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MODELAGEM DE TRANSFORMADOR MONOFÁSICO SATURÁVEL BASEADO EM UM MODELO ALGÉBRICO DE
HISTERESE
ROMMEL P. FRANÇA, NIRALDO R. FERREIRA*, LUIZ A. L. DE ALMEIDAᵼ
*Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal da Bahia
Rua Caetano Moura, Federação, BA, Brasil
E-mails: [email protected],[email protected],
ᵼUniversidade Federal do ABC - UFABC
Santo André, SP, Brasil
E-mail: [email protected]
Abstract This paper presents a core-type single-phase voltage transformer model considering the non-linearity of the magnetic
core using an algebraic model of hysteresis (L²P) as alternative to representation of circuits containing saturable inductors and saturable ferromagnetic cores. The models are implemented in Matlab/Simulink® and are used for analysis of inrush currents and
secondary voltages.
Keywords L²P algebraic hysteresis model, ferromagnetic core, single-phase transformer modelling.
Resumo Este trabalho apresenta um modelo de transformador monofásico do tipo núcleo envolvido considerando as não linea-
ridades do núcleo magnético utilizando um modelo algébrico de histerese (L²P) como alternativa para representação de circuitos
contendo indutores e núcleos ferromagnéticos saturáveis. Os modelos são implementados em Matlab/Simulink® e são utilizados para analise das correntes de partida e das tensões secundárias.
Palavras-chave Modelo algébrico de histerese L²P, núcleo ferromagnético, modelagem de transformador monofásico.
1 Introdução
Os sistemas elétricos e eletrônicos possuem com-
ponentes ou equipamentos que podem conter induto-
res e núcleos magnéticos. Esse componentes, quando
energizados, produzem uma resposta dinâmica com
características transitórias que podem ser danosas ao
sistema ou simplesmente causar distúrbios no circuito
elétrico e na rede em que estão inseridos. A predição
do comportamento dinâmico desses elementos não
lineares através de modelos matemáticos permite,
portanto, prever situações reais e contribui para o
desenvolvimento de técnicas que minimizem a ocor-
rência de distúrbios provocados pelas não linearidades
desses elementos.
Os indutores associados a núcleos magnéticos a-
presentam o fenômeno físico da histerese magnética e
perdas por corrente no núcleo. Diversos estudos con-
sideram modelos de histerese baseados nas teorias de
(Preisach, 1935) e (Jiles-Atherton, 1983), que utilizam
equações integrais ou diferenciais. O modelo de histe-
rese L²P (de Almeida et al., 2003) possui característi-
ca fenomenológica e é descrito por equações algébri-
cas, que demandam menor custo computacional quan-
do comparados com os modelos tradicionais.
2 Modelo de transformador monofásico
Um transformador monofásico do tipo núcleo en-
volvido baseado em (Theocharis et al., 2005) pode ser
representado pelo circuito elétrico da Figura 1, em que
, , , , representam a resistência, a indutân-
cia, o número de espiras, a corrente e a tensão primá-
rias, respectivamente, e , , , , as grandezas
secundárias. A resistência de valor conhecido é
utilizada para medição da corrente primária. O fluxo
magnético é obtido considerando-se as não lineari-
dades do núcleo magnético. As equações do circuito
elétrico podem ser escritas na forma matricial con-
forme a Eq. (1).
r1 r2L1 L2
N1 N2V1 V2
Φ
R
i1 i2
Vr
Figura 1. Transformador monofásico.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
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(6)
onde,
é o fluxo concatenado
é a relutância
é o comprimento do percurso magnético
é a área da seção transversal do núcleo magnético
é a relutância dinâmica
a permeabilidade magnética dinâmica
O modelo do transformador monofásico da Figu-
ra 1 será utilizado para a simulação do transformador
da Tabela 1, aplicando-se tensão primária 110V em
uma bobina (V) e considerando-se como secundário
outra bobina (V) do lado oposto, conforme Figura 2.
Tabela 1. Dados do transformador.
Fabricante Equacional Elétrica e Mecânica LTDA
Potência 1kVA
Tensão nominal primária 110 / 220 V
Tensão nominal secundária 110 / 220 /
330 / 440 V
Corrente nominal primária 9,1 / 4,6 A
Corrente nominal secundária 2,3 A (em 440V)
Resistência por bobina 1,9 Ω
Reatância por bobina 8,4 Ω
Perda aproximada no ferro 40 W
Perda aproximada no cobre 80 W
Material do núcleo Aço-silício
Tabela 2. Grandezas medidas ou calculadas.
Indutância primária (L1) 0,0233 H
Indutância secundária (L2) 0,0233 H
Número de espiras da bobina
primária (N1) 126
Número de espiras da bobina
secundária (N2) 126
Área da seção transversal do
núcleo magnético (Ac) 0,004 m²
Resistência para medição da
corrente primária (R)
10 Ω
(a) Vista frontal.
(b) Vista superior.
Figura 2. Dimensões do transformador monofásico utilizado.
3 Modelo de histerese
3.1 Modelo L²P
O modelo de proximidade ao laço principal (L²P)
possui apenas quatro parâmetros, complexidade ma-
temática reduzida e baixo custo computacional, que
possibilita uma rápida implementação numérica e um
simples procedimento para estimação dos parâmetros:
(7)
sendo a magnetização de saturação, o campo
magnético, o campo coercitivo, uma constante
dependente do material e .
A Eq. (7) representa o laço principal da histerese.
Para considerar os laços menores e a acomodação, a
equação geral do modelo é dada por
(8)
em que é o campo de proximidade, é o campo
de proximidade em um ponto de reversão e
é uma função de proximidade definida por:
(9)
onde é uma constante arbitrária. Um procedimento
para estimação dos parâmetros deste modelo pode ser
visto em (de Almeida et al., 2003). A constante é
obtida pela minimização da função objetivo, erro
médio quadrático, da Eq. (10).
(10)
Resultados da aplicação do Modelo L²P
A Eq. (7) é utilizada para ajustar os dados expe-
rimentais ao laço principal da histerese. As figuras 3 e
4 mostram resultados diferentes baseando-se na alte-
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ração do parâmetro , que representa a magnetiza-
ção de saturação. Ainda na Eq. (7), os parâmetros e
podem ser substituídos pelas variáveis e ,
respectivamente. Os resultados preliminares indica-
ram que o modelo L²P não se ajusta completamente
aos dados experimentais, de forma que para uma in-
clinação definida, o ajuste do parâmetro mini-
miza erros mas mantém uma divergência durante a
região de transição para a saturação. As figuras 3 e 4
mostram que há uma pequena inclinação na região de
saturação dos dados experimentais, dificultando o
ajuste pelo modelo L²P. Isso ocorre devido ao método
utilizado para a aquisição dos dados, em que a corren-
te primária incorpora as correntes parasitas, e não
apenas a corrente de magnetização. Este artigo não
considera as perdas no núcleo por correntes parasitas.
Nesse caso, um melhor ajuste do modelo de histerese
aos dados experimentais obtidos implica otimizar o
modelo, sem, no entanto, acrescentar um modelo
específico para representação das correntes parasitas.
Para o núcleo ferromagnético analisado, ensaios
mostraram que quando se obtinha parâmetros ótimos
para o L2P de forma a produzir uma boa descrição na
região central do laço da histerese, o modelo divergia
na região de saturação. Já quando a histerese era bem
descrita na região de saturação, o modelo deixava de
representar este fenômeno com precisão na região em
torno da origem e na região de "joelho".
Figura 3. Ajuste ao laço principal de histerese pelo modelo L²P.
Parâmetros: ; ; ; .
Figura 4. Ajuste ao laço principal de histerese pelo modelo L²P.
Parâmetros: ; ; ; .
Uma forma de reduzir essas discrepâncias é adi-
cionar outros parâmetros ao modelo L2P original, a
fim de considerar a componente reversível da histere-
se magnética. Uma alternativa é considerar a magneti-
zação total como a soma de suas componentes rever-
sível e irreversível.
Baseado nessas condições, este artigo propõe a
modificação da equação do modelo L²P, de forma que
o ajuste seja corrigido.
3.2 Modelo L²P - expansão para L²Pα
A seção anterior apresentou um problema de ajus-
te do modelo L²P aos dados experimentais, decorrente
da utilização da corrente primária total, desconside-
rando-se um modelo independente para as correntes
parasitas. Além disso, o modelo L²P considera apenas
a componente irreversível da magnetização. Nesta
seção, propõe-se acrescentar a magnetização reversí-
vel ao modelo de histerese L²P. Para isso, será consi-
derado o modelo de histerese de Duhem definido na
forma (Visitin, 1994):
(11)
cujas funções e são arbitrárias, e
(12)
(13)
A equação (11) é também chamada de equação
independente da taxa. A estrutura de modelo da equa-
ção (13) produz duas situações possíveis:
(14)
(15)
Uma representação alternativa para (11) pode ser
obtida fazendo-se
) (16)
sendo . O operador de histerese definido
por (11), e colocado na forma (16), é chamado de
operador de Duhem, denotado por
(17)
O operador de Duhem é apresentado na forma de
uma estrutura matemática geral, que define uma classe
de modelos. Entretanto, não há metodologia disponí-
vel que permita determinar as funções e
para um fenômeno de histerese específico.
Isto se deve ao fato de que cada aplicação requer uma
estrutura de modelo bastante peculiar, e a proposta
original de Duhem não estabelece métodos para o
desenvolvimento destas estruturas. Em (Jiles-
Atherton, 1983) foi proposto um modelo para a histe-
rese ferromagnética em que o campo externo provoca
o crescimento de um certo domínio em detrimento de
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outros. Jiles postulou que o processo de magnetização
é o resultado médio destas interações, conectando as
irregularidades do movimento de domínios com a
perda de energia no processo de magnetização. O
modelo é baseado na hipótese de que a magnetização
é formada de uma componente irreversível e
uma componente reversível , diretamente rela-
cionada com a curva de Langevin
(18)
sendo a magnetização de saturação, e cons-
tantes que dependem do material e o campo magné-
tico aplicado. Jiles considerou que a proporção entre
e é constante para qualquer valor no plano
de fase , e a magnetização total é dada por
(19)
cuja proporção dependente do material pertence ao
intervalo . No modelo de Jiles a componen-
te irreversível é definida através de um operador
de histerese do tipo Duhem denotado por , que resulta em uma magnetização total dada
por:
(20)
De maneira similar ao modelo de Jiles, o modelo
L²P pode ser também classificado como um operador
de histerese do tipo Duhem, denotado de . Dessa forma, objetiva-se uma estrutura diferente da
proposta por Jiles para a representação das componen-
tes de magnetização. Neste caso, propõe-se que a
componente reversível da magnetização seja , e a magnetização total definida como
(21)
Essa é uma estrutura mais simples que a proposta
por Jiles, acrescentando-se apenas o parâmetro adi-
cional em relação ao modelo original L²P.
Sendo assim, o modelo L²Pα pode ser definido
por:
(22)
A incorporação da magnetização reversível ao
modelo, através da inclusão de mais uma variável,
melhora consideravelmente o ajuste do modelo aos
dados experimentais, porém sem um aumento expres-
sivo da carga computacional. A estimação do novo
parâmetro é feita de forma semelhante seguindo um
problema de minimização do erro médio quadrático
( ), de acordo com a Eq. (10).
4 Resultados de simulação e discussão
A seção 3.1 apresentou o modelo de histerese L²P
e os resultados obtidos para a sua aplicação ao ajuste
dos dados experimentais do transformador da Tabela
1. Os novos resultados obtidos aplicando-se o modelo
de histerese L²Pα mostram que o erro é reduzido qua-
se que pela metade quando comparado com o modelo
L²P original, conforme observado nas Figuras 4 e 5,
demonstrando a eficácia do modelo proposto. A Eq.
(22), portanto, mostra-se mais eficiente para represen-
tar o comportamento da histerese magnética do ele-
mento não linear em estudo.
A Figura 6 mostra o processo de acomodação do
laço de histerese que ocorre no instante da energiza-
ção do transformador com o secundário em aberto. O
modelo L²Pα é capaz de reproduzir este efeito. A
tensão secundária e a corrente primária total são obti-
das em simulação e comparadas com os dados expe-
rimentais.
Observa-se na Figuras 7 e 8 que o modelo L²Pα
possui um bom potencial para representação das não
linearidades de transformadores monofásicos de nú-
cleo envolvido, constituindo uma alternativa simples e
de fácil implementação para a analise de circuitos
contendo indutores e núcleos ferromagnéticos. Não
obstante, este modelo pode ser utilizado também em
transformadores a núcleo envolvente, ou ainda em
transformadores trifásicos e de grande porte, tais quais
os utilizados nos sistemas de distribuição. Para isso,
deve-se reconsiderar a geometria e outros aspectos
(Theocharis et al., 2009).
Figura 5. Ajuste ao laço principal de histerese pelo modelo L²Pα.
Parâmetros: ; ; ; ;
.
Figura 6. Relação B(H) com processo de acomodação. Tensão máxima aplicada 138V, fase 0º. Parâmetros do modelo L²Pα:
; ; ; .
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Figura 7. Tensão secundária, com transformador a vazio. Tensão
máxima aplicada 138V, fase 0º. Parâmetros do modelo L²Pα:
; ; ; .
Figura 8. Corrente de partida com secundário em aberto. Tensão
máxima aplicada 138V, fase 0º. Parâmetros do modelo L²Pα:
; ; ; .
5 Conclusão
Este trabalho apresentou um modelo de transfor-
mador monofásico simplificado, do tipo núcleo en-
volvido, utilizando um modelo algébrico de histerese
para representação das não linearidades do núcleo
ferromagnético saturável. Optou-se pela utilização do
modelo de histerese L²P devido este não possuir equa-
ções diferenciais. A analise dos resultados prelimina-
res mostrou que o modelo L²P não produzia um bom
ajuste na transição para a saturação da curva de histe-
rese. Para otimizar o modelo, foi proposta uma altera-
ção à equação do L²P para que fosse incorporada a
magnetização reversível, atribuindo-se o nome L²Pα
para diferenciá-lo do modelo original. Ao final, são
analisadas as correntes e tensões geradas pela simula-
ção da energização do transformador a vazio, compa-
rando-se os resultados obtidos pelos modelos e pelos
dados experimentais, evidenciando o aumento de
eficiência obtido pelo modelo L²Pα.
Agradecimentos
À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado da Ba-
hia e à Universidade Federal da Bahia, pela aquisição
de equipamentos utilizados nesta investigação.
Referências Bibliográficas
de Almeida, L. A. L; Deep, G. S; Lima, A. M. N;
Neff, H. (2003). Limiting loop proximity
hysteresis model. IEEE Trans. Magn., Vol. 39,
pp. 523-528.
de Almeida, L. A. L; Deep, G. S; Lima, A. M. N.,
Neff, H. (2003). Um modelo diferencial para
histerese magnética: representação algébrica
recursiva," Revista Controle & Automação, vol.
14, pp. 58-68, Mar. 2003.
Jiles, D. C. and Atherton, D. L (1983). Ferromagnetic
hysteresis. IEEE Trans. Magn., vol. 19, pp. 2183-
2185.
Preisach, F (1935). Über die magnetische
Nachwirkung. Zeitschrift für Physik, Vol. 94, pp.
277-302.
Theocharis, A. D; Menti, A; Milias-Argitis, J. and
Zacharias, T (2005). Modeling and simulation of
a single-phase residential photovoltaic system.
Power Tech, IEEE Russia, 27-30 June 2005.Elec.
Engineering, vol. 90, pp. 229-241.
Theocharis, A. D; Milias-Argitis, J. and Zacharias, T
(2009). Three-Phase Transformer Model
Including Magnetic Hysteresis and Eddy Currents
Effects. IEEE Trans. on Power Deliv., July 2009,
no. 3, vol. 24, pp. 1284-1294.
Visintin, A. (1994). Differential Models of Hysteresis,
Springer-Verlag.
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