Análise Combinatória
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Análise Combinatória
Princípio fundamental da contagem (PFC)
• Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k1. k2 . k3 . (...) . kn
• Ex2: Uma moça possui 5 camisas e 4 saias, de quantas maneiras ela poderá se vestir?
• Ex3: Em uma corrida de 6 carros, quantas são as possibilidades do 1º, 2º e 3º lugares?
Fatorial
• O fatorial de um número n é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero.
• n! = 1, se n < 2
1! = 1
0! = 1
• n! = n . (n 1) . (n 2) . (n 3). (....) . 2 . 1, se n 2
5! = 5.4.3.2.1 = 120
4! = 4.3.2.1 = 24
3! = 3.2.1 = 6
2! = 2.1 = 2
Arranjo Simples
• São agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Ao trabalharmos com arranjos simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula:
• Ex4: Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?
Permutação Simples
• A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação simples.
Pn = n!
• Ex5: Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nesta fila?
Permutação com elementos repetidos
• Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:
• Ex6: Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR?
Permutação circular
• É um tipo de permutação composta por um ou mais conjuntos em ordem cíclica. Ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência.
• Ex7: Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Combinação
• São agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos.
• Ex8: Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende misturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os tipos de sorvete disponíveis?
Números binomiais
• Consiste no número de combinações de n termos, k a k.
• Dois números binomiais cuja soma dos denominadores é igual ao numerador são chamados de complementares. Neste caso, n e n - k são chamados de termos complementares.
• Ex: 11 e 6 são termos complementares.
Triângulo de Pascal
• Trata-se de uma tabela triangular formada por números binomiais de Newton, onde n representa a linha vertical e k representa as colunas horizontais. Os números ficam dispostos de forma que os binomiais de mesmo numerador situam-se na mesma linha e os de mesmo denominador na mesma coluna.
Propriedade 1
• A soma de todos os números de uma linha é igual a 2 elevado àquele número que associamos à linha.
Propriedade 2 (Relação de Stifel)
• A soma de dois números de uma mesma linha do triângulo é o número que está na linha logo abaixo, bem abaixo dos dois números somados.
Propriedade 3
• A soma dos números da coluna estará sempre na coluna seguinte, na linha logo abaixo daquela em que está o último número que foi somado.
Binômio de Newton
• Permite calcular a enésima potência de um binômio.
• De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:
• Ex9: Determine o 4º termo da expressão (x – 2)8.
Equipe –3ºB
• Fernanda Freitas
• Janaína Karen
• Kissia França
• Mateus Almeida
• Yasmin Lopes