Algoritmos de Caminhamento

7/23/2019 Algoritmos de Caminhamento

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO...................................................................................2

1 ALGORITMO DE KRUSKAL......................................................3

1.1 Árvore Mínima de Suor!e "MST#..............................................3

1.$ U!i%i&ando o MST..........................................................................4

1.' (ro)%ema da Árvore de Li*a+,e- Mínima-.................................41. A%*ori!mo........................................................................................5

1./ Me%0oria- no A%*ori!mo................................................................6

$ ALGORITMO DE DIKSTRA.......................................................6

$.1 2un3ionamen!o do A%*ori!mo.......................................................6

' ALGORITMO DE (RIM..............................................................11'.1 A%*ori!mo......................................................................................12

'.$ Ou!ro A%*ori!mo..........................................................................14

ALGORITMO DE 4ELLMAN52ORD........................................15

.1 A%*ori!mo......................................................................................15

/ ALGORITMO DE 2LO6D57ARS8ALL...................................16

/.1 A%*ori!mo......................................................................................17

9ON9LUSÃO...................................................................................18

RE2ER:N9IAS 4I4LIOGRÁ2I9AS............................................19



INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como objetivo apresentar os Algoritmos de aminhamento!

descrevendo s"as caracter#sticas e partic"laridades! disc"tindo os processos $"e os

englobam! mostrar com representa%&es gr'(icas o se" ("ncionamento e est"dar os c)digos.

2



1 ALGOR;TMO DE KRUSKAL

Este algoritmo "tili*a tr+s conj"ntos e! ! e v-. , - "sado para g"ardar as arestas da

'rvore epandida. / algoritmo trabalha trans(ormando "ma (loresta epandida de g em

"ma 0nica 'rvore. / conj"nto vs cont-m os conj"ntos das 'rvores da (loresta epandida.

nicialmente vs cont-m todos os v-rtices de g! onde cada v-rtice - "m conj"nto "nit'rio.

As arestas so escolhidas por ordem crescente de c"sto. "ando "ma aresta "ne

d"as s"b'rvores da (loresta epandida! estas so "nidas em vs! $"ando no! ela -

descartada! pois (orma ciclo.

1.1 Árvore Mínima de Suor!e "M-!#

st minim"m spannig tree o" msct 'rvore geradora de peso m#nimo minim"m

cost spanning tree "ma árvore mínima de suporte (mst) de "m gra(o ponderado - o

conj"nto de arestas ligando todos os v-rtices! tais $"e a soma dos pesos das arestas -! pelo

menos! to baia $"anto a soma dos pesos de $"al$"er o"tro conj"nto de arestas ligando

todos os v-rtices.

Eemplo

3

ig. 1 :ra(o /riginal

ig. 2 ;rvore #nima de<"porte



1.$ U!i%i&ando o M-!

=ado "m gra(o coneo no orientado g! com peso positivo nas arestas e > r?!

encontrar "ma 'rvore geradora de g de peso m#nimo. @ara resolver este problema acima o

algoritmo de r"sBal - "ma das op%&es! temos o"tras op%&es como o @rim e o Cor"vBa.

/ algoritmo de r"sBal - g"loso. omo o nome s"gere! estrat-gia "sada por esse

algoritmo consiste na escolha da melhor sol"%o em determinados instantes. sto -! ele (a*

"ma escolha )tima localmente esperando $"e esta escolha leve a "ma sol"%o )tima global.

@or ve*es cond"* a "ma sol"%o )tima! mas nem sempre isso ocorre.

1.' (ro)%ema da Árvore de Li*a+,e- Mínima-

=escri%o do @roblema

encontrar a 'rvore de comprimento total m#nimo sobre "ma rede orientada o" no

de distDncia! tempos! etc.

Algor#tmos de r"sBal

.constr"ir "ma lista das arestas da rede e orden'las por ordem crescente de

distDncias.

.come%ar por escolher a 1 aresta da listaF

.repetir 2 at- todos os v-rtices (a*erem parte da 'rvore identi(icadaF

.a 'rvore de liga%&es m#nimas - constit"#das pelas arestas escolhidas e tem

comprimento total ig"al a soma dos comprimentos das arestasF

asos Especiais

se! no ponto 3! temos arcos alternativos com ig"al comprimento e ao escolher ambos

(ormamse ciclos! ento eistem sol"%&es degeneradasF

se eistirem n conj"nto de m arcos nas condi%&es anteriores ento eistiro mn sol"%&es

)timasF

4



1. A%*ori!mo

"n%o r"sBal :GH!E gra(oF omprimento EIJ conj"nto de arestasKiniciali*a%oL

/rdenar E por ordem crescente do comprimento

M NHN

, O Karestas da 'rvore geradora m#nimaL

niciali*ar n conj"ntos! cada "m com n) de H

Kla%o g"losoL

repita

e K"!vLPP a menor aresta no considerada

"comp achar"

vcomp acharv

se "comp Q vcomp ento

j"ntar "comp!vcomp, , R KeL

at- N,N G n1

retornar ,

A compleidade do algoritmo pode ser analisada

/rdena%o das arestasF

niciali*a%o dos conj"ntos disj"ntosF

:asto para achar as arestasF

5

ig. 3 ;rvore :eradorado :ra(o /riginal



:asto para j"n%o.

1./ Me%0ora- no A%*ori!mo

@odese colocar "ma b"sca e ordena%o mais e(icientes! nas b"scas de "nio pode

se "tili*ar ShalvingT! SmergesortT - o"tra dica para se "tili*ar na ordena%o.

$ ALGORITMO DE DIKSTRA

/ algoritmo de =ijBstra - o mais (amoso dos algoritmos para c'lc"lo de caminho de

c"sto m#nimo entre v-rtices de "m gra(o e! na pr'tica! o mais empregado.

Escolhido "m v-rtice como rai* da b"sca! este algoritmo calc"la o c"sto m#nimo

deste v-rtice para todos os demais v-rtices do gra(o. / algoritmo pode ser "sado sobre

gra(os orientados d#gra(os! o" no! e admite $"e todas as arestas poss"em pesos no

negativos n"lo - poss#vel. Esta restri%o - per(eitamente poss#vel no conteto de redes de

transportes! onde as arestas representam normalmente distDncias o" tempos m-dios de

perc"rsoF podero eistir! no entanto! aplica%&es onde as arestas apresentam pesos

negativos! nestes casos o algoritmo no ("ncionar' corretamente.

$.1 2un3ionamen!o do A%*ori!mo

Ass"miremos "m conj"nto! hamaloemos PERM ! $"e cont-m inicialmente

apenas o v-rtice (onte rai* da b"sca s. A $"al$"er momento PERM cont-m todos os

v-rtices para os $"ais j' (oram determinados os menores caminhos "sando apenas v-rticesem PERM a partir de s. @ara cada v-rtice z (ora de PERM matemos a menor distDncia

dist[z] de s a z "sando caminhos onde o 0nico v-rtice $"e no est' em PERM seja z . U

necesss'rio tamb-m arma*enar o v-rtice adjacente precedente a z neste caminho em

path[z].

omo (a*er com $"e PERM cres%a! o" seja! $"al v-rtice deve ser incl"#do em

PERM a seg"irV ,omamos o v-rtice! entre todos os $"e ainda no pertencem a PERM ! com

menor distDncia dist . Acrescentamos ento este v-rtice chamemolo de current ! a PERM ! e

recalc"lamos as distDncias dist para todos os v-rtices adjacentes a ele $"e no estejam em

6



PERM ! pois pode haver "m caminho menor a partir de s! passando por current ! do $"e

a$"ele $"e havia antes de current ser agregado a PERM . <e ho"ver "m caminho mais c"rto

precisamos tamb-m at"ali*ar path[z] de (orma a indicar $"e current - o v-rtice adjacente a

z pelo novo caminho m#nimo.

Hejamos o ("ncionamento do algoritmo sob "ma o"tra representa%o

1 =e(inise inicialmente o n) de origem rai*! neste caso s! e incl"ise este n) em

PERM ig"ra 1. Atrib"ise *ero a s"a distDncia dist[s] por$"e o c"sto de ir de s

a s - obviamente W. ,odos os o"tros n)s i tem s"as distDncias dist[i] iniciali*adas

com "m valor bastante grande Xin(initoX.

ig. 4 Jepresenta%o do Algoritmo de =ijBstra

2 A partir de s cons"ltase os v-rtices adjacentes a ele! $"e no gra(o G so u e x

ig"ra 2. @ara todos os v-rtices adjacentes! $"e chamaremos z ! calc"lase

<e distY*Z I distYsZ ? pesos! * distY*Z G distYsZ ? pesos! *

7



pathY*Z G s

im <e


3 =entre todos os v-rtices no pertencentes a PERM escolhese a$"ele com a menor

distDncia ig"ra 3. Meste caso - o v-rtice x! pois distYZ G 5.


4 Ento! incl"ise x em PERM e a partir de x cons"ltase os v-rtices adjacentes a ele

$"e no esto em PERM ! $"e no gra(o G so u! v e y ig"ra 4. @ara todos os

v-rtices adjacentes! $"e chamaremos z ! calc"lase

<e distY*Z I distYZ ? peso! * distY*Z G distYZ ? peso! *

pathY*Z G

im <e

8





distDncia ig"ra 5. Meste caso - o v-rtice y! pois distY[Z G 7.


6 ncl"ise ento y em PERM e a partir de y cons"ltase os v-rtices adjacentes a ele

$"e no esto em PERM ! $"e no gra(o G - apenas o v-rtice v ig"ra 6.

<e distYvZ I distY[Z ? peso[! v

distYvZ G distY[Z ? peso[! v

pathYvZ G [

im <e

9





distDncia ig"ra 7. Meste caso - o v-rtice u! pois distY"Z G 8.

ig. 1W Jepresenta%o do Algoritmo de =ijBstra

8 ncl"ise ento u em PERM e a partir de u cons"ltase os v-rtices adjacentes a ele

$"e no esto em PERM ! $"e no gra(o G - apenas o v-rtice v ig"ra 8.

<e distYvZ I distY"Z ? peso"! v

distYvZ G distY"Z ? peso"! v

pathYvZ G "

im <e

1W





distDncia ig"ra 9. Meste caso - o 0nico v-rtice restante v e distYvZ G 9.


1W@or (im (a*se v pertencer a PERM . Meste ponto! todos os v-rtices j' esto em

PERM e a b"sca - (inali*ada ig"ra 13.

11




' ALGORITMO DE (RIM

A caracter#stica principal do algoritmo de r"sBal - $"e ele seleciona a melhor

arestas sem se preoc"par da coneo com as arestas selecionadas antes. / res"ltado - "ma

proli(era%o de 'rvores $"e event"almente se j"ntam para (ormar "ma 'rvore.

\' $"e sabemos $"e no (inal temos $"e prod"*ir "ma 'rvore s)! por $"e no tentar

(a*er com $"e "ma 'rvore cres%a nat"ralmente at- a obten%o da 'rvore geradora m#nimaV

Assim! a pr)ima aresta selecionada seria sempre "ma $"e se conecta > arvore $"e j'

eiste. sso - a id-ia do algoritmo de @rim

Mo in#cio o conj"nto C cont-m "m v-rtice arbitr'rio. A cada passo! o algoritmo

considere todas as arestas $"e tocam C e seleciona a de menor peso. =epois! o algoritmo

acrescenta em C o v-rtice ligada por essa aresta $"e no estava em C. / processo contin"a

at- $"e C contenha todos os v-rtices de :.

'.1 A%*ori!mo

("n%o PrimG = (!") #ra$o conj"nto de arestas

% G KL

& G Rm v-rtice de :

En$"anto & no cont-m todos os v-rtices

(u!v) G aresta de menor peso tal $"e u ' & e v &

% G % R K(u!v)L

& G & R KuL

Jetornar ,

@ara il"strar! consideremos o gra(o da (ig"ra 14! come%ando arbitrariamente pelo v-rtice a

@asso Aresta considerada onj"nto Cn#cio KaL1 b!a Ka!bL2 c!b Ka!b!cL3 d!a Ka!b!c!dL4 e!d Ka!b!c!d!eL

12



5 g!d Ka!b!c!d!e!gL6 (!g Ka!b!c!d!e!(!gL

A (ig"ra a seg"ir il"stra a progresso na composi%o da 'rvore geradora

13

ig. 14 :ra(o

ig. 15 @rogresso na composi%o da'rvore geradora.



@ara implementar e(icientemente esse algoritmo! "tili*ase "ma matri* de

adjac+ncia AY1..n! 1..nZ! onde cada elemento indica a distDncia entre dois v-rtices. aso

dois v-rtices no (orem ligados por "ma aresta o valor ser' . @ara representar o conj"nto

C! podemos "tili*ar d"as tabelas de n elementos! "ma indicando para cada v-rtice o v-rtice

de C $"e - mais perto! "ma o"tra $"e d' a distDncia at- o v-rtice de C $"e - mais perto.

<eja maisperto[*++n] e distmaisperto[*++n] essas d"as tabelas! respectivamente.

@ara "m v-rtice $"e j' pertence a C! colocamos 1 na entrada correspondente na tabela.

'.$ Ou!ro A%*ori!mo

("n%o Prim , = [*++n! *++n] #ra$o conj"nto de arestas

Knicialmente consideramos $"e o v-rtice 1 - o 0nico elemento de CL

% G KL

@ara i G 2 at- n

maisperto[i] G 1

distmaisperto[i] G ,[i!*]

Jepetir n* ve*esmin G

@ara - G 2 at- n

<e W distmaisperto[-] ] min ento

min G distmaisperto[-]

. G -

% G % R (.!maisperto[.])L

distmaisperto[.] G 1@ara - G 2 at- n

<e ^YB!jZ ] distmaisperto[-] ento

distmaisperto[-] G ,[.!-]

maisperto[-] G .

Jetornar ,

Analisando esse algoritmo! concl"ise $"e ele tem "m tempo de eec"%o em

/n2. "al - o melhor entre esse algoritmo e o algoritmo de r"sBalV <e o gra(o tem

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m"itas arestas! isto -! ele tem "m n0mero de arestas $"e se aproima de nn1! o tempo de

eec"%o com o algoritmo de r"sBal - em /n2 lg n! portanto pior $"e o algoritmo de

@rim. as se o gra(o - esparso! o n0mero de arestas se aproima de n. Messe caso! o

algoritmo de r"sBal est' em /n lg n e - o melhor. Ma verdade! eistem o"tros

algoritmos melhores no caso de gra(o esparso.

ALGORITMO DE 4ELLMAN52ORD

/ algoritmo de Cellmanord (a* "so da mesma t-cnica "tili*ada pelo algoritmo

de =ijBstra. Este algoritmo comp"ta os caminhos mais c"rtos de "m v-rtice inicial deorigem a todos os demais! incl"sive em gra(os com pesos negativos. A 0nica restri%o -

$"e o gra(o no poss"a nenh"m circ"ito de peso negativo.

.1 A%*ori!mo

En!rada< 1 :ra(o G com pesos nas arestasF 2 H-rtice s de origemF 3 atri* / de

pesos das arestasFSaída< aminho mais c"rto de s at- todos os demais v-rtices de G

para cada v-rtice v 0 ' $ a%a

d[v] 1

(im para

d Y sZ W

para i 1 at- 2' 2 1 (a%a para cada aresta u! v 0 E (a%a

se d YvZ 3 d YuZ ? /u! v ento

d YvZ d YuZ ? /u! v

(im se

(im para

(im para

para cada aresta u! v 0 E (a%a

se d YvZ 3 d YuZ ? /u! v ento

15



retorne A^</

(im se

(im para

retorne HEJ=A=EJ/

omo j' (oi dito! se eistir "m circ"ito negativo! no poderemos garantir $"e os

caminhos encontrados nos gra(os correspondem aos caminhos mais c"rtos. /" seja! se

eistirem arestas u! v tais $"e /u! v ? d YuZ 4 d YvZ! o algoritmo retorna A^</. Esse

teste - reali*ado pelo passo 12 do algoritmo. A compleidade de tempo do algoritmo de

Cellmanord - 52E2 2'2. =essa (orma! se voc+ precisa resolver o problema dos

caminhos mais c"rtos para "m gra(o com arestas com peso positivo! o algoritmo de

=ijBstra nos d' "ma sol"%o mais e(iciente. <e todas as arestas do gra(o poss"em peso

ig"al a 1! "m algoritmo de b"sca em larg"ra! $"e ser' disc"tido mais adiante! - o mais

indicado. @or (im! para encontrar os caminhos mais c"rtos entre todos os v-rtices de "m

gra(o com pesos nas arestas! vamos apresentar o algoritmo de lo[d_arshall.

/ ALGORITMO DE 2LO6D57ARS8ALL

<e todas as arestas de G so no negativas! podemos "sar o algoritmo de =ijBstra! o

$"e nos d' "m algoritmo de compleidade 52' 23. <e o algoritmo cont-m arestas de peso

negativo! mas sem circ"itos de peso negativo! podemos "sar o algoritmo de Cellmanord!

$"e nos d' "m algoritmo com compleidade de tempo 52' 222E2 o" 52' 24! no caso de

gra(os densos.

@ara o algoritmo de lo[d_arshall! vamos s"por $"e temos "ma matri* de pesos

/n6n! tal $"e a posi%o /i! - da matri* de adjac+ncias arma*ena o peso da aresta i -.

aso esta aresta no eista! /i! - G 1. / algoritmo de lo[d_arshall considera os

v-rtices intermedi'rios de "m caminho mais c"rto P ! o" seja! os v-rtices de P $"e no so

os etremos e consiste de n itera%&es! onde n - o total de v-rtices do gra(o. Ma primeira

itera%o! trocamos a aresta i + -! para 1 = i! - = n! pelo caminho mais c"rto de i a -! eceto i

e -! $"e passe somente pelo v-rtice 1. Esta opera%o - eec"tada pela compara%o entre

/i! 1 ? /1 ! - e /i! - e selecionando o menor valor! onde /i! - G /Wi! - correspondeao peso da aresta i + -. / res"ltado desta compara%o - chamado /1i! -. Ma seg"nda

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itera%o! trocamos o caminho de i a - calc"lado d"rante a primeira itera%o pelo caminho

de menor peso de i a - $"e! desta ve*! pode passar pelos v-rtices 1 e 2. Este caminho -

determinado pela compara%o entre /1i! 2 ? /12 ! - e /1i! -. / menor entre esses dois

valores ser' /2i! -. ="rante a . -sima itera%o! comp"tamos

/. i! - G min/.1i! - ! /.1i! . ? /.1.! - 2.1

para determinar o caminho mais c"rto entre i e - $"e passa somente pelos v-rtices 1 ! 2 !+++! . .

/ caminho mais c"rto entre cada par de v-rtices ser' encontrado ap)s a n-sima

itera%o. As posi%&es /. i- em cada matri* indicam o peso de caminho mais c"rto de i a -

$"e atravessa somente os v-rtices 7 1 ! 2 ! + + + ! .8. @ara simpli(icar! o gra(o da (ig"ra no

incl"i os caminhos calc"lados a cada est'gio dos algoritmos! mas estes no so di(#ceis de

serem encontrados.

/.1 A%*ori!mo

Entrada atri* de adjac+ncias "n6n do gra(o G! contendo os pesos das arestas

<a#da Ma matri* "! a distDncia entre todos os pares de v-rtices de G

para . 1 at- n (a%a

para i 1 at- n (a%a

para - 1 at- n (a%a

/i! - min/i! - ! /i! . ? /.! -

(im para

(im para

(im para

Ao (inal da eec"%o! o algoritmo encontrar' os caminhos mais c"rtos entre todos

os pares de v-rtices do gra(o de entrada. Este algoritmo poss"i compleidade de 52' 23.

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9ON9LUSÃO

=e acordo com o ass"nto abordado! torno"se poss#vel entender "m po"co melhor o

("ncionamento dos algoritmos de caminhamento! s"as ("n%&es e a as di(eren%as de "m

m-todo pra o"tro.

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RE2ER:N9IAS 4I4LIOGRÁ2I9AS

Mi30e%. Árvore-http://www.inf.ufpr.br/~andre/Disciplinas/BSc/CI065/michel/ Acessadoem 3WPW5PW4

Si%va= Leonardo. Ana%i-e de A%*ori!mo- "U9D4#http://www.ec.ucdb.br/~marco/courses03a/aa/seminars/ ! Acessado em3WPW5PW4

9a-!ro unior= Amaur> A. Im%emen!a+?o e Ava%ia+?o de A%*ori!mo-4S(@9GM ara o 2e30o Tran-i!ivo de (ro)%ema- Re%a3ionado-www.dct.ufms.br/mestrado/dissertacoes/ ! Acessado em 3WPW5PW4

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O%iveira= Deni-e. Teoria do- Grao- e AnB%i-e 9om)ina!Cria "U2RGS#www.inf.ufr"s.br/~edenise/inf055#$/ ! Acessado em 3WPW5PW4

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Algoritmos de Caminhamento

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