algoritmoOctave

7/21/2019 algoritmoOctave

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INE5202 Prof. Daniel S. Freitas

3 RESOLUO DE SISTEMAS DE EQUAES LINEARES

Sistemas lineares : procedimento numrico utilizado na soluo de modelos matemticos que envolvem

muitos elementos interligados e onde no seja possvel resolver nenhum elemento isoladamente..

Exemplo 1: muitos elementos interligados.

Exemplo 2: soluo numrica de equaes diferenciais elasticidade! transfer"ncia de calor! mec#nica dos

fluidos! etc.$ :

o domnio de soluo %discretizado&! ou seja! o que era infinitamente contnuo dividido epassa a ser um conjunto limitado de partes finitas :

'ma maneira de o(ter uma soluo atri(uir a cada parte i!j$ uma varivel z i!j$! representando umasoluo constante dentro dos limites de i!j$ ou seja! zi!j uniforme dentro da poro i!j$

)odas as partes elementares esto interligadas e no possvel sa(er o valor de z em nenhuma delassem o(ter a soluo de todas ao mesmo tempo.

* soluo o(tida pela soluo de um sistema linear ++! onde + o n,mero de elementos partes$em que foi dividido o domnio.

-

eq./ eq.0 eq.1

eq.-quantidade que sai de umcerto componentedepende da quantidadeque entra

domnio contnuoonde se desejaconhecer a soluo

de uma 23

o contnuo divididoem partes finitas

partei!j$

/0 =

nos contornos o

valor de conhecido

em funo do queacontece noscontornos! a

equao fornece ovalor de emqualquer pontointerno 4!5$


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Matrizes: assunto conhecido.

Definio: 'm sistema de n equaes lineares a n inc6gnitas toda e4presso do tipo :

=+++

=+++

=+++

nnnn00n//n

0nn0000/0/

/nn/0/0///

(4a4a4a

(4a4a4a

(4a4a4a

=

n

0

/

n

0

/

nn0n/n

n0000/

n//0//

(

(

(

4

4

4

aaa

aaa

aaa

)am(m : n!!0!/i!(4an

/j

ijij ===

aije (jso n,meros reais prescritos

)odas estas e4presses podem ser resumidas em forma matricial como : (4* =

* chamada de matriz de coeficientes

Definio: Sol!"ode (4* = todo vetor [ ]n0/ !!! = tal que (* = .7uanto 8 soluo ! (4* = pode ser :3eterminado : e4iste apenas uma soluo det * $9ndeterminado : e4istem infinitas solues det * $9mpossvel : no e4iste soluo det * $

Ilustro !+o caso de sistemas 00! possvel visualizar algumas propriedades das solues .

Exemplo: resolver o sistema :

=+=+

0404

/;4041

0/

0/

( )

( ) /4.0/4

0

-

>

;

40

4/

Soluo: 4/- ? 4

01

14/@ 04

0 /;

A4/@ 04

0 0


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#asos particlares:

/$ Betas paralelas

no h soluo$:

0$ Betas coincidentes

infinitas solues$ :

1$ Sistema mal condicionado :

difcil visualizar$

Casos / e 0 : sistemas singulares Caso 1 : muito sensvel a erros de arredondamento durante a soluo numrica.

M"to#os #e resoluo #e A$%&

Diretos : a soluo o(tida realizandoAse um n,mero conhecido finito$ de operaes aritmticasem . 24ceto por erros de arredondamento! a soluo o(tida diretamente exata. *dequados para sistemas pequenos menores do que 11$. *dequados quando a matriz de coeficientes cheia.

Iterati$os : a soluo o(tida pelo truncamento do processo de limite de uma seqD"ncia de

apro4imaes sucessivas [ ]!!! 10/ . *dequados para sistemas de qualquer tamanho! quando a matriz de coeficientes esparsa muitos

coeficientes so nulos$.

Eais econFmicos quanto 8 armazenagem. Beduzem pro(lemas com erros de arredondamento! os quais aca(am sendo em grande parte

a(sorvidos pelo pr6prio processo iterativo.

)am(m podem ser utilizados em pro(lemas noAlineares.

-0

4/

40

A.=4/@ 4

0 /

A4/@ 04

0 0

4/

40

A4/@ 4

0 /

A4/@ 4

0 .=

4/

40 A.->4

/@ 4

0 /

A.=4/@ 4

0 /


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3'( M"to#os Diretos

Definio: uma operao de ponto flutuante consiste em : um conjunto de operaes multiplicao @ adio !+$ou :

uma operao de diviso G$

)ro&le*s +o* *tri, #i-onl !

=

n

0

/

n

0

/

nn

00

//

(

(

(

4

4

4

a

a

a

Soluo:

//

/

/a

(4 = !

00

0

0a

(4 = ! ... !

HH

H

Ha

(4 = ! ... !

nn

n

na

(4 =

%&s.: so necessrias n operaes de IJ.

)ro&le*s +o* *tri, trin-ulr inferior .soluo /or 0su&stituio #iret12 !

=

n

0

/

n

0

/

nn0n/n

000/

//

(

(

(

4

4

4

aaa

aa

.a

Soluo:

//

/

/////a

(4(4a ==

00

/0/0

0/000/0/

a

4a(4(4a4a

==+

( )( )

nn

/n/nn00n//nn

nnnnn/n/nn00n//na

4a4a4a(4(4a4a4a4a

==++++

%&s.: so necessrias n divises e ( )

=

=/n

/i

0/n.ni su(traesGmultiplicaes

n0G0 +nG0$ operaes n0$ operaes de IJ significa %da ordem de&$

-1


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)ro&le*s +o* *tri, trin-ulr su/erior .soluo /or 0retrossu&stituio12 !

=

n

0

/

n

0

/

nn

n000

n//0//

(

(

(

4

4

4

a

aa

aaa

Soluo:

nn

nnnnnn

a

(4(4a ==

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )/n/n

nn/n/n

/n/nnn/n/n/n/na

4a(4(4a4a

==+

( )

( ) ( )

//

0/0/n/n/nn//

//nn//n/n/0/0/// a

4a4a4a(4(4a4a4a4a

==++++

%&s.: n0$ operaes de IJ

)ro&le*s +o* *tri,es +eis!

2stratgias de soluo :

a$ 'e(ra de #ramer :

=

i

i4

%&s.: e4ige a o(teno de n@/$ determinantes de matrizes nn$ n@/$ n nK operaes KK$ sem otimizar otimizando : n-$$ tempo de soluo em um computador com capacidade de >> EJlops

n Lperaes flops$ )empo anos$

/ 1.


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d$ Decomposi!"o ,*-: n1G1$ e depois! cada nova soluo custa : n0$

*4 ( (4=

M '

M : matriz triangular inferior NMoOerAtriangular matri4N$

' : matriz triangular superior N'pperAtriangular matri4N$

uma vez o(tidas a M e a ':

*.4 ( tornaAse: M.'$.4 (

ou: M.'.4$ (

e a o(teno de um vetor soluo 4 pode ser decomposta em 0 passos muito mais rpidos doque uma eliminao gaussiana completa:

M.'.4$ ( /P$ M.5 ( su(stituio direta! com n0$$

5 0P$ '.4 5 retrossu(stituio! com n0$ $

no total! teremos NapenasN n0$ operaes at chegar 8 soluo! quando uma 2Q completacustaria n1G1$

%&s.: note que as componentes do vetor ( no so modificadas com a realizao da decomposio

isto significa que! uma vez o(tida a decomposio MA'! chegaAse rapidamente 8 soluo de umnovo sistema que tenha sido o(tido a partir do original pela simples modificao de (.

3'4 Eli*ino 5ussin 6In-7nu6

Jorma mais simples de 2liminao Qaussiana. N9ng"nuaN porque no adequada para computao automtica! a menos que modificaes essenciais

sejam feitas.

*4 ( (4 =

ou (4 =

Definio: Lperaes elementares so rearranjos vlidos$ de um conjunto de equaes *4( que noalteram a sua soluo 4! tais como:

/. qualquer equao pode ser multiplicada por uma constante

0. a ordem das equaes pode ser trocada1. qualquer equao pode ser su(stituda pela sua soma com qualquer uma das outras equaes.

-=

operaeselementares


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Exemplo: Considere o seguinte sistema:

6x1 2x2+ 2x3+4x4= 16 (l1)12x1 8x2+ 6x3+10x4= 26 (l2)

3x113x2+ 9x3+ 3x4=-19 (l3)

-6x1+ 4x2+ x318x4=-34 (l4)

1 passo$ 2liminar 4/da 0R! da 1Re da -Requaes:

6x1 2x2+ 2x3+4x4= 16 6x1 2x2+ 2x3+4x4= 1612x1 8x2+ 6x3+10x4= 26 4x2+ 2x3+2x4=-6 l2-(12/6)l13x113x2+ 9x3+ 3x4=-19 12x2+ 8x3+ x4=-27 l3-( 3/6)l1-6x1+ 4x2+ x318x4=-34 2x2+ 3x3-14x4=-18 l4-(-6/6)l1

note que a /R

equao no alterada! em(ora tenha sido usada para zerar os /os

coeficientes das outrasequaes:

A neste conte4to! ela a Nequao pivFN

A o coeficiente a//> o Ncoeficiente pivFN

o(serve que os 0 sistemas so equivalentes t"m a mesma soluo$

2 passo$ 9gnorar a /Requao e a /Rcoluna de coeficientes: com isto! o(tmAse um sistema 11 e omesmoprocesso / repetido com a 2ea!"o como pi$.

6x1 2x2+ 2x3+4x4= 16 4x2+ 2x3+2x4=-6 2x3- 5x4=-9 l3-(-12/-4)l2 4x3-13x4=-21 l4-(2/-4)l2

3 passo$ 2liminar 41na ,ltima equao. L resultado :

6x1 2x2+ 2x3+4x4= 16 4x2+ 2x3+2x4=-6 2x3- 5x4=-9

- 3x4=-3 l4-(4/2)l3

agora o sistema est na forma Ntriangular superiorN note que ele ainda equivalente ao sistema cheio$ original! mas muito mais fcil de resolver.

Passo final$ L(teno da soluo por retrossu(stituio:

A da equao l-: x4= 1

A com 4-! da equao l1: 2x3 5 1 = -9 x3= -2A com 4-e 41 ! da equao l0: x2= 1A com 4-! 41 e 40! da equao l/: x1= 3

->


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Al-orit*o /r Eli*ino -ussin 6in-7nu6

amos montar um algoritmo para a soluo de um sistema geral *4(! com n equaes e n inc6gnitas:

=

n

0

/

n

0

/

nn0n/n

n0000/

n//0//

(

(

(

4

4

4

aaa

aaa

aaa

/$ Etapa de Elimina!"o: 2sta fase pode ser dividida em n/ passos / H nA/$.

1 passo$ pivF a primeira equao a//$:

usar a /Requao para produzir nA/ zeros como coeficientes para cada 4 /em todas as equaes

e4ceto a primeira isto feito su(traindoAse m,ltiplos apropriados da /Requao das demais a /Requao chamada de a /Rea!"o pi$e permanece inalterada para cada equao restante 0 i n$! computar:

( )

/

//

/iii

j/

//

/iijij

(.a

a((

nj/a.a

aaa

as quantidades ai/Ga//$ so chamadas de mltiplicadores note que os novos coeficientes de 4//Rcoluna$ nas iAsimas equaes 0 i n$ sero zero pois

ai/ai/Ga//$a// depois deste /Ppasso! o sistema ficar na forma:

=

n

0

/

n

0

/

nn0n

n000

n//0//

(

(

(

4

4

4

aa

aa

aaa

2 passo$ pivF a segunda equao a00$:

note que! deste ponto em diante! a /R equao no mais alterada! e nem qualquer um doscoeficientes de 4/pois um multiplicador vezes su(trado de zero ainda zero$

portanto! podeAse ignorar a /Rlinha e a /Rcoluna e repetir o processo no sistema menor nA/nA/$ com ase(ndaequao como pivF! computaAse! para cada uma das equaes que restam 1in$:

( ) ( )( ) 0000iii

j0000iijij

(aa((nj0aaaaa

-T

pivF


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Passo 4$ pivF a equao HAsima aHH$:

e4atamente antes do HAsimo passo na etapa de eliminao! o sistema aparece como:

=

n

i

H

1

0

/

n

i

H

1

0

/

nnnjnH

inijiH

HnHjHH

n111

n00100

n//1/0//

(

(

(

(

(

(

4

4

4

4

4

4

aaa

aaa

aaa

aa

aaa

aaaa

neste ponto! uma %cunha& de coeficientes %& foi criada e as primeiras H equaes foramprocessadas e esto agora fi4as

usando a HAsima equao como pivF! selecionaAse multiplicadores de modo a criar %&s comocoeficientes para cada 4Ha(ai4o do coeficiente aHH

ento! computaAse! para cada equao restante H@/ i n$:

( )

H

HH

iH

ii

Hj

HH

iH

ijij

(.a

a((

njHa.a

aaa

0$ Etapa de 'etross&stiti!"o: *o final da etapa de eliminao! o sistema est na forma:

a11x1+ a12x2+ ... + a1(n-1)xn-1 + a1nxn = b1 a22x2+ ... + a2(n-1)xn-1 + a2nxn = b2

a(n-1)(n-1)xn-1+ a(n-1)nxn= b(n-1)annxn = bn

+ote que! com e4ceo da /Rlinha! os aij Us e os (iUs no so mais os do sistema original! massim aqueles que foram alterados pelo processo de eliminao.

2ste sistema pode ser resolvido por:

9mediatamente! partir da nAsima equao:nn

nn

a

(4 =

em seguida! usando a nA/$Asima equao:( )

( ) ( )/n/n

nn/n/n

/na

4a(4

=

e assim por diante! at a /Requao://

nn/1/10/0/

/a

4a4a4a(4 =

-;


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3e uma maneira geral! este procedimento pode ser resumido em:

nn

nn

a

(4 =

= +=

n

/ij

jiji

ii

i 4a(a/4 ! i n/! n0! ... ! /

89#i-o +o*/ut+ionl .O+t:e2

function x=eliau!"(#$b$n)

% &olu'o e u* !i!te*a linea nxn "o ,li*ina'o au!!iana !e* "iota*ento

% (,li*ina'o au!!iana innua).

x = eo!(n$1)

% ,ta"a e eli*ina'o

fo =1n-1

fo i=+1n

*ult = #(i$)/#($)

#(i$)=*ult

fo =+1n

#(i$) = #(i$) - *ult#($)

en

b(i) = b(i) - *ultb()

en

en

% ,ta"a e eto!!ub!tituico

x(n) = b(n) / #(n$n)fo i=n-1-11

x(i) = b(i)

fo =i+1n

x(i) = x(i) - #(i$)x()

en

x(i) = x(i)/#(i$i)

en

8sos e* ;ue E5 6in-7nu6 fl

24emplo:

=+=+044

/44.

0/

0/

donde se conclui que no se pode confiar em resultados o(tidos por 2Q para a//. para testar esta hip6tese! considere:

=+=+044

/44.

0/

0/ em que um nro pequeno e

resolvendo:

-


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( )

==+

/04//

/44.

0

0/

=//

/04 0 e

=

0

/

4/4

ocorre que! neste caso! como /G grande! em clculos com mantissa finita tanto 0A/Gcomo /A/G

seriam computados como A/G$! o que traria as seguintes conseqD"ncias:40seria calculado como / KK$4/seria calculado como

quando a soluo correta seria por regra de Cramer! por 24emplo$:

//

/4/

= e //

.0/4 0

=

na verdade! a 2Q Ning"nuaN funcionaria (em se as equaes fossem primeiro permutadas neste caso! ap6s a etapa de eliminao! teramos:

( )

==+

.0/4/

044

0

0/ /

/

.0/4 0

= e /404 0/ =

%&s.: o pro(lema consiste no fato de ser pequeno em rela!"o aos otros coeficientesna mesma linha.

#oncls"o:

* ordem em que as equaes so tratadas afeta significativamente a preciso do algoritmo de

eliminao no computador. +a eliminao gaussiana ing"nua! a ordem sempre a natural V/!0!...!nW.

7ual a melhor ordem a usarX *lguma que seja determinada pelo sistema sendo resolvido. Eodificao da ordem pi$otamento.

Estrt"-is #e /i:ot*ento

/. Pi$otamento parcial Y rearranjo das equaes de maneira a colocar os maiores coeficientes na

diagonal principal! a cada passo. parcial: apenas trocas de linhas$

0. Pi$otamento parcial normalizado Y idem ao anterior! mas a comparao feita entre coeficientes

normalizados em escala$.

=

retrosA

su(stituio

retrosAsu(stituio


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3'3 Eli*ino 5ussin +o* )i:ot*ento )r+il

amos guardar a ordem em que as equaes so tratadas em um $etor ndice:

l Vl/! l0! ...! lnW

os liso inteiros de / a n! em qualquer ordem. 24emplo: l V0!1!/!-W

Betomando o e4emplo da 2Q Ning"nuaN:

1-

/

/>

/;/->

1;/0

-00>

1-

/

0>

/;/->

1

/>;/0

ordem das linhas: { }-!1!0!/l= ordem das linhas: { }-!1!/!0l=

1 passo$ 2liminao de 4/na 0R! na 1Re na -Requaes:

( )

( )

( )

0/

0=/

1

0>

/1-0/

0/0/=//-/

//00/

/>;/0

( )

( )

( ) /-

/1

/0

l./0>l

l./01l

l./0>l

2 passo$ Iivotamento l0l1$ e eliminao de 40na 1Re na -Requaes:

Iivotamento:

( )

( )

( )

0/

1

0=/

0>

/1-0/

//00/

0/0/=//-/

/>;/0

2liminao:

( )

( ) ( )

( ) ( )

0/

///;

0=/0>

/1-0/

/////-//00/

0/0/=//-//>;/0

( )

( ) 0-

01

l.l

l.//0l

ordem das linhas: { }-!/!1!0l=

=/

l/l0

pivotamento


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3 passo$ Iivotamento l1l-$ e eliminao de 41na -Requao:Iivotamento:

( )

( ) ( )

( ) ( )

///;

0/

0=/

0>

/////-//00/

/1-0/

0/0/=//-/

/>;/0

2liminao:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

//1

0/

0=/

0>

//1/////00/

/1-0/

0/0/=//-/

/>;/0

( ) 1- l.///l

ordem das linhas: { }/!-!1!0l=

Passo final$ L(teno da soluo por retrossu(stituio:

A da equao l-: x4= 1

A com 4-! da equao l1: 4x3 131 = -21 x3= -2A com 4-e 41 ! da equao l0: x2= 1

A com 4-! 41 e 40! da equao l/: x1= 3

Al-orit*o /r Eli*ino -ussin +o* /i:ot*ento /r+il .o+t:e2

function x=eliau!"(#$b$n)

% &olu'o e u* !i!te*a linea nxn "o ,li*. au!!iana co* "iota*ento "acial.

x = eo!(n$1)

% ,ta"a e eli*ina'o

fo =1n-1

i"="iot(#$n$)

if i"=

t*"=#($) #($)=#(i"$) #(i"$)=t*"

t*"=b() b()=b(i") b(i")=t*"

en

fo i=+1n

*ult = #(i$)/#($)

#(i$)=*ult

fo =+1n #(i$) = #(i$) - *ult#($)

en

b(i) = b(i) - *ultb()

en

en

% ,ta"a e eto!!ub!tituico

x(n) = b(n) / #(n$n)

fo i=n-1-11

x(i) = b(i)

fo =i+1n

x(i) = x(i) - #(i$)x()

en x(i) = x(i)/#(i$i)

en

=0

a funo pivot logo a(ai4o$ determinaqual a mudana que deve ser feita na

ordem das equaes


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function i"t="iot(#$n$)

% u!ca a eua'o "i:$ ou !ea$ a eua'o co* coeficiente e *aio

% *;ulo na coluna

i"t=

"t=ab!(#($))

fo i=+1n

" = ab!(#(i$))

if " < "t

"t="

i"t=i

en

en

=1

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