ALGORITMO DE REDONDEO DE DI_METROS DENTRO DEL M_DULO DE DISEÑO DEL PROGRAMA REDES.pdf

8/12/2019 ALGORITMO DE REDONDEO DE DI_METROS DENTRO DEL M_DULO DE DISEO DEL PROGRAMA REDES.pdf

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TESIS DE PREGRADO

ALGORITMO DE REDONDEO DE DIMETROS DENTRO DEL MDULO DE

DISEO DEL PROGRAMA REDES

Juan Felipe Garca Acero

Asesor: Juan G. Saldarriaga Valderrama

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERA

DEPARTAMENTO DE INGENIERA CIVIL Y AMBIENTAL

PREGRADO EN INGENIERA CIVIL

BOGOT D.C.

2013


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Universidad de los AndesDepartamento de Ingeniera Civil y Ambiental

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados CIACUA

lgoritmo de redondeo de dimetros dentro del mdulo de diseo del

programa redes

PIC 2013-20

Juan Felipe Garca Tesis Pregrado i

Bogot, Diciembre de 2013

Agradecimientos

Un especial agradecimiento al Ingeniero Juan Guillermo Saldarriaga Valderrama, asesor de estatesis, por la gran ayuda, gua y asistencia proporcionada sin la cual este proyecto no hubiera sidoposible desarrollar. A su vez un agradecimiento especial a Diego Alejandro Pez y Laura LunitaLopez por su apoyo y aportes en la realizacin de este proyecto de grado. As mismo unagradecimiento a todo el personal del Centro de investigaciones de Acueducto y Alcantarillado(CIACUA) por los consejos y apoyo. Gracias a Dios, a mis amados Padres, Mauricio Garca Triana yMary Acero Baracaldo y a todos los que han credo en m y siempre me han brindado su apoyo yestmulo.


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Juan Felipe Garca Tesis Pregrado ii

Resumen

Dado que los recursos para construir Redes de Distribucin de Agua Potable (RDAP) son limitados,se hace indispensable contar con diseos ptimos, tanto desde el punto de vista econmico comohidrulico, para as obtener el mximo beneficio.

Identificar el diseo ms eficiente y menos costoso para una red de distribucin de agua potable(RDAP) es un problema complejo. Histricamente se ha hecho uso de mtodos de bsquedaadaptativa (ASM por sus siglas en ingls). Estos mtodos se basan en algoritmos computacionalesextrados de los procesos naturales, y que han surgido como una alternativa eficaz para la solucinde problemas de este tipo pues utilizan variables discretas a diferencia de los mtodos deoptimizacin lineal. Sin embargo es posible plantear una metodologa para la mejora de un diseoptimo local obtenido como resultado del redondeo de una solucin ptima global en trminoscontinuos.

Este trabajo plantea dicho procedimiento, que combina una metodologa hidrulica conocidacomo OPUS y un algoritmo heurstico conocido como Algoritmo Voraz que se utilizaron paraalcanzar la mejor combinacin de ajustes del diseo modificado que estara en ms estrechaalineacin con el ptimo global. Con el fin de probar el desempeo de la metodologa se hicieronsimulaciones con las redes Balerma, Hanoi, Taichung y R28. Con los resultados obtenidos sedemuestra la ventaja del uso de OPUS como inicio en caliente, el desempeo de la metodologapropuesta y las ventajas y limitaciones de los calculadores hidrulicos utilizados en el programaREDES.


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Juan Felipe Garca Tesis Pregrado iii

Tabla de Contenido

NDICE DE FIGURAS .................................................................................................................................................. ..............................viNDICE DE TABLAS ................................................................................................................................................... ............................ vii

1. INTRODUCCIN Y OBJETIVOS ...................................................................................... ............................................................. 1

1.1. Introduccin. ....................................................................................................................... 1

1.2. Objetivo General. ................................................................................................................ 3

1.3. Objetivos Especficos. .......................................................................................................... 3

2. MARCO TERICO ............................................................................................................................................ ............................... 4

2.1. Descripcin del problema de diseo de redes de distribucin de agua potable ................ 4

2.1.1. Definicin del problema .............................................................................................. 4

2.1.2. Restricciones del problema ......................................................................................... 5

Restricciones hidrulicas ............................................................................................................. 5

Restricciones comerciales ........................................................................................................... 8

Otras restricciones ...................................................................................................................... 8

2.2. Incgnitas y ecuaciones del problema .............................................................................. 12

2.3. Complejidad del problema ................................................................................................ 13

2.4. Aproximaciones al problema del diseo de redes de distribucin de agua potable ........ 14

2.4.1. Aproximacin tradicional al problema del diseo de RDAP ..................................... 14

2.5. Metodologas de diseo optimizado de RDAP desarrolladas recientemente a nivel

mundial ......................................................................................................................................... 15

2.5.1. Algoritmos genticos ................................................................................................. 15

2.5.2. Bsqueda de Armona (Harmony Search) ................................................................. 16

2.5.3. Recocido Simulado (Simulated Annealing) ............................................................... 17

2.5.4. Bsqueda Tab (tabu search).................................................................................... 18

2.5.5. Criterio geomtrico de diseo propuesto por I Pai Wu ............................................ 19Aplicacin del criterio de I Pai Wu al caso de RDAP .................................................................. 20

Criterio de featherstone (1983) ................................................................................................ 20

2.5.6. Superficie ptima de presiones (SOP, villalba, 2004) ................................................ 21

Clculo de las distancias a las fuentes....................................................................................... 22

Ecuaciones para modelar la cada de la altura piezomtrica ideal de nudo a nudo ................. 22


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2.5.7. Metodologa de superficie ptima de gradiente hidrulico (SOGH) ......................... 23

2.5.6. Metodologa de Optimal Power Use Surface (OPUS) ............................................... 25

2.6. Programas ......................................................................................................................... 30

2.6.6. Programa REDES ........................................................................................................ 30

2.6.7. Programa EPANET ..................................................................................................... 31

2.7. Metodologa de redondeo, aumento y disminucin de dimetros (RAD) desarrollada

para OPUS en el programa REDES ................................................................................................. 32

2.7.6. Metodologa de redondeo de dimetros y posterior optimizacin .......................... 32

Etapa de redondeo de dimetros ............................................................................................. 33

2.7.7. Redondeo aproximando al siguiente/anterior dimetro comercial ......................... 332.7.8. Redondeo aproximando a la Potencia ...................................................................... 34

Etapa de optimizacin ............................................................................................................... 36

2.7.9. Algoritmo de aumentar dimetros ........................................................................... 37

2.7.10. Algoritmo de disminuir dimetros ............................................................................ 40

2.7.11. Uso de la metodologa de redondeo, aumento y disminucin de dimetros

desarrollada para OPUS en el programa redes. ........................................................................ 42

3. METODOLOGA PROPUESTA PARA LA APROXIMACIN DE DIMETROS EN LA FASE FINAL DEL DISEOOPTIMIZADO DE REDES DE DISTRIBUCIN DE AGUA .................................................................................................................. 48

3.1. Metodologa de inicio en caliente ..................................................................................... 48

3.2. Heurstica de Postoptimization: Algoritmo Voraz ............................................................. 48

3.2.1. Definicin .................................................................................................................. 49

3.2.2. Hot Start: Redondeo solucin OPUS ......................................................................... 49

3.2.3. Algoritmo Voraz o Greedy Algorithm ........................................................................ 51

3.2.4. Regla de decisin ponderada .................................................................................... 55

4. EVALUACIN DEL DESEMPEO DE LA METODOLOGA PROPUESTA ............................................... ............................. 59

4.1. Uso de la metodologa propuesta desarrollada para OPUS en el programa REDES ......... 59

4.2. Red Hanoi .......................................................................................................................... 64

4.3. Red Balerma ...................................................................................................................... 65

4.4. Red Taichung ..................................................................................................................... 67

4.5. Red R28 ............................................................................................................................. 68

4.6. Relacin de los resultados ................................................................................................. 70


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5. CONCLUSIONES ..................................................................................................................................................................... ...... 75

6. RECOMENDACIONES ............................................... ................................................................................................................... 77

7. REFERENCIAS ............................................................................................................................................................................... 78

ANEXOS .................................................................................................................................................................................................... 81


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NDICE DE FIGURAS

FIGURA 1CRITERIO DE I-PAI WU.(OCHOA,2009) ...................................................................................................... 19FIGURA 2CRITERIO DE I-PAI WU.OCHOA (2009) ...................................................................................................... 21

FIGURA 3DIAGRAMA BPMNDE LA METODOLOGA OPUS.SALDARRIAGA (2013). ........................................................... 26

FIGURA 4RELACIN ESQUEMTICA ENTRE EL COSTO DE TUBERA Y CAUDAL.SALDARRIAGA (2013). ...................................... 27

FIGURA 5 EL CRITERIO DE LA I-PAI WU PARA PREDEFINIR LA ALTURA EN CADA NUDO.SALDARRIAGA (2013). ........................ 27

FIGURA 6VENTANA DEL PROGRAMA REDES2013CON LA RED BALERMA. ...................................................................... 42

FIGURA 7VENTANA PARA INGRESAR LAS OPCIONES DE DISEO DEL MODULO OPUS. .......................................................... 43

FIGURA 8VENTANA PARA ELEGIR EL TIPO DE REDONDEO DESEADO. ................................................................................. 44

FIGURA 9VENTANA DE OPCIONES DE DISEO CON LISTA DE CRITERIOS PARA AUMENTAR DIMETROS. .................................... 45

FIGURA 10VENTANA DE PARA INGRESAR LOS PARMETROS GENERALES DE LA RED. ............................................................ 46

FIGURA 11VENTANA DE PARA INGRESAR ALGUNOS PARMETROS DEL DISEO................................................................... 47

FIGURA 12VENTANA DE PARA INGRESAR ALGUNOS PARMETROS DEL DISEO................................................................... 47FIGURA 13VENTANA DE PARA INGRESAR EL MTODO DE APROXIMACIN. ........................................................................ 59

FIGURA 14VENTANA DE PARA INGRESAR ELEGIR ENTRE EL REDONDEO SIMPLE AL SIGUIENTE O EL ALGORITMO VORAZ.............. 60

FIGURA 15VENTANA DE PARA INGRESAR LOS PARMETROS DEL ALGORITMO VORAZ GREEDY ALGORITHM.......................... 61

FIGURA 16RDAPHANOI.LAS ETIQUETAS MUESTRAN LOS NMEROS DE IDENTIFICACIN DE LAS TUBERAS Y NUDOS. ............... 64

FIGURA 17RDAPBALERMA. .................................................................................................................................. 66

FIGURA 18RDAPTAICHUNG .................................................................................................................................. 67

FIGURA 19RDAPR28.LAS ETIQUETAS MUESTRAN LOS NMEROS DE IDENTIFICACIN DE TUBERAS Y NODAL. ........................ 69


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NDICE DE TABLAS

TABLA 1.ESCENARIO DOS FACTORES:SUBCONJUNTOS DE FACTORES Y PESOS DE LOS FACTORES. ........................................... 62

TABLA 2.ESCENARIO TRES FACTORES:SUBCONJUNTOS DE FACTORES Y PESOS DE LOS FACTORES. ........................................... 62

TABLA 3.ESCENARIO CUATRO FACTORES:SUBCONJUNTOS DE FACTORES Y PESOS DE LOS FACTORES. ...................................... 63

TABLA 4.RESULTADOS OBTENIDOS PARA LA RED HANOI. ............................................................................................... 65

TABLA 5.RESULTADOS OBTENIDOS PARA LA RED BALERMA. ........................................................................................... 66

TABLA 6.RESULTADOS OBTENIDOS PARA LA RED TAICUNG............................................................................................. 68

TABLA 7.RESULTADOS OBTENIDOS PARA LA RED R28. .................................................................................................. 69

TABLA 8.RESULTADOS OBTENIDOS PARA LA METODOLOGA RAD-OPUSCON EL CALCULADOR HIDRULICO SPARSESOLVER...... 70

TABLA 9.RESULTADOS OBTENIDOS PARA LA METODOLOGA RAD-OPUSCON EL CALCULADOR HIDRULICO SPARSESOLVER. ..... 71

TABLA 10.RESULTADOS OBTENIDOS PARA LA METODOLOGA RAD-OPUSCON EL CALCULADOR HIDRULICO EPANET. ............. 71

TABLA 11.RESULTADOS OBTENIDOS PARA LA METODOLOGA GREEDY ALGORITHM CON EL CALCULADOR HIDRULICOSPARSESOLVER. ............................................................................................................................................ 72

TABLA 12.RESULTADOS OBTENIDOS PARA LA METODOLOGA GREEDY ALGORITHM CON EL CALCULADOR HIDRULICO EPANET. .. 72

TABLA 13.PESO DE LOS PONDERADORES PARA LOS MEJORES RESULTADOS OBTENIDOS PARA LA METODOLOGA GREEDY

ALGORITHM CON EL CALCULADOR HIDRULICO SPARSESOLVER. ............................................................................. 73

TABLA 14.PESO DE LOS PONDERADORES PARA LOS MEJORES RESULTADOS OBTENIDOS PARA LA METODOLOGA GREEDY

ALGORITHM CON EL CALCULADOR HIDRULICO EPANET. ....................................................................................... 73

TABLA 15.RANGO DE VALORES PARA LOS PARMETROS PONDERADORES DE LA REGLA DE DECISIN....................................... 74

TABLA 16.VALORES INGRESADOS COMO PARMETROS AL PROGRAMA REDES2013......................................................... 81

TABLA 17.PRUEBA DEL ESCENARIO DE DOS FACTORES PARA EL CALCULADOR SPARSESOLVER. .............................................. 82

TABLA 18.PRUEBA DEL ESCENARIO DE DOS FACTORES PARA EL CALCULADOR EPANET. ........................................................ 84

TABLA 19.PRUEBA DEL ESCENARIO DE TRES FACTORES PARA EL CALCULADOR SPARSESOLVER. .............................................. 85TABLA 20.PRUEBA DEL ESCENARIO DE TRES FACTORES PARA EL CALCULADOR EPANET. ....................................................... 87

TABLA 21.PRUEBA DEL ESCENARIO DE CUATRO FACTORES PARA EL CALCULADOR SPARSESOLVER. ......................................... 88

TABLA 22.PRUEBA DEL ESCENARIO DE CUATRO FACTORES PARA EL CALCULADOR EPANET. ................................................... 88


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Juan Felipe Garca Tesis Pregrado 1

1. INTRODUCCIN Y OBJETIVOS1.1. Introduccin.

El suministro de agua potable es de vital importancia para todas las comunidades humanas; sinembargo, en pases en vas de desarrollo, como Colombia, hay todava millones de personas queno tienen acceso a este servicio. Dado que los recursos para construir sistemas de distribucin deagua potable son limitados, se hace indispensable contar con diseos ptimos, tanto desde elpunto de vista econmico como hidrulico, para as obtener el mximo beneficio.

Identificar el diseo ms eficiente y menos costoso para una red de distribucin de agua potable

(RDAP) es un problema complejo. Un gran nmero de los tubos, debern ser seleccionados de unconjunto discreto de dimetros comerciales; en consecuencia, el problema se convierte en unacombinatoria enorme. Yates et al. (1984) demostraron que, en teora, el desarrollo de unalgoritmo que pueda seleccionar dimetros discretos sobre la base de reducir al mnimo la costode una red de abastecimiento de agua representa un problema determinstico de matemtica declase conocida como duro en tiempo polinomial (NP-duro). Segn Templeman (1982), unalgoritmo riguroso para encontrar una combinacin ptima de tuberas con dimetros discretosno es una prctica posible debido a que el tiempo de clculo requerido por tal algoritmo sera elde una funcin exponencial del nmero de tuberas de la red. Por lo tanto, los mtodos heursticospara determinar una solucin cerca de la ptima son apropiados para los problemas que implicantubos de tamaos discretos.

Varios mtodos de optimizacin se han utilizado para encontrar una solucin para el problemaplanteado. Los mtodos tradicionales, como la programacin lineal y no lineal, no son muyadecuados debido a que requieren que el dimetro de los tubos sea continuo, y que asumen quelas soluciones redondeadas son casi ptimas. Estos mtodos a menudo llegan ya sea un ptimolocal o dejan de resolver problemas NP-duro que implican un gran nmero de variables (Elbeltagi,2005). Adicionalmente, estas tcnicas presentaban varios inconvenientes: eran difciles deimplementar; usualmente llevaban a diseos con dimetros continuos, los cuales deban serredondeados, generando as cierto error en los resultados; no consideraban soluciones a travs detodo el espacio de bsqueda del problema, sino que realizaban bsquedas locales que podanquedar fcilmente atrapadas en ptimos locales; la solucin encontrada dependa en gran medidadel punto de partida o solucin inicial considerada (Reca y Martnez, 2006). Ms detalles sobre la

aplicacin de estos mtodos clsicos para el problema de dimensionamiento de las tuberas sepueden encontrar en Walski (2003).

Otro tipo de tcnica de optimizacin implica lo que es llamado un mtodo de bsqueda adaptativa(ASM por sus siglas en ingls). Estos mtodos se basan en algoritmos computacionales extradosde los procesos naturales, y que han surgido como una alternativa eficaz para la solucin deproblema de este tipo.


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Estos basan su bsqueda de la solucin ptima nicamente en la evaluacin de la funcin objetivo,en oposicin a la mtodos de programacin lineal y no lineal que utilizan la informacin del

gradiente para el mismo propsito, por lo tanto, los ASM pueden manejar fcilmente variables dedecisin discretas (Mays 1999). El Algoritmo Gentico (AG) fue uno de los primeros ASM que seintrodujo (Holland, 1992), y se ha utilizado ampliamente en el diseo de redes de suministro deagua desde su aplicacin por Simpson (1994). Tratando de reducir las exigentes necesidadescomputacionales de AG y evitar quedar atrapado en ptimos locales, otros ASM se handesarrollado (Elbeltagi 2005). Por ejemplo, la optimizacin de colonia de hormigas (Maier, 2003),el recocido simulado (Cunha y Sousa, 1999), la bsqueda de armona (Geem 2006), y el algoritmodel salto mezclado de las ranas (Eusuff y Lansey 2003) son algunos de los ASM que se han utilizadoen el diseo de sistemas de distribucin de agua urbanos.

Los intentos anteriores para mejorar el rendimiento de la AG tienen centrado en el ajuste de susparmetros de bsqueda y funciones internas (Dandy et al 1996; Wu y Simpson 2001). Adems la

mejora se podra lograr si la poblacin inicial utilizado por el AG es estrechamente pareca lasolucin ptima. Dicha poblacin se podra producir mediante el uso de un algoritmo depreoptimization rpido (en comparacin con una GA) (Keedwell y Khu 2005 ; Kang y Lansey 2012).Sin embargo es posible plantear una metodologa para la mejora de un diseo ptimo localobtenido como resultado del redondeo de una solucin optima global en trminos continuos; esteprocedimiento fue planteado por Saldarriaga et al (2013). Este trabajo planeta dicha metodologapartiendo del trabajo de Manuel A. Andrade; Doosun Kang; Christopher Y. Choi; and Kevin Lansey(2013), el cual parte de una solucin de un ASM y su regla de decisin solo incluye dos parmetros(costo y presin). La metodologa parte de declaracin del problema que describe cmo podra seralcanzado el objetivo del costo mnimo si las modificaciones adicionales en el diseo de una red selimitaran a la reduccin del dimetro de las tuberas. Entonces este trabajo, plantea la

combinacin de una metodologa hidrulica conocida como OPUS

1

y un algoritmo heurstico quese utilizaron para alcanzar la mejor combinacin de ajustes del diseo modificado que estara enms estrecha alineacin con el ptimo global.

1La metodologa Optimal Power Use Surface (OPUS) se explica detalladamente en el numeral 2.7.


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1.2. Objetivo General.Desarrollar una metodologa que combine el algoritmo basado en hidrulica OPUS con unametaheurstica conocida como Algoritmo Voraz (Greedy Algorithm) que tambin contengaparmetros hidrulicos, que permita obtener el diseo con mnimo costo constructivo quesatisfaga las restricciones hidrulicas y comerciales impuestas. Adems, mediante el desarrollo deesta metodologa se pretende entender el impacto de los factores hidrulicos y econmicos en labsqueda de los diseos ptimos, lo cual constituira una herramienta muy til para lacomprensin y optimizacin de metodologas que tengan el mismo propsito.

1.3. Objetivos Especficos.Los objetivos especficos planteados, que permitirn lograr el objetivo general, consisten en elanlisis de metodologas actuales para el diseo de RDAP y a partir de esto formular unametodologa para la optimizacin del diseo de estos sistemas. Adicionalmente, los objetivosespecficos consisten en el desarrollo de toda una herramienta informtica y anlisis comparativosque permitan plantear, generar y evaluar la metodologa nueva para el diseo de redes dedistribucin de agua potable.

Plantear el inicio en caliente (Hot Start) a partir del redondeo de una solucin de OPUS.

Realizar comparaciones entre los resultados de la metodologa propuesta y la metodologade redondeo, aumento y disminucin de dimetros usada en el programa REDES 2013,

para evaluar el desempeo del nuevo algoritmo de diseo que se propone.

Realizar anlisis de sensibilidad del desempeo de la metodologa planteada respecto acambios en los parmetros de entrada de la metodologa.

Realizar la evaluacin de la metodologa planteada en diferentes casos de estudioconocidos a nivel mundial con caractersticas topogrficas y topolgicas diferentes.

Desarrollar una modificacin al programa informtico REDES 2013 que permita al usuariorealizar el diseo mediante la metodologa propuesta, presentando su correspondientemanual de usuario y haciendo de este una herramienta fcil para el diseador.

Presentar un anlisis de los costos, nmero de simulaciones hidrulicas e ndice deResiliencia, resultante de los diferentes casos de estudio, y el efecto de los diferentesponderadores del Algoritmo Voraz.

Establecer el valor de los ponderadores que pueden utilizarse en la regla de decisinplanteada.


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2. MARCO TERICO2.1. Descripcin del problema de diseo de redes de distribucin de agua

potable

El problema del diseo ptimo de una RDAP se define de la siguiente manera: dado un trazado dela red y unas demandas en los nudos de consumo, encontrar la combinacin de dimetros detuberas que minimice el costo constructivo del sistema, satisfaciendo las restricciones deconservacin de la masa en los nudos, conservacin de la energa en los circuitos y presin mnimaen los nudos de consumo, y considerando que los dimetros de las tuberas solo pueden tomar losvalores discretos que se encuentren disponibles en el mercado.

Matemticamente, el objetivo del problema se puede expresar de la siguiente manera:

Ecuacin 1donde C es el costo constructivo de una RDAP, el cual incluye el valor comercial de las tuberasms su costo de instalacin. El costo constructivo generalmente se puede calcular mediante unafuncin potencial del dimetro, as:

Ecuacin 2donde

: nmero de tubos que conforman la RDAP.

: longitud del i-simo tubo de la red.: dimetro del i-simo tubo de la red.y parmetros que se determinan mediante regresin teniendo en cuenta el valor comercial delas tuberas de un material dado y su costo de instalacin en funcin del dimetro. En mltiplestrabajos de investigacin se ha determinado que el parmetroes el que ms influye en el diseode mnimo costo que se obtenga para una red dada; este parmetro generalmente toma valoresentre 1 y 3.

En los siguientes numerales se describen las restricciones, incgnitas y ecuaciones del problemadel diseo de RDAP, a partir de lo cual se puede entender mejor su complejidad.

2.1.1. Definicin del problemaComo se defini anteriormente, en el proceso de lograr un diseo ptimo de una RDAP, el objetivo

principal es encontrar la combinacin de elementos (por ejemplo, dimetros de tubera y el

nmero y el dimensionamiento de las bombas) que minimizar una o ms funciones objetivo sin

dejar de cumplir limitaciones operativas. Una problema de optimizacin en general, de un solo

objetivo, que tiene como objetivo minimizar el costo de construccin de las tuberas requeridas


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para cualquier red de distribucin dada, puede ser formalmente declarada como la combinacin

de las ecuacins (1) y (2).

La restriccin de presin en cada nudo se puede expresar de la siguiente manera:

Ecuacin 3

donde

: valor de la restriccin A en el nudo j bajo condiciones de demanda i : mnimo admisible valor de A en la condicin de la demanda iI = nmero de condiciones de la demanda a analizar

J = nmero de nudos en la red.

Esta restriccin es en general la ms aplicada y por lo general se evala mediante la realizacin de

simulaciones hidrulicas de la red bajo condiciones extremas de la demanda (por ejemplo, el

caudal pico y el caudal para incendios). Sin embargo, las restricciones adicionales pueden ser

incluidas, tal como se muestra ms adelante.

2.1.2. Restricciones del problemaEn este estudio solo se considerarn las restricciones bsicas del diseo de RDAP, que son lasrestricciones hidrulicas y comerciales. Sin embargo, al disear una RDAP se pueden tener encuenta otras restricciones, tales como aqullas relacionadas con la calidad del agua, laconfiabilidad y el impacto ambiental del sistema. Todas estas restricciones se describen acontinuacin.

Restricciones hidrulicas

En el problema de diseo de RDAP existen 3 restricciones hidrulicas (Saldarriaga, 2007), estasson: conservacin de la masa en cada nudo, conservacin de la energa en cada circuito y presinigual o superior a la mnima establecida en todos los nudos y a todas las horas del da. A

continuacin se explica cada una de estas restricciones.


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o Conservacin de la masa en cada nudo:

El caudal total que entra en un nudo menos el caudal que sale de l debe ser igual al caudaldemandado en ese nudo:

Ecuacin 4donde:: nmero de tubos que llegan al nudo i.: caudal que pasa por la tuberas ij hacia el nudo i desde el nudo j. De acuerdo con lasconvenciones adoptadas en la prctica de la Ingeniera Hidrulica, este caudal se considerapositivo cuando va hacia el nudo i y negativo cuando sale de ste.

: caudal demandado en el nudo i.

o Conservacin de la energa en cada circuito:

La suma de las prdidas de energa en cualquier circuito debe ser igual a cero o a la energasuministrada por una bomba si la hubiera:

Ecuacin 5donde:

: nmero de tubos del circuito i.: prdida de energa por friccin en el tuboj del circuito i.: prdidas menores de energa en el tuboj del circuito i.Existen diferentes ecuaciones para estimar las prdidas por friccin que tienen lugar en unatubera; las dos ms utilizadas en la actualidad son la de Darcy-Weisbach y la de Hazen-Williams.La primera es una ecuacin fsicamente basada, lo que implica que puede ser utilizada paracualquier rango de condiciones fsicas e hidrulicas y para cualquier fluido incompresible. Encontraste, la ecuacin de Hazen-Williams es emprica y, por tanto, su aplicacin est restringida alas condiciones bajo las cuales se desarrollaron las pruebas experimentales que llevaron a suplanteamiento; stas son:

- El fuido debe ser agua a temperaturas normales.- El dimetro de las tuberas debe ser igual o superior a 75 mm (3 pulgadas).- La velocidad en las tuberas debe ser inferior a 3 m/s.

Dadas las limitaciones de la ecuacin de Hazen-Williams, es preferible utilizar la ecuacin deDarcy-Weisbach. Estas dos ecuaciones para el clculo de las prdidas por friccin () se presentana continuacin.


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Ecuacin de Darcy-Weisbach:

Ecuacin 6

donde es la longitud del tramo de tubera en el cual se pierde , v es la velocidad media de flujo,es el dimetro de la tubera, g es la aceleracin de la gravedad y es el factor de friccin deDarcy, el cual se determina mediante la ecuacin de Colebrook-White:

Ecuacin 7

donde es la rugosidad absoluta de la tubera, es el dimetro (real interno) de la tubera y es el nmero de Reynolds.

Ecuacin de Hazen-Williams:

Ecuacin 8

dondees el factor de conversin de unidades, es la longitud del tramo de tubera en el cual sepierde , es el caudal que fluye por la tubera, es el coeficiente de rugosidad de la tubera,es el dimetro (real interno) de la tubera y y son constantes (normalmente toman valoresde 1,852 y 4,871. respectivamente, aunque algunos diseadores solo toman dos cifras decimales yotros utilizan valores diferentes; estas variaciones en las constantes y pueden generardiferencias significativas en los resultados obtenidos). Cuando la unidad de longitud es el pie, elfactor toma un valor cercano a 4,727; cuando la unidad de longitud es el metro, toma un valorcercano a 10,667. Sin embargo, al igual que en el caso de y , los diseadores utilizan diferentesvalores del factor .Las prdidas menores () que tienen lugar en una tubera se determinan mediante la siguienteexpresin:

Ecuacin 9donde es el coeficiente de prdidas menores.


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o Presin mnima en todos los nudos de la red:

A lo largo del da se presentan variaciones en el consumo de agua y debe asegurarse que, en todomomento, cada uno de los nudos de la red tenga una presin igual o superior a una presinmnima dada (generalmente especificada en una norma local). Matemticamente, esta restriccinse puede expresar de la siguiente forma:

Ecuacin 10

donde es la presin en el nudo i y es la presin mnima requerida en el nudo i.

Restricciones comerciales

El dimetro asignado a cada tubera i de la RDAP slo puede tomar los valores discretoscontenidos en el conjunto de dimetros comercialmente disponibles ():

Ecuacin 11

Otras restricciones

Adems de las restricciones hidrulicas y comerciales, que son esenciales, pueden incluirse otrasrestricciones al momento de disear una RDAP; entre las ms importantes y que de manerafrecuente son consideradas en el diseo se encuentran: restricciones relativas a la calidad delagua, a la confiabilidad del sistema y al impacto ambiental.

o Restricciones relativas a la calidad del agua:

En una RDAP no basta con llevar el agua desde la fuente de abastecimiento hasta los usuarios; sedebe asegurar adems que el fluido llegue con una calidad apta para el consumo humano. Lascondiciones que debe reunir el agua para que sea considerada potable estn fijadas en el Decreto1575 de 2007, el cual es desarrollado mediante la Resolucin 2115 del 22 de junio de 2007. Con

respecto a la calidad del agua tratada que se pretende emplear para consumo humano, elNumeral C.2.4. del Reglamento Tcnico del Sector de Agua Potable y Saneamiento Bsico deColombia (RAS 2000) dice lo siguiente:

El agua para consumo humano no debe contener microorganismospatgenos, ni sustancias txicas o nocivas para la salud. Por tanto, el aguapara consumo debe cumplir los requisitos de calidad microbiolgicos yfisicoqumicos exigidos en el Decreto 475 de marzo 10 de 1998, expedido por el


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Ministerio de Salud o en su defecto, el que lo reemplace. La calidad del agua nodebe deteriorarse ni caer por debajo de los lmites establecidos durante el

perodo de tiempo para el cual se dise el sistema de abastecimiento.

A partir de lo anterior se puede notar que la calidad del agua es un aspecto de gran importancia enuna RDAP. Para tener una mejor calidad, existen aspectos que pueden controlarse desde el diseomismo de la red; algunos de stos son:

- Restricciones relativas a la calidad del agua: Minimizar la edad del agua o tiempo de retencinen los nudos de consumo: en general, a medida que el tiempo de retencin del agua en elsistema aumenta, su calidad se degrada, por lo cual es deseable suministrar agua joven (i.e.con corto tiempo de retencin) en los nudos de consumo (Committee on Public Water SupplyDistribution Systems - National Research Council of the National Academies, 2006). Dado quela edad del agua tiene una relacin estrecha con las caractersticas topolgicas del sistema, es

posible orientar el diseo de una RDAP de tal manera que se minimice este variable. Paraincluir el tiempo de retencin como una restriccin adicional del diseo, es necesario contarcon un software de simulacin hidrulica que para cada posible diseo calcule la edad delagua en cada punto de la RDAP, adems de calcular los caudales en las tuberas y laspresiones en los nudos. La edad del agua o tiempo de retencin en un punto del sistemacorresponde a una mezcla de paquetes de agua que han viajado por caminos diferentes a lolargo de la red hasta llegar al punto de inters; por esto, la edad del agua en un puntodeterminado no es un valor nico, sino que es una distribucin de valores. Una maneracomn de estimar el tiempo de retencin en un punto dado es promediando los tiempos deretencin de todos los paquetes de agua que llegan a dicho punto.

- Controlar las concentraciones de cloro residual libre en los nudos de consumo: uno de losmtodos de desinfeccin ms utilizados en RDAP a nivel mundial es la cloracin; de acuerdocon el Numeral C.8.3.1.1. del RAS 2000, la cloracin puede ser empleada para desinfectar lasaguas, controlar olores y sabores y prevenir el crecimiento de algas y microorganismos. Paraasegurar la eficacia de este mtodo de desinfeccin sin poner en peligro la salud pblica, laconcentracin de cloro residual libre debe mantenerse dentro de unos lmites: por ejemplo, elArtculo 9 de la Resolucin 2115 del Ministerio de la Proteccin Social y del Ministerio deAmbiente, Vivienda y Desarrollo Territorial de la Repblica de Colombia establece que el valoraceptable del cloro residual libre en cualquier punto de la red de distribucin del agua paraconsumo humano deber estar comprendido entre 0,3 mg/l y 2,0 mg/l. As, en el diseo deuna RDAP nueva puede incluirse una restriccin adicional que consista en mantener laconcentracin de cloro residual libre en todos los puntos del sistema dentro de unos lmitesdeterminados dada una concentracin inicial en las fuentes de abastecimiento.

- Controlar el desarrollo de biopelculas en las tuberas del sistema: las biopelculas soncomunidades de microorganismos de una o varias especies (e.g. hongos, algas, protozoarios)que se encuentran rodeados por una sustancia pegajosa secretada por ellos mismos. En


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general, las biopelculas pueden presentarse en cualquier superficie que entre en contactocon el agua u otro medio lquido y su formacin empieza cuando los microorganismos logran

adherirse a la superficie y empiezan a secretar sustancias limosas que se pueden pegar adiferentes tipos de materiales (The Center for Biofilm Engineering, 2008). La presencia debiopelcula en las paredes de las tuberas de una RDAP puede generar efectos negativos, dadoque sta podra albergar organismos patgenos y podra eventualmente desprenderse,afectando las propiedades organoltpicas del agua (e.g. color, turbiedad). Para controlar laformacin de biopelculas en las tuberas de las RDAP, es recomendable mantenervelocidades de flujo relativamente altas en el sistema; en caso tal que las biopelculas seformen, un mtodo efectivo para causar su desprendimiento es el lavado hidrulico (ste selleva a cabo mediante la operacin de vlvulas e hidrantes, con lo cual se busca obtenervelocidades de lavado que remuevan la biopelcula). Dado que la formacin de biopelculas ysu remocin pueden controlarse mediante las caractersticas hidrulicas y topolgicas delsistema, es posible incluir en el problema del diseo de RDAP restricciones adicionales que

favorezcan el control de estas colonias de microorganismos.

o Restricciones relativas a la confiabilidad del sistema:

La confiabilidad es un concepto que cada vez toma ms importancia en el diseo y operacin deRDAP; dado que el agua es una necesidad bsica para los seres humanos, es necesario asegurar unsuministro continuo y seguro de sta, lo que implica contar con sistemas muy confiables. Adems,si en una RDAP se presentaran con frecuencia interrupciones en el servicio, la empresa encargadade su operacin podra dejar de vender volmenes considerables de agua, lo cual representarauna prdida econmica importante.

Existen diferentes indicadores para cuantificar la confiabilidad de una RDAP; uno de los msutilizados actualmente por los investigadores a nivel mundial es el ndice de Resiliencia -Ir- (Todini,2000). El creador de este ndice, Ezio Todini, lo define de la siguiente manera (Todini, 2008):

La resiliencia es la capacidad intrnseca que tiene una RDAP para

superar fallas repentinas y se mide como la proporcin entre elexcedente de potencia que es entregado a los usuarios y la mximapotencia que puede ser disipada en la red cuando se cumplenexactamente los criterios y condiciones de diseo. El ndice deResiliencia proporciona una medida general de la redundancia delsistema: un mayor valor del ndice de Resiliencia corresponde a unamayor redundancia.

De acuerdo con lo anterior, el I r es un indicador de la vulnerabilidad de la red frente a la posibilidadde dejar ciertos nudos del sistema sin servicio en caso de ocurrir una falla. Este ndice sefundamenta en la relacin existente entre la resiliencia de un sistema y la cantidad de energa queste disipa; a menor energa disipada, mayor ser la capacidad de respuesta del mismo debido aque tiene mayor cantidad de energa disponible.


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Por otro lado, Tricarico et al. (2008) definieron la confiabilidad de una RDAP como la probabilidadde que simultneamente se satisfaga la restriccin de presin mnima en todos los nudos de la red

(considerando diferentes condiciones de operacin, consumo y otras eventualidades).

Segn sea el caso, el diseador podr elegir o incluso definir el indicador de confiabilidad quemejor se ajuste a sus necesidades y podr incluirlo dentro del diseo de la RDAP. En general, lamanera en la que se han incluido los indicadores de confiabilidad dentro del diseo de RDAP hasido considerndolos como un objetivo adicional al objetivo del costo mnimo. Por ejemplo, Todini(2000) desarroll una metodologa de diseo que consiste en encontrar el frente ptimo de Paretoconsiderando dos objetivos: la maximizacin del ndice de Resiliencia y la minimizacin de loscostos.

o

Restricciones relativas a la confiabilidad del sistema:

El consumo de agua por parte de los seres humanos tiene, por s mismo, un impacto ambientalimportante: el agua que es consumida debe ser abstrada de cuerpos de agua, lo cual puedeafectar el equilibrio de los ecosistemas. Si esta abstraccin se hace de manera intensiva,superando la capacidad de produccin hdrica del ecosistema circundante, se puede poner enpeligro la vida de los individuos que lo habitan. Considerando los siguientes tres factores, se puedever que la situacin planteada es cada vez ms preocupante: 1) el acelerado crecimientopoblacional que se ha producido en las ltimas dcadas, lo cual hace que incremente el consumode agua; 2) el calentamiento global; 3) la creciente contaminacin de los cuerpos de agua, lo quereduce las fuentes hdricas aptas para el consumo humano.

Si al consumo de agua se sumaran las prdidas por fugas en el sistema, el volumen total de aguaabstrado de los cuerpos hdricos aumentara. Esto podra tener impactos ambientales graves; porejemplo, podra llevar a una reduccin importante en el caudal de los ros o a un descenso delnivel fretico superior al que se tendra si no existieran fugas (Engelhardt et al., 2000). Dado que elcaudal de fugas es proporcional a la presin, se ha determinado que es posible disminuir lasprdidas de agua debidas a fugas mediante la reduccin y uniformizacin de las presiones en losnudos del sistema (Araque y Saldarriaga, 2006). As, otro criterio o restriccin que se podra incluirdentro del diseo de una RDAP es la minimizacin del caudal de fugas, lo cual se puede lograrreduciendo presiones y minimizando la desviacin estndar de la variacin espacial de laspresiones en la red (i.e. hacer ms uniformes las presiones de la RDAP).


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2.2.

Incgnitas y ecuaciones del problema

Como se explic anteriormente, lo que se busca en el diseo de una RDAP es determinar el

dimetro de cada una de las tuberas que conforma el sistema, a partir de lo cual se puede

conocer la presin en cada nudo y el caudal en cada tubera. As pues, las incgnitas que se tienen

son: dimetro y caudal de cada tubera y presin en cada nudo. Si NT corresponde al nmero de

tuberas del sistema y NU al nmero de uniones o nudos, el total de incgnitas es: NT + NT + NU.

En cuanto a las ecuaciones disponibles, se tiene que por cada circuito se puede plantear una

ecuacin de conservacin de energa como la Ecuacin 4; si en sta se sustituye la ecuacin de

Darcy-Weisbach (Ecuacin 6) para el clculo de las prdidas por friccin y la expresin de las

prdidas menores (Ecuacin 9) como funcin de la altura de velocidad, se obtiene la siguiente

expresin:

Ecuacin 12

donde:: nmero de tubos del circuito i.: caudal que fluye por el tuboj del circuito i.: rea transversal interna del tuboj del circuito i.: coeficiente de prdidas menores del tuboj del circuito i.: factor de friccin del tuboj del circuito i.: longitud del tuboj del circuito i.: dimetro del tuboj del circuito i.La Ecuacin 12 es no lineal y se conoce como ecuacin de caudal; en una RDAP se tienen NCecuaciones de este tipo, donde NC corresponde al nmero de circuitos cerrados que hay en elsistema.

Por otra parte, en cada nudo se puede plantear la ecuacin de conservacin de la masa (Ecuacin

3); si para cada uno de los caudales : involucrados en esta ecuacin se plantea la ecuacin deconservacin de la energa entre sus nudos inicial y final (i.e. nudos i y j), incluyendo las prdidaspor friccin (calculadas con la ecuacin de Darcy-Weisbach) y las prdidas menores, es posibledespejar el caudal y obtener la siguiente expresin:


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(| |) Ecuacin 13

Las ecuaciones de este tipo son tambin no lineales y se conocen como ecuaciones de alturapiezomtrica; en una RDAP se tienen (NU 1) ecuaciones de stas, siendo necesario conocer laaltura piezomtrica de algn nudo de la red (generalmente se conoce la altura del embalse ofuente de abastecimiento) para solucionar este conjunto de ecuaciones.

Finalmente, se tiene un total de NC + (NU 1) ecuaciones disponibles. Adems, es fcil demostrarque, para cualquier RDAP, este nmero de ecuaciones es igual al nmero de tubos (NT) que laconforman, es decir: NC + (NU - 1) = NT.

Se puede ver que el nmero de incgnitas (2NT + NU) excede en ms del doble al nmero deecuaciones disponibles (NT).

2.3. Complejidad del problemaTeniendo en cuenta que:

a) el nmero de incgnitas excede en ms del doble al nmero de ecuaciones disponibles,b) la relacin entre las prdidas de energa que tienen lugar en una tubera y el caudal que

fluye por stas es no lineal (Ecuaciones 11 y 12),c) las variables de decisin del problema (i.e. los dimetros de las tuberas) slo pueden

tomar valores discretos (Ecuacin 10),

se puede concluir que el diseo de una RDAP nueva es un problema bastante complejo que hasido definido como un problema combinatorio NP-DURO (Yates et al. 1984), lo que quiere decirque no se conoce un mtodo determinstico para solucionarlo en un tiempopolinomial2. Por esto,el diseo optimizado de RDAP no puede ser tratado de forma convencional, sino que su solucinrequiere de metodologas especiales que, en un tiempo computacional razonable, permitanobtener la configuracin de mnimo costo que satisfaga las restricciones hidrulicas, comerciales yotras adicionales que el diseador desee establecer.

2Un algoritmo de tiempo polinomial es aqul cuyo tiempo de ejecucin (el nmero de operaciones de bitselementales hechas en una cadena de entrada de longitud N) est acotado por un polinomio p(N) (Villalba,2004).


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2.4. Aproximaciones al problema del diseo de redes de distribucin deagua potable

2.4.1. Aproximacin tradicional al problema del diseo de RDAPTradicionalmente y de manera especial en pases en desarrollo, el problema del diseo de RDAP seha resuelto por ensayo y error, orientado por la experiencia del diseador y por reglas localesestablecidas por los organismos encargados del manejo del agua potable. Generalmente, estasreglas locales establecen los dimetros mnimos que deben utilizarse segn se trate de lneasprimarias, secundarias o de distribucin; el espaciamiento mximo entre los cruces de tuberas;velocidades mximas; longitudes mximas de tuberas dependiendo de si stas terminan en unpunto ciego o si se encuentran conectadas en los dos extremos; entre otros aspectos.

Lo que comnmente hacen los diseadores es determinar el trazado o distribucin geomtrica dela red, desagregar los caudales en las diferentes subreas de la ciudad y concentrar estos caudalesdesagregados en los nudos del sistema. Una vez se han definido las demandas de caudal y latopologa de la red (excepto los dimetros de las tuberas), el diseador asigna a cada tubera undimetro inicial segn los criterios contenidos en las normas locales y, utilizando un motor declculo hidrulico (e.g. EPANET), calcula los caudales resultantes en cada tubo y las presiones encada nudo para la configuracin de dimetros inicialmente seleccionada. Posteriormente, eldiseador compara las velocidades y presiones obtenidas con las establecidas en la norma y vaajustando los dimetros de las tuberas hasta obtener una solucin que satisfaga los criterios develocidad y presin sealados en la norma. De este modo se obtienen diseos funcionales quelogran llevar el agua desde la fuente de abastecimiento hasta los usuarios, pero que se alejanconsiderablemente del diseo de mnimo costo.

Un punto de la metodologa tradicional de diseo de RDAP que vale la pena resaltar corresponde alas velocidades mximas admisibles en las tuberas; en la actualidad, se cuenta con materiales muyresistentes y con mtodos de anlisis y herramientas computacionales que permiten conocer lassobrepresiones que un fenmeno transiente (e.g. golpe de ariete) puede generar en los diferentespuntos de la red, de tal modo que se puede determinar si las tuberas pueden o no soportar losesfuerzos a los que van a estar sometidas. Es por esto que limitar las velocidades en las tuberas noes justificable y, en cambio, s es una de las principales causas para tener tuberas con grandesdimetros en la red, lo cual eleva considerablemente los costos y puede generar problemas decalidad del agua debido al mayor tiempo de retencin del fluido en el sistema.

A partir de los puntos expuestos, se puede concluir que la aproximacin tradicional al problemadel diseo de RDAP lleva a configuraciones hidrulicamente ineficientes y bastante alejadas deldiseo de costo mnimo. Teniendo en cuenta que los recursos disponibles para la construccin yoperacin de RDAP son limitados, se hace evidente la necesidad de abandonar las metodologasde diseo tradicionales y adoptar metodologas modernas que optimicen el problema y permitanobtener diseos eficientes y de mnimo costo. Si adems de encontrar diseos ptimos, lasmetodologas permitieran comprender los factores que afectan dichos diseos, se tendra unaherramienta supremamente til para el anlisis y la optimizacin de redes existentes.


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2.5. Metodologas de diseo optimizado de RDAP desarrolladasrecientemente a nivel mundial

El problema del diseo optimizado de RDAP ha despertado el inters de muchos investigadoresalrededor del mundo en las ltimas dcadas, llevando al desarrollo de diferentes metodologaspara solucionarlo. La mayora de estas metodologas parten de una solucin inicial y utilizantcnicas determinsticas de bsqueda para pasar de una solucin a otra hasta que no se logre unareduccin adicional en el costo de la red. A continuacin se describen algunas de las metodologasde diseo optimizado ms estudiadas y aplicadas en los ltimos aos a nivel mundial; como sever, stas se basan en la simulacin de fenmenos naturales o artificiales, a diferencia de OPUSque utiliza las caractersticas hidrulicas del sistema para encontrar el diseo de costo mnimo.

2.5.1. Algoritmos genticosLos Algoritmos Genticos (AG) son un mtodo de bsqueda aleatoria utilizado para resolverproblemas de optimizacin. Aunque por ser aleatorios los AG no garantizan encontrar el mnimoglobal, su aplicacin al problema del diseo ptimo de RDAP ha sido exitosa, logrando encontrardiseos de bajo costo despus de un nmero razonable de generaciones.

Los AG son un tipo particular de Algoritmos Evolutivos, los cuales utilizan tcnicas inspiradas en laevolucin biolgica de las especies, tales como herencia, mutacin, recombinacin gentica yseleccin natural. Estos algoritmos son implementados de tal manera que la poblacin deindividuos que constituyen las posibles soluciones al problema evolucione hacia mejoressoluciones. En el caso del diseo de RDAP, cualquier individuo i tiene especificado el dimetro decada una de sus NT tuberas, los cuales pueden almacenarse en un vector de valores discretos NT;este vector representa el genotipo de la red bajo diseo (Saldarriaga, 2007). El fenotipo de cadaindividuo corresponde a la presin en cada una de las NU uniones de la red, la cual se determinautilizando un motor de clculo hidrulico y se codifica en un vector NU. Habitualmente, la primerageneracin de individuos se genera de manera aleatoria y a partir de sta se producensucesivamente nuevas generaciones mediante las tcnicas de evolucin mencionadas. En cadageneracin se evala el desempeo o aptitud de cada uno de los individuos que la conforman;esto se hace mediante una funcin de costos similar a la Ecuacin 2. Dado que lo que se busca enel diseo de RDAP es minimizar el costo del sistema, los individuos ms aptos sern los de menorcosto. Al evaluar el desempeo de los individuos de cada generacin, se seleccionan los individuosms aptos y stos son comparados con los mejores individuos de generaciones pasadas para elegirlos nuevos mejores individuos. Adicionalmente, con base en la aptitud o desempeo de los

individuos de cada generacin, algunos de ellos son seleccionados de manera estocstica y sonmodificados (mediante operadores como mutacin y recombinacin) para dar origen a una nuevageneracin. En general, siguiendo la teora de la seleccin natural, los individuos ms aptos son losque tienen mayor probabilidad de reproducirse y de pasar sus genes a generaciones siguientes; sinembargo, para evitar quedar atrapado en un mnimo local, es necesario introducir cierta variacinen el genotipo de las generaciones siguientes. Este procedimiento se repite para cada generaciny la solucin al problema est dada por los mejores individuos de entre todas las generaciones.Usualmente, el algoritmo termina cuando se alcanza un nmero dado de generaciones, cuando se


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ha alcanzado un nivel de aptitud o costo determinado, o cuando se deja observar mejora engeneraciones siguientes.

Cabe anotar que los AG no manejan de manera independiente las restricciones hidrulicas delproblema, pero stas pueden tenerse en cuenta incluyendo un trmino de penalizacin en lafuncin de costos (Goldberg, 1989), el cual aumente el costo de un individuo particular cuando seviole la restriccin de mnima presin en los nudos. De este modo, cuando un posible diseo nosatisfaga las restricciones hidrulicas del problema, el trmino de penalizacin har que su costosea muy elevado, convirtindolo en un individuo poco apto que seguramente quedar por fueradel espacio factible de solucin.

La eficiencia y eficacia de los AG depende de mltiples parmetros, entre los que se encuentra laforma de codificacin utilizada. Tradicionalmente, las soluciones de los AG son representadasmediante cadenas binarias de 0s y 1s, aunque es posible utilizar otras formas de codificacin. Por

ejemplo, Dandy et al. (1996) y Savic y Walters (1997) encontraron que la codificacin gris (graycoding) resulta mejor que la codificacin binaria. En 2000, Vairavamoorthy y Ali propusieronutilizar una cadena real codificada (real coded string), la cual no requiere ser codificada ydecodificada, logrando as una reduccin en el tiempo computacional. Tambin con el propsitode mejorar la eficiencia y eficacia de los AG, se han propuesto modificaciones a las funciones decostos y penalizacin y al proceso de seleccin (e.g. Savic y Walters, 1997); a los operadores demutacin y recombinacin (e.g. Goldberg, 1989; Villalba, 2004); reducciones del espacio debsqueda (e.g. Kadu et al., 2008), entre otras tcticas.

2.5.2. Bsqueda de Armona (Harmony Search)La Bsqueda de Armona imita el proceso de improvisacin de los msicos (especialmente laimprovisacin en el jazz) con el propsito de encontrar la mejor solucin a un problema deoptimizacin; en este caso, el propsito es encontrar el diseo de mnimo costo. En el proceso deimprovisacin, cada msico toca una nota buscando obtener un perfecto estado de armonaconjunta (armona fantstica). De manera anloga, en el caso del diseo de RDAP se busca elconjunto de dimetros que permita obtener la mejor solucin conjunta, es decir, que minimiceuna funcin de costos determinada.

De la misma manera en la que en el jazz el estado de armona fantstica se determina medianteuna apreciacin esttica, en el diseo de RDAP el mejor estado u ptimo global se determinamediante la evaluacin de una funcin de costos. La apreciacin esttica est dada por el conjuntode tonos tocados por cada instrumento; anlogamente, la evaluacin de la funcin de costos estdada por el conjunto de valores asignados a las variables de decisin (i.e. a los dimetros de lastuberas). En la improvisacin musical, la calidad de la armona se mejora ensayo tras ensayo, de lamisma forma en que la calidad de la solucin al problema del diseo se mejora iteracin trasiteracin. Para ilustrar este proceso, se puede analizar el siguiente ejemplo (Geem, 2006): se tieneun tro de jazz compuesto por un saxofn, un bajo y una guitarra. En la memoria de cada msicoexiste un cierto nmero de tonos preferidos: saxofonista {Do, Mi, Sol}, bajista {Si, Sol, Re} yguitarrista {La, Fa, Do}. Si el saxofonista toca un Sol, el bajista un Si y el guitarrista un Do, juntos


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conforman una nueva armona {Sol, Si, Do}, la cual corresponde al acorde C7. Si esta nuevaarmona es mejor que la peor armona que tenan los msicos en su memoria, la nueva armona es

incluida en sus memorias y la peor es eliminada. Este procedimiento se repite hasta encontrar laarmona perfecta.

Los parmetros del algoritmo de bsqueda de armona son: tamao de la memoria, tasa deseleccin de la memoria, tasa de ajuste de los tonos y ancho de banda o magnitud del cambio quese debe llevar a cabo para hacer un ajuste de tono. A medida que la bsqueda avanza, es posiblevariar los parmetros del algoritmo para obtener mejores resultados.

En 2006, Geem utiliz el algoritmo de bsqueda de armona para encontrar el diseo ptimo decinco RDAP y obtuvo soluciones de igual o menor costo que las obtenidas mediante otrosalgoritmos metaheursticos como los AG, el Recocido Simulado y la Bsqueda Tab.Posteriormente, en 2009, Geem fusion la tcnica de Bsqueda de Armona con otra tcnica

llamada Enjambre de Partculas; con esta combinacin logr encontrar diseos de mnimo costoen muy pocas iteraciones.

2.5.3. Recocido Simulado (Simulated Annealing)El Recocido Simulado es un algoritmo para la optimizacin de problemas cuyo espacio debsqueda es muy grande. En general, este algoritmo se aplica cuando el conjunto de posiblessoluciones est conformado por variables discretas, es decir, cuando se presentan problemascombinatorios, como es el caso del diseo de RDAP.

El nombre y la estructura de este algoritmo estn basados en la tcnica de recocido que se utiliza

en metalurgia, la cual consiste en calentar y enfriar de manera controlada un material con elpropsito de incrementar el tamao de sus cristales y reducir sus defectos. Al calentar el material,sus tomos son liberados de su posicin inicial y adquieren movilidad, lo que les permitealcanzar diferentes estados. Si el material se enfra de manera apropiada, sus tomos alcanzarn elestado de mnima energa, lo cual corresponde a una estructura cristalina ordenada (Cunha ySousa, 1999). Hace aproximadamente 25 aos, el algoritmo del Recocido Simulado fue utilizadocon xito por Kirkpatrick, Gellatt y Vecchi (1983) y por ern (1985) para la solucin del tpicoproblema de optimizacin combinatoria denominado el problema del vendedor viajero y desdeentonces se ha aplicado de manera exitosa a la solucin de mltiples problemas de optimizacinen ingeniera. Este mtodo es la adaptacin del algoritmo Metropolis-Hastings desarrollado por N.Metropolis en 1953.

De manera anloga al proceso fsico del recocido, en cada paso del algoritmo la solucin actual esreemplazada por una nueva solucin; esta ltima es elegida en la vecindad de la configuracinactual de manera aleatoria o con una probabilidad de escogencia que depende de los valores queconforman la actual solucin y de un parmetro global T (temperatura) que es disminuidogradualmente durante el proceso. En cada iteracin, la nueva configuracin es evaluada paradeterminar si se acepta o no; si es aceptada, se convierte en el punto de partida de la siguienteiteracin; de lo contrario, la configuracin inicial ser nuevamente el punto de partida. Cuando elparmetro T toma valores grandes, la seleccin de la nueva configuracin es casi aleatoria; a


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medida que T disminuye la seleccin es ms dirigida. Eventualmente, el algoritmo permiteincrementar el valor de T con el propsito no quedar atrapado en mnimos locales. Si durante el

proceso completo el valor del parmetro T se disminuye a la tasa apropiada, el sistema tender aconverger a la configuracin global de mnimo costo. En 1999, Cunha y Sousa aplicaron porprimera vez la tcnica de recocido simulado al diseo de RDAP; al comparar los diseos obtenidoscon los encontrados por otros autores mediante diferentes metodologas de optimizacin,probaron la utilidad de esta tcnica para la optimizacin del diseo de RDAP. En aos recientes,otros autores (e.g. Tospornsampan et al., 2007a; Reca et al., 2007) han aplicado con xito latcnica del recocido simulado al diseo optimizado de RDAP.

2.5.4. Bsqueda Tab (Tabu Search)La Bsqueda Tab es una tcnica heurstica que puede utilizarse para la solucin de problemas de

optimizacin combinatoria. sta fue desarrollada por Fred Glover en 1997 y se basa en el procesode memoria humana y en la exploracin de la vecindad de la solucin posible x que se estanalizando en un momento determinado para moverse iterativamente desde esta solucin haciauna solucin x que se encuentra en la vecindad de x. Al implementar el algoritmo, es necesariocrear un mecanismo especial para explorar la vecindad de la solucin actual; este mecanismodefine los movimientos que se realizan en cada iteracin. En este algoritmo, la estructura dememoria denominada lista tab es utilizada para evitar visitar de manera repetida solucionesque han sido analizadas previamente. La lista tab es una memoria de corto plazo que contiene lassoluciones que han sido visitadas en el pasado reciente (hace menos de n iteraciones, donde n esel nmero de soluciones previas almacenadas en la memoria); as, cuando el proceso de bsquedatrata de ir hacia soluciones recientemente visitadas, el movimiento es prohibido y se denomina

movimiento tab. De acuerdocon el valor del parmetro n, los movimientos tab permanecernpor ms o menos tiempo (i.e. ms o menos nmero de iteraciones) en la lista tab.

Por otro lado, existe una variacin de la lista tab que prohbe soluciones que contengan ciertosatributos; as, algunos atributos de las soluciones recientemente visitadas son marcados comotab- activos y las posibles soluciones que contengan elementos de este tipo ganarn el estadode tab. Cuando slo unos atributos son marcados como tab-activos, generalmente son varias lassoluciones que resultan marcadas como tab, lo que lleva a su exclusin de la bsqueda. Sinembargo, puede ocurrir que algunas de las soluciones marcadas como tab (debido a los atributostab-activos) sean de excelente calidad; para superar este problema se utilizan los criterios deaspiracin, los cuales permiten, en casos particulares, modificar el estado de tab de una solucinadmitiendo as su inclusin en el conjunto de soluciones permitidas.

En 2004, Cunha y Ribeiro aplicaron la Bsqueda Tab al diseo de algunas RDAP de prueba queson utilizadas a nivel mundial y cuyos diseos optimizados son reportados en la literatura; losresultados demostraron que el algoritmo de Bsqueda Tab es til para resolver el problema deldiseo optimizado de RDAP. Posteriormente, Tospornsampan et al (2007) y Reca et al. (2007)aplicaron de nuevo la Bsqueda Tab al problema mencionado.


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2.5.5. Criterio geomtrico de diseo propuesto por I Pai WuEn 1975, el ingeniero I-pai Wu desarroll un criterio para el diseo de sistemas de riego a presin,el cual ha probado ser til para obtener el diseo de costo mnimo de tuberas en serie condistribucin uniforme de las demandas.

Este criterio se basa en determinar la forma de la lnea de gradiente hidrulico (LGH) ptima, esdecir, la LGH correspondiente al diseo de mnimo costo. Si en una serie de tuberas se conoce deantemano la forma de la LGH ptima, es posible determinar las prdidas de energa que sedeberan producir en cada tramo para tener el diseo de mnimo costo. Conociendo el caudal (elcual se puede determinar con facilidad en una serie de tuberas) y las prdidas ideales en cadatramo, se puede estimar el dimetro requerido utilizando una ecuacin de resistencia como la deHazen-Williams o la de Darcy-Weisbach; as, el problema del diseo de series de tuberas seconvierte en un conjunto de diseos de tuberas simples.

Con el propsito de encontrar la forma de la LGH ptima, I-pai Wu analiz series de tuberas condemandas uniformes (igualmente espaciadas y de igual magnitud) y con topografa variada (queincluyen pendientes ascendentes y descendentes, tanto uniformes como no uniformes); en estasseries Wu prob 15 patrones de LGH diferentes. Adems, utiliz una ecuacin potencial de costoscomo la Ecuacin 2 y llev a cabo mltiples simulaciones para valores del exponente de costos bentre 1 y 3.

A partir de los resultados obtenidos, Wu determin que la serie de tuberas de menor costo(considerando solo costos de materiales y construccin) corresponde a aquella cuya LGH formauna curva cncava hacia arriba que se encuentra un poco por debajo de la lnea recta que une las

alturas de energa total al inicio (Punto A de la Figura 1) y al final (Punto B de la Figura 1) de la seriede tuberas. De manera ms exacta, Wu estableci que la LGH ptima tiene, en la seccin mediade la serie de tuberas, una flecha del 15% de H con respecto a la lnea recta (lnea AB de la Figura1) previamente descrita, donde H corresponde a la altura total disponible ( ). Esto se ilustra en la Figura 1.

Figura 1 Criterio de I-pai Wu. (Ochoa, 2009)


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Por otra parte, I-pai Wu demostr que si se utilizara una LGH recta para disear (lnea AB de laFigura 1), solo se producira un incremento de 2,5% o menos en los costos con respecto al diseoptimo. Asimismo, Wu descubri que todas las LGH que estuvieran por encima de la LGH rectallevaran a diseos ms costosos que los correspondientes a la configuracin que genere una LGHrecta.

Cabe anotar que los dimetros obtenidos al aplicar el criterio de I-pai Wu son dimetros continuosy es necesario aproximarlos a un dimetro comercial, con lo cual los costos iniciales de materialesy construccin podran variar.

Se puede entonces observar que, a diferencia de las metodologas de diseo descritas en elNumeral 3.2, el criterio de I-pai Wu se basa en caractersticas geomtricas e hidrulicas delsistema para encontrar el diseo ptimo. Sin embargo, este criterio tiene la limitacin de slo ser

aplicable al diseo de tuberas en serie con demandas aproximadamente uniformes.

Aplicacin del criterio de I Pai Wu al caso de RDAP

Criterio de featherstone (1983)3

En 1983, el profesor Ronald Featherstone, de la Universidad de Newcastle upon Tyne, propusoextender el criterio de I-pai Wu al caso de RDAP; con base en esta idea, estableci la metodologaque se describe a continuacin para alcanzar el diseo ptimo de RDAP.

El procedimiento planteado por Featherstone consiste en calcular unas alturas piezomtricasideales en cada uno de los nudos de la red. Para esto se establece un plano inclinado de presionescuyo punto ms alto corresponde al tanque de abastecimiento o estacin de bombeo y su puntoms bajo es la altura piezomtrica del nudo ms alejado del tanque (que debe tener la alturapiezomtrica mnima); as, al conocer la forma del plano, se procede a calcular la alturapiezomtrica ideal en cada nudo, de tal modo que sta quede ubicada sobre el plano inclinadodescrito previamente (Saldarriaga, 2001). Este concepto se ilustra en la Figura 2.

3Tomado de:Saldarriaga, J. G., 2007. Hidrulica de Tuberas: abastecimiento de agua, redes, riegos. Editorial Alfaomega.Bogot, Colombia.Villalba, G., 2004.Algoritmos de optimizacin combinatoria aplicados al diseo de redes de distribucin deagua potable. Tesis de magster. Universidad de los Andes, Bogot, Colombia.


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Figura 2 Criterio de I-pai Wu. Ochoa (2009)

En la Figura 2 los planos ABC y ADC deben formar parte de un mismo plano general; las lneaspunteadas corresponden a las alturas piezomtricas de cada uno de los nudos de la red; el punto 2corresponde al nudo ms alejado y, por lo tanto, al de mnima presin; y el punto 1 corresponde altanque de abastecimiento.

En general, el criterio de Featherstone funciona bien en redes planas, cuadriculadas y con un solotanque de abastecimiento y puede presentar problemas cuando la topografa es variada, latopologa compleja, cuando aumenta el nmero de tanques de abastecimiento o cuando existenbombeos directos a la red.

2.5.6. Superficie ptima de presiones (SOP, villalba, 2004)4El mtodo de diseo por Superficie ptima de Presiones (SOP) fue desarrollado por GermnVillalba en 2004 como su tesis de Maestra en Ingeniera de Sistemas de la Universidad de losAndes.

Esta metodologa es una extensin del criterio de I-pai Wu al caso de RDAP; adems, dado que esaplicable a redes de distribucin con cualquier topologa y topografa, constituye una mejora almtodo propuesto por Featherstone.

La idea central de la metodologa SOP es suponer que existe una superficie ideal de presionesconformada por una serie de puntos (X, Y, h), en donde X y Y representan las coordenadas planas

de cada nudo de la red y h representa la altura piezomtrica en stos; con estas alturas ideales enlos nudos de la red se pretende obtener una configuracin de dimetros que tenga un costo muycercano al mnimo.

4Tomado de:Saldarriaga, J. G., 2007. Hidrulica de Tuberas. Editorial Alfaomega. Bogot, Colombia.Villalba, G., 2004.Algoritmos de optimizacin combinatoria aplicados al diseo de redes de distribucin deagua potable. Tesis de magster. Universidad de los Andes, Bogot, Colombia.


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Para calcular la superficie ptima de alturas piezomtricas es necesario definir cuatro elementos:

1) la LGH en cada una de las fuentes de abastecimiento de la red; 2) la presin mnima requeridaen los nudos; 3) la distancia de cada nudo de consumo a las fuentes de abastecimiento; 4) unaecuacin que modele la cada de la altura piezomtrica de nudo a nudo (partiendo de la fuente deabastecimiento hasta llegar al nudo ms alejado). Los dos primeros elementos se pueden conocercon facilidad: la LGH de las fuentes de abastecimiento est dada por su localizacin con respecto ala red y por las reglas de operacin del sistema, en tanto que la presin mnima requerida en losnudos est normalmente fijada en una norma local. En contraste, existen diferentes formas decalcular la distancia de los nudos de consumo a las fuentes de abastecimiento y de modelar lacada de la altura piezomtrica; stas se describen a continuacin:

Clculo de las distancias a las fuentes

La distancia entre un nudo cualquiera de la red con coordenadas (X, Y, Z), donde Z corresponde ala cota fsica del nudo, y una de las fuentes de abastecimiento del sistema se puede calcular detres maneras:

- Distancia eucldea 2D: La distancia eucldea en dos dimensiones corresponde a la distanciaentre dos puntos considerando solamente sus coordenadas planasX y Y.

- Distancia eucldea 3D: La distancia eucldea en tres dimensiones corresponde a ladistancia entre dos puntos teniendo en cuenta sus coordenadasX, Y yZ.

- Distancia topolgica:La distancia topolgica entre dos puntos de una RDAP corresponde ala mnima distancia o recorrido para llegar de un punto al otro a travs de las tuberas del

sistema; esta distancia depende entonces de la topologa de la red y del sentido de flujoen las tuberas, el cual determina la ruta que sigue el agua para llegar a un puntodeterminado del sistema. Para calcular la distancia topolgica no es suficiente unaecuacin, sino que es necesario implementar un algoritmo que determine la distanciamnima entre dos vrtices de un grafo; en este caso, un vrtice sera la fuente y el otro elnudo i.

Para el clculo de la Superficie ptima de Presiones se debe utilizar la distancia topolgica, dadoque es la distancia que representa el recorrido real del agua en la red y, por lo tanto, esproporcional a las prdidas de energa en la misma.

Ecuaciones para modelar la cada de la altura piezomtrica ideal de nudo a nudo

En su tesis, Germn Villalba prob diferentes ecuaciones que permiten determinar las superficiesptimas de presiones para una red con una o varias fuentes de abastecimiento. Las ecuacionesprobadas por Villalba para modelar la cada de altura piezomtrica fueron:

- Ecuacin lineal: Esta ecuacin modela una relacin lineal entre la LGH ideal y la distanciaentre los nudos y las fuentes.


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- Ecuacin cuadrtica: Esta ecuacin establece una relacin cuadrtica entre la LGH ideal yla distancia entre los nudos y las fuentes.

-

Ecuacin catenaria:Esta ecuacin establece la relacin entre la LGH ideal y la distanciaentre los nudos y las fuentes mediante una curva catenaria.- Ecuacin recproca: Esta ecuacin modela la relacin entre la LGH ideal y la distancia entre

los nudos y las fuentes como una curva recproca.

2.5.7. Metodologa de superficie ptima de gradiente hidrulico (SOGH)Esta metodologa corresponde a la expansin a RDAP de la metodologa desarrollada para eldiseo de series de tuberas (Numeral 4.3.3), la cual se basa determinar la forma de la LGH ptimade un sistema de distribucin y a partir de sta calcular los dimetros de las tuberas que generantal LGH y que conforman un diseo cercano al de mnimo costo. La nueva metodologa es similar a

la metodologa SOP (Numeral 3.4.2), pero tiene dos rasgos nuevos y diferentes:

1) Para cada sistema de distribucin se estima la flecha mxima ptima de la curvaLGH vs. Abscisa, la cual es funcin de la distribucin de demandas, el caudal total,la longitud total de tuberas y la funcin de costos. En contraste, en la metodologaSOP se supone que la flecha ptima para todas las RDAP es el 15% de la alturapiezomtrica disponible (H) y no se tiene en cuenta la variacin de dicha flechacon las caractersticas hidrulicas, topolgicas y comerciales del sistema.

2) Al implementar el algoritmo para el clculo de la superficie ptima de gradientehidrulico se corrigieron los errores de la metodologa SOP descritos en el

Numeral 3.4.2.4, de tal modo que la nueva metodologa es aplicable a redes concualquier topologa, topografa variable y mltiples fuentes de abastecimiento.Adems, el resultado que se obtiene con la metodologa SOGH no estcondicionado por el diseo inicial o semilla de la red.

Esta nueva metodologa fue implementada en el software de simulacin hidrulica y diseo REDES(CIACUA, 2008), el cual ofrece una interfaz cmoda para trabajar y, adems, cuenta con mltiplesfunciones y procedimientos que hicieron ms fcil y gil la implementacin de la metodologapropuesta.

Las etapas que conforman la metodologa de la Superficie ptima de Gradiente Hidrulico (SOGH)

se enuncian a continuacin. Es importante anotar que antes de aplicar esta metodologa se debenfijar los parmetros de diseo tales como: presin mnima requerida (Pmn), funcin de costos, basede dimetros comerciales disponibles, ecuacin de prdidas de energa por friccin (Darcy-Weisbach o Hazen-Williams), nmero mximo de iteraciones y error admisible en el clculo de lasuperficie ptima de gradiente hidrulico, entre otros.


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Etapas que conforman la metodologa SOGH:

Cada una de las etapas que se enuncia a continuacin corresponde a un proceso complejocompuesto por mltiples actividades; es por eso que a stas se les denomina etapas y a lasactividades que las conforman se les denomina pasos.

1. Asignacin inicial de dimetros proporcionales a la distancia topolgica.2. Estimacin de la flecha ptima de la curva LGH vs. Abscisa.3. Con la asignacin de dimetros actual, realizar una simulacin hidrulica para determinar

caudales, sentidos de flujo en las tuberas y calcular las distancias topolgicas de los nudos alas fuentes de abastecimiento.

4. Clculo de la superficie ptima de gradiente hidrulico; es decir, estimacin de la LGH ideal decada nudo de la red. Este clculo se hace con base en las distancias topolgicas calculadaspreviamente.

5. Asignacin de las prdidas de energa objetivo a cada tramo de tubera, las cualescorresponden a la diferencia de las alturas piezomtricas o LGH ideales de sus nudos inicial yfinal (estimadas en la Etapa 4).

6. Clculo del dimetro ideal de cada tubera para las prdidas objetivo fijadas en la Etapa 5 ypara los caudales obtenidos en la simulacin hidrulica del Pas

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