Algoritmos de Fluxo Máximo

Verlani Timm Hinzvertimm@gmail.com

UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTASEscola de Informática

Programa de Pós-Graduação em InformáticaMestrado em Ciência da Computação

Prof. Dr. Paulo Roberto Gomes Luzzardi

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Sumário

Aplicações Conceitos Fluxo em redes Fluxo máximo Método de Ford-Fulkerson

Redes residuais Caminhos de aumento Cortes

Referências Bibliográficas

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Aplicações

Considere a seguinte situação modelada por um grafo: – Cada arco representa uma rua de mão única. – O peso de cada arco indica o maior fluxo possível ao longo da rua (veículos/hora).• Qual o maior número possível de veículos que pode viajar de u a v em uma hora?

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Aplicações

Outra situação: Imagine que uma empresa deseja transportar a

maior quantidade possível de produtos de uma cidade para outra, através da rede rodoviária.

A restrição do transporte é que cada estrada da rede suporta um número finito de caminhões. Então como determinar o fluxo máximo

permitido na rodovia?

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Outras aplicações

O envio de produtos do produtor ao distribuidor;

A deslocação das pessoas das suas casas para os locais de trabalho;

A expedição de cartas desde a estação de correio até os seus destinatários;

Modelagem de líquidos fluindo por tubos; Peças por linha de montagem; Informações por redes de comunicações,

Correntes por redes elétricas, …

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Conceitos

Capacidadede um arco

c(o,a)

fluxof(o,a) arcos ou arestas

nó

origem destino

No caso acima, verifica-se que existe uma capacidade de 5 unidades de fluxo do nó O para o nó A e de 4 unidades de fluxo do nó A para o O.

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O que são fluxos?

Em termos de grafo:

O fluxo é o envio de entidades de um nó(origem) até outro nó (destino), percorrendo alguns dos arcos da rede onde aqueles nós fazem parte.

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Fluxo em redes

Um fluxo em rede G=(V,E) é um grafo orientado em que cada aresta (u,v) E e tem uma capacidade não negativa c(u,v) 0.

● u=origem e v=destino;

● Cada vértice reside em algum caminho de u a v.

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Fluxo em Redes

Deve satisfazer as três propriedades seguintes: Restrição de capacidade: o fluxo que circulará em um

grafo deve ser igual ou menor que a capacidade máxima deste fluxo.

f(u,v) c(u,v) Anti-simetria oblíqua: o fluxo em um direção deve ser

igual ao seu fluxo na direção oposta.

f(u,v)=-f(u,v) Conservação de fluxo: O fluxo que entra deve ser igual ao

que sai.

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Fluxo em Redes

Redes de fluxo com múltiplas fontes e/ou destinos

Definir super-fonte que liga a todas as fontes; Definir super-destino ao qual todos os destinos

se ligam; Capacidades infinitas entre super-fonte e fontes,

e entre destinos e super-destino.

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Fluxo Máximo

Número máximo de unidades de fluxo que é possível enviar através da rede desde o nó origem até o nó destino.

Considera-se que há conservação de fluxo, ou seja, que o fluxo que parte da origem chega totalmente ao destino não havendo, portanto perdas no caminho.

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Problema do Fluxo Máximo

Para resolver o problema do fluxo máximo foram propostos os seguintes algoritmos:

O célebre método dos caminhos de aumento de Ford e Fulkerson, que foi o primeiro algoritmo proposto;

Goldberg e Tarjan propuseram um novo método conhecido como método do pré-fluxo.

Algoritmo de Edmonds-Karp propôs o algoritmo dos caminhos de aumento de comprimento mínimo.

Obs.: Neste trabalho foi enfatizando o Método de Ford-Fulkerson

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Método de Ford-Fulkerson

Depende de três idéias importantes: Redes residuais: Consiste em arestas que

podem admitir mais fluxo. Caminhos em ampliação: Consiste de um

caminho simples desde a origem até a rede residual.

Cortes: um corte é um conjunto de arcos orientados contendo, pelo menos, um ramo de cada caminho da origem ao destino.

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Redes residuais - conceito

Seja G = (V;E). Dado um fluxo f(s; v) em G, a capacidade residual cf é a

quantidade de fluxo adicional que pode passar por (s; v) sem exceder a capacidade c(s; v):

cf (u; v) = c(u; v) - f(u; v)

Assim, se por exemplo c(s; v) = 5 e f(s; v) = 4, ainda pode-se aumentar o fluxo de s para v em cf = 1 unidades antes que a restrição de capacidade seja excedida.

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Redes residuais - Exemplo

5-4=1

Rede residual

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Caminhos em ampliação - conceito

Dado um fluxo em rede G = (V;E) e um fluxo f, um caminho em ampliação (ou caminhos de aumento) é um caminho simples de s a t na rede residual Gf . A quantidade máxima pela qual o fluxo pode ser aumentado em um caminho de ampliação é chamada de capacidade residual de p, é expressa por:

cf (p) = minfcf (u; v) : (u; v) está em pg

Isso quer dizer que a capacidade residual de um caminho em ampliação p corresponde à menor dentre as capacidades das arestas que fazem parte de p.

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Algoritmo de Ford-Fulkerson

O problema do fluxo máximo pode resolver-se por Programação Linear, mas o algoritmo, devido a Ford-Fulkerson, que se vai descrever é muito mais expedito.

Os passos de cada iteração do algoritmo podem ser resumidos do seguinte modo:

1º - Escolhe-se um caminho qualquer desde a origem até ao destino, mas em que os arcos orientados que o constituintes tenham capacidade positiva (>0).

2º - Procurar nesse caminho o arco orientado com menor capacidade, c,

3º - Diminuir de c a capacidade de fluxo em cada arco do caminho no sentido considerado e aumentar de c a capacidade dos arcos no sentido inverso.

Regressar ao 1º passo. Se já não existir nenhum caminho em que todos os arcos tenham capacidade positiva, tal significa que já se determinou o fluxo máximo.

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Algoritmo de Ford-Fulkerson

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Caminhos de aumento - Exemplo

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Exemplo:Vamos aplicar este algoritmo à rede dada.1º passo - Considere-se, por exemplo, o caminho que passa pelos

nós 1, 2, 5 e 7.2º passo - Verifica-se que a menor capacidade destes arcos

orientados, no sentidode 1 para 7, é de 3 = Min(7,3,8), ver fig 1.2.3º passo - Subtrai-se este valor de 3 a 7 (= 4 no arco 12), a 3

(=0 no arco 2 5) e a 8 (= 5 no arco 5 7); soma-se o mesmo valor a 2 (= 5 no arco 2 1), a 1 (=4 no arco 5 2) e a 4 (= 7 no arco 7 5) e atualizam-se os valores das capacidades.

Caminhos de aumento - Exemplo

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Caminhos de aumento - Exemplo

Caminho: 1,2,5,7Min(7,3,8)=3

7-3=4

3-3=0

8-3=5

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Caminhos de aumento - Exemplo

1ª interaçãoCaminho: 1,4,6,7Min(5,4,9)=4

5-4=1

4-4=0

9-4=5

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Caminhos de aumento - Exemplo

3+4=7

2ª interaçãoCaminho: 1,3,5,7Min(9,3,5)=3

9-3=6

3-3=0

5-3=27+3=1

0

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Caminhos de aumento - Exemplo

3ª interaçãoCaminho: 1,3,6,7Min(6,2,5)=2

6-2=4

2-2=0

5-2=3

10+2=12

3ª interação

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Caminhos de aumento - Exemplo

4ª interaçãoNão existe nenhum caminho com capacidade positiva. Os arcos 25, 3 5, 3 6 e 4 6 têm todos capacidade nula, pelo que não é possível constituir qualquer caminho de 1 a 7 com capacidade maior que zero.

Está, portanto, encontrado o fluxo máximo possível de deslocar desde o nó origem até ao nó destino, 12 unidades de fluxo.

4-5=-1

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Teorema do Fluxo Máximo

Apesar deste algoritmo ser bastante simples, se apenas se quisermos conhecer o valor do fluxo máximo do nó origem para o nó destino e se tratar de uma rede com grandes dimensões, é possível resolver este problema através do Teorema do Fluxo Máximo:

“Para toda a rede com uma só origem e um só destino o fluxo máximo é igual ao valor mínimo de corte

entre todos os cortes possíveis da rede”.

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Cortes de fluxo - conceito

Um corte(S,T) de um fluxo em rede G = (V;E) é uma separação do conjunto de vértices V em dois conjuntos S e T = V - S, de forma que a origem s 2 S e o depósito t 2 T.

Se f é um fluxo, então o fluxo líquido pelo corte (S; T) é definido como f(S; T). A capacidade do corte (S; T) é c(S; T).

Um corte mínimo de uma em rede é um corte cuja capacidade é mínima dentre todos os cortes da rede.

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3

3

2

4

Cortes de fluxo - exemplo

Utilizado em redes de grandes dimensões

Fluxo máximo é igual ao valor mínimo de corte entre todos os cortes possíveis da rede.

7 9

5

8

9

7+9+5=21

7+1+3+2+2+5=20

3+3+2+4=12

12

8+9=173

172

5

2

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O professor Ademar tem dois filhos que, infelizmente, não gostam nem um pouco um do outro. O problema é tão grave que eles não só se recusam a caminhar até a escola juntos, mas de fato cada um se recusa a passar por qualquer quadra que o outro filho tenha percorrido no mesmo dia. Os filhos não tem nenhum problema com o fato de seus percursos se cruzarem em uma esquina. Felizmente, tanto a casa do professor quanto a escola estão em esquinas, mas além disso ele não está certo de que vai ser possível enviar ambos os filhos à mesma escola. O professor tem um mapa da sua cidade. Mostre como formular o problema de determinar se os dois filhos do professor podem freqüentar a mesma escola como um problema de fluxo máximo.

Um problema para pensar ...

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Referências

CORMEN, T. H. et al. Algoritmos: teoria e prática. Rio de Janeiro: Campus, 2002

.

Sites:http://www.engprod.ufjf.br/fernando/epd015/fluxo_maximo.pdf

http://descartes.ucpel.tche.br/WFC/2002/apa_grupo6-FluxoMaximo.pdf

Demonstração:http://www-b2.is.tokushima-u.ac.jp/~ikeda/suuri/maxflow/MaxflowApp.shtml?demo1