An lise e Projeto de Sistemas de Controle pelo M todo do ...

Análise e Projeto de Sistemas de Controle pelo Métododo Lugar das Raízes

Saulo Dornellas

Universidade Federal do Vale do São Francisco

Juazeiro - BA

Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 1 / 44

Análise do Lugar da Raízes

A resposta transitória depende da localização dos pólos de malhafechada

Como os pólos de malhada fechada se movem no plano-s à medida queo ganho de malha varia?


Análise do Lugar da Raízes

Os pólos de malha fechada são as raízes da equação característica

Método do Lugar das Raízes:permite que as raízes da equação característica sejam representadosgraficamente para todos os valores de um parâmetro do sistema


Método do Lugar da Raízes

C(s)R(s)

=G(s)

1+ G(s)H(s)

Equação característica:

1+ G(s)H(s) = 0⇔ G(s)H(s) = −1

Condição angular

∠(G(s)H(s)) = ±180◦(2k +1) (k = 0,1,2, . . .)

Condição de módulo|G(s)H(s)| = 1


Método do Lugar da Raízes

Lugar das raízesLugar dos pontos no plano-s que satisfaz a condição angular

Considere G(s)H(s)

G(s)H(s)=K(s+ z1)(s+ z2) . . . (s+ zm)

(s+ p1)(s+ p2) . . . (s+ pn)

onde k > 0 é o ganho


Passos para obtenção do Lugar das Raízes e Exemplo

1 Localizar os pólos e zeros de G(s)H(s) no plano-s

2 Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real

3 Determinar as assíntotas do lugar das raízes

4 Determinar os pontos de partida e os de chegada do eixo real

5 Determinar o ângulo de partida de um pólo complexo (ou de chegada aum zero complexo) do lugar das raízes

6 Determinar os pontos onde o lugar das raízes pode cruzar o eixoimaginário

7 Obter uma série de pontos de teste na região próxima à origem doplano-s e esboçar o lugar das raízes

8 Determinar os pólos de malha fechada


1. Localizar os pólos e zeros de G(s)H(s) no plano-s

Os ramos se iniciam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros demalha aberta (finitos ou infinitos)

O lugar das raízes é sempre simétrico em relação ao eixo real


Exemplo

Considere o sistema

G(s)H(s) =K

s(s+1)(s+2)

-2 -1


2. Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real

Os pólos e zeros complexos de malha aberta não influenciam os trechosdo lugar das raízes no eixo real

Se o número de pólos reais e zeros reais à direita do ponto de teste forímpar, então o ponto de testes pertence ao lugar das raízes


Exemplo

-2 -1 s

∠(s)+∠(s+1)+∠(s+2) = 0◦


Exemplo

-2 -1 s

∠(s)+∠(s+1)+∠(s+2) = 180◦


Exemplo

-2 -1s

∠(s)+∠(s+1)+∠(s+2) = 360◦


Exemplo

-2 -1s

∠(s)+∠(s+1)+∠(s+2) = 3·180◦ = 180◦


Exemplo

-2 -1


3. Determinar as assíntotas do lugar das raízes

G(s)H(s) =K(s+ z1)(s+ z2) . . . (s+ zm)

(s+ p1)(s+ p2) . . . (s+ pn)

Ângulo das assíntotas

±180◦(2k +1)

n−m(k = 0,1,2, . . .)

Ponto de interseção das abscissas no eixo real

−(p1 + p2+ . . .+ pn)− (z1 + z2+ . . .+ zm)

n−m


Exemplo

G(s)H(s) =K

s(s+1)(s+2)

Ângulo das assíntotas

±180◦(2k +1)

3−0= ±60◦(2k +1) (k = 0,1,2, . . .)

Ponto de interseção das abscissas no eixo real

−(0+1+2)− (0)

3−0= −1


Exemplo

Assíntotas

-1

60◦

60◦


4. Determinar os pontos de partida e os de chegada do eixoreal

-2 -1

Ponto de partida


4. Determinar os pontos de partida e os de chegada do eixoreal

Exprimir K em função de s na equação característica

Os pontos de partida e os de chegada do eixo real são raízes de

dKds

= 0

Observação:Nem todas as raízes serão pontos de partida e chegadaÉ necessário que pertençam ao lugar das raízes no eixo real


Exemplo

G(s)H(s) =K

s(s+1)(s+2)

Equação característica:

Ks(s+1)(s+2)

= −1⇒ k = −s3−3s2−2s

dKds

= 0⇒−3s2−6s−2 = 0⇒ s = −1±√

33


Exemplo

s =−1±√

33

-2 -1

−1+√

33

−1−√

33

Somente −1+√

33 pertence ao lugar das raízes no eixo real


5. Determinar o ângulo de partida de um pólo complexo (oude chegada a um zero complexo) do lugar das raízes

Tomar um ponto de teste nas proximidades de um pólo complexo (ouzero complexo)

As contribuições angulares de todos os pólos e zeros devem satisfazer acondição angular


Exemplo

φ′1−(

θ1 + θ′2)

= ±180◦(2k +1)

ou

θ1 = 180◦−θ′2+φ′1 = 180◦−θ2+φ1


6. Determinar os pontos onde o lugar das raízes podecruzar o eixo imaginário

Duas maneiras:Critério da estabilidade de Routh

k?

Fazendo s = jω na equação característica, e resolver para ω e k


Exemplo

Equação característica Ks(s+1)(s+2) +1= 0⇒ s3 +3s2 +2s+ k = 0

Critério de Routh:

s3 1 2s2 3 Ks1 2− K

3 0s0 K

O lugar das raízes pode cruzar oeixo imaginário para

2− K3

= 0⇒ K = 6

Usando a equaçãoauxiliar da linha s2

3s2 + K = 0⇒⇒ 3s2 +6 = 0⇒

⇒ s = ± j√

2


Exemplo

Fazendo s = jω na equação característica

( jω)3 +3( jω)2 +2( jω)+ K = 0⇒⇒− jω3−3ω2 +2 jω+ K = 0⇒

⇒{

−ω3 +2ω = 0−3ω2 + K = 0

⇒{

ω = 0,±√

2K = 3ω2

Para ω = 0, K = 0 é inadmissível

Para ω = ±√

2, K = 6


Exemplo

j√

2

− j√

2


7. Obter uma série de pontos de teste na região próxima àorigem do plano-s e esboçar o lugar das raízes

Duas maneiras:Manualmente, observando-se a condição angularAtravés do MatLab (função rlocus)


Exemplo

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Gráfico do lugar das raízes de G(s) = k/[s(s+1)(s+2)]

Eixo real

Eix

o im

agin

ário

j√

2

− j√

2

−1+√

33


8. Determinar os pólos de malha fechada

A condição de módulo permite encontrar o valor de K relativo a qualquerponto específico do lugar das raízes


Exemplo

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Gráfico do lugar das raízes de G(s) = k/[s(s+1)(s+2)]

Eixo real

Eix

o im

agin

ário

k = 6

k = 6

k = 2√

33


Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar dasRaízes

Requisitos dos sistemas de controleRequisitos da resposta transitóriaRequisitos em regime permanente

Projeto pelo Lugar das raízesAlterar o lugar das raízes pela adição de pólos e zeros na função detransferência de malha abertaO novo lugar das raízes deve passar pelos pólos de malha fechadadesejados


Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar dasRaízes

Ajustar o ganhoNem sempre permite o desempenho desejadoMelhora o regime permanente, mas torna o sistema pouco estável, ou atémesmo instável

Reprojetar o sistemaModificação de sua estruturaAdição de um compensador


Esquemas de compensação

Compensação em série

Compensação em paralelo


Efeitos da adição de pólos


Efeitos da adição de zeros


Compensador avanço de fase

Gc(s) = Kcs+ 1

T

s+ 1αT

= Kcs+ zs+ p

onde α < 1 e consequentemente p > z

Técnica:Considere um sistema

instávelou estável, mas com resposta transitória insatisfatória

Modificar o lugar das raízes para que um par de pólos dominantes demalha fechada passe pela posição desejada no plano-s


Compensador atraso de fase

Gc(s) = K̂cs+ 1

T

s+ 1βT

onde β > 1

Técnica:Considere um sistema

com resposta transitória satisfatóriae com resposta em regime permanente insatisfatória

Aumentar o ganho de malha abertasem alterar sensivelmente as características da resposta transitória



Para evitar uma alteração significativa do lugar das raízesA contribuição angular do compensador atraso de fase deve ser pequena

−5◦ < ∠

(

s+ 1T

s+ 1βT

)

< 0◦

É possível alocar o pólo e o zero próximos um do outro e da origem doplano-s.Para um pólo dominante de malha fechada s = s1,

|Gc(s1)| = |K̂cs1 + 1

T

s1 + 1βT

| = K̂c|s1 + 1

T

s1 + 1βT

| = K̂c|s1 + 1

T ||s1 + 1

βT |∼= K̂c



Fazendo K̂c = 1As características da resposta transitória não serão alteradasO ganho resultante da função de transferência de malha aberta pode seraumentado por um fator β > 1Sistema não compensado

Kv = lims→0

sG(s)

Sistema compensado

K̂v = lims→0

sGc(s)G(s) = lims→0

Gc(s)Kv = K̂cβKv


Compensador atraso e avanço de fase

Gc(s) = Kc

(

s+ 1T1

s+ γT1

)(

s+ 1T2

s+ 1βT1

)

onde γ > 1 e β > 1

Consideramos Kc pertencente à porção de avanço de fase

Técnica:Melhorar tanto a resposta transitória quanto a resposta em regimepermanente



Na compensação em série

C(s)R(s)

=Gc(s)G(s)

1+ Gc(s)G(s)H(s)

Equação característica 1+ Gc(s)G(s)H(s) = 0

Dados G(s) e H(s), o problema de projeto é a determinação de Gc(s)



Na compensação em paralelo

C(s)R(s)

=G1(s)

G2(s)1+G2(s)Gc(s)

1+ G1(s)G2(s)

1+G2(s)Gc(s)H(s)

=G1(s)G2(s)

1+ G2(s)Gc(s)+ G1(s)G2(s)H(s)



Equação característica

1+ G2(s)Gc(s)+ G1(s)G2(s)H(s) = 0⇒ 1+ Gc(s)G2(s)

G1(s)G2(s)H(s)= 0

Fazendo

G f (s) =G2(s)

G1(s)G2(s)H(s)

Temos 1+ Gc(s)G f (s) = 0

O projeto de Gc(s) é o mesmo que no caso da compensação em série


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