ALUNOS EM DEPENDÊNCIA EM MATEMÁTICA NO CURSO...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

CENTRO DE EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO

ROSEANNE ARAUJO DE CASTRO

ALUNOS EM DEPENDÊNCIA EM MATEMÁTICA NO CURSO TÉCNICO DE CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS INTEGRADO COM O

ENSINO MÉDIO NO CEFETES: UMA ANÁLISE DE SEUS MOTIVOS

VITÓRIA

2009

ROSEANNE ARAUJO DE CASTRO

ALUNOS EM DEPENDÊNCIA EM MATEMÁTICA NO CURSO TÉCNICO DE CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS INTEGRADO COM O

ENSINO MÉDIO NO CEFETES: UMA ANÁLISE DE SEUS MOTIVOS

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação do Centro de Educação da Universidade Federal do Espírito Santo, como requisito para obtenção do título de Mestre em Educação, na área de Educação e Linguagens, sublinha de Linguagem Matemática vinculada ao campo científico de Educação Matemática.

Orientadora: Profª Drª Vânia Maria Pereira dos Santos-Wagner

VITÓRIA

MARÇO/2009

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)(Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)

Castro, Roseanne Araujo de, 1953-C355a Alunos em dependência em matemática no curso técnico de

construção de edifícios integrado com o ensino médio no CEFETES : uma análise de seus motivos / Roseanne Araujo de Castro. – 2009.

240- f. : il.

Orientador: Vânia Maria Pereira do Santos-Wagner.Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Espírito

Santo, Centro de Educação.

1. Ensino médio. 2. Ensino técnico. 3. Matemática - Estudo e ensino. 4. Matemática emocional. 5. Avaliação. 6. Resolução de problemas. 7. Metacognição. I. Santos-Wagner, Vânia Maria Pereira dos. II. Universidade Federal do Espírito Santo. Centro de Educação. III. Título.

CDU: 37

AssentamentoFrancisco Buarque de Holanda

Quando eu morrer, que me enterrem Na beira do chapadãoContente com minha terra Cansado de tanta guerra,Crescido de coração

Zanza daqui Zanza pra acolá Fim de feira, periferia aforaA cidade não mora mais em mim Francisco, Serafim Vamos embora EmboraVer o capim Ver o baobá Vamos ver a campina quando floraA piracema, rios contravim Binho, Bel, Bia, Quim Vamos embora

Quando eu morrer Cansado de guerraMorro de bem Com a minha terra:Cana, caqui Inhame, abóboraOnde só vento se semeava outrora Amplidão, nação, sertão sem fimOh, Manuel, Migüilim Vamos embora

Zanza daqui Zanza pra acolá Fim de feira, periferia aforaA cidade não mora mais em mim Francisco, Serafim Vamos embora EmboraVer o capim Ver o baobá Vamos ver a campina quando floraA piracema, rios contravim Binho, Bel, Bia, Quim Vamos embora

Quando eu morrer Cansado de guerraMorro de bem Com a minha terra:Cana, caqui Inhame, abóboraOnde só vento se semeava outrora Amplidão, nação, sertão sem fimOh, Manuel, Migüilim Vamos embora

Quando eu morrer, que me enterrem na beira do chapadãoContente com minha terra Cansado de tanta guerraCrescido de coração

AGRADECIMENTOS

À CAPES por ter oportunizado em 2007 a parceria entre a Universidade Federal do Espírito Santo [UFES] e o Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo [CEFETES] para a realização do MINTER – Mestrado Interinstitucional. . À UFES e ao Cefetes pela oportunidade que me ofereceram de permitir o meu crescer não somente na profissão mas também enquanto pessoa, aprendendo mais e entendendo melhor o mundo que nos cerca.

Aos professores (as) do MINTER, que dedicados, não mediram esforços para que aprendêssemos mais e melhor.

Às turmas em dependência em matemática de 2008, que concordaram em participar de minha pesquisa, possibilitaram a sua realização e meu crescimento como professora.

Aos colegas do MINTER e aos amigos do Cefetes que sempre me incentivaram.

Às amigas Sandra e Laudicéia, que conquistei durante essa caminhada como mestranda e membro do Grupo de Estudos sobre a prática pedagógica e avaliação.

Ao amigo Messenas, companheiro das idas e vindas à Vitória e sempre pronto a me auxiliar no momento em que precisava.

À amiga Ilalzina que muito me incentivou para fazer esse mestrado e sempre esteve pronta para buscar qualquer material que eu precisasse e quando o cansaço era muito, escutar meus desabafos.

À minha irmã Maria Isolina de Castro Soares, que tornou mais suave o meu caminhar, me incentivando, lendo e discutindo comigo vários teóricos da educação e, auxiliando a embelezar meu escrito.

Aos que sempre me apoiaram: Roberta, André, Mirella, Ana Luisa, Pedro, Romildo, Antônio, Anselmo, Maria Dulce e Newton. Muito obrigada!

À minha mãe e aos meus filhos Igor, Júlia e Lenisa, pelo apoio e sorriso de felicidade, ao serem comunicados por mim que tinha sido aprovada para fazer o mestrado.

À minha incansável orientadora Vânia Maria que não me deixava desamparada em momento algum, quer ela estivesse na Alemanha, quer no Brasil. Sempre incansável na sua função. Uma amizade que quero conservar para o resto da minha vida. Uma professora que causa inquietações capazes de provocar um desequilíbrio cognitivo me levando a concluir que é possível instigar alguém a querer procurar novos desafios e acreditar que pode seguir aprendendo.

RESUMO

Esta pesquisa de mestrado vinculada ao campo científico de educação matemática

foi desenvolvida no Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade

Federal do Espírito Santo. O trabalho procura analisar motivos que levam os alunos

do Curso Técnico de Construção de Edifício Integrado com o Ensino Médio da

Unidade de Ensino Descentralizada de Colatina, do Centro Federal de Educação

Tecnológica do Espírito Santo, a terem ficado em dependência na disciplina de

matemática. Para tanto, os estudos que fundamentam essa pesquisa relacionam-se

com os temas de matemática emocional, metacognição, resolução de problemas e

investigação matemática. Foram utilizadas obras de estudiosos sobre esses

assuntos, como Paul Ernest, Alba Thompson, Inés María Gómez Chacón, Vânia

Maria Pereira dos Santos-Wagner, George Polya e João Pedro da Ponte. A

pesquisa buscou responder à pergunta: De que forma uma prática de ensino de

matemática, em que aluno, professor e conteúdos são importantes, é capaz de

auxiliar a aprendizagem de alunos em dependência? Neste estudo, adotou-se uma

metodologia de pesquisa de natureza qualitativa com informações coletadas a partir

de questionários, entrevistas a alunos e professores, e trabalhos dos alunos. Isto foi

feito com o objetivo de desvelar aspectos do domínio afetivo, tentar compreender o

raciocínio do aluno e provocar a metacognição. A coleta de dados foi realizada no

período de 18/02/2008 a 08/07/2008. Realizou-se uma análise criteriosa do material

obtido à luz de investigações e de autores relacionados com o problema. Os dados

analisados nos levaram a concluir que é possível resgatar o prazer de estudar

matemática nos alunos em dependência quando adotamos uma prática de sala de

aula diferente.

Palavras-chave: Ensino médio técnico; dependência – avaliação; matemática

emocional – crenças e concepções; resolução de problemas; metacognição.

ABSTRACT

This master research linked to the scientific field of mathematics education was

developed at the Graduate Program of Education at Federal University of Espírito

Santo. The work tries to analyze the reasons that lead students of the Technical

Education in Building Construction integrated with Secondary Education at the

Decentralized Unity of Colatina, from Federal Center of Technological Education of

Espírito Santo, to remain without final approval in the mathematics subject and

having to repeat it. The studies that offer theoretical support to this inquiry are

related with the themes of emotional mathematics, metacognition, problem solving

and mathematics inquiry. It was used in the work studies from Paul Ernest, Alba

Thompson, Inés María Gómez Chacón, Vânia Maria Pereira dos Santos-Wagner,

George Polya and João Pedro da Ponte. The research tried to answer the question:

In what ways a mathematics teaching practice, in that student, teacher and content

are considered important, is capable to help students` learning who did not pass and

are repeating? In this study, it was adopted a research methodology of qualitative

nature with information collected through questionnaires, interviews to students and

teachers, and student’s work. This was done with the goal of revealing aspects of

affective domain, trying to comprehend student’s thinking and promoting

metacognition. The data collection was realized during the period of 18/02/2008 to

08/07/2008. It was done a careful analysis of the material obtained using the

investigations and the authors related to the problem. The data analyzed led us to

conclude that it is possible to regain the pleasure of studying mathematics in

students who were not approved and were repeating this subject learning when we

adopt a different teaching practice.

Keywords: Secondary teaching education; assessment; emotional mathematics –

beliefs and conceptions; problem solving; metacognition.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Registro do aluno 8B.................................................................................45Figura 2 - Estratégia de Resolução de Problemas: tentativa e erro ..........................56Figura 3 – Estratégia de Resolução de Problemas: padrões.....................................56Figura 4 - Estratégia de Resolução de Problemas: resolver um problema mais

simples................................................................................................................57Figura 5 - Estratégia de Resolução de Problemas: trabalhar em sentido inverso.....57Figura 6 - Estratégia de Resolução de Problemas: simulação...................................58Figura 7 - Entrada da UnED Colatina.........................................................................77Figura 8 - Corredor da UnED Colatina........................................................................83Figura 9 - Stand dos cursos de saneamento ambiental e segurança do trabalho, na

semana de ..........................................................................................................84Figura 10 - Biblioteca da UnED Colatina....................................................................85Figura 11 – Problema da quadra de basquete.........................................................160Figura 12 – Resolução do problema da quadra de basquete pelo aluno 8B...........160Figura 13 - Resolução do problema da quadra de basquete pela aluna 11B..........161Figura 14 - Resolução do problema da quadra de basquete pela aluna 5B............162Figura 15 - Resolução do problema da quadra de basquete pelo aluno 3B............162Figura 16 - Resolução do problema da quadra de basquete pela aluna 1B............163Figura 17 - Resolução do problema da quadra de basquete pela aluna 10B..........163Figura 18 - Resolução do problema da quadra de basquete pela aluna 7B............164Figura 19 – Resposta do aluno 8B............................................................................166Figura 20 - Resposta da aluna 7B............................................................................166Figura 21 - Ilustração do problema ‘A vingança do trapezóide’................................168Figura 22 - Foto 1 do desenrolar da atividade..........................................................170Figura 23 - Foto 2 do desenrolar da atividade..........................................................170Figura 24 – Resolução do problema com um problema mais simples pelo aluno 8B

...........................................................................................................................173Figura 25 – Continuação resolução problema pelo aluno 8B...................................174Figura 26 – Explicação do aluno 8B sobre sua resolução........................................174Figura 27 – Continuação da explicação do aluno 8B referente ao problema...........175Figura 28 – Conclusão do aluno 8B sobre sua aprendizagem a partir deste problema

...........................................................................................................................175Figura 29 – Resolução do problema pela aluna 2B..................................................176Figura 30 – Reflexão da aluna 2B sobre sua aprendizagem a partir da resolução do

problema............................................................................................................176Figura 31 – Resolução da aluna 7B..........................................................................177Figura 32 – Resolução do aluno 9B..........................................................................178Figura 33 – Outra solução dada pelo aluno 9B........................................................178Figura 34 – Reflexão e avaliação dada pelo aluno sobre a solução desse problema

...........................................................................................................................178Figura 35 – Solução do aluno 12B............................................................................179Figura 36 – Reflexão do aluno 12B sobre a resolução desse problema..................179Figura 37 – Resolução atividade investigativa em grupo.........................................183Figura 38 – Explicação da legenda criada pelo grupo..............................................184Figura 39 – Outras regularidades encontradas na atividade investigativa...............184

Figura 40 – Explicação dos alunos das descobertas realizadas..............................185Figura 41 – Explicação dada pelos alunos para algumas relações encontradas na

atividade investigativa.......................................................................................186Figura 42 – Resolução com exemplos de descobertas realizadas pelos alunos.....187Figura 43 – Avaliação do grupo sobre esta atividade investigativa..........................187Figura 44 – Resolução grupo 2 da atividade investigativa.......................................188Figura 45 – Escrito dos alunos sobre uma de suas descobertas.............................188Figura 46 – Segunda descoberta pelo grupo............................................................189Figura 47 – Terceira descoberta pelo grupo.............................................................189Figura 48 – Outra descoberta realizada pelos alunos em grupo..............................189Figura 49 – Descoberta em relação a soma dos números das colunas..................190Figura 50 – Outras regularidades em relação as colunas........................................190Figura 51 – Descoberta em relação as diagonais....................................................190Figura 52 – Descobertas sobre as somas dos números de diferentes colunas.......191Figura 53 – Mais descobertas relacionadas as colunas horizontais........................191Figura 54 – Relações entre a soma de duas colunas horizontais............................191Figura 55 – Avaliação desse grupo sobre esta atividade.........................................191Figura 56 – Descobertas realizadas pelo grupo 3....................................................192Figura 57 – Escrita de descoberta em relação à diagonal.......................................193Figura 58 – Descoberta sobre números pares e impares na tabela.........................193Figura 59 – Descoberta sobre os múltiplos de 3 na tabela......................................193Figura 60 – Análise sobre a soma dos números de cada linha e suas relações.....193Figura 61 – Análise sobre a soma dos números das colunas..................................194Figura 62 – Análise sobre o resultado da soma e sua posição na tabela................194Figura 63 – Descoberta sobre quadrado dos números da 1ª coluna.......................194Figura 64 – Descoberta sobre quadrado dos números da 2ª fila ............................194Figura 65- Avaliação realizada por este grupo.........................................................194Figura 66 – Socialização no quadro a partir de discussões com os alunos.............195Figura 67 – Generalização do que foi discutido........................................................195Figura 68 - Aluna socializando as descobertas feitas pelo grupo............................195Figura 69 - Aluno socializando as descobertas feitas pelo grupo............................196Figura 70 - Aluna registrando as descobertas feitas pelo grupo..............................196Figura 71 - Escrito do aluno......................................................................................198Figura 72 - Aluno explicando o problema aos colegas.............................................199

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Resumo da visão instrumental em matemática ......................................30Quadro 2 – Resumo da visão platônica em matemática ...........................................31Quadro 3 – Resumo da visão de resolução de problemas em matemática ..............32Quadro 4 - Valores e objetivos das diferentes visões quando se ensina matemática

.............................................................................................................................33Quadro 5 – Instrumentos de pesquisa, sua origem e finalidade................................80Quadro 6 – Respostas professor A sobre suas crenças em relação à matemática . 91Quadro 7 - Respostas professor B sobre suas crenças em relação à matemática. . .93Quadro 8 - Respostas professor C sobre suas crenças em relação à matemática...95Quadro 9 - Respostas professor D sobre suas crenças em relação à matemática. 100Quadro 10 - Respostas aluna 1B sobre matemática................................................103Quadro 11 - Respostas aluna 2B sobre matemática................................................103Quadro 12 - Respostas aluno 3B sobre matemática................................................104Quadro 13 - Respostas aluna 4B sobre matemática................................................105Quadro 14 - Respostas aluna 5B sobre matemática................................................105Quadro 15 - Respostas aluno 6B sobre matemática................................................106Quadro 16 - Respostas aluna 7B sobre matemática................................................106Quadro 17 - Respostas aluno 8B sobre matemática................................................107Quadro 18 - Respostas aluno 9B sobre matemática................................................108Quadro 19 - Respostas aluna 10B sobre matemática..............................................108Quadro 20 - Respostas aluna 11B sobre matemática..............................................109Quadro 21 - Respostas aluna 12B sobre matemática..............................................109Quadro 22 - Respostas aluna 1B que envolvem crenças sobre matemática implícita

nos professores.................................................................................................111Quadro 23 - Respostas aluna 2B que envolvem crenças sobre matemática implícita

nos professores.................................................................................................111Quadro 24 - Respostas aluno 3B que envolvem crenças sobre matemática implícita










nos professores.................................................................................................117Quadro 34 – Resposta da aluna 1B para as metáforas sobre sua visão da natureza

da matemática...................................................................................................118

Quadro 35 - Resposta da aluna 2B para as metáforas sobre sua visão da natureza da matemática...................................................................................................119

Quadro 36 - Resposta do aluno 3B para as metáforas sobre sua visão da natureza da matemática...................................................................................................119










Quadro 46 - Crenças da aluna 1B sobre o papel dos professores na aprendizagem e metodologia.......................................................................................................126


Quadro 48 - Crenças do aluno 3B sobre o papel dos professores na aprendizagem e metodologia.......................................................................................................127







Quadro 55 - Crenças da aluna 10B sobre o papel dos professores na aprendizagem e metodologia....................................................................................................131



Quadro 58 – Respostas dos alunos para a questão: “Meus professores de matemática da escola são...”............................................................................133

Quadro 59 - Respostas dos alunos para a questão: “A matemática é...”.................133

Quadro 60 - Respostas dos alunos para a questão: “Minhas capacidades em matemática são...”.............................................................................................134

Quadro 61 - Respostas dos alunos para a questão: “Para ser bom em matemática...”...........................................................................................................................134

Quadro 62 - Respostas dos alunos para a questão: “Eu acho difícil em matemática...”....................................................................................................134

Quadro 63 - Respostas dos alunos para a questão: “Poderia aprender mais matemática se...”...............................................................................................135

Quadro 64 - Respostas dos alunos para a questão: “Quando tenho aula de matemática, eu...”..............................................................................................135

Quadro 65 - Respostas dos alunos para a questão: “Quando estava na aula de matemática na escola, eu...”.............................................................................135

Quadro 66 - Respostas dos alunos para a questão: “Agora, quando estou na aula de matemática, eu...”..............................................................................................136

Quadro 67 - Respostas dos alunos para a questão: “Gostava da aula de matemática até que...”..........................................................................................................136

Quadro 68 - Respostas dos alunos para a questão: “Sinto que a matemática faz “quebrar a cabeça” quando...”...........................................................................136

Quadro 69 - Respostas dos alunos para a questão: “Quando aprendo matemática sinto-me...”........................................................................................................137

Quadro 70 – Resposta da aluna 1B para as metáforas sobre sua visão da natureza da matemática num segundo momento............................................................147

Quadro 71 - Resposta da aluna 2B para as metáforas sobre sua visão da natureza da matemática num segundo momento............................................................148

Quadro 72 - Resposta do aluno 3B para as metáforas sobre sua visão da natureza da matemática num segundo momento............................................................149










LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Panorâmica do número de alunos do ENSINO MÉDIO............................86Tabela 2 – Total de alunos do ensino médio regular e alunos de dependência........87Tabela 3 – Panorâmica do número de alunos de GESTÃO EMPREENDEDORA

INTEGRADO AO ENSINO MÉDIO.....................................................................87Tabela 4 - Panorâmica do número de alunos de CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS

INTEGRADO AO ENSINO MÉDIO.....................................................................88

Sumário

1.INTRODUÇÃO......................................................................................................................................................16

Motivação e justificativa............................................................................................................................19

A problemática e o problema.....................................................................................................................23

ENQUADRAMENTO TEÓRICO E REVISÃO DA PRODUÇÃO ACADÊMICA........................................................28

Crenças e concepções sobre a natureza da matemática.......................................................................28

O significado dos afetos em matemática.................................................................................................39

A Metacognição..........................................................................................................................................41

A atividade investigativa............................................................................................................................45

Resolução de problemas...........................................................................................................................48

Vygotsky:.....................................................................................................................................................64

A atividade mediadora e o contexto sociocultural.....................................................................................64A internalização como forma de promover a aprendizagem significativa.................................................67A aprendizagem e a zona de desenvolvimento proximal..........................................................................68

Piaget 69

A teoria do desenvolvimento cognitivo......................................................................................................69Piaget: as relações interindividuais e a aprendizagem.............................................................................71

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ...............................................................................................................73

Descrição dos sujeitos e procedimentos de coleta de dados...............................................................76

A utilização de metáforas na obtenção e análise de dados...................................................................78

Descrição dos instrumentos e triangulações..........................................................................................79

Instrumentos............................................................................................................................................................80Origem.....................................................................................................................................................................80Finalidade................................................................................................................................................................80

Um pouco do histórico do Cefetes...........................................................................................................83

Regulamentação da Organização Didática e o regime de dependência escolar.....................................86Dados quantitativos das situações de dependência.................................................................................86

ENTRANDO NO CAMPO DA PESQUISA...............................................................................................................89

Crenças e concepções dos professores..................................................................................................89

Crenças e concepções dos alunos ........................................................................................................102

Crenças e concepções dos alunos sobre a aprendizagem da matemática........................................102

Crenças dos alunos sobre a natureza da matemática a partir da prática de ensino de seus professores110

Crenças que os alunos possuem sobre a natureza da matemática.......................................................118Crenças dos alunos sobre o papel dos professores na aprendizagem e metodologia...........................126

Atitudes dos alunos em relação à matemática......................................................................................133

Crenças, concepções e atitudes dos alunos no final da pesquisa.....................................................137

Atividades dos alunos sobre resolução de problemas........................................................................159

Análise dos problemas da quadra de basquete e do trapezóide............................................................159Análise do problema do campeonato......................................................................................................170

Atividade investigativa ............................................................................................................................180

Relato de algumas aulas ministradas para alunos em dependência..................................................197

CONCLUSÃO........................................................................................................................................................2046. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................................................................208ANEXOS................................................................................................................................................................213

16

1. INTRODUÇÃO

Ser professora de matemática significa lidar com situações que trazem muito prazer

e muita preocupação. É estar sujeita a situações díspares, como a alegria e a

satisfação de ter vários alunos nos primeiros lugares da Olimpíada de Matemática,

como todo ano acontece com os alunos do Centro Federal de Educação

Tecnológica do Espírito Santo (CEFETES); e a tristeza, a inquietação de constatar

que, a cada ano, um percentual grande de alunos cursa turmas especiais de

dependência nessa matéria. Sempre me questionei sobre o alto índice de alunos

que não conseguem obter o mínimo necessário para aprovação, tendo assim que

cursar dependência em matemática.

Os alunos do CEFETES ingressam na instituição após serem aprovados em um

processo seletivo bastante concorrido, no qual as provas de português e de

matemática perfazem 60% da avaliação. Espera-se que alunos submetidos a

processo avaliativo tão exigente sejam capazes de obter sucesso na continuação do

aprendizado dessa disciplina. A realidade mostra uma situação bem diferente da

expectativa: turmas de alunos reprovados são constituídas todos os anos com uma

quantidade expressiva, tendo chegado, em alguns dos últimos cinco anos, a

corresponder a quase 30% dos alunos de determinada série.

Os pressupostos esperados de sucesso em matemática, após o processo seletivo

de entrada dos alunos, não se confirmam em alto percentual desde o primeiro ano,

provocando um primeiro questionamento em relação à dependência: por que alunos

que trazem condições consideradas mínimas para freqüentar os cursos de nossa

instituição não conseguem ser aprovados em matemática?

Antes de avançar no levantamento de possíveis causas e tomando cuidado para não

fazer uma análise precipitada, considero importante expor outro aspecto de nossa

escola. No CEFETES, todos os professores efetivos passaram por um exame de

seleção constituído de uma prova eliminatória de conhecimentos específicos da qual

constam questões objetivas e discursivas; uma prova também eliminatória de

desempenho didático realizada, 24 horas após sorteio de ponto, para uma turma

regular da instituição e para uma banca constituída de professores da área

específica e de técnicos da supervisão pedagógica; e prova de títulos, de caráter

classificatório. Para professores substitutos, exige-se prova de desempenho

didático, de caráter eliminatório, e prova de títulos. O contrato de um professor

nesse regime de trabalho só pode durar por dois anos. Há, portanto, rigor no

processo seletivo, sendo o ingresso para ministrar aulas na escola um processo

difícil, com alto índice de reprovação de professores com a titulação exigida.

Pode-se, agora, completar o questionamento: por que alunos em princípio

diferenciados por trazerem maior conhecimento, ficam em dependência numa

instituição que preza pela qualidade de seu corpo docente? É essa realidade que me

fez acreditar que trabalhando o campo afetivo e o cognitivo desses alunos, poderia

resgatar a auto-estima e, junto com ela, resgatar também o aprendizado de

matemática dos meus alunos em dependência.

Considero pertinente, então, revisar minha prática pedagógica ao longo de meu

trabalho no CEFETES. Percebo hoje que durante anos, atuei no magistério

adotando uma concepção mecanicista, cartesiana, positivista, fruto do grande êxito

das ciências da Modernidade e que pautou toda a concepção de mundo dos países

do Ocidente. O modelo cartesiano de racionalidade parecia ideal para a aplicação de

uma ciência exata. O que importava era a capacidade cognitiva dos educandos e

essa era de excelência. Se o aluno não conseguia sucesso em determinado

conteúdo, eu atribuía sua dependência somente ao fato de ter vindo de escolas

“fracas”, de não ter hábitos de estudo, de não ter tido professores capacitados; ou de

morar em algum município vizinho, tendo que ir e voltar todos os dias; ou ainda ao

fato de o aluno passar a semana sozinho, morando em algum pensionato, sem

alguém que lhe cobrasse dedicação aos estudos. Diante do insucesso em

determinada avaliação, pensava: “está precisando estudar mais”; ou então: “está

estudando de forma errada”; ou ainda: “Quem é seu professor particular”? O aluno

respondia e eu dizia imediatamente “tem que trocar de professor”.

Observava, desde o meu ingresso nessa instituição em junho de 1996, como

professora contratada e já em 1998, como concursada, se o aluno freqüentava as

aulas especiais de atendimento, um programa que sempre existiu no CEFETES de

Colatina. Esse programa constitui-se de horários especiais, em turno contrário ao

17

turno em que o aluno assiste às aulas regulares, para retirada de dúvidas a respeito

dos conteúdos em que ele não conseguiu êxito. Os professores ficam à disposição

desses alunos, em horário pré-estabelecido, durante todo o ano letivo. Verifica-se,

porém, nesse sistema de atendimento, que a maior freqüência é daquele aluno que

não tem dúvidas e utiliza mais essa possibilidade que a escola lhe oferece para

aprofundar seus conhecimentos. Há, também, sistema de monitoria para as matérias

de física e matemática. Nesse sistema, alunos que primam pela excelência nesses

componentes curriculares são selecionados pelos professores e atuam como

monitores durante 4 horas por dia, em horário contrário ao de seu turno regular,

recebendo, inclusive, bolsa correspondente a R$ 200,00 (duzentos reais),

equivalentes a 52,63% do salário mínimo, levando-se em consideração os valores

de fevereiro de 2008.

Hoje, após as leituras e os estudos no curso de Mestrado Interinstitucional

(MINTER) iniciado em abril de 2008, um projeto de parceria para a formação de

professores realizada entre o CEFETES e a Universidade Federal do Espírito Santo

(UFES), visando à obtenção do grau de mestre por professores do CEFETES,

acredito que o objetivo não se limitou apenas à titulação acadêmica. Percebo que as

aulas, os debates, as pesquisas, trabalhos, leituras, assim como as discussões via

e-mail e via telefone com a minha orientadora e também a participação semanal no

grupo de estudos e avaliação da prática pedagógica coordenado pela professora

Vânia Maria Pereira dos Santos-Wagner e do qual participo desde 2007,

promoveram mudanças em minha prática pedagógica e a construção de um novo

ethos para minha prática profissional docente.

Agora, considero relevante a ligação entre os campos afetivo e cognitivo e

querendo, de início, conhecer o perfil de meus alunos frente à matemática em

termos afetivos e cognitivos, apliquei alguns instrumentos para que os alunos

respondessem e comecei a diversificar minhas aulas. Após acompanhá-los durante

alguns meses, detectei que tipos de aprendizagem podem ser percebidos nesses

alunos, por mim, professora e pesquisadora iniciante, estando ciente da dificuldade

e da complexidade que é ser ao mesmo tempo professora e pesquisadora.

Minha pesquisa foi de natureza qualitativa com um olhar humanístico, uma vez que

aprendi a me observar enquanto professora e a observar melhor meus alunos.

18

Procurei detectar o que sabem e o que lhes traz dificuldade em matemática e a me

conhecer melhor profissionalmente. Como são seres humanos envolvidos, atuando

como sujeitos dessa investigação, não se pôde garantir que tudo se comportaria

linearmente, prevendo o que iria acontecer, já que no desenrolar da pesquisa

haveria situações de muita subjetividade.

Motivação e justificativa

Em 1999, quando se instalou o regime de dependência no CEFETES, os alunos que

ficavam em dependência eram tantos que foram criadas turmas com um encontro

semanal de duas ou três aulas para atender esse contingente. Quando comecei a

dar aulas em algumas dessas turmas, ficava intrigada com a quantidade de alunos

que nós, professores, deixávamos em dependência. Por vezes ficava pensando,

tentando achar um motivo, uma explicação, mas não conseguia achar nenhuma

outra razão além das já mencionadas. Aliás, não aplicava ao aluno o mesmo

raciocínio que aplicava ao professor, como, por exemplo: se o professor foi

submetido a uma prova de admissão, o aluno também foi avaliado no concurso de

ingresso e, por conseguinte, assim como o professor é capacitado, o aluno também

é capaz de aprender matemática.

Quando surgiu a possibilidade de cursar o Mestrado em Educação, a primeira idéia

que me surgiu foi a de analisar o fracasso escolar de nossos alunos. Passei a

pesquisar sobre o assunto e ler alguns artigos sobre diferentes técnicas possíveis de

se desenvolver com alunos que não conseguiam aprender com a metodologia que

utilizávamos. A utilização de situações-problema pareceu-me um bom caminho, e

apresentei meu projeto de pesquisa voltado para essa metodologia.

Minha sublinha de pesquisa – Linguagem Matemática – possibilitou-me fazer parte

do grupo de estudos sobre prática pedagógica e avaliação. Comecei, então, a refletir

sobre o que ensinava e como ensinava, procurando rumos e ações. Ou seja, passei

19

a refletir sobre a minha prática pedagógica e a pensar se por meio dela não estaria

eu também contribuindo para que meus alunos ficassem em dependência, já que o

parar para pensar e para refletir sobre determinado problema ou exercício não

acontecia comigo. E não acontecendo uma reflexão consciente de minha parte que

permitisse pensar em ações resultantes, percebi que a compreensão e a criatividade

em meus procedimentos de ensino também eram prejudicadas, na medida em que

eu estava perpetuando uma determinada visão da matemática em que a criatividade

não existia. Penso que essas aulas, até então tradicionais, fruto de uma percepção

de educação e ensino formais são conseqüências de uma visão predominantemente

utilitarista da matemática que recebi desde os bancos escolares e que vinha

perpetuando em minha prática. Ou seja, isso ocorria de acordo com o que Santos

(1997) descreve como sendo

A concepção de educação e ensino de matemática mais tradicional privilegia, muitas vezes, o formalismo, o rigor, e o produto final (resposta correta). Nestes casos a avaliação é feita ao final do processo educativo através de testes e provas escritas, semelhantes aos exercícios que foram trabalhados em sala de aula. Este tipo de avaliação serve na maioria dos casos para evidenciar o que os alunos não sabem e muitas vezes o professor não tem tempo de retornar a este assunto para clarear os pontos que ainda trazem dificuldades aos alunos. O professor acaba tendo uma visão pontual e estática dos alunos, que demonstram nas avaliações suas habilidades em reproduzir e repetir os procedimentos de cálculos e resolução explorados em sala de aula. O professor é a autoridade do saber em sala de aula e os alunos não se sentem responsáveis por sua aprendizagem, precisam sempre do professor para validar o que fazem e corrigir suas falhas (p. 5).

Nessa época, orientada pela professora Santos-Wagner e pesquisando sobre

criatividade, cheguei à teoria do George Polya (1978/1945)1, que afirma em seu livro

intitulado A Arte de Resolver de Problemas, no prefácio à primeira tiragem:

Pelo estudo dos métodos de resolução de problemas, percebemos um novo aspecto da Matemática. Sim, porque ela tem dois aspectos: é a rigorosa ciência de Euclides, mas é também uma outra coisa. A Matemática, apresentada da maneira euclidiana, revela-se uma ciência dedutiva, sistemática, mas a Matemática em desenvolvimento apresenta-se como uma ciência indutiva, experimental. Ambos os aspectos são tão antigos quanto a própria ciência. Mas o segundo aspecto é novo sob um certo ponto de vista: a Matemática “in statu nascendi”, no processo de ser inventada, jamais foi apresentada exatamente desta maneira aos estudantes, aos professores ou ao grande público (p. vi).

1 Original publicado em inglês em 1945, com o título “How to solve it”, traduzido e publicado posteriormente em português em 1978.

20

Abriu-se, assim, outra possibilidade de trilhar os caminhos da educação matemática,

e abordarei os pressupostos teóricos adiante. A reflexão sobre a prática pedagógica

levou-me ao conceito de metacognição e mais uma vez foi essencial para meu

entendimento a contribuição da professora Vânia Maria Santos-Wagner. Em seu

livro sobre avaliação, ela afirma que:

a metacognição envolve o conhecimento do indivíduo sobre seu próprio conhecimento. Isto ocorre quando o indivíduo tem consciência do que já sabe e que de fato já aprendeu e já domina com segurança e facilidade, e quando o indivíduo também está ciente sobre o que ainda não aprendeu e o que sente dificuldades. Ou seja, quando o indivíduo está desenvolvendo a sua metacognição ele tem conhecimento a nível consciente de suas potencialidades e dificuldades. Além disso, o indivíduo sabe usar seu conhecimento de modo eficaz e sabe procurar superar suas dificuldades (SANTOS, 1997, p. 20).

Durante todo o tempo em que ocorreram as aulas do MINTER, nossos professores

privilegiaram o desenvolvimento cognitivo por meio de interações sociais aluno/aluno

e aluno/professor, valorizando debates, discussões, pesquisas e aulas onde

ocorriam reflexões sobre textos de filósofos, psicólogos, deles próprios e de vários

outros expoentes em educação e educação matemática. No grupo de estudos e

avaliação da prática pedagógica também valorizamos essa forma de não somente

construir conhecimento, mas de nos posicionarmos de forma consciente e

competente nos múltiplos pontos de vista que ali interagem.

Foi a partir da minha participação no grupo de estudos e no MINTER que passei a

valorizar o trabalho em grupo como sendo mais uma maneira de aquisição de

conhecimento. Em minha prática de sala de aula, tenho observado a eficácia desse

trabalho tanto para os alunos com dificuldades para aprender determinado conteúdo

quanto para aqueles que dominam a matéria. Ao explicar para os colegas, o

educando sedimenta seus conhecimentos, uma vez que é obrigado a reconstruir e

verbalizar o raciocínio feito anteriormente. Essa estratégia melhora a compreensão

dos conceitos matemáticos utilizados e nos possibilita colher evidências de que

estão aprendendo e internalizando os conhecimentos. Fato em ressonância com

pesquisas já efetuadas por Santos (1993) e de acordo com os estudos de Vygotsky.

As diferentes possibilidades que as interações sociais promovem quando na

resolução de uma atividade em grupo, mobilizam diferentes partes do aparato

cognitivo de cada um dos componentes do grupo e essas diversas possibilidades de

resoluções mediadas e construídas socialmente são internalizadas, proporcionando

21

construção de conhecimento. Como pesquisadora, analisei cuidadosamente, passo

a passo, esse procedimento em que o aluno reconstrói o seu raciocínio.

Uma das possibilidades de se trabalhar os conteúdos matemáticos visando a um

desempenho satisfatório é adotar a resolução de problemas como recurso didático

ou a apresentação de situações-problema para promover a aprendizagem e como

recurso de avaliação dos conteúdos ministrados (POLYA, 1978/1945, SANTOS,

1994, SANTOS-WAGNER, 2008). Esse recurso visa a um objetivo maior, que é

promover um ensino que privilegie o conhecimento do aluno a partir de seu

conhecimento cognitivo e de sua criatividade. Nessa prática, professor e aluno

possuem papéis definidos e, é possível identificar quais relações afetivas ocorrem

nas relações aluno/professor e aluno/matemática.

Ainda pesquisando a possibilidade de uma prática que incentivasse a criatividade,

quando aluna da professora Lígia Sad, na disciplina de Tópicos Avançados I, pude

ler um texto em que o professor Eloy Arteaga Valdés (2002) ressalta a necessidade

de desenvolver a qualidade e a criatividade em educação matemática:

Las matemáticas escolares han dejado de concebirse ya, como um objeto acabado que hay que dominar y se ha comenzado a considerar como uma actividad humana, com margen para la creatividad, la intuición y el pensamiento lateral o divergente, especulativo y heurístico, que es necesario cultivar y desarrollar respetando la individualidad y el ritmo de cada uno de los estudiantes (VALDÉS, 2002, p. 77).

Com esse artigo, sedimentou-se em mim a certeza de que o conteúdo da

matemática escolar deve fazer parte do universo cultural do aluno, de seus

interesses, de seu campo de afetos. Por ocasião do Seminário Avançado B eu tive a

oportunidade de estudar alguns assuntos com a professora Vânia Maria Santos-

Wagner e entrei em contato com o universo dos afetos relacionados à matemática,

principalmente através da obra Matemática Emocional, de Inés Maria Gómez

Chacón (2003/2000)2. Essa pesquisadora trata sobre as influências afetivas no

conhecimento da matemática em populações com fracasso escolar em contextos de

exclusão social. Ao ler sua obra, eu, que sempre fui uma professora bem humorada

e sempre procurei fazer um bom trabalho com os alunos, comecei a lançar um novo

olhar em relação a determinadas situações. Como, por exemplo, aquelas em que eu

2 Original publicado em espanhol em 2000 “Matemática emocional: los afectos en el aprendizaje matemático” traduzido posteriormente para o português em 2003.

22

e alunos ríamos de alguns insucessos deles e, embora isso não tenha causado

nenhum problema na relação minha com os alunos, hoje me questiono se naquela

época algum aluno possa ter ficado magoado, sem que eu percebesse.

Hoje, após o conhecimento desse campo, tenho mudado a minha postura, ciente

que uma determinada palavra pode incomodar profundamente o aluno. Acreditando

que o conhecimento do campo afetivo dos alunos serve de orientação para a prática,

pautamos a análise também nas teorias desenvolvidas por Thompson (1997), Ernest

(1988), e Gómez Chacón (2003/2000) para analisar, sob uma nova ótica, a situação

de dependência dos alunos que, por vezes, chegam em nossa sala de aula.

Gostaríamos de descobrir nos alunos em situação de dependência escolar as

possíveis relações entre afeto e cognição, pesquisando, por exemplo, o que pode

ser alterado de modo a favorecer a aprendizagem.

A problemática e o problema

Em minha prática pedagógica pude constatar que passei a ter uma nova visão sobre

meus alunos em conseqüência de duas ações, a saber: participação no grupo de

estudos e avaliação da prática pedagógica e os estudos no mestrado. Percebo,

quando estou dando aulas, que não consigo mais olhar o meu aluno apenas sob o

prisma intelectual. Não concebo mais separar a parte afetiva da cognitiva e

sociocultural. Tenho procurado criar um ambiente de investigação matemática, no

qual o aluno, o professor e o conteúdo são igualmente importantes. Persistir nessa

postura, de forma cada vez mais eficiente e prazerosa, é a grande motivação para

continuar os meus estudos em educação matemática. Um dos procedimentos que

procurei adotar foi a metodologia de resolução de problemas.

Conforme Juan Ignácio Municio Pozo (1998), “o ensino baseado na resolução de

problemas supõe fomentar nos alunos o domínio de procedimentos para dar

respostas a situações distintas e mutáveis”. E acrescenta: “Ensinar o aluno a

23

resolver problemas consiste não apenas em ensinar-lhe estratégias eficazes como

também em criar-lhe o hábito e a atitude de encarar a aprendizagem como um

problema para o qual se tem que encontrar respostas” (Introdução).

Acreditamos que um professor, possuindo conhecimentos do campo afetivo e do

campo cognitivo e reconhecendo o papel da afetividade na aprendizagem, pode ter

possibilidades de promover alterações na prática de sala de aula de modo a

favorecer o processo de aprendizagem. Isto nos remete ao questionamento

norteador deste estudo:

De que forma uma prática de ensino de matemática, em que aluno, professor e

conteúdos são importantes é capaz de auxiliar a aprendizagem de alunos em

dependência?

Para procurarmos responder a este questionamento a pesquisa teve como objetivo

geral buscar compreender como os alunos aprendem matemática quando professor

e aluno adotam uma prática que envolve e valoriza aluno, professor e conteúdo. E

onde conteúdo não envolve somente conhecimentos centrados na memorização de

fórmulas e procedimentos. Pensamos em uma prática onde professor e alunos

interagem de outras formas, onde o aluno participa mais ativamente das aulas e se

sente responsável pela construção e/ou reconstrução de seus conhecimentos. Uma

aula na qual alunos trabalham em grupos, formulam hipóteses, testam conjecturas e

fazem uso da linguagem escrita para explicar como raciocinaram nas atividades.

Enfim, uma prática de sala de aula onde a reflexão é privilegiada. Talvez desta

forma possa permitir o desenvolvimento da metacognição de cada aluno e do

professor. O desenvolvimento da metacognição nos alunos pode possibilitar a

“tomada de consciência” do que os alunos sabem e do que não sabem nas diversas

atividades. Além desse objetivo geral procuramos atingir os seguintes objetivos

específicos:

1) Conhecer, investigar, e procurar descobrir crenças, concepções e atitudes de

professores e alunos em relação à matemática.

24

2) Possibilitar a interação através das atividades feitas em grupo e, ao mesmo

tempo, procurar promover nos alunos e no professor uma atitude reflexiva através

do desenvolvimento da metacognição.

3) Apresentar situações-problema e atividades de investigação matemática que

desafiem e impulsionem os alunos a se envolverem, a terem autonomia de

pensamento e a aprenderem matemática.

Ou seja, procuramos implicitamente também respostas para alguns

questionamentos relacionados ao problema e que podem nos auxiliar se forem

esclarecidos, como:

a) Quais as crenças e concepções sobre a matemática e seu processo de

aprendizagem que os professores levam para a escola?

b) Quais as crenças e concepções sobre a matemática e seu ensino e

aprendizagem que os alunos e professores apresentam no início do

semestre?

c) Que mudanças favoráveis e atitudes positivas frente à matemática

podem ser perceptíveis no professor e no aluno ao se modificar a

forma de ensinar e aprender matemática?

É preciso conhecer melhor o aluno, compreender mais sobre aprendizagem e o que

aprende. Acredito que, através da resolução de situações-problema e de atividades

de investigação matemática, ele possa ser capaz de formular novos problemas,

interpretá-los e manusear os dados apresentados, a fim de que tenha uma

aprendizagem significativa. Creio que, ao explicitar seu raciocínio, ao socializar seu

conhecimento, seja no quadro ou em atividades em grupo, o aluno estará fazendo

uma atividade de metacognição, tomando consciência do quanto domina ou do

quanto tem dificuldade em determinado conteúdo. Pesquisando o campo afetivo e

cognitivo, poderei saber quanto as experiências anteriores com a matemática afetam

de maneira favorável ou desfavorável o aluno e suas atitudes relacionadas à

matemática.

Matemática é a ciência que trata das quantidades, dos cálculos e números com suas

determinadas operações, problemas e soluções. É um vocábulo proveniente do latim

25

mathematica, que vem do grego mathematikè, derivado de máthema, mathematos,

ensino (SILVEIRA BUENO, 1966). O dicionário etimológico resumido de Antenor

Nascentes dá, ainda, para máthema o significado de instrução, conhecimento,

ciência. Acrescenta que houve uma especialização do sentido de máthema, que

passou a significar ciência das grandezas, considerada a ciência por excelência

(NASCENTES, 1966). Sob essa perspectiva etimológica, percebe-se quão

importante é o resgate do prazer de ensinar e de aprender matemática. Ensino e

conhecimento andam juntos na raiz máthema, assim como a concepção de ciência

por excelência.

Coaduna com o significado etimológico do termo a concepção teórica que considera

que o aluno aprendeu significativamente matemática quando atribui sentido e

significado à mesma, podendo discutir, justificar e estabelecer relações sobre as

idéias matemáticas. E conforme mencionam os Parâmetros Curriculares para o

Ensino Médio [PCNEM] (BRASIL, 2002)

Em seu papel formativo, a Matemática contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e aquisição de atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da própria Matemática, podendo formar no aluno a capacidade de resolver problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança e desprendimento para analisar e enfrentar situações novas propiciando a formação de uma visão ampla e científica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia, o desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais (p. 251).

Além disso, os Parâmetros Curriculares Nacionais [PCN] (Brasil, 1997) reforçam,

tanto no que diz respeito ao professor quanto ao aluno, a justificativa para a

utilização de um ensino da matemática voltado para o desenvolvimento das

potencialidades cognitivas do aluno e tem como princípios:

• o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; • o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada; • aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na história da Matemática;

26

• o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas. Um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações; • a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas (p. 43-44).

Tendo sido apresentado o problema objeto da pesquisa, buscamos então autores e

produções acadêmicas que dessem embasamento teórico para desenvolvermos a

investigação. Descrevemos no capítulo II o enquadramento teórico e a revisão da

literatura que norteiam os conceitos que utilizamos. No capítulo III apresentamos a

metodologia que utilizamos nessa investigação, a escola onde foi realizada a

pesquisa e dados quantitativos da situação de dependência. No capítulo IV estão os

instrumentos de pesquisa que aplicamos aos professores e aos alunos

acompanhados de nossas interpretações a luz da literatura estudada. No capítulo V

colocamos nossas considerações finais e o que comentamos em linhas gerais sobre

nossas aprendizagens no processo de pesquisa.

27

ENQUADRAMENTO TEÓRICO E REVISÃO DA PRODUÇÃO ACADÊMICA

Todas as leituras realizadas inicialmente foram feitas com o intuito de contextualizar

este trabalho de pesquisa e para dar sustentação teórica ao mesmo. Para isso

consultamos periódicos, livros, dissertações, teses e sites da internet sobre

educação e educação matemática. Focalizamos este olhar inicial em crenças e

concepções sobre a matemática e o significado dos afetos em matemática. Nosso

foco de investigação abrangeu também a metacognição, a resolução de problemas,

as atividades de investigação matemática, teorias de Vygotsky e Piaget.

Crenças e concepções sobre a natureza da matemática

Paul Ernest (1988), em artigo intitulado The impact of beliefs on the teaching of

mathematics, aborda a importância de se conhecer o sistema de crenças e

concepções dos professores sobre a natureza, o ensino e a aprendizagem da

matemática quando se quer ensinar essa disciplina sob uma perspectiva de

resolução de problemas. Acredita que crenças e concepções sejam fatores

determinantes da autonomia do professor em sala de aula.

Ernest (1988) destaca três modelos de crenças e concepções dos professores sobre

a natureza da matemática:

Primeiro de tudo, existe uma visão instrumentalista da matemática como sendo um acúmulo de fatos, regras e habilidades a serem usadas para atingir a uma finalidade externa. Logo, para essas pessoas, matemática é um conjunto de regras e fatos desconectados, não relacionados.Em segundo lugar, existe a visão platônica como um corpo estático e unificado de conhecimentos. Matemática é descoberta e não criação.Há uma terceira visão da matemática como resolução de problemas, sendo algo dinâmico, um campo continuamente em expansão, produto da criação e invenção humanas, ou seja, um produto cultural. Matemática é um

28

processo de investigação ou questionamentos, algum conhecimento a ser desvelado, ser construído, não um produto acabado, por isso seus resultados permanecem abertos para revisão (p. 100).

Segundo Ernest (1988), cada um desses modelos pode fornecer indícios para

entendermos a atuação do professor ao ensinar matemática em sala de aula e o

decorrente resultado do aluno. Um professor que assinala possuir uma visão

instrumental da natureza da matemática atua em sala de aula como instrutor,

seguindo estritamente o livro didático, e tem como objetivo que seu aluno adquira o

domínio de regras e procedimentos. Nesse tipo de ensino, o aluno tem um

comportamento passivo. Podemos inferir a partir deste modelo um aluno de

posicionamento submisso e concordante sem questionamentos. O professor o qual

inclina-se mais para uma visão platônica da natureza da matemática é um explicador

e em sala de aula enfatiza a compreensão de conceitos matemáticos e a lógica dos

procedimentos. É capaz de enriquecer com problemas adicionais o conteúdo

padronizado do livro didático. Já o professor que parece conceber a concepção

epistemológica de resolução de problemas, em sua prática de sala de aula atua

como um facilitador da aprendizagem, tendo liberdade para diversificar o currículo

de modo a atender às diversas necessidades que vão sendo impostas natural e

gradativamente no ensino. Nesse tipo de abordagem, o aluno participa ativamente

da construção do seu conhecimento, gerando interesse e o desenvolvimento maior

da autonomia do mesmo.

Alba Gonzáles Thompson (1997/1984)3, em artigo denominado A relação entre

concepções de matemática e de ensino de matemática de professores na prática

pedagógica, pesquisou se as crenças, pontos de vista e preferências que alguns

professores verbalizavam quanto ao ensino e a aprendizagem de matemática,

estavam visíveis e de que maneira influenciavam o comportamento dos professores

em suas práticas na sala de aula. Thompson (1997/1984) valorizou esse estudo por

acreditar que:

Os professores desenvolvem padrões de comportamento característicos de sua prática pedagógica. Em alguns casos, esses padrões podem ser manifestações de noções, crenças e preferências, conscientemente sustentadas, que agem como forças motrizes na formação do seu comportamento. Em outros casos, as forças motrizes podem ser crenças ou

3 Em 1984 este artigo foi publicado em inglês com o título ‘The relationship of teachers – Conceptions of mathematics and mathematics teaching to instructional practice’ na revista Educational Studies in Mathematics 15, (1984), p. 105-127. A publicação deste texto em português aconteceu em 1997.

29

intuições, inconscientemente sustentadas, que podem ter evoluído fora da experiência do professor (1997, p. 12).

Thompson (1997/1984) em análise de casos a partir de suas observações de

diferentes abordagens didáticas, reafirma a visão de Paul Ernest (1988) quanto à

percepção de três diferentes visões sobre a matemática e seu ensino, cada uma

delas com características próprias, levando o professor a uma prática peculiar em

sala de aula. A nossa análise dessas visões estão descritas nos quadros a seguir:

Quadro 1 – Resumo da visão instrumental em matemática

Visão da natureza da matemática

Concepção sobre o ensino da matemática

Como agem na prática de sala de

aula

a) A matemática é uma disciplina exata - livre de ambigüidades de interpretações conflitantes.

b) Certeza é uma qualidade inerente à atividade matemática. Os procedimentos e métodos usados em matemática garantem respostas corretas.

c) O conteúdo da matemática é imutável. A matemática oferece poucas oportunidades para o trabalho criativo.

d) A matemática desenvolve-se em resposta a necessidades básicas que surgem em situações do cotidiano.

e) A Matemática é previsível, absoluta e fixa. O conteúdo matemático não tem mudado muito em seu passado recente.

f) A matemática é lógica e livre de emoções. Seu estudo treina a mente para raciocinar logicamente. A atividade matemática é como uma calistenia mental. (THOMPSON, 1997/1984, p. 27).

a) O ensino da matemática é o meio para transferir informação do professor ao estudante.

b) Os estudantes aprendem principalmente pela observação atenta dos procedimentos de demonstração do professor, por métodos de desempenho de tarefas matemáticas e pela prática daqueles procedimentos.

c) As habilidades dos estudantes em resolver problemas são determinadas na medida em que eles podem:identificar o tipo de problema, ou a operação apropriada para resolvê-lo, enfocando palavras-chave;lembrar o método ou procedimento apropriado para resolvê-lo.Aplicar corretamente o método ou procedimento e obter a resposta certa.

d) A principal meta do ensino de matemática é produzir estudantes que possam resolver as tarefas de matemática específicas no currículo, usando procedimentos ou métodos padrões. (THOMPSON, 1997/1984, p. 29)

O ensino é feito de forma essencialmente prescritiva, e tem por objetivo a memorização de fatos, métodos e regras que são necessários para a obtenção de respostas certas em tarefas específicas.

A preocupação com o aspecto diretivo do ensino leva a uma menor interação possível com o aluno.

Não encorajam o aluno a raciocinar e questionar.

Explanações resumidas, objetivando a demonstração de procedimentos a serem usados pelos alunos nos exercícios diários.

Poucas oportunidades para o trabalho criativo.

Os alunos realizam os trabalhos de forma independente e cada qual no seu lugar. (THOMPSON, 1997/1984, p. 28-30).

30

Quadro 2 – Resumo da visão platônica em matemática


Concepção sobre o ensino da matemática

Como agem na prática de sala de aula

a) A Matemática é um sistema organizado e lógico de símbolos e procedimentos que explicam idéias presentes no mundo físico..b) A matemática é uma criação humana, mas idéias matemáticas existem independentemente da habilidade humana para descobri-las. Devido a isso, a matemática é mais que apenas um simples sistema de símbolos, ela é a idéia, também.

c) A Matemática é misteriosa – seu extenso campo de ação e a abstração de alguns de seus conceitos tornam-na impossível para uma pessoa compreendê-la completamente.

d) A Matemática é acurada, precisa e lógica.

e) A Matemática é consistente, certa e livre de ambigüidades.

f) O conteúdo da matemática é fixo e predeterminado, uma vez que é ditado por idéias presentes no mundo físico.

g) O conteúdo da matemática é coerente. Seus tópicos estão inter-relacionados e logicamente conectados com uma estrutura organizacional ou esqueleto.

h) Mudanças no conteúdo de matemática ocorrem somente na pior das hipóteses, uma vez que ela continua a expandir-se. (THOMPSON, 1997/1984, p.19 / 20).

a) O professor deve estabelecer e manter uma atmosfera de ordem, respeito e cortesia em sala de aula.

b) A função do professor é apresentar o conteúdo de maneira clara, lógica e precisa. Para executar isso, ele deve enfatizar as razões e a lógica subjacentes às regras e procedimentos matemáticos e enfatizar as relações lógicas entre os conceitos (para estabelecer seu significado matemático).

c) É responsabilidade do professor dirigir e controlar todas as atividades pedagógicas, incluindo o discurso de sala de aula. Para este fim, ele precisa ter um plano claro para o desenvolvimento da lição.

d) O professor tem uma tarefa a cumprir – apresentar a lição planejada – e deve verificar se ela é cumprida sem digressões ou mudanças ineficientes dentro do plano.

e) A função dos estudantes é assimilar o conteúdo. “Assimilar” significa que os estudantes “devem ver” as relações entre o novo tópico e aqueles já estudados e explicados pelo professor.

f) Os estudantes aprendem melhor prestando atenção às explicações do professor e respondendo às suas perguntas.g) Os estudantes não deveriam ficar satisfeitos em apenas conhecer como usar os procedimentos matemáticos; eles deveriam buscar entender a lógica existente por detrás de tais procedimentos. (THOMPSON, 1997/1984, p. 21).

Tendência acentuada para frisar “o significado dos conceitos ensinados, em termos de suas relações com outros conceitos matemáticos, e de enfatizar as razões ou lógica subjacentes aos procedimentos matemáticos usados em classe”. (p.18).

Ao explicar, confia nos símbolos matemáticos e faz referência às propriedades estruturais da matemática.

A matemática é identificada e ensinada somente como disciplina do currículo escolar, sem qualquer relação com a prática.

Não encorajam discussões aluno/aluno ou aluno/professor; tende a desconsiderar sugestões dos estudantes e, ao questionar alunos, pretende obter respostas curtas e diretas.

Dificuldades observadas nos alunos servem de dados para ajustes nas aulas subseqüentes. (THOMPSON, 1997/1984, p. 21-22).

31

Quadro 3 – Resumo da visão de resolução de problemas em matemática


A concepção sobre o ensino da matemática

Como agem na prática de sala de aula

a) A proposta primeira da matemática é servir como ferramenta para a ciência e outros campos da atividade humana.

b) O conteúdo matemático origina-se de duas fontes: das necessidades da ciência e de outras necessidades práticas, e da própria matemática.

c) A matemática é uma disciplina desafiante, rigorosa e abstrata, cujo estudo provê a oportunidade de um amplo espectro da atividade mental de alto nível.

d) O estudo da matemática estimula a singular habilidade de raciocinar logicamente e rigorosamente.

e) Exceto em estatística, conclusão e resultados em outros ramos da matemática são exatos.

f) A validade de proposições e conclusões matemáticas é estabelecida pelo método axiomático.

g) A matemática está continuamente expandindo seus conteúdos e sofre mudanças para acomodar novos desenvolvimentos. (THOMPSON, 1984, p.23)

a) O professor precisa criar e manter uma atmosfera aberta e informal na sala de aula, para assegurar a liberdade dos estudantes em responder questões e expressar idéias.

b) O professor precisa ser receptivo às idéias e sugestões dos estudantes e deve valorizá-las.

c) O professor deve encorajar os estudantes a fazer suposições, conjecturas e deve permitir que raciocinem sobre coisas deles próprios, ao invés de mostrar-lhes como alcançar uma solução ou uma resposta. O professor precisa desempenhar uma função de suporte.

d) O professor deve apelar à intuição e às experiências dos estudantes ao apresentar o material, de modo a produzir significados.

e) O professor deve sondar as falsas concepções dos alunos e usá-las cuidadosamente, mostrando exemplos e contra-exemplos. (THOMPSON, 1984, p. 24-25)

Privilegiam a abordagem heurística na apresentação dos conteúdos e nas resoluções de problemas.

Encorajam os alunos a raciocinar, a imaginar e a fazer conjecturas.

Mostram aplicações de tópicos ensinados.

Usam jogos e quebra-cabeças para motivar o aluno.

O “ajuste” da aula no sentido da utilização de uma abordagem formal ou a necessidade de uma abordagem mais empírica e intuitiva é feito em função do nível da classe, sempre com vistas a uma aprendizagem significativa.

Conhecimento e entusiasmo pela disciplina se tornam evidentes no professor.(THOMPSON, 1984, p.24)

A partir de estudos que fizemos sobre Alba Thompson (1997/1984), Paul Ernest

(1988) e Gómez Chacón (2003/2000), elaboramos um quadro que resume a idéia

que professores com visões diferentes da matemática e seu ensino possuem sobre

os valores e os objetivos a serem alcançados em sala de aula e alguns dados

32

relativos à aprendizagem dos estudantes. As visões que os professores possuem

sobre a natureza da matemática interferem na sua prática pedagógica e nos

objetivos a serem alcançados quando ensinam matemática.

Quadro 4 - Valores e objetivos das diferentes visões quando se ensina matemática

Aspectos diferenciados

Professor com visão platônica

Professor com visão instrumental

Professor com visão de resolução de problemas

Como os estudantes evidenciam que aprenderam matemática.

Quando demonstram habilidades em executar os procedimentos e obter respostas certas. Quando são capazes de reconhecer relações entre os tópicos matemáticos e a lógica subjacente aos procedimentos.

Quando os estudantes mostram habilidade em seguir e verbalizar os procedimentos ensinados para obter a resposta certa.

Pela habilidade com que os estudantes são capazes de interagir os atributos relevantes dos conceitos matemáticos e também do significado e lógica das regras, fórmulas e procedimentos no processo de resolução de problemas.

Como os estudantes aprendem melhor a matemática.

Quando o professor apresenta a lição numa seqüência ordenada e lógica de modo a evitar digressões para discutir dificuldades e idéias dos alunos.

Quando o professor demonstra os procedimentos que devem ser usados na realização de determinada tarefa e o aluno exercita-os individualmente em sala de aula.

Fazendo e raciocinando por si mesmos. Promovendo o engajamento em processos criativos geradores.

Sobre o planejamento e a preparação das aulas.

Como a primeira etapa para a obtenção de sucesso no ensino da matemática. É preciso planejar porque é necessário ter “um roteiro mental”, baseado numa seqüência lógica, para explicar melhor a matéria. Ao preparar a aula, segue rigorosamente o livro didático.

Vê pequeno benefício e por isso quase não planeja. Limita-se a escolher um determinado objetivo e seleciona práticas que combinem com ele.

Como a primeira etapa para a obtenção do sucesso no ensino da matemática. Quando planeja, o professor fortalece a si próprio, se preparando para orientar nas diferentes questões e atender às diversas dificuldades dos estudantes.Ao planejar a aula, recorre a diversas fontes por considerar as limitações do livro didático. Utiliza também o registro de observações feitas por si próprio.

Quanto à percepção das necessidades dos

Não percebe de forma acurada as necessidades apresentadas pelos alunos.

Não percebe de forma acurada as necessidades apresentadas pelos alunos.

Consegue ter uma visão precisa das necessidades e dificuldades apresentadas pelos estudantes.Quando o aluno faz determinada observação, é capaz de capitalizar a informação e inseri-

33

Aspectos diferenciados

Professor com visão platônica

Professor com visão instrumental

Professor com visão de resolução de problemas

estudantes durante as aulas de matemática.

la na idéia principal da aula.

Objetivos do ensino da matemática e objetivos cognitivos globais.

Não crê em abordagens pedagógicas capazes de impulsionar no aluno o desenvolvimento de atitudes positivas em relação à matemática.

Preocupação centrada no relacionamento pessoal com os estudantes e com a aprendizagem em geral.

Resultados culturais ou disciplinares mais importantes que os resultados práticos.Procura implementar em sala de aula atividades que buscam envolver os alunos de forma a que melhorem sua disposição em relação a essa disciplina.

Moysés G. Siqueira Filho (1999), em sua dissertação de mestrado intitulada

“(Re)criando modos de ver e fazer matemática: as estratégias utilizadas por alunos

adultos na resolução de problemas”, pesquisou a concepção de ensino de

matemática professada por alunos adultos, funcionários de uma empresa privada.

Ele percebeu que consideravam o professor como o detentor do saber absoluto e

não delegavam a ele qualquer responsabilidade sobre as dificuldades de

aprendizagem. Concebiam uma matemática absolutista, cheia de verdades

incontestáveis, uma disciplina difícil, e seu aprendizado exigia muito esforço e

treinamento. Seu estudo levou-o a concluir que, em relação ao ensino da

Matemática a concepção era formalista-clássica, caracterizada por um ensino

livresco e tendo o professor como transmissor e expositor de conteúdos.

Eliane Campos da Silva (2007), em sua dissertação de mestrado verificou nas

turmas pesquisadas a existência de três concepções relativas à natureza da

matemática. Em uma das turmas predominava a concepção de resolução de

problemas e de uma matemática utilitária e na outra predominava a concepção

platônica. Quanto aos professores que ministravam as aulas, concluiu que a

professora pesquisada “consegue construir uma matemática passível de discussões,

erros e acertos” (p. 66), percebia a matemática sob a perspectiva de resolução de

problemas e utilitária. O professor possuía uma visão platônica e utilitária e “espera

que seus alunos aprendam uma “matemática correta” demonstrável e formal” (p. 66).

34

Roberta D’Angela Menduni (2003), em sua dissertação de mestrado intitulada

“Emoções que emergem da prática avaliativa em matemática”, procurou saber das

emoções que alunos matriculados no curso de bacharelado e licenciatura da

Universidade Federal do Espírito Santo sentem nos momentos anteriores e

posteriores a uma avaliação na disciplina de Análise I, e também como esses alunos

percebem e relatam essa emoção. Uma justificativa da escolha desses alunos é o

fato de querer investigar se emoções positivas e não positivas são sentidas por

alunos que gostam de matemática. Concluiu que ansiedade e alívio eram as

emoções mais freqüentes. Constatou que a ansiedade era composta pela

intersecção de dois conjuntos: emotividade (pertencente ao campo dos afetos) e

preocupação (pertencente ao campo cognitivo). Verificou que a preocupação sentida

pelos alunos decorria de vários motivos, entre os quais: não dominar o conteúdo,

não corresponder ao que se esperava dele, ao nível de dificuldades das avaliações,

a cobrança que fazia a si mesmo, ao tempo para resolver a avaliação. Sua pesquisa

concluiu que os aspectos afetivos interferem nas situações de ensino, aprendizagem

e avaliação.

Eliane Oliveira Lorete (2003), em sua dissertação de mestrado intitulada

“Concepções de matemáticos e egressos do IMPA sobre matemática e educação

matemática”, pesquisou se existem convergências/divergências entre as

concepções dos matemáticos e egressos do Instituto Nacional de Matemática Pura e

Aplicada (IMPA) sobre matemática, educação matemática e sobre o IMPA? E em

que aspectos essas concepções convergem/divergem. O IMPA é uma instituição de

excelência na pesquisa e na formação de pesquisadores na área de matemática em

âmbito nacional e internacional e, por assim ser, grande parte de seus egressos são

professores de matemática das universidades públicas.

Eliane concluiu que predominava uma concepção tradicional sobre educação

matemática revelada nas aulas pela apresentação da teoria e a seguir os exemplos,

pelo tipo de exercícios que faziam e por seguirem o livro didático à risca. Sobre a

matemática houve um predomínio da visão platônica, parecendo ser uma tendência

natural dos matemáticos. Algumas convergências/divergências foram encontradas

nas concepções sobre IMPA, sobre a matemática e sobre a educação matemática.

35

Roseline Nascimento de Ardiles (2007), em sua dissertação de mestrado intitulada

“Um estudo sobre as concepções, crenças e atitudes dos professores em relação à

matemática”, destaca que “a reflexão a respeito das concepções sobre o

conhecimento que subjaz toda ação pedagógica do professor é algo fundamental

para se pensar em mudanças e transformações, na educação, em especial na

educação matemática” (p. 222). O professor, ao refletir sobre o conhecimento

matemático, poderá influenciar de maneira significativa a abordagem de

determinado conteúdo, modificando sua prática de sala de aula e determinando seus

sentimentos em relação à Matemática.

Consideramos que, se em nossa prática, valorizamos a reflexão, o diálogo, o uso de

materiais manipuláveis, a compreensão e interpretação do problema, a

metacognição, as relações interpessoais proporcionadas pelo trabalho em grupo, e

se atuamos como facilitadores da aprendizagem, é bem provável que nosso aluno

tenha flexibilidade de raciocínio, postura investigativa, que tenha subsídios para

tomar posição diante de situações com as quais deparar e possa viver sua

subjetividade de forma singular, fugindo da serialização. Se em nossa prática

privilegiamos a transferência de informações do professor para o aluno ou

passarmos uma imagem de que a melhor maneira do aluno aprender matemática é

prestando atenção às nossas explicações, “assimilando” o conteúdo e praticando

bastante, possivelmente teremos um aluno passivo, com grande dificuldade para

tomar posição diante de situações com as quais deparar, e terá uma chance muito

grande de viver a sua subjetividade de forma individual, circunstância em que pode

se estabelecer um campo de alienação e opressão.

A professora Vânia Carvalho de Araújo, quando ministrando a disciplina

Metodologia da Pesquisa, proporcionou que assistíssemos ao filme Filhos do Paraíso (1997), do diretor iraniano Majid Majidi. Sob o olhar de Majid Majidi

(roteirista e diretor) há a divisão de suas personagens em dois grupos: aqueles que

se submetem à dominação e que por isso vivem numa relação de individuação, e

aqueles com atitude de singularização, os quais escapam à essa rede de poder.O

pai e Ali são os modelos de como esses dois grupos vivem suas subjetividades. O

contexto formador das subjetividades da obra remete ao que Michel Foucault afirma

em sua palestra sobre loucura:

36

Nós não vivemos num espaço neutro, plano. Nós não vivemos, morremos ou amamos no retângulo de uma folha de papel. Nós vivemos, morremos e amamos num espaço enquadrado, recortado, matizado, com zonas claras e escuras, diferenças de níveis, degraus de escadas, cheias, corcovas, regiões duras e outras friáveis, penetráveis, porosas (FOUCAULT, 1966).4

Aqueles que se submetem à dominação vivem numa relação de individuação,

reproduzindo aquilo que a “máquina” exige dele. O pai de Ali é aquilo que a

sociedade quer que ele seja e dele espera: chora na mesquita, banca o corajoso na

frente da mulher, reclama do senhorio, do dono da quitanda, dos filhos: “-Você não é

mais criança! Tem 9 anos! Com a sua idade eu já ajudava os meus pais! Você faz

de propósito? É burro? Por que não entende? Fico muito chateado”5. O pai procura

romper a rede de opressão através da resistência ao sistema, mas não consegue,

até porque não se faz ouvir. Seu discurso é fragmentado, inócuo e subserviente.

Ali consegue opor resistência à trama de sujeição e constitui-se como sujeito,

vivendo uma relação de singularização e escapa a essa rede de poder. São

exemplos das atitudes que apontam um novo caminho para o menino: tomar a

iniciativa de emprestar o tênis à irmã, o que propicia a ambos freqüentarem a escola;

apelar para o professor inscrevê-lo na maratona, na esperança de ganhar o terceiro

lugar e o par de tênis que fazia parte do prêmio. É ainda Ali que verbaliza o desejo

do pai de mudar de vida – “Somos jardineiros. Borrifamos árvores... cuidamos do

jardim e podamos galhos.- Parabéns, falou muito bem. [o pai elogia]6”.Há, portanto,

possibilidade de novas atitudes que se constituam como focos de resistência e

construam um novo sujeito, num processo de singularização da subjetividade.

A professora Janete Carvalho Magalhães, fundamentada em textos de Gilles

Deleuze e Felix Guattari, também ressaltou, nas aulas de Filosofia da Educação, a

importância do fator social na construção da subjetividade. Isso significa que se

constrói a subjetividade no espaço em que se vive com elementos que vêm tanto de

fora, como os sistemas econômicos, tecnológicos, sociais, quanto de dentro: os

4 FOUCAULT. Michel. In: CALDERON, Philippe. Michel Foucault par lui-même. Vídeo em VHS. Un film de Philippe Calderon conseillé par François Ewald. Produit par Françoise Castro. (Citação de fala de Foucault em 7/12/1966.)5 MAJIDI, Majid. Filhos do Paraíso. Paris Filmes, Lumière e Miramax. DVD. Tempo aproximado 88 min. Produzido e distribuído por Videolar S/A.6 ibidem

37

mecanismos de percepção, de afeto, de desejo, biológicos. São, os “aparatos” ou

“máquinas de expressão” de Deleuze e Guattari.

Renato da Silva Inácio (2006), em sua dissertação de mestrado intitulada “Um

estudo das concepções de professores polivalentes sobre área e perímetro”,

investigou como as concepções que as professoras de atuação polivalente possuem

sobre conceitos geométricos influenciam em suas práticas pedagógicas quando

abordam os conceitos de área e perímetro. Comparou os resultados obtidos com

resultados já obtidos por outros pesquisadores. Seu estudo revelou que as

professoras no estudo de área e perímetro tinham uma tendência para a concepção

numérica (aquela em que o aluno só considera aspectos pertinentes ao cálculo) e

percebeu também que “um número expressivo de professoras consideram não

existir diferença entre os dois conceitos, estabelecendo uma relação direta entre

eles” (p. 77).

Inácio (2006), detectou contradições, paradoxos, entre o que era falado e o que

realmente acontecia na prática da sala de aula dessas professoras: consideravam o

conteúdo sobre área e perímetro fácil de ensinar e importante para a formação do

aluno, mas apenas três das 20 professoras pesquisadas tinham abordado esse

conteúdo em sala de aula; algumas defendiam seu ensino desde as séries iniciais

da educação infantil, ao mesmo tempo concebiam como pré-requisito para seu

aprendizado o domínio das quatro operações e maturidade. As professoras

pesquisadas tinham mais de 10 anos de experiência no magistério, quatro não

tinham formação superior e nenhuma era formada em Matemática. Inácio acredita

que:

Considerando o tempo de permanência na atividade docente, vale destacar a importância que teriam os cursos de formação continuada na promoção de avanços na prática dos professores de todos os níveis de ensino, em especial se forem capazes de produzir mudanças em suas concepções, mais do que ampliação de seu repertório de atividades didáticas. Para tanto faz-se necessário identificar o que pensam para, por meio de ações não convencionais e reflexões sobre essas ações, realizar transformações efetivas em sua atividade em sala de aula (p. 47).

Inácio (2006), constatou também que os resultados de sua investigação já estavam

previstos por outros pesquisadores. É acreditando nos estudos e autores citados e

na construção de novas possibilidades de abordagem da matemática em sala de

aula que desenvolvemos este trabalho. E, também, crendo na possibilidade de

38

explorar e trabalhar a matemática de modo a deixar de excluir o aluno que

aparentemente parece não ter “tendência para a matemática”, provavelmente em

decorrência de experiências anteriores de insucesso. Por isto venho tentando

diversificar a minha prática, de modo a que meus alunos em dependência, possam

deixar de ter uma relação de individuação com sua subjetividade e possam passar à

uma relação de singularidade, se constituindo como capazes de aprender

matemática e serem responsáveis pela aquisição desse conhecimento.

O significado dos afetos em matemática.

Inés Maria Gómez Chacón, em sua obra Matemática Emocional (2003/2000),

destaca os afetos – crenças, atitudes e emoções - como fatores-chave de

investigação quando se quer compreender o comportamento dos alunos em

matemática e, como conseqüências dessa influência, cita:

- O grande impacto que tem em como os alunos aprendem e utilizam a matemática. Os afetos estabelecem o contexto pessoal dentro do qual funcionam os recursos, as estratégias heurísticas e o controle ao trabalhar matemática.

- A influência na estrutura do autoconceito como aprendiz de matemática.- As interações produzidas com o sistema cognitivo.- A influência na estruturação da realidade social da sala de aula.- O obstáculo que representam para um aprendiz eficaz. Os alunos que

possuem crenças rígidas e negativas sobre a matemática e sua aprendizagem normalmente são aprendizes passivos e, no momento da aprendizagem, trabalham mais a memória do que a compreensão (p. 23).

Segundo essa autora os afetos em relação à matemática atuam como sistema

regulador da estrutura de conhecimento do estudante, pois determinam sua maneira

de pensar, atuar e agir:

“Por exemplo, se o aluno que entende a matemática como cálculo tiver um reforço dessa idéia durante a escola básica, no futuro ele apresentará resistência em realizar tarefas que exijam pensar, manifestando medo, desânimo e vontade de abandoná-las, com pouca efetividade na abordagem e com grande dificuldade (GÓMEZ CHACÓN, 2003/2000, p. 24).

39

Funcionam como indicador da situação de aprendizagem na qual o estudante se

encontra, indicando suas experiências como aluno em matemática, a perspectiva

profissional de seu professor e a sensibilidade social relativa ao contexto no qual o

ensino se desenvolve. “A partir da perspectiva matemática expressada pelo aluno,

das crenças que transmite, é possível obter bons indícios das experiências que teve

de aprendizagem e do tipo de ensino recebido” (GÓMEZ CHACÓN, 2003/2000, p.

24).

Os afetos podem se constituir em fonte de inércia ao atuarem como forças de

resistência a mudanças:

Os conhecimentos subjetivos têm uma raiz profunda e um grau de estabilidade forte. Por exemplo, se um professor pensa que o melhor para a aprendizagem da matemática é trabalhar tabuadas e algoritmos, o ensino estará centrado em tais aspectos. [...] A perspectiva dos estudantes também deve ser melhorada. Se eles têm uma determinada crença sobre como deve ser a aprendizagem, apresentarão resistência diante de outra aproximação, manifestando reações emocionais negativas. É importante propor intervenções que ajudem os alunos a saírem do estado de bloqueio diante da atividade matemática (GÓMEZ CHACÓN, 2003/2000, p. 25).

Ao atuarem como veículo de conhecimento matemático, os afetos funcionam como

um diagnóstico e mostram que dificuldades no ensino e na aprendizagem da

matemática “... podem ter sua origem nas atitudes dos alunos em relação à

matemática, na natureza dessa ciência, na linguagem e na notação matemática e no

modo de aprender dos alunos” (p. 25). Gómez Chacón informa ainda que estudos

feitos a partir da imagem e dos sentimentos que a matemática gera nos alunos

podem saber da eficácia ou não de determinados métodos de ensino e também

propor novas estratégias para o ensino em sala de aula, se assim for necessário.

Conhecendo alguns aspectos do campo afetivo de meus alunos em dependência,

poderei saber de fatores que influenciaram no seu comportamento e determinaram

sua maneira de pensar, atuar e agir em relação à matemática. Só um diagnóstico

em busca do conhecimento dos sentimentos que possuem para com a matemática,

me fornecerá informações e, de posse dessas informações, a possibilidade de tentar

interferir nesse campo. Uma prática diversificada de sala de aula oferece inúmeras

possibilidades de envolvimento do aluno na construção do seu próprio conhecimento

e uma maior chance de melhorar a auto-estima para com essa disciplina.

40

A Metacognição

Em artigo intitulado Consciência metacognitiva de futuros professores primários

numa disciplina de matemática e um exame do seu conhecimento, concepções e

consciência metacognitiva sobre frações, Santos (1994) informa que seu estudo de

doutorado também “combina o uso de resolução de problemas, de trabalho em

grupo, de métodos alternativos de avaliação, e de reflexão sistemática para ajudar

os alunos a repensarem seus sistemas de concepções sobre a matemática, e a

clarear e aprofundar seu entendimento de matemática” (SANTOS, 1994, p. 1). A

autora aborda a necessidade de que, durante a formação, os futuros professores

tenham experiências para tomarem consciência de suas dificuldades, suas

fortalezas, suas limitações; sobre quem são em termos de conhecimento,

concepções e atitudes sobre educação e a matéria que irão ministrar e sobre a

motivação que possuem para ensinar e aprender. Acredita na necessidade de se

considerar a consciência metacognitiva dos futuros professores e, segundo a autora,

nela estão incluídos:

a) pensar sobre seu próprio processo de pensamento durante a resolução de problemas; b) pensar sobre suas próprias fortalezas e limitações no que diz respeito a certos tópicos matemáticos e procedimentos; c) pensar sobre seu próprio conhecimento matemático; d) pensar sobre suas crenças e concepções enquanto alunos de matemática e futuro professor de matemática; e) pensar sobre suas próprias atitudes sobre a aprendizagem de matemática, o ensino da matemática, e a avaliação como aluno enquanto futuro professor; f) pensar sobre a influência de suas crenças, concepções e atitudes sobre matemática e sua pedagogia podem ter nos seus futuros alunos; g) pensar sobre sua própria motivação para aprender matemática e para superar dificuldades de aprendizagem em matemática em comparação com o seu futuro trabalho como professor para motivar os alunos a aprender e a superar as dificuldades de aprendizagem; e h) pensar sobre o monitoramento e controle de seu próprio esforço para resolver problemas matemáticos (p. 2-3).

Santos (1994) ainda destaca que os pesquisadores devem analisar o potencial que

tais inovações têm no desenvolvimento da consciência metacognitiva dos alunos e

do seu desenvolvimento matemático, tanto sobre os pontos fortes como as

limitações desse conhecimento, na perspectiva dos alunos e futuros professores.

Sobre a utilização de práticas interativas nas aulas de matemática, a professora

informa que diversos pesquisadores acreditam no “uso de métodos altamente

41

interativos” como o trabalho em grupo que, por meio das interações sociais que

proporciona, permitem que o significado vai sendo construído em matemática.

Um outro modo de aproximar a situação de contato um a um é usar o trabalho de grupo em aulas de matemática. Como Vygotsky (19787, 19868) notou as interações sociais agem como fonte geradora do desenvolvimento de idéias mentais e linguagem, e permitem ao mesmo tempo um aprofundamento de pensamentos, significados, conceitos e linguagem (p. 6).

Dentre os pontos destacados por Santos (1994), gostaria de enfatizar uma questão

essencial para aprendizagem matemática ou de qualquer outra disciplina, que é a

motivação para aprender e para superar dificuldades, e o entusiasmo que o

professor tem que demonstrar durante suas aulas. Essas características são

observadas pelos alunos e fazem diferença em qualquer momento do ensino e da

aprendizagem.

Santos (1994) destaca que a metacognição envolve o pensar sobre o pensamento e

o gerenciar do mesmo. Ou seja, o desenvolvimento da metacognição pode promover

a compreensão e a aprendizagem da matemática em atividades de resolução de

problemas. A metacognição também auxilia a compreensão de conceitos

matemáticos e a aquisição de processos mais complexos de raciocínio, pois oferece

ao indivíduo possibilidades de ser desafiado a construir (e/ou reconstruir) seu próprio

conhecimento e analisar e gerenciar seus conhecimentos.

Tenho proporcionado a meus alunos, em minha prática de sala de aula, interações

sociais que desafiam a construção de novos conhecimentos. As interações

decorrentes das relações interpessoais presentes nos trabalhos em grupo, quando

os alunos verbalizam e discutem seus pontos de vista sobre determinado conteúdo

matemático, podem ser provocadoras de conflitos cognitivos. Esses conflitos

cogntivos, por sua vez, podem levar a uma reconstrução, a um pensar sobre, a uma

reflexão a partir de determinado ponto de vista que possuem. Assim esses conflitos

podem detonar uma atividade metacognitiva nos alunos, que estarão adquirindo

conhecimento e tomando consciência do que sabem e do que precisam ainda

aprender em matemática. É preciso que o aluno saiba como se sente em relação à

7 VYGOTSKY, L. S. Mind in society: The development of higher psychological processes. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1978.8 VYGOTSKY, L. S. Thought and language. Cambridge, MA: The Massachusetts Institute of Technology, 1986.

42

matemática, pois talvez isso o ajude na construção de significados e internalização

de conceitos nessa disciplina.

Moysés G. Siqueira Filho (1999) observou que a metodologia de resolução de

problemas proporciona a realização da atividade metacognitiva, uma vez que o

aluno reflete sobre o plano que elaborou para resolver um problema, a estratégia

que escolheu para resolvê-lo e a verificação de sua aplicação. Acredita que “quando

indicamos ao aluno a resolução de um problema que lhe cause conflitos cognitivos,

que faça com que ele reflita, reavalie seus procedimentos, seus esforços, estaremos

inserindo-o num campo extraordinariamente rico em possibilidades de ensino,

aprendizado, desenvolvimento lógico e afetivo” (p. 67).

Santos (1994) também aborda a questão que diz respeito à comunicação em aulas

de matemática, explicitando inclusive sua preocupação com a interação entre os

sujeitos envolvidos na sala de aula em relação à comunicação. Expõe que:

Pesquisadores afirmam que a prática regular de estudantes verbalizarem suas idéias para outros alunos e para o professor junto com o ato de escrever sobre o trabalho de classe e os esforços realizados ajudam os estudantes a clarear significados e a reforçar a memória. Pesquisas também sugerem que o uso de atividades de linguagem escrita em que os alunos tenham que explicar seu raciocínio podem desenvolver pensamento crítico e raciocínio matemático, ajudar a construir e/ou negociar significados, melhorar as habilidades de resolução de problemas, e podem ajudar os alunos a organizar seu conhecimento e pensamento de forma clara. Além disso, as atividades de linguagem escrita diminuem a ansiedade matemática e as atitudes negativas com relação à matemática (SANTOS, 1994, p. 8).

Quando essa mesma pesquisadora aborda questões sobre conhecimentos dos

professores, ela cita Fennema e Franke (1992)9. Destaca que, ao colocar em

primeiro lugar o conhecimento de matemática e a organização do conhecimento que

têm da disciplina, os professores planejam atividades desencadeadoras de

aprendizagem para seus alunos. Fazem também parte do conhecimento do

professor o know-how de como a matemática deve ser representada e explorada.

Em palestra proferida na Universidade Federal do Espírito Santo em 1993, sobre

linguagem escrita no ensino da matemática, a professora Vânia Santos afirmou que

9 FENNEMA, Elizabeth, FRANKE, Menga L. Teachers’ knowledge and its impact. In: GROUWS, Douglas A. (Ed.). Handbook of research on mathematics teaching and learning. New York: Macmillan, 1992, p. 147-164.

43

em sua pesquisa de doutorado fez uso da linguagem escrita na disciplina

“Ensinando Matemática para futuros professores primários através de Resolução de

Problemas”, com o objetivo de ajudar esses futuros professores primários a: “(i)

externar suas idéias e pensamentos sobre conteúdos matemáticos, crenças e

concepções pessoais sobre a matemática; (ii) melhorar o entendimento e

compreensão deles sobre o saber matemático; e (iii) refletir sobre o processo de

aprendizagem e compreensão de matemática” (p. 1).

Além da introdução de linguagem escrita, a professora usou também como

pedagogia alternativa o trabalho em grupo que, segundo Vygotsky, é promotor de

interações sociais. Com isso, ao tentarem comunicar suas idéias, esforçavam-se em

busca da clareza e precisão dos conceitos matemáticos. A autora conclui que um

ambiente que estimula comunicação e reflexão, associado a trabalhos em grupo e

resolução de problemas, assim como o ato de escrever e reescrever sobre as

explorações matemáticas, ajudam o aluno a aprender matemática, aprofundar e

clarear o entendimento de conceitos matemáticos, organizar e externar seu saber

matemático de forma clara.

Naquela mesma palestra, Santos comentou sobre alguns exemplos de atividades

que os professores de matemática podem propor para seus alunos de forma que

utilizem a linguagem escrita. Destacamos as seguintes:

Escrever uma definição matemática (exemplo: regra de divisibilidade por três para números escritos na base 6)Explorar uma conjectura (hipótese) sobre um tópico ou uma idéia matemática e explicar como funciona (exemplo: idéias da teoria dos números, operações com números racionais)Descrever uma prova matemática (exemplo: teorema de Pitágoras).Fazer uma auto-avaliação da aprendizagem de matemática e da participação em classe.Discutir crenças e concepções pessoais, e atitudes sobre aprender, fazer e ensinar matemática (SANTOS, 1993, p. 6).

Em minha prática de sala de aula com alunos em dependência, tenho feito uso da

linguagem escrita por acreditar que, quando registram as estratégias que utilizaram

na resolução de determinada atividade, esse registro permite que os colegas e o

professor acompanhem com maior compreensão o raciocínio que fizeram,

possibilitando uma maior interação aluno/aluno e aluno/professor. Mostra também a

transparência das emoções. Coloco a seguir um registro feito pelo aluno 8B, registro

44

misto de compreensão e emoção, capaz de ratificar a importância de o professor

funcionar como facilitador da aprendizagem e do uso da linguagem escrita.

Figura 1 – Registro do aluno 8B

O aluno 8B percebendo-se como ser pensante e produtor do seu próprio

conhecimento. A satisfação registrada no escrito após o desenvolvimento do

raciocínio lógico-dedutivo.

A atividade investigativa

João Pedro da Ponte, Joana Brocardo e Hélia Oliveira (2005), em livro intitulado

Investigações matemáticas na sala de aula abordam a importância do trabalho

investigativo na aula de matemática. As orientações curriculares atuais privilegiam o

uso desse tipo de atividade e tal prática constitui uma das ferramentas mais

eficientes na forma de se construir conhecimento. Verifica-se que, em numerosas

experiências utilizando o trabalho investigativo, os alunos têm demonstrado grande

entusiasmo pela matemática. Investigar significa trabalhar com questões abertas

que nos desafiem e que podem se apresentar no início de modo confuso, mas que

procuramos clarificar e estudar de modo organizado.

O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino e aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora

45

educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os colegas e professor (PONTE, BROCARDO, OLIVEIRA, 2005, p. 23).

Esses autores destacam o papel da atividade investigativa na sala de aula de

matemática como uma possibilidade de o aluno perceber e se envolver com o

processo de criação da matemática, com o trabalho criativo independente, com a

matemática in status nascendi, que Polya abordou ao discorrer sobre resolução de

problemas em 1945. Esse envolvimento dinâmico, que mobiliza aspectos afetivos e

cognitivos, é condição essencial para que a aprendizagem ocorra. É também

através desse tipo de atividade que o aluno pode deixar de conceber a matemática

como uma seqüência de regras e fatos desconexos, bem como um corpo sólido e

unificado de conhecimento, organizado de forma lógica e dedutiva. Citando Caraça10

(1958) ao falar sobre a matemática:

... Ou se olha para ela tal como vem exposta nos livros de ensino, como uma coisa criada, e o aspecto é um todo harmonioso, onde os capítulos se encadeiam em ordem, sem contradições. Ou se procura acompanhá-la no seu desenvolvimento progressivo, assistir à maneira como foi sendo elaborada, e o aspecto é totalmente diferente – descobrem-se hesitações, dúvidas, contradições, outras dúvidas, outras contradições [...] Encarada assim, aparece-nos como um organismo vivo, impregnado de condição humana, com as suas forças e as suas fraquezas e subordinado às grandes necessidades do homem na luta pelo entendimento e pela libertação; aparece-nos enfim como um grande capítulo da vida humana e social (CARAÇA11, 1958 apud PONTE, BROCARDO, OLIVEIRA, 2005, p.16).

Ao elaborar um conceito matemático a partir de uma situação concreta, o aluno

desenvolve sua capacidade de fazer generalizações a partir de casos, de usar

argumentos indutivos e argumentos por analogia, uma vez que essas habilidades

mentais são requisitadas quando se procura relações entre objetos matemáticos,

numa tentativa de detectar possíveis propriedades entre eles. Os autores Ponte,

Brocardo e Oliveira (2005) detectaram os quatro momentos principais que envolvem

uma investigação matemática:

... O primeiro abrange o reconhecimento da situação, sua exploração preliminar e a formulação de questões. O segundo momento refere-se ao processo de formulação de conjecturas. O terceiro inclui a realização de

10 CARAÇA, B. Conceitos fundamentais da matemática (3ª edição das partes I, II, III). Lisboa: Sá da Costa, 1958.

11 ibidem

46

testes e o eventual refinamento das conjecturas. E finalmente o último diz respeito à argumentação, à demonstração e avaliação do trabalho realizado (p. 20).

Esses momentos que perpassam todo o trabalho de uma investigação matemática

realizada em sala de aula proporcionam aos alunos a oportunidade de executarem

um trabalho genuinamente matemático e com isso realizarem um poderoso

processo de construção do conhecimento.

Esse trabalho de formulação de questões, elaboração de conjecturas, teste, refinamento das questões e conjecturas anteriores, demonstração, refinamento da demonstração e comunicação dos resultados aos seus pares está ao alcance dos alunos na sala de aula de Matemática (PONTE, BROCARDO, OLIVEIRA, 2005, p. 22).

Esses pesquisadores enfatizam a importância da atividade investigativa também no

sentido de permitir melhor compreensão do valor e da utilidade da matemática, e

destacam:

Aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza matemática (ao nível adequado a cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na intervenção sobre o mundo. Só assim se pode realmente dominar os conhecimentos adquiridos. Só assim se pode ser inundado pela paixão “detetivesca” indispensável à verdadeira fruição da Matemática (BRAUMANN12, 2002 apud PONTE, BROCARDO, OLIVEIRA, 2005, p. 16).

Fazendo esse trabalho de pesquisa, de investigação, cuja primeira etapa é a

identificação clara do problema a ser resolvido, surge a oportunidade de um maior

envolvimento e melhor compreensão da matemática por parte dos alunos e também

dos professores. Surge, também, a possibilidade de uma alteração nas crenças e

concepções desses educadores e educandos quanto à natureza da matemática, seu

ensino e sua aprendizagem. A partir dessa possibilidade, cria-se uma diversificação

nas aulas de matemática, de modo que se adquira uma nova postura, um novo olhar

frente a essa disciplina.

Aprender Matemática sem forte intervenção da sua faceta investigativa é como tentar aprender a andar de bicicleta vendo os outros andar e recebendo informação de como o conseguem. Isso não chega. Para verdadeiramente aprender é preciso montar a bicicleta e andar,

12 BRAUMANN, C. Divagações sobre investigação matemática e o seu papel na aprendizagem da matemática. In: PONTE, J.P.,COSTA, C. Belo Horizonte, Autêntica 2002.

47

fazendo erros e aprendendo com eles. (BRAUMANN13, 2002 apud PONTE, BROCARDO, OLIVEIRA, 2005, p. 19).

Privilegiar essa abordagem da matemática em que o objetivo maior é o de promover

o desenvolvimento de um espírito investigativo nos alunos é também uma forma de

valorizá-lo. Ao expor seu raciocínio, socializando suas descobertas, o aluno

desenvolve a capacidade de argumentar sobre suas conjecturas e de se comunicar

oralmente; ao fazer um relatório, desenvolve a capacidade de se comunicar por

escrito. Vale salientar que o registro escrito constitui um desafio adicional para os

alunos, sendo, portanto, uma parte imprescindível da investigação e que o êxito da

investigação depende do ambiente que se cria na sala de aula, fazendo com que o

aluno se sinta livre para pensar, explorar e exprimir idéias.

Tenho, em minha prática de sala de aula, procurado fazer uso de atividades

investigativas como uma maneira de provocar uma mudança de atitude no meu

aluno para com a matemática. As possibilidades de construção de conceitos

matemáticos decorrentes das relações que descobrem numa atividade investigativa,

são fatores que provocam sensações positivas como: sensação de ser capaz em

matemática, melhora da autoestima, satisfação e motivação para aprender

matemática.

Resolução de problemas

George Polya (1978/1945)14, no prefácio do seu livro sobre resolução de problemas,

motivou e estimulou educadores do mundo inteiro, ao comentar que:

Uma grande descoberta soluciona um grande problema, mas há um grão de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto, mas se ele desafia a sua curiosidade e faz você usar as suas capacidades inventivas e se você o soluciona a partir de seus próprios

13 BRAUMANN, C. Divagações sobre investigação matemática e o seu papel na aprendizagem da matemática. In: PONTE, J.P.,COSTA, C. Belo Horizonte, Autêntica 2002.14 O livro foi publicado originalmente em inglês em 1945. Foi publicado em português em 1978.

48

métodos, você pode experimentar a tensão e desfrutar o triunfo da descoberta (p. v).

Segundo esse mesmo autor, o professor deve fazer com que o aluno experimente o

prazer da matemática, dando a ele a oportunidade e a satisfação de descobri-la

através de problemas que desafiam a sua curiosidade. O problema não deve ser

muito fácil nem muito difícil, mas sim natural e interessante de modo a despertar no

resolvedor o gosto pelo pensamento independente, marcando sua mente e seu

caráter para sempre. Polya (1978/1945) distingue quatro etapas de como resolver

um problema:

1. Compreensão do problema → essa etapa envolve a familiarização e

aperfeiçoamento da compreensão. A familiarização compreende uma visualização

do problema como um todo, com a maior clareza possível e a fixação do objetivo.

Para um melhor aperfeiçoamento da compreensão é necessária a separação do

problema em partes. Se for um “problema de demonstração”, as partes principais

são: hipótese e conclusão, mas se for um “problema de determinação”, a incógnita,

os dados e a condicionante constituem as partes principais. A seguir é preciso

verificar cada um dos detalhes, relacionando-os entre si e com a totalidade do

problema. Procedendo desse modo, ficamos sabendo a função que mais tarde cada

detalhe desempenhará. Segundo Polya (1978/1945), o que se deve questionar

nessa fase é:

Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante?É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou contraditória?Trace uma figura. Adote uma notação adequada.Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las? (p. xii).

2. Estabelecimento de um plano → a concepção da idéia de um plano é, para Polya

(1978/1945), o feito mais importante na resolução de um problema. Temos um plano

estabelecido quando vislumbramos as contas, os cálculos ou os desenhos que

precisam ser feitos para a obtenção da incógnita, ou seja, temos um roteiro a seguir.

Nessa fase, o professor deve recordar-se de como foi para ele resolver problemas,

lembrar de suas dificuldades e de seus sucessos, lembrar que idéias boas são frutos

de experiências passadas e que é impossível termos uma boa idéia se nada

soubermos sobre o assunto. Nessa fase, cabe ao professor, através de indagações

e sugestões, fazer com que o aluno perceba uma idéia para resolver o problema.

49

Talvez seja preciso considerar problemas auxiliares. Segundo Polya (1978/1945), as

seguintes indagações podem e devem ser feitas:

Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente?Conhece um problema correlato? Conhece um problema que lhe poderia ser útil?Considere a incógnita! E procure pensar num problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.Eis um problema correlato e já antes resolvido. É possível utilizá–lo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização?É possível reformular o problema? É possível ainda reformulá-lo de outra maneira? Volte às definições.Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema correlato. É possível imaginar um problema correlato mais acessível? Um problema mais genérico? Um problema mais específico? Um problema análogo? É possível resolver uma parte do problema? Mantenha sempre uma parte da condicionante, deixe a outra de lado; até que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode ela variar? É possível obter dos dados alguma coisa útil? É possível pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita? É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si?Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as noções essenciais implicadas no problema? (p. v).

3. Execução do plano → Nessa fase, Polya (1978/1945) enfatiza a necessidade de

que cada passo que está sendo dado tem que ser claro, tem que ser verificado, para

que não se tenha dúvida de que é o passo correto. Os questionamentos inerentes a

essa fase são: “É possível verificar claramente que o passo está correto? É possível

demonstrar que ele está correto?”.

4. Retrospecto → O retrospecto de toda a resolução do problema nos proporciona a

consolidação do conhecimento e o aperfeiçoamento da capacidade de resolver

problemas. Através do retrospecto é possível também detectar algum erro que

porventura ocorra. Os questionamentos sugeridos por Polya (1978/1945) nessa fase

são: “É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento? É possível

chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isso num

relance? É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?”.

O livro americano de 1980 “Problem solving in school mathematics” traz uma

coletânea de artigos sobre resolução de problemas e aqui destaco alguns autores

que considero relevante para melhor compreender o porquê do uso desse recurso

50

didático. Por exemplo, Nicholas A. Branca (1997/1980)15 destaca três interpretações

mais comuns: resolução de problemas como meta, como processo e como

habilidade básica, conforme podemos ver em sua afirmação:

Quando a resolução de problemas é considerada uma meta, independe de problemas específicos, de procedimentos ou métodos e do conteúdo matemático. A consideração importante aqui é que aprender a resolver problema é a razão principal para estudar matemática (p. 4).

Não basta utilizar a resolução de problemas para estudar matemática, precisa-se ir

além, como por exemplo, aplicar conhecimentos adquiridos anteriormente para

resolver uma situação problema. Assim concordamos com esta ampla visão da

resolução de problemas que Nicholas Branca (1997/1980) chama de processo.

O que é considerado importante nesta interpretação são os métodos, os procedimentos, as estratégias e as heurísticas que os alunos usam na resolução de problemas. Essas partes do processo da resolução de problemas são sua essência e, como tal, tornam-se um foco do currículo da matemática (BRANCA, 1997/1980, p. 5).

Este mesmo autor destaca a interpretação de resolução de problemas como uma

habilidade básica. Ele afirma que neste caso somos forçados a considerar

especificidades do conteúdo de problemas, tipos de problemas e métodos de

solução. E acrescenta

Considerar a resolução de problemas como uma habilidade básica pode nos ajudar a organizar as especificações para o dia-a-dia de nosso ensino de habilidades, conceitos e resolução de problemas. Considerar a resolução de problemas como um processo pode nos ajudar a perceber como lidamos com as habilidades e conceitos, como eles se relacionam entre si e que papel ocupam na resolução de vários problemas. Finalmente, considerar a resolução de problemas como uma meta pode influenciar tudo o que fazemos no ensino da matemática, mostrando-nos uma outra proposta para o ensino (BRANCA, 1997/1980, p. 10).

Alan H. Schoenfeld (1997/1980)16 chama a atenção dos professores quanto ao

aprendizado do aluno em relação a como selecionar e aplicar as heurísticas

apropriadas, visando a uma melhora no desempenho do educando em resolução de

problemas. Ele diz que:

Heurística será usada aqui para indicar uma sugestão ou estratégia geral, independente de algum tópico particular ou do assunto em questão, que ajude os resolvedores de problemas a abordar e entender um problema e a dirigir eficientemente seus recursos para resolvê-lo (p. 13).

15 1980 é a data da publicação em inglês, 1997 é a data dessa publicação em português. 16 1980 é a data da publicação em inglês, 1997 é a data dessa publicação em português.

51

Schoenfeld (1997/1980) destaca algumas heurísticas importantes na resolução de

problemas:

1- Analisando e entendendo um problema1. Desenhe um diagrama se for possível.2. Examine casos particulares para a) exemplificar o problema; b) explorar várias possibilidades, através de casos com limitações; e c) encontrar padrões de indução fazendo os parâmetros inteiros iguais sucessivamente a 1, 2, 3,... 3. Tente simplificar, usando simetria ou “sem prejuízo da generalidade”.

2- Delineando e planejando uma solução1. Planeje as soluções hierarquicamente.2. Seja capaz de explicar, em qualquer momento da resolução, o que você está fazendo e por que; o que você fará com o resultado dessa operação.

3- Explorando soluções para problemas difíceis:1. Considere uma variedade de problemas equivalentes:

a) Substitua a condicionante por outras equivalentes;b) Recombine elementos do problema de formas diferentes;c) Introduza elementos auxiliares;d) Reformule o problema:

1)com uma mudança de perspectiva ou notação; 2) argumentando por contradição ou contra positivamente; ou 3) assumindo uma solução e determinando as propriedades que ela precisa ter.

2. Considere ligeiras modificações do problema original:a) Escolha metas secundárias e tente alcançá-las;b) Desconsidere uma condicionante e, depois, tente impô-la novamente;c) Decomponha o problema e trabalhe nele, parte por parte.

3. Considere modificações amplas do problema original:a) Examine problemas análogos com menor complexidade (menos variáveis);b) Explore o papel de uma única variável ou condicionante deixando o resto fixo;c) Explore algum problema de forma, dados ou conclusões similares; tente explorar o resultado e o método.

4- Verificando uma solução1. Use estes testes específicos: A solução usa todos os dados? É adequada a estimativas razoáveis? Resiste a testes de simetrias, análise de dimensões, escala?2.Use estes testes gerais: Pode ser obtida de forma diferente? Pode ser comprovada em casos particulares? Reduzida a resultados conhecidos? Pode gerar alguma coisa que você conhece? (SCHOENFELD, 1997/1980, p. 14 -15).

Este pesquisador ainda destaca que o professor deve se envolver com o processo

de resolução de problemas em sala de aula, e acredita que uma aula em que alunos

estejam participando da resolução de problemas junto com seus professores é mais

dinâmica e motivadora do que a aula tradicional expositiva. Acredita que, em curto

52

prazo, o processo de resolução de problemas em sala de aula promova uma

desmistificação da matemática e que os benefícios de longo prazo serão

enumerados por muitos anos. Crê que a maior parte do tempo de uma aula deva ser

dedicada à resolução de problemas e exemplifica que isso pode ocorrer de duas

formas:

1. A forma de discussão. Aqui o professor serve como regente da orquestra de sugestões dos estudantes, guiando-os afavelmente através do processo de resolução de problemas, usando suas sugestões sempre que possível e treinando-os a usar estratégias.2. A abordagem do grupo-pequeno. A classe pode ser dividida em grupos de quatro ou cinco alunos. Esses grupos trabalham juntos em uma tarefa de dois ou três problemas, por quinze ou vinte minutos, e durante esse tempo o professor circula pela sala, dando ajuda quando absolutamente necessário. Quando todos os grupos tiverem resolvido o problema, ou feito tanto progresso quanto se espera, a aula retorna a forma de discussão (SCHOENFELD, 1997/1890, p. 23).

Thomas Butts (1997/1980)17 em artigo intitulado Formulando problemas

adequadamente, destaca a importância da criatividade na elaboração do problema

de modo que o resolvedor: 1) seja motivado a resolver o problema; 2) entenda e

retenha o conceito envolvido na resolução de problema; 3) aprenda alguma coisa

sobre a arte de resolver problemas. Ele exemplifica a arte de formular problemas ao

fazê-lo de três maneiras diferentes para uma mesma questão:

Problema 1 – Seja d(n) o número de divisores positivos do inteiro n. Prove que d(n) é ímpar se e somente se n é um quadrado.Problema 2 – Quais são os inteiros positivos que têm um número ímpar de fatores? (Justifique sua resposta).Problema 3 – Imagine n armários, todos fechados, e n homens. Suponha que o primeiro homem passe e abra todos os armários. Depois, que o segundo homem passe e feche um sim outro não, começando pelo número 2. O terceiro homem, então, passa e altera o estado dos armários, de três em três, começando pelo número 3 (isto é, se este está aberto, ele o fecha, e vice-versa). Se esse procedimento tiver continuidade até que todos os n homens tenham passado por todos os armários, quais então ficam abertos? (BUTTS, 1997/1980, p. 32).

Butts (1997/1980) ainda destaca cinco tipos de problemas, que ele arbitrariamente

intitula: exercícios de reconhecimento; exercícios algorítmicos; problemas de

aplicação; problemas de pesquisa aberta; situações-problema. Para cada um desses

tipos de problemas, ele sugere uma nova maneira de formulá-los, visando à

17 1980 é a data da publicação em inglês, 1997 é a data dessa publicação em português.

53

motivação, à internalização de conceitos e ao próprio aprendizado da arte de

resolver problemas.

Exercícios de reconhecimento: [...] pede ao resolvedor para reconhecer ou recordar um fato específico, uma definição ou enunciado de um teorema. Os exercícios de reconhecimento são geralmente propostos na forma verdadeiro ou falso, múltipla escolha, preencha os espaços ou comparação. Sugere que se use: “dê um exemplo de”, o que torna bastante eficaz, pois proporciona respostas não específicas.Exemplo: O segmento de reta unindo um vértice de um triângulo ao ponto médio do lado oposto é chamado deOu melhor:Dê, se possível, um exemplo da situação: um triângulo em que uma das alturas coincida com uma das medianas.Exercícios algorítmicos: [...] trata-se de exercícios que podem ser resolvidos com um procedimento passo-a-passo, freqüentemente um algoritmo numérico.Exemplo: Calcule: ( ) ( )362416 ÷−−⋅+Sugere que:1) Se dê uma seqüência de exercícios algoritmicos com um propósito.Exemplo: Escolha dois números inteiros. Encontre sua soma e a diferença não negativa entre eles. Some os resultados. Alguma observação?2) Faça a inversão de um problema conhecido.Exemplo: Encontre três problemas de aritmética cuja solução seja 13. (Você pode impor tantas condições quantas quiser em tais problemas – por exemplo, exigir que pelo menos cinco números e pelo menos um dos sinais

÷×+ ,, deva ser usado.)Problemas de aplicação: [...] envolvem algoritmos aplicativos. Os problemas tradicionais caem nesta categoria, exigindo sua resolução: (a) formulação do problema simbolicamente e depois (b) manipulação dos símbolos mediante algoritmos diversos.Exemplo: Se uma pizza de 8 polegadas dá para duas pessoas, duas pizzas de 12 polegadas darão para quantas pessoas?A sugestão neste caso é torná-los reais, observando os critérios do Sourcebook on Application da parceria MAA-NCTM.1. Os dados deverão ser realistas, tanto nas informações do que é conhecido como nos valores numéricos usados. (Um problema que pede o comprimento de uma sala, dado seu perímetro e área, seria artificial.)2. Deverá ser razoável esperar que a “ incógnita” do problema seja efetivamente desconhecida. (O problema canônico da idade infelizmente falha nesse ponto.)3. A resposta do problema deverá ser uma quantidade para cuja procura possivelmente se pudesse encontrar uma razão.Problema de pesquisa aberta : são aqueles em cujo enunciado não há uma estratégia para resolvê-lo. [...] normalmente tais problemas expressam-se por: “Prove que...”, “Encontre todos...” ou “Para quais...é...”, mas muitas outras variações mais interessantes são possíveis.

Exemplo: Prove que ( ) 0!1 ≡−n mod 4, se e somente se n é um número composto>4 (BUTTS, 1997/1980, p. 33).

Sugere que a ênfase seja dada à conjectura, porque considera que o resolvedor

precisa conjecturar a solução.

Exemplo: Calcule a soma dos n primeiros números ímpares. Pistas para solução: 1 = 1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

e assim por diante. Obtém-se uma solução melhor ainda geometricamente, considerando as disposições de pontos da figura abaixo.

ÿ

54

Exemplo: Para quais números inteiros positivos n é n é um fator do produto ( ) ( ) ?123...21 ⋅⋅−− nn (Por exemplo, 5 não é fator de 241234 =⋅⋅⋅ , mas 6 é um fator de 12012345 =⋅⋅⋅⋅ ).Situações-problema: tipifica-se melhor essa categoria com a advertência de Harry Pollak: “Em vez de dizer aos alunos: “Eis um problema; resolvam-no”, diga-lhes “Eis uma situação; pensem nela”.Exemplo: Esboce um estacionamento de carros. a)Que tamanho deverá ter cada boxe?b)Qual o ângulo a ser observado para marcar cada boxe?c)Quanto deverá ser cobrado por carro, por hora, se deseja obter um lucro de 10%? (BUTTS, 1997/1980, p. 34).

Em artigo intitulado Estratégias de resolução de problemas na matemática escolar,

Musser & Shaughnessy (1997/1980)18 enfatizam que as estratégias constituem a

essência do processo de resolução de problemas e por isso devem ser discutidas.

Acham mesmo que o currículo de matemática deveria priorizar o conhecimento de

estratégias mais do que conteúdo e acreditam que, uma vez priorizando as

estratégias, as novas gerações estariam melhor preparadas para os problemas que

encontrarão. Em se considerando estratégias, esses autores apontam algumas

questões críticas que precisam ser consideradas, tais como: 1) Que técnicas

empregamos na resolução de problemas? 2) Que estratégias de resolução de

problemas empregamos na matemática escolar? 3) De que maneira poderemos

incentivar a resolução de problemas na sala de aula?

Musser & Shaughnessy (1997/1980) apresentam também sugestões de estratégias

de resolução de problemas que uma vez incorporadas ao currículo ajudariam a

metodologia de resolução de problemas em sala de aula. Apresentaremos algumas

dessas sugestões a seguir. Desta forma, as estratégias citadas são:

1. Tentativa-e-erro → é a estratégia que consideram mais direta para a

resolução de problemas, pois só envolve operações matemáticas que serão

realizadas de acordo com as informações fornecidas no problema. Destacam

apenas tentativa-e-erro sistemática e tentativa-e-erro por inferência. Na

tentativa-e-erro por inferência tem-se um conhecimento pertinente que é

usado para reduzir a procura.

18 1980 é a data da publicação em inglês, 1997 é a data dessa publicação em português.


1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32


55

Exemplo: Resolver os seguintes criptogramas aritméticos. Em cada problema, as letras representam um único dígito apenas. a) (HE)2 = SHE b) W R O N G + W R O N G R I G H T

Pistas para as soluções:a) Podemos inferir que o algarismo das unidades de E2 é E; assim E = 0, 1, 5 ou 6. Mas E≠ 0, pois, caso contrário, (HE)2 terminaria em dois zeros e H seria igual a E, o que não é possível. Além disso, H<4, uma vez que SHE é um número de três dígitos. Agora tente alguns valores.

b) Visto que não há transporte de uma coluna para outra, W = 1, 2, 3 ou 4. Então, 2≤ R ≤9. Tente W=1 e R=2. Então, I é 4 ou 5. Continue.

Figura 2 - Estratégia de Resolução de Problemas: tentativa e erro Fonte: Musser e Shaughnessy (1997/1980, p. 190).

2. Padrões → A partir da consideração de casos particulares do problema,

generaliza-se e obtém-se a solução.

Figura 3 – Estratégia de Resolução de Problemas: padrõesFonte: Musser e Shaughnessy (1997/1980, p. 193).

3. Resolver um problema mais simples → Aqui, eles consideram a resolução de um

“caso particular”, ou seja, de uma versão mais simples de um problema complexo.

Ao resolver um problema mais simples, podemos obter padrões que permitirão

generalizações que levarão à resolução do problema complexo.


1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32


56

Figura 4 - Estratégia de Resolução de Problemas: resolver um problema mais simplesFonte: Musser e Shaughnessy (1997/1980, p. 194).

4. Trabalhar em sentido inverso → Aqui parte do objetivo, do que deve ser provado

e através de proposições, deduzimos os objetivos.

Figura 5 - Estratégia de Resolução de Problemas: trabalhar em sentido inverso

Fonte: Musser e Shaughnessy (1997/1980, p. 196).

5. Simulação → Por vezes, para a obtenção da solução de um problema, é preciso

a preparação e realização de um determinado experimento, a coleta de dados e a

57

Exemplo: Force out é um jogo, como o nim, para duas pessoas. Joga-se assim: é dado um número e os jogadores subtraem dele, alternadamente, um número de um único algarismo. Perde a partida o jogador forçado a obter um zero. Desenvolva um sistema que lhe permita ganhar, desde que você possa sair primeiro em cada partida. (Na realidade, você somente será capaz de ganhar nove em dez vezes, se o seu adversário for igualmente perspicaz).Solução: Você ganhará se chegar ao número 1 primeiro. Para ter certeza que chegará ao 1, você não deve deixar que a vez de seu adversário ocorra com um número entre 2 e 10 (inclusive os extremos); assim, você deve chegar ao 11 primeiro.

tomada de decisão após a análise de dados. Às vezes, não é fácil a realização do

experimento e por isso lançamos mão da simulação.

Figura 6 - Estratégia de Resolução de Problemas: simulaçãoFonte: Musser e Shaughnessy (1997/1980, p. 199).

Em artigo intitulado Resolução de problemas em matemática: Uma abordagem no

processo educativo, Santos-Wagner (2008) discorre sobre o uso de resolução de

problemas em sala de aula a partir de sua investigação de doutorado (SANTOS,

1993) e sob a perspectiva de Polya, de seu orientador de doutorado Frank Lester e

de John Leblanc, com quem também estudou no doutorado, dentre outros. Para ela,

“um problema é algo que queremos ou precisamos resolver e que nos apresenta

uma dificuldade inicial. Geralmente é uma situação em que a princípio o indivíduo

não possui a estratégia para resolvê-lo” (p. 50). Sua prática e seus estudos no

doutorado levaram-na a crer que uma atividade de resolução de problemas envolve:

Compreender a situação através de leitura, interpretação, dramatização, etc.Não ter a princípio a solução pronta, nem saber de início uma fórmula pronta para usar ou os procedimentos necessários para solucionar o problema.Querer resolver a situação proposta.Identificar o que precisa ser resolvido (ou solucionado), que informações utilizar e que de fato sejam relevantes para solucionar o problema.Planejar e implementar uma ou mais ações para encontrar a solução.Verificar durante todo o processo se de fato está ou não resolvendo a situação-problema dada.Interpretar os resultados encontrados e verificar a razoabilidade dos mesmos. Ou seja, interpretar os resultados e checar se esses são razoáveis dentro do contexto da situação dada.Efetuar sempre questionamentos que ajudem a compreender a situação como um todo e que monitorem os raciocínios utilizados e a solução encontrada (SANTOS-WAGNER, 2008, p. 51-52).

Exemplo: Você e quatro amigos estão conversando em uma festa. De repente, uma estranha se aproxima e diz que aposta um dólar em que pelo menos duas pessoas do seu grupo têm o mesmo signo astrológico. Você deveria topar a aposta?

Solução: Se supusermos que os doze signos astrológicos têm probabilidade igual de ocorrer (na verdade não é bem assim), podemos simular a tomada de amostras de um grupo de 5 pessoas por meio do lançamento de cinco dados dodecaédricos muitas vezes. As faces de cada dado estão numeradas de 1 a 12. Uma igualdade de signos astrológicos corresponde à ocorrência de pelo menos dois dados mostrando o mesmo número.

58

Santos-Wagner (2008) acredita que uma atividade de resolução de problemas

envolve “[...] o processo de coordenar experiência anterior, conhecimento e intuição

numa tentativa de encontrar um método para resolver a situação cuja solução é

desconhecida” (p. 57). Esse processo de coordenar experiência anterior,

conhecimento e intuição são diretamente influenciados por: “fatores de experiência

tanto do contexto como pessoais, fatores afetivos tais como interesse, motivação,

pressão, ansiedade e outros fatores cognitivos tais como prontidão de leitura, de

raciocínio, habilidades computacionais e assim por diante’’ (p. 57).

Esta pesquisadora concebe a mesma classificação de problemas que outros autores

achavam pertinentes. Esclarece os propósitos de cada um dos problemas e informa

que uma situação a princípio considerada problema pode mais tarde se constituir

como mais uma forma de memorizar e exercitar procedimentos:

1. Exercícios de fixação fornecem aos alunos prática em usar algoritmos.2. Problemas simples fornecem aos alunos experiência em traduzir

problema reais simples e estes problemas envolvem só um tipo de cálculo.

3. Problemas complexos fornecem aos alunos experiência em resolver situações/problema que traduzem problemas reais e envolvem dois ou mais cálculos.

4. Problemas de processo exibem aos alunos os processos que são inerentes em resolução de problemas e no pensamento envolvido na compreensão dos problemas. Estes problemas servem para desenvolver nos alunos estratégias gerais de entendimento, planejamento e resolução de problemas assim como avaliação de tentativas para encontrar solução.

5. Problemas de aplicação fornecem aos alunos a oportunidade de usar uma variedade de habilidades matemáticas, procedimentos, conceitos e fatos para resolver problemas reais. Levam o aluno a perceber a utilidade e a importância da matemática no cotidiano.

6. Problemas desafio oferecem ao aluno a oportunidade de engajar-se potencialmente em atividades de recreação matemática. Estes problemas chamam a atenção para a importância de utilizar abordagens flexíveis e de perceber o problema através de várias perspectivas. Ou seja, a importância de ter um pensamento flexível e olhar o problema por vários ângulos. (CHARLES E LESTER19, 1982, p. 10, apud SANTOS-WAGNER, 2008, p. 55-56).

A autora chama a atenção para as estratégias gerais e de apoio que o professor

deve trabalhar em sua prática de sala de aula de modo a equipar o estudante e

assim auxiliá-lo na resolução de problemas: “Estratégias que precisam ser

exploradas, trabalhadas e aprendidas pelos alunos” (p. 57). As estratégias que ela 19 CHALES, R; LESTER, F. Teaching problem solving: What, why and how. Palo Alto, CA: Dale Seymour Publications, 1982.

59

caracteriza como gerais envolvem: “procurar um padrão, regularidade; generalizar.

Usar dedução (ou indução). Trabalhar de trás para frente. Adivinhar (dar palpites) e

testar. Resolver um problema semelhante mais simples. Escrever uma equação ou

fórmula. Usar números simples” (p. 57-58). Para cada estratégia geral temos uma

estratégia de apoio correspondente: ‘’reler o problema; procurar palavras e frase

chave no problema; escrever informação relevante; fazer uma lista tabela ou quadro

organizado; fazer desenhos, gráficos; experimentar dados e/ou dramatizar a

situação’’ (p. 57-58).

Geraldo Claudio Broeto (2004), em sua dissertação de mestrado ‘’Resolução de

problemas e desempenho escolar em matemática no ensino médio e fundamental’’,

constatou que as técnicas de resolução de problemas proporcionam, na maioria dos

alunos, uma melhora em seu desempenho para resolver problemas-desafio. Esses

problemas-desafio, além de permitirem uma abordagem mais flexível, sob vários

ângulos, são também caracterizados por não apresentarem estratégias de resolução

em seu enunciado, não conterem notação matemática e suas soluções não

dependerem exclusivamente de conceitos, propriedades, procedimentos, fórmulas

ou constantes matemáticas. Concluiu que o desempenho escolar estava ligado à

capacidade dos alunos em resolver problemas-tipo, ou seja, problemas extraídos de

livros didáticos de 5ª a 8ª séries que não contêm notação matemática e cuja

solução não depende exclusivamente de conceitos, propriedades, procedimentos,

fórmulas ou constantes matemáticas.

Segundo sua investigação, a maioria dos alunos considerados fracos obteve

melhores resultados em problemas-desafio e, sendo assim, quando classificamos

um aluno como fraco em matemática, podemos estar errando porque, na maioria

das vezes, o rótulo de fraco em matemática pode ser “resultado de um instrumento

de avaliação inadequado para esse aluno” (BROETO, 2004, p. 190). O aluno deve

ser avaliado por “aqueles instrumentos que possam valorizar o que eles sabem, e

não por aqueles que apenas evidenciam o que eles não sabem, como muitas vezes

acontece” (p. 188).

O uso da metodologia de resolução de problemas permite que os alunos “construam

e desconstruam conceitos, façam conjecturas, trabalhem em equipe, questionem,

duvidem, ganhem autoconfiança, conheçam suas virtudes e reconheçam suas

60

fraquezas” (BROETO, 2004, p. 192). Sua pesquisa evidenciou que um trabalho

planejado, diversificado, diferenciado e mediado pelo professor provoca motivação,

melhora o desempenho e aumenta a compreensão por parte dos alunos.

Eliane Campos da Silva (2007), em sua dissertação de mestrado, investigou os

benefícios e/ou dificuldades na abordagem do conceito matemático de função numa

perspectiva de resolução de problemas. A dinâmica que adotou envolvia aulas

planejadas, diversificadas, uso de material manipulável, professor e aluno refletindo

juntos sobre a prática de sala de aula. “A reflexão no momento da atividade era

expressa verbalmente e alterava o rumo de seus raciocínios, beneficiando a prática

matemática em sala de aula” (p. 102).

Silva (2007) avaliou como positiva a dinâmica adotada, pois “os alunos durante a

prática, no momento da ação, demonstravam interesse, motivação e começavam a

escrever com mais cuidado sobre suas realizações (p. 102)”. Os professores “se

dispuseram a dialogar com os seus alunos, compreender e sanar suas

necessidades e ou dificuldades” (p. 102).

Roberto José Medeiros Júnior (2007), em sua dissertação de mestrado intitulada

“Resolução de problemas e ação didática em matemática no ensino fundamental”,

buscou subsídios que pudessem contribuir para aprimoramento da didática do

ensino de matemática na 5ª e 6ª série, utilizando a metodologia de resolução de

problemas. Acredita que ela é capaz de promover no aluno a ampliação da

autonomia e uma aproximação de sua realidade com a matemática. Constatou que a

tríade professor-aluno-conhecimento é dinâmica e que as dificuldades nas

resoluções de problemas são em grande parte devido à dificuldade dos alunos em

compreender termos que o professor domina e por não saberem o que o professor

espera deles. Segundo ele, “A matemática oferece ferramentas adequadas à

obtenção de resultados por métodos eficazes e diretos e a Resolução de Problemas

estimula os alunos a abordarem, sem medo, novas situações matemáticas, a

desenvolver a intuição e a dedução, a questionarem resultados obtidos

mecanicamente” (p. 155).

Kelly Cristine Placha (2006), em sua dissertação de mestrado intitulada “A solução

de problemas de produto de medidas de crianças da 3ª série do ensino fundamental

61

e a intervenção do professor”, objetivando um estudo exploratório sobre problemas

multiplicativos de produtos de medidas, e adotando como formas de intervenção a

orientação, a reorientação, o questionamento e a investigação, apresentou oito

problemas a cinco crianças da 7ª série de uma escola pública, e analisou as

soluções notacionais, verbais e interpretativas constantes nas soluções dadas.

Concluiu como relevante a interpretação dada pelas crianças às soluções verbais e

notacionais, pois elas permitem que o professor compreenda o raciocínio,

acompanhe o processo de aprendizagem e elabore intervenções pontuais a cada

criança de modo a atender a necessidades específicas. Ressalta a importância e a

necessidade de o professor conhecer o conceito matemático com o qual trabalha,

pois só assim poderá organizar atividades a serem propostas em sala de aula e

ajudar seus alunos na construção desse conceito.

Em artigo intitulado Resolução de problemas e comunicação, Maria Ignez Diniz

(2001), tendo como base as diversas concepções e as pesquisas desenvolvidas na

última década, apresenta sua concepção de resolução de problemas, que chama de

perspectiva metodológica da resolução de problemas, por achar ser mais

abrangente, na medida em que inclui uma postura frente ao que é ensinar e o que

significa aprender. Explicita que a resolução de problemas envolve situações que

não possuem soluções evidentes, exigindo que o resolvedor combine seus

conhecimentos em busca da solução. Diniz (2001) destaca a primeira característica

da perspectiva metodológica de resolução de problemas que considera

como problema toda situação que permita alguma problematização. Essas situações podem ser atividades planejadas, jogos, busca e seleção de informações, resolução de problemas não convencionais e mesmo convencionais, desde que permitam o processo investigativo (p. 90).

Além de propor situações problema e resolver as situações propostas, ações em

que está tradicionalmente centrada a resolução de problemas, a autora destaca o

que considera ser a segunda característica dessa perspectiva metodológica:

questionar as respostas obtidas e questionar a própria situação original,

demonstrando uma atitude investigativa. Ao questionarem a situação problema e as

possíveis soluções encontradas há um novo pensar sobre o que se pensou ou o que

se fez. Há então a promoção da metacognição, o aprofundamento da reflexão e uma

maior possibilidade de que dúvidas sejam sanadas. Como terceira característica

62

dessa perspectiva metodológica, Diniz (2001) coloca a não-separação entre

conteúdo e metodologia “... não há método de ensino sem que esteja sendo

trabalhado algum conteúdo, e todo conteúdo está intimamente ligado a uma ou mais

maneiras adequadas de abordagens” (p. 94).

Esta mesma autora destaca que dentro dessa perspectiva metodológica de

resolução de problemas, os recursos de comunicação oral, escrita e pictórica

surgem naturalmente. A oralidade é importantíssima durante o processo de

problematização e, quando se quer sistematizar, ou apenas registrar

questionamentos e respostas, a produção de texto garante a compreensão das

questões. Diniz (2001) afirma ainda que “é o aluno, falando, escrevendo ou

desenhando que mostra ou fornece indícios de que habilidades ou atitudes ele está

desenvolvendo e que conceitos ou fatos ele domina, apresenta dificuldades ou

incompreensões” (p. 95).

A importância de se relacionar comunicação com a perspectiva metodológica de

resolução de problemas está em possibilitar que o aluno resolva uma situação

problema ao mesmo tempo em que exerce várias outras atividades. Diniz (2001)

aponta algumas, tais como:

aprender matemática, desenvolver procedimentos e modos de pensar, desenvolver habilidades básicas como verbalizar, ler, interpretar e produzir textos em matemática e em outras áreas envolvidas nas situações apresentadas. Simultaneamente, adquire confiança em seu modo de pensar e autonomia para investigar e resolver problemas (p. 95).

É um desafio a busca de alternativas didáticas que favoreçam a reconstrução

afetiva/cognitiva nos alunos em dependência, resgatando neles a vontade de

estudar matemática e com ela a autoestima. Penso, não somente na argumentação

e no diálogo como uma possibilidade de mudança de atitude, mas também no

quanto o uso do material didático manipulável pode favorecer a aprendizagem e

interferir na motivação para aprender matemática.

Luiz Roberto Dante (1991), em seu livro Didática da resolução de problemas de matemática, tem como um dos principais objetivos do ensino de matemática fazer o

aluno pensar produtivamente e, para isso, nada melhor que apresentar-lhe

situações-problema que o envolvam, desafiem e motivem a querer resolvê-las. Essa

63

é uma das razões pela qual a resolução de problemas tem sido reconhecida no

mundo todo como uma das metas fundamentais da matemática no ensino

fundamental. Outros objetivos essenciais que ele destaca são: fazer o aluno pensar

produtivamente, desenvolver o raciocínio do aluno, ensinar o aluno a enfrentar

situações novas, dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da

matemática, tornar as aulas de matemática mais interessantes e desafiadoras,

equipar o aluno com estratégias para resolver problemas, formar cidadãos

matematicamente alfabetizados.

Vygotsky:

A atividade mediadora e o contexto sociocultural

A importância dada por Vygotsky ao papel do outro social no desenvolvimento da

criança, é por entender o cérebro humano como um sistema aberto e capaz de

adquirir determinadas formas sensíveis por efeito de uma ação exterior. A idéia de

que uma tarefa pode ser executada de diversas maneiras parte do fato de conceber

que nosso cérebro opera como um sistema funcional onde as funções mentais se

articulam de maneira a utilizar caminhos e combinações de modo que determinado

resultado seja conseguido de diversas maneiras. O modo como cada um desses

resultados é obtido decorre da relação do indivíduo com seu meio sócio-cultural.

Martha Kohl de Oliveira (1993), em artigo intitulado Vigotsky e o processo de

formação de conceitos, ao discorrer sobre Substrato Biológico e Construção Cultural

64

no Desenvolvimento Humano, exemplifica uma atividade que pode ser realizada por

diversos caminhos e diferentes combinações:

Uma pessoa pode responder corretamente quanto é 15 – 7, por exemplo, contando nos dedos, fazendo um cálculo mental, usando uma máquina de calcular, fazendo a operação com lápis e papel ou simplesmente lembrando de uma informação já armazenada anteriormente na sua memória. É fácil imaginar como cada uma dessas rotas para a solução de um mesmo problema mobilizará diferentes partes de seu aparato cognitivo, e, portanto, de seu funcionamento cerebral. Contar nos dedos implica uma atividade motora que está ausente nas outras estratégias; usar a máquina de calcular exige o uso de uma informação “técnica” sobre o uso da máquina; lembrar de um resultado previamente memorizado exige uma operação específica ligada à memória, e assim por diante. (OLIVEIRA, 1993, p. 25)

A escola é um agente promotor de interação social. Seu ambiente favorece e

promove essa interação, e a compreensão das relações sociais que acontecem em

ambiente escolar se tornam importantes para o estudo do processo de

aprendizagem, pois essas relações influenciam a postura do aluno em determinada

disciplina. A atitude do aluno frente à matemática, as crenças e concepções que

possui sobre essa disciplina, seu ensino e sua aprendizagem são decorrentes das

suas experiências pessoais e das interações sociais em seu contexto sociocultural.

Carlos Nogueira Fino (2001), em artigo intitulado Vygotsky e a zona de

desenvolvimento proximal (zdp): três implicações pedagógicas, cita Wertsch (1993)

para considerar três temas que foram desenvolvidos ao longo da obra de Vygotsky:

a) o uso de um método genético ou de desenvolvimento; b) a afirmação de que as mais elevadas funções mentais do indivíduo emergem de processos sociais; c) a afirmação de que os processos sociais e psicológicos humanos se formam através de ferramentas, ou artefactos culturais, que medeiam a interação entre indivíduos e entre esses e seus envolvimentos físicos (FINO, 2001, p. 4).

A atividade mediadora, um dos pontos focais da teoria de Vygotsky, ocorre a todo

instante no ambiente de sala de aula, quer seja com o professor, com o colega, com

o material didático, com o material manipulável ou com o próprio aluno. Assim, a

prática de sala de aula está plena de atividades mediadoras, reveladas nas

interações proporcionadas pelas atividades em grupo, como: o uso da linguagem ao

debaterem e comunicarem suas idéias, o uso da escrita quando o aluno anota todo

o seu (ou do grupo) processo de raciocínio, provocando uma reconstrução e

ordenação de todo o seu (ou do grupo) pensamento elaborado, assim como a

conclusão e/ou opinião do grupo sobre determinada atividade. A mediação também

65

acontece quando o aluno expõe seu raciocínio no quadro e/ou verbalmente para que

todos vejam, opinem e discutam.

Fino (2001) descreve o que Cole e Wertsch20 (1996) abordam sobre mediação na

obra de Vygotsky.

Consideram a mediação como o facto central da teoria de Vygotski, para quem a utilização de artefactos, que são social e culturalmente construídos, tem efeito sobre a mente do utilizador e sobre o contexto envolvente. A inclusão de uma nova ferramenta, ela portadora de uma carga cultural anterior que conduziu a sua concepção e construção, num processo de comportamento, introduz diversas funções novas relacionadas com o uso da ferramenta e com o seu controlo. Além disso, faz abolir, por terem passado a ser desnecessários, alguns processos naturais cuja caducidade resulta da utilização da ferramenta, enquanto altera todo o conjunto dos traços individuais (intensidade, duração, seqüência, etc.) de todos os processos mentais que fazem parte do ato instrumental, substituindo algumas funções por outras. Assim, a utilização de artefactos deve ser reconhecida como transformadora do funcionamento da mente, e não apenas como um meio de facilitar processos mentais já existentes (FINO, 2001, p. 4 e 5).

Assim, esse processo de mediação tão dinâmico vai se transformando à medida que

ocorrem incorporações de novas práticas e aquisição de novos artefatos,

constituintes básicos da cultura, e que não determinam, mas servem como recursos

para a construção da atividade mediada. Esses artefatos são criados, acumulados e

transformados pelo grupo social e funcionam como meio através do qual a atividade

externa se orienta, no sentido de triunfar e dominar a natureza, ou seja, regular sua

interação e comportamento com o mundo e com os outros. Há, também, a “tomada

de consciência” que essas ferramentas intermedeiam ao unir mente com o mundo

real dos objetos e acontecimentos.

20 COLE, M.; WERTSCH, J. (1996). Beyond the individual-social antimony in discussions of Piaget and Vygotsky: http://www.massey.ac.nz/-ALock/virtual/ colevyg.htm.

66

http://www.massey.ac.nz/-ALock/virtual/

A internalização como forma de promover a aprendizagem significativa

Segundo Cole21 (1985), para Vygotsky o individual e o social constituem um único

sistema interativo dentro do qual se dá o desenvolvimento cognitivo, entendido como

processo de aquisição cultural.

Chamamos de internalização a reconstrução interna de uma atividade externa. (...) O processo de internalização consiste numa série de transformações:a) Uma operação que inicialmente representa uma atividade externa é reconstruída e começa a ocorrer internamente. É de particular importância para o desenvolvimento dos processos mentais superiores a transformação da atividade que utiliza signos cuja história e características são ilustradas pelo desenvolvimento da inteligência prática, da atenção voluntária e da memória.b) Um processo interpessoal é transformado num processo intrapessoal. Todas as funções no desenvolvimento da criança aparecem duas vezes: primeiro, no nível social, e, depois, no nível individual; primeiro, entre as pessoas (interpsicológica), e, depois, no interior da criança (intrapsicológica). Isso se aplica igualmente para a atenção voluntária, para a memória lógica e para formação de conceitos. Todas as funções superiores originam-se das relações reais entre indivíduos humanos.c) A transformação de um processo interpessoal num processo intrapessoal é o resultado de uma longa série de eventos ocorridos ao longo do desenvolvimento. (VYGOTSKY, 1991, p. 63-64).

Após discussões em grupo ou mesmo quando um aluno expõe seu raciocínio no

quadro ou então quando há um debate na sala de aula sobre determinada atividade,

ou ainda quando são convidados a escrever o processo que levou a determinada

solução, os alunos passam a pensar e refletir sobre o que foi falado pelos colegas e

a tentar imitar essas falas em busca de uma melhor compreensão. O que para

alguns pode parecer mera imitação é, para Vygotsky, a reconstrução interna daquilo

que o aluno observa externamente, podendo ser entendida como um dos possíveis

caminhos para o aprendizado, um instrumento de compreensão do sujeito. Uma

mudança na capacidade de usar a linguagem como artefacto para resolver

problemas, deixando essa de ser interpessoal para ser intrapessoal, e uma das

formas de internalizarem conhecimento.

21 COLE, M. (1985). The zone of proximal development: where culture Ang cognition create each other. In James V. Wertsch (Ed.), Culture, Communication and Cognition: Vygotskian Perspectives (pp.147-161). Cambridge MA;Cambridge University Press.

67

A aprendizagem e a zona de desenvolvimento proximal

Para Vygotsky, o processo de conhecimento e o processo de aprendizagem não

ocorrem simultaneamente e disso resulta uma área de dissonância cognitiva

denominada Zona de Desenvolvimento Proximal e que corresponde ao potencial do

aprendiz. É nessa região em vias de construção, que a capacidade de promoção de

avanços no desenvolvimento do aluno, para se efetivarem, dependem da

participação de elementos mais capazes. É nela que o professor deve agir, pois é a

região que promove a intermediação entre o desenvolvimento real, determinado por

aquilo que a criança consegue fazer sozinha e se constitui em conquistas já

efetivadas e aquilo que ela só consegue fazer com a ajuda de outros mais capazes.

Ao partir do que o aluno já sabe, o professor deve ser capaz de ampliar e desafiar a

construção de novos conhecimentos, de modo a estimular processos internos que

acabarão por se efetivar, passando a constituir uma nova base que possibilitará

novas aprendizagens.

Fino (2001) esclarece sobre desenvolvimento ao dizer que.

Para Vygotsky, o desenvolvimento consiste num processo de aprendizagem do uso das ferramentas intelectuais, através da interação social com outros mais experimentados no uso dessas ferramentas (Palincsar, Brown e Campione, 1993). Uma dessas ferramentas é a linguagem. A essa luz, a interação social mais efetiva é aquela na qual ocorre a resolução de um problema em conjunto, sob a orientação do participante mais apto a utilizar as ferramentas intelectuais adequadas (FINO, 2001, p. 8).

Tereza Cristina Rego (1996), expõe colocações de Davidov sobre o tipo de ensino

ideal, segundo Vygotsky:

Afirma que a escola deve ser capaz de desenvolver nos alunos capacidades intelectuais que lhes permitam assimilar plenamente os conhecimentos acumulados. Isso quer dizer que ela não deve se restringir à transmissão de conteúdos, mas, principalmente, ensinar o aluno a pensar, ensinar formas de acesso e apropriação do conhecimento elaborado, de modo que ele possa praticá-las autonomamente ao longo da sua vida, além de sua permanência na escola. Esse é, segundo ele, a tarefa principal da escola contemporânea frente as exigências das sociedades modernas (DAVIDOV22, 1938, p. 3, apud Rego, 1996, p. 108).

22 DAVIDOV, Vassili. La ensenanza escolar y el desarrollo psiquico, investigacion psicológica teórica y experimental. Moscou: Progresso, 1938.

68

Nossa escola recebe a cada semestre um contingente muito grande de alunos de

diversos municípios e cada um desses alunos traz consigo valores, crenças e

concepções decorrentes de experiências pessoais e do seu meio social. O

conhecimento da história social de cada um no ambiente escolar, nos fornecerá

informações que nos ajudarão a compreender suas atitudes e concepções frente à

matemática. Essa riqueza de multiplicidade de comportamentos e relacionamentos

em nosso ambiente escolar proporciona diversas formas de interações e as

mediações que ocorrem podem levar o aluno ao desenvolvimento de criatividade, de

seu potencial de aprendiz. Ou seja, pode provocar o despertar de processos

internos de desenvolvimentos que operam somente quando há interações ou

cooperações com outros.

Piaget

A teoria do desenvolvimento cognitivo

Yves de La Taille (1992), discorrendo sobre Piaget, destaca que para esse pensador

“a inteligência humana somente se desenvolve no indivíduo em função de interações

sociais que são, em geral, demasiadamente negligenciadas” (p. 11). Piaget buscou

compreender os mecanismos que os indivíduos usam para compreender o mundo

ao investigar o processo de construção do conhecimento ao longo da vida. Em sua

teoria do desenvolvimento cognitivo, demonstra que os seres humanos passam por

uma série de mudanças ordenadas e previsíveis, constituindo os diversos graus de

socialização. O pertencimento do indivíduo a determinado grau de socialização é,

assim, decorrente da qualidade das suas trocas intelectuais, sendo para ele o “ser

69

social” mais elevado aquele que se relaciona de forma “equilibrada” com seus

semelhantes, alcançando o que ele denomina de personalidade.

A personalidade não é o “eu” enquanto diferente dos outros “eus” e refratário à socialização, mas é o indivíduo se submetendo voluntariamente às normas de reciprocidade e universalidade. Como tal, longe de estar à margem da sociedade, a personalidade constitui o produto mais refinado da socialização. Com efeito, é na medida em que o “eu” renuncia a si mesmo para inserir seu ponto de vista próprio entre os outros e se curvar assim às regras da reciprocidade que o indivíduo torna-se personalidade (...) Em oposição ao egocentrismo inicial, o qual consiste em tomar o ponto de vista próprio como absoluto, por falta de poder perceber seu caráter particular, a personalidade consiste em tomar consciência desta relatividade da perspectiva individual e a colocá-la em relação com o conjunto das outras perspectivas possíveis: a personalidade é, pois, uma coordenação da individualidade com o universal (LA TAILLE, 1992, p. 17).

Acredito que as atividades em grupo dão ao aluno a oportunidade de não elegerem

seu ponto de vista como absoluto, mas o privilegie com a qualidade de suas trocas

intelectuais, promovendo a ascensão a esse grau máximo de socialização no qual o

indivíduo usufrui plenamente de sua autonomia, entendida como “ser capaz de se

situar consciente e competentemente na rede dos diversos pontos de vista e

conflitos presentes numa sociedade” (LA TAILLE, 1992, p. 17).

O professor, ao pesquisar as crenças e concepção dos seus alunos sobre a

natureza da matemática, passa a conhecer as diversas maneiras como seus alunos

percebem a matemática, e assim, toma consciência da relatividade do seu ponto de

vista, deixando de impô-lo como absoluto e, dialogando com os alunos, pode tornar-

se mais flexível na abordagem dessa disciplina.

70

Piaget: as relações interindividuais e a aprendizagem

Para Piaget, as relações interindividuais nem sempre são promotoras de

desenvolvimento, uma vez que podem ser efetivadas por coação ou cooperação. A

relação entre dois ou mais indivíduos caracterizada pela presença de um elemento

de autoridade ou de prestígio é uma relação de coação.

Um professor afirma determinada proposição, e seu aluno, que nele vê um homem de prestígio – seja pelo simples fato de ser professor de uma academia famosa - , acredita “piamente” na proposição afirmada. Vale dizer que o aluno em questão toma como verdade o que lhe foi dito, não porque tenha sido convencido das provas e argumentos, mas porque a “fonte” da afirmação é vista por ele como digna de confiança ou como lugar de poder. É o que na linguagem popular se refere com a expressão “falou, ta falado” (em geral empregada para se referir aos mandos ou opiniões de alguma autoridade). (LA TAILLE, 1992, p. 18 - 19).

Esse tipo de relação, ainda presente nas diversas esferas de nossa sociedade, tem

na maioria de nossas escolas o seu “porto seguro”, e se materializa na sala de aula,

incorporada na figura do professor que parece ter a visão filosófica Instrumental da

natureza da matemática, concebendo-a como uma caixa de ferramentas. Nesse tipo

de concepção da matemática, parece que o aluno não participa racionalmente da

construção de seu próprio conhecimento, limitando-se a repetir e memorizar o que

lhe é imposto pelo professor. Nessa relação, parece que o aluno se torna um

divulgador de idéias, impondo o que lhe impuseram. O nível de socialização é baixo,

pois não há diálogo e ao não questionar sob quais perspectivas uma proposição foi

elaborada, não compreende seu processo de construção. E por não compreendê-lo,

não consegue reconstruí-lo e, nessas circunstâncias, segundo Piaget, não há

aprendizagem. Esse tipo de relação parece estar freiando o desenvolvimento, pois

em nenhum momento provoca desequilíbrio ou conflitos que possam desafiar a

descoberta e construção do conhecimento. Por assim ser, também não privilegia a

Ética, mas tão somente a permanência de dogmas e crenças.

Na sala de aula, quando se pensa numa relação de cooperação, pensa-se em

atividades em grupo onde há troca de pontos de vista, onde se torna importante um

controle mútuo dos argumentos e das provas. O professor parece funcionar como

um agente promotor do desenvolvimento, desafiando, provocando conflitos; os

71

alunos são motivados a construírem seus próprios conhecimentos e, ao buscar

superar os desafios, estabelecem um processo dinâmico e constante de assimilação

de novos dados e a incorporação dessas novas informações às informações já

existentes anteriormente, em busca de um novo equilíbrio, sempre melhor e maior

que o anterior.

É importante que o aluno seja capaz de construir seu conhecimento, que tenha

autonomia em matemática e não simplesmente seja capaz de repetir procedimentos

que memorizou. A compreensão do processo de construção de um problema faz

parte de aquisição de conhecimento. Ao explicar para os colegas ou expor no

quadro o processo que construiu para resolver um problema, esse conhecimento é

articulado, reconstruído, verbalizado, apreendido e adquirido.

Em minha prática de sala de aula quero proporcionar momentos escolares que

levem os alunos a pensarem, elaborarem estratégias, compreenderem,

interpretarem, a interagirem com o professor e com os colegas ao debaterem e

exporem seus pontos de vista quando envolvidas em atividades de resolução de

problemas.

72

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Se os alunos tomarem posse do uso da linguagem, poderoso instrumento de

ordenação do pensamento, da reflexão e da internalização de conhecimentos,

poderão descobrir que são capazes de aprender matemática. A pesquisa deste

trabalho procurou responder à pergunta central de minha investigação, qual seja: De

que forma uma prática de ensino de matemática, em que aluno, professor e

conteúdos são importantes é capaz de auxiliar a aprendizagem de alunos em

dependência? Ou seja, o que podemos aprender sobre aprendizagem dos alunos

com um trabalho de pesquisa em sala de aula onde professor e alunos estão

interagindo com uma outra postura, com uma outra prática de aula de matemática,

valorizando conhecimento, professor, e aluno?

Para tanto, adotou-se um processo de coleta de dados e informações pautado numa

concepção de pesquisa qualitativa, uma vez que abordamos o aspecto de crenças e

concepções, que são questões subjetivas. Segundo nossas interpretações de Uwe

Flick (2004), consideramos que a pesquisa realizada foi de natureza qualitativa,

objetivando a análise de uma situação concreta, ou seja, um estudo focalizando o

aluno em situação de dependência em matemática. Considerou-se sua singularidade

temporal e local, suas crenças e concepções, adquiridas em seus contextos

escolares e locais, levando-se em conta a pluralidade de esferas de vida. Sendo

assim, nossa investigação lidou com emoções, sentimentos, valores e subjetividade.

Não partiu de pressupostos que necessitam serem comprovados, mas sim de

questionamentos em busca de compreensão, sem a preocupação de uma resposta

exata ou considerada certa ou errada.

Queremos destacar a nossa escolha pela pesquisa qualitativa. Bicudo (2004) diz

que “o quantitativo tem a ver com o objetivo passível de ser mensurável” (p. 103).

Maria Queiroga Amoroso Anastácio (2006), em seu artigo Pesquisa qualitativa:

concepções e perspectivas, utiliza esse argumento de Bicudo para ressaltar que em

determinadas situações não se torna possível a pesquisa quantitativa, como quando

ela faz o seguinte questionamento: “E como é possível quantificar, por exemplo,

coisas como a dificuldade de determinado aluno em lidar com idéias matemáticas,

73

ou de um professor em trabalhar com prazer?” (p. 194). Para responder a essa

pergunta pode-se citar o que diz Uwe Flick (2004) sobre o assunto:

Os aspectos essenciais da pesquisa qualitativa consistem na escolha correta de métodos e teorias oportunos, no reconhecimento e na análise de diferentes perspectivas, nas reflexões dos pesquisadores a respeito de sua pesquisa como parte do processo de produção do conhecimento, e na variedade de abordagens e métodos (p. 20).

O material para análise neste trabalho foi obtido com a observação e registro de

aulas, a aplicação de questionários e de entrevistas (para depreensão de crenças e

de visões sobre a matemática), tanto a alunos quanto a professores, além do uso de

atividades de investigação matemática e de situações-problema (para compreender

o raciocínio do aluno, provocar o desenvolvimento da metacognição e também a

socialização do conhecimento). Optou-se por esses métodos após observar dados

relativos a índices de reprovação em matemática e retenção para dependência e

acreditar que a pesquisa de crenças e concepções poderia trazer meios de entender

o desempenho dos alunos e nele tentar interferir.

A partir dessa perspectiva, situamo-nos no âmbito da pesquisa-ação, modalidade de

pesquisa participante em que o estudioso está inserido no ambiente em que colhe

as informações e a partir do qual faz suas observações. Há, nesse caso, a

preocupação não só de observar e compreender o problema, mas sobretudo de

interferir no ambiente, para melhorar a aprendizagem e permitir maior liberdade aos

participantes de um determinado processo.

Os educadores Fiorentini (2004) e Fiorentini & Lorenzato (2006) abordam em seus

textos a importância da pesquisa-ação. Eles a destacam como uma modalidade de

atuação e observação que está centrada na reflexão-ação. E, dessa forma, esse tipo

de pesquisa apresenta-se como transformadora, libertadora, provocando mudanças

de significados.

A partir dessa definição de trabalho de pesquisa qualitativa, torna-se necessária a

escolha de um processo de coleta de informações que possibilite a inserção do

pesquisador no ambiente onde se realiza a pesquisa é uma tentativa de aproximar

dois universos que muitas vezes não se encontram: o do professor atuante na sala

de aula e o do pesquisador.

74

Um dos objetivos a que se propõem as pesquisas em educação matemática é de

construir conhecimentos que possibilitem uma melhoria de ensino e de

aprendizagem de matemática. Há, no entanto, que discernir os objetivos

pragmáticos dos teóricos. Em artigo intitulado O que um iniciante deve saber sobre

a pesquisa em Educação Matemática?, as professoras Circe Mary Silva da Silva e

Vânia Maria Pereira dos Santos-Wagner (1999) fazem essa distinção, ressaltando

que os objetivos pragmáticos estão relacionados à prática de ensino, enquanto os

teóricos vêem a educação matemática como campo para formulação de novas

teorias. O objetivo de nosso estudo com alunos em dependência foi o de conduzir

uma investigação em educação matemática. Silva e Santos-Wagner (1999)

destacam que é importante lembrar que, em qualquer pesquisa

É o olhar de curiosidade e indagação do investigador acompanhado de sistematicidade, planejamento, avaliação contínua ao longo do processo de pesquisa, coerência no interpretar, analisar e categorizar dados à luz dos questionamentos da pesquisa que permitem que o processo seja árduo, intenso e muito interessante. Ao encerrarmos uma pesquisa, precisamos estar levantando questões para uma próxima investigação. Precisamos mostrar as potencialidades bem como as limitações do estudo. Esse caráter de pesquisador possibilitará que o professor passe a atuar em sala de aula com um olhar mais crítico, mais indagador e mais reflexivo (p. 20-21).

Outro ponto a ressaltar é que pesquisamos a nossa própria sala de aula,

observando, investigando e examinando os nossos alunos de dependência com

respeito às crenças e concepções frente à matemática e a seus processos de

ensino, aprendizagem e avaliação. Estamos cientes dos riscos, desafios e cuidados

a mais que um pesquisador iniciante deve seguir quando procura aprender a

planejar e conduzir uma pesquisa de campo em seu ambiente de trabalho.

Alguns autores comentam das dificuldades de um professor-pesquisador de sua

própria prática e das confusões que podem ocorrer nos momentos de coleta e

análise de dados (FIORENTINI & LORENZATO, 2006, SANTOS-WAGNER, 2007).

No entanto, a experiência que venho desenvolvendo no Grupo de estudos da prática

pedagógica e avaliação desde 2007 possibilitou-me o desejo de prosseguir neste

caminho, consciente das dificuldades que permeariam o processo de investigação.

Gómez Chacón (2003/2000) afirma que através do estudo sobre o campo afetivo

(crenças, atitudes e emoções) podemos ter uma panorâmica sobre quem é o aluno e

também quem é o professor, ambos em termos de conhecimento matemático.

75

A partir da perspectiva matemática expressada pelo aluno, das crenças que transmite, é possível obter bons indícios das experiências que teve de aprendizagem e do tipo de ensino recebido. Com isso obtemos um método indireto para avaliar a instrução em diferentes níveis. Podemos detectar a perspectiva profissional do professor, sua experiência como estudante e a sensibilidade social correspondente ao contexto em que o ensino se desenvolve (GOMÉZ-CHACÓN, 2003/2000, p. 24).

O conhecimento do campo afetivo dos alunos foi um dos aspectos mais importante

pesquisado neste estudo, pois trabalho também com alunos reprovados, nos quais a

auto-estima é baixa e esse é um campo que é determinante da qualidade da

educação, ao mesmo tempo em que fornece possibilidades maiores para conhecer

o.estudante. Como já foi dito, apliquei instrumentos de coleta de dados para a

depreensão de crenças e concepções com o objetivo de identificar, examinar e

analisar as crenças e concepções que os alunos e professores possuem sobre a

matemática, sobre seu ensino, sua aprendizagem, sua avaliação, sobre o professor

de matemática e sobre eles próprios enquanto aprendizes de matemática.

Descrição dos sujeitos e procedimentos de coleta de dados

A coleta de dados na pesquisa de campo ocorreu inicialmente em três turmas do

Cefetes – UnED – Colatina, no período de 18-02-2008 a 08-07-2008, e pensávamos

aproveitar todas elas mas somente uma dessas turmas foi selecionada para ser

analisada nesta dissertação. Os sujeitos da pesquisa foram então os alunos em

dependência da turma do 3º período do curso de Construção de Edifícios Integrado

ao Ensino Médio do Cefetes. Esses alunos cursavam suas aulas normalmente no

turno vespertino e a dependência era feita pela manhã. Essa turma em dependência

era composta por 12 alunos e com ela tivemos um encontro semanal de 2 horas,

todas as segundas-feiras.

Coletamos alguns dados, para depreensão de crenças e visões sobre a matemática,

por meio de questionário e entrevista aos professores que tinham ministrado e que

ainda ministravam as aulas de matemática para esses alunos que ficaram em

76

dependência. Aos alunos aplicamos questionários e entrevistas para depreensão de

crenças e visões sobre a matemática; aplicamos situações-problema para

proporcionar a criatividade e compreender o raciocínio do aluno, e provocar

desenvolvimento de metacognição. Implementamos também a socialização do

conhecimento através da realização de trabalhos em grupo. Temos o registro de

todos os planejamentos de aulas e os relatos sobre os acontecimentos das mesmas,

em termos de diálogos com os alunos, soluções deles em atividades e dos

questionamentos que têm feito em aula. Preenchemos o diário de bordo como

pesquisadora com todos estes dados e com as reflexões. Organizamos todos os

dados coletados com os instrumentos já dispostos em tabelas e realizamos uma

análise dos dados. Com as atividades exploratórias no campo da pesquisa,

percebemos como a quantidade de dados foi crescendo e como foi importante

trabalhar de forma sistemática e disciplinada o tempo todo.

Quanto aos procedimentos de ordem ética, podemos informar que todos os alunos

assinaram os formulários de consentimento de participação no estudo. O

consentimento para a pesquisa foi também dado pelo diretor do CEFETES e pelos

professores. Todos foram informados de que seus nomes seriam mantidos em sigilo

e que no relato final do estudo deveriam aparecer nomes fictícios.

Figura 7 - Entrada da UnED Colatina

77

A utilização de metáforas na obtenção e análise de dados

A partir de leituras de textos de Olive Chapman, percebemos que as metáforas são

maneiras simples e rápidas de comunicar idéias. As metáforas constituem um

poderoso instrumento para esclarecer nossas crenças sobre o mundo, ou seja, a

maneira como pensamos sobre determinada coisa, como cada contexto é por nós

interpretado. Aprendi, no grupo de estudos sobre prática pedagógica e avaliação, a

importância do uso dessas metáforas para nós, professores, nos conhecermos

melhor profissionalmente. Elas fornecem uma maneira indireta de alcançar

informações significativas sobre as crenças e concepções não só de nós,

professores de matemática, mas também dos alunos. Informações sobre o que

pensamos e sobre nosso papel ao ensinar, sobre nossa prática em sala de aula.

Em artigo intitulado Researching Teaching: Qualitative Techniques, Olive Chapman

(2006) ilustra a quantidade de informações obtidas a partir da interpretação de uma

metáfora:

Para mim, ensinar matemática é (como) jardinar. Um jardineiro prepara o solo, planta as sementes e cultiva as plantas. Em ensinar, o professor tenta criar um ambiente onde os estudantes aprendam, arrisquem-se e cresçam. Um jardineiro presta atenção às plantas e responde às suas necessidades de mais água, solo melhor, e do gosto. Algumas plantas crescem em algum local; outras necessitam ser movidas para uma posição mais ensolarada, com mais sombra, mais molhada ou mais seca. Bem como plantas em um jardim, estudantes não respondem todos às mesmas técnicas. Um professor necessita tentar abordagens diferentes para provocar perturbações nos estudantes. Como o jardineiro, o professor necessita prestar atenção (e escutar) aos estudantes. … Ao contrário do jardineiro, o professor pode fazer perguntas sondando para chegar na raiz da compreensão, visto que o jardineiro deve procurar sinais como o apodrecimento da raiz. … Se o jardineiro ignorar os sinais, as plantas não prosperarão ou talvez morram (CHAPMAN, 2006, p. 117). 23

23 Essa é uma tradução livre do trecho: For me, teaching mathematics is (like) gardening. In gardening one prepares the soil, plants the seeds and cultivates the plants. In teaching, the teacher tries to create an environment where students will be able to learn, take risks and grow. A gardener watches the plants and responds to their needs of more water, better soil, and the like. Some plants make it in a certain location; others need to be moved to a sunnier, shadier, wetter or dryer location. Much like plants in a garden, students do not all respond to the same techniques. A teacher needs to try different approaches to encourage perturbations in the students. Like the gardener, the teacher needs to watch (and listen to) the students. … Unlike the gardener, the teacher can ask probing questions to get at the root of the understanding, whereas the gardener must look for signs like root rot. … If the gardener ignores the signs, plants will not thrive or perhaps even die.

78

Gómez Chacón (2000/2003, p. 66), ao abordar o impacto das crenças no ensino da

matemática, destaca alguns elementos-chave no pensamento do professor e suas

relações com as práticas. Dentre eles, ela considera “sua crença e sua concepção

sobre o trabalho profissional, isto é, sobre o ensino e a aprendizagem de

matemática, e também sobre a matemática. ... as concepções são filtros ou

posicionamentos por meio dos quais o professor contempla ou aborda sua tarefa

profissional”. Essa mesma autora comenta o trabalho de Carrillo24 (1998) e esclarece

que: “Seu estudo leva-o a concluir que os professores de ensino médio examinados

têm dificuldades para assumir um ensino como o que é proposto pelo currículo atual,

visto que suas concepções sobre a matemática e seu ensino diferem das que estão

nos fundamentos do currículo” (p. 66).

Partilhamos da mesma crença por acreditar que a toda prática pedagógica subjaz

uma concepção epistemológica de matemática professada pelo professor. E

acreditamos que essa concepção epistemológica possa ser alterada através da

participação de professores em grupos de estudos da prática pedagógica. Também

pode ocorrer por meio de parcerias entre a academia e a escola desenvolvendo

pesquisas colaborativamente e um maior entrosamento entre o saber popular e o

saber livresco. Acreditamos que assim aumenta a possibilidade do professor

aprender a repensar, refletir e se conhecer através das vozes de seus alunos.

Descrição dos instrumentos e triangulações

Mostramos no quadro a seguir uma panorâmica dos doze instrumentos que usamos

na pesquisa. Colocamos resumidamente informações sobre sua origem e finalidade.

Os instrumentos I e II foram aplicados aos professores. Os outros instrumentos

foram aplicados aos alunos em dependência em matemática.

24 CARRILLO, J. Modos de resolver problemas y concepciones sobre la matemática e su enseñanza: metodologia de la investigación y relaciones. Huelva: Servicios de Publicaciones de la Universidad de Huelva, 1996.

79

Quadro 5 – Instrumentos de pesquisa, sua origem e finalidadeInstrumentos Origem Finalidade

Instrumento I – A que se deve o alto índice de reprovação nas turmas, já que as turmas de dependência em matemática são muito grandes?

Pergunta sugerida pela professora orientadora e feita aos professores da UnED-Colatina.

Saber a que ou a quem os professores atribuem o alto índice de reprovação nas turmas que cursam o ensino médio integrado ao ensino técnico no Cefetes.

Instrumento II - Qual a imagem de matemática que você passou para seus alunos (os que foram aprovados e os que não foram aprovados) no período passado?Qual animal você acha que seus alunos vão responder ao serem questionados sobre essas duas questões: Se a matemática fosse um animal, qual seria? Por quê? Qual animal a matemática nunca seria? Por quê?Para seus alunos do período passado, o que era realmente matemática?

Inspirado em idéias da orientadora e em outros autores como Ernest (1988),. Chapman (2006), Thompson (1997/1984), Gómez Chacón (2003/2000). .

Investigar as concepções dos professores sobre a matemática e seu ensino; obter informações sobre quem é esse professor em seu conhecimento matemático e em sua prática de sala de aula. Investigar qual visão filosófica que possui da natureza da matemática e a imagem, crença, visão da matemática que acredita ter percebido em seus alunos.

Instrumento III – Para você, o que significa aprender matemática? Por quê?Para você, o que significa saber matemática? Por quê?Qual a sua melhor memória de matemática do período passado?

Inspirado em Gómez Chacón (2003/2000) e em Santos (1997)..

Saber das crenças dos alunos sobre a aprendizagem escolar, uma vez que elas interferem na motivação do aluno para aprender matemática. Assim podemos detectar algumas barreiras de aprendizagem escolar nessa disciplina.

Instrumento IV – Qual a imagem de matemática que seu professor passou para você no período passado?Qual animal você acha que seu professor do período passado vai responder ao ser questionado sobre essas duas questões: Se a matemática fosse um animal, qual seria? Por quê? – Qual animal a matemática nunca seria? Por quê?Para o seu professor do período passado, o que era realmente matemática?

Inspirado em textos de Paul Ernest (1988). Olive Chapman (2006), Alba Thompson (19971984), Gómez Chacón (2003/2000),

Investigar a concepção de matemática que os alunos detectaram ou perceberam no professor do período passado, em decorrência de sua prática de sala de aula. A análise dessa pergunta poderá nos dar indícios para detectarmos se a prática do professor em sala de aula está servindo de barreira ou motivação para o aluno aprender matemática.

Instrumento V - A matemática para você é como? Se a matemática fosse um animal, qual seria? Por quê?Qual animal a matemática nunca seria? Por quê?

Inspirado em textos de Olive Chapman (2006) e em idéias da orientadora.

Para desvelar crenças que os alunos possuem sobre a natureza da matemática a partir das experiências anteriores vivenciadas como alunos.

Instrumento VI – Meus professores de matemática do colégio são..........., Um bom professor de matemática deveria..............., O melhor que um professor de matemática pode fazer por mim é.............

Inspirado em Gómez Chacón (2003/2000)..

Procurar saber dos alunos o “papel” que atribuem aos professores na aprendizagem e metodologia.

Instrumento VII – Frases para serem completadas:Meus professores de matemática do colégio.................................A matemática é........................Minhas capacidades em matemática são......................

Extraído do livro de Gómez Chacón (2003/2000).

Saber da inter-relação afeto-cognição ao saber como crenças e valores influenciam conhecimento, determinando circunstâncias e condições para que ocorra aprendizagem.

80

Para ser bom em matemática....Eu acho difícil em matemática.....Poderia aprender mais matemática se.......Quando tenho aula de matemática eu......................Quando estava na aula de matemática na escola, eu........Agora quando estou na aula de matemática eu..................Gostava da aula de matemática até que........................Sinto que a matemática faz “quebrar a cabeça” quando.......Quando aprendo matemática sinto-me...................Instrumento VIII - Entrevista envolvendo perguntas sobre hábitos de estudo, professores anteriores de matemática, trabalho em grupo, uso de materiais manipuláveis, uso da linguagem escrita e atividade de resolução de problermas

Elaborado pela pesquisadora iniciante.

Verificar o posicionamento do aluno em relação às mudanças ocorridas na prática pedagógica e a outras questões que se fizeram necessárias.

Instrumento IX - Situação-problemaProblema da quadra de basquete;

Extraído do livro de Luiz Roberto Dante (2005).

Compreender o raciocínio do aluno, verificar o que eles eram capazes de fazer sozinhos, verificar a capacidade de ordenação do pensamento ao usarem a linguagem escrita, estabelecer conexões com outros conteúdos e detectar possíveis erros.

Instrumento X – Situação-problemaA vingança do trapezóide.

Retirado do livro de Santos (1997).

Compreender o raciocínio do aluno, verificar o que eles eram capazes de fazer sozinhos, verificar a capacidade de ordenação do pensamento ao usarem a linguagem escrita, estabelecer conexões com outros conteúdos, detectar possíveis erros e conhecer situações do cotidiano em que se emprega a função quadrática.

Instrumento XI - Explorações com números

Extraído do livro de João Pedro da Ponte, Joana Brocardo e Hélia Oliveira (2005).

Com a finalidade de promover no aluno uma atitude investigativa e detectar as possíveis interações que uma atividade em grupo proporciona para: a valorização do aluno, o aumento da auto-estima, a criatividade ao usar conhecimentos que já possuem na construção e descoberta de outros novos conhecimentos, a capacidade de defender seu ponto de vista junto aos colegas e ao professor, o desenvolvimento de metacognição ao expor e explicar seu pensamento.

Instrumento XII - A matemática para você é como? Se a matemática fosse um animal, qual seria? Por quê?Qual animal a matemática nunca seria? Por quê?

Inspirado em Gómez Chacón (2003/2000).

Saber das crenças dos alunos sobre a natureza da matemática, após 4 meses e meio de aulas diversificadas de matemática no horário da dependência.

81

Alguns dos instrumentos foram aplicados propositalmente para que pudéssemos

cruzar dados na fase de análise dos mesmos. Procuramos assim usar um

procedimento de triangulação de dados. Porque se usamos a triangulação de idéias,

no momento em que interpretamos os dados coletados, estamos dando mais

confiabilidade ao estudo desenvolvido. A triangulação é um procedimento

metodológico usado nas pesquisas qualitativas quando buscamos respostas a pelo

menos três perguntas, ou questionamentos ou situações, que abordem ou envolvam

um mesmo tema. Ao interpretarmos as respostas vamos verificar se uma resposta

confirma, confronta ou contradiz as outras respostas. Portanto, a triangulação serve

para amarrar as informações de forma a garantir a evidência de argumentos a partir

de dados convincentes, possibilitando que o pesquisador seja mais confiável e

fidedigno na pesquisa (SANTOS-WAGNER, 2007).

... Ao prever fontes diversas de dados e variedades de instrumentos e procedimentos para sua coleta e registro, a triangulação amplia as possibilidades de confronto dos dados e de suas traduções e complexifica a análise, contribuindo para uma melhor compreensão da interpretação que está sendo feita no processo da pesquisa. No entanto, esse procedimento não garante a veracidade do resultado apresentado, pois, dependendo das fontes a que se recorre, dos dados selecionados, dos confrontos estabelecidos e das articulações propostas, pode-se chegar a conclusões diferentes (ESTEBAN, 2003, p. 140).

As atividades de resolução de problemas e a atividade investigativa foram feitas no

sentido de estimular e proporcionar a criatividade, compreender como o aluno

raciocina e também de provocar o desenvolvimento de metacognição através das

interações proporcionadas pelas atividades em grupo. Algumas aulas ministradas

foram relatadas e uma última metáfora foi aplicada para saber se houve indícios de

de alteração nas crenças desses alunos quanto à natureza da matemática.

82

Um pouco do histórico do Cefetes

A escola passou a denominar-se Centro Federal de Educação Tecnológica do

Espírito Santo - Cefetes - pelo Decreto de 22 de março de 1999. Mas convém

lembrar que a escola foi fundada no governo do presidente Nilo Peçanha pelo

Decreto 7.566 de 23 de setembro de 1909, com a denominação de Escola de

Aprendizes de Artífices do Espírito Santo, objetivando a formação de profissionais

nas áreas de Alfaiataria, Marcenaria, Mecânica de Máquinas, Artes de Couro,

Serralheria e Tipografia e Encadernação.

Figura 8 - Corredor da UnED Colatina

Pela Portaria Ministerial 239, de 03 de setembro de 1965, a denominação mudou

para Escola Técnica Federal do Espírito Santo - ETFES, baseada num modelo

empresarial, visando adequar a educação às exigências que a sociedade industrial e

tecnológica estabelecia, com ênfase na preparação de mão de obra qualificada para

o mercado. Com a nova lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) de

1996, Lei 9.394/1996, regulamentada pelo Decreto 2.208/1997, as Escolas Técnicas

Federais passaram a oferecer um número maior de cursos: Ensino Médio, Pós-

Médio, Pós-Técnico, Extraordinários (em parceria com empresas privadas),

Tecnológico e Superior Tecnológico.

83

Em 2008, o Cefetes já oferecia educação superior e educação profissional, quando

em dezembro passou por decreto federal (lei 11982 de 29/12/2008) a se chamar

Instituto Federal do Espírito Santo (IFES). A educação profissional técnica de ensino

médio é uma modalidade de educação formal destinada a prover estudantes de

habilitação profissional articulada com o ensino médio. Os cursos técnicos

integrados com o ensino médio regular podem ser ofertados em regime semestral,

cumprindo um mínimo de 100 dias letivos; ou anual – com no mínimo 200 dias

letivos, excluídos os exames finais. Serão realizados em, no mínimo, oito semestres

letivos com diplomação e certificação somente ao final do curso. São uma

modalidade de curso único, realizado de forma integrada e interdependente. Assim,

não será possível concluir o Ensino Médio de forma independente da conclusão do

ensino técnico de nível médio.

Figura 9 - Stand dos cursos de saneamento ambiental e segurança do trabalho, na semana de Ciência e Tecnologia, outubro de 2008.

Esses cursos são oferecidos em duas modalidades: Integrados com o Ensino Médio

e Integrados com o Ensino Médio para Jovens e Adultos (PROEJA). No último

processo seletivo – Janeiro de 2008 – o Cefetes ofereceu os seguintes cursos

nessas modalidades: Estradas: Infra-estrutura de Vias de Transportes; Eletrotécnica;

Construção de Edifícios; Gestão Empreendedora; Ferrovias – integrados com o

Ensino Médio; e Construção de Edifícios; Metalurgia e Materiais; Segurança do

Trabalho; Automação Industrial; Informática – no sistema PROEJA. Na Unidade de

Ensino Descentralizada de Colatina (UnED Colatina), onde se realizou a pesquisa

84

deste trabalho, os cursos oferecidos em nível médio são Construção de Edifícios e

Gestão Empreendedora (Integrados com o Ensino Médio) e Segurança do Trabalho

(PROEJA). A admissão de alunos aos diferentes cursos de nível médio do Cefetes é

feita mediante um processo seletivo constituído por uma prova de 50 questões,

sendo 15 de Língua Portuguesa; 15 de Matemática; 4 de História; 4 de Geografia; 4

de Física; 4 de Química e 4 de Biologia.

A oferta de vagas é definida em projeto específico e divulgada em edital, assim

como os critérios de seleção, programas e documentação necessária. Para os

cursos técnicos integrados com o ensino médio, o candidato aprovado deverá ter

concluído o ensino fundamental. A relação candidato/vaga revela que a instituição é

muito procurada no estado, com alguns cursos apresentando alto índice de procura,

tornando o acesso a eles muito difícil e restrito àqueles que têm melhor preparo no

que concerne aos conteúdos ministrados no ensino fundamental.

O Cefetes, em seu Plano de Desenvolvimento Institucional (PDI) apresenta como

missão “Promover educação profissional e tecnológica de excelência, por meio do

ensino, pesquisa e extensão, com foco no desenvolvimento humano sustentável” (p.

1). Os valores que a instituição defende são:

Qualidade e Excelência na educação profissional e tecnológicaCompetência Profissional dos servidoresSintonia e Flexibilidade para integração com todos os segmentosÉtica nas ações e nos relacionamentosHumanização - valorização do ser humano como foco das decisõesResponsabilidade Social e Sustentabilidade por meio do ensino, pesquisa e Extensão (p. 2).

Figura 10 - Biblioteca da UnED Colatina

85

Regulamentação da Organização Didática e o regime de dependência escolar

Sobre o regime de dependência no Cefetes - Unidade de Ensino Descentralizada de

Colatina, o Regulamento da Organização Didática (ROD), capítulo 1, na Seção IV (p.

27), ano 2009, reza:Do Regime de DependênciaArt. 62. O regime de dependência vigorará para todos os estudantes da Educação Profissional Técnica de Nível Médio do Cefetes que obtiverem promoção parcial§1º A matrícula de dependência será efetivada em turmas regulares e em turno distinto ao já freqüentado pelo aluno.§2º Poderão ser criadas turmas especiais para dependência, a critério da Coordenadoria do Curso.§3º Em caso de impedimento de conciliar as atividades acadêmicas ou por requerimento do aluno, a matrícula será efetivada somente na dependência.§4º O Regime de Dependência poderá ter seu tempo acelerado, não sendo obrigatório o comprimento de uma quantidade mínima de dias letivos e carga horária, desde que seja cumprido todo o conteúdo programático necessário para o aluno ou grupo(s) de alunos nesse regime.§5º Nos casos em que houver impedimento comprovado para a freqüência do aluno, após análise e aprovação, poderão ser adotadas estratégias e metodologias diversificadas para o Regime de Dependência, com anuência do professor, do Coordenador de Curso, de um representante do setor pedagógico responsável e do Serviço Social (p. 27).

Dados quantitativos das situações de dependência

As tabelas a seguir mostram as situações de dependência nos últimos anos na

Unidade de Ensino Descentralizada de Colatina.

Tabela 1 - Panorâmica do número de alunos do ENSINO MÉDIO1ª série 2003 2004 2005 2006 2007

Quantidade total de alunos nas turmas que cursavam a 1ª série do ensino médio 252 252 252 86 0Quantidade total de alunos em dependência em cada 1ª série.

23 36 47 0 (*) 0 (*)(*) A partir de 2007 o CEFETES não ofereceu mais o ensino médio e por isto apareceu zerada esta

coluna.

86

2ª série 2003 2004 2005 2006 2007Quantidade total de alunos nas turmas que cursavam a 2ª série do ensino médio 194 253 257 233 8Quantidade total de alunos em dependência em cada 2ª série.

65 65 73 49 0 (**)(**) A segunda série em 2007 era constituída por 8 alunos remanescentes, alunos reprovados.

3ª série 2003 2004 2005 2006 2007Quantidade total de alunos nas turmas que cursavam a 3ª série do ensino médio. 175 168 198 207 206Quantidade total de alunos em dependência em cada 3ª série.

16 17 24 42 39Fonte: Dados fornecidos por Maria Aparecida Zaché (Coordenadoria de registro escolar) em

03/03/2008.

Tabela 2 – Total de alunos do ensino médio regular e alunos de dependência

ANO 2003 2004 2005 2006 2007

Quantidade total de alunos que cursavam o ensino médio 621 673 707 526 214Quantidade total de alunos em dependência nas turmas. 104 118 144 91 39

Dados fornecidos por Maria Aparecida Zaché (Coordenadoria de registro escolar) em 03/03/2008.

Tabela 3 – Panorâmica do número de alunos de GESTÃO EMPREENDEDORA INTEGRADO AO ENSINO MÉDIO

Turma que iniciou no CEFETES em janeiro de 2006V6 (turno vespertino) 2006/1 2006/2 2007/1 2007/2 2008/1

Quantidade de alunos na turma. 39 38 36 36 36Quantidade de alunos em dependência.

02 10 01 18 14Turma que iniciou no CEFETES em julho de 2006

M12 (turno matutino) 2006/1 2006/2 2007/1 2007/2 2008/1Quantidade total de alunos na turma. - 40 26 19 18Quantidade de alunos em dependência. - 17 13 06 08


Quantidade de alunos na turma- - 32 39 37

Quantidade de alunos em dependência - - 11 28 05

Turma que iniciou no CEFETES em julho de 2007M7 (turno matutino) 2006/2 2006/2 2007/1 2007/2 2008/1

Quantidade de alunos na turma- - - 40 0

Quantidade de alunos em dependência - - - 36 22

87


Quantidade de alunos na turma 40Quantidade de alunos em dependência 13

Fonte: Os dados referentes ao curso de Gestão Empreendedora foram fornecidos por Poliana Brunetti Merlo (Coordenadoria de registro escolar) em 23/09/2008.

Tabela 4 - Panorâmica do número de alunos de CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS INTEGRADO AO ENSINO MÉDIO


Quantidade de alunos na turma 39 39 37 31 31Quantidade de alunos em dependência 13 15 02 18 14


Quantidade de alunos da turma - 40 36 30 34Quantidade de alunos em dependência - 18 19 17 17


Quantidade de alunos da turma - - 35 42 38Quantidade de alunos em dependência - - 06 14 13


Quantidade de alunos da turma- - - 40 40

Quantidade de alunos em dependência - - - 11 13

Turma que iniciou no CEFETES em janeiro de 2008V3 (turno

vespertino) 2006/1 2006/2 2007/1 2007/2 2008/1

Quantidade de alunos da turma

- - - - 37

Quantidade de alunos em dependência

- - - - 13

Fonte: Os dados referentes ao curso de Construção de Edifícios foram fornecidos por Poliana Brunetti Merlo (Coordenadoria de registro escolar) em 23/09/2008.

88

ENTRANDO NO CAMPO DA PESQUISA

Os Instrumentos I e II (Anexos, p. 214) permitiram que a pesquisadora tivesse

informações sobre crenças e concepções dos quatro professores que tinham

ministrado aulas de matemática no 1º ano do ensino médio, ensino médio integrado

com construção de edifícios e ensino médio integrado com gestão empreendedora,

em 2008 para os alunos da dependência.

Crenças e concepções dos professores

Entrevista feita aos professores no dia 18 de fevereiro de 2008 com vistas a

descobrir motivos que justifiquem o alto índice de reprovação nos períodos iniciais

do Ensino Médio de Construção de Edifícios Integrado ao Ensino Técnico, na

Unidade de Ensino descentralizada de Colatina. Investigamos o campo afetivo dos

professores e aspectos cognitivos relacionados com o que pensam sobre a atuação

docente deles próprios por meio da utilização de metáforas. Fizemos isso por

acreditar obter informações sobre o que cada um dos professores fala sobre suas

práticas em sala de aula, suas visões e concepções sobre matemática, ensino,

aprendizagem, reprovação dos alunos, etc. Usamos assim como Chapman (2006)

as metáforas para investigar o que o professor pensa sobre matemática e seu

ensino. Assim, a nossa percepção da visão filosófica da natureza de matemática,

que detectamos a partir das metáforas usadas, nos forneceu informações e indícios

sobre o que pensa e professa o professor e quem é esse professor em seu

conhecimento matemático e em sua prática de sala de aula. Ou seja, a interpretação

crítica da realidade é conseguida pelo cidadão à medida que ele é capaz de

interpretar, entender, analisar, debater e se posicionar em relação aos diversos

pontos de vista, e a aquisição dessa postura passa pela escola.

89

A educação, para fazer frente às demandas que lhe são postas pela dinâmica do contexto social nos últimos anos, é uma área, sem dúvida, que deveria ser chamada permanentemente para interpretar a realidade, de modo a estar atenta às mudanças políticas, econômicas, sociais e culturais neste início de século. Precisaria ser crescente entre os profissionais da educação um conjunto de ações planificadas para compreender criticamente tais transformações, de modo que possam imprimir em suas atividades profissionais uma dinâmica que possibilite formar e promover a emancipação e a cidadania. Essa poderia ser uma das funções da escola, essencialmente revolucionária, à medida que não só possibilitaria o desencadeamento de ações de resistência, mas qualificaria os indivíduos para a prática social transformadora e o exercício da democracia (FOERSTE, 2005, p. 42).

A atuação dos professores em sala de aula pode ser percebida em seus atos, em

diálogos com os alunos e em falas usadas em seus procedimentos de ensino.

Percebemos que muitas vezes as concepções professadas influenciam e

determinam sua prática, mas nem sempre ocorre esta influência direta. Pois nem

sempre as concepções faladas a nível consciente são as que influenciam

diretamente a atuação. Porque o que alguns professores comentam que acreditam,

pensam e falam sobre a matemática e seu ensino está de fato em dissonância com

a forma de atuação profissional.

Por outro lado, mesmo que os professores não queiram as formas de atuação deles

em sala de aula e nos processos de ensino, aprendizagem e avaliação influenciam

fortemente as atitudes de seus alunos. Esta atuação do professor pode, de maneira

consciente ou inconsciente, promover ou não a sedimentação de atitudes que

facilitem ao aluno uma participação efetiva na construção do seu conhecimento. O

professor que quando aluno foi chamado a interpretar, analisar e tirar conclusões

tenderá a manter essa maneira de proceder fora da escola e tem mais

possibilidades de agir de tal modo com seus alunos e assim contribuindo para a

construção de cidadãos críticos, conscientes e intelectualmente independentes.

Passamos agora a destacar cada um dos questionamentos que foi feito aos

professores nesta entrevista de fevereiro de 2008 e colocamos a seguir as respostas

deles seguidas de nossas interpretações. Procuramos colocar o que percebemos da

fala de cada professor sobre crenças e concepções de matemática e sobre os

motivos de reprovação dos alunos. Usamos os estudos de Alba Thompson

(1997/1984), Paul Ernest (1988), Gómez Chacón (2003/2000) e Olive Chapman

(2006) para nos auxiliar a compreender e interpretar as respostas.

90

A que se deve o alto índice de reprovação nas turmas, já que as turmas de dependência em matemática são muito grandes?

Professor A25 – Segundo esse professor, o problema maior está no contexto no qual

a situação do ensino se encontra:

Isso se deve ao Ensino Fundamental da região ser de baixo nível, onde o Projeto Político Pedagógico baseia-se apenas na direção das escolas e aplicam a política de aprovar todo mundo26. Isso faz com que o aluno venha para cá sem a base necessária do Ensino Fundamental, sem hábito de estudo, sem hábito de aluno mesmo, de escola e, quando chega à nossa instituição, que tem um corpo docente compromissado com o ensino, que quer que as pessoas aprendam alguma coisa, faz com que esse menino tenha muita dificuldade em prosseguir seus estudos, por isso que o índice de alunos que ficam retidos é muito grande (Entrevista, 18 fev. 2008).

A seguir, destacamos alguns trechos da entrevista e as justificativas que podemos

inferir da fala do professor A.

política de apovar todo mundo: pressão do governo; os alunos passam de ano mesmo sem terem o domínio das habilidades e competências necessárias para sua aprovação na série.

o aluno venha para cá sem a base necessária do Ensino Fundamental: o ensino fundamental também não possibilitou o desenvolvimento das habilidades e competências necessárias ao aluno.

sem hábito de estudo: crença de que o aluno não reservava um horário fora da aula para estudar os conteúdos escolares.

Quadro 6 – Respostas professor A sobre suas crenças em relação à matemática Qual a imagem de matemática que você passou para seus alunos (os que foram aprovados e os que não foram aprovados) no período passado?

Qual animal você acha que seus alunos vão responder ao serem questionados sobre essas duas questões: Se a matemática fosse um animal, qual seria? Por quê? Qual animal a matemática nunca seria? Por quê?

Para seus alunos do período passado, o que era realmente matemática?

Como sendo uma ferramenta que a humanidade utiliza para os avanços tecnológicos e científicos e o desenvolvimento do raciocínio lógico.

Leão, porque ao ser domesticado se torna um gatinho.

Idéia de que seus alunos, a princípio, temem a matemática. Idéia de que seus alunos conseguiram dominar o uso das ferramentas

Uma ferramenta para desenvolver o raciocínio lógico.

25 Algumas de nossas considerações sobre como apresentamos os dados da pesquisa:a) O texto da entrevista está escrito na íntegra e sem correção gramatical;b) Os professores foram classificados aleatoriamente, não há ordem alfabética;c) Usamos sempre a mesma letra para o mesmo professor.

26 As análises e as observações feitas pela professora-pesquisadora estão em itálico.

91

Idéia de uma matemática para ser utilizada como ferramenta para a ciência e outros campos da atividade humana; idéia de que o estudo da matemática treina a mente para raciocinar logicamente.

necessárias “para domesticá-la”, ou seja, seus alunos conseguiram o domínio dos fatos, regras e procedimentos matemáticos e são capazes de usá-los convenientemente de modo a obter a resposta certa.

Urso Panda, porque muito devagar, sem reação.

Idéia de que para aprender matemática tem que ser rápido. Idéia de um ensino diretivo, possibilitando a obtenção rápida do resultado. idéia da necessidade de se ter atitude matemática

Idéia de que o estudo de matemática treina a mente para raciocinar logicamente.

Análise feita pela pesquisadora:

Esse professor acredita ter passado a seus alunos uma imagem valorizando a

utilidade e a importância da matemática para a ciência e outros campos da atividade

humana e no desenvolvimento do raciocínio lógico. Acredita que seus alunos

conseguiram ter uma boa aprendizagem na medida em que “o leão se transforma

em gatinho”, ou seja, os conteúdos foram aprendidos e não constituem mais fonte

de medo para eles. Pensa ter ensinado a matemática dentro da perspectiva que

seus alunos esperavam: uma ferramenta para desenvolver o raciocínio lógico.

Acredita que seus ex-alunos reconhecem a rapidez, a flexibilidade e a agilidade do

raciocínio matemático, nunca a comparando com algo lento e sem reação. Embora a

resposta dada pelo professor à primeira questão tenha matizes de uma concepção

da natureza da matemática numa perspectiva de resolução de problemas, ao

fazermos a triangulação das idéias existentes nas outras respostas o que

concluímos é que possivelmente a matemática para esse professor também é

percebida como uma caixa de ferramentas a serem usadas quando houver

necessidade. O professor, ao fazer suas colocações, parece sinalizar mais para a

visão que Paul Ernest (1988) e Alba Thompson (1987/1984) denominam Visão

instrumental da matemática. Essa mesma visão filosófica da matemática é chamada

por Gómez Chacón de Visão utilitária.

Professor B – Segundo esse professor, o problema maior também está no contexto

no qual a situação do ensino se encontra:

Eu acho que o problema maior, que ocasiona o alto nível de reprovação, está no Ensino Fundamental onde, por exemplo, aqui em Colatina, existem

92

ainda vários professores sem habilitação em Matemática, muitos substitutos de outra profissão que vão dar aulas para “quebrar o galho”; tudo isso influencia no Ensino Médio, agora Ensino Integrado: o baixo nível de aprendizagem no Ensino Fundamental (Entrevista, 18 fev. 2008).

A seguir, destacamos alguns trechos da entrevista, os argumentos e as denúncias

destacadas por este professor que procuramos interpretar.

Vários professores sem habilitação em Matemática – situação em que se encontra a educação por falta de uma política eficiente por parte do governo - professores “práticos”, sem formação na área.

Muitos substitutos de outra profissão que vão dar aulas para “quebrar o galho” – política do governo de desvalorização da educação; desvalorização da prática pedagógica, já que “qualquer um” pode dar aulas “para quebrar o galho” deles (as aulas funcionam como “bico”, geralmente complementam o salário) e da escola, que não deixa os alunos ociosos.

Quadro 7 - Respostas professor B sobre suas crenças em relação à matemáticaQual a imagem de matemática que você passou para seus alunos (os que foram aprovados e os que não foram aprovados) no período passado?



Procurei passar uma imagem de uma matemática necessária para o seu dia-a-dia e necessária para seu futuro profissional, com o caráter de utilidade.

Reconhece o valor e a utilidade da matemática. A matemática desenvolve-se em respostas a necessidades básicas que surgem em situações do cotidiano.

Idéia de uma matemática para ser usada como ferramenta em outra profissão.

Macaco. Porque precisa de vários conteúdos como pré-requisito e ele terá que buscá-los de formas diversas.

Animal que pula de galho em galho para atingir seu objetivo. Idéia tanto de conteúdos conectados (galhos de mesma árvore) quanto de conteúdos desconectados (galhos de árvores distintas). Idéia de que o aluno precisa repor conteúdos que faltaram em seu aprendizado e que a busca por essa aprendizagem é de sua inteira responsabilidade, ou seja, o professor não tem qualquer responsabilidade por conteúdos não aprendidos em séries anteriores. Idéia de seqüência e acúmulo de procedimentos.

Rinoceronte. Porque ela não é uma coisa avassaladora.Seus alunos não percebem a matemática como algo que reduz, que oprime.

Uma ciência necessária para a vida.

Destaca o valor utilitário de matemática.


Assim como o macaco pula de galho em galho para chegar ao seu destino, seus ex-

alunos precisam buscar o domínio de fórmulas, regras e procedimentos já vistos

anteriormente para utilizar no conteúdo atual (explicação dada pelo professor). Esse

93

professor parece considerar o acúmulo de fatos, regras e conceitos matemáticos

básicos como pré-requisitos para continuar aprendendo matemática. Ao fato de seus

alunos nunca compararem a matemática a um rinoceronte, podemos acreditar que

eles não percebem a matemática como uma disciplina maciça, pesada, como “um

fardo enorme a ser carregado”. Acredita que seus ex-alunos valorizavam a

qualidade e a utilidade da matemática e que ensinou matemática do jeito que seus

alunos esperavam: valorizando a memorização de fórmulas, regras e

procedimentos. Depreende-se uma visão da matemática como uma caixa de

ferramentas a serem usadas em outras ciências e técnicas. Sua visão filosófica

quanto à natureza da matemática está assinalando para o que Paul Ernest (1988) e

Alba Thompson (1997/1984) denominam Visão instrumental da matemática. Essa

mesma visão é chamada por Gómez Chacón (2003/2000) de Visão utilitária.

Os professores A e B destacaram ainda o valor que a sociedade e o governo têm

dado à quantidade em detrimento da qualidade, ou seja: “Colocar todos na escola é

uma coisa, sair sabendo é outra bem diferente”.

Professor C – A partir dos inúmeros aspectos que observou, constatamos que ele é

capaz de perceber o contexto sociocultural, cognitivo e afetivo de seus alunos e

também sabe que esses aspectos são importantes quando se quer uma

aprendizagem de qualidade.

Falta de hábito de estudo, falta de adaptação nas séries iniciais onde o índice de reprovação é muito alto. Os alunos chegam de outras escolas, onde não se aplica o estudo fora do horário da escola e, então, muitos de nossos alunos não têm esse hábito, já que temos uma mistura muito grande de alunos de várias escolas, e em muitas escolas existem professores que não estão preparados para trabalhar adequadamente no Ensino Fundamental e no Ensino Médio, deixando a desejar na qualidade do ensino e, quando o aluno depara com uma escola que nem a nossa, que a exigência é alta, eles sentem muita dificuldade. Creio que trabalhando essas duas partes, o nosso ensino vai dar uma melhora e, sem contar também que nessa idade de 13, 14 ou 15 anos, eles precisam ter uma maturidade maior, já que a maturidade influencia também no aprendizado.Temos ainda uma sala de aula com 40 alunos, a V3 (vespertino, 1º ano de Construção Civil integrado ao Ensino Médio), que é de iniciantes, onde os alunos são de 13 municípios diferentes, quer dizer, alunos que saem de Nova Venécia, Pancas, Itarana, Itaguaçu, quer dizer, de longe, e que se deparam com uma realidade totalmente diferente de Colatina e que por um lado, estão assumindo uma responsabilidade muito grande, de ficarem fora de casa, de se alimentarem, etc. Essa responsabilidade que assumem tão novos “pesa” um pouco para eles (Entrevista, 18 fev. 2008).

94

A seguir, destacamos algumas pistas fornecidas na entrevista, bem como as

informações transmitidas.

falta de hábito de estudo – crença de que não estudavam fora da aula.

falta de adaptação nas séries iniciais – não conseguiram “entrar no ritmo” do Cefetes.

uma mistura muito grande de alunos de várias escolas – diversidade de contextos. Os pressupostos da cultura que os alunos levam para a escola atuam como barreira para a aprendizagem.

professores que não estão preparados para trabalhar – a falta de habilitação dos professores interfere na qualidade do ensino e prejudica o aluno.

nessa idade de 13, 14 ou 15 anos, eles precisam ter uma maturidade maior, já que a maturidade influencia também no aprendizado – idéia de que são novos e imaturos para aprenderem matemática.

Temos ainda uma sala de aula com 40 alunos, a V3 (vespertino, 1º ano de Construção Civil integrado ao Ensino Médio), que é de iniciantes, onde os alunos são de 13 municípios diferentes, quer dizer, alunos que saem de Nova Venécia, Pancas, Itarana, Itaguaçu, quer dizer, de longe, e que se deparam com uma realidade totalmente diferente de Colatina – mudanças no contexto sociocultural interferem na aprendizagem.

Quadro 8 - Respostas professor C sobre suas crenças em relação à matemáticaQual a imagem de matemática que você passou para seus alunos (os que foram aprovados e os que não foram aprovados) no período passado?



De que a matemática não era uma ciência tão difícil como se comenta, pois, como todas, precisa apenas de dedicação, atenção para que o êxito seja alcançado de forma bem clara e concisa.Idéia de que dedicação e atenção por parte dos alunos são pré-requisitos para uma aprendizagem clara e consistente da matemática.

Leão, porque é um animal que põe medo e respeito.

Idéia de poder. Idéia de um conhecimento estabelecido e não sujeito a controvérsias. Idéia de que seus alunos temem a matemática.

Pomba, porque representa tranqüilidade e paz.

Idéia de que seus alunos não se sentem confortáveis em relação à matemática. Idéia de que a matemática provoca angústia.

Para alguns, desafios que se tornaram prazerosos de serem resolvidos. Para alguns, verdadeiros pesadelos.

Idéia de que nem todos conseguiram superar esse obstáculo que é a matemática.

95


Esse professor procurou colocar para seus ex-alunos aspectos como dedicação e

atenção como pré-requisitos para conseguirem um aprendizado claro e consistente

dessa disciplina e, em decorrência, uma melhora na imagem que possuíam dessa

disciplina. Acredita que seus alunos temiam a matemática, essa possibilidade foi

revelada na segunda metáfora por acreditar que seriam capazes de compará-la a

um Leão, (bicho forte e temido por outros animais, bicho arrogante) “porque impõe

medo e respeito”. A terceira resposta dele nos leva a perceber a forte ligação entre

os campos afetivo e cognitivo e a inferir que a determinação do estado emocional

na resolução da atividade matemática implica diretamente na relação do aluno com

essa disciplina.

O professor ao fazer suas colocações nos deixa sem saber de modo claro qual visão

filosófica que possui a respeito da natureza da matemática. Como todos os alunos

sujeitos de nossa investigação foram também alunos desse professor no período

passado, colocamos a seguir alguns recortes das respostas dadas por esses seus

ex-alunos aos instrumentos aplicados durante nossa pesquisa. Isso nos possibilitou

inferir o tipo de visão filosófica da natureza da matemática que parece estar mais

acentuada nesse professor.

Quando questionamos os alunos : Qual a imagem de matemática que seu professor

passou para você no período passado? Obtivemos as seguintes respostas:

ALUNA 1B - Foi uma imagem relativamente boa. Ele esclarecia todas as dúvidas.

ALUNA 2B - Que a matemática era muito difícil, quase que impossível tirar nota azul.

ALUNO 3B - Passou uma imagem enjoada, chata, da matemática. Ele não fazia

nada diferente na sala. Sendo assim, a aula ficava enjoada.

ALUNA 4B - Ele me passou uma grande dificuldade na matemática, me passou um

grande medo de matemática, que a matemática é muito difícil.

ALUNA 5B - Passou a imagem que já estávamos esperando: que na matemática

temos que fazer um esforço muito grande, estudar muito porque se tem uma

facilidade ou uma dificuldade enorme.

ALUNO 6B - Não muito boa, pois era meio chato e não gostava de mim.

96

ALUNA 7B - Que só tem futuro no ramo as pessoas nerd`s e que já nasceram com o

cérebro calculando.

ALUNO 8B - Que a matemática é para poucos, é para quem nasce com o “dom da

inteligência”.

ALUNO 9B - Que mesmo que você saiba matemática, você não passa de período.

ALUNA 10B - Uma coisa muito estranha, cheia de história... enigmas...

ALUNA 11B - No 2º período foi passada uma imagem complicada e confusa da

matemática.

ALUNO 12B - Que eu não ia ganhar dela no final do semestre; e foi o que

aconteceu.

Constatamos que a imagem da matemática que esse professor declarou e acredita

ter passado a seus alunos através de sua prática pedagógica, contrasta com a

maioria das imagens percebidas por seus ex-alunos em decorrência de sua prática

de sala de aula.

Colocamos abaixo alguns recortes das falas de seus ex-alunos nas entrevistas,

seguidos de nossos comentários interpretativos.

ALUNA 2 B - ... Se você fizesse só o livro nosso, o que a gente usa aqui, não

conseguia tirar nota.

Idéia de que o aprendizado da matemática é conseguido pela prática de inúmeros

exercícios.

ALUNA 3 B - ... explicava como se todo mundo já soubesse. Para tirar a dúvida ele

só tirava a dúvida do exercício ... ele não parava para explicar . Ele tirava aquela

dúvida assim ... só o superficial mesmo! A fundo mesmo ... explicando a matéria ...

ele não chegava a fazer isso.

Idéia de que o aluno não era sujeito da construção de seu próprio conhecimento;

idéia de conteúdos desconectados.

ALUNA 5 B – ... eu não consigo aprender ... Não sei ... eu meio que desisti . A

gente estuda... estuda e não consegue aprender ... então...

Idéia de que não conseguiu perceber uma lógica, um significado nas atividades que

realizava, no que exercitava. Parece que foi vencida pelo cansaço de tanto treinar e

não compreender.

97

ALUNA 7B – ... às vezes quando eu tinha dúvidas maiores ele não sabia me

explicar conforme eu estava querendo.

Idéia de que o professor não atuava em sala de aula como explicador e nem como

facilitador da aprendizagem. Possivelmente atuava como instrutor.

ALUNO 8B – ... ele corria demais com a matéria e tal e ficava aquela coisa muito

vaga assim... uma aula... e já tinha que estar com o exercício pronto na outra...

para já corrigir e tal ...

Idéia de que é preciso ser ligeiro para aprender matemática.

ALUNO 9B – ... eu acho que ele explicava a matéria mas não dava assim ... tipo ...

suporte para que o aluno que tinha mais dificuldade aprender.

Idéia de que o aluno não era sujeito da construção de seu conhecimento

matemático.

ALUNA 11B - Eu achava assim...as aulas um pouco enjoativas...porque eram muito

repetitivas... todo dia a mesma coisa...Ele nunca mudou... sei lá, vamos fazer um

trabalho...fazer alguma coisa em grupo... não... era só prova individual, exercício

individual para casa... [...] não tinha nada em grupo. Isso dificultava um pouco e fazia

com que a matéria ficasse muito enjoativa... toda aula aquilo: explicação de matéria

e exercícios, [...] você fazia sozinho na sua carteira. Matéria e exercício e aí fica

muito cansativo. De repente ele pode saber até mais que outro, mas o outro explica

muito melhor que ele... talvez o método...

Idéia de que o aluno necessita de aulas diversificadas e de novas metodologias que

ajudem no processo de aprendizado.

Todos estes indícios percebidos nas respostas e falas dos alunos nos levaram a

acreditar que predominava nesse professor uma visão filosófica da natureza da

matemática assinalando para o que Paul Ernest (1988) e Alba Thompson

(1997/1984) denominam Visão instrumental da matemática. Essa mesma visão é

chamada por Gómez Chacón (2003/2000) de Visão utilitária.

98

Professor D – Os problemas vão da Secretaria de Educação à sala de aula:

Ah! Eu acho que é um pouco de falta de base dos alunos e eu acho que mais forte que a falta de base é não ter hábito de estudo. O que eles não sabem na realidade é como estudar matemática, eu acho que eles acham que... Eu acho que é falta de hábito de estudo... Eu acho que a matemática que a maioria aprende por aí não é ensinada de forma correta... Eles chegam aqui com muitos vícios... De erros de conceitos... Sabe, eles não estão acostumados com a matemática que a gente cobra, que é uma matemática mais aplicada, em cima de resolução de problemas. Eles estão mais acostumados com aquelas aplicações diretas de conteúdos, visto que por mais que a gente esteja numa realidade de Cefetes, onde nossos alunos já são pré-selecionados, mas a gente é uma escola do interior, onde a gente vê por aí que o nível do ensino é bem mais fraco que o da cidade grande, né? Mas eu acho que pior, o que agrava mais isso, é a falta de profissionais de gabarito para trabalhar com essas crianças no Ensino Fundamental. E eles chegam para a gente aqui, cheios de vícios e até que a gente conserte isso, leva um pouco de tempo, né? E a gente tem também, acho que pouco tempo. Eu acho que a carga horária é pequena para uma quantidade muito grande de conteúdo. Então, se a gente tivesse um pouco mais de tempo, a gente poderia pensar a matemática de uma forma diferente. Então, além dessa falta de base, a gente precisaria pelo menos na série inicial, quando os alunos entram, uma carga horária maior porque a gente sofre também a maior pressão quanto ao tempo e conteúdo a ser dado. A gente tem que se preocupar em suprir as lacunas que eles trouxeram. Eles vão entrar aqui e vão ter que pensar matematicamente, de uma forma completamente diferente do que viam aí fora. Então eu acho que a grande dificuldade se concentra aí e na falta de motivação para estudar matemática. A matemática que eles aprenderam era uma matemática chata, de decorar fórmula para chegar a uma resposta correta, onde o caminho para chegar à resposta era o que menos interessava. O importante era chegar ao resultado (Entrevista, 18 fev. 2008).

O que podemos perceber com a entrevista:

Os alunos que aqui chegam: não sabem estudar matemática, não têm hábito de

estudo, não aprenderam matemática de forma correta, estão mais acostumados com

aplicações diretas de conteúdos, aprenderam uma matemática chata, de decorar

fórmula para chegar à resposta correta. Faltaram para eles profissionais de gabarito

no Ensino Fundamental e falta de motivação para estudar matemática.

No Cefetes se cobra uma matemática mais aplicada, em cima de resolução de

problemas. Existe uma preocupação em suprir as lacunas que os alunos trouxeram.

Há necessidade de uma carga horária maior, nossa carga horária é pequena para a

quantidade de conteúdo a ser ministrado e isso nos impede de pensar a matemática

de uma forma diferente. Aqui vão ter que pensar matematicamente. O nível dos

alunos e do ensino no Cefetes do interior é mais fraco que no da cidade grande.

99

Quadro 9 - Respostas professor D sobre suas crenças em relação à matemáticaQual a imagem de matemática que você passou para seus alunos (os que foram aprovados e os que não foram aprovados) no período passado?



A matemática é a ciência que move o mundo. Está em toda parte. Pode ser agradável e prazerosa. Temida, mas desejada.

idéia de que a matemática está integrada aos diversos campos da atividade humana . Podemos pensar que está nas ciências, no cotidiano. Idéia de satisfação e entusiasmo possivelmente em decorrência de tratar problemas e conseguir resolvê-los ou ainda por ter oportunidade de exercitar habilidades de raciocínio e criatividade.Idéia de uma matemática misteriosa e cobiçada.

Tigre; porque é bonito, esperto e ardiloso.

Idéia de que seus alunos reconhecem esses atributos na matemática.

Preguiça, porque devagar, sem iniciativa rápida, lenta.

Idéia de que para aprender matemática tem que ter raciocínio rápido.

Um bicho muito confuso.

Parece que seus ex-alunos não conseguiam entender a lógica existente por detrás dos procedimentos matemáticos.


Procurou passar a seus alunos uma visão da matemática como ferramenta para a

ciência e outros campos da atividade humana, assim como as reações emocionais

ambíguas que essa disciplina provoca nos alunos, uma vez que mesmo os que a

temem a desejam. Beleza, artifício, estratagema, artimanha, atividade, vivacidade e

inteligência parecem ser características desejáveis para que o aprendizado dessa

disciplina ocorra. Seus ex-alunos serão capazes de reconhecer nessa disciplina tais

atributos, pois a compararão a um tigre nos quesitos beleza, ardil e esperteza. Para

o professor, seus alunos também considerarão agilidade e rapidez, importantes para

que o aprendizado da matemática se efetive, e que lentidão e falta de iniciativa não

estão associados a essa disciplina. Contudo, também para seus ex-alunos, a

matemática era algo desordenado, misturado, tumultuado, revolto, dando uma idéia

de que não conseguiam entender a lógica existente por detrás dos procedimentos

matemáticos.

100

O professor D, ao fazer suas colocações, deixa-nos acreditar que possui uma visão

de resolução de problemas, assim denominadas por Paul Ernest (1988), Alba

Thompson (1997/1984) e Gómez Chacón (2003/2000).

Reflexões da pesquisadora:

Acredito ser importante que os professores tenham consciência das concepções que

possuem sobre a matemática, seu ensino e aprendizagem, pois são eles os

mediadores primários entre o conteúdo e o aluno e, em suas práticas de sala de

aula. As concepções atuam como forças motrizes se forem conscientes e coerentes

com a prática adotada e podem influenciar e determinar a eficácia com que ensinam.

Cada modo de ensinar é peculiar. É decorrente dos valores e da finalidade que o

professor delega ao ensino de matemática e, por assim ser, é preciso conhecer as

crenças dos professores e tentar junto com os professores analisar, problematizar e

discutir sobre o que dizem que pensam a nível consciente, o que pensam de modo

inconsciente e a atuação que desenvolvem em suas aulas. Sem provocar algum

desequilíbrio cognitivo e afetivo no professor pode ser bem complexo interferir nas

crenças e concepções. Pois muitos professam em suas falas algumas crenças, mas

agem segundo outras que interferem em sua prática mais fortemente a nível

inconsciente.

A possibilidade de tentar interferir nas crenças e concepções de professores sobre a

natureza da matemática e os processos de ensino, aprendizagem e avaliação é um

modo de melhorar a qualidade do ensino da matemática. Mas precisamos estar

cientes de que este é um processo bem complexo e que vários pesquisadores têm

investigado nas últimas décadas sobre isto e ainda procuramos por caminhos. A

reflexão sobre a prática pedagógica no sentido de analisarmos uma situação em

busca de novas alternativas, novas possibilidades a serem construídas é uma

possibilidade de alterações das crenças e concepções sobre a matemática, seu

ensino e aprendizagem. É interessante notar que o currículo é o mesmo, o contexto

é o mesmo, a mesma escola, mas a forma como cada professor aborda a disciplina

matemática em sua prática de sala de aula é diferente e assim, um mesmo conteúdo

pode ser abordado de diversas maneiras. E assim passamos mensagens bem

distintas para nossos alunos de ensino médio técnico sobre a disciplina de

matemática, seu ensino, aprendizagem e avaliação.

101

Crenças e concepções dos alunos

Os dados obtidos estão colocados em forma de tabela e nossas análises estão

abaixo de cada resposta em itálico. A visão que podemos perceber a partir das

respostas de cada aluno, ou seja, a percepção de suas crenças sobre a

aprendizagem da matemática aparece logo abaixo de cada quadro.

Crenças e concepções dos alunos sobre a aprendizagem da matemática

A partir de estudos de Gómez Chacón, podemos acreditar que as crenças são

fatores determinantes da motivação do aluno e, por assim ser, interferem na

aprendizagem da matemática. Essa autora afirma que:

Os estudantes chegam à sala de aula com uma série de expectativas sobre como deve ser a forma que o professor deve ensinar-lhes matemática. Quando a situação de aprendizagem não corresponde a essas crenças se produz uma grande insatisfação que interfere na motivação do aluno (CHACÓN, 2003/2000, p. 67).

Para colhermos dados referentes às crenças dos alunos sobre a aprendizagem da

matemática, com o objetivo de detectar as barreiras de aprendizagem escolar nessa

disciplina, aplicamos o Instrumento III (em Anexos, p. 214). Este instrumento consta

de três questionamentos e foi aplicado no dia 25/02/2008 aos alunos da turma B. Na

tabela abaixo estão os aspectos que os estudantes destacam como prioritários em

suas concepções sobre aprender e saber matemática. Os questionamentos feitos

foram: Para você, o que significa aprender matemática? Por quê? Para você, o que

significa saber matemática? Por quê? Qual a sua melhor memória de matemática do

período passado? A ordem em que são colocadas as respostas é a mesma ordem

em que estão formuladas as perguntas acima. A análise da professora-

pesquisadora, dentro da tabela, está em itálico.

Obs.: a) Texto na integra com correção ortográfica e sem correção gramatical; b) Os alunos foram enumerados aleatóriamente, não há ordem alfabética; c) Será usado sempre o mesmo número e letra para o mesmo aluno.

102

ALUNA 1B

Quadro 10 - Respostas aluna 1B sobre matemáticaPara você, o que significa aprender matemática? Por quê?

Para você, o que significa saber matemática? Por quê?

Qual a sua melhor memória de matemática do período passado?

Aprender matemática é muito além de tirar boas notas em prova, mas sim, adquirir um conhecimento em que você tenha certeza que aprendeu.

Para ela a matemática não se restringe somente à aquisição de ferramentas e procedimentos básicos a serem usados em avaliações da matemática escolar. É aprender, é internalizar o conhecimento.

Saber matemática é você poder resolver os problemas, exercícios, etc... sem dificuldades. É você aprender a matéria e saber colocá-la em prática.

Se souber, sabe aplicar, sabe resolver problemas, exercícios e, como esclareceu posteriormente, não só problemas da matemática escolar, mas os que se apresentam também no cotidiano.

A melhor memória foi quando estudei geometria plana e trigonometria no triângulo retângulo, que foram as matérias em que o meu desempenho foi melhor.

Melhor memória ligada ao conteúdo que conseguiu aprender e colocar em prática na prova. Melhor memória ligada ao sucesso.

O que interpretei a respeito dessa aluna: A aluna valoriza a matemática e tem

consciência da sua qualidade e utilidade; acredita que o saber matemático é a

aquisição de competências e o desenvolvimento de habilidades a serem usadas

dentro e fora da escola. Saber é internalizar um conhecimento e colocá-lo em prática

quando for preciso.

ALUNA 2B




Significa conseguir entender a matéria explicada pelo professor e resolver os exercícios. Porque matemática não se aprende decorando, você tem que entender o que o professor explica e praticar a matéria para ter mais facilidade na hora da prova.

Se entender o que foi explicado e conseguir resolver os exercício, acha que aprendeu matemática. Informa a necessidade de treinar, praticar, para adquirir a agilidade de raciocínio necessária para quando for avaliada.

Saber matemática não basta conceituar a matéria dada, mas conseguir aplicá-la nos exercícios, pois só se aprende matemática praticando.

Saber matemático ligado à internalização de conceitos e prática de exercícios

Foi do primeiro semestre quando eu passei em matemática sem ficar de dependência e a matéria dada era geometria porque eu prefiro ela a função.

Memória positiva ligada ao sucesso que obteve em conteúdo que gosta. Afeto como um dos fatores determinantes da aprendizagem.

103

O que interpretei a respeito dessa aluna: A aluna acredita na necessidade de que a

matéria seja entendida de modo a proporcionar uma aprendizagem significativa e

não somente a aquisição do conhecimento de ferramentas, procedimentos e

conceitos matemáticos básicos. Identifica a matemática somente como disciplina do

currículo escolar. Destaca determinadas atitudes que considera relevantes para

acreditar que sabe matemática, como: saber conceituar a matéria, saber aplicar e

praticar nos exercícios. Assim, se chega ao saber matemático: entendimento,

aplicação nos exercícios e prática.

ALUNO 3B

Quadro 12 - Respostas aluno 3B sobre matemáticaPara você, o que significa aprender matemática? Por quê?



Significa você entender a matéria, ter poucas dúvidas, ter uma vida “social” que te ajude, não ter pressões. Porque é muito difícil você aprender na escola, mas em casa você irá conseguir realizar os exercícios dos livros. Além ainda se você morar longe de casa. ou se você tiver que pegar ônibus para ir à escola se você mora em outra cidade e vem para a escola em ônibus que gasta muito tempo na viagem.Ressalta o contexto sociocultural como fator importante para que a aprendizagem ocorra. Acredita que não aprende matemática na escola, mas que o aprendizado se dá realmente em casa através da resolução e prática dos exercícios.

É você saber a matéria, não ter dúvidas, significa você ser um bom aluno gostar da matéria e ter uma vida social que não te pressione para você saber. É você gostar da matéria e o professor sacar isso e te ajudar, incentivando.

Informa que quem sabe matemática sabe usar suas ferramentas, procedimentos básicos, com competência. Faz referência ao contexto sociocultural e ao campo afetivo como fatores que influenciam na aprendizagem, O professor deve ser sensível ao contexto sociocultural do aluno.

A parte de matemática que eu mais gostei foi a parte de exponencial, modular, porque a matéria era boa e não era tão chata como as outras, você ficava mais atento nas aulas.

Memória positiva, ligada a gostar, ligada a afeto e esse determinando a postura do aluno em relação ao aprendizado da disciplina.

O que interpretei desse aluno: Acredita que é mais fácil aprender matemática em

casa, praticando em vários livros. Na escola não consegue atribuir qualquer

significado ao que é ministrado na sala de aula. Mostra que o contexto social pode

servir de facilitador ou obstáculo para que a aprendizagem ocorra. Deixa claro que

104

para ocorrer a aprendizagem é necessária a intersecção de três conjuntos: cognitivo,

afetivo e sociocultural.

ALUNA 4B




Bom, para mim, aprender matemática é muito importante, pois nós precisamos dela desde a hora que levantamos da nossa cama até na hora que vamos dormir A matemática está em todos os lugares matemática não é só cálculos e expressões mas sim está integrada em nossa vida em geral.

A aluna valoriza a matemática e tem consciência de sua qualidade e utilidade. Reconhece a presença da matemática no cotidiano, fora dos bancos escolares.

Para mim, saber matemática é quando ela está em sintonia comigo e eu com ela, quando eu sei fazer os exercícios com uma certa facilidade quando eu sei o que o professor está falando ali na frente.

Se lida de modo descontraído com a resolução dos exercícios e se o que o professor explica tem significado para ela, então acredita estar sabendo.

Bom, a minha melhor memória são os conjuntos que eu aprendi com uma professora maravilhosa que foi a X Houve uma ótima sintonia com a matéria, soube fazer a maioria dos exercícios e acredito que essa matéria vai ficar guardada na minha memória por um bom tempo.

Os fatores afetivos atuaram como forças impulsionadoras da atividade matemática, e com isso, a aprendizagem (que é uma atividade mediada) se efetivou.

O que interpretei dessa aluna: No seu aprendizado de matemática, a parte afetiva

atua muito fortemente, determinando o contexto pessoal onde acontecem as

interações com o sistema cognitivo.

ALUNA 5B




Aprender matemática seria quando você vai pegar algum exercício para fazer e tem um grau maior de facilidade para a resolução das questões e não ficar pesquisando toda hora alguém ou algum exercício já resolvido.

É adquirir compreensão, autonomia, independência para resolver determinada questão

Ter uma certa segurança ao resolver exercício que o professor de matemática já havia passado ha algum tempo porque quem aprende a matemática nunca esquece.

O saber associado a internalização de conhecimentos. Associado ao guardar e reter algo na memória para usar quando for preciso.

A matéria do primeiro semestre (sobre geometria plana e espacial), porque foi uma matéria que eu gostei de estudar, e tive mais facilidade de aprender do que a do segundo que foi sobre funções.

Aqui a aluna informa que, por gostar de estudar geometria plana e espacial, obteve mais sucesso no seu aprendizado. O

105

Aprender é não ter que pesquisar buscando um procedimento que foi decorado e esquecido.

campo afetivo aparece como um dos fatores determinantes da aprendizagem.

O que interpretei dessa aluna: Essa aluna considera que aprendeu matemática

quando consegue identificar o tipo de problema, do método apropriado para resolvê-

lo e a aplicação correta desse método. Mostra também o campo afetivo como um

fator que a impulsiona para estudar (se gosta, estuda) e em decorrência vem o

sucesso.

ALUNO 6B




É saber desenvolver os cálculos e os problemas pedidos em uma questão ou até mesmo no dia-a-dia.

O aluno ressalta a idéia de que quando alguém aprendeu matemática, sabe usar, aplicar seus conhecimentos em cálculos. Destaca a utilidade da matemática: aprender matemática para resolver problemas dentro e fora da escola.

Entender os cálculos e equações. Saber interpretar. Porque é isso que eu entendo como “saber” matemática.

O aluno acha que uma pessoa sabe matemática quando possui a competência, (o domínio de ferramentas, procedimentos básicos) nessa matéria, Valoriza a interpretação das atividades matemáticas como uma etapa importante para que a aprendizagem aconteça.

Sobre trigonometria no triângulo retângulo.

Como esclareceu posteriormente, essa foi a matéria que ele mais gostou e melhor compreendeu. Mais uma vez na aprendizagem da matemática se mostra ligada ao campo afetivo.

O que interpretei desse aluno: Esse aluno tem consciência do valor e da utilidade da

matemática. O aprendizado da matemática é um meio para atingir uma meta que é a

resolução de problemas dentro e fora da escola

ALUNA 7B




Significa entender o que o professor diz, não ficar “voando nas aulas, gostar do que estou fazendo e do professor , me sentir igual aos meus colegas de classe, tirar notas boas nas

Significa saber fazer cálculos difíceis, saber todas as fórmulas necessárias para se resolver uma questão, estar preparado para testes surpresa; responder a todas as questões que o

Me lembro apenas da trigonometria, dos cálculos, da geometria plana e do fracasso do logaritmo.

A aluna posteriormente

106

provas dominar a matéria conseguir relacionar a matemática com minha vida cotidiana.

Ao usar o termo “dominar a matéria”, parece se referir a aquisição de conhecimento de ferramentas, procedimentos e conceitos matemáticos básicos. O aprender implica em gostar e na valorização pessoal possibilitando a sensação de pertencimento a determinado grupo; em reconhecer na “matemática da rua” a “matemática escolar”.

professor perguntar. Porque assim, você está inteiramente ligado e relacionado com a matéria ensinada.

Acredita que sabe matemática quando consegue a competência e desenvolvimento de habilidades para resolver cálculos difíceis; quando tem o domínio de ferramentas, procedimentos básicos nessa matéria, É estar sempre confrontando, utilizando a matéria ensinada e nunca ser “pegada” de surpresa em alguma questão que não saiba resolver.

esclareceu não ter melhor memória em matemática, e que somente se lembra de alguns conteúdos estudados, e se lembra muito bem do fracasso em logaritmo.

O que interpretei dessa aluna: A aluna valoriza e tem consciência da qualidade e

utilidade da matemática. É importante ressaltar o valor que essa aluna da a

concepção de matemática como meio para alcançar uma meta: “se sentir igual aos

colegas” e aos afetos: gostar da matéria e do professor.

ALUNO 8B




Aprender matemática consiste em um estudo profundo e amplo a respeito de cálculos que muitas vezes facilitam o cotidiano porque a matemática abrange desde cálculos simples ligados a área, localização, comparações, até cálculos complexos como intervalos e expressões.

Aprender matemática para ele se constitui no desenvolvimento de habilidades e competências de modo, a saber utilizar cálculos em situações que possam favorecer as necessidades impostas no cotidiano.

Significa encontrar as respostas para coisas que irão facilitar o cotidiano como calcular a área de um terreno para poder construir sem precisar fazer consultas ou utilizar instrumentos mais complexos, ou seja, não adianta saber e não saber empregar.

Valoriza o saber matemático como meio para atingir uma meta: facilitar a vida no cotidiano fora da escola.

Áreas (percebe-se, falei o tempo todo de áreas) pois é uma parte da matemática na qual já tinha estudado muito, sozinho, para fazer o processo seletivo do CEFETES, então foi só revisão.

Melhor memória ligada ao sucesso na aprendizagem

107

O que interpretei desse aluno: O aluno valoriza e tem consciência da qualidade e

utilidade da matemática, uma vez que o saber matemático implica em independência

intelectual, autonomia para agir em questões do cotidiano, que envolvam cálculos.

ALUNO 9B




Aprender a matéria que vai influenciar na minha vida. Pretendo fazer Engenharia Civil e como em vários outros cursos, a matemática é muito importante.

Aprender matemática é para ele um meio para atingir uma meta: utilizar na futura profissão.

Progredir na vida pois tudo na vida exige um mínimo de matemática Chegar ao fim do CEFET-ES, vestibular e faculdade tudo depende da matemática.

Valoriza o aspecto utilitário da matemática e destaca algumas conquistas que precisam do conhecimento da matemática para se efetivarem.

Seqüências. É uma matéria fácil e legal de aprender.

Melhor memória ligada a um conteúdo onde o campo afetivo atuou como força motriz para promover a aprendizagem.

O que interpretei desse aluno: O aluno tem consciência da qualidade e utilidade da

matemática. É uma ferramenta que vai utilizar em sua futura profissão.

ALUNA 10B




Eu começo a pensar que eu estou aprendendo quando eu entendo o que o professor fala, pois se eu não estiver entendendo, eu não aprendo.

A aluna sabe que está aprendendo, quando é capaz de entender, quando consegue atribuir significado ao que o professor fala.

É você saber o que envolve a sociedade, pois o nosso pais gira em torno do capitalismo. É quando eu consigo resolver exercícios.

Se souber matemática então é capaz de compreender os diversos mecanismos não somente da sociedade capitalista mas também dos exercícios escolares.

Lembro-me de exponencial. Foi uma matéria que eu tive facilidade em aprender, ela é muito clara com o que tem que fazer.

Melhor memória associada a melhor desempenho, maior clareza e maior satisfação na aprendizagem do conteúdo.

O que interpretei dessa aluna: Para ela o aprendizado da matemática acontece por

meio da observação e compreensão de como o professor utilizou ferramentas,

108

procedimentos e conceitos matemáticos básicos. A aluna reconhece o valor e a

utilidade da matemática ao constatar que ela é necessária dentro e fora da escola.

ALUNA 11B




Aprender matemática não é apenas aprender os cálculos. O professor tem que fazer momentos de descontração e explicar a matéria mais detalhadamente para que a aula não fique cansativa e de difícil entendimento.

A aluna faz referência a uma característica necessária ao professor: explicar a matéria mais detalhadamente de modo que ela possa aprender e assim se sentir motivada e interessada na aula.

Para mim, saber matemática é essencial, pois apesar das dificuldades ela é mais que necessária tanto no trabalho, na escola, como em nosso dia-a-dia.

Reconhece a presença, valor e utilidade da matemática em todos os ambientes.

Minha melhor memória é sobre conjunto. Do segundo período, não lembro de quase nada. Lembro mais de conjunto porque eu realmente aprendi a matéria. Já os outros assuntos eu não aprendi totalmente. E apesar de ter sido aprovada no 1º semestre eu assisti às primeiras aulas de dependência da minha turma que falou sobre conjunto e isso fez com que eu fixasse bem a matéria.

A aluna, estando no 3º período, tem como melhor memória um conteúdo do 1º período, no qual obteve sucesso. Informou que embora não estivesse em dependência, fez questão de assistir as aulas nessa turma e isso contribuiu para melhorar o aprendizado.

O que interpretei dessa aluna: A aluna valoriza e tem consciência da qualidade e

utilidade da matemática. Aprender matemática vai além de saber usar as

ferramentas e procedimentos básicos dessa disciplina em cálculo. Valoriza o

ambiente que se forma na sala de aula e a clareza na explicação do professor. A

interação entre alunos e professores durante a aula deve ocorrer em ambiente de

descontração.

ALUNO 12B




Significa seguir em frente, porque se não aprender, não vai para o nível seguinte, é quase

Significa ser bem sucedido, pois as melhores profissões do mercado são totalmente

Da 1ª prova; que tirei nota acima da média.

109

obrigatório.

O aluno esclareceu que a matemática é muito importante tanto para “seguir em frente” na vida como para passar de ano na escola. Mostra que tem consciência da utilidade dessa disciplina.

dependentes da matemática.

Saber matemática para alcançar uma meta: ser alguém diante de alguém.

Lembrança positiva, ligada a sucesso, a valorização pessoal.

O que interpretei desse aluno: O aluno tem consciência da utilidade dessa disciplina.

A matemática parece ser a condição primeira para obter sucesso no futuro,

independente da carreira que irá seguir. Parece ser algo prescritivo por meio do qual

as metas serão atingidas.

Crenças dos alunos sobre a natureza da matemática a partir da prática de ensino de seus professores

Usamos o Instrumento IV (em Anexos, p. 215) composto por alguns

questionamentos e metáforas. As metáforas com a finalidade de auxiliar para

depreensão de crenças sobre a natureza da matemática, percebidas pelos alunos

na prática de ensino de seus professores. Os alunos responderam aos

questionamentos feitos a partir de suas observações de como seus professores

ensinaram matemática no período passado, ou seja, de como agiam na prática de

sala de aula. As questões propostas: Qual a imagem de matemática que seu

professor passou para você no período passado? Qual animal você acha que seu

professor do período passado vai responder ao ser questionado sobre essas duas

questões: Se a matemática fosse um animal, qual seria? Por quê? Qual animal a

matemática nunca seria? Por quê? Para o seu professor do período passado, o que

era realmente matemática? foram formuladas com base em leituras de textos sobre

metáforas, escritos por Olive Chapman e analisadas à luz de Paul Ernest, Alba

Thompson e Gómez Chacón. Nas tabelas abaixo, a ordem em que são colocadas as

respostas é a mesma ordem em que estão formuladas as perguntas acima. A

análise da professora-pesquisadora, dentro da tabela, está em itálico.

110


ALUNA 1B

Quadro 22 - Respostas aluna 1B que envolvem crenças sobre matemática implícita nos professoresQual a imagem de matemática que seu professor passou para você no período passado?

Qual animal você acha que seu professor do período passado vai responder ao ser questionado sobre essas duas questões: Se a matemática fosse um animal, qual seria? Por quê? Qual animal a matemática nunca seria? Por quê?

Para o seu professor do período passado, o que era realmente matemática?

Foi uma imagem relativamente boa. Ele esclarecia todas as dúvidas. Talvez tenha faltado um pouco de interesse da minha parte.

Idéia de que o ensino da matemática se dá por transferência de informação do professor ao estudante.Idéia de um ensino feito de forma essencialmente prescritiva.

Um gatinho porque tudo era para ele “moleza” e ele se dava muito bem com a matemática.

Idéia de domínio de procedimentos e métodos usados em matemática.

Um leão porque ele não achava a matemática tão complexa e voraz, como nós alunos achamos.

Idéia de uma disciplina exata, livre de interpretações conflitantes.

Era uma forma de estar interagindo com o mundo, levando em conta que tudo está relacionado com a matemática.

Valorização e consciência de sua qualidade e utilidade.

O que essa aluna informou: Que o professor passou a imagem de uma matemática

instrumental e que ela não se sentiu motivada para aprendê-la.

ALUNA 2BQuadro 23 - Respostas aluna 2B que envolvem crenças sobre matemática implícita nos professoresQual a imagem de matemática que seu professor passou para você no período passado?



Que a matemática era muito difícil, quase que impossível tirar nota azul.

Idéia de que a matemática é bem complexa e de que ela não seria capaz de aprender. Idéia de que a matemática é para seres inteligentes ou para seres esforçados.

Um macaco porque ele é esperto.

Idéia de que tem que ser esperto como ele para poder aprender matemática.

Um burro porque ele é lerdo, não acompanha os mais rápidos e espertos.

Idéia de quem não é esperto nem ligeiro, não aprende matemática.

Era muito esforço e prática.

Idéia de que seu aprendizado se dá por repetição e memorização. A atividade matemática é como uma calistenia mental.

111

O que essa aluna informou: O professor passou a idéia de uma matemática

instrumental e a aluna considerou seu aprendizado um obstáculo intransponível.

ALUNO 3B

Quadro 24 - Respostas aluno 3B que envolvem crenças sobre matemática implícita nos professoresQual a imagem de matemática que seu professor passou para você no período passado?



Passou uma imagem enjoada, chata, da matemática. Ele não fazia nada diferente na sala. Sendo assim, a aula ficava enjoada.

Idéia de que o professor seguia estritamente o texto ou esquema. Idéia de que a matemática oferece poucas oportunidades para o trabalho criativo, Idéia de uma preocupação com o aspecto diretivo do ensino, de uma menor interação possível com o aluno.

Águia, porque é esperta e ágil. A matemática é uma matéria difícil então você tem que ter uma certa atenção tem que ser muito esperto.

Idéia de que a matemática é um obstáculo a ser vencido com atenção e esperteza.

Cavalo, porque não é esperto. Na matemática você tem que ter o máximo de atenção possível, você não pode deixar passar nenhum detalhe.

Idéia de que se errar algo erra tudo.

Uma coisa gostosa de se aprender e ensinar uma coisa divertida.

O professor gostava da matemática e gostava de ensiná-la.

O que esse aluno informou: respostas aparentemente contraditórias. Pois o

professor achava a matemática gostosa, divertida e a ensinava de modo chato,

enfadonho. O professor passou a idéia de uma matemática instrumental e o aluno

não teve uma reação emocional favorável ao seu aprendizado, não se sentindo

motivado para aprendê-la.

ALUNA 4B




Ele me passou uma grande dificuldade na matemática, me passou um grande medo de matemática, que a matemática é muito difícil.

Um pássaro porque é boa e simpática. Para ele a matemática é simples.

Idéia de uma matemática fácil e livre de ambigüidade e interpretações

Uma coisa simples, sem dificuldade, para meu professor, tudo é fácil.

Idéia de uma

112

Idéia de uma matemática complexa, Idéia de obstáculo difícil de ser ultrapassado.

conflitantes.

Uma tartaruga porque para ele, como a matemática é simples, ela também seria rápida.

Idéia de que quem sabe matemática é rápido nas resoluções das atividades.

matemática exata e certa.De um conteúdo imutável e já dominado por seu professor.

O que essa aluna informou: O professor parecia lidar facilmente com a matemática,

mas passou a idéia de uma matemática difícil, complexa. A aluna teve uma reação

emocional negativa e seu aprendizado se constituiu num grande obstáculo.

ALUNA 5B




Passou a imagem que já estávamos esperando: que na matemática temos que fazer um esforço muito grande, estudar muito porque se tem uma facilidade ou uma dificuldade enorme.Idéia de um ensino prescritivo;de que seu aprendizado requer esforço.

Leão, porque é difícil de se domar.

Idéia de uma coleção de regras e procedimentos a serem aprendidos. Idéia de complexidade da matemática.

Gato, porque ela nunca será serena, mansa como um gatinho.

Idéia de que não associa calma e tranqüilidade a essa disciplina.

Uma arte com uma história fantástica.

Idéia de que o professor valorizava a história da matemática ao longo dos séculos.

O que essa aluna informou: Que o professor passou a idéia de uma matemática

instrumental e que nem todos obteriam sucesso. Idéia de que só alguns

aprenderiam matemática.

ALUNO 6B




113

Não muito boa, pois era meio chato e não gostava de mim.

Acreditava que o professor não gostava dele e ele também não conseguiu ter uma imagem positiva desse professor. Os afetos interferindo na aprendizagem da matemática escolar, funcionando como mediador nas relações com os outros e um elemento-chave da auto-regulação da aprendizagem em sala de aula.

Barata porque é fácil de esmagar

É fácil “acabar” com a matemática. Ela não constitui obstáculo intransponível. Acredita que para seu professor do período passado a matemática já está dominada.

Cachorro porque é amigo do homem.

Idéia de que seu professor não tem uma relação amistosa com a matemática; idéia de que a matemática não é uma aliada de seu professor.

Não sei, para falar a verdade.

Desconhece a concepção do professor sobre a natureza, ensino e aprendizagem da matemática.

O que esse aluno informou: A parte emocional não permitiu que o aluno percebesse

com clareza quem era realmente seu professor.

ALUNA 7B




Que só tem futuro no ramo as pessoas nerd`s e que já nasceram com o cérebro calculando.

Idéia de que somente seres inteligentes aprendem matemática. Idéia de um ensino prescritivo e que nem todos assimilariam.

Camelo porque ela absorve tudo e libera nas horas necessárias.

Idéia de que a matemática é um acúmulo de conhecimentos para serem aplicados em determinadas situações. Idéia de conteúdo imutável.

Gambá porque fede e todo mundo tem horror.

Idéia de que a matemática nunca vai despertar uma aversão, uma reação emocional negativa no seu professor.

Uma matéria a ser estudada com muito afinco e dedicação.

Idéia de que se aprende matemática praticando, exercitando procedimentos.

O que essa aluna informou: O professor tinha uma concepção instrumental da

matemática. Idéia de que para ser bom em matemática tem que ter uma pré-

disposição genética.

ALUNO 8B

114




Que a matemática é para poucos, é para quem nasce com o “dom da inteligência”.

Idéia de que somente pessoas inteligentes aprendem matemáticas. Para ser bom em matemática tem que ter uma pré-disposição genética. Idéia de um ensino prescritivo que nem todos seriam capazes de assimilar.

Elefante porque é grande e antigo.

Idéia de acúmulo de grande quantidade de regras e procedimentos. Idéia de uma matemática ancestral.

Beija-flor porque a matemática nunca regressa, só anda pára frente, ao contrário do beija-flor.

Idéia de linearidade. Idéia de seqüência dos conteúdos.

Era algo que estava presente em tudo, e em qualquer profissão.

A proposta primeira da matemática é servir como ferramenta para a ciência e outros campos da atividade humana.

O que esse aluno informou: O professor tinha uma concepção instrumental da

matemática, revelada em aspectos que valorizava como: acúmulo de fatos, regras e

procedimentos, se constituindo em algo enorme, pesado como um elefante, idéia de

linearidade, idéia de seqüência nos conteúdos.

ALUNO 9B




Que mesmo que você saiba matemática, você não passa de período.

Idéia de um obstáculo intransponível. Passou uma imagem de que a reprovação seria inevitável.

Coelho porque é veloz.

Crença que para aprender matemática tem que ser veloz.

Leão porque dá medo.

O professor não teme a matemática. Idéia do domínio de procedimentos e métodos usados em matemática.

Era uma coisa muito bonita.

Idéia de que o professor gostava e admirava a matemática

O que esse aluno informou: Seu professor tinha uma crença de que para aprender

matemática é preciso ser ligeiro e dominar ferramentas matemáticas. Idéia de que

ele (o aluno) não seria capaz de obter sucesso nessa disciplina.

115

ALUNA 10B




Uma coisa muito estranha, cheia de história... enigmas...

Idéia confusa. Idéia de uma matemática sem significado.

Idéia de procedimentos matemáticos desconectados. Idéia de que o professor não encorajava o aluno a raciocinar e questionar para esclarecer dúvidas. Idéia de ensino prescritivo.

Gatinho porque é muito fácil de lidar.

Idéia de uma matemática fácil e livre de ambigüidade e interpretações conflitantes.

Um bicho de duas cabeças porque para ele não é complicado.

O professor não teme a matemática. Idéia do domínio de procedimentos e métodos usados em matemática.

Uma coisa mágica.

Idéia de que o professor tinha tamanha facilidade em saber onde e quando aplicar determinado procedimento matemático que, aos seus olhos, parecia estar fazendo mágica. Ela não via nenhuma lógica naquilo.

O que essa aluna informou: Idéia de que a matemática era uma tábua com

hieróglifos que só ele era capaz de decifrar. Podemos acreditar que o professor

possuía uma visão instrumental da matemática

ALUNA 11B




No 2º período foi passada uma imagem complicada e confusa da matemática.

Idéia de dificuldade e complexidade associada a matemática. Idéia de uma matemática sem significado, sem sentido, desconexa. Idéia de ensino prescritivo; Idéia de que não encorajava a aluna a raciocinar e questionar para esclarecer dúvidas.

Gatinho porque é indefeso, tranqüilo e ele dizia que matemática era moleza.

Idéia de domínio de procedimentos e métodos usados em matemática.

Um tigre porque para ele matemática é calma e não feroz.

O professor não teme a matemática. Idéia do domínio de procedimentos e métodos usados nessa disciplina.

Aprendizado.

Idéia de que o professor valorizava o aprendizado

116

O que essa aluna informou: que embora seu professor do período passado não

encorajasse seus alunos a questionar, a argumentar, e mesmo não atribuindo

sentido ao que ele ensinava, é capaz de reconhecer que ele se empenhava para

que houvesse aprendizagem.

ALUNO 12BQuadro 33 - Respostas aluna 12B que envolvem crenças sobre matemática implícita nos professoresQual a imagem de matemática que seu professor passou para você no período passado?



Que eu não ia ganhar dela no final do semestre; e foi o que aconteceu.

Idéia de obstáculo intransponível que o levaria a reprovação na disciplina. Idéia de ensino prescritivo.

Um cachorro porque seria o melhor amigo dele.

Idéia de que gosta da matemática e idéia de domínio de procedimentos e métodos usados nessa disciplina.

Um leão porque nunca teria medo e problemas com ela.

Idéia de uma relação segura e harmônica com a matemática.

Fórmulas cálculos e respostas certas.

Valorizava o domínio desses procedimentos matemáticos.

O que esse aluno informou sobre seu professor do período passado: Idéia de que

valorizava o domínio de regas, fórmulas e procedimentos matemáticos de modo a

usá-los adequadamente e assim obter respostas certas. O professor possuía uma

visão instrumental da disciplina.

117

Crenças que os alunos possuem sobre a natureza da matemática

Com as metáforas do Instrumento V (em Anexos, p. 215), pudemos depreender

algumas crenças que os alunos possuem sobre a natureza da matemática a partir

das experiências deles como alunos. Com o objetivo de saber qual a visão da

filosofia da matemática em que as crenças de cada um desses alunos estão

arraigadas, fizemos, a partir de leituras de textos de Olive Chapman, os seguintes

questionamentos: A matemática para você é como? Se a matemática fosse um

animal, qual seria? Por quê? Qual animal a matemática nunca seria? Por quê?

Esses questionamentos foram analisados à luz de Paul Ernest, Alba Thompson e

Gómez Chacón. Nas tabelas abaixo, a ordem em que são colocadas as respostas é

a mesma ordem em que foram formuladas as perguntas acima. A análise da

professora-pesquisadora, dentro da tabela, está em itálico.


ALUNA 1B

Quadro 34 – Resposta da aluna 1B para as metáforas sobre sua visão da natureza da matemáticaA matemática para você é como?

Se a matemática fosse um animal, qual seria? Por quê?

Qual animal a matemática nunca seria? Por quê?

Novelo de lã. Por quê? Porque quanto mais a gente desenrola o novelo, mais linha aparece . A matemática também é assim... Quanto mais a desvendamos, mais assuntos irão surgindo.

Idéia de um conteúdo fixo e predeterminado. Idéia de que a matemática já existe e que só se dá a conhecer. Idéia também de ligação entre os diversos conteúdos.

Seria um leão. Por quê? Porque quando ele não é domado, ele se torna muito traiçoeiro. Mas quando ele é domado, seu domador tem total controle sobre ele. É como a matemática: sabendo domá-la, ela torna-se mais simples do que imaginamos.

O domador sabe quais instrumentos e que procedimentos deve usar para conter o leão nas diversas reações que ele possa ter. Poderia pensar em ter o domínio dos fatos, regras ou procedimentos e dependendo de como a situação se apresentasse aplicá-los corretamente.

Um gato Por quê? Porque quando você vê um gato você tem boa impressão dele, principalmente por causa da aparência. Ao contrário da matemática, que de início, quando você lê um problema ou algo parecido, você logo acha que aquilo é impossível de resolver.

A primeira reação é sempre de impotência e de fracasso frente à matemática. Possui uma visão negativa dessa disciplina.

118

O que interpretei dessa aluna: A matemática é um corpo de conhecimento que aos

poucos vai sendo desvelado conforme seus conteúdos vão sendo estudados.

Reconhece uma ligação entre eles e para trabalhar com esses conteúdos é preciso

conhecer fatos, regras ou procedimentos e saber aplicá-los convenientemente. Sua

primeira reação frente à matemática é de impotência e fracasso.

A aluna, ao fazer suas colocações, parece assinalar para o que Paul Ernest, Alba

Thompson e Gómez Chacón denominam de Visão platônica da matemática.

ALUNA 2B

Quadro 35 - Resposta da aluna 2B para as metáforas sobre sua visão da natureza da matemáticaA matemática para você é como?



Um carretel. Porquê? Porque só se chega à outra ponta, se pegar o começo e a matemática é, uma seqüência.

Idéia de que os conteúdos estão interligados. .Idéia de um conteúdo fixo, predeterminado e que aos poucos vai sendo desvelado.

Uma raposa. Por quê? Você tem que ser esperto como ela, porque se dormir no ponto, na frente você não consegue acompanhá-la.

Qualquer informação perdida vai fazer falta no futuro, ou seja, poderá comprometer a compreensão dos conteúdos futuros.

Um bicho preguiça. Por quê? Porque se você é lento e tem preguiça de fazer os exercícios não tem como aprendê-la e fixá-la.

Tem a idéia de que o aprendizado da matemática se dá por meio da prática e memorização.

O que interpretei sobre essa aluna: A matemática é um corpo de conhecimento e

seus conteúdos constituem uma seqüência de informações onde nenhuma delas

pode ser perdida. Que o aprendizado da matemática se dá através da prática e

memorização.

A aluna, ao fazer suas colocações, parece assinalar para o que Paul Ernest, Alba

Thompson e Gómez Chacón denominam Visão platônica da matemática.

ALUNO 3BQuadro 36 - Resposta do aluno 3B para as metáforas sobre sua visão da natureza da matemáticaA matemática para você é como? Se a matemática fosse um

animal, qual seria? Por quê?Qual animal a matemática nunca seria? Por quê?

Um jogo de baralho Por quê? Porque quando você está ganhando “aprendendo” é ótimo, mas já quando você perde “não aprende”, é ruim a matéria fica chata e você não tem mais a mesma vontade de aprender.

No jogo de baralho você usa as

Uma baleia. Por quê? Por causa da sua inteligência, memória e esperteza.

Reconhece o valor e a importância da matemática.

Um pardal. Por quê? Um pardal não tem muita inteligência, esperteza, e a matemática é uma matéria que você tem que ter uma inteligência, você tem que ter uma “malícia” para resolver os problemas, os exercícios propostos.

119

cartas que lhe são dadas. Na matemática você usa os fatos, regras e procedimentos que conhece para resolver uma atividade.Se você obtém a resposta certa fica motivado a continuar e caso contrário, desiste. Sua reação frente a matemática é emocional, determinada pelo sucesso ou pelo fracasso nessa disciplina.

Aqui “malícia” está no sentido de vivacidade e esperteza para descobrir o “caminho certo” para chegar ao resultado.

O que interpretei sobre esse aluno: Disciplina em que as características essenciais

são inteligência, memória, esperteza. Que posso ou não resolver uma determinada

atividade dependendo do conhecimento que tenho em mãos e da malícia para

aplicá-los.

O aluno, ao fazer suas colocações, nos assinala para o que Paul Ernest e Alba

Thompson denominam Visão instrumental da matemática. Essa mesma visão

filosófica da matemática é chamada por Gómez Chacón de Visão utilitária.

ALUNA 4B




Um céu infinito que nunca tem fim Porquê? Porque sempre tem alguma coisa para aprender a mais.

É como se nunca pudesse conhecê-la por inteiro devido a sua vastidão

Um tigre Por quê? Porque a matemática é poderosa e perigosa, misteriosa e qualquer hora ela pode te pegar desprevenida.

Posso não saber como lidar com ela em determinadas situações.

Uma tartaruga. Por quê? A matemática é rápida e veloz. Ela é bem analítica e capaz.

Associa matemática a análise, a rapidez, a competência.

O que descobri sobre essa aluna: Depreende-se a idéia de que o extenso campo de

abrangência da matemática faz com que seja impossível para uma pessoa

compreendê-la completamente. Pelo bicho que usou na segunda metáfora e pela

explicação que deu, percebemos o quanto é negativa a imagem que possui dessa

disciplina. Podemos pensar numa matemática covarde e dissimulada.

Suas colocações, parecem assinalar para o que Paul Ernest, Alba Thompson e

Gómez Chacón denominam Visão platônica da matemática.

120

ALUNA 5B




Um jogo. Por quê? Porque sempre temos que brincar com os números.

“A aplicação de fórmulas na resolução de exercícios é uma brincadeira que fazemos com os números”. Essa interpretação foi dada pela própria alunaParece que o “jogo” é tão difícil que as regras só podem ser brincadeiras.

Leão. Por quê? Porque é difícil de se domar, mas depois de domado, continua um pouco difícil, mas você tem mais facilidade.

Matemática como algo difícil de ser aprendido. Nunca consegue dominar por inteiro um conteúdo. Acredita no domínio de fatos, regras, procedimentos matemáticos para domar esse animal que é a matemática.

Borboleta. Por quê? Porque ela nunca vai ser calma e serena que as pessoas nunca encaram com tranqüilidade a matemática.

Para ela, tranqüilidade, calma e serenidade não combinam com matemática. A matemática provoca uma reação emocional negativa na aluna.

O que interpretei sobre essa aluna: Percebe a matemática como um jogo, um

conjunto de regras e fatos desconectados e de difícil compreensão. Sua reação

emocional frente à matemática não é confortável.

A aluna, ao fazer suas colocações, parece assinalar para o que Paul Ernest e Alba



ALUNO 6B

Quadro 39 - Resposta do aluno 6B para as metáforas sobre sua visão da natureza da matemáticaA matemática para você é como?



TELETUBIES. Por quê? Porque por mais que eu possa ficar o dia todo vendo, eu não consigo gostar do negócio.

Reação negativa frente à matemática ao dizer que não gosta. Depreende-se uma visão instrumental devido a posição assumidamente de espectador ao declarar: ”ficar o dia todo vendo”.

Uma barata. Por quê? Assim eu poderia esmagá-la.

Se pudesse eliminaria a matemática..

Um cachorro. Por quê? Ele é amigo do homem. Não tem uma boa receptividade para com a matemática. Acredita que nunca veria essa disciplina com “bons olhos”.

O que descobri sobre esse aluno: A segunda e a terceira metáforas nos indicam que

o aluno não gosta de matemática. Seu comportamento assumidamente passivo

121

frente a essa disciplina é uma característica de quem concebe a matemática como

um conjunto de fatos, regras e habilidades totalmente desconexas e completamente

sem sentido.

O aluno, ao fazer suas colocações, parece nos assinalar para o que Paul Ernest e

Alba Thompson denominam Visão instrumental da matemática. Essa mesma visão


ALUNA 7B




Um “jogo da velha”. Porquê? Porque você nunca sabe se vai vencer ou não.

Nunca sei como devo proceder. Cada etapa é uma incógnita.Idéia de que tem uma atitude de espectador ao lidar com essa disciplina.

Cobra. Por quê? Porque a matemática é venenosa e perigosa como uma cobra. Sua picada pode ser mortal.

Se não me dou bem na matemática, posso ficar reprovada e isso acaba com minha carreira escolar. É como a cobra venenosa, que pode acabar com a gente, nos picando. Essa foi a explicação dada pela aluna.

Gatinho. Por quê? Porque um gatinho todo mundo acha bonitinho e um gato não é traiçoeiro como a matemática.

Tem uma reação emocional negativa para com a matemática. Parece que não usa as ferramentas matemáticas de forma consciente e por isso não se sente segura.

O que interpretei sobre essa aluna: Parece que a matemática é vista como acúmulo

de fatos, regras e habilidades a serem usadas de forma mais ou menos

inconsciente. A imagem ruim que possui da matemática esta revelada na cobra

(segunda metáfora) e na terceira metáfora (nunca seria um gato): e nos leva a

acreditar em uma disciplina nociva, covarde e dissimulada. Sua reação é negativa

frente à matemática.



filosófica da matemática é chamada por Gómez Chacón de Visão utilitária da

matemática.

122

ALUNO 8B




A estação espacial internacional Por quê? Porque só cresce com o decorrer do tempo e adquire funções em ramos diferentes. De soma e subtração passa a ter multiplicação e divisão, depois incógnitas e mais, e mais.

A matemática é produto da invenção humana e sofre acréscimos conforme a humanidade evolui. Como ele mesmo (o aluno) explicou, a matemática é um corpo que a toda hora são anexados outros.

Uma baleia azul. Por quê? Porque é muito grande e a baleia alimenta de plânctons (que são pequenos) e a matemática acaba só com os fracos e oprimidos.

A importância que da matemática é revelada ao compará-la ao maior animal existente no planeta. Podemos também pensar em algo muito grande, pesado e que destrói. Parece acreditar que a matemática é para seres inteligentes

Uma formiga. Por quê? É pequena e não mete medo.

Reconhece a importância e a utilidade da matemática, nunca a comparando com a formiga que pode passar despercebida.

O que interpretei sobre esse aluno. Idéia de uma matemática que cresce por

justaposição. Idéia de uma matemática imensa, sempre presente, pesada,

enfadonha e que mete medo. Uma disciplina que destói quem não é inteligente.

Suas colocações parecem assinalar para para o que Paul Ernest e Alba Thompson

denominam Visão instrumental da matemática. Essa mesma visão filosófica da

matemática é chamada por Gómez Chacón de Visão utilitária da matemática.

ALUNO 9B




A Terra. Por quê? Porque dá voltas, parece igual a cada dia mas também parece mudar. Mudam os problemas, mas as ferramentas para resolve-los são as mesmas. .

Rato Por quê? Porque é fácil de matar se você tiver tempo.

A matemática não o assusta. Acredita que pode “destruir” a matemática se tiver tempo para se dedicar a ela.

Cachorro Por quê? Porque cachorro que late não morde.

Pode parecer um obstáculo, mas não é.

O que interpretei sobre esse aluno. A matemática deixa de ser um obstáculo se tiver

tempo para exercitá-la, uma vez que os problemas podem ser diferentes, mas as

ferramentas para resolvê-los são as mesmas. Idéia de uma matemática repetitiva.

123

O aluno, ao fazer suas colocações, parece assinalar para o que Paul Ernest e Alba



matemática.

ALUNA 10B




Muito complicada Por quê? Porque eu não consigo entender.

A matemática é para ela um grande obstáculo. Algo muito confuso, que não consegue atribuir significado.

Cobra de duas cabeças Por quê? Porque é muito complicada.

Não sabe nem por onde começar a lidar com essa disciplina.

Gatinho Por quê? Porque ela é muito difícil de se lidar, de entender, etc.

Confirma a idéia de obstáculo.

O que descobri sobre essa aluna: Possui uma imagem ruim da disciplina

matemática. Para ela a matemática é algo muito confuso, difícil e complicado. Não

consegue atribuir significado aos conteúdos ministrados em sala de aula. Não

consegue aprender matemática.




matemática.

ALUNA 11B




Escovar os dentes. Por quê? É necessária.

Idéia de algo prescritivo,

repetitivo.

Tigre Por quê? Porque é difícil enfrentá-lo.

É difícil superar esse obstáculo que é a matemática. Idéia de que não possui instrumentos para enfrenta-la. Idéia de que não domina regras, procedimentos matemáticos básicos para enfrentar esse tigre que é a matemática.

Um gatinho Por quê? Porque ele é muito mansinho.

A matemática não é tranqüila, não “passa a imagem” de tranqüilidade que um gato é capaz de passar.

124

O que descobri sobre essa aluna. Reconhece o valor e a utilidade da matemática.

Para essa aluna a matemática é um grande obstáculo. Concebe essa disciplina

como algo prescritivo, repetitivo e necessário

A aluna, ao fazer suas colocações, nos parece assinalar para o que Paul Ernest e

Alba Thompson denominam Visão instrumental da matemática. Essa mesma visão


matemática.

ALUNO 12B




É como tomar um remédio. Por quê? porque por mais ruim que seja, é necessário para melhorar. Matemática como um conhecimento prescritivo. Embora não goste de matemática, reconhece seu valor e utilidade como meios para progredir.

Um rato. Por quê? Porque eu não gosto de ratos.

Reação negativa para com a matemática. Não gosta de matemática.

Um cachorro. Por quê? Porque se fosse eu não teria um cachorro

Gostaria de nem ver a matemática.

O que descobri sobre esse aluno Reconhece o valor e a utilidade da matemática

uma vez que a concebe como “um mal necessário”. Tem a matemática como um

conhecimento prescritivo e determinístico.

O aluno, ao fazer suas colocações, assinala para o que Paul Ernest e Alba



matemática.

125

Crenças dos alunos sobre o papel dos professores na aprendizagem e metodologia

Com o instrumento VI (em Anexos, p. 216), pudemos destacar algumas crenças

dos alunos sobre o papel dos professores na aprendizagem e metodologia. Os

questionamentos foram aplicados no sentido de saber das experiências anteriores,

ou seja, das “marcas” deixadas por professores do passado, bem como saber do

papel que esses alunos atribuem ao professor de matemática de uma maneira

global e também de modo particular, sendo ele mesmo (o aluno) sujeito do

processo. As respostas dadas obedecem à respectiva ordem em que estão

colocadas as perguntas: Meus professores de matemática do colégio...................,

Um bom professor de matemática deveria................... , O melhor que um professor

de matemática pode fazer por mim é................... .A análise da professora-pesquisadora, dentro da tabela, está em itálico.


ALUNA 1B

Quadro 46 - Crenças da aluna 1B sobre o papel dos professores na aprendizagem e metodologiaMeus professores de matemática do colégio...................,

Um bom professor de matemática deveria...................

O melhor que um professor de matemática pode fazer por mim é.....

A matéria era explicada, mas nem todos esclareciam suas dúvidas. A matéria era muito decorada e não aprendida.

Não levava em conta a diversidade de estudantes em sala de aula, uma vez que nem todos aprendiam. Priorizavam a fixação de regras e procedimentos. Por não conseguir atribuir um significado ao que aprendia, não era sujeito de seu próprio processo de aprendizagem.

Ter mais paciência e diminuir o ritmo em que explica a matéria, para que todos consigam acompanha-lo.

A aluna quer compreender, entender o que o professor faz. Quer aprender. Faz referencia a aspectos relacionados a dimensão afetiva como:“Ter mais paciência”

Fazer com que eu passe de ano sabendo a matéria.

O melhor que um professor poderia fazer por ela é que combinasse aprendizagem e aprovação.

O que concluí dessa aluna: Professores como transmissores de conhecimentos e

especialistas em conteúdos, cabendo ao aluno esforçar-se para compreender tudo

126

aquilo que eles transmitem. A aluna refuta o tipo de ensino recebido. Quer aprender

e não decorar a matéria.

ALUNA 2B




Polivalente. O professor sempre priorizou o raciocínio. Quando ele explicava a matéria ele nunca ia direto para a fórmula, ele explicava de onde ela vinda (deduzia) e explicava como usá-la.

O aluno tinha uma atitude passiva quando o professor deduzia a fórmula no quadro e a seguir ele ensinava como aplicá-la, de modo que a memorizassem.

Dar prova que faça o aluno raciocinar e valorizar seus cálculos, e não dar provas muito difíceis em que o aluno não consiga fazer nada.

A aluna discorda do tipo de avaliação que não valoriza o raciocínio do aluno e com grau de dificuldade acima do ensinado.“valorizar seus cálculos” é uma informação que demanda do aluno em relação a dimensão afetiva.

Ter paciência e explicar a matéria o melhor possível.

Destaca aspectos ligados ao suporte cognitivo que o professor deve disponibilizar para favorecer a compreensão do aluno.

Seus professores eram transmissores de conhecimentos e especialistas em

conteúdos. A aluna ficava com a responsabilidade de memorizar tudo aquilo que era

transmitido pelo professor. Essa aluna refuta o tipo de ensino recebido. Quer que o

conteúdo seja aprendido, que tenha significado.

ALUNO 3B

Quadro 48 - Crenças do aluno 3B sobre o papel dos professores na aprendizagem e metodologiaMeus professores de matemática do colégio...................,



Meus professores de matemática do colégio priorizavam a construção da matemática.

A aluna explicou sua resposta informando que o professor explicava passo a passo como se chegava a solução de um problema.

Explicar claramente a matéria, envolver os alunos, apresentar exercícios para resolução em casa e em sala de aula.

Faz referência a instrumentos e modos referentes à metodologia e intervenção que o professor deve disponibilizar de maneira a favorecer a compreensão do aluno.

Apresentar exercícios para resolução na sala de aula e em casa. Além das explicações na sala.

Destaca aspectos relevantes quanto a metodologia e intervenção e quanto a interação em sala de aula. Acredita que assim conseguiria uma melhor compreensão da matéria.

127

O que concluí desse aluno: O professor como transmissor de conhecimento e

especialista em conteúdo. O aluno reprova o tipo de ensino recebido. Quer ter

certeza de que aprendeu sendo capaz de fazer exercícios também em sala de aula

após explicação.

ALUNA 4B




Professor X; ele mostrava que para aprender matemática não era só ir às aulas dele, mas também ficar em casa horas e horas estudando, pois se não fizesse isso não iria tirar notas boas na prova dele.

A aluna assistia as aulas e em casa repetia o procedimento dado em inúmeros exercícios, até decorar. O aluno não conseguia atribuir um significado ao que aprendia e com isso não se tornava consciente de seu próprio processo de aprendizagem

Ele deveria ser todos iguais a X, pois com pequenas atividades em grupo nós aprendemos mais e ficamos amigas da matemática, não inimigos dela pois, ela não é um bicho de sete cabeças.

Valoriza métodos alternativos de ensino-aprendizagem porqueatravés das atividades em grupo está percebendo que suas crenças e concepções a respeito da aprendizagem da matemática vem sofrendo alterações.

Me mostrar que a matemática não é difícil eu tirando boas notas na prova, para mim ter uma auto-estima maior, para querer aprender matemática.

O professor deve proporcionar instrumentos e maneiras de modo a assegurar uma boa compreensão bem como a possibilidade de sucesso nas avaliações em matemática. Quer entender matemática para assim conseguir atribuir um sentido ao que aprende, melhorar a auto estima e querer aprender matemática.

O que concluí dessa aluna: As “marcas” que aparecem do professor em sua

experiência escolar refletem uma crença de que o professor é o transmissor de

conhecimento matemático e que o aluno deve esforçar-se para aprender tudo aquilo

que o professor transmite. A aluna combate com argumentos o tipo de ensino

recebido e já consegue vislumbrar uma outra possibilidade de aprendizagem,

proporcionada pelo trabalho em grupo.

ALUNA 5B




Eram bastante repetitivos, de forma que decorássemos aquilo e não aprendêssemos.

Os procedimentos eram realizados mecanicamente e

Ser um professor que não desse prova para ninguém conseguir fazer, e sim exercícios para fixar (compreender) melhor a matéria.

Possibilitar instrumentos e

Ser paciente e compreensivo, ajudando o aluno, não empurrando ele de ano e sim fazendo ele aprender.

Destaca características

128

aaluna não atribuía um significado ao que aprendia. Através da repetição os conteúdos eram fixados. Essas são as “marcas” da metodologia e intervenção de seus professores em períodos passados.

maneiras para assegurar que o aluno chegue a uma boa compreensão do conteúdo, assegurando a aprendizagem. Um. bom professor deve dar prova de acordo com o conteúdo visto.

pessoais positivas e acredita que um bom professor tenha meios para assegurar ao aluno uma boa compreensão do conteúdo. Um bom professor não deve querer “se livrar” do aluno promovendo uma aprovação sem aprendizagem.

O que concluí dessa aluna: O professor é o transmissor do conhecimento

matemático, é o especialista em conteúdo. Cabe ao aluno esforçar-se para aprender

tudo que o professor transmite. A aluna não se torna sujeito do seu processo de

aprendizagem porque não consegue atribuir significado ao que aprende. A aluna

refuta a prática de alguns de seus professores anteriores. Quer aprender com

significado.

ALUNO 6B




São legais mas fazem provas difíceis

Faz referência a características pessoais positivas e à metodologia e intervenção usadas professor.

Saber fazer com que a turma se interesse pela matemática. Deveria também ser engraçado.

Um bom professor deve usar uma metodologia e intervenção que motive e desperte o interesse dos alunos, e ser mais divertido na interação em sala de aula.

Me passar de ano.

Ter como metodologia e intervenção aprovar o aluno.

O que concluí desse aluno: O aluno refuta as práticas de seus professores

anteriores em diversos aspectos, como nas avaliações, no modo como abordam

essa disciplina em sala de aula e na própria postura do professor. Decepção e

aversão ao tipo de ensino recebido. Sente-se incapaz de vencer esses obstáculos e

por isso só pode mesmo querer ser aprovado pelo professor.

129

ALUNA 7B




Foram bastante diversificados. Da 1ª a 4ª série todos foram bons. A professora da 5ª série foi ótima porque era paciente, explicava bem e nos avaliava conforme nosso aprendizado. O professor da 6ª também foi ótimo. O da 7ª foi horrível, só dava atenção as menininhas bonitinhas. O da 8ª foi legal mas foi muito, muito fraco, não possibilitando uma aprendizagem mais aprendizagem.

Faz alusão à metodologia que os diferentes professores usavam. As características pessoais dos professores da 4ª, 5ª e 6ª série eram positivas. Destaca a interação em sala de aula do professor da 7ª série, privilegiando algumas alunas e a incapacidade cognitiva do professor da 8ª série.

Ensinar com o coração, observando as condições físicas, psicológicas e financeiras de cada aluno separadamente.

O bom professor deve considerar que a aprendizagem ocorre no “sujeito encarnado” e para isso é importante que se considere a intersecção dos três conjuntos: cognitivo, afetivo e sociocultural para que a aprendizagem ocorra de forma excelente.

Mostrar-me o melhor caminho da aprendizagem levando-me às portas do saber e possibilitando-me descobrir novas experiências dentro da matemática.

Quer um ensino que promova a aprendizagem significativa, pois só atribuindo significado ao que aprende poderá investigar e dessa maneira adquirir autonomia intelectual.

O que concluí dessa aluna: A aluna deseja uma independência cognitiva. Quer que

o professor ensine de maneira a promover essa independência. Quer que o

professor não fragmente o aluno, considerando o aspecto cognitivo separadamente

do afetivo e sociocultural. A aluna coloca seu repúdio às práticas de alguns de seus

professores anteriores.

ALUNO 8B




Geraldo Vargas Nogueira (Polivalente São Silvano) me passaram a imagem de que a matemática não adiantava se aprender para não usar. Deveria ser exercitada a todo instante, tornando-a assim descomplicada e fluida.

Andar junto com o aluno, só avançar se não houver dúvidas de ninguém.

Destaca a metodologia e intervenção que deveriam ser usadas por um bom professor de matemática.O bom professor deveria

Acompanhar meu raciocínio, entender as minhas dificuldades e me ajudar a explorar minhas facilidades.

Entender, compreender o raciocínio feito pelo aluno. Detectar, os pontos de determinado conteúdo

130

A metodologia e intervenção eram de descomplicar a matemática por meio da aplicabilidade. Ressaltavam o valor utilitário da matemática. Saber para aplicar se constituindo a meta do estudo da matemática. A “aprendizagem” era obtida com a repetição, a prática de exercícios.

ensinar e certificar-se de que todos haviam aprendido determinado conteúdo antes de prosseguir com o ensino de outro.

matemático que o aluno ainda não adquiriu compreensão e também facilitar o desenvolvimento de conteúdos que o aluno já domina.

O que concluí desse aluno: O aluno discorda da prática de alguns de seus

professores anteriores. O aluno deseja que o professor o ajude a “explorar as suas

facilidades” e desse modo promover a construção da matemática. Acredita que

assim ele conseguiria ter uma aprendizagem significativa.

ALUNO 9B




Davam prioridade às fórmulas que para eles deveriam ser decoradas.

Professor como instrutor. O aprendizado da matemática como acúmulo de regras e fórmulas a serem decoradas.

Após explicar a matéria pedir para que os alunos façam 3 exercícios, para a fixação da matéria.

Quer que o professor ensine e que a aprendizagem seja comprovada por meio de resolução de exercícios.

Ensinar.

O que concluí desse aluno: Esse aluno questiona e refuta a prática de alguns

professores anteriores.

ALUNA 10B




Que eu estudava só se preocupavam se a gente tirava nota, não se a gente tinha aprendido.

Objetivavam a resposta certa sem se preocuparem se houve

Se preocupar se nós estamos aprendendo e não com as notas.

Quer que o professor se preocupe se está havendo ou não aprendizagem significativa e não com a resposta certa

Me ensinar a estudar. Porque para estudar para matemática é muito difícil.

Fazer com que ela adquira autonomia para estudar matemática.

131

ou não uma aprendizagem significativa.

O que concluí dessa aluna: Seus professores assinalavam para uma visão

instrumental da matemática e a aluna questiona e refuta esse tipo de prática de

ensino.

ALUNA 11B




Em geral, todos meus professores (os de matemática) foram excelentes, fazendo uma boa visão da matemática. Mas poucos aqueles que realmente queriam que os alunos aprendessem o conteúdo, a maioria ensinava por obrigação, principalmente nos últimos anos, fazendo com que aos poucos perdêssemos o interesse pela matéria.

A falta de entusiasmo do professor, sua falta de habilidade em “vender” a disciplina não motivou a aluna.

Ajudar o aluno (não facilitar) mas sim querer que o aluno realmente entenda a matéria, se não apenas “aprender” (decorar) para realizar as provas e depois esquecer tudo.

A aluna quer que o professor aborde essa disciplina de modo a proporcionar uma aprendizagem significativa.

Fazer com que eu entenda a matéria, para conseguir assim realizar as provas consciente do que eu estava fazendo e ser aprovada, mas não passar por passar, e sim passar por realmente entender e saber o que foi aplicado.

Aprender com significado e essa aprendizagem estar revelada no bom desempenho em avaliações.

O que concluí dessa aluna: A aluna refuta a prática de alguns de seus professores

porque deseja que a matemática seja ensinada de uma forma não prescritiva, com

significado. É preciso também que o professor goste da matemática e que esse

gostar seja revelado no entusiasmo com que aborda a disciplina em sala de aula.

ALUNO 12BQuadro 57 - Crenças da aluna 12B sobre o papel dos professores na aprendizagem e metodologiaMeus professores de matemática do colégio...................,



Sempre priorizaram as fórmulas e as respostas certas, não davam valor ao pensamento e construção dos exercícios.

Seus professores eram instrutores, transmissores de conhecimento

Valorizar as idéias de construção e interpretação dos exercícios. Isso melhoraria o aprendizado.

Interpretação dos textos matemáticos e construção do conhecimento são valorizados pela aluna como meios de

Me ensinar a compreender a matéria, não decor-la, pois aprendendo a matéria fica bem melhor para aprender as outras matérias seguintes.

Idéia de que se conseguir aprender significativamente a matemática vai conseguir ter

132

conseguir uma aprendizagem significativa.

uma independência, uma autonomia no aprendizado.

O que concluí desse aluno: O aluno questiona e refuta a prática de todos os seus

professores anteriores. Quer aprender e quer que essa aprendizagem seja revelada

na autonomia conseguida ao lidar com essa disciplina.

Atitudes dos alunos em relação à matemática

Com as respostas dos alunos ao Instrumento VII (em Anexos, p. 216) nós pudemos

perceber algumas atitudes deles. Nós solicitamos que eles completassem frases.

Como já informamos anteriormente este instrumento foi extraído do livro de Gómez

Chacón (2003/2000). Em cada quadro nós colocamos as respostas dos 12 alunos.

Considerando suas próprias atitudes em relação à matemática, complete as frases:

Quadro 58 – Respostas dos alunos para a questão: “Meus professores de matemática da escola são...”ALUNO RESPOSTAS

1B muito inteligentes e sempre fazem o melhor para podermos ter um bom aprendizado2B muito exigentes nas provas, colocando questões de alto nível.3B gente boa. Só que alguns não explicam bem a matéria.4B eu gosto muito dos professores só que eles não compreendem que eu tenho muita

dificuldade de aprendizado.5B completamente diferentes, uns pensam mais no aluno e outro na dificuldade das

provas.6B competentes, ótimos profissionais.7B um verdadeiro contraste entre si. O Y, não vale analisar as características pessoais

dos alunos, já a professora X, é mais que uma professora é, uma MÃE.8B compreensível e estimuladora (matemática II) e egoísta (matemática III).9B muito inteligentes e tem experiência no ramo.

10B ótimos, pois tudo que eu não compreendia eles me ensinaram e me ajudaram a gostar de matemática.

11B super legais12B ótimos profissionais e muito dedicados.

Quadro 59 - Respostas dos alunos para a questão: “A matemática é...”ALUNO RESPOSTAS

1B essencial para o dia-a-dia de todas as pessoas2B difícil de se entender mas depois que se aprende fica mais fácil se aplicar.3B uma matéria que precisa de muita dedicação.

133

4B uma coisa difícil de se entender. Eu sinceramente não me dou bem com a matemática.

5B uma espécie de tormento que quando quer atenta a cabeça de todo mundo6B uma matéria escolar que requer muita atenção e interesse para aprendê-la.7B um verdadeiro marasmo. As vezes é muito chata, mas quando a gente aprende e fica

envolvido, sempre da certo.8B é instrumento de compreensão e concentração, depende da maneira em que é

cobrada.9B linda porém um pouco complexa. Precisa de uma atenção especial.

10B um enigma. Porque é uma coisa magnífica.11B muito complicada.12B uma matéria como todas as outras, mas requer mais atenção e dedicação.

Quadro 60 - Respostas dos alunos para a questão: “Minhas capacidades em matemática são...”ALUNO RESPOSTAS

1B ruins.2B um pouco abaixo do exigido na prova.3B limitadas. Já que eu desisti da matéria.4B péssimas. Eu acho que não tenho capacidade pra matemática, meu cérebro não

entende isso.5B mais a sua teoria e seu básico.6B muito limitadas pois eu não tenho muito interesse nos assuntos que são

desenvolvidos em matemática.7B baixas, mas ultimamente tenho conseguido alcançar algumas metas através do

modo de aula e o modo de aprender.8B lógicas.9B ótimas, mas na hora das provas fico nervoso.

10B são de parar e pensar para compreender.11B quase zero.12B normais e com mais esforço elas podem melhorar.

Quadro 61 - Respostas dos alunos para a questão: “Para ser bom em matemática...”ALUNO RESPOSTAS

1B é preciso bastante dedicação e estudo2B é necessário muita atenção e esforço.3B precisa de muita dedicação e esforço.4B é preciso de muito, mas muito mesmo, esforço.5B é preciso em 1º caso, gostar da matéria. Depois ter eficiência em executá-la e

paciência quando chegar a hora de pensar.6B preciso ter atenção e interesse. Exercitar muito os problemas matemáticos.7B tem que ser esforçado, batalhador, prestar atenção e ser inteligente.8B precisa ser persistente e compreendidos.9B estudar e compreender a matéria.

10B basta estudar e se dedicar, pois para entender tenho que compreender o enigma que é a matemática

11B ter atenção, habilidade e paciência12B tem que ser esforçado e se dedicar muito.

Quadro 62 - Respostas dos alunos para a questão: “Eu acho difícil em matemática...”ALUNO RESPOSTAS

1B a interpretação das questões.2B não muita coisa pois são os professores que a complicam.3B resolver alguns exercícios.

134

4B tudo. Eu quase não compreendo nada de matemática.5B os seus problemas onde tenho que usar o raciocínio.6B problemas, os quais tem que ser interpretados.7B os problemas em que temos que relembrar matérias anteriores e difíceis.8B regras e fórmulas.9B nada. A matemática não é difícil. Você precisa de atenção.

10B os problemas. Porque também exige português para interpretá-los.11B a complexidade dos conteúdos.12B os exercícios mais elaborados, de mais complexidade.

Quadro 63 - Respostas dos alunos para a questão: “Poderia aprender mais matemática se...”ALUNO RESPOSTAS

1B2B praticasse mais.3B meu professor explicasse melhor a matéria.4B eu fosse mais inteligente, não esforçada.5B o professor nos compreendesse melhor, fazer dinâmica, onde eu acho que a

matéria fixa melhor.6B eu tivesse algum incentivo e se os professores não fizessem provas tão difíceis.7B tivesse uma base escolar melhor.8B fosse compreendido9B estudasse no turno da manhã pois estudar no turno da tarde consome mais o

dia e os horários para estudar em casa ficam ruins.10B os professores passassem os problemas passo a passo.11B se fossem aplicados menos conteúdos e se fossem aplicados detalhadamente.12B fosse mais esforçado e tivesse mais professores como a professora X.

Quadro 64 - Respostas dos alunos para a questão: “Quando tenho aula de matemática, eu...”ALUNO RESPOSTAS

1B presto atenção

2Bpresto atenção, mas não faço muita coisa durante ela, pois, o professor corrigi os exercícios e eu tenho que entender o que ele explica.

3B fico muito infeliz.4B me estresso porque eu não entendo matemática.5B entro em um tipo de estado depressivo, minha cabeça parece que vai explodir6B fico viajando nos meus pensamentos e não consigo prestar atenção na aula de

matemática.7B tenho vontade de fugir, mas lembro que eu POSSO superar minhas dificuldades8B me aborreço, porque tem gente desesperada na sala que fica pedindo

“exercícios do fim do mundo” e não me dão a vez. 9B presto atenção pois gosto de aprender tudo na primeira vez que vejo.

10B preso cada minuto para acrescentar cada vez mais ao meu aprendizado.11B tento prestar atenção mas tenho muita dificuldade pois sou muito dispersa.12B tento resolver os exercícios, quando sei resolver os exercícios.

Quadro 65 - Respostas dos alunos para a questão: “Quando estava na aula de matemática na escola, eu...”ALUNO RESPOSTAS

1B prestava atenção e fazia exercícios.2B participava muito, corrigindo os exercícios.3B tinha mais entusiasmo mas agora, não.

135

4B durmo, porque eu não consigo entender aquilo.5B ficava meio que nas nuvens, não conseguia prestar atenção.6B na escola eu prestava atenção na aula, ou pelo menos tentava.7B era a segunda melhor aluna da sala. Só tirava NOTÃO.8B não fazia nada, não deixavam.9B viajava; antes de entrar no CEFET-ES não prestava atenção nas aulas e tirava nota.

10B ficava pensando em outra coisa.11B Viajava.12B procurava compreender a matéria e os exercícios que o professor corrigia

Quadro 66 - Respostas dos alunos para a questão: “Agora, quando estou na aula de matemática, eu...”ALUNO RESPOSTAS

1B continuo prestando atenção e fazendo exercícios.2B apenas presto atenção e fico quieta.3B tento gostar da matéria mesmo o professor explicando mal.4B com a professora eu gosto muito e presto atenção, agora, com os demais professores

eu não consigo.

5B até que eu consigo interagir mais, fazer perguntas.6B presto atenção e resolvo os exercícios passados de acordo com a matéria.7B começo a ter mais segurança em mim mesma e ultrapassar as barreiras das

contas mirabolantes.8B faço exercícios.9B presto atenção, mas mesmo notando que não consigo tirar nota eu presto

atenção e aprendo.10B me dedico muito porque eu agora gosto da matemática.11B ainda viajo mas menos que antes.12B tento interpretar, entender e resolver os exercícios; assim fica mais fácil

Quadro 67 - Respostas dos alunos para a questão: “Gostava da aula de matemática até que...”ALUNO RESPOSTAS

1B depois de muito estudo e de muitos exercícios feitos eu me dei mal em uma prova.2B entrei no CEFET-ES e comecei a tirar notas baixas.3B peguei professores que não explicavam bem a matéria.4B entrei no CEFET-ES.5B veio a tal da função e não consegui aprender.6B eu tirei uma nota baixa e fiquei retido no semestre.7B entrei no CEFET-ES e não consegui, a partir daí, conquistar minhas metas de notas8B entrou os exageros de incógnitas.9B cheguei ao CEFET-ES e tive 1 aula para a prova. Sempre tive 1º aulas para as

provas, mas nem por isso deixei de gostar.10B começou a se complicar muito.11B eu entrei no CEFET-ES.12B tirei notas baixas e fiquei de dependência.

Quadro 68 - Respostas dos alunos para a questão: “Sinto que a matemática faz “quebrar a cabeça” quando...”ALUNO RESPOSTAS

1B não consigo resolver um exercício.2B tem aqueles exercícios que fazem a gente pensar além da matéria, tendo que

fazer coisas de outras matérias.3B não consigo resolver os exercícios.4B não consigo fazer algum problema.5B chega a hora de resolver aquele problema que nem você e nem a metade da

sala consegue sair do início.

136

6B estou diante de um problema muito difícil de interpretar.7B não conseguimos resultado correto em um problema de conta matemática8B coloca situações cotidianas, e isso é bom... Isso é muito bom!9B encontro aquele problema massa, que não diz de cara o que você deve fazer,

aquele que você deve pensar pra resolver.10B envolve problemas matemáticos.11B não é compreendida.12B não aprendo a matéria e não consigo resolver os exercícios.

Quadro 69 - Respostas dos alunos para a questão: “Quando aprendo matemática sinto-me...”ALUNO RESPOSTAS

1B feliz por ter aprendido.2B mais inteligente.3B muito feliz, realizado.4B feliz, porque é um desafio.5B uma pessoa inteligente, me sinto mais perto da matemática.6B alegre, pois eu tenho dificuldade e quando consigo aprender algo, fico feliz.7B orgulhosa, feliz e satisfeita por ter conseguido o que os NERD`S conseguiram.8B realizado e igual aos outros que pensava serem “anormais”.9B feliz.

10B muito bem, capaz de fazer qualquer coisa.11B alegre e capaz12B muito feliz porque é uma dificuldade vencida.

Crenças, concepções e atitudes dos alunos no final da pesquisa

Com o Instrumento VIII (em Anexos, p. 216), nós procuramos desvelar as crenças,

concepções e atitudes dos alunos em dependência após o desenvolvimento da

pesquisa. As entrevistas foram feitas aos alunos no dia 30/06/2008. Estes

questionamentos foram feitos com o objetivo de saber do posicionamento dos

alunos quanto às inovações ocorridas na prática de sala de aula de matemática

durante o semestre. Pensamos que estas inovações favoreciam a cooperação

mútua entre os alunos ao trabalharem em grupo, o desenvolvimento da

metacognição ao fazerem uso da escrita do raciocínio utilizado na resolução das

atividades matemáticas, e o uso de material manipulável. Ou seja, procuramos saber

no final do estudo como os alunos perceberam estas inovações. Na entrevista

também estávamos querendo conhecer seus hábitos de estudos, e saber da

importância atribuída por cada um deles a si próprio e ao professor em sua

reprovação, bem como obter informações a fim de descobrir crenças e concepções

137

de professores que ministraram aulas de matemática no período anterior. O menor

tempo gasto na entrevista foi conseguido pela aluna 5B que respondeu aos

questionamentos todos em 2 minutos e 10 segundos e o maior, 5 minutos e 45

segundos foi o da aluna 2B. Os questionamentos feitos aos alunos presentes na

aula foram gravados em áudio. Aqui transcrevemos os questionamentos e as

respostas dos alunos que realizaram a entrevista.

Obs: A aluna 4B e o aluno 6B faltaram à aula no dia 30/06/2008 e não foram

entrevistados.

ALUNA 1 BVocê acha que alguém não aprenderia matemática?Acho ... porque para aprender matemática tem que ter interesse e tem gente que não tem interesse em aprender e aí vem para a escola só por vir mesmo. E não faz nada e não aprende.

Falta de vontade mesmo ..., de interesse.... ou incapacidade da pessoa?Por incapacidade não, porque eu acho que ninguém é incapaz de aprender. Todo mundo ... é só estudar um pouco que aprende. Quem não aprende é porque não quer mesmo.

Quais são seus hábitos de estudo?Olha ... eu acordo seis e meia por aí e começo a estudar lá pelas sete e meia e estudo até dez ... dez e pouco ... por aí quando eu tenho que vir cedo para a escola. Todo dia quando eu chego da escola eu começo a estudar por volta das oito horas e vou até as dez.

Você mora em Colatina mesmo?Sim.Nesse estudo seu, você engloba todas as matérias?Todas as matérias.

O que você acha do uso de material manipulável em sala de aula?Acho que é mais fácil para aprender porque você tem uma visão da figura e tem mais noção do tem que fazer.

O que você acha do trabalho em grupo?Eu acho que o trabalho em grupo facilita muito a aprendizagem porque você pode compartilhar a idéia com seu colega. E pensa: duas cabeças pensando juntas fica melhor que uma e trabalhando em grupo ajuda muito e fica mais fácil. Quando você não sabe o outro sabe e quando o outro não sabe você ajuda o outro e fica mais fácil para ele aprender.

E escrever o raciocínio que você usou numa atividade é importante?É melhor porque você vai pensando e anotando... De vez em quando, quando você está fazendo um problema você perde a linha do raciocínio no meio e se você tiver anotando fica

138

mais fácil ... tá tudo ali ... você “pega” seu raciocínio até o fim. Fica mais fácil de ver seu raciocínio porque foi construindo aos poucos e anotando.

Você acha que seu professor do período passado teve alguma influência no fato de você ter ficado em dependência?Não... eu podia ter me esforçado muito mais. Acho que a culpa não foi dele ...foi minha. Eu podia ter me esforçado mais. Ele é um bom professor.

ALUNA 2 BVocê acha que seu professor do período passado teve alguma influência no fato de você ter ficado em dependência?[Ah! ... então ... Eu acho que as provas dele sim! Eram bastante difíceis! Mas ... eu acho que ... influência ... influência ... não tanto!

Você achava as provas ... o quê?Eram bastante difíceis.Difíceis como? Se você fizesse só o livro nosso, o que a gente usa aqui, não conseguia tirar nota.

Você acha que alguém não aprenderia matemática?Não aprenderia?

É. Algum colega seu ...Passar sem aprender?

Não aprenderia a matemática por achá-la muito difícil?Poder, todo mundo pode aprender mais ... vai de cada um né? Se vai querer aprender ou não. É lógico que tem uns com mais dificuldades que outros mas ... pode correr atrás.

O que você acha das atividades em grupo, iguais a essas que a gente fez durante o semestre?Eu acho legal, porque pelo menos eu, quando estou junto com uma pessoa, aí a gente vai falando, fazendo a atividade com outra pessoa e cada um raciocinando junto, eu acho que rende mais e você consegue ... aprender melhor. Ajuda ... quando você esta com alguém!

Ajuda por quê?Porque a gente vai falando ...assim ... cada um vai colocando o seu raciocínio e aí fica mais claro. Só de você ir falando naturalmente...você vai seguindo aquele ritmo ... e chega num resultado mais fácil.

E sobre escrever todo seu raciocínio, é importante?Sim, até porque facilita para o professor entender o que pensei. É bem difícil você escrever passo a passo ... colocar no papel tudo o que você pensou.Mas escrever assim é bom. Até para quem vai corrigir.

E para quem fez?

139

É bom porque ela não se perde... Se ela se perder dá para ela ver pelo raciocínio o que ela fez. Na hora que ela está escrevendo, ela está pensando. Está seguindo um ritmo. É melhor.

Na hora que ela está escrevendo o que se passa com ela? O que ela é obrigada a fazer?Ela tem que passar para o papel o raciocínio. Ela é obrigada a pensar melhor ... assim ... de um jeito mais fácil.

Quais são seus hábitos de estudo?Se eu vou estudar para a matéria que já passou muito tempo que o professor explicou eu leio a matéria toda e vou fazendo os exercícios. Eu estudo todos os dias pela manhã e às vezes à noite quando chego da escola. Estudo umas três horas e meia pela manhã e final de semana quando fica muito apertado eu estudo sábado e domingo.

E matemática ... ?Só matemática todo dia não dá para estudar porque tem muita matéria e você ficar deixando um horário todo dia para matemática acaba coisando. Se tiver prova eu pego a matéria todo dia mas se não tiver eu pego duas a três vezes por semana.

ALUNO 3 B Você acha que alguém não aprenderia matemática ou você acha que todos podem aprender?Eu acho que se todo mundo estudasse e se dedicasse, todos aprenderiam matemática.

Quais são seus hábitos de estudo?Eu levanto e entre sete e oito horas já estou de pé ... tomo um cafezinho e começo a estudar. E sempre visando à matéria mais difícil, a matéria que eu tenho mais dúvida assim para tirar minhas dúvidas. E na hora da aula os que eu não consegui assim ... fazer eu peço aos professores para tentar fazer... coisas assim.

O que você acha de atividades em grupo durante as aulas de matemática?Fica muito mais fácil porque se você tem alguma dúvida você tira logo com os outros colegas, e se ninguém souber tem os professores que ajudam bastante. Em grupo assim são mais cabeças pensando o problema e um não entende e o outro explica e vai um explicando para o outro e eu acho que se aprende mais e melhor.

E o que você acha de escrever o raciocínio usado para resolver uma determinada atividade?Eu acho uma boa porque você escrevendo seu raciocínio você tem uma visão do exercício melhor. Você nota o que você pode ter errado, você nota o que você errou ... o que você deixou de fazer ... Escrevendo passo a passo fica muito mais fácil porque depois você dá aquela olhada e você lembra. Você deixa tudo anotado e você vai conseguir lembrar mais fácil ... vai saber como é que faz ... Não vai esquecer o exercício. É só dar aquela lida e você vai pegar seu raciocínio.

O que você acha do uso de materiais manipuláveis em sala de aula?Seria uma boa por causa que força o aluno... cobra do aluno um raciocínio ... ele tem que explorar esse raciocínio dele. Ele vai achar várias formas de resolver o problema e além também de que se você leva uma coisa ... um negócio assim .. tipo... como é que eu posso

140

explicar?! ...Assim, sem diversificado o material a aula fica muito monótona e se você leva uma pirâmide ... um trem assim diferente, o aluno se identifica com o problema e acaba se esforçando mais. O aluno se esforça mais ... além da diversão que é ter exercícios assim ... a aula fica diferente ....e o aluno se esforça mais ... raciocinando assim.

Você acha que seu professor do período passado teve alguma influência no fato de você ter ficado em dependência?Não ... eu acho ... Pouca, mas teve! Por causa que tinha alguma matéria assim que ele explicava tipo .... explicava como se todo mundo já soubesse. Para tirar a dúvida ele só tirava a dúvida do exercício ... ele não parava para explicar . Ele tirava aquela dúvida assim ... só o superficial mesmo! A fundo mesmo ... explicando a matéria ... ele não chegava a fazer isso. Ele teve uma pequena parcela ... mas teve!

ALUNA 5 BQuais são seus hábitos de estudo?Eu costumo estudar todos os dias à noite e de manhã assim ... porque eu tenho mais facilidade de aprender à noite e de manhã eu estudo mais quando estou apertada igual final de semestre eu estudo de manhã.

E matemática?Matemática eu tenho o hábito de estudar só umas duas semanas antes da prova. Porque é muita matéria e eu não consigo estudar para tudo de uma vez e aí eu tento dividir mais ou menos.

O que você acha das atividades em grupo que temos feito em sala de aula?Eu acho que é melhor pro nosso raciocínio porque a gente tenta raciocinar várias coisas ... cada um raciocina de um jeito ... a gente discute aquilo que a gente está fazendo ... e eu acho bem melhor para aprender.

O que você acha de escrever o raciocínio?Eu acho bom para a gente e bom para o professor também porque o professor pode ver o quanto a gente está entendendo da matéria... e para a gente ... a gente vê o quanto que a gente sabe ... porque só pensando talvez não dá certo. Escrevendo a gente tem a certeza daquilo mesmo que a gente fez.

Você acha que seu professor do período passado teve alguma influência no fato de você ter ficado em dependência?Eu acho que começou desde quando eu entrei no CEFET-ES que eu vi que a matemática não era para mim mesmo, que eu não consigo aprender ... Não sei ... eu meio que desisti . A gente estuda... estuda e não consegue aprender ... então...

O uso de situações problema você acha que favorece a aprendizagem?Eu acho bem melhor porque é algumas coisas do cotidiano, entendeu? E só equações algébricas a gente fica meio perdido assim... O que aquilo tem a ver com o cotidiano? E situações-problema têm mais a ver. Dá mais vontade de aprender!

141

ALUNA 7 B Você acha que alguém não aprenderia matemática?Eu acho que se quiser aprender, for esforçada e tiver um mínimo de raciocínio possível ela consegue aprender sim.

O que você acha de trabalho em grupo em sala de aula de matemática?

Eu acho que facilita a aprendizagem porque às vezes você tem uma dificuldade ... mas não é que você não saiba... às vezes uma dificuldade de raciocínio e o trabalho em grupo inclui assim as pessoas ... todo o grupo... não excluindo assim o raciocínio individual ... mas dando oportunidade para cada um pensar um pouquinho ... e formar um raciocínio completo.

O que você acha do uso de materiais manipuláveis em aulas de matemática?

Dependendo da aula ... porque se for uma aula de muito raciocínio e você encontra os materiais manipuláveis adequados eu acho que sim, que é bom. Mas dependendo da aula e você batalhando ali em cima dos números resolve eu acho que com esforço dá para ter um aprendizado bom.

Quais são seus hábitos de estudo?Eu estudo com a resolução de exercícios e também com outros colegas ... tirando as dúvidas. É... com listas de exercícios na internet . De manhã eu saio de casa às dez então eu começo a estudar bem cedo ... na faixa de seis horas e aí eu estudo até as nove ... porque aí depois eu já tenho que pegar a viajem para a escola. Eu moro bem longe e chego em casa por volta de nove e meia e aí eu estudo até meia noite ... até uma e meia da manhã e é nessa faixa de horário porque os outros horários são para a viajem da escola para casa e da casa para a escola e não dá muito mais para estudar.

O que você achou das situações-problema que fizemos durante o semestre?Eu acho que foi bom para trabalhar o nosso conhecimento individual porque ...através deles a gente estimulou a nossa criatividade ... o nosso saber mesmo ... porque a gente tem um saber adormecido e com esses tipos de problemas que você tem que pensar ... . tem que raciocinar ... que até matéria que você não sabe ... que você tem que buscar mesmo aprender. Você não tem um conhecimento só matemático mas um conhecimento de vida através dos exercícios .... da leitura e interpretação dos exercícios.

Você acha importante a interpretação de textos matemáticos?Com certeza. Para mim, em problemas a leitura e a interpretação são essenciais.

Você acha que seu professor do período passado teve alguma influência no fato de você ter ficado em dependência?Ah! ... Eu acho que talvez sim ... talvez não porque talvez a gente pensa que o professor teve alguma influência em nossa vida. Para mim o professor passado foi um ótimo professor mas ... assim .... às vezes quando eu tinha dúvidas maiores ele não sabia me explicar conforme eu estava querendo.

142

ALUNO 8B Quais são seus hábitos de estudo? Praticamente todos os finais de semana tenho que estudar. Matemática principalmente. E durante a semana faço exercícios. Acho que esses são meus hábitos básicos.

Você estuda todo dia? Não, nem todo dia porque tem dia que tem a Depê e aí não dá para estudar. Mas nos dias assim que não tem eu procuro estudar o máximo que eu posso. Não só matemática como as outras matérias assim. Eu acho que estudo em média umas duas horas por dia.

O que você acha do uso de situações-problema que fizemos durante o semestre? Com certeza acho que dá uma nova visão para as pessoas que estão aprendendo assim e tal e que dá para ver que a matemática é ... tem como incluir ela no nosso dia a dia . Existem situações que a gente precisa realmente dela. Mesmo tem aquela coisa da gente pensar: Ah! Isso não vai servir para nada! Mas tem a ver sim! Acho que esses problemas trabalham muito com isso.

O que você acha da atividade em grupo? Acho que dá para ver mais que um raciocínio, né?. Dá para ver o que o outro está pensando e ver as diversas formas de se chegar ao resultado ... os vários caminhos que tem.

Você acha que seu professor do período passado teve alguma influência no fato de você ter ficado em dependência? Não completamente porque eu acho que estudei menos do que devia. Mas ... a forma com que ele explicava, eu acho que influenciou sim, porque ele corria demais com a matéria e tal e ficava aquela coisa muito vaga assim... uma aula... e já tinha que estar com o exercício pronto na outra... para já corrigir e tal e aí eu acho que influenciou em algum ponto.

ALUNO 9 BQuais são seus hábitos de estudo?Estudo todos os dias uma hora ... duas...pela manhã e uma hora à noite.

Todas as matérias juntas ou só matemática?Uma matéria por dia. Geralmente na segunda de manhã eu estudo matemática da dependência e nos outros dias eu vou escolhendo uma matéria.

Você acha que alguém não aprenderia matemática?Não... matemática é bem simples e só tem que ter atenção.

Você gosta de matemática?Gosto.

O que você acha do uso de materiais manipuláveis em aulas de matemática?Acho legal porque facilita ao aluno a ver, entender o que está estudando.

Você acha que a atividade em grupos na sala de aula tem alguma importância na aprendizagem?

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Acho importante porque a gente pode trocar idéias com quem está no grupo.

Você acha que seu professor do período passado teve alguma influência no fato de você ter ficado em dependência?Ah! Um pouco porque eu acho que ele explicava a matéria mas não dava assim ... tipo ... suporte para que o aluno que tinha mais dificuldade aprender.

Você acha que tem excesso de conteúdo por semestre aqui na escola?

Acho, porque nas outras escolas, eu vejo com meus amigos que eles aprendem duas matemáticas em um ano ... e a gente aprende por semestre tipo... a gente viu em um semestre: polígonos i ... é ... eles viram isso tudo em um ano... a geometria (plana e espacial) ... e funções também : a matemática que eles viram em um ano a gente viu em um semestre. A gente viu função afim, quadrática, modular, exponencial e logarítmica. Até p.a. e p.g. em um semestre e eles ... tipo assim ... em um ano.

ALUNA 10BQuais são seus hábitos de estudo?Eu estudo à noite. De manhã eu não agüento estudar porque estou com vontade de dormir mais e então eu estudo mais é à noite. É a noite que eu tenho mais facilidade para aprender, entender, prestar atenção no que eu estou fazendo.

Quantas horas por semana você dedica à matemática? Estuda final de semana?Final de semana eu só estudo se eu precisar meeeesmo. Porque eu não gosto de estudar final de semana não. Matemática eu estudo quando eu tenho algum exercício para fazer, alguma coisa assim... prova. Aí eu estudo! Quando não tem prova eu pego outras matérias para revisar.

Você acha que tem excesso de conteúdo por semestre?Eu acho que tem porque é pouco tempo. Não são seis meses de aula e o tanto de matéria...sete capítulos do livro em um semestre só... aperta muito! Juntando com as outras matérias então...

O que você acha das atividades em grupo?É melhor para você fixar a matéria. É melhor porque você pode trocar idéias com os colegas. Às vezes você não esta vendo um detalhe e o outro viu e você pode prestar mais atenção naquilo. Talvez seja naquilo que você está errando...O trabalho em grupo ajuda muito.

Você acha bom para você quando você explica seu raciocínio para outro colega do grupo?Acho porque aí dá para perceber se eu estou aprendendo ou não.

E quando você escreve? Você acha importante? Por quê?É importante porque você escrevendo chega lá na frente você esquece alguma coisa, você volta lá atrás e vê onde você está errando. Começou errando...você volta lá atrás e vê onde você está errando. Como você está escrevendo seu raciocínio, você volta e vê onde está errando.

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Você acha que seu professor do período passado teve alguma influência no fato de você ter ficado em dependência?

Não. Eu acho que eu fiquei em dependência por minha culpa mesmo porque eu podia ter me esforçado mais... baguncei de certa forma...parei de estudar no final do semestre...então não teve como eu atingir a média.

Você acha que alguém não aprenderia matemática?

Todo mundo pode aprender matemática, é só se interessar bastante.

O que você acha importante para aprender matemática?

Eu acho importante você fazer o seu próprio raciocínio e não fazer as coisas mecanicamente, tipo, é assim que faz: vou usar essa fórmula e chegar na resposta. Eu acho que você tem que parar e prestar atenção no que o exercício está pedindo. É importante você construir um raciocínio para depois fazer. Esse negócio de mecânico, você esquece uma coisinha e chega no final você acha que está certo e está errado.

ALUNA 11BQuais são seus hábitos de estudo?Eu costumo estudar um pouco de manhã ... revisar as matérias dadas. E... à noite, eu não sou muito de estudar. Eu não consigo me concentrar. Mas de manhã e à tarde eu estudo.

Quantas vezes você estuda matemática na semana?Praticamente nenhuma. Só pra dependência eu estudo.. À tarde, eu praticamente larguei mesmo porque eu vi que já estava praticamente em três matérias e resolvi deixar matemática. Só estudo para dependência agora.

O que você acha da atividade em grupo?Quando a gente conhece idéias diferentes que compartilha com os outros... fica bem mais fácil. Às vezes a gente fica ali... quebrando a cabeça numa coisa e vem uma pessoa e vê ali um pequeno erro que a gente está comentando e te fala e dá certo.

O que você acha de escrever seu pensamento, seu raciocínio?Que faz a própria pessoa entender melhor. Às vezes você acha que entendeu, faz o cálculo correto e na hora de explicar você não consegue. Se você consegue explicar e escrever tudo certinho, fica bem mais fácil de entender.

Você acha que seu professor do período passado teve alguma influência no fato de você ter ficado reprovada?

Eu acho que não... Ele era um excelente professor e ensinava muito bem. Só que algumas coisas ele deixava... assim... com alguma interrogação... assim... só que ... se você pedisse ele sempre estava ali, ajudando. Foi o mesmo caso esse semestre (que a aluna cursa na turma normal, não de dependência) que eu já estava em outras matérias Eu não estou conseguindo aprender mesmo as matérias. É uma coisa minha! Não do professor. De mim mesmo! Eu tentar e não conseguir aprender a matéria. A explicação dele é muito boa.

145

Olha só... aqui a gente sabe que todos os professores sabem a matéria. Fizeram uma prova de conhecimento específico da disciplina, foram aprovados...o que eu quero saber é sobre a aula ...como era a aula para você.... o “modo” da aula, como ela influenciou você. Essa pesquisa não é para ver o quanto o professor sabe, mas para ver como ele ensina, como é a prática dele em sala de aula?

Eu achava assim...as aulas um pouco enjoativas...porque eram muito repetitivas... todo dia a mesma coisa...Ele nunca mudou... sei lá, vamos fazer um trabalho...fazer alguma coisa em grupo... não... era só prova individual, exercício individual para casa...muito repetitivo...assim: todo dia aquela mesma coisa. Ele nunca mudou. Só prova era a forma de avaliação e era tudo muito individual; não tinha nada em grupo. Isso dificultava um pouco e fazia com que a matéria ficava muito enjoativa... toda aula aquilo: explicação de matéria e exercícios, explicação de matéria e exercícios, você fazia sozinho na sua carteira. Matéria e exercício e aí fica muito cansativo. De repente ele pode saber até mais que outro, mas o outro explica muito melhor que ele... talvez o método...

ALUNO 12 BVocê gosta de matemática?Não gosto muito de matemática para falar a verdade.

Por que você não gosta de matemática?Porque a matemática sempre foi para mim tipo um obstáculo difícil de ultrapassar.

Desde a época do ensino fundamental?Não; o ensino fundamental foi bem tranqüilo assim. Mas agora no ensino médio começou a pesar um pouco.

Por que você acha que pesa?Não ... porque ....

Por que você acha que ficou em dependência?

Eu fiquei em dependência porque .... Bem, eu acho que eu estudei bastante para a primeira prova e aí eu fiz a prova e não consegui nota. A prova valia 30 e eu tirei uma nota muito baixa, bem difícil de recuperar assim. E aí eu abandonei a matemática porque eu sabia que não ia conseguir recuperar a nota e passar. Mesmo fechando assim as próximas notas. Aí eu mesmo que larguei, larguei a matemática e fui estudar para as outras matérias.

Você acha que seu professor do período passado teve alguma influência no fato de você ter ficado em dependência?Com certeza! Com certeza! Porque a prova não teve basicamente nada a ver com a matéria ... assim: era da matéria mas num nível muito mais superior do que ele tinha dado em sala de aula . Que os exercícios do livro, porque ele explicou só os exercícios do livro e a prova foi bem diferente e eu não consegui.

O que você acha de atividade em grupo na sala de aula?

146

Eu acho muito bom! Muito bom! Porque você compartilha idéias diferentes entendeu? E porque quando você vai fazer sozinho, se você errar e você mesmo for tentar corrigir, recorrigir o seu erro, tentar fazer de novo, você ainda vai permanecer no seu erro, entendeu? É bem difícil você ver o que você esta errando! Mas com outras pessoas, você vendo idéias, outras pessoas dando palpites, entendeu? Para te mostrar, te explicar onde você está errando, é muito melhor. O trabalho se desenvolve muito melhor e você fixa melhor a matéria.

O que você acha de escrever todo o seu raciocínio num determinado problema?É importante porque ... é assim ... eu acho que não fica aquele cálculo ... você aprende a matéria . Você lê o exercício e entra com o cálculo automático. Assim... escrevendo ... você aprende a interpretar a matéria, o exercício e fazer sua resposta de acordo com o exercício ... interpretando e resolvendo. Assim fica melhor ... facilita a visão do exercício ... os dados que ele te dá para resolver. Você escrevendo fica bem melhor! Facilita a aprendizagem.

Com o Instrumento XII (em Anexos, p. 217), que foi aplicado em 7 de julho de 2008,

pudemos identificar crenças e concepções sobre a natureza da matemática após 4

meses e meio de aulas diversificadas de matemática da turma B. Nesse dia, foram

feitos os mesmos questionamentos do dia 24 de março de 2008. As respostas dos

alunos seguem a mesma ordem em que estão colocadas as questões: A matemática

para você é como? Por quê? Se a matemática fosse um animal, qual seria? Por

quê? Qual animal a matemática nunca seria? Por quê?

Quanto a natureza da matemática, as nuances de alterações das crenças dos

alunos ao se modificar a forma de ensinar e aprender matemática, se encontram

abaixo de cada quadro. Dentro, a idéia que a pesquisadora pensa ter percebido se

encontra em itálico.


ALUNA 1B

Quadro 70 – Resposta da aluna 1B para as metáforas sobre sua visão da natureza da matemática num segundo momentoA matemática para você é como? Por quê?



Um novelo de lâ. Porque a medida que o desenrolamos mais lã vai aparecendo. È como a matemática, à medida que vamos estudando mais assuntos vão aparecendo.

Um leão. Não por ele ser violento, mas sim porque à medida que ele vai sendo domado, ele vai ficando mais amigável. Assim é a matemática, assim que

Um gato. Porque ele é bonitinho demais para ser comparado à matemática.

A matemática é bonita, mas não tanto.

147

Idéia de que a matemática já existe. Idéia de acúmulo de conteúdos que aos poucos vão sendo conhecidos. Idéia de linearidade, de seqüência.

aprendemos realmente, nós passamos a tratá-la com mais clareza e simplicidade.

Quando percebe que está aprendendo matemática, ela se torna clara e simples.

Comparando o quadro nº 34 (p. 119) com a entrevista feita à aluna (p. 139) e com o

quadro nº 70, avaliamos como positiva a metodologia que utilizamos pois, ao

analisarmos as metáforas reparamos que embora a aluna tenha usado o mesmo

animal, o leão, a interpretação dada já não foi a mesma. Podemos vislumbrar

nuances de mudanças, pois não se refere mais a ele como um bicho traiçoeiro, ou

seja, a matemática não é mais vista como uma disciplina covarde e dissimulada. É

vista como algo que pode ser aprendido de forma natural e gradativa até conseguir a

clareza e a simplicidade.

Outras colocações da aluna também confirmam nossa avaliação positiva pois,

valorizou as atividades feitas em grupo como forma de socialização de

conhecimento e do desenvolvimento da metacognição, uma vez que destacou em

sua fala aspectos como: “compartihar a idéia com o colega”, e como: “Quando você

não sabe o outro sabe e quando o outro não sabe você ajuda o outro e fica mais

fácil para ele aprender”. O uso da escrita também teve seu valor ao reconhecer que:

“se você tiver anotando fica mais fácil ... tá tudo ali ... você “pega” seu raciocínio até

o fim. Fica mais fácil de ver seu raciocínio porque foi construindo aos poucos e

anotando.

ALUNA 2B

Quadro 71 - Resposta da aluna 2B para as metáforas sobre sua visão da natureza da matemática num segundo momentoA matemática para você é como? Por quê?



É como um novelo de linha, porque se você não pega o começo, não consegue chegar ao fim.

Idéia de que os conteúdos estão organizados em seqüência. Idéia de linearidade.

Um leão. É como se fosse um animal grande que põe medo.

Se assusta com a grandiosidade da matemática.

Um bicho preguiça. Porque para saber matemática é necessário ter esperteza e inteligência.

Para aprender matemática tem que ser esperto e inteligente..

148

Comparando o quadro nº 35 (p. 120) com a entrevista feita à aluna (p. 140) e com o

quadro nº 71, constatamos que a aluna ainda percebe a matemática como um corpo

estático de conhecimentos e que para a aprendizagem ocorrer é preciso que os

conteúdos sejam ministrados e aprendidos de maneira seqüencial. Embora ainda

veja a matemática como um leão (algo grande que impõe medo), em sua entrevista

foi capaz de perceber pontos positivos no seu aprendizado em decorrência da

metodologia que utilizamos durante o semestre. Em sua fala sobre trabalho em

grupo, que aqui transcrevemos, a aluna reconheceu a interação e a socialização do

conhecimento que ele proporcionou: “...eu, quando estou junto com uma pessoa, aí

a gente vai falando, fazendo a atividade com outra pessoa e cada um raciocinando

junto, eu acho que rende mais e você consegue ... aprender melhor.”, “...a gente vai

falando ...assim ... cada um vai colocando o seu raciocínio e aí fica mais claro’’.

Sobre o uso da linguagem escrita sua avaliação também foi positiva uma vez que

declarou: “É bem difícil você escrever passo a passo ... colocar no papel tudo o que

você pensou.Mas escrever assim é bom”. “É bom porque ela não se perde... Se ela

se perder dá para ela ver pelo raciocínio o que ela fez. Na hora que ela está

escrevendo, ela está pensando”. “Ela tem que passar para o papel o raciocínio. Ela

é obrigada a pensar melhor ... assim ... de um jeito mais fácil”. Aqui, fez referência à

necessidade de clareza e ordenação do raciocínio que a escrita requer.

Acreditamos que também para essa aluna, a diversificação ocorrida nas aulas de

matemática durante o semestre contribuiu também para o desenvolvimento da

metacognição e em decorrência, uma aprendizagem significativa

ALUNO 3B

Quadro 72 - Resposta do aluno 3B para as metáforas sobre sua visão da natureza da matemática num segundo momentoA matemática para você é como? Por quê?



Um dia ensolarado. Porque é bonito, bom, legal mas você tem que ter suas precauções.

Reconhece a beleza da matemática mas ainda não se sente totalmente seguro nessa disciplina.

Coruja. Porque é um animal ligado a sabedoria, segundo os gregos a coruja representa sabedoria e inteligência.

A matemática promove a sabedoria e a inteligência.

Galinha. Porque a galinha não é um animal esperto; não só a galinha mas aqueles animais que são muito mandados.O aluno acrescentou ainda que a matemática é uma matéria complexa e para estudá-la a pessoa tem que estudar muito.

149

Comparando o quadro nº 36 (p. 120) com a entrevista feita ao aluno (p. 141) e com o

quadro nº 72, percebemos que foi positiva para esse aluno a diversificação das

aulas durante o semestre. Não percebe mais a matemática como uma disciplina (um

jogo) cuja satisfação está atrelada somente à obtenção da resposta certa, mas sim

como algo inteligente, bom, belo, que proporciona sabedoria e promove a

independência intelectual. Acredita que as atividades realizadas em grupo

proporcionaram uma maior interação entre aluno/aluno e aluno/professor,

decorrendo daí uma melhor aprendizagem. Sua fala mostra a ocorrência da

socialização do conhecimento e o desenvolvimento da metacognição como

facilitadores da aprendizagem. “Em grupo assim são mais cabeças pensando o

problema e um não entende e o outro explica e vai um explicando para o outro e eu

acho que se aprende mais e melhor”. Sobre a utilização da escrita em nossas aulas,

colocou: “Eu acho uma boa porque você escrevendo seu raciocínio você tem uma

visão do exercício melhor. Você nota o que você pode ter errado, você nota o que

você errou ... o que você deixou de fazer ...”Avaliamos como positiva a diversificação

nas aulas de matemática que nos proporcionamos durante o semestre.

ALUNA 4B




Para mim a matemática é uma transformação de números em resultados que nós temos que pensar e calcular com muita atenção.

Atenção.Transformação.

Seria um leão, pois para mim a matemática é muito poderosa igual a um leão.

Associa poder à matemática.

Um coelho pois ele é um animal frágil e não é poderoso.

Reconhece abrangência e segurança na matemática.

Comparando o quadro nº 37 (p. 121) com o quadro acima, podemos inferir que a

aluna passou a ter uma melhor imagem dessa disciplina. Por não ser mais

comparada a um tigre, a matemática deixou de ser para a aluna uma disciplina

perigosa, misteriosa e que pode a qualquer momento “te pegar desprevenida”, ou

seja, uma disciplina covarde e dissimulada. Hoje, percebe que a matemática é uma

ciência poderosa, cujos resultados são obtidos por meio de raciocínio e de cálculos

150

efetuados com atenção. Aqui também avaliamos como positiva a diversificação

ocorrida nas aulas de matemática no semestre.

ALUNA 5B




A grama porque está em todos os lugares, em tudo na nossa vida.

Reconhece o valor, a qualidade e utilidade matemática.

Um coelho, por utilizar muito a cabeça, o raciocínio, e para mim um coelho tem essas táticas, estratégias.

É uma disciplina que envolve muito raciocínio e que envolve o uso de táticas e estratégias.

A tartaruga porque é muito lerda e não utiliza a sua rapidez e raciocínio para as coisas.

Associa raciocínio rápido a essa disciplina.

Comparando o quadro nº 38 (p. 122) com a entrevista feita à aluna (p. 142) e com

esse quadro nº 74, podemos inferir que para essa aluna a matemática deixou de ser

um “jogo” difícil de ser aprendido, cujas regras pareciam apenas “brincadeiras que

eram feitas com os números” para se tornar coisa séria, presente tanto na escola

como no âmbito do cotidiano. Hoje, valoriza a rapidez de raciocíno e o uso de

estratégias na matemática. Quantos às inovações ocorridas na sala de aula de

matemática durante o semestre, colocamos a fala da aluna referênte à aplicação de

situações-problema: “Eu acho bem melhor porque é algumas coisas do cotidiano,

entendeu? E só equações algébricas a gente fica meio perdida assim... O que aquilo

tem a ver com o cotidiano? E situações-problema têm mais a ver. Dá mais vontade

de aprender!” Quanto ao uso da linguagem escrita nas aulas a aluna declarou: “Eu

acho bom para a gente e bom para o professor também porque o professor pode ver

o quanto a gente está entendendo da matéria... e para a gente ... a gente vê o

quanto que a gente sabe ... porque só pensando talvez não dá certo. Escrevendo a

gente tem a certeza daquilo mesmo que a gente fez. ... a gente discute aquilo que a

gente está fazendo ... e eu acho bem melhor para aprender. Nossa avaliação quanto

à metodologia usada nas aulas durante o semestre foi portanto positiva.Sobre as

atividades realizadas em grupo, destacou: “cada um raciocina de um jeito”.

151

ALUNO 6B




É interessante porque quando você aprende a desenvolver os cálculos certinhos, fica legal.

Idéia de matemática, quando aprendida, pode ser agradável.

Seria um cachorro porque você aprende a dominá-la.

Idéia de que a matemática pode ser dominada.

Um gato. Porque o gato é dócil demais.

A matemática pode ser aprendida, mas não com tanta facilidade.

Comparando o quadro nº 39 (p. 122) com esse quadro nº 74, percebemos que por

não haver compreensão do conteúdo dado em sala de aula, o aluno adotava uma

postura de espectador, pois declarava: “por mais que eu passe o dia todo vendo, eu

não consigo gostar do negócio”. Aliás, sua relação emocional, revelada nas

metáforas utilizadas no quadro nº 39 para com a matemática parecia não ser

favorável. Hoje, a matemática é vista como uma disciplina amigável, agradável, que

pode ser aprendida, dominada. O cachorro, por ser um bicho que ele consegue lidar,

foi escolhido pelo aluno para representá-la metaforicamente. Avaliamos como

positiva a metodologia que utilizamos nas aulas durante o semestre, pois a imagem

que o aluno passou a ter dessa disciplina é, diametralmente oposta à que possuía

no início do semestre.

ALUNA 7B




Uma nova maneira de ver a vida. Porque a cada dia você tem novas descobertas matemáticas assim como a medicina descobre novas formas de experimentação humana.

A matemática como uma ciência em expansão, como produção humana.

Um leão difícil de ser domado. Porque enfrentamos várias dificuldades nos problemas, nas contas, nas resoluções matemáticas, assim como enfrentamos um animal selvagem como o leão.

Ainda tem dificuldade para trabalhar com essa disciplina.

Borboleta. Porque a borboleta é encantadora e sensível. Eu trato a matemática como algo não muito belo porque sinto muita dificuldade nos exercícios matemáticos. A matemática não a seduz, devido à dificuldade que ainda sente na resolução das atividades inerentes a essa disciplina.

152


esse quadro nº 76, podemos inferir que a matemática não é mais uma disciplina

“venenosa e perigosa como uma cobra” e, com a qual a aluna tinha uma atitude de

espectadora. Hoje, a aluna tem consciência das dificuldades que sente ao lidar com

essa disciplina, é capaz de detectar pontos críticos de seu aprendizado e também

está confiante para superá-los. Quanto às inovações ocorridas em sala de aula,

avaliamos que foi positiva para a aluna. Colocamos a seguir trechos de sua fala

sobre as mudanças ocorridas.

Sobre atividades em grupo declarou: “Eu acho que facilita a aprendizagem porque

às vezes você tem uma dificuldade ... mas não é que você não saiba... às vezes

uma dificuldade de raciocínio e o trabalho em grupo inclui assim as pessoas ... todo

o grupo... não excluindo assim o raciocínio individual ... mas dando oportunidade

para cada um pensar um pouquinho ... e formar um raciocínio completo”

Sobre interpretação de textos matemáticos: “Para mim, em problemas a leitura e a

interpretação são essenciais”

Sobre situações-problema declarou: “Eu acho que foi bom para trabalhar o nosso

conhecimento individual porque ...através deles a gente estimulou a nossa

criatividade ... o nosso saber mesmo ... porque a gente tem um saber adormecido e

com esses tipos de problemas que você tem que pensar ... . tem que raciocinar ...

que até matéria que você não sabe ... que você tem que buscar mesmo aprender.

Você não tem um conhecimento só matemático mas um conhecimento de vida

através dos exercícios .... da leitura e interpretação dos exercícios”.

Cabe destacar que a aluna ressaltou a criatividade que o uso de situações-

problema estimulam.

ALUNO 8B




A água. Porque possui inúmeras Um pássaro. Porque pode ir Uma cobra. Porque uma cobra

153

utilidades.

Valoriza e tem consciência da qualidade e utilidade da matemática.

onde quiser.

Reconhece a abrangência dessa disciplina, não a concebendo apenas para dar respostas a perguntas escolares, mas, sobretudo, é capaz de transportá-la para o âmbito do cotidiano.

troca de pele (escamas) inúmeras vezes, já a matemática é a mesma de sempre: pura e original.

Comparando o quadro nº 41 (p. 124) com a entrevista feita ao aluno (p. 144) e com

esse quadro nº 77, podemos acreditar que o aluno percebia a matemática como um

corpo de conhecimento e que novos conteúdos (conhecimentos) eram a ele

incorporados de forma natural e gradativa. Percebia também a matemática como

disciplina que destrói quem não é inteligente. Parecia acreditar que por seu tamanho

(baleia azul) era sempre notada e “metia medo”.

Após diversificarmos as aulas durante o semestre em que realizamos a investigação

verificamos, ao analisarmos o quadro 77, que a imagem da matemática percebida

pelo aluno sofreu transformações. Ao usar a água como metáfora percebemos que a

considera imprescindível em sua vida. Ao compará-la a um pássaro (que pode ir

onde quiser) reconhece o poder e a independência intelectual que ela proporciona.

Ao não compará-la a uma cobra mostra que tem absoluta confiança e segurança em

seu conhecimento matemático. Quanto às inovações ocorridas nas aulas de

matemática durante o semestre, colocamos algumas de suas opiniões:

Sobre situações-problema: “Com certeza acho que dá uma nova visão para as

pessoas que estão aprendendo assim e tal e que dá para ver que a matemática é ...

tem como incluir ela no nosso dia a dia”.

Sobre atividade em grupo: “Dá para ver o que o outro está pensando e ver as

diversas formas de se chegar ao resultado ... os vários caminhos que tem”.

ALUNO 9B




O por do sol. Porque cada dia é diferente e mais bonito.

Idéia de que a matemática não

Uma lesma. Porque mesmo devagar chega longe.

Acredita que o aprendizado da

Mosquito. Porque os mosquitos nas cidades são insignificantes.

Onde há “progresso”, há

154

é sempre a mesma, não é repetitiva, mas sim, algo original.

matemática não está associado a rapidez, esperteza.

matemática.Seu valor, abrangência e importância são sempre percebidos.


esse quadro nº 78, percebemos que o aluno não possuia uma imagem negativa da

matemática embora a considerasse repetitiva. Acreditava que podia dominá-la e

para ele a matemática não se constituia num obstáculo intransponível. Tempo para

dedicar-se a essa disciplina era o que lhe faltava. Hoje, após as diversificações que

ocorreram na sala de aula de matemática durante o semestre em que a pesquisa foi

realizada, algumas mudanças ocorreram relacionadas à sua imagem da matemática:

ela é sempre percebida, valorizada e cada dia mais bela. Acredita que seu

aprendizado não ocorre de forma prescritiva e independe de rapidez. Algumas de

suas colocações na entrevista:

Sobre trabalho em grupo, valoriza a socialização do conhecimento e o exercício da

metacognição: “Acho importante porque a gente pode trocar idéias com quem está

no grupo”.

Sobre o uso de material manipulável: “Acho legal porque facilita ao aluno a ver,

entender o que está estudando”.

Mais uma vez avaliamos como positiva as divgersificações ocorridas em nossa sala

de aula.

ALUNA 10B




Andar. Mas na verdade é a mesma coisa de quando você está aprendendo a andar. Depois que aprende fica fácil.Um obstáculo que pode ser vencido.

Um tigre. Pois é muito difícil de se domar.

É difícil vencer esse obstáculo que é a matemática.

Um cachorro, pois é muito fácil de se domar.

A matemática não é dominada com facilidade.


esse quadro nº 79 podemos observar o que foi ocorrendo com os pensamentos e

155

atitudes da aluna durante as aulas. Ela possuía uma imagem negativa da

matemática, chegando a usar como metáfora uma “cobra de duas cabeças” tal era o

seu grau de incompreensão quanto aos conteúdos ministrados nas aulas de

matemática.

Hoje, acredita que o aprendizado da matemática é ainda um grande obstáculo, mas

que aos poucos vai sendo vencido e deixando de se constituir como tal. Em sua

entrevista reconheceu o valor das interações que ocorrem nas atividades realizadas

em grupo, mais precisamente ao explicar seu raciocínio aos colegas, ou seja,

quando exerce uma atividade metacognitiva: “aí dá para perceber se eu estou

aprendendo ou não”.

Sobre a linguagem escrita em nossas aulas: “É importante porque você escrevendo

chega lá na frente você esquece alguma coisa, você volta lá atrás e vê onde você

está errando”. Esse exercício de reconstituir todo o raciocínio usado na elaboração

do problema é, uma atividade que privilegia o desenvolvimento da metacognição e a

aprendizagem com significado.

Sobre o que também acha importante para que a aprendizagem aconteça: “Eu acho

importante você fazer o seu próprio raciocínio e não fazer as coisas mecanicamente,

tipo, é assim que faz: vou usar essa fórmula e chegar na resposta. Eu acho que

você tem que parar e prestar atenção no que o exercício está pedindo. É importante

você construir um raciocínio para depois fazer. Esse negócio de mecânico, você

esquece uma coisinha e chega no final você acha que está certo e está errado”

Nesse caso também consideramos positiva as mudanças por nós implementadas

nas aulas de matemática, durante esse semestre em que a pesquisa foi realizada.

ALUNA 11B




É sempre um desafio. Que a cada dia que passa nos traz uma surpresa, exigindo de nós esforço e superação, onde melhoramos mais e mais.

Idéia de que a matemática é

Raposa. Pois ela é esperta, ágil e inteligente como deveríamos ser ao estudar matemática pois ela exige agilidade, esperteza, inteligência e também atenção, pois um pequeno erro prejudica toda a resolução do problema.

Tartaruga. Pois ela é lenta. E a matemática exige agilidade e precisão para não ocorrer grandes ou pequenos erros que prejudicarão a execução das tarefas

156

capaz de provocar um desequilíbrio cognitivo que é sempre superado, provocando desenvolvimento.

Agilidade, esperteza e inteligência são para ela pré-requisitos no estudo dessa disciplina. A atenção é necessária já que o erro compromete a resolução do problema.

Agilidade e precisão estão para ela como qualidades inerentes a aprendizagem da matemática..


esse quadro nº 80, destacamos: Com a metáfora “escovar os dentes” que a aluna

utilizou no começo do semestre tínhamos inferido uma imagem prescritiva e

determinística da matemática. Ao compará-la a um tigre, percebemos o quanto a

aprendizagem do conteúdo matemático se constituía em obstáculo. Hoje, parece

perceber a matemática como algo que a instiga, que a desafia, levando-a à

superação e ao desenvolvimento. Ao compará-la a uma raposa acredita que essa

disciplina requer esperteza, inteligência, atenção e agilidade para que seu

aprendizado ocorra. Também alguns detalhes de sua fala, nos permitem avaliar

como positiva as diversificações que implemenmtamos na sala de aula durante a

realização da pesquisa:

Sobre o uso da linguagem escrita nas aulas de matemática: “... faz a própria pessoa

entender melhor. Às vezes você acha que entendeu, faz o cálculo correto e na hora

de explicar você não consegue. Se você consegue explicar e escrever tudo certinho,

fica bem mais fácil de entender”.

Sobre atividades realizadas em grupo: “Quando a gente conhece idéias diferentes

que compartilha com os outros... fica bem mais fácil”.

ALUNO 12B




Um esporte porque quanto mais você pratica, mais você melhora..Idéia de que o aprendizado da matemática é decorrente da prática..

Um leão porque exige agilidade e raciocínio em suas caçadas, assim como a matemática exige muito raciocínio para resolver problemas.

Idéia de agilidade e de raciocínio no sentido de melhor estratégia a ser seguida na resolução do problema.

Bicho preguiça porque é preguiçoso e lento e a matemática é totalmente o contrário.

Idéia de agilidade e rapidez associadas ao aprendizado da matemática

157


esse quadro nº 81, podemos fazer as seguintes observações:

O aluno assinalava (com suas metáforas no quando nº 45) possuir uma imagem

bastante negativa da matemática. As diversificações em sala de aula que ocorreram

durante o semestre em que realizamos a pesquisa contribuiu para mudança dessa

imagem negativa, uma vez que o aluno declarou na entrevista realizada:

Sobre o uso da linguagem escrita: “É importante porque ... é assim ... eu acho que

não fica aquele cálculo ... você aprende a matéria . Você lê o exercício e entra com o

cálculo automático. Assim... escrevendo ... você aprende a interpretar a matéria, o

exercício e fazer sua resposta de acordo com o exercício ... interpretando e

resolvendo. Assim fica melhor ... facilita a visão do exercício ... os dados que ele te

dá para resolver. Você escrevendo fica bem melhor! Facilita a aprendizagem.

Sobre as atividades realizadas em grupo: “Eu acho muito bom! Muito bom! Porque

você compartilha idéias diferentes entendeu? E porque quando você vai fazer

sozinho, se você errar e você mesmo for tentar corrigir, recorrigir o seu erro, tentar

fazer de novo, você ainda vai permanecer no seu erro, entendeu? É bem difícil você

ver o que você esta errando! Mas com outras pessoas, você vendo idéias, outras

pessoas dando palpites, entendeu? Para te mostrar, te explicar onde você está

errando, é muito melhor. O trabalho se desenvolve muito melhor e você fixa melhor

a matéria.

Hoje, acredita que praticando é capaz de aprender matemática. Ao usar a metáfora

do Leão, não se coloca como domador, mas sim como o próprio leão, Crê que a

agilidade e o raciocínio que o leão possui, são atributos que podem ajudar no

aprendizado dessa disciplina. Raciocinando é capaz de descobrir como resolver

problemas. Mais uma vez ficam evidências confirmando que a diversificação nas

aulas de matemática ajudam na aprendizagem e melhoram a relação afetiva dos

estudantes para com essa disciplina.

158

Atividades dos alunos sobre resolução de problemas

Aplicação, análise e relato das soluções dos alunos de atividades de resolução de

problemas feita no dia 12/05/2008. Estas atividades foram feitas com vistas a buscar

compreender o raciocínio do aluno, com o Instrumento IX (em Anexos, p. 216).

Análise dos problemas da quadra de basquete e do trapezóide

Exercícios rotineiros e artificiais, por mais bonitos e sofisticados que possam

parecer, não possuem um sentido para o aluno; penso que por meio do mundo real

é possível buscar motivação para a matemática, uma vez que questões sobre sua

aplicabilidade têm sido formuladas desde a antiguidade.

Conta-se que Euclides (séc. III a. C.), em meio a uma de suas preleções no museu de Alexandria, ouviu de um presente, a propósito de um teorema que demonstrava, uma pergunta que vem se repetindo ao longo dos séculos, desde então, nas aulas de matemática:”Mestre, qual a utilidade prática disso?”. Euclides, para quem, segundo parece, a matemática tinha um encanto próprio, independente de possíveis aplicações, teria mandado seu escravo dar uma moeda àquele “discípulo imediatista” para que ele, assim, não gastasse seu tempo em vão (BUSHAW 27, 2007, p. 1).

Acredito que uma situação-problema, além de motivar o aluno com problemas reais,

mostrando a utilidade de cada conteúdo ministrado, é também capaz de nos mostrar

se o conteúdo programático seguiu sozinho ou se o aluno “caminhou” com ele e, por

assim ser, abre possibilidades de variações no programa de maneira a atender as

necessidades do aluno. Com esse objetivo, o problema da quadra de basquete, que

é um problema de área máxima, foi proposto.

27 BUSHAW, Donald. et al. Aplicações da matemática escolar. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 2007.

159

Figura 11 – Problema da quadra de basqueteFonte: DANTE (2005, p.150)

Nenhum dos alunos tentou relacionar perímetro e área. A tentativa e erro foi a

estratégia usada por todos e somente o aluno 8B acertou.

ALUNO 8B

Figura 12 – Resolução do problema da quadra de basquete pelo aluno 8B

A maioria dos alunos apresentou raciocínio quase correto, uma vez que, por meio de

tentativas, foram modificando os valores dos lados do retângulo. Vejamos, por

exemplo, as estratégias usadas pelos outros alunos. Iniciamos colocando a solução

da aluna 11B.

ALUNA 11B

160

Figura 13 - Resolução do problema da quadra de basquete pela aluna 11B

Um erro que quase todos cometeram foi não terem admitido o quadrado como

elemento do conjunto dos retângulos. Isso me levou a crer que talvez a ênfase

tenha sido dada às diferenças entre as diversas figuras planas e não às suas

características comuns: 4 ângulos retos. Também pude verificar que não possuem

um conhecimento significativo sobre conjunto universo. Com isso, surgiu uma

possibilidade de variação no programa curricular de modo a trazer aprendizagem e

pesquisa. Aproveitei o que percebi nas análises das soluções dos alunos para

realizar mudanças em minha programação e para retomar a discussão de tópicos

como o estudo de quadriláteros, suas características e propriedades.

ALUNA 5B

161


ALUNO 3B

Figura 15 - Resolução do problema da quadra de basquete pelo aluno 3B

162

ALUNA 1B


ALUNA 10 B


163

ALUNA 7B


Outro procedimento que usei após ver as soluções dos alunos foi o de resolvermos

todos juntos o problema no quadro. Segue abaixo o diálogo que tivemos nesta aula.

Pe: Quais são os dados? O que o problema nos diz?

Alunos: Que temos 200m de tela para cercar o terreno em volta da quadra e que a

área deve ser a maior possível.

Pe: Bem, o que precisamos é determinar o comprimento e a largura do terreno para

que a área seja a maior possível. Como podemos representar essas nossas

incógnitas?

Alunos: Com x e y

Pe: Os 200m de tela vocês utilizaram na representação do perímetro, do contorno.

20022 =+ yx E a área também não teve problema, todos vocês conseguiram

fazer sua representação: yxS = .

164

Todos os meus alunos sabiam o conceito e a representação tanto da área do

retângulo como do seu perímetro. O “problema” começou ao não serem capazes de

perceber que com essas duas informações poderiam resolver o sistema.

Começamos então a resolvê-lo pelo método da substituição:

=−=⇒=+

yxSxyyx 100100

)100()( xxxS −=

xxxS 100)( 2 +−=

Pe: Essa expressão representa a área em relação à dimensão x. Que outro nome poderia dar a essa expressão?

Alunos: Função?

Pe: Isso, isso. Mas que tipo de função?

Alunos: do 2° grau.

Pe: Isso! Vamos construir o gráfico e analisar. Repare o sinal do x ao quadrado.

Alunos: É negativo.

Pe: E isso geometricamente representa o quê?

Alunos: Que a parábola está com a concavidade voltada para baixo.

Pe: Isso! E isso significa o quê?

Alunos: Que a função vai assumir um valor máximo.

Pe: Que valor é esse que faz com que a parábola tenha valor máximo?

Alunos: O x do vértice da parábola.

Pe: Isso! E como vamos determinar?

Alunos: Usando a fórmula ??????

Pe: Tá bem! Mas vamos ver se tem outro caminho. Olhem bem para o esboço do gráfico e pensem um pouquinho!

Alunos: O valor de x é o “meio” das raízes. É 50.

Pe: E agora? Agora que já temos o valor de x como podemos achar o valor de y?

Alunos: É só substituir na expressão do perímetro e achar o y.

165

Pe: O que vocês notaram?

Alunos: O valor de X é igual ao valor de Y. O comprimento é 50 e a largura também.

Pe: Será que quando a área for máxima o terreno será sempre um quadrado?

Resolução escrita dos alunos 8B e 7B na resolução da atividade.

ALUNO 8B

Figura 19 – Resposta do aluno 8B

ALUNA 7B

Figura 20 - Resposta da aluna 7B

166

Outro procedimento desenvolvido em sala de aula foi a apresentação de uma outra

situação-problema semelhante a essa, de modo a garantir um conhecimento real,

uma vez que pela minha experiência, acredito que trabalhando uma única vez

determinada situação não se pode garantir que houve aprendizagem. É preciso que

os alunos entrem em contato com outras possibilidades, com variações de um

mesmo problema, de modo que o potencial para aprender se torne conhecimento

real. Como tarefa para a próxima aula, sugeri que verificassem se quando a área for

máxima o retângulo será sempre um quadrado e que resolvessem o problema

abaixo.

“Em uma fazenda, um trabalhador deve construir um galinheiro de forma retangular.

Dispondo apenas de 30m de tela, o homem decide aproveitar um velho muro como

uma das laterais do galinheiro. Qual será a área máxima desse cercado, sabendo

que o muro tem extensão suficiente para ser lateral de qualquer galinheiro

construído com essa tela?”

Antônio José Lopes (2007) assegura que: “o erro se constitui como um

conhecimento” já que: “Descartando os erros cometidos por desatenção ou

descuido, em muitos casos os erros são hipóteses legítimas baseadas em

concepções e crenças adquiridas ao longo da vida escolar” (p. 11). Acredita que

sob essa perspectiva, o aproveitamento didático dos erros foi um precursor do que

hoje é chamado de “Investigações Matemáticas na sala de aula”. Helena Noronha

Cury (2007) coloca que:

Efetivamente, detectar os erros dos alunos apenas para conhecê-los, algumas vezes citando-os como “piadas”, não os ajuda a se conscientizarem das dificuldades. Acredito ser necessário compreender o que o aluno “sabe”, ou melhor, como determinado conhecimento, estabelecido em certo momento de sua vida, está funcionando como obstáculo para a superação da dificuldade e o que suas respostas “decoradas” estão encobrindo em termos de não-conhecimento (p. 48).

Percebi que seria necessário nesse momento o retorno à geometria plana, a fim de

que esse obstáculo fosse vencido. Para isso, teria que oferecer a meus alunos uma

atividade que proporcionasse uma aprendizagem significativa e, para que ela

realmente acontecesse, não poderia ser uma simples repetição de propriedades já

vistas e esquecidas. Recorri então ao livro do Projeto Fundão, do Instituto de

Matemática da UFRJ, intitulado Avaliação de aprendizagem e raciocínio em

167

matemática: métodos alternativos (SANTOS, 1997). Esse livro reúne material

discutido e compartilhado com professores em encontros de grupos de estudo e em

oficinas realizadas com educadores do estado do Rio de Janeiro e de diferentes

estados brasileiros. O livro traz exercícios que procuram despertar no aluno uma

outra relação com a matemática, fazendo com que os educandos vejam essa

matéria sem o estigma do fracasso. Assim, com os objetivos de avaliar a utilidade

das informações fornecidas, raciocinar indutiva e dedutivamente, deduzir as

propriedades das figuras geométricas e formular conclusões lógicas, lancei mão de

uma das atividades dessa obra.

"A vingança do Trapezóide"

Dentro de um laboratório, imobilizado numa esteira, encontra-se um paralelogramo

já deformado, parte do plano diabólico do trapezóide, quando um misterioso

quadrilátero entra em ação e, tal como um super-herói, assusta o vilão.

Figura 21 - Ilustração do problema ‘A vingança do trapezóide’Fonte: Santos (1997, p. 174)

Qual será o quadrilátero que surge para salvar a vítima?

Ao selecionar a atividade “A vingança do trapezóide”, não estava me sentindo

segura no que diz respeito ao nível do exercício que me pareceu um pouco

elementar, mas mesmo assim resolvi que iríamos fazê-la e, para isso, recortei em

uma folha de papel ofício vários quadriláteros de diversos tamanhos. Minha dúvida

168

era quanto ao que meus alunos poderiam aprender, se essa atividade proporcionaria

uma aprendizagem significativa ou se através dela estaríamos somente repetindo

conhecimento já adquiridos.

Distribuí vários quadriláteros para cada um dos meus alunos presentes e fiquei

surpresa quando a 1ª pergunta feita foi: “o que é mesmo bissetriz?”. Várias

observações foram surgindo à medida que iam segurando e observando os

quadriláteros sobre a carteira. “Como é mesmo o nome desse aqui? “losango”, “ele

tem os lados iguais e dois ângulos maiores e dois menores”,

Aluno 8B: “No paralelogramo as diagonais são iguais, têm a mesma medida!”

Aluna 1B: “São mesmo?”

Aluno 8B: “São, tenho certeza!”

Aluna 1B: “Não, não são não!”

Aluno 8B: “São sim, eu tenho certeza!”

Aluna 1B: “Pega a régua e mede! Vai, pega a régua e mede!”

Aluno 8B: Pega a régua e começa a medir cada uma das diagonais do

paralelogramo. “É mesmo...”

O procedimento usado para descobrir o “super herói” foi o de irmos separando cada

grupo de quadriláteros conforme as propriedades informadas na atividade. Essa

atividade proporcionou uma “revisão” das características dos diversos quadriláteros.

Alguns alunos ainda tinham dificuldades nos vários tipos de trapézio.

O que achei bastante interessante foi o interesse e curiosidade com que os alunos

manipularam as diversas figuras e acredito que esse material tão singelo vai deixar,

na mente de muitos deles, conhecimentos que levarão para além da vida escolar.

169

Figura 22 - Foto 1 do desenrolar da atividade

Figura 23 - Foto 2 do desenrolar da atividade

Análise do problema do campeonato

Situação-problema apresentada à turma B, no dia 05/05/2008 usando o

instrumento X (em Anexos, p. 217). Ao propor essa atividade, tinha diversos

objetivos. Iniciallmente queria investigar o conhecimento real do meu aluno no

sentido de descobrir aquilo que ele era capaz de fazer sozinho. Também queria

170

provocar o desenvolvimento da metacognição, uma vez que ele teria que escrever

explicando o que fez, e com isso seria obrigado a pensar novamente sobre como fez

o problema e a ordenar o raciocínio que teve. Além desses dois objetivos, queria

também mostrar situações do cotidiano em que é empregada a função quadrática.

Finalmente tinha objetivos de verificar se fazem conexões com outros conteúdos e

desenvolver o raciocínio lógico independente, possibilitando a criatividade. O

problema abaixo foi extraído do livro Matemática: contesto & aplicações (DANTE,

2005).

Um campeonato é disputado em dois turnos, ou seja, cada time joga duas vezes com

cada um dos outros. O total de partidas é de 380. Quantos times disputam esse

campeonato? (DANTE, 2005, p.128).

Nessa atividade, várias das múltiplas inteligências identificadas por Howard Gardner

(2002) estariam sendo ativadas, como:

Lingüística - ao relatar o raciocínio, mostra a habilidade com que usa a linguagem

para transmitir idéias.

Lógico-matemática – manifestada ao conseguir explorar padrões, sistematizar e

organizar o raciocínio, bem como argumentar matematicamente sobre suas

descobertas.

Intrapessoal – revelada na habilidade com que lança mão de suas próprias idéias e

sentimentos na resolução da situação-problema.

Ao distribuir a atividade, falei da importância que deveriam dar à interpretação, à

compreensão do problema. Era importante que estabelecessem um plano, uma

estratégia para resolver o problema, que identificassem o que era dado e o que era

pedido. Pedi também que fossem relatando cada uma das etapas do raciocínio

utilizado, já que, segundo Santos:

Pesquisas também sugerem que o uso de atividades de linguagem escrita em que os alunos tenham que explicar seu raciocínio podem desenvolver pensamento crítico e raciocínio matemático, ajudar a construir e/ou negociar significados, melhorar as habilidades de resolução de problemas, e podem ajudar os alunos a organizar seu conhecimento e pensamento de forma clara. Além disso, as atividades de linguagem escrita diminuem a ansiedade

171

matemática e as atitudes negativas com relação à matemática (SANTOS, 1994, p. 8).

Ao entregar a folha com a atividade, o desânimo foi geral. A aluna 1B leu e com uma

expressão triste e desanimada falou que não ia conseguir fazer nada: “não sei fazer

não!”, “não sei nem começar!”. O aluno 8B, de expressão bastante séria também

disse que não conseguiria: “não consigo, não sei fazer isso não!”. E a aluna 5B,

muito desanimada completou: “só vou tentar porque é com a senhora e eu gosto

muito da senhora, se fosse outro eu nem tentaria porque não sei nem começar”.

Esperei que todos lessem o problema e que desenvolvessem alguma estratégia

para resolvê-lo e como nenhum dos alunos se manifestou, dei uma pista: procurem

começar verificando a quantidade de partidas que podem ser jogadas com um

número menor de times e veja se conseguem relacionar quantidade de partidas

jogadas com número de times. Polya (1978/1945) acredita que:

O estudante deve adquirir tanta experiência pelo trabalho independente quanto lhe for possível. Mas se for deixado sozinho, sem ajuda ou com auxílio insuficiente, é possível que não experimente qualquer progresso. Se o professor ajudar demais, nada restará para o aluno fazer. O professor deve auxiliar. Nem demais nem de menos, mas de tal modo que ao estudante caiba uma parcela razoável do trabalho (p.1).

Com a estratégia sugerida, os alunos começaram a construir a solução da situação

apresentada e conforme foram conseguindo resultados passaram também a ficar

cada vez mais animados.

Musser & Shaughnessy (1997/1980) consideram as estratégias a essência do

processo de resolução de problemas; acreditam que é preciso considerar a

resolução de um “caso particular”, ou seja, de uma versão mais simples de um

problema complexo, já que resolução de um problema mais simples pode nos

fornecer padrões, possibilitando generalizações que levam à resolução do problema

complexo.

Acredito que esses alunos puderam, através dessa atividade, experimentar o prazer

da matemática, a satisfação da descoberta uma vez que o aluno 8B relatou: “Estou

me sentindo o próprio Bhaskara” e que a aluna 1B escreveu: “Eu realmente superei

minhas expectativas” e segundo Polya (1978/1945)

172

Se o aluno tiver experimentado o prazer da matemática ele não irá esquecê-la facilmente e então existe uma boa chance de que a matemática se torne alguma coisa para ele: um hobby, ou uma ferramenta de trabalho, ou a sua profissão, ou uma grande ambição (p. v ).

Sobre a expressão “Estou me sentindo o próprio Bhaskara!”, é visível a satisfação

do aluno. Ele está se sentindo um matemático, já que conseguiu construir todo o

raciocínio da situação apresentada e obter a solução correta. De uma situação “não

consigo, não sei fazer isso não!”, chegou a “Estou me sentindo o próprio Bhaskara!”.

Gómez Chacón (2003/2000) destaca que:

As crenças sobre a aprendizagem da matemática são um fator importante em termos de motivação. Os estudantes chegam à sala de aula com uma série de expectativas sobre como deve ser a forma que o professor deve ensinar-lhes matemática. Quando a situação de aprendizagem não corresponde a essas crenças se produz uma grande insatisfação que interfere na motivação do aluno (p. 67).

ALUNO 8 B

A quantidade de partidas disputadas no primeiro e no segundo turno por todos os

times que participam do campeonato totaliza 380.

Figura 24 – Resolução do problema com um problema mais simples pelo aluno 8B

O aluno 8B usou como estratégia para a resolução desse problema um outro

problema mais simples, formulado a partir da pista dada. Esta é uma estratégia que

poderia ter ocorrido a ele próprio, com a finalidade de obter padrões e

generalizações que o levassem à resolução da situação-problema apresentada.

173

Figura 25 – Continuação resolução problema pelo aluno 8B

A partir daí, ele estabeleceu a lei de formação: a quantidade de partidas jogadas é

obtida multiplicando a quantidade de times por quantidade de times menos um.

Chegou à fórmula matemática que expressa a lei dessa função.

Figura 26 – Explicação do aluno 8B sobre sua resolução

A quantidade de partidas jogadas é função da quantidade de times que participaram

do campeonato. Calculou a quantidade de times que devem participar do

campeonato nos dois turnos para que 380 partidas sejam realizadas. A quantidade

de times é representada por um número natural.

174

Figura 27 – Continuação da explicação do aluno 8B referente ao problema

A situação-problema, por não possuir solução evidente, fez com que o aluno

combinasse seus conhecimentos em busca da solução, passando então a se

perceber como ser pensante e produtor do seu próprio conhecimento.

Figura 28 – Conclusão do aluno 8B sobre sua aprendizagem a partir deste problema

175

ALUNO 2B

Construiu uma tabela começando com o menor número possível de times para que

haja uma partida e chegou à solução do problema.

Escreveu todo o procedimento de como chegou à solução.

Figura 29 – Resolução do problema pela aluna 2B

Figura 30 – Reflexão da aluna 2B sobre sua aprendizagem a partir da resolução do problema

Percebemos que ele pontua o resultado e demonstra satisfação por ter conseguido.

176

ALUNA 7 B

Figura 31 – Resolução da aluna 7B

177

ALUNO 9B

Figura 32 – Resolução do aluno 9B

Achou também outra possibilidade para chegar à solução. Percebeu a forma de

agrupamento: Arranjo, conteúdo que está sendo dado na sua turma “normal”, o 3º

período de Construção de Edifícios integrado ao Ensino Médio.

Figura 33 – Outra solução dada pelo aluno 9B

A avaliação do aluno.

Figura 34 – Reflexão e avaliação dada pelo aluno sobre a solução desse problema

178

ALUNO 12 B

Figura 35 – Solução do aluno 12B

Figura 36 – Reflexão do aluno 12B sobre a resolução desse problema

179

Hoje, meus alunos passaram de desanimados e incrédulos a confiantes, com a auto-

estima elevada em decorrência do bom desempenho na resolução do problema.

Alguns chegaram mesmo a escrever como estavam se sentindo, da mudança na

sua relação com a matemática e a mudança do seu próprio auto-conceito,

conseqüência de seu bom desempenho. Tive também a oportunidade de não errar,

supondo que o desenvolvimento do meu aluno fosse só até onde ele era capaz de

sozinho resolver problemas, e também a oportunidade de constatar do quando ele é

capaz de aprender e do quanto é criativo, uma vez que combinou conhecimentos

adquiridos anteriormente para solucionar uma situação nova.

É importante que o professor tenha uma preocupação constante no sentido de

elaborar práticas pedagógicas que ajudem seus alunos na resolução de uma

atividade em que eles a princípio não se consideram capazes para fazerem

sozinhos. É preciso que se trabalhe no que Vygotsky denominou zona de

desenvolvimento proximal, nas funções em vias de construção. Penso que através

de atividades que obrigam o aluno a combinar aquilo que já sabem, eles se tornam

sujeitos de seus próprios processos de construção do conhecimento. O professor

deve atuar de modo que o aluno possa desenvolver cada vez mais esse potencial.

Atividade investigativa

O Instrumento XI (em Anexos, p. 217). constou de uma atividade de natureza

investigativa, que foi aplicada no dia 02/07/2008. Esta atividade foi trabalhada com o

objetivo de promover a valorização do aluno, o desenvolvimento da atitude

investigativa, a criatividade, a familiarização e a consolidação de conceitos

matemáticos já vistos e muitas vezes esquecidos por meus alunos em regime de

dependência. Por isso, propus esta atividade que retirei do livro Investigações

Matemáticas na Sala de Aula (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006, p. 27)

intitulada Explorações com números. É uma atividade que pode ser aplicada em

qualquer série escolar e, portanto, as explorações ocorrem em diferentes níveis de

180

aprofundamento e podem ser feitas por alunos com diferentes graus de

desempenho escolar.

Planejamento, relato da aplicação e análise das descobertas na aplicação da

atividade investigativa explorações com números –

Planejei que a atividade seria feita em grupo e que meus alunos utilizariam uma hora

de aula na descoberta e escrita de cada regularidade encontrada, bem como nas

discussões em grupo. A outra hora da aula seria para que um membro de cada

grupo fosse ao quadro e colocasse o que seu grupo tinha descoberto, de modo a

não só socializar cada uma das inúmeras regularidades descobertas por cada grupo,

mas também a ativação da capacidade da comunicação oral ao defender sua

descoberta.

O que de fato aconteceu:

A atividade investigativa não deixou nada a desejar quanto a interesse e boa

vontade em pesquisar regularidades. Pedi que se organizassem em grupo de 3

elementos, que fossem explorando a tabela, procurando regularidades, marcando

cada uma delas na tabela e que também fossem escrevendo cada uma das

descobertas. Dei uma folha com várias tabelas xerocadas a cada um dos

componentes dos grupos e dei também uma folha com uma única tabela para que

me entregassem como resultado da investigação feita pelo grupo. Como foi dada

uma folha com várias tabelas a cada integrante do grupo, fiquei com medo de que

fizessem uma grande colcha de retalhos e por isso fiz questão de que procedessem

da seguinte maneira: cada regularidade descoberta seria compartilhada na mesma

hora com o restante do grupo e assim cada um poderia reconstruir o pensamento

ao explicá-lo aos colegas do grupo.

Eu estava fazendo questão que assim procedessem para que o trabalho em grupo

fosse realmente uma fonte de aprendizagem. Quando descobriam uma propriedade

mais "complicada", a dificuldade na maioria das vezes era em escrever. O

procedimento também para a escrita era de que quem descobrisse a propriedade

"complicada" discutisse com os colegas a melhor forma de escrevê-la. Expliquei que

se assim não procedessem, uma das funções da atividade estaria prejudicada, pois

181

faltaria a parte da linguagem escrita e essa era necessária para que eles

reconstruíssem e organizassem o raciocínio que tiveram.

Ao término da primeira hora de investigação, várias regularidades descobertas e

encontradas pelos alunos nos grupos foram compartilhadas com todos os grupos,

uma vez que alunos representantes de cada grupo iam ao quadro e colocavam, com

bastante entusiasmo, as descobertas por eles efetivadas.

Esses momentos eram de realizações, já que foram desencadeados a partir de

questões observadas pelos alunos. Essa alegria em comunicar o que descobriram

encontrava-se também traduzida na firmeza, segurança e no poder de argumentar

sobre cada descoberta feita e, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais

(PCN), “... é preciso superar a visão enciclopédica do currículo, que é um obstáculo

à verdadeira atualização do ensino, porque estabelece uma ordem tão artificial

quanto arbitrária” (BRASIL, 2000, p. 99).

Quando fomos fazendo no quadro a representação de onde se encontrava cada

elemento da tabela (representação descoberta pelo grupo formado pelos alunos 4B,

5B, 8B e 11B) e, quando construímos a fórmula que dá a soma dos termos dos

elementos de qualquer linha, o encantamento foi geral. Alguns alunos fizeram

questão de levar para casa folhas com a atividade para aplicar nos irmãos e ver o

que eles conseguiriam descobrir.

Durante essa tarefa, os alunos se envolveram, realizaram investigações e

explorações matemáticas. Pude constatar o poder que ela também possibilitou no

sentido de promover um espírito investigativo e, acredito que “É preciso mudar

convicções equivocadas culturalmente difundidas em toda a sociedade, de que os

alunos são os pacientes, de que os agentes são os professores e de que a escola

estabelece simplesmente o cenário do processo de ensino” (PCN, BRASIL, 2000, p.

99).

As fotos inseridas no final da análise explicitam a participação e entusiasmo na

realização dessa tarefa de investigação matemática.

182

O QUE O GRUPO FORMADO PELOS ALUNOS 4B, 5B, 8B, 11B FOI CAPAZ DE FAZER:

Figura 37 – Resolução atividade investigativa em grupo

183

Criou uma legenda identificando os múltiplos de três e de cinco, bem como as diagonais em que são encontrados na tabela. Oportunidade para revisar conceitos de múltiplos e divisores.

Figura 38 – Explicação da legenda criada pelo grupo

Outras regularidades foram observadas:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ...

Figura 39 – Outras regularidades encontradas na atividade investigativa

A regularidade observada é que entre dois quadrados perfeitos consecutivos da seqüência de números naturais existe sempre um intervalo contendo o número de termos do intervalo anterior mais dois. Com esse procedimento é obtida a seqüência de números naturais quadrados perfeitos ( 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... ).

de 0 a 1 → nenhum “termo” interpolado entre o 1º e 2º termo da seqüência.

de 1 a 4 → dois “termos”* ( os números 2 e 3) interpolados entre o 2º e 3º termos da

seqüência observada.

de 4 a 9 → quatro “termos”* ( os números 5, 6, 7 e 8) interpolados entre o 3º e 4º

termos da seqüência observada.

184

de 9 a 16 → seis “termos”* ( os números 10, 11, 12, 13, 14, 15) interpolados entre o

4º e 5º termos da seqüência observada.

*o número de termos do intervalo anterior mais 2.

Com essa descoberta feita pelo grupo, surge a oportunidade para introduzir o

conceito de seqüências e a construção da sua lei de formação por recorrência. Aqui

cabe ressaltar que:

A realização de investigações na aula de Matemática implica que menos tempo seja destinado para outras atividades. Ora, o tempo é um fator que todo o professor tem de ponderar na sua prática, exigindo a tomada de decisões. Diante dos objetivos que se propõe atingir com os seus alunos, ele, melhor do que ninguém, pode decidir o que fazer. A realização de uma investigação requer certo tempo, mas o que se gasta [...] o trabalho efetuado no âmbito de uma investigação, em torno de determinado conteúdo matemático, pode revelar-se de tal forma produtivo que o professor já não vê a necessidade de voltar a trabalhá-lo, ganhando assim tempo para dedicar a outro assunto (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, p.141).

Como conseguiram determinar a localização de qualquer número da tabela:

estabeleceram que “a primeira linha da tabela define a quantidade de resto” e a

partir daí localizaram a posição do número na tabela, observando o significado do

quociente e do resto ao efetuar a divisão de determinado elemento da tabela por

quatro. Ao procurar justificar matematicamente sua descoberta, esse grupo deu

sentido à investigação realizada.

Figura 40 – Explicação dos alunos das descobertas realizadas

185

A observação da regularidade na qual a soma de certa quantidade de elementos

consecutivos de uma coluna e a soma dessa mesma quantidade de elementos

consecutivos e correspondentes da coluna que se encontra mais à direita desta

diferem de uma quantidade fixa de unidades e que esse resultado é coincidente com

o número de linhas do intervalo somado.

Figura 41 – Explicação dada pelos alunos para algumas relações encontradas na atividade investigativa

1514131211109876543210

11109876543210

12 15 18 2124 28 32 36

318214323631518428323121542428

=−=−=−=−=−=−

3 é o número de linhas somadas.

4 é o número de linhas somadas

Aqui é importante que o professor faça com que seus alunos percebam o caráter

provisório da conjectura e sintam a necessidade de justificar matematicamente a

afirmação que fizeram. Acredito ser um bom momento para começarem a fazer uso

de pequenas provas matemáticas.

186

13 + 29 = 42 20 + 22 = 4234 + 58 = 9245 + 47 = 92

Figura 42 – Resolução com exemplos de descobertas realizadas pelos alunos

Como o grupo avaliou essa tarefa.

Figura 43 – Avaliação do grupo sobre esta atividade investigativa

187

O QUE ESTE GRUPO 2 (FORMADO PELOS ALUNOS 2B E 7B) FOI CAPAZ DE FAZER:

Figura 44 – Resolução grupo 2 da atividade investigativa

Nessa investigação é possível enriquecer cada uma das regularidades observadas,

de modo a estabelecer conexões e promover a compreensão dessas relações,

abordando, por exemplo: múltiplos e divisores de um número natural, bem como a

representação matemática dos números naturais pares. Oportunidade para o estudo

de seqüências e, em particular, progressão aritmética.

Figura 45 – Escrito dos alunos sobre uma de suas descobertas

188

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...

Figura 46 – Segunda descoberta pelo grupo

2ª coluna: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, ...3ª coluna: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, ...4ª coluna: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, ...

Figura 47 – Terceira descoberta pelo grupo

1, 4.2, 5, 8.3, 6, 9, 12.

E assim por diante.

O conceito de diagonal pode ser revisto e a partir daí, uma conexão com figuras

geométricas planas.

Figura 48 – Outra descoberta realizada pelos alunos em grupo2, 7.1, 6, 11.0, 5, 10, 15.

E assim por diante.

Oportunidade para rever diagonal e a partir daí, uma conecção com figuras

geométricas planas.

189

Figura 49 – Descoberta em relação a soma dos números das colunas

0 + 1 + 2 + 3 + 12 + 13 + 14 + 15 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 54 = 54

Será que isso tem a ver com o número de linhas ou com o número de colunas?

Figura 50 – Outras regularidades em relação as colunas

1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + ... + 4 9 - ( 0 + 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + ... 48 ) = 13

Isso se repete regularmente.

Aqui consideraram a tabela finita.

Figura 51 – Descoberta em relação as diagonais

0 + 5 = 1 + 40 + 6 = 2 + 41 + 6 = 2 + 53 + 6 + 9 + 12 = 0 + 5 + 10 + 15

190

Figura 52 – Descobertas sobre as somas dos números de diferentes colunas

0 + 4 + 8 + ... + 4 8 + 3 + 7 + 11 + ... + 51 = 1 + 5 + 9 + ... + 4 9 + 2 + 6 + 10 + 50.

Figura 53 – Mais descobertas relacionadas as colunas horizontais

(48 + 49 + 50 + 51 + 40 + 41 + 42 + 43 ) – ( 44 + 45 + 46 + 47 + 36 + 37 + 38 + 39 ) = 32

Figura 54 – Relações entre a soma de duas colunas horizontais

4 + 5 + 6 + 7 – (0 + 1 + 2 + 3 ) = 1616 + 17 + 18 + 19 – (12 + 13 + 14 + 15 ) = 16

Como o grupo avaliou essa atividade

Figura 55 – Avaliação desse grupo sobre esta atividade

191

O QUE ESTE GRUPO 3 (FORMADO PELOS ALUNOS 4B, 6B E 9B) FOI CAPAZ DE FAZER:

Figura 56 – Descobertas realizadas pelo grupo 3

2 + 5 = 7 2, 7.1 + 5 = 66 + 5 = 11

1, 6. 11.

0 + 5 = 55 + 5 = 1010 + 5 = 15

0, 5, 10, 15.

192

Criou uma identificação para a diagonal e identificou o intervalo da seqüência (de 5

em 5).

Figura 57 – Escrita de descoberta em relação à diagonal

Criou uma identificação para a diagonal e identificou o intervalo da seqüência (de 3

em 3).

1 + 3 = 4 1, 4.2 + 3 = 55 + 3 = 8

2, 5. 8.

3 + 3 = 66 + 3 = 99 + 3 = 12

3, 6, 9, 12.

Figura 58 – Descoberta sobre números pares e impares na tabela

A seqüência par / ímpar dos elementos no conjunto dos números naturais.

Figura 59 – Descoberta sobre os múltiplos de 3 na tabela

Identificou a posição das diagonais nas quais todos os elementos são múltiplos de

três.

Figura 60 – Análise sobre a soma dos números de cada linha e suas relações

Observou que a soma dos elementos de cada “linha horizontal” é igual à soma dos

elementos da “linha horizontal” anterior, acrescido de 16 unidades.

193

Figura 61 – Análise sobre a soma dos números das colunas

(0+4+8+12+16+20+24+28+32+36+40+44+48) + 13 = 1+5+9+13+17+21+25+29+33+37+41+45+49.

Figura 62 – Análise sobre o resultado da soma e sua posição na tabela

0+1+2+3 = 6 (se encontra na terceira coluna).4+5+6+7 = 22 (se encontra na terceira coluna)8+9+10+11 = 38 (se encontra na terceira coluna).

Figura 63 – Descoberta sobre quadrado dos números da 1ª coluna

4 está na primeira fila e 42 que é 16 também está na primeira fila.8 está na primeira fila e 82 que é 64 também está na primeira fila.

Figura 64 – Descoberta sobre quadrado dos números da 2ª fila

5 está na segunda fila e 52 que é 25 também está na segunda fila.9 está na segunda fila e 92 que é 81 também está na segunda fila.

A avaliação feita pelo grupo sobre essa atividade

Figura 65- Avaliação realizada por este grupo

194

O que construímos no quadro e nessa aula a partir das observações feitas pelos grupos nesta atividade de investigação matemática.

A localização do elemento na tabela:

Figura 66 – Socialização no quadro a partir de discussões com os alunos

A fórmula que permite obter a soma dos elementos de qualquer linha com Nn ∈

Figura 67 – Generalização do que foi discutido

Figura 68 - Aluna socializando as descobertas feitas pelo grupo

195

Figura 69 - Aluno socializando as descobertas feitas pelo grupo

Figura 70 - Aluna registrando as descobertas feitas pelo grupo

196

Relato de algumas aulas ministradas para alunos em dependência

Relato da aula do dia 24 de março de 2008, na turma B do Cefetes – Unidade de

Ensino Descentralizada de Colatina.

O que planejei e por que:

Distribuir uma lista de exercícios da função afim, com o objetivo de verificar se havia,

por parte dos alunos, compreensão na resolução das questões e na construção de

seus gráficos. Queria fazer um diagnóstico, verificando o que eram capazes de fazer

usando o conteúdo dado no período anterior. Para isso xeroquei, do livro do

professor Luiz Roberto Dante (2005), intitulado MATEMÁTICA CONTEXTO &

APLICAÇÕES, as páginas 120 e 121, nas quais ele coloca uma série de exercícios

de revisão sobre esse assunto.

Como implementei: pedi aos alunos que se organizassem formando pequenos

grupos, que foram assim formados:

1º grupo: alunos, 12B, 3B e 10B.

2º grupo: alunos 6B, 9B e 4B.

3º grupo: alunos 11B, 1B, 2B e 8B.

As alunas 5B e 7B faltaram à aula nesse dia.

Ao distribuir a tarefa, a aluna 1B começou a ler a folha de atividades e já foi logo

desistindo: “muito difícil... esses exercícios estão num nível bem acima do que é

dado...”. Percebi que meus alunos ficaram estressados, desanimados, pareciam não

serem mesmo capazes de resolver qualquer um daqueles problemas. Os grupos

formados não se constituíram realmente devido ao alto grau de dificuldade

considerado. Os alunos sentiram que um não podia ajudar o outro e aí eu tive que

mudar de estratégia. Começamos então a fazer juntos e falei da relevância que

devemos dar à interpretação do problema, já que segundo Polya (1978/1945):

197

O aluno precisa compreender o problema, mas não só isso: deve também desejar resolvê-lo. Se lhe faltar compreensão e interesse, isto nem sempre será culpa sua. O problema deve ser bem escolhido, nem muito difícil nem muito fácil, natural e interessante, e um certo tempo deve ser dedicado à sua apresentação natural e interessante (p. 4).

Era preciso ter todo o problema compreendido e formulado na mente, para então

questionar: o que é dado? O que é pedido? Que estratégia eu posso criar para

resolvê-lo? Fomos então observando regularidades, padrões e resolvendo juntos os

exercícios. Aqui coloco o problema nº 95, página 120. É um problema do vestibular

da Fundação Armando Álvares Penteado (São Paulo). O aluno não só fez o

problema no quadro como explicou a construção do seu raciocínio para a turma.

(Faap-SP) A taxa de inscrição de um clube de natação é de R$ 150,00 para o curso

de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é

reduzida linearmente. Expresse a taxa de inscrição em função do número de

semanas transcorridas desde o início do curso.

1250,12))12(50,12)

1250,12)50,12)

)12(50,12)

+=+=

−==

−=

xTexTdxTcxTb

xTa

Figura 71 - Escrito do aluno

Comentários e reflexões da professora e pesquisadora.

198

Uma questão que pude observar quanto aos alunos que cursam a dependência do

1º ano do técnico integrado, quer seja de construção civil ou de gestão

empreendedora, é a diferença de atitude que demonstram em relação à matemática.

Alguns alunos, quando trabalham sozinhos, “passam uma imagem” de desinteresse,

desânimo, falta de vontade e parecem ter uma postura bastante passiva em relação

a essa disciplina, mas ao trabalharem em grupo demonstram um maior interesse,

uma maior vontade e participação. Outros, já de imediato demonstram uma postura

investigativa, um interesse e uma vontade de resolver questões. Aliás, nessa aula, o

exercício nº 95, que foi considerado um desafio pela turma, despertou tamanho

interesse em um aluno, que não só conseguiu resolvê-lo como foi ao quadro explicar

seu raciocínio para todos os colegas.

A foto a seguir mostra a atitude do aluno e a atividade metacognitiva proporcionada

pela tarefa.

Figura 72 - Aluno explicando o problema aos colegas

Relato da aula do dia 01 de abril de 2008, em uma turma de dependência de

primeiro ano do Cefetes – Unidade de Ensino Descentralizada de Colatina.

O que planejei: e por quê?

199

Elaborei uma lista de exercícios sobre equações trigonométricas. Meu objetivo era

que os alunos trabalhassem em grupo, que discutissem entre si as resoluções das

questões e que, quem soubesse determinada questão considerada “difícil”,

explicasse para quem do grupo estivesse com dificuldade para resolvê-la e entendê-

la, promovendo dessa maneira a metacognição. Acredito que quando o aluno

reconstrói e ordena todo seu raciocínio, de maneira a explicar com clareza, para que

seu colega entenda, tanto ele que explica quando o colega tomam consciência do

que sabem e do que têm dificuldade no assunto. Essa tomada de consciência das

fraquezas e do que dominam é compatível com o conceito de metacognição

formulado por Santos (1994, 1997). Os exercícios distribuídos abarcavam: Equações

trigonométricas imediatas em seno, cosseno e tangente, equações trigonométricas

na forma fatorada, resolução de equações trigonométricas através de equações

polinomiais.

Como implementei a atividade: pedi aos alunos que se organizassem em grupos e

cada um dos grupos deveria ter um número pequeno de elementos. Os grupos

ideais são 4 alunos ou 5 alunos. Mais uma vez chamei a atenção no sentido de

trabalharem em conjunto, todos fazendo ao mesmo tempo a mesma questão. Não

queria que fizessem uma colcha de retalhos, com cada um resolvendo uma

determinada parte do trabalho para depois finalizar como se completasse um

“quebra-cabeças”. Ressaltei que, se algum colega do grupo não soubesse como

resolver uma determinada equação, era importante que um outro colega do grupo

explicasse para ele. Esperava, dessa maneira, promover a metacognição, no sentido

de cada aluno perceber o que sabe e o que não sabe. As atividades em grupo

proporcionam também uma maior possibilidade de se atuar na Zona de

Desenvolvimento Proximal que é, segundo Vygoysky, o potencial do aprendiz, ou

seja, aquilo que conseguimos fazer com a ajuda de alguém mais capaz. E, caso

ninguém do grupo soubesse, algum colega de outro grupo poderia explicar e, isso

não acontecendo, eu resolveria a questão em conjunto com eles.

Cinco grupos foram formados com os alunos presentes.

1º grupo: alunos 1C, 19C, 6C, 4C, 20C.

2º grupo: alunos 10C, 5C, 13C, 25C, 11C.

200

3º grupo: alunos 15C, 22C, 17C.

4º grupo: alunos 9C, 18C, 16C.

5º grupo: alunos 24C, 8C e 7C.

Distribuí a folha de exercícios e todos começaram a trabalhar resolvendo a atividade

sem deixar transparecer qualquer atitude negativa com relação à matemática. Eu

circulei pela sala apenas observando se o que tinha pedido estava sendo cumprido.

Não queria de jeito nenhum a tão famosa “colcha de retalhos”. Minha preocupação

era de que todos participassem efetivamente da resolução de cada uma das

questões para que houvesse realmente aprendizagem. Outra comparação que gosto

de fazer quando penso em trabalho em grupo é com uma brincadeira de festa junina

e que todos conhecem, na qual duas crianças entram num mesmo saco e precisam

sair pulando de onde estão até um determinado ponto de chegada. Os dois são

obrigados a chegar juntos porque se um não acompanhar o outro no mesmo ritmo, a

dupla cai e perde a brincadeira.

Depois de algum tempo, ao passar pelo 2º grupo, perguntei ao aluno 10C, que já

tinha feito uma dependência comigo no período anterior, se estava achando melhor

essa modificação na aula, essas resoluções de exercícios em grupo. O aluno 10C

então respondeu: ”Bem melhor assim, professora! nossa!!! nossa!!! Estou

aprendendo tudo!” (Ele deixou bem claro que esse ritmo de trabalho era bem melhor

que o do período anterior).

Ao passar pelo 1ºgrupo, a aluna 19C, que estava participando da resolução de uma

questão que seu grupo estava fazendo, me olhou e falou:

“Não gosto de matemática!”

“Mas você não está entendendo a matéria?”

“Estou”

“E mesmo assim não gosta?”

“Não, não gosto!”.

201

A aluna 1C teve dúvida em uma equação que envolvia determinante e o aluno 16C

explicou para ela.

Todos se “debruçaram” sobre a tarefa e quando tocou o sinal do término da aula, a

aluna 24C tomou um susto: “Já acabou a aula?!?!”

Todos trabalharam com afinco e tranqüilidade.

Comentário e reflexões da professora e pesquisadora.

O que não quero deixar de jeito nenhum que aconteça é que cada um faça uma

parte do trabalho e que “arrumem” em seu caderno o “todo” como se esse “todo”

fosse a soma das partes. O todo, quando o aluno está envolvido em uma atividade

em grupo, é muito mais que isso. É o envolvimento dos aspectos afetivos,

cognitivos e socioculturais em cada questão, envolvimento esse revelado não só

pelo domínio ou não de procedimentos, mas também por aspectos que vão desde o

modo de usar a linguagem ao se expressarem, até a modificação de vários outros

aspectos, como o da freqüência cardíaca, do tom de voz e a alteração da

temperatura, principalmente dos pés e das mãos, denunciando toda a emoção

sentida.

Relato da aula do dia 02 de junho de 2008, em uma turma de dependência de

primeiro ano do Cefetes – Unidade de Ensino Descentralizada de Colatina.

O que planejei: Revisão de Função modular: conceituação, gráfico, domínio,

imagem. Técnicas para construção de gráficos de funções modulares.

Ir com os alunos ao laboratório de informática e mostrar a eles as tabelas que estou

construindo com as respostas que eles deram a esses questionamentos:

1) Qual a imagem de matemática que seu professor passou para você no período

passado?

2) Qual animal você acha que seu professor do período passado vai responder ao

ser questionado sobre essas duas questões:

a) Se a matemática fosse um animal, qual seria? .....Por quê?.......

202

2) Qual animal a matemática nunca seria?................Por quê?............................

3) Para o seu professor do período passado, o que era realmente matemática?

E também a esses:

1) A Matemática para você é como? ............ Por quê?...........

2) Se a Matemática fosse um animal, qual seria? Por quê?

3) Que animal a Matemática nunca seria? Por quê?

Como implementei: Antes de começar a aula, fomos ao laboratório de

processamento de dados e os alunos tiveram a oportunidade de verem as duas

tabelas construídas com suas respostas. Puderam ver também o problema da

Quadra de Basquete e o problema do Campeonato, ambos ainda incompletos em

suas análises. A aluna 7B ficou meio triste ao não ver escaneada a sua resolução

junto à de seus colegas, ilustrando o trabalho. Eu logo tentei explicar: Não precisa

ficar chateada porque eu ainda não acabei de analisar o problema! Ainda vou

colocar a sua resolução! Todos ficaram entusiasmados, sorridentes e pareciam

felizes ao se reconhecerem nos dados expostos da pesquisa. “Olha eu aí, gente!

Como ela pode copiar até o que a gente falou?” disse a aluna 5B. E o aluno 8B

acrescentou: É, eu já nem me lembrava que tinha perguntado da estação espacial...

Nossa aula hoje foi expositiva, consistindo basicamente na apresentação das

diversas técnicas que facilitam a construção de gráficos de funções modulares.

Acredito que as aulas de matemática passam por diversas fases: por vezes premia a

resolução de problemas, outras vezes o conceito e a lógica dos procedimentos

matemáticos e outras vezes ainda o domínio de fatos, regras e procedimentos.

203

CONCLUSÃO

Sobre a infertilidade

A árvore frutífera que não dá frutoÉ xingada de estéril.Quem examina o solo?

O galho que se quebraÉ xingado de podre,Mas não havia neve sobre ele?

Sobre a violência

Do rio que tudo arrastaSe diz que é violento,Ninguém diz violentasAs margens que o cerceiam

Bertold Brecht

Quanto à minha pergunta: De que forma uma prática de ensino de matemática, em

que aluno, professor e conteúdos são importantes é capaz de auxiliar a

aprendizagem de alunos em dependência?

Acredito que assim como nos versos de Bertold Brecht, essa pesquisa me deu a

oportunidade de constatar que não é tão simples assim a interpretação de

determinados dados da realidade. Grande parte das vezes, o que se mostra

esconde um contexto influente, no qual estão as causas mais profundas de uma

reprovação em matemática.

Por isso é preciso ter cuidado para não se fazer leituras superficiais, principalmente

confiando cegamente, como eu confiava antes dessa pesquisa, em tabelas e

gráficos estatísticos que, agora sei, nos apresentam informações frias. Penso

somente que estes dados precisam e podem ser complementados por uma análise

contextual capaz de envolver também os aspectos afetivos e socioculturais, pois

assim será capaz de dar sentido aos números. É preciso uma postura investigativa

de saber sempre o porquê desses resultados, ou seja: o que está oculto na face

aparente do trabalho. Daí a importância da busca por informações não só

quantitativas, mas, também e principalmente qualitativas.

204

Über die unfruchtbarkeit

Der obstbaum, der kein obst bringt Wird unfruchtbar gescholten. Wer Untersucht den Boden?

Der Ast, der zusammenbricht Wird faul gescholten, aber Hat nicht Schnee auf ihm gelegen?

Über die Gewalt

Der reissende Strom wird gewalttätig Gennant Aber das Flussbett, das ihn einengt Nennt keiner gewalttätig

As informações quantitativas são importantes como pontapé inicial, pois permitem a

visualização e uma comparação de forma mais objetiva. Entretanto, elas pouco

dizem sobre o que está além do seu contexto. As relações que se fazem são

puramente numéricas, o que, para uma realidade social, fica muito limitado. Os

resultados qualitativos, por sua vez, são ricos de relações e nos permitem penetrar

na complexidade do contexto. Elas, entretanto, precisam ser bem apreendidas para

que as interpretações, com influência subjetiva, não sejam equivocadas.

Trazendo essa questão para a sala de aula é imprescindível que façamos

efetivamente análises das condições emocionais e sociais que interferem na

aprendizagem uma vez que hoje já se sabe que uma aprendizagem significativa só e

possível conseguir levando-se em conta aspectos socioculturais e aspectos afetivos

e que esses são fatores-chave na compreensão do comportamento em matemática.

É importante que o professor conheça melhor o seu aluno, não somente do ponto de

vista cognitivo, mas também do ponto de vista afetivo. O professor precisa saber

qual é a relação intelectual e afetiva de seu aluno com a matemática, porque é

atuando nesses campos que conseguirá entender melhor o aluno e a ele chegar.

De início pensei estar pesquisando o fracasso escolar, mas hoje sei que são alunos

que saíram de escolas públicas ou particulares e que tiveram decepções em seus

percursos escolares e que podem estar com um sentimento de fracasso, mas que

não são sujeitos do que se constitui como fracasso escolar. Se um aluno está em

dependência, a “culpa” não é só dele, nem só da escola ou do professor. Eu não

posso aprender pelo meu aluno e acredito que o importante é o professor promover

a oportunidade para que o aluno aprenda e isso pode ser conseguido também por

meio de trabalhos em grupo com o uso de situações-problema e atividades

investigativas, pois elas promovem o envolvimento do aluno através das interações

que proporcionam, além de possibilitar que se relacione o saber popular com o

saber sistematizado.

Foi por meio dessas atividades que exploravam a construção da matemática que

observei uma melhora na auto-estima e na motivação dos meus alunos para

aprender matemática. Elas constituem uma maneira de o aluno se envolver em

atividades criativas, de pesquisar, de descobrir, de interpretar, de refletir sobre o que

está fazendo, de comparar e debater os diversos pontos de vista e de assumir

205

responsabilidade sobre seu processo de aprendizagem. O aluno é sujeito da

construção do seu conhecimento em matemática.

O que não poderia deixar de relatar nesse final é a importância que passei a atribuir

aos meus planejamentos das aulas, de modo a prever o que poderia se constituir

como dificuldade para o aluno. É importante que o aluno aprenda com significado

cada conteúdo e que eu esteja pronta e ao mesmo tempo, com flexibilidade mental

para dizer ao meu aluno que nós, professor e alunos, poderemos procurar juntos

respostas para os questionamentos e tarefas que surjam discussões que eu não

saiba resolver. Constatei que, só por meio do planejamento e do registro do que

planejava, adquiro uma maior flexibilidade para atuar em sala de aula.

Quero chamar a atenção para duas questões importantes quando se quer usar

atividades investigativas e situações-problema em sala de aula de matemática: a

primeira é quanto à insegurança que o professor possa ter, uma vez que os

conteúdos não são pré-fixados, mas sim “se fazem caminho ao caminhar”; e outra

questão é quanto ao tempo, que passa sem que percebamos, podendo dar a

impressão de que a aula “não rende”.

Hoje, após o término desta minha primeira pesquisa, percebo a necessidade de que

todo professor seja também investigador para poder conhecer melhor seu aluno,

mas acredito também que isso só vai ocorrer se houver uma maior interação entre a

escola e a academia, de modo a possibilitar que se relacione o saber popular com o

saber sistematizado, uma vez que esses conhecimentos costumam caminhar

dicotomicamente.

O processo de investigação que realizamos, tenho certeza, já interferiu na minha

prática pedagógica. Além de possibilitar um aprofundamento em questões que eu

possivelmente não formularia se não estivesse envolvida nesta pesquisa, fez-me

questionar metodologias e comportamentos que, se facilitadores para o professor,

não atendiam às necessidades dos alunos. Principalmente, fez-me ver que, em

aulas diversificadas de matemática com alunos em dependência, há várias

possibilidades de metodologias e interações aluno/aluno e aluno/professor, e que

quando passamos a conhecer o que as teorias do afeto – atitudes, crenças e

concepções – nos assinalam, nós adquirimos cada vez mais pistas de como é a

206

relação intelectual e afetiva com a matemática e com os processos de ensino-

aprendizagem-avaliação.

O professor Erineu Foerste (2007), ao participar da banca examinadora na defesa

da mestranda Eliane Campos da Silva, identificou três dimensões importantíssimas

que o professor precisa ter, de maneira eqüitativa, durante a sua formação: uma

dimensão técnica (que é o saber fazer), uma dimensão científica (que é refletir sobre

a prática e sistematizar essa prática através de publicações, participação em

congressos, etc.) e uma dimensão política, pois se não tiver um projeto político claro,

ele pode colocar a perder todo seu trabalho, já que dependendo do projeto social

que defende perante seus alunos, pode reforçar o status quo. Ressalta, também, a

necessidade de relacionar o saber popular com o saber sistematizado, uma vez que

esses conhecimentos podem se completar, enriquecendo a prática do professor e

valorizando os pressupostos da cultura que o aluno leva para a escola. Afirma que

hoje, para a formação inicial e continuada de professores, requer-se a adoção de

diferentes frentes de trabalho interinstitucional, com medidas que se traduzam em

transformações acadêmicas e em políticas de base. Ao articular as dimensões

política e acadêmica, a auto-regulação aparece como conquista a ser consolidada

na luta pela profissionalização do professor. Ao assumirem-se como profissionais

capazes de se colocar como sujeitos na construção, implementação e avaliação de

políticas educacionais, os professores constroem “uma nova cultura profissional,

mais colaborativa, com engajamento ético ampliado” (p.147).

Gostaríamos de acrescentar a dimensão afetiva/emocional às já propostas pelo

professor Erineu Foerste., uma vez que nossa pesquisa revelou uma melhora na

auto-estima e na motivação dos alunos para aprender matemática. Assim, a

mudança na prática pedagógica está estreitamente relacionada à formação dos

professores. A formação do professor precisa levar em consideração as dimensões

técnica, científica, política e também a dimensão afetiva/emocional para que haja

uma mudança pedagógica ampla.

207

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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212

http://www.uaq.mx/matematicas/redm/

ANEXOS

Instrumento IPesquisa sobre índice de reprovação em Matemática na Unidade de Ensino Descentralizada de

Colatina, do Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo.

Pergunta feita aos professores de matemática do CEFETES, UnED Colatina, no dia 18/02/2008.

A que se deve o alto índice de reprovação nas turmas, já que as turmas de dependência em

matemática são

muito grandes?

Instrumento IIInstrumento e relato da aplicação. Cada professor teve 15 minutos para responder as questões abaixo com a primeira idéia que lhes

viessem à cabeça como resposta ao lerem os questionamentos. Os professores responderam com

alegria e acharam interessantes as questões colocadas.

10/03/2008

PROFESSOR

Qual a imagem de matemática que você passou para seus alunos (os que passaram e os que não

passaram) no período passado?_______________________________________________________

Qual animal você acha que seus alunos vão responder ao serem questionados sobre essas duas

questões:

Se a matemática fosse um animal, qual seria? Por quê?____________________________________

Qual animal a matemática nunca seria? Por quê?__________________________________________

Para seus alunos do período passado, o que era realmente matemática?_______________________

Instrumento IIIRelato da atitude desenvolvida pelo professor na aplicação do instrumento de pesquisa III na

turma B. 25/02/2008.

Apliquei os questionamentos aos 10 alunos presentes, uma vez que nenhum deles havia

comparecido à reunião do dia 18/02 não tendo portanto, na ocasião, respondido aos

questionamentos. Primeiro conversei com meus novos alunos a respeito do trabalho que queria

realizar com eles a fim de termos uma aprendizagem significativa, ou seja, que eles realmente

aprendessem, que se motivassem, que sentissem satisfação nas aulas de dependência, falei que

desejava fazer um ensino centrado realmente no aluno no qual a qualidade seria priorizada. Expus

que atualmente já se sabe que o ensino e a aprendizagem envolve também os afetos e o contexto

sociocultural, e com o objetivo de explicitar melhor fiz no quadro um esquema com 3 conjuntos,

mostrando que a aprendizagem significativa acontece na intersecção dos três.

Ao entregar o instrumento III aos alunos pedi que tentassem colocar honestamente e com bastante

clareza o que eles realmente achavam, com a maior riqueza de detalhes a fim de que eu pudesse

realmente conhece-los melhor. Todos se concentraram ao responder e dei um tempo de 20 minutos.

213

10:15horas às 10:35horas. Como sempre vem acontecendo, alguns alunos disseram achar

interessante a pergunta: Qual a sua melhor memória de matemática do período passado? mas que

procurariam responder.

Para você, o que significa aprender matemática? Por quê?__________________________________

Para você, o que significa saber matemática? Por quê?_____________________________________

Qual a sua melhor memória de matemática do ano passado?________________________________

Instrumento IV17/03/2008.Qual a imagem de matemática que seu professor passou para você o período passado?

Qual animal você acha que seu professor do período passado vai responder ao ser questionado

sobre essas duas questões:


Qual animal a matemática nunca seria? Por quê?_________________________________________

Para o seu professor do período passado, o que era realmente matemática?____________________

Instrumento V

Instrumento e relato da atitude desenvolvida pelo professor na aplicação.03/03/2008

A matemática para você é como? Por quê?______________________________________________


Qual animal a matemática nunca seria? Por quê?__________________________________________

Coloquei que gostaria que respondessem a mais alguns dos questionamentos, ressaltando a

importância de saber de suas metáforas e assim aumentar meu conhecimento sobre o que eles

pensam e sobre o que sentem em relação à matemática e em relação ao aprendizado da matemática;

pedi que respondessem com bastante sinceridade e que escrevessem a primeira idéia, o primeiro

pensamento que viesse à mente. Mais uma vez fiz referência à importância dos questionamentos, já

que a aprendizagem envolve também afetos e contexto sociocultural.

Distribuí o questionário e pedi que também respondessem com a maior clareza possível, o que me

facilitaria a compreensão ao interpretar as respostas. Dei um tempo de 20 minutos para que

respondessem, das 11h15 às 11h35.

Assim que começaram a ler, a aluna 5B perguntou: o que é que começa fácil e termina difícil? E o

aluno 8B: professora, como é mesmo o nome da estação espacial? A aluna 4B: como é mesmo que

se escreve desprevenido? Ao que o aluno 3B prontamente respondeu: d-e-s-p-r-e. O aluno 6B: que

dia é hoje?

A aluna 7B foi a primeira a entregar. Eram 11h20.

214

Instrumento VIPedi que respondessem com a maior sinceridade possível, já que o objetivo era saber das crenças

sobre o papel do professor de matemática a partir da perspectiva do aluno.

28/04/2008

Meus professores de matemática do colégio _____________________________________________

Um bom professor de matemática deveria _______________________________________________

O melhor que um professor de matemática pode fazer por mim é _____________________________

Instrumento VII

Considerando suas próprias atitudes em relação à matemática, complete as frases.

Meus professores de matemática da escola são___________________________________________

A matemática é_____________________________________________________________________

Minhas capacidades em matemática são________________________________________________

Para ser bom em matemática_________________________________________________________

Eu acho difícil em matemática_________________________________________________________

Poderia aprender mais matemática se___________________________________________________

Quando tenho aula de matemática eu___________________________________________________

Quando estava na aula de matemática na escola, eu_______________________________________

Agora, quando estou na aula de matemática eu___________________________________________

Gostava da aula de matemática até que_________________________________________________

Sinto que a matemática faz “quebrar a cabeça” quando_____________________________________

Quando aprendo matemática sinto-me__________________________________________________

Instrumento VIIIEntrevista feita aos alunos no dia 30/06/2008 com o objetivo de saber sobre hábitos de estudo;

crenças sobre a natureza da matemática implícitas no professor do período anterior e percebidas

pelos alunos; trabalho em grupo; metacognição; uso da escrita em aulas de matemática; uso de

situações-problema; uso de materiais manipuláveis e sobre fatores socioculturais que possam

interferir na aprendizagem.

Instrumento IX

12/05/2008

Problema da quadra de basquete.

215

Situação-problema proposta com vistas à compreensão do raciocínio do aluno, verificar o que eles

eram capazes de fazerem sozinhos, usar a linguagem escrita, estabelecer conexões com outros

conteúdos e detectar possíveis erros.

Instrumento X05/05/2008

Problema do campeonato.

Situação-problema proposta com vistas à compreensão do raciocínio do aluno, verificar o que eles

eram capazes de fazerem sozinhos, usar a linguagem escrita, ordenar o pensamento, conhecer

situações do cotidiano em que é empregada a função quadrática.

Instrumento XI02/02/2008

Atividade investigativa “Explorações com números”0 1 2 3

4 5 6 7

8 9 10 11

12 13 14 15

16 17 18 19

20 21 22 23

.... .... .... ...

Atividade em grupo tendo como objetivo promover a valorização do aluno, o desenvolvimento da

atitude investigativa, a familiarização e a consolidação de conceitos matemáticos, a metacognição e

as relações inter-sociais.

Instrumento XII07/07/2008

Uso de metáforas para detectar possíveis alterações das crenças dos alunos sobre a natureza da

matemática após quatro meses e meio de aulas diversificadas dessa disciplina na turma B.

A matemática para você é como? Por quê?



216

Instrumento XIII24/03/2008

Relato de aula

Instrumento XIV

01/04/2008

Relato de aula.

Instrumento XV

02/06/2008

Relato de aula.

Instrumento XVI14/04/2008Atividade feita em grupos.

Problema: Formando quadrados. Retirado do livro do professor Luiz Roberto Dante, intitulado

MATEMÁTICA CONTEXTO & APLICAÇÕES, p.122.

Formando quadrados.

Atividade feita pelo Grupo formado pelos alunos 3B, 6B e 12B

217

Problema: Formando quadrados. Atividade feita pelo Grupo formado pelos alunos 2B, 4B e 8B

220

Problema: Formando quadrados. Atividade feita pelo Grupo formado pelos alunos 7B, 10B e 11B

221

Problema: Formando quadrados.


222

Instrumento XVII

14/04/2008

Problema da academia. Retirado do livro do professor Luiz Roberto Dante, intitulado MATEMÁTICA

CONTEXTO & APLICAÇÕES, p.120.

Problema da academia, Atividade feita pelo Grupo formado pelos alunos 1 B, 5B e 9B

223

Problema da academia, Atividade feita pelo Grupo formado pelos alunos 3B, 6B e 12B

Problema da academia, Atividade feita pelo Grupo formado pelos alunos 7B, 10B, 11B

224

Instrumento XVIII

28/04/2008Problema da máquina. Retirado do livro do professor Luiz Roberto Dante, intitulado MATEMÁTICA CONTEXTO & APLICAÇÕES, p.122.

Problema da máquina. Atividade feita pelo Grupo formado pelos alunos 7B, 10B e 11B

225

Problema da máquina.


226

Problema da máquina.


Instrumento XIX

28/04/2008

Problema da conta de OH2 e luz. Retirado do livro do professor Luiz Roberto Dante, intitulado MATEMÁTICA CONTEXTO & APLICAÇÕES, p. 356.

228

Problema da conta de OH2 e Luz. Atividade feita pelo Grupo formado pelos alunos 7B, 10B

e 11B

230

Problema da conta de OH2 e Luz Atividade feita pelo Grupo formado pelos alunos 3B, 6B e 12B

231

Problema da conta de OH2 e Luz Atividade feita pelo Grupo formado pelos alunos 2B, 4B e 8B

232

Problema da conta de OH2 e Luz. Atividade feita pelo Grupo formado pelos alunos 1B, 5B e 9B

234

Instrumento XX19/05/2008. Pedi que colocassem o que achavam, sem querer me agradar; queria que pensassem em cada

resposta e atribuísse o valor mais honesto possível. Utilizando uma escala de importância de 1 a 5 (de: não faz diferença, pouco importante,importante,

muito importante e indispensável) classifique as afirmativas abaixo segundo o grau de importância

para se aprender matemática.

proposiçõesP1 Prestar atenção nas aulas P13 Só prestar atenção na fala do professorP2 Nascer sabendo P14 Escrever sobre o que aprendeuP3 Estudar em casa P15 Ler e compreender os textos matemáticosP4 Ter aulas teóricas P16 Ter sempre um professor ao ladoP5 Ter bons professores P17 Copiar as soluções de outrosP6 Fazer exercícios repetidas vezes P18 Buscar em vários livrosP7 Resolver problemas P19 Modificar o “tipo” de aulaP8 Gostar de matemática P20 Ter bons livros didáticosP9 Ter materiais concretos em sala P21 Ser muito inteligente

P10 Discutir o que foi ensinado P22 Ser persistenteP11 Refletir sobre o que foi aprendido P23 Ter boa memóriaP12 Estudar em grupo

ALUNO P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P121B 4 1 5 4 5 5 5 2 1 3 5 32B 5 3 5 4 5 3 4 3 3 2 3 33B 4 1 4 4 4 3 4 2 3 3 4 34B 3 1 4 1 5 1 4 1 2 5 5 55B 4 1 5 3 4 2 4 1 2 3 3 36B 5 1 5 2 5 2 5 1 2 3 3 27B 5 2 4 2 5 3 4 5 3 4 4 58B 5 1 5 2 5 2 5 5 3 5 5 59B 4 2 4 3 2 5 4 5 1 2 2 1

10B 5 3 4 3 5 2 4 2 3 3 4 311B 4 1 5 4 5 5 5 2 1 4 5 412B 4 1 5 3 5 2 5 4 4 5 4 4

ALUNO P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20 P21 P22 P231B 4 2 5 2 1 5 2 5 2 5 32B 2 2 3 4 2 3 3 4 3 5 43B 3 3 4 3 5 4 3 4 3 3 24B 1 3 5 3 4 5 5 3 3 5 35B 4 3 2 3 1 5 2 3 1 4 56B 2 2 3 2 1 4 3 3 3 5 37B 2 4 5 4 3 5 5 5 3 5 58B 1 5 5 3 5 5 5 5 1 5 19B 3 1 4 3 3 5 2 5 4 3 3

10B 2 3 3 3 2 3 2 5 3 4 311B 4 2 5 2 1 5 2 5 2 5 412B 1 5 5 4 3 5 4 5 4 5 3

235

Instrumento XXI

Instrumento e relato da atitude desenvolvida pelo professor na aplicação.Escolha 3 conteúdos matemáticos diferentes que você considere ter aprendido no período passado

e elabore um exercício ou problema sobre cada um deles, resolvendo-os.

25/02/2008

Ás 10:35 horas, listei no quadro os conteúdos que eles foram me informando terem estudado no

período anterior.

Função afim

Função quadrática

Função modular

Função exponencial

Função logarítmica e logaritmo.

Progressão Aritmética

Progressão Geométrica

Antes de entregar o instrumento de investigação XXI, expus que estava sendo orientada pela

professora-doutora Vânia-Wagner, professora aposentada da UFRJ e professora convidada da

UFES. Falei do nosso grupo de estudo de ensino e avaliação da prática pedagógica, dos nossos

encontros às sextas-feiras em Vitória (ano passado); falei do Messenas, que também está fazendo

sua dissertação penso que sobre investigação matemática; falei da Laudiceia que também está

fazendo uma dissertação combinando arte com matemática através da geometria associada ao

origame; mencionei o artigo sobre resolução de problemas escrito pela minha orientadora. Disse

também que seria um trabalho muito bonito que faríamos juntos, nesse período, sempre centrando no

aluno e priorizando a qualidade e, por isso precisava que eles fossem o mais verdadeiros possível

nas respostas.

Ao entregar a folha com as tarefas foi uma comoção geral...ninguém queria fazer...falavam não se

lembrar de nada; o aluno 6B e a aluna 11B queriam (insistiam) entregar sem fazer. “Não importa que

vocês não saibam de imediato, pensem mais um pouquinho e vocês vão ver que sempre dá para

lembrar alguma coisa e eu só vou recolher a folha daqui à meia hora, não dá para entregar antes”

Com o tempo, já que tinham que ficar com a folha por meia hora começaram a fazer sem reclamar.

Alguns me perguntaram sobre fórmulas (aluna 5B, aluno 8B), disse para não se preocuparem com

fórmulas pois eu queria aquilo que realmente conseguissem se lembrar. O aluno 9B falou que só se

lembrava do 2+2, o aluno 6B só se lembrava do 22 . Logo o aluno 9B me perguntou se a fórmula de

p.a. é dividida por alguma coisa e então pedi a ele que fizesse o que realmente soubesse fazer “por

inteiro”. O aluno 6B me falou que conseguiu fazer um de logaritmo e já estava no segundo. O aluno

8B perguntou se podia fazer exercício com letras a e b e respondi que sim, que a criatividade na

elaboração da atividade era toda dele. O 6B pareceu-me bem concentrado tentando realmente fazer.

A aluna 11B diz que só conseguiu fazer dois e que já tinha desistido da matéria quando “chegou”

logaritmo; alguns alunos sorriam, dizendo que estavam conseguindo. A 5B, toda sorridente, acha que

conseguiu; alguns olhares apreensivos...outros, sérios.

236

Depois de meia hora fui recolhendo a folha. O aluno 9B falou: “agora que estou terminando de fazer”;

deixei a folha dele para ser recolhida por último, e, quando penso que não, ele vem todo satisfeito “ta

aqui professora, terminei de fazer” e foi sentar-se.

Já que os conteúdos dados no período anterior estavam listados no quadro, fomos fazendo a

tabulação dos conteúdos preferidos pelos alunos com base nos exercícios que elaboraram. O 4B foi

ao quadro tabular enquanto eu ia vendo e falando a que conteúdo pertencia cada uma das atividades.

Surgiram conteúdos que não estavam listados no quadro, como: noção de função via conjunto e

localização de pontos no plano. Nessa hora, foi uma torcida geral para ver qual deles seria o

conteúdo preferido: “afim vai ganhar” ou “p.a. vai ganhar” ou ainda “logaritmo vai ganhar” todos nós

estávamos alegres e rimos bastante. Ao examinar os exercícios para ver a qual conteúdos

pertenciam, reparei que aluna 11B só tinha feito dois. Ao terminar a tabulação, logaritmo venceu

como o conteúdo que mais gostaram de aprender. O tempo gasto na aplicação do questionário foi de

meia hora.

Instrumento XXII

Instrumento e relato da atitude desenvolvida pelo professor na aplicação. Escolha 3 conteúdos matemáticos diferentes que você considere não ter aprendido por completo

no período passado, e elabore um exercício ou problema sobre cada um deles, resolvendo-os até

onde você conseguir. Deixe o restante da resolução em aberto, caso não consiga concluí-la.

25/02/2008

Já que tínhamos tempo resolvi então aplicar o instrumento de investigação III. Foi um Deus nos

acuda! Todos reclamaram! Alegaram não conseguir de jeito nenhum e que, se já foi difícil para eles

fazerem o anterior (3 conteúdos matemáticos diferentes que você considere ter aprendido), o que

acha que não aprenderam então... é praticamente impossível. Priscila reclamou muito, se aborreceu

pois não conseguiu nem começar. Insisti para que fizessem. Gabriela e Jéssika se animam e todos

resolvem tentar mesmo achando que dificilmente vão conseguir. Olham para a folha mas não

conseguem se situar, não conseguem elaborar nada! Continuam achando uma tarefa impossível,

dificílima. Alguns tentaram escrever alguma coisa e outros tentaram inventar. Foi mesmo uma

“missão impossível”, alguns foram ficando indignados por terem que ficar meia hora tentando fazer

algo que sabiam de antemão que não conseguiriam. O aluno 9B me chamou a atenção porque estava

bem compenetrado e tentava realmente fazer, baixou a cabeça e só entregou a folha no último

minuto. O aluno 5B falou que iria escrever ”meus conhecimentos não são suficientes para elaborar

exercícios”

Quando o tempo acabou (11:40 horas até 12:10 horas) todos (menos o 9B) me entregaram a folha do

questionário como quem quer se livrar de algo desagradável.

237

TERMO DE AUTORIZAÇÃO DE PARTICIPAÇÃO EM PESQUISA

Prezado diretor, eu, professora Roseanne Araujo de Castro, gostaria de pedir autorização

para desenvolver aqui nesta escola uma pesquisa em educação matemática. Esta pesquisa vai

focalizar relações entre afeto e cognição ao pesquisar: Em que medida uma prática de ensino

centrada no aluno é capaz de alterar crenças e concepções a respeito da matemática em alunos em

dependência? Em qualquer momento, a escola poderá desistir de participar desta investigação.

Todas as informações que forem compartilhadas vão permanecer em sigilo e todos os nomes e que

possam identificar alunos e/ou professores serão também mantidos em sigilo. No relato final da

investigação, nós utilizaremos nome fictício.

Data: 18 / 02 / 2008

Assinatura do diretor_______________________________________________________________


Prezado professor(a), eu, professora Roseanne Araujo de Castro gostaria de convidá-lo a

participar de uma pesquisa em educação matemática. Para tanto gostaria de solicitar a sua

autorização para participar como sujeito dessa investigação que vou iniciar. Esta pesquisa vai



dependência? Em qualquer momento, você poderá desistir de participar desta investigação. Todas

as informações que forem compartilhadas vão permanecer em sigilo e todos os nomes e que possam

identificá-lo(a) serão também mantidos em sigilo. No relato final da investigação, nós utilizaremos

nome fictício.

Data: 18 / 02 / 2008

Assinatura do professor(a)__________________________________________________________


Prezado aluno(a), eu, professora Roseanne Araujo de Castro gostaria de convidá-lo a

participar de uma pesquisa em educação matemática. Para tanto gostaria de solicitar a sua

autorização para participar como sujeito dessa investigação que vou iniciar. Esta pesquisa vai



dependência? Em qualquer momento, o aluno(a) poderá desistir de participar desta investigação.

Todas as informações que forem compartilhadas vão permanecer em sigilo e todos os nomes e que

238

possam identificar o aluno(a) serão também mantidos em sigilo. No relato final da investigação, nós

utilizaremos nome fictício.

Data: 18 / 02 / 2008

Assinatura do aluno: ________________________________________________________________

Assinatura do responsável: _____________________________________________________

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ALUNOS EM DEPENDÊNCIA EM MATEMÁTICA NO CURSO...

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