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1 Geometria analítica Anotações de aula. Ensino Médio Com exercícios de ENEM e PISM da UFJF Prof. José Carlos 2020
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Geometria analítica
Anotações de aula.
Ensino Médio
Com exercícios de ENEM e PISM da UFJF
Prof. José Carlos
2020
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Analítica 2020. Anotações de aula – ENEM e PISM III
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ÍNDICE
Sistema cartesiano ortogonal ...............................................................................................................................04
Distância entre dois pontos....................................................................................................................................06
Baricentro de um triângulo ....................................................................................................................................07
Razão de secção .....................................................................................................................................................08
Condição de alinhamento de três pontos ............................................................................................................. 08
Área de um triângulo .............................................................................................................................................10
Estudo da reta ........................................................................................................................................................11
. Equação reduzida .................................................................................................................................................11
. Equação geral .......................................................................................................................................................11
. Equação fundamental ..........................................................................................................................................12
. Equação segmentária ...........................................................................................................................................12
Estudo das posições relativas de duas reta em função de suas inclinações ...........................................................15
Estudo das posições relativas de duas retas em função da análise de sistemas de equações lineares ..................16
Retas perpendiculares .............................................................................................................................................17
Forma paramétrica da reta ......................................................................................................................................18
Ângulos formados por duas retas ............................................................................................................................18
Cálcula da distância de um ponto a uma reta ..........................................................................................................19
Representação gráfica de uma inequação ...............................................................................................................20
Estudo da circunferência ..........................................................................................................................................20
Posições reslativas enre ponto e circunferência ......................................................................................................22
Gráfico de uma circunferência escrita na forma de uma inequação ........................................................................23
Problemas envolvendo reta e circunferência ...........................................................................................................23
Respostas ..................................................................................................................................................................24
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Analítica 2020. Anotações de aula – ENEM e PISM III
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Bibliografia
RODRIGUES PAIVA, Manoel, Matemática, São Paulo, Moderna, 1995. v.III
PAIVA, Manoel, Matemática, São Paulo, Moderna, 2001.
PAIVA, Manoel, Matemática, São Paulo, Moderna, 2009.
BIANCCHINI, Edvaldo; PACCOLA, Herval, Matemática, São Paulo, Moderna, 2004. v. III
EDITORA MODERNA, Organizadora, São Paulo, Moderna, 2010.
RIBEIRO, Jackson, Matemática, São Paulo, Editora Scipione, 2011. v. III
IEZZI, Gelson; DOLCE, Oswaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto; DE ALMEIDA, Nilze, São Paulo, Matemática ciência e aplicações, Saraiva, 2016.
Sites
ENEM - https://enem.inep.gov.br/
Curso Objetivo - https://www.curso-objetivo.br/vestibular/resolucao_comentada/enem.asp
Coordenação Geral de Processos Seletivios|COPESE – ufjf - https://www2.ufjf.br/copese/vestibular-pism-2/vestibular-pism-edicoes-anteriores/
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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
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CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
O alinhamento de três pontos pode ser verificado através do determinante e através da análise do coeficiente angular.
1 – Através do determinante
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Os pontos estarão alinhados se:
Considerando que
2 – Através do coeficiente angular da reta ou de um segmento de reta.
Conceitos
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27)(Pism 2008-2010)
Usando a noção de coeficiente angular, verifique se os pontos 𝑨(−𝟏, 𝟐), 𝑩(𝟏, 𝟑) 𝒆 𝑪(𝟔, 𝟔) são colineares.
ÁREA DO TRIÂNGULO
29) MP pg 34, Rp 31.
Calcule a área de cada triângulo.
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32) (Pism 2012-2014)
Ao estudar a órbita circular de um planeta ao redor de uma estrela, com o auxílio de um plano cartesiano, um jovem astrônomo percebeu que esta passava pelos pontos 𝑨 = (𝟎, 𝟏) 𝒆 𝑩 = (𝟏, 𝟐), que o centro da órbita é o ponto 𝑷 = (𝟐, 𝟎) e raio 𝑹 = √𝟓 𝑼𝑨, sendo que uma unidade astronômica (UA) é igual a 𝟏, 𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟏𝟏 metros.
Após um período de observação, o astrônomo percebeu que uma grade erupção estelar atingiu a órbita do planeta do ponto A até o ponto B. Determine a área atingida pela erupção, considerando que essa é aproximadamente a área do triângulo de vértices A, B e P, em km².
ESTUDO DA RETA
Equações da reta
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𝒚 − 𝟑 = − 𝟑𝟒
(𝒙 − 𝟎) (𝒇𝒖𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍)
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42) JR, 186/303. R p 49.
A reta s passa pelos pontos 𝑬(𝟑, 𝟔) e 𝑭(𝟐, 𝟗). Dentre os pontos 𝑪(𝟑, 𝟐) e 𝑫(−𝟏, 𝟏𝟖) quais pertencem à reta.
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78) Calcule a distância entre as retas r: 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟒 =𝟎 𝒆 𝒔: 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟕 = 𝟎.
80) PISM 2012
Considere MNT o triângulo de vértices 𝑴(𝟓, 𝟐), 𝑵(𝟏, −𝟑)𝒆 𝑻(−𝟑, 𝟒). Determine:
a) a equação analítica da reta suporte da altura relativa ao lado NT. b) a altura desse triângulo em relação ao lado 𝑵𝑻.
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU.
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
1 – Equação reduzida da circunferência
2 – Equação Geral ou Normal da circunferência
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Gráfica de uma circunferência escrita na forma de uma inequação
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Respostas:
2) 𝐶𝐷
3.b) 35 u. a.; 3.c) I(3,5; 3,5)
4.a) 168 u.a.; 4.b) 52 u.c.; 4.c) I(2,7)
5) e
6) B 1º q, C 4º q e D 2º q
7) E
8) a
9) B
10.a) 5 u.c.; b) 10 u.c.; c)2√5 u.c.
11) 10 u.c.
12) 𝐶 = 4𝜋√2 𝑢. 𝑐. ≅ 17,8 𝑢. 𝑐.; 𝐴 = 8𝜋 𝑢. 𝑎. ≅25,12 𝑢. 𝑎.
13) 𝑃 (2, 0) 𝑜𝑢𝑃 (10, 0)
14) a
15.a) Retângulo, b) Retângulo, c)Obtusângulo, d) Acutângulo 16) a
17.a)M (6, 8); b) M (1, -3)
18.a) A’ (-7, -6); B’ (6, 4)
19) c
20) C (6, 9) e D (3, 8)
21.a) 𝐺 − , ; b)(4, 1); 22)
𝐶 4, 𝑒 𝐷 6,
23) P(3, 6)
24.a) 𝐶(−1,6) 𝐷(3, 4); b) 𝑑 = 12√5 ≅26,4 𝑢. 𝑐. 𝑒 𝑑 = 2√5 ≅ 8,8 𝑢. 𝑐.
25.a) m=3; b) m=-2; c) m=-2; d) m=0; e) ∄
26.a) Sim; b) Sim; c) Não; d) Não
27) 𝑚 = 𝑒 𝑚 = , logo
Não são colineares.
28) c
29.a) A=5 u.a.; b) A=6 u.a.; c) A=3 u.a.
30.a) 𝐴 = 24,5 𝑢. 𝑎.; b) A=20 u.a.
31) 𝐴 = 31 𝑘𝑚
32) 𝐴 = 𝑈. 𝐴. = 3,375 ∙ 10 𝑘𝑚
33) a
34.a) 𝐴(0, 7); b) 𝐵(7,0); c) 𝐶(5, 2); d) 𝐷(9, −2); f) m = -1; 𝛼 = 135°
35.a) 𝑦 = − 𝑥 + ; b) y = 4x+1
36) 𝑦 = 𝑥 − 1
37.a) 𝑦 = 23𝑥 + 26; b) 58,2° c)23°
38) A
39) B
40) c
41) 4x + 9y – 19 = 0
42) Ponto D
43) p = 21
44.a) 5x – 4y +20 = 0; b) Não passa. O ponto C está abaixo.
45) x - 2 y + 8 = 0
46) O ponto P está acima pois 𝑦 = 670 𝑒 𝑦 =699,67
47.a) 20L e b) 16 s
48) 24,6°C
49) c
50) a
51) 30°
52) y = x + 4
53) B
54.a) São paralelas; b) Não são.
55) y = 3 x – 11
56) 𝑦 = − 𝑥
57.a) 𝑦 = −3𝑥 + 11; 57.b) 𝑦 = −4𝑥 + 1
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57.c) 𝑦 = 𝑥
58.a) I (3, 6); b) I (1, 3); c) I (4, -3); 58.d) I (3, )
59)I (-2, 5) e 4x+y+11=0
60) m=4
61) SPD
62) 𝑘 ≠
63) SPD: 𝑘 ≠ ; SI: 𝑘 = ; SPI: ∄
64.a) Perpends; b) Não perpends.
65) x-2y+9=0
67) 3x+y-4=0
68) 𝑎 = −
69) e
70) E
71.a) 3x – 4y+13=0; b) 𝑑 =
72.a) 2x – y –12=0; 72.b) x=15 e y=18; 72.c) 𝑑 =10√5𝑚 ≅ 22,4𝑚; 72.d) 𝑣 = 4,48
73.a) 3x – y – 9=0; 𝑑 = 3√10 𝑚
74) 42°
75) x – 2y + 18=0 e 2x +y – 4 =0
76.a) 3 u.c. b) 3√2 u.c. c) 5 u.c. 76.d) 5 u.c.
77) 𝑑 = √ 𝑢. 𝑐. ≅ 4,02 𝑢. 𝑐.
78) 𝑑 = √ 𝑜𝑢 𝑑 ≅ 4,92 𝑢. 𝑐.
79) a
80.a) 7x+4y+5=0 b) ℎ = √ u.c
85) B
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88.a) (1, −2) b) 3x – y – 5 =0
89) k ∈ 𝑅 𝑒 𝐾 > 0
90) Um ponto (2, 3)
91) 𝑘 = −8 𝑜𝑢 𝑘 = −4
92) (𝑥 − 3) + (𝑦 − 2) = 25
93) 𝐼 0,7 − √55 e 𝐼 0,7 + √55
94.a)(𝑥 − 2) + (𝑦 − 1) = 25
94.b) (𝑥 − 6) + (𝑦 − 5) = 9
95) c
96.a) 𝐶(0, −3) 𝑒 𝑅 = 5
96.b) 𝐶 , 𝑒 𝑅 =
98) e
99) 𝑥 + 𝑦 − 10𝑥 + 20 = 0
100) c
101) E
102) B
103.a) 𝑇(4, −4) 𝑀(4,0) 𝑁(0, −4)
103.b) 4√2 𝑢. 𝑐. 103.c) 8 u.a.
104) 𝑅 =
105) a
106) a
107) D
108.a) interno b)externo c) ext.
109)
110.a) Pertence à circunferência 110.b) 𝑎 <0 𝑜𝑢 𝑎 >
111) a)tang. 111.b)sec.111.c) ext.
112) 3x+4y+14-0 e 3x+4y-16=0
113) 4 u.a.
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![í X - Quimatic Tapmatic...ò X D / ^ KEdZK> W Z ZZ D D EdK Kh s D EdK W µ } ] U µ ] u v } } } } ] u v } u P ! v ] W s ]](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5e38fac3c5ffc4545d284a8c/-x-quimatic-tapmatic-x-d-kedzk-w-z-zz-d-d-edk-kh-s-d-edk-w-.jpg)
![o } K Æ ] ] À ] d v } o } v](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/62df0f9c6f2aeb378a4293b5/o-k-d-v-o-v.jpg)
![Forum de DANT - GT Violencia autoprovocadasvs.aids.gov.br/.../grupo7-violencia-autoprovocada.pdf · w ] v ] ] µ Æ v u } v } ] o u î ì í ó)dl[d hwiuld dqr d dqrv d dqrv d dqrv](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5f752ece57d6f624703d81ac/forum-de-dant-gt-violencia-w-v-v-u-v-o-u-dld-hwiuld.jpg)
![D ] v µ ] o ] Ì } v } u ] } Ks/ r í õ ] ( ] d v ] í](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/62919ec2add24c063376c5ee/d-v-o-v-u-ks-r-d-v-.jpg)
![D ] } ( ] > ] v Z ] ]](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/616a60ec11a7b741a351d8bf/d-gt-v-z-.jpg)