DICAS DE MATEMÁTICAPROF. COIMBRA

Aula 02

"Faça as coisas o mais simples que você puder, porém não se restrinja às mais simples." Albert Einstein

* ATENÇÃO: Copiar é CRIME. Art. 184 do código Penal e Lei n° 5998/73

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Análise combinatória é a parte da matemática que estuda os diversos tipos de agrupamentos que podemos formar com os elementos de um conjunto e também métodos de contagem indiretos. Por exemplo: analisando os elementos de um conjunto qualquer, podemos agrupá-los de dois em dois, de três em três, de vinte em vinte, alternar sua ordem de todas as maneiras possíveis, levar em consideração sua ordem ou não, atribuir alguma restrição específica para um ou mais elementos do conjunto, etc. De imediato, pode-se pensar que realizar os exemplos dados, bem como muitos outros, é uma tarefa fácil e ligeira. Todavia, sem os conhecimentos das propriedades desses agrupamentos ou das fórmulas desenvolvidas para estes fins, você verá que, em muitos casos, é humanamente impossível executar tais procedimentos. Com esta noção inicial de análise combinatória, você já pode notar a importância do estudo dos conjuntos neste tópico. De fato, no decorrer de nosso estudo, trabalharemos com vários tipos de conjuntos: numéricos, não numéricos, finitos e infinitos assim como suas propriedades. Portanto, faça uma boa revisão de conjuntos!

É importante você notar que, somente em alguns poucos casos bem salientados, estaremos interessados em “quais” agrupamentos podemos formar. Na maioria esmagadora das vezes o que estudaremos em análise combinatória é o total desses agrupamentos, ou seja, seu número, sua quantidade.

A análise combinatória tem seu alicerce fundamentado em apenas um princípio que é, como veremos a seguir, muitíssimo importante: o princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo (p.f.c.).

Princípio Fundamental da Contagem

Antes de enunciarmos este princípio, preste bem atenção no tipo de situação em que você deverá usá-lo. Suponha que você irá realizar uma ação qualquer (qualquer coisa). Suponha também que há efetivamente possibilidades distintas para o seu propósito. O princípio fundamental se faz útil lhe mostrando o total de maneiras de concluir sua ação. Para isso você deve decompor a ação em etapas independentes, verificar quantas são as possibilidades de cada etapa e, em seguida, multiplicar os números de possibilidades de todas as etapas.

Seja uma experiência que pode ser dividida em “n” etapas sucessivas e independentes entre si (E1, E2, E3, ... , En), sendo p1, p2, p3, ... , pn os números de possibilidades de cada etapa, respectivamente. Então o total de modos de se realizar esta experiência é p1 . p2 . p3 . ... . pn.

O princípio fundamental da contagem é necessário em análise combinatória, mas não é suficiente. Há certos tipos de problemas nos quais a simples aplicação direta deste princípio ou é pouco prática (muito demorada e complicada) ou é impossível. Tais problemas exigem uma abordagem mais específica. É aí que entram em ação as fórmulas!Entretanto, como dissemos antes, o princípio fundamental é a base de tudo em análise combinatória, por isso todas as fórmulas que veremos têm suas deduções feitas a partir deste princípio. As fórmulas que estudaremos fazem referência aos três tipos mais importantes de agrupamentos: Arranjos, Permutações e Combinações. Estudaremos com detalhes Arranjos Simples, Arranjos com repetição, Permutações Simples, Permutações com repetição, Permutações circulares, Combinações Simples e combinações com elementos repetidos.

Arranjos Simples

São agrupamentos que podemos formar com os elementos de um conjunto levando em consideração sua ordem e sua natureza sem repetirmos nenhum deles. Portanto, dois arranjos quaisquer se distinguem pela ordem ou pela natureza de seus elementos. Note que a ordem e a natureza SÃO importantes!

Lê-se: arranjos simples de n elementos tomados p a p.

Arranjos com repetiçãoÉ quando se permite a repetição de elementos no arranjo. Mas lembre-se que a ordem e a natureza devem ser consideradas. Eis a formula:

Permutações SimplesSão agrupamentos que podemos formar com os elementos de um conjunto de modo que todos os elementos deste conjunto apenas trocam de lugar entre si. Portanto o que distingue duas permutações é apenas a ordem dos elementos. Note que a ordem é importante!

Obs.: Permutações simples são na realidade arranjos simples quando “n” é igual a “p”.

Permutações com Repetição É quando se permite a repetição de elementos no arranjo. Mas lembre-se de que todos os elementos devem apenas trocar de lugar entre si. Eis a fórmula:

Permutações CircularesDá-se esse nome às permutações em que os elementos estão dispostos de maneira circular ou aproximadamente circular. Lembre-se novamente que, sendo uma permutação, os elementos envolvidos apenas trocarão de lugar entre si. Eis a fórmula:

Lê-se: Permutações circulares de n elementos.

Obs.: Não abordaremos Permutações Circulares com Elementos Repetidos neste material.

Combinações SimplesChamamos de combinações simples os agrupamentos que podemos formar com os elementos de um conjunto levando em consideração apenas sua natureza sem repetir elemento algum. Portanto, duas combinações diferem entre si apenas pela natureza e não pela ordem de seus elementos. Então agora, a ordem NÃO é importante!

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( )n;p ...

n!A n.(n 1).(n 2). .(n p 1)

n p != − − − + =

−

pn;p(AR) n=

nP n!=

1 2 3 ...n ;n ;n ;n

1 2 3 ...

n!P

n ! . n ! . n ! .=

nP (n 1)!= −

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Lê-se: Combinações simples de n elementos tomados p a p.

Combinações com RepetiçãoÉ quando se permite que todos os n elementos possam aparecer repetidos em cada agrupamento até p vezes. Lembre-se novamente que, sendo uma combinação, apenas a natureza dos elementos interessa!Eis a fórmula:

Exemplo:

Seja S = {A,B,C,D}, n = 4 e p = 2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos: {AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}.

Mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB = BA, AC = CA, AD = DA, BC = CB, BD = DB e CD = DC. Assim as combinações com repetição dos elementos de S tomados 2 a 2, são: {AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}, que perfazem um total de 10.

Agora, vamos calcular usando a fórmula.

4;2 4 2 1;2

5!(CR) C 10

2!.3!+ −= = =

COMPLEMENTOS

Veremos a seguir algumas fórmulas especiais em análise combinatória que não são comuns em vestibulares tradicionais, mas que são exigidas em exames militares.

1 o lema de Kaplansky O primeiro lema de Kaplansky é um caso especial de combinações envolvendo números consecutivos onde devemos obedecer uma restrição bem interessante: em cada combinação não podemos ter números consecutivos dispostos lado a lado. Isto é, olhando para as combinações não há números consecutivos lado a lado em ordem alguma considerada. Podemos pensar erroneamente que essa situação só ocorre com números, mas é possível adaptá-la para outras situações. Eis a fórmula:

2 o lema de Kaplansky Trata-se novamente de um tipo especial de combinação onde os elementos de cada combinação, além de não poderem ser consecutivos estando lado a lado, também estão dispostos de maneira

circular ou aproximadamente circular. Note que não se trata de um problema de permutação circular! No segundo lema de Kaplansky a ordem dos elementos não é importante caracterizando assim uma combinação.Eis a fórmula:

Princípio da Inclusão-ExclusãoMuitas vezes, ao resolvermos certos problemas de contagem exatamente como descrito no enunciado, o cálculo, embora possível, é bastante trabalhoso e as vezes penoso. Para contornar essa situação, a análise combinatória usa uma propriedade muito interessante da teoria dos conjuntos que é o cálculo do número de elementos da união de vários conjuntos não-disjuntos. Por exemplo:

a) para dois conjuntos A e B, sabemos que n(A B) n(A) n(B) n(A B)∪ = + − ∩ ;

b) para três conjuntos A, B e C, sabemos que n(A B C) n(A) n(B) n( ) n(A B) n(A C)

n(B C) n(A B C).

C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ −

− ∩ + ∩ ∩

Mas, e se forem “n” conjuntos? Como proceder? Eis a propriedade:

i i j1 2 3 n

n 1i j k 1 2 3 n

1 i n 1 i< j n

1 i< j< k n

(A A A ... A ) n(A ) n(A A )

n(A A A ) ... ( 1) . n(A A A ... A )

n

+

≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤

∑ ∑∪ ∪ ∪ ∪ = − ∩ +

∑ ∩ ∩ − + − ∩ ∩ ∩ ∩

Permutações caóticas (desarranjos)Permutação caótica ou desarranjo é um tipo especial de permutaçãoonde não é permitido que elemento algum considerado ocupe novamente sua posição original. Por exemplo: se formos permutar caoticamente as letras da palavra NUVEM, nenhuma delas jamais poderá estar na mesma posição ou lugar. Para calcularmos o número de permutações caóticas, usamos o princípio da inclusão-exclusão visto logo acima. Eis a fórmula:

Partições ordenadasChamamos de partição ordenada de um conjunto não nulo A qualquer,toda seqüência ordenada formada por n subconjuntos de A , n ≤ n(P(A)), que satisfazem as seguintes condições:

(I) A Ai j∩ =∅ para i ≠ j;

(II) n

A Aii 1

==U .

Obs.:a) Chama-se partição ordenada, pois leva-se em consideração a ordem.

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( )n;p

n n!C

p p! n p !

= = −

( )n;p n p 1;p

n p 1 (n p 1)!(CR) C

p p! n 1 !+ −

+ − + −= = = −

n p 1 (n p 1)!F(n;p)

p p!(n 2p 1)!

− + − += = − +

n pnG(n;p) .

pn p

− = −

n

n

1 1 1 1 1 1 ( 1)(PC) n!. ...

0! 1! 2! 3! 4! 5! n!

−= − + − + − + +

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b) se por acaso a ordem não for considerada, temos uma partição não ordenada. Ex.: {A1; A3; A5; A11} com n = 4.

Soluções inteiras e não negativas de uma equação linearConsiderando uma equação linear com n variáveis do tipo x1 + x2 + x3

+ + ... + xn = k, o número de solução inteiras e positivas dessa equação, é dado por:

*Sei que análise combinatória é para muitos alunos (se não todos) a parte mais difícil da matemática. Entretanto julgo que uma vasta e bem diversificada bateria de exercícios, cuidadosamente escolhidos, possibilitam uma melhor assimilação desta matéria por parte do aluno. Sempre haverá alguma questão na qual o aluno sentirá dificuldade. Não desanime! Por experiência própria posso lhe afirmar que resolvendo muitos exercícios você, caro aluno, não terá o que temer. Boa sorte!

Nesta apostila, não me preocupei com as demonstrações das fórmulas envolvidas. Isto não significa que não dou importância a elas (muito pelo contrário!). O aluno mais interessado deve procurar o professor em sala de aula ou entrar em contato pelo e-mail coimix@uol.com.br (Coimbra) para obtê-las bem como para tratar de eventuais discussões e dúvidas.

EXERCÍCIOS

1- (FURRN) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números inteiros de quatro algarismos distintos. Dentre eles, a quantidade de números divisíveis por 5 é:

a) 20 b) 30 c) 60 d) 120 e) 180 (alternativa c)

2- (Mack-SP) Uma sala tem 8 portas, então o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair da mesma por uma porta diferente é:

a) 8 b) 16 c) 40 d) 48 e) 56 (alternativa e)

3- (CESUPA 2004) Um atleta, visando participar da corrida do Círio, resolve treinar nas ruas de seu bairro. Inicia o treino no cruzamento de duas vias e, durante o percurso, em cada cruzamento tem opção de direcionar-se no sentido de um dos pontos cardeais: norte, sul, leste, oeste. Considerando n o número de quarteirões a serem percorridos, a expressão que representa as possibilidades de percurso deste atleta é:

a) 4n b) 4n c) n4 d)n4

(alternativa b)

4- (Cesgranrio-RJ) Em um computador digital, um bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma sucessão de bits. O número de palavras distintas de 32 bits é:

a) 2(232 – 1) b) 232 c) 496 d) 322 e) 64 (alternativa b)

5- (Fuvest-SP) Um relógio digital marca horas e minutos.

Os algarismos são movidos mecanicamente de forma que, para cada “leitora”, o relógio consome uma unidade de energia. Assim para passar de para o minuto seguinte , são

consumidas 4 unidades. O número de unidades de energia consumidas por dia é:

a) 40 b) 1440 c) 1608 d) 1611 e) 1632 (alternativa b) 6- (CESUPA 2002) Desde 30/06/2001, os números dos telefones de várias cidades do interior do Pará passaram a ter 8 (oito) dígitos, sendo que todos iniciam por 37.Com esta mudança, o número possível de telefones, com dígitos distintos, que podem ser disponibilizados para estas cidades, é igual a:

a) 8,6A b) 10,6A 10,6A c)106 d) 86 (alternativa a)

7- (FGV-SP) Um homem tem oportunidade de jogar no máximo 5 vezes na roleta. Em cada jogada ele ganha ou perde um real. Começará com um real e parará de jogar antes de cinco vezes, se perder todo seu dinheiro ou se ganhar três reais, isto é, se tiver quatro reais. O número de maneiras que o jogo poderá se desenrolar é:

a) 5 b) 3 c) 11 d) 12 e) 10 (alternativa c)

8- (UFCE) A quantidade de números inteiros compreendidos entre 30.000 e 65.000 que podemos formar utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:

a) 48 b) 66 c) 96 d) 120 e) 540 (alternativa b)

9- (UnB-DF) Seis pessoas – A, B, C, D, E e F – ficam em pé uma ao lado da outra para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, o número de possibilidades distintas para as seis pessoas se disporem é:

a) 120 b) 72 c) 144 d) 220 e) 720 (alternativa c)

10- (FGV-SP) Usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, existem x números de quatro algarismos, de modo que pelo menos dois algarismos sejam iguais. O valor de x é:

a) 505 b) 427 c) 120 d) 625 e) 384 (alternativa a)

11- (Fuvest-SP) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não têm algarismos adjacentes iguais?

a) 59 b) 9.84 c) 8.94 d) 85 e) 95 (alternativa e)

12- (Mack-SP) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é:

a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720 (alternativa d) 13- (Mack-SP) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:

a) 1680 b) 8! c) 8.4! d) 8!/4 e) 32 (alternativa a)

14- (Santa casa-SP) Um banco de sangue catalogou 50 doadores, assim distribuídos: 19 com sangue tipo O, 23 com fator Rh- e 11 com tipo diferente de O e com fator Rh+. De quantas maneiras pode-se

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A B horas

C Dminutos

23 59 00 00

n 1;kn k 1

(n r 1)!P

(n 1)!.k!−+ −

+ −=−

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selecionar três doadores desse grupo que tenham sangue de tipo diferente de O, mas com fator Rh-?

a) 1140 b) 2280 c) 4495 d) 5984 e) 6840 (alternativa a) 15- (Mack-SP) Um grupo de 12 pessoas, onde temos somente dois paulistas, é dividido em dois grupos de 6 pessoas de modo que fique um paulista em cada grupo. O número de formas de ocorrer esta divisão é:

a) 180 b) 200 c) 252 d) 504 e) 300 (alternativa d) 16- (PUC-SP) Na saída de um cinema, foram consultadas 40 pessoas sobre o filme a que acabavam de assistir. Os resultados obtidos foram os seguintes: 27 pessoas gostaram do filme, 5 homens não gostaram e 12 mulheres gostaram. A gerência desse cinema deseja distribuir, entre as pessoas consultadas, cinco ingressos para um próximo filme. De quantos modos pode ser feita essa distribuição, se cada pessoa deve receber no máximo um ingresso e exatamente três ingressos devem ser dados a mulheres que não gostaram do filme?

a) 1200 b) 27.776 c) 21.000 d) 700 e) 128 (alternativa b)

17- (UFCE) O mapa de uma cidade é formado por seis bairros distintos. deseja-se pintar esse mapa com as cores vermelha, azul e verde, do seguinte modo: um bairro deve ser vermelho, dois bairros azuis e os demais verdes. De quantas maneiras distintas isto pode ser feito?

a) 6 b) 30 c) 60 d) 120 e) 240 (alternativa c)

18- (UFPA) Quantos paralelogramos são determinados por um conjunto de sete retas paralelas, interceptando um outro conjunto de quatro retas paralelas?

a) 162 b) 126 c) 106 d) 84 e) 33 (alternativa b)

19- (UEL-PR) Usando uma vez a letra A, uma vez a letra B e n – 2 vezes a letra C, podemos formar 20 anagramas diferentes com n letras em cada anagrama. O valor de n é:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 (alternativa c) 20- (Fatec-SP) Um grupo formado por quatro rapazes e uma senhorita vão visitar uma exposição de arte. Um dos rapazes é um perfeito cavalheiro e, portanto, não passa pela porta da sala de exposições sem que a senhorita já o tenha feito. O número de modos pelos quais eles podem entrar no recinto é:

a) 120 b) 60 c) 48 d) 24 e) 6 (alternativa b)

21- (PUC-SP) O número de anagramas da palavra ALUNO que têm as vogais em ordem alfabética é:

a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100 (alternativa a)

22- (FGV-SP) De quantas maneiras podemos sentar quatro moças e quatro rapazes numa fila de oito assentos, de modo que nunca haja dois rapazes vizinhos nem duas moças sentadas uma ao lado da outra?

a) 5040 b) 40.320 c) 2.880 d) 576 e) 1152 (alternativa e)

23- (Santa casa-SP) Dois prêmios devem ser distribuídos entre n pessoas, de modo que uma mesma pessoa não receba mais que um

prêmio. Se os prêmios forem iguais, a distribuição poderá ser feita de k + 20 maneiras, mas, se os prêmios forem distintos, a distribuição poderá ser feita de 4k – 10 maneiras. O valor de n é:

a) 8 b) 10 c) 15 d) 25 e) 40 (alternativa b) 24- (PSS 2004) Durante uma viagem, foram sorteados, entre os 300 passageiros do navio, três brindes, que eram viagens para 3 diferentes lugares. Pelo critério da empresa, a pessoa que ganhasse um brinde era eliminada para o outro sorteio. Dessa forma, o número de maneiras distintas de realização do sorteio é dado por:

a) 3300A b) 300,3C c) 3003 d) 300! e) 3 2 3

300 299 298. .C C C (alternativa a)

25- (FEI) Caminhando sempre para direita ou para cima, sobre a rede da figura, de quantas maneiras se pode ir do ponto A até a reta BC?

a) 8 b) 64 c) 256 d) 1024 e) 4096 (alternativa c)

26- (Vunesp) Seja n um número natural escrito com três algarismos a, b e c. Seja S = a + b + c. A soma de todos os números de três algarismos que se obtém permutando os algarismos de n é igual ao:

a) produto de 222 por S.b) produto de 202 por S.c) produto de 666 por S. (alternativa a)d) produto de 444 por S.e) produto de 404 por S.

27- (UFPA) João e Maria vão sentar-se à mesma fila de um cinema. A fila tem 8 cadeiras, todas vazias. Como não querem sentar-se em cadeiras vizinhas, de quantas maneiras poderão sentar-se?

a) 64 b) 56 c) 48 d) 42 e) 40 (alternativa d)

28- (Consart) De quantas maneiras três casais podem ocupar seis cadeiras, dispostas em fila, de tal forma que as duas extremidades sejam ocupadas por homens?

a) A3;2 . P4

b) A10;3 + A15;2

c) 2 . A3;2 . P4 (alternativa c)d) 3 . A3;2 . P4 e) n.d.a.

29- (UFSE) Seja A um conjunto de números naturais {0; 1; 2; 3; ...; 100}.Vamos formar grupos de três números sorteados, um a um, sem reposição, entre os elementos de A. Quantos desses grupos conterão sónúmeros pares?

a) 110.400 b) 117.600

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c) 117.453 (alternativa e) d) 970.200 e) 124.950

30- (Cesgranrio) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 formam-se números naturais de seis algarismos distintos. Sabendo-se que neles não aparecem juntos dois algarismos pares nem dois algarismos ímpares, então o número total de naturais assim formados é:

a) 36 b) 48 c) 60 d) 72 e) 90 (alternativa d)

37-

38a) 24 . 32 . 5b) 24 . 33

c) 25 . 3 . 7 (alternativa c)d) 25 . 32

e) n.d.a. 31- (Mack-SP) Um hacker está tentando invadir um site do governo e, para isso, utiliza um programa que consegue testar 163 senhas diferentes por minuto. A senha é composta por cinco caracteres escolhidos entre os algarismos de 0 a 9 e as letras de A a F. Sabendo que o programa testa cada senha uma única vez e que já testou, sem sucesso, 75% das senhas possíveis, o tempo decorrido desde o início de sua execução é de:

a) 2 horas e 16 minutos.b) 1 horas e 40 minutos.c) 3 horas e 48 minutos. (alternativa d)d) 3 horas e 12 minutos.e) 2 horas e 30 minutos.

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