Algebra TP - Cap 1 - Matrizes

ISEP – ALGAN – EMECAN 1

Conteúdo

1.1 Operações com matrizes

1.2 Matriz inversa

1.3 Equações envolvendo matrizes

1.4 Característica de uma matriz

1.5 Exercícios de conclusão do capítulo

Capítulo 1 - Matrizes


1.1 Operações com matrizes

Exercícios resolvidos

1. Seja [ ]1 2 3 2 = −A ,

1 31 22 11 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦

B e [ ]2 5 =C . Calcule:

1.1 3× +A B C ;

1.2 T T×B A .

Resolução:

1.1 Verificar se é possível efectuar o produto: :1 4×A , : 4 2×B . Logo o produto é possível e

:1 2× ×A B .

[ ]

1 31 2

1 2 3 2 2 11 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥× = − × =⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 1 2 1 3 2 2 1 1 3 2 2 3 1 2 1 9 0 ⎡ ⎤= × + − × + × − + × − × + − × + × + × − = −⎣ ⎦

[ ] [ ]3 3 2 5 6 15 = =C

Então [ ] [ ] [ ]3 9 0 6 15 3 15 × + = − + = −A B C .

1.2

1º método:

1 1 2 1

3 2 1 1TB

− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

e

1232

TA

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Como 42: ×TB , 14: ×TA tem-se ( ) 12: ×× TT AB

11 1 2 1 2 9

3 2 1 1 3 0

2

T TB A

⎡ ⎤⎢ ⎥− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥× = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦


2º método:

( ) [ ] 99 0

0T TT TB A A B

−⎡ ⎤× = × = − = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

Exercícios propostos

1. Seja 1 0 2 10 1 0 2

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

e

1 02 10 11 1

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

. Calcule, se possível:

1.1 A B+ 1.2 TA B+ 1.3 TB A+ 1.4 TA B+

1.5 ( )TTA 1.6 ( )TTA B+ 1.7 T TA B+ 1.8 ( )2 TA

1.9 2 TA B− 1.10 4A I× e 2I A× 1.11 B A× 1.12 A B×

1.13 ( )TA B× 1.14 T TA B× 1.15 T TB A× 1.16 2I A B− ×

1.17 A A B− × 1.18 2A 1.19 ( )3T TB A× 1.20 ( )205I

1.21 Que conclusões pode tirar dos problemas anteriores?

2. Seja 2 1 1

0 1 3

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦,

3 11 1 0 2

B⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

e 3 12 1

C−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

2.1 Determine a matriz 22 3M A B C I= × − + .

2.2 Determine a matriz X que verifica 2X C I× = .


Exercícios suplementares

1. Seja 1 2 1 30 1 1 3

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, 0 1 2 11 1 0 0

B−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

e 2 11 1

C⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦.

1.1 Calcule TB A× ;

1.2 Determine ( )13

TX A B C= × − .

2. Sendo A e B duas matrizes quadradas da mesma ordem, em que condições se verifica a

igualdade ( ) 222 2 BABABA ++=+ ?

Soluções:

1.1 Não é possível. 1.2 2 2 2 00 2 1 3⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

1.3 2 2 2 00 2 1 3⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

1.4

2 02 22 10 3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

1.5 A 1.6 2 2 2 00 2 1 3⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

1.7 Não é possível. 1.8

2 00 24 02 4

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

1.9 1 4 2 3

0 1 2 0− − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

1.10 A 1.11

1 0 2 12 1 4 00 1 0 21 1 2 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

1.12 0 34 3

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

1.13 0 43 3

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

1.14

1 2 0 10 1 1 12 4 0 21 0 2 1

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

1.15 0 43 3

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

1.16 1 34 2

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎣ ⎦

1.17 Não é possível. 1.18 Não é possível. 1.19 36 129 45− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

1.20 5I

2.1 4 5

5 4

M⎡ ⎤

= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 2.2

1 5 1 52 5 3 5

X⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦


3. Sejam U e V duas matrizes de ordem n simétricas. Prove que UV é simétrica se U e V

são permutáveis e vice-versa.

Soluções:

1.1 3 0

3 1−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

1.2 3 01 4 3

X−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

2. Se A e B forem permutáveis.


1.2 Matriz inversa


1. Calcule a matriz inversa da matriz 3 6

1 4

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, recorrendo à definição de inversa de uma

matriz.

Resolução:

Definição: IAA =× −1 .

3 6 1 2 33 6 1 0 3 6 3 6 1 0 3 6 0 1

1 4 0 1 4 4 0 1 4 0 1 6

4 1 1 2

a c aa b a c b d b d bc d a c b d a c c

b d d

+ = =⎧ ⎧⎪ ⎪+ + + = = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪× = ⇔ = ⇔ ⇔⎨ ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + = = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ = =⎩ ⎩

Logo 13 6 2 3 1

1 4 1 6 1 2

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

2. Calcule a inversa da matriz B , sendo 0 0 22 1 1 1 1 1

B⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Resolução:

Só se pode operar com linhas.

23 1 2 2 1

0 0 2 1 0 0 1 1 1 0 0 12 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0L L L L L↔ ← −

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼

1 321 1 2 3

1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0L L L L L← + ←

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼ ∼

2 2 3

1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 2 0 1 0 1 2 1 2 0 0 1 1 2 0 0 0 0 1 1 2 0 0L L L← +

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼

Então, 10 1 1

1 2 1 2 1 2 0 0

B−

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



1. Seja 1 2

3 2

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ e

2 11 1

B−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦. Determine a matriz X tal que 14 −×=× AXB .

2. Determine a matriz inversa das seguintes matrizes:

2.1 1 2 02 4 1 2 3 1

A⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2.2 1 1 11 1 0 2 1 2

B−⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2.3 2 1 121 0 3 3 1 4

C⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

2.4 0 1 11 1 1 1 0 1

D⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2.5 2 1 10 2 1 3 0 1

E⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3. Seja 4A I= e 42B I= . Calcule 1A− e 1B− .


1. Considere a matriz

2 1 1 13 2 0 11 1 3 2

0 1 2 1

A

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Soluções:

1. 5 3

8 4

X−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

2.1 17 2 24 1 1 2 1 0

A−

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2.2 12 3 1 1 32 3 0 1 3

1 1 0B−

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2.3 13 16 35 28 6 1 5 1

C−

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

2.4 11 1 20 1 1 1 1 1

D−

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

2.5 12 1 3

1 3 1 2 5

6 3 4E−

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

3. 14A I− = e 1

412

B I− = .


1.1 Mostre que 1

1 1 3 22 2 21 3 7 52 2 2

0 1 3 51 1 5 42 2 2

A−

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

é a matriz inversa da matriz A .

1.2 Obtenha a matriz 1A− pelo método da condensação de matrizes.


1.3 Equações envolvendo matrizes


1. Seja 1 1

3 2

A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

1.1 Calcule 2A .

1.2 Resolva em ordem a X , matriz regular, a seguinte equação matricial:

( ) 12 1TA A X A− −= .

Resolução:

1.1 2 1 1 1 1 4 3 3 2 3 2 9 7

A A A⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= × = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

1.2 Como existe 1A− verifica-se que A é regular e então 2A e TA são também regulares e,

logo existe ( ) 12A−

e ( ) 1TA−

.

( ) 12 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2T T T TA A X A A X A A A X A A A A A X I A A− − − − − − − − − −= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 1 1T T T T T TA X A A A X A A IX A A X A A− − − −− − − −⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

( )11 1

T TX A A X A A−− −⎡ ⎤⇔ = ⇔ =⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Calculando 1−A , obtém-se 1 2 13 1

A− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Fica então: 2 1 1 3 1 4

3 1 1 2 2 7

X− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦.


1. Resolva em ordem a X as seguintes equações matriciais, supondo que todas as operações

são válidas e que as matrizes envolvidas são regulares:

1.1 ( ) ( ) 1 1T

TA X AB A− −⎡ ⎤ + =⎢ ⎥⎣ ⎦

;

1.2 2 14 2B BX O−+ = ;


1.3 BAAX T =− ;

1.4 ( )TTXAB B CX I+ = , sendo X uma matriz simétrica;

1.5 ( ) IBBAX TT =−− .


1. Resolva em ordem a X as seguintes equações matriciais, supondo que todas as operações

são válidas e que as matrizes envolvidas são regulares:

1.1 ( ) 1TXA B BA I−+ = ;

1.2 ( )( ) 11 TF D XE F−− = ;

1.3 ( ) ( ) ( )1 11 1 TT T TA X X A X A I− −− −− + = .

2. Mostre que sendo A e B matrizes regulares tais que CAB = então ICBA =−− 11 .

Soluções:

1.1 ( ) ( )2 1T TX A B−= −

1.2 112

X B−= −

1.3 ( )1 T TX I A B−= +

1.4 ( ) 11 TX B A C−−= +

1.5 ( )1 T TX B A B−= + +

Soluções:

1.1 ( ) 1 1TX A AB B A− −= −

1.2 ( ) 1TX ED−

=

1.3 ( ) 1TX A−

=


1.4 Característica de uma matriz


1. Calcule a característica da matriz A , sendo

1 2 0 32 3 1 21 1 1 01 0 2 1

A

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Resolução:

Para o cálculo da característica de uma matriz pelo método da condensação, anulam-se todos

os elementos que estão acima ou abaixo da diagonal.

22

2 2 1 3 3 23 3 1 4 4 24 4 1

1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 32 3 1 2 0 1 1 4 0 1 1 4

1 1 1 0 0 1 1 3 0 0 0 11 0 2 1 0 2 2 2 0 0 0 6L L L L L LL L L L L LL L L

← − ← −← − ← −← −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼ ∼

Sempre que aparecer um zero na diagonal, deve tirar-se. Desta forma:

63 4 4 4 3

1 2 0 3 1 2 3 0 1 2 3 00 1 1 4 0 1 4 1 0 1 4 1

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 6 0 0 6 0 0 0 0 0C C L L L↔ ← −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼ ∼

A maior sub-matriz triangular, sem zeros na diagonal, é a matriz de 3ª ordem 1 2 30 1 4 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Logo ( ) 3car A = , que é a ordem da sub-matriz.

2. Sendo 11 1 1 1 1

a bM

b

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, calcule a e ℜ∈b de modo que ( ) 2car M = .

Resolução:

2 2 11 2 2 33 3 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1L L LL L C CL L L

a ba b a b b a

b b b b← −↔ ↔← −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼ ∼

Para que ( ) 2car M = temos de fazer 1 0 1 0 1 1b a b a− = ∧ − ≠ ⇔ = ∧ ≠



1. Calcule a característica das seguintes matrizes:

1.1 1 3 1 32 8 3 4 3 3 8 16

A⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1.2

3 2 1 42 2 1 2 5 4 2 6

B⎡ ⎤⎢ ⎥= − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1.3 2 1 3 34 3 8 4 6 18 3 16

C⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1.4

2 3 15 6 3

3 3 21 0 1

D

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

1.5

2 1 3 4 3 21 2 0 5 2 11 0 3 2 1 11 3 3 5 3 1

E

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

1.6

1 0 22 1 1

1 2 01 1 0

F

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

2. Sem efectuar cálculos, diga qual a característica das seguintes matrizes:

2.1 5A I= 2.2 1 1 12 2 23 3 3

B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2.3 1 1 02 1 07 3 0

C⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2.4 1 1 11 2 11 2 1

D⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3. Determine k∈ de modo que a característica da matriz seja menor do que 4:

1 2 1 50 3 5 22 2 23 0 2 1

Ak

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Soluções:

1.1 ( ) 3car A = 1.2 ( ) 2car B = 1.3 ( ) 3car C =

1.4 ( ) 2car D = 1.5 ( ) 3car E = 1.6 ( ) 3car F =

2.1 ( ) 5car A = 2.2 ( ) 1car B = 2.3 ( ) 2car C = 2.4 ( ) 2car D =

3. 1k =



1. Calcule a característica das seguintes matrizes:

1.1 nA I= 1.2

2 2 1 1 11 2 1 1 24 10 5 5 72 14 7 7 11

B

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

1.3 1 1 02 2 03 3 0

C⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1.4 4 1 12 1 00 0 1

D⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

2. Considere a matriz 1 3 31 1 41 3 2

A ab

⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

, ,a b∈ . Determine os valores de a e de b , de

modo que:

2.1 ( ) 1car A = ;

2.2 ( ) 2car A = .

Soluções:

1.1 ( )car A n= 1.2 ( ) 2car B = 1.3 ( ) 1car C = 1.4 ( ) 3car D =

2.1 2 1a b= ∧ = 2.2 2 1a b≠ ∧ =


1.5 Exercícios de conclusão do capítulo

1. Considere as matrizes 11 0 0

( ) 2 1 33 1 1

TA −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

e 2 1 01 0 1

1 1 0B

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

1.1 Dada a seguinte equação matricial DYC I= , sabendo que matriz D tem quatro linhas

e três colunas e a matriz C tem cinco linhas, diga justificando, qual o tipo da matriz Y e o

número de colunas da matriz C.

1.2 Determine a matriz A , usando condensação.

1.3 Resolva a seguinte equação matricial 1 1 1( ) (3 )TBX A I− − − = em ordem a X , supondo

que todas as operações são válidas e que as matrizes envolvidas são regulares.

2. Considere as matrizes 1 2 31 1 3

0 0 1

TA⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

e 2 1 0

1 1 0 11 1 0

B⎡ ⎤

− ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

2.1 Dada a seguinte equação matricial DYC I= , sabendo que matriz D tem cinco colunas,

a matriz C tem três linhas e é quadrada, diga justificando, o tipo da matriz Y e o número

de linhas da matriz D.

2.2 Determine a matriz 1A− , usando condensação.

2.3 Resolva a seguinte equação matricial ( ) ( ) 11 3T

A XB I −− = em ordem a X , supondo


3. Considere a seguinte matriz: 1 1 21 1 1 1

A ab

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

3.1 Determine os valores de ,a b∈ , para os quais a matriz é regular.

3.2 Para 1a = e 0b = calcule, por condensação, 2−A .


4. Considere as matrizes:1 0 11 12 4

k kA k k k

k k

+⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

e

1 0 22 1 1

1 2 01 1 0

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

4.1 Discuta a característica da matriz A , em função da variação do parâmetro k .

4.2 Para 0=k , determine a matriz M , que verifica: ( ) ( ) IMBABAM =××=×× .

4.3 Resolva a equação matricial em ordem a X : ( ) ( ) T TTE X I I ECD⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ , supondo


5. Considere a matriz 1

2 1

pD

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

5.1 Calcule a matriz C , permutável com D e cujos elementos da 1ª linha são todos iguais

a 1.

5.2 Faça 1=p e calcule 1−D .

6. Seja 0 1

1 0 1 1 0

aA

a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, a∈ ;

6.1 Determine o valor do parâmetro a de modo que A seja regular.

6.2 Suponha 2=a .

6.2.1 Sem efectuar cálculos, indique a característica de A71 . Justifique.

6.2.2 Resolva a equação matricial: ( )[ ] BAIBXA TT=+

−−−

111 em ordem a X ,

supondo que todas as operações são válidas e que as matrizes envolvidas são

regulares.

7. Seja 1

1p

Aq−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, ,p q∈ .

7.1 Determine os valores de p e de q para os quais a matriz A é singular.

7.2 Para 0p q= = , resolva em ordem a B a equação matricial: ( ) 1232 −−=+ AAIAB TT ,

supondo que todas as operações são válidas e que as matrizes envolvidas são regulares.


Soluções:

1.1

:3 5; :5 4Y C× × 1.2

4 7 51 0 1 1 4

0 3 1A

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1.3 19 12 6

3 6 3 3 6 3 9

X A B−⎡ ⎤⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

2.1 :5 3; :3 5Y D× × 2.2 11 1 02 1 0 9 6 1

A−

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

2.3 1 1 3 1 3

5 3 2 3 1 3 4 3 4 3 1

X−⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3.1 2 1a b≠ ∧ ≠ 3.2 22 1 21 2 1 1 0 2

A−

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

4.1 ( ) 3,car A k= ∀ ∈ 4.2 4 2 1 23 2 0 3 1 1 2

M− −⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

4.3 1X CD E I−= − +

5.1 1 1

2 1

Cp

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, { }\ 0p∈ 5.2 1 1 1

2 1D− −⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

6.1 { }\ 0a∈ 6.2 1 37

car A⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

6.3 ( )( ) 1 TT TX A B A I B−= −

7.1 1qp

= − , 0p ≠ 7.2 3 2

2 3

B−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Algebra TP - Cap 1 - Matrizes

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