Análise CombinatóriaFatorial de um número:n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1

Definições especiais:0!=11!=1

Exemplo:

.56)!1()!1( equação a Resolva

xx

Agora é com você!

lugares? primeiros trêsos para adespossibilid as são Quantas mundo. do campeõesdos torneioo disputam Flamengo) e Paulo São Santos, ONAL,(INTERNACI futebol de timesQuatro

lugar 3º o para adespossibilid2 elugar 2º o para adespossibilid 3 sobrando lugar, 1º o para adespossibilid 4 Existem :R

ades.possibilid 242.3.4

Arranjo simples:

)!(!

, pnnA pn

Exemplo

. Calcule1,82,9

2,53,42,6

AAAAA

Permutação Simples

• É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.

•

!nPn

Exemplo

números. 1201.2.3.4.5!55

8? e 1,2,3,5 algarismos os com formadosser podem distintos algarismos 5 de números Quantos P

Combinação Simples

• Cn,p = !!!pnp

n

Exemplo:

comissões. 52515.352

30.!3

210!2!.4!4.5.6.

!4!.3!4.5.6.7

)!46(!4!6.

)!37(!3!7

.. produto o é resultado O

- MOÇAS

- RAPAZESmoças? 4 e rapazes

3 comformar podemos comissões quantas moças, 6 e rapazes 7 com reunião Numa

4,63,7

4,6

3,7

CC

C

C

Distinguindo permutações, arranjos e combinações simples

Critério de Formação Tipo de Agrupamento Nome do AGRUPAMENTO

Só ordenar os elementos(todos)

Ordenado Permutação

Só escolher os elementos

Não-ordenado Combinação

Escolher e ordenar os elementos escolhidos

Ordenado Arranjo

Ou seja:

• Arranjos são os agrupamentos que diferem pela ordem e pela natureza de seus elementos.

• Combinações são os agrupamentos que diferem pela natureza de seus elementos.

• Permutações são os agrupamentos que diferem apenas pela ordem de seus elementos.

Ex1. Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, quantos números naturais de 4 algarismos distintos podemos formar?

• Observe que os agrupamentos 1234 e 4231 diferem apenas pela ordem de seus elementos enquanto que 1234 e 2456 diferem tanto pela ordem como pela natureza de dois de seus elementos.

• Portanto esse tipo de problema é classificado como Arranjo Simples.

• Pelo PFC temos, 6.5.4.3=360 números de 4 algarismos distintos.

Ex2. Entre os professores André,Douglas, Zuza, Sandro e Gilberto deseja-se formar uma comissão com 3 professores para representar os colegas numa reunião com a diretoria da escola. De quantas maneiras diferentes esta escolha pode ser feita?

• Conjunto dos professores: A,D,Z,S,G • Algumas combinações possíveis:• (A,D,S), (D,G,S), (Z,S,G)....• Observe que (A,D,S) e (D,S,A) representam a mesma comissão: a ordem

dos elementos não altera a comissão.• As comissões só diferem se mudarmos a natureza de seus elementos.• (D,G,S) e (Z,S,G) diferem pela natureza de dois de seus elementos,

portanto esse tipo de problema é uma combinação simples.• É importante observar que um agrupamento qualquer, com três

elementos,pode ser representado, nesse caso por 6 modos diferentes:• (A,D,S) = (A,S,D) = (D,A,S) = (D,S,A) = (S,A,D) = (S,D,A).• Portanto, ao aplicar o PFC, devemos dividir o resultado por 6.• Pelo PFC, 5.4.3=60 e dividindo este resultado por 6, temos 10 comissões

diferentes.

Ex3. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 5,6 e 7?

• Pelo PFC, temos 3.2.1 = 6números de três algarismos.

• Os resultados possíveis são : 567,576,657,675,756 e 765.

• Observe que 567 e 756 se diferem apenas pela ordem de seus elementos.

• Como não podemos repetir elementos, esse tipo de agrupamentos é classificado como Permutação Simples.

Permutação com Repetição

• P = • Onde n é o número de elementos e o

número de repetições.• Ex.:• A palavra BANANA possui quantos

anagramas?

,.....,,

n !....!!!n

,.....,,