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4. ANLISE COMBINATTIA

Ticiano A. Campigotto

4.1 Contagem

A anlise combinatria um ramo da Matemtica que trata da contagem. Tratar a contagem importante. Sempre que temos recursos finitos (Quanto espao um banco de dados consome? Quantos usurios a configurao de um computador pode suportar?) ou sempre que estamos interessados em eficincia (Quantos clculos um determinado algoritmo envolve?).

Os primeiros trabalhos consistentes sobre anlise combinatria surgiram por volta do sculo XVIII, desenvolvidos por dois grandes matemticos franceses: PASCAL e FERMAT.

O objetivo central desses trabalhos sempre esteve ligado a jogos, em particular s probabilidades.

Quase um sculo depois, a anlise combinatria viria a despertar o interesse de outros matemticos.

Suas aplicaes se estendem a vrios ramos da atividade humana, dos quais citamos a gentica a estatstica.

A anlise combinatria tem por objetivo estudar a constituio, a contagem e as propriedades dos agrupamentos de pessoas, nmeros, letras, etc.

4.2 Princpio da Multiplicao

Se existe n possibilidade para um primeiro evento e m possibilidades para um segundo evento, ento existe n. m possibilidades para a seqncia dos dois eventos.

Exemplos

1) A ltima parte de seu telefone contm quatro dgitos. Quantos nmeros de quatro dgitos existem?

Soluo:

Podemos imaginar um nmero de quatro dgitos como o total de possibilidades de uma seqncia de etapas de escolha do primeiro dgito, depois do segundo, depois do terceiro e, finalmente, do quarto dgito. O primeiro dgito pode ser qualquer dos 10 dgitos entre 0 e 9, portanto h 10 possibilidades para a primeira etapa. Da mesma forma, h 10 possibilidades para as etapas de escolha dos segundo, terceiro e quarto dgitos.

Usando o Princpio da Multiplicao, multiplicamos o nmero de possibilidades de cada etapa da seqncia.

Portanto, h 10.10.10.10 = 10.000 possibilidades.2) A ltima parte de seu telefone contm quatro dgitos. Quantos nmeros de quatro dgitos sem repetio existem?

Soluo:

Temos uma seqncia de etapas de seleo dos quatros dgitos, mas no so permitidas repeties. Existem 10 possibilidades para a escolha do primeiro dgito, mas apenas 9 para a escolha do segundo dgito, pois no podemos usar o que j foi usado para o primeiro dgito, e assim por diante. Existem, portanto, 10 . 9. 8. 7 = 5040 nmeros diferentes sem repetio de dgitos.

3) De quantas maneiras podemos escolher trs funcionrios de um grupo de 25?

Soluo:

Existem trs etapas sucessivas sem repetio. A primeira etapa, escolher o primeiro funcionrio tem 25 resultados possveis. A segunda etapa tem 24 possibilidades, e a terceira 23.

Portanto, o nmero total de resultados possveis : 25. 24. 23 = 13.800.

4) De quantas maneiras podemos escolher trs funcionrios de um grupo de 25 pessoas, se uma pessoa puder acumular mais de um cargo?

Soluo:

As mesmas trs etapas so realizadas em seqncia. Mas so permitidas repeties.

Portanto, o nmero total de repeties 25. 25. 25 = 15.625.4.3 Princpio da Adio

Se A e B so eventos disjuntos com n e m possibilidades para o evento A ou B n + m

Exemplos

1) Quantos nmeros de quatro dgitos comeam com 4 ou 5?

Soluo:

Podemos considerar dois casos disjuntos nmeros que comeam por 4 e nmeros que comeam por 5. Para a contagem dos nmeros que comeam por 4, existe uma forma de escolher o primeiro dgito, e 10 possibilidades par as etapas de escolha de cada um dos outros dgitos.

Portanto, pelo princpio da Multiplicao, existem 1 . 10 . 10 . 10 = 1000 formas de escolher um nmero de quatro dgitos comeando com 4. O mesmo raciocnio mostra que existe 1000 formas de escolher um nmero de quatro dgitos comeando por 5.

Pelo Princpio da Adio, existem 1000 + 1000 = 2000 resultados possveis ao todo.

Normalmente, problemas de contagem podem ser resolvidos de mais de uma forma. Apesar da possibilidade de uma segunda soluo poder parecer confusa, ela fornece um modo de verificar nosso resultado se duas abordagens diferentes do mesmo problema produzem o mesmo resultado, isto aumenta a credibilidade de que analisamos o problema corretamente.

No exemplo anterior. Podemos evitar usar o Princpio da Adio, pensando sobre o problema em etapas sucessivas, onde a primeira etapa ser escolher o primeiro dgito, que tem duas possibilidades de escolha escolher 4 ou 5. Desta forma, existem: 2 . 10 . 10 = 2000 possibilidades de escolha.

2) Quantos inteiros de trs dgitos (nmeros entre 100 e 999) so pares?

Soluo :

Uma soluo faz uso do fato de que nmeros inteiros pares terminam em 0, 2, 4, 6, ou 8. Considerando esses casos separadamente, o nmero de inteiros de trs dgitos terminando em 0 pode encontrado escolhendo seus dgitos em etapas. Existem nove possibilidades, 1 a 9, para o primeiro dgito; 10 possibilidades, 0 a 9, para o segundo dgito; e uma possibilidade para o terceiro dgito, 0. Pelo Princpio da Multiplicao, existem 90 nmeros de trs dgitos terminando em 0. Analogamente, existe 90 nmeros terminando por 2, 4, 6 e 8.

Portanto, pelo Princpio da Adio, existem 90 + 90 + 90 + 90 + 90 = 450 nmeros inteiros pares de trs dgitos.

Outra soluo tira vantagem do fato de que existem apenas cinco escolhas para o terceiro dgito. Pelo Princpio da Multiplicao, existem: 9 . 10 . 5 = 450 nmeros inteiros pares positivos.

4.4 Idias Principais

O Princpio da Multiplicao usado para contar o nmero de resultados possveis para uma seqncia de eventos, cada qual com um nmero fixo de possibilidades.

O princpio da Adio usado para contar o nmero de resultados possveis para eventos disjuntos.

4.5 rvore de Deciso

rvore de deciso ilustra o nmero de possibilidades de um evento baseado em uma srie de opes possveis.4.5.1 Idia Principal

A rvore de Deciso pode ser usada para contar o nmero de resultados possveis para uma seqncia de eventos onde o nmero de possibilidades para cada evento no constante do resultado do evento anterior.

Exemplo

Tony est jogando cara-ou-coroa. Cada lanamento em cara (C) ou coroa (K). De quantas formas ele pode lanar a moeda cinco vezes sem obter duas caras consecutivas?

Soluo: A figura mostra a rvore de deciso para este problema. Cada lanamento de moeda tem duas possibilidades; o ramo esquerda est marcado com um C para cara, e o ramo da direita com um k para coroa. Sempre que um C aparecer em um ramo, o prximo nvel pode conter apenas um ramo a direita (K). Existem 13 possibilidades.

( 1o lanamento

C K

( ( 2o lanamento

K C K

( ( ( 3o lanamento

C K k C k

( ( ( ( ( 4o lanamento

K C K C K K C K

( ( ( ( ( ( ( ( 5o lanamento

C K K C K K C K C K K C K

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (C C C C C K K K K K K K K

K K K K K C C C K K K K K

C C K K K K K K C C K K K

K K C K K C K K K K C K K

C K K C K K C K C K K C K

Exerccios

1. Se um homem tem quatro ternos, oito camisas e cinco gravatas, quantas combinaes ele pode compor? Resp: 1602. Se uma mulher tem sete blusas, cinco saias e nove vestidos, com quantas combinaes diferentes ela pode se vestir? Resp: 443. Uma prova de mltipla-escolha tem 20 perguntas, cada qual com 4 respostas possveis, 10 perguntas adicionais, cada uma com 5 respostas possveis. Quantas folhas de respostas de diferentes so possveis? Resp: 1304. Uma senha de usurio em um computador de grande porte consiste em 3 letras seguidas de 2 dgitos. Quantas senhas diferentes so possveis (considere o alfabeto com 26 letras)? Resp: 17576005. Uma conferncia telefnica est tendo lugar do centro do Rio de Janeiro at Blumenau, via So Paulo. Existem 45 troncos telefnicos entre Rio de Janeiro e So Paulo e 13 de So Paulo a Blumenau. Quantas rotas diferentes podem estar sendo usadas?. Resp: 5856. Quantos nmeros de CPF so possveis?. Resp: 1097. Trs cadeiras da cmara dos deputados sero preenchidas, cada qual de um partido diferente. Existe 4 candidatos do Partido do PT, 3 do PSD e 2 do PMDB. De quantas formas as cadeiras podem ser preenchidas? Resp: 24 8. Quantos nmeros de 3 dgitos comeam com 2 ou 9?. Resp: 2009. A, B, C e D so nodos (ns) de uma rede de computadores. Existem dois caminhos entre A e C, dois entre B e D, trs entre A e B e quatro entre C e D. Por quantos caminhos uma mensagem de A para D pode ser enviada?. Resp: 1410. Quantos nmeros de 3 dgitos menores que 600 podem ser construdos usando os dgitos 8, 6, 4 e 2?. Resp: 3211. Temos trs cidades X, Y e Z. Existem 4 rodovias que ligam X com Y e 5 que Ligam Y com Z. Partindo de X e passando por Y, de quantas formas podemos cegar at Z?. Resp: 2012. Desenhe a rvore de deciso para: Uma pessoa lana uma moeda sucessivamente at que ocorram duas caras consecutivas, ou quatro lanamentos sejam feitos. O que primeiro ocorrer. Quais as seqncias de resultados possveis? Resp: 12 seqncias de resultados13. Desenhe a rvore de deciso para o nmero de cadeiras de caracteres com Xs , Ys e Zs com tamanho 3 que no contenham um Z seguindo um Y. Resp: 21 possibilidades 14. A votao em determinado debate feita atravs de pedaos de papel vermelho, azul e verde que devem ser colocados em um chapu. Essas tiras de papel so retiradas uma de cada vez, e a primeira cor que receber dois votos ganha. Desenhe uma rvore de deciso para encontrar o nmero de maneira que o resultado da votao pode ocorrer. Resp: 33 maneiras15. Em um jantar especial, existem 5 aperitivos para serem escolhidos, 7 saladas, 5 entradas e 4 bebidas. Quantos jantares so possveis?. Resp: 70016) Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas so escolhidas sucessivamente. Quantas so as seqncias de resultados possveis:

a) Se a escolha for feita com reposio? Resp: 380204032b) Se a escolha for feita sem reposio? Resp: 31187520017) Um marceneiro tem 20 modelos de cadeiras e 5 modelos de mesa. De quantas maneiras podemos formar um conjunto de 1 mesa com 4 cadeiras? Resp: 10018) Um amigo mostrou-me 5 livros de diferentes de Matemtica e 7 livros diferentes de Fsica e permitiu-me escolher um de cada. De quantas maneiras est escolha pode ser feita? Resp: 3519) De quantas maneiras podemos escolher 1 consoante e uma vogal de um alfabeto formado por 18 consoantes e 5 vogais? Resp: 9020) Um amigo mostrou-me 5 livros diferentes de Matemtica, 7livros diferentes de Fsica e 10 livros diferentes de Qumica e pediu-me para escolher 2 livros com a condio de que eles no fossem da mesma matria. De quantas maneiras eu posso escolh-los? Resp: 15521) Uma pessoa quer viajar de Florianpolis a Recife passando por So Paulo. Sabendo-se que h 4 roteiros diferentes para chegar a So Paulo partindo de Florianpolis e 5 roteiros diferentes para chegar a Recife partindo de So Paulo, de quantas maneiras possveis essa pessoa poder viajar de Florianpolis a Recife? Resp: 2022) Uma montadora de automveis apresenta um carro em quatro modelos diferentes e em cinco cores diferentes. Um consumidor que quiser adquirir esse veculo ter quantas opes de escolha? Resp: 2023) Quantos nmeros naturais de trs algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 8 e 9? Resp: 12524) Quantos nmeros naturais de trs algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 8 e 9? Resp: 604.6 Princpio da incluso e Excluso

A fim de desenvolver o Princpio da Incluso e Excluso, precisamos antes perceber se A e B so quaisquer conjuntos de um conjunto universo S, ento A B, B A e A ( B so conjuntos mutuamente disjuntos (veja a fig. abaixo).

Por exemplo, se x((A B), ento x(B, portanto, x((B A) e x((A ( B).

Alm disso, tambm podemos dizer algo a respeito da unio de tais conjuntos.

n(A - B) ( n(B A) ((A ( B) = n(A B) + n(B A) + n(A ( B)

n(A B) = n(A) n(A ( B)

n(B A) = n(B) n(A ( B)

n(A ( B) = n(A) - n(A ( B) + n(B) n(A ( B) + n( A ( B)

ou

n(A ( B) = n(A) + n(B) n(A ( B)

n(A ( B ( C) = n(A) + n(B) + n(C) n(A ( B) - n(A ( C) - n(B ( C) +

+ n(A ( B ( C)

Exemplos

1. Um entrevistador de opinio pblica entrevistou 35 pessoas que optaram pelo referendum 1, referendum 2 ou por ambos, e conclui que 14 entrevistados escolheram o referem 1 e 26 o referendum 2. Quantos entrevistados encolheram ambos?.

Soluo: Seja A o conjunto dos entrevistados que escolheram o referendum 1, e B o conjunto dos entrevistados que escolheram o referendum 2; assim , sabemos que: n(A ( B) = 35

n(A) = 14

n(B) = 26

n(A ( B) = x

Da, temos:

n(A ( B) = n(A) + n(B) n(A ( B)

35 = 14 + 26 x

x = 5

ou

n(A ( B) = n(A) + n(B) n(A ( B)

n(A ( B) = 14 + 26 35

n(A ( B) = 5

2. Uma quitanda vende brcolis, cenoura e quiabo. Em determinado dia, a quitanda atendeu 428 pessoas. Se 153 pessoas compraram brcolis, 218 compraram cenoura, 250 compraram quiabo, 64 compraram brcolis e cenoura, 72 compraram cenoura e quiabo e 57 pessoas compraram os trs. Quantas pessoas compraram brcolis e quiabo?.

Soluo:

Sejam

A = {pessoas que compraram brcolis}

B = {pessoas que compraram cenouras}

C = {pessoas que compraram quiabos}

Ento:

n (A ( B ( C) = 428

n(A) = 153

n(B) = 218

n(C) = 250

n(A ( B) = 64

n(A ( C) = ?

n(B ( C) = 72

n(A ( B ( C) = 57

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 428 = 153 + 218 + 250 64 n(A ( C) 72 + 57

n(A ( C) = 153 + 218 + 250 64 72 + 57 428

n(A ( C) = 114

4.7 Princpio da Casa do Pombo

O Princpio da casa do pombo recebe este nome estranho devido seguinte idia: Se mais de K pombos pousarem em k casas de pombos, ento pelo menos uma casa de pombos ficar com mais de um pombo. Apesar de isto parecer imediatamente bvio, podemos construir uma prova por contradio. Suponha que mais do que K pombos pousaram em K casas de pombos. Se cada casa contiver no mximo um pombo, teramos, ao todo, no mximo K pombos, uma contradio

Definio: Se mais do que K itens so distribudos entre K caixas, Ento pelo menos uma caixa conter mais de um item.

Exemplo

Quantas pessoas precisam estar no mesmo quarto para se garantir que pelo menos duas pessoas tm o sobrenome iniciado pela mesma letra?

Soluo:

Existem 26 letras no alfabeto (caixas). Se tiverem 27 pessoas, ento haver 27 letras iniciais (itens) que devem ser distribudos entre as 26 caixas; por isso, pelo menos uma caixa conter mais de um item.

4.8 Tcnicas

Uso do Princpio da Incluso e Excluso para encontrar o nmero de elementos da unio de conjuntos.

Uso do Princpio da Casa do pombo para encontrar o nmero mnimo de elementos que garantem que dois elementos gozam de uma mesma propriedade.

4.8.1 Idia principal

O Princpio da Incluso e Excluso e o Princpio da Casa do Pombo so mecanismos de contagem adicionais.

Exerccios:

1. Em um grupo de 42 turistas, todos falam ingls ou francs; existem 35 pessoas que falam ingls e 18 pessoas que falam francs. Quantas pessoas falam ingls e francs?. Resp: 112. Todos os convidados de uma festa bebem caf ou ch; 13 convidados bebem caf, 10 bebem ch e 4 bebem caf e ch. Quantos convidados tm neste grupo?. Resp: 193. Em um grupo de 24 pessoas, 15 gostam de rock, 14 gostam de msica clssica, 11 gostam de rock e country, 9 gostam de rock e msica clssica, 13 gostam de country e msica clssica e 8 gostam de rock, country e msica clssica. Quantos gostam de country?. Resp: 204. Uma pesquisa realizada verifica-se que das pessoas consultadas, 185 liam o jornal A, 248 liam o jornal B, 125 os dois jornais e 165 no liam nenhum dos jornais.

Pergunta-se:

a) quantas pessoas lem apenas um dos jornais? Resp: 183b) quantas pessoas foram consultadas? Resp: 4735. Numa cidade so consumidos trs produtos A, B e C. Feito um levantamento do mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado: 228 pessoas consomem o produto A; 165 pessoas consomem o produto B; 255 pessoas consomem o produto C; 85 pessoas consomem os produtos A e B; 90 pessoas consomem os produtos A e C; 75 pessoas consomem os produto B e C; 35 pessoas consomem os produtos A, B e C e 175 no nenhum dos trs produtos.

Pergunta-se:

a) quantas pessoas consomem apenas o produto A?. Resp: 88b) quantas pessoas consomem o produto A ou B ou o produto C?. Resp: 433c) quantas pessoas consomem apenas o produto A e o produto C?. Resp: 55d) quantas pessoas foram consultadas?. Resp: 6086. Quantas vezes um nico dado precisa ser lanado para termos certeza de que obtivemos algum valor duas vezes?. Resp: 77) Numa cidade em que so publicados os jornais A, B e C, foram obtidos os seguintes resultados numa pesquisa: 20% da populao l o jornal A, 16% o jornal B, 14% o jornal C; 8% l A e B, 5% A e C e 4% B e C. Somente 2% l os trs jornais, A, B e C. Qual a porcentagem da populao que no l nenhum destes trs Jornais? Resp; 65%8) Numa classe de 30 alunos, 14 falam ingls, 5 falam alemo e 7 falam francs. Sabendo-se que 3 falam ingls e alemo, 2 falam ingls e francs, 2 falam alemo e francs e que 1 fala as trs lnguas, determine o nmero dos que falam pelo menos uma destas 3 lnguas? Resp: 209) Numa pesquisa feita com as pessoas que foram aprovadas em trs concursos A, B e C, obteve-se os resultados tabelados a seguir:

Concurso A B C A e B A e C B e CA, B e C

Nmero de aprovados 150 140 100 45 30 35 10

a) Quantas pessoas fizeram os trs concursos? Resp: 10b) Quantos candidatos foram aprovados em somente um dos trs concursos? Resp: 200c) Quantos candidatos foram aprovados em pelo menos dois dos concursos? Resp: 90d) Quantos candidatos foram aprovados nos concursos A e B e, mas no no C? Resp: 35e) Quantos candidatos foram aprovados nos concursos A ou B e, mas no no C? Resp: 1904.9 Permutaes

Um arranjo de objetos chamado de permutao.

o tipo de agrupamento sem repetio em que um grupo diferente de outro pela ordem e pela natureza de seus elementos correspondentes.

O nmero de permutaes de r objetos distintos escolhidos de n objetos denotado por:

Para 0 ( r ( nExemplos

Quantos nmeros de dois algarismos (elementos) distintos podem ser formados usando-se os algarismos 2, 3, 4 e 5.

Soluo:

1o algarismo 2o algarismo 3o algarismo

(4 possibilidades) (3 possibilidades) (12 nmeros)

3 23

2 4 24 5 25

2 32

3 4 34

5 35

2 42

4 3 43

5 45

2 52

5 3 53

4 54

Observe que os grupos (nmeros ou elementos) obtidos diferem entre si: pela ordem de seus elementos (23 e 32, por exemplo): pelos elementos componentes( natureza) (25 e 43 por exemplo).

Os grupos assim obtidos so denominados permutaes dos 4 elementos tomados 2 a 2, e so indicados P(4, 2).

Da define-se: Permutaes de n elementos tomados r a r so todos os agrupamentos sem repetio que possvel formar com r(n ( r) elementos diferentes escolhidos entre os n elementos de um conjunto dado.

Exemplos1.Calcular o valor de P(7, 3)

Soluo: P(7, 3) =

=

=

=

=

2. Quantas palavras de trs letras podem ser formadas com as letras da palavra COPILAR, se no puder repetir letras?

Soluo:

Sendo n = 7 e r = 3, temos;

P(7, 3) = 7! / (7 3)! = 7! / 4! = 210

Exerccios

01) Calcular P(10, 4) Resp: 504002) Calcular P(n, 1). Resp: n03) Calcular P(n, n) Resp: n!04) De quantas maneiras podem ser escolhidos um presidente e um vice-presidente dentre um grupo de 20 pessoas?. Resp: 38005) De quantos modos 6 pessoas podem sentar-se em uma sala de 6 cadeiras?. Resp: 72006) Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resultados so possveis?. Resp: 684007) Uma biblioteca tem 4 livros sobre sistema operacional, 7 sobre programao e 2 sobre estrutura de dados. De quantas maneiras esses livros podem ser arrumados em uma prateleira, considerando que todos os livros de cada assunto precisam estar juntos? Resp: 145152008) De um baralho de 52 cartas, 3 cartas so retiradas sucessivamente e sem reposio. Quantas seqncias de cartas possvel obter? Resp: 13260009) Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 0, 1, 2, . . . , 9. O segredo do cofre formado pr uma seqncia de 3 dgitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas dever fazer (no mximo) para conseguir abri-lo. (Suponha que a pessoa sabe que o segredo formado pr dgitos distintos ). Resp: 7204.10 Combinaes

s vezes desejamos selecionar r objetos de um conjunto de n objetos, mas no desejamos revelar a ordem na qual eles so arranjados. Neste caso, estamos contando o nmero de combinaes de r objetos distintos escolhidos dentre n objetos, denotados por C(n, r).

para 0 ( r ( n

Exemplos

1. Calcular C(7, 3)

Soluo : Sendo n = 7 e r = 3, temos:

C(7, 3) =

=

=

=

2. De quantas maneiras podemos escolher um comit de 3 pessoas dentre um grupo de 12 pessoas?

Soluo: Sendo n = 12 e r = 3. Temos:

C(12, 3) = 12! / 3! . (12 3)!

= 12! / 3! . 9!

= 12.11.10.9! / 3! .9!

= 12. 11.10 / 3.2.1

= 220

Exerccios

1). Calcular C(8, 5). Resp: 562). Calcular C(n, 1).Resp; n3) Calcular C(n, n).Resp: 14). De quantas maneiras podemos escolher um comit de 6 pessoas dentre um grupo de 15 pessoas?. Resp: 50055). De quantas maneiras pode ser selecionado um jri de 5 homens e 7 mulheres, dentre um elenco de 17 homens e 23 mulheres?. Resp: 15170315166) Em uma reunio social, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mo. Quantas pessoas havia na reunio? Resp: 107) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comisses de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mnimo um diretor? Resp: 558) Existem 10 jogadores de futebol de salo, entre eles Joo, que pr sinal o nico que joga como goleiro. Nestas condies, quantos times de 5 pessoas podem ser escalados? Resp: 1264.11. Permutaes com elementos repetidos

O nmero de permutaes possveis com n elementos, dentre os quais certo elemento se repete ( vezes, igual ao fatorial de n dividido pelo fatorial de ( Pn( = n! / (!

Pn(, (, ( = n! / (! (! (!

Exemplos

1) Determine a quantidade de nmeros distintos que podemos obter permutando os algarismos do nmero 73.431

Soluo : Sendo n = 5, ( = 2, temos:

P52 = 5! /2! = 5.4.3 = 60

2) Quantos anagramas tm a palavra Matemtica?.

Soluo: Temos: n = 10, ( = 3 (as), ( = 2 (ms), ( = 2 (ts)

Ento : P103, 2, 2 = 10! / 3!. 2!. 2! = 151.200 .

Exerccios de fixao

01) De quantas maneiras podemos escolher trs funcionrios de um grupo de 15 pessoas?. Resp: 273002) De quantas maneiras podemos escolher um comit de sete pessoas dentre um grupo de 18 pessoas?. Resp: 3182403) Uma urna contm 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos possvel tirar 7 bolas, sendo 4 delas pretas?. Resp: 180004) Quantas palavras de trs letras (no necessariamente com sentido) podem ser formadas com as letras da palavra Mercantil?. Resp: 50405) Numa corrida de frmula 1 h 20 pilotos participando e apenas os oitos primeiros colocados ganham pontos. Quantos so as possibilidade de classificao dos oitos primeiros lugares?. Resp: 507911040006) Determine a quantidade de nmeros distintos que podemos obter permutando os algarismos do nmero 52.827?. Resp: 6007) Quantos anagramas tm a palavra Paralelogramo?. Resp: 12972960008) Cinco homens e uma mulher pretendem utilizar um banco de 5 lugares. De quantas maneiras diferentes podem sentar-se, nunca ficando em p a mulher?. Resp: 60009) De quantas maneiras os primeiros, segundos e terceiro prmio em um concurso de torta podem ser atribudos a 15 concorrentes?. Resp: 273010) Um time de futebol leva 18 jogadores na comitiva; 11 jogadores compem o time titular. De quantas maneiras o time pode ser formado?. Resp: 3182411) Quantas permutaes das letras da palavra COMPUTADOR existem?. Resp: 181440012) A diretoria de uma firma constituda por 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comisses de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formada?. Resp: 14013) De quantas maneiras diferentes podem se sentar 11 homens e 8 mulheres em uma fileira, se todos os homens se sentam juntos e as mulheres se sentam juntas?. Resp: 160944537600014) Uma biblioteca tem 5 livros sobre sistema operacional, 6 sobre programao e 3 sobre estrutura de dados. De quantas maneiras esses livros podem ser arrumados em uma prateleira, considerando que todos os livros de cada assunto precisam estar juntos? Resp: 3 110 40015) Uma urna I contm 5 bolas numeradas de 1 a 5. Outra urna II contm 3 bolas numeradas de 1 a 3. Qual o nmero de seqncias numrica que podemos obter se extrairmos, sem reposio, 3 bolas da urna I e, em seguida, 2 bolas da urna II?. Resp: 36016) Uma urna contm 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos possvel tirar 7 bolas, sendo pelo menos 4 delas pretas? Resp: 2080Referncias Bibliogrficas

- GERSTING, Judith L. Fundamentos matemticos para a cincia da computao. 3.ed. Rio de Janeiro : LTC, c1995. xviii, 518p.

Complementar

- ALENCAR FILHO, Edgard de. Operacoes binarias. Sao Paulo : Edgard Blucher, 1984. 166p.

- ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria dos grupos. Sao Paulo : Edgard Blucher, 1985. 279p.

- ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria elementar dos conjuntos. Sao Paulo : Nobel, 1970. 275p.

- BASSO, Delmar. Teoria dos conjuntos. Porto Alegre : Ed. do Professor Gaucho, [s.d.]. 108p.

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A B

A B A ( B B - A

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