1) Princípio Fundamental da Contagem(PFC)(ou Regra do Produto) : Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas e se, para cada uma dessas m maneiras, um outro evento B pode ocorrer de n modos diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do evento B é: m.n

Exs: 1) No salão de festas de um clube há quatro portas.

a) De quantos modos diferentes é possível entrar e sair dele?

R: Temos os eventos: entrar (E) e sair(S) do salão e 4 possibilidades para cada um deles. Assim:

E S

4 . 4 = 16 modos

b) De quantas maneiras distintas é possível entrar no salão e sair dele utilizando portas diferentes?

R: Temos 4 opções para entrar no salão. Para cada uma dessas 4 opções de entrar, restam apenas 3 para sair, por termos de usar portas diferentes. Assim:

E S

4 . 3 = 12 maneiras

2 – Utilizando apenas os dígitos 1,2,3,4,5,6 e 7, determine:

a) quantos números de 3 algarismos podemos formar.

C D U

7 . 7 . 7 = 343 números

b) quantos números de 3 algarismos distintos podemos obter.

C D U

7 . 6 . 5 = 210 números

c) quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar.

R: Temos que formar números pares; logo, o algarismo das unidades deve ser par. Essa “casinha” (algarismo das unidades) apresenta uma restrição (só pode ser ocupada pelos dígitos pares), Por isso podemos chamá-la de “casinha problemática”, devemos começar por ela.Repare que para as outras “casinhas’ restam 6 e 5 opções(algarismos devem ser distintos)

C D PAR

6 . 5 . 3 = 90 números

OBS: Sempre devemos iniciar o problemas pelas “casinhas problemáticas”.

MATEMÁTICA – 3º ANO DO ENSINO MÉDIO

PROF. CEBOLA

MATERIAL DE ANÁLISE COMBINATÓRIA

2) Permutações Simples: Considere o conjunto de n elementos distintos. Chama-se permutação dos n elementos de E qualquer sequência formada pelos n elementos de E.

Ex: a) Se E = {1;2;3;4;5}, as sequências (1;2;3;4;5), (5;4;3;2;1), (1;3;4;5;2) são permutações dos elementos de E.

b) Observe agora os anagramas que podemos formar com as letras da palavra UNO:

UNO, UON, NOU, NUO, OUN, ONU

Cada um desses seis anagramas é uma permutação dos elementos U, N, O.

CÁLCULO DO NÚMERO DE PERMUTAÇÕES SIMPLES:

Nosso interesse não será saber quais e sim quantas permutações podem ser feitas. Esse cálculo pode ser feito com o PFC.

Seja um conjunto com n elementos distintos. O número de permutações simples dos n elementos de E é igual ao número de sequências diferentes que podemos formar com os n elementos.

1º 2º 3º 4º ....... nº

n n-1 n-2 n-3 ...... 1

1º elemento: n possibilidade, 2º: n – 1 possibilidades e assim por diante.Pelo PFC, o número de permutações será:

ou

Ex: 1 – De quantas maneiras diferentes 5 pessoas podem se dispor na fila?R: Basta pensarmos que uma fila nada mais é do que uma sequência de pessoas. Assim:

maneiras

2 – Dentre os anagramas da palavra MARTELO, quantas começam por vogal e terminam por consoante?

R: Há 3 possibilidades para começar por vogal (A, E, O) e 4 para terminar com consoante (M, R,T, L).

3 __ __ __ __ __ 4

Para cada vogal e cada consoante escolhidas para a primeira e últimas casas, as 5 letras restantes permutam-se nas 5 casas intermediárias.Assim, a resolução resume-se a: 3. .4 = 3.5!.4 = 1440 anagramas

3 – Em quantos dos anagramas com as letras da palavra FUTEBOL as vogais aparecem juntas e:

a) na ordem EOU? b) Em qualquer ordem?

a) Iremos “blocar” as vogais juntas e na ordem EOU para que funcionem como se fossem uma única letra a permutar-se entre as demais. Por exemplo:

EOU F T B L

F EOU T B L

F T EOU B L

Assim, basta calcular o número de permutações de 5 elementos, isto é, as 4 consoantes e o “bloco” EOU.

maneiras

b) Para cada anagrama em que as vogais aparecem juntas e na ordem EOU, podemos permutar estas 3 vogais, mantendo-as juntas, mas em qualquer ordem. Por exemplo:

EOU F T B LEUO F T B LOEU F T B L

O número de permutações das 3 vogais é: P3 = 3! = 6Os anagramas em que as vogais aparecem juntas é igual a 6 vezes o número de anagramas em que elas aparecem juntas na ordem EOU, isto é:

5! . 3! = 120 . 6 = 720 anagramas

Permutações do “bloco” EOU

CÁLCULO DE PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS:

Problema: Quantos são os anagramas da palavra REDE?

Os anagramas são: REDE, REED, RDEE, ERDE. ERED, EDER, DERE, DEER, DREE, EDRE, EEDR, EERD, totalizando 12 anagramas.

Porém, se utilizássemos a fórmula de permutação simples, teríamos: P4 = 4! = 24 anagramas

A diferença ocorre porque, ao aplicarmos a fórmula das permutações simples, consideramos as trocas de posições de todas as letras, inclusive E e E, mantendo-se as demais letras.Observe:

R E D E R E D E

Trocas desse tipo não geram anagramas diferentes, contando o mesmo anagrama duas vezes.Para obtermos o resultado correto, basta dividirmos o número de permutações das 4 letras pelo número de permutações que ocorrem entre os dois E, obtendo:

Representação:

Generalizando: Dados n elementos, em que um deles se repete vezes, outro vezes, ..., e outro vezes, o número de permutações entre esses n elementos é dado por:

Ex: Quantos são os anagramas da palavra PARALELA?

3) Arranjos Simples e Combinações Simples

Seja o conjunto E = {a;b;c}. Obtemos os seguintes agrupamentos:

Todos os subconjuntos de E com 2 elementos: {a;b}, {a;c}, {b;c}

Todas as sequências de E com 2 elementos distintos: (a;b), (a;c),(b;a),(b;c),(c;a),(c;b)

Observe que:

- Nos subconjuntos, não é levada em conta a ordem em que estão os elementos.

{a;b} = {b;a} e {b;c} = {c;b}

- Nas sequências a mudança da ordem gera uma outra sequência.

(a;b) ≠ (b;a) e (b;c) ≠ (c;b)

Os agrupamentos do 1º tipo, os subconjuntos, são chamados de combinações simples, e os do segundo tipo, as sequências, são chamadas de arranjos simples.

Def.: Seja o conjunto com n elementos: - Chama-se combinação simples dos n elementos, tomados p a p, qualquer símbolo de E com p elementos.

- Chama-se arranjo simples dos n elementos, tomados p a p, qualquer sequência formada por p elementos distintos de E.

OBS: Para memorizar de maneira mais fácil a diferença, basta lembrar que:

ARRANJO – a ordem importa

COMBINAÇÃO – a ordem não importa

CÁLCULO DO NÚMERO DE ARRANJOS

O número de arranjos de n elementos distintos, tomados p a p, será representado pelo símbolo A n,p.

Tal cálculo pode ser feito pelo PFC. Para isso, basta verificar os número de possibilidades para as escolhas do 1º, 2º, 3º, ... e pº elementos das sequências e multiplicá-los. Observe:

1º 2º 3º 4º ....... pº

n n-1 n-2 n-3 ..... n-(p-1)Pelo PFC:

An,p =

ou utilizando-se o símbolo fatorial:

An,p =

OBS: É mais simples utilizarmos o PFC na resolução dos problemas ao invés da fórmula.

CÁLCULO DO NÚMERO DE COMBINAÇÕES

O número de combinações de n elementos distintos, tomados p a p, será representado pelo

símbolo Cn,p.

Seja .

Calcular o número de combinações dos n elementos, tomados p a p, equivale a calcular a quantidade de subconjuntos de E com p elementos.

Consideremos um subconjunto qualquer de E com p elementos:

Qualquer permutação com os p elementos desse subconjunto gera um arranjo dos n elementos de E, tomados p a p. Como o número de permutações desses p elementos é p!, concluímos que esse conjunto ou essa combinação gera p! arranjos distintos.

Generalizando o raciocínio para todos os subconjuntos de E, concluímos:

Cn,p . p! = An,p ou Cn,p = ou

Cn,p =

Ex:1 - Considere os alunos ANDRÉ, BRUNO e CARLOS.

a) Quantas comissões de 2 alunos, sendo 1 deles presidente e outro tesoureiro podemos formar?

R: Observe que neste caso a ordem é importante, então trabalhamos com ARRANJO.

A3,2 =

Observe que pelo PFC torna-se bem mais simples:P T

3 . 2 = 6

Ilustrando o problema: AB ≠ BA, AC ≠ CA e BC ≠ CB, totalizando 6 comissões.

b) Quantas comissões de 2 alunos podem ser formadas?

R: Observe que neste caso a ordem não importa, então trabalhamos com COMBINAÇÃO.

C3,2 = comissões

Observe que também neste caso, pelo PFC torna-se bem mais simples:

Aluno Aluno

3 . 2 = 6 = 3 comissões 2! 2!

2 – Considere o conjunto A = {1;2;3;4;5;6;7}.

a) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar utilizando os elementos de A?

R: Observe que, por exemplo, 1234 ≠ 4321, ou seja, a ordem importa. Logo, trata-se de arranjo.

__ __ __ __

7 . 6 . 5 . 4 = 840 algarismos OU A7,4 =

b) Quantos subconjuntos de 4 elementos o conjunto A possui? R: Observe que, por exemplo, {1234} = {4321}, ou seja, a ordem não importa. Logo, trata-se de um problema de combinação.

C7,4 = subconjuntos

3 – Marcamos 9 pontos distintos em uma circunferência. Quantos triângulos com vértices em 3 desses quaisquer pontos podem ser formados? (Resolução em sala)

4 – Há 12 inscritos em um campeonato de boxe. Qual o número total de lutas que podem ser realizadas entre os inscritos? (Resolução em sala)

5 – Em uma reunião social, cada participante cumprimenta todos os outros uma única vez. Se houve um total de 36 cumprimentos, determine o número de participantes da reunião. (Resolução em sala)