Algebra Linear e Multilinear -...

Algebra Linear eMultilinear

Prof. Roldao da Rocha, CMCC/UFABC,

2015

http : //professor.ufabc.edu.br/~ roldao.rocha

E permitido o uso e a reproducao destas notas para fins exclusivamenteeducacionais, COM A AUTORIZACAO EXPLICITA DO AUTOR.

U ⊗ (V ⊗ (W ⊗X))ξ- (U ⊗ V )⊗ (W ⊗X)

ξ- ((U ⊗ V )⊗W )⊗X

=

U ⊗ ((V ⊗W )⊗X)

Id⊗ ξ

? ξ - (U ⊗ (V ⊗W ))⊗X

ξ ⊗ Id

6

i

Men wanted for hazardous journey. Low rages, bitter cold, long months of completedarkness, isolation and starvation, constant danger, safe return doubtful.1

Ernest Shackleton

Recovery is overrated. What counts in a battle is what you do when the pain sets in.

1Em 29 de dezembro de 1913, anuncio de um jornal britanico, convocando voluntarios para viagemao Polo Sul. Mais de cinco mil inscritos, dentre os quais tres mulheres.

Sumario

1 Corpos e Espacos Vetoriais 31.1 Corpos: definicoes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Os corpos Zp (p primo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Isomorfismo entre corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Outras estruturas algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1 Subespacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2 Bases de um Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.3 Transformacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.4 Bandeiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Espaco Dual e Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Nucleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8 Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9 Espacos Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9.1 Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Operadores Lineares e Dualidade 372.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Transformacoes Gradiente e Contragradiente . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Formas Bilineares 433.1 Funcionais Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Espacos Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

iii

Sumario 1

3.3 Espacos Unitarios (Hermitianos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4 Processo de Ortonormalizacao de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . 523.5 Normas em espacos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5.1 Definindo normas em matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.5.2 Correlacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6 Dualidade e Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.6.1 Aplicacoes Duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.7 Aplicacoes Ortogonais, Simetricas e Antissimetricas . . . . . . . . . . . . 69

4 Autovalores e Autovetores 75

5 Forma Canonica de Jordan 835.1 Forma Canonica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2 Funcoes de Aplicacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.3 Outra prova da existencia de uma base de Jordan . . . . . . . . . . . . . 102

6 Algebra Tensorial 1056.1 Aplicacoes Multilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2 Produto Tensorial entre Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.3 A algebra tensorial de um espaco vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.3.1 Produtos tensoriais entre aplicacoes lineares . . . . . . . . . . . . 1176.3.2 A Algebra Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.4 Algebra exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.4.1 O produto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.4.2 Operacoes dentro da algebra exterior . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.5 Algebra Exterior como Quociente da Algebra Tensorial . . . . . . . . . . 1386.6 Contracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.7 A Algebra de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.8 Isomorfismo de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.9 Operadores de Criacao e Aniquilacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Bibliografia 147

Capıtulo 1Corpos e Espacos Vetoriais

1.1 Corpos: definicoes fundamentais

Primeiramente apresentaremos o conceito de corpo utilizando uma notacao similarao que e usado usualmente no caso dos numeros inteiros — que nao e um corpo. Umcorpo K e um conjunto nao-vazio dotado de duas operacoes binarias “ + ” e “ · ”,denominadas adicao e multiplicacao, satisfazendo as seguintes propriedades1:

1. A operacao de soma tem as seguintes propriedades:(a) Comutatividade: para todos a, b ∈ K, a+ b = b+ a.(b) Associatividade: para todos a, b, c ∈ K, vale a+ (b+ c) = (a+ b) + c.(c) Elemento neutro: existe um elemento z ∈ K, chamado de elemento nulo, ou zero,tal que a+ z = a = z + a para todo a ∈ K.(d) Inversa: para cada a ∈ K existe um elemento denotado por b com a propriedadea + b = z. Esse elemento e mais comumente denotado por −a em alguns casos, porexemplo, quando K = R.

2. A operacao de produto tem as seguintes propriedades:(a) Comutatividade: para todos a, b ∈ K vale a · b = b · a1A notacao ( · ) e comumente usada para produto escalar, e aqui enquanto possıvel tentaremos denotar

o produto no corpo por justaposicao.

3

4 1. CORPOS E ESPACOS VETORIAIS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015

(b) Associatividade: para todos a, b, c ∈ K vale a · (b · c) = (a · b) · c(c) Elemento neutro: existe um elemento e ∈ K, chamado de unidade, tal que a · e =a = e · a para todo a ∈ K.(d) Inversa: para cada a ∈ K, a 6= z, existe um elemento denotado por b∗ com apropriedade a · b∗ = e. Esse elemento no caso onde K = R e mais comumente denotadopor a−1.

3. Distributividade: o produto e distributivo em relacao a adicao: para todos a, b, c ∈ Kvale a · (b+ c) = a · b+ a · c.

4. Se a · b = z, entao a = z ou b = z.

Alguns autores consideram conveniente incluir tambem a hipotese de que o elementoneutro e o elemento nulo sao distintos, e 6= z, pois de outra forma terıamos K = z(prove!), uma situacao trivial.

Obs. 1: Um grupo e um conjunto nao-vazio G munido de uma operacao binaria : G×G→ G, denominada produto, com as seguintes propriedades:

(a) Elemento neutro: existe um elemento e∗ ∈ G, denominado elemento neutro, talque g e∗ = e∗ g = g para todo g ∈ G.(b) Elemento inverso: existe uma operacao G → G (g 7→ g−1) bijetiva denominadainversa, tal que g g−1 = e∗ = g−1 g, para todo g ∈ G.(c) Associatividade: para todos a, b, c ∈ G vale (a b) c = a (b c)

Quando uma das tres propriedades acima que definem um grupo nao e satisfeita, temosoutras estruturas algebricas. Quando somente (a) e (b) valem, dizemos que G e umgrupoide. Quando somente a propriedade (c) e satisfeita, G e dito ser um semigrupo(alguns autores adicionam a condicao (a) neste caso). Quando somente (a) and (c) saovalidas G e dito ser um monoide. Um monoide e portanto um semigrupo com unidadee um grupoide e um grupo nao associativo. Note-se que corpos sao grupos comutativosem relacao a operacao de soma e monoides comutativos em relacao a operacao deproduto.

A distributividade e a unica propriedade listada acima que relaciona as operacoesde soma e produto. Os elementos de um corpo sao comumente denominados escalares.Por motivos estruturais, e importante enfatizar que um corpo depende da definicao doconjunto K e das operacoes binarias + e · nele definidas, e muitas vezes nos referiremosa um corpo como sendo uma tripla (K, +, ·). E frequente omitir-se o sımbolo “·” deproduto por escalares quando nao houver confusao.

Em um corpo K sempre vale a · z = z para todo a ∈ K. De fato, como z = z + z(Prove!), segue que a · z = a · (z + z) = a · z + a · z. Somando-se a ambos os lados oelemento inverso (−a · z), teremos a · z + (−a · z) = a · z + a · z + (−a · z), ou seja,z = a · z + z = a · z, como querıamos provar. Pela comutatividade do produto valetambem z · a = z para todo a ∈ K.

Exercıcio 1: Mostre que o elemento neutro da adicao e unico, e que a identidademultiplicativa tambem e unica.

1.2. OS CORPOS ZP (P PRIMO) — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 5

Exercıcio 2: Verifique que Q, R e C sao corpos em relacao as operacoes usuaisde soma e produto. O conjunto das matrizes n×n para qualquer n ≥ 2 com o produtousual de matrizes e um corpo?

Exercıcio 3: Mostre que R[√

2] := a + b√

2 | a, b ∈ R nao e um corpo e que

Q[√

2] := a+ b√

2 | a, b ∈ Q e um corpo.

1.2 Os corpos Zp (p primo)

Uma relacao de equivalenciaR definida em um conjuntoX e uma relacao (i) reflexiva,(ii) simetrica e (iii) transitiva, respectivamente (i) xRx, (ii) se xRy entao yRx, e (iii)se xRy e yRz entao xRz, ∀x, y, z ∈ X. O conjunto de todos os elementos equivalentesa x constituem a classe de equivalencia de x, denotada por [x] = y ∈ X | yRx. Oconjunto dessas classes de equivalencia e denotado por X = X/R = [x] |x ∈ X, edenominado espaco quociente. Uma notacao muita utilizada para xRy e x ∼ y. Umelemento x ∈ [x] ou qualquer outro elemento em [x] e denominado representante de[x].

Tais classes de equivalencia sao disjuntas, no sentido de que [x] ∩ [y] = ∅. Mostra-remos que se [x] ∩ [y] 6= ∅, entao [x] = [y]. Supondo entao que [x] ∩ [y] 6= ∅, existec ∈ [x] ∩ [y], e em particular c ∼ x e c ∼ y. Por transitividade, x ∼ y. Agora mos-traremos que [x] ⊂ [y]. Tomando um elemento arbitrario x1 ∈ [x] temos que x1 ∼ x,e como x ∼ y, entao y ∼ x1, isto e, x1 ∈ [y], e portanto, [x] ⊂ [y]. Analogamentepodemos mostrar que [y] ⊂ [x], e portanto [x] = [y].

B Exemplo 1: Para n ∈ N, no conjunto dos inteiros Z podemos definir a seguinterelacao de equivalencia: a ∼ b ⇔ a − b = kn, k ∈ 0,±1,±2, . . . ou seja, os inteirosa e b sao considerados equivalentes se diferirem por um multiplo de n. A classe deequivalencia de a consiste portanto no conjunto

[a] = c ∈ Z | c = a+ kn = a, a± n, a± 2n, a± 3n, . . ..

O conjunto das classes de equivalencia de Z modulo ∼ e o conjunto Zn = Z/∼, oconjunto dos inteiros modulo n. Outra notacao tambem utilizada e Z/nZ. Lembramosque, se a, b ∈ Z, dizemos que a e congruente a b modulo n — e denotamos a ≡ b(mod n) — se n| (a − b). Podemos ainda mostrar que nesse caso, a ≡ b mod n se esomente se existir um inteiro k tal que a = b+ kn.

Portanto definimos o conjunto das classes de equivalencia a partir da relacao a ∼ b⇔ a = b mod n. C

Exercıcio 4: Prove que a ∼ b definida por a ≡ b mod n e uma relacao deequivalencia

Exercıcio 5: Dado (a, b) ∈ Z×Z\0, com a, b ∈ Z, defina a relacao R em Z×Zpor (a, b)R(c, d) se, e somente se ad = cb. Mostre que R e uma relacao de equivalencia


Denotamos tambem o conjunto Zn = [0], [1], . . . , [n − 1], com n ∈ N, n ≥ 2,com a soma definida por [a] u [b] ≡ [(a + b) (mod n)] = [a + b], para [a], [b] ∈ Zn.Podemos tambem considerar em Zn uma operacao de produto, definida por [a] • [b] ≡ab (mod n) = [ab].

I Teorema 1: Se o conjunto Zn e um corpo com as operacoes acima definidas, entaon e um numero primo. J

Demonstracao: As operacoes de soma e produto definidas acima sao comutativas,associativas e distributivas (justifique!). Sempre vale que [−a] = [n − a], ∀[a] ∈ Zn,o que implica na existencia de um inverso aditivo. Resta-nos estudar a existencia deelementos inversos [a]−1. Vamos supor que Zn seja um corpo. Entao [a] ∈ [2], . . . , [n−1] tem uma inversa em Zn, ou seja, um numero [b] ∈ [1], . . . , [n−1] tal que [a]• [b] =1. Lembrando a definicao de produto em Zn, isso significa que existe um inteiro k talque ab = kn+1. Mas isso implica b− 1

a = k na . Como o lado esquerdo nao e um numerointeiro, o lado direito tambem nao pode ser. Portanto n/a nao pode ser inteiro paranenhum a ∈ 2, . . . , n − 1, ou seja, n nao tem divisores, sendo portanto um numeroprimo o

Os conjuntos Zn tem profundas aplicacoes em teoria de codigos e e relevante tambemem outras areas de Algebra e Geometria.

B Exemplo 2: Tome por exemplo n = 7. Neste caso, [4]u [6] = [10] = [3], enquantoque [6] • [6] = [6 · 6] = [36] = [1]. As tabelas de soma e produto em Z7 sao dadas por

u [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6][1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0][2] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1][3] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [2][4] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [3][5] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [4][6] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [5]

• [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6][2] [0] [2] [4] [6] [1] [3] [5][3] [0] [3] [6] [2] [5] [1] [4][4] [0] [4] [1] [5] [2] [6] [3][5] [0] [5] [3] [1] [6] [4] [2][6] [0] [6] [5] [4] [3] [2] [1]

Os valores de [a]u [b] e [a] • [b] para Z7 sao exibidos na intersecao da [a]-esima linha[b]-esima coluna, na tabela apropriada. C

Exercıcio 6:

1.3. ISOMORFISMO ENTRE CORPOS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 7

a) Quais sao os elementos invertıveis de Z10 com respeito a adicao e a multiplicacaoinduzidas?

b) Mostre que Z e Z6 nao sao corpos.

c) Faca a tabela multiplicativa de Z6, Z8 e Z9, identificando quais sao os respectivoselementos inversıveis de tais conjuntos

I Proposicao 1: As operacoes u e • estao bem definidas em Zn J

Demonstracao: Provaremos que tais operacoes independem da escolha de repre-sentantes nas classes de equivalencia. Dados a, b, c, d ∈ Z, suponha que [a] = [c] e[b] = [d] em Zn. Entao a = c+ un e b = d+ vn, para u, v ∈ Z apropriados. Assim,

[a+ b] = [c+ un+ d+ vn] = [c+ d+ (u+ v)n]

= [c+ d] + [(u+ v)n] = [c+ d] + [0] = [c+ d]

[a · b] = [(c+ un) · (d+ vn)]

= [c · d+ (c · v + u · d+ u · n · v) · n] = [c · d]

o

1.3 Isomorfismo entre corpos

Dois corpos (K1,u, ) e (K2,+, ·) sao ditos serem isomorfos se existir uma aplicacaobijetiva φ : K1 → K2 que preserve as operacoes algebricas de K1 e K2, ou seja, talque φ(a u b) = φ(a) + φ(b), φ(a b) = φ(a) · φ(b). Podemos provar que φ(1K1

) = 1K2

e φ(0K1) = 0K2

. Acima, 1Kj e 0Kj sao a unidade multiplicativa e o elemento nulo,respectivamente, de Kj , j = 1, 2.

Exercıcio 7: Prove que φ(−a) = −φ(a) para todo a ∈ K1 e que φ(a−1) = (φ(a))−1

para todo a ∈ K1, a 6= 0K1

Exercıcio 8: Considere o conjunto de todas as matrizes reais da forma(a −bb a

),

com a, b ∈ R. Mostre que esse conjunto e um corpo em relacao as operacoes usuais desoma e produto de matrizes. Mostre que esse corpo e isomorfo ao corpo dos numeroscomplexos C, atraves da aplicacao

Θ : C → M(2,R)

(a+ ib) 7→(a −bb a

)(1.1)


Considere agora um corpo K com unidade. De acordo com a definicao dada paraum corpo, todo corpo possui unidade. Para um numero natural n, definimos n · 1 =n vezes︷︸︸︷

1 + · · ·+ 1. Define-se a caracterıstica de K — e denotamos por char(K) — como sendoo menor numero natural nao-nulo n tal que n · 1 = 0. Se um tal numero nao existir,dizemos que o corpo tem caracterıstica zero.

Exercıcio 9: Prove que Q,R,C tem caracterıstica zero, e prove que Zp, com p

primo, tem caracterıstica p

Exercıcio 10: Prove que quando char(K) 6= 0, entao char(K) e sempre um numero

primo

Exercıcio 11: Prove que quando char(K) = p, entao para quaisquer a, b ∈ Ktemos que (a+ b)p = ap + bp.

Exercıcio 12: Sejam a, b ∈ K. Quais das seguintes relacoes sao necessariamenteverdadeiras? Prove ou justifique.

1. 0.a = 0

2. (−1) · a = −a

3. (−a) · (−b) = a · b

4. 1 + 1 6= 0

5. Se a 6= 0 e b 6= 0 entao a · b 6= 0

Exercıcio 13: Dado um isomorfismo de corpos φ : (K1,u, ∗)→ (K2,+, ·), mostreque

1. φ(0K1) = 0K2

2. Se 1K1 denota a identidade de K1, entao a identidade em K2 e dada por φ(1K1).

3. φ(an) = (φ(a))n

4. φ−1 : K2 → K1 existe e tambem e isomorfismo.

5. Se (K3,,) e um corpo, e se ψ : (K2,+, ·) → (K3,,) e isomorfismo, entaoψ φ : (K1,u, ∗)→ (K3,,) e tambem um isomorfismo

1.4. OUTRAS ESTRUTURAS ALGEBRICAS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 9

1.4 Outras estruturas algebricas

Considere elementos a, b, c de um conjunto S, e as seguintes propriedades:

A1) a+ b = b+ a

A2) (a+ b) + c = a+ (b+ c)

A3) ∃z ∈ S tal que z + a = a+ z = a

A4) para cada a ∈ S, ∃a∗ ∈ S tal que a+ a∗ = a∗ + a = z

M1) a · b = b · a

M2) (a · b) · c = a · (b · c)

M3) ∃e ∈ S tal que e · a = a · e = a

M4) para cada a ∈ S tal que a 6= z, ∃a′ ∈ S tal que a · a′ = a′ · a = e

D) a · (b+ c) = a · b+ a · c e (a+ b) · c = a · c+ b · c

Z) Se a · b = z entao a = z ou b = z (ou ambos).

Usamos as palavras zero e identidade para descrever os elementos z e e respectiva-mente. Qualquer elemento a ∈ S (incluindo a = z) para o qual existe b 6= 0 talque a · b = z e chamado de divisor de zero. Substituımos as notacoes 0, 1,−a, a−1respectivamente por z, e, a∗, a′ para evitarmos atribuir mnemonicamente algumas pro-priedades que decorrem das definicoes, mas que nao sao axiomas, e portanto devemser provadas. A seguinte tabela ilustra as diversas estruturas algebricas advindas doconjunto S equipado com as operacoes binarias “+” e “·” :

A1 A2 A3 A4 M2 D M1 M3 M4 Z 〈S,+, ·〉• • • • • • − − − − anel• • • • • • • − − − a.c.• • • • • • − • − − a.u.• • • • • • − − − • a.c.u.s.d.z• • • • • • • • − − a.c.u.• • • • • • • − − • a.c.s.d.z.• • • • • • − • − • a.u.s.d.z.• • • • • • • • − • a.i.• • • • • • − • • • a.d.• • • • • • • • • • corpo

Tabela 1.1: usamos na ultima coluna a notacao: anel comutativo: a.c.; anel com unidade:

a.u.; anel com unidade sem divisores de zero: a.c.u.s.d.z; anel comutativo com unidade: a.c.u.;

anel comutativo sem divisores de zero: a.c.s.d.; anel unital sem divisores de zero: a.u.s.d.z;

anel de integridade: a.i.; anel de divisao: a.d.

Um exemplo de anel bastante utilizado e o anel dos polinomios.


Exercıcio 14: Prove que as propriedades M4 e Z nao sao satisfeitas para Znquando n e um inteiro composto. Prove que todas as outras propriedades sao satisfeitas

I Teorema 2: Seja p um inteiro positivo primo. Entao Zp satisfaz as propriedadesM4 e Z J

Demonstracao: a) Suponha que [a] ∈ Zp, [a] 6= [0] e denotemos o produto emZp por •. Entao p - a (isso denota que p nao divide a) em Z, e portanto o maximodivisor comum (m.d.c.) entre p e a, denotado por (p, a) satisfaz (p, a)=1. Portanto,existem r, s ∈ Z tais que rp + sa = 1. Entao [1]=[rp + sa] = [sa] = [s] • [a]. Logo[s]•[a] = [a]•[s] = 1, e segue-se que Zp satisfaz M4.b) Agora suponha que [b], [c] ∈ Zp tais que [b]•[c] = 0. Ou [b] = [0] e nao ha mais nadaa se provar, ou [b] 6= [0]. Pela parte a) da demonstracao, entao existe [t] ∈ Zp tal que[t]•[b] = [1]. Entao, [0] = [t]•[0] = [t]•([b]•[c]) = ([t]•[b])•[c] = [1]•[c] = [c]. Portantoquando assumimos que [b]•[c] = [0] concluımos ou que [b] = [0] ou que [c] = [0], eportanto a propriedade Z e satisfeita para Zp o

1.5 Espacos Vetoriais

Um espaco vetorial V sobre um corpo K e um conjunto de elementos chamadosvetores, munido de uma operacao aditiva +: V × V → V , denominada soma vetorial,e tambem de um produto por escalares . : K×V → V com as seguintes propriedades:

1) A cada par u, v de vetores em V , e associado um elemento u+v ∈ V , denominadosoma de u e v, com as seguintes propriedades:(a) A soma e comutativa: u+ v = v + u para todos u, v ∈ V .(b) A soma e associativa: u+ (v + w) = (u+ v) + w para todos u, v, w ∈ V .(c) Existe um vetor denotado por 0, denominado vetor nulo, tal que u + 0 = u paratodo u ∈ V .(d) A cada u ∈ V existe associado um unico vetor denotado por (−u) tal que u+(−u) =0.

2) A cada par a ∈ K, u ∈ V existe associado um vetor denotado por au ∈ V ,denominado produto de u por a, de forma que(a) O produto por escalares e associativo: a.(b.u) = (ab).u, para todos a, b ∈ K eu ∈ V , onde ab e o produto de a por b em K.(b) 1.u = u para todo u ∈ V , onde 1 denota a unidade de K.(c) O produto por escalares e distributivo em relacao a soma de vetores: a.(u + v) =a.u+ a.v, para todo a ∈ K e todos u, v ∈ V .(d) O produto por escalares e distributivo em relacao a soma de escalares: (a+ b).u =a.u+ b.u, para todos a, b ∈ K e todo u ∈ V .

Exercıcio 15: Prove que os espacos vetoriais sao grupos comutativos em relacaoa operacao de soma

1.5. ESPACOS VETORIAIS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 11

Os elementos de um corpo sobre os quais um espaco vetorial se constitui sao fre-quentemente denominados escalares. Usamos o sımbolo “+”tanto para a operacao deadicao do corpo K quanto para a operacao de adicao do espaco vetorial V , ainda que setrate de operacoes distintas. Igualmente usamos o mesmo sımbolo “0” para designaro vetor nulo de V e “0” para denotar o elemento nulo de K.

Exercıcio 16: Mostre que usando os postulados acima, que 0.u = 0 para todou ∈ V , onde, o elemento “0” do lado esquerdo representa o zero do corpo K e o do ladodireito o vetor nulo de V . Em seguida, prove que para todo a ∈ K e todo u ∈ V vale(−a).u = −(a.u), sendo que −a denota a inversa aditiva de a em K e −(a.u) denota a

inversa aditiva de a.u ∈ V Exercıcio 17: Prove que:

1. Se K e um corpo, entao K e um espaco vetorial sobre K com as mesmas operacoesde soma e produto definidas em K.

2. Se K e um corpo e L e um subcorpo de K (ou seja, um subconjunto de K quee por si so um corpo com as operacoes definidas em K), entao K e um espacovetorial sobre L.

3. Se K e um corpo, o produto cartesiano Kn = (k1, . . . , kn) | kj ∈ K, j = 1, . . . , ne um espaco vetorial sobre K com a operacao de soma definida por (k1, . . . , kn)+(l1, . . . , ln) = (k1 + l1, . . . , kn + ln) e o produto por escalares por a.(k1, . . . , kn) =(ak1, . . . , akn) para todo a ∈ K. O vetor nulo e o vetor (0, . . . , 0).

4. O conjunto Mm×n(K), de todas as matrizes m × n cujos elementos de matrizpertencem a K, e um espaco vetorial sobre K, com a soma sendo a soma usualde matrizes e o produto por escalares sendo o produto usual de matrizes pornumeros escalares. O vetor nulo e a matriz com todas as entradas nulas

Exercıcio 18: Determine se os seguintes conjuntos sao espacos vetoriais:

1. K = C, V = C, com soma usual, e multiplicacao definida por a•v = a2 v, paraquaisquer v ∈ V e a ∈ K.

2. K = C, V = C, com soma usual, e multiplicacao definida por a•v = (Re a) v,∀v ∈ V e a ∈ K

3. O conjunto de todas as funcoes pares.

4. O conjunto de todas as funcoes ımpares.

Exercıcio 19: Considere o conjunto R com a operacao de soma usual, um corpoZp, com p primo e o produto Zp × R → R, a ∈ Zp e x ∈ R dado pelo produto usual

em R. Essa estrutura define um espaco vetorial? Justifique


1.5.1 Subespacos Vetoriais

Um subconjunto U 6= ∅ de um espaco vetorial V e dito ser um subespaco vetorialde V se dados a ∈ K e u, v ∈ U , au + v ∈ U . Subespacos vetoriais sao, nestesentido, fechados com relacao a combinacoes lineares. Adicionalmente, o conjunto 0e elemento de todo subespaco de V . De fato, se U for subespaco vetorial de V , entaosendo w e um elemento arbitrario de U , entao 0.w ∈ U , e ja que 0.w = 0, entao 0 ∈ Upara todo U ⊂ V . Alem disso, quando em particular a = 1, entao u+ v ∈ U .

Exercıcio 20: Considere V = C3 e os seguintes conjuntos U ⊆ V consistindo dosvetores de componentes (a, b, c), onde a, b, c ∈ C tais que

1. a = 0

2. b = 0

3. a+ b = 1

4. a+ b = 0

5. Re a+ Re b ≥ 0 (aqui Re a denota a parte real de a)

6. a ∈ R

Em quais desses casos U e subespaco vetorial de V ?

B Exemplo 3: Considere V o espaco vetorial P(R) dos polinomios de grau n comcoeficientes reais, e Ui ⊆ V (i = 1, 2, 3, 4) consistindo dos polinomios p(t) sobre umcorpo K que satisfazem a propriedade i:

1. possuem grau tres.

2. 2p(0) = p(1).

3. p(t) ≥ 0 sempre que 0 ≤ t ≤ 1.

4. p(t) = p(1− t),∀t ∈ R.

Queremos determinar em quais desses casos U e subespaco vetorial de V e para tantoiremos analisar cada caso em separado:

1. O espaco dos polinomios que possuem grau tres nao constitui um subespacovetorial de V . De fato, adicionando ou subtraindo dois polinomios de grau trespode resultar em um polinomio de grau menor. Por exemplo, se f(x) = x3 − 3xe g(x) = x3, entao f(x) − g(x) = 3x e o grau de (g − f) e igual a um. Umaobservacao mais imediata e que o polinomio identicamente nulo nao pertence aU e portanto U nao e um subespaco de V .

2. Aqui U e subespaco vetorial de P(R). Com efeito, p(t) ≡ 0 satisfaz a definicao2p(0) = p(1). Alem disso, se p, q ∈ P(R) sao tais que 2p(0) = p(1) e 2q(0) = q(1),entao para a ∈ R temos 2(ap+q)(0) = 2ap(0)+2q(0) = ap(1)+q(1) = (ap+q)(1).


3. p(t) ≥ 0 sempre que 0 ≤ t ≤ 1. Neste caso U nao e um subespaco vetorial deV pois o inverso aditivo de uma funcao que e nao negativa e nao positiva. Porexemplo se q(x) = x2, entao q ∈ U mas −q /∈ U .

4. p(t) = p(1 − t),∀t ∈ R. Aqui U e subespaco vetorial de P(R), pois o polinomioidenticamente nulo satisfaz a condicao p(t) = p(1 − t) Dado outro polinomioq ∈ P(R), entao (ap+ q)(t) = ap(t) + q(t) = ap(1− t) + q(1− t) = (ap+ q)(1− t).

C

Exercıcio 21: Prove que a intersecao de subespacos vetoriais e um subespacovetorial

Exercıcio 22: Prove que os unicos subespacos de R, sao o proprio R e o subspaconulo. Mostre que todos os subespacos de R2 sao o proprio R2, o subespaco nulo ou ossubespacos consistindo dos conjuntos dos multiplos de um vetor fixo em R2 centradona origem (retas que passam pela origem)

1.5.2 Bases de um Espaco Vetorial

Seja V um espaco vetorial sobre um corpo K. Um conjunto finito v1, . . . , vn ⊂ Vde vetores e dito ser linearmente dependente (LD) se existir um conjunto de escalaresa1, . . . , an ⊂ K, nem todos nulos, tais que a1v1 + · · · + anvn = 0. Um conjuntoarbitrario de vetores e dito ser linearmente independente (LI) se nao possuir nenhumsubconjunto finito que seja linearmente dependente.

Para um conjunto finito de vetores v1, . . . , vn ⊂ V e de escalares a1, . . . , an ⊂ K,uma expressao como a1v1 + · · · + anvn e dita ser uma combinacao linear dos vetoresvi.

Considerando agora um conjunto de vetores U ⊆ V , o espaco gerado por U e deno-tado por 〈U〉 e o conjunto de todos os vetores de V que podem ser escritos como umacombinacao linear finita de elementos de U .

Denotando um conjunto arbitrario nao-vazio de ındices por J , uma base em umespaco vetorial V e um conjunto A = vi | i ∈ J de vetores linearmente indepen-dentes que geram V (qualquer vetor v ∈ V pode ser escrito de modo unico como umacombinacao linear de elementos de A). Um espaco vetorial e dito ser de dimensaofinita se possuir uma base finita, neste caso sendo sua dimensao e definida como sendoo numero de elementos de sua base.

B Exemplo 4: V = Cn sobre C e V = Rn sobre R sao ambos espacos vetoriais dedimensao finita n, enquanto que V = Cn sobre R e espaco vetorial de dimensao finita2n. Isso mostra a dependencia da dimensao com o corpo utilizado. Esse conceito serabastante utilizado quando falarmos de produto tensorial C

Exercıcio 23: Em um corpo finito Zp, p primo, calcule o numero de subespacos

vetoriais de dimensao j em um Zp-espaco vetorial (Zp)n


Exercıcio 24: Dois conjuntos disjuntos de R2 podem gerar o mesmo espacovetorial? Qual e em R3 o espaco gerado pelo conjunto(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)?

B Exemplo 5: V = R sobre o corpo dos reais. O conjunto dos reais sobre o corpodos reais e um espaco vetorial unidimensional, pois qualquer elemento v ∈ R pode serescrito como v = v.1, onde 1 e o unico elemento da base de R. Ao considerarmosV = R sobre o corpo Q dos racionais, tal espaco vetorial nao possui dimensao finita,pois nao existe um conjunto finito x1, . . . , xm de numeros reais tais que todo x ∈ Rpossa ser escrito como x = q1x1 + · · · + qmxm, onde qi ∈ Q. Como Q e um conjuntocontavel, a colecao de numeros que podem ser escritos como o lado direito e uma colecaocontavel e tem a mesma cardinalidade de Qm, porem o conjunto R nao e contavel C

Exercıcio 25: Verifique se P2(R) tem como base os vetores u1(t) = 1 + t, u2(t) =

t+ 2t2 e u3(t) = 1− t2.

I Teorema 3: Se em um espaco vetorial V existir um conjunto vi de n vetoreslinearmente independentes, entao a dimensao de V e maior ou igual a n J

Demonstracao: Suponhamos por absurdo que exista uma base B = u1, . . . , ukem V com k < n. Entao podemos escrever v1 = a1u1 + · · ·+ akuk pois B e uma basee pelo menos ak 6= 0, portanto

uk = (ak)−1(v1 − a1u1 − · · · − ak−1uk−1) (1.2)

Analogamente temos que v2 = b1u1 + · · ·+ bkuk e usando a Eq.(1.2) escrevemos v2 =c1u1+ · · ·+ck−1uk−1+d1v1. Os ci nao podem ser todos nulos, senao v2 = d1v1, contra-riando a hipotese de que os vi sao LI. Suponhamos que ck−1 seja o elemento nao-nulo,podemos escrever uk−1 como uma combinacao linear envolvendo u1, . . . , uk−2 e osvetores v1 e v2. Apos k passos provamos que vk+1 = α1v1 + · · · + αkvk, contrariandoa hipotese de que os vi sao LI. o

Exercıcio 26: Se K e um corpo com p elementos, quantas bases existem em Kn?

Vimos que o espaco V tem dimensao finita se ele possui uma base finita. Duas basesquaisquer de V tem o mesmo numero (finito) de elementos.

Exercıcio 27: Prove as seguintes afirmacoes:a) O conjunto de vetores e1, . . . , en e LD se e somente se pelo menos um dos vetoresej for combinacao linear dos outros.b) Se o conjunto e1, . . . , en e LI e o conjunto e1, . . . , en, en+1 e LD, entao en+1 e

combinacao linear de e1, . . . , en

Exercıcio 28: Considere Kn−1[x] o espaco dos polinomios na variavel x que temgrau menor ou igual a n− 1, com coeficientes em um corpo K. Verifique que:a) O conjunto 1, x, . . . , xn−1 forma uma base de Kn−1[x], e tambem que as coorde-nadas de um polinomio f ∈ Kn−1[x] em tal base sao seus coeficientes.


b) O conjunto S = 1, x− a, (x− a)2, . . . , (x− a)n−1 forma uma base de Kn−1[x]. Sechar(K)= p > n, entao os coeficientes de um polinomio f sao elementos do conjunto

f(a), f ′(a), . . . , f(n−1)(a)(n−1)! , em relacao a base ordenada S.

c) Sejam a1, . . . , an ∈ K elementos distintos dois a dois. Seja gi(x) =∏i 6=j(x−aj)(ai−

aj)−1. Os polinomios g1(x), . . . , gn(x) formam uma base de Kn−1[x] — denominada

base de interpolacao — e as coordenadas do polinomio f nessa base e f(a1), . . . , f(an)

Obs. 2: Dado U = e1, . . . , en um conjunto finito de vetores em V , e W =ei1 , . . . , eim um conjunto LI de U , dizemos que W e maximal se cada elemento de Upuder ser escrito como uma combinacao linear dos elementos de W

I Proposicao 2: Qualquer conjunto e1, . . . , en ⊂ S maximal LI e uma base doespaco gerado 〈S〉 de S J

Demonstracao: Mostraremos que qualquer vetor em 〈S〉 pode ser escrito como umacombinacao linear dos vetores e1, e2, . . . , ek. Por definicao, qualquer vetor em 〈S〉 podeser expresso como uma combinacao linear de vetores em S. Qualquer vetor v ∈ S podeser expresso com uma combinacao linear de e1, e2, . . . , ek. Para v ∈ e1, . . . , en ⊂ S,isso e obvio. Para v /∈ e1, . . . , en, sabemos que um vetor v pode ser expresso comoqualquer combinacao linear de e1, . . . , en se, e somente se v, e1, . . . , en sao LD. Portantosegue o enunciado o

Aplicando as consideracoes do Lema anterior a S = V , obtemos o

I Teorema 4: Qualquer conjunto de vetores LI em V pode ser completado a umabase J

Em particular, qualquer 0 6= v ∈ V esta contido em alguma base de V , e qualquerconjunto de n vetores LI em um espaco vetorial V n-dimensional forma uma base deV .

I Teorema 5: Qualquer subespaco vetorial U de um espaco vetorial de dimensaofinita V tambem possui dimensao finita, e dim U ≤ dim V. Alem disso, se U 6= V ,entao dim U < dim V J

Demonstracao: Seja e1, . . . , ek um sistema maximal de vetores LI em U .e1, . . . , ek e uma base de U e dim U = k. O conjunto LI e1, . . . , ek pode sercompletado a uma base de V , e se U 6= V , entao dim V > k o

Exercıcio 29: Dados U,W subespacos vetoriais de V , para quais espacos vetoriaisV temos valida a propriedade V ∩ (U +W ) = V ∩ U + V ∩W?

Exercıcio 30: Prove que se U e um subespaco de V e dim U = dim V < ∞,entao U = V


1.5.3 Transformacoes Lineares

Considere U e V espacos vetoriais sobre um corpo K. Uma aplicacao φ : U → V edito ser linear se ∀u, v ∈ U , a ∈ K, tivermos φ(au) = aφ(u) e φ(u+ v) = φ(u) + φ(v).Uma aplicacao linear e um homomorfismo de grupos aditivos. Com efeito, φ(0) =φ(0.0) = 0.φ(0) = 0 e φ(−u) = φ((−1).u) = −φ(u). Denotamos por Hom(U, V ) oconjunto dos homomorfismos entre U e V .

Exercıcio 31: Mostre que as aplicacoes de homotetia f : V → V , definidos porf(u) = a.u,∀a ∈ K, u ∈ V , sao transformacoes lineares

Dizemos que dois K-espacos vetoriais U, V sao isomorfos se o homomorfismo φ :U → V for uma aplicacao bijetiva. A aplicacao φ e denominada isomorfismo entre Ue V .

Se e1, e2, . . . , en e f1, f2, . . . , fn forem bases de U e V respectivamente, a matrizA ∈Mm×n(K) de φ em relacao a tais bases acima tem elementos Aij tais que φ(ei) =a1if1 + · · · + amifm, i = 1, . . . , n. (Isto e, as colunas de A sao as coordenadas dosvetores φ(e1), . . . , φ(en) em relacao a base f1, f2, . . . , fn ⊂ V .

I Proposicao 3: Sejam U, V espacos vetoriais sobre um corpo K, e consideree1, . . . , en ⊂ U e h1, . . . , hn ⊂ V dois conjuntos de vetores com o mesmo numerode elementos. Entao, se 〈e1, . . . , en〉 coincide com U , existe somente uma aplicacaoψ : U → V tal que ψ(ei) = hi, para todo i entre 1 e n. Alem disso, se e1, . . . , en forLI — e neste caso e1, . . . , en forma uma base de U — entao a aplicacao ψ existe, ee um isomorfismo J

Demonstracao: Sejam ψ e ψ′ duas aplicacoess tais que ψ(ei) = ψ′(ei) = hi.Considere a aplicacao φ = ψ − ψ′, onde (ψ − ψ′)(ei) = ψ(ei) − ψ′(ei). Verifique queφ : U → V e linear, e dada a combinacao linear u = a1e1 + · · ·+ anen ∈ U , temos queφ(u) = 0. Portanto ψ(u) = ψ′(u),∀u ∈ U , logo ψ = ψ′. Agora, ja que cada elementode u ∈ U pode ser unicamente representado na forma u = a1e1 + · · ·+ anen, definimosψ : U → V por ψ(a1e1 + · · ·+ anen) = b1h1 + · · ·+ bnhn, onde bk ∈ K. Prove que talaplicacao e linear o

Exercıcio 32: Mostre que o conjunto Hom(U, V ) e um espaco vetorial

Mostraremos agora que a inversa de uma aplicacao linear e linear. Seja ξ ∈Hom(U, V )uma aplicacao bijetiva. Portanto existe ξ−1 : V → U . Mostremos entao que ξ−1 e li-near. Ja que ξ e bijetiva, existem vetores — unicamente definidos — u1, u2 ∈ U tais queV 3 vi = ξ(ui). Das expressoes ξ(u1+u2) = ξ(u1)+ξ(u2) e ξ(a u1) = a ξ(u1), aplicamosξ−1 em ambos os lados dessas duas expressoes, e portanto u1+u2 = ξ−1(ξ(u1)+ξ(u2)) ea u1 = ξ−1(a ξ(u1)). Portanto, ξ−1(v1)+ξ−1(v2) = ξ−1(v1+v2) e a ξ−1(v1) = ξ−1(a v1)

Exercıcio 33: Mostre que se φ e uma aplicacao linear, entao φn tambem e linear,para todo n ∈ N

I Proposicao 4: Qualquer K-espaco vetorial V n-dimensional e isomorfo a Kn J


Demonstracao: Seja e1, . . . , en uma base de V . Considere a aplicacao φ :V → Kn que associa a cada vetor v ∈ V , a n-upla (a1, . . . , an) de coordenadas dovetor v na base ei. Tal aplicacao e bijetiva. Agora, se v = a1e1 + · · · + anen eu = b1e1 + · · ·+ bnen, entao

u+ v = (a1 + b1)e1 + · · ·+ (an + bn)en

λv = (λa1)e1 + · · ·+ (λan)en

Portanto φ e isomorfismo o

I Teorema 6: Dois K-espacos vetoriais U, V de dimensao finita sao isomorfos se esomente se eles possuem a mesma dimensao J

Demonstracao: O isomorfismo φ : U → V leva a base de U na base de V , eportanto dim U = dim V . Reciprocamente, considere dim U = dim V . ConsidereBU = e1, . . . , en ⊂ U e BV = h1, . . . , hn ⊂ V respectivamente bases de U e V .A expressao φ(a1e1 + · · · + anen) = b1h1 + · · · + bnhn define uma aplicacao linearde U em V , de acordo com a penultima Proposicao. Alem disso φ e bijetiva, poisa1e1 + · · ·+ anen = φ−1(b1h1 + · · ·+ bnhn) o

Obs. 3: Na demonstracao acima tomamos o isomorfismo φ : U → V , e see1, . . . , en e base de U , entao φ(e1), . . . , φ(en) e base de V , portanto dim U = dimV . Reciprocamente, provamos no Teorema acima que qualquer K-espaco vetorial Vn-dimensional e isomorfo a Kn, e portanto esses espacos tambem sao isomorfos entresi, por relacao de equivalencia

1.5.4 Bandeiras

Um dos metodos usuais para se estudar conjuntos S que possuem estruturas algebricase por meio de sequencias de subconjuntos — ou cadeias crescentes — S0 ⊂ S1 ⊂ S2 ⊂· · · . No formalismo dos espacos vetoriais, uma sequencia estritamente crescente desubespacos (supondo dim V = n), correspondendo a filtracao2 V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vrem V e denominada bandeira. O numero r e denominado comprimento da bandeiraV0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vr. A bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vn e dita ser maximal se V0 = 0,⋃ni=1 Vi = V , e um subespaco nao pode ser inserido entre Vi e Vi+1: se Vi ⊂M ⊂ Vi+1,

entao ou Vi = M ou M = Vi+1. Quando r = n, entao dim Vi = i para todo i(1≤ i ≤ n), e a bandeira e denominada completa. Neste caso a bandeira e uma seriede composicao de V .

Denominamos assinatura da bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vn a sequencia dim V0, dimV1, . . . , dim Vn.

Uma bandeira de comprimento n pode ser construıda a partir de qualquer base doespaco V , definindo-se V0 = 0 e Vi = 〈e1, . . . , ei〉, para i ≥ 1. Tal bandeira e maximale tal construcao nos fornece todas as bandeiras maximais.

2Uma filtracao e um conjunto indexado Si de subobjetos de uma estrutura algebrica S, onde osındices i estao em um conjunto I totalmente ordenado, sujeito a condicao de que se i ≤ j entaoSi ⊆ Sj .


I Teorema 7: A dimensao do espaco vetorial V e igual a dimensao de qualquerbandeira maximal de V J

Demonstracao: Seja V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ · · · uma bandeira maximal em V . Para todoi ∈ N, tomamos um vetor ei ∈ Vi\Vi−1 e mostraremos que e1, . . . , ei formam umabase de Vi. Primeiramente, 〈e1, . . . , ei−1〉 ⊂ Vi−1 e ei /∈ Vi−1, portanto segue-se porinducao sobre i (ja que e1 6= 0), que e1, . . . , ei e LI para todo i.

Agora, por inducao em i mostramos que e1, . . . , ei gera Vi. Assuma que talafirmacao seja verdadeira para i − 1 e seja M = 〈e1, . . . , ei〉. Entao Vi−1 ⊂ M deacordo com a hipotese de inducao e Vi−1 6= M , ja que ei /∈ Vi−1. A definicao demaximalidade de uma bandeira implica que M = Vi.

Se V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . . ⊂ Vn = V e uma bandeira maximal finita em V , entao deacordo com o que ja foi mostrado, os vetores e1, . . . , en, onde ei ∈ Vi\Vi−1, formamuma base de V tal que dim V = n. Se V contem uma bandeira maximal infinita, entaoessa construcao fornece um numero arbitrariamente grande de conjuntos de vetores emV , e portanto V possui dimensao infinita o

Exercıcio 34: Prove que qualquer bandeira em um espaco V de dimensao finitapode ser estendida a bandeira maximal, e seu comprimento nao excede a (dim V )

Exercıcio 35: Mostre que em uma bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vr, verifica-se que0 ≤ dim V0 < dim V1 < · · · < dim Vr ≤ n

Uma bandeira de qualquer comprimento pode ser obtida a partir de uma bandeiracompleta, quando eliminamos alguns subespacos vetoriais apropriados. Reciproca-mente, qualquer bandeira pode ser completada, inserindo tambem subespacos vetoriaisapropriados. Em geral isso pode ser feita de maneiras alternativas.

Exercıcio 36: Complete a seguinte bandeira de R3:0 ⊂ R2 (plano-xy) ⊂ R3, de duas maneiras diferentes

1.6 Espaco Dual e Funcionais Lineares

Seja V um espaco vetorial sobre um corpo K. Uma aplicacao α : V −→ K e dita serum funcional linear se α(au+ bv) = aα(u) + α(v), para todos u, v ∈ V e a ∈ K.

Exercıcio 37: Mostre que de acordo com a definicao acima, para qualquer fun-cional linear α : V −→ K temos que α(0) = 0K

O conjunto de todos os funcionais lineares de V em K e denominado espaco dualde V e denotado V ∗. O conjunto V ∗ e um espaco vetorial sobre K, ao definirmos(aα+ β)(u) := aα(u) + β(u), ∀α, β ∈ V ∗, a ∈ K, u ∈ V .

Exercıcio 38: Prove que V ∗ e espaco vetorial sobre K

O vetor nulo de V ∗ e o funcional linear α que associa trivialmente todo vetor de Va zero: α(u) = 0K,∀u ∈ V .

1.6. ESPACO DUAL E FUNCIONAIS LINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 19

B Exemplo 6: Sejam a1, . . . , an ∈ K escalares. Definimos φ : Kn → K a aplicacaoφ(x1, . . . , xn) = a1x1 + · · ·+ anxn. A matriz de φ e dada por (a1, . . . , an) em relacao abase usual de Kn e a base 1 de K. Notamos que todas as funcoes lineares sobre Knsao dessa forma, e se x = x1e1+ · · ·+xnen ∈ Kn, entao φ(x) = x1φ(e1)+ · · ·+xnφ(en).Denote φ(ei) = ai C

Exercıcio 39: Defina um funcional α ∈ (C2)∗ tal que α(1, 1) = 0. Defina um

funcional α em (C3)∗ tal que α(1, 1, 1) = 0 e α(1, i, 3) = 0

Exercıcio 40: Considere um funcional linear sobre um C-espaco vetorial. Talfuncional pode assumir somente valores reais?

Exercıcio 41: Seja C[a, b] o espaco das funcoes contınuas, f : [a, b]→ R. Defini-

mos φ(f) =∫ baf(t)dt. Prove que φ e um funcional linear

O seguinte teorema sera implicitamente usado varias vezes no que se segue.

I Teorema 8: Seja um espaco vetorial V sobre um corpo K. Se um vetor v ∈ V tema propriedade α(v) = 0 para todo α ∈ V ∗, entao v = 0 J

Demonstracao: Seja B uma base de V . Para cada elemento u ∈ B podemosassociar um funcional linear αu, definido como

αu(v) = vu, ∀v ∈ V (1.3)

onde, como todo v ∈ V pode ser escrito como uma combinacao linear de elementosde B, podemos sempre escrever v = vu u + v′, onde v′ e uma combinacao linear deelementos de B e vu ∈ K. Alem disso, vu = 0, caso u nao faca parte na decomposicaode v em uma soma finita de elementos de B). Seja entao v ∈ V um vetor como noenunciado do Teorema. Se α(v) = 0 para todo α ∈ V ∗, vale obviamente que αu(v) = 0,para todo u ∈ B. Isso implica que v = 0 o

Exercıcio 42: Mostre que, para cada u ∈ B, αu : V → K dada pela Eq.(1.3) e

um funcional linear

Exercıcio 43: Considere o espaco M(n, K), n ∈ N, das matrizes n × n sobre ocorpo K. Denotando as componentes de A ∈ M(n,K) por Aij, defina o traco damatriz como sendo o operador

Tr : M(n,K) → K

A 7→n∑i=1

Aii = A11 +A22 + · · ·+Ann

1. Mostre que Tr e um funcional linear sobre M(n,K).

2. Dado n ∈ N e dadas matrizes A,B ∈ M(n,K), mostre que Tr(AB) = Tr(BA).


3. Mostre que nao existem matrizes A,B ∈ M(n,K) tais que AB − BA = In×n,n ∈ N. Exiba operadores A,B ∈ Hom(V, V ) tais que AB − BA = IV onde V eum espaco vetorial de dimensao infinita.

4. Ainda em V como acima, suponha que AB − BA = idV . Mostre que AmB −BAm = mAm−1, m ∈ N.

I Proposicao 5: Se dim V = n, entao dim V ∗ = n e V ' V ∗ J

Demonstracao: Seja e1, . . . , en uma base de V . Para cada i ∈ 1, . . . , n, existeum unico ei ∈ V ∗ tal que ei(ej) = δij , para j ∈ 1, . . . , n. O conjunto e1, . . . , en sao

LI. De fato, se α = α1e1 + · · · + αne

n, entao α(ei) =∑ni=1 αje

j(ei) = αiei(ei) = αi.

Suponhamos que α = 0, ou seja, dada uma combinacao linear nula dos vetores ej,isso implica que αi = 0, para i ∈ 1, . . . , n. Alem disso, o conjunto e1, . . . , en formauma base para V ∗. Com efeito, mostramos que ei e linearmente independente e quetambem gera V ∗. Se α ∈ V ∗, entao α(ei) = αi, e α = α1e

1 + · · ·+ αnen. A base ej

e dita ser a base dual de ei o

Corolario 1: Utilizando a notacao acima, α =∑ni=1 α(ei)e

i e v =∑ni=1 e

i(v)ei,para cada α ∈ V ∗ e v ∈ V . De fato, seja α =

∑ni=1 αie

i. As coordenadas αi sao unicas,dadas por α(ei) = αi. Analogamente, se v =

∑ni=1 biei, entao ej(v) = bje

j(ej) = bj

Obs. 4: O isomorfismo (entre espacos vetoriais) V ' V ∗ nao e canonico ounatural, no sentido que tal isomorfismo depende da escolha de bases. Se mudamos debase em V o isomorfismo tambem e modificado

B Exemplo 7: Suponha V tal que dim V = 1. Para qualquer e1 ∈ V \0, o conjuntoe1 e base de V . Considere a base dual e1 ⊂ V ∗, que satisfaz por definicao a relacaoe1(e1) = 1. Dado a ∈ K\0, tome outra base a e1 de V , portanto a−1 e1 ⊂ V ∗ ea base dual associada. Mas as aplicacoes lineares φ : e1 7→ e1 e φa : ae1 7→ a−1e1 saodiferentes no caso onde a2 6= 1 C

A todo espaco vetorial V esta associado o espaco dual V ∗ de V . Ja vimos queesse espaco e o conjunto dos funcionais lineares α : V → K, tambem denominadoscovetores. Alem disso os covetores ei, (i ∈ 1, . . . , n) foram definidos como

ei(ej) = δij =

1, i = j,0, i 6= j.

Como demonstrado na Proposicao anterior, segue-se que os covetores ei formamuma base para V ∗. As coordenadas de um covetor arbitrario α nessa base sao dadaspelo valor de α na base ei de V . De fato, dado v =

∑ni=1 v

iei, entao α(v) =α(∑ni=1 v

iei) =∑ni=1 v

iα(ei) =∑ni=1 v

iαi.

1.6. ESPACO DUAL E FUNCIONAIS LINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 21

Exercıcio 44: Seja e1, e2, e3 uma base de V = R3 dada por e1 = (1, 0, 1)ᵀ,e2 = (1, 1,−1)ᵀ e e3 = (0, 1, 2)ᵀ. Seja α ∈ V ∗ o covetor dado por α(e1) = 4, α(e2) = 1,α(e3) = 1. Determine α(v) para v = (a, b, c)ᵀ e expresse α em termos da base canonica

de R3

Como V ∗ e um espaco vetorial, e natural nos perguntarmos se podemos definirtambem um espaco dual ao espaco V ∗. Isso e possıvel, e para tal definimos os funcionaislineares

τ : V −→ (V ∗)∗

v 7→ τv : V ∗ −→ Kα 7→ τv(α) := α(v) (1.4)

Nesse sentido, temos que τv(α) = α(v). Obviamente τv : V ∗ −→ R. A soma dessesfuncionais lineares e dada por τu + τv = τv+u e a multiplicacao por um escalar poraτv = τ(av). Nao e difıcil vermos que dim (V ∗)∗ = dim V . O resultado fundamentalaqui e:

I Teorema 9: Os espacos vetoriais V e (V ∗)∗ sao (canonicamente) isomorfos J

Demonstracao: Pela definicao, dados a ∈ K, u, v ∈ V e α, β ∈ V ∗, entaoτ(au+v)(α) = α(au + v) = aα(u) + β(v) = aτu(α) + τv(α). Portanto τu e elementode (V ∗)∗ e e linear. Como dim V = dim V ∗ = dim (V ∗)∗, entao τ e isomorfismode V em (V ∗)∗ oA definicao na Eq.(1.4) τv(α) = α(v) e a essencia do isomorfismocanonico, ja que α(v) nao depende de escolha de bases, ja que e um escalar, e portantoinvariante.

Obs. 5: Mais geralmente, dados dois espacos vetoriais V e W , e dada umaaplicacao linear φ : V → W , temos uma aplicacao dual associada φ∗ : W ∗ → V ∗

definida por φ∗(α)(v) = α(φ(v)), para cada α ∈W ∗ e v ∈ V . Alem disso, temos aindaa aplicacao bidual φ∗∗ : V ∗∗ →W ∗∗. O diagrama

VτV - V ∗∗

W

φ

? τW- W ∗∗

φ∗∗

?

comuta. De fato, denotando por τV e τW respectivamente a aplicacao (1.4) restrita aV e a W , e dados v ∈ V e α ∈W ∗, segue-se que

((φ∗∗ τV )(v))(α) = (φ∗∗(τV (v)))(α) = (τv)(φ∗(α))

= (φ∗(α))(v) = α(φ(v)) = (τW (φ(v)))(α)

= ((τW φ)(v))(α)

Exercıcio 45: Seja dim V <∞ e φ ∈ (V ∗)∗. Mostre que existe um unico v ∈ Vtal que φ(α) = α(v), ∀α ∈ V ∗


Obs. 6: E bem sabido que todos os espacos vetoriais com a mesma dimensao saoisomorfos, mas o resultado aqui e mais forte: existe um isomorfismo natural (canonico)entre V e (V ∗)∗ dado por τ . Ja vimos que para um espaco vetorial V e o seu dual V ∗

nao existe um isomorfismo natural (no sentido discutido acima). Precisamos de umaestrutura a mais para definirmos o isomorfismo entre estes espacos, e essa estruturaadicional e chamada correlacao. Para tanto precisamos munir V com uma metricaaqui a denominacao para uma forma bilinear simetrica nao-degenerada.

Obs. 7: Com o isomorfismo canonico V ' V ∗∗, muitas vezes se identificalegitimamente o espaco vetorial bidual V ∗∗ como sendo o proprio espaco vetorial V , apartir da identificacao v 7→ τv. Segue-se que a sequencia de espacos

V → V ∗ → V ∗∗ → V ∗∗∗ → V ∗∗∗∗ → · · ·

e essencialmente dada por V → V ∗ → V ∗∗, de maneira que fundamentalmente seprecisamos dos espacos V, V ∗ e V ∗∗ para fins praticos.

Considere agora um subespaco U ⊂ V , definimos o anulador (ou aniquilador) de U :

U = α ∈ V ∗ |α(v) = 0 ,∀v ∈ U (1.5)

Exercıcio 46: Mostre que U e subespaco de V ∗. Se U = 0, entao U = V ∗; se

U = V , entao U = 0 ⊂ V ∗ I Lema 1: dim U = dim V− dim U J

Demonstracao: Seja e1, . . . , en uma base de V tal que U = 〈e1, . . . , ek〉. See1, . . . , en e uma base de V ∗, entao U = 〈ek+1, . . . , en〉 o

Ja que sabemos identificar os espacos V e (V ∗)∗, o aniquilador de um subespaco Z ∈ V ∗esta em V . Por definicao, Z = τv ∈ (V ∗)∗ | τv(α) = α(v) = 0 ,∀α ∈ Z.

I Teorema 10:˚U ' U , para todo subespaco U ⊂ V J

Demonstracao:˚U = 〈τe1 , . . . , τek〉 ' 〈e1, . . . , ek〉 = U . O isomorfismo

˚U e canonico

o

Exercıcio 47: Dado um K-espaco vetorial V , mostre que se U ⊂ V , entao V ⊂ U

Exercıcio 48: Sejam U1 e U2 subespacos de um K-espaco vetorial V . Mostre que(U1 ∩ U2) = U1 + U2 (aqui definimos a soma U1 + U2 = u1 + u2 | u1 ∈ U1, u2 ∈ U2.

1.7 Nucleo e Imagem

Considere φ ∈ Hom(U, V ). O conjunto ker φ = u ∈ U |φ(u) = 0 ⊂ U e denomi-nado nucleo de φ, e o conjunto Im φ = v ∈ V | ∃u ∈ U, φ(u) = v ⊂ V e denominadoimagem de φ. A dimensao da imagem de uma aplicacao e denominada posto destaaplicacao.

1.7. NUCLEO E IMAGEM — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 23

Exercıcio 49: Seja A ∈ End(R3) definida por: A(x1, x2, x3) = (x1−x2+2x3, 2x1+x2,−x1−2x2+2x3). Verifique que A e uma transformacao linear e determine a imagem

e o posto de A

Exercıcio 50: Mostre que ker φ e Im φ sao respectivamente subespacos vetoriaisde U e V

I Teorema 11: φ ∈ Hom(U, V ) e injetiva se e somente se ker φ = 0 J

Demonstracao: Suponha que ker φ = 0. Entao φ(u1) = φ(u2) ⇒ φ(u1 − u2) =φ(u1)− φ(u2) = 0 e u1 − u2 ∈ ker φ, o que implica que u1 − u2 = 0, ou seja, u1 = u2.Reciprocamente, suponha que φ seja uma transformacao linear injetiva e, se u ∈ kerφ, entao φ(u) = 0 = φ(0)⇒ u = 0, logo ker φ = 0 o

Exercıcio 51: Mostre que φ ∈ Hom(U, V ) e injetiva se, e somente se, φ leva

vetores LI em U em vetores LI de V

Obs. 8: Vimos que um homomorfismo φ : U → V e uma aplicacao que preservaestruturas algebricas, no sentido de que ∀u, v ∈ U , a ∈ K, φ(au + v) = aφ(u) + φ(v).Um homomorfismo que possui o nucleo trivial — e portanto injetivo — e denominadomonomorfismo (ou imersao). No caso em que φ(U) = V , e portanto φ e sobrejetivo, φ edenominado um epimorfismo. Ainda, denominamos por endomorfismo todo elementoφ ∈ Hom(V, V )= End(V ), e por automorfismo um isomorfismo φ : V → V (isomorfismodo mesmo espaco)

Exercıcio 52: No espaco Kn+1[x] dos polinomios na variavel x, considere asaplicacoes φ, ψ ∈ End(V ) definidas por

φ(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = a1 + a2x+ · · ·+ anx

n−1

ψ(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = a0x+ a1x

2 + · · ·+ anxn+1

Mostre que φ ψ = I e ψ φ 6= I. A aplicacao φ possui inversa?

I Teorema 12: (Teorema do Nucleo e da Imagem) Seja U um espaco vetorial dedimensao finita e φ ∈ Hom(U, V ). Entao ker φ e Im φ tem dimensao finita e

dim kerφ + dim Imφ = dim U

J

Demonstracao: ker φ tem dimensao finita, ja que ker φ e um subespaco veto-rial de U . Tome entao uma base e1, . . . , em de ker φ e estenda essa base a umabase e1, . . . , em, em+1, . . . , em+n para todo o espaco U . Mostraremos que o conjuntoφ(em+1), . . . , φ(em+n) forma uma base de Im φ. Qualquer vetor em Im φ possui aforma

φ

(m+n∑i=1

aiei

)=

m+n∑i=m+1

aiφ(ei), (1.6)


pois∑mj=1 ajφ(ej) = 0, ja que e1, . . . , em ⊂ ker φ, o que significa que φ(e1) = · · · =

· · · = φ(em) = 0. Portanto o conjunto φ(em+1), . . . , φ(em+n) gera a Im φ. Seja agora

a combinacao linear nula∑m+ni=m+1 aiφ(ei) = 0. Entao, φ

(∑m+ni=m+1 aiei

)= 0, o que

significa que∑m+ni=m+1 aiei ∈ ker φ, isto e, a combinacao linear

∑m+ni=m+1 aiei pode ser ex-

pressa como∑mj=1 a

′jej , pois e1, . . . , em e base de ker φ. Mas φ

(∑m+ni=m+1 aiei

)= 0 so

e possıvel se todos os coeficientes ai, a′i forem nulos, pois e1, . . . , em, em+1, . . . , em+n

e base de U . Portanto o conjunto de vetores φ(em+1), . . . , φ(em+n) e, pois em par-ticular os coeficientes ai sao nulos o

Corolario 2: Temos que dim U = dim Im φ se e somente se dim ker φ = 0, istoe, ker φ = 0. Neste caso, φ e uma aplicacao injetiva e tambem sobrejetiva, ou seja,φ e isomorfismo

Exercıcio 53: Para cada operador linear abaixo, encontre bases para o nucleo ea imagem, verifique o resultado do Teorema do Nucleo e da Imagem e determine se Te bijetiva.

1. T : R3 → R2, T (a, b, c) = (a− b, 2c).

2. T : R2 → R3, T (a, b) = (a+ b, 0, 2a− b).

3. T : P2(R)→ P3(R), T (p(t)) = tp(t) + p′(t).

4. T : M(2,R)→ R, T (M) = tr M .

Exercıcio 54: Seja P (R) o conjunto dos polinomios reais. Mostre que T : P (R)→P (R) dada por T (p) =

∫ ᵀ0p(s)ds e injetiva, mas nao e sobrejetiva.

Exercıcio 55: De exemplos de transformacoes lineares T1, T2 : V → W tais queker T1 = ker T2 e Im T1 = Im T2, mas T1 6= T2.

Exercıcio 56: Sejam V e W espacos vetoriais de dimensao finita e T : V → Wlinear. Prove que se dim V < dim W entao T nao pode ser sobrejetiva. Prove que sedim V > dim W entao T nao pode ser injetiva

Exercıcio 57: Seja T : R3 → R. Descreva geometricamente as possibilidadespara o nucleo de T

Um subespaco de dimensao n − 1 de um K-espaco vetorial V de dimensao n edenominado hiperplano — ou subespaco de codimensao 1. Se 0 6= α ∈ V ∗ e se dimV = n, entao dim Im α = 1 e dim ker α = n − 1, pois Im α = K, e dim K = 1. OTeorema do Nucleo e da Imagem nos diz que dim ker α = n− 1.

Obs. 9: Quando a dimensao de V e infinita, um hiperplano e um subespacoU ⊂ V tal que U 6= V , e se W e um subespaco tal que U ⊆W ⊆ V , entao W = V ouW = U , o que caracteriza U como um subespaco proprio maximal de V

1.8. SOMA DIRETA — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 25

I Teorema 13: Se α ∈ V ∗\0, entao (ker α) e hiperplano em V . Reciprocamente,todo hiperplano de V e o nucleo de um funcional α ∈ V ∗ (α nao e unico). J

Demonstracao: Dado α ∈ V ∗\0, existe v ∈ V tal que α(v) 6= 0. Seja u ∈ V ,definamos a = α(u)/α(v). Entao w = u − av ∈ ker α, pois α(w) = α(u − av) =α(u) − aα(v) = 0. Portanto u = w + av ∈ (ker α + 〈v〉), e (ker α) e um hiperplano,ja que u e um elemento arbitrario de V . Reciprocamente, seja (ker α) um hiperplanoem V , e seja v ∈ V \(ker α). Entao, ja que (ker α) e subespaco proprio maximal de V ,temos que V = ker α + 〈v〉, e cada u ∈ V tem a representacao u = w + av, a ∈ K ew ∈ (ker α). Se tivessemos u = w′+a′v, a′ ∈ K e w′ ∈ ker α, entao (a−a′)v = w′−w.Se a− a′ 6= 0, temos v ∈ ker α, o que nao e possıvel. Portanto a = a′ e w = w′ o

Exercıcio 58: Seja V = M(n,K). Prove que End(V ) ' (End(V ))∗ (Dica: Proveque para qualquer α ∈ V ∗ existe uma unica matriz A ∈ V com a propriedade de queα(X) = Tr(AX), ∀X ∈ V ).

1.8 Soma Direta

Considere um conjunto Vini=1 de subespacos vetoriais em um K-espaco vetorial V .Dizemos que V e soma direta de V1, . . . , Vn se todo v ∈ V puder ser representado daforma v =

∑ni=1 vi, onde vi ∈ Vi e vi /∈ Vj , para cada j 6= i. Se isso ocorrer, escrevemos

V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vn = ⊕ni=1Vi

B Exemplo 8: Considere e1, . . . , en uma base de V e seja Vi = 〈ei〉. EntaoV = ⊕ni=1Vi. E claro que quando V = ⊕ni=1Vi segue-se que V =

∑ni=1 Vi. A recıproca

nao e verdadeira. C

Seja V um espaco vetorial e U,W subespacos de V . Definimos a soma de U e Wpor

U +W = u+ w ∈ V |u ∈ U,w ∈W

Se U ∩W = 0, denotamos U +W por U ⊕W . Este conjunto chama-se soma diretade U e W .

Exercıcio 59: Mostre que U +W e subespaco de V . Mostre que se V = U ∩W ,entao todo elemento de V se escreve de maneira unica como soma de um elementode U com outro elemento de W . Mostre que se B1 e base de U e B2 e base de W eV = U + W e U ∩W 6= 0, entao V = 〈B1 ∪ B2〉, mas B1 ∪ B2 nao e base de V .Mostre que se B1 e base de U e B2 e base de W e V = U +W e U ∩W = 0, entao

V = 〈B1 ∪B2〉, e B1 ∪B2 e base de V

Exercıcio 60: Verifique, em cada um dos itens abaixo, se V = U ⊕W :

1. V = R2 e U,W sao retas distintas que passam pela origem.

2. V = R3 e U,W sao planos distintos que passam pela origem.


3. V = M(2,R), U =

(a 00 b

) ∣∣∣∣ a, b ∈ R

, W =

(0 cd 0

) ∣∣∣∣ c, d ∈ R

.

4. V = M(n,R) e U,W denotam, respectivamente, os espacos das matrizes simetricase anti-simetricas.

5. V = C(R,R) e o espaco das funcoes reais e U,W sao respectivamente o espacodas funcoes pares e ımpares.

Mais geralmente, se tivermos uma colecao finita de espacos vetoriais V1, . . . , Vn sobreum mesmo corpo K procedemos analogamente, primeiro definindo o grupo abelianoV1 ⊕ · · · ⊕ Vn e depois definindo a multiplicacao por escalares por a(v1 ⊕ · · · ⊕ vn) :=(av1)⊕ · · ·⊕ (avn), com a ∈ K e v1⊕ · · ·⊕ vn ∈ V1⊕ · · ·⊕Vn. O espaco vetorial (sobreK) assim definido e denotado por V1 ⊕K · · · ⊕K Vn.

Exercıcio 61: Mostre que dados vi ∈ Vi, as aplicacoes

φ : (V1 ⊕ V2)⊕ V3 → V1 ⊕ V2 ⊕ V3(v1 + v2) + v3 7→ φ((v1 + v2) + v3) = v1 + v2 + v3

ψ : V1 ⊕ (V2 ⊕ V3) → V1 ⊕ V2 ⊕ V3v1 + (v2 + v3) 7→ ψ(v1 + (v2 + v3)) = v1 + v2 + v3

sao isomorfismos (canonicos)

Exercıcio 62: Sejam V1 e V2 subespacos vetoriais de V , com V1 ∩ V2 = 0.Defina a aplicacao linear

φ : V1 × V2 → V1 ⊕ V2(v1, v2) 7→ φ(v1, v2) = v1 + v2, v1 ∈ V1, v2 ∈ V2

Prove que φ e um isomorfismo.

Agora, se V1 ∩ V2 6= 0, defina a aplicacao linear

φ : V1 × V2 → V1 + V2

(v1, v2) 7→ v1 + v2, v1 ∈ V1, v2 ∈ V2

φ e sobrejetiva, o que implica que dim (Im φ) = dim (V1 + V2). Alem disso, kerφ = (v,−v) | v ∈ V1 ∩ V2. A aplicacao

ψ : V1 ∩ V2 → kerφ

v 7→ (v,−v)

1.8. SOMA DIRETA — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 27

e um isomorfismo (Prove!). Portanto,

dimV1 + dimV2 = dim(V1 × V2)

= dim kerφ+ dim Im(φ),

= dim kerφ+ dim(V1 + V2)

= dim(V1 ∩ V2) + dim(V1 + V2)

Exercıcio 63: Dados U1 e U2 subespacos vetoriais de U tais que U1 ∩ U2 = 0,mostre que B1 ∪B2 e base de U1 ⊕ U2, onde B1 e base de U1 e B2 e base de U2.

I Teorema 14: Sejam Vini=1 ⊂ V subespacos vetoriais de um K-espaco vetorial V .Entao V = ⊕ni=1Vi se e somente se valer qualquer uma das seguintes condicoes:a) V =

∑ni=1 Vi e Vj ∩ (

∑i 6=j Vi) = 0, ∀j = 1, . . . , n.

b) V =∑ni=1 Vi e

∑ni=1 dim Vi = dim V (aqui assumimos que dim V = n <∞ ) J

Demonstracao:

a) A unicidade da representacao de qualquer vetor v ∈ V na forma∑ni=1 vi ∈ V

e equivalente a unicidade do vetor 0 ∈ V . Com efeito, se∑ni=1 vi =

∑ni=1 v

′i, entao

0 =∑ni=1(vi − v′i) e vice-versa. Se existir uma representacao nao-trivial de 0 =∑n

i=1(vi − v′i), na qual, digamos, vj − v′j 6= 0, entao vj − v′j ∈∑i 6=j Vj ∩ (

∑i6=j Vi), e

portanto a condicao a) nao e mais valida.

b) Se V = ⊕ni=1Vi, entao∑ni=1 Vi = V e

∑ni=1 dim Vi ≥ dim V , pois ∪ni=1Vi = V e

portanto contem uma base de V . Pelo Teorema anterior — que diz que dim V1 + dimV2 = dim (V1 ∩ V2) + dim (V1 + V2) — aplicado aos subespacos Vj e

∑i 6=j Vi, temos

dim

Vj ∩∑i 6=j

Vi

+ dimV = dimVj + dim

∑i 6=j

Vi

Mas a assercao a) nos diz que dim

(Vj ∩

(∑i 6=j Vi

))= 0. Ademais, se

∑ni=1 Vi =

⊕ni=1Vi, entao∑i6=j Vi = ⊕i 6=jVi, e, por inducao, provamos que

dim

∑i 6=j

Vi

=∑i 6=j

dimVi.

Portanto,∑ni=1 dim Vi = dim V .

Reciprocamente, se∑ni=1 dim Vi = dim V , entao a uniao das bases de todos os

Vi consiste de (dim V ) elementos, e gera todo o K-espaco vetorial V , sendo portantouma base de V . Com efeito, uma representacao nao-trivial do vetor 0 ∈ V na forma∑ni=1 vi ∈ V forneceria uma combinacao nula nao-trivial de elementos da base, o que

seria impossıvel o


Dizemos que uma aplicacao linear P : V → V e um operador de projecao se P 2 =P P = P . Podemos associar n operadores de projecao Pini=1 a soma direta ⊕ni=1Vida seguinte maneira: para quaisquer vj ∈ Vj ,

Pi

n∑j=1

vj

= vi

As aplicacoes Pi estao bem definidas, ja que v ∈ V pode ser unicamente representadopor v =

∑nj=1 vj , onde vj ∈ Vj . A linearidade de Pi e a propriedade P 2

i = Pi seguemdiretamente da definicao. Evidentemente, Vi = Im Pi.

Exercıcio 64: a) Verifique que PiPj = O, se i 6= j.

b) Prove que∑ni=1 Pi = I

Exercıcio 65: Quando a soma de dois operadores de projecao e novamente umoperador de projecao?

Exercıcio 66: Mostre que dado φ ∈ End(V ), se ker φ = ker (φ2) podemos escreverV = ker φ ⊕ Im φ. A recıproca e verdadeira? (Mostre, se for verdadeira, ou de um

contra-exemplo)

Exercıcio 67: Dado φ ∈ Hom(U, V ) tal que φ2(1 − φ) = O, φ e idempotente?

Tal condicao e equivalente a φ(1− φ)2 = O?

Exercıcio 68: Se ker φ = Im φ, prove que a aplicacao φ ∈ End(V ) e uma projecao.

I Teorema 15: Sejam P1, . . . , Pn : V → V um conjunto finito de operadores deprojecao satisfazendo as condicoes PiPj = O, se i 6= j, e

∑ni=1 Pi = I. Seja Vi = Im

Pi. Entao, V = ⊕ni=1Vi. J

Demonstracao: Aplicando-se o operador I =∑ni=1 Pi a cada vetor v ∈ V , obtemos

v =∑ni=1 Pi(v), onde Pi(v) ∈ Vi. Portanto V =

∑ni=1 Vi. Para mostrar que essa soma

e uma soma direta, pelo criterio a) do Teorema anterior, considere v ∈ Vj ∩(∑

i6=j Vi

).

A definicao dos espacos Vi = Im Pi implica que existem vetores v1, . . . , vn tais que

v = Pj(vj), pois em particular se v ∈ Vj ∩(∑

i 6=j Vi

), isso significa que v ∈ Vj = Im Pj

e v ∈∑i6=j Im Pi(vi). Portanto,

v = Pj(vj) =∑i 6=j

Pi(vi).

Aplicando Pj a igualdade acima, e usando que P 2j = Pj , PiPj = O, i 6= j, obtemos

PjPj(vj) = Pj(vj) =∑i 6=j

PjPi(vi) = 0. (1.7)

1.9. ESPACOS QUOCIENTES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 29

Provamos que dado um vetor v ∈ Vj∩(∑

i6=j Vi

)arbitrario, entao v = 0, o que significa

que Vj ∩(∑

i 6=j Vi

)= 0, e portanto pelo criterio a) do Teorema anterior, segue-se

que ∩ni=1Vi = 0 o

Obs. 10: Se dim V = n <∞, entao para qualquer subespaco V1 ⊂ V , existe umsubespaco V2 ⊂ V tal que V = V1⊕V2. Dizemos que V2 e o complemento direto de V1.

Podemos definir somas diretas de operadores lineares, considerando U = ⊕ni=1Ui eV = ⊕ni=1Vi e φ : U → V uma aplicacao linear tal que φ(Ui) = Vi. Denotamos porφi : Ui → Vi a aplicacao linear induzida, e escrevemos φ = ⊕ni=1φi. Escolhendo basesde U e V como a respectiva uniao de bases de Ui e Vi, a matriz de φ e a uniao deblocos diagonais.

Exercıcio 69: Considere V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vn uma bandeira em um K-espacovetorial de dimensao finita, onde mi = dim Vi. Prove que dada uma outra bandeiraV ′1 ⊂ V ′2 ⊂ · · · ⊂ V ′n tal que m′i = dim V ′i , entao existe ζ ∈ Aut(V ) que leva uma

bandeira na outra se, e somente se, mi = m′i, para todos i = 1, . . . , n

I Teorema 16: Seja P ∈ End(V ). Se P 2 = P , entao V = ker P ⊕ Im P J

Demonstracao: Para todo v ∈ V , podemos escrever v = P (v) + (v − P (v)). Umcalculo imediato mostra que (v − P (v)) ∈ ker P , e portanto V = ker P + Im P . Seu ∈ ker P ∩ Im P , temos que P (u) = 0 e P (u) = u, pois para todo u ∈ Im(P ), temosque u = P (w), para algum w ∈ V , o que significa que P (u) = P (P (w)) = P (w) = u.Portanto u = 0 e V = ker P ⊕ Im P o

Exercıcio 70: Considere uma involucao ω ∈ End(V ) (isto e, ω2 = I). Defina osconjuntos V1 = v ∈ V |ω(v) = v e V2 = v ∈ V |ω(v) = −v. Mostre que V1 e V2sao subespacos vetoriais de V e que V = V1 ⊕ V2. Mostre que para todo v = v1 + v2,onde va ∈ Va (a = 1, 2), temos que ω(v) = v1 − v2, e que P = 1

2 (ω + I) e a projecao

sobre V1 paralelamente a V2

Exercıcio 71: Considere Kn[x] o conjunto dos polinomios de grau menor igualque n, sobre um corpo K. Mostre que o conjunto de todos os polinomios pares KEn [x](p(x) = p(−x)) e o conjunto de todos os polinomios ımpares KOn [x] (p(x) = −p(−x))

sao subespacos vetoriais. Mostre tambem que Kn[x] = KEn [x]⊕KOn [x]

1.9 Espacos Quocientes

Considere um subespaco vetorial U ⊆ V . Existem geralmente varios subespacosW ⊂ V tais que W ∩ U = 0 e W + U = V . Em outras palavras, U pode terdiversos complementos, e nao ha uma maneira natural de escolher qualquer um dessescomplementos. Contudo, existe uma construcao natural que associa a U e V um novoespaco que, heuristicamente, desempenha o papel de complemento de U em relacaoa V . A vantagem formal que essa construcao possui sobre qualquer outra que possa


descrever um complemento arbitrario de U e que ela tem um carater natural, e emparticular nao depende da escolha de uma base.

Suponha por exemplo V = R2 e U = (x, y) | y = 0 o eixo-x. Cada complementode U e uma linha — que nao seja o eixo-x — atraves da origem. Observando quecada complemento possui a propriedade de que a unica intersecao com o eixo-x constade um unico ponto, a ideia que paira sobre espacos quocientes neste caso e podermosconstruir todo o R2 a partir de linhas horizontais.

Voltando agora ao caso mais geral, se v ∈ V , o conjunto v+U que consiste de todosos vetores v + u, u ∈ U , e denominado classe lateral de U . No exemplo do paragrafoanterior, as classes laterais sao linhas horizontais, e podemos ter v1 + U = v2 + U ,mesmo que v1 6= v2.

Dado um subespaco vetorial U ⊆ V , as translacoes de U por um vetor v ∈ Vcorrespondem ao conjunto

v + U = v + u |u ∈ U.

Tais translacoes nao sao, necessariamente, subespacos vetoriais de V, e sao denominadassubvariedades lineares.

ñ Definicao 1: Dados U ⊆ V um subespaco vetorial e v1, v2 ∈ V , dizemos que v1 econgruente a v2 modulo U se v1−v2 ∈ U e escrevemos v1 ≡ v2 (mod U) ou v1 ≡ v2 (U)

ou v1U≡ v2. A congruencia modulo U e uma relacao de equivalencia sobre V . (Mostre!)

3

Obs. 11: Se v ∈ V , a classe lateral de v e dada por v = w ∈ V | v − w ∈ U =v + w |w ∈ U. Por essa razao indicamos v = v + U | v ∈ V .

ñ Definicao 2: A colecao de todas as classes laterais de U sera indicada por V/U .Dados v1, v2 ∈ V e a ∈ K, definimos a soma e multiplicacao por escalar como:a) v1 + v2 = v1 + v2b) av1 = av1 3

A fim de verificarmos que a definicao esta correta, devemos mostrar que a soma emultiplicacao por escalar independem dos representantes, e dependem exclusivamentedas classes laterais. Suponha que v1(= v1 + U) = w1(= w1 + U). Pela definicao,v1 − w1 = u1 ∈ U e v2 − w2 = u2 ∈ U . Portanto,

v1 + v2 = (v1 + v2) + U = (w1 + w2) + u1 + u2 + U

= (w1 + w2) + U

= w1 + w2

Agora, como v1 − w1 = u1 ∈ U , entao av1 − aw1 = au1 ∈ U e portanto

av1 = av1 + U = aw1 + au1 + U

= aw1 + U

= aw1


Isso mostra que a soma e multiplicacao por escalar dependem somente das classeslaterais e estao bem definidas. O espaco vetorial V/U assim obtido e denominadoespaco quociente de V por U .

Obs. 12: O vetor nulo 0 de V/U e a classe de equivalencia que consiste de0 = 0 + U = U .

Exercıcio 72: Mostre que o conjunto V/U e um espaco vetorial sobre o corpo Kcom as operacoes definidas acima

Exercıcio 73: Prove que se v1 + W, . . . , vn + W sao LI em V/W , entao

v1, . . . , vn sao LI em V .

Exercıcio 74: Seja U um subespaco de V . Suponha que v1, . . . , vn ⊂ Vsejam LI e gerem um subespaco W tal que U ∩ W = 0. Prove que o conjunto

v1 +W, . . . , vn +W e LI em V/W .

A transformacao

π : V → V/U

v 7→ π(v) = v = v + U

e denominada projecao canonica.

Podemos provar que π ∈ Hom(V, V/U) e que ker π = U e Im π = V/U . De fato, dadosu, v ∈ V e a ∈ K, temos que π(au+v) = au+v+U = a(u+U)+v+U = aπ(u)+π(v).Alem disso, ker π = v ∈ V |π(v) = 0 = 0 + U = U, e portanto v ∈ U . Podemos daıdemonstrar o

I Proposicao 6: Se V tem dimensao finita, entao (dim V/U) = dim V − dim U J

Demonstracao: Em relacao a aplicacao canonica π : V → V/U , ja que ker π = Ue Im π = V/U , pelo Teorema do Nucleo e da Imagem, temos que dim ker π + dim Imπ = dim V , e portanto dim U + dim V/U = dim V . Portanto,

(dimV/U) = dimV − dimU

o

Obs. 13: O numero (dim V/U) e geralmente denominado codimensao do su-bespaco vetorial U em V , e denotado por codim U ou codimV U

ñ Definicao 3: Sejam W,V dois K-espacos vetoriais. Dado φ ∈ Hom(W,V ), acoimagem e o conucleo de φ sao definidos por

coim φ = W/ker φ, coker φ = V/Im φ

A coimagem e o conucleo estao bem definidos, no sentido de que Im φ e subespaco deV , enquanto ker φ e subespaco vetorial de W .


Definimos tambem o ındice de φ como sendo o numero

ind φ = dim coker φ− dim ker φ

3

No caso onde V e W possuem dimensao finita, obtemos do Teorema acima, que

ind φ = (dim V − dim Im φ)− (dim W − dim Im φ)

= dim V − dim W

Nesse caso, o ındice de um operador φ ∈ Hom(W,V ) somente depende dos espacos Ve W .

Exercıcio 75: Prove que ind φ = 0, ∀φ ∈ Aut(V ), onde V e um K-espaco vetorial

de dimensao finita

Vimos que existe um epimorfismo natural (canonico) π entre V e o espaco quoci-ente V/U , que mapeia v ∈ V a sua classe de equivalencia v = [v]. O nucleo de talepimorfismo e o subespaco U . Definimos a sequencia exata

0 - U - Vπ- V/U - 0

B Exemplo 9: Considerando U = R2 ⊂ V = R3, a sequencia exata acima citadatoma a forma

0 - R2 - R3 π- R3/R2 ' R - 0

C

1.9.1 Teoremas de Isomorfismos

O Teorema a seguir diz que dado um homomorfismo ϕ : V → U entre dois K-espacosvetoriais, entao

V/ker ϕ ' Imϕ

I Teorema 17: Seja ϕ ∈ Hom(V,U) tal que ϕ(V ) = U . Entao existe um unicoisomorfismo ϕ : V/ker ϕ → U tal que ϕ = ϕ π, onde π : V → V/ker ϕ e a projecaocanonica J

Demonstracao: Note que π : V → V/ker ϕ e ϕ : V/ker ϕ → U , e portantoϕ = ϕ π : V → U = ϕ(V ). Defina a aplicacao induzida

ϕ : V/ker ϕ → U = ϕ(V )

v = v + ker ϕ 7→ ϕ(v)

Primeiramente devemos verificar se ϕ e, de fato, bem definida. Com efeito, dadosv1, v2 ∈ V e portanto v1 = v1 + ker ϕ, v2 = v2 + ker ϕ ∈ V /ker ϕ. Se v1 = v2,


significa que v1 + ker ϕ = v2 = v2 + ker ϕ. Daı, existe w ∈ ker ϕ tal que v1 = v2 +w.Segue-se que

ϕ(v1) = ϕ(v1) = ϕ(v2 + w) = ϕ(v2) + ϕ(w), pois ϕ ∈ Hom(V,U)

= ϕ(v2) + 0, pois w ∈ ker ϕ

= ϕ(v2) = ϕ(v2)

Portanto a funcao ϕ esta bem definida.A fim de provar que ϕ e isomorfismo, resta agora provar que ϕ e bijetiva e linear.

Por construcao ϕ e linear, pois e a composicao de duas aplicacoes lineares.Para ver que ϕ e sobrejetiva, como ϕ(v) = ϕ(v) e ja que ϕ(V/kerϕ) = ϕ(V ) = U ,

entao a funcao ϕ : V/ker ϕ→ U contempla todo o contradomınio U .Agora para provar que ϕ e injetiva, mostraremos que ker ϕ = 0. Por definicao,

ker ϕ = v ∈ V/kerϕ | ϕ(v) = 0= v + kerϕ |ϕ(v) = 0= v + kerϕ | v ∈ kerϕ= kerϕ

= 0 + kerϕ

= 0 (1.8)

Ja demonstramos que se o nucleo de uma aplicacao consistir somente do vetor nulo,entao tal aplicacao e injetiva. Portanto ϕ e bijetiva e linear, sendo portanto um iso-morfismo. Resta mostrar que tal isomorfismo e unico. Suponha que existam doisisomorfismos ϕ1 : V/ker ϕ → U e ϕ2 : V/ker φ → U , ambos com a propriedadeϕ(v) = ϕ(v). Entao, para todo v ∈ V , ϕ1(v) − ϕ2(v) = ϕ(v) − ϕ(v) = 0, e portanto(ϕ1 − ϕ2)(v) = 0, para todo v ∈ V/ker ϕ. Consequentemente, ϕ1 − ϕ2 = O e portantoϕ1 = ϕ2 o

O teorema acima demonstrado pode ser ilustrado pelo seguinte diagrama:

Vϕ - U

V/kerϕ

ϕ

6

π-

Obs. 14: Esse teorema e mais conhecido como o Primeiro Teorema dos Homo-morfismos. Aqui ele e enunciado em termos de espacos vetoriais por se tratarem degrupos abelianos com relacao a soma.

BExemplo 10: Tomando-se a projecao P : Rn+1 → Rn dada por P (x1, . . . , xn, xn+1) =(x1, . . . , xn, 0), podemos ver que ker P = (0, 0, . . . , 0, xn+1) ' R e portanto pelo Teo-rema acima, considerando-se V = Rn+1, temos que Im P = Rn, e portanto, segue-se


queRn+1/R = Rn

C

Exercıcio 76: Mostre que Rn/Rp ' Rn−p para todo p ∈ 0, 1, . . . , n A seguir enunciaremos e demonstraremos o chamado 2o Teorema dos Homomorfis-

mos

I Teorema 18: Considere V1, V2 ⊂ V dois subespacos vetoriais de V . Entao

V1 + V2V2

' V1V1 ∩ V2

J

Demonstracao: Defina a aplicacao

σ : V1 → V1 + V2V2

v1 7→ v1 + V2, ∀vi ∈ Vi, i = 1, 2

Ja que v1 + V2 = v1, entao σ e um epimorfismo, pois sendo sobrejetiva, dados a ∈ K ew1 ∈ V1,

σ(av1 + w1) = av1 + w1 = av1 + w1

= aσ(v1) + σ(w1)

e portanto σ e linear. Agora provaremos que ker σ = V1 ∩ V2. Por um lado, ker σ =v1 ∈ V1 |σ(v1) = 0 = 0+V2. Mas σ(v1) = v1+V2, o que implica que v1 deve estar emV2 tambem. Portanto dado v ∈ ker σ, necessariamente v ∈ V1 ∩ V2. Reciprocamente,dado v ∈ V1 ∩ V2, entao σ(v) = v + V2 = V2 = 0, pois em particular v ∈ V2. Portantoker σ = V1 ∩ V2.

A partir do 1o. Teorema dos Isomorfismos, como ja sabemos que para σ ∈Hom(V1, (V1+V2)/V2) temos V1/ker σ ' Imσ, identificando kerσ = V1 ∩ V2 e Im σ = (V1 + V2)/V2,temos

V1 + V2V2

' V1V1 ∩ V2

o

Exercıcio 77: Dados V1, V2 subespacos vetoriais de V , explicite o Segundo Teo-rema dos Isomorfismos quando V1 e o eixo-x e V2 e o eixo-y

Exercıcio 78: Suponha que um K-espaco vetorial V possa ser escrito comoV = V1 ⊕ V2. Considere a aplicacao canonica

κ : V1 → V

V2v 7→ v = v + V2

Mostre que κ e um isomorfismo


Exercıcio 79: Dado U um subespaco vetorial de um K-espaco vetorial V , mostreque (V/U)∗ ' U

Capıtulo 2Operadores Lineares e Dualidade

2.1 Preliminares

Uma aplicacao linear φ : W → V e unicamente determinada pelas imagens dosvetores da base de W . Com efeito, dada uma base ei de W e o conjunto ai ⊂ K,para todo vetor v =

∑i aiei temos

φ(v) =∑i

aiφ(ei) .

Se vi ∈ V sao vetores arbitrarios, entao a aplicacao φ : W → V definida como φ(v) =∑i aivi e linear, e φ(ei) = vi. Considerando φ : Kn → Km uma transformacao linear,

aplicando-se φ a e1, e2, . . . , en ⊂ Kn, temos que

φ(ej) = (a1j , a2j , . . . , amj)ᵀ ∈ Km, j ∈ 1, 2, . . . , n .

A matriz do operador φ na base ei e a matriz com entradas (aij), determinada porφ(ei) =

∑j aijej .

B Exemplo 11: A rotacao de um vetor por um angulo θ e um operador linear em

37

38 2. OPERADORES LINEARES E DUALIDADE — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015

R2. Em uma base ortonormal sua matriz e dada por

Π(θ) =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)

Em particular, uma rotacao de π/2 nessa base corresponde a matriz

(0 −11 0

). En-

contremos a matriz de tal operador na base e′1, e′2 ⊂ R2, onde

e′1 = 2e2

e′2 = e1 − e2

A matriz mudanca de base B e dada por

B =

(0 12 −1

)⇒ B−1 =

(1/2 1/21 0

)Portanto

Π(θ)′ = B−1Π(θ)B =

(1/2 1/11 0

)(0 −11 0

)(0 12 −1

)=

(−1 1−2 1

)C

ñ Definicao 4: Um subespaco vetorial U ⊂ V e invariante com respeito a umoperador linear φ ∈ End(V ) se φ(U) ⊂ U 3

A restricao φ|U de φ ao subespaco invariante U e uma aplicacao linear em U . Seescolhermos uma base e1, . . . , en de V , tal que U = 〈e1, . . . , ek〉 — o que e semprepossıvel — entao a matriz de φ tem a forma(

A B0 C

), (2.1)

onde A e a matriz do operador φ|U na base e1, . . . , ek, C e uma matriz de ordem(n− k) e B e uma matriz de ordem k × (n− k).

No caso em que V = U ⊕ W , onde U e W sao dois subespacos invariantes, see1, . . . , ek e base de U e ek+1, . . . , en e base de W , entao e1, . . . , en e base de V .Nessa base podemos escrever a representacao matricial de φ como(

A 00 C

),

onde A e a matriz do operador φ|U na base e1, . . . , ek e C e a matriz do operador φ|Wna base ek+1, . . . , en. Mais geralmente, se pudermos cindir V como a soma diretade k subespacos invariantes V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk, entao na base de V , formada por

2.2. TRANSFORMACOES GRADIENTE E CONTRAGRADIENTE — ROLDAO DA ROCHA,CMCC/UFABC, 2015 39

bases dos subespacos Vi, a matriz de φ e da formaA1 0 · · · 00 A2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · An

,

onde Ai e a matriz do operador φ|Vi .

B Exemplo 12: Similarmente, a rotacao em torno de um eixo por um angulo θ e umoperador linear em R3. Com relacao a uma base ortonormal e1, e2, e3 tal que e3 sejacolinear com o eixo de rotacao, o operador tem a seguinte forma:(

Π(θ) 00 1

)o que reflete a maneira pela qual R3 e cindido na soma direta R3 = 〈e1, e2〉 ⊕ 〈e3〉 C

Exercıcio 80: Seja φ : K3 → K3 uma aplicacao linear dada por φ(x, y, z) =(x+ z,−2x+y,−x+ 2y+ 4z). A matriz de φ em relacao a base canonica de K3 e dadapor 1 0 1

−2 1 0−1 2 4

Seja uma outra base f1, f2, f3 de K3 dada por f1 = (1, 0, 1), f2 = (−1, 2, 1) e f3 =

(2, 1, 1). Determine a matriz de φ na base fi

2.2 Transformacoes Gradiente e Contragradiente

A diferenca entre vetores e covetores pode ser bem explorada quando consideramos,por exemplo, o efeito de uma mudanca de base. Vamos considerar uma mudanca

BB−→ B′ descrita por e′j =

∑ni=1B

ijei. Um vetor v tem componentes vi na base B

e componentes v′i na base B′, de modo que v =∑i viei =

∑i v′ie′i. A relacao entre

essas componentes e portanto vj =∑iB

jiv′i.

Sejam agora B∗ = ei e B′∗ = e′i as bases respectivamente duais as bases B =ei e B′ = e′i, respectivamente. Temos portanto ei(ej) = e′i(e′j) = δij . Como vimosacima, as componentes de um funcional α ∈ V ∗ nas bases B∗ e B′∗ sao dadas pelovalor desse funcional nas bases B e B′, respectivamente. Logo α = αie

i = α′ie′i onde

αi = α(ei) e α′i = α(e′i). Se e′j =∑iB

ijei entao α′j =

∑iB

ijαi e daı ej =

∑iB

jie′i.

Em resumo, em uma mudanca de base as componentes de um covetor transformam-seda mesma maneira que os vetores da base, ou seja, enquanto que as componentes deum vetor transformam-se da mesma maneira que os covetores da base dual.

As vezes se denomina a transformacao dos vetores da base de gradiente e a trans-formacao das componentes de contragradiente. Segundo essa denominacao entao os


vetores da base dual se transformam de maneira contragradiente enquanto que ascomponentes dos covetores se transformam de maneira gradiente.

B Exemplo 13: Sejam B = ei a base canonica de R3, ou seja, e1 = (1, 0, 0)ᵀ,e2 = (0, 1, 0)ᵀ e e3 = (0, 0, 1)ᵀ, e B′ = e′i uma outra base tal que e′1 = (−1,−1, 1)ᵀ,e′2 = (−1, 0, 1)ᵀ e e′3 = (2, 1,−1)ᵀ. Dado um vetor v = viei = v′ie′i, a relacao entresuas componentes vi e v′i com relacao a essas bases pode ser expressa na formav1v2

v3

=

−1 −1 2−1 0 11 1 −1

v′1v′2v′3

,

v′1v′2v′3

=

1 −1 10 1 11 0 1

v1v2v3

,

enquanto que a relacao entre os vetores das bases e dada por

e′1 = −e1 − e2 + e3, e1 = e′1 + e′3,

e′2 = −e1 + e3, e2 = −e′1 + e′2,

e′3 = 2e1 + e2 − e3, e3 = e′1 + e′2 + e′3.

Seja B∗ = ei e a base dual de B. Escrevendo os vetores ei como

e1 = (1, 0, 0)ᵀ , e2 = (0, 1, 0)ᵀ , e3 = (0, 0, 1)ᵀ ,

entao a base dual e escrita como

e1 =(1 0 0

), e2 =

(0 1 0

), e3 =

(0 0 1

).

Seja agora B′∗ = e′i a base dual de B′. Devemos ter portanto e′i(e′j) = δij , ou

seja, e′1(e′1) = 1, e′1(e′2) = e′1(e′3) = 0, e assim por diante. Para acharmos a relacaoentre os vetores das bases duais podemos, por exemplo, agir com e′i sobre os vetoresej expressos em termos de B′. Por exemplo:

e′1(e1) = e′1(e′1 + e′3) = e′1(e′1) + e′1(e′3) = 1,

e′1(e2) = e′1(−e′1 + e′2) = −e′1(e′1) + e′1(e′2) = −1,

e′1(e3) = e′1(e′1 + e′2 + e′3) = e′1(e′1) + e′1(e′2) + e′1(e′3) = 1,

de onde concluımos que e′1 = e1 − e2 + e3. O procedimento analogo pode ser usadopara expressar ei em termos da base B′∗. Os resultados que encontramos sao

e′1 = e1 − e2 + e3, e1 = −e′1 − e′2 + 2e′3,

e′2 = e2 + e3, e2 = −e′1 + e′3,

e′3 = e1 + e3, e3 = e′1 + e′2 − e′3.

Seja agora o funcional linear α tal que

α(v) = α1v1 + α2v

2 + α3v3,

2.2. TRANSFORMACOES GRADIENTE E CONTRAGRADIENTE — ROLDAO DA ROCHA,CMCC/UFABC, 2015 41

onde αi sao as componentes de α na base B∗. Se escrevemos as componentes de vem termos de uma matriz-linha, entao as componentes do funcional linear α podemser escritas em termos da matriz-coluna [α]B∗ =

(α1, α2, α3

). Portanto

α(v) =(α1, α2, α3

)v1v2v3

= α1v1 + α2v

2 + α3v3.

Se α′i sao as componentes de α na base B′∗, ou seja, α = αiei = α′ie

′i, encontramos aseguinte relacao entre as componentes:

(α1, α2, α3

)=(α′1, α

′2, α′3

)1 −1 10 1 11 0 1

,

(α′1, α

′2, α′3

)=(α1, α2, α3

)−1 −1 2−1 0 11 1 −1

Portanto vemos que ao se multiplicar uma matriz pela direita por um vetor-coluna,estamos relacionando as componentes de um vetor em uma base A em termos dascomponentes em uma baseB, enquanto ao multiplicar essa mesma matriz pela esquerdapor um vetor-linha, estamos relacionando as componentes de um covetor na base Bem termos das componentes na base A. C

B Exemplo 14: Seja F o espaco das funcoes contınuas f : R → R. A integralL(f) =

∫ x1

x0f(x)dx define um funcional linear L sobre F . Vamos agora considerar o

subconjunto P2 de F formado pelas funcoes polinomiais P de grau menor ou igual a2, ou seja, P (x) = a+ bx+ cx2. Uma base para este espaco e portanto B = 1, x, x2,e denotaremos

e1 = 1, e2 = x, e3 = x2.

Vamos definir os seguintes funcionais lineares sobre P2:

Li(P ) =

∫ i

0

p(x)dx, i = 1, 2, 3 .

Temos explicitamente que

L1(P ) = a+1

2b+

1

3c, L2(P ) = 2a+ 2b+

8

3c, L3(P ) = 3a+

9

2b+ 9c.

Se ei e a base dual de ei, entao da equacao acima podemos concluir que

L1 = e1 +1

2e2 +

1

3e3, L2 = 2e1 + 2e2 +

8

3e3, L3 = 3e1 +

9

2e2 + 9e3.

Seja Li a base da qual Li e a base dual, ou seja, Li(Lj) = δij , Como Li = ejLi(ej)

e ej = Li(ej)Lj , e da expressao acima temos diretamente Li(ej), segue de imediato


a expressao de ei em termos de Li,

e1 = L1 + 2L2 + 3L3, e2 =1

2L1 + 2L2 +

9

2L3, e3 =

1

3L1 +

8

3L2 + 9L3.

A relacao inversa pode ser obtida com as manipulacoes usuais e o resultado e

L1 = 3− 5x+3

2x2, L2 = −3

2+ 4x− 3

2x2, L3 =

1

3− x+

1

2x2.

Esta e portanto a base de P2 da qual a base Li e a base dual. Uma vez queLi = ej(Li)ej e ej = ej(Li)L

i, segue da expressao acima a relacao para ei emtermos de Li, ou seja,

e1 = 3L1 − 3

2L2 +

1

3L3, e2 = −5L1 + 4L2 − L3, e3 =

3

2L1 − 3

2L2 +

1

2L3.

Finalmente, um funcional arbitrario L dado por

L(P ) =

∫ x1

x0

p(x)dx,

pode ser escrito, por exemplo, na forma

L = λ1e1 + λ2e

2 + λ3e3 = l1L

1 + l2L2 + l3L

3

onde

λ1 = (x1 − x0), λ2 =x21 − x20

2, λ3 =

x31 − x303

,

enquanto as componentes li sao dadas por

(l1 l2 l3

)=(λ1 λ2 λ3

) 3 −3/2 1/3−5 4 −13/2 −3/2 1/2

C

Capıtulo 3Formas Bilineares

3.1 Funcionais Bilineares

Os axiomas de espaco vetorial nao incorporam a geometria dos vetores no espacoeuclidiano pois nao ha como se definir comprimento e angulo entre vetores sem intro-duzirmos o conceito de metrica no seu espaco. Consideramos neste capıtulo formasbilineares, que generalizam o produto interno.

ñ Definicao 5: Um funcional bilinear (ou forma bilinear) em um K-espaco vetorialV e uma funcao B : V × V → K que e linear em cada argumento 3

Por bilinearidade entendemos a linearidade em cada um dos argumentos da aplicacao,ou seja, dados a ∈ K e u, v, w ∈ V , entao

B(av + u,w) = aB(v, w) +B(u,w) ,

B(v, au+ w) = aB(v, u) +B(v, w).

Obs. 15: Uma forma bilinear B : V × V → K e simetrica [antissimetrica] se

B(u, v) = B(v, u) [B(u, v) = −B(v, u)], ∀u, v ∈ V .

43

44 3. FORMAS BILINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015

Um espaco vetorial equipado com um funcional bilinear antissimetrico (nao-degenerado)e dito ser um espaco simpletico. Um funcional bilinear σ : V × V → K e dito ser al-ternado quando σ(u, u) = 0, para todo u ∈ V . Um espaco vetorial equipado com umfuncional bilinear simetrico e dito ser um espaco quadratico.

Obs. 16: E comum definirmos formas quadraticas somente para corpos K comchar(K) 6= 2.

De fato, mostre que:

Exercıcio 81: Toda forma bilinear alternada e tambem antissimetrica. Prove quequando char(K) = 2 toda forma bilinear antissimetrica e tambem simetrica

Obs. 17: Adotaremos de agora em diante a notacao B para uma forma aprincıpio arbitraria, g para uma forma bilinear simetrica e σ para uma forma bilinearalternada.

B Exemplo 15: O produto interno euclidiano em R3 e uma funcao bilinear em R3. A

funcao g(f1, f2) =∫ baf1(x)f2(x)dx e uma funcao bilinear no espaco C[a, b] das funcoes

contınuas definidas no intervalo [a, b]. Ja a funcao

g(X,Y ) =1

nTr(XY ), ∀X,Y ∈M(n,K)

e uma funcao bilinear no espaco M(n,K) das matrizes n× n sobre o corpo K C

Exercıcio 82: Dadas duas transformacoes lineares A1, A2 : V → K, mostre quea funcao B : V × V → K definida por B(u, v) = A1(u)A2(v), para todo u, v ∈ V e

bilinear

A forma mais geral de uma forma bilinear definida em um espaco de n dimensoespode ser encontrada ao se tomar uma forma bilinear B : Kn × Kn → K. Considereuma base arbitraria eini=1 ⊂ Kn e escreva

B(ei, ej) = Bij , (i, j = 1, 2, . . . , n) .

Dados quaisquer dois vetores

u =

n∑j=1

aiei, v =

n∑p=1

bpep ,

segue-se que

B(u, v) = B

n∑j=1

ajej ,

n∑p=1

apep

=

n∑j=1

n∑p=1

ajbpB(ej , ep)

=

n∑j=1

n∑p=1

ajbpBjp .

3.1. FUNCIONAIS BILINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 45

O nucleo de uma funcao bilinear B e o subespaco

ker B = v ∈ V |B(u, v) = 0, ∀u ∈ V .

Dizemos que B e nao-degenerada se ker B = 0. Pode-se mostrar que o funcionalbilinear B e nao-degenerado se e somente se para cada vetor v 6= 0 existir um vetoru 6= 0 tal que B(v, u) 6= 0.

Dizemos que uma forma bilinear B : V ×V → K e singular se o posto da matriz Bijassociada for menor que a dimensao de V .

Formas bilineares alternadas nao-degeneradas sao denominadas formas simpleticas.Desta forma, uma forma simpletica que mune um espaco vetorial V e uma formabilinear para o qual

σ(u, v) = −σ(v, u), ∀u, v ∈ Ve tal que ker σ = 0.

Exercıcio 83: Defina σA : V × V → K como

ωA(u, v) = 〈u,Av〉, ∀u, v ∈ V

e A ∈M(n,R) tal que Aᵀ = −A.

a) Prove que ωA e antissimetrica.b) Prove que ωA e simpletica se e somente se A for inversıvel.

c) Prove que o item b) implica que n deve ser par

Uma forma bilinear B : V ×V → K e dita ser positiva definida se B(v, v) > 0 sempreque v 6= 0.

O espaco vetorial equipado com um funcional bilinear simetrico positivo definidog : V × V → K e dito ser um espaco com produto escalar. A quantidade simetricag(v, u) e muitas vezes chamada produto escalar entre os vetores v e u se alem daspropriedades acima citadas, g satisfizer a propriedade g(v, v) > 0, para todo v ∈ V \0.Se g(v, u) = 0 dizemos que o vetor v e ortogonal a u, com respeito a g. Num casoarbitrario um vetor nao-nulo v pode ser ortogonal a si proprio, ou seja, B(v, v) = 0.Tais vetores sao ditos isotropicos. E imediato que em um espaco simpletico todos osvetores sao isotropicos.

Um funcional bilinear simetrico e completamente determinado pela forma quadraticaQ(v) = g(v, v) atraves do processo de polarizacao. De fato, usando a propriedade debilinearidade para calcularmos Q(v + u) = g(v + u, v + u), podemos escrever

g(v, u) =1

2(Q(v + u)−Q(v)−Q(u)).

Formalmente, dizemos que um espaco quadratico e um par (V,Q) onde V e um K-espaco vetorial de dimensao finita e Q : V → K e a aplicacao que satisfaz as seguintespropriedades:

a) Q(av) = a2Q(v), ∀a ∈ K, v ∈ V ,b) O mapa g(v, u) = 1

2 (Q(v + u)−Q(v)−Q(u)) e bilinear.


B Exemplo 16: Em R2, C((x, y), (x′, y′)) = xx′−yy′ e simetrica. Tambem a forma bi-linear definida como B((x, y), (x′, y′)) = xy′+yx′ e simetrica. Como B((x, y), (x, y)) =2xy, entao B(ei, ei) = 0 para i = 1, 2, onde e1, e2 e a base canonica de R2 C

Como uma forma bilinear e a generalizacao do produto interno, dados vetores u, v ∈V , a condicao B(v, w) = 0 poderia ser considerada como sendo uma generalizacao doconceito de perpendicularidade.

B Exemplo 17: Em V = R2, considere B((x, y), (x′, y′)) = xx′ + xy′ − x′y −yy′. Temos (1, 0) ⊥ (1,−1), porem (1,−1) nao e perpendicular a (1, 0): a relacaode perpendicularidade para B nao e simetrica C

Ja que pode acontecer o caso onde u ⊥ v mas v nao e perpendicular a u, dizemosque a propriedade de que u ⊥ v e v ⊥ u nos diz que u e v sao ortogonais em ambasas direcoes. As formas bilineares mais importantes sao aquelas em que ⊥ seja umarelacao simetrica: u ⊥ v ⇔ v ⊥ u. Saber quais sao as formas bilineares em que issoacontece e de fundamental importancia:

I Teorema 19: A relacao de perpendicularidade em um espaco bilinear (V,B) esimetrica se e somente se B for simetrica ou alternada J

Demonstracao: Se B for simetrica ou alternada, dados v, w ∈ V , entao B(v, w) =±B(w, v), e portanto B(v, w) = 0 se e somente se B(w, v) se anula. Para provarmosa direcao recıproca, assuma que ⊥ e uma relacao simetrica. Tome quaisquer vetoresu, v, w ∈ V . Primeiramente iremos achar todas as conbinacoes lineares av + bw taisque (av + bw) ⊥ u, o que e equivalente a

aB(v, u) + bB(w, u) = 0 (3.1)

pois B e linear em particular na sua primeira componente. Podemos por exemploobter a relacao (3.1) usando a = B(w, u) e b = B(v, u). Defina agora z = B(w, u)v −B(v, u)w, e daı segue-se que B(z, u) = 0 e portanto que B(u, z) = 0 pela simetria darelacao ⊥. Calculando agora B(u, z) pela linearidade de B em sua segunda entrada eigualando a zero, obtemos

B(w, u)B(u, v) = B(v, u)B(u,w). (3.2)

Mostraremos que uma forma bilinear B que satisfaca (3.2) e simetrica ou alternada.De fato, usando w = u em (3.2):

B(u, u)B(u, v) = B(v, u)B(u, u). (3.3)

Note que B(u, u) aparece em ambos os lados de (3.3). Assim, para todo u, v ∈ V

B(u, v) 6= B(v, u)⇒ B(u, u) = 0 (e similarmente B(v, v) = 0). (3.4)

Agora suponha que a relacao ⊥ seja simetrica e que B nao seja uma forma bilinearsimetrica. Mostraremos que B e alternada. Por hipotese existem u1, u2 ∈ V tais que

B(u1, u2) 6= B(u2, u1). (3.5)

3.1. FUNCIONAIS BILINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 47

A partir daı demonstraremos que B(w,w) = 0 para todo w ∈ V . Usando (3.4) e (3.5)segue-se que

B(u1, u1) = 0 = B(u2, u2). (3.6)

Tome agora qualquer vetor w ∈ V . Se B(u1, w) 6= B(w, u1) ou se B(u2, w) 6= B(w, u2),entao (3.4) mostra que B(w,w) = 0. Portanto para provar a relacao B(w,w) = 0,supomos que

B(u1, w) = B(w, u1), B(u2, w) = B(w, u2). (3.7)

Agora faca u = u1 e v = u2 em (3.2), e portanto as condicoes (3.7) implicam que

B(w, u1)B(u1, u2) = B(u2, u1)B(u1, w) (3.8)

e por (3.7) que

B(u1, w)(B(u1, u2)−B(u2, u1)) = 0. (3.9)

Isso imediatamente implica por (3.5) e (3.7) que

B(u1, w) = B(w, u1) = 0. (3.10)

De maneira analoga, substituindo u = u2 e v = u1 em (3.2) implica novamente, por(3.5) e (3.7), que

B(u2, w) = B(w, u2) = 0. (3.11)

Por (3.10), B(u1, u2 +w) = B(u1, u2) e B(u2 +w, u1) = B(u2, u1). Estes sao distintospor (3.5), e portanto a relacao (3.4) com u = u2 + w e v = u1 implica que B(u2 +w, u2 + w) = 0. Finalmente, por (3.6) e (3.10), segue-se que B(w,w) = 0 o

Comparado com o produto escalar usual em Rn, o conceito de perpendicularidadepara outras formas bilineares pode possuir novas caracterısticas. Possivelmente a maisanti-intuitiva delas e que podemos ter v ⊥ v, com v ∈ V \0, isto e, o fato de quev ⊥ v nao implica que v tem que ser nulo. Isso e inviavel para o produto escalar usualem Rn.

B Exemplo 18: No Exemplo anterior, em R2 munido com uma forma bilinearsimetrica temos que (1, 1) ⊥ (1, 1), e o subespaco vetorial U , gerado pelo vetor decomponentes (1, 1), tem a propriedade U⊥ = U , e portanto U + U⊥ 6= R2. De fato,veremos em breve que dado um subsepaco vetorial U ⊂ V , se V e munida de umaforma bilinear simetrica g, temos a decomposicao V = U ⊕ U⊥ ⊕ ker g C

Duas construcoes de novos espacos vetoriais munidos de funcionais bilineares podemser obtidas a partir de outros espacos vetoriais. Uma delas e a construcao de subespacosvetoriais: se (V,B) e um espaco vetorial munido de uma forma bilinear e U ⊆ V e umsubespaco de V , entao B restringe a uma forma bilinear em U , e temos um subespacodenotado (U,B|U ) ou simplesmente (U,B). (Estritamente falando, devemos escreverB|U×U , uma vez que B e uma funcao de duas variaveis, mas a notacao mais concisa B|Unao deve gerar confusao.) E obvio que se B for simetrica, alternada ou antissimetricaem V que a propriedade e herdada por qualquer subespaco.


B Exemplo 19: A forma bilinear g : R2 × R2 → R simetrica, definida por

g

((x

y

),

(x′

y′

))= xx′ − yy′

e nao-singular, mas g|U e identicamente nula (e portanto singular), dado o subespacoU = (x, y)ᵀ ∈ R2 |x = y C

A soma direta de espacos vetoriais — sobre o mesmo corpo K — munidos de formasbilineares (V1, B1) e (V2, B2), entao V1⊕V2 e um espaco vetorial munido de uma formabilinear B1 ⊕B2 definida por

(B1 ⊕B2)((v1, v2), (v′1, v′2)) := B1(v1, v

′1) +B2(v2, v

′2) .

Se B1 e B2 sao ambos simetricos, ambos alternados ou ambos antissimetricos, entao aforma bilinear B1 ⊕B2 herda essas propriedades respectivamente.

ñ Definicao 6: O espaco (V1⊕V2, B1⊕B2) construıdo acima e denominado a somadireta ortogonal entre V1 e V2 e denotado por V1 ⊥ V2 3

B Exemplo 20: Tomando o corpo K visto como um espaco vetorial unidimensionalsobre si mesmo, a multiplicacao K×K→ K e uma forma bilinear simetrica se char(K)6= 2. O espaco vetorial R ⊥ R e exatamente o espaco R2 munido do produto escalarusual, e a soma direta ortogonal R⊥n = R ⊥ · · · ⊥ R e Rn munido do produto escalarusual C

O espaco V1 pode ser imerso na soma direta ortogonal V1 ⊥ V2 de uma maneiranatural: v1 7→ (v1,0), e similarmente podemos tambem imergir V2 em V1 ⊥ V2 porv2 7→ (0, v2). Se V1 e V2 sao subespacos do espaco V , dizemos que eles sao ortogonaise escrevemos V1 ⊥ V2, se v1 ⊥ v2 para todo v1 ∈ V1 e v2 ∈ V2.

3.2 Espacos Euclidianos

Um espaco euclidiano (V, g) e um R-espaco vetorial munido de uma aplicacao g :V ×V → R bilinear, simetrica positiva definida, ou produto interno (tambem denotadapor 〈 · , · 〉). Lembrando que um produto interno (ou produto escalar) em um R-espacovetorial satisfaz:

a) 〈u, v〉 = 〈v, u〉, para todo u, v ∈ V (comutatividade) ,b) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉, para todo u, v, w ∈ V (distributividade) ,c) 〈αu,w〉 = α〈u,w〉, para todo α ∈ K e u, v ∈ V ,d) 〈u, u〉 > 0 para todo u 6= 0 e 〈u, u〉 = 0 se u = 0 .

Os axiomas implicam que 〈 · , · 〉 e uma forma bilinear simetrica positiva definida.

B Exemplo 21: Dada uma base ei ⊂ Rn e dois vetores u =∑ni=1 xiei e v =∑n

j=1 yjej , o espaco Rn pode ser munido do produto interno g(u, v) = x1y1+· · ·+xnyn,onde u = (x1, . . . , xn)ᵀ, v = (y1, . . . , yn)ᵀ. Essa expressao generaliza a expressao usualdo produto escalar de vetores em tres dimensoes com respeito a um sistema ortogonalC

3.3. ESPACOS UNITARIOS (HERMITIANOS) — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 49

Exercıcio 84: Mostre que

a) g(f1, f2) =∫ baf1(x)f2(x)dx definida em C[a, b];

b) g(X,Y ) = 1n Tr(XY ) e definida no espacoM(n,K) das matrizes n×n sobre o corpo

K,sao produtos internos

O comprimento (ou norma) do vetor v ∈ V e dado por ‖v‖ :=√g(v, v). Em

particular, em R2 tal expressao e o teorema de Pitagoras. No espaco Rn podemosexpressar um vetor u = (a1, a2, . . . , an)ᵀ em uma certa base. A norma desse vetor edada por

‖u‖ =√a21 + a22 + a23 .

O angulo θ entre dois vetores u, v ∈ V e definido pela expressao

cos θ =〈u, v〉‖u‖ ‖v‖

. (3.12)

Essa expressao e menor ou igual a 1. Podemos provar isso atraves do axioma d) deproduto escalar no inıcio desta secao, que

0 = 〈αu+ v, αu+ v〉= α2〈u, u〉 − 2α〈u, v〉+ 〈v, v〉 . (3.13)

Considerando-se o lado direito acima como um trinomio quadratico na variavel α, adesigualdade prescrita vale se o discriminante 〈u, v〉2−〈u, u〉〈v, v〉 for nao-positivo, ouseja, se

〈u, v〉2 − 〈u, u〉〈v, v〉 ≤ 0.

Tomando-se a raiz quadrada, obtemos a relacao

〈u, v〉 ≤ ‖u‖ ‖v‖ , (3.14)

denominada desigualdade de Cauchy-Schwarz.Dizemos que dois espacos euclidianos V e W sao isomorfos se existir uma bijecao

φ : V → W que e um isomorfismo de espacos vetoriais, satisfazendo a condicaog(φ(u), φ(v)) = g(u, v), ∀u, v ∈ V .

Exercıcio 85: Mostre que dois espacos vetoriais euclidianos de mesma dimensao(finita) sao isomorfos

3.3 Espacos Unitarios (Hermitianos)

Passando para o corpo dos complexos, nao existem funcoes quadraticas positivasdefinidas em um C-espaco vetorial, o que pode ser contornado atraves da introducao


das formas sesquilineares. Uma funcao ψ : V × V → C e sesquilinear se e linear nosegundo argumento e anti-linear no primeiro:

ψ(av1 + v2, u) = aψ(v1, u) + ψ(v2, u)

ψ(u, av1 + v2) = aψ(u, v1) + ψ(u, v2)

B Exemplo 22: Considerando ei uma base de V , enquanto que uma forma bilinearB : V × V → K e determinada pelos escalares bij = B(ei, ej) ∈ K por B(u, v) =∑i,j bijuivj , onde v =

∑i viei, u =

∑uiei ∈ V , uma forma sesquilinear ψ : V ×V → C

e determinada pelos escalares ψij = ψ(ei, ej) ∈ C por

ψ(u, v) =∑i,j

ψijuivj

C

Uma forma sesquilinear ψ e hermitiana [anti-hermitiana] se para todos u, v ∈ V ,tem-se ψ(u, v) = ψ(v, u) [ψ(u, v) = −ψ(v, u)], onde a denota a conjugacao complexade a ∈ C.

Exercıcio 86: Exiba um operador que mapeia formas hermitianas em formasanti-hermitianas

Exercıcio 87: Mostre que uma forma quadratica hermitiana Q(v) = ψ(v, v) e

sempre real

A desigualdade de Cauchy-Schwarz e de vital importancia no formalismo das formassesquilineares, e sera demonstrada a seguir:

I Teorema 20: Se ψ e uma forma sesquilinear positiva, entao e tambem hermitiana,ou seja ψ(u, v) = ψ(v, u), para todos os vetores u e v em V . Alem disso, temos adesigualdade de Cauchy-Schwarz:

|ψ(u, v)|2 ≤ ψ(u, u)ψ(v, v). (3.15)

J

Demonstracao: Dado α ∈ C e quaisquer vetores u, v ∈ V , pela hipotese depositividade, temos

ψ(u+ αv, u+ αv) ≥ 0 ,

o que implica que

|α|2 ψ(v, v) + αψ(u, v) + α ψ(v, u) + ψ(u, u) ≥ 0. (3.16)

Escrevendo α = x+ iy, segue-se que

ψ(u+ αv, u+ αv) = (x2 + y2)ψ(v, v) + (x+ iy)ψ(u, v)

+(x− iy)ψ(v, u) + ψ(u, u) ≥ 0. (3.17)

3.3. ESPACOS UNITARIOS (HERMITIANOS) — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 51

Vamos decompor ψ(u, v) e ψ(v, u) nas suas partes reais e imaginarias, escrevendo

ψ(u, v) = a+ ib , ψ(v, u) = c+ id, a, b, c, d ∈ R. (3.18)

Isso implica que

ψ(u+ αv, u+ αv) = (x2 + y2)ψ(v, v) + (xa− yb) + i(xb+ ya)

+(xc+ yd) + i(xd− yc) + ψ(u, u) ≥ 0. (3.19)

Como ψ(u+ αv, u+ αv) tem de ser real e nao-negativa, e como ψ(v, v) ≥ 0 e tambemψ(u, u) ≥ 0, devemos ter

(xb+ ya) + (xd− yc) = x(b+ d) + y(a− c) = 0 ∀x, y ∈ R, (3.20)

o que implica que b = −d e a = c. Comparando com (3.19), segue-se que

ψ(u, v) = ψ(v, u).

Alem disso, as expressoes b = −d e a = c fazem com que a (3.19) seja escrita como

ψ(u+ αv, u+ αv) = (x2 + y2)ψ(v, v) + 2(xa− yb) + ψ(u, u). (3.21)

Vamos agora considerar dois casos: um onde ψ(v, v) = 0 e outro onde ψ(v, v) = 0.No primeiro caso, ψ(u+ αv, u+ αv) = 2(xa− yb) + ψ(u, u). Como ψ(u, u) ≥ 0 pelo

axioma d) de produto escalar, a condicao ψ(u+ αv, u+ αv) ≥ 0 e possıvel para todosx, y ∈ R se e somente se a = b = 0, ou seja, se e somente se ψ(u, v) = 0 para todou ∈ V . Aqui a desigualdade de Cauchy-Schwarz e trivialmente satisfeita, pois ambosos lados sao iguais a zero.

No caso onde ψ(v, v) 6= 0, podemos reescrever o lado direito de (3.21) como

ψ(u+ αv, u+ αv) = ψ(v, v)

[(x+

a

ψ(v, v)

)2

+

(y − b

ψ(v, v)

)2]

+ψ(u, u)−(a2 + b2

ψ(v, v)

), (3.22)

e portanto ψ(u+ αv, u+ αv) ≥ 0 se e somente se

ψ(u, u)−(a2 + b2

ψ(v, v)

)≥ 0 ,

ou seja, se e somente seψ(u, u)ψ(v, v) ≥ a2 + b2 .

Portanto

|ψ(u, v)|2 ≤ ψ(u, u)ψ(v, v) , (3.23)

que e a desigualdade de Cauchy-Schwarz o


Obs. 18: Essa demonstracao poderia ser consideravelmente reduzida se esco-

lhermos α = 〈u,v〉〈v,v〉 em (3.16). Imediatamente isso implica que

0 ≤ 〈u, u〉 − |〈u, v〉|2

〈v, v〉.

o que demonstra a desigualdade.

Alem da desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos tambem a chamada desigualdadede Minkowski, que diz que se ψ e uma forma sesquilinear positiva, entao, para todosos vetores u, v ∈ V vale√

ψ(u− v, u− v) ≤√ψ(u, u) +

√ψ(v, v) . (3.24)

De fato,

ψ(u− v, u− v) = ψ(u, u)− ψ(u, v)− ψ(v, u) + ψ(v, v)

= ψ(u, u)− 2<(ψ(u, v)) + ψ(v, v)

≤ ψ(u, u) + 2|ψ(u, v)|+ ψ(v, v)

≤ ψ(u, u) + 2√ψ(u, u)

√ψ(v, v) + ψ(v, v)

=(√

ψ(u, u) +√ψ(v, v)

)2. (3.25)

Exercıcio 88: No espaco C([0, 1]) das funcoes contınuas definidas no intervalo

[0, 1], defina f(t) = t e g(t) = et. Calcule 〈f1, f2〉 =∫ 1

0f1(t)f2(t) dt, ‖f‖, ‖g‖ e ‖f+g‖.

Verifique a desigualdade de Cauchy-Schwarz

3.4 Processo de Ortonormalizacao de Gram-Schmidt

O proximo teorema e seus corolarios ilustram porque bases e conjuntos ortonormaissao tao importantes.

I Teorema 21: Seja V um espaco vetorial sobre K = R ou C, munido de um produtointerno e S = v1, v2, . . . , vk um conjunto ortogonal de vetores nao-nulos em V . Seu ∈ 〈S〉 e um vetor arbitrario, entao

u =

k∑i=1

〈u, vi〉〈vi, vi〉

vi (3.26)

J

Demonstracao: Como Se u ∈ 〈S〉, entao u =∑ki=1 aivi, onde ai ∈ K. Entao para

1 ≤ j ≤ k, temos

〈u, vj〉 =

⟨k∑i=1

aivi, vj

⟩=

k∑i=1

ai〈vi, vj〉 = aj〈vj , vj〉

Segue-se que aj =〈u,vj〉〈vj ,vj〉 o

3.4. PROCESSO DE ORTONORMALIZACAO DE GRAM-SCHMIDT — ROLDAO DA ROCHA,CMCC/UFABC, 2015 53

Todos os corolarios a seguir seguem desse teorema.

Corolario 3: Se alem das hipoteses do teorema anterior considerarmos que S eum conjunto ortonormal, entao

u =

k∑i=1

〈u, vi〉 vi

Demonstracao: Imediato, pois como S e ortonormal, segue-se que 〈vi, vi〉 = 1,para 1 ≤ i ≤ k, em (3.26) o

Exercıcio 89: Para qualquer n ∈ N, considere o espaco das funcoes contınuas queassumem valores complexos, definidas no intervalo [0, 2π], munido do produto escalar

〈f1, f2〉 =1

2π

∫ 2π

0

f(t)g(t)dt .

Mostre que o conjunto das funcoes fn(t) = eint, onde t ∈ [0, 2π] e um conjunto orto-

normal

Se V possui uma base ortonormal finita, entao o corolario acima nos permite calcularos coeficientes de uma combinacao linear de uma maneira simples:

Corolario 4: Seja V um espaco equipado com um produto interno e S ⊂ V umconjunto de vetores ortogonais nao-nulos. Entao S e linearmente independente

Demonstracao: Suponha que v1, . . . , vk ⊂ S e que∑ki=1 aivi = 0. Da prova

do teorema anterior com u = 0, concluımos que aj =〈0,vj〉〈vj ,vj〉 , para todo j tal que

1 ≤ j ≤ k. Portanto S e linearmente independente o

Obs. 19: O escalar〈u,vj〉〈vj ,vj〉 e a j-esima componente do vetor u na base vl ⊂ S

B Exemplo 23: Pelos corolarios acima, o conjunto ortonormal1√2

(1, 1, 0)ᵀ,1√3

(1,−1, 1)ᵀ,1√6

(−1, 1, 2)ᵀ

e uma base ortonormal de R3 munido com o produto interno canonico. Considere ovetor u = (2, 1, 3)ᵀ. Os coeficientes que fazem com que u possa ser expresso como umacombinacao linear dos vetores da base sao

a1 =3√

2

2, a2 =

4√

3

3, a3 =

5√

6

6

e portanto

(2, 1, 3)ᵀ =3√2

(1, 1, 0)ᵀ +4√3

(1,−1, 1)ᵀ +5√6

(−1, 1, 2)ᵀ .

C


O proximo teorema nos mostra como construir um conjunto ortogonal a partir deum conjunto LI de vetores, de tal maneira que ambos os conjuntos geram o mesmosubespaco vetorial. Antes porem de enunciar o teorema, consideremos um caso parti-cular.

Suponha que u1, u2 seja um conjunto LI de em um espaco munido com produtointerno. Queremos construir um conjunto ortogonal a partir de u1, u2, que tambemgere o subespaco gerado por u1, u2. Considere entao o conjunto v1, v2, onde v1 =u1 e v2 = u2 − au1, onde a ∈ K = R ou C e tomado de tal modo que v2 seja ortogonala 〈u1〉. Podemos calcular a da seguinte maneira:

0 = 〈v2, u1〉 = 〈u2 − au1, u1〉 = 〈u2, u1〉 − a〈u1, u1〉 ,

e portanto

a =〈u2, u1〉〈u1, u1〉

e

v2 = u2 −〈u2, u1〉〈u1, u1〉

u1 .

O teorema a seguir mostra que tal procedimento pode ser estendido para qualquerconjunto finito de vetores LI.

I Teorema 22: (Processo de Gram-Schmidt) Seja V um espaco vetorial munidocom produto interno e S = u1, u2, . . . , un ⊂ V um subconjunto LI. Defina T =v1, v2, . . . , vn, onde v1 = u1 e

vk = uk −k−1∑j=1

〈uk, vj〉〈vj , vj〉

vj , 2 ≤ k ≤ n . (3.27)

Entao T e um conjunto ortogonal de vetores nao-nulos tal que 〈S〉 = 〈T 〉 J

Demonstracao: Por inducao, para k ∈ 1, 2, . . . , n, seja Sk = u1, u2, . . . , uk.Se n = 1, entao o teorema e provado quando se toma T1 = S1, ou seja, quandov1 = u1 6= 0. Assuma agora que o conjunto Tk−1 = v1, v2, . . . , vk−1 tenha sidoconstruıdo pelo uso subsequente de (3.27). Entao, mostraremos que o conjunto Tk−1 =v1, v2, . . . , vk−1 possui as propriedades requeridas, onde vk e obtido de Tk−1 a partirde (3.27). Se vk = 0, entao (3.27) implica que uk ∈ 〈Tk−1〉 = 〈Sk−1〉, contradizendo ofato de que Sk e LI. Para 1 ≤ j ≤ k − 1, segue-se de (3.27) que

〈vk, vi〉 = 〈uk, vi〉 −k−1∑j=1

〈uk, vj〉〈vj , vj〉

〈vj , vi〉

= 〈uk, vi〉 −〈uk, vi〉〈vi, vi〉

〈vj , vi〉

= 0 ,


ja que 〈vj , vi〉 = 0 se i 6= j, pela hipotese de inducao de que Tk−1 e um conjuntoortogonal. Portanto Tk e um conjunto ortogonal de vetores nao-nulos. Agora, por(3.27) temos que 〈Tk〉 ⊆ 〈Sk〉. Como Tk e um conjunto LI, entao segue-se que dim〈Tk〉 = dim 〈Sk〉 = k. Daı Tk = Sk o

B Exemplo 24: Dado o conjunto S = (1, 0, 1)ᵀ, (0, 1, 1)ᵀ, (1, 3, 3)ᵀ ⊂ R3 (munidodo produto interno canonico) e u = (1, 1, 2)ᵀ, o processo de Gram-Schmidt nos forneceos vetores 1√

2(1, 0, 1)ᵀ, 1√

6(1, 2, 1)ᵀ, 1√

3(−1,−1, 1)ᵀ. As componentes do vetor (1, 1, 2)ᵀ

nesta base sao respectivamente 3√2, 3√

6, 0 C

Exercıcio 90: Dado o conjunto S = (1, 1, 1)ᵀ, (0, 1, 1)ᵀ, (0, 0, 1)ᵀ ⊂ R3 e o vetoru = (1, 0, 1)ᵀ, use o processo de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal

para S e calcule as componentes do vetor (1, 0, 1)ᵀ em tal base

Exercıcio 91: Em cada um dos itens abaixo, aplique o processo de Gram-Schmidtpara um dado conjunto de vetores S para encontrar uma base ortonormal para 〈S〉 eencontre os coeficientes de um dado vetor v ∈ V em relacao a respectiva base de S:

(a) V = R3 munido do produto escalar em (3.29), S = 1, x, x2 e v = 1− x.(b) V = 〈S〉, onde S = (1, i,−1)ᵀ, (2− i, 3, 0)ᵀ e v = (i, 1, 1).(c) V = R4 equipado com o produto escalar canonico,S = (1, 2, 3,−2)ᵀ, (0, 3, 1, 1)ᵀ, (0, 1, 1,−4)ᵀ e v = (−1, 2,−1, 1)ᵀ

(d) V =M(2,R), S =(1 2

2 −1

),

(−1 01 1

),

(1 11 0

)e v =

(1 −10 −1

)

Suponha agora que apliquemos o processo de Gram-Schmidt ao sistema de funcoes

x0(t) = 1, x1(t) = t, . . . , xk(t) = tk, . . . (3.28)

no espaco euclidiano das funcoes contınuas definidas no intervalo [−1, 1], munido doproduto escalar

〈f1, f2〉 =

∫ 1

−1f(t)g(t) dt. (3.29)

Entao o subespaco Uk = 〈1, t, . . . , tk〉 e equivalente ao conjunto dos polinomios navariavel t de grau menor ou igual a k. O conjunto Uk e claramente LI. Para ver isso,tome a combinacao linear

c11 + c2t+ . . .+ cktk = 0 ,

derive-a sucessivamente em relacao a t e mostre que ci = 0.As funcoes y0(t), y1(t), . . . , yk(t) sao obtidas atraves de x0(t), x1(t), . . . , xk(t) pelo

processo de Gram-Schmidt.


y0(t) = 1, y1(t) = t, y2(t) = t2 − 1

3, y3(t) = t3 − 3

5t, . . . (3.30)


Tais polinomios foram introduzidos por Legendre em 1785, e sua formula geral foimostrada por Rodrigues em 1814, que mostrou que o polinomio yk(t) e dado por

pk(t) =dk

dtk[(t2 − 1)k], (n ∈ N ∪ 0) (3.31)

Mostraremos que essa expressao diz que para j ∈ N arbitrario, o espaco 〈pj(t)〉 eortogonal ao espaco Uj−1, com respeito ao produto escalar (3.29). De fato, as derivadasde ordem 0, 1, . . . , n−1 do polinomio (t2−1)n = (t−1)n(t+1)n se anulam para t = ±1.Entao, para k < n, calculando-se o produto escalar 〈tk, pn(t)〉 temos (denotando-sef (n)) a n-esima derivada de f):

〈tk, pn(t)〉 =

∫ +1

−1tk[(t2 − 1)n](n) dt

= tk[(t2 − 1)n](n−1)|1−1 − k∫ 1

−1tk−1[(t2 − 1)n](n−1) dt ,

onde o primeiro termo a direita se anula. Continuando o processo ate que o expoentede t seja zero, obtemos:

〈tk, pn(t)〉 = −ktk−1[(t2 − 1)n](n−2)|1−1 + k(k + 1)

∫ 1

−1tk−2[(t2 − 1)n](n−2) dt ,

· · · = · · · · · ·= ±k! [(t2 − 1)n](n−k−1)|1−1 = 0

Segue-se que 〈pn(t)〉 ⊥ Uk−1.Calculemos agora pn(1). Como

pn(t) = [(t+ 1)n(t− 1)n](n)

= (t+ 1)n[(t− 1)n](n) + Cn1 [(t+ 1)n]′[(t− 1)n](n−1) + · · ·= (t+ 1)n n! + Cn1 n(t+ 1)n−1n(n− 1) · · · 2(t− 1) + · · ·

onde Cnk = n!k!(n−k)! . Quando t = 1 faz com que todos os termos, a partir do segundo

termo do lado direito da equacao acima, se anulam, e portanto

pn(1) = 2nn!

Os chamados polinomios de Legendre sao os polinomios pn(t):

Pn(t) =1

2nn!

dn

dtn[(t2 − 1)n] . (3.32)

O objetivo do que se segue agora e definir a projecao ortogonal de um vetor sobre umsubespaco dado.


ñ Definicao 7: O complemento ortogonal U⊥ de um subespaco vetorial U ⊆ V (comrespeito a uma forma bilinear B) e o conjunto de vetores em V que sao ortogonais aqualquer vetor em U :

U⊥ = u ∈ V |B(u, v) = 0, ∀v ∈ U .

3

No que se segue nos restringiremos ao caso onde B e um produto escalar.

I Proposicao 7: Se g e nao-degenerada e simetrica, e se nao existem vetoresisotropicos entao

dimU⊥ = dimV − dimU e (U⊥)⊥ = U

J

Demonstracao: Fixe uma base e1, . . . , ek de U . Entao

U⊥ = v ∈ V | g(ei, v) = 0, i = 1, 2, . . . , k

Agora,k∑i=1

λig(ei, v) = g

(k∑i=1

λiei, v

)e portanto tal combinacao linear e nula se e somente se λi = 0, pois g e nao-degenerada.Portanto, dim U⊥ = n− k, onde n = dim V . Assim, dim (U⊥)⊥ = n− (n− k) = k =dim U . Como g(u, v) = 0, se v ∈ U e u ∈ U⊥, entao v ∈ (U⊥)⊥, e portanto (U⊥)⊥ = Uo

Exercıcio 93: Mostre que 0⊥ = V e que V ⊥ = 0

Exercıcio 94: Seja U = 〈(i, 0, 1)ᵀ〉 ⊂ C3. Encontre uma base ortonormal para U

e para U⊥, com relacao ao produto interno canonico em C3

I Teorema 23: Seja U ⊆ V um espaco vetorial munido de um produto escalar dedimensao finita, e um vetor v ∈ V . Entao existem unicos vetores u ∈ U e w ∈ U⊥ taisque v = u+ w. Alem disso, se v1, . . . , vk e uma base ortonormal de V , entao

u =

n∑i=1

〈u, vi〉 vi . (3.33)

J

Demonstracao: Considere u ∈ U como em (3.33) e seja w = v − u. A fim de semostrar que w ∈ U⊥ e suficiente mostrar que w e ortogonal a cada vj . Para qualquerj ∈ 1, . . . , k, temos⟨(

v −k∑i=1

〈u, vi〉 vi

), vj

⟩= 〈v, vj〉 −

k∑i=1

〈v, vi〉〈vi, vj〉

= 〈v, vj〉 − 〈v, vj〉 = 0 .


Para se mostrar a unicidade de u e w, suponha que v = u+ w = u′ + w′, onde u′ ∈ Ue w′ ∈ U⊥. Entao u = u′ = w − w′ ∈ U ∩ U⊥ = 0. Portanto u = u′ e w = w′ o

Obs. 20: O vetor u =∑ni=1〈u, vi〉 vi e denominado projecao ortogonal de v sobre

U .

B Exemplo 25: Tome V = P3(R) = 〈1, x, x2, x3〉 equipado com o produto escalar(3.29). Calculemos a projecao ortogonal de f(x) = x3 em P2(R) = 〈1, x, x2〉. Oconjunto

u1, u2, u3 =

1√2,

√3

2t,

√5

8(3t2 − 1)

formado pelos polinomios de Legendre normalizados e uma base ortonormal paraP2(R). Para esses vetores temos:

〈f(x), u1〉 =

∫ 1

−1t3

1√2dt = 0, 〈f(x), u2〉 =

∫ 1

−1t3√

3

2tdt =

√6

5

e

〈f(x), u3〉 =

∫ 1

−1t3√

5

8(3t2 − 1)dt = 0 ,

seguindo-se entao que a projecao requerida e dada por

〈f(x), u1〉u1 + 〈f(x), u2〉u2 + 〈f(x), u3〉u3 =3

5x

C

Exercıcio 95: Para cada um dos seguintes itens, encontre a projecao ortogonaldo vetor u ∈ V dado no subespaco W ⊂ V dado, e encontre a distancia de u a W :(a) V = R2, u = (3, 5)ᵀ e W = (x, y)ᵀ | : y = 4x.(b) V = R3, u = (−1, 1, 2)ᵀ, e W = (x, y, z)ᵀ |x+ 3y − 2z = 0.(c) V = P (R) com o produto escalar 〈f1, f2〉 =

∫ 1

0f(t)g(t) dt. Dado u(x) = 1+3x−2x2,

W e o espaco gerado por 1, x

3.5 Normas em espacos vetoriais

Nesta secao temos o intuito de apresentarmos normas para o caso particular dematrizes. Para tanto, consideramos V um espaco vetorial sobre R. Uma norma em Ve uma aplicacao ‖ · ‖ : V → R satisfazendo tres propriedades:

a) ‖ v‖ ≥ 0, onde a igualdade e valida se e somente se v = 0b) ‖ v + w‖ ≤ ‖ v‖ + ‖w‖ , para v, w ∈ Vc) ‖ av‖ = |a| ‖v‖ para a ∈ R, v ∈ V

A mesma condicao se aplica para um espaco vetorial complexo. De uma normaobtemos uma metrica sobre V fazendo d(v, w) = ‖ v − w‖ .

3.5. NORMAS EM ESPACOS VETORIAIS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 59

A norma padrao sobre Rn e dada por∥∥∥∥∥n∑i=1

aiei

∥∥∥∥∥ =

√√√√ n∑i=1

a2i

e da mesma obtemos a metrica euclidiana sobre o Rn. Uma outra norma sobre Rn e anorma do supremo ∥∥∥∥∥

n∑i=1

aiei

∥∥∥∥∥∞

= maxi|ai|

e desta ultima, temos a metrica do supremo no Rn: d(∑aiei,

∑biei) = max |ai − bi|.

Em Cn a norma padrao e dada igualmente por∥∥∥∥∥n∑i=1

aiei

∥∥∥∥∥ =

√√√√ n∑i=1

|ai|2

e a norma do supremo e definida como no Rn. Um modo usual de se definir umanorma em um espaco vetorial real V e atraves de um produto interno, ou seja, umaaplicacao 〈 · , · 〉 : Rn × Rn → R bilinear, simetrica e positiva definida. O produtointerno padrao no Rn e dado por:(

n∑i=1

aiei,

n∑i=1

biei

)=

n∑i=1

aibi

Para um produto interno 〈 · , · 〉 em V , uma norma pode ser definida por ‖ v‖ =√〈v, v〉. As propriedades de norma sao uma consequencia da desigualdade de Cauchy-

Schwarz

| 〈v, w〉 |≤√〈v, v〉〈w,w〉 = ‖ v‖ ‖w‖ , (3.34)

cuja demonstracao pode ser encontrada na maioria dos livros de algebra linear. Emparticular, usando o produto interno padrao no Rn, obtemos a forma classica dessadesigualdade, como demonstrado por Cauchy:

|n∑i=1

aibi |≤

√√√√√( n∑i=1

a2i

) n∑j=1

b2j

Contudo, a desigualdade de Cauchy-Schwarz e valida em particular para qualquerforma bilinear simetrica definida sobre um espaco vetorial real, e nao apenas para oproduto interno padrao no Rn. A norma no Rn que vem do produto interno padrao ea norma padrao. Por outro lado, a norma do supremo Rn nao advem de um produto


interno, isto e, nao ha nenhum produto interno cuja norma associada e a norma dosupremo.

Talvez a principal consequencia da desigualdade de Minkowski (3.24) a desigualdadetriangular. Supondo que 〈 · , · 〉 seja um produto escalar que mune um espaco vetorial,definimos uma metrica ou distancia entre dois vetores u e v por

d(u, v) = ‖u− v‖ =√〈u− v, u− v〉 .

Como 〈 · , · 〉 e um produto escalar, segue-se que d(u, v) = 0 se e somente se u = v.Tambem d(u, v) = d(v, u). Alem disso, segue da desigualdade de Minkowski que, paraquaisquer vetores u, v, w ∈ V

d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v) . (3.35)

Para ver isso, note que

d(u, v) =√〈u− v, u− v〉

=√〈(u− w)− (v − w), (u− w)− (v − w)〉

=√〈u− w, u− w〉+

√〈v − w, v − w〉

= d(u,w) + d(w, v)

Exercıcio 96: Mostre a identidade do paralelogramo:

‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2 (3.36)

Obs. 21: Note que a desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser alternativamenteescrita como

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖

Embora a norma do supremo e o produto interno padrao no Rn nao sejam iguais,cada uma e limitada por uma constante multiplo da outra:

maxi| ai |≤

√√√√ n∑i=1

a2i ≤√nmax

i| ai |

Isto e, ‖ v‖∞ ≤ ‖ v‖ ≤√n‖ v‖∞. Portanto, as metricas associadas a estas duas

normas implicam na mesma nocao de convergencia: uma sequencia no Rn que e con-vergente com respeito a uma das metricas e tambem convergente com respeito a outrametrica.

Ja vimos no inıcio deste Capıtulo a definicao de aplicacao adjunta. Aqui o objetivo eagora relacionar tais definicoes especificamente ao espaco das matrizes que agem sobrevetores no Rn. Dada uma matriz A ∈ End(Rn) com entradas (aij), ja mostramosque Aᵀ possui componentes (aji). Sabemos tambem que a matriz Aᵀ e associada a


aplicacao adjunta A∗ ∈ End((Rn)∗) associada a aplicacao A ∈ End(Rn), ou seja, paraquaisquer v, w ∈ Rn

〈Av,w〉 = 〈v,Aᵀw〉

Vamos brevemente indicar qual e o analogo destas ideias para os espacos vetoriaiscomplexos. Ja vimos que um produto escalar num espaco vetorial complexo V e umaforma bilinear 〈 · , · 〉 : V × V → C que satisfaz as seguintes propriedades:

1) linear na primeira entrada e anti-linear na segunda entrada;2) anti-simetrica: 〈v, w〉 = 〈w, v〉3) positiva definida: 〈v, v〉 ≥ 0, com a igualdade valida se e somente se v = 0.

O produto interno padrao em Cn e dado por 〈∑ni=1 aiei,

∑nj=1 bjej〉 =

∑ni=1 aibi,

onde aqui ai, bj ∈ C. Um produto interno num espaco vetorial complexo tambemsatisfaz a desigualdade de Cauchy-Schwarz, portanto pode ser usado para definir umanorma tal como no caso de espacos vetoriais reais.

O produto interno acima em Cn esta intimamente relacionado a tomar a transposicaoseguida da conjugacao complexa de matrizes complexas. Para A = (aij) ∈Mn(C), sejaA† = (aji) a sua transposta conjugada. Entao para todo v, w ∈ Cn, 〈A†v, w〉 = 〈v,Aw〉.

Exercıcio 97: Dado V =M(n,C), mostre que a funcao f : V × V → C definida

por f(A,B) = 1n Tr (A†B), ∀A,B ∈M(n,C) e um produto interno complexo.

Exercıcio 98: Mostre que se f1, f2 sao funcoes contınuas definidas no intervalo[0, 2π], entao

1

2π

∫ 2π

0

f1(x)f2(x) dx

e um produto interno

Exercıcio 99: Dado o produto interno

〈A,B〉 =1

2Tr (A†B), ∀A,B ∈M(2,C) ,

calcule ‖A‖, ‖B‖ e 〈A,B〉 para

A =

(1 2 + i3 i

)B =

(1 + i 0i −i

).

Exercıcio 100: Em C2, mostre que 〈u, v〉 = u†Av e um produto interno, onde

A =

(1 i−i 2

). Calcule 〈u, v〉 para

u =

(1− i2 + 3i

), v =

(2 + i

3− 2i

)


Apesar de focarmos em normas sobre espacos vetoriais de dimensao finita, a extensaopara espacos vetoriais de dimensao infinita e muito importante. De agora em diante,a norma de um produto interno em Rn e Cn sao as usuais.

3.5.1 Definindo normas em matrizes

A fim de se definir a norma de uma matriz, A ideia mais simples e identificarM(n,R)

com Rn2

— enquanto espacos vetoriais — e usar a norma do supremo:

‖ (aij)‖ = maxi,j| aij |

Mas percebe-se que esta nao e a melhor norma para se usar com matrizes, bem como

a norma padrao ‖ (aij)‖ =√∑

a2ij . Contudo, antes de indicarmos qual e uma “boa”

norma para o espaco das matrizes, usemos a ideia da norma do supremo para provarque matrizes definem aplicacoes contınuas A ∈ End(Rn). Dado um vetor v ∈ Rn,

‖Av‖ ≤√n‖Av‖∞

=√nmax

i|n∑j=1

aijvj |

≤√nmax

i

n∑j=1

| Aij || vj |

≤ n√nmax

i,j| aij | .‖ v‖∞

≤ n√nmax

i,j| aij | .‖ v‖

Seja C = n√nmax | aij |, uma constante dependendo da dimensao n do espaco e da

matriz A, mas nao do vetor v. Por linearidade, ‖Av −Aw‖ ≤ C‖ v − w‖ para todosv, w ∈ Rn. Portanto se v → w entao Av → Aw, implicando que A ∈ End(Rn) e umaaplicacao contınua. A fim de definir uma norma emM(n,R) primeiro escolhemos umanorma em Rn e entao subsequentemente escolhemos uma norma em M(n,R) baseadanesta escolha. Para manter o enfoque de forma concreta, usaremos a norma padrao doRn. Apresentemos a seguir o calculo acima na forma de um lema.

I Lema 2: Para A ∈M(n,R), existe uma constante C ≥ 0 tal que ‖Av‖ ≤ C‖ v‖para todo v ∈ Rn J

Demonstracao: E claro que a constante C que escrevemos aciam nao e a prioriotima, existindo possivelmente uma constante menor C

′< C tal que ‖Av‖ ≤ ‖ v‖ ,

para todo v ∈ Rn. Ou seja, a partir da norma padrao ‖ .‖ em Rn obtemos uma normaem M(n,R) associando a A ∈ M(n,R) o menor C ≥ 0 tal que ‖Av‖ ≤ C‖ v‖ paratodo v ∈ Rn. o

I Teorema 24: Para toda A ∈M(n,R), existe um unico numero real b tal que:(i) ‖Av‖ ≤ b‖ v‖(ii) ‖Av‖ ≤ C‖ v‖ para todo v ∈ Rn, entao b ≤ C. J


Demonstracao: Reescalonando vetores nao nulos, a desigualdade ‖Av‖ ≤ C‖ v‖e verdadeira para todo v ∈ Rn se e somente se a desigualdade ‖Av‖ ≤ C e verdadeirapara v ∈ Rn com ‖ v‖ = 1. Entao, este teorema afirma que o conjunto ‖Av‖ : ‖ v‖ =1 atinge um ponto de maximo. E o que provaremos. Seja b a menor cota superiordeste conjunto, entao certamente ‖Av‖ ≤ b para todo v com ‖ v‖ = 1. Devemosmostrar que b = ‖Ax‖ para algum x ∈ Rn com ‖x‖ = 1. Escolhemos uma sequenciavn tal que ‖ vn‖ = 1 e ‖Avn‖ → b. Como a bola unitaria no Rn e compacta, vnpossui um ponto limite, digamos x. Entao pela continuidade de A, Ax e um pontolimite da sequencia Avn. Como ‖Avn‖ → b, segue que ‖Ax‖ = b o

ñ Definicao 8: Para A ∈ M(n,R), ‖A‖ e o menor numero real satisfazendo adesigualdade ‖Av‖ ≤ ‖A‖ ‖ v‖ . Esta e a chamada norma operatorial de A. 3

O proximo teorema mostra que a norma operatorial e um norma emM(n,R) e possuivarias outras propriedades interessantes.

I Teorema 25: Para A,B ∈M(n,R) e v, w ∈ Rn:i) ‖A‖ ≥ 0, onde a igualdade e valida se e somente se A = 0.ii) ‖A+B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖ .iii) ‖ aA‖ =| a | ‖A‖ , para a ∈ R.iv) ‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ . Em geral ‖AB‖ 6= ‖A‖ ‖B‖ .v) ‖ A‖ = ‖Aᵀ‖vi) ‖AAᵀ‖ = ‖AᵀA‖ = ‖A‖ 2. Portanto ‖A‖ =

√‖AAᵀ‖ =

√‖AᵀA‖

vii) | 〈Av,w〉 |≤ ‖A‖ ‖ v‖ ‖w‖ .viii) ‖A‖∞ ≤ n

√n‖A‖∞, eM(n,R) e completo com a respectiva norma operatorial.

J

Demonstracao: i) Se ‖A‖ = 0, entao para todo v ∈ Rn temos que ‖Av‖ ≤‖A‖ ‖ v‖ ≤ 0‖ v‖ = 0 (essas desigualdades seguem imediatamente da Definicao e oTeorema anteriores). Nesse caso Av = 0 e A = 0. A recıproca e trivial.ii) Dado v ∈ Rn:

‖ (A+B)v‖ ≤ ‖Av +Bv‖≤ ‖Av‖ + ‖Bv‖≤ ‖A‖ ‖ v‖ + ‖B‖ ‖ v‖= (‖A‖ + ‖B‖ )‖ v‖ .

Portanto ‖A+B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖ .iii) Dado a ∈ R,

‖ aA(v)‖ ≤ | a | ‖Av‖ ≤ | a | ‖A‖ ‖ v‖

Isso implica que ‖ aA‖ ≤ | a | ‖A‖ . Deixamos o restante deste item para o leitordemonstrar.iv) Para v ∈ Rn, ‖A(Bv)‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ ‖ v‖ . Portanto, da propriedade fundamental

da norma operatorial, temos que ‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ . Para mostrar que em geral


‖AB‖ 6= ‖A‖ ‖B‖ , note que se ‖AB‖ = | A‖ ‖B‖ para todas A,B, entao paraA,B 6= 0 deverıamos ter ‖AB‖ 6= 0, portanto AB 6= 0. Ou seja, o produto dequaisquer duas matrizes nao-nulas seria nao-mulo. Isto e falso quando n > 1, pois hamuitas matrizes nao-nulas cujo quadrado e nulo.v) ‖Av‖ 2 = | 〈Av,Av〉 |= | 〈v,AᵀAv〉 |≤ ‖ v‖ ‖AᵀAv‖ pela desigualdade de Cauchy-Schwarz. Esta ultima expressao e menor ou igual a ‖AᵀA‖ ‖ v‖ 2, entao

‖Av‖ ≤ (‖AᵀA‖ )1/2 ‖ v‖

Segue-se que ‖A‖ ≤√‖AᵀA‖ e

‖A‖ 2 ≤ ‖AᵀA‖ ‖A‖ .

Dividindo por ‖A‖ quando A 6= 0, obtemos ‖A‖ ≤ ‖Aᵀ‖ . Isto tambem obviamentevale para A = 0. Agora, trocando A por Aᵀ, obtemos:

‖Aᵀ‖ ≤ ‖ (Aᵀ)ᵀ‖ = ‖A‖ .

Portanto ‖A‖ = ‖Aᵀ‖ .vi) Do item v):

‖A‖ 2 ≤ ‖AᵀA‖ ≤ ‖Aᵀ‖ ‖A‖ = ‖A‖ 2.

Portanto ‖A‖ 2 = ‖AᵀA‖ . Usando Aᵀ no lugar de A obtemos uma outra desigual-dade, pois ‖Aᵀ‖ = ‖A‖ .vii) Decorre da desigualdade de Cauchy-Schwarz.

viii) Seja v = ej e w = ei na parte vii):

| aij | ≤ ‖A‖

Portanto ‖A‖∞ ≤ ‖A‖ . A outra desigualdade segue do calculo que precede ao 3.5.1.A completeza de M(n,R) com respeito a norma operatorial segue da completeza danorma do supremo e do fato que estas duas normas sao equivalentes. o

Portanto temos uma norma em M(n,R) que esta ligada de forma interessante como produto interno padrao em Rn (parte vii do teorema 3.5.1). Contudo, ao contrarioda norma padrao em Rn, nao e possıvel em geral calcular a norma operatorial emM(n,R), exceto para alguns casos simples. Por exemplo, e claro que ‖ I‖ = 1, entao‖ aI‖ = | a | para todo numero real a. Mas qual e o valor de∥∥∥∥(1 2

3 4

)∥∥∥∥ ?

Da ultima parte do teorema 3.5.1, esta norma e limitada superiormente por 8√

2. Naproxima secao nos apresentamos uma formula explıcita para a norma operatorial emM(n,R) a qual nos permitira calcular facilmente a norma desta matriz.

3.6. DUALIDADE E ADJUNTA — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 65

Exercıcio 101: Defina a norma operatorial emM(n,C) e estabeleca um analogodo teorema 3.5.1. E verdadeiro que dada uma matriz emM(n,C), a sua norma e a datransposta sao iguais ? Para uma matriz A ∈ M(n,R), mostre que sua norma opera-torial como um elemento de M(n,R) e igual a norma operatorial como um elemento

de M(n,C).

3.5.2 Correlacao

Uma correlacao e uma aplicacao linear τ : V → V ∗. Uma correlacao define natural-mente um funcional bilinear g : V × V → K atraves de

g(v, u) = τ(v)(u)

Se ker τ = 0 a correlacao e dita ser nao-degenerada. Dizemos tambem que V e ofuncional bilinear associado a τ sao nao-degenerados. Como dim V = dim V ∗, se kerτ = 0 entao τ e um isomorfismo, ou seja, uma correlacao nao-degenerada estabeleceum isomorfismo entre um espaco vetorial e o seu dual.

Em um espaco simpletico temos que σ(v, u) = −σ(u, v) e portanto a correlacao τnesse caso satisfaz a relacao τ(v)(u) = −τ(u)(v).

Ao longo deste texto iremos considerar apenas espacos quadraticos e faremos usoconsideravel das correlacoes simetricas τ : V → V ∗ e τ−1 : V ∗ → V . Nesse caso iremosusar uma outra notacao para essas correlacoes:

[ : V → V ∗, ] : V ∗ → V

de modo que [ = ]−1 e ] = [−1. Estes isomorfismos serao chamados isomorfismosmusicais [7]. Escreveremos geralmente

v[ = [(v), α] = ](α)

Por definicao temos portanto

v[(u) = g(v, u), g(α], v) = α(v)

Para v =∑i viei e u =

∑i u

iei podemos escrever g(v, u) =∑ij gijv

iuj , onde gij =

g(ei, ej) = gji. Como v[(u) = v[iui, onde v[i sao as componentes do covetor v[ na base

ei, ou seja, v[ = v[iei, segue que v[i =

∑j gijv

j . Equivalentemente temos ei[ = gijej .

Nesse sentido,∑k gikg

kj = δji .

3.6 Dualidade e Adjunta

No Cap.(1) associamos a um K-espaco vetorial V o seu espaco dual V ∗ = Hom(V,K),onde mostramos que dim V = dim V ∗ (se a dimensao de V for finita) e construımoso isomorfismo canonico τ : V → V ∗∗. Incluiremos agora nesse conceito aplicacoeslineares, subespacos e espacos quocientes.


Dados a ∈ K, α ∈ V ∗ e v ∈ V , ao inves de denotarmos α(v), usaremos o sımbolo〈α, v〉, a partir do mapa 〈 , 〉: V ∗ × V → K, o qual podemos provar que e linear emcada um dos seus argumentos:

〈aα1 + α2, v〉 = a〈α1, v〉+ 〈α2, v〉〈α, v1 + av2〉 = 〈α, v1〉+ a〈α, v2〉 (3.37)

Vimos que, com essa notacao,

〈ei, ej〉 = δij =

1, i = j,0, i 6= j.

onde os covetores ei formam uma base para V ∗, enquanto que ei e base de V .O mapa τ : V → V ∗∗ pode ser definido pela condicao 〈τv, α〉 = 〈α, v〉, e ja que V eV ∗∗ sao canonicamente isomorfos, entao a formula 〈τ(v), α〉 = 〈α, v〉 e reescrita como〈v, α〉 = 〈α, v〉, ja que nesse sentido V pode ser considerado com o espaco dual a V ∗.As bases ei e ej formam um par dual e essa relacao e simetrica.

Obs. 22: Denotaremos α ∈ V ∗ por v[ = τ(v) ∈ V ∗, o que implicitamente implicaque estamos fazendo uso de uma metrica em V , ou seja, essa identificacao necessita queV precisa ser munido de um produto interno, e portanto o mapa 〈 , 〉 : V ∗ × V → Kcorresponde ao produto interno 〈 , 〉 : V × V → K induzido por uma metrica em V

Exercıcio 102: Prove que se dim V < ∞, entao toda base de V ∗ e a dual dealguma base de V

3.6.1 Aplicacoes Duais

Seja φ : W → V uma aplicacao linear entre K-espacos vetoriais W e V . Mostraremosque existe um unico mapa linear φ∗ : V ∗ →W ∗ — denominado adjunta — que satisfaz

〈φ∗(v[), u〉 = 〈v[, φ(u)〉 ∀v[ ∈ V ∗, u ∈W

De agora em diante esta implıcito que o espaco vetorial e munido de uma metrica, edenotaremos a relacao acima por 〈φ∗(v), u〉 = 〈v, φ(u)〉. Tal aplicacao e unica. Comefeito, suponha que ha dois mapas φ∗1 e φ∗2. Entao 〈φ∗1(v), u〉 = 〈φ∗2(v), u〉,∀u, v ∈ V.Segue-se que 〈(φ∗1−φ∗2)(v), u〉 = 0. Fixando-se v e variando-se u, temos que o funcionallinear (φ∗1 − φ∗2)(v) ∈W ∗ se anula em todos os vetores de V , e portanto, φ∗1 − φ∗2 = 0,o que implica que φ∗1 = φ∗2.

Existencia de φ∗. Fixamos v e consideramos 〈v, φ(u)〉 uma funcao em W . A linearidadede φ e a bilinearidade de 〈 , 〉 implica que 〈v, φ(u)〉 e linear, e portanto pertence a W ∗.Denotamos 〈v, φ(u)〉 = φ∗(v). Da linearidade de 〈v, φ(u)〉 segue-se que

φ∗(v1 + v2) = φ∗(v1) + φ∗(v2), φ∗(av) = aφ∗(v)

sendo φ∗ portanto linear.

3.6. DUALIDADE E ADJUNTA — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 67

Considere agora bases ortonormais e1, . . . , en ⊂ W e f1, . . . , fm ⊂ V e suasrespectivas bases duais de W ∗ e V ∗. Considere A a matriz correspondente de φ nessasbases. Entao a matriz de φ∗ e dada por Aᵀ. Com efeito,

Aej =

m∑l=1

Aljfl, A∗fi =

n∑k=1

Bkiek

Como ambas as bases sao ortonormais, temos para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n:

Bji =

n∑k=1

Bkiδkj =

n∑k=1

Bkiek(ej) =

⟨n∑k=1

Bkiek, ej

⟩

= 〈A∗fi, ej〉 = 〈fi, Aej〉 =

⟨fi,

m∑l=1

Aljfl

⟩

=

m∑l=1

Alj〈fi, fl〉 =

m∑l=1

Aljfj(fi) =

m∑l=1

Aljδji

= Aij (3.38)

I Teorema 26: Sejam φ, φ1, φ2 ∈ Hom(W,V ) e h ∈ Hom(V,Z), onde V,W,Z saoK-espacos vetoriais, e a ∈ K. Entaoa) (φ1 + φ2)∗ = φ∗1 + φ∗2b) (aφ)∗ = aφ∗

c) (hφ)∗ = φ∗h∗

d) I∗ = Ie) O∗ = Of) φ∗∗ = φ J

Exercıcio 103: Prove o Teorema anterior

Exercıcio 104: Prove que se dim V < ∞, entao toda base de V ∗ e a dual dealguma base de V

I Teorema 27: Seja (V, g) um K-espaco vetorial munido de uma metrica, dim V =n. Para todo subespaco vetorial U ⊆ V e possıvel cindir V = U ⊕ U⊥ J

Demonstracao: Tome e1, . . . , en uma base ortonormal de V , onde e1, . . . , ek(k ≤ n) — quando U e subespaco proprio de V temos que k < n — e base ortonormalde U . Estendendo-se a base e1, . . . , ek de U a base de V e1, . . . , en (pelo processode Gram-Schmidt), temos que a base ek+1, . . . , en de U⊥ e ortonormal e cada vetordessa base e ortogonal a U , o que implica que V = U ⊕ U⊥, pois U ∩ U⊥ = 0 o

ñ Definicao 9: Dizemos que um subespaco U ⊂ V e nao-degenerado com respeitoa uma funcao bilinear B se B|U for nao-degenerada 3

Obs. 23: Provamos que o Teorema vale quando V e munido de uma metricag, ou seja, uma forma bilinear simetrica nao-degenerada. A propriedade de ser nao-degenerada e crucial, uma vez que U ∩U⊥ = ker g|U . Se U ∩U⊥ = 0, entao ker g|U


= 0, e portanto a cisao V = U ⊕ U⊥ so e possıvel se o espaco quadratico (V,B) fornao-degenerado

Exercıcio 105: Este exercıcio mostrara uma forte relacao entre SU(2) e SO(3).Mostraremos que existe um homomorfismo de grupos φ que mapeia SU(2) em SO(3).Considere o espaco vetorial V de todas as matrizes complexas 2 × 2 auto-adjuntasde traco zero. Esse espaco corresponde ao espaco vetorial real 3-dimensional com aseguinte base

v1 =

(0 11 0

), v2 =

(0 i−i 0

), v3 =

(1 00 −1

).

Defina o produto interno em V pela expressao 〈A,B〉 = 12Tr(AB).

1. Mostre que e de fato um produto interno.

2. Mostre que v1, v2, v3 e uma base ortonormal de V .

3. Estabeleca um isomorfismo entre V e R3.

Exercıcio 106: Com relacao ao exercıcio anterior, se U e um elemento de SU(2) ev ∈ V , mostre que UvU−1 ∈ V . Portanto para cada U ∈ SU(2), podemos definir φU ∈End(V ) por φU (v) = UvU−1. (Esse mapa chama-se representacao adjunta). Dadosv, w ∈ V , prove que φU e uma aplicacao ortogonal de V ∼= R3, e portanto φU e umelemento de O(3).

Com isso o mapa U 7→ φU e um mapa de SU(2) em O(3). Mostre que tal mapa eum homomorfismo de grupos (Basta provar que φU1U2 = φU1φU2) contınuo. Se todoelemento de O(3) possui determinante ±1, ja que SU(2) e conexo e o mapa U 7→ φU econtınuo, φU deve ser um mapa em SO(3). Segue-se que U 7→ φU e um homomorfismode grupos (de Lie) de SU(2) em SO(3). Dizemos ainda que SO(3) ' SU(2)/Z2. Mostre

que o mapa U 7→ φU nao e injetivo

Exercıcio 107: Prove que φ ∈ Hom(V,W ), onde V,W sao K-espacos vetoriais dedimensao finita munidos de uma metrica, entao ker φ∗ = Im(φ)⊥, ker φ = Im(φ∗)⊥,

Im (φ) = ker (φ∗)⊥ e Im (φ∗) = ker (φ)⊥. (Dica: use que φ∗∗ = φ e W⊥⊥ = W )

Dizemos que φ ∈ End(V ) e auto-adjunto se

〈φ(v), u〉 = 〈v, φ(u)〉 ∀u, v ∈ V

Exercıcio 108: Mostre que se φ, ψ ∈ Aut(V ) sao auto-adjuntos, entao φψ eauto-adjunto se, e somente se, φψ = ψφ. Mostre tambem que se assumirmos somenteque φ, ψ ∈ End(V ) tal afirmacao e incorreta.

I Teorema 28: Se um subespaco U ⊂ V e invariante por φ ∈ End(V ), entao U⊥ einvariante por φ∗ ∈ End(V ∗) J

3.7. APLICACOES ORTOGONAIS, SIMETRICAS E ANTISSIMETRICAS — ROLDAO DA ROCHA,CMCC/UFABC, 2015 69

Demonstracao: Dados u ∈ U e v ∈ U⊥, entao φ(u) ∈ U , por hipotese. Entao,〈u, φ∗(v)〉 = 〈φ(u), v〉 = 0, portanto φ∗(v) ∈ U⊥ e portanto U⊥ e invariante por φ∗ o

No caso de formas bilineares antissimetricas σ : V ×V → K, denominamos uma basee1, . . . , en ⊂ V simpletica (com respeito a σ) se

σ(e2k−1, e2k) = σ(e2k, e2k−1) = 1, k = 1, . . . ,m

σ(ei, ej) = 0, para todos os outros casos. (3.39)

Em outras palavras, nesta base a matriz de σ e dada por

(0 1−1 0

)(

0 1−1 0

)0

. . . (0 1−1 0

)0 0

. . .

0

onde o numeros de blocos

(0 1−1 0

)na diagonal e m.

I Teorema 29: Para toda forma quadratica antissimetrica em V (dimV = n) existeuma base simpletica J

Demonstracao: Inducao em n. Para n = 1 nao ha nada a se mostrar. Seja n > 1.Se σ ≡ 0 tambem nao ha nada a se mostrar. Se σ 6= 0, existem vetores e1, e2 tais queσ(e1, e2) 6= 0, que podem ser normalizados de modo que σ(e1, e2) = 1 = −σ(e2, e1).

A matriz de σ|〈e1,e2〉 tem a forma

(0 1−1 0

)na base e1, e2, e em particular e nao-

singular. Pelo Teorema, e possıvel escrever V = 〈e1, e2〉⊕〈e1, e2〉⊥. Por inducao, existeuma base simpletica e3, e4, . . . , en em 〈e1, e2〉⊥. Portanto eis a base simpletica de V :e1, e2, e3, e4, . . . , en o

Obs. 24: Usamos aqui o resultado proveniente do teorema de decomposicoesortogonais para formas antissimetricas, que ainda nao foi demonstrado.

3.7 Aplicacoes Ortogonais, Simetricas e Antissimetricas

Vimos que para cada aplicacao linear φ ∈ End(V ), existe uma funcao bilinearBφ(u, v) = 〈u, φ(v)〉. A matriz de Bφ(u, v) na base e1, . . . , en coincide com a matriz


da aplicacao φ nessa base, pois Bφ(ei, ej) = Bijφ = 〈ei, φ(ej)〉, que e a i-esima coorde-nada do vetor φ(ej). Segue-se entao o isomorfismo (canonico) φ 7→ Bφ entre o espacoEnd(V ) e o espaco das funcoes bilineares em V , decorrendo o

I Teorema 30: Seja V um K-espaco vetorial de dimenao finita munido de umaforma bilinear. Para cada forma bilinear B : V × V → K existe uma unica aplicacaolinear φ ∈ End(V ) tal que

Bφ(u, v) = 〈u, φ(v)〉, ∀u, v,∈ V . (3.40)

A aplicacao φ 7→ Bφ e uma transformacao entre o espaco End(V ) e o espaco dasfuncoes bilineares em V J

Exercıcio 109: Dados α, β funcionais lineares, mostre que para todos u, v ∈ V ,a funcao

(α⊗± β)(u, v) :=1

2(α(u)β(v)± β(u)α(v)) (3.41)

e bilinear.

Funcionais bilineares simetricos [antissimetricos] correspondem a aplicacoes linearessimetricas [antissimetricas], e duas matrizes associadas satisfazem A∗ = A [A∗ = −A].Aplicacoes lineares simetricas sao tambem denominadas auto-adjuntas.

Exercıcio 110: Mostre que as formas bilineares dadas pelas Eqs.(3.41) sao res-

pectivamente simetricas e antissimetricas

Exercıcio 111: Mostre que uma aplicacao que corresponde a projecao ortogonalem um subespaco e simetrica

Operadores lineares φ ∈ End(V ) tais que φ∗ = φ−1 sao denominados ortogonais. Suasmatrizes associadas satisfazem a condicao AAᵀ = I, e tais aplicacoes formam umgrupo, denominado grupo ortogonal e denotado por O(n,K) ⊂ M(n,K).

Exercıcio 112: Mostre que O(n,K) satisfaz as propriedades de grupo

O grupo geral linear GL(n,K) consiste nas matrizes n × n quadradas nao-singularessobre o corpo K, enquanto que o grupo SL(n,K) < GL(n,K) e consiste das matrizesque possuem deteminante igual a 1.

O grupo ortogonal especial consiste nas matrizes ortogonais cujo determinante eigual a 1, e portanto SO(n,K) = O(n,K)∩ SL(n,K).

O grupo unitario U(n) por sua vez consiste nas matrizes M(n,C) que satisfazem acondicao AA† = A†A = I, onde A† indica a matriz complexa conjugada transposta,denominada hermitiana conjugada da matriz A. Se A = [aij ] entao A† = [aij ]

Exercıcio 113: Mostre que U(n) e um grupo


Uma aplicacao φ ∈ End(V ) e ortogonal se

〈φ(u), φ(v)〉 = 〈u, v〉 (3.42)

Como 〈φ(u), φ(v)〉 = 〈u, φ∗φ(v)〉, entao φ e ortogonal se φ∗ = φ−1.

I Proposicao 8: Uma aplicacao linear auto-adjunta ou anti-auto-adjunta ou ortogo-nal possui a propriedade de que se um subespaco U ⊂ V e invariante por φ ∈ End(V ),entao U⊥ e invariante por φ J

Demonstracao: O Teorema 21 e usado para mostrar imediatamente a propriedadequando φ e auto-adjunta ou anti-auto-adjunta. O caso mais difıcil e quando φ eortogonal. Se isso ocorrer, em particular φ|U e ortogonal, e portanto nao singular, epara todo u ∈ U , existe v ∈ U tal que u = φ(v). Considere agora um vetor w ∈ U⊥.Portanto para todo u ∈ U , temos

〈u, φ(w)〉 = 〈φ(v), φ(w)〉 = 〈v, w〉 = 0

e daı φ(w) ∈ U⊥ o

Nos dois teoremas que se seguem, usaremos na demonstracao o fato de que dada φ ∈End(V ), os conjuntos U± = v ∈ V |φ(v) = ±v sao subespacos invariantes por φ, eportanto o subespaco U = U+ ⊕U− e tambem subespaco invariante por φ, e portantoU⊥ e invariante por φ∗, e possui um subespaco de dimensao 1 ou 2.

I Teorema 31: Para todo operador φ ∈ End(V ) tal que φ∗ = −φ, existe uma baseortonormal na qual a matriz associada a φ tem a forma

H(a1) O2 · · · O2 O2

O2 H(a2) · · · O2

.... . .

...... H(ak)

...

O2 O2

.... . . O2

O2 O2

onde H(a) =

(0 −aa 0

)J

Demonstracao: A forma matricial de um operador antissimetrico restrito a umespaco euclidiano bidimensional em uma base ortonormal e H(a) o

I Teorema 32: Para todo operador φ ∈ End(V ) tal que φ∗ = φ−1, existe uma base


ortonormal na qual a matriz associada a φ tem a forma

Π(θ1). . . 0

Π(θk)1

0 1. . .

−1−1

onde Π(θ) =


)J

Demonstracao: E suficiente considerarmos aplicacoes em subespacos de dimensao1 e 2. Em espacos de dimensao 1, aplicacoes ortogonais e a multiplicacao por ±1.

Em subespacos de dimensao 2, toda aplicacao ortogonal φ ou e uma rotacao por

um angulo θ ou uma reflexao atraves de uma linha. Com efeito, dada

(a bc d

)∈

O(2), onde a, b, c, d ∈ K e um vetor v ∈ K2 com componentes (x, y), a condicao deortogonalidade implica que (ax+by)2 +(cx+dy)2 = x2 +y2, i.e., a2 +c2 = b2 +d2 = 1,ab + cd = 0. A equacao a2 + c2 = 1 implica que existe um angulo θ tal que a = cos θ

e c = sin θ, e portanto b = ± sin θ e d = ∓ cos θ. Segue-se que φ =


)ou φ =

(cos θ sin θsin θ − cos θ

), onde a primeira matriz se refere a rotacao atraves de um

angulo θ e a segunda matriz se refere a uma reflexao atraves de uma linha que formaum angulo θ/2 em relacao ao eixo-x. Nesse caso existe uma base ortonormal tal que a

matriz de φ tem a forma

(−1 00 1

)o

Exercıcio 114: Mostre que uma aplicacao φ ∈ End(V ) que e simultaneamente

auto-adjunta e ortogonal e tambem uma involucao

Exercıcio 115: Mostre que uma aplicacao φ ∈ Hom(V,W ) ortogonal preserva

norma e distancia

Sobre o corpo dos complexos sempre temos que det φ∗ = det φ. Se a aplicacao φpossui uma matriz A associada em alguma base ortonormal, entao na mesma basea aplicacao φ∗ tem a matriz Aᵀ = A†. Uma aplicacao e dita ser hermitiana, anti-hermitiana ou unitaria se respectivamente φ∗ = φ, φ∗ = −φ ou φ∗ = φ−1.

Exercıcio 116: Mostre que os autovalores de aplicacoes hermitianas, anti-hermitianase unitarias sao respectivamente reais, imaginarios puros e escalares de modulo 1


Exercıcio 117: Determine quais das seguintes matrizes sao simetricas, antis-simetricas, hermitianas ou anti-hermitianas:

a)

0 1 21 0 32 3 4

, b)

0 i 2i 0 3−2 −3 4i

, c)

0 i 2−i 0 3−2 −3 0

, d)

0 1 2−1 0 3−2 −3 0

Exercıcio 118: Considere 0 6= a ∈ R e seja A =

(0 a−a 0

). Encontre um conjunto

ortonormal de autovetores de A

Exercıcio 119: Se φ ∈ End(V ) e unitaria e hermitiana mostre que φ e uma

involucao

Exercıcio 120: Quando o produto de duas aplicacoes hermitianas e tambemhermitiano?

Mais geralmente, dada agora uma forma sesquilinear nao-degenerada B : V ×V → K,entao a menos de uma constante, B ou e alternada (ou seja, para todo v ∈ V temosque B(v, v) = 0); ou e hermitiana (B(v, w) = B(w, v)σ) onde σ ∈ Aut(K) e umautomorfismo de ordem 2 do corpo K, ou seja, uma aplicacao idempotente em K; ouB e simetrica B(v, w) = B(w, v). A definicao B(v, v) = 0 e preferıvel a B(v, w) =−B(w, v), pois ja vimos que a segunda possui problemas quando char(K) = 2. Emqualquer caso onde char(K) 6= 2 as duas propriedades sao equivalentes.

Em analogia a teoria de grupos, o grupo de matrizes GL(V ) age em V como multi-plicacao a esquerda. Dada B : V × V → K, definimos

Isom(B) = φ ∈ GL(V ) | B(φ(u), φ(v)) = B(u, v), ∀u, v ∈ V

o grupo de isometria de B em GL(V ).

Exercıcio 121: Mostre que Isom(B) e um subgrupo de GL(V )

Exercıcio 122: Mostre que podemos alternativamente definir

Isom(B) = φ ∈ GL(V ) | B(φ−1(u), φ−1(v)) = B(u, v), ∀u, v ∈ V

Tambem ha somente tres tipos de grupos de isometria, cada um deles correspondendoas respectivas formas sesquilineares. Sao eles:

a) Grupo simpletico Sp(V,B) se B e alternada.b) Grupo unitario U(V,B) se B e hermitiana.c) Grupo ortogonal O(V,B) se B e simetrico.

Denominamos o espaco vetorial V munido de B tambem por simpletico, unitario eortogonal, baseado na classificacao da forma bilinear.

Exercıcio 123: Dados a, b ∈ R, se J(a + ib) = a − ib, entao J ∈ Aut(K) e J e

involucao


Um grupo classico e derivado desses tres grupos acima e do grupo linear geral GL(V ),e e possıvel expressar as representacoes desses grupos classicos em forma de matrizes.

Ja vimos que dados φ ∈ End(V ) e B : V × V → K, entao existe a correspondenciaBφ(u, v) = 〈u, φ(v)〉. No caso mais simples onde B = I, temos que B(u, v) = uᵀve o produto interno usual, somente sem (talvez) a usual propriedade de ser positivadefinida que somente faz sentido para corpos ordenados, como Q e R.

O grupo de isometria de I e exatamente o grupo das matrizes invertıveis A ondeAᵀIA = I ⇒ AᵀA = I e e comum denotarmos por O(n) o grupo ortogonal sobre R

O(n) = A ∈ GL(n) |AᵀA = I

Para grupos simpleticos temos que levar em conta a forma bilinear correspondente a

matriz J =

(0 I−I 0

), e a condicao de isometria para uma forma alternadaB(φ(u), φ(v)) =

uᵀAᵀ J Av = uᵀJv = B(u, v), e portanto AᵀJA = J . E comum definirmos

Sp(2m) = A ∈ GL(2m) |AᵀJA = J



)∈ SO(2) e

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

∈SO(3)

Exercıcio 125: Mostre que se α, β ∈ C e satisfazem |α|2 + |β|2 = 1, entao amatriz

A =

(α −ββ α

)(3.43)

esta em SU(2). Mostre que toda matriz A ∈ SU(2) pode ser expressa na forma (3.43)

para um unico par (α, β) ∈ C2 satisfazendo |α|2 + |β|2 = 1. Dessa maneira SU(2) euma esfera S3 em C2 = R4 e em particular mostra que SU(2) e conexo e simplesmente

conexo.

Capıtulo 4Autovalores e Autovetores

Um dos mais praticos objetivos do formalismo que envolve operadores lineares ereduzir a matriz de uma aplicacao linear a sua forma mais simples, a partir da escolhade uma base particular. Para tanto e preciso saber um pouco mais sobre subespacosinvariantes.

ñ Definicao 10: Um vetor v ∈ V \0 e dito ser um autovetor de um operador φ ∈End(V ) se φ(v) = λv para algum λ ∈ K, que por sua vez e um autovalor associado aovetor v 3

Obviamente, um vetor v ∈ V \0 e autovetor se, e somente se o subespaco 〈v〉 deuma dimensao e invariante. Em uma base de autovetores — se essa base existir — amatriz associada a aplicacao linear e diagonal.

B Exemplo 26: Para o operador de derivada no espaco de polinomios na variavelx, o unico autovetor (modulo multiplicacao por escalar) e o polinomio P (x) = 1, comautovalor correspondente λ = 0. Neste caso nao existe base de autovetores C

Exercıcio 126: Mostre que os autovetores do operador Π(α) — de rotacao emtorno de um eixo por um angulo α — com α 6= kπ no espaco 3-dimensional saoos vetores sobre os respectivos eixos de rotacao (e seus autovalores correspondentesλ = 1). Verifique que quando α = kπ os vetores ortogonais ao eixo de rotacao tambem

sao autovetores, com autovalores λ = (−1)k

75

76 4. AUTOVALORES E AUTOVETORES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015

Um autovetor com autovalor λ ∈ K existe se, e somente se o operador φ − λI forsingular. Com efeito, φ(v) = λv implica em (φ− λI)v = 0, isso ocorrendo quando v ∈ker(φ − λI)\0, ou seja, quando nao existir inverso de (φ − λI). Portanto, quandodet (φ− λI) = 0.

ñ Definicao 11: Seja V um K-espaco vetorial de dimensao finita e considere umaaplicacao φ ∈ End(V ) que tem a matriz A associada, em alguma base de V . Denota-mos por P (t) (ou Pφ(t)) o polinomio det(A − tI) com coeficientes no corpo K, que edenominado polinomio caracterıstico do operador φ e da matriz A 3

Exercıcio 127: Calcule os possıveis autovalores de uma projecao φ ∈ End(V ),

φ2 = φ

Exercıcio 128: Mostre que dadas duas matrizes A,B ∈M(n,K), os autovalores

de AB e BA sao os mesmos, se A ou B for invertıvel.

Exercıcio 129: Calcule os autovalores da aplicacao de permutacao φ ∈ End(C3)

tal que φ(x1, x2, x3) = (x2, x3, x1), onde xi ∈ C

Exercıcio 130: Seja u, v ∈ V dois autovetores da aplicacao φ ∈ End(V ) corres-pondentes a autovalores distintos. Mostre que au+ bv, onde a, b ∈ K, nao pode ser umautovetor de φ

I Teorema 33: a) O polinomio caracterıstico de φ independe da escolha da base naqual a matriz associada A e representada.

b) Qualquer autovalor de φ e raiz de P (t) e qualquer raiz de P (t) em K e um autovalorde φ, correspondendo a algum subespaco proprio de V J

Demonstracao: a) A matriz de φ em uma outra base e escrita como B−1AB, ondeB e a matriz mudanca de base. Portanto

det(B−1AB − tI) = det(B−1(A− tI)B) = (detB)−1 det(A− tI) detB

= det(A− tI)

Notamos que P (t) = tn − a1 tn−1 + · · · + (−1)nan, onde a1 = Tr(A), an = det A,

enquanto os outros coeficientes tem expressoes menos interessantes.

b) Seja λ ∈ K uma raiz de P (t). A aplicacao φ − λI e representado por uma matrizsingular e portanto seu nucleo e nao-trivial. Seja v 6= 0 um elemento de ker (φ −λI). Entao φ(v) = λv e portanto λ e autovalor de φ e v o respectivo autovetor.Reciprocamente, se φ(v) = λv, entao v ∈ ker (φ − λI) e portanto det (φ − λI) =P (λ) = 0 o

Um operador linear sobre um R-espaco vetorial pode nao ter autovetores. Contudoo uso dos numeros complexos nos permite obter informacoes valiosas sobre aplicacoeslineares sobre o corpo dos reais, com o recurso da complexificacao.

77

Exercıcio 131: Calcule os autovalores de cada uma das seguintes matrizes:0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

,

0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

,

0 −i 0 0i 0 0 00 0 0 −i0 0 i 0

,

1 0 0 00 −1 0 00 0 1 00 0 0 −1

I Lema 3: Um vetor u + iv, u, v ∈ V , e um autovetor de um operador φC comautovalor a + ib (a, b ∈ R, b 6= 0) se, e somente se, U = 〈u, v〉 ⊂ V e um subespacoinvariante bidimensional de φ e

φ(u) = au− bvφ(v) = bu+ av (4.1)

J

Demonstracao: Na base u, v, o operador φ|U tem a matriz

(a b−b a

), e as

Eqs.(4.1) implicam que o vetor u+ iv e autovetor de φC com autovalor a+ ib o

Como corolario do lema anterior, temos o

I Teorema 34: Toda aplicacao linear φ ∈ End(V ) sobre o corpo dos reais possui umsubespaco invariante de dimensao 1 ou 2 J

Demonstracao: O polinomio caracterıstico sempre possui raızes em C o

Para um dado autovalor λ ∈ C de uma aplicacao φ ∈ End(V ) associado a uma matrizA em uma certa base, os autovetores correspondentes podem ser encontrados a partirdo sistema homogeneo de equacoes (A−λI)X = 0, onde X denota a matriz coluna decomponentes do vetor a ser encontrado. Juntamente com o vetor nulo, os autovetoresasociados ao autovalor λ constituem o subespaco

Vλ(φ) = ker(φ− λI)

denominado autoespaco da aplicacao φ correspondente ao autovalor λ. Quando adimensao de V e finita, a dimensao de Vλ e igual a (n− dim Im (φ− λI)), e n = dimV .

Provaremos agora um caso mais geral do teorema que afirma que a autovaloresdiferentes do mesmo operador correspondem autovetores LI:

I Teorema 35: Autoespacos correspondentes a autovalores distintos λ1, . . . , λk deuma aplicacao φ sao L.I. J


Demonstracao: Inducao em k. Para k = 1 nao ha nada a se provar. Suponha quek > 1 e dado um ındice i ∈ 1, . . . , k fixo, seja a combinacao linear nula

a1e1 + · · ·+ ak−1ek−1 + akek = 0, ei ∈ Vλi(φ), ai ∈ K.

Aplicando-se φ na equacao acima, obtemos

a1λ1e1 + · · ·+ ak−1λk−1ek−1 + akλkek = 0

Multiplicando-se a primeira equacao acima por λk e subtraindo-se dela a segundaequacao, obtemos

a1(λ1 − λk)e1 + · · ·+ ak−1(λk−1 − λk)ek−1 = 0

Pela hipotese de inducao, a1 = · · · = ak−1 = 0. Portanto ak = 0 o

Como corolario, podemos afirmar que

I Teorema 36: Se o polinomio caracteristico Pφ(t) possuir n raızes distintas, entaoexiste uma base de autovetores de φ J

Exercıcio 132: Mostre que se dim(V ) = n, e se φ ∈ End(V ) possui n autovaloresdistintos, entao existe uma base de V em relacao a qual a matriz associada a φ ediagonal

B Exemplo 27: Seja V = U ⊕W . O operador de projecao P ∈ End(V ) definidocomo

P (u+ w) = u, u ∈ U, w ∈W

e a projecao de U ao longo de W . Obviamente, os autoespacos sao dados por V0(P ) =W e V1(P ) = U . Na base de V obtida das bases de U e W , a matriz de P e diagonal,dada por diag(0, . . . , 0, 1, . . . , 1) C

Exercıcio 133: Seja V = U ⊕W . O operador de reflexao R ∈ End(V ) definidocomo

R(u+ w) = u− w, u ∈ U, w ∈W

e a reflexao de U ao longo deW . Obviamente, os autoespacos sao dados por V1(R) = We V−1(R) = U . Na base de V obtida das bases de U e W , a matriz de R e dadapor diag(1, . . . , 1,−1, . . . ,−1). Mostre que um operador φ ∈ End(V ) e reflexao se, e

somente se φ2 = I

Exercıcio 134: Mostre que Pφ∗(t) = Pφ(t), onde φ∗ denota a adjunta de φ ∈End(V )

A fim de obtermos condicoes necessarias e suficientes a existencia de uma base queconsista de autovetores de uma aplicacao φ ∈ End(V ), precisamos provar o seguintelema:

79

I Lema 4: O polinomio caracterıstico da restricao φ|U de uma aplicacao linear φ ∈End(V ) a um subespaco invariante U ⊆ V divide o polinomio caracterıstico de φ J

Demonstracao: Sejam A e A|U as representacoes de φ ∈ End(V ) em M(n,K).Numa base de V , onde os primeiros k vetores formam uma base de U , a matriz A deφ e da forma dada na Eq.(2.1). Portanto

PA(t) = PA|U (t).det(C − tI)

o

Corolario 5: Como Corolario, podemos afirmar que a dimensao de um autoespacoVλ(φ) da aplicacao φ (dimensao esta tambem chamada de multiplicidade geometrica deλ) nunca excede a multiplicidade de λ no polinomio caracterıstico, tambem chamadade multiplicidade algebrica de λ

Demonstracao: Seja dim Vλ(φ) = k. O polinomio caracterıstico de φ|Vλ(φ) e dado

por (t − λ)k. Aplicando o lema anterior ao subespaco U = Vλ(φ), temos portantoPφ(t) = (t − λ)k det(C − tI). Supondo por absurdo que a multiplicidade geometricafosse maior que a multiplicidade algebrica de λ, terıamos que dim Vλ(φ) > k, e portantoo polinomio caracterıstico de φ|U seria dado por (t − λ)j , para algum j > k. Assimcompletamos a prova o

B Exemplo 28: Diferenciacao e um operador linear no espaco dos polinomios Kn[x].Na base 1, x, x2, . . . , xn, o operador de derivacao possui a seguinte matriz (n+ 1)×(n+ 1):

0 1 0 · · · 0 00 0 2 · · · 0 00 0 0 · · · 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 · · · 0 n0 0 0 · · · 0 0

e portanto o polinomio caracterıstico associado e tn+1, que possui raiz λ = 0 e multi-plicidade n + 1, mas a dimensao do autoespaco correspondente e 1. Isso mostra quea dimensao do autoespaco pode ser estritamente menor que a multiplicidade da raizcorrespondente no polinomio caracterıstico C

O conjunto de todas as raızes do polinomio caracterıstico e chamado espectro daaplicacao φ, e se todas as multiplicidades algebricas forem iguais a um, o espectro edito ser simples.

Uma aplicacao φ ∈ End(V ) em geral nao possui autovalores, e portanto nao e di-agonalizavel, se seu polinomio caracterıstico P (t) nao possuir raiz no corpo K. Porexemplo, considere a matriz A =

(a bc d

)com coeficientes reais. Entao det (A − tI)

= t2 − (a + d)t + (ad − bc), e se (a + d)2 − 4(ad − bc) < 0, entao a matriz nao ediagonalizavel. Portanto consideramos de agora em diante — ate o fim desta Secao— corpos algebricamente fechados, em particular K ' C, o que significa que qualquer


polinomio P (t) de grau maior ou igual a um — com coeficientes em K — possui umaraiz em K.

I Teorema 37: Para que uma base de autovetores de uma aplicacao φ ∈ End(V )exista, e necessario e suficiente que as seguintes condicoes sejam validas:a) o polinomio caracterıstico Pφ(t) cinde em fatores lineares.b) a dimensao de qualquer autoespaco e igual a multiplicidade algebrica da raiz corres-pondente do polinomio Pφ(t) J

Demonstracao: Sejam λ1, . . . , λs todas as raızes de Pφ(t) com multiplicidadesalgebricas k1, . . . , ks, respectivamente. Denotando por Vi o autoespaco correspondentea λi, pelo corolario anterior, sabemos que a dimensao de um autoespaco Vi de φ nuncaexcede a multiplicidade algebrica de λi no polinomio caracterıstico, e portanto comodim Vi ≤ ki segue-se que ∑

i

dimVi ≤∑i

ki ≤ n. (4.2)

Contudo, a unica maneira de obter uma base de autovetores e tomar a uniao das basesdos autoespacos. Para que tal procedimento nos forneca uma base de V , e necessarioe suficiente que

∑dim Vi = n. Mas a desigualdade (4.2) e equivalente a condicao∑

i ki = n e que dim Vi = ki para todo i. Esta condicao corresponde a condicao b)do enunciado do Teorema, enquanto que aquela significa que Pφ(t) cinde em fatoreslineares o

Exercıcio 135: a) Se φ ∈ End(V ) tem λ como autovalor correspondente a umautovetor v ∈ V , mostre que aφ possui autovalor aλ, a ∈ K, e que φn tem autovalorλn associado a v. Se φ1 e φ2 possuem v como autovetor, mostre que v tambem eautovetor de a1φ1 + a2φ2, e use isso para mostrar que v tambem e autovetor de P (φ)— um polinomio em φ — com autovalor P (λ).b) Mostre que se φ ∈ End(V ) tem a propriedade de que φ2 possui λ2 como autovalor

nao-negativo, entao pelo menos λ ou −λ e autovalor de φ

Exercıcio 136: Calcule os autovalores das matrizes 2 1 12 3 4−1 −1 2

,

2 −1 10 3 −12 1 3

,

2 1 12 3 23 3 4

,

os autovetores correspondentes, e a dimensao dos autoespacos correspondentes. Emqual desses espacos os autovetores constituem uma base de V = R3?

Exercıcio 137: Calcule os autovalores das matrizes de Pauli σ1 =(0 11 0

), σ2 =(

0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

)em M(2,C).

Exercıcio 138: a) Mostre que uma matriz A e nao-singular, ou seja, que det(A)6= 0 se e somente se λ = 0 nao e autovalor de A

81

b) Mostre que se uma matriz A e nao-singular e possui autovalores λi, os autovaloresde A−1 sao λ−1i .c) Dada A ∈M(n,K) com entradas reais tal que A2 = −I. Prove que A e nao-singular,

que n e par, que A nao possui autovalores reais e que det A = 1

I Teorema 38: Dados λi autovalores dois a dois distintos da aplicacao auto-adjuntaφ ∈ End(V ), seus autovetores correspondentes sao dois a dois ortogonais J

Demonstracao: Dados i 6= j,

(λi − λj)〈vi, vj〉 = 〈λivi, vj〉 − 〈vi, λjvj〉 = 〈φvi, vj〉 − 〈vi, φvj〉= 〈φvi, vj〉 − 〈φvi, vj〉= 0

Portanto 〈vi, vj〉 = 0 o

I Teorema 39: Para qualquer aplicacao auto-adjunta φ ∈ End(V ) existe uma baseortonormal de autovetores J

Demonstracao: E suficiente mostrar que em um espaco vetorial bidimensional Wexiste uma base formada pelos autovetores da aplicacao auto-adjunta φ ∈ End(V ), que

possui uma matriz simetrica

(a bb c

)em uma base ortonormal u, v. Seu polinomio

caracterıstico e pφ(t) = t2−(a+c)t+ac−b2, e correspondentemente ∆ = (a−c)2+4b2 ≥0. Se ∆ = 0, entao φ = aI, e se ∆ 6= 0, pφ(t) possui raızes distintas λ1 e λ2, e portantoexistem vetores v1, v2 tais que φ(v1) = λ1v1 e φ(v2) = λ2v2. Pelo Teorema anteriorv1, v2 e base ortogonal de W , que pode imediatamente ser normalizada.

Agora, toda aplicacao auto-adjunta φ ∈ End(V ) (V tem dimensao finita) possuium autovetor, pois pelo Teorema 32 existe um subespaco U ⊂ V de dimensao 1 ou 2tal que φ(U) ⊂ U . Se dim U = 1, entao todo vetor u ∈ U\0 e autovetor de φ, ese dim U = 2, aplicamos o que foi demonstrado no paragrafo anterior e obtemos umautovetor v1 ∈ V . Finalmente, a fim de se mostrar que existe uma base ortonormal deautovetores de φ ∈ End(V ), faremos por inducao. Se dim V = 1, e imediato. Supondoque a afirmacao seja verdadeira para n − 1, existe entao um vetor vn, e portanto umsubespaco U ⊂ V , onde dim U = 1, invariante por φ. Isso implica, como ja foi provado,que o complemento ortogonal U⊥ tambem e invariante por φ. Como dim U⊥ = n− 1,a hipotese de inducao afirma que existe uma base ortonormal v1, . . . , vn−1 em U⊥

formada por autovetores de φU⊥ : U⊥ → U⊥. Portanto v1, . . . , vn e base ortonormalde V o

Corolario 6: Afirmamos que para toda funcao quadratica B no espaco Euclidiano,existe uma base ortonormal onde a matriz e diagonal, i.e., dado v =

∑i viei ∈ V , onde

vi ∈ K sao as componentes de V , temos que

B(v, v) = Q(v) = λ1v21 + · · ·+ λnv

2n

Os λi sao os correspondentes autovalores de B, definidas a menos de permutacao.


Exercıcio 139: Mostre que toda matriz A ∈ End(V ) pode ser escrita como asoma direta de subespacos formados matrizes simetricas e anti-simetricas. Encontreas projecoes da matriz

1 1 · · · 10 1 · · · 1...

.... . .

...0 0 · · · 1

nesses subespacos, paralelamente ao subespaco complementar.

Capıtulo 5Forma Canonica de Jordan

5.1 Forma Canonica de Jordan

Vimos que algumas matrizes associadas a operadores lineares — simetricas, hermi-tianas e unitarias — podem ser dispostas na sua forma diagonal. Em geral, existemobstrucoes a tal reducao descrita no Teorema 33.

Primeiramente o polinomio caracterıstico pode nao cindir em fatores lineares, ouseja, ele pode apresentar menos que n raızes. Isso nao ocorre com aplicacoes linearessobre C, e quando a aplicacao e sobre R utilizamos o recurso da complexificacao.

A segunda obstrucao a reducao de uma matriz a sua forma diagonal e que um auto-espaco pode ter dimensao estritamente menor que a raiz correspondente no polinomiocaracterıstico. Nao podemos nesse caso reduzir a matriz da aplicacao a sua formadiagonal. Contudo se o polinomio caracterıstico ainda cindir em fatores lineares (oque sempre acontece quando trabalhamos sobre o corpo dos complexos C), a matrizpodera ser reduzida a sua forma canonica de Jordan.

ñ Definicao 12: Dizemos que φ ∈ End(V ) e uma aplicacao nilpotente se existirk ∈ N tal que φk = O. Uma matriz A ∈ M(n,K) e nilpotente se existir k ∈ N talque Ak = O ∈ M(n,K). O menor escalar k ∈ N tal que φk = O (isto e, φk = O e

83

84 5. FORMA CANONICA DE JORDAN — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015

φk−1 6= O) e denominado peso do operador nilpotente1 3

Exercıcio 140: Considere um endomorfismo nilpotente T ∈ End(V ), onde o

K-espaco vetorial V possui dimensao finita. Mostre que Tr(T ) = 0.

Exercıcio 141: Se φ = d/dx ∈ Hom(Kn[x]) e a aplicacao derivada em relacao avariavel x, mostre que φn+1 = O. Se A ∈ M(n,K), e se as entradas aij da matriz A

sao nulas sempre que i ≥ j, mostre que An = O

ñ Definicao 13: Um vetor raiz associado a um operador linear φ, correspondendoa um elemento λ ∈ K, e um vetor v ∈ V tal que

(φ− λI)m v = 0,

para algum m ∈ N. O menor valor de m tal que isso ocorra e chamado de peso dovetor raiz v 3

Em particular, autovetores sao vetores raızes de peso 1.

B Exemplo 29: Considere o operador de derivada d/dx : C∞(R) → C∞(R), ondeC∞(R) denota o espaco das funcoes com todas as derivadas contınuas. Os autovetorescorrespondentes a λ ∈ R sao funcoes proporcionais a eλx, e os vetores raızes sao funcoesda forma p(x)eλx, onde p(x) ∈ Rn[x], onde Rn[x] denota o espaco dos polinomiosde ordem n com coeficientes reais. O peso de tal vetor raiz e igual a (deg p + 1),onde deg p e o grau do polinomio p(x). Em particular, polinomios sao vetores raızescorrespondentes a λ = 0. C

Se v e um vetor raiz com peso m > 0, entao o vetor

f = (φ− λI)m−1v

e autovetor de φ com autovalor λ, e portanto λ e raiz do polinomio caracterıstico.

Exercıcio 142: Prove a afirmacao anterior

Exercıcio 143: Mostre que o espaco dos vetores raızes correspondentes a umaraiz λ e um subespaco vetorial de V

Tal subespaco e denominado subespaco de raızes e denotado por

V λ(φ) = v ∈ V | (φ− λI)mv = 0 (5.1)

Exercıcio 144: Mostre que Vλ(φ) ⊂ V λ(φ)

Exercıcio 145: Mostre que Vλ(φ) e o subespaco vetorial de V λ(φ) formado pelos

vetores raızes de peso igual a um

1Em alguns livros e notas denomina-se tambem de ındice do operador nilpotente o menor numerok ∈ N tal que φk = O. Como ja denominamos na Definicao 4 por ındice de um operador φ onumero ind φ = dim coker φ− dim ker φ, preferimos utilizar o termo peso aqui.

5.1. FORMA CANONICA DE JORDAN — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 85

Se v ∈ V e um vetor raiz de peso m > 0, entao (φ−λI)v e vetor raiz de peso m− 1.

I Lema 5: O subespaco de raızes V λ(φ) = ker (φ − λI)m e invariante sob a acaode φ− λI e portanto, invariante por φ J

Demonstracao: Se u ∈ V λ(φ) entao (φ − λI)mu = 0, e portanto (φ − λI)m[(φ −λI)u] = (φ − λI)[(φ − λI)mu] = O, o que significa que o subespaco raiz V λ(φ) einvariante sob a acao de (φ−λI). Como provamos que V λ(φ) e (φ−λI)-invariante, paracada v ∈ V λ(φ), existe u ∈ V λ(φ) tal que (φ− λI)(v) = u, e portanto φ(v) = λv + u,o que implica em φ(v) ∈ V λ(φ), pois como u, v ∈ V λ(φ) e V λ(φ) e subespaco vetorial,entao λv + u ∈ V λ(φ) o

O conjunto de vetores raiz de peso igual a m e por definicao o nucleo da aplicacao(φ− λI)m. Vide a Eq.(5.1).

Exercıcio 146: Mostre que ker (φ− λI) ⊂ ker (φ− λI)2 ⊂ ker (φ− λI)3 ⊂ · · ·

No caso onde dim V = n a cadeia ascendente acima se estabiliza e

V λ(φ) = ker (φ− λI)m, para algum m ∈ N. (5.2)

I Lema 6: O conjunto v, (φ− λI)v, (φ− λI)2v, . . . , (φ− λI)m−1v e L.I. J

Demonstracao: Sendo o peso de v igual a m, dada a combinacao linear a1v+a2(φ−λI)v + a3(φ− λI)2v + · · ·+ am−1(φ− λI)m−1v = 0, agimos a aplicacao (φ− λI)m−1

na equacao acima, e obtemos que a1 = 0. Fazendo agora a acao de (φ− λI)m−2 sobretal equacao, segue-se que a2 = 0 e assim provamos que a1 = a2 = · · · = am−1 = 0 o

Por outro lado o conjunto v, (φ − λI)v, (φ − λI)2v, . . . , (φ − λI)m−1v gera V λ(φ) eportanto e uma base de V λ(φ).

Nesta base, ao denominarmos

u1 = v

u2 = (φ− λI)v

u3 = (φ− λI)2v

... =...

um = (φ− λI)m−1v

temos que (φ−λI)uk−1 = uk para todo k ∈ 2, . . . ,m. Portanto a matriz associada a(φ− λI)|V λ(φ) pode ser escrita (na base v, (φ− λI)v, (φ− λI)2v, . . . , (φ− λI)m−1v)


como uma matriz niltriangular

(φ− λI)|V λ(φ) =

0 0 0 0 · · · 0 01 0 0 0 · · · 0 00 1 0 0 · · · 0 00 0 1 0 · · · 0 00 0 0 1 · · · 0 0...

......

.... . .

......

0 0 0 0 · · · 1 0

e portanto φ possui a forma analoga a acima, porem com a diagonal toda formada comelementos λ ∈ K. Portanto concluımos que

i) o polinomio caracterıstico de φ|V λ(φ) e dado por (t− λ)k, onde k = dim V λ(φ).ii) para uma outra raiz λi 6= λj (i 6= j) do polinomio caracterıstico, o operador φ−λiIe nao-singular em V λj (φ). De fato, det[(φ− λiI)|V λj (φ)] = (λi − λj)k 6= 0.

Obs. 25: Uma outra maneira de se ver que (φ− λiI) e nao-singular em V λj (φ)e considerarmos v ∈ V λi(φ), e portanto (φ − λiI)miv = 0. Em particular, se v ∈ker(φ− λjI) e

((λi − λj)I)miv = ((φ− λi)− (φ− λj)I)miv

= (φ− λiI)miv +

mi∑p=1

(mi

p

)(φ− λiI)mi−p(φ− λjI)p v

= 0 (5.3)

e daı segue-se que v = 0. Portanto (φ− λjI) e invertıvel sobre⊕

i6=j Vi

I Teorema 40: A dimensao do subespaco de raızes V λ(φ) e igual a multiplicidadealgebrica de λ J

Demonstracao: Seja e1, . . . , en uma base de V cujos primeiros k vetores formam

uma base de V λ(φ). Nessa base, φ tem matriz

(A BO C

), onde A = φ|V λ(φ) Portanto

Pφ(t) = (t− λ)k det(C − tI).

Aqui C ∈ W = End(〈ek+1, . . . , en〉), e mostraremos que λ nao e raiz de det(C − tI),isto e, nao e um autovalor de C.

Suponha por absurdo que exista um vetor w ∈ W\0 tal que Cw = λw, o quesignifica que

φ(w) = λw + u, u ∈ V λ(φ),

e portanto como u = (φ − λI)w e vetor raiz, entao w ∈ V λ(φ) o que significa quew ∈W ∩ V λ(φ) = 〈ek+1, . . . , en) ∩ 〈e1, . . . , ek〉 = 0, um absurdo, pois w 6= 0 o


O teorema a seguir generaliza o Teorema 38 e sua demonstracao tambem e bastantesimilar:

I Teorema 41: Subespacos de raızes correspondentes a diferentes raızes λ1, . . . , λkdo polinomio caracterıstico de uma aplicacao φ ∈ End(V ) sao L.I. J

Demonstracao: Inducao em k. Para k = 1 nao ha nada a se provar. Suponha quek > 1 e seja

a1e1 + · · ·+ ak−1ek−1 + akek = 0, ei ∈ V λi(φ), ai ∈ K. (5.4)

Aplicando-se (φ− λkI)m — onde m e o peso de ek — na equacao acima, obtemos

a1(φ− λkI)me1 + · · ·+ ak−1(φ− λkI)mek−1 + ak(φ− λkI)mek = 0

Pela hipotese de inducao em k temos que

a1(φ− λkI)me1 = · · · = ak−1(φ− λkI)mek−1 = 0

Como a aplicacao (φ−λkI) e nao-singular em cada um dos subespacos V λ1(φ), . . . , V λk−1(φ),segue-se que a1 = · · · = ak−1. Portanto, pela Eq.(5.4) ak = 0 o

Como a multiplicidade geometrica de uma raiz λ e a dimensao do espaco gerado pelosautovetores associados ao autovalor λ, entao

∑i dim V λi(φ) = dim V , e portanto os

dois ultimos Teoremas implicam imediatamente no

I Teorema 42: Se o polinomio caracterıstico Pφ(t) cinde em fatores lineares, entao

V =

s⊕i=1

V λi(φ) (5.5)

onde λ1, . . . , λs sao raızes distintas do polinomio Pφ(t) J

B Exemplo 30: Considere a matriz

A =

1 1 −10 0 20 −1 3

A fim de se colocar A na sua forma de Jordan, precisamos encontrar uma matriz Snao singular tal que S−1AS = J , onde J e a forma canonica de Jordan. Essa matriz Ssera composta por autovetores e autovetores generalizados. Calculando os autovaloresde A temos que det (A − tI) = (t − 1)2(t − 2), e portanto A possui um autovalorrepetido λ1 = 1. Isso nao implica necessariamente que A nao possui 3 autovetores. Osautovetores de A sao somente (1, 0, 0)ᵀ, (0, 1, 1)ᵀ, e portanto precisamos encontrarautovetores generalizados.

Sabemos que um autovetor v 6= 0 e solucao da equacao Av = λv ou (A− λI)v = 0.Um autovetor generalizado vi e solucao da equacao

Avi = λivi + vi−1 (5.6)


O vetor vi e o autovetor generalizado correspondente ao autovetor vi−1, e a Eq.(5.6)pode ser reescrita como (A− λiI)vi = vi−1.

No nosso caso especıfico, v1 = (1, 0, 0)ᵀ, v2 e o autovalor generalizado associado a v1e v3 = (0, 1, 1)ᵀ e o segundo autovetor de A.

Resolvendo a equacao (5.6) (A− λ1)v2 = v1, ou seja,1 1 −10 0 20 −1 3

−1 0 0

0 1 00 0 1

xyz

=

100

,

encontramos v2 = (0, 2, 1)ᵀ.

Portanto v1, v2, v3 sao as colunas da matriz S, e S−1AS nos da a forma canonica deJordan. Explicitamente,

S =

1 0 00 2 10 1 1

, S−1 =

1 0 00 1 −10 −1 2

e portanto 1 0 0

0 2 10 1 1

−11 1 −10 0 20 −1 3

1 0 00 2 10 1 1

=

1 1 00 1 00 0 2

C

Investigaremos agora em maior profundidade a acao da aplicacao φ em cada subespacode raızes.

Ja vimos pela relacao (5.2) que V λ(φ) = ker (φ − λI)m, para algum m ∈ N, eportanto a aplicacao

N = (φ− λI)|V λ(φ)

e nilpotente, sendo entao nossa discussao reduzida ao estudo de aplicacoes nilpotentes.

Considerando um operador nilpotente N ∈ End(V ), o peso de um vetor v ∈ V comrespeito a N e o menor numero m ∈ N tal que Nmv = 0 — de fato m e o peso dovetor v visto como um vetor raiz da aplicacao N correspondente a raiz λ = 0.

I Lema 7: Se v ∈ V e um vetor raiz de peso m, os vetores v,N v,N 2v, . . . ,Nm−1vsao linearmente independentes J

Demonstracao: Faca φ = N e λ = 0 na demonstracao do Lema 13 o

ñ Definicao 14: O subespaco 〈v,N v,N 2v, . . . ,Nm−1v〉 (m = peso de v) e denomi-nado subespaco cıclico associado ao operador N , gerado pelo vetor v 3


Claramente, um subespaco cıclico e invariante sob acao de N , e a restricao de N aosubespaco 〈Nm−1v,Nm−2v, . . . ,N v, v〉 tem matriz

J(0) = N|〈Nm−1v,Nm−2v,...,Nv,v〉 =

0 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 00 0 0 · · · 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 · · · 0 10 0 0 · · · 0 0

(5.7)

denominada bloco de Jordan (de ordem m).

I Teorema 43: O espaco vetorial V se decompoe na soma direta de subespacoscıclicos do operador N . O numero de termos na soma direta e igual a dim ker N J

Demonstracao: Provaremos este Teorema usando inducao em n = dim V . Paran = 1, a afirmativa e obvia. Para n > 1, seja U ⊂ V um subespaco vetorial dedimensao (n − 1) tal que Im N ⊂ U . O subespaco U e invariante sob a acao de N ,pois N e nilpotente, e pela hipotese de inducao segue-se que

U = U1 ⊕ · · · ⊕ Uk

onde U1, . . . Uk sao subespacos cıclicos. Tome um vetor e ∈ V r U . Como Im N ⊂ U ,entao

N e = u1 + · · ·+ uk, ui ∈ Ui.

Se para algum i ∈ 1, . . . , k pudermos escrever

ui = N vi ∈ N (Ui), vi ∈ Ui

entao segue-se que

N (e− vi) =

n∑j=1, j 6=i

uj .

Portanto podemos sempre substituir e por e− vi ∈ V rU e fazermos ui = 0. Portantopara todo i em questao, ou ui = 0 ou ui /∈ N (Ui) (Lembre-se de que N (Ui) =〈Nui,N 2ui . . . ,Nmiui〉), onde mi e o peso de ui.

No caso em que ui = 0 para todo i ∈ 1, . . . , k, isto e, N e = 0, entao

V = 〈e〉 ⊕ U1 ⊕ · · · ⊕ Uk

e uma decomposicao em subespacos cıclicos.Se N e 6= 0, entao o peso de N e e o maximo entre os pesos dos vetores ui. Com

efeito, N e = u1 + · · ·+ uk e portanto

Nm(N e) = Nm(u1 + · · ·+ uk)

= Nm(u1) +Nm(u2) + · · ·+Nm(uk).


Por definicao, cada Ui e da forma 〈ui,Nui,N 2ui . . . ,Nmiui〉, onde mi e o peso de ui.Sendo m o peso de N e, isso significa que Nm(u1) +Nm(u2) + · · · +Nm(uk) = O,

e a unica maneira de que essa soma seja nula e que o peso mi de cada ui seja menorou igual a m. Para provar a igualdade, suponha que para todo j = 1, . . . , k temos queN puj = 0, para p < m (estamos supondo que o maximo dentre os pesos dos ui sejaestritamente menor que m). Entao N p(N e) = 0, um absurdo, pois m e o peso de N e,que e o menor numero tal que Nm(N e) = 0. Portanto

peso de N e = maxipesos de ui

Vamos assumir sem perda de generalidade que o peso de N e seja igual ao peso deu1 = m.

Segue-se que o peso de e e igual a m+ 1. Mostraremos agora que

V = 〈e,N e,N 2e . . . ,Nme〉 ⊕ U2 ⊕ · · · ⊕ Uk.

Ja que u1 /∈ N (U1), temos que dim U1 = peso de u1 = m, pois

U1 = 〈u1,Nu1,N 2u1, . . . ,Nm−1u1〉,

mas

dimV = dimU + 1 = dimU1 + dimU2 + · · ·+ dimUk + 1

= m+ 1 + dimU2 + · · ·+ dimUk

Portanto basta mostrar que 〈e,N e,N 2e . . . ,Nme〉 ∩ (U2 ⊕ · · · ⊕ Uk) = 0.Assuma que b0e+ b1N e+ b2N 2e+ · · ·+ bmNme ⊂ U2 ⊕ · · · ⊕Uk. Como e ∈ V rU

e portanto e /∈ U , entao b0 = 0.Como N e = u1 + · · ·+ uk, entao tomamos a projecao dos termos acima sobre U1, e

portantob1u1 + b2Nu1 + · · ·+ bmNm−1u1 = 0,

implicando que b1 = b2 = · · · = bm = 0, pois U1 = 〈u1,Nu1,N 2u1, . . . ,Nm−1u1〉, quepor sua vez e L.I..

Uma vez provado que V se decompoe na soma direta de subespacos cıclicos dooperador N , resta provar agora que o numero de termos na soma direta e igual a dimker N . Seja entao a decomposicao de V na soma direta de subespacos cıclicos daaplicacao N

V = V1 ⊕ · · · ⊕ VkE imediato ver que

kerN = kerN|V1⊕ · · · ⊕ kerN|Vk

Ja quedim ker N|Vi = 1

pois Vi = 〈vi,N vi,N 2vi, . . . ,Nmi−1vi〉, e dos vetores L.I. que geram Vi, somenteNmi−1vi ∈ ker NVi , para todo i ∈ 1, . . . , k.

Segue-se que dim kerN = k o


Exercıcio 147: Mostre que dim ker N|Vi = 1 para todo i = 1, . . . , k

Exercıcio 148: Mostre que dim Ui = dim (N (Ui)) + 1 = dim (N 2(Ui)) + 2 =

· · ·

Com isso podemos afirmar que dada uma aplicacao linear φ ∈ End(V ), quandorestringimos φ ao subespaco cıclico da aplicacao nilpotente N = (φ − λI)|V λ(φ), aaplicacao φ tem a matriz da forma

J(0) + λI = [φ]|〈Nm−1v,Nm−2v,...,N 2v,Nv,v〉 =

λ 1 0 · · · 0 00 λ 1 · · · 0 00 0 λ · · · 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 · · · λ 10 0 0 · · · 0 λ

(5.8)

Tal matriz e denominada bloco de Jordan associado ao autovalor λ.

Provaremos agora que uma matriz associada a uma aplicacao φ ∈ End(V ) podeter blocos de Jordan de diferentes ordens, todos eles associados a uma mesma raizλ do polinomio caracterıstico. De fato, a matriz associada a um operador nilpotente(φ − λI) ∈ End(V ) tem a forma em (5.8) se o peso de (φ − λI) for igual a dimensaode V .

Mostraremos entao a seguir que quando o peso do operador nilpotente N = (φ −λI) ∈ End(V λ(φ)) for menor que a dimensao de V , existe uma base na qual a matrizde N = (φ− λI) e formada por blocos do tipo (5.8) ao longo da diagonal.

Considere uma aplicacao nilpotente N = (φ − λI) ∈ End(V λ(φ)) de peso r. ComoN r = O, isso implica que N rv = O(v) = 0 ∈ V λ(φ). Denotando por Uk o conjunto detodos os vetores de peso menor ou igual a k

Uk := v ∈ V | N pv = 0,para todo p ≤ k

segue-se que0 = U0 ⊂ U1 ⊂ · · · ⊂ Ur−1 ⊂ Ur = V λ(φ),

ja que 0 ⊂ kerN ⊂ kerN 2 ⊂ · · · .Denotando agora mk = dim Uk, da sequencia acima concluımos que

n = mr ≥ mr−1 ≥ · · · ≥ m1 ≥ m0 = 0 (5.9)

Antes de prosseguirmos, enunciamos a

ñ Definicao 15: Dizemos que os vetores v1, . . . , vk ⊂ V sao L.I. sobre um su-bespaco vetorial U ⊂ V se a relacao

a1v1 + · · ·+ akvk ∈ U, a1, . . . , ak ∈ K

implicar que a1 = · · · = ak = 0. 3


Se o subespaco U consistir unicamente do vetor nulo, entao o conceito de inde-pendencia linear sobre U e o mesmo que o conceito usual de vetores L.I.. Inde-pendencia linear dos vetores v1, . . . , vk sobre U significa que existe uma combinacaolinear a1v1 + · · ·+ akvk que pertence a U , onde pelo menos um dos ai 6= 0.

O objetivo entao e construir uma base do espaco de raızes V λ(φ) de maneira apropri-ada a construcao dos blocos de Jordan. Como vimos acima, o subespaco Ur−1 nao coin-cide com todo o espaco Ur = V λ(φ). Portanto podemos encontrar vetores u1, . . . , up1 ∈Ur = V , L.I. em Ur−1, onde p1 = mr −mr−1. Os vetores Nu1, . . . ,Nup1 se encon-tram em Ur−1 e sao L.I. em Ur−2. Com efeito, dada uma combinacao linear

0 6= a1Nu1 + · · ·+ ap1Nup1 = w ∈ Ur−2 (5.10)

entao a aplicacao do operador N r−2 implica que

a1N r−1u1 + · · ·+ ap1N r−1up1 = N r−2w = 0, pois w tem peso r − 2

ou de maneira equivalente,

a1u1 + · · ·+ ap1up1 ∈ Ur−1,

o que e impossıvel por construcao, ja que pela Eq.(5.10) temos que 0 6= a1Nu1 + · · ·+ap1Nup1 = w ∈ Ur−2, e nesse caso terıamos que w ∈ Ur−2 tem peso menor ou igual ar − 2, e tambem que w ∈ Ur−1 tem peso menor ou igual a r − 1, um absurdo.

Pela Eq.(5.9), segue-se que a dimensao mr−1−mr−2 do espaco dos vetores de Ur−1L.I. sobre Ur−2 e maior ou igual a zero e tambem que dim mr−mr−1 do espaco Ur dosvetores L.I. sobre Ur−1 e maior ou igual a zero. Agora complementaremos a lista devetores Nu1, . . . ,Nup1 com vetores up1+1, . . . , up2 em Ur−1 a fim de obter o maiorsistema possıvel de vetores L.I. sobre Ur−2, onde p2 = mr−1 −mr−2. Aplicando-se ooperador N sobre a lista de vetores que temos em maos, obtemos os vetores

N 2u1, . . . ,N 2up1 ,Nup1+1, . . . ,Nup2 ⊂ Ur−2, (5.11)

que por sua vez sao L.I. sobre Ur−3.

Exercıcio 149: Mostre que N 2u1, . . . ,N 2up1 ,Nup1+1, . . . ,Nup2 ⊂ Ur−2 for-

mam um conjunto L.I. sobre Ur−3

Comomr−2−mr−3 ≥ 0 emr−1−mr−2 ≥ 0, podemos tomar vetores up2+1, . . . , up3 ⊂Ur−2 que juntamente com o conjunto de vetores N 2u1, . . . ,N 2up1 ,Nup1+1, . . . ,Nup2formam um conjunto L.I. sobre Ur−3. Continuando tal construcao nos subespacosUr−3, Ur−4, . . . , U0 = 0, finalmente obtemos um conjunto de n vetores L.I. em V λ(φ):

u1, . . . , up1

Nu1, . . . ,Nup1 , up1+1, . . . , up2...

......

N r−1u1, . . . ,N r−1up1 ,N r−2up1+1, . . . ,N r−2up2 , . . . , upr−1+1, . . . , upr ,


onde os vetores da primeira linha tem peso r, os vetores da segunda linha tem pesor − 1 e assim por diante, ate a ultima linha, cujos vetores possuem peso um.

Vemos imediatamente que cada coluna da tabela acima determina um subespacoinvariante da aplicacao N . Os primeiros p1 subespacos invariantes possuem todosdimensao igual a r, enquanto que os proximos p2− p1 subespacos invariantes possuemtodos dimensao igual a r − 1, e tambem assim por diante, ate as ultimos pr − pr−1colunas contendo — cada uma — somente um elemento, que determinam por sua vezsubespacos invariantes de dimensao igual a um. O espaco vetorial V λ(φ) e expressocomo a soma direta desses pr subespacos invariantes.

Ja vimos que pela Eq.(5.8) que na base

N r−1u1,N r−2u1, . . . ,N 2u1,Nu1, u1

o operador N restrito ao espaco 〈N r−1u1,N r−2u2, . . . ,N 2u1,Nu1, u1〉 possui a forma

0 1 0 0 · · · 0 00 0 1 0 · · · 0 00 0 0 1 · · · 0 0...

......

.... . .

......

0 0 0 0 · · · 0 10 0 0 0 · · · 0 0

(5.12)

Vemos que ha p1 subespacos cıclicos, todos de dimensao r, pois a aplicacao

N|N r−1ui,N r−2ui,...,N 2ui,Nui,ui

possui a forma (5.12). Ou seja, temos p1 blocos da forma acima r × r.


Com isso, podemos ver que a matriz da aplicacao N em V λ(φ) possui a forma

0 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 00 0 0 · · · 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 · · · 0 10 0 0 · · · 0 0

0 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 00 0 0 · · · 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 · · · 0 10 0 0 · · · 0 0

. . . (

0 10 0

)0

. . .

0

(5.13)

O numero de blocos de tamanho r e igual a p1, e o numero de blocos de tamanho r−1e igual a p2 − p1. Analogamente, o numero de blocos 2 × 2 e igual a pr−1 − pr−2, eo numero de blocos 1 × 1 e igual a pr − pr−1. Se pr−j+1 = pr−j , entao a matriz naopossui blocos j × j.ñ Definicao 16: Uma matriz de Jordan e uma matriz diagonal em blocos

J1 0 · · · 0O J2 · · · O...

.... . .

...O O · · · Jk

onde J1, J2, . . . , Jk sao blocos de Jordan, associados as possıveis k raızes distintas λkdo polinomio caracterıstico do operador φ ∈ End(V ), onde Ji = (φ− λiI)|V λi (φ) 3

Cada um dos Ji = N|V λi (φ) = (φ− λiI)|V λi (φ) possui a forma dada pela Eq.(5.13).A partir dos Teoremas 34 e 35 obtemos o

I Teorema 44: Se o polinomio caracterıstico Pφ(t) cinde em fatores lineares, entaoexiste uma base onde a matriz possui a forma de Jordan J

Tal matriz e denominada forma canonica de Jordan.

Corolario 7: A matriz de qualquer aplicacao linear sobre o corpo dos complexosse reduz a forma canonica de Jordan.

5.2. FUNCOES DE APLICACOES LINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 95

5.2 Funcoes de Aplicacoes Lineares

Seja V um K-espaco vetorial de dimensao finita e φ ∈ End(V ). Para qualquerpolinomio

f(t) = a0tm + a1t

m−1 + · · ·+ am−1t+ am ∈ K[t],

podemos definir seu valor em φ como sendo

f(φ) = a0φm + a1φ

m−1 + · · ·+ am−1φ+ amI.

Exercıcio 150: Mostre que (f + g)φ = f(φ) + g(φ) e que (fg)(φ) = f(φ)g(φ)

Tambem definimos f(A) onde A e uma matriz. Se a matriz de uma aplicacao φ emalguma base e A, entao a matriz do operador f(φ) nessa base e f(A).

Um polinomio f tal que f(φ) = O e denominado polinomio aniquilador de φ. O po-linomio de menor grau que aniquila φ e denominado polinomio mınimo de φ, denotadopor mφ.

Todo polinomio aniquilador f e divisıvel por mφ. Com efeito, se o resto da divisaode f por mφ e diferente de zero, entao existe um polinomio aniquilador de φ de graumenor do que o grau de mφ, contradizendo a definicao de polinomio mınimo. Umpolinomio mınimo e unico a menos de um fator constante, e a fim de o definir demaneira unica, exigimos que seu coeficiente lıder seja 1.

Exercıcio 151: Determine os polinomios mınimos associados a aplicacao nula ea identidade

Se o espaco vetorial V se decompoe na soma direta de subespacos invariantes deuma aplicacao φ, entao o polinomio mınimo de φ e igual ao mınimo multiplo comumdos polinomios mınimos da restricao de φ a esses subespacos, e uma vez sabendo issoe facil encontrar o polinomio mınimo de uma aplicacao linear a partir de sua formacanonica de Jordan. O primeiro passo e encontrar o polinomio mınimo de um blocode Jordan.

I Proposicao 9: O polinomio mınimo de um bloco de Jordan de ordem m comautovalor λ e igual a (t− λ)m J

Demonstracao: Seja η a aplicacao linear associada a este bloco de Jordan. EntaoN = (η − λI) e nilpotente de peso m, isto e

(η − λI)m = O, (η − λI)m−1 6= O.

Segue-se entao que (t − λ)m e o polinomio aniquilador e nenhum dos seus divisores epolinomio aniquilador o

Considere agora φ uma aplicacao linear cujo polinomio caracterıstico Pφ cinde emfatores lineares. Seja λ1, . . . , λs todas as raızes (distintas) de Pφ. O Lema anterior,juntamente com o paragrafo que o antecede, implicam no


I Teorema 45: O polinomio mınimo de uma aplicacao φ ∈ End(V ) e dado por

mφ(t) =

s∏i=1

(t− λi)mi

onde mi e a ordem maxima dos blocos de Jordan com autovalor λi na forma canonicade Jordan de φ J

Corolario 8: Vemos que a forma canonica de Jordan de φ e diagonal se, e somentese o polinomio mınimo de φ nao possui raızes multiplas

B Exemplo 31: Considere φ ∈ End(VC) tal que φm = I para algum m ∈ N. Opolinomio tm − 1 e um polinomio aniquilador de φ, e ja que ele nao possui raızesmultiplas, o polinomio mınimo de φ tambem nao possui raızes multiplas. Entao, aforma canonica de Jordan de φ e diagonal, com as entradas sendo raızes da unidadede grau m C

B Exemplo 32: Considere a matriz A =

(2 1−1 0

). Suas raızes caracterısticas sao

dadas por λ = 1, com multiplicidade algebrica igual a dois. Calculemos entao seusautovetores:

(A− 1I)v =

[(2 1−1 0

)−(

1 00 1

)](xy

)=

(00

)o que implica que o unico autovetor v dessa matriz e dado por v =

(1−1

). Para

encontrarmos o outro vetor w =

(ab

)que forma uma base de R2, sabemos que ele

deve ser um vetor raiz de peso 2 (ou seja (A− 1I)2w = 0 e (A− 1I)w 6= 0), e portanto

(A− 1I)w = v ⇒[(

2 1−1 0

)−(

1 00 1

)](ab

)=

(1−1

)

Portanto w =

(10

). Na base formada por v, w, a matriz tera um formato mais

simples, pois sabemos que Av = v e que (A−1I)w = v, ou seja, Aw = v+w. Portanto

nessa base A =

(1 10 1

). De fato, a matriz formada pelas componentes de v e w na

base canonica e dada por

B =

(1 1−1 0

)=⇒ B−1 =

(0 −11 1

)Portanto

B−1AB =

(0 −11 1

)A

(1 1−1 0

)=

(1 10 1

)que corresponde a forma de Jordan da matriz A. C


Exercıcio 152: Encontre o polinomio mınimo das matrizes0 −1 −11 0 01 0 0

,

2 0 0 01 2 0 00 0 2 00 0 0 2

,

2 0 0 01 2 0 00 1 2 00 0 0 2

,

2 0 0 01 2 0 00 1 2 00 0 1 2

,

1 0 00 1 00 0 2

.

B Exemplo 33: Neste exemplo queremos encontrar todas aplicacao φ ∈ End(V ) taisque φ3 = φ2. Essa condicao significa que o polinomio aniquilador de φ e dado port3 − t2 = t2(t− 1) e portanto o polinomio mınimo de φ divide t2(t− 1). Pelo Teoremaanterior, isso e valido se, e somente se a forma canonica de Jordan de φ possui blocosdos tipos (

0 10 0

), (0), (1).

O numero de blocos de cada tipo pode ser arbitrario, em particular zero, e a soma desuas ordens e n, se dim V = n C

Exercıcio 153: Calcule os autovalores e subespacos de raızes das seguintes ma-trizes:

φ1 =

4 −5 25 −7 36 −9 4

Resposta.: a = 1, autoespaco associado gerado por (1, 1, 1). Autovalor a = 0, auto-espaco associado: 〈(1, 1, 0), (1, 0,−3)〉.

φ2 =

1 −3 44 −7 86 −7 7

Resposta.: a = 3: autoespaco associado gerado por (1, 2, 2). Autovalor a = −1:〈(1, 1, 0), (1, 0,−1)〉

φ3 =

2 6 −151 1 −51 2 −6

Resposta.: a = −1: todo o espaco V .

φ4 =

0 −2 3 21 1 −1 −10 0 2 01 −1 0 1

Resposta.: a = 2: 〈(1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)〉; a = 0: 〈(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1)〉


Para se construir a forma de Jordan e necessario conhecer a multiplicidade algebricae geometrica de cada um dos autovalores. No entanto, para matrizes de ordem maiorque tres isso pode nao ser suficiente. Cada bloco de Jordan de ordem k contribui commultiplicidade algebrica igual a um e multiplicidade geometrica igual a k.

B Exemplo 34: Considere a matriz

A =

3 0 10 2 01 0 3

Para determinarmos a multiplicidade algebrica e a multiplicidade geometrica, encon-tramos primeiramente os autovalores e suas respectivas multiplicidades algebricas:

det(A− λI) =

∣∣∣∣∣∣3− λ 0 1

0 2− λ 01 0 3− λ

∣∣∣∣∣∣ = (λ− 2)2(λ− 4)

Portanto a multiplicidade algebrica de λ = 2 e dois e a multiplicidade algebrica deλ = 4 e um. A multiplicidade geometrica de λ = 2 pode ser entao um ou dois, e deλ = 4 somente pode ser um. A multiplicidade geometrica de λ = 2 e a dimensao dosubespaco S2 associado a esse autovalor.

Av = 2v ⇒

3 0 10 2 01 0 3

x1x2x3

=

2x12x22x3

⇐⇒

3x1 + x3 = 2x1

2x2 = 2x2

x1 + 3x3 = 2x3

⇐⇒ x1 = −x3

ou seja, S2 = Span (1, 0,−1), (0, 1, 0) e dimS2 = 2.Para a forma de Jordan, finalmente, como λ = 2 tem multiplicidade geometrica dois,

teremos dois blocos unitarios de λ = 2. E mais um bloco unitario de λ = 4.

JA =

2 0 00 2 00 0 4

C

Exercıcio 154: Determine a forma de Jordan das matrizes1 1 00 1 00 1 1

,

0 −9 0 01 6 0 00 0 3 00 0 0 3

Exercıcio 155: Qual e a forma de Jordan de uma aplicacao com polinomiocaracterıstico (t − 2)2(t − 5)3 tal que o espaco de autovetores para o autovalor 2 tem

dimensao 1, enquanto que o espaco para o autovalor 5 tem dimensao 2?


Exercıcio 156: Ache todas as formas de Jordan possıveis para A ∈M(8,K) com

polinomio mınimo dado por t2(t− 1)3

Exercıcio 157: Encontre o polinomio mınimo, o polinomio caracterıstico, asraızes caracterısticas, e as multiplicidades geometricas dos autovetores, associados amatriz A ∈M(10,K) dada por1 1 0

0 1 10 0 1

⊕ (1 10 1

)⊕ 1⊕

(2 10 2

)⊕(

2 10 2

)

Exercıcio 158: Quantas formas de Jordan possui uma aplicacao com polinomiocaracterıstico (t− 2)4(t− 1)2?

Exercıcio 159: Se uma aplicacao φ ∈ End(C5) possui polinomio caracterıstico

(t− 2)3(t− 1)2 e polinomio mınimo (t− 2)2(t− 1), qual e a forma de Jordan de φ?

Exercıcio 160: Dada a matriz A =

(2 1−1 0

), expresse An como uma funcao de

n ∈ N.

Exercıcio 161: Determine a forma de Jordan das matrizes

a)

1 −3 44 −7 86 −7 7

Resp. :

3 0 00 −1 10 0 −1

b)

4 −5 71 −4 9−4 0 5

Resp. : diag (1, 2 + 3i, 2− 3i)

c)

4 6 0−3 −5 0−3 −6 1

Resp. : diag (−2, 1, 1)

d)

3 0 83 −1 6−2 0 −5

Resp. :

−1 0 01 −1 00 0 −1

e)

−2 8 6−4 10 64 −8 −4

Resp. : diag (0, 2, 2)


Exercıcio 162: Calcule os autovalores da matriz4 −3 1 12 −1 1 10 0 −4 30 0 2 1

,

os autovetores correspondentes, e a dimensao dos autoespacos correspondentes.

B Exemplo 35: Considere o espaco dos polinomios de grau menor ou igual a doisV = c0 + c1x+ c2x

2 | ai ∈ C com coeficientes complexos e a aplicacao ψ ∈ End(V )

definida por ψ(f) = d2

dx2 f − 4f . Escolhendo a base canonica 1, x, x2. Portantoψ(1) = −4, ψ(x) = −4x e ψ(x2) = 2− 4x2 e

[ψ] =

−4 0 20 −4 00 0 −4

.

Segue-se que Pψ(t) = (t+ 4)3 e mψ(t) = (t+ 4)2 e a forma de Jordan da matriz e

J =

−4 1 00 −4 00 0 −4

.

Uma base de Jordan para V ' C3 e dada computando-se uma base para ker (ψ+ 4I):

[ψ + 4I]v =

0 0 20 0 00 0 0

x1x2x3

=

000

o que implica que ker (ψ + 4I) tem base (1, 0, 0)T , (0, 1, 0)T O teorema da decom-posicao primaria nos diz que podemos decompor V = C3 como ker (ψ + 4I)2, nestecaso uma tautologia. Portanto podemos estender a base acima e obter uma nova basepara C3: (1, 0, 0)T , (0, 1, 0)T , (0, 0, 1)T Como tal base nao muda a matriz [ψ] paraforma de Jordan J acima, temos que adaptar esta base obtendo uma base de Jordanlegıtima. Com o vetor (0, 0, 1)T podemos achar outro vetor em C3 atraves do metodopara se achar autovetores generalizados, mas de maneira inversa — ou seja, achar umvetor no autoespaco Vλ=−4(ψ) a partir de um vetor no espaco de raızes V λ=−4(ψ), queesteja no nucleo de (ψ + 4I)2:

[ψ + 4I]v =

0 0 20 0 00 0 0

001

=

y1y2y3

o que significa que o novo vetor do autoespaco e (2, 0, 0)T .


A base de Jordan correspondente e v1 = (2, 0, 0)T , v2 = (0, 0, 1)T , v3 = (0, 1, 0)T esegue-se que

(ψ + 4I)v1 = 0, (ψ + 4I)v2 = v1 (ψ + 4I)v1 = 0.

Nesta base

[ψ + 4I] =

0 1 00 0 00 0 0

e segue-se que

[ψ] =

−4 1 00 −4 00 0 −4

nesta base de Jordan, tambem escrita como 2, x2, x CI Lema 8: Sejam φ ∈ End(V ) e U ⊆ V um subespaco φ-invariante. Entao φ induz

uma aplicacao φ ∈ End(V/U) definida por φ(v + U) = φ(v) + U , para todo v ∈ V . Sef ∈ K[x] e tal que f(φ) = O, entao f(φ) = O ∈ V/U . Se m e m sao os polinomiosmınimos de φ e φ respectivamente, entao m divide m J

Demonstracao: A aplicacao φ e bem-definida. De fato, se v = v1+U = v2+U , entaov1−v2 ∈ U e φ(v1−v2) ∈ U . Daı φ(v1) = φ(v2)+U e portanto φ(v1)+U = φ(v2)+U .

Se v ∈ V/U entao

φ2(v) = φ2(v) + U = φ(φ(v)) + U

= φ(φ(v) + U) = φ(φ(v + U))

= (φ)2(v)

e o mesmo vale por inducao para φk = (φ)k, ∀k ∈ N. Se f ∈ K[x], entao f(φ) = f(φ),e se f(φ) = O, entao f(φ) = O. Como m(φ) = m(φ) = O, entao m ∈ V/U divide m o

Exercıcio 163: Mostre que φ e linear

I Teorema 46: Sejam V um K-espaco vetorial, φ ∈ End(V ), dim V = n. Se todasas raızes do polinomio caracterıstico de φ pertencem a um corpo K, entao existe umabase de V na qual a matriz A de φ e triangular, ou seja, [aij ] = 0, i ≥ j J

Demonstracao: Inducao sobre n. O caso n = 1 e trivial. Seja dim V = n > 1, eseja λ1 ∈ K um autovalor de φ com autovetor v1. Considerando W = 〈v1〉, φ(W ) ⊂We dim W =1, com dim V/W = n − 1. Seja φ a aplicacao induzida sobre V/W . Jasabemos que cada raiz de m1 e uma raiz de m, e que cada autovalor de φ e raiz de m,portanto as raızes de m1 pertencem a K. Entao existe uma base v2, . . . , vn de V/Wtal que

φ(v2) = a22v2

φ(v3) = a23v2 + a33v3... =

...

φ(vn) = a2nv2 + · · ·+ annvn


pois assim se fabrica autovetores generalizados, ja que existe pelo menos um autovetorassociado a λ1. Subsequentemente, (φ−a23I)v3 = v2. Os vetores v1, v2, . . . , vn formamuma base de V . Alem disso, φ(vi) = wi+a2iv2+ · · ·+aiivi, onde wi = a1iv1 e portantoφ(vi) = a1iv1 + a2iv2 + · · ·+ aiivi o

Corolario 9: Seja A ∈ M(n,K). Se todas as raızes de PA(t) = det (A − tI)pertencerem a K, entao A e semelhante a uma matriz triangular

I Teorema 47: (Cayley-Hamilton) Dado φ ∈ End(V ), se todas as raızes λ1, . . . , λnde Pφ(t) = det(φ− tI) pertencerem a K, entao Pφ(φ) = O J

Demonstracao: A matriz A ∈ M(n,K) associada a φ e uma matriz triangularsuperior, numa certa base v1, . . . , vn. Se U0 = 0 e Ui = 〈v1, . . . , vi〉, entao U0 ⊂U1 ⊂ · · · ⊂ Un = V , e φ(Ui) ⊆ Ui. Portanto Pφ(t) = (−1)n(λ − λ1) . . . (λ − λn), eportanto PA(A) = (−1)n(A− a11I) . . . (A− annI) pois λi = aii, onde [aij ] = A. Paracada i−1, . . . , n, Avi = u+aiivi, onde u ∈ Ui−1 e portanto (A−aiiI)vi = u ∈ Ui−1. Ooperador A− aiiI mapeia Ui em Ui−1 e pA(A) = (A− a11I)(A− a22I) . . . (A− annI),logo temos a sequencia

V = UnA−annI- Un−1

A−a(n−1)(n−1)I- Un−2 - · · · - U2(A−a22I)- U1

(A−a11I)- U0 = 0

Segue-se que PA(A) e uma aplicacao de V em 0 e portanto PA(A) = O o

5.3 Outra prova da existencia de uma base de Jordan

Uma demonstracao por inducao e exibida nesta Secao, a fim de sedimentar um poucomais as formas de Jordan.

I Teorema 48: Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, e uma aplicacao linearψ ∈ End(V ) tal que ψm = O para algum m ≥ 1. Entao existe uma base de V da forma

u1, ψ(u1), . . . , ψa1−1(u1), . . . , uk, ψ(uk), . . . , ψak−1(uk), (5.14)

onde ψaiui = 0 para 1 ≤ i ≤ k. J

Demonstracao: Inducao em dim V . Para a etapa indutiva podemos supor que dimV ≥ 1. Claramente ψ(V ) ( V , pois caso contrario ψm(V ) = · · · = ψ(V ) = V , umacontradicao. Alem disso, se ψ e a aplicacao linear identicamente nula, o resultado etrivial. Aplicando a hipotese indutiva para a transformacao linear induzida por ψ emψ(V ), podemos encontrar v1, . . . , v` ⊂ ψ(V ) tal que

v1, ψ(v1), . . . , ψb1−1(v1), . . . , vk, ψ(vk), . . . , ψb`−1(v`)

seja uma base para ψ(V ) e ψbivi = 0 para 1 ≤ i ≤ `.Para para 1 ≤ i ≤ ` escolha ui ∈ V tal que ψ(ui) = vi. Podemos ver que ker ψ

contem os vetores linearmente independentes ψb1−1(v1), . . . , ψb`−1(v`). Tal base podeser estendida a uma base de ker ψ, digamos w1, . . . , wm.

5.3. OUTRA PROVA DA EXISTENCIA DE UMA BASE DE JORDAN — ROLDAO DA ROCHA,CMCC/UFABC, 2015 103

Mostraremos entao que u1, ψ(u1), . . . , ψb1(u1), . . . , u`, ψ(u`), . . . , ψb`(u`), w1, . . . , wm

e base de V . A independencia linear desse conjunto pode ser facilmente verificadaatraves da aplicacao de ψ a uma combinacao linear dos vetores do conjunto dado. Paramostrar que eles geram V , ja sabemos que dim ker ψ m+` e que dim ψ(V ) = b1+· · ·+b`.Assim, pelo teorema do nucleo e da imagem, dim V = (b1 + 1) + · · · + (b` + 1) + m,que e exatamente o numero de vetores na base. Portanto construımos uma base de Vna qual ψ e a forma canonica de Jordan o

Capıtulo 6Algebra Tensorial

Este capıtulo se inicia introduzindo um conceito mais geral que engloba os demaisconceitos envolvidos nos capıtulos anteriores. Para entendermos do que se trata aalgebra tensorial, devemos ter em mente o que significa algebra, a saber, um espacovetorial munido de um produto bilinear. Mais precisamente

ñ Definicao 17: Seja V um K-espaco vetorial, com uma operacao adicional, econsidere vetores u, v ∈ V . O produto bilinear em A = (V, ∗ ) e fechado em A, ou seja,dado o produto ∗ : A×A → A, entao (u, v) 7→ u ∗ v ∈ A. O par (V, ∗ ) e denominadouma algebra sobre K se o produto for bilinear, ou seja, dado a ∈ K,

1) u ∗ (v + w) = u ∗ v + u ∗ w

2) (u+ v) ∗ w = u ∗ w + v ∗ w

3) a.(u ∗ v) = (a.u) ∗ v = u ∗ (a.v)

Se existir um elemento e ∈ V tal que e ∗ u = u ∗ e = u para todo u ∈ V , entao V euma algebra unital (ou algebra com unidade). A algebra V e dita ser comutativa seu ∗ v = v ∗ u, ∀u, v ∈ V , e associativa se (u ∗ v) ∗ w = u ∗ (v ∗ w),∀u, v, w ∈ V 3

105

106 6. ALGEBRA TENSORIAL — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015

6.1 Aplicacoes Multilineares

Sejam V1, V2, . . . , Vp e W K-espacos vetoriais. A aplicacao

φ : V1 × · · · × Vp →W (6.1)

e denominada multilinear — neste caso p-linear — se for linear em cada um dos seus pargumentos, quando os outros argumentos estao fixos, ou seja, dados arbitrariamentec ∈ K, v1, v

′1 ∈ V1, v2, v′2 ∈ V2, . . . , vn, v′n ∈ Vn, entao

φ (v1, . . . , vi, . . . , vp) + φ(v1, . . . , v′i, . . . , vp) = φ(v1, . . . , vi + v′i, . . . , vp),

cφ(v1,v2, . . . , vi, . . . , vp) = φ(v1,v2, . . . , cvi, . . . , vp),

para i = 1, . . . , p. Quando p = 1 a aplicacao e linear, e quando p = 2 a aplicacao φ ebilinear.

Tais aplicacoes formam um espaco vetorial, que e por si proprio um subespaco ve-torial do espaco de todas as aplicacoes φ : V1 × · · · × Vp → W , ao definirmos a somade duas aplicacoes p-lineares e a multiplicacao por escalar de uma aplicacao p-linear:

(ψ + φ)(v1, . . . , vp) = ψ(v1, . . . , vp) + φ(v1, . . . , vp)

(aφ)(v1, . . . , vp) = aφ(v1, . . . , vp), a ∈ K.

Denotamos tal subespaco por Hom(V1, . . . , Vp;W )

Exercıcio 164: Mostre que Hom(V1, . . . , Vp;W ) e de fato um espaco vetorial

Obs. 26: Seja V um espaco vetorial real. A complexificacao de V e definidatomando o produto tensorial de V com os numeros complexos, visto por sua vez comoum vetor de espaco bidimensional sobre os reais:

V C = V ⊗R C. (6.2)

O sımbolo R subescrito no produto tensorial indica que o produto tensorial e levadosobre os numeros reais, ja que V e um espaco vetorial real e assim o ındice podeseguramente ser omitido. Nesse sentido, V C e apenas um espaco vetorial real. No en-tanto podemos fazer de V C em um espaco vetorial complexo, definindo a multiplicacaocomplexa como se segue:

a(v ⊗ b) = v ⊗ (ab), para todo v ∈ V, a, b ∈ C. (6.3)

Pela natureza do produto tensorial, cada vetor v ∈ V C pode ser escrito exclusivamentesob a forma

v = v1 ⊗ 1 + v2 ⊗ i (6.4)

onde v1 e v2 sao vetores em V . E uma pratica comum evitar o sımbolo de produtotensorial e apenas escrever v = v1 + iv2. A multiplicacao pelo numero complexo a+ ibe dada pela regra usual

(a+ ib)(v1 + iv2) = (av1 − bv2) + i(bv1 + av2) (6.5)

6.1. APLICACOES MULTILINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 107

e podemos entao escrever V C ' V ⊕ iV , com a regra acima para a multiplicacao denumeros complexos.

Ha uma imersao natural de V em V C dada por v 7→ v⊗1. O espaco vetorial V podeentao ser considerado como um subespaco real de V C

Se os espacos V1, . . . , Vp, U possuem dimensao finita, entao o espaco Hom(V1, . . . , Vp;U)tambem tem dimensao finita, e mais precisamente

dim Hom(V1, . . . , Vp;U) = dimV1 · · · dimVp dimU,

uma vez que a aplicacao em (6.1) e determinada pelas imagens dos vetores das basesde V1, . . . , Vp, que por sua vez sao determinadas pelas suas coordenadas na base de U .

Exercıcio 165: Mostre a afirmacao acima.

Exercıcio 166: Mostre que dada uma aplicacao φ : V1 × · · · × Vk → U k-linear,sua imagem pode nao ser um subespaco vetorial de U

Quando U = K, obtemos o espaco Hom(V1, . . . , Vp;K) das funcoes multilineares emV1 × · · · × Vp. Nesse caso, as aplicacoes p-lineares sao denominadas formas p-lineares.Em particular Hom(V,K) e o espaco dual V ∗ de V .

Exercıcio 167: A multiplicacao de numeros reais φ : R × R → R dada porφ(x, y) = xy e bilinear. Mostre que a aplicacao ϕ : R× R× · · · × R→ R definida por

ϕ(x1, . . . , xp) = x1.x2. . . . xp e p-linear

Exercıcio 168: Dados U, V K-espacos vetoriais, mostre que dada φ ∈ Hom(U, V )e v ∈ U , a aplicacao

A : Hom(U, V )× U → V

(φ, v) 7→ A(φ, v) = φ(v)

e bilinear

Exercıcio 169: Mostre que a aplicacao φ : R × V → V dada por φ(a, v) = av,v ∈ V , a ∈ K e bilinear. Mostre tambem que a composicao de duas aplicacoes bilinearesem End(V ) e bilinear.

IProposicao 10: Sejam U, V K-espacos vetoriais e S ⊂ U um conjunto de geradores.Se duas aplicacoes p-lineares φ, ψ : U × · · · × U︸︷︷︸

p vezes

→ V sao tais que φ(v1, . . . , vp) =

ψ(v1, . . . , vp) para quaisquer v1, . . . , vp ∈ S, entao φ = ψ J

Demonstracao: A proposicao e obvia quando p = 1. Suponha que ela sejavalida para k ≤ p e considere φ, ψ : U × · · · × U︸︷︷︸

(p+1)vezes

→ V tais que φ(v1, . . . , vp+1)

= ψ(v1, . . . , vp+1) quando v1, . . . , vp, vp+1 ∈ S. Tome v ∈ U fixo e defina ψ′, φ′ :U × · · · × U︸︷︷︸

p vezes

→ V , pondo φ′(v1, . . . , vp) = φ(v1, . . . , vp, v) e ψ′(v1, . . . , vp) = ψ(v1, . . . , vp, v).


Portanto segue-se que ψ′ e φ′ coincidem quando v1, . . . , vp ∈ S e pela hipotese deinducao ψ′ = φ′. Portanto φ(v1, . . . , vp, v) = ψ(v1, . . . , vp, v) para todos v1, . . . , vp, v ∈U , ou seja, ψ = φ o

Exercıcio 170: Mostre que, dada uma aplicacao p-linear φ : U1 × · · · × Up → V ,sua imagem φ(U1×· · ·×Up) em geral nao e um subespaco vetorial de V , quando p 6= 1.

Exercıcio 171: Mostre que a composicao de uma aplicacao linear φ ∈ Hom(U, V )com uma aplicacao p-linear Hom(V1, . . . , Vp;U) e p-linear e pertence a Hom(V1, . . . , Vp;V )

Exercıcio 172: Seja e1, e2 a base canonica de R2 e e1, e2, e3, e4 a base canonicade R4. Considere φ : R2 × R2 → R4 a aplicacao bilinear definida por φ(e1, e1) =e1, φ(e1, e2) = e2, φ(e2, e1) = e3, φ(e2, e2) = e4. Mostre que um vetor v = v1e1 +v2e2 + v3e3 + v4e4 ∈ R4 e da forma v = φ(x, y), onde x, y ∈ R2 se, e somente sev1v4 = v2v3. Conclua que a imagem de φ gera, porem nao coincide com R4. Emparticular, φ(R2 × R2) nao e subespaco vetorial

6.2 Produto Tensorial entre Espacos Vetoriais

O produto tensorial entre dois espacos vetoriais V e W surge naturalmente quandoconsideramos aplicacoes bilineares φ : V ×W → U . Uma dessas aplicacoes e universal,no sentido que de certa maneira ele descreve todos os outros.

ñ Definicao 18: O produto tensorial entre K-espacos vetoriais V e W e um espacoT com uma aplicacao bilinear

⊗ : V ×W → T

(v, w) 7→ (v ⊗ w)

que satisfaz a seguinte condicao: se ei | i ∈ I e fj | j ∈ J sao bases de V e W —aqui I e J sao conjuntos de ındices — respectivamente, entao ei ⊗ fj | i ∈ I, j ∈ J ebase de T 3

Tal condicao nao depende das escolha de bases de V e W . Denotamos tambem V ⊗KW quando quisermos explicitamente enfatizar sobre qual corpo estamos efetuando oproduto tensorial. Salvo mencao explıcita omitiremos tal notacao e o produto V ⊗Wdenotara daqui em diante o produto tensorial entre espacos vetoriais sobre o corpo emquestao.

O produto tensorial existe para quaisquer espacos vetoriais V e W , pois ao se con-siderar o espaco vetorial T com base tij, definimos a aplicacao ⊗ : V ×W → T talque ei ⊗ fj = tij .

6.2. PRODUTO TENSORIAL ENTRE ESPACOS VETORIAIS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC,2015 109

O produto tensorial e unico a menos de isomorfismo, no sentido de que se (T1,⊗1) e(T2,⊗2) sao dois produtos tensoriais entre V e W , entao existe um (unico) isomorfismo

ψ : T1 → T2

v ⊗1 w 7→ v ⊗2 w

para quaisquer v ∈ V e w ∈ W . Com efeito, para vetores da base de V e W oisomorfismo em questao pode ser construıdo como ψ(ei⊗1fj) = ei⊗2fj . Por linearidadetal isomorfismo e estendido para todos v ∈ V e w ∈W .

Em particular, dim (V ⊗W ) = dim V · dim W .

B Exemplo 36: Considere respectivamente os espacos dos polinomios na variavel xe y sobre um corpo K, e a aplicacao bilinear

⊗ : K[x]×K[y] → K[x, y]

(f ⊗ g)(x, y) 7→ f(x)g(y)

Para i, j = 0, 1, 2, . . ., os produtos xi ⊗ yj = xiyj formam uma base de K[x, y], eportanto K[x, y] = K[x]⊗K[y] C

Exercıcio 173: Sejam v, u ∈ R2 os vetores v = 2e1 − e2, u = e1 + 3e2. Calcule osprodutos tensoriais v⊗ u e u⊗ v na base canonica, e verifique que o produto tensorialnao e comutativo

Embora o produto tensorial entre dois espacos vetoriais nao seja comutativo, epossıvel estabelecer um isomorfismo

cV,W : V ⊗W → W ⊗ Vv ⊗ w 7→ w ⊗ v (6.6)

ao requerermos que a base ei ⊗ fj de V ⊗W seja levada na base fj ⊗ ei de W ⊗ V .

Exercıcio 174:

a) Mostre que cV,W cW,V = idW⊗V e que cW,V cV,W = idV⊗W

b) Dado o espaco vetorial U⊗V ⊗W , mostre que (cV,W⊗I)(I⊗cU,W )(cU,V ⊗I) =(I⊗ cU,V ) (cU,W ⊗ I) (I⊗ cV,W ). Essa relacao e denominada equacao de Yang-Baxter e origina o grupo das trancas.

Obs. 27: Equipado com essas estruturas o conjunto V1 × V2 × · · · × Vp edenominado soma direta exterior dos espacos vetoriais V1, V2, . . . , Vp e e denotada por⊕p

i=1Vi. Considere o subespaco livre V de

p⊕i=1

Vi que consiste das somas finitas formais


∑(v1,...,vp)∈⊕pi=1Vi

av1...vp (v1, . . . , vp) . A denominacao livre na definicao acima significa

que ∑(v1,...,vp)∈⊕pi=1Vi

av1...vp (v1, . . . , vp) = 0,

implicando que av1...vp = 0.O subespaco V0 ∈ V e um subespaco de V gerado pelos vetores de um dos seguintes

tipos:

(i) (v1, . . . , v′i + v′′i , . . . , vp)− (v1, . . . , v

′i, . . . , vp)− (v1,, . . . , v

′′i , . . . , vp),

(ii) (v1, . . . , cvi, . . . , vp)− c(v1, . . . , vi, . . . , vp), i = 1, 2, . . . , p e c ∈ K.

Podemos definir no espaco V a seguinte relacao de equivalencia. Dados u, v ∈ Vdizemos que u ≡ v (mod V0) se u − v ∈ V0. Considere agora o espaco quocienteV/V0, cujos elementos sao as classes de equivalencia de V . Os elementos de V/V0 saodenotados por [u] ou u+V0. O espaco V/V0 possui uma estrutura de espaco vetorialsobre K, ao definirmos

[u+ v] = [u] + [v],

c[u] = [cu], c ∈ K. (6.7)

Eqs.(6.7) podem ser reescritas como

(u+V0) + (v+V0) = (u+ v)+V0,

c(u+V0) = (cu+V0), c ∈ K. (6.8)

A projecao canonica e definida como sendo a aplicacao π :V →V/V0, onde π ∈ Hom(V, V/V0).Ja que π(u) = π(v)⇒ u ≡ v (mod V0), e u ≡ v (modV0)⇒ π(u) = π(v), segue-se queπ(u− v) = 0, de onde concluımos que π(V0) = 0, i.e., kerπ = V0. Formalmente o espacoV/V0 e denominado produto tensorial entre os espacos V1, V2, . . . , Vp e denotado porV1⊗ V2⊗ · · · ⊗ Vp. Os elementos de V1⊗ V2⊗ · · · ⊗ Vp sao denominados tensores. Sejau = (v1, v2, . . . , vp) ∈ V e escrevemos

π(v1, v2, . . . , vp) = v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vp, (6.9)

e denominamos v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vp um tensor fatorizavel.

B Exemplo 37: Dados α ∈ V ∗ e w ∈W , defina a aplicacao linear

⊗ : V ∗ ×W → Hom (V,W )

(α,w) 7→ α⊗ w : V →W

v 7→ (α⊗ w)(v) := α(v)w (6.10)

Tomando ei e fj bases canonicas de V ∗ e W respectivamente, o elemento ei ⊗ fje levado a matriz Eij , onde a entrada (i, j) e 1, e as demais entradas valem zero.C


B Exemplo 38: No exemplo anterior, no caso particular quando V = W , temoso isomorfismo V ∗ ⊗ V ' End(V ), e portanto temos a equivalencia entre elementos∑ni,j=1 a

jiei ⊗ ej ∈ V ∗ ⊗ V e a matriz [aij ] ∈ End(V ). Sabemos que o espaco End(V )

e munido de um funcional linear canonico: o traco Tr: End(V ) → K — definido porTr [aij ] =

∑ni=1 aii. Portanto o traco induz um funcional linear

V ∗ × V → Kn∑

i,j=1

ajiei ⊗ ej 7→

n∑i=1

aii (6.11)

denominado contracao CDados α ∈ V ∗, β ∈W ∗, definimos agora o produto tensorial α⊗ β em V ×W por

(α⊗ β)(v, w) = α(v)β(w), v ∈ V,w ∈W (6.12)

obtendo assim a aplicacao bilinear

⊗ : V ∗ ×W ∗ → Hom (V,W ;K).

Aqui (ei, f j)(v, w) = viwj , onde (v1, . . . , vn) e (w1, . . . , wn) sao componentes dos veto-res v e w nas bases ei ⊂ V e fj ⊂W , respectivamente. Ja vimos que toda funcaobilinear B : V ⊗W → K se decompoe unicamente como B(u, v) =

∑i,j cijuivj . O

conjunto ei ⊗ f j forma uma base para Hom(V,W ;K). Assim

Hom (V,W ;K) ' V ∗ ⊗W ∗ (6.13)

Em particular, quando nos restringimos ao produto tensorial tomado sobre copiasdo mesmo espaco vetorial V , ja vimos que um covetor age sobre um vetor resultandoem uma quantidade escalar. Desse modo, α, β ∈ V ∗ e u, v ∈ V , sabemos que α(u)e β(v) pertencem ao corpo. Entao podemos considerar o produto dessas duas quan-tidades, ou seja, α(u)β(v). Como consequencia dessa definicao, o produto tensorialnao e comutativo. Como caso particular um produto tensorial entre vetores — comvalores em K — de um mesmo espaco vetorial age sobre o produto cartesiano V ∗×V ∗,resultando em um escalar:

(u⊗ v)(α, β) = α(u)β(v). (6.14)

Essa notacao e usada para simplificar, ja que como α, β sao funcionais lineares tomandovalores em V e levando em K, na expressao acima u e v simbolizam respectivamente asaplicacoes τu, τv ∈ V ∗∗ que tomam valores em V ∗ e levam em K, assim como definidosna expressao (1.4) na Secao (1.6). Como existe um isomorfismo canonico entre V ∗∗ eV , portanto tais espacos sao tomados indistintamente na expressao (6.14).

Nao e difıcil vermos que o espaco definido pelo produto tensorial de covetores etambem um espaco vetorial, que denotaremos por T 2(V ) = V ∗ ⊗ V ∗, e denotaremostambem V ⊗ V por T2(V ).


Exercıcio 175: Mostre que T 2(V ) e T2(V ) sao espacos vetoriais, e mostre tambem

que T 2(V ) ' T2(V ∗) e que T2(V ) ' T 2(V ∗).

Exercıcio 176: Se dim V = n temos dim T2(V ) = dim T 2(V ) = n2

Mais especificamente, considere ei uma base para V e ei a sua base dual. Sabe-mos que α(v) =

∑i αiv

i e que β(u) =∑i βiu

i, onde αi = α(ei), βi = β(ei), vi = ei(v)

e ui = ei(u). Desse modo

(α⊗ β)(v, u) =∑i,j

αiviβju

j .

Mas (ei ⊗ ej)(v, u) = viuj , e portanto podemos escrever

α⊗ β =∑i,j

αiβjei ⊗ ej

Os funcionais bilineares ei ⊗ ej (i, j = 1, . . . , n) formam uma base para o espacoT 2(V ). Se B e um funcional bilinear arbitrario podemos escrever B = bije

i ⊗ ej , ondeos escalares bij — componentes de B nesta base — sao dados por bij = B(ei, ej).Segue-se que B(v, u) =

∑i,j bijv

iuj .

Exercıcio 177: Mostre que ei ⊗ ej (i, j = 1, . . . , n) formam uma base parao espaco T2(V ), ou seja, que A ∈ T2(V ) pode ser escrito na forma A =

∑i,j a

ijei ⊗ej , onde aij = A(ei, ej) sao as componentes de A nessa base. Mostre ainda que oscoeficientes aij sao unicos. Da mesma maneira, mostre que ei ⊗ ej (i, j = 1, . . . , n)

formam uma base para o espaco T 2(V )

Os funcionais bilineares em T 2(V ) e T2(V ) podem ser decompostos na soma defuncionais bilineares simetricos e alternados. Vamos tomar como exemplo B ∈ T 2(V ),e definimos um funcional bilinear simetrico Bsim como

Bsim(v, u) =1

2(B(v, u) +B(u, v))

e um funcional bilinear alternado Balt como

Balt(v, u) =1

2(B(v, u)−B(u, v)).

Exercıcio 178: Mostre que um funcional bilinear arbitrario B ∈ V ∗ ⊗ V ∗ podeser escrito como B = Bsim +Balt

O espaco dos funcionais bilineares simetricos T 2sim(V ) e dos funcionais bilineares

alternados T 2alt(V ) possuem respectivamente as bases ei⊗ej+ej⊗ei e ei⊗ej−ej⊗ei,

onde i, j = 1, . . . ,dim n.

Exercıcio 179: Prove que as componentes de um elemento A = Aijei ⊗ ej ∈

T 2alt(V ) satisfazem Aij = −Aji.


Exercıcio 180: Dados α, β : V → K, mostre que:

1. α⊗ β = 0⇔ α = 0 ou β = 0.

2. α⊗ β = β ⊗ α⇔ α e β sao multiplos um do outro.

Exercıcio 181: O operador de permutacao P : T 2(V ) → T 2(V ) e definido porP (α ⊗ β) = β ⊗ α, e o operador identidade em T 2(V ) e dado por id(α ⊗ β) = α ⊗ β.Defina os operadores ALT: T 2(V ) → T 2

alt(V ) e SIM: T 2(V ) → T 2sim(V ) tais que ALT

= 12 (id − P ) e SIM = 1

2 (id + P ). Prove que ALT ALT = ALT, SIM SIM = SIM,ALT SIM = 0 = SIM ALT, e que ALT + SIM = id. Mostre que ker SIM = T 2

alt(V )

e ker ALT = T 2sim(V )

Exercıcio 182: Prove que T 2(V ) = T 2alt(V )⊕ T 2

sim(V )

Exercıcio 183: Dados α = e3 − 4e1, β = 3e2 − e3, calcule (α ⊗ β)(u, v), ondeu = e1 + e2 + 2e3 e v = −2e1 + e3. Calcule tambem α⊗ β, α⊗α, β ⊗α, β ⊗ β, α⊗ u,v ⊗ β, u⊗ v, u⊗ u⊗ α.

Exercıcio 184: Defina o produto exterior entre tres vetores e1, e2, e3 ∈ R3

como sendo

e1 ∧ e2 ∧ e3 :=1

6(e1 ⊗ e2 ⊗ e3 + e2 ⊗ e3 ⊗ e1 + e3 ⊗ e1 ⊗ e2−e3 ⊗ e2 ⊗ e1 − e2 ⊗ e1 ⊗ e3 − e1 ⊗ e3 ⊗ e2)

Mostre que e1 ∧ e2 ∧ e3 = −e1 ∧ e3 ∧ e2 e mais geralmente que e1 ∧ e2 ∧ e3 ∈ T3 alt(V )

I Proposicao 11: Dada uma aplicacao linear φ : V ×W → U , existe uma unicaaplicacao linear ψ : V ⊗W → U tal que

φ(v, w) = ψ(v ⊗ w), v ∈ V,w ∈W. (6.15)

J

Demonstracao: Na base de V ⊗W , tal aplicacao linear e dado por

φ(ei, fj) = ψ(ei ⊗ fj)

o

Mais especificamente, provamos o carater universal do produto tensorial, no sentidode que existe uma funcao f : V ×W → V ⊗W tal que ψ f = φ, como mostra o


seguinte diagrama comutativo:

V ×Wφ - U

V ⊗W

ψ

6

f-

Portanto existe um isomorfismo entre Hom(V ⊗ W ;U) e Hom(V,W ;U) que levaψ : V ⊗W → U a φ : V ×W → U , e em particular quando U = K temos que

(V ⊗W )∗ ' Hom (V,W ;K)

ja que (V ⊗W )∗ leva o espaco tensorial V ⊗W ao corpo K. Pelo isomorfismo obtidopela Eq.(6.13), acabamos de mostrar o seguinte isomorfismo:

(V ⊗W )∗ ' V ∗ ⊗W ∗ (6.16)

O isomorfismo acima e visto como uma extensao da correlacao τ : V → V ∗, que“dualiza” tambem o produto tensorial:

τ : V ⊗W → (V ⊗W )∗

v ⊗ w 7→ τ(v ⊗ w) = τ(v)⊗ τ(w) (6.17)

Funcionais Bilineares Mistos

Assim como definimos produto tensorial entre vetores e entre covetores, podemostambem definir o produto tensorial entre um vetor e um covetor. O funcional bilinearassim obtido e denominado funcional bilinear misto. Definimos o produto tensorialα⊗ v atraves de

(α⊗ v)(u, β) = α(u)β(v).

Denotaremos este espaco vetorial por T 11(V ) = V ∗⊗V . Obviamente dim T 1

1(V ) = n2.Uma base para T 1

1(V ) e dada pelos produtos tensoriais do tipo ei⊗ ej . Dessa maneira

C ∈ T 11(V ) pode ser escrito como C =

∑i,j c

ji e

i ⊗ ej , onde c ji = C(ei, ej)

B Exemplo 39: Este exemplo e o Ex. 1.5 de [7]. Existe um isomorfismo entre osespacos T 1

1(V ) e T 11 (V ) definido por

cV,V ∗ : T 11(V ) → T 1

1 (V )

α⊗ v 7→ cV,V ∗(α⊗ v) = v ⊗ α

Em termos de uma base de T 11(V ) podemos escrever cV,V ∗(e

i ⊗ ej) = ej ⊗ ei, e taldefinicao nao depende da base escolhida. Apesar do isomorfismo acima, devemos tomarcuidado com a notacao, distinguindo os espacos T 1

1(V ) e T 11 (V ). Vamos supor que


dada uma forma bilinear simetrica g definida em termos de uma base e1, e2 de R2

por g11 = 1, g12 = 1, g21 = 1, g22 = −1, onde gij = g(ei, ej). Podemos entao levantar eabaixar ındices, implicitamente usando a correlacao τ : V → V ∗:

e1 = e1 + e2, e2 = e1 − e2,

e

e1 =1

2(e1 + e2), e2 =

1

2(e1 − e2).

Vamos agora considerar B ∈ T 11(V ) dado por

B = e1 ⊗ e2.

Temos nesse caso B 11 = 0, B 2

1 = 1, B 12 = 0, B 2

2 = 0. Levantando e abaixandoındices com a ajuda das formulas acima podemos escrever

B =1

2e1 ⊗ e1 −

1

2e1 ⊗ e2 +

1

2e1 ⊗ e1 −

1

2e1 ⊗ e2

ou seja, B11 = 1

2 , B12 = − 1

2 , B21 = 1

2 , B22 = − 1

2 . e portanto Bji 6= Bij e portanto e

preciso distinguir os T 11(V ) e T 1

1 (V ). C

Exercıcio 185: Encontre o valor do tensor φ⊗ ψ − ψ ⊗ φ ∈ T 5(V ) aplicado em(v1, v2, . . . , v5) onde φ = e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e3 + e2 ⊗ e2 ∈ T 2(V ) e ψ = e1 ⊗ e1 ⊗ (e1 − e3),

enquanto que v1 = e1, v2 = e1 + e2, v3 = e2 + e3, v4 = v5 = e2

Exercıcio 186: Encontre as componentes T 12123 de um tensor em T 3

2 (V ) se todasas componentes desse tensor na base ei valem 2, e as bases ei estao relacionadaspor

(e1, e2, e3) = (e1, e2, e3)

1 2 30 1 20 0 1

(6.18)

Exercıcio 187: Dado V um espaco vetorial 4-dimensional, considere A = e1⊗e2+e2⊗e3 +e3⊗e4 ∈ T 1

1. Encontre todos os vetores v ∈ V tais que A(v, α) = 0, ∀α ∈ V ∗

Exercıcio 188: Considere um espaco vetorial tridimensional sobre o corpo Z2 eum tensor T = e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e3 ∈ T 1

1(V ). Encontre os pares (v, α) ∈ V × V ∗ tais que

T (v, α) = 0

Exercıcio 189: Considere o isomorfismo ψ : V ∗ ⊗ V → End(V ) em (6.10) e sejaeidimV

i=1 [ei] a base canonica de V [V ∗]. Dado A = e1 ⊗ e3, calcule ψ(A)v, ondev = e1 + e2 + e3 + e4. Calcule tambem para o caso onde A = (e1 + e3) ⊗ (e3 + e4) e

v = 2e1 + 3e2 + 2e3 + 3e4


Exercıcio 190: Dada a forma bilinear simetrica g : V × V → K cuja matrizassociada e dada por

2 1 0 01 1 0 00 0 1 10 0 1 2

,

abaixe e levante os ındices dos tensores:a) e1 ⊗ e3 + e2 ⊗ e4b) (e1 + e2)⊗ (e3 + e4)− (e1 + e3)⊗ e3

6.3 A algebra tensorial de um espaco vetorial

Da mesma maneira que foi estabelecido um isomorfismo de permutacao (trans-posicao) entre espacos vetoriais, atraves da Eq.(6.6), dados tres espacos vetoriaisU, V,W sobre K, existe um isomorfismo

(U ⊗ V )⊗W → U ⊗ (V ⊗W )

(u⊗ v)⊗ w 7→ u⊗ (v ⊗ w) (6.19)

Ao identificarmos os espacos tensoriais (U⊗V )⊗W e U⊗(V ⊗W ) por tal isomorfismo,podemos escrever produtos tensoriais entre qualquer numero finito de espacos vetoriaisV1, V2, . . . , Vp sem o uso de parenteses. Inducao em p mostra que o produto tensorialentre vetores das bases de V1, . . . , Vp forma uma base para o espaco V1 ⊗ · · · ⊗ Vp.

Podemos agora generalizar os resultados obtidos em (6.13, 6.15, 6.16) para o casodo produto tensorial (finito) entre espacos vetoriais, obtendo um isomorfismo

Hom(V1 ⊗ · · · ⊗ Vp;U) ' Hom(V1, . . . , Vp;U) (6.20)

que leva uma aplicacao linear ψ : V1 ⊗ · · · ⊗ Vp → U a aplicacao p-linear φ : V1 × · · · ×Vp → U , definida como

φ(v1, . . . , vp) = ψ(v1 ⊗ · · · ⊗ vp)

e em particular quando U = K obtemos um isomorfismo

(V1 ⊗ · · · ⊗ Vp)∗ ' Hom(V1, . . . , Vp;K) (6.21)

Podemos agora generalizar a expressao (6.12) para um numero arbitrario de espacosvetoriais de dimensao finita V1, . . . , Vp. Seja

(α1 ⊗ · · · ⊗ αp)(v1, . . . , vp) = α1(v1) . . . αp(vp) (6.22)

onde α1 ∈ V ∗1 , . . . , αp ∈ V ∗p , v1 ∈ V1, . . . , vp ∈ Vp. Segue-se que

Hom(V1, . . . , Vp;K) ' V ∗1 ⊗ · · · ⊗ V ∗p . (6.23)

6.3. A ALGEBRA TENSORIAL DE UM ESPACO VETORIAL — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC,2015 117

Juntamente com o isomorfismo ja estabelecido em (6.21), o seguinte isomorfismo de-corre imediatamente:

V ∗1 ⊗ · · · ⊗ V ∗p ' (V1 ⊗ · · · ⊗ Vp)∗ .

Essa expressao e a generalizacao da relacao (6.17), sendo a correlacao um automorfismoem relacao ao produto tensorial:

τ : V1 ⊗ · · · ⊗ Vp → (V1 ⊗ · · · ⊗ Vp)∗

v1 ⊗ · · · ⊗ vp 7→ τ(v1 ⊗ · · · ⊗ vp) = τ(v1)⊗ · · · ⊗ τ(vp) (6.24)

6.3.1 Produtos tensoriais entre aplicacoes lineares

Para quaisquer operadores A ∈ End(V ) e B ∈ End(W ), podemos construir aaplicacao linear A⊗B ∈ End(V ⊗W ) atraves da definicao

(A⊗B)(v ⊗ w) = (A(v))⊗ (B(w)) (6.25)

A aplicacao A⊗B e denominada produto tensorial entre as aplicacoes lineares A e B.

B Exemplo 40: Considere A =

(a bc d

)e A′ =

(a′ b′

c′ d′

)matrizes em M(2,K).

Portanto A⊗A′ e uma aplicacao linear em Hom(K2⊗K2). Denotando e1, e2 a basecanonica de K2, a matriz de A ⊗ A′ na base e1 ⊗ e1, e1 ⊗ e2, e2 ⊗ e1, e2 ⊗ e2. Pordefinicao

(A⊗A′)(e1 ⊗ e1) = Ae1 ⊗A′e1= (ae1 + ce2)⊗ (a′e1 + c′e2)

= aa′e1 ⊗ e1 + ac′e1 ⊗ e2 + ca′e2 ⊗ e1 + cc′e2 ⊗ e2(A⊗A′)(e1 ⊗ e2) = Ae1 ⊗A′e2

= (ae1 + ce2)⊗ (b′e1 + d′e2)

= ab′e1 ⊗ e1 + ad′e1 ⊗ e2 + cb′e2 ⊗ e1 + cd′e2 ⊗ e2(A⊗A′)(e2 ⊗ e1) = Ae2 ⊗A′e1

= (be1 + de2)⊗ (a′e1 + c′e2)

= ba′e1 ⊗ e1 + bc′e1 ⊗ e2 + da′e2 ⊗ e1 + dc′e2 ⊗ e2(A⊗A′)(e2 ⊗ e2) = Ae2 ⊗A′e2

= (be1 + de2)⊗ (b′e1 + d′e2)

= bb′e1 ⊗ e1 + bd′e1 ⊗ e2 + db′e2 ⊗ e1 + dd′e2 ⊗ e2

Segue-se entao que a matriz associada a A⊗A′ e dada poraa′ ab′ ba′ bb′

ac′ ad′ bc′ bd′

ca′ cb′ da′ db′

cc′ bd′ db′ dd′

=

(aA′ bA′

cA′ dA′

)(6.26)


Neste exemplo podemos ver que o funcional linear traco do produto tensorial entrematrizes Tr (A⊗A′) = a(a′ + d′) + d(a′ + d′) = (a+ d)(a′ + d′) =(Tr A)(Tr A′). C

B Exemplo 41: Considere [aij ] a matriz de A na base e1, . . . , en de V e [bkl] amatriz do operador B na base f1, . . . , fm de W . Entao, pelo mesmo procedimentodo exemplo anterior, a matriz da aplicacao A ⊗ B na base e1 ⊗ f1, e1 ⊗ f2, . . . , e1 ⊗fm, e2 ⊗ f1, e2 ⊗ f2, . . . , e2 ⊗ fm, . . . , . . . , en ⊗ fm para m = n de V ⊗W e dada por

A⊗B =

a11B a12B · · · a1nBa21B a22B · · · a2nB

......

. . ....

an1B an2B · · · annB

Tal matriz e denominada produto de Kronecker entre A e B C

Mais geralmente, dados espacos vetoriais V, V ′, U, U ′ sobre o mesmo corpo K e dadasaplicacoes ψ ∈ Hom(V, V ′) e φ ∈ Hom(U,U ′), necessita-se definir uma outra aplicacaolinear

ψ ⊗ φ : V ⊗ U → V ′ ⊗ U ′

v ⊗ u 7→ (ψ ⊗ φ)(v ⊗ u) = ψ(v)⊗ φ(u). (6.27)

Embora seja usual a notacao ψ ⊗ φ, o objeto ψ ⊗ φ nao denota um tensor. Isto esomente uma notacao para um novo aplicacao linear em V ⊗K U , o qual denotaremosde agora em diante simplesmente por V ⊗ U .

Exercıcio 191: Calcule Tr(A⊗A⊗ · · · ⊗A)

Exercıcio 192: Dada I = σ0 =

(1 00 1

)e as matrizes de Pauli σ1 =

(0 11 0

), σ2 =(

0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

)em M(2, C), calcule σi ⊗ σj (i, j = 0, 1, 2, 3)

I Teorema 49: Considere K um corpo e sejam A ∈ M(n,K) e B ∈ M(m,K)matrizes que tenham autovalores a e b em K, respectivamente. Entao a aplicacaoA⊗ Im×m + In×n ⊗B tem autovalor a+ b e A⊗B possui autovalor ab J

Demonstracao: Para algum v ∈ Kn e algum w ∈ Km, Av = av e Bw = bw.Portanto

(A⊗ Im×m + In×n ⊗B)(v ⊗ w) = Av ⊗ w + v ⊗Bw= av ⊗ w + v ⊗ (bw)

= (a+ b)(v ⊗ w)

Tambem

(A⊗B)(v ⊗ w) = (Av)⊗ (Bw) = (av)⊗ (bw) = ab(v ⊗ w) (6.28)

o


Exercıcio 193: Se A ∈ End(V ) e diagonalizavel, mostre que A ⊗ A ⊗ · · · ⊗ A ediagonalizavel. Sendo λi um conjunto de autovalores de A, quais sao os autovalores

de A⊗A⊗ · · · ⊗A?

Exercıcio 194: Encontre a forma canonica de Jordan da aplicacao A⊗ B, se Ae B sao respectivamente dadas por(

1 10 1

),

1 0 00 2 00 0 3

,

(1 10 1

)(

2 10 2

),

(1 10 1

),

0 1 00 0 10 0 0

I Teorema 50: Dados K-espacos vetoriais V, V ′, V ′′, U, U ′, U ′′ e dadas aplicacoesψ ∈ Hom(V, V ′), ψ′ ∈ Hom(V ′, V ′′), φ ∈ Hom(U,U ′) e φ′ ∈ Hom(U ′, U ′′), entao:

(i) IV ⊗ IU = IV⊗U .(ii) (ψ′ ⊗ φ′) (ψ ⊗ φ) = (ψ′ ψ) ⊗ (φ′ φ), enquanto aplicacoes lineares de V ⊗K Uem V ′′ ⊗K U

′′ J

Demonstracao: (i) A funcao IV ⊗IU e uma aplicacao linear que pertence ao espacoEnd(V ⊗ U) e deixa invariante qualquer tensor homogeneo da forma v ⊗ u. Segue-seque ele fixa todos os tensores de V ⊗ U e portanto IV ⊗ IU = IV⊗U .(ii) Como (ψ′⊗φ′)(ψ⊗φ) e (ψ′ψ)⊗(φ′φ) sao lineares, a fim de se provar a igualdadee suficiente verificar que possuem o mesmo valor em qualquer tensor homogeneo daforma v ⊗ u, no qual ambas as aplicacoes possuem o valor ψ′(ψ(v))⊗ φ′(φ(u)). o

B Exemplo 42: Mostramos aqui como calcular o determinante de produtos tensoriaisde aplicacoes lineares. Supomos ψ ∈ End(V ) e φ ∈ End(U), onde U e V sao K-espacosvetoriais de dimenao n e m, respectivamente. Calcularemos det(ψ⊗φ) cindindo ψ⊗φna composicao de dois aplicacoes que pertencem a End(V ⊗ U), da seguinte maneira:

ψ ⊗ φ = (ψ ⊗ IU ) (IV ⊗ φ),

de tal modo que a propriedade multiplicativa do determinante implica det(ψ ⊗ φ) =

det(ψ⊗IU )det(IV ⊗φ). Alem disso, o isomorfismo que transpoe o tensor u⊗v cU,V7→ v⊗uconverte ψ ⊗ IU em IU ⊗ ψ e da propriedade det(ψ ⊗ IU ) = det(IU ⊗ ψ) segue-se que

det(ψ ⊗ φ) = det(IU ⊗ ψ)det(IV ⊗ φ).

A fim de que determinemos esses ultimos fatores, tome uma base e1, . . . , em de V euma base f1, . . . , fn de U , e consequentemente uma base ei⊗fj (i = 1, . . . ,m; j =1, . . . , n) de V ⊗ U . Considere agora [ψ] a matriz associada a ψ na base ordenadae1, . . . , em. Como (ψ ⊗ IU )(ei ⊗ fj) = ψ(ei)⊗ fj , ordene a base de V ⊗ U como

e1 ⊗ f1, . . . , em ⊗ f1, . . . , e1 ⊗ fn, . . . , em ⊗ fn.


A matriz de ordem mn×mn associada a ψ ⊗ IU nesta base ordenada e diagonal porblocos

[ψ] O · · · OO [ψ] · · · O...

.... . .

...O O · · · [ψ]

,

cujo determinante e (det ψ)n. Portanto

det(ψ ⊗ φ) = (det ψ)n (det φ)m

C

Obs. 28: Em particular no exemplo anterior det(A⊗A′) = (det A)2 (det A′)2

B Exemplo 43: Tomando-se U = V e ψ = φ, entao a aplicacao ψ ⊗ ψ possuideterminante (det ψ)2k C

Corolario 10: Considere V um K-espaco vetorial de dimensao maior ou igual aum e ψ ∈ End(V ). Para todo i ∈ N

det(ψ⊗i) = (det ψ)iki−1

Exercıcio 195: Prove o corolario acima (Dica: use o princıpio da inducao finita

e a associatividade do produto tensorial de aplicacoes lineares)

ITeorema 51: Dados K-espacos vetoriais V, V ′, U, U ′, se as aplicacoes ψ ∈ Hom(V, V ′)e φ ∈ Hom(U,U ′) sao sobrejetivas, entao ψ ⊗ φ ∈ Hom(V ⊗ U ;V ′ ⊗ U ′) e sobrejetivaJ

Demonstracao: Como ψ ⊗ φ e linear, basta mostrar que todo tensor do tipov′⊗u′ ∈ V ′⊗U ′ esta na imagem de ψ⊗φ. Como ψ e φ sao ambas sobrejetivas, podemosexpressar v′ = ψ(v) e u′ = φ(u). Portanto v′ ⊗ u′ = ψ(v)⊗ φ(u) = (ψ ⊗ φ)(v ⊗ u) o

O exemplo abaixo nos mostra que mesmo que ψ e φ definidas no Teorema acimasejam injetivas, o produto tensorial ψ ⊗ φ pode nao ser injetivo.

BExemplo 44: Considere p ∈ Z um numero primo e uma aplicacao ψ ∈Hom(Zp,Zp2)dada pela multiplicacao por p ∈ Z, ou seja, ψ(a) = pa, ∀a ∈ Zp. Tal funcao e injetiva.Analisemos agora o aplicacao linear

IZp ⊗ ψ : Zp ⊗Z Zp → Zp ⊗Z Zp2a⊗ b 7→ (IZp ⊗ ψ)(a⊗Z b) = a⊗Z ψ(b).

Portanto, como a ⊗Z ψ(b) = a ⊗Z pb = pa ⊗Z b = 0. Segue-se que IZp ⊗ ψ ≡ 0 e seudomınio Zp⊗Z Zp ' Zp e nao-nulo, nao sendo assim IZp ⊗ψ uma aplicacao injetiva. C

Agora determinaremos uma expressao explıcita para o nucleo do produto tensorialentre aplicacoes:


ITeorema 52: Dados K-espacos vetoriais V, V ′, U, U ′, se as aplicacoes ψ ∈ Hom(V, V ′)e φ ∈ Hom(U,U ′) sao ambas injetivas, entao ker ψ ⊗ φ ∈ Hom(V ⊗ U ;V ′ ⊗ U ′) e umsubespaco vetorial de V ⊗U gerado pelos tensores v⊗u tais que ψ(v) = 0 ou φ(u) = 0.

Em termos das inclusoes kerψι→ V e kerφ

κ→ U , temos:

ker(ψ ⊗ φ) = (ι⊗ IU )((kerψ)⊗ U) + (IV ⊗ κ)(V ⊗ (kerφ)) (6.29)

J

Demonstracao: Se v ∈ ker ψ e u ∈ U entao

(ψ ⊗ φ)((ι⊗ IU )(v ⊗ u)) = (ψ ⊗ φ)(v ⊗ u) = ψ(v)⊗ φ(u) = 0. (6.30)

Para nao carregar demais a notacao usamos a mesma notacao para v⊗ u, que no ladoesquerdo da primeira igualdade acima esta em (V ⊗ U) enquanto que ao lado direitoda primeira igualdade v ⊗ u ∈ (kerψ)⊗ U . Da mesma forma

(ψ ⊗ φ)((IV ⊗ κ)(v ⊗ u)) = (ψ ⊗ φ)(v ⊗ u) = ψ(v)⊗ φ(u) = 0, (6.31)

se v ∈ V e u ∈ kerφ. Definindo o conjunto

W = (ι⊗ IU )((kerψ)⊗ U) + (IV ⊗ κ)(V ⊗ (kerφ)),

concluımos que W ⊂ ker (ψ ⊗ φ), e segue-se que ψ ⊗ φ induz uma aplicacao linear

ξ : (V ⊗ U)/W → V ′ ⊗ U ′

v ⊗ u modW 7→ (ψ ⊗ φ)(v ⊗ u) = ψ(v)⊗ φ(u) (6.32)

Agora expressaremos a aplicacao inversa de ξ, o que mostrara que ξ e injetiva e queo nucleo de ψ ⊗ φ e W . Como ψ e φ sao sobrejetivas por hipotese, qualquer tensorhomogeneo em V ′ ⊗ U ′ pode ser escrito como ψ(v) ⊗ φ(u). Os valores de ψ(v) eφ(u) somente determinam v e u a menos da adicao de elementos de ker (ψ) e ker (φ),respectivamente. Para v ∈ ker ψ e para u ∈ ker (φ),

(v + v)⊗ (u+ u) = v ⊗ u+ v ⊗ u+ v ⊗ u+ v ⊗ u ∈ v ⊗ u+W, (6.33)

e portanto a funcao

V ′ × U ′ → (V ⊗ U)/W

(ψ(v), φ(u)) 7→ v ⊗ u modW

e uma funcao bilinear bem-definida. Isso induz uma funcao

ω : V ′ ⊗ U ′ → (V ⊗ U)/W

ψ(v)⊗ φ(u) 7→ (ψ(v), φ(u))v ⊗ u modW

As aplicacoes ξ ω e ω φ sao aplicacoes identidades em seus respectivos domınios o


6.3.2 A Algebra Tensorial

Dados os covetores α1, . . . , αk ∈ V ∗ e os vetores v1, . . . , vk ∈ V , ja definimos naEq.(6.22) que

α1 ⊗ · · · ⊗ αk :

k vezes︷︸︸︷V × V × · · · × V → K

(v1, . . . , vk) 7→ α1(v1) . . . αk(vk). (6.34)

Aqui (α1 ⊗ · · · ⊗ αk)(v1, . . . , vk) = α1(v1) . . . αk(vk). O espaco vetorial V ⊗p

, formadopelo produto tensorial entre p copias de V e denotado por Tp(V ) := V ⊗ V ⊗ · · · ⊗ V ,

enquanto que o espaco vetorial (V ∗)⊗q

definido pelo produto tensorial de q covetorese tambem um espaco vetorial, denotado por T q(V ) := V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗. Tambemdefinimos

v1 ⊗ · · · ⊗ vk :

k vezes︷︸︸︷V ∗ × · · · × V ∗ → K

(v1 ⊗ · · · ⊗ vk)(α1, . . . , αk) 7→ α1(v1)α2(v2) . . . αk(vk). (6.35)

Podemos considerar um caso mais geral, o de um produto tensorial de um numeroarbitrario de covetores e vetores, que sera elemento do espaco dos tensores de tipo

(p, q) em V , denotado por T qp (V ) = V ⊗p⊗ (V ∗)

⊗q. Um elemento arbitrario T ∈ T qp (V )

pode ser escrito na forma (nas somatorias abaixo ρ = 1, . . . , p e σ = 1, . . . , q)

T =∑νρ

∑µσ

T ν1ν2...νpµ1µ2...µqeν1 ⊗ eν2 ⊗ · · · ⊗ eνp ⊗ eµ1 ⊗ eµ2 ⊗ · · · ⊗ eµq , (6.36)

onde Tν1ν2...νpµ1µ2...µq = T (eµ1 , eµ2 , . . . , eµq , eν1 , eν2 , . . . , eνp).

I Lema 9: Para um dado v ∈ V \0, existe α ∈ V ∗ tal que α(v) = 1 J

Demonstracao: Como o conjunto v e linearmente independente, ele se estendea uma base vjj∈J de V . Tome v = vi0 . Defina α : V → K por α (

∑i aivi) = ai0 .

Entao α(v) = α(vi0) = 1 o

I Teorema 53: Considere V1, . . . , Vk K-espacos vetoriais e vj ∈ Vj. Entao v1⊗· · ·⊗vk = 0 ∈ V1 ⊗ · · · ⊗ Vk se e somente vp = 0 para algum p = 1, . . . , k J

Demonstracao: Se algum vp = 0, entao

v1 ⊗ · · · ⊗ vp ⊗ · · · ⊗ vk = v1 ⊗ · · · ⊗ 0⊗ · · · ⊗ vk = v1 ⊗ · · · ⊗ 0vp ⊗ · · · ⊗ vk= 0v1 ⊗ · · · ⊗ vk = 0 ∈ V1 ⊗ · · · ⊗ Vk (6.37)

Reciprocamente, usaremos a contraposicao. Se todo vj e diferente de zero, portantov1⊗· · ·⊗vk 6= 0 e pelo Lema anterior, para j = 1, . . . , k existe αj ∈ V ∗j com αj(vj) = 1.Portanto α1 ⊗ · · · ⊗ αk e uma aplicacao multilinear tal que

(α1 ⊗ · · · ⊗ αk)(v1 ⊗ · · · ⊗ vk) = α1(v1) . . . αk(vk) = 1 6= 0

e decorre que v1 ⊗ · · · ⊗ vk 6= 0 o


Exercıcio 196: Mostre que dadas aplicacoes ψj ∈ Hom(Vj , Uj) entre K-espacosvetoriais, para i = 1, . . . , k, as aplicacoes multilineares ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψk : V1 ⊗ · · · ⊗ Vk →U1 ⊗ · · · ⊗ Uk e nula se e somente se ψp for nula, para algum p = 1, . . . , k

Dada uma permutacao σ : 1, 2, . . . , n → 1, 2, . . . , n, definimos o operador ALTneste contexto denominado alternador, da seguinte maneira:

ALT(X1⊗X2⊗· · ·⊗Xp) =1

p!

∑σ∈Sp

ε(σ)Xσ(1)⊗Xσ(2)⊗· · ·⊗Xσ(p−1)⊗Xσ(p), (6.38)

onde Sp e o grupo simetrico formado pelo conjunto de todas as permutacoes e ε(σ)vale +1[−1] se a permutacao σ for par [ımpar]. O alternador definido dessa maneirae tambem um operador de projecao (ALT2 = ALT). Um k-covetor e um elemento Ψk

tal que Ψk = ALT(Ψk).

B Exemplo 45: Assumimos que o espaco T 00 (V ) seja igual a K. Alem disso, T 1

0 (V ) =V ∗, T 0

1 (V ) = V , e mais geralmente

T q0 (V ) = Hom(V, . . . , V︸︷︷︸q vezes

;K)

T q1 (V ) = Hom(V, . . . , V︸︷︷︸q vezes

;V )

Em particular, tensores do tipo (0,2) sao funcoes bilineares e tensores do tipo (1,1) saoaplicacoes lineares C

Obs. 29: Os tensores do tipo T q0 sao chamados covariantes e os do tipo T 0q sao

chamados contravariantes

Obs. 30: Convencionamos denotar T 11 (V ) = T 1

1 (V )

Exercıcio 197: Qual e a dimensao do espaco tensorial T qp (V )?

Exercıcio 198: Mostre que T 22 (V ) ' End(V ⊗ V )

Exercıcio 199: Mais geralmente, mostre que Tp(V )⊗T p(V ) ' End(V × · · · × V︸︷︷︸p vezes

)

A multiplicacao de tensores determina uma operacao bilinear

⊗ : T qp (V )× T sr (V )→ T q+sp+r (V )

tal que

(v1⊗· · ·⊗vp⊗α1⊗· · ·⊗αq)⊗(vp+1⊗· · ·⊗vp+r⊗αq+1⊗· · ·⊗αq+s) = v1⊗· · ·⊗vp+r⊗α1⊗· · ·⊗αq+s

Exercıcio 200: Defina um isomorfismo entre T 11 (V )× T 1

1 (V )→ T 22 (V )


Exercıcio 201: Mostre que Tp(V ) ' T p(V ∗) e que T p(V ) ' Tp(V ∗)

Exercıcio 202: Considere a aplicacao

φV : V ⊗ V ∗ → End(V )

v ⊗ α 7→ φV (v ⊗ α) : V → V

u 7→ φV (v ⊗ α)(u) := vα(u), ∀u, v ∈ V.

1. Mostre que qualquer transformacao linear T ∈ End(V ) pode ser escrita na formaT = φV (

∑i,j T

ijei ⊗ ej), dada uma base arbitraria ei de V e sua base dual

ei ⊂ V ∗. Os escalares T ij sao dados por T (ei) = T ijej .

2. Mostre que ker φV = 0, de modo que junto com o resultado do item (a)podemos concluir que φV e um isomorfismo entre V ⊗ V ∗ e End(V )

3. Mostre que φV (ei ⊗ ei) = idV

4. Considere as aplicacoes

ψV : V ∗ ⊗ V → Rα⊗ v 7→ ψV (α⊗ v) := α(v)

cV,V ∗ : V ⊗ V ∗ → V ∗ ⊗ Vv ⊗ α 7→ cV,V ∗(v ⊗ α) := α⊗ v

para quaisquer v ∈ V e α ∈ V ∗. Mostre que a funcao traco pode ser definidaatraves da seguinte composicao de aplicacoes: Tr = ψV cV,V ∗ φ−1V .

B Exemplo 46: Seja ei (i = 1, 2, 3) a base canonica de V = R3 ei a sua base dual.Defina uma correlacao τ : V → V ∗ como τ(e1) = 4e1 + e2, τ(e2) = e1 + 3e2, τ(e3) = e3.

Portanto dados u =∑3i=1 u

iei ∈ V e v =∑3j=1 v

jej ∈ V , ja vimos que g(u, v) =τ(u)(v), e temos que

g(u, v) = τ(u1e1 + u2e2 + u3e3)(v) = u1(4e1 + e2)(v) + u2(e1 + 3e2)(v) + u3e3(v)

= 4u1v1 + u1v2 + u2v1 + 3u2v2 + u3v3

= 4(e1 ⊗ e1)(u, v) + (e1 ⊗ e2)(u, v) + (e2 ⊗ e1)(u, v)

+3(e2 ⊗ e2)(u, v) + (e3 ⊗ e3)(u, v)

e portanto

g = 4e1 ⊗ e1 + e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1 + 3e2 ⊗ e2 + e3 ⊗ e3 ∈ V ∗ ⊗ V ∗ (6.39)

C


Mais geralmente, uma forma bilinear g : V × V → K com valores em K pode serescrita como

g =

n∑i,j=1

gijei ⊗ ej ∈ T 2(V )

Exercıcio 203: Mostre que se g : V × V → K for simetrica, entao gij = gji,

enquanto que se g : V × V → K for alternada, entao gij = −gji

Exercıcio 204: Mostre que o produto vetorial e uma aplicacao bilinear alternadaem R3.

Outra operacao importante sobre os tensores e denominada contracao, uma aplicacaolinear

T qp (V )→ T q−1p−1 (V ), p, q > 0

definida ao se considerar a aplicacao

(v1, . . . , vp, α1, . . . , αq) 7→ α1(v1)(v2 ⊗ · · · ⊗ vp ⊗ α2 ⊗ · · · ⊗ αq)

que e claramente multilinear, e portanto existe uma aplicacao linear T qp (V )→ T q−1p−1 (V )tal que

(v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vp ⊗ α1 ⊗ α2 ⊗ · · · ⊗ αq) 7→ α1(v1)(v2 ⊗ · · · ⊗ vp ⊗ α2 ⊗ · · · ⊗ αq)

B Exemplo 47: Dado V = R3, considere o tensor A = e1⊗e1⊗e2 ∈ T 21 (V ). Portanto

a contracao de A e dada por e1(e1)e2 = e2 ∈ T 01 (V ) C

ñ Definicao 19: Seja G um grupo abeliano. Um espaco vetorial V e dito sergraduado por um grupo abeliano G se V for expresso como uma soma direta V = ⊕iVide subespacos, indexada por elementos i ∈ G. Aqui consideraremos apenas os casosquando G e dado por Z ou Z2. Os elementos de Vi sao chamados homogeneos de graui, e definimos grau (v) = i, se v ∈ Vi.

Dizemos que uma algebra A e G-graduada se seu espaco vetorial subjacente V forG-graduado, ou seja, se existem subespacos Ak (k ∈ G) tais que A = ⊕kAk e se dadosxk ∈ Ak, yl ∈ Al temos xkyl ∈ Ak+l. Os elementos de Ak sao ditos homogeneos degrau k. O numero k e denominado grau de xk ∈ Ak e sera denotado por deg(xk) ou|xk|. 3

Como G e abeliano temos deg(xkyl) = deg(xk) + deg(yl). Para os escalares a ∈ Ktemos deg(a) = 0.

Exercıcio 205: Mostre que o anel dos polinomios e Z2-graduado

A soma direta de todos os espacos vetoriais T qp (V ) munida da operacao de soma eproduto tensorial chama-se algebra tensorial do espaco vetorial V . A algebra tensorial


e uma algebra graduada. No caso geral a graduacao e dada por G = Z × Z. De fato,a algebra tensorial dos tensores contravariantes

T (V ) =

∞⊕p=0

Tp(V ) (6.40)

e Z-graduada, ja queTp(V )⊗ Tq(V ) ⊂ Tp+q(V ),

enquanto que a algebra tensorial dos tensores covariantes

T ∗(V ) =

∞⊕p=0

T p(V ) (6.41)

e tambem Z-graduada, pois

T p(V )⊗ T q(V ) ⊂ T p+q(V )

Em particular,

Exercıcio 206: Mostre que T ∗(V ) e a algebra das funcoes multilineares em V

Automorfismos da Algebra Tensorial

Considerando qualquer uma das algebras T (V ) ou T ∗(V ), o fato de cada uma delasser uma algebra Z-graduada permite definir uma aplicacao denominada involucao gra-duada. Tomemos sem perda de generalidade a algebra T ∗(V ). A involucao graduadae definida como sendo a aplicacao

Ap = (−1)|Ap|Ap = (−1)pAp, (6.42)

onde Ap ∈ T p(V ) ⊂ T ∗(V ) e um tensor covariante de ordem p.

B Exemplo 48: Podemos mostrar que a involucao graduada e um automorfismo. Defato,

(Ap ⊗Bq) = (−1)|Ap⊗Bq|(Ap ⊗Bq)

= (−1)|Ap|+|Bq|(Ap ⊗Bq) = (−1)|A

p|Ap ⊗ (−1)|Bq|Bq

= (Ap)⊗ (Bq) (6.43)

C

Exercıcio 207: Qual e a ordem de tal automorfismo?

Obs. 31: Denotaremos opcionalmente A por #A, onde A ∈ T (V ) ou A ∈ T ∗(V )


Dizemos que um elemento Ap ∈ T p(V ) e par ou ımpar conforme (−1)p seja par ouımpar. Podemos entao definir os operadores

Π± : T (V ) → T (V )

A 7→ 1

2(1±#)A (6.44)

Exercıcio 208: Mostre que Π± sao projecoes

O subespaco T ∗+(V ) = Π+(T ∗(V )) consiste dos elementos pares de T ∗(V ), enquantoque o subespaco T ∗−(V ) = Π−(T ∗(V )) consiste dos elementos ımpares, e podemosescrever

T ∗(V ) = T ∗+(V )⊕ T ∗−(V )

Exercıcio 209: Mostre tal afirmacao (Dica: mostre que Π+ + Π− = 1 e que

Π±Π∓ = 0)

e temos

T ∗+(V )⊗ T ∗+(V ) ⊂ T ∗+(V ), T ∗+(V )⊗ T ∗−(V ) ⊂ T ∗−(V )

T ∗−(V )⊗ T ∗+(V ) ⊂ T ∗−(V ), T ∗−(V )⊗ T ∗−(V ) ⊂ T ∗+

Exercıcio 210: T ∗+(V ) e T ∗−(V ) sao subalgebras de T ∗(V )?

Alem da Z-graduacao inerente a algebra dos tensores covariantes (ou contravarian-tes), a involucao graduada ainda mune tais algebras com uma Z2-graduacao.

A algebra tensorial e isomorfa a sua algebra oposta, a partir de um (anti-)automorfismochamado reversao. Essa aplicacao e definida por

˜(Ap ⊗Bq) = Bq ⊗ Ap

onde Ap ∈ T p(V ), Bq ∈ T q(V ), com a = a se a ∈ K e α = α se α ∈ V ∗ = T 1(V ).A partir dessas definicoes podemos ver que

( ˜α1 ⊗ α2 ⊗ · · · ⊗ αp) = αp ⊗ αp−1 ⊗ · · · ⊗ α2 ⊗ α1

o que justifica a denominacao reversao.A composicao da involucao graduada e da reversao e denominada conjugacao e e

denotada por

Ap =˜Ap

Exercıcio 211: Calcule a involucao graduada, a reversao e a conjugacao dosseguintes elementos: a) α1⊗α2⊗α3 ∈ T 3(V ), onde α1, α2, α3 ∈ V ∗; b) α1⊗α2−α3⊗α2 ∈ T 2(V ), onde α1, α2, α3 ∈ V ∗


6.4 Algebra exterior

6.4.1 O produto exterior

ñ Definicao 20: A p-esima potencia exterior de V e um espaco vetorial Λp(V )juntamente com uma aplicacao p-linear

V ∗ × · · · × V ∗︸︷︷︸p vezes

7→ Λp(V )

(α1, . . . , αp) 7→ α1 ∧ · · · ∧ αp

de tal maneira que os covetores ei1 ∧ · · · ∧ eip formam uma base de Λp(V ) 3

Uma vez definida a algebra exterior, iremos ver sua interrelacao com os tensoresanti-simetricos, bem como outros diversos aspectos formais e computacionais.

Sejam ψp um p-vetor e φq um q-vetor. Como essas quantidades sao tensores covari-antes alternados, e natural tomarmos o produto tensorial destas quantidades, ou seja,ψp ∧ φq. O resultado deste produto tensorial, embora seja um tensor covariante deordem p + q, nao e alternado. Entretanto, a quantidade ALT (ψp ⊗ φq) e um tensorcovariante alternado de ordem p+ q, ou seja, e um (p+ q)-vetor.

ñ Definicao 21: Sejam ψp ∈ Λp(V ) um p-vetor e φq ∈ Λq(V ) um q-vetor. O produtoexterior ∧ : Λp(V )× Λq(V )→ Λp+q(V ) e definido como ψp ∧ φq = ALT(ψp ⊗ φq) 3

O produto exterior e associativo, propriedade esta que e herdada do fato que oproduto tensorial e associativo. Obviamente o produto exterior tambem e bilinear. Sea ∈ K e um escalar, temos a ∧ ψp = aψp.

Dados α, β ∈ V ∗ e u, v ∈ V , definimos1 o produto exterior entre dois covetores α∧β— agindo em u, v ∈ V como

(α ∧ β)(v, u) = ALT (α⊗ β) =1

2

∣∣∣∣ α(v) α(u)β(v) β(u)

∣∣∣∣Desenvolvendo o determinante, obtemos

(α ∧ β)(v, u) =1

2(α(v)β(u)− α(u)β(v)) =

1

2[(α⊗ β)(v, u)− (β ⊗ α)(v, u)].

Como essa expressao e valida para qualquer u, v ∈ V , concluımos que

α ∧ β =1

2(α⊗ β − β ⊗ α) = −β ∧ α

Tal produto e bilinear e distributivo em relacao a adicao. Tambem notamos que α ∧α = 0. O conjunto desses funcionais bilineares alternados e um subespaco de T 2(V ),

1Alguns autores nao usam o fator 1/2!. Preferimos usar essa definicao pois assim α∧β = ALT(α⊗β)e o operador ALT depende do fator p! para ser um operador de projecao.

6.4. ALGEBRA EXTERIOR — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 129

denotado por Λ2(V ). E comum denotarmos Λ0(V ) = R e Λ1(V ) = V ∗. Um 2-covetore dito simples, ou fatorizavel, se ele puder ser escrito na forma α1 ∧ α2, onde α1 e α2

sao covetores.Uma generalizacao natural da definicao dada acima e feita para um elemento de

Λk(V ):

(α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αk)(v1, v2, . . . , vk) =1

p!

∣∣∣∣∣∣∣∣∣α1(v1) α1(v2) · · · α1(vk)α2(v1) α2(v2) · · · α2(vk)

......

......

αk(v1) αk(v2) · · · αk(vk)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣O conjunto dos funcionais k-lineares alternados formam um espaco vetorial Λk(V )

e seus elementos serao ditos k-covetores. Definimos produtos de p-covetores simplescomo

(α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αm) ∧ (β1 ∧ β2 ∧ · · · ∧ βl) = α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αm ∧ β1 ∧ β2 ∧ · · · ∧ βl.

Note que se ψk ∈ Λk(V ) e φm ∈ Λm(V ), entao ψk ∧ φm = (−1)mkφm ∧ ψk.

Exercıcio 212: Prove isso!

Algebras graduadas que possuem tal propriedade sao denominadas superalgebras.Uma base para o espaco Λp(V ) pode ser obtida a partir de uma base e1, . . . , en de

V . Primeiramente consideraremos o espaco Λ2(V ) e os produtos exteriores da formaei ∧ ej . Devido a anti-comutatividade do produto exterior de covetores, os unicos2-covetores linearmente independentes dessa forma sao

e1 ∧ e2, e1 ∧ e3, e1 ∧ e4, . . . , e1 ∧ en,e2 ∧ e3, e2 ∧ e4, . . . , e2 ∧ en,

...

en−1 ∧ en

o que corresponde a (n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 1 = n(n− 1)/2 elementos, exatamente adim Λ2(V ). Este conjunto de 2-covetores forma uma base para Λ2(V ) e portanto um2-covetor arbitrario A ∈ Λ2(V ) pode ser escrito na forma

A =1

2

n∑i,j=1

Aijei ∧ ej =

∑i<j

Aijei ∧ ej

Na primeira expressao acima ha um fator 1/2, ausente na segunda expressao, pois nasoma consideramos todos os valores dos ındices i, j = 1, 2, . . . , n e como Aij = −Ajie ei ∧ ej = −ej ∧ ei, estamos com isso contando duas vezes um mesmo termo, daı adivisao por dois. Considerando na segunda soma ındices tais que i < j, nesse casonenhum termo e contado duas vezes.


Generalizando esse resultado para k-covetores, uma base para o espaco Λk(V ) e daforma eµ1 ∧ eµ2 ∧ · · · ∧ eµk e o numero de elementos distintos consiste na combinacaode n elementos tomados k a k, que e dada por

(nk

). Dado a ∈ Λk(V ), tal elemento

pode ser escrito como

ψk =∑

µ1<µ2<···<µk

aµ1µ2...µkeµ1 ∧ eµ2 ∧ · · · ∧ eµk , aµ1µ2...µk ∈ K. (6.45)

A dimensao de Λk(V ) e dada por

dim Λk(V ) =

(n

k

)=

n!

(n− k)!k!=

(n

n− k

)(6.46)

Portanto

dim Λk(V ) = dim Λn−k(V ) (6.47)

I Lema 10: O produto exterior de m covetores se anula sempre que m > n, onden = dim V J

Prova: De fato, considere o produto α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn+1. Se dim V ∗ = n, temosno maximo n covetores αi linearmente independentes. Sem perda de generalidade,escolha a combinacao linear αn+1 =

∑ni=1 a

iαi. Portanto

α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn+1 = α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn ∧ (a1α1 + · · ·+ anαn)

= (−1)n−1a1α1 ∧ α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn + · · ·++anα1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn−1 ∧ αn ∧ αn

= 0, (6.48)

ja que αi ∧ αi = 0,∀αi ∈ Λ1(V ).

Isso mostra que o espaco Λk(V ) e identicamente nulo, se k > n. Em particular, dimΛn(V ) =

(nn

)= 1 e os elementos de Λn(V ) sao denominados pseudoescalares, enquanto

que os k-covetores tambem recebe o nome de k-formas.

I Proposicao 12: Seja u ∈ V um vetor nao-nulo. Entao u ∧ v = 0 se e somente sev = au, para algum escalar a ∈ K J

Prova: Se v = au, entao u∧ v = u∧ (au) = a(u∧ u) = 0. Reciprocamente, se v 6= au,entao u e v sao L.I., e podem ser estendidos a uma base, e portanto u ∧ v e um vetorda base de Λ2(V ), e portanto um elemento nao-nulo.

I Proposicao 13: Seja ∧ : V × · · · × V → Λk(V ) um produto exterior. Paratoda aplicacao k-linear alternada φ : V × · · · × V → U , existe uma unica aplicacaoφ : Λk(V ) → U tal que φ ∧ = φ, ou seja, φ(v1, . . . , vk) = φ(v1 ∧ · · · ∧ vk), para todo

v1, . . . , vk ∈ V . Toda funcao k-linear alternada φ(v1, . . . , vk) = φ(v1∧· · ·∧vk) e funcaolinear do seu produto exterior. J


Demonstracao: Dada uma base ordenada ei em V , considere φ : V ×· · ·×V → U

uma funcao k-linear alternada, e defina uma aplicacao linear φ : Λk(V ) → U tal que

φ(eJ) = φ(ej1 , . . . , ejk), J = j1 < · · · < jr onde eJ = ej1 ∧ · · · ∧ ejk . Como φ

e alternada, φ ∧ coincide com φ em todas as sequencias (ej1 , . . . , ejk). Portanto

φ ∧ = φ. A unicidade segue de que os valores de φ sao dados pelos k-vetores quegeral Λk(V ). o

Ao efetuarmos a multiplicacao exterior entre 1-formas, obtemos 2-formas, 3-formas,. . . , k-formas (1 ≤ k ≤ n), dependendo do numero de vezes que efetuamos o produtoexterior (o mesmo vale para os vetores). Cada k-forma pertence a uma algebra Λk(V ).Alem disso essa algebra nao e fechada em relacao ao produto exterior, pois se Ψk ∈Λk(V ) e Ψm ∈ Λm(V ) entao vemos que Ψk ∧Ψm ∈ Λm+k(V ). Para contornarmos essasituacao nao desejada, definimos

Λ(V ) = Λ0(V )⊕ Λ1(V )⊕ Λ2(V )⊕ · · · ⊕ Λn(V ) =

n⊕k=0

Λk(V )

I Teorema 54: Seja 0 6= ψ ∈ Λ2(V ). Entao ψ e fatorizavel se e somente seψ ∧ ψ = 0 ∈ Λ4(V ) J

Demonstracao: Se ψ = u∧v, u, v ∈ V , entao ψ∧ψ = u∧v∧u∧v = 0. A recıprocasera provada por inducao na dimensao de V . Se dim V = 0 ou 1, entao Λ2(V ) = 0, eportanto o primeiro caso e quando dim V = 2. Nesse caso dim Λ2(V ) = 1 e v1 ∧ v2 eum elemento nao nulo se v1, v2 for base de V , sendo ψ fatorizavel.

Se alem disso um k-covetor ψk puder ser expresso como o produto exterior de kelementos de V ∗, entao ψk e dito ser fatorizavel. Embora multicovetores fatorizaveisgeram Λk(V ), nem todo elemento de Λk(V ) e fatorizavel. Por exemplo, em R4 o2-covetor φ = e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 e uma forma simpletica, ja que φ ∧ φ 6= O.

O caso em que dim V = 3 consideramos separadamente agora. Dado 0 6= ψ ∈ Λ2(V ),defina uma aplicacao A : V → Λ3(V ) por A(v) = ψ ∧ v. Como dim Λ3(V ) = 1, entaodim ker A ≥ 2, e sejam u1 e u2 vetores L.I. em ker A. Estenda a uma base u1, u2, u3de V , e podemos escrever

ψ = au1 ∧ u2 + bu1 ∧ u3 + cu2 ∧ u3

Por definicao A(u1) = 0, e portanto 0 = ψ ∧ u1 = cu1 ∧ u2 ∧ u3, implicando em c = 0.Da mesma maneira A(u2) = 0, e portanto 0 = ψ ∧ u2 = −bu1 ∧ u2 ∧ u3, o que significaque b = 0. Segue-se que

ψ = au1 ∧ u2,

que e fatorizavel. Assuma agora por inducao que a afirmacao e verdadeira para dim


V ≤ n− 1 e considere o caso onde dim V = n. Usando a base v1, . . . , vn, escreva

ψ =

n∑1≤i<j

aijvi ∧ vj

=

(n−1∑i=1

ainvi

)∧ vn +

n−1∑1≤i<j

aijvi ∧ vj

= u ∧ vn + ψ′

onde U = 〈v1, . . . , vn−1〉, u ∈ U e ψ′ ∈ Λ2(V ).Agora,

0 = ψ ∧ ψ = (u ∧ vn + ψ′) ∧ (u ∧ vn + ψ′) = 2u ∧ ψ′ ∧ vn + ψ′ ∧ ψ′

mas vn nao aparece nem na expansao de u ∧ ψ′ nem na de ψ′ ∧ ψ′, e separadamenteobtemos u ∧ ψ′ = 0 = ψ′ ∧ ψ′. Por inducao, 0 = ψ′ ∧ ψ′ implica em ψ′ = u1 ∧ u2, eu ∧ u1 ∧ u2ψ′ = 0. Portanto existem µ, λ1, λ2 ∈ K tais que µu+ λ2u2 + λ1u1 = 0. Seµ = 0, entao u1 e u2 sao L.D., e portanto ψ′ = u1∧u2 = 0, significando que ψ = u∧vne, portanto, ψ e fatorizavel. Se µ 6= 0, entao u = (λ2/µ)u2 + (λ1/µ)u1, e

ψ = λ1u1 ∧ vn + λ2u2 ∧ vn + u1 ∧ u2,

sendo esse o caso 3-dimensional, o qual provamos que sempre e fatorizavel o

Exercıcio 213: Considere v1, v2, v3, v4 um conjunto L.I. de um K-espaco veto-rial V . Calcule ψ ∧ φ nos seguintes casos:

1. ψ = φ = v1 ∧ v2 + v2 ∧ v3 + v3 ∧ v1

2. ψ = v1 ∧ v2 + v3 ∧ v1, φ = v2 ∧ v3 ∧ v4

Exercıcio 214: Prove que e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 ∈ Λ2(R4) nao e fatorizavel.

B Exemplo 49: Um exemplo interessante de aplicacao da algebra exterior esta nasolucao de um sistema de equacoes lineares. Vamos considerar por simplicidade umsistema de 3 equacoes lineares e 3 incognitas (a generalizacao para um sistema de nequacoes e n incognitas e trivial):

a11x1 + a12x2 + a13x3 = y1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = y2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = y3

que pode ainda ser escrito na formaa11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

x1x2x3

=

y1y2y3

(6.49)


Agora vamos tomar uma base e1, e2, e3 de R3 e definir os seguintes vetores:

v1 = a11e1 + a21e2 + a31e3

v2 = a12e1 + a22e2 + a32e3

v3 = a13e1 + a23e2 + a33e3

w = y1e1 + y2e2 + y3e3 (6.50)

Podemos entao escrever o sistema de equacoes lineares na forma x1v1+x2v2+x3v3 = w.Vamos agora multiplicar exteriormente a esquerda essa equacao vetorial pelo 2-vetorv1 ∧ v2. Uma vez que v1 ∧ v2 ∧ v1 = v1 ∧ v2 ∧ v2 = 0 segue que

x3v1 ∧ v2 ∧ v3 = v1 ∧ v2 ∧ w.

Vamos agora calcular os produtos exteriores acima. Primeiro temos

v1 ∧ v2 = (a11a22− a21a12)e1 ∧ e2 + (a11a32− a31a12)e1 ∧ e3 + (a21a32− a31a22)e2 ∧ e3.

O produto exterior deste 2-vetor por v3 fornece

v1 ∧ v2 ∧ v3 = [a33(a11a22 − a21a12)− a23(a11a32 − a31a12)

+a13(a21a32 − a31a22)]e1 ∧ e2 ∧ e3]

que podemos escrever utilizando a funcao determinante como

v1 ∧ v2 ∧ v3 = det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

e1 ∧ e2 ∧ e3

Por outro lado, o produto exterior v1 ∧ v2 ∧ w resulta em

v1 ∧ v2 ∧ w = [y3(a11a22 − a21a12)− y2(a11a32 − a31a12)

+ y1(a21a32 − a31a22)] e1 ∧ e2 ∧ e3

que pode ser escrito na forma

v1 ∧ v2 ∧ w = det

a11 a12 y1a21 a22 y2a31 a32 y3

e1 ∧ e2 ∧ e3 (6.51)

Portanto a equacao vetorial x3v1∧v2∧v3 = v1∧v2∧w tem solucao se v1∧v2∧v3 6= 0,o que equivale a

det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

6= 0 (6.52)


e nesse caso v3 e dado por

x3 =

det

a11 a12 y1a21 a22 y2a31 a32 y3

det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

(6.53)

Repetindo o mesmo raciocınio, utilizando ao inves do 2-vetor v1∧v2 agora os 2-vetoresv1 ∧ v3 e v2 ∧ v3, encontramos que

x2 =

det

a11 y1 a13a21 y2 a23a31 y3 a33

det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, x1 =

det

y1 a12 a13y2 a22 a23y3 a32 a33

det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

(6.54)

As expressoes finais para x1, x2 e x3 sao bem conhecidas de todos e atendem pelonome de regra de Cramer. Evidentemente nao ha nada dentro do exposto acima quelimite este metodo a dimensao 3, de modo que a generalizacao do resultado acimapara dimensoes maiores, correspondendo a sistemas de equacoes lineares de ordenssuperiores, pode ser facilmente efetuada. C

Dada uma base ei de vetores unitarios de V e a correspondente base dual ei,ao considerarmos uma variedade M e xi coordenadas locais definidas em um aberto

U ⊆ M podemos escrever ei = dxi e ei = ∂∂xi temos dxi( ∂

∂xj ) = ∂xi

∂xj = δji , podemosescrever uma multiforma diferencial Ψ ∈ Λ(V ) como — aqui usamos a convencao dasomatoria de Einstein:

Ψ = a+aidxi+aijdx

i∧dxj +aijkdxi∧dxj ∧dxk+ · · ·+p dx1∧dx2∧· · ·∧dxn. (6.55)

onde a, ai, aij , . . . , p ∈ K

ñ Definicao 22: O par (Λ(V ),∧) e denominado algebra exterior do espaco vetorialV . De maneira analoga pode ser definida a algebra exterior Λ(V ∗), onde passamos aconsiderar o produto exterior de vetores 3

Uma base para o espaco Λk(V ) e da forma eµ1 ∧ eµ2 ∧ · · · ∧ eµk e o numero deelementos distintos de Λk(V ) consiste na combinacao de n elementos tomados k a k,que e dada por

(nk

). Um elemento ψk ∈ Λk(V ) pode ser escrito como

Exercıcio 215: Dada uma base ei de V — um K-espaco vetorial n-dimensional

— expresse en ∧ en−1 ∧ · · · ∧ e2 ∧ e1 em termos de e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ en−1 ∧ en


Exercıcio 216: Em um espaco vetorial V = R3, dados A,B,C ∈ Λ(V ), ondeA = 3 + 3e1 + e2 ∧ e3, B = −e2 + 4e1 ∧ e2 ∧ e3 e C = 1 + e3 + e1 ∧ e3 calcule

1) A ∧ A, B ∧ B, C ∧ C, B ∧ A, A ∧ B, C ∧ A, A ∧ C, B ∧ C, C ∧ B, A ∧ B ∧ C,A ∧ C ∧ C

2) 〈A ∧B〉0; 〈A ∧B〉1; 〈A ∧B〉2; 〈A ∧B〉3

3) 〈A ∧ C〉0; 〈A ∧ C〉1; 〈A ∧ C〉2; 〈A ∧ C〉3

4) 〈B ∧ C〉0; 〈B ∧ C〉1; 〈B ∧ C〉2; 〈B ∧ C〉3

Exercıcio 217: Considere u1, u2, . . . , u2r−1, u2r vetores duais L.I. em um K-espaco vetorial V . Seja v = u1 ∧ u2 + u3 ∧ u4 + u5 ∧ u6 + · · · + u2r−1 ∧ u2r, mostreque

v ∧ v ∧ · · · ∧ v︸︷︷︸r vezes

= r! (u1 ∧ u2 ∧ · · · ∧ u2r−1 ∧ u2r)

Exercıcio 218: Sejam B = ei e B′ = e′i duas bases de V relacionadas

atraves de ei = Bji ej e B = Bij a matriz de mudanca de base onde Bij correspondeao elemento da j-esima linha e i-esima coluna (i, j = 1, . . . , n). Esta mudanca de baseinduz obviamente uma mudanca de base nos espacos dos k-vetores. (a) Mostre que

e′i ∧ e′j =∑k<l

(det ∆klij )ek ∧ el,

onde ∆klij denota a matriz de ordem 2 obtida a partir da matriz B da seguinte forma:

a primeira linha de ∆klij e dada pela i-esima linha de B e a segunda linha de ∆kl

ij pela

j-esima linha de B; a primeira coluna de ∆klij e dada pela k-esima coluna de B e a

segunda coluna de ∆klij pela l-esima coluna de B. Na expressao acima

∑j<l denota a

soma sobre todos os valores de j e l tais que j < l. (b) Generalize o resultado anteriormostrando que no espaco dos k-vetores (k < n) tem-se

e′µ1∧ · · · ∧ e′µk =

∑ν1<···<νk

(det ∆ν1···νkµ1···µk)eν1 ∧ · · · ∧ eνk ,

onde ∆ν1···νkµ1···µk denota a matriz de ordem k obtida a partir da matriz B tomando a

i-esima linha de ∆ν1···νkµ1···µk como sendo a µi-esima linha de B e a j-esima coluna de

∆ν1···νkµ1···µk como sendo a νj-esima coluna de B. (c) Como consequencia destes resultados

mostre que para os pseudo-escalares temos

e′1 ∧ · · · ∧ e′n = (det B)e1 ∧ · · · ∧ en.


Exercıcio 219: Partindo dessa ultima expressao (que podemos tomar como de-finicao do determinante de uma transformacao linear) deduza a regra do desenvolvi-

mento de Laplace para o calculo de determinantes.

Exercıcio 220: Seja V um espaco vetorial (dimV = n) e W o subespaco k-dimensional gerado por v1, . . . ,vk. O k-vetor IW = v1∧· · ·∧vk define completamenteeste subespaco e um vetor v esta em W se e so se v∧ IW = 0 (veja o exemplo 2.2). SeB = ei (i = 1, . . . , n) e uma base de V , as componentes do k-vetor IW com relacaoa base eµ1

∧ · · · ∧ eµk |µ1 < · · · < µk de∧k(V ) sao chamadas coordenadas de Plucker

do subespaco W na base B, ou seja, as coordenadas de Plucker V µ1···µk sao dadas por

IW = v1 ∧ · · · ∧ vk = V µ1···µkeµ1∧ · · · ∧ eµk .

(a) Mostre que em geral as coordenadas de Plucker nao sao todas independentes massatisfazem um conjunto de identidades chamadas correlacoes de Plucker dadas por

V [µ1···µkV ν1]ν2···νk = 0,

onde os colchetes indicam antissimetrizacao dos ındices, ou seja,

V [µ1···µkV ν1]ν2···νk

= V µ1···µkV ν1ν2···νk − V µ1···µk−1ν1V µkν2···νk

+ V µ1···µk−2ν1V µk−1ν2···νk +−V µ1···µk−3µk−1ν1V µk−2ν2···νk · · ·+ (−1)k−1V µ1µ3···µk−1ν1V µ2ν2···νk + (−1)kV µ2µ3···µk−1ν1V µ1ν2···νk .

(b) Nem todas as correlacoes de Plucker sao nao-triviais. Muitas decorrem, por exem-plo, da anti-comutatividade das componentes V µ1···µk = V [µ1···µk] do k-vetor IW . Mos-tre que para k = n e k = n−1 todas as correlacoes de Plucker sao triviais. (c) Considereo caso em que n = 4 e k = 2. Mostre que nesse caso existe apenas uma correlacao dePlucker nao-trivial.

Finalmente, dim Λ(V ) =∑nk=0

(nk

)= 2n.

Exercıcio 221: Mostre que todo p-covetor em um espaco V tal que dim V ≤ 3 esimples

Exercıcio 222: Para dim V ≥ 4 nem todo p-vetor e simples. Por exemplo,seja V um espaco vetorial de dimensao 4 e e1, e2, e3, e4 uma base de V . Seja ψ =e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4. Mostre que nao existe nenhuma combinacao linear dos vetores ei(i = 1, 2, 3, 4) que permita escrever ψ na forma ψ = v1 ∧ v2

A seguir daremos uma definicao equivalente de algebra exterior.

ñ Definicao 23: Uma aplicacao φ : V × · · · × V︸︷︷︸p vezes

→ U e dito anti-simetrico se

φ(vi1 , . . . , vip) = sign(i1, . . . , ip)φ(v1, . . . , vp)

para qualquer permutacao dos ındices (i1, . . . , ip) ∈ Nn. O termo sign(i1, . . . , ip) denotao sinal de tal permutacao. Quando U = K, a aplicacao φ e dito ser uma aplicacaomultilinear anti-simetrica. 3


Exercıcio 223: Existem A,B ∈ Λ(V ), ambos nao-nulos tais que A ∧B = 0?

Obs. 32: O espaco Λp(V ) pode ser identificado com o subespaco dos tensoresanti-simetricos em T p(V )

Exercıcio 224: Mostre que dadas duas aplicacoesA,B ∈ End(V ), entao det(AB) =

(detA)(detB), det(A−1) = (detA)−1.

Obs. 33: A complexificacao de espacos vetoriais tambem comuta com o produtotensorial, e em particular com o produto exterior. Por exemplo, se V e W sao espacosvetoriais reais, existe um isomorfismo natural

(V ⊗R W )C ' V C ⊗C WC.

Observe que o produto tensorial do lado esquerdo da expressao acima e tomado sobreos reais enquanto que o lado direito e tomado sobre os complexos. Tambem,

(ΛkR(V ))C ' ΛkC(V C).

Em todos esses casos os isomorfismos sao canonicos.

6.4.2 Operacoes dentro da algebra exterior

Como a algebra exterior e formada pela parte alternada da algebra tensorial, os (anti-)automorfismos definidos para a algebra tensorial induzem os mesmos automorfismosdefinidos para a algebra exterior, que explicitaremos a seguir, devido a sua tamanhaimportancia.

A projecao

〈〉k : Λ(V )→ Λk(V ) (6.56)

e definida de modo que 〈Ψ〉k denota a parte k-covetorial de Ψ ∈ Λ(V ).

A reversao e definida como (α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αk)∼ = αk ∧ αk−1 ∧ · · · ∧ α2 ∧ α1 =(−1)k(k−1)/2α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αk.

Ja a acao da involucao graduada em Ψ ∈ Λ(V ) e denotada como no caso da algebra

tensorial por Ψk = #(Ψk) = (−1)kΨk. Este automorfismo e usado para definirmosuma Z2-graduacao em Λ(V ). Os Z2-subespacos homogeneos consistem na soma detodos os Z-subespacos de grau par e ımpar, onde o grau do subespaco se refere aoautovalor ±1 do operador #, ja que os Z-subespacos homogeneos sao autoespacos dooperador #.

A conjugacao e analogamente definida como sendo a composicao da reversao com a

involucao graduada, e e denotada por Ψ = (˜Ψ) = Ψ.


6.5 Algebra Exterior como Quociente da AlgebraTensorial

Num conjunto X, dados dois elementos a, b ∈ X, dizemos que a e equivalente a b (edenota-se por a ∼ b) se (i) a ∼ a, (ii) se a ∼ b entao b ∼ a, e (iii) se a ∼ b e b ∼ c entaoa ∼ c, ∀a, b, c ∈ X. O conjunto de todos os elementos equivalentes a um elemento aconstituem a classe de equivalencia de a, denotada por [a] = b ∈ X | b ∼ a. Oconjunto dessas classes de equivalencia e denotado por X = X/ ∼= [a] | a ∈ X.

Seja A uma algebra sobre um corpo K. Um conjunto IL ⊂ A e um ideal a esquerdade A se ∀a ∈ A e ∀x ∈ IL temos ax ∈ IL. Analogamente, IR ⊂ A e um ideal a direitade A se ∀a ∈ A e ∀x ∈ IR temos xa ∈ IR. O conjunto I ⊂ A e dito um ideal bilateral(ou simplesmente ideal) de A se ∀a, b ∈ A e ∀x ∈ I temos axb ∈ I.

Suponha que A = B+ C, onde necessariamente, B e C nao sao subalgebras e a somatambem nao precisa ser soma direta. Definimos a seguinte relacao de equivalencia emA

a ∼ b⇐⇒ a = b+ x, x ∈ C.

O conjunto A/ ∼ tem uma estrutura natural de espaco vetorial com as definicoes

[a] + [b] = [a+ b] , λ [a] = [λa]

para λ ∈ K corpo.

Exercıcio 225: Prove tal afirmacao.

Para que as classes de equivalencia sejam uma algebra, definimos o produto entreclasses de equivalencia tal como segue [a] [b] = [ab].

Para c, d ∈ C temos

[a] [b] = [a+ c] [b+ d] = [ab+ ad+ cb+ cd]

ou seja, ad+ cb+ cd ∈ C, o que e verdade so se C for um ideal. Nesse caso temos umaalgebra denominada algebra quociente de A pelo ideal C, denotada por A/C.

Seja I um ideal de T (V ) consistindo de todos elementos da forma∑i ai⊗ v⊗ v⊗ bi

com v ∈ V, ai, bi ∈ T (V ). Podemos ainda dizer que o ideal I e gerado por v⊗u+u⊗ vcom v, u ∈ V .

Vamos agora mostrar que a algebra exterior e isomorfa a algebra quociente T (V )/I.A relacao de equivalencia em questao e

a ∼ b⇐⇒ a = b+ x, x ∈ I.

A classe de equivalencia de a e denotada por [a] e o produto e denotado por

[a] ∧ [b] = [a⊗ b] .

6.6. CONTRACOES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 139

Dados v, u ∈ V , podemos calcular v ∧ u de acordo com a definicao acima

v ⊗ u =1

2(v ⊗ u− u⊗ v) +

1

2(v ⊗ u+ u⊗ v)

onde 1/2(v ⊗ u+ u⊗ v) ∈ I. Com efeito, usando a polaridade

v ⊗ u+ u⊗ v = (v + u)⊗ (v + u)− v ⊗ v − u⊗ u.

Portanto

v ⊗ u ∼ v ∧ u =1

2(v ⊗ u− u⊗ v),

ou [v ⊗ u] = [v ∧ u] e [v] ∧ [u] = [v ∧ u].O resultado acima pode ser generalizado como

v1 ⊗ · · · ⊗ vk ∼ ALT(v1 ⊗ · · · ⊗ vk) = v1 ∧ · · · ∧ vk,

mostrando portanto que

Λ(V ) ' T (V )/I. (6.57)

6.6 Contracoes

A aplicacao linear α : V → K foi definida como um elemento do espaco dual V ∗.Podemos generalizar esse conceito, introduzindo uma operacao denominada contracaoa esquerda pelo vetor v, que age sobre Ω ∈ Λk(V ) e resulta em um elemento deΛk−1(V ), da seguinte maneira:

(vcΩk)(v1, v2, . . . , vk−1) = k Ωk(v, v1, . . . , vk−1). (6.58)

No caso em que k = 1, a definicao se reduz a vcα = α(v). Para a ∈ R, temos vca = 0.A definicao dada acima nao e util do ponto de vista computacional. Vamos considerara contracao de α ∧ β por um vetor v:

vc(α ∧ β)(u) = (α ∧ β)(v, u) = (α(v)β − β(v)α)(u) = ((vcα)β − (vcβ)α)(u).

A generalizacao dessa equacao para multicovetores Ψ e Φ arbitrarios e dada pela regrade Leibniz graduada:

vc(Ψ ∧ Φ) = (vcΨ) ∧ Φ + Ψ ∧ (vcΦ) (6.59)

A definicao de contracao a direita e feita de maneira semelhante:

(Ωbv)(v1, v2, . . . , vk−1) = kΩ(v1, . . . , vk−1, v) (6.60)


e a regra de Leibniz graduada para a contracao a direita e expressa como

(Ψ ∧ Φ)bv = Ψ ∧ (Φbv) + (Ψbv) ∧ Φ (6.61)

I Teorema 55: A contracao a esquerda se relaciona com a contracao a direita por:

vcΨ = −Ψbv (6.62)

onde Ψ ∈ Λ(V ). J

ñ Definicao 24: Para encontrarmos a relacao entre a contracao a esquerda e adireita, basta notarmos que

Ak(α, α1, . . . , αk−1) = (v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk)(α, α1, α2, . . . , αk−1)

=1

k!

∑σ∈Sk

ε(σ)α(vσ(1))α1(vσ(2)) . . . αk−1(vσ(k))

=1

k!

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

α(v1) α(v2) · · · α(vk)α1(v1) α1(v2) · · · α1(vk)α2(v1) α2(v2) · · · α2(vk)

......

. . ....

αk−1(v1) αk−1(v2) · · · αk−1(vk)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)k−1Ak(α1, . . . , αk−1, α)

o que implica em αcAk = (−1)k−1Akbα. Portando chegamos a relacao αcA = −Abαonde A e um multivetor arbitrario. 3

Podemos nao somente nos restringir a contracao por vetores, mas por k-vetores(ou de modo mais geral, por multivetores, estendendo-se o caso dos k-vetores porlinearidade). Dado um k-vetor v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk, definimos

(v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk)c = v1cv2c . . . vky

e

b(v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk) = bv1bv2 . . . bvk (6.63)

Essa definicao e natural de maneira que o operador b seja o dual do operador ∧.Segue-se que a contracao de um q-vetor por um p-vetor se anula para p > q. A mesmageneralizacao pode ser feita para multicovetores.

B Exemplo 50: Das definicoes acima segue imediatamente que a contracao de ump-covetor por um q-vetor anula-se quando q > p. Ilustramos agora o uso da contracaoconsiderando a contracao de um 2-vetor por um 2-covetor e em seguida um 3-vetor porum 3-covetor. Leve em conta v ∧ u um 2-vetor, portanto da definicao

(α ∧ β)c(v ∧ u) = αcβc(v ∧ u) = αc((βcv)u− (βcu)v)

= β(v)α(u)− β(u)α(v)

6.7. A ALGEBRA DE GRASSMANN — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 141

e agora considerando v ∧ u ∧ w um 3-vetor vem

(α ∧ β ∧ λ)c(v ∧ u ∧ w) = αcβcλc(v ∧ u ∧ w)

= αcβc12

(λ(v)u ∧ w + λ(u)w ∧ v + λ(w)v ∧ u− λ(w)u ∧ v − λ(v)w ∧ u− λ(u)v ∧ w)

= λ(v)β(u)α(w)− λ(v)β(w)α(u) + λ(u)β(w)α(v)− λ(u)β(v)α(w)

+λ(w)β(v)α(u)− λ(w)β(u)α(v).

C

B Exemplo 51: Para o nosso caso

(α ∧ β)(v ∧ u) =1

2(α(v)β(u)− α(u)β(v)) = −1

2(α ∧ β)c(v ∧ u) =

1

2(β ∧ α)c(v ∧ u)

=1

2(α ∧ β)c(v ∧ u).

C

Generalizando o resultado para Υp ∈ Λp(V ) e Ξp ∈ Λp(V ), obtemos [7]

Υp(Ξp) =1

p!ΥpcΞp.

Exercıcio 226: Sejam os covetores α = 5e1−2e2, β = e2 +3e3−e4 e o multivetorψ = e1 ∧ e2 ∧ e3 + 2e1 ∧ e4. Calcule αcA, βcA, αcβcA, βcαcA, (α ∧ β)cA.

6.7 A Algebra de Grassmann

Primeiramente precisamos definir a extensao do funcional bilinear simetrico nao-degenerado g : V × V → R, que e o mesmo que estender a correlacao τ : V → V ∗.Definimos essa extensao como uma aplicacao τ : Λk(V )→ Λk(V ) dada por

τ(v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk) = τ(v1) ∧ τ(v2) ∧ · · · ∧ τ(vk).

Apos esse resultado, podemos definir a extensao do funcional bilinear g : V ×V → R,g(v, u) = τ(v)(u). Denotando por G, a extensao G : Λk(V )× Λk(V ) → R para o casode k-vetores e dada por

G(v1 ∧ · · · ∧ vk, u1 ∧ · · · ∧ uk) = k!τ(v1 ∧ · · · ∧ vk)(u1 ∧ · · · ∧ uk)

= τ(vk ∧ · · · ∧ v1)c(u1 ∧ · · · ∧ uk)

ou ainda

G(v1 ∧ · · · ∧ vk, u1 ∧ · · · ∧ uk) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣g(v1, u1) g(v1, u2) · · · g(v1, uk)g(v2, u1) g(v2, u2) · · · g(v2, uk)

......

. . ....

g(vk, u1) g(vk, u2) · · · g(vk, uk)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .


Dados ψk ∈ Λk(V ) e φm ∈ Λm(V ) com k 6= m definimos

G(ψk, φm) = 0.

ñ Definicao 25: A algebra exterior Λ(V ) equipada com a extensao G para todoΛ(V ) e a algebra de Grassmann do espaco vetorial V , que denotaremos por G(V ).3

Exercıcio 227: Dada uma base v1, v2 . . . , vn de V ∗, e dada uma forma bilinearsimetrica nao-degenerada g : V ∗ × V ∗ → K, defina o produto interno em Λ2(V ) daseguinte maneira:

G : Λ2(V )× Λ2(V ) → K

(vi ∧ vk, vr ∧ vs) 7→ G(vi ∧ vk, vr ∧ vs) = det

(g(vi, vr) g(vi, vs)g(vk, vr) g(vk, vs)

)Calcule a norma de v1 ∧ v2 ∈ Λ2(V ), onde v1 = e1 + 2e3 e v2 = e2 + e3 e eini=1 e

base canonica de V ∗ (ou seja, g(ei, ej) = δij).

6.8 Isomorfismo de Hodge

Vimos que os espacos vetoriais Λk(V ) e Λn−k(V ) tem a mesma dimensao e, portanto,sao isomorfos. Esse isomorfismo nao e canonico e uma maneira de construirmos esteisomorfismo e atraves do isomorfismo de Hodge, que esta definido dentro do contextoda algebra de Grassmann pois faz uso de uma correlacao em V [7].

O isomorfismo de Hodge dado pelo operador dual ? : Λk(V ) → Λn−k(V ) e definidocomo

A ∧ ?B = G(A,B)ΩV

∀ A,B ∈ Λk(V ) e ΩV como sendo um n-vetor unitario. De onde temos tambem que?1 = ΩV e ?A = AcΩV .

B Exemplo 52: Vamos calcular o dual de Hodge para os elementos 1, e1, e2, e3, e1 ∧e2, e1 ∧ e3, e2 ∧ e3, e1 ∧ e2 ∧ e3 com (ei)

2 = 1 para i = 1, 2, 3, onde I = e1 ∧ e2 ∧ e3 eo elemento de volume:

?1 = I = e1 ∧ e2 ∧ e3,

?e1 = e2 ∧ e3, ?e2 = e3 ∧ e1, ?e3 = e1 ∧ e2,

?(e1 ∧ e2) = e3, ?(e3 ∧ e1) = e2, ?(e2 ∧ e3) = e1,

?I = ?(e1 ∧ e2 ∧ e3) = 1.

C

6.9. OPERADORES DE CRIACAO E ANIQUILACAO — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015143

Exercıcio 228: Seja R3 equipado com o produto escalar euclidiano usual. Seja × oproduto vetorial usual de vetores e ∧ o produto de vetores definido como v×u = ?(v∧u),u, v ∈ R3. Mostre que os objetos definidos por v×u e v × u apresentam as mesmascomponentes. Mostre que enquanto o objeto definido por v×u e o que se chama umvetor axial ou pseudovetor ou seja, e um objeto que nao muda de sinal perante umainversao do sistema de coordenadas, o objeto definido por v × u e de fato um vetor,as vezes chamado vetor polar, em distincao de vetor axial, pois neste caso ha umamudanca de sinal perante uma inversao do sistema de coordenadas.

6.9 Operadores de Criacao e Aniquilacao

Em G(V ) podemos realizar o produto exterior entre o vetor v e o multivetor A comov∧A ou A∧v. Como o resultado e um multivetor, interpretamos esse produto exteriorcom um elemento do espaco dos endomorfismos2 de Λ(V ), denotado por End(Λ(V )).Definimos E : V → End(Λ(V )) por [7]

E(v)(A) = v ∧A

onde E e dito um operador de criacao. Olhando para o produto exterior entre v eA na ordem reversa, i.e., A ∧ v, podemos definir outro operador que definimos porE† : V → End(Λ(V ))

E†(v)(A) = A ∧ v

Existe uma relacao entre os operadores E e E†. Considerando o caso em que A eum k-vetor temos

v ∧Ak = (−1)kAk ∧ v, donde escrevemos v ∧A = (#A) ∧ v,

segue portanto que

E(v) = E†(v)# E†(v) = E(v)#

Outra operacao sobre multivetores sao as contracoes a esquerda e a direita por umcovetor. Utilizando estas operacoes definimos os operadores I e I†. O operador deaniquilacao I : V ∗ → End(Λ(V )) e definido por

I(α)(A) = αcA.

Ja o operador I† e definido como

I†(α)(A) = Abα,2Uma aplicacao φ : X → Y e um homomorfismo se φ(a ∗ b) = φ(a) • φ(b), onde ∗ e a operacao em X

e • a operacao em Y . Se Y = X entao esse homomorfismo e dito um endomorfismo.


e a relacao entre esses operadores segue direto da relacao entre contracao a direita e aesquerda

I(α) = −I†(α)# I†(α) = −I(α)#

Da propriedade de anti-comutatividade do produto exterior de dois covetores seguede imediato a relacao de comutacao entre os operadores do tipo criacao:

E(v)E(u) + E(u)E(v) = 0 (6.64)

Com efeito,

(E(v)E(u) + E(u)E(v)) (A) = (E(v)E(u)) (A) + (E(u)E(v)) (A)

= v ∧ u ∧A+ u ∧ v ∧A = v ∧ u ∧A− v ∧ u ∧A = 0

para todo v, u ∈ V,A ∈ Λ(V ). Do mesmo modo temos que

E†(v)E†(u) + E†(u)E†(v) = 0.

Temos tambem a relacao de comutacao entre os operadores do tipo aniquilacao,

I(α)I(β) + I(β)I(α) = 0 (6.65)

∀α, β ∈ V ∗. Com efeito,

(I(α)I(β) + I(β)I(α)) (A) = (I(α)I(β)) (A) + (I(β)I(α)) (A)

= αc (βcA) + βc (αcA) = αc (βcA) + (β ∧ α)cA= αc (βcA)− (α ∧ β)cA = αcβcA− αcβcA = 0

Analogamente segue

I†(α)I†(β) + I†(β)I†(α) = 0.

E finalmente, temos a relacao entre operadores de criacao e aniquilacao.

I(α)E(v) + E(v)I(α) = α(v) (6.66)

I†(α)E†(v) + E†(v)I†(α) = α(v)

Demonstraremos apenas o primeiro resultado uma vez que o segundo e obtido demaneira analoga

(I(α)E(v) + E(v)I(α)) (A) = (I(α)E(v)) (A) + (E(v)I(α)) (A)

= αc(v ∧A) + v ∧ (αcA)

= (α ∧ v) ∧A− v ∧ (αcA) + v ∧ (αcA)

= (α ∧ v) ∧A = α(v)A

Exercıcio 229: Mostre que (αcΨ) = Ψbα, onde α ∈ V ∗ e Ψ ∈∧

(V ).

6.9. OPERADORES DE CRIACAO E ANIQUILACAO — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015145

Exercıcio 230: Sejam T[p] ∈∧p(V ) e S[q] ∈

∧q(V ). Mostre que

T[p]bS[q] = (−1)q(p+1)(S[q]cT[p]

).

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