a,b , a,b U.

Sejam f : U IRn IR, com U aberto, X0 U e v IRn. Se existir

o limite

designar-se-á derivada direcional de f no ponto X0 na direção do

vetor v e representa-se por .

Observação:

A divisão por traduz a independência face à norma do vetor v.

Assim, o valor da derivada direcional depende apenas do sentido e

direção do vetor v (e não do seu comprimento) e representa a taxa

de variação da função, no ponto X0, na direção do vetor v.



campos escalares

24

0 0

0h

f X hv f Xlim

h v

0vf X

v

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13

Exemplo 5.13: Considere .

Determine a derivada direcional de f no ponto (0,1) na direção do

vetor (1,3).

(Ex 4.b) do Exame da Época de Recurso - Comp. B do ano letivo

2010/11)



campos escalares

25

2 2 2f x,y ln x y x

Sejam f : U IRn IR, com U aberto e X0 U. f diz-se derivável

(diferenciável) em X0 sse e

Teorema:

Seja f : U IRn IR, com U aberto, uma função de classe C1 em

U então f é derivável em todos os pontos de U.

Teorema:

Sejam f : U IRn IR, com U aberto e X0 U. Se f é derivável

em X0 então v IRn existe , onde é uma

aplicação linear definida por:


5.4 Vetor gradiente e derivada da função composta de campos escalares.

26

01

ixf X , i ,...,n

0 0 01

1 20 2 2

1

0i

n

x iin

h

n

f X h f X f X hlim , com h= h ,h ,...,h .

h ... h

00

1v Xf X Df v

v

0XDf v

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14

onde é a matriz jacobiana da função

f em X0.

Assim, .

Seja f : U IRn IR uma função derivável em X0 U, sendo U

um conjunto aberto. Chama-se gradiente de f em X0 e representa-

se por f(X0) ao vetor de IRn, .



27

0 1 0 0

1

1v n

n

f ff X v X v X

x xv

0

1

2

0 0

1

X

n

n

v

vf fDf v X X

x x

v

0 0 0

1

X

n

f fJf X X

x x

0 0 0

1 n

f ff X X ,..., X

x x

Temos então que se ,

Pelo que, .


a) Determine o domínio de f.

b) Determine a derivada direcional de f no ponto (0,1) na direção do

vetor (1,3).


2010/11).



28

0 1 0 2 0 0

1 2

0

X n

n

f f fDf v v X v X v X

x x x

f X v

1 2

n

nv ,v ,..., v

0 0

1vf X f X v

v

2 2 2f x,y ln x y x

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15

Teorema: Seja f : U IRn IR, com U aberto e f C1(U).

Se f(X0) (0, 0, … , 0) então f(X0) tem direção e sentido do

máximo crescimento de f e a taxa de variação é .

se v f(X0).

Definição: Seja f : U IRn IR uma função derivável em U,

sendo U um conjunto aberto. Chama-se diferencial de f em X0 e

representa-se por df(X0) a



29

0f X

00

vf X

0 0 1 0 2 0

1 2

n

n

f f fdf X X dx X dx X dx

x x x

Se f é uma função de duas variáveis x e y e X0 = (a, b)

em que

Para valores de x e y próximos de zero, temos que

em que

Exemplo 5.15: Usando o diferencial de f(x, y) = xy, estime o valor

de (1,02)3,01.

(Ex 5.25)



30

f f

df a,b a,b dx a,b dyx y

dx x x a e dy y y b

f a,b df a,b

f a,b f x,y f a,b

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16

Suponha que na função z = F(u, v) u e v são funções das variáveis

independentes x e y, isto é, .

Neste caso, z é uma função composta que se pode exprimir

diretamente em função de x e de y, da seguinte forma

Suponha que as funções F, e são de classe C1. O cálculo das

derivadas parciais de z, em relação a x e a y, pode efetuar-se sem

explicitar z como função das variáveis x e y. Para tal recorre-se às

seguintes desigualdades:

xu

yz

xv

y



31

u x,y e v x,y

z F x,y , x,y

z z u z v=

x u x v x

z z u z v=

y u y v y


c) Supondo que x = euv2e y = arcsen(u)+1, determine no ponto

(u, v) = (0, 1) usando a regra da função composta.


2010/11).

Exemplo 5.17: Considere o campo escalar , defi-

nido em .

a) Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem e diga, justificando, se

f é de classe C1.

c) Supondo que x = 3u + v2, y = u2v2 + 3u e z = , determine

usando a regra da função composta.

(Ex 5 do Exame da Época Normal - Comp. B do ano letivo 2010/11).



32

2 2 2f x,y ln x y x f

u

2 2 3yf x,y,z x x z

1v

1 2,

f

u

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17

Diz-se que f tem um mínimo local em a U sse

B(a,r) U tal que f(x) f(a), x B(a,r)

Diz-se que f tem um máximo local em a U sse

B(a,r) U tal que f(x) f(a), x B(a,r)

Diz-se que f tem um extremo local em a U sse f tem um mínimo

ou máximo local em a.

Teorema: Seja f : U IRn IR uma função de classe C1 em U

aberto. Se a U é um extremo local de f então


5.5 Extremos de funções de IRn em IR: extremos livres e extremos condicionados

33

0 1i

f, i ,...,n

x

a

Definição: Seja f : U IRn IR uma função de classe C1 em U

aberto. Se a U e então a diz-se ponto crítico

de f.

Um ponto crítico de f que não é extremo local denomina-se ponto

de sela.

Apresenta-se de seguida um método que permite identificar

extremos entre os pontos críticos (candidatos a extremos).



34

0 1i

f, i ,...,n

x

a

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18

Definição: Seja f : U IRn IR. À matriz das segundas deriva-

das parciais dada por

chama-se matriz hessiana de f.



35

2 2 2

2

2 1 11

2 2 2

2

1 2 22

2 2 2

2

1 2

n

n

n n n

f f f

x x x xx

f f f

H x x x xx

f f f

x x x x x

Teorema: Seja f : U IRn IR uma função de classe C2 em U

aberto. Seja a um ponto crítico de f. Considere-se a matriz hessiana

de f em a,

e os seus menores principais, i.é., os determinantes das sub-matrizes

quadradas contendo a parte superior esquerda da diagonal principal

da matriz hessiana como a sua diagonal principal,



36

2 2 2

2

2 1 11

2 2 2

2

1 2 22

2 2 2

2

1 2

n

n

n n n

f f f

x x x xx

f f f

H x x x xx

f f f

x x x x x

a a a

a a aa

a a a

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19

então,

(1) se dk > 0, k = 1, … , n então f(a) é um mínimo local.

(2) se (-1)k dk > 0, k = 1, … , n então f(a) é um máximo local.

(3) se se verificar uma destas ordenações até certa ordem, mas a

partir daí todos os menores são nulos então nada se conclui.

(4) em todos os restantes casos o ponto a é um ponto de sela.



37

2 2

22 22 11

1 22 2 2 21 1

2

1 2 2

n

f f

x xxf fd , d , ... , d det H

x x f f

x x x

a a

a a a

a a

Este método aplicado a funções de duas variáveis pode ser

simplificado, começando pelo cálculo de d2 e prosseguindo como a

seguir se apresenta:

Exemplo 5.18: Calcule os extremos locais de .


2011/12).



38

2

1

1

0

0

00

0

ponto de sela

d nada se conclui

d ponto maximizante

d ponto minimizante

3 24f x,y x xy y

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20

Em muitos casos o problema da determinação dos valores máximos e

mínimos de uma função resume-se na procura dos máximos e

mínimos de uma função de várias variáveis que não independentes

entre si, mas ligadas por certas condições.

Suponha o seguinte problema:

Pretende-se construir uma caixa paralelepípeda de volume máximo

com uma folha de chapa de superfície 2a.

Seja x = comprimento da caixa

y = largura da caixa

z = altura da caixa

O problema resume-se na procura do máximo da função

em que x, y e z verificam a condição 2xy + 2xz + 2yz = 2a.



39

f x,y,z xyz

Estamos em presença de um problema de determinação de extremos

ligados, condicionados ou com restrições.

Este tipo de problemas pode resolver-se utilizando o método de

redução de variáveis se for possível resolver a equação de ligação

em ordem a alguma das variáveis. Quando não for possível aplica-se

o método dos multiplicadores de Lagrange.

Exemplo 5.19: Determine os extremos da função

sujeitos à condição x – z + 2y = 3.



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2 2 22f x,y,z x x y z

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Teorema: Método dos multiplicadores de Lagrange

Seja f : U IRn IR uma função de classe C1 em U aberto. Os

extremos da função f sujeita a k restrições:

g1(X) = 0, g2(X) = 0, … , gk(X) = 0

encontram-se entre as soluções do sistema:

Os números 1, … , k, denominam-se os multiplicadores de Lagrange.



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1

1

1

1 1 1

1

1

0

0k

kk

kk

n n n

g X

g X

g gf...

x x x

g gf...

x x x

Este teorema apenas fornece as condições necessárias para a

existência de extremos condicionados.

Nada se afirma sobre se um ponto encontrado por este processo é ou

não extremo condicionado. Esta questão resolve-se frequentemente

através de uma análise geométrica ou outro tipo de análise. O

teorema que se segue é muito útil neste contexto.

Teorema:

Toda a função f : U IRn IR contínua num conjunto limitado e

fechado do domínio possui máximo e mínimo nesse conjunto.

Um conjunto D diz-se fechado se o seu complementar IRn\D for

aberto.

Um conjunto D diz-se limitado se existir uma bola que o contenha.



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Exemplo 5.20: Determine os valores extremos de f(x, y) = x2 – y2

ao longo da circunferência de raio 1 e centrada na origem.

(Ex 5.33)



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ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA · Seja f : D f IR2 IR uma função definida no seu...

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