Algoritmos Robustos de Localizacao em Redes de Sensores

com Aplicacoes a Seguimento de Alvos

Maria da Fonte

1 Resumo

As redes de sensores sem fios (WSN, Wireless Sensor Networks) sao uma das tecnologiasmais promissoras pela sua utilidade num vasto numero de aplicacoes. A informacao sobrea localizacao dos sensores e um requisito critico uma vez que a informacao recolhida soe geralmente relevante quando combinada com a respectiva localizacao. Alem do mais, adeteccao, localizacao, e seguimento sao o fim ultimo em diversas aplicacoes propostas paraWSN, tanto em contexto civil como militar. Assim, com o intuito de melhorar as solucoesexistentes, este trabalho propoe algoritmos robustos para localizacao e seguimento de alvos(nao hostis, ou cooperantes) em WSN.

Especificamente, aborda-se o problema conhecido por Simultaneous Localization andTracking (SLAT), que visa determinar as posicoes dos nos da rede e de um alvo em movi-mento a partir de medicoes esparsas e imprecisas de distancias entre o alvo e cada um dossensores. Os metodos propostos seguem o princıpio de maxima verosimilhanca (ML, Maxi-mum Likelihood), ou seja, procuram seleccionar as estimativas de posicao de nos e alvo quemaximizam a probabilidade das observacoes. Dado o caracter multimodal do problemaML e importante fornecer uma boa inicializacao ao processo iterativo de maximizacao,desenvolvendo-se para tal novos metodos nao iterativos para localizacao de fontes (SL,Source Localization) e de multiplos nos de uma rede (SNL, Sensor Network Localization)baseados em medidas de distancia e optimizacao convexa semidefinida positiva (SDP, Se-midefinite Programming). O algoritmo SLAT proposto envolve assim etapas de estimacaonao iterativa de posicoes e etapas de refinamento ML para globalmente conseguir elevadaprecisao e boa escalabilidade com o aumento do numero de nos. Ao contrario dos metodosBayesianos, este objectivo e atingido com muito pouco conhecimento a priori sobre a con-figuracao geometrica a estimar. Sao desenvolvidos algoritmos especıficos para os variospassos envolvidos tanto para ruıdo Gaussiano, que modela observacoes com propagacaoem linha de vista (LOS, Line of Sight), como para ruıdo Laplaciano que modela outliersem cenarios de propagacao obstruıdos (NLOS, Non-Line of Sight).

Os algoritmos SNL reconstroem e factorizam matrizes de distancia Euclidianas (EDM,Euclidian Distance Matrices) a partir da observacao de algumas entradas ruidosas damatriz de distancias e do conhecimento de propriedades estruturais particulares dessaclasse de matrizes. Sao desenvolvidas variantes da tecnica basica conhecida de modo aque as funcoes de custo envolvidas no problema SDP aproximem melhor as funcoes deverosimilhanca do ruıdo subjacente (Gaussiano ou Laplaciano), conseguindo-se melhordesempenho quando as estimativas de posicao assim obtidas sao passadas a etapa derefinamento ML.

De forma similar, desenvolvem-se algoritmos SL baseados em SDP especificamenteadaptados ao ruıdo nas observacoes para utilizacao no passo de inicializacao incremental(no tempo) do metodo SLAT. Esta classe de algoritmos SL adopta num novo princıpio que

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transforma o problema de localizacao baseado em distancias num outro em que intervemvariaveis que podem ser interpretadas como angulos de chegada. Quando comparados comoutros metodos SDP para SL, os novos algoritmos apresentam maior precisao na relaxacaoda funcao de custo, que se reflecte em estimativas medias de posicao mais precisas.

Os resultados obtidos com dados simulados e reais mostram que os varios algoritmospropostos tem excelente desempenho, permitindo que o metodo SLAT global quase atinjao limiar inferior de Cramer-Rao sob ruıdo Gaussiano. Na presenca de outliers nas ob-servacoes observam-se ganhos de desempenho significativos na precisao de localizacao facea varios metodos alternativos, o que confirma a robustez da abordagem desenvolvida paraSLAT.

Categorias ACM CCS (1998): C.2.1 Network architecture and design/Wireless com-munication; C.3 Special-purpose and application-based systems/Signal processing systems

Palavras-chave: Localizacao de fontes, localizacao em redes de sensores, localizacao eseguimento simultaneos, programacao semidefinida, estimativas de maxima verosimilhanca

2 Introducao

Uma das tendencias mais marcantes no panorama tecnologico e cientıfico actual consiste noestudo e desenvolvimento de sistemas em rede onde diversos agentes interagem entre si paraconjuntamente realizarem uma tarefa complexa. Destacam-se em particular as aplicacoesenvolvendo mobilidade, potenciadas pelo aumento explosivo no numero de dispositivosligados as modernas redes de comunicacoes moveis, e as aplicacoes de redes de sensoresde larga escala, potenciadas pela reducao dramatica nos custos unitarios dos nos da redepara aquisicao de dados. Na maioria destas aplicacoes as questoes relacionadas com alocalizacao dos agentes assumem grande relevancia, pois em muitos casos a informacaorecolhida so e util se devidamente georeferenciada.

A enfase nos aspectos de localizacao deve-se, em boa medida, ao enorme sucesso dosistema GPS, que criou uma expectativa de elevada precisao e disponibilidade em ambien-tes exteriores (outdoor) que se tem procurado reproduzir noutros ambientes ou condicoesonde o posicionamento baseado em satelites e inconveniente ou tecnicamente inviavel (porexemplo, em ambientes interiores). Actualmente, grandes empresas de telecomunicacoes ede informatica, como a Google, investem enormes recursos no desenvolvimento de servicosde localizacao suportados na infraestrutura ja existente de redes moveis, ou na interaccaodirecta entre agentes em modo peer-to-peer. O trabalho aqui apresentado insere-se nestaenvolvente de grande dinamismo e actualidade. Embora se foque de modo particular o con-texto das redes de sensores sem fios, salienta-se desde ja que as tecnicas de localizacao aquipropostas, baseadas em medidas de distancia (ranges) e optimizacao, tem aplicabilidadenos restantes cenarios mencionados acima. Assim, as referencias feitas abaixo a sensores,nos, alvos, e fontes poderiam designar nao apenas os equipamentos constituintes dumaWSN propriamente dita (“motes”), mas tambem uma variedade de outros dispositivostais como telefones celulares, estacoes-base, robos, etc.

Localizacao em redes de sensores: Os avancos recentes na tecnologia tem permitidoo desenvolvimento de sensores multi-funcionais de baixo custo, baixo consumo de energia,de reduzida dimensao, e capazes de comunicar sem fios (via radio) a curtas distancias. Adisponibilidade de sensores baratos e inteligentes, interligados em rede atraves de ligacoes

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sem fios, e instalados em grandes numeros, fornece muitas oportunidades inovadoras paradeteccao, monitorizacao e controlo de edifıcios, cidades, e do meio ambiente. As aplicacoesactuais e potenciais de WSN incluem casas inteligentes (seguranca, controlo de eletro-domesticos, conforto adaptado as necessidades), busca e salvamento (localizacao de pes-soas perdidas, operacao de equipas de emergencia em cenarios de catastrofe), logıstica(controlo de stocks em tempo real, seguimento de recursos crıticos em edifıcios ou infra-estruturas de grande dimensao), monitorizacao ambiental (vigilancia de fogos florestais,monitorizacao da qualidade da agua) e seguimento de alvos (tanto em modo cooperativocomo em contextos militares classicos de deteccao/interseccao).

A determinacao de localizacoes espaciais e uma caracterıstica essencial das aplicacoesde WSN enumeradas acima. Por exemplo, as informacoes recolhidas ou comunicadas porum no da rede numa aplicacao de monitorizacao ambiental so sao uteis se complementadaspela localizacao geografica desse no. A localizacao e tambem relevante para optimizacaodo funcionamento de redes de comunicacao ad-hoc, incluindo encaminhamento geografico(routing), cobertura da rede, ou seleccao de esquemas de codificacao (network coding).Por vezes, localizacao e seguimento podem ser as principais tarefas de uma WSN, como eo caso de algumas aplicacoes de suporte a logıstica ou de mapeamento de habitat.

Na forma usada no sistema GPS, por exemplo, o problema de localizacao de fonte(SL) consiste em determinar a posicao de um ponto atraves de medidas de distancia1

a um conjunto de pontos georeferenciados, habitualmente designados por ancoras. Aobtencao de informacao espacial suportada em WSN apresenta desafios adicionais muitorelevantes, pois a rede pode ser composta por um grande numero de nos implantados deforma ad-hoc em que se torna impossıvel determinar manualmente e programar a posicaogeografica de cada sensor. Qualquer tecnica de localizacao dinamica deve levar em contaas limitacoes de baixo consumo de energia e baixo custo, que influenciam decisivamentetodos os aspectos de utilizacao das WSN. Em muitos cenarios de aplicacao e inconvenienteou mesmo impossıvel realizar operacoes regulares de manutencao dos nos (por exemplo,substituicao de baterias), pelo que a eficiencia energetica na operacao da rede adquire umaimportancia primordial. Sao justamente as restricoes de custo e consumo energetico queinviabilizam a solucao obvia de recorrer a GPS para posicionamento da grande maioriados nos duma WSN mesmo em cenarios outdoor em que esta opcao nao esta excluıda apartida. Naturalmente, a possibilidade de usar GPS nao se coloca em cenarios interiores,subterraneos e submarinos, onde as emissoes dos satelites que compoem o sistema naopodem ser recebidas.

Modelos de observacao: Dependendo da tecnica especıfica utilizada, o posicionamentopode ser baseado em diferentes tipos de observacoes:

• Distancias, inferidas a partir dos tempos de propagacao dos sinais trocados entrepares de pontos. Admitindo que os instantes de emissao sao conhecidos, os temposde propagacao sao directamente obtidos dos instantes de recepcao (TOA, Time ofArrival). Este e o modelo de observacao subjacente ao sistema GPS.

• Diferencas de distancias entre um ponto de origem, um ponto de destino, e umreceptor de referencia. Tal como acima, estas sao inferidas a partir das diferencas detempos de propagacao (TDOA, Time-Difference of Arrival), nao sendo necessarioassumir conhecimento dos instantes de transmissao. Este e o modelo de observacaousado em varios sistemas de radio-navegacao terrestres.

1Conforme discutido abaixo, SL pode ser suportada em medicoes alternativas tais como diferencas dedistancias, angulos, ou potencia RF recebida.

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• Informacao angular entre pares de pontos, obtida a partir de imagens ou angulos dechegada (AOA, Angle of Arrival) de sinais RF a antenas directivas.

• Potencia do sinal radio (RSS, Received Signal Strength), a partir da qual se podeestimar uma pseudo-distancia entre pontos conhecendo a lei de atenuacao do sinalno meio de propagacao.

Entre as medidas acima, TOA fornece um bom compromisso entre precisao e custo deimplementacao [1]. Os parametros do ruıdo em medicoes TOA podem ser assumidosconhecidos, sendo a aproximacao Gaussiana aceitavel em condicoes de propagacao naoobstruıdas (LOS) [2]. Em condicoes obstruıdas (NLOS) o ruıdo e normalmente modeladocom distribuicao EMG (Exponentially-Modified Gaussian) [3] ou Gama [2].

Por uma questao de tractabilidade matematica considera-se neste trabalho que o ruıdoNLOS tem densidade Laplaciana, o que faz surgir de forma natural a norma `1 nos al-goritmos de localizacao baseados no criterio de maxima verosimilhanca (ML) para estadistribuicao (seccao 5). Actualmente existe grande interesse, em varias areas, no desenvol-vimento de tecnicas de processamento de sinal baseadas em funcoes de custo contendo estanorma, pois esta induz tolerancia a outliers [4] e esparsidade em problemas de estimacaosub-determinados [5], dando origem a algoritmos simples e eficientes, cuja complexidadecomputacional e comparavel, e frequentemente inferior, a de metodos do mesmo tipo ba-seados em mınimos quadraticos classicos.

Localizacao vs. seguimento em redes: As tecnicas de localizacao simultanea dos nosduma rede (SNL) dao resposta ao problema de calibracao dos nos de uma WSN descritoanteriormente, determinando todas as posicoes a partir do conhecimento das coordenadasde um reduzido conjunto de ancoras previamente georeferenciadas e de medidas de posi-cionamento relativo entre pares de nos (tipicamente, medidas angulares ou de distancia).Algumas tecnicas de SNL podem operar mesmo na ausencia de ancoras, embora nesse casoa reconstrucao das posicoes relativas dos nos esteja sujeita a ambiguidades intrınsecas derotacao, translacao, e reflexao.

As questoes de seguimento (tracking) surgem naturalmente na presenca de mobilidadeem alguns dos agentes num cenario de operacao de WSN. Ao contrario das aplicacoesde radar/sonar em contexto militar, onde e necessario ter presente que um alvo (ou al-vos) a seguir pode ser hostil e procurara evitar ser detectado e seguido, nos cenarios deinteresse para o presente trabalho admite-se que todos os intervenientes colaboram paraque as localizacoes e trajectorias relevantes sejam determinadas com sucesso. Os proble-mas classicos de localizacao de fontes em radar/sonar/GPS colocam-se quando apenas umagente (ou um numero reduzido destes) se move, existindo conhecimento preciso sobre asrestantes posicoes. Em WSN, porem, e natural formular o problema de seguir um ou maisalvos quando as posicoes dos restantes nos da rede nao sao conhecidas na sua totalidade.Alem disso, e importante que os algoritmos resultantes sejam eficientes e escalaveis, dadoo numero potencialmente elevado de nos presentes na rede. Apesar de diversos trabalhostrataram o problema do seguimento de alvos em redes colaborativas [6], e estimacao daslocalizacoes dos sensores separadamente [7], poucos trabalhos abordam o problema prati-camente relevante de estimacao conjunta de localizacoes de sensores e seguimento de alvos(SLAT) [8, 9].

A maioria dos trabalhos sobre SLAT em WSN exploram as semelhancas com o popularproblema de SLAM (Simultaneous Localization and Mapping) em robotica para auto-localizacao de um agente em ambientes desconhecidos, formulando SLAT num contextoBayesiano [8, 10]. A funcao densidade de probabilidade a posteriori das posicoes dos

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sensores e do alvo e recursivamente propagada no tempo a medida que novas observacoes(target sightings) ficam disponıveis. Em [8] estas observacoes sao verdadeiras medidas dedistancia entre o alvo e sensores obtidas por uma combinacao de transmissoes acusticase RF. Outras formulacoes de SLAT recorrem a modelos de observacao alternativos, taiscomo imagens de vıdeo [10] (informacao angular, essencialmente) ou RSS [11]. Pode tomar-se partido das restricoes geometricas induzidas pela conectividade da rede para diminuira incerteza do posicionamento dos agentes [9]. Outra abordagem SLAT baseada numacombinacao de medidas de distancia e angulares, processadas centralmente segundo umcriterio ML, e apresentada em [12].

Metodos de optimizacao para problemas de localizacao: Uma das contribuicoesdeste trabalho (seccao 2.2) e o desenvolvimento de um algoritmo SLAT que, ao contrariodos metodos Bayesianos mencionados acima, requer muito pouca informacao a priori sobrea localizacao dos sensores e do alvo a seguir. Porem, este ganho de robustez e conseguidoseguindo uma abordagem baseada em matrizes de distancia Euclidianas (EDM) que ignoraa dinamica do alvo, convertendo o problema de SLAT num tipo particular de SNL comobservacoes muito restritas (distancias alvo-sensores). Recorre-se a programacao semide-finida positiva (SDP) para completar a EDM a partir das esparsas medidas de distanciadisponıveis, tomando partido das propriedades estruturais que uma matriz de distanciasdeve satisfazer.

Uma abordagem semelhante em que se completa uma EDM para resolver um problemaSLAT/SNL foi anteriormente sumariamente discutido em [11], embora no trabalho emquestao os autores tenham acabado por seguir uma tecnica alternativa baseada numavariante de MDS (Multidimensional Scaling). Em [13] (ver tambem a respectiva lista dereferencias), propoem-se metodos SDP (nao baseados em EDM) para resolver problemasSNL estaticos. Cenarios SNL submarinos e subterraneos com incerteza nas posicoes dasancoras sao considerados em [14], propondo-se uma formulacao SDP de complexidadereduzida. Em [15] formula-se SNL como um problema de recuperacao de fase segundo ocriterio ML.

O problema mais simples de localizacao de fonte (SL) tambem admite formulacoes SDP[16, 17], sendo abordado no presente trabalho porque e utilizado como passo intermediona proposta dum algoritmo SLAT robusto e escalavel (seccoes 4.4 e 5.3).

Na literatura de WSN podem encontrar-se muitas abordagens para SL e algumas paraSNL baseadas em tecnicas geometricas ou criterios heurısticos [18]. Estes metodos sao ha-bitualmente muito simples e rapidos, funcionando razoavelmente bem desde que as confi-guracoes de rede e nıvel de ruıdo nas observacoes sejam suficientemente favoraveis. Quandoestes pressupostos nao se verificam, os resultados tendem a degradar-se rapidamente. Porcontraste, os metodos propostos sao obtidos optimizando funcoes de verosimilhanca (ouaproximacoes destas), o que fornece uma metodologia formal consistente e de desem-penho (quase-)optimo mesmo em presenca de configuracoes geometricas desfavoraveis eperturbacoes significativas nas observacoes [19, 20, 21]. A complexidade dos algoritmosresultantes pode ser bastante superior a dos metodos heurısticos/geometricos, mas o me-lhor desempenho e tolerancia a cenarios de operacao desfavoraveis torna defensavel a suaadopcao se os recursos computacionais necessarios estiverem disponıveis.

Em termos muito gerais, a filosofia seguida aqui para problemas SL/SNL/SLAT con-siste em utilizar algoritmos iterativos ML para elevado desempenho de localizacao, inici-alizados com estimativas de alta qualidade que evitam em larga medida a convergenciapara extremos locais indesejados. As inicializacoes robustas e precisas sao obtidas porrelaxacao dos problemas de maximizacao de verosimilhanca que conduzem a problemas

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SDP. A convexidade destes ultimos assegura que possuem um unico minimizante, podendoser resolvidos de forma global com recurso a solvers genericos largamente disseminados(por exemplo, CVX/SeDuMi)

Metodos centralizados vs. distribuıdos: Os algoritmos propostos neste trabalhopara SL e SLAT sao centralizados, ou seja, admitem que as medidas de distancia recolhidasna WSN sao encaminhados para um no central que estima o conjunto de localizacoes deinteresse, sendo as estimativas posteriormente distribuıdas pelos varios agentes segundoas necessidades. Esta solucao permite ter nos muito simples, dado que a capacidadecomputacional necessaria pode ser instalada a medida num unico no central. No entanto,a solucao tem o inconveniente de apresentar um ponto crıtico de falha (o no central),existindo tambem tendencia para congestao das ligacoes na vizinhanca desse no.

Existe actualmente tambem um grande interesse no desenvolvimento de algoritmos deinferencia puramente distribuıdos para WSN, incluindo algoritmos para SNL, em que asvaraveis de interesse sao estimadas por trocas sucessivas de informacao entre nos vizinhosda rede, sem intervencao de um no central [1]. Apesar da sua elegancia conceptual, maiorresiliencia global do sistema a falhas quando comparado com a solucao centralizada, edistribuicao mais uniforme do trafego na rede os algoritmos distribuıdos apresentam im-portantes desvantagens. Por um lado, nao sao ainda conhecidas metodologias gerais paraimplementacao de algoritmos de optimizacao distribuıda, pelo que no presente contextoparece incerto que fosse possıvel implementar algoritmos equivalentes aos usados paracompletar matrizes EDM e obter estimativas ML. Por outro lado, e necessario que osnos individuais consigam suportar a carga computacional associada aos algoritmos dis-tribuıdos. Finalmente, sao tipicamente necessarias muitas trocas de informacao entrenos ate que os algoritmos distribuıdos convirjam, o que os torna energeticamente menoseficientes que os centralizados [1].

2.1 Perspectiva geral dos metodos propostos

O presente trabalho considera o problema de localizar um unico alvo (cooperante), que semovimenta na zona de cobertura de uma WSN, a partir de medicoes de distancia aos nos darede cujas posicoes nao sao conhecidos com precisao. Conforme discutido anteriormente,o objectivo deste problema SLAT e estimar as posicoes de todos os sensores e a trajectoriado alvo, possivelmente com conhecimento a priori das posicoes de um conjunto de ancoras.

A funcionalidade pretendida para SLAT, conjugada com requisitos de escalabilidadedo sistema, e construıda a partir de novos algoritmos para SL e SNL. Esta abordagemenvolve um compromisso que consiste em ignorar a dinamica do alvo2, que poderia ajudara reduzir os erros de estimacao, para se conseguir um desempenho mais robusto em queo conhecimento a priori necessario sobre as localizacoes a estimar dos nos e do alvo emuito reduzido. Esta caracterıstica, bem como a tolerancia face a propagacao NLOS,confere uma vantagem pratica decisiva a abordagem proposta face a outros algoritmosSLAT [8, 10].

O algoritmo SLAT proposto opera em duas fases consecutivas no tempo, designadaspor startup e updating. Durante a fase startup sao recolhidas medicoes correspondentes adiversas posicoes do alvo a partir da sua interaccao inicial com a rede, usando-se este blocode dados (designado adiante por batch, de acordo com [8]) para formar um primeiro esbocoda configuracao dos nos e da trajectoria inicial do alvo. A fase updating corresponde a

2A trajectoria do alvo e reduzida a um conjunto de pontos sem ordem espacial subjacente, correspon-dentes as posicoes em que foram recolhidas medidas de distancia aos nos da rede.

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actualizacao recursiva no tempo das posicoes estimadas, prolongando-se indefinidamenteate que se interrompa o processo de seguimento do alvo.

Cada uma destas duas fases e constituıda por uma etapa de inicializacao para calculorobusto de localizacoes aproximadas, seguida de passos de refinamento da funcao de vero-similhanca usando o metodo iterativo Majorization-Minimization (MM) [22]. Consegue-seassim minorar os habituais problemas relacionados com a convergencia para extremos lo-cais nos metodos ML devido a inicializacao deficiente. Ao longo do trabalho os variosalgoritmos propostos sao obtidos seja para ruıdo Gaussiano (propagacao LOS), seja pararuıdo Laplaciano (propagacao NLOS).

A etapa de inicializacao durante a fase de startup completa uma matriz EDM combase num bloco de distancias observadas entre o alvo e os nos da rede. Esta operacaoenvolve a resolucao dum problema de optimizacao convexo sem necessidade de qualquerconhecimento previo de posicoes. As coordenadas dos nos e alvo sao obtidas por facto-rizacao desta matriz, sendo apenas nesta operacao que se usa o conhecimento das posicoesdas ancoras para remover ambiguidades residuais de rotacao, translacao, e reflexao daconstelacao de pontos estimada.

A dimensao da EDM acima aumenta com o numero de observacoes no bloco de dados,pelo que havera sempre um limite maximo acima do qual se torna demasiado complexocompletar as entradas em falta desta matriz. Esta e a razao fundamental pela qual sediferenciam as fases de startup e updating. Durante a etapa de inicializacao desta ultima,em cada novo instante de tempo, fixam-se todas as posicoes de nos ja anteriormenteestimadas, resolvendo-se um problema de localizacao de fonte (SL) simples para determinarapenas as coordenadas associadas a mais recente observacao do alvo. A complexidade desteproblema nao cresce com o tempo, pois depende apenas do numero de nos envolvidos.

As etapas de refinamento sao identicas nas fases startup e updating pois sao suportadaspela mesma funcao de custo ML, diferindo apenas na forma como e calculado o ponto inicialda recursao atraves da etapa de inicializacao.

2.2 Contribuicoes

Conforme descrito na seccao 2.1, a abordagem proposta envolve um conjunto de passos in-terligados para implementacao da funcionalidade SLAT com as caracterısticas pretendidasde robustez e escalabilidade, superando assim o estado da arte tipificado pelos metodosBayesianos. De seguida destacam-se contribuicoes originais deste trabalho a nıvel dosvarios passos envolvidos:

1. Localizacao de fonte na presenca de ruıdo Gaussiano: Este trabalho apresenta umanova formulacao angular para algoritmos de localizacao de fonte ML baseados emdistancias. Os algoritmos assim obtidos sao nao iterativos, baseados em relaxacoesconvexas (SDP), e revelam maior precisao e consistencia que outros algoritmos dis-ponıveis na literatura para cada uma das classes de ruıdo consideradas. No casoGaussiano o primeiro algoritmo proposto, para localizacao 2D na presenca de ruıdoGaussiano, foi designado SLCP (Source Localization in the Complex Plane) [19].Este tipo de formulacao e dita “angular” porque a funcao de verosimilhanca e ma-nipulada de forma a expor um conjunto de direccoes, associadas a cada uma dasancoras, em cuja interseccao se localizaria idealmente a fonte. Obtem-se assimum problema equivalente que se assemelha bastante aos que se utilizam para lo-calizacao de fontes baseada em AOA. O enquadramento subjacente a SLCP podeser alargado a dimensoes superiores arbitrarias (≥3D) [23]. Tanto SLCP como aextensao a dimensoes superiores, designada por SLNN (Source Localization with Nu-

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clear Norm) oferecem relaxacoes muito precisas na maioria dos casos testados, ouseja, com elevada probabilidade o minimizante global unico duma funcao de custorelaxada localiza se perto do minimizante global da funcao de verosimilhanca naoconvexa/multimodal original.

2. Localizacao de fonte na presenca de ruıdo Laplaciano: A funcao de verosimilhancado problema SL para ruıdo Laplaciano e semelhante a do caso Gaussiano, substi-tuindo normas `2 por `1. Esta alteracao fornece robustez intrınseca a outliers nasobservacoes, pois uma medida de distancia com desvio grosseiro face a realidade(devido a propagacao NLOS, por exemplo) tera uma contribuicao menos preponde-rante para a funcao de verosimilhanca quando se aplica ponderacao com norma `1.Matematicamente, a presenca da norma `1 torna a funcao de verosimilhanca naodiferenciavel, dificultando a sua manipulacao. Recorre-se aqui a uma reformulacaodesta funcao, que consiste numa soma de normas `1, sob a forma duma soma pon-derada de normas `2, em que os pesos sao incluıdos como variaveis adicionais doproblema de maximizacao da verosimilhanca. Recupera-se assim a diferenciabili-dade da funcao de custo, aplicando-se, tal como no caso Gaussiano, tecnicas derelaxacao convexa para obter formulacoes SDP. O correspondente 2D do algoritmoSLCP acima, baseado na mesma abordagem angular mas diferindo substancialmentenos detalhes de relaxacao, e designado SL-`1 [24]. A robustez a outliers e observadanao apenas para ruıdo Laplaciano, subjacente a funcao de verosimilhanca adoptada,mas tambem para outros modelos de geracao das observacoes. E possıvel estenderesta tecnica para dimensoes superiores (≥3D), originando algoritmos designados porSL-`1 MD e SL-`1 SD [23] que ponderam de forma diferente o compromisso entreprecisao e complexidade computacional.

3. SLAT com conhecimento a priori reduzido: Este trabalho enfatiza o desenvolvimentode um metodo SLAT que evite a necessidade comum as abordagens Bayesianas deconhecer a priori, embora de forma aproximada, as localizacoes de interesse dos nose do alvo [25, 24]. Conforme discutido na seccao 2.1 isto e conseguido reformulandoSLAT como uma sequencia de problemas SNL/SL/ML e recorrendo a tecnicas deoptimizacao convexa em etapas crıticas do processamento (etapa de inicializacao,tanto na fase de startup como na de updating) para obter estimativas nao iterativasdas posicoes de interesse. As ancoras sao utilizadas primariamente para eliminarambiguidades residuais de rotacao, translacao, e reflexao da constelacao estimada,podendo considerar-se apenas o numero mınimo indispensavel face a dimensionali-dade do espaco ambiente (2D ou 3D).

4. Enquadramento ML coerente com complexidade moderada: O processo multi-etapaescalavel e eficiente descrito na seccao 2.1 envolve a utilizacao de diversos algoritmosde estimacao, dos quais apenas os algoritmos MM usados nas etapas de refinamentodas fases de startup e updating conduzem a estimativas ML. No entanto, houve ocuidado de desenvolver algoritmos SNL/SL para as etapas de inicializacao com baseem funcoes de verosimilhanca relaxadas semelhantes as das etapas de refinamento,assegurando assim uma compatibilidade de estimativas que permite inicializar os al-goritmos MM perto dos valores optimos, evitando extremos indesejados e acelerandoa convergencia. Assim, este trabalho propoe algoritmos SNL (startup), SL (upda-ting), e MM (startup/updating) desenhados a medida tanto para o caso Gaussiano(propagacao LOS) como para o caso Laplaciano (propagacao NLOS) [25, 24].

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E de notar que os novos algoritmos SNL propostos que completam e factorizamEDM para obter as coordenadas dos nos e alvos durante a fase de startup dife-rem dos metodos-padrao para completar EDM disponıveis na literatura. De facto,estes ultimos baseiam-se num criterio que penaliza os quadrados dos desvios en-tre distancias quadraticas previstas e observadas, o que difere substancialmente docriterio subjacente as funcoes de verosimilhanca de interesse (penalizacao dos qua-drados dos desvios entre distancias simples, no caso Gaussiano, e penalizacao dosmodulos dos desvios entre distancias, no caso Laplaciano).

5. Experiencias reais em ambiente interior : O algoritmo SLAT cujos componentes sediscutem acima sao validados nao apenas em simulacao, mas tambem recorrendoa dados reais 3D obtidos com um setup experimental em ambiente interior. Osistema e baseado em “motes” Cricket, produzidos por Crossbow Technologies [26],que utilizam uma combinacao de transmissoes acusticas e RF para determinar adistancia absoluta entre pares de nos (o alvo movel transporta tambem um destesdispositivos) sem necessidade de sincronizar com precisao os relogios internos doemissor e receptor. Embora o raio de accao de cerca de 10 metros deste sistemaseja algo limitado, conseguem-se obter muito bons resultados de localizacao, comprecisoes de alguns milımetros que estao dentro das tolerancias das medicoes usadascomo ground truth [27].

Notacao

Neste documento, escalares, vectores e matrizes sao representadas por letras minusculas,minusculas bold e maiusculas bold, respectivamente. Componentes individuais da matrizX sao escritos como xij e os do vector x como xi. O expoente T (H ) denota transposicao(transposicao e conjugacao) de uma matriz ou vector, 〈·, ·〉 denota o produto internode dois vectores, e tr(·) denota o traco duma matriz. Dada uma matriz simetrica X,X 0 significa que X e semidefinida positiva. A norma de Frobenius representa-sepor ‖X‖F =

√tr(XHX). ‖x‖ designa a norma Euclidiana do vector x. Im e a matriz

identidade m×m e 1m e o vector com m componentes iguais a 1.

Organizacao do documento

A seccao 3 formula o algoritmo SLAT. Os detalhes do algoritmo SLAT sob ruıdo Gaussiano,que se consubstancia em alguns (sub-)algoritmos executados ao longo das fases startup eupdating, sao apresentados na seccao 4. A seccao 5 propoe algoritmos correspondentes sobruıdo Laplaciano. Os algoritmos sao testados com dados simulados na seccao 6, e comdados reais na seccao 7. Na seccao 8 discutem-se os resultados e tiram-se conclusoes.

3 Formulacao do Problema

A rede e constituıda por sensores em posicoes desconhecidas x1,x2, . . . ,xn ∈ Rh e umconjunto de ancoras em posicoes conhecidas a1,a2, . . . ,al ∈ Rh, onde onde h = 2 ou3 representa a dimensao do espaco ambiente. As posicoes desconhecidas ocupadas peloalvo ao longo da sua trajectoria representam-se por e1, e2, . . . , em ∈ Rh. Um no deprocessamento central recebe medidas de distancia entre as sucessivas posicoes do alvo eo conjunto de ancoras/sensores, ou seja,

dij = ‖xi − ej‖+ wij , dkj = ‖ak − ej‖+ wkj ,

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onde wij e wkj sao termos de ruıdo. Um sistema pratico que fornece tais medidas dedistancia e usado, por exemplo, em [8] e na seccao 7.

SLAT com ruıdo Gaussiano: Quando os termos de ruıdo sao Gaussianos, independen-tes e identicamente distribuıdos (i.i.d.), maximizar a probabilidade do bloco de observacoes(batch) e equivalente a minimizar a funcao de custo

ΩG(x) =∑i,j

(‖xi − ej‖ − dij)2 +∑k,j

(‖ak − ej‖ − dkj)2. (1)

As posicoes desconhecidas dos sensores e do alvo sao concatenadas no vector coluna x ∈Rh(n+m) que constitui o argumento de ΩG. O objectivo da abordagem SLAT proposta eencontrar o conjunto de coordenadas em x que minimiza (1).

SLAT com ruıdo Laplaciano: Na presenca de ruıdo Laplaciano i.i.d., cuja pdf temcaudas mais expressivas que uma Gaussiana (i.e., heavy-tailed) maximizar a funcao deverosimilhanca equivale a minimizar a funcao de custo

ΩL(x) =∑i,j

|‖xi − ej‖ − dij |+∑k,j

|‖ak − ej‖ − dkj |. (2)

Quando comparado com (1), a ausencia de quadrados nos termos do somatorio de (2)torna a funcao menos sensıvel a presenca de grandes desvios (outliers) nas medidas dijface as distancias reais.

Como a metrica de distancia Euclidiana em ambas as instancias do problema e inva-riante a rotacao, translacao, e reflexao globais, o mesmo sucede com as funcoes ΩG e ΩL

na ausencia de ancoras. Para remover a maior parte dessas ambiguidades nas solucoesdeve considerar-se um mınimo de l = 3 ou 4 ancoras nao-colineares em 2D ou 3D, res-pectivamente. Como em muitos outros problemas ML, as funcoes ΩG e ΩL sao, em geral,nao-convexas e multimodais, pelo que a sua minimizacao (aproximada) decorre em duasetapas: Inicializacao e refinamento. Na primeira destas calcula-se um ponto inicial ade-quado para inıcio da minimizacao iterativa, com recurso a tecnicas SNL (fase startup)ou SL (fase updating), que tende a evitar a subsequente convergencia para extremos inde-sejaveis de ΩG, ΩL quando se usam algoritmos do tipo MM. Nas seccoes 4 e 5 desenvolvem-se algoritmos para as operacoes listadas no Algoritmo 1 sob ruıdo Gaussiano e Laplaciano,respectivamente. A figura 1 ilustra o fluxo dos algoritmos.

4 SLAT com ruıdo Gaussiano

Nesta seccao desenvolvem-se os algoritmos de inicializacao baseada em EDM, refinamentoMM, e estimacao recursiva no tempo para SLAT na presenca de ruıdo de observacaoGaussiano i.i.d. Antes disso, apresenta-se uma formulacao basica conhecida para recons-trucao de EDM usando distancias quadraticas, que fornecera uma base para os metodosde inicializacao descritos nas secoes 4.2 e 5.1.

4.1 EDM com distancias quadraticas

O problema basico de reconstrucao duma EDM (EDM completion), descrito abaixo, operacom distancias quadraticas [4, 28]. Apesar da respectiva funcao de custo nao estar adap-tada a funcao de verosimilhanca de interesse (1), ainda assim o metodo e util como bench-mark (seccao 6), sendo o seu desempenho representativo doutros metodos populares paraSNL [13, 25].

10

Algorithm 1 Resumo da abordagem SLAT propostaObjectivo: Dadas medidas de distancias incompletas e imprecisas, encontrar posicoesde sensores/alvos que (localmente) maximizam a funcao de verosimilhanca (1) pararuıdo gaussiano ou (2) para ruıdo Laplaciano

Fase startup (processamento batch)

Adquirir um bloco de medidas de distancia entre o alvo e um subconjunto dos sensoresnos instantes t = 1, . . . , TEtapa de inicializacao: Completar a EDM usando (8) ou (23). Factorizar a EDMpara obter as coordenadas espaciais dos nos e alvoEtapa de refinamento: A partir do ponto anterior maximizar a verosimilhanca dasposicoes encontradas com recurso aos algoritmos iterativos MM (13) ou (27)

Fase updating (processamento recursivo no tempo)

Adquirir medidas de distancia ao alvo num novo instante t > TEtapa de inicializacao: Resolver o problema de localizacao de fonte para a novaposicao do alvo, com nos/ancoras conhecidos e fixos, usando os algoritmos SLCP/SLNNdescritos nas seccoes 4.4 ou SL-`1 SD/MD na seccao 5.3Etapa de refinamento: Repetir o refinamento descrito para a fase de startup

Uma matriz de pre-distancias parciais, D, tem diagonal nula, elementos nao negativos,e certos elementos dados por distancias quadraticas observadas Dij = d2

ij . Os restanteselementos sao considerados livres. No problema de reconstrucao em causa procura-se amatriz EDM E mais proxima de D, no sentido dos mınimos quadrados e ignorando oselementos livres, tal que os elementos de E satisfazem Eij = ‖yi−yj‖2 para um conjuntode pontos yi no espaco ambiente. A geometria e as propriedades das EDM, que formam umcone convexo, tem sido extensivamente estudadas na literatura [4, 28]. Matematicamente,o problema de reconstrucao acima e formulado como

minimizeE

∑i,j∈O

(Eij − d2ij)

2

subject to E ∈ E , E(A) = A,

rank(JEJ) = h,

(3)

onde J =(Iρ − 1

ρ1ρ1ρT), com ρ = m + n + l, e um operador de centragem que subtrai a

media dum vector a cada um dos seus componentes. Em (3), O e o conjunto de ındicespara os quais as medidas de distancia estao disponıveis. A restricao E(A) = A, onde A e oconjunto dos ındices correspondentes a distancias entre pares de ancoras e Aij = ‖ai−aj‖2e a correspondente sub-EDM, impoe a informacao espacial conhecida a priori. Uma matrizE pertencente ao cone EDM E satisfaz as propriedades

Eii = 0, Eij ≥ 0, −JEJ 0. (4)

A restricao de rank em (3) garante que a solucao e compatıvel com uma constelacaode sensores/ancoras/alvo em Rh. Abaixo descreve-se o procedimento para extraccao doconjunto de coordenadas espaciais pretendidas a partir de E. Para referencia futura,a funcao de custo de (3) e expressa como uma penalizacao3 ϕ1(E) =

∑i,j(Eij − d2

ij)2.

3Problemas deste tipo sao designados por penalty function approximation em [4].

11

Chapter 3. Robust Localization of Nodes and Time-Recursive Tracking in SensorNetworks Using Noisy Range Measurements 51

Initialization

Batch initialization

Refinement

Incomplete range measurements

Anchor positions

Estimated sensor and target positions

Initialization

Online/time recursive initialization

Incomplete range measurements

Anchor positions

Estimated sensor and previous

target positions

Performed once

Iterated with new target sightings or new measurements in the

sensor network

Figure 3.1: Architecture of the SLAT algorithms.

benchmarking in Section 3.6, as its performance is representative of other popular SNL

methods [35, 65] and the SLAT approach of [37].

A partial pre-distance matrix D is a matrix with zero diagonal entries and with cer-

tain nonnegative elements equal to the squares of observed distances, Dij = d2ij . The

remaining elements are considered free. The nearest EDM problem is to find an EDM

E that is nearest in the least-squares sense to matrix D, when the free variables are not

considered and the elements of E satisfy Eij = ‖yi − yj‖2 for a set of points yi. The

geometry and properties of EDM (a convex cone) have been extensively studied in the

literature [23, 91]. The nearest EDM problem is formulated as

minimizeE

∑j∈S

∑i∈Bj∪Cj

(Eij − d2ij)

2

subject to E ∈ E , E(A) = A

rank(JEJ) = n,

(3.5)

Figura 1: Estrutura de processamento do metodo SLAT.

Ignorando a restricao de rank obtem-se uma relaxacao SDP de (3) que pode ser expressade forma compacta como

minimizeE

‖W (E−D)‖2Fsubject to E ∈ E , E(A) = A,

(5)

onde W e uma mascara com zeros nas entradas correspondentes aos elementos livres deD e uns nas restantes posicoes. Quando combinado com o produto de Hadamard , anorma de Frobenius ‖.‖F substitui o somatorio em (3) sobre o conjunto O. Abaixo, estemetodo de reconstrucao sera designado por EDM-SR (SR = Squared Ranges).

4.2 Etapa de inicializacao na fase startup: EDM com distancias simples

Em alternativa a penalizacao de distancias quadraticas, pode basear-se a reconstrucao daEDM num criterio de penalizacao de distancias simples atraves da seguinte formulacao

minimizeE

∑i,j∈O

(√Eij − dij)2

subject to E ∈ E , E(A) = A,

rank(JEJ) = h.

(6)

Neste metodo a funcao de penalizacao e dada por ϕ2(E) =∑

i,j(√Eij−dij)2, assemelhando-

se mais aos termos da funcao de verosimilhanca Gaussiana (1) do que ϕ1. Assim, e deesperar que (6) herde algumas das propriedades de robustez associadas a estimacao ML.

12

Expandindo a funcao objetivo em (6) obtem-se

minimizeE

∑i,j∈O

(Eij − 2√Eijdij + d2

ij)

subject to E ∈ E , E(A) = A,

rank(JEJ) = h.

(7)

A relaxacao SDP pretendida e obtida introduzindo uma variavel de epıgrafo T e ignorandoa restricao de rank

minimizeE,T

∑i,j∈O

(Eij − 2Tijdij)

subject to T 2ij ≤ Eij , E ∈ E , E(A) = A.

(8)

Abaixo, este metodo sera designado por EDM-R.

4.2.1 Extraccao de coordenadas a partir da EDM

Note-se que as solucoes para os problemas de reconstrucao descritos nas seccoes 4.1 e4.2 (tambem 5.1) sao matrizes de distancias. Para estimar as coordenadas espaciais dossensores e da trajectoria do alvo a partir da EDM defina-se uma matriz Y cujas colunascorrespondem as coordenadas das ancoras, sensores, e alvo(s), transladadas globalmentepara que o seu ponto medio se situe na origem. A matriz Gramiana YTY relaciona-se coma matriz EDM E atraves duma transformacao linear [4, Sec. 8.3], pelo que as coordenadasespaciais Y podem ser extraıdas desta ultima (a menos dum produto por uma matrizunitaria) atraves de decomposicao em valores singulares (SVD). Na maioria dos casos onumero de valores singulares nao nulos excedera a dimensao do espaco ambiente, h, sendohabitual truncar a SVD para o rank apropriado. As ancoras sao entao utilizados paraestimar a matriz residual unitaria Q apos SVD, resolvendo o seguinte problema

minimizeQ

‖A−QYA‖2Fsubject to QTQ = I,

(9)

onde as coordenadas das ancoras aparecem nas colunas de A, e YA denota o subconjuntorelevante das colunas da SVD truncada Y (em (9) as ancoras e a sub-constelacao YA

devem ser centradas na origem, de modo semelhante ao descrito acima). Este e umproblema de Procrustes, que tem solucao em forma fechada.

Verificou-se que o ruıdo de observacao pode perturbar significativamente as coordena-das estimadas atraves de reconstrucao e decomposicao de EDM. Para melhorar a precisaodos resultados, propoe-se de seguida usar estas estimativas como ponto inicial para umprocesso ML iterativo, recorrendo-se para tal a tecnica MM [22].

4.3 Etapa de refinamento: Majorizacao-Minimizacao (MM)

A ideia-chave de MM para minimizacao (local) duma dada funcao consiste em encontrar,numa determinada abcissa xt, uma funcao simples de minimizar que toma o mesmo valorda funcao objectivo nesse ponto e que nunca esta abaixo dela para qualquer outra abcissa.Essa e designada por funcao majorizante, coincidindo a proxima abcissa xt+1 com o seuminimizante (figura 2) [22].

Definam-se as seguintes funcoes convexas

fij(x) = ‖xi − ej‖, gkj(x) = ‖ak − ej‖, (10)

13

Figura 2: Tecnica de Majorizacao-Minimizacao.

e suponha-se que as posicoes dos sensores e alvos nao podem coincidir, ou seja, xi 6= ej eak 6= ej . Expandindo f e g em (1) e usando condicoes de primeira ordem na convexidade[4],

ΩG(x) ≤∑i,j

(f2ij(x)− 2dij

(fij(xt) + 〈∇fij(xt), (x− xt)〉)+ d2

ij

)+∑k,j

(g2kj(x)− 2dkj

(gkj(xt) + 〈∇gkj(xt), (x− xt)〉)+ d2

kj

),

(11)

onde 〈u, v〉 = uT v, obtem-se a funcao de majorizacao no membro direito de (11) e aiteracao MM

xt+1 = arg minx

∑i,j

(f2ij(x)− 2dij〈∇fij(xt),x〉

)+∑k,j

(g2kj(x)− 2dkj〈∇gkj(xt),x〉

). (12)

O minimizante desta funcao de majorizacao quadratica determina-se facilmente, o quepermite exprimir (12) como solucao dum sistema de equacoes lineares∑

i,j

MTijMij +

∑k,j

NTj Nj

xt+1 =∑i,j

dij∇fij(xt) +∑k,j

dkj∇gkj(xt)−∑k,j

NjaTk , (13)

onde Mij , Nj sao matrizes de seleccao

Mij =[pTi ⊗ I2 −vTj ⊗ I2

], Nj =

[02×2n −vTj ⊗ I2

],

e

∇fij(xt) =MT

ijMijxt

‖Mijxt‖ , ∇gkj(xt) =NTj (ak + Njxt)‖ak + Njxt‖ .

Nestas expressoes ⊗ representa o produto de Kronecker, o vector pi ∈ Rn tem 1 na posicaoi e zeros nas restantes, e similarmente para vj ∈ Rm.

4.4 Etapa de inicializacao na fase updating : Estimativas de posicaousando SLCP

Suponha-se que um bloco de observacoes foi processado e se pretende agora estimar umanova posicao do alvo na sua trajectoria. Uma possibilidade seria repetir as etapas EDM-R

14

Figura 3: Interpretacao geometrica de termos na funcao de custo usada em SLCP.

e MM com o bloco original expandido com as novas observacoes do alvo. No entanto,isto seria computacionalmente dispendioso devido a etapa de reconstrucao da EDM. Alemdisso, as posicoes previamente estimadas seriam simplesmente ignoradas, perdendo-se apossibilidade destas contribuırem para uma reducao da complexidade computacional. Paraaliviar esta carga, que acabaria por se tornar incomportavel ao longo do tempo, propoe-se uma metodologia simples para encontrar uma boa inicializacao para MM que evita areconstrucao EDM. Esta consiste em fixar as posicoes dos sensores nos seus valores jaanteriormente determinados e apenas estimar a nova posicao do alvo. Mais precisamente,pretende-se minimizar a seguinte funcao de custo ML

ΨG(z) =r∑i=1

(‖bi − z‖ − di)2, (14)

onde z e a nova posicao do alvo, bi representa a posicao estimada anteriormente de umsensor ou ancora, e di e a medida de distancia correspondente. O parametro r refere-se ao numero total de sensores e ancoras que observam o alvo na sua nova posicao. Oalgoritmo SLCP para localizacao de fontes 2D, ou a sua extensao multidimensional SLNN[23], podem ser usados para minimizar (14). A principal dificuldade reside no facto de(14) ser, em geral, uma funcao nao convexa e multimodal. Usam-se tecnicas de relaxacaopara obter uma formulacao convexa cujo minimizante global se verifica estar geralmentemuito proximo do de (14) na grande maioria das configuracoes geometricas testadas.

A formulacao de SLCP inicia-se com a interpretacao dos termos no somatorio (14)como o quadrado da distancia entre dois cırculos centrados em bi, um dos quais com raio‖z − bi‖, e o outro com raio di [24] (figura 3). Cada um desses termos pode entao sersubstituıdo pelo quadrado da norma da diferenca entre o vector posicao z e o seu pontomais proximo do cırculo y ∈ R2 : ‖y − bi‖ = di, que e indicado por yi. O problema(14) pode entao ser expresso de forma equivalente como

minimizez,yi

r∑i=1

‖z− yi‖2

subject to ‖yi − bi‖ = di i = 1, . . . , r.

(15)

Se yi estiverem fixos, (15) e um problema de optimizacao sem restricoes em termos de z,cuja solucao e facilmente obtida como o centro de massa da constelacao z = 1

r

∑ri=1 yi.

Alem disso, em 2D, as restricoes de (15) podem ser escritas de forma compacta no plano

15

complexo, obtendo-se

minimizey,θ

‖1r1r1Tr y − y‖2

subject to y = b + Dθ,

(16)

onde b =[b1 . . . br

]T ∈ Cr contem as coordenadas 2D das ancoras/sensores, expressas

como numeros complexos, D = diag(d1, . . . , dr) ∈ Rr×r, e θ =[ejφ1 . . . ejφr

]T ∈ Cr.Nesta forma observam-se semelhancas de (16) com um problema de localizacao AOA,pois os angulos φi codificam um conjunto de direccoes, a partir das ancoras/sensores, queidealmente se intersectam na posicao da fonte. Nesta representacao complexa impoem-serestricoes de modulo unitario aos elementos de θ, que serao posteriormente relaxadas paraobter um SDP. Expandindo a funcao objetivo e eliminando termos constantes obtem-se oproblema quadratico com restricoes

minimizeθ

2 Re(cHθ)− 1rθHddTθ

subject to |θi| = 1,(17)

onde d = D1r e c = (Ir − 1r1r1

Tr )b.

Para prosseguir, deseja-se substituir Re(cHθ) em (17) por −|cHθ|, pois este podeser prontamente escrito como uma funcao duma forma quadratica em θ e relaxado domesmo modo que o segundo termo da funcao objectivo. Observe-se primeiro que se θ forsubstituıdo por θejγ nao se alteram nem o segundo termo da funcao objectivo nem asrestricoes de qualquer angulo. Por escolha apropriada de γ, o numero complexo cHθ podesempre ser rodado para o eixo real (negativo), tal que Re(cHθejγ) = −|cHθ|, reduzindo-seassim o valor da funcao objectivo face a outros valores de γ. Isto implica que qualquersolucao optima de (17) ira satisfazer Re(cHθ) = −|cHθ|, o que justifica a substituicao deRe(·) por −| · | na funcao de custo. No entanto deve ter-se em mente que, uma vez obtidauma solucao θ para o problema de optimizacao modificado, ela deve ser rodada para seobter o vector final de fases θejγ tal que Re(cHθejγ) = −|cHθ|.

Agora o problema modificado e escrito de forma equivalente

maximizeθ

2√

tr(ccHθθH) +1r

tr(ddTθθH)

subject to |θi| = 1.(18)

Segue-se agora uma tecnica-padrao de relaxacao em que se introduz a nova variavel Φ =θθH e uma restricao (nao-convexa) rank(Φ) = 1. Finalmente, obtem-se uma formulacaoSDP para SLCP introduzindo uma variavel de epıgrafo t tal que 0 ≤ t ≤ 2

√tr(ccHΦ) e

ignorando a restricao de rank

maximizeΦ,t

t+1r

tr(ddTΦ)

subject to Φ 0, φii = 1, 4cHΦc ≥ t2.(19)

E de salientar que a solucao de (19) e uma matriz semidefinida positiva, que deve ter umvalor proprio claramente dominante quando a relaxacao do problema original (15) e bemsucedida. Em tais casos Φ ≈ λ1u1uH1 , onde λ1 e o maior valor proprio de Φ e u1 o vectorproprio correspondente, sendo o vector de fases complexas estimado como θ =

√λ1u1.

Uma vez obtida a nova posicao estimada do alvo, refinam-se conjuntamente todas ascoordenadas recorrendo a (13).

16

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6

Eij

|sqrt(Eij)−d

ij|

approximation

dij E

max

Figura 4: O valor de |√Eij − dij | vs Eij , e a aproximacao linear da sua parte concava.

5 SLAT com ruıdo Laplaciano

5.1 Etapa de inicializacao na fase startup: EDM com distancias simplese norma `1

No contexto dos metodos de aproximacao baseados em penalizacao a norma `1 e conhecidapor conferir robustez a outliers [4]. Por esta razao, e por uma questao de compatibilidadecom a funcao de verosimilhanca sob ruıdo Laplaciano (2), escolhe-se para o metodo dereconstrucao EDM desta seccao uma penalizacao ϕ3(E) =

∑i,j |√Eij − dij |, que conduz

ao problema de optimizacao

minimizeE

∑i,j∈O|√Eij − dij |

subject to E ∈ E , E(A) = A,

rank(JEJ) = h.

(20)

Os termos |√Eij − dij | na funcao objectivo deste problema sao convexos quando√Eij −

dij < 0, mas concavos para√Eij −dij > 0. Para se obter uma aproximacao convexa cada

um destes termos e substituıdo por uma aproximacao linear

cijEij + sij , cij =1√

Emax + dij, sij = − d2

ij√Emax + dij

(21)

na parte do domınio em que e concavo, conforme ilustrado na figura 4. As duas funcoescoincidem para Eij = d2

ij e Eij = Emax, onde a constante Emax e um limite superiorpratico para as medidas de distancia (quadraticas). Assim, |√Eij−dij | e substituıdo peloseu envelope convexo maxdij −

√Eij , cijEij + sij e introduz-se uma variavel de epıgrafo

T para obter

minimizeE,T

∑i,j∈O

Tij

subject to maxdij −√Eij , cijEij + sij ≤ Tij ,

rank(JEJ) = h, E ∈ E , E(A) = A,

(22)

17

Como anteriormente elimina-se a restricao de rank em (22) para obter o problema relaxado

minimizeE,T

∑i,j∈O

Tij

subject to (dij − Tij)2 ≤ Eij , cijEij + sij ≤ Tij ,E ∈ E , E(A) = A.

(23)

Note-se que a primeira restricao em (23) nao e equivalente a dij −√Eij ≤ Tij , mas

sim a −√Eij ≤ dij − Tij ≤√Eij , o que equivale a interseccao do epıgrafo original

com o hipografo parabolico dij +√Eij ≥ Tij . Isso preserva a convexidade do conjunto

factıvel e nao altera o seu limite inferior para Eij ∈ [0, Emax], onde o minimizante deveser encontrado. A restricao pode agora ser facilmente expressa numa forma padrao semintroducao de variaveis adicionais, por exemplo, como uma LMI ou uma restricao conicade segunda ordem [4]. Esta tecnica sera designada abaixo por EDM-R-`1 (EDM comdistancias simples e norma `1).

5.2 Etapa de refinamento: Majorizacao-Minimizacao ponderada (wMM)

A robustez a outliers na funcao de custo (2) para ruıdo Laplaciano e obtida a custa dasua diferenciabilidade, o que levanta problemas analıticos e numericos delicados. Paracontornar esta dificuldade recorre-se a tecnica de re-weighting em mınimos quadraticospara substituir a minimizacao de (2) por uma sequencia de minimizacoes de funcoes deaproximacao diferenciaveis que convergem para ΩL(x) [24]. Especificamente, escreve-se(2) como

ΩL(x) =∑i,j

uij(‖xi − ej‖ − dij)2 +∑k,j

vkj(‖ak − ej‖ − dkj)2, (24)

onde

uij =1

|‖xi − ej‖ − dij | , vkj =1

|‖ak − ej‖ − dkj | .

No instante t a funcao de minimizacao, ΩtL(x), tem a mesma forma de (24) mas as funcoes

uij , vkj acima sao substituıdas por constantes calculadas com base nas posicoes estimadasapos a iteracao anterior

utij =1

|‖xti − etj‖ − dij |, vtkj =

1|‖ak − etj‖ − dkj |

. (25)

Um ciclo interior de optimizacao poderia agora ser usado para minimizar ΩtL(x) para

cada t mas, conforme mostrado em [24], tal e desnecessario porque basta uma unica unicaiteracao para garantir convergencia. Com utij , v

tkj fixos a tecnica de majorizacao usada na

seccao 4.3 produz entao a iteracao MM ponderada

xt+1 = arg minx

∑i,j

utij(f2ij(x)− 2dij〈∇fij(xt),x〉

)+∑k,j

vtkj(g2kj(x)− 2dkj〈∇gkj(xt),x〉

).

(26)Assim, a nova abcissa e obtida resolvendo o sistema de equacoes lineares∑

i,j

utijMTijMij +

∑k,j

vtkjNTj Nj

xt+1 =∑i,j

utijdij∇fij(xt)+∑k,j

vtkjdkj∇gkj(xt)−∑k,j

vtkjNjaTk ,

(27)

18

onde ∇fij(xt), ∇gkj(xt), Mij e Nj sao os mesmos que em (13).Na pratica, os pesos utij e vtij devem ser modificados para evitar a possibilidade de

divisao por zero [24]. Neste trabalho isso e feito de forma muito simples saturando osdenominadores de (25) num valor mınimo de 10−5.

5.3 Etapa de inicializacao na fase updating : Estimativas de posicaousando SL-`1

Na presenca de ruıdo Laplaciano a etapa de inicializacao durante a fase recursiva updatingresolveria idealmente o seguinte problema de optimizacao ML para determinar a maisrecente posicao do alvo

minimizez

ΨL(z) =r∑i=1

|‖z− bi‖ − di|, (28)

onde z, bi e di sao definidos da mesma forma que na seccao 4.4. A presenca de | · | em(28), em vez de (·)2, diminui o impacto dos termos do somatorio em que as medicoes disofram grandes desvios face as distancias reais. O minimizante de (28) e por isso menosinfluenciada por outliers do que a funcao (14) no caso Gaussiano. No entanto, tal comona seccao 5.2, a nao diferenciabilidade da funcao e problematica, inviabilizando muitasdas tecnicas de relaxacao para obtencao dum SDP.

A derivacao do algoritmo SL-`1 comeca por aplicar uma transformacao conceptual-mente semelhante a tecnica de re-weighting da seccao 5.2, expressando o problema (28)equivalentemente como uma soma ponderada de termos quadraticos em que os coeficientesde ponderacao sao incluıdos como variaveis do problema [29, 24].

minimizez

minimizeλ∈Rr

r∑i=1

(‖z− bi‖ − di)2λi

,

subject to λi > 0, 1Tλ = 1.

(29)

O princıpio geometrico ilustrado na figura 3, subjacente a formulacao angular do problemaSL adoptada em SLCP, mantem-se valido para as funcoes de custo (28) e (29). Pode entaoaplicar-se uma abordagem angular semelhante para reescrever o problema de localizacaona forma

minimizez, yi, λ

r∑i=1

‖z− yi‖2λi

subject to ‖yi − bi‖ = di, λi > 0, 1Tλ = 1.

(30)

Fixando yi e λi, obtem-se em termos da variavel z um problema de optimizacao simplessem restricoes cuja solucao resulta facilmente invocando condicoes de optimalidade deprimeira ordem

r∑i=1

(z− yi)λi

= 0 ⇒ z∗ =

∑ri=1

yi

λi∑ri=1

1λi

. (31)

Geometricamente, a primeira restricao de (30) define equacoes de cırculos, os quais podemser descritas de forma compacta no plano complexo como yi = bi + die

jφi . Em formatomatricial o conjunto de restricoes circulares escreve-se como y = b + Du, onde b e D saodefinidos como na seccao 4.4 e u =

[ejφ1 . . . ejφr

]T ∈ Cr. Usando o valor optimo paraz obtem-se

minimizeu, λ

yHΠy = (b + Du)HΠ(b + Du)

subject to λi > 0, 1Tλ = 1, |ui| = 1,(32)

19

onde

Π =

1λ1

0 0

0. . . 0

0 0 1λr

− 1∑ri=1

1λi

1λ1...1λr

[ 1λ1

. . . 1λr

]= Λ−1 −Λ−11(1TΛ−11)−11TΛ−1,

(33)

com Λ = diag(λ1, . . . , λr).A matriz Π assemelha-se a um projector ortogonal. Usando o lema inversao de matri-

zes4, ela e visto como o caso limite Π = limη→∞(Λ+η11T )−1, sendo por isso semidefinidapositiva. Esta forma alternativa e mais passıvel de manipulacoes analıticas em problemasde optimizacao e sera utilizada ao longo desta seccao. O parametro η e tomado como umaconstante suficientemente grande (ver [24]), embora pudesse tambem ser considerado comouma variavel de optimizacao adicional para garantir adequada precisao na aproximacao.

Introduz-se agora uma variavel de epıgrafo t ∈ R em (32), ou seja, minimiza-se em tadicionando a restricao t− (b + Du)HΠ(b + Du) ≥ 0. Aplicando complemento de Schura restricao pode ser sucessivamente escrita como[

t (b + Du)H

b + Du Π−1

] 0 ⇔ Π−1 − (b + Du)(b + Du)H

t 0. (34)

A formulacao torna-se entao

minimizeu, t, λ

t

subject to λi > 0, 1Tλ = 1, |ui| = 1,

tΛ + tη11T (b + Du)(b + Du)H .

(35)

Finalmente define-se B = [b D], vH = [1 uH ], V = vvH , e a restricao de rank 1 na novavariavel V e descartada para obter o SDP relaxado

minimizeβ, t, V

t

subject to βi > 0, 1Tβ = t, Vii = 1, V 0,

diag(β) + tη11T BVBH .

(36)

A solucao do problema de optimizacao (36) inclui a matriz semidefinida positiva V, decuja primeira linha ou coluna se pode extrair o vector u para obter y = b + Du e ascoordenadas do alvo a partir de (31). Em [24] e [23] mostra-se por simulacao que SL-`1,e as respectivas extensoes multidimensionais SL-`1 SD/MD, sao mais robustos a outliersque os algoritmos SLCP/SLNN da seccao 4.4.

Tal como no caso Gaussiano, e de salientar que os (sub-)algoritmos apresentados nasseccoes 5.1, 5.2, e 5.3 fornecem um enquadramento bastante consistente, em termos doformato das funcoes de custo, para ruıdo Laplaciano. O objectivo e que os algoritmos derefinamento sejam inicializados tao perto quando possıvel do mınimo global pretendido dafuncao ML, para acelerar a convergencia e minorar os problemas de extremos locais.

4(A+BCD)−1 = A−1 −A−1B(DA−1B + C−1)−1DA−1.

20

6 Resultados numericos

Exemplo 1 [Comparacao dos metodos de inicializacao na fase startup] Parainvestigar a precisao dos metodos, simulou-se um cenario 2D contendo quatro ancoras,cinco sensores a localizar, e seis posicoes de alvo na regiao [0, 2] m×[0, 2] m. As medidasde distancia sao corrompidas por ruıdo espacio-temporalmente branco com desvio padraoσgaussian ∈ [0.005, 0.03] m. Este modelo de observacoes ruidosas pode conduzir a valo-res negativos, seguindo-se a pratica normal de saturar as observacoes num valor mınimopequeno (10−5 nas simulacoes) [13]. Apenas 0.04% das observacoes sao afectadas, peloque o impacto desta truncagem nos resultados e diminuto. Varios algoritmos sao testados(EDM-SR, EDM-R, e EDM-R-l1 simples, e as respectivas versoes apos refinamento, EDM-SR+MM, EDM-R+MM, e EDM-R-l1+MM), e os seus desempenhos comparados segundoo criterio RMSE (Root Mean-Square Error)√√√√ 1

K

1n+m

K∑k=1

n+m∑i=1

‖xi − xki ‖2, (37)

onde xki denota a i-esima posicao do sensor ou alvo estimados na k-esima iteracao de MonteCarlo. Em cada uma de K = 150 simulacoes de Monte Carlo gera-se aleatoriamente umarede para o cenario fısico descrito acima. Para ter uma nocao dos limites fundamentais deprecisao na estimativa das varias posicoes, os resultados para o caso Gaussiano incluemtambem o limiar inferior de Cramer Rao (CRLB), calculado como√√√√ 1

K

1n+m

K∑k=1

trace(CRLBk) (38)

para cada variancia de ruıdo, onde CRLBk designa a inversa da matriz de informacaode Fisher na k-esima iteracao de Monte Carlo [24]. A figura 5(a) para ruıdo Gaussianomostra que EDM-R tem melhor precisao que EDM-SR e EDM-R-l1, embora as diferencasde desempenho entre estes algoritmos de inicializacao nao se manifestem em diferencassignificativas na precisao dos resultados apos a etapa de refinamento MM.

Para comparar o RMSE total dos algoritmos na presenca de outliers, criaram-se ob-servacoes de acordo com um modelo “Gaussiano selectivo”di = ‖ · ‖ + wi + |εi|, ondeεi e um termo de ruıdo branco Gaussiano com desvio padrao σoutlier ∈ [0.4, 2] m. A per-turbacao εi afecta apenas duas das medidas de distancia, enquanto wi com σgaussian = 0.01m esta presente em todas as observacoes. Este modelo para geracao de outliers difere domodelo Laplaciano adoptado no desenvolvimento teorico, mas e mais representativo dasperturbacoes observadas em sistemas praticos de medicao de distancias [15]. No Exemplo3 serao apresentados resultados numericos sob um modelo Laplaciano puro. A figura 5(b)mostra que, na presenca de outliers, a etapa de refinamento com wMM nao consegue anularas diferencas de desempenho entre algoritmos de inicializacao porque se verifica mais fre-quentemente convergencia para mınimos locais da funcao de verosimilhanca, aumentandoassim o RMSE total.

Examplo 2 [Elipsoides de incerteza] Para continuar a analisar a precisao de MM ewMM com diferentes metodos de inicializacao na fase startup, geraram-se redes aleatoriascom 10 sensores, 4 ancoras e 11 posicoes-alvo. Realizaram-se 100 simulacoes de MonteCarlo para calcular os parametros dos elipsoides de incerteza 1σ, que se representam nas fi-guras 6 e 7 para σgaussian = 0.025 m e σgaussian = 0.02 m /σoutlier = 0.8 m, respectivamente.

21

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Total RMSE vs. σgaussian

σgaussian

RM

SE

EDM−SREDM−SR+MMEDM−REDM−R+MMEDM−R−l

1

EDM−R−l1+MM

tCRLB

(a) Sem outliers

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Total RMSE vs. !outlier

!outlier

RM

SE

EDM!SR

EDM!SR+wMM

EDM!R

EDM!R+wMM

EDM!R!l1

EDM!R!l1+wMM

(b) ruıdo Gaussiano selectivo (outlier)

Figura 5: Comparacao de metodos de inicializacao e refinamento na fase de startup deSLAT.

Tal como anteriormente, os outliers afectam apenas duas das observacoes, seleccionadasaleatoriamente.

Sem outliers (figura 6) os metodos de inicializacao tem desempenho comparavel,verificando-se uma reducao drastica na dimensao dos elipsoides para todos eles apos opasso de refinamento MM (estes sao visıveis apenas na ampliacao da figura 6(b)) queconduz ainda a medias e covariancias muito semelhantes. Na presenca de outliers (figura7) os elipsoides de incerteza de EDM-SR+wMM sao claramente maiores que os outrosmetodos, e os seus centros estao mais afastados das posicoes reais dos sensores. Verifica-se que EDM-R-l1 e EDM-R tendem a produzir inicializacoes mais proximas das posicoesreais, o que leva o refinamento wMM a convergir mais frequentemente para a solucao dese-jada, e conduzindo assim a elipsoides de incerteza mais pequenos e centrados nas posicoescorrectas. Globalmente, os resultados para EDM-R-l1 e EDM-R-l1+wMM superam osdos restantes metodos, o que nao e surpreendente dado que estes foram especificamentedesenvolvidos para lidar com outliers.

Complexidade computacional empırica de inicializacao EDM: As simulacoes fo-ram realizadas numa maquina com um processador Intel Xeon 2.93 GHz Quad-Core e 8 GBde RAM, usando Matlab 7.1, CVX 1.2 e Yalmip 3/SeDuMi 1.1 como solver SDP generico.Os tempos de calculo sao semelhantes para EDM-SR, EDM-R e EDM-R-`1, sendo infe-riores a 5 segundos para o exemplo descrito acima com n = 25 posicoes desconhecidas, eaumentando empiricamente com n4.5 para problemas de maior dimensao (a maquina soconsegue lidar com dimensoes ate n ≈ 100). Isso da uma nocao das redes com que osmetodos de inicializacao conseguem actualmente lidar na pratica, embora se deva ter emmente que tempos de CPU nao sao indicadores fiaveis de complexidade computacionalintrınseca de algoritmos devido a dependencias de factores como arquitectura de hardwareda maquina, sistema operativo, eficiencia de bibliotecas numericas e de pre-processamentodo solver, etc. Nenhuma tentativa foi feita para formular os problemas de reconstrucaoEDM da forma mais eficiente possıvel para o solver SDP. Os algoritmos iterativos MMsao numericamente muito pouco exigentes, podendo acomodar-se problemas de dimensaoextremamente elevada em plataformas computacionais modernas. Nas simulacoes cada

22

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x

y

AnchorsTrue sensors/targetsEDM!SREDM!REDM!R!l

1

(a) Constelacao

0.7 0.75 0.8 0.85 0.9

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

x

y

Anchors

True sensors/targets

EDM!SR

EDM!REDM!R!l

1

EDM!SR + MM

EDM!R + MMEDM!R!l

1 + MM

(b) Detalhe

Figura 6: Elipsoides de incerteza na fase de startup com diferentes metodos de inicializacao.Sem outliers, σgaussian = 0.025 m.

iteracao demora ate cerca de 1 milissegundo.

Exemplo 3 [Avaliacao global da fase updating ] Neste exemplo avalia-se o desem-penho do procedimento recursivo no tempo (fase updating) para assimilacao de novasposicoes do alvo. Esta fase e composta por uma etapa de inicializacao em que se re-solve um problema SL usando SLCP ou SL-`1, seguida de refinamento MM. O cenariode rede compreende 16 sensores desconhecidos, quatro ancoras, e 10 posicoes do alvo,todos posicionados aleatoriamente. Um novo conjunto de medidas, correspondendo a 11.posicao do alvo, e processado de forma incremental, ou seja, a posicao e estimada atravesSLCP ou SL-`1 fixando todas as posicoes anteriormente estimadas de sensores e ancoras,e procedendo-se posteriormente ao refinamento global de todas as posicoes. Os resultadossao comparados com a estrategia nao escalavel de processamento em bloco da fase starting,que a cada novo ponto da trajectoria do alvo descarta toda a informacao de localizacaopreviamente calculada.

A figura 8(a) mostra a evolucao da funcao de custo Gaussiana ΩG(x) (1) durantea etapa de refinamento apos obtencao das distancias relativas a 11. posicao do alvo(σgaussian = 0.04 m). A abordagem incremental SLCP + MM tira partido das posicoesanteriormente estimadas para comecar com um custo menor que o da abordagem por blo-cos EDM-R + MM, mas ambas atingem o mesmo valor de erro final, o que significa queeventuais diferencas de inicializacao da etapa de refinamento se diluem apos a execucaode MM no caso Gaussiano.

O mesmo cenario de rede e adoptado na presenca de outliers. A figura 8(b) mostra aevolucao da funcao de custo ΩL(x) (2) durante a etapa de refinamento para outliers La-placianos (σlaplacian = 0.1 m). O comportamento e semelhante ao caso Gaussiano da figura8(a). Em ambos os casos o refinamento ocorre com velocidades de convergencia e valoresfinais semelhantes usando as estrategias de inicializacao incremental ou por blocos, o quesugere que o processamento incremental retem, na pratica, o essencial da informacao quepode ser extraıda dum bloco de dados completo com apenas uma fraccao da complexidadecomputacional.

23

!0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x

y

AnchorsTrue sensors/targetsEDM!SREDM!REDM!R!l

1

(a) Constelacao

0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

x

y

Anchors

True sensors/targets

EDM!SR

EDM!REDM!R!l

1

EDM!SR + wMM

EDM!R + wMMEDM!R!l

1 + wMM

(b) Detalhe (incluindo uma ancora em(1.18; 0.99))

Figura 7: Elipsoides de incerteza na fase de startup com diferentes metodos de inicializacao.Ruıdo Gaussiano selectivo (outliers), σoutlier = 0.8 m / σgaussian = 0.02 m.

7 Experiencias reais em ambiente interior

A presente seccao ilustra o desempenho dos algoritmos propostos num setup experimentalem ambiente interior baseado em “motes” Cricket, da Crossbow Technologies [26]. Nestainstalacao as estatısticas das perturbacoes sao desconhecidas e as localizacoes reais dossensores sao conhecidas apenas aproximadamente (com uma precisao da ordem de 2 cm)[27].

Para estimacao de distancias, uma unidade emite simultaneamente impulsos RF e deultra-sons, que se propagam ate ao(s) receptor(es). Para todos os efeitos a propagacaodo impulso RF e instantanea face a velocidade de propagacao acustica, sendo usada paraestabelecer uma referencia temporal comum as unidades. Quantificando o atraso de re-cepcao do sinal acustico relativamente a este instante de referencia obtem-se uma medidadirecta do tempo de propagacao, logo da distancia percorrida admitindo que a velocidadede propagacao do som no ar e conhecida com suficiente precisao (figura 9(b)). Nesta ins-talacao apenas um Cricket opera em modo emissor, fazendo o papel de alvo. As distanciasestimadas pelas restantes unidades, que ocupam posicoes fixas e desempenham as funcoesde ancoras e sensores, sao enviadas a um PC para processamento centralizado.

De seguida descrevem-se algumas das incertezas associadas ao sistema. O alcancemaximo em linha de vista entre um par de Crickets e de cerca de 10 m. Observa-se quenas medicoes ate 4 m de distancia as incertezas podem chegar a 6 cm dependendo do angulorelativo entre os transdutores acusticos direccionais. Em segundo lugar, o sensor de ultra-som de um Cricket ocupa uma area de 1 cm x 2 cm na placa de circuito, sendo por issoinviavel na pratica estimar ground truth relativa a localizacoes abaixo dessas dimensoes.Finalmente, o processo manual de medicao que foi usado para determinacao de goundtruth das localizacoes das ancoras e sensores tem ele proprio uma incerteza apreciavel, daordem de 1 cm ou mais.

Os primeiros resultados apresentados dizem respeito ao seguimento de um robo PioneerP3-DX num ambiente de teste ilustrado na figura 9(a).

Experiencia 1: Na primeira experiencia, 8 receptores Cricket foram instalados ao

24

5 10 15 20 25 30 35 400.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

Behaviour of ΩG

(x) with Time Recursive + MM and Batch + MM with a new target position

Iteration number of MM algorithm

ΩG

(x)

Time Recursive (SLCP) + MM

Batch (EDM−R) + MM

(a) Evolucao da funcao de custo GaussianaΩG(x) na etapa de refinamento para EDM-R+MM e SLCP+MM, com σgaussian = 0.04 m.

5 10 15 20 25 30 35 405.4

5.6

5.8

6

6.2

6.4

6.6

6.8

7

7.2

7.4

Iteration number of weighted MM algorithm

ΩL(x

)

Behaviour of ΩL(x) with Time Recursive+wMM and Batch+wMM with a new target position

Time Recursive (SL1) + wMM

Batch (EDM−R−l1)+wMM

(b) Evolucao da funcao de custo LaplacianaΩL(x) na etapa de refinamento para EDM-R-`1+wMM e SL`1+wMM, com σlaplacian = 0.1m.

Figura 8: Avaliacao global da fase updating

redor do laboratorio e no tecto, numa area de 4 m x 4 m. O alvo, constituıdo por umemissor Cricket, foi colocado num robo movel Pioneer P3-DX programado para seguiruma trajetoria circular. Enquanto o robo se move, o alvo activa-se periodicamente parapermitir a determinacao de distancias aos receptores. Ao longo do percurso, executadoem 1.5 minutos, foram registadas distancias correspondentes a 18 posicoes do robo. Aconfiguracao ground truth foi estabelecida por medicao manual. Em media, 7 sensoresrecebem os sinais do alvo nas varias posicoes registadas. O algoritmo SLAT e capaz delocalizar uma rede de 4 ancoras, 4 sensores, e 18 posicoes de alvo com um RMSE decerca de 4.1 cm. A configuracao geometrica dos sensores e a trajectoria do alvo induzemambiguidades de reflexao intrınseca que nao sao resolvidos com ancoras, pois o robo move-se com coordenada z constante. Assim, reflectem-se segundo o plano do chao algumas dasposicoes 3D estimadas dos sensores antes de calcular erros de localizacao, para garantirque todas as coordenadas z sao consistentes.

A figura 10 mostra as posicoes dos sensores/ancoras e a trajectoria do alvo em 3D.Representam-se as posicoes nominais (azul), as estimadas a partir do bloco completo de 18medicoes (preto), e as estimadas a partir de um bloco de 15 medicoes (starting), seguidade 3 actualizacoes (updating) (vermelho). Os resultados de estimacao apresentados saoobtidos apos a etapa de refinamento MM de todas as posicoes. Utilizaram-se os algoritmosdesenvolvidos para ruıdo Gaussiano, pois a analise das distancia medidas neste setup naopermitiu concluir pela existencia de outliers que justificassem o recurso a algoritmos pararuıdo Laplaciano.

Experiencia 2: Nesta experiencia o robo move-se ao longo duma linha recta, seguidade meio cırculo, outra recta, e por fim um cırculo completo. Ao longo de cerca de 2 minutossao registadas 24 posicoes do alvo. O RMSE desta configuracao (4 ancoras, 4 sensorese 24 posicoes de alvo) e de cerca de 3.95 cm, ligeiramente melhor que na experienciaanterior possivelmente devido ao maior numero de posicoes (24 vs. 18). A figura 11mostra a reconstrucao da trajectoria do alvo e das posicoes dos sensores em condicoessemelhantes as da figura 10. Tal como na experiencia 1, os resultados para processamentorecursivo no tempo dizem respeito apenas as 3 ultimas posicoes do alvo. Novamente, nao

25

(a) Perspectiva da instalacao

Sender Receiver

T1

T2

(b) Princıpio de medicao de distancias no sistemaCricket

Figura 9: Ambiente de teste para algoritmos SLAT: 4 sensores Cricket no tecto e 4 emcima de tripes sao distribuıdos ao longo do laboratorio numa area de 4m x 4m. O roboPioneer P3-DX desempenha as funcoes de alvo, carregando o Cricket emissor.

e detectavel qualquer degradacao de resultados na modalidade starting+updating face aoprocessamento do bloco completo de observacoes.

8 Conclusao

Neste trabalho desenvolveu-se uma nova abordagem para SLAT baseada em distanciasque oferece alta precisao, boa escalabilidade computacional, robustez face a outliers nasobservacoes, e fraca necessidade de conhecimento a priori sobre uma dada configuracaogeometrica de sensores/alvo a estimar. Estas caracterısticas sao obtidas por articulacao deum certo numero de algoritmos distintos com propriedades particulares desejaveis numasequencia de etapas sequenciais de processamento que tomam partido das vantagens decada um. Dentre estes (sub-)algoritmos destacam-se aqui novos metodos para localizacaode fontes (SL) e localizacao em redes (SNL) que adoptam criterios de penalizacao dedesvios baseados em normas `2 (ruıdo Gaussiano) ou `1 (ruıdo Laplaciano).

O fio condutor subjacente a esses algoritmos consiste na adopcao de criterios de opti-mizacao para determinacao das posicoes de interesse em cada sub-problema, o que forneceum enquadramento formal solido que permite lidar de forma consistente com geometriasdifıceis e nıveis de ruıdo elevados que poderiam inviabilizar outros metodos de localizacaomais heurısticos. Enfatiza-se de modo especial a utilizacao de tecnicas de relaxacao paraobtencao de problemas convexos que podem ser resolvidos de forma simples, eficiente, eglobal com solvers genericos. Resultados de simulacao parcelares mostraram que esses al-goritmos tem de facto desempenho muito interessante, frequentemente proximo de limitesfundamentais (CRLB) no caso Gaussiano. Salienta-se ainda que todos os algoritmos ins-tanciados na cadeia de processamento operam com criterios de penalizacao/optimalidadesemelhantes sob cada um dos dois tipos de ruıdo considerados, o que assegura que a trans-ferencia de estimativas entre esses algoritmos ao longo do tempo limita, tanto quantopossıvel, o desencadear de comportamentos transitorios. Dum ponto de vista praticovarios destes algoritmos sao bastante apelativos, pois fornecem desempenho quase-MLmas envolvem apenas a resolucao dum unico problema de optimizacao convexo, o que os

26

00.5

11.5

22.5

3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

30

0.5

1

1.5

2

2.5

x

Circular Trajectory

y

z

anchors

sensors

B!est!sensors

B!est!targets

B!est!traject

TR!est!sensors

TR!est!targets

TR!est!traject

nom!traject

Figura 10: Trajetoria circular do alvo. B-est e TR-est referem-se, respectivamente, asestimativas obtidas por processamento dum unico bloco de 18 posicoes (EDM-R + MM),e dum bloco menor (15 posicoes) seguido de actualizacao recursiva de 3 posicoes ((EDM-R

+ MM)+ SLNN + MM).

torna muito convenientes para rapid prototyping. Isto contrasta fortemente com outrosalgoritmos quase-ML para SL/SNL disponıveis na literatura, que tem uma estrutura com-putacional bastante elaborada e requerem um consideravel esforco de implementacao eteste.

No esquema de processamento SLAT os algoritmos convexos baseados em relaxacaosao utilizados para inicializar de modo fiavel e praticamente automatico algoritmos MLiterativos, que assim evitam os bem-conhecidos problemas de convergencia para extremoslocais e fornecem com elevada probabilidade posicoes muito precisas. Consideraram-seduas modalidades distintas de inicializacao: Numa primeira fase, designada startup, aindanao se acumulou informacao, pelo que e necessario reunir e processar um bloco de dadossubstancial correspondente a varias posicoes do alvo (da ordem de 10–20 nos cenariosexaminados). Numa fase posterior, designada updating, o historial acumulado de posicoesja permite realizar ajustes mais incrementais nas varias posicoes estimadas a medida que seassimilam novos pontos na trajectoria do alvo, o que se reflecte tambem num menor esforcocomputacional. Neste modo de operacao estima-se primeiro a quantidade para a qual naoexiste qualquer informacao acumulada, ou seja, a posicao mais recente do alvo, mantendo-se fixas as estimativas anteriores. So depois se harmonizam todas as estimativas a luzdo criterio ML. Os resultados de simulacao confirmam que o processamento incrementalrealizado com historial suficientemente rico captura essencialmente a mesma informacaonova que o processamento de todo o bloco de dados disponıvel, conduzindo a desempenhovirtualmente identico nas iteracoes ML/MM subsequentes com muito menor complexidade.

Globalmente, os resultados de simulacao obtidos para o metodo SLAT aproximaram-sedo CRLB para ruıdo Gaussiano moderado. Na presenca de outliers confirmou-se que acadeia de processamento SLAT projectada para ruıdo Laplaciano conduz a estimativas dasposicoes mais fiaveis que a cadeia para ruıdo Gaussiano. Essa conclusao verifica-se tambema nıvel dos sub-algoritmos na cadeia de processamento, destacando-se o comportamentoparticularmente interessante de EDM-R-`1 e SL-`1, que nos ensaios efectuados superaram

27

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

1

2

3

x

Circular and Straight Line Trajectory

y

z

anchors

sensors

nom!traj

target!pos

B!est!sensors

B!est!targets

B!est!traject

TR!est!sensors

TR!est!targets

TR!est!traject

Figura 11: Trajetoria mista linear-circular do alvo. B-est e TR-est referem-se, respectiva-mente, as estimativas obtidas por processamento dum unico bloco de 24 posicoes (EDM-R+ MM), e dum bloco menor (21 posicoes) seguido de actualizacao recursiva de 3 posicoes((EDM-R + MM)+ SLNN + MM).

diversos algoritmos populares para SNL e SL com os quais foram comparados. De formaalgo inesperada, constatou-se que os maiores ganhos de desempenho dos algoritmos base-ados em normas `1 face aos correspondentes algoritmos Gaussianos nao ocorreram pararuıdo Laplaciano, mas sim para outliers gerados segundo o modelo Gaussiano selectivo.A caracterizacao destas diferencas para outros modelos de outliers e um dos aspectos aexplorar. Finalmente, demonstrou-se experimentalmente o metodo SLAT em 3D numambiente interior, obtendo-se precisoes de localizacao da ordem de 4 cm. Pretende-se tra-balhar este setup para induzir o aparecimento de mais outliers em condicoes controladas,posto que estes estavam praticamente ausentes nas medicoes efectuadas.

Em termos de perspectivas futuras, existem diversas possibilidades promissoras. Umadas dificuldades apontadas aos metodos de localizacao baseados em distancias/TOA emWSN, redes de telecomunicacoes moveis e sociais, etc. e a necessidade de medir tempos devoo, o que requer sincronizacao precisa dos relogios usados no emissor e receptor5. Tal edifıcil no tipo de sistemas de interesse que usam hardware simples. Em [30] ja se abordoua adaptacao dos algoritmos propostos para SNL para um tipo particular de desvio nosrelogios. No entanto existem diversas questoes de sincronizacao a que esse trabalho naoresponde; de um modo geral ainda ha pouco trabalho disponıvel no promissor tema delocalizacao em rede e sincronizacao conjuntas.

Uma outra questao de interesse e a extensao dos algoritmos propostos a outro tipode medidas para alem de TOA. Por exemplo, embora sem garantias de optimalidade MLparece viavel aplicar a abordagem angular desenvolvida a medidas TDOA, em que as su-perfıcies de ambiguidade sao hiperboles e nao cırculos. A semelhanca de SLCP/SLNN, issopoderia conduzir a algoritmos SL para TDOA mais precisos que os actualmente existentes.Outra possibilidade seria a extensao da abordagem EDM proposta para SNL ao caso demedidas RSS na ausencia de calibracao das potencias emitidas, que despertam interesse

5O sistema Cricket da seccao 7 resolve o problema combinando sinais RF e acusticos, mas nem sempreo alcance pretendido e as caracterısticas do ambiente de operacao permitem uma solucao deste tipo.

28

por serem muito simples de obter na pratica. Tomando partido de tecnicas recentementepublicadas, esse objectivo parece ser bastante viavel.

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