Alguns sistemas multimodais alético-temporais.

Samir Bezerra Gorsky

CLE-UNICAMP

Orientador: Prof. Dr. Walter Carnielli

Resumo:

O presente trabalho visa relacionar o desenvolvimento histórico das lógicas multimodais alético-temporais com as questões referentes aos problemas vinculados aos “futuros contingentes” e à “necessidade do passado”. Questões estas originárias em obras Aristotélicas, Megáricas e Estóicas. Serão analisados resultados sobre sistemas formais modais tais como S4, S4.3, Kt (temporal).

Escola de Mágara

Fundada por Euclides de Mégara. É uma das “escolas socráticas menores” Relaciona-se com o eleatismo pela doutrina

do ser e pelo método erístico. Eubulides (continuador de Euclides):

Travou polêmica com Aristóteles. Diodorus Cronus Alexinos (Elenxinos = refultador)

Diodorus Cronus

Megárico Um jovem contemporâneo de Aristóteles

(séc. IV a.C.). Não temos muitas informações sobre sua

vida.

Roteiro Histórico

Apresentação do tema (Aristóteles e Diodorus)

Crítica bizantina Abelardo, Tomás de Aquino e Leibiniz

(tratamento positivo) Lukasiewicz (Tratamento através da lógica

trivalente) Prior e Hintikka (Lógica modal e

multimodal)

Notação (Prior)

Fp será o caso que pGp sempre será o caso que pMp é possível (agora) que pLp é necessário (agora) que pNp é o caso (agora) que não-pCpq se p, então qApq p e/ou qKpq p e qEpq p sse q

Modelo Diodoréio

Seja ‘p’ a proposição: ‘uma batalha naval em t1’.

(1) Mp em t0

(2) p em t1

(3) Lp em t2

Aristóteles e Diodorus tenderiam a acreditar que: se 2 vale, então vale 1 e 3.

Modelo diodoréio

CMpMNp (cf. Primeiros Analíticos 22a 12-17)

Seja 2’ = Np em t1

1 e 2’ são compatíveis Se 1 vale, então 2’ é provável 2’ é incompatível com 3

Modelo diodoréio

Diodorus identificou ser possível em t0 com ser atual em t1 e necessário em t2.

Ser necessário em t2 significa ser necessário já em t0

A validade de 2 indica a necessidade de p desde o início (ser necessário em t2 significa ser necessário já em t0).

Modelo Diodoréio

A validade de 2’ indica a impossibilidade de p desde o início.

Dados 2, 3 e o “non-sequitur” entre impossibilidades e possibilidades teremos a seguinte conclusão: “não existem possibilidades que não serão atualizadas”

Este argumento é conhecido como “Argumento Mestre” (The Master Argument).

O Argumento Mestre

1. Todas verdades (no passado) são verdades necessárias (no presente). (Premissa)

2. Uma impossibilidade não se segue de uma possibilidade. (Premissa)

3. Se p é verdadeiro agora t(1), ou será verdadeiro t(1+n), então no passado t(0) já era verdadeiro que p seria verdadeiro em t(1) ou em

t(1+n). (Premissa)

O Argumento Mestre

Para mostrar que: se algo não for atualizado, então não será uma possibilidade. Deve-se assumir Np e então concluir NMp.4. Np é verdadeiro (agora) (premissa para a prova do condicional)5. “será o caso que Np” é verdadeiro (no passado) (de 3 e 4)6. “será o caso que Np” é necessariamente verdadeiro (no passado) (de 1 e 5)7. “será o caso que p” é impossível (no passado) (de 6)

O Argumento Mestre

8. Se p (agora), então “será o caso que p” (no passado) é verdadeiro. (de 3)9. NMp (agora) (de 2,7,8)10. Se Np, então NMp (agora) (de 4, 9)

Uma versão mais informal: Se não vai haver algum determinado evento amanhã (por exemplo uma batalha naval) então a suposição de que vai haver tal evento não é meramente falsa mas impossível.

A Batalha Naval (Aristóteles)

Aristóteles. De Interpretatione IX (uma lógica com um terceiro valor).

Uma tentativa de solucionar um problema relacionado aos futuros contingentes.

Proposições devem corresponder a fatos. Eventos situados no futuro possuem uma alternativa real e

uma potencial em direções contrárias. A afirmação e a negação correspondentes a essa

proposição terão o mesmo caráter. Ambas poderão ser verdadeiras ou ambas poderão ser

falsas, porém atualmente não podem possuir nenhum valor de verdade (verdadeiro ou falso).

A Batalha Naval

Aristóteles Argumenta que não podem valer, ao mesmo tempo, os seguintes casos:

a) “Haverá ou não haverá uma batalha naval amanhã” é, agora, indeterminado.

b) Já é definitivamente verdadeiro ou definitivamente falso que haverá uma batalha naval amanhã.

A Batalha Naval

Embora nenhuma das partes da disjunção seja, agora, verdadeira ou falsa, o conjunto inteiro desta disjunção (haverá ou não haverá uma batalha naval amanhã) é desde já definitivamente verdadeiro.

Sistemas formais que tratam das Sistemas formais que tratam das questões referentes a futuros questões referentes a futuros contingentes (necessidade do contingentes (necessidade do

passado)passado)

A lógica de três valoresA lógica de três valores As lógicas modaisAs lógicas modais

Lukasiewicz

O problema de se construir uma lógica verofuncional que nos permita trabalhar com proposições “neutras” como as que encontramos nos trabalhos aristotélicos foi atacado, de forma sistemática, em 1920 por Lukasiewicz.

Ele sugeriu que deveríamos considerar as seguintes matrizes:

Lukasiewicz

~~

11 00

½ ½ ½ ½

00 11

&& 11 ½ ½ 00

11 11 ½ ½ 00

½½ ½½ ½½ 00

00 00 00 00

Lukasiewicz

11 ½ ½ 00

11 11 ½ ½ 00

½½ 11 11 ½ ½

00 11 11 11

VV 11 ½ ½ 00

11 11 1 1 11

½½ 11 ½ ½ ½ ½

00 11 ½ ½ 00

Lukasiewicz

A partir dessas matrizes (p & q) é equivalente a:

~ (~p v ~q) Podemos ainda definir (p q):

(p q) & (q p) p v q não é, entretanto, definido como:

~p q

(no cálculo implicacional porém é definido como:

(p q) p)

Lukasiewicz

~p é definido como: p Muitas leis do cálculo proposicional deixam de

valer de acordo com os significados dos conectivos dados pelas matrizes acimaPor exemplo: (~p p) pA lei do terceiro excluído: p v ~p(suponha que p = ½)

Daí temos uma divergência entre a lógica L3 de Lukasiewicz e o que é sugerido no De Interpretatione.

Lukasiewicz

A verdade do terceiro excluído é devido ao fato de seus componentes serem contraditórios e não por causa dos seus valores de verdade.

Existe portanto um elemento não-verofuncional no tratamento destas proposições.

Prior [3] considera que o aparecimento da não-verofuncionalidade em tais proposições é devido a uma confusão com relação à diferenciação das duas seguintes sentenças:

Lukasiewicz

i) “Haverá ou não haverá uma batalha naval amanhã” é verdadeira de acordo com regras verofuncionais, somente quando pelo menos uma das duas componentes for verdadeira.

ii) “Amanhã será o caso da seguinte sentença: há ou não há uma batalha naval”

Lukasiewicz

A sentença i), apesar de salvar a verofuncionalidade, não possui validade para todos os casos. (considerando o sistema tri-valorado de Lukasiewicz

A sentença ii) não é verofuncional dado que o conectivo de disjunção é governado pelo operador não-verofuncional ‘amanhã será o caso...’ (tal operador não aparece no sistema tri-valorado de Lukasiewicz)

Problema!

Como tratar as proposições futuras em matéria contingente a partir de seus valores de verdade (inclusive o “neutro”: ½ ) e ainda manter as características lógicas básicas como por exemplo a verofuncionalidade?

Bivalência X Verofuncionalidade

Crisipo e Epicuro admitiam aimplicação do princípio de bivalência irrestrito ao necessitarismo universal.

Crisipo aceita o princípio sem restrição e portanto o necessitarismo.

Epicuro recusa o determinismo e daí nega a universalidade irrestrita do princípio.

(cf. [1] p 173)

Bivalência X Verofuncionalidade

Podemos considerar duas etapas ordenadas das posições citadas acima.

Primeiro: Vale a implicação do princípio de bivalência irrestrito ao necessitarismo lógico?

Princípio de bivalência irrestrito Necessitarismo lógico Segundo: Vale o princípio de bivalência

irrestrita?

Bivalência X Verofuncionalidade

Roman Suszko (1970’s) “there are but two logical values, true and false”.

Wójcicki-Lindembaum: Mostra que qualquer lógica tarskiana tem uma semântica multi-valorada.

Suszko-daCosta-Scott: mostra que qualquer semântica multivalorada pode ser reduzida a uma semântica bi-valorada.

Por que trabalhar com lógicas multivaloradas?

Bivalência X Verofuncionalidade

Porque precisamos de uma ponte (algumas vezes) entre a bi-valoração e a verofuncionalidade. (de um ponto de vista pragmático).

Os resultados redutivos de Suszko são não construtivos.

Existe uma maneira de se construir semânticas bi-valoradas para qualquer lógica que tenha uma semântica verofuncional finito-valorada e uma linguagem suficientemente expressiva.

É indicada ainda uma maneira de se construir um sistema canônico adequado de seqüentes ou tableaux.

Lógicas modaisLógicas modais

Proposta: Trabalhar o assunto usando Proposta: Trabalhar o assunto usando lógicas modais e multimodaislógicas modais e multimodais

Primeiras referências: Hintikka e Prior.Primeiras referências: Hintikka e Prior. Sistemas de interesse: Kt (temporal), S4 e Sistemas de interesse: Kt (temporal), S4 e

S4.3 (Diodoréio)S4.3 (Diodoréio)

S4S4

CLpLLp não pertence ao sistema TCLpLLp não pertence ao sistema T Modalidades Iteradas (S4 é um sistema Modalidades Iteradas (S4 é um sistema

caracterizado pela aplicação iterada de L)caracterizado pela aplicação iterada de L) CLLpLp é um teorema de T (por CLLpLp é um teorema de T (por

substituição em CLppsubstituição em CLpp

Bibliografia

[1] Balthazar Barbosa Filho (UFRGS/CNPq). Aristóteles e o princípio da Bivalência. Analytica, Vol. 9 n 1, 2005.

[2] J.-Y. Beziau (ed.). Carlos Caleiro, Walter Carnielli, Marcelo Coniglio e João Marcos. Two's Company: “The Humbug of Many Logical Values” In Logica Universalis pp 169-189. Birkhäuser Verlag Basel/Switzerland 2005.

[3] Arthur Prior. Three-valued and Intuitionist Logic in Formal Logic. Claredon Press, Oxford 2a ed. 1962.

Bibliografia

[4] Mondolfo, O pensamento Antigo. Ed mestre jou. São Paulo. 1971.