ALGUMAS APLICAÇÕES DE

PESQUISA OPERACIONAL

Maria Teresinha Arns Steiner

Cursos de Graduação (Matemática Industrial; Engenharia de Produção; outros)

Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia – PPGMNE (Mestrado e Doutorado)

Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção-PPGEP (Mestrado)

1. Modelagem MatemáticaOtimização no Dimensionamento de Equipes de Trabalho• em uma Central de Atendimento Telefônico;• em um Serviço de Rádio-Táxi;• em uma Companhia de Distribuição de Energia Elétrica;• outros.

Solução: Modelos Matemáticos (PLI); Simulação; Meta-Heurísticas; outros.

No caso da COPEL, por exemplo, temos:A COPEL, no Paraná, está dividida em cinco regionais: Cascavel; Maringá; Londrina; Ponta Grossa e Curitiba. Os consumidores de energia elétrica da regional de Curitiba, por sua vez, estão distribuídos em seis agências: Centro; Portão; Sítio Cercado; Vila Hauer; Bacacheri e Santa Felicidade. Cada agência é dividida em setores / regiões, e, estas, em rotas de leitura. A agência do Portão possui 7 setores e 48 rotas de leitura.

Mapa da agência do Portão (7 setores e 48 rotas de leitura)

Dados: Foram considerados os dados do mês de outubro de 2004,

totalizando 21.358 registros, sendo 20.443 ocorrências comerciais

(9.170 executadas e 11.273 com impedimento) e 915 ocorrências

emergenciais.

Foram considerados: a) tempo de atendimento, em minutos, dos serviços comerciais (com e sem impedimentos) e emergenciais ocorridos na agência a cada hora do dia; b) possibilidade das equipes terem jornadas de 4 e/ou 6 e/ou 8 horas, podendo iniciar a cada hora "cheia" do dia. A demanda por equipes na hora i é dada por: Di=Ti/(60x31), já que deseja-se o número de equipes por hora (60 minutos) e o mês de outubro possui 31 dias.

Sendo xij = número de equipes de jornada j que inicia seu trabalho na hora i e considerando que cada equipe trabalha 4 e/ou 6 e/ou 8 horas por dia ininterruptamente e, ainda, que as equipes possuem custos cij diferenciados (ou não),o modelo matemático fica (72 variáveis xij e 24 restrições):

Função Objetivo:Minimizar (número e custo de equipes) = i j=4 cij xij + ij=6 cij xij + ij=8 cij xij

sujeito às seguintes restrições:as equipes que estarão atendendo no intervalo (0:00-1:00) são:x0,4 + x23,4 + x22,4 + x21,4 + x0,6 + x23,6 + x22,6 + x21,6 + x20,6 + x19,6 + x0,8 + x23,8 + x22,8 + x21,8 + x20,8 + x19,8 + x18,8 + x17,8 D0

as equipes que estarão atendendo no intervalo (1:00-2:00) são:x1,4 + x0,4 + x23,4 + x22,4 + x1,6 + x0,6 + x23,6 + x22,6 + x21,6 + x20,6 + x1,8 + x0,8 + x23,8 + x22,8 + x21,8 + x20,8 + x19,8 + x18,8 D1

... e assim, analogamente, para os demais horários, até:

as equipes que estarão atendendo no intervalo (23:00-0:00) são:x23,4 + x22,4 + x21,4 + x20,4 + x23,6 + x22,6 + x21,6 + x20,6 + x19,6 + x18,6 + x23,8 + x22,8 + x21,8 + x20,8 + x19,8 + x18,8 + x17,8 + x16,8 D23

xij 0 e inteiras.

Pode-se simular diversos cenários para este modelo (demandas mensais; custos diferenciados; outros). Para um dos cenários, as variáveis xij são: x0,6 = 1; x8,8 = 3; x9,8 = 7; x14,8 = 2; x18,6 = 1; x4,8 = 1, totalizando 15 equipes..

Cronograma

para o problema

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Parte do Mapa Digitalizado da cidade de Curitiba, Pr, contendo 15 pontos (nós) e 22 arcos

Otimização em Redes (Grafos)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

3 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

11 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

12 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Grafo G(X, A)

Matriz de Adjacência do Grafo G

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

3 2 1 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2

4 3 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3

5 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2

6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2

7 2 3 0 0 2 1 0 1 2 3 0 0 0 0 3

8 3 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 3

9 3 2 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 3

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

11 4 3 0 1 2 3 0 0 0 1 0 0 0 0 4

12 3 2 1 2 3 4 0 0 0 2 1 0 0 0 3

13 4 3 2 3 4 5 0 0 0 3 2 1 0 0 4

14 5 4 3 2 3 4 0 0 0 2 1 2 1 0 5

15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 2 3 3 3 4 5 3 3 3 3 3 3 3 3 2

4 2 5 4 4 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 2

5 2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 1

7 6 5 7 7 8 7 7 7 8 9 7 7 7 7 1

8 2 5 8 8 8 5 8 8 8 9 8 8 8 8 2

9 2 5 9 9 9 5 9 9 9 9 9 9 9 9 2

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

11 2 5 11 11 4 5 11 11 11 11 11 11 11 11 2

12 2 3 12 3 4 5 12 12 12 11 12 12 12 12 2

13 2 3 12 3 4 5 13 13 13 11 12 13 13 13 2

14 2 5 12 11 4 5 14 14 14 11 14 13 14 14 2

15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15

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C =

T =

Algoritmo de Floyd:

Mínimos Custos (C)

e seus Trajetos (T)

2. Problemas de Localização de Instalações

Dado um conjunto de Pontos de Demanda, podemos querer localizar:

Novos: Postos de Saúde; Caixas Automáticas; Creches; Escolas; Farmácias; Postos de Gasolina; Outros.

ou, ainda, expandir as instalações já existentes (quais expandir?)Onde localizar? Quantas serão as novas instalações?

Dado um conjunto de Pontos de Demanda, podemos querer formar grupos (clusters) de atendimento.

Para as situações acima;

Leituristas da COPEL; SANEPAR; Fiscais do ESTAR; para a formação de rotas; locais de prova para o vestibular.

Os problemas citados podem ser enquadrados como Problemas das p-medianas (reais ou fictícias)

Solução:

Métodos Exatos; Métodos Heurísticos; ... !!!

Modelos Matemáticos (Exatos);

Algoritmo de Teitz & Bart (Heurístico);

Meta-Heurísticas: Algoritmos Genéticos; Simulated Annealing; Busca Tabu; outras.

Problema dos Leituristas da SANEPAR.Mapa da cidade de Pato Branco, PR, destaque à região estudada.

Região em estudo a nível mais detalhado (ruas e quadras).Pontos de Demanda (774) localizados no centro de cada Trecho.

Os 774 Pontos de Demanda que definem a região estudada. Deseja-se definir 12 medianas (12 leituristas da SANEPAR).

Solução Heurística (aproximada) para o problema utilizando o Algoritmo Genético + Algoritmo de Teitz & Bart

Formação dos grupos de Pontos de Demanda em torno das 12 Medianas utilizando o Algoritmo de Gillett & Johnson

3. Problemas de Roteamento de Veículos

Dado um conjunto de Pontos de Demanda, podemos querer definir a melhor rota a ser feita (minimizando: distância, tempo, estradas não pavimentadas, outros).

Qualquer serviço de distribuição de mercadorias ou pessoas; Leituristas da SANEPAR; Carteiros; Transporte Escolar; Transporte de Funcionários; outros.

Qual a seqüência de pontos de demanda?

Modelos Matemáticos; Ramificação de Christofides; Algoritmos: Savings de Clarke & Wright; Inserção; Algoritmo do Carteiro Chinês; ...; Meta-Heurísticas;...

Formação de uma das Rotas utilizando o Algoritmo do Carteiro Chinês

Determinação do Melhor Trajeto entre Curitiba e Castro utilizando o Algoritmo de Floyd

(mapa digitalizado do Paraná: vias pavimentadas; vias pavim. e não pavim.)

Problema dos Correios: Divisão de um Centro de Distribuição Domiciliar em 13 Distritos Postais (13 carteiros)

4. Problemas de Designação

Podemos querer fazer a Designação Ótima (de acordo com as preferências):

Motoristas para Horários de Trabalho;Enfermeiras para Horários de Trabalho;Jogadores de Futebol para Times;Turmas de Alunos para Salas de Aulas; Professores para Turmas de Alunos; Militares para Horários de Trabalho; Professores orientadores para orientados; Alunos para Escolas;

Outros...Como fazer a Designação?Modelos Matemáticos; Algoritmos: Húngaro, Matching, ...; Meta-Heurísticas;...

N.AL.\N.PR. 1 2 3 4 5 6 7 8

1 4 4 6 2 1 3 5 62 5 4 8 2 1 3 6 73 4 4 5 3 2 4 1 54 3 4 5 1 2 3 4 55 4 8 5 2 1 7 6 36 4 1 5 1 1 2 6 37 6 5 8 4 2 3 1 78 2 3 7 4 1 5 6 79 3 1 3 3 1 2 3 210 4 2 8 3 1 5 6 711 4 5 7 1 2 6 8 312 5 3 7 2 1 6 8 413 8 6 5 3 4 7 1 214 5 4 6 3 1 7 8 215 4 2 6 3 1 4 5 216 5 3 7 2 1 4 8 617 3 2 5 3 1 1 1 418 3 2 3 3 1 1 3 119 5 2 8 3 1 4 6 720 7 4 6 2 1 3 8 5

Preferências dos Alunos com relação aos Professores Orientadores

(Modelo Matemático / Algoritmo de Designação)

Militares \ Dias do Mês 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 301 - - X* - X* X - - X - * X X2 - X* X - - X* - X - - X* X3 X X - - X* X - X* - - - X*4 * - X - X - X - X* X - * - X5 X - X* - X - X* - - X* X -6 - X* - X - X - - X* X* - X7 X* - - X* - X - - X - X X*8 X - X - X - - X* X* - - X*9 * X - - - X X X* - - X* - X10 X - X - X * - - X* - X - X*11 * X* - - - X - - X X - X* X12 X - X - * - X X* - - X* X -13 X* - X - - X X* - X* - - X14 X - X X* - - - X* X* - - X15 X* X* - X - - X* X - - - X16 X X* - X - X* - - X - - X*17 X * X - X* - X* - X - - X -18 X X* - X X* - - - X* - - X19 X* - - X - - X X* - X - X*20 X - X X X* - - - X* - - X*21 X - X* - X X* - - X* - X -22 - X* - X - X* - X - X - X*23 X* X X - X* - X - * X - - -24 - X* X - - X* - - X - X X*25 X* - X* - X - X - - X - X*26 X X - - - X* - X X* - - X*27 X - - - X* - X* - - X X X*28 X - X* X* X - X - - - X* -29 X - X* - X* - - X X* - - X30 - X X* - - X X* - X* - - X31 * - X - X * - X X - - X* X -32 X X* - X* - - X X - X* - -33 X* - X - X* - - X X - X* -34 X* - X X* X - X* - - X - -35 - X* - - X* - X X - X* - X36 X X* - - X - - X* - X* X -37 X - X* - X - - X* - X* - X38 X* - X - X* X - - * X - X -39 X X* - X* - X - X - - X* -40 X* - X - - X - X- - X* X*41 X - X* - X* - X* - X - - X42 X* X* X - - X - - - X - * X43 * - X - - X* - X - X - X* X44 X - X* - X X* - X* - - - X45 - X* - X* X X- - X* - - X46 X X* - - X - - X* - X * X -

Problema da Escala dos Militares. Resultados 24/24 sem Finais de Semana Seguidos (# mil.: 90; # dias para escala: 30; demanda diária de mil.: 19; máx. de finais de semana trabalhados: 2; total de escolhas

para plantão: 3x90=270; total de escolhas para não trab.: 6x90=540)

Militares \ Dias do Mês 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3047 - X - * - X - X* - X X - X*48 - X* - - X* X - X - X - X*49 X* - - X X- - X* - X* - X50 X* - - - X X X* X - X* - -51 X - - X* - - X* - X* X X -52 X - - X* X - - X* - X - X*53 X* - X - - X* - X - X* X -54 X* - - X X* X X* - - X - -55 X * X - - X* - X X - X* - -56 - X * X - X* - - X - - X X*57 * X- - X X* - - - X* X X -58 X X X* - X* - X - - X* - -59 X* - X X - X* - - X - X - *60 X* - X - X* X - X* - - - X61 X X* - - X - - X - X* - X* X62 X - * X X - - - - X* X X* - X63 - X X* X - - X* X * - X - - X64 X - X* X * - X - - X - X* - X65 X* - X X* - - X - X - X* - X66 X - X X* - - X - X* - X - * X67 X - - X* X - - * X - X - X * X68 X - X X* - - X* - X X - X* -69 X* X X - - X - * X - - X* - X70 - X - - X* - X X* - - X * X X71 X X - X* - - X* - - - X X* X72 X * X - X* - X* X X- X - - -73 X X* - X - - X X- - X* - X*74 X - X - X * - X X* - - X* - X75 X X* - X - * - X - X X* - - X76 - X* - X X* - X - * X - - X X77 X * X - X - - X* X - - X* X -78 X* - X - X - X* - X - - X* X79 X X - X* - X* - - X - X* - X80 X* X X* - X* X - - X- - - X81 X* - X - X X X* - - - X - X*82 X- X - - X - * - X - * X X X*83 X* - X - X X - - X* - - X * X84 - X - X - - X* X * X - X* - X85 X X- X* - - X - * X - X - X*86 X* X X* - - X - X* - - X - X87 * X - X - X - X* X- - - X* X88 X - X X - * X - X - - X* - X*89 X X* X* - X X - * - X - - X -90 X - X- X - * X - X* - - X* X

5. Problemas de Reconhecimento de Padrões

Como fazer o Reconhecimento (e Previsão) de Padrões pertencentes a diferentes classes.

Diagnóstico Médico (reconhecer clientes com cálculo de clientes com câncer no duto biliar); Crédito Bancário (reconhecer clientes adimplentes de clientes inadimplentes); Controle de Qualidade (reconhecer azulejos de boa qualidade de azulejos de baixa qualidade), (idem para bobinas de papel); Engenharia de Avaliações (prever o valor de um imóvel); Processos Jurídicos (prever o tempo de trâmite de um processo);Um certo padrão P pertence à classe A ou B?

Etapas do Processo Descoberta de Conhecimento em Bases de Dados (Knowledge Discovery in Databases - KDD)

Solução

São muitos os métodos de RP, dentre os quais podemos citar:

Modelos Matemáticos (PL);

Métodos Estatísticos (Fisher, Regressão Logística, ...);

Meta-Heurísticas (Redes Neurais, AG, AS, BT, ...);

Algoritmos para Extração de Regras de uma RN Treinada;

Árvores de Decisão.

Ilustração gráfica do método “Geração de uma Superfície que Minimiza Erros” (Programação Linear)

Ilustração Gráfica da “Função Discriminante Linear de Fisher” (Método Estatístico)

Ilustração Gráfica do Método “Regressão Logística” (Método Estatístico)

Ilustração Gráfica de uma “Rede Neural de Múltiplas Camadas” (Metaheurística)

Exemplo de uma Rede Neural de Múltiplas (3) Camadas (Configuração: 54 - 4 - 1)

Exemplo de uma Árvore de Decisão para um Problema Médico

6. Otimização em uma Rede de Distribuição de Energia Elétrica

Problemas: da Restauração da Rede;Reconfiguração (Minimizar as Perdas de Energia);Expansão da Rede (Localização Ótima de novas Sub

Estações; de novos alimentadores; ...)Dimensionamento Ótimo de Equipes de Trabalho;Outros.

Problema da Restauração da Energia Elétrica em uma Rede:Ocorrida a falha de energia em uma determinada região de uma cidade e localizado e isolado o bloco, causa do problema, o objetivo é determinar de que forma restaurar a energia (seqüência de operações com as chaves - abertura e fechamento) de forma a minimizar o tempo sem energia.

Objetivos da Restauração:1) o plano de restauração deve ser executado em curto intervalo de tempo;2) restaurar tanta carga quanto possível na área “fora de serviço”;3) o número necessário de operações de chaveamento(abertura e fechamento) deve ser mínimo;4) a configuração do sistema restaurado deve estar o mais próximo possível da configuração original;5) a estrutura do sistema radial deve ser mantida;6) nenhum componente deve ficar sobrecarregado.

Dados:No Paraná há cerca de 350 sub-estações (SE), sendo que em Curitiba há cerca de 20 SE e 130 alimentadores. Em um únicoalimentador podemos ter, por exemplo, 50 blocos, 60 chaves, 450trechos.

Fluxograma para Solução do Problema de Restauração

Uma Rede Elétrica representada como um Grafo (X, A): 3 SE; 3 alimentadores; 35 blocos e 44 arcos.

Se, por exemplo, ocorrer uma falha no bloco 2, como fica?

Resultado após a execução do Algoritmo Heurístico desenvolvido (RHP = Restoration Heuristic Procedure). Se a falha ocorreu no bloco 2: teremos 9 chaveamentos (manobras) : [(1,2), (3,2), (4,2), (7,2)] para isolar o defeito;abrir: (7,8), (10,11); fechar: (5,24), (12,17), (13,26). Não há como alimentar alimentar os blocos 3 e 8.

OBRIGADA!!!

tere@ufpr.br