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Assunto: Análise Combinatória

Profª: SIMONE QUEIROZ

Nome:

Escola Estadual Regueira Costa

Data:

- Princípio fundamental da contagem Princípio Fundamental da Contagem é o mesmo que a Regra do Produto, um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes: • O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos. • O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos. Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto: m . nExemplos 1. Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente ela quer se decidir qual a modelo e a cor do seu novo veículo. Na concessionária onde Alice foi há três tipos de modelos que são do interesse dela: Sandero Stepway, Tucson e EcoSport, sendo que para cada carro há 5 opções de cores: preto, vinho, amarelo, vermelho e prata. Qual é o número total de opções que Alice poderá fazer? 2. Lançando um dado duas vezes seguidas, quais as possibilidades de obtermos soma igual a 8? 3. No lançamento de um dado e de uma moeda, quantos são os resultados possíveis?4. Quantos são os anagramas da palavra CESTO? Quantos iniciam e terminam com vogal? Quantos as consoantes não ficam juntas?5. Uma escola tem 6 portas. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode entrar e sair da escola?6. Lançando um dado duas vezes seguidas, quais as possibilidades de obtermos na soma um número ímpar?FatorialSeja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo:n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1.Para n = 0 , teremos : 0! = 1.Para n = 1 , teremos : 1! = 1Exemplos:a) 6! = b) 4! = c) observe que 6! = 6.5.4!1. De quantas maneiras podemos organizar 7 alunos numa fila?

2. Simplificar as frações:

a)

5!3! b)

10 !7! c)

12 !9! d)

2!5! e)

6 !9 !

f)

7 !4 !¿3 !

¿ g)

10 !5! ¿4 !

¿ h)

10 !¿7 !5 !¿9 !

¿¿ i)

8 !¿6 !5! ¿4 !

¿¿

j) 1! + 3! k) 2! + 6! l) 5! + 0! – (3!)m) 4! – (5!)

PERMUTAÇÃOPn = n!Exercícios 1. Calcular o número de anagramas da palavra TRANCO. 2. Com os algarismos 1, 3, 4, 6, 7 e 9, quantos números pares de seis algarismos distintos podemos escrever? 3. Quantos números de 4 algarismos podemos formar com os símbolos 0, 2, 4, 6 e 8?

- Permutação com elementos repetidosA expressão do número de permutações com repetição é:Pn

(n1

, n2 , n

3 , ... , n

k) =

Exercícios1. Quantos são os anagramas da palavra CANDIDATA ? 30.2402. Quantos números pares obteremos permutando os algarismos 1, 2, 2, 3, 3, 3 e 4? 1803. Numa mesa de bilhar há 4 bolas vermelhas, 3 bolas brancas, 2 bolas amarelas e uma verde, encostadas umas nas outras, em linha reta. De quantas maneiras podemos dispor estas bolas? 12.6004. Considere os anagramas da palavra PROFESSOR:a) quantos são? 45.360b) quantos começam por P? 5.040c) quantos começam por R? 10.080d) quantos começam por vogal? 15.120

ARRANJO

An , k = Exercícios1. Quantos números de 3 algarismo distintos podem ser escrito com os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 8 e 9? 2102. Quantas linhas telefônicas formada de 7 algarismos podemos formar, com todos

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algarismos distintos, começando com 5 e terminando com 0? 6.7203. Dez meninas apostam uma corrida. De quantos modos diferentes pode ser formado o grupo das três primeiras colocadas? 7204. Para ir ao clube, Júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um par de tênis. Sabendo que ele dispõe de seis camisetas, quatro bermudas e três pares de tênis, de quantas maneiras distintas poderá vestir-se?5. Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é formado por uma sequência de três algarismos distintos. Além disso, ele sabe que o algarismo das centenas é igual a 4. Se, em média, o ladrão leva 3 minutos para testar uma possível sequência, qual o tempo máximo para o ladrão abrir o cofre?

COMBINAÇÃOCn , k =

Exercícios1. Quantas comissões de 3 elementos podemos formar com um grupo de 8 pessoas? 562. Numa sessão em que estão presentes 18 deputados, 4 serão escolhidos para uma comissão que vai estudar um projeto do governo. De quantos modos diferentes poderá ser formada esta comissão? 3.0603. Retirando-se 5 cartas de um baralho de 52 cartas, quantas possibilidades existem de saírem 3 valetes nesta retirada? 4.5124. No final de uma reunião, foram trocados 28 apertos de mão. Sabendo-se que cada pessoa cumprimentou todas as outras, quantas pessoas havia nessa reunião? 85. De quantas maneiras distintas um grupo de 10 pessoas pode ser dividido em 3 grupos de 5, 3 e 2 pessoas? 2.520

Exercícios mistos1. Calcular o valor da expressão: X = 3.A10,2 – 2P4 + C10,1

2. Um jantar constará de três partes: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas maneiras distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos principais e quatro sobremesas?3. Quantos números de 4 algarismos podemos formar com os 10 primeiros números naturais? 4. Quantos números distintos podem ser formados permutando-se os algarismos do número 21.421? 5. Num colégio há 7 professores de Matemática, 5 de Física e 4 de Química. Quantas comissões podemos formar com 3 professores de cada disciplina?

6. (FCChagas- BA) Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA. Quantos deles têm todas as vogais juntas? a) 36 b) 72 c) 120 d) 144 e) 1807. (FATEC-SP) Quantos números distintos entre si e menores que 30.000, têm exatamente 5 algarismos não repetidos e pertencem ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}? a) 90b) 120 c) 180 d) 240 e) 3008. Considere a palavra MATRIZES. Quantos grupos de 4 letras distintas podemos formar:a) com as letras dessa palavra? b) começando com a letra T? c) terminando com as letras ZE? e) que não comece com a letra A? 9. (UFR-RJ) Em uma sala estão 6 rapazes e 5 moças. Quantas comissões podemos formar, tendo em cada comissão 3 rapazes e 2 moças?a) 50 b) 100 c) 150 d) 200 e) 250

10. (U. Gama Filho-RJ) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, quantos múltiplos de 5 compostos de três algarismos distintos podemos formar?a) 32 b) 36 c) 40 d)60 e) 72

11. (F.I. Anápolis-GO) O número de maneiras que posso presentear 6 amigos com 6 camisetas diferentes é:a) 6 b) 36 c) 720 d) 4 320 e) 66

12. (U. Católica de Salvador-BA) Os organizadores de um Congresso convidaram 5 conferencistas para proferirem palestras nos 5 dias do evento. Sabendo-se que a programação previa 1 palestra por dia, o número de maneiras distintas que as palestras podem ser programadas, nesses cinco dias, é igual a:a) 20 b) 25 c) 50 d) 90 e) 12013. (UF – BA) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão e melão, calcule de quantos sabores diferentes pode-se preparar um suco, usando-se três frutas distintas.14. Uma empresa distribui a seus funcionários um questionário constituído de duas partes. Na 1ª, o funcionário deve colocar a ordem de preferência de turno de trabalho: diurno, vespertino e noturno. Na 2ª, o funcionário deve escolher, em ordem de preferência, dois dos sete dias da semana para folgar. De quantas maneiras um funcionário poderá preencher esse questionário?

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Exercícios de permutações simples1. Com as vogais: A, E, I, O e U, quantas permutações podem ser formadas contendo as letras: A, e I.2. De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?3. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?4. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR?5. Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9.6. Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos.7. Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutações começam por uma determinada letra?8. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI?9. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A?10. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por AB?11. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por ABC?12. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por uma das letras A, B ou C?13. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando pelas três letras do grupo ABC?14. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por uma vogal e terminando por uma consoante?15. Há 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas

de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntos?

Exercícios de permutações com repetição

16. Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: ARARA?17. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES?18. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES começando por U?19. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES terminando por S?20. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES começando por U e terminando por S?21. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMA?22. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMAR?23. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra ARARUNA?24. O número Pi com 10 algarismos (sem considerar a vírgula) é indicado por 3141592653. Quantas são as permutações diferentes que podemos construir com estes 10 algarismos25. Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: MATEMATICA?Auxílio: A letra A aparece 3 vezes, a letra M aparece 2 vezes, a letra T aparece 2 vezes, a letras E aparece 1 vez , a letra I aparece 1 vez e a letra C aparece 1 vez.

Exercícios de combinações simples26. Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros?27. Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?28. Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?29. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?30. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A?31. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras A e B?

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32. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que não contenham nem as letras A e B?33. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras A ou B esteja presente, mas não as duas?34. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre as 3 letras A,B e C?35. Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?36. Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2).37. Quantos triângulos podem ser traçados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?38. Quantos quadriláteros convexos podem ser traçados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?39. Em uma classe com 16 pessoas, há 10 homens e 6 mulheres. Consideremos H um certo homem e M uma certa mulher. Quantos grupos podemos formar:1. com 4 homens e 2 mulheres?2. contendo H mas não M?3. contendo M mas não H?4. contendo H e M?5. contendo somente H ou somente M?40. Quantos números diferentes maiores do que 100 e menores do que 1000 podem ser construídos com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, sendo:1. que cada algarismo aparece somente uma vez?2. que cada algarismo pode repetir até 3 vezes?3. os números pares sem repetição?4. os números ímpares sem repetição?5. os números pares com repetição?6. os números ímpares com repetição?41. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comissões com 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades?

Resposta: N=C(6,3)×C(4,2)=30×6=18042. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão somente 1 professor?43. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão somente 2 professores?44. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão no mínimo 2 professores?45. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão no mínimo 3 professores?46. Num plano existem 4 pontos, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de retas que passam por esses pontos?47. Num plano colocamos n pontos, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de retas que passam por esses pontos?48. Quatro pontos são postos num plano, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de triângulos construídos com esses pontos?49. Qual é o número de diagonais de um polígono regular de n lados?50. Qual é o número de diagonais de um cubo?51. Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem 5 lados?52. Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem 6 lados?53. Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem n lados?54. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, construir o conjunto que contém todas as combinações tomadas 2 a 2.55. Com as letras: A,B,C,D,E,F,G e H, determinar o número das permutações possíveis que começam por ABC.56. Quantas digonais possui um dodecágono?57. Quantas digonais possui o tetraedro regular?58. Quantas digonais possui um prisma triangular regular?

Exercícios de arranjos simples59. Quantos números diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.60. Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

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61. Quantos números distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.62. Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.63. Quantos números distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos diferentes da coleção: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.64. No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?65. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto solução que contém todos os arranjos tomados 2 a 2.66. Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados?67. Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos números com 4 algarismos podem ser montados?68. Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?69. Com as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?COMBINAÇÃO70. Consideremos um baralho contendo 52 cartas distintas.1. Quantos pares distintos podem ser formados?2. Quantas trincas distintas podem ser formados?3. Quantas quadras distintas podem ser formados?4. Quantos pares distintos podem ser formados tendo pelo menos um "Ás"?5. Quantos pares distintas podem ser formados tendo pelo menos um "Ás" e um "Rei"?6. Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um "Ás"?7. Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um "Ás" e um "Rei"?

Exercícios com o fatorial71. Se C(n,2)=28, qual é o valor de n?72. Existe um número n natural tal que C(n,3)=C(n,2)?73. Se A(n,2)=42, qual é o valor de n?

Exercícios com a regra do produto74. Numa festa, três meninos devem ser apresentados a 5 meninas. De quantas maneiras possíveis eles podem ser apresentados?75. Existem quatro estradas ligando duas cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantos modos diferentes uma pessoa pode se deslocar da cidade A até a cidade C?76. Uma sala possui 3 portas. Quantas possibilidades existem para que uma pessoa possa entrar e sair desta sala?

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

Respostas dos exercícios de permutações simples

2. Auxílio: P(n)=n!, n=3 Resposta: N=1×2×3=63. Auxílio: P(n)=n!, n=5 Resposta: N=1×2×3×4×5=1204. Auxílio: P(n)=n!, n=4 Resposta: N=1×2×3×4=245. Resposta: P(5)=1206. Resposta: N=2×P(4)=2×24=487. Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!8. Resposta: P(9)=9!9. Resposta: P(8)=8!10. Resposta: P(7)=7!11. Resposta: P(6)=6!12. Auxílio: Começando por uma das letras A,B,C: P(8)=8! Resposta: N=3×P(8)=3×8!13. Auxílio: Começando pelas letras do grupo ABC: P(3)=3!=6 Resposta: N=P(3)×P(6)=6×120=72014. Auxílio: 3 são as vogais e 6 são as consoantes. Resposta: N=P(3)×P(6)=6×120=720 (???)15. Auxílio: Temos 4 grupos de camisas, logo P(4) posições para as equipes e os grupos podem permutar as suas posições, respectivamente, P(3), P(3), P(2) e P(2). Resposta: N=P(4)×P(3)×P(3)×P(2)×P(2)=3456

Respostas dos exercícios de permutações com repetição

16. Auxílio: A letra A aparece 3 vezes e a letra R aparece 2 vezes. Resposta: Pr(5;3+2)=5!/(3!2!)=1020. Auxílio: p1=n(A)=2, p2=n(M)=1, N=Pr(3;2+1)Pr(p;p1+p2)=(p1+p2)!/(p1!p2!)Resposta:N=3!/(2!1!)=3

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22. Auxílio: N=(p1+p2+p3)!/(p1!p2!p3!),A=2,M=1,R=1 Resposta: N=4!/(2!1!1!)=1223. Auxílio: N=(p1+p2+p3+p4)!/(p1!p2!p3!p4!), A=3, R=2, N=1, U=1Resposta: N=7!/(3!2!1!1!)=42024. Auxílio: n(1)=n(3)=n(5)=2, n(2)=n(4)=n(6)=n(9)=1 Resposta: Pr(10,2+1+2+1+2+1+1)=10!/8=45360025. Resposta: Pr(10;3+2+2+1+1+1) = 10!/[3!2!2!1!1!1!] =151200

Respostas dos exercícios de combinações simples

27. Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3Resposta: C=8!/(3!5!)=(8×7×6)/(1×2×3)=5628. Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000, p=2Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000×999=99900029. Conceito: CombinaçãoAuxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=10, p=4Resposta: C=10!/(4!6!)=(10×9×8×7)/(1×2×3×4)=21030. Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=1, p1=1Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1×9×8×7)/6=8431. Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=2Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(1×8×7)/2=2832. Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=0Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(1×8×7×6×5)/24=7033. Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=1Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2×8×7×6)/6=11234. Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=3, p1=2Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(3×7×6)/2=6341. Resposta: N=C(6,3)×C(4,2)=30×6=18046. Resposta: C(4,2)=647. Resposta: C(n,2)=n(n-1)/248. Auxílio: C(3,2)=3 triângulos para cada ponto.49. Resposta: N=C(n,2)-n=n(n-1)/2-n=n(n-3)/255. Resposta: N=P(5)=120.56. Resposta: N=12×9/2=5457.Resposta: N=058. Resposta: N=0

Respostas dos exercícios de arranjos simples59. Resposta: N1=A(9,1)=960.Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 2 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,1). Resposta: N2=A(10,2)-A(9,1)=10×9-9=90-9=8161. Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,2). Resposta: N3=A(10,3)-A(9,2)=720-720=64862. Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,3). Resposta: N4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=453663. Resposta: N=N1+N2+N3+N4=9+81+648+4536=527464. Auxílio: A quantidade de números distintos com 4 algarismos é 4536 e a quantidade total de números (com repetição ou não) com 4 algarismos é 9000.Resposta: N=9000-4536=446466. Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=5, p=3Resposta: A=5!/2!=6067. Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=10, p=4Resposta: A=10!/6!=504068. Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3Resposta: A=26!/23!=26.25.24=1560069. Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4Resposta: A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000

Respostas dos exercícios com o fatorial71. Resposta: n=8.73. Resposta: n=7.

Resposta dos exercícios com a regra do produto74. Auxílio: N=p×q, p=3, q=5Resposta: N=3×5=1575. Auxílio: N=p×q, p=4, q=3Resposta: N=4×3=1276. Auxílio: N=p×q, p=3, q=3Resposta: N=3×3=9

Exercícios Complementares2) Uma agência de turismo oferece bilhetes aéreospara o trecho São Paulo – Miami através de duas

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companhias: Varig ou TAM. O passageiro podeescolher também entre a primeira classe, classeexecutiva e classe econômica. De quantas maneirasum passageiro pode fazer tal escolha?4) O vagão de um trem possui seis portas. De quantasmaneiras distintas um passageiro pode entrar notrem e sair dele por uma porta diferente da queusou para entrar?5) Uma prova consta de dez testes de múltiplaescolha. De quantas maneiras distintas a provapode ser resolvida, se cada teste tem cincoalternativas distintas?6) Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 8 e 9:a) Quantos números de quatro algarismospodemos formar?b) Quantos números de quatro algarismosdistintos podemos formar?7) Quantos números de três algarismos distintosexistem?8) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantosnúmeros ímpares de quatro algarismos podemosformar?Deseja-se formar números divisíveis por 5,compostos de quatro algarismos distintos. Quantassão as possibilidades dispondo-se dos algarismos 0,1, 2, 3, 4, 5 e 6?11) Resolva a equação .12) Simplifique .13) Resolva a equação14) Resolva as seguintes equações:a)b)15) Resolva as seguintes equações:a)b)16) Para a eleição do corpo dirigente de uma empresacandidatam-se oito pessoas. De quantas maneiraspoderão ser escolhidos presidente e vicepresidente?17) A 1ª fase de um torneio de futebol é disputada por15 equipes no sistema de turno e returno (a equipe

A, por exemplo, joga com a equipe B duas vezes:uma em seu campo e a outra no campoadversário). Quantas partidas são disputadas aotodo, se os dois melhores classificados da 1ª fasefazem a final no mesmo sistema?18) Uma emissora de TV dispõe, ao todo, de 20programas distintos.a) Quantas são as possíveis sequências de seisprogramas distintos a serem exibidos em umdia?b) Suponha que, entre 20 programas, haja apenasum musical. De quantas maneiras aprogramação acima pode ser escolhida demodo que sempre se encerre com o programamusical?19) Para animar uma festa, uma orquestra dispõe decinco tipos de música: valsa, samba, dance music,MPB e rock. De quantas maneiras o anfitriãopoderá escolher os ritmos de abertura efechamento da festa, se ele já decidiu mantersamba no restante da festa e não pretende repetirnenhum ritmo?20) Dez enxadristas participam de um campeonato emque todos jogam contra todos. Se um deles vencetodas as partidas, quantas são as classificaçõespossíveis para os três primeiros colocados?21) Uma prova de atletismo reúne 15 atletas. Quantossão os resultados possíveis para que sejamdistribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze?Em quantos resultados o atleta X recebe medalha,mas o atleta Y não?22) (FGV – SP) Suponha que uma senha utilizadanuma rede de computadores seja constituída de 5letras, escolhida entre 26 do alfabeto latino, sendopermitida a repetição de letras.Quantas senhas diferentes podem serconstruídas?

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b) Quantas senhas podem ser construídas comuma letra comparecendo pelo menos duasvezes?23) Numa dinâmica de grupo, uma psicóloga de RH(Recursos Humanos) relaciona de todas asformas possíveis dois participantes: aoprimeiro faz a pergunta e ao segundo pede quecomente a resposta do colega. Admita que apsicóloga não repetirá a mesma pergunta maisde uma vez.a) Se 10 candidatos participam da dinâmica, qualé o número de perguntas feitas pela psicóloga?b) Qual é o número mínimo de candidatos queobriga a psicóloga a ter mais de 250 questõespara realizar a dinâmica?24) Um curso de inglês é dividido em quatro partes:vocabulário, gramática, conversação einterpretação de textos. Todos os dias, essas partessão estudadas, mas nunca na mesma ordem. Emquantos dias se esgotará a sequência possível deaulas para o curso?25) Uma pesquisa deseja saber a ordem depreferência dos três maiores ídolos do esporteno Brasil.a) Quantas respostas diferentes são possíveis, se acada entrevistado é apresentada uma lista como nome de 20 esportistas?b) Quantas dessas respostas têm o nome de Gugacomo 1º colocado?c) Em quantas respostas não aparece o nome deGuga?26) Um torneio de futebol será disputado em duassedes a serem escolhidas entre seis cidades. Dequantas maneiras poderá ser feita a escolha dasduas cidades?27) Quinze alunos participam de um sorteio promovido

pelo professor de Matemática. Se ele dispõe de trêsprêmios idênticos, de quantas formas poderão serescolhidos os alunos?28) Uma classe tem 30 alunos. Um professor organizauma prova oral para a qual 5 alunos serãosorteados ao acaso. De quantas formas o professorpoderá escolher os alunos?30) De um baralho de 52 cartas, sorteamossimultaneamente cinco cartas.a) Quantas são as possibilidades de sorteio dascartas?b) De quantas formas essas cartas podem sersorteadas de modo que o ás de copas sejasempre incluído?31) (FGV - SP) O administrador de um fundo de açõesdispõe de ações de 10 empresas para a compra,entre elas as da empresa R e as da empresa S.a) De quantas maneiras ele poderá escolher 7empresas, entre as 10?b) Se entre as 7 empresas escolhidas devemfigurar obrigatoriamente as empresas R e S, de quantas formas ele poderá escolher asempresas?32) Em uma reunião havia pessoas; cada umasaudou as outras com um aperto de mão. Sabendoque houve ao todo 66 apertos de mão, responda:qual é o valor de ?33) Uma junta médica deverá ser formada por quatromédicos e dois enfermeiros. De quantas maneirasela poderá ser formada se estão disponíveis dezmédicos e seis enfermeiros?34) Uma classe tem 10 meninos e 12 meninas. Dequantas maneiras poderá ser escolhida umacomissão de três meninos e quatro meninas,incluindo, obrigatoriamente, o melhor aluno e amelhor aluna?

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35) Uma locadora de automóveis tem à disposiçãode seus clientes uma frota de dezesseis carrosnacionais e quatro carros importados. Dequantas formas uma empresa poderá alugartrês carros de modo que:a) Todos sejam nacionais?b) Pelo menos um carro nacional seja escolhido?36) (FGV – SP) Um processo industrial deve passarpelas etapas A, B, C, D e E.a) Quantas sequências de etapas podem serdelineadas se A e B devem ficar juntas no iníciodo processo e A deve anteceder B?b) Quantas sequências de etapas podem serdelineadas se A e B devem ficar juntas, emqualquer ordem, e não necessariamente noinício do processo?37) Um professor dispõe de 8 questões de Álgebra eduas de Geometria para elaborar uma prova de 10questões. De quantas maneiras ele poderá escolhera ordem delas, sabendo que as de Geometria nãopodem aparecer uma em seguida da outra?38) (UF – AL) Aline e Cláudia fazem parte de um grupode 6 pessoas que devem ocupar 6 cadeirasenfileiradas. Se as duas não podem ocuparsimultaneamente as cadeiras das extremidades, dequantos modos podem ser acomodadas essas 6pessoas?39) Uma classe de 10 alunos, entre eles Júlia eAlberto, será submetida a uma prova oral emque todos os alunos serão avaliados. Dequantas maneiras o professor pode escolher asequência dos alunos:a) Se Júlia deve ser sempre a primeira a serchamada e Alberto sempre o último a serchamado?b) Se Júlia deve ser, no máximo, a 2ª pessoa a serchamada?40) Um comício reúne oito políticos de um partido,

entre eles o presidente e seu vice. Supondo quetodos os políticos presentes irão discursar, dequantas maneiras pode ser estabelecida asequência de discurso:a) Se o comício for aberto pelo presidente dopartido?b) Se o presidente e vice devem,em qualquerordem, iniciar e encerrar o comício?c) Se presidente e vice, nessa ordem, devemdiscursar consecutivamente?Considere os anagramas da palavra CHAVE. Emquantos desses anagramas as vogais não aparecemlado a lado?43) (UF – MG) Considere formados e dispostos emordem crescente todos os números que se obtémpermutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 e . Nessadisposição, que lugar ocupa o número 75391?44) Suponha que Fábio tenha uma foto de cada uma desuas 3 ex-mulheres, uma foto de seu irmão, umafoto de um amigo, uma foto de um ídolo do rock euma foto do jogador de futebol favorito. De quantosmodos distintos ele poderá dispor tais fotos em 5porta-retratos (3 sobre o aparador e 2 na parede),se deseja que as fotos das ex-mulheres apareçamjuntas sobre o aparador)?45) Considere os números obtidos do número 12345,efetuando-se todas as permutações de seusalgarismos. Colocando esses números em ordemcrescente, qual o lugar ocupado pelo número43521?46) Uma prova contém 10 testes que devem serrespondidos com V ou F. De quantos modosdistintos ela pode ser resolvida assinalando-se 3testes com V e 7 com F?

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47) (Unifap – AP) A cidade de Macapá é banhadapelo rio Amazonas e cortada pela linha doEquador. Responda:a) Quantos são os anagramas da palavraMACAPÁ?b) Quantos anagramas da palavra AMAZONAScomeçam por consoante?c) Em quantos anagramas da palavra EQUADOR asletras Q, U, A mantém-se juntas?48) Calcule o número de anagramas obtidos a partirde ARARA. Conclua que quando uma palavra deletras é formada exclusivamente por 2 letras que serepetem vezes e vezes , asfórmulas de permutação e combinação seequivalem.49) Uma equipe de futebol disputou 8 jogos em umtorneio: venceu 4, perdeu 2 e empatou 2.a) De quantos modos distintos pode ter ocorrido asequência de resultados?b) Supondo que a equipe estreou no torneio comvitória e o encerrou também com vitória, dequantos modos distintos pode ter ocorrido asequência dos outros resultados?50) Uma urna contém 8 bolas: 5 azuis e 3 cinzas. Dequantas maneiras é possível retirar, uma a uma,as 8 bolas dessa urna?Questões de vestibulares1) (UFPA – PSS 06) Por ocasião dos festejos daSemana da Pátria, uma escola decidiu exibir seusmelhores atletas e as respectivas medalhas. Dessesatletas, em número de oito e designados por a1,