Algebra Linear Lipschutz

,

SEYMOUR LIPSCHUTZ DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS

TEMPLE UNIVERSITY

Algebra Linear Resumo da teoria

600 Problemas resolvidos 524 Problemas propostos

Traduo de

ROBERTO RIBEIRO BALDINO Prof. Titular do Instituto de Matemtica

Universidade P''ederal do Rio Grande do Sul

EDITORA McGRA W-HfLL DO BRASIL, LTDA. SO PAULO- RIO DE JANEIRO- BELO HORIZONTE DVSSELDORF, JOHANNESBURG, KUALA LUMPUR, LONDON, MEXICO, MONTREAL, NEW DELHI, NEW YORK, PANAMA, St. LOUIS, SAN FRANCISCO, SINGAPORE, SYDNEY, TORONTO.

Do original Schaum's Outline of Theory and Problems

o f LINEAR ALGEBRA

publicado nos E.U.A. por Schaum Publishing Co. Copyright 1968 by McGraw-Hill, .Jnc.

Nenhuma parte desta publicao poder ser reproduzida, guar-dada pelo sistema "retrleval" ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro melo, seja este eletrnico, mecnico, de fotocpia, de gravao, ou outros, sem prvia autorizao por escrito da Editora.

1973 Todos os diYtitos para a> Unr;tw. portuguesu reservtUlot pela

EDITORA McGRAW-HILL DO BRASIL, LTDA. Rua Tabapu, 1105 ITAIM-BIBI, So PAuLo So PAULO

Av. Rio Branco, 156, s/2614 RIO DE JANEIRO GUANABARA

Impresso no Brasil Printed in Brazi!

Rua Turmalina, 27 BELO HORIZONTE MINAS GEJIAIS

lgebra Linear da base matemtica e outros cientistas. cao da mattia.

,

PREFACIO tem-se tornado, recentemente, uma parte essencial de que necessitam matemticos, engP.nheiros, fsicos ste requisito reflete a importncia e grande apli-

Esta obra foi projetada para uso como livro-texto em um curso formal de lgebra Linear ou como um suplemento para todos os tExtos padres. Seu propsito apresentar uma introduo lgebra Linear que sirva de ajuda a todos os leitores, independentemente de seus campos de espe-cializao. Nle se incluiu mais material do que _aqule que pode ser visto na maioria dos cursos JlllClaiS. Isto foi feito para tornar o livro mais flexvel, til de referncias e para estimular maior intersse pelo assunto.

Cada cap tu! o comea com asseres claras de definies. pertinentes, princpios e teoremas, juntamente com material ilustrativo e descritivo. Isto seguido por gradaes de problemas resolvidos e problemas pro-posts. Os problemas resolvidos servem para ilustrar e ampliar a teoria, trazendo clareza aos pontos sutis, sem os quais o estudante sE. sente, conti-nuamente, em terreno inseguro, e promovem a repetio dos princpios bsicos to vitais ao aprendizado efetivo. Numerosas provas de teoremas esto includas entre os problemas resolvidos. Os problemas propostos servem como reviso completa do material de cada captulo.

Os trs primeiros captulos tratam de vetores no espao euclidiano, equaes lineares e matrize~. Estas produzem a motivao e as ferra-mentas bsicas computacionais para o tratamento abstrato de espaos vetoriais e transformaes lineares, que vem. a seguir. Um captulo sbre autovalores e autovetores, precedido por determinantes,. d condies para representar um operador linear por uma matriz diagonal. Isto, naturalmente, conduz ao estudo de vrias formas cannicas, espcifica-mente a triangular, a de Jordan e a forma cannica racional. No ltimo captulo, sbte espaos com produto interno, o teorema espectral parr1 operadores simtricos obtido e aplicado diagonali~ao de formas qu(ldrtias reais. Para completar, os apndices incluem se5 sbre conjuntos e relaes, estruturas alghricas e polinmios sbre um corpo.

Desejo agradecer a muitos amigos e colegas, especialmente ao Dr. Martin Silverstein e Dr. H wa Tsang, por valorosas sugestes e reviso crtic~ do manuscrito. Tambm quero expressar minha gratido a Daniel Schaum e Nicola Monti por suas preciosas colaboraes.

SEYMOUR LIPSCHUTZ

Temple ~niversity

Prefcio da Edio Brasileira

A lgebra Linear constitui hoje parte indispensvel da formao bsica, no s6 de matemticos, mas de quantos necessitem apicar Mate-mtica, mesmo em suas formas mais rudimentares. Na Matemtica, sua importncia dificilmente pode ser subestimada, quando se compreende que impossvel atacar qu

Captulo 1

Captulo 2

Captulo 3

Captulo 4

Captulo 5

Captulo 6

Captulo 7

Captulo 8

,

SUMARIO VETORES NO R" E C" . ....................... . Introduo. Vetores no Rn. cao por escalar. Produto no Rn. Nmeros complexos.

Adio de vetores e multipli-interno. Norma e distncia Vetores em cn.

EQUAES LINEARES . ........ . Introduo. Equao linear. Sistema de equaes lineares. Soluo de um sistema de equaes lineares. Soluo de um sistema homogneo de eq~aes lineares.

MATRIZES .......................... . Introduo. Matrizes. Soma de matrizes e multiplicao por escalar. l\ilultiplicao de matrizes. Transposio. Ma-trizes escalonadas. Equivalncia por linhas e operaes ele-mentares com linhas. Matrizes quadradas. lgebra das matrizes quadradas. Matrizes inversveis. Matrizes de blocos.

ESPAOS VETORIAIS E SUBESPAOS ........ . Introduo. Exemplos de espaos vetona1s. Subespaos. Combinaes lineares, subespaos gerados. Espao linha de uma matriz. Somas e somas diretas. ~

BASES E DIMENSO ....... . Introduo. Dependncia linear. Bases e dimenso. Dimen-. so e subespaos. Psto de uma matriz. Aplicaes a equa-es lineares. Coordenada>.

21

40

74

102

TRANSFORMAES LINEARES................ 145 Aplicies. Transformaes lineares. Ncleo e imagem de uma transformao linear._. Tra~sformaes singulares e no singulares. Transformaes lineares e sistemas de equaes lineares. Operaes com transformaes lineares. lgebra dos operadores lineares. Operadores inversveis.

MATRIZES E OPERADORES -LINEARES.: ..... , 182 Introduo. Representao matricial de um operador linear. Mudana de base. Semelhana. Matrizes e transformaes lineares.

DETERMINANTES............................. 208 Introduo. Permut!aes. Determinante. Propriedades dos determina;..tes. Menores e co-fatres. Adjunta clssica: Apli-caes s equaes lineares. Determinante de um operador linear. Multilinearidade e determinantes.

Captulo 9

Captulo 10

Captulo 11

Captulo 12

Captulo 13

Apndice A

Apndice B

Apndice C

AUTOVALORES E AUTOVETORES............. 239 Introduo. Polinmios de matrizes e operadores lineares. Autovalores e autovetores. Diagonalizao e autovetores. Polinmio caracterstico, teorema de Cayley-Hamilton. Poli-nmio mnimo. Polinmios caracterstico e mnimo de opera-dores lineares.

FORMAS CANNICAS Introduo. F o r ma triangular. Invarincia. Decomposio em somas diretas invariantes. Decomposio em primos. Operadores nulpotentes. Forma cannica de Jordan. Subes-paos cclicos. Forma cannica racional. Espaos quocientes.

269

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAO DUAL.. 302 Introduo. Funcionais lineares e o espao dual. Base dual. Espao segundo dual. Anuladores. Transp:Jsta de uma trans-formao linear.

FORMAS BILINEARES, QUADR.~TICAS E HERMITIAN AS .. Formas bilineares. Formas bilineares e nntrizes. Formas bilineares alternadas. Formas bilineares simtricas, formas quadrticas. Formas bilineares simtricas reais. Lei de inr-cia. Formas hermitianas.

ESPAOS COM PRODUTO INTERNO. Introduo. Espaos com produto interno. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Ortogonalidade. Conjuntos ortonormais. Processo de ortogonalizao de Gram-Schmidt. Funcionais lineares e operadores adjuntos. Analogia entre A(V) e C, ope-radores especiais. Operadores ortogonais e unitrios. Matri-zes ortogonais e unitrias. Mudana de bases ortonormais. Operadores positivos. Diagonalizao e formas cannicas nos espaos euclidianos. Diagonalizao e formas cannicas nos espaos unitrios. Teorema espectral.

CONJUNTOS E RELAES .. Conjuntos, elementos. Operaes com conjuntos. Conjuntos produtos. Relaes. Relaes de equivalncia.

ESTRUTURAS ALGBRICAS .................. . Introduo. Grup:Js. Anis, domnios de integridade e corpos. Mdulos.

POLINMIOS SBRE UM CORPO ............ . Introduo. Anel de polinmios. Kotao. Divisibilidade. Fatorizao.

316

337

379

385

394

lndice Remissivo ......................................... . 399

Captulo l

Vetores no Rn e cn INTRODUO

Em vrias aplicaes fsicas aparecem certas qantidades, tais como temperatura e rapidez, que possuem smente "magnitude". Estas pdem ser representadas por nmeros reais e so chamadas escalares. Por outro lado, tambm h quantidades, como fra e velocidade, que possuem am-bas "magnitude" e "direo". Essas quantidades podem ser represen-tadas por flechas (tendo comprimento e direo apropriados e emnando de um dado ponto de referncia O) e so chamadas vetores: Neste cap-tulo, ns estudamos as propriedades de tais vetores com algum detalhe.

Comeamos por considerar as seguintes operaes com vetores: (i) Adio. A resultante u + v de dois ve-

tores obtida pela chamada lei do para-"Jelogramo, isto , u + v a diagonal do paralelogramo formado por u e v, como se mostra direita;

(ii) Multiplicao por escalar. O produto ku, o de um nmero real k por um vetor u, obtido multiplicando a magnitude de u por k e mantendo a mesma direo se k 2: O ou a direo oposta, se k < O, c9mo se mostra direita. Agora,.supomos que o leitor esteja familiarizado co:n a representao

de pontos no plano por pares ordenados de nmeros reais. Se a origem dos eixos escolhida no ponto de referncia O acima, ento cada vetor determinado, de maneira nica, pelas coordenadas da sua extremidade. As relaes entre as operaes acima e extremidades so as seguintes: (i) Adio. Se (a, b) e (c, d) so as extremidades dos vetores u e v, ento

(a + c,b + d) ser a extremidade deu + v, como mostra a figura (a) abaixo.

(a+ c, b + d)

(ka, kb)

Fig .. (a)~

2 VETORES NO R" E C" [CAP. i

(ii) Multiplicao por escalar. Se (a, b) a extremidade do vetor u, ento (ka, kb) ser a extremidade do vetor ku, como mostra.a figura (b), acima .

. Matemticamente, ns identificamos um vetor com sua extremidade; isto , chamqmos o par ordenado (a, b), de nmeros reais, um vetor. Na realidade, generalizaremos esta noo e chamaremos uma n-u'p!a (a1 , a2 , .. , an) de nmeros reais um vetor. Generalizaremos novamente e permitiremos que as coordenadas da n-upla sejam nmeros complexos e no apenas nmeros reais. Alm disso, no captulo 4, abstrairemos as propriedades dessas n-uplas e formalmente definiremos o sistema matem-tico chamado espao vetorial.

Supomos que o leitor est familiarizado com as propriedades elemen-tares do corpo dos nmeros reais, que representamos por R.

VETORES NO Rn O conjunto de tdas as n-uplas de nmeros reais, anotado Rn, cha-

mado n-espao. Uma particular n-upla no Rn, digamos

chamada um ponto ou vetor; os nmeros rf'as u, so chamados compo-nentes (ou coordenadas) do vetor u. Alm disso, quando discutindo o espao Rn, usamos o trmo escalar para os elementos de R, isto , para os nmeros reais.

Exemplo 1.1. Considere os seguintes vetores: I' (0,1), (1,-3), (1,2,v},4), (-S.t~O,,..)!

Os dois primeiros vetores tm duas componentes e, portnti:so pontos do R 2; os dois ltimos tm quatro componentes e, portanto, so pontos do R 4.

Dois vetores v e u so iguais, escrevendo-se u = v, se les tm o mes-mo nmero de componentes, isto , pertencem ao mesmo espao, e se as componentes correspondentes so iguais. Os vetores (1, 2, 3) e (2, 3-, 1) _rio so iguais, porque os elementos corresponden~es no so iguais.

Exemplo 1.2. Suponha (x- y, x + y, z- 1) = (4, 2, 3). Ento, por def!lo de igualdade de vetores,

X- y = -! x+y=2 z- 1 = 3

Resolvendo o sistema de equaes acima, temos

x = 3, y = -1, e z = 4.

ADIO DE VETORES E MULTIPLICAO POR. ESCALAR Sejam u e v vetores no Rn:

CAP. 1] VETORES NO R" E C" 3

A soma de u e v, escrita u + v, o vetor obtido pela adio das compon~ntes correspondentes u +v = (u 1 + v1 , u2 + v2 , , U 11 + vn). O produto de um nmero real k pelo vetor u, escrito ku, o vetor obtido multiplicando cada componente de u por k: ku = (ku 1 , ku2 , . , kun). Observe que u +v e ku so tambm vetores do R". Definimos, igual-mente,

- u = - lu e u- v = u + (-v) A soma dos vetores com nmero diferente de componentes no definida .

.-;xemplo 1.3. Seja u = (1, -3, 2, 4) e v = (3, 5, -1, -2). Ento, u +v = (1 + 3, -3 + 5, 2- I, 4- 2) = (4, 2, I, 2)

5u = (5 . 1, 5 . (-3), 5 . 2, 5 . 4) = (5, -15, 10, 20) 2u- 3v = (2, -6, 4, 8) + (-9, -15, 3, 6) = (-7, -21, 7, 14)

Exemplo 1.4. O vetor (0, O, . , O) no R", anotado O, chamado vetor i(ro. :le semelhante aO escalar 0 sob O aspecto de que, para qualquer vetor U = (ut, 2t2, ... , u,),

u + 0 = (ut + 0, U2 + 0, . '., Un + O)"= (ut, 112, ... u~) = u Propriedades bsicas dos vetores do R' em operaes de adio de

vetores e multiplicao por escalar so descritas no seguinte teorema.

Teorema 1.1. Para quaisquer vetores u, v; w E R' e quaisquer escalares k, k' E R,

(i) tU+ v) + w = u. + (v + w) (ii) u +o= u (iii) u +, (--u) = o (iv) u + v = v + u

(v) k(u +v)= ku +kv (vi) (k + k')u = ku + k'u (vii) (kk')u = k(k'u) (viii) lu = u

Observao. Suponha que u e v sejam vetore~ do R" eu = kv para algum .escalar no-nulo k E R. Ento, diz-se que u est na mesma direo de v, se k > O, e na direo oposta se k < O .

. PRODUTO INTERNO

Sejam u e v vetores do R": U = (u1 , U2 , .. . , Un) e V= (VIl V2, .. . , Vn)

O produto escalar ou produto interno deu e v, anotado u V, o escalar obtido multiplicando as componentes correspondentes e somando os produtos obtidos:

:oi. U .t' = U 1V1 + U 2V2 + ... + U,.V11 Diz-se que os. vetores u e v so ortogonais (ou perpendiculares) se seu produto interno zero: u . v = O.

Exemplo 1.5. Sejam u = (1, -2, 3, -4), v= (6, 7, 1, -2) e w = (5, -4, 5, 7). Ento. u. v = 1 . 6 + (-2) . 7 + 3 . 1 + (-4) . (-2) = 6 - 14 + 3 + 8 , 3 u. w = 1 . 5 + (-2). (-4) + 3. 5 + (-4). 7 = 5 + 8 + 15-28 = o Assim, u e w so ortogonais.

4 VETORES NO R" E C" [CAP.

As propriedades bsicas do produto interno no Rn so as seguintes.

Teorema k E R:

(1) (i i) (iii) (i v)

1.2. Para quaisquer vetores u, v, w E R' e qualquer escalar

(u + v) . w = u . w + v w (ku) . v = k(u . v) u.v=v.11 u . u '). O, e u . u = O se, e somente se, u = O

Observao. O espao R' com as operaes acima de soma de vetores, multiplicao por escalar e produto interno , usualmente, chamado n-espao euclidiano.

NORMA E DISTNCIA NO R" Sejam. u e v vetores do R'': u = (tt 1, tta, . , t.t,) e v = (vto v2, ... , Vn).

A distncia entre os pontos u e v, escrita d(u, v), definida por + (un- Vn)"

A norma (ou comprimento) do vetor u, escrita // u //, definida como sendo a raiz f'JUadrada, no negativa, deu. u:

I ! uI ! = v~~ = vu7 + u~ + ... + u~ Pelo teorema 1.2, u . u 2: O; logo, a raiz quadrada existe. Observe que

d(u,v) = //u-v!/ Exemplo 1.6. Sejam u = (1, -2, 4, I) e v = (3, 1, -5, 0). Ento,

d(u, v) = V(l- 3)2 + (- 2 -1)2 + (4 + 5) 2 + (1- 0) 2 = V95 llvll = V3'+1'+(-5)'+0' = vTs

Agora, se considerarmos dois pontos, digamus p = _(a, b) e q = (c, d) no plano R 2, ento I IPI I= Va'+b' e d(p,q) = V(a-c)'+(b-d) 2

Isto , I I p I I corresponde ao comprimento euclidiano usual da flecha da origem ao ponto p, e d(p, q) corresponde distncia euclidiana usual entre o~ pontos p e q, como se mostra abaixo.

/a/

I I I

p = (a,b)

I ; I I I

Um resultado semelhante 'Vaie para os pontos na reta R e no espao n3

CAP. 1] VETORES NO R E c 5

Observao. Um vetor e chamado um vetor unitrio se sua nom1a 1 : li e li = 1. Observe que, para qua1quer ;etor no- nulo, u E R", o vetor e,. = u/11 u li um vetor unitrio na mesma: direo :de u.

Agora, estabelecemos lima relao fundamental conhecida por desi-. gualdade d Cauchy-Schwarz.

Teorema 1.3 (Cauchy-Schwarz). Para quaisquer vetores U. v E R", !u.vl :$ lluil llvll.

Usando a desigualdade acima, podemos agora definir o ngulo fJ

entre dois _vetoreS-no nulos quaisquer, u, v E R", porcos (} -~ . u v llull llvll

Note que, se u . v = O, ento O = 90 (ou O = "Ir/2). Isto, ento, con-corda com nossa definio prvia de ortogonalidade.

NMEROS COMPLEXOS O conjunto dos nmeros complexos anotado C. Formalmente,

um nmero complexo um par ordenado (a, b) de nmeros reais; igual-dade, adio e multiplicao dos nmeros complexos so definidas a seguir:

(a, b) =.(c, d) se, e smt'ntt' se, a = c e b = d (a, b) + (c, d) = (a +c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac- bd, ad + bc)

Identificamos o nmero real a com o nimero complexo (a, O) :a (a, 0). Isto possvel desde que as operaes de adio e multiplicao de nme-ros reais sejam preservadas sob a corres-pondncia

(a, O) + (b, O) = (a + b, O). e (a, O)(b, O) = (ab. G) Assim, vemos R como um subconjunto de C e substitumos (a, O) por a, sempre que fr conveniente e possvel.

O nmero complexo (0, 1), notado i, tem a importante propriedade i2 = ii = (0, 1)(0, 1) = (-1, O) = -1 ou i = V=1

Alm di8so, usando o lato

(a, b) = (a, O) + (0, b) e (0, b) = (b, 0)(0, 1), temos

(a, b) = (a, O)+ (b, 0)(0, 1) = a+ bi A notao a + bi mais conveniente do que (a, b). Por exemplo, a soma e o produto de nmeros complexos podem ser obti~o~ usando simplesmente as leis de comutatividade e distributividade e i_2 "=,-'l:

(a+ Oi)+ (c +di) =a+ c+ bi +di = (a+ c) 'f:,(~ d)i (a + bi)(c + di) =:' ac + bci + adi + bdi2 = (ac - bd) + @c.-~ ad)-i

6 VETORES NO R" E C" [AP. 1

O conjugado do nmero complexo z = (a, b) = a + bi notado e definido z = a- bi. (Note que zz = a2 + b2.) Se, entretanto, z # O, ento o inverso z-1 de z e a diviso por z so dados por_

e

onde w E C. Tambm definimos -z = -lz e w- z = w + (-z)

Eil:emplo 1.7; Suponha z = 2 + 3i e w = 5- 2i. Ertto, z + w .= (2 + 3J) + (5 - 2i) = 2 + 5 + 3i- 2i = 7 + i zw = (2 + 3z)(S-2z) = 10 + 1Si-4i-6i2 = 16 + lli ; = 2 + 3i = 2- 3i e Ui = S- 2i = S + 2i

~ = s - 2j '= (S - 2i)(2 - 3i) = 4- 19i = _2__ - ~i z 2 + 3i (2 + 31)(~ - 3i) 13 13 ~ 13

Assim como os nmeros reais podem ser representados por pontos numa reta, os nmeros complexos podem ser representados por_ pontos num plano. Especificamente, ~eixamos o ponto (a, b) b do plano representar o nmero complexo z = a + bi, isto , tendo parte real a e a parte .. imaginria b. O vlor absoluto -~-1

CAP. 1] VETORES NO R" E C 7

Agra, i>ejarn u e v vetores a.rbitririos em C" U: = (zJ, Zz; ... , z.),

O produto cartesiano ou interno deu e v definido como segue:

u . v = ZtWt + Z2W2 + ... + z,.w,.

Note que essa definio reduz-se anterior no caso real, desde que w, = w1 quando Wf real. A norma deu definida por

li u li = v' u. u = v' Ztil + z2z2 + ... + ZnZn = v' I Zll 2 +I z21 2 + ... +I Zn! 2 Observe que u. u e, portanto, I lu li so reais e positivos quando u ;=!O; e O quando u = O.

Exemplo 1.10. Sejam u = (2 + 3i, 4- i. 2i) e v = (3- 2i, 5, 4- 6i). Ento, u , v = (2 + 3i)(3 - ) + (4 - i)(s) + (2i)(4 - 6i)

= (2 + 3i)(3 + 2i) + (4 - i)(S) + (2i)(4 + 6i) = 13i + 20 - Si - 12 + 8i = 8 + 16i

u . u= (2 + 3i)(2 + 3i) + (4- i)(4 - i) + (2i)(2i) = (2 + 3i)(2- 3i) + (4 - i)(4 + ~~ + (2i)(-2i) =13+17+4=34

o espao cn com as operaes acima de adio de vetore3, multipli-cao por escalar e produt interno, chamado n-espao euclidiano com-plexo.

Observao. Se u . v fsse definido por u . v = z1w1 + ... + z,.w,., ento possvel para u . u = O, mesmo que u ;=! O, por exemplo, seu = (1, i, 0). Na reali~ade, u . u pode mesmo nem ser real.

Problemas Resolvidos VETORES NO R" 1.1. Calcule: (i)(3, -4, 5)+(1, 1, -2); (ii) (1, 2, -3)+(4, -5); (iii) -3(4,-5,-6);

(i v) ~(-6, 7, -8). ~) Some as componentes correspondentes

(3, -4, 5) + (1, l, -2) = (3 + l, -4 + l, 5-2) = (4, -3, 3). (ii) A soma no definida, porque os vetores tm nmero diferente de compo-

nentes.

(iii) Multiplique cad componente pelo. esclar -3(~. -5, -6) = (-12, 15, 18).

(i v) Multiplique cada componente pr -I: -(-6, 7, -8) = (6, -7, 8) ..

1.2.

VETORES NO R" E C" [CAP.

Sejam u = (2, -7, 1), v = (-3, O, 4), (i) 3u - 4v, (ii) 2u + 3u - Sw. Primeiro, escalar e, depois, a adio dos vetores:

w = (0, 5, -8). Encontre efetue a multiplicao pela

(i) 3u - 4v = 3(2, -7, 1)- 4(-3, O, 4) = (6, -21, 3)+(12, O, -16) = (18, -21, -13) .(ii) 2u + 3v- 5w = 2(2, -7, 1)+ 3(-3, O, 4)- 5(0, 5, -8)

= (4, -14, 2) + (-9, o, 12) + (0, -25, 40) = (4- 9 +o, -14 +o- 25, 2 + 12 + 40) = (-5, -39, 54)

1.3. Encontre x e y, se (x, 3) = (2, x + y). Como os dois veto~es so iguais, a~ componentes correspondentes so iguais entre si: X =f 2, 3 = X- + y Substitua x = 2- na segunda equao, para obter y = 1. Assim, x = 2 e y = 1.

1.4. Encontre x e y, se t4, y) = x(2, 3). Multiplique pelo escalar x, para obter (4, y) = x(2, 3) = (2x, 3x) .. Iguale as componentes correspondentes: 4 = 2x, y = 3x. Resolva as equaes lineares para x e y : x = 2 e y = 6.

1.5. Encontre x, y e z, se (2, -3, 4) = x(l, 1, 1) + y(l, 1, O)+ z(l, O, O). Primeiro, multiplique pelos escalares x, y e z e, depois, some

(2, -3, 4) = x(1, l, 1) + y(1; 1, O) + z(1, O, O) '= (x, x, x) + (y, y, O) + (z, O, O) = (x + y + z, x + y, x)

Agora, iguale as componentes correspondentes

X + y + Z = 2, X + y = - 3, X = 4

Para resolver o sistema de equaes, substitua x = 4 na segunda equao para obter 4 + y = -3 ou y = -,7. Em seguida, substitua na primeira equao para achar z = '5. Assim, x .= 4, y = -7, z = 5.

1.6~ . Demonstre o teorema 1.1. Para quaisqu~r vetores u, v, w E Rn e .quaisquer escalar.es k, k' E R. (i) (i i) (iii) (iv)

(u+v)+w::,u+(v+w) u+O=u u+(-u) =0 u.+v = v+u

(v) k(u+v) = ku+ kv {vi) (k+ k')u = ku+k'u (vii) (kk')u = k(k'u)

(viii) lu = u. Sejam u;; v; e wi aid-simas com~nentes de u, v e w, re5pectivamente. (i)

. .

. '

Por definio, u; + v;~ a i-si.ma .:;.omponente de u +v; logo, (u;.+ v;) + w; a i-sima componente de (u + v) + w. Pot outro lado, v; + w; a i-sima componente de 11 + w; logo; .u;, + (v; + w;) a i-sima component~ de u + (v + 'Ui). Mas u;, v; e.-w; so nmeros reais para s quais vale a lei da a'stiOCiatividade, isto ,

'(u; +v;) + w; == u; + (v; + w;) para i =,l, ... , n . Do rriesmo rnod>, (u +v) + w = u + (v + w), pbis suas componentes cor-

resJ)onderites so ig:uais.

CAP. 1] VETORES NO R" E c 9

{ti) Aqui, O = (O, O, ... ,0); portanto, U +O = (ul, U2, ... , Un) +(O, O, ... , O)

= (ul +O, U2 +O, ... , Un +O) = (ul, u2, ; .. , Un) = u (iii) Como

-u = -l(u1, u2, .. . , Un) = (-u1, -u2, ... , -un), u + (-u) = (ttl, u2, ... , Un) + (-ul,- u2, ... , -un)

= (ul-Ul,U2-u2, ... ,-u;.-un) = (0,0, ... ,0) =o. (iv) Por definio, u; +Vi a i-sima componente de .u +v e Vi+ u; a i-sima

componente de v + u. M

10 VETORFS NO R" E c [CAP. I

PRODUTO INTERNO 1.8. Clcule u . v, onde

(ii} u = (1, -8, o, 5), v = (4, 1, -2, 5).

(i) u = (2, -3, 6), v = (8, 2, -3); v = (3, 6, 4); (iii) u = (3, -5, 2, 1),

(i) Multiplique as componentes c-:>rrespondentes e some u . v = 2 . 8 + (-3) . 2 + 6 . (- 3) = -8.

(ii) O produto interno no def\nido entre vetores com nmero distinto de com-ponentes. >;

(iii) Multiplique as componentes~correspondentes e s>me u. v = 3 . 4 + (-5). I + 2. (-2) + I . 5 ;, 8

1.9. Determine k de modo que os vetores u e v sejam ortogonais, onde, (i) u = (1, k -3) e v = (2, -5, 4)

1.10.

(ii) u = (2, 3k, -4, I, 5) e v= (6, -1, 3, 7, 2k) Em cada caso, calcule u . v, iguale a zero e resolva para k.

(i) u.v=1.2+k.(-5)+(-3).4=2-5k-12=0, -Sk-10=0, k=-2 (ii) u. v= 2. 6+3k. (-1)+(-4) ~ 3+1. 7+5. 2k

= 12-3k-12+7+10k =O, k = -1

Demonstre o teorema 1.2. qualquer esca:Iar k E R, (i) (u +v). w=u. w+v. w (i i) (ku) . v= k(u . v)

Pa1 a quaisquer vetres u, v, w E Rn e

() tt. V=V. U (i v) u . u ;::: O, e u . u =O se, e

somente se, 'u = o Sejam u = (u 1, uz., . .. ,un) v = (vt, v:i , . . ,v,.) w = (wJ, w2, .. . , w,.). (i) Como u+v = (ut +vt, u2 +v2, . .. , u,. +v,.),

(u+v).w = (ut+vt)wt+(u2+v2)w2+ . . +(un+vn)Wn = UtWt+VJWJ+u 2w 2+v2w2 + ... +u,.w,.+vnWn' = (u1w1+u2w2+ ... +unwn)+(vtwi+V2W2+ ... ;+vnwn) = .u w+v. w

(i i) Como ku = (kut,ku2, . .. , kun), }ku). v=ku1v1 +ku2v2+ . .. +kunvn = k(u1v 1 +u2v2+ . .. +u;.vn) = k.~u.v)

(iii) u. v=utvt+u2v2+ .. +.unvn=VtUt+v2u2+ ... +v;.un=V. u (iv) .Como u 2 no-negativo para cada i e como a soma de nmeros. reais no-

-negativos no-negativa,

u . u = u~ + u~ + ... + ui ~ O Alm disso, u . u = O se, e smente se, u; = O para cada i, isto , se, e s-mente se, u = O.

DISTNCIA E NORMA NO R" J.lk Encontre adistncia d(u, v) entre os vetores u e v, onde (i) u== (1, 7),

v=(6, -5); (ii) u=(3, -5, 4), v=(6,2,-1); (iii) u=(S,3,-2;-4,-1), . v= (2, -1; O, -7, 2) .

I J 1 I

I I

I ! I

CAP. l]

Em (i) (i i) (iii)

VETORES NO R" E c

cada caso, use a frmula d(u, v) = ~- v1)' + ... + (un- 11n)2. d(u, v) = v' o- w + (7 + s) = V'2s + 144 = vi69 = 13 d(u, v) = V(3-6)' + (-5-2)2 +(4 + 1)2 = V9 + 49=125 = V8J

11

d(u, v) = V(S- 2)2 + (3 + 1)2 + (-2 + o) + (-4 + 7) 2 + (-1- 2) = V47 1.12. Encontrektalqued(u,v) = 6,ondeu=(2, k, 1,-4)ev=(3,-1,6,-3).

(d(u, v)) 2 =(2- 3)2 +(k+1-)2 +(1- 6)2 +(-4+3)2 = k 2+2k+28 Agora, resolva k 2+2k+28 = 62 para obter k=2, -4

1.13. Encontre a norma llu/1 do vetm u, se (i) u = (2, -7), (ii) u = (3, -12, -4). Em cada caso, use a frmula llull= Vui + u~+- .. +u~. llull = v2 11 +

12 VETORES NO R E C" [CAP. I

Assim, somando (2) em relao i e usando I u;v; I = I Ui I I Vi I, temos

2,

isto ,

Multiplicando ambos os. lados por llull llv/1, obtemos a desigualdade procurada. 1.17. Demonstre a desigualdade de Minkowski. Para quaisquer vetores

u = (ui! ... , un) e V= (vu ... , vn) no Rn, llu + vll~l/u!/+1/vJI. Se llu+vll = O, a desigualdade claramente vlida. Assim, precisamos consi derar somente o caso llu + vil ;o= ~ /u; +v;/ /u; +v;/ ~ ~ /u; + v;l (Ju; I+ lv;/) =X /u; + v;J Jud + l: I u; + v;J /v; I

Mas, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz (veja problema anterior), 2; lu.: .f- v;/ ju;l Se llu +vil lluil e~ ju; + vd /v;/ .::; llu + r11i llvll

Ento, llu + vll 2 ,:;; !lu +vil llull +!lu +vil llvll = IIU +vil (liull + li vil) Dividindo JK>r llu +vil, obtemos a desigualdade procurada.

1.18. Demonstre que a norma no Rn satisfaz as seguintl::s leis: [N1] :Para qualquer vetor u, 11 u 11 2': 6; e 11 u 11 = O se, e somente

se, u = O. [N2] :.Para qualquer vetor u e qualquer escalar k,ll ku 11 = I k I 11 u 11. [Na] :Para quaisquer' vetores u e v, 11 u +v !I ~ 11 u !I+ I! v !i. [NI] foi demonstrad no problema 1.15 e [Na] n:> pmblema 1.17. Portanto, precisamos somente demonstrar que [N2] vlida. Suponha u =.(ui, u2, ... , un)i .Jogo, ku = (ku1, ku2, . .. , kun). Ento, /lkull 2 = (ku1) 2 + (.llu2) 2 + ... + (kun) 2 = k2u~ + k 2u~ + ... + k 2u!

= k 2(u~ + u~ + ... + u!) = k 2 llulj2 A r~iz quadrada de ambos os lados da igualdade nos d o resultad:> procurado.

N.MEROS COMPLEXOS

1.19. Simplifique: (i) (5 + 3i)(2- 7i); (ii) (4- 3i)2 ; (iii) - -1-_; . 3- 4t

( ... ) 2 - 7i ( ) lV ---- V ,. S+ 3i' (vi) (1 + 2i)3, (vii) (-.

1-.)

2

. 2- 3l

CAP. 1l VETORES NO R E C"

(i) (5 + 3i)(2- 7t) = 10 + 6i- 35i- 21i2 = 31- 29i (ii) (4- 3i)2 = 16- 24i + 9i2 = 7- 24i

(i i i) (3 + 4i) 3 + 4i 3 .4 . 3 - 4i (3 - 4t)(3 + 4i) = -~ = 25 + 2s t 2 - 7 i (2 - 7 i)(S - 3i) (iv) -- = .:___ _ __:,: __ _:_ 5 + 3i (5 + 3i)(5 - 3i)

-11 - 41i 11. 41 =-----i

34 34 34

(v) i 3 = i 2 . i= (-l)i =-i; i 4 = i 2 . i 2 = 1; i 31 = (i4)1 . i 3 = 17 (-i) =-i (v) (1 + 2t) 3 = 1 + 6i + 12i2 + 83 = 1 + 6i -12- Si= -11- 2i

13

.. ( 1 ) 2 1 (-S + 12i). -5 + 12i 5 12 . (vu) 2- 3i = -S- t2i = C::s -12t)(-5 + 12i) = 169 = - 169 + 169 t.

1.20. Sejam z = 2- 3i e w = 4 + 5i. Procure \

(i) z+ u1 e zw; (ii) z/w; (jii)'_'z e 'li),' (iv) lzl lwl. li) z + w = 2 :c: 3i + 4 + Si F 6' + 2i

zw = (2-3i)(4+ Si)= 8-l2i 1- l0i=TS'i2= 23-2i z 2 - 3i c2 - 3i)(4 ..:-si) -7 - zzi 1 n _ (ii) - = --.- = = --- = -- - -- t w 4 + Si (4 + 5t)(4 - Si) 41 41 41

(iii) Use a+ bi =a- bi: z = 2- 3i = 2 + 3i; w = 4 +Si = 4- Si. (iv) Use la+bil = V a'+ b2 : lzl = 12- 3il = v'4+9 = v'D; lwl ~ 14-f-iSil'""

= v16 +2s = v41-

1.21. Demonstre. Para quaisquer nmeros complexos z, w E C, (i) z + w = z + w, (ii) zw = z w, ~iii) z = z. Suponha z = a+ bi e w = c+ di, onde a, b, c, dE R. (i) z + w = (a+ bi} +(c+ di) = (a+ c)+ (b + d)i

= (a + c)- (b + d)i = a + c- bi- di = (a- bi) + (c- di) = z + w

(i i) zw = (a + bi) (c +di) = (ac- bd) + (ad + bc)i = (ac- bd)- (ad + bc)i = (a - bi) (c - di) = z w

(iii) ~ = a+ bi = ~ = a- (-b)i = a + bi = z 1.22. Demonstre. Para quaisquer nmeros complexos z, w E C, lzwl

~= lzl lw!. Suponha z = a + bi e w = c + di, onde a, b, c, d E R. Ento,

lzl 2 =a2 +b2, lwl 2 =c2 +d2, e zw=(ac-bd)+(ad+bc)i Assim, lzw 12 = (ac- bd)2 + (ad + bc)2

= a 2c2 - 2abcd + b2 d 2 + a 2d 2 + 2abcd + b2c2 = a2(c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (n2 + b2)(c2 +d2) = lzl21wl2

A raiz qt'l.idrada de ambos os lados d-nos o resultado desejado.

14 VETORES NO R" E c

1.23. Demonstre. Para quaisquer nmeros complexos. z, w E C, lz+wl~lzl+lwl.

Suponha z = a + l!i e w = c + di, onde a, b, c, d E R. Considere os vetores u = (a, b) e v = (c, d) no R 2 Note que

izl = va +b =llull, lwl =v~= llvll e lz+wi = i(a+c)+(b+d)il = V(a + c) + (b + d)2 = il(a+c,b+d)/l=llu+vll Pela desigualdade de M inkowski (problema 1.17),

/lu +vil ::5 /lull+!lvll; logo, iz + wl =/lu+ vil=:; /lu/1 + llvll = lzl + lwl

VETORES EM C" 1.24. Sejam u = (3- 2i, 4i, 1 + 6i) e v = (5 + i, 2- 3i, 5). Encontre

(i) u +v, (ii) 4iu, (iii) (1 + i)v, (iv)(l- 2i)u + (3 + i)v. (i) Some as componentes correspondentes u + t = (8 -.i, 2 +i, 6 + 6i). (ii) Multiplique cada componente de u pelo escalar 4i,

4iu = (8 +.12i, -16, -24 + 4i). (iii) Multiplique cada componente de v pela escalar. 1 +i,

(1+i)v = (5+6i+2, 2._i-3i~, 5+5i) = (4+i, 5-i, 5+5i) (iv) Primeiro, efetue a multiplicao por escalar e, depois, a adio de vetores

(l-2i)u+(3+i)u = (-l-8i, 8+4i, 13+4i)+(14+8i, 9-7i,l5+5i) = (13, 17, ~3i, 28+9i)

1.25. Encontre u.v e v.u, onde: (i) u=(l-2,'3+i), v=(4+2, 5-6i); (ii) u=(3-2i, 4i, 1+6i), v= (S+i, 2-3i, 7+2i). Lembre que os conjugados do segundo vet0r aparecem no produt0 interno

(zr, ... , Zn). (WJ, ... , Wn) = ZIWI + ... + ZnWn

(i) . 11 v (I - 2z)(4 + 2i) + (3 + i)(5 - 6i) (1 - 2z)(4 :.. 2z} + (3 + z)(5 + 6i) = -!Oi + 9 + 23i = 9 + 13i

--- --- c:-- vu (4 + 2i)(1 - 2i) + (5 - 6)(3 +i)

(4 + 2z)(1 + 2i) + (5- 6i)(3- i) = !Oi + 9 ~ 23i = 9 - 13i (} uv (3 - 2i)(5 + 1} + (4i)(2 - 3i) + (1 + 6i)('l + 2i)

(3 - 2)(5 - i) + (4}(2 + 3o) + (I + 6i)(7 - :2i) = 20 + 35i (5 + )(3 ~ 2o) + (2 - 3i)(4i) + (7 + 2i)(l + 6) . (5 + i)(3 + 2) + (2 - 3o)(=4t) + (7 + 2i)(l- 6i) = 20- 35i

Em ambos os exemplos v . u = U.V lss , em geral, verdadeiro, como ser visto n problema 1.27.

1.26. Encontre /iull onde (i) u=(3+4i, 5-2i, 1-'-Ji); (ii) u=(4-i, 2i, 3+2i, 1-Si) ..

CAP. I] VETORES NO R E c

Lembre que 2:Z '= a2 + b2 quando z = a + bi. Use llull 2 = u. u = ZJZl + z2Z2 + ... + Znzn, onde z = (z~oz2,. _ ., Zn)

(i) llull 2 = (3)2+(4)2+(5)2+(-2)2 +(1)2+(-3) 2 =64, ou llull =8 (ii) llull 2 = 4 2+(-1)2+2 2 +32 +22 +1 2+

16 VETORES NO R' E C'

PQ= v Encontre o vetor v identificado com PQ, onde (i) p = (2, 5), Q = (-3, 4)

(ii) P = (1, -2, 4), Q = (6, O, -3) (i) t + Q- p = (-3- 2, 4- 5) = (-5, -1) Cii) v= Q-P = C6-t,0+2.-3,-4)=(5,2,-7)

[CAP. 1

1.31. O conjunto H de elementos do R que so ~olues de uma equao linear de n incgnitas, Xu ... , x., da forma

C1X1 + CzXz + .. + Cn;>.:n = b (*) com u = (c., ... , c.) .,: O no R", chamado um hiperplano do Rn, e* chamada uma equao de H. (Freqiiente~ente, identificamos H com (*).)

-Mostre que o segmento orientado de reta PQ de qual_quer par de pUfitosP, Q E H ortogonal ao vetor dos coeficientes .u; diz-se que o vetor u normal ao hiperplano H.

Suponha P = (at ... , a.) e Q = (bt, ... , bn}. Ento, a; e b; so as solues d4 equao dada:

Sejam

Ento,

Ctat + cza2 + ... +cna, = b, ctbt + czb2 + .. +c,bn = b

-v = PQ = Q- P = (bt- a1, bz- az , .... , bn- an)

u.v = Ct(bt-at)+c 2(bz-az) + ... + c.(b.-an) = Ctbt- C ta 1 + Czbz- c2a2 +. . +cnbn - Cnan = (ctbt+czbz+ ... +c.b.)-(ctal+c2a2 + .. +c,a,) = b:..b =O

Portanto, v, isto , PQ, ortogonal a u.

1.32. Encontre uma equao do hiperplano H no R4 se: (i) H passa por P = (3, -2, 1, -4) e normal a u = (2, 5, -6, -2}; (ii) H passa por P = (1, -2, 3, 5) e paralela ao hiperplano H' determinado por 4x - Sy + 2z + w = 11. (i) Uma equao de H da forma 2x+5y- 6z- 2w = k, pois H normal a u,

Substitua P nessa equao para obter k = -2. Assim, uma equao Je H ~ 2x+5y :- 6z- 2w = -2.

(ii) H e H' ~>o paralelos se, e somente se, os vetores normais corre3pondentes estiverem na mesma ou em direes opostas. Pprtanto, uma ... equao de, H da forma 4x- 5y + 2z + w = k. Substituindo P nessa equao, achamos k = 25. Assim, uma equao de H 4x- 5y + 2z + '1!1 = 25;

CAP. 1) VETORES NO R" E c 17

1.33. A reta l no R" passando pelo ponto P~'(a,) e na direo deu= (u,) ;;6. O consiste nos pontos X = P + tu, t E R, isto , consiste nos pontos X = (x,) obtidos de -

fx1=a 1 +u1t (*) ~x2 = a2 + u~t

I ........... . lXn =a,+ u,t

onde t assume todos os valres reais. A varivel t chamada parmetro e (*) cham(lda representao param-trica de l. (i) Encontre a representao parac mtrica da ret

18 VETORES NO R" E C" [CAP.

1.36. Sejam u = (2, 1, -3, O, 4), v ~ (S, -3, -1, 2, 7). Enemtre (i) u +v; (ii) 3u -211; (iii) u v; (iv) llull e llvll; (v) d(u, v).

1.37. Determine k de modo que os vetores u e v sejam ortogom.is. (i) u = (3, k, -2), v= (6, -4, -3), (ii) u = (5, k, -4, 2), ,, = (1. -3, 2. 2k). (iii) u = (1, 7. k + 2, -2), v = (3, k, -3, k).

1.38. Determine x e y, se (i) (x, x + y) = (y- 2, 6); (ii) x(1, 2) = -l (y, 3). 1.39. Determine x e y, se (i) x(3, 2) = 2(y, -I); (i i) x(l, y) = y(l, -2). 1.40. Dete~mine x, y e z, se

(i) (3, -1, 2) = x(1, 1, 1) + y(l, -1, O)+ z(l, O, O). (ii) (-1, 3,3) = x(l, 1, 0) + y(O, O, -1) + z(O, 1, 1).

\ 1.41. Sejam e1 = (1, O, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, O, 1). Mostre que, para qualquer vetor

.. u = (a, b, c) deRa, , (i) u = ae1 +b~ +ce3;(ii) u . e1 ~ a. u . e2 = b, u . ea = c.

1.42. Generalize o resultado do problema anterior como segue. Seja e, E Rn o vetor com 1 na i-sima coordenada e O em tdas as outras;

e1 = (l, O, 0, ... , O, 0), e2 = (0, I, O, , 0), ... , en = (0, O, ... , O, I) Mostre que, para qualquer vetor u = (a 1, a 2, ... , an), (i) u = atei + a2e2 + ... + a,en. (ii) u . e; = a; para i = 1, ... , n.

1.43. Suponha que u E Rn tem a propriedade u . v = O, para todo v E Rn. Mostre que u =o O.

1.44; Usndo d(u, v)= llu-vll e as propriedades da norma [N1J. (N2] e (N3] no pro h lema 1.18, mostre que a funo distncia satisfaz 'as seguintes propriedades para quaisquer vetores u,"v, w E Rn: (i) d(tt, v) >O, e d(u, v)'= O se, e smente se, u = v; (ii) d(u, v) ;;;; d(v, u); (iii) d(u, w) ~ d(u, v) + d(v, w).

NMEROS COMPLEXOS 1 9 + 2i .

1.45. Simplifique (i) (4 - h)(9 + 2i); (i i) (3 - Si) 2; (iii) 4

_

7i; (i v)

3 _.:_ Si; (v) (1 - 1) 3.

s . IT (") 1 . C) 2 + 3i 1.46. ltnp I IQUe I U; li 7 _ J 1.47. Sejam z = 2- Si e w = 7 + 3i. Encontre (i) + w; (ii) zw; (iii) tjw;

{iv) 3, w; (v) izl. lwl. 1.48. Seja_m z ~ 2 + i e w = - Si. Encontre (i) z/w; (i i) jj, w; . (iii) I z I I I w 1-

, 1.49. Mostre que (i) zz-1 = I; (ii) z = :Z; (iii) a parte real de z = 1/2 (z + z); (lvh parte imaginria de z = (z-8)/2i.

1.50. Mostr~ qu~ zw ,;;; O implica z ~ O ou w = O. VETORES EM C"

UH. Sejam u = (1. + 7i, 2 - 6J) e v = (5"" 2i, 3- 4i): Encontre (i) u + v; (ii) (3 + i)u (iii) 2iu + (4- 7i)v; (iv) u . v e v .. u; (v) iiull e llvll.

CAP. l] VETORES NO R E C 19

1.52. Sejam u = (3- 7i, 2i, -1 + t) e v == (4 -i, 11 + 2i, 8- 3i). Encontre (i) u :-v; (ii) (3 + t)v; (iii) u . v e v . u; (iv) llull e llvll.

1.53. Demonstre. Para quaisquer vetores u, v, w E C": (i) (u + v) . w = u . w +v . w; (ii) w . (u +v)= w . u + w . v. (Compare com o teorema 1.2.)

1.54. Demonstre que a norma em C" satisfaz as seguintes leis: [NlJ: Para qualquer vetor u, lluii::O:: O; e llull =O se, e somente- se, u =O. [N2}! Para qualquer vetor u e qualquer nmero complexo z, llzull = lzlllull. [Ns]: Para quaisquer vetores u e v, llu +vil :s; llull + llvll. (Compare com o problema 1.18.)

PROBLEMAS DIVERSOS

1.55. Encontre uma equao para o hiperplano

20 VETORES NO R" E C" [CAP. 1

1.40. (i) X= 2, J = 3, Z = -2; (ii) X = -1, )' = 1, Z = 4 . . 1.43. Temos que u . u = O, que implica u = O.

1.45~ (i) 50- 55i; (ii) -16 7 30i; (iii) (4 + 7i)/65; (iv) (I + 31)/2; (v) -2- 2i. 1.46. (i) -{-i; (ii) (5 + 27i)/58; (iii) -i, i, -I; (iv) (4 + 3i)/50. 1.47. (i) z + w = 9- 2i; (ii) zw = 29- 29i; (iii) z/w = (-1 -- 41i)/58; (iv) z = 2 + 5i,

w = 7- 3i; (v) lzl = V29, lwl = V 58. 1.48. (i) z/w = (7 + 16t)/61; (i i) z = 2- i, fv = 6 + Si; (i i i). lzl = Vs. lw I = v'6. 1.50. Se m=O, ento lzwl = lzllwl IOI=O. Portitnto,z=Oouw=O;logo,z=O

ou w =O.

1.51. (i) u +v = (6 +Si, 5- !Oi); (iv) u . v = 21 + 27i, v . u = 21- 27i; (ii) (3 + i)u = (-4 + 22i, 12- 16i); (v) llull = 3Vf, llvll = 3y6. (iii) 2iu + (4- 7i).v = (-8- 4li, -4 ~ 33i);

1.52, (i) u-v = (-1 ~6i,-ll,.,-9 + 4i); (iii) u. v= 12 + 2i,v. u = 12-2i; (ii) (3 + i)v = (13 + i, 31 + 17i, 27- i); (iv) llull. = 8, l!vB = V215.

1.55. (i) 3x + y- llz = -12; (i i) 13x + 4y + z = 7; (iii) 3x- 7y + 4z = 46. 1.56. k =o.

1.57. (i) (c\'= 7 +I {y = -1 + 3t lz = 8- St

(i i) (x=i+l jy = 9 ~ 121 )z = -4 + 4t [w = 5-/

(iii) (x=4-+Jt { y = -1- 2t [z ~ 9 +t.

Captulo 2

Equaes lineares INTRODUO

A teoria das equaes lineares desempenha papel" importante e moti-vador no campo da lgebra Linear. Na verdade, muitos problemas na lgebra Linear so equivalentes ao estudo de um sistema de equaes lineares, por exemplo, a procura do ncleo de uma transformao linear e a caracterizao do subespao gerado por um conjunto de vetores. Assim, as tcnicas introduzidas neste captulo sero aplicveis ao tratamento mais abstrato dado mais trde. Por outro lado, alguns dos resultados do tratamento abstrato dar-nos-o novas vises de estrutura de sistemas concretos de equaes lineares.

Por simplicidade, supomos que tdas as_equaes neste cptuio so' sbre o corpo real R. Realamos que os resultados e tcnicas tambm valem para equaes sbre o corpo complexo C ou sbre qualquer corpo arbitrrio K;

EQUAO LINEAR Por uma equao linear sbre o corpo real R, entendem03 uma eJI:-

presso da forma (1)

onde ait b E R e os x, so indeterminadas (ou incgnitas ou variveis). Os escalares a, so chamados coeficientes de x, respectivamente, e b chamado trmo constante ou simplesmente constante da equao. Um conjunto de valres para as incgilitas, d.igamos

X; = fu_._ X2 .==. ~~ ... , X 11 = kn soluo de (1) ~~ aj !afirmao! 'obtida substituindo k, por x,. I !

a1k 1 + a2k 2 + ... + a,."k-;.-=b verdadeira. Diz-se, ento, que sse conjunto de valres satisfaz a equa-o. Se no h am.bigidade sbre a posio das incgnitas na equao, ent

22 EQUAES LINEARES [CAP. 2

uma sentena verdadeira. Entretanto, a 4-upla v = (1, 2, 4, 5) no uma soluo da equao, pois

+ 2 . 2 - 4 .4 + 5 = 3 ou -6 = :~ no uma sentena verdadeira.

Solues da equao (1) podem ser fcilmente descritas e obtidas- H trs casos.

Caso (i). Um dos coeficientes em (1) no-nulo, digamos, a1 ; O. Ento, podemos reescrever a equao como segue

ai XI = b- ~X2- .. - anXn OU X1 = aJ.1b- aJ. 1~Xz- ... - aJ.1anXn Atribuindo valres arbitrriamente s incgnitas x2 , ... , xn, obtemos um valor para x1 ; sses valres formam uma soluo da equao. Alm disso, cada soluo da equao pode ser obtida dessa maneira. Note, em parti-cular, que a equao linear a uma incgnita, ax ; b, com a ; O tem a nica soluo x = a1b.

Exemplo 2.2. Consideremos a equao 2x - 4y + z = 8. Reescrevemos a equao como

2x = 8 + 4y- z ou x = 4 + 2y- 1/2 z Qualquer valo para y e z produzir um valor para x e os trs valres sero uma so-luo da equao. Por exemplo; sejam y = 3 e z = 2; ento, x = 4 + 2.3- 1/2.2 = 9. Em outras palavras, a 3-upla u = (9, 3, 2) souo da equao.

Caso (ii). Todos os coeficientes em (1) so zero, mas a constante no zero. Isto , a equao da forma

Ox1 + Ox2 + ... + Oxn b, com b ~ O Ento, n equao no tem soluo.

Caso (i). Todos os coeficientes em (1) so zero e a constante tambm z~ro. Isto , a equao da forma

Ox1 + Ox2 + ... + Oxn =O ~nto, tda n-upla de escalares em R uma soluo da equao.

SISTEMA DE EQUAES UNEARES Consideremos, agora, um s1stema de m equaes lineares nas n in-

cgnitas x1 , .. , Xn a 11xr + a 12Xz +

. a21X2 + azzXz +

am1X1 + amzXz + + amnXn = b,n; (*)

onde os a11 , bt pertencem ao corpo real R. Diz-se que o si~tema homo- g2neo se as constantes b11 . .. , bm so tdas zero. Uma n-upla u = (k 1, ,kn)

CAP. 2] EQUAES LINEARES 23

de nmeros reais uma soluo (ou uma soluo Particular) se satisfaz cada uma das equaes; o conjunto de tdas essas solues denominado conjunto soluo ou soluo geral.

O sistema de equaes lineares auxl + al2x2 + a21X1 + a2~2 +

o o

am1X1 + am2X2 + + amnXn = 0


onde a 11 ~ O. Aqui Xp denota a primeira incgnita com um coeficiente nocnulo numa equao que no a primeira; por passo 2, xi2 ~ x 1 :t:sse processo que elimina uma incgnita de equaes sucessivas conhecido como eliminao (de Gauss).

Exemplo 2.3. Considere o seguinte sistema de equaes lineares

2x + 4y - z + 2v + 2w = 1 3x + 6y + z - v + 4w = -7 4x + 8y + z + Sv - w = 3

Eliminamos a incgnita x das segunda e terceira equaes, aplicando as seguintes ope-raes

Calculamos -JL1: -6x - 12y + 3z - 6v - 6w = -3 2L 2 : 6x + 12y + 2z - 2v + 8w = -14 --~Lt + 2L2 : Sz- 8v + 2w = -17

e -2Lt: -4x - 8y + 2

CAP. 2] EQUAOES LINEARES 25

onde 1 < j 2 < ... < j, e onde os coeficientes iniciais no so zero a11 ;F O, a2 . ;F O, .. . ,a,.;& O J2 Jr

(Para convenincia de notao, usamos os mesmos smbolos a;;., bk no sistema(***), como usamos no sistema("'), mas les podem, claro, denotar escalares diferentes.

Definio. Diz-se que o sistema (***) acima est na forma escalonada; as incgnitas x; que no aparecem no como de nenhuma equao (i ;& 1, j 2 , ... ,j,) so chamadas variveis livres. Surge o seguinte teorema.

Teorema 2.2. A soluo do . sistema (***) na forma escalonada a se-quinte. Existem dois casos: (i) r =; n. Isto , h tantas equaes quanto incgnitas. Ento, o

sistema tem soluo nica. (ii) r < n. Isto , h menos equaes do que incgnitas. Ento, po

demos, arbitrriamente, atribuir valres s n- r variveis livres e obter uma soluo do sistema. Note, em particular, que o teorema acima implica que o sistema (***)

e qualquer sistema equivalente. so consistentes. Assim, se o sistema (*) consistente e se reduz ao caso (ii) acima, podemos ento atribuir vrios va: lres diferentes s variveis livres e, assim, obter vrias solues do sistema. O seguinte diagrama ilustra essa situaao.

Sem soluo

Sistema de equaes lineares

I I Consistente

I I

Soluo nica

I I

Mais de uma soluo

Em vista do teorema 2.1, a soluo nica acima pode ocorrer smente quand.9 o sistema homogneo associado tiver s a soluo zero.

Exemplo 2.4; Reduzimos o seguinte sistema, aplicando as operaes L 2.--+ -3L1 + + 2L2 e La ...... -3L1 + 2La e, em seguida, a operao La --+ -3L2 + La:

2x + y - 2z + 3w = 1 2x + y - 2z + 3w = 1 2x + y - 2z + 3w = 1 3x + 2y - z + 2w = 4 y + 4z - 5w = 5 y + 4z - Sw = 5 3x + 3y + 3z - 3w = 5 3y + 12z - 15w = 7 O = -8

A eQ.uao O = -8, isto , Ox + Oy + Oz + Ow = -8 mosh' que o sistema original inconsistente e, portanto, no tem soluo.


Exemplo 2.5. Reduzimos o seguinte sistema, aplicando as operaes L2 --> -L1 + + L 2, e L 3 ..... -2Lt + La e L4 ..... -2Lt + L4 e, em seguida, as operaes La --> L2- L 3 e L4 ..... -ZL2 + L4

x + 2y- 3z = 4. X+ 3y + Z = 11

2x + Sy - 4z = 13 2x + by + 2z = 22

x + ';.y- 3z = 4 y + 4z = 7 y + 2z = 5

2y + 8z = 14 x + 2y- 3z = 4

y + 4z = 7 2z = 2

x + 2y- 3z = 4 y+4z=7

2z = 2 0=0

Observe, primeiro, que o sistema consistente, pois no h equao da forma O = b, com b ~ O. Alm disso, como na forma escalonada h~ trs equaes nas trs inc6gnita~, o sistema tem soluo nica. Pela terceira equao, z = 1. Substituindo z = 1 na se-gunda equao, obtemos y = 3. Substituindo y = 3 e z = 1 na primeira equao, encontramos x = 1. Assim, x = 1, y = 3 e z = 1 ou, em outras palavras, a 3-upla (1, 3, 1) a soluo nica do sistema.

Exemplo 2.6. Reduzimos o seguinte sistema, aplicanqo as operaes L2--> -2Lt + + L 2 e L 3 --+ -SLt + L 3 e, depois, a operao La --> -ZL2 +La;

x + 2y- 2z + 3w = 2 x + 2y- 2z + 3w = 2 x + 2y- 2z + 3w = 2 2x + 4y - 3z + 4w = 5 z - 2w = 1 z - 2w = 1 Sx + 10y- 8z + llw = 12 2z - 4w = 2 O = O

x + 2y - 2z + 3w = 2 z - 2w = 1

O sistema consistente e, como. h mais incgnitas do que equaes na forma escalo-nada, o ~istema tem uma infinidade de solues. De fato, h duas variveis livres, y e w, e,portanto;uma soluo particular pode ser.obtida dando a y e w quaisquer valflreR. Por exemplo, sejam w = 1 e y = -2. Substituindo w = 1 na segunda equao, obte-mos z = 3. Pondo w = 1, z = 3 e y = -2 na primeira equao, encontramos x = 9. Assim, x = 9, y = -2, z = 3 e w = 1 ou, em outras palavras, a 4-upla (9, -2, 3, 1) uma soluo particular do sistema.

Observa~o. Encontramos a soluo geral do sistema no exemplo acima, como segue. Atribuam-se valres arbitrrios s variveis livres; digamos, y = a e w = b. Substituindo w = b na segunda equao, obtemos z = 1 + 2 b: Pondo y = a, z = 1 + 2b e w = b na primeira equao, encontramos x = 4- 2a + b. Assim, a soluo geral do sistema

x = 4- 2a + b, y = a, z = 1 + 2b, w = b ou, em outras palavras, (4- 2a + b, a, 1 + 2b, b), onde a e b so nmeros arbitrrios. Freqentemente, a soluo geral deixada em trmos das variveis livres y e w (em vez de a e b) como segue

x = -4- 2y + w, z = 1 + 2w ou (4- 2y + w, y, 1 + 2w, w) Investigaremos mais a representao da soluo geral de um sistema de equaes lineares num captulo posterior.

Exemplo 2.7. Considere duas equaes m duas incgnitas a1X + bty = Ct a2X + b2x = c2

CAP. 2] EQUAES LINEARES

Oe acrdo com nossa teoria, exatamente um dos trs casos seg~1intes deve ocorrer (i) O sistema inconsistente. (ii) O sistema equivalente a duas equaes na forma escalonada. (iii) O sistema equivalente a uma equao na form:1 escalonada.

27

Quando equaes lineares em duas incgnitas com coeficientes reais podem ser repre-se,;as_ como retas no plano R 2, os casos acima podem ser interpretados geometrica-mente como segue

(i) As duas retas so paralelas. (ii) As duas retas se interceptam num nic-o pont. (iii) As cluas retas so coincidentes.

SOLUO DE UM SISTEMA HOMOG~NEO DE EQUAES. LINEARES

Se partirmos de um sistema homogneo de equaes lineares, ento le claramente consistente, pois, por exemplo, le tem a soluo zero O = (0, O, . , 0). Assim, le pode sempre ser reduzido a um sistema homogneo equivalente na forma escalonada

n. 11 X 1 + a 12X 2 + a.,1X:1 + .. a2j2Xi2 + a~.J2+1Xi2+1 +

o o

a,1,x1, + a,_1,+ 1x1,+ 1 + ... + a,n:Cn = O Portimto, temos duas possibilidades: (i) r n. Ento, o sistema tem smente a soluo zero. (ii) r < n. Ento, o sistema tem uma soluo no-nula. Se partirmos de menos equaes do que incgnitas, ento, na forma esca-lonada, r < n e, portanto, o sistema tem uma soluo no-nula. Isto ,

Teorema 2.3. Um sistema homogneo de equaes lineares com mais incgnitas do que equaes tem uma soluo no-nula.

Exemplo 2.8. O sistema homogneo

x + 2y - 3z + w = O x - 3y + z - 2w = O

2x + y - 3z + Sw = O tem lll~a soluo no-nula, pois h quatro incgnitas mas somente trs equaes.

Exemplo 2.9. Reduzimos o seguinte sistema forma escalonada

x+ y- z=O 2x- 3y + z =O x- 4y + 2z =O

x+y- z=O -:-Sy + 3z =O -Sy + 3z =O

x+y- z=O -Sy + 3z =O

O sistema tem uma soluo nonula, pois obtivemos somente duas equaes em trs incgnitas na forma escalonada. Por exemplo, seja z = 5; ento, y = 3 e x = 2. Em outras palavras, a 3-upla (2, 3, 5) uma soluo particular no-nula.

28 EQUAES LINEARES

Exemplo 2.10. Reduzimos o seguinte sistema forma escalonada

x+ y- z=O 2?;' + 4y- z =o 3x + 2y + 2z =O

_x+y- z=O 2y + z =o -y + Sz =O

x+y~z=O 2y + z =o

llz =O

[CAP. 2

Como, na forma escalonada, h trs equaes em trs incgnitas, o sistema tem se-mente a soluo zero (0, O, 0).

Problemas Resolvidos SOLUES DE EQUAES LINEARES 2.1. Resolva o sistema 2x - 3y + 6z + 2v - Sw

y- 4z + v 3 1.

2.2.

v-3w 2

O sistema est na forma escalonada. Como as .equaes comeam com as incgnitas x, y e v, respectivamente, as outras incgnitas, z e w, so as vriveis livres.

Para achar a soluo geral, sejam, digamos, z - a e w = b. Substituindo na terceira equao, v - 3b = 2 ou v = 2 + 3b. Substituindo na segunda equao,

y - 4a + 2 + 3b ~ 1 ou y = 4a - 3b - 1 Substituindo na primeira equao,

2x- 3(4a- 3b- 1) + 6a + 2(2 + 3b)- 5b = 3 ou x = 3a- 5b- 2 Assim, a soluo geral do sistema

x = 3a~ 5/l -- 2, y ,:, 4a- 3b- 1,. z =a, v = 2 + 3b, w = b u (3a- 5b- 2, 4a- 3b- 1, a, 2 + 3b, b), onde a e b so nmeros reais arbi-trrios. Alguns textos deixam a soluo geral em trmos das variveis livres z e w, em vez de a e b, como segue

x = 3z- 5w- 2

y = 4z- 3w-

v= 2 + 3w ou (3z- 5w- 2, 4z- 3w- 1, z, 2 + 3w, w)

DePQis de encontrar a soluo geral, podemos encontrar uma soluo parti-cular por substituio na soluo geral. Por exemplo, sejam a = 2 e b = 1; ento,

X = -1, y =' 4, Z = 2, V = 5, W = 1 OU (-1, 4, 2, 5, 1) uma soluo particular do sistema dado.

Resolva o sistema x + 2y- 3z = -1 3x - y + 2z 7. Sx + 3y - 4z 2

CAP.2] EQUAES LINEARES 29

Reduza forma escalonada. Elimine x das segunda e terceira equaes pelas operaes L2 --+ -3Lt + L2 e La --+ -SLt +La

-3Lt: -3x - 6y + 9z = 3

L2: 3x - y + 2z = 7 -5Lt: -Sx - 10y + 15z = 5

La: Sx + 3y - 4z = 2

-7y + llz = 10 -5Lt +La: -7y+11z=7 Assim, obtemos o seguinte sistema equivalente

x + 2y - 3z = -1 -7y+11z=10

-7y + 11z = 7

As seg;mda e terceira equaes mostram que o sistema inconsistente,. porque, se subtrairmos, obtemos Ox + Oy + Oz = 3 ou O = 3.

2.3. Resolva o sistema 2x + y - 2z = 10 3x + 2y + 2z 1. Sx + 4y +3Z 4

Reduza forma escalonada. Elimine x das segunda e terceira equaes pelas operaes L 2 --+ -3Lt + 2L 2 e La --+ -SLt + 2L~

-3Lt: --6x - 3y + 6z = -30 -SLt: -10x - Sy + lOz = -50 2L2 : 6x + 4y + 4z = 2 2L3: 10x + 8y + 6z ,;, 8

y + 10z = -28 -SLt + 2Ls: 3y + 16z -.. _:-42 Assim, obtemos o seguinte sistema, do qual eliminamos y da terceira equao pela operao La --+ -3L2 + La

2x + y - 2z = 10 y + 10z = -28 para

3y + 16z = -42

2x + y - 2z = 10 y + 10z = -28

-14z ,;, 42

Na forma escalonada, h trs equaes em trs incgnitas; .portanto, o sistema tem soluo nica. Pela terceira equao, z = -3. Substituindo na segunda equao, encontramos y = 2. Substituindo na primeira equao, obtemos x = 1. Assim, x = 1, y=2 e z=-3, isto , a 3-upla (1, 2, -3) a nica soluo do sistema.

2.4. Resolva o sistema x + 2y- 3z = 6 2x - y + 4z 2. 4x + 3y - 2z 14

Reduza o sistema forma esi::alonada. Elimine x das segunda e tei"Ceira equaes pelas operaes L2 --t -2Lt + L2 e La --+ -4Lt +La

-2L1: -2x- 4y +. 6z = -12 :-4L1: -4x - 8y + 12z = -24 L 3: 4x + 3y - 2z = 14

-Sy + !Oz = -10 -Sy + 10z = -10 ou y - 2z = 2 ou y - 2z = 2

30

2.5.

EQUAES LINEARES [CAP. 2

Assim, o sistema equivalente a x + 2y- 3z = 6 x + 2y- 3z = 6

y-:- 2z = 2 011, simplesmente, y- 2z = 2 y- 2z = 2

(Como as segunda e terceira equaes so idnticas, podemos ignorar uma delas.) Na forma escalonada, h somente duas equaes em trs incgnitas; por-

tanto, o sistema tem uma infinidade de solues e, em particular, 3 - 2 = 1 varivel livre que z.

Para obter a soluo geral, seja, digamos, z = a. Substitua na segunda equao para obter y = 2 + 2a. Substitua na primeira equao para obter

x + 2(2 + 2a) - 3a = 6 ou x = 2 - a. Assim, a soluo geral

x = 2 - a, y = 2 + 2a, z = a 011 (2 - a, 2 + 2a, a), onde a qualquer nmero real. O valor, digamos, a = 1, conduz soluo particular x = 1, y = 4, z ~ l ou (1, 4, 1).

Resolva o sistema x- 3y + 4z - 2w 2y + Sz + w

s 2.

y- 3z = 4. O sistema no est na forma escalonada, pois, por exemplo, y aparece como

a primeira incgnita em ambas as segunda e terceira equaes. Entretanto, se reescrevermos o sistema de modo que w seja a segunda incgnita, ento obtemos

o seguinte sistema, que est na forma escalonada x - 2w - 3y + 4z = 5

w+2y+Sz=2 y- 3z = 4

Agora, se a 4-upla (a, b, c, d) dada como uma soluo, no claro se b de-veria ser substitudo por w ou por y; portanto, por razes tericas, consideramos os dois sistemas como distintos. Claro que isso no nos probe de usar o nvo sistema para obter a soluo do sistema original.

Seja z = a. Substituindo na terceira equao, encontramos y = 4 + 3a. Substituindo na segunda equao, obtemos w + 2(4 + 3a) + Sa = 2 ou w = = -6 - 11a. Substih.1indo na primeira equao,

x- 2(-6- 11a) - 3(4 + 3a) + 4a "" 5 tJU x = 5 - 17 a Assim, a soluo geral do sistema original

x = 5 - 17 a, y = 4 + 3a, i "= a, w = -6 - 11 a, onde a qualquer nmero real.

2.6. Determine os valres de a, de modo que o seguinte sistema nas incgnitas x, y e z tenha (i) nenhuma solu~, (ii) mais de uma so-luo, (iii) uma nica soluo

X+ y Z = 1 2x + 3y + az 3 ' + ay + 3z 2


Reduza o sistema forma escalonada. Elimine x das segunda e terceira equai;es pelas operaes L2 --> -2L1 + L2 e La - -Lt + L3

-2Lt: -2x - 2y + 2z = -2 L2: 2x + 3y + az = 3

-L1: -x -

La: x + y + z = -1

ay + 3z = 2 y +(a+ 2)z = (a - l)y + 4z = 1

Assim, o sistema equivalente

x+ y- z=

y +(a+ 2)z = 1 (a- l)y + 4z = 1

Agora, elimine y da terceira equao pela operao La -7- (a- l)L2 +La -(a- l)L2: -(a- l)y + (2 - a - a 2)z = 1 - a

La: (a-1)y+ 4z=1

para obter o sistema equivalente

x+y-

Y+

(6 - a - a 2)z = 2 - a ou (3 + a) (2 - a)z = 2 - a

z = 1 (a+ 2)z = 1

(3 + a) (2 - a)z :"" 2 - a que tem soluo nica se o coeficiente de z na terceira equao no zero, isto , $C a ;;:: 2 e a ~ -3. No caso de a = 2, a terceira equao 0 = 0 e o sistema tem mais de uma soluo. N~ ca$0 de a - -3, a terceira equao O = S e o sistema no tem soluo.

Resumindo, temos (i) a = -3, (ii) a = 2, (iii) a 'i"' 2 e a 'i"' -3.

2.7. Que condies devem ser impostas a a, b e c para que o sistema seguinte nas incgnitas x, y e z tenha -soluo?

x + 2y 3z =a 2x + 6y llz = b

x - 2y + 7z =c Reduza forma escalonada. Eliminando x das segunda e terceira equa~s

pelas operaes L2 :..._.- -2Lt + L2 e La -->-LI +La, obtemos o .sistema equi valente

x + 2y- 3z =a 2y - Sz - b- 2a

4y + 10z =c- a Eliminando y da terceira equao pela operao L 3 -7 2L2 + L 3, '.finalmente obtemos o sistema equivalente

x + 2y- 3z =a 2y- Sz = b- 2a

O= c+ 2b- Sa


O sistema no ter soluo se aterceira equao fr da forma O = k, com k ;; O; isto , se

c + 2b - Sa ;; O. Assim, o sistema ter, ao menos, uma soluo se

c + 2b - Sa = O ou Sa = 2b + c Note, nesse caw, que o sistema ter mais de uma soluo. Em outras palavras,. o sistema no pode ter soluo nica.

SISTEMAS HOMOGNEOS DE EQUAES LINEARES 2.8. Determine se cada sistema tem soluo no-nula

X 2y + 3z - 2w =O x + 2y - 3z =O 3x 7y - 2z + 4w =.O 2x + Sy + 2z = O 4x + 3y + Sz + 2w = O 3x - y - 4z = O

(i) (ii)

X+ 2y Z = 0

2x + Sy + 2z =O x + 4y + 7z =O

x + 3y + 3z =lO (i i i)

(i) O sistema deve ter soluo no-nula, porque h mais incgnitas do que equaes.

(ii) Reduza ftma escalonada x + 2y- 3z =O x+ 2y- 3z =O

2x + Sy + 2z '""O 3x - y ~ 4z =O

para y + 8z = O para -7y + Sz =O

x + 2y- 3z =O y+8z.=0

61z =O Na forma esc~lonada, h exatamente trs equaes em trs ,incgnitas; assim, .o sistema tem soluo nica, a soluo zero.

(iii) Reduza forma escalonada X+ 2y.- z = 0

2x + Sy + 2z =O x + 4y + 7z =O x + 3y + 3z =O

X+ 2y - Z '"'0 y + 4z =O

2y + 8z =O y + 4z =O

X+ 2y- 2 = 0 y + 4z =O

Na forma escalonada, h somente duas equaes em trs incgnitas; assim, o sistema tem uma soluo no-nula.

2.9. Diz-se que os vetores uit ... , um em, digamos, Rn so linearmente dependentes, ou, simplesmente, dependentes, se existem' escalares

~11 , km nem todos zero, tais que k 1u 1 + ... + kmu;,. = O. Caso contrrio, diz-se que les so independentes. Determine se os vetores u, v e W' so dependentes ou independentes, onde (i) u= (1, 1, .::.1), v= (2, -3, 1) w = (8, -7, 1) (ii) 1t = (1, -2, -3), v= (2, 3, -1), w = (3; 2, 1) (iii) u = (a1, a 2), v = ~bltb2), w = (c1 , c2)

CAP .. 2] EQUAES LINEARES 33

2.10.

Em cada caso

(a) seja xu + yv + zw = O, onde x, y e z so incgnitas escalares; (b) encontre o sistema de equaes homogneo equivalente; (c) determine se o sistema tem soluo no-nula. Se o sistema tem, ento os

vetores so dependentes; se o sistema no tem. ento les so independentes.

(i) Seja xu + yv + zw. = O

ou

ou

x(l, 1, -1) + y(2, -3, I)+ z(8, -7, 1) = (O, O, 0) (x, ~-. -x) + (2y, -3y, y) + (8z, -7z, z) = (0, O, O)

(x + 2y + 8z, x- 3y- 7z, -x + y + z) = (O, O, O) Faa as componentes correspondentes iguais entre si e reduza o sistema forma escalonada

X + 2y + 8z = 0 X + 2y + 8z = 0 X + 2y + 8z = 0 X + 2y + 8z = 0 x- 3y - 7z =O

-X+ y + Z = 0 -Sy - !Sz =O

3y + 9z =O y + 3z =O y + 3z =O

y+3z=O

:\la forma escalonada, h duas equaes em ti-s incgnitas; assim, o sistema tem soluo no-nula. De arrdo com isso, os vetores so dependentes.

Observao. No necessitamos resolver o sistema para determinar dependncia ou independncia; smente precisamos saber se existe soluo no-nula

(i i) x(l, -2, -3) + y(2, 3, -1) + z(3, 2, 1) = (0, O, O) (.,., -2.-.;, -3x) + (2y, 3y, -y) + (3z, 2z, z) = (O, O, O)

(>: + 2y + 3z, -2.\ + 3y + 2z, -3x - y + z) == (0, O, O) ". + 2y + 3z =O

-h+ 3y + 2z =O -3x- y + z =O

x + 2y + 3z =O 7y + 8z =O Sy + 10z =O

". + 2y + 3z = O 7y + 8z =O

30z = O

Na forma escalonada, h exatamente trs equaes em trs incgnitas; assim, o- sistema tem smente a soluo zero. De acrdo com isso, os veto-res so independentes

a1X + b1Y + CtZ = 0

O sistema tem soluo no-nula pelo teorema 2.3, isto , porque h mais icgnitas do que equaes; portanto, .os vetores so dependentes. Em outras palavras, ns provamos que quaisquer trs vetores no R2 so depen-dentes.

Suponha. que, num sistema homogneo de equaes coeficientes _de uma das incgnitas so todos zero. o sistema tein soluo no-nula.

lineares, os Mostre que


Suponha que XI, .. , x, so as incgnitas do sistema e Xj ~ incgnita cujos coeficientes so todos zero. Ento, cada equao do sistema da forma

atX! + ... + aj-!Xj-1 + Oxi + ai+!Xi+t + ... + a,x, = O Ento, por exemplo, (0, ... , O, 1, O, ... , 0), onde l a j-sima componente, uma soluo no-nula de cada equao e, portanto, do sistema.

PROBLEMAS DIVERSOS

2.11. Demonstre o teorema 2.1. Suponha que u uma soluo particular do sistema homogneo (*) e suponha que W a soluo geral do sistema homogneo associado (**). Ento, u + W = I u + w : w E W} a soluo geral do sistema no homogneo (*).

Anote por V a soluo geral do sistema no homogneo (*). Suponha que u E V e que u = (ut, ... , u,). Como u . uma soluo de (*), temos para i= 1,. _ ., m,

Agora, suponha que w e., W e que w = (wt, ... , w,). Como w uma soluo do sistema homogneo (**), temos para i= 1, ... , m;

a;tWt + a;2w2 + Por isso, para i= 1, ... , m,

a;t(UJ + Wt) + adu2 + w2) + ... + a;,(u, + w,) ~ = a;tU! + a;JW! + a; 2u 2 + a;2w 2 + + a;,u, + a;.,w,. ~ (ai!U! + a;2u 2 + ... + a;,u,.) + (a;tW! + a;2w2 + ... + a;,w,) = b; +o= b;

Isto . u + w uma soluo de (*). Assim, u + w E V e, portanto, u+ wc V

Agora, suponha que v ~ (v1, ... , v,) um elemento arbitrrio de v, isto , soluo de ( *). Ento, para i = 1, ... , m,

aiJVJ + a;2v2 + . . . + a;nVn = b; Observe que v = u + (v- u). Dizemos que v- u 7 W. Para i ~ 1, ... , m,

i!'t- ut) + a;2(v~- u~) + + n;11 (!111 - u,) ~ (ai!VJ + a;2v2 + ... + a;,v,)- (ai!Ut + a;2u2 + ... + a;,u,) = b;- b; =o

Assim, v- u soluo do sistema homogneo (*), isto , v- u


Umaltal equao chamada combinao linear das equaes .em (*). Mostre que qualquer soluo de (*) tambm uma soluo da com-

bina~o linear (1). ,.>

Suponha que u = (kt, ... , kn) uma soluo de (*). Ento, + a;nkn = b;, i = t-, ... , m (2)

Para mostrar que u uma soluo de (1), precisamos verificar a equao (c1au + ... + C,.a,.1)k1 + ... + (c1a1n + ... + Cmamn)kn = qb1 + ... + Cmbm Mas isso pode ser. redistribudo assim:

C!(aukl + ... +(a~nkn) + ... + c,.(a,.! + .. - + amnkn) = Ctbl + ... + Cmbm ou, por (2) _ !c1b1+.:. + cmb,;;+-ci:l11-=t-~ .. ~-+ c,.b;;., o que , evidentemente, uma assertiva verdadeira.

2.13. No sistema (*) de equaes lineares, suponha a 11 ~ O. Seja (#) o sistema obtido de (*) pela operao L1 ~ ~a11L1 +a 11L., i~ L Mostre que (*)e(#) so sistemas equivalentes, isto , tm o mesmo conjunto soluo.

Em vista da operao acima em (*), cada equao em (#) uma combi-nao linear de equaes- .em (*); portanto, pelo problema anterior, qualquer soluo de (*) tambm s 1/au(-anLl +L;) (#), obte mos o sistema original_(*). Isto , cada equao em (*) uma combinao linear de equaes em (#); portanto, cada soluo de (#) tambm solt.to de ('").

Ambas as condies mostram que (*) e (#) tm o mesmo conjunto soluo.

2.14. Demonstre o teorema 2.2. Considere um sistema na forma esca-lonada

a11X1 + a12X2 + aiaXa + . + alnxn = bt 11.2hxh + a 2 ,12 + 1xh + t +. + a2,.x,. = bz

onde 1 < j 2 < , . . < jr e onde a11 ~ O, az,2 ~ O, ... , arJr ~ O. A soluo a seguinte. H dois casos

(i) r= n. Ento, o sistema tem soluo nica. (ii) r < n. Ento, pod~mos atribuir valres arbitrrios s n- r variveis livres e obter uma soluo do sistema.

A demonstrao por induo no nmero r de equaes do sistema. Se r = 1, temos a equao linear nica

a1X1 + a2x2 + aaX3 + ... + GnXn = b, onde a1 ~ O.


As variveis livres so x2, ... , x,. Vamos atribuir valres arbitrrios s vari-veis livres; digamos, x2 = k 2, xa = k 3, ... , . . Xn = kn. Substituindo na equao e resolvendo para Xt,

f:sses valres constituem uma soluo da equao; porque, substituindo, obtemos

que uma assertiva verdadeira.

Alm disso, se r = n = 1, ento temos ax = b, onde a~ O. Note que x = b/a soluo, pois a (b/a) = b verdadeira. Alm do mais, se x = k so-luo, isto , ak = b, ento k = b/a. Assim, a equao tem soluo nica, como foi dito. Agora, suponha que r > 1 e que o teorema verdadeiro para um sistema de r- 1 equaes. Vemos as r- 1 equaes

como um sistema nas incgnitas Xj2, ... , Xn. Note que o sistema est na forma escalonada: Por induo, podemos atribuir arbitrriamente valres s (n-h+1)-- (r- 1) variveis livres no sistema reduzido, para obter uma soluo. (digamos, Xj2 = kj2, .. , Xn = k,.). Como no caso r =: 1, sses valres e valres arbitrrios para as j2- 2 variveis livres adicionais (digamos, X2 = k2, ... , Xj 2 - l= kj 2 - 1), produzem uma soluo da primeira equao com

(Note que h (n- jz + 1)- (r- 1) + (j2- 2) = n- r varmveis livres.) Alm disso, sses valres para x 1, ... , x, tambm stisfazem as outras equaes, pois, nessas equaes, os coeficientes de Xt, ... , x;2-1 so zero.

Agora, se r = n, ento h = 2. Assim, por induo, obtemos uma soluo .nica do subsistema e, ento; uma soluo nica do sistema todo. De acrdo com isso, o teorema est provado.

2.15. Um sistema (*) de equaes lineares definido como sendo consis-tente se nenhuma combinao linear de suas equaes a equao

Ox1 + Ox2 + , .. + Oxn = b. onde b ~ O (1) Mostre que o sistema (*) consistente se, e smente se, le redu-dvel forma escalonada.

Suponha que (*) redutvel forma escalonada. Ento, le tem uma so-luo que, pelo problema 2.12, uma soluo de cada combinao linear de suas equaes. Como (1) no tem soluo, no pode ser uma combinao linear das equaes. em (*). Isto , (*) consist~nte.

i

I -~


Por outro lado, suponha que (*) no redutvel forma e5calonada. Ento, no processo de reduo, deve aparecer uma equao da forma (1). Isto , (1) uma combinao linear das equaes em (*). De acrdo com isso, (*) no consis-tente, isto , (*) inconsistente.

Problemas Propostos SOLUO DE EQUAES LINEARES

2x + 4y = 10 2.16. Resolva

(0) 2x + 3y =1 \ (i) (i i)

S 4x _ 2y = 5 ~ (iii) -'- 5~. + 7y = 3 3x + 6y = 15 -x + 3y = 1

2.17. Resolva r---.. 2x + y - 3z = 5 ! (i)/ 3x - 2y + 2z = 5 - 5x - 31' - z = 16

~ 2x + 3y - 2z = 5 :. (ii) \ x - 2y + 3z = 2

~_} 4x - y + 4z = 1 x + 2y + 3z = 3

(iii) 2x + 3y + 8z =; 4 3x + 2y + 17z = 1

2.18. Resolva

2.19.

2x + 3y = 3 /'\ x + 2y - 3z + 2w = 2 -r---. x + 2y - z + 3w = 3 (i) x - Zy = 5 \~ii)) 2x + Sy - 8z + 6w = 5 ,: (iii) ! 2x + 4y + 4z + 3w = 9

3x + 2y = 7 - 3x + 4y- Sz + Zw = 4 3x + 6y - z + Sw = 10

Resolva .. ~ x + 2y + 2z = 2 r (i)) 3x - 2y - z = 5 ',_ 2x - 5y + 3z = --4

x + 4y + 6z = O

Q x + 5y + 4z - 13w = 3 i (ii) 1 3x - y + 2z + 5w = 2 ; I '- ! 2x + 2y + 3z -. 4w = 1

2.20. Determine os valres de k tais que o sistema nas incgnitas x, y e z tenha: (i) soluo nica, (ii) nenhuma soluo, (iii) mais de uma soluo.

,. kx + y + z = 1 ('W) X + ky + Z = 1 --- x + y + kz = 1

(b) x + 2y + kz = 1

2x + ky + 8z = 3 2.21. Determine os valres de k tais que o sistema nas incgnitas x, y e z tenha

(i) soluo nica, (ii) nenhuma soluo, (iii) mais do que uma soluo.

2.22.

x+ y+kz=2 (a) 3x + 4y + 2z = k

2x + 3y- z = 1

x -3z = -3 f(t;)l 2x + ky - z = -2 l~J x + 2y + kz = 1

Determine a condio em a, b e c para que o sistema de incgnitas x, y e z tenha soluo

x + 2y- 3z =a (i) 3x - y + 2z = b

x- Sy + Bz =c

x- 2y + 4z =a (ii) 2x + 3y - z = b

3x + y + 2z =c

SISTEMAS HOMOGNEOS 2.23. Determine se cada sistema tem soluo no-nula

x + 3y- 2z =O (i) x - 8y + 8z = O

3x- 2y + 4z =O

x + 3y- 2z =O (ii) 2x - 3y + z = O

3x- 2y + 2z =O

x + 2y - 5z + 4w = O (iii) 2x - 3y + 2z + 3w = O

4x - 7y + z - 6w = 9


2.24. Determine se cada sistema tem soluo no-nula

x- 2y + 2z =O (i) 2x + y - 2z = O

3x + 4y- 6z =O 3x - lly + 12z = O

2x - 4y + 7z + 4v - Sw = O (ii) 9x + 3y + 2z - 1v + w = O

5x + 2y - 3z + v+ 3w =o 6x - Sy + 4z - 3v - 2w = O

2.25. Determine se os vetores u, v e w so dep!!ndentes ou independentes {veja pro-blema 2.9), onde

(i)" u = (I, 3, -1), v = (2, O, 1), w = {1, -1, 1) (ii) u = {1, 1, -1), v= (2, 1, 0), w = (-1, 1, 2) (iii) u = (1, -2, 3, 1), v = (3, 2, 1, -2),. w =; (1, 6, -5, -4)

PROBLEMAS DIVERSOS

2.26. Considere duas equaes lineares gerais em duas incgnits x e y sbre o corpo real R:-

Mostre que

a b

ax+by=e ex+ dy =f

(i) se ---;; -;;t d , isto , se ad - bc -;;t O, ento o sistema tem a soluo nica de- bf

X=-----, ad- bc

af- ce y=----ad- bc '

a b, e (ii) se - = - 7' - ento o sistema no tem soluo; c d f '

a b e (iii) ento o sistema tem mais de uma soluo. se--;=d=f, 2.21. Considere o sistema ax + by = 1

ex+ dy =O

Mostre que, se ad- bc -;;t ~; ento o sistema tem a soluo nica x = d/(ad- bc), y = -cf(ad- bc).

Mostre tambm que, se ad - bc = O, c -;;t O, ento o sistema no tem soluo.

2.28. Mostre que uma equao da forma Ox1 + Ox 2 + ... + Ox,. = O pode-ser acres-C'ntada ou removida de um sistema, sem afetar o conjunto soluo.

2.29. Considere um sistema de equaes lineares com o mesmo nmero de equaes e incgnitas

aux1 + a12x2 + a21x1 + a22x2 +

+ atnXn = b1 + a2nXn = b2

an1X1 + lln2X2 + ... + annXn .= bn

. (1)

(i) Suponha que o sistema homogneo associado tem somente a soluo zero . . Mostre que (1) tem soluo nka para cada escolha de constantes b;.


(ii) Suponha que o sistema homogneo associado tem soluo no-nula. Mostre que h constantes b; para as quais (1) no tem soluo. Mostre tambm que, se (1) tem uma soluo, ento tem mais de uma.

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS

2.16. (i) x = 2,_ y = -I; (i i) x = 5- 2a, y = a; (iii) sem soluo

\

x = -1 - 7z Z.17. (i) (1, -3, -2); (ii) sem soluo; (iii) (-1 - 7a, 2 + 2a, a) ou

y = 2 + 2z 2.18. {i) X = 3, y = -1

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

r X= -z + 2w (ii) (-a + 2b, 1 + 2a- 2b, a, b) ou {

l y = I+ 2z- 2w (l x = 7/2 - Sw/2 - 2y

(iii) (7/2- Sb/2- 2a, a, 1/2 + b/2, b) ou { z = 1/2 + w/2

(i) (a) (b) (a) (b) (i) (i) (i) (i)

(2, 1' -1); (ii) sem soluo (i) k ~I e k ~ -2; (i i) k = -2; (i i i) k = 1 (i) nunca tem uma nica soluo; (i i) k = 4; (iii) k~4 (i) k ~ 3; (i i) sempre tem uma soluo; (iii)- k=3 (i) k ~ 2 e k ~ -5; (ii) k = -5; (iii) k = 2 2a - b + c = O. (ii) Quaisque valres pra a, b, c produzem uma soluo sim; (ii) no; (iii) sim, pelo teorema 2.3. sim; (ii) sim, pelo teorema 2.3. dependente; (ii) independente: (iii) dependente_

Captulo 3

Matrizes INTRODUO

Trabalhando com um sistema de equaes lineares, smente os coe-ficientes e suas respectivas posies so importantes. Tambm, redu-zindo o sistema forma escalonada, essencial manter as equaes cuida-dosamente alinhadas. Assim, sses coeficientes pcidem ser dicientemente arrumados numa disposio retangular chamada "matriz". Alm do mais, certos objetos abstratos introduzidos em captulos posteriores, tais como "mudana de bases", "operador linear" e "forma bilinear", podem tambm ser representados por essas disposies retangulares, isto , ma-trizes.

Neste captulo, estudaremos essas matrizes e certas operaes alg-bricas nelas definidas. O material introduzido aqui principalmente com~ putacional. Entretanto, com equaes lineares o tratamento abstrato apresentado mais tarde nos dar nova perspectiva da estrutura dessas matrizes.

A menos que seja declarado, todos os "elementos" em nossas matrizes viro de algum corpo K, arbitrrio mas fixo. (Veja apndice R.) ~sses elementos de K so chamados escalares. Nada essencial perdido se o leitor supe que K o corp'o real R ou o corpo Oiiiplexo C.

Por ltim~. chamamos a aten'o qui" Os elementos de Rn ou cn so convenientemente representados por "vetores linha" ou "vetores coluna", que so casos especiais de-matrizes.

MATRIZES Seja K um corpo arbitrrio. Uma disposio retangular da forma

onde os a11 so escalares em K, chamada matriz sbre K, ou simplesmente matriz . se K implcito. A matriz acima tambm notada. por (a;1), i= 1, ... , m, j = 1, ... , n, ou simplesmente por (a11). As m n-uplas horizontais

40

CAP. 3] MATRIZES 41

so as linhas da matr;z, e a~ n m-uplas verticais

(au) (a12) (a1,.) a21 al2 a2,. ' ' ' . . . . . . aml am2 am ..

so suas colunas. Note que o elemento a11 , chamado elmento-ij ou compo-nente-ij, aparece na i-sima linha ej-sima coluna. A matriz com m linhas e n colunas chamada uma matriz m por n; o par de nmeros (m, n) chamado seu tamanho ou forma.

Exemplo 3.1. A seguinte matriz uma 2 X 3 (l -3 4) o 5 -2 Sua' linhas so (1, -3, 4) e (O, 5, -2); suas colunas so ( 1 ) , (-3 ) e. (_4 )

o I , 5, \ 2 I

As matrizes sero usualmente anotadas por letras maisculas A, B, . .. , e os elementos do corpo K por letras minsculas a, b,.. . Duas matrizes A e B so iguais, escrito A ~ B, se elas tm a mesma forma e se os ele-mentos correspondentes so iguais. Assim, a igual'dade de duas matrizes m X n equivalente a um sistema de mn igualdades, uma para cada par de elementos.

Exemplo 3.2. A assertiva (x + Y 2z + w) x-y z-w

sistenia de equaes x+y=3 X - y = 1

2z + w ~ 5 z- w = 4

A soluo do sistema x = 2, y = I, z = 3, w = -L

3 5 4

equivalente a0 seguinte

Observao. Uma matriz com uma linha tambm anotada como um vetor linha, e com uma coluna como um vetor coluna. Em particular, um elemento no corpo K pode ser considerado como uma matriz 1 X 1.

ADIp DE MATRIZES E MULTIPLICAO POR ESCALAR Sejam A e B duas matrizes com o mesmo tamanho,. 'isto , o mesmo

nmero de linhas e colunas, digamos, matrizes m X n

A

42 MATRIZES [CAP. 3

A soma de A e B, escrita A + B, a matriz obtida adicionando os trmos correspondentes

A+B (

au + bu a1~ + b12 a1n + b1n ) ~~~. ~ .b~~ . -~2~ -~- ~~2 _ _ ~~~ ~ .b.2~. aml + b,.l am2 + bm2 amn + bmn

O produto de um escalar k pela matriz A, escrito k .A ou simplesmente k A, a matriz obtida multiplicando cada eleme~to de A por k

kA = ( :::: :::: . :::: )

kaml kam2 : . ka,.n

Observe queA + B e kA so tambm matrizes m X n. Tambm definimos -A = -1 . A e A -B =A+ (-B)

I\ soma d

CAP. 3] MATRIZES 43

Teorema 3.1. Seja V o conjunto de tdas as matrizes m X n sbre um corpo K. Ento, para quaisquer matrizes A, B, C E V e quaisquer esca-lares k~o k2 , E K (i) tA + B) + C = A + (B + C) (ii) A +O= A (iii) A +(-A) = O (iv) A + B = B + A

(v) kt(A + B) = ktA + k 1B. (vi) (kt + k2)A = ktA + k 2A (vii) (k1k2)A = k 1(k2A) (viii) 1 A = A e OA = O

Usando (vi) e (viii) acima, tambm temos que A + A = 2A, A+ A+ A= 3A, ... .

Observao. Suponha que os vetores no Rn so representados P.Or vetores linha (ou por vetores coluna); digamos,

u = (ali a2, ... ' an) e v = (bl, b2, ... ' bn) Ento, ~lhados como matrizes, a soma u +v e o produto por escalar .ku so, como segue,

u + v = (al + b1, a2 + b2, ... ' an + bn) e ku = (ka~o ka 2 , . , kan)

Mas isso corresponde precisamente soma e produto por escalar, como definimos no captulo 1. Em outras palavras, as operaes 'com matrizes acima podem ser consideradas uma generalizao das operaes corres-pondentes, definidas no captulo 1.

MULTIPLICAO DE MATRIZES O produto de matrizes A e 13, escrito AB, algo mais complicado.

Por essa razo, inclumos as seguintes observaes introdutrias. (i) Sejam A = (ai) e B = (b1) pertencentes Rn, A representado por um vetor linha e B por um vetor coluna. Ento, seu produto interno A . B pode ser encontrado combinando as matrizes como segue

. ,.;

De acrdo com.-isso, defnimos a matriz produto de um vetor linha A por um vetor coluna B como acima. (ii) Considere as equaes

bux1 + b1~2 + b13Xa = Y1 b21x 1 + b22X2 + b23Xa = Y2

(1)

44 MATRIZES [CAP. 3

sse sistema equivalente equao matricial

(bu b~l ou simplesmente BX = Y,

. onde B = (b11), X (x;) e Y = (y1), se combinamos a matriz E e o vetor coluna X como segue

onde ~E 1 e Ez so as linhas de. E. Note que o por: um vetor coluna produz outro vetor cojuna.

produto de uma matriz

- . (iii) Agora, considere as equaes a11Y1 + a12Y2 = z1 a21Y1 + a22Y2 = Zz

que podemos representar, como acima, pela equao matricial

(::: :::) (~:) (::)ou simplesmente A Y = Z,

(2)

onde A = (a1), Y = (y;) como acima, e Z = (z;). Substituindo os valres de y 1 e Y2 de (1) nas equaes de (2), obtemos

au(bux2 + bnxz + b1aXa) + a12(bnx1 + bnX'i + b23x3) = Z1 a21(buX1 + b12X2 + bl3xa) + a22(bnX1 + b2zX2 + b2aXa) = Z2

ou, reagiu pandq. os trmos,

(aub 11 + a12b21)x1 + (anb!2 + a 12b22)xz + (aubl3 + al2bza)Xa = Z1 (a21f?n + a22b21)x1 + (anbl2 + a22b22)x2 + (anbl3 + a22b2a)xa = Z2

(3)

Por ~utro lado, usando a equao matricial BX = Y e substituindo Y em A Y = Z, obtemos a expresso

A.BX = Z Isso representar o sistema (3) se definimos o produto de A e B como segue

AE = (ilu a12) (bu b12 b1a) an a22 b21 b22 b2a

~ aubu + a 12b21 a 11b12 + a 12b22 ' a21bu + a22bn anb12 + a22b22 A 1 . B 1 A 1 . B 2 A 1 . E 3) A 2 E 1 A 2 E 2 A 2 . E 3 , onde A 1 e A 2 so as linhas de A e B 1, B 2 e E 3 so as colunas de E. Acen-tuamos que se sses clculos 'so feitos em geral, ento o principal requi-sito que o nmer> de y, em (1) e (2) deva ser o mesmo. Isso, ento,

CAP. 3] MATRIZES 45

corresponder ao fato de que o nmero de colunas da matriz A seja igual ao nmero de linhas da matriz B.

Com a introduo acima, agora definimos formalmente multiplicao de matrizes.

Definio. Suponha que .l = (p.tJ) e B = (bu) so matrizes tais que o nmero de colunas de A igual ao nmero de linhas de B; digamos, A uma matriz m X p e B uma matriz p X n. Ento, o produto A B a matriz m X n cujo elemento ij obtido multiplicando a i-sima linha A de A pela j-sima coluna B1 de B

(

A 1 . B 1 A 1 . B 2 A 1 Bn )

Isto ,

onde

A B = -:lz .. ~~ ... -.lz .. ~2 . ::: .... ~ ~ .. -~~ A,. . B 1 .1, . B 2 A, . Bn

p

C;; = anb 11 + a; 2b21 + ... + a 1vbvj = L a,-,b kJ k~l

Acentuamos que o produto AB no definido se A uma matriz m X p e B uma matriz q X n, onde P ~ q.

Exemplo 3.5.

Exemplo 3.6.

a 3 ) = ( ra1 + ,,b1 ra2 + sbz raa + sba ) b3 ta1 + uh laz + ubz la3 + ub3

( 1 . 1 + 2 . o l. 1 + 2 . 2) = ( 1 5) 3.1+4.0 3.1+4.2 311

( 1 1 1 2 ( 1 . 1 + 1 . 3 1 . 2 + 1 . 4' (4 6)

. O 2) ( 3 4) "' O . I + 2 . 3 O. 2 + 2 . 4) = 6 8 O exemplo acima mostra que a multiplicao de matrizes no comu-

tativa, isto , os produtos de matrizes AB e BA no so necessriamente iguais.

A multiplicao de matrizes, entretanto, satisfaz as seguintes proprie-dades~

Teorema 3.2. (i) (AB)C = A(BC), (lei associativa) (ii) A (B + C) = A B + A C, (lei distributiva esquerda) (iii) (B + C)A = BA + CA, (lei distributiva direita) (iv) k(AB) = (kA)B ~ A(kB), onde k um escalar

46 MATRIZES LCAP. 3

Supomos que as wmas e os produtos no teorema anterior so definidos; Observamos que OA = O e BO = O, ond~O a matriz nula.

TRANSPOSTA

A transposta de uma matriz A, escrita A 1, a matriz obtida escre-vendo as linhas de A, ordenadamente, como colunas

("" a., . . . "'")' c an

") ~~~ ~~~ ~2~ = a12 a22 am2 aml am2 Umn aln a2n amn

Observe que, se A uma matriz mx n, ento A' uma matriz n X m.

Exemplo 3.7.

A operao transposio de matrizes satisfaz as seguintes proprie-dades.

Teorema 3.3. (i) (A + B)' = A'+ B' (ii) (A')' = A (ii) (kA)' = kA', para h um escalar (iv) (ABY = B'A'

MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAES LINEARES o seguinte sistema de equaes lineares

auX1 + aux2 + .... + a 1nxn = bi a21x1 + a22X2 + ... + a2nXn + b2

equivalente equao matricial

(1)

(::; :~~ :J (::) (:J au ffimpl~enteAX ~ B, (2) onde A = (aiJ), X = (x1) e B = (b1). Isto , cada soluo do sistema (1) uma soluo da equao matricial (2) e vice-versa. Observe que o sis-tema homogneo associado a (1) ento equivalente equao matricial AX =O.

CAP. 3] MATRIZES 47

A matriz A chamada a matriz dos coeficientes do sistema (1), e a matriz

chamada matriz aumentada de (1). Observe que o sistema (1) comple-tan'iente determinado por sua matriz aumentad.

Exemplo 3.8. A matriz dos coeficientes e a matriz aumentada do sistema

2x + 3y- 4z = 7 x - 2y- Sz = 3

so as seguintes matrizes, respectivamente,

(2 3 -4) (2 1 -2 -5 e 1 3 -4 2 -5 Observe que o sistema equivalente equao matricial

( 2 3 ~4.) 1 -2 -5 G) = G) Ao estudar equaes lineares , em geral, mais simples usar a lingua-

gem e teoria de matrizes, como indicado pelos seguintes _teoremas.

Teorema 3.4. Suponha que u 11 u 2, .. _, un so solues de um sistema ho-mog~eo de equaes lineares AX = O. Ento, cada combinao linear dos ut da forma k 1u 1 + k 2u 2 + ... + knun, onde os k 1 so escalares, tambm uma soluo AX = O. Assim, em particular, cada mltiplo ku de qualquer soluo u de AX = O tambm soluo de AX = O. Demonstrao. Temos que Au1 = O, Au 2 = O, _ .. Au,. = O. Portanto,

_De acrdo com 1sso, k1u1 + AX =O.

k 1Au. 1 + h~A,~ + + knAttn k 10 + k20 + . , . + k,.O ~ O

+ knun soluo do sistema homogneo

Teorema 3.5. Suponha que o corpo K infinito (por exemplo, se K o corpo r>'ll R ou o corpo complexo C). Ento, o sistema AX = B no tem soluo ou, se tiver, tem soluo nica ou uma infinidade de soues. Demonstrao. suficiente mostrar que se AX = B tem mais do que uma soluo, ento tem uma infinidade. Suponha que u e v so solues distintas de AX = B; isto , Au = B e Av= B. Ento, para qualquer k E K,

A(u + k(u-v)) = Au + k(Au-Av) = B + k(B -E)= B

48 MATRIZES [CAP. 3

Em outras palavras, para cada k E K, u + k.(u.- v) soluo de AX = B. Como tdas essas solues so distintas (problema 3.31), AX = B tem uma infinidade de solues como foi assegurado.

MATRIZES ESCALONADAS Uma matriz A = (aii) uma matriz escalonada, ou diz-se que est

na forma escalonada, se o nmero de zeros precedendo o primeiro elemento no-nulo de uma linha aumenta linha por linha at que sobrem somente linhas nulas, isto , se existem elementos no-nulos

com a propriedade a11 = O para i :::;; r, j < j 1 , e para i > r

Chamamos a1h, ... , a,17 os elementos distinguidos da matriz escalonada A.

Exemplo 3.9. As seguintes so matrizes escalonadas onde os elementos distingui-dos foram circundados

( 4 -3 2 l) Em particular, uma matriz escalonada chamada matriz escalonada

redzida por linhas se os elementos distinguidos so (i) os nicos elementos no-nulos nas suas respectivas colunas. (ii) iguais a 1. A tercei.ra matriz apresentada um exemplo de matriz escalonada. re-duzida por linhas, as outras duas no so. Note que a matriz zero, O, para qualquer nmero de linhas ou. de colunas, tambm uma matriz escalonada reduzida por linhas.

EQUIVAL~NCIA POR LINHAS E OPERAES ELEMENTARES COM LINHAS Diz-se que uma matriz A equivalente por linhas a uma matriz B se

B pode ser obtida de A por uma seqncia finita das seguintes operaes chamadas operaes elementares com linhas; [E1] : Troca das i-sima e j-sima linhas entre si: R 1 RJ [E2] : Multiplicao da i-sima linha por um escalar k no--nulo

R; -7 kRI, k ~ o [,ea] : Substituio da i-sima 1linha por k vzes a j-sima linha mais a icsima linha R 1 .--+ kRJ + R 1

CAP. 3] MATRIZES 49

Na prtica aplicamos [E2J e depois [E3] ao mesmo tempo, isto , a operao [E] : Substituio da i-sima linha por k' vzes a j-sima linha mais k (no-nulo) vzes a i-sima linha R 1 --+ k'~ + kR 11 k ~O.

O leitor, sem dvida, reconhece a semelhana das operaes acima e aquelas usadas para resolver os problemas de equaes lineares. Na verdade, dois sistemas com matrizes aumentadas equivalentes por linhas tm o mesmo conjunto soluo (problema 3. 71). O seguinte algoritmo tambm semelhante ao usado com equaes lineares (pgina 23).

Algoritmo que reduz por linhas uma matriz forma escalonada. . . '

Passo 1. Suponha que a coluna j 1 a primeira coluna com um el~mento no-nulo. Troque as linhas entre si de tal modo que sse elemento no-nulo aparea na primeira linha, isto , tal que a 1h ~ O.

Passo 2. Pa.ra cada i > 1, aplique a operao

Repita os passos 1 e 2 com a submatriz formada por t8das as linhas,exclu-indo a primeira. Continue o processo at que a matriz esteja na forma escalonada.

Observao. O trmo reduzir Por linhas significar transformar por ope-raqes elementares com linhas.

Exemplo 3.10. A seguinte matriz A reduzida por linhas forma escalonada apli-cando as operaes R2 ---+ -2RI + R 2 e R 3 ---> -JR1 + R 3 , e depois a operao R3 -+ --+ -SRt + 4Ra

2 -3 4 -2 6 -4

Agora, supon.ha que A elementos distinguidos a 1h,

2 -3 2 -3 o 4 o 4 o 5 o o

(a11) uma matriz na forma escalonada com. . , a,i, Aplique as operaes

para i = 2, depois i = 3, . .. , i = r. Assim, A substituda por uma matriz escalonada cujos elementos distinguidos so os nicos elementos no-nulos nas suas respecti~as colunas. A seguir, multiplique R 1 por a~:. i ~ r. Assim, alm do ~~is,os elementos distinguidos so iguais a L Em outras palavras, o processo acima reduz por linhas uma matriz escalonada a uma na forma esc~Ionada reduzida por linhas.

50 MATRIZES [CAP. 3

Exemplo 3.11. Na seguinte matriz escalonada A, aplique a operao Rt---+ -4R2 + + 3Rt e depois as operaes Rt ---+ Ra + Rt e R 2 ---+ -5R3 + 2R2

.I- (: 3 -t 5 6) (' 9 o 7 -~) (: 9 o 7 ~ ) o 3 2 ~ para ~ o 3 2 :> para o 6 -l o o o o o o 2 o o o 2

A seguir, multiplique R1 por 1/6, Rz por 1/6 e R a por 1/2 para obter a matriz escalo-nada reduzida por linhas (: 3/2 o 7/6 ;) o I 2/3 o o o

As observaes anteriores mostram que qualquer matriz arbitrria A equivalente por linhas a ao menos uma matriz escalonada reduzida por linhas. No prximo captulo provaremos, teorema 4.8, que A equivalente, por linhas, a somente uma matriz dsse tipo; chamamo-la a forma can6nica por linhas de A.

MATRIZES QUADRADAS Uma matriz com o mesmo nmero de linhas que de colunas chamada

matriz quadrada. Diz-se que nma matriz quadrada com n linhas e n co-lunas de ordem n, e chamada matriz quadrada n X n. A diagonal (ou diagonal principal) da matriz quadrada, n X n, A = (a;1) consiste nos elementos a11 , a22 ... , ann

Exemplo 3.12. seguinte matriz quadrada 3 X 3

Seus elementos diagonais so 1, 5, 9.

Uma matriz triangular superior ou simplesmente uma matriz trian-gular uma matriz quadrada cujos elementos abaixo da diagonal princi-pal so todos nulos

( ~ll . ~:: .. . . ... ::~) ou ( au o o . . . ann Semelhantemente, uma matriz triangular inferior uma matriz quAdrada cujos elementos acima da diagonal principal so todos nulos.

Uma matriz diagonal uma matriz quadrada cujos elementos no diagonais so todos nulos

J

CAP. 3] MATRIZES 51

Em particular, a matriz quadrada n X n com l's na diagonal e O's no restante anotada I,., ou simplesmente I, chamada matriz unidade ou matriz identidq_d,e; por exemplo,

o 1 o

Essa matriz I semelhante ao escalar 1 no que tange a que, para qualquer matriz quadrada, n X n, A,

AI= IA =A

A matriz ki, para um escalar k E K; e chamada matriz escalar; uma ma-triz diagonal cujos elementos diagonais so iguais a k.

LGEBRA DAS MATRIZES QUADRADAS Lembre que no so duas quaisquer matrizes que podem ser somadas

ou multiplicadas. Entretanto, se considerarmos smente matrizes qua-drada~ de certa ordem n dada, ento sse inconveniente desaparece. Es-pecificamente as operaes de adio, multiplicao, multiplicao por escalar e transposio podem ser efetuadas em quaisquer matrizes n X n e o resultado ainda uma matriz n X n.

Em particular, se A qualquer matriz quadrada ~ X n, podemos formar potncias de A

A 2 =AA, A 3 =A 2A, ... , e A 0 =1

Podemos tambm formar polinmios na matriz A: para qualquer poli-nmio

f(x) = ao + a1x + a2x2 + ... + a,.xn, onde os a; so escalares, definimosf(A) como sendo a matriz

No caso em que f(A) a matriz nula, ento A chamada um zero ou raiz do polin3mio .f(x).

Exemplo 3.13. Seja A ,.

= ( 1 2 ) ento 3 -4 ' '

A2= c 2 ) 3 -4 c~) Se j(x) = 2x 2 - 3x + 5, ento,

(_~ -6) G _!) + 5 G /(A) = 2 -3 22 (_~ ;~).

n ( 16 -

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