Análise combinatória - EBD · Árvore de possibilidades Se lançarmos uma moeda três vezes ao...

Análise combinatória

Árvore de possibilidades Se lançarmos uma moeda três vezes ao acaso, quais e

quantos são os possíveis resultados?

K

C

K

C

K

C

K

C

K

C

K

C

K

C

KKK ,,

CKK ,,

KCK ,,

CCK ,,

KKC ,,

CKC ,,

KCC ,,

CCC ,,

Se lançarmos um dado e uma moeda ao acaso, quais e

quantos são os possíveis resultados?

K

C

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1,K

2,K

3,K

4,K

5,K

6,K

1,C

2,C

3,C

4,C

5,C

6,C

Quantos casais heterossexuais podemos formar com os

alunos desta sala ?

01. De quantas formas distintas podemos ir da cidade A para cidade D,

passando pelos caminhos da figura que segue e passando

obrigatoriamente por B e C? De quantas formas usando a mesma figura,

podemos ir de A para D e voltar para A? E de quantas maneiras podemos

ir de A para D e voltar para A, mas na volta não podemos usar os

caminhos da ida?

___. ___.___2 3 4 24

___. ___.___ ___. ___. ___.2 3 4 4 3 2 576

___. ___.___ ___. ___. ___.2 3 4 3 2 1 144

02. Observe o diagrama. O número de ligações

distintas entre X e Z é

a) 39

b) 41

c) 35

d) 45

Para sair de X e chegar em

Z podemos ir de:

ZeRX ,

ou

ZeSX ,

ou

ZeYX ,

ou

ZeYRX ,,

ou

ZeYSX ,,

3

6

2

18

12

41

Alternativa correta, letra B.

03. De quantas formas distintas podemos colorir as listras da bandeira

que segue usando apenas as cores ROXO, LARANJA e VERDE? De

quantas formas podemos colorir a mesma bandeira com as mesmas

cores, mas com uma restrição: não pode haver listras adjacentes com a

mesma cor?

___. ___.___3 3 3 81___. 3

___. ___.___3 2 2 24___. 2

04. (OBM-XXVI). O desenho ao lado mostra o mapa de um país

(imaginário) constituído por cincos estados. Deseja-se colorir esse mapa

com as cores verdes, azul e amarela, de modo que dois estados vizinhos

não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode

ser pintado?

a) 6

b) 10

c) 12

d) 24

e) 120

___. ___.___ ___. ___.3 2 1 1 1 6

Alternativa correta, letra A.

05. O mapa abaixo representa a divisão do Brasil em suas

regiões. O mapa deve ser colorido de maneira que regiões com

uma fronteira em comum sejam coloridas com cores distintas.

Determine o número (n) de maneiras de se colorir o mapa,

usando-se 5 cores.

Vamos usar as cinco cores abaixo

e preencher o mapa de algumas

maneiras como segue:

verde

vermelho

roxo

amarelo

cinza

Agora iremos preencher o mapa segundo as regras

impostas pela questão e simultaneamente usar o

principio fundamental da contagem:

___. ___.___ ___. ___.5 4 3 3 3 540

06. Quantos números de 3 algarismos podemos formar usando

os elementos do conjunto ? 9,8,7,6,1A

total: ___. ___.___5 5 5 125

pares:

ímpares:

___. ___.___5 5 2 50

___. ___.___5 5 3 75

07. Quantos números de 3 algarismos podemos formar usando

os elementos do conjunto ? 9,8,7,6,0B

total: ___. ___.___4 5 5 100

pares:

ímpares:

___. ___.___4 5 3 60

___. ___.___4 5 2 40

08. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos

formar usando os elementos do conjunto ? 9,8,7,6,1A

total: ___. ___.___5 4 3 60

pares:

ímpares:

___. ___.___3 4 2 24

___. ___.___3 4 3 36


formar usando os elementos do conjunto ? 9,8,7,6,0B

pares terminados em 6 ou 8:

___. ___.___3 3 2 18

pares terminados em 0:

___. ___.___4 3 1 12

30 pares

ímpares:

___. ___.___3 3 2 18

18 ímpares

total: ___. ___.___4 4 3 48

Técnica de contagem na multiplicação

123321! nnnnn

1!11!0 e

Fatorial

É o produto de n fatores naturais consecutivos de n até 1.

Por definição temos que:

21!2 2

321!3 6

4321!4 24

54321!5 120

654321!6 720

7654321!7 040.5

87654321!8 320.40

!50

!51)a

!27

!26)b

19. Simplifique as expressões:

!9!22

!21!10)

c

!50

!5051 51

!2627

!26

27

1

!9!2122

!21!910

22

10

11

5

!20

!20!21)

d

!8!10

!9)

e

!20

!20!2021

!20

)121(!20 22

!8!8910

!89

)1910(!8

!89

91!8

!89

91

9

20. Simplifique a expressão

!

!1!2

n

nn !

!1!12

n

nnnnn

!

12!1

n

nnn 11 nn 21 n

21. Resolvas equações:

!15!1!2) nnna

!15!1!12 nnnnnn

!1512!1 nnnn 1531 nn

15332 nnn 01242 nn 124,1 ceba

64121416

2

84n

6

2

2

1

n

n 2S

!!1!2) nnnb

!!1!12 nnnnnn

!12!1 nnnn 111 nn

112n 11 n 11 n

11n2

0

2

1

n

n 0S

Arranjo simples É o tipo de agrupamento que não possui elementos repetidos

e a ordem dos elementos difere nos agrupamentos.

pn

pn

nA pn

!

!,

22. Em um campeonato de futebol com 10 times inscritos, de

quantas formas pode terminar tal torneio em relação aos 3

primeiros lugares? 1 2 3

!310

!103,10

A

!7

!10

!7

!78910 720


formar usando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

12

44

21

!25

!52,5

A

!3

!5

!3

!345 20

Permutação simples

É um arranjo simples onde .pn

!

!

!, nP

nn

nApn nnn

24. De quantas formas podemos perfilar uma família com 5

membros (pai, mãe e três filhos) de modo que?

a) Os pais fiquem sempre juntos em determinada ordem (o pai

na esquerda e a mãe na direita;

b) Os pais fiquem sempre juntos;

c) Os pais fiquem sempre separados;

d) Os filhos fiquem sempre juntos em ordem de nascimento;

e) Os filhos fiquem sempre juntos;

f) Os filhos fiquem sempre separados;

!4)a 24

!4!2) b 48

48120) c 72

!3)d 6

!3!3) e 36

)f___. ___.___ ___. ___.

3 2 2 1 1 12

120!5 Total

25. Quantos anagramas podemos formar com as letras da

palavra GIBRAN de modo que:

a) As vogais fiquem sempre juntas em ordem alfabética;

b) As vogais fiquem sempre juntas;

c) As consoantes fiquem sempre juntas sempre em ordem

alfabética;

d) As consoantes fiquem sempre juntas;

e) As letras G e I fiquem sempre juntas e as letras B e R

fiquem sempre separadas.

:Total ___. ___.___ ___. ___.6 5 4 3 2 !61___. 720

)a GB IA RN 120!5

G BIA RN)b 240!5!2

)c GBI A RN 6!3

)d I A RNGB 144!3!4

)e GB IA R N !2!5 !4!2!2 96240 144

Combinação simples

São agrupamentos que não possuem elementos repetidos e a

ordem dos elementos não difere os agrupamentos.

)(

!!

!, pn

ppn

nC pn

26. Em uma sala com 10 alunos deseja-se escolher 4 para uma

excursão em pleno carnaval em Salvador. De quantos modos

pode-se realizar tal sorteio?

!4!410

!104,10

C

!4!6

!10

210

27. Quantos triângulos podemos formar com vértices nos

pontos em cada figura abaixo:

A

B

C

E

F G

H

I

J

ABC BCA

FFF

3,10C!3!7

!10

120D

3,10C 3,4C 1164120

primeiro modo: 3,10C 3,4C 3,6C 204120 96

segundo modo: 42,6 C 62,4 C 66415 96

Permutação com repetição

São permutações com elementos repetidos.

nPPP

PP k

nn

k

k

21

,,

21

21

28. Quantos anagramas podemos formar com as letras da

palavra:

a) ALA

b) ARARA

c) MACACO

21LAA

12LAA

21ALA

12 ALA

LAA 21

LAA 12

2

3P!2

!3 3

2,3

5P!2!3

!5

10

2,2

6P!2!2

!6

180

29. De quantas maneiras podemos ir de A para B usando os

caminhos do mapa abaixo e realizando apenas dois tipos de

movimentos: Esquerda para direita e de baixo para cima?

5,4

9P!5!4

!9

126

2,2

4P3,2

5P 60

03. (UESC BA/2007). O valor de Nx , tal que

40!x)1x()!1x2(

)!2x2()!2x(

é:

a) 6

b) 3

c) 4

d) 5

e) 2

40!x)1x()!1x2(

)!2x2()!2x(

40

!)1()!12(

)!12)(22(!)1)(2(

xxx

xxxxx

40)22()2( xx 20)1()2( xx

20222 xxx 01832 xx

183,1 ceba 8118149

2

93x

6

3

2

1

x

x

IN


09.(UFU MG/2008).Um programa de computador, utilizando

apenas os algarismos 1, 2, 3 e 4, gera aleatoriamente senhas de

exatamente dez dígitos. Dentre todas as senhas possíveis

geradas por esse programa, a quantidade daquelas em que o

algarismo 4 aparece exatamente uma vez é igual a:

a) 410 – 39

b) 410 – 310

c) 10.39

d) 10.49

Como o algarismo 4 pode aparecer apenas uma e

somente uma vez no número de 10 algarismos,

vamos deixá-lo fixo de modo que ele apareça

apenas no primeiro algarismo. Pelo princípio

multiplicativo temos:

___.___4 3 ___. 3 ___. 3 ___. 3 ___. 3 ___. 3 ___. 3 ___. 3 ___. 3

9310

Como o algarismo 4 pode ficar em apenas

uma das casas, basta multiplicar o resultado

por 10. Alternativa correta, letra C.

Permutações circulares

6!33 P

De quantos modos podemos colocar n objetos distintos em n lugares

equiespaçados em torno de um círculo, se considerarmos equivalentes

disposições que possam coincidir por rotação?

A resposta desse problema será representado por , o número de

permutações circulares de n objetos distintos. É fácil ver que é em

geral, diferente de . Por exemplo, no caso n=3 temos modos

de colocar 3 objetos distintos em 3 lugares.

nPC)(

nPC)(

nP

3

1 2

1

2 3 2

1

3

3 3

2 2 1 1 3 1

2

1

2 3

1

3 2 3 3 1 1

2 2

No entretanto as três primeiras disposições podem coincidir

entre sim por rotação e o mesmo ocorre com as três últimas,

de modo que . Repare que nas permutações simples

importam os lugares que os objetos ocupam ao passo que nas

permutações circulares o que importa é a posição relativa dos

objetos entre si.

2)( 3 PC

fórmula: !1)( nPC n

Quantas rodas de ciranda podem ser formadas com 7 crianças?

Como a roda gira, o que importa não é o lugar relativo de cada criança

e sim a posição relativa das crianças entre si. A resposta é:

!17)( 7 PC !6 720

13.(UFPA/2008).O número de possibilidades de colocar seis

pessoas em círculo igualmente espaçadas, de modo que duas

delas não possam ficar em posições opostas, é:

a) 96

b) 120

c) 24

d) 72

e) 60

A

BF

CED

A

B

CE

F

!155 PC !4 24

D D

DD

424 96


14.(UNIMONTES MG/2008).De quantos modos podemos repartir 8

brinquedos diferentes entre 3 crianças, para que as duas mais velhas

recebam, cada uma, 3 brinquedos e a mais nova, 2 brinquedos?

a) 560.

b) 1120.

c) 280.

d) 56.

A primeira criança pode escolher de 3,8C modos os três

brinquedos. Após a escolha da primeira criança restam 5

brinquedos para a segunda criança escolher de 3,5C

modos. E por último restam 2 brinquedos para a terceira

criança escolher de 2,2C .

Pelo princípio multiplicativo temos:

2,23,53,8 CCC !0!2

!2

!2!3

!5

!5!3

!8

11056 560


15. (FFFCMPA RS/2008). Um campeonato de futebol é disputado

por 20 equipes, de acordo com o seguinte esquema:

1º- Formam-se 4 grupos de 5 equipes. Em cada grupo, as equipes jogam

todas entre si, em turno e returno, saindo um campeão de cada grupo.

2º- Os quatro campeões dos grupos jogam entre si, também em dois

turnos, para apontar o campeão.

O número total de jogos disputados é

a) 46

b) 89

c) 92

d) 94

e) 96

Vamos analisar o que acontece em um grupo. O que ocorrer em um

grupo ocorrerá nos outros três:

São 5 times que vão jogar todos entre si em turno e returno (jogos de

ida e volta). Como a ordem não importa (o time A jogar com o time B é a

mesma coisa que o time B jogar com o time A), então temos uma

combinação de 5 elementos tomados 2 a 2 multiplicado por 2.

2,52 C!3!2

!52

20

Como são 4 grupos, cada um com 20 jogos, contabilizamos 80 jogos

na primeira fase.

Sai um campeão de cada grupo, totalizando 4 times. Os 4 times

jogarão entre si com turno e returno, contabilizamos uma combinação de

4 elementos tomados 2 a 2 multiplicado por 2.

2,42 C!2!2

!42

12

921280

Alternativa correta, letra C.

16. (FEI SP/2008). Num grupo com n pessoas é possível formar

exatamente 66 pares distintos ou 66 grupos distintos de 2 pessoas. Então

o valor de n é:

a) 11

b) 10

c) 12

d) 6

e) 9

Temos um grupo com n pessoas: nppppG ,,,, 321

Se formarmos um par com as pessoas é o mesmo par

formado pelas pessoas , ou seja, uma combinação de n

pessoas tomadas 2 a 2 sendo igual a 66

21 pep

12 pep

662, nC

66!2!2

!

n

n 1321 nn

01322 nn

529132141

2

231n

11

12

2

1

n

n pessoas12


20. (UFPel RS/2007). A boa e velha Loteria Federal é a que dá ao

apostador as maiores chances de ganhar, mas por não pagar grandes

fortunas não está entre as loterias que mais recebe apostas. As mais

populares são Mega-Sena, Quina, Loto-fácil e Lotomania. Na Loto-fácil,

o apostador marca 15 dos 25 números que constam na cartela e tem uma

em 3.268.760 chances, de acertar.

Super Interessante 229 –agosto 2006 [adapt.].

Se fosse criada uma nova loteria, em que o apostador marcasse 10 dos

16 números disponíveis numa cartela, a chance de acertar uma aposta

passaria a ser de uma em

a)1600.

b)6006.

c)8008.

d)8060.

e)6800.

Como em qualquer cartão da Mega, Quina e Loto a

ordem dos números sorteados não importa, temos que o

total de cartões que podem ser jogados é:

10,16C!6!10

!16

8008


22.(MACK SP/2008). Para se cadastrar em um site de compras, cada

cliente digitava uma senha com quatro algarismos. Com o objetivo de

aumentar a segurança, todos os clientes foram solicitados a adotar novas

senhas com cinco algarismos. Se definirmos o nível de segurança com a

quantidade possível de senhas, então a segurança nesse site aumentou em

a) 10%

b) 25%

c) 125%

d) 900%

e) 1.100%

A quantidade de senhas com 4 algarismos é de:

___10 ___. 10 ___. 10 ___. 10 410

A quantidade de senhas com 5 algarismos é de:

___10 ___. 10 ___. 10 ___. 10 510___. 10

Aplicando uma regra de três simples, temos:

%100104

x510%1000 x

Alternativa correta, letra D.

23. (FGV /2008). O número de permutações da palavra ECONOMIA que

não começam nem terminam com a letra O é

a) 9 400

b) 9 600

c) 9 800

d) 10 200

e) 10 800

A palavra ECONOMIA tem duas letras O e 6 restantes

sem repetição. Existem 6 possibilidades para a primeira

casa e 5 para última.

___6 ___. ___. ___. ___. ___. ___. ___. 5

Ficarão 6 letras restantes para permutar em seis lugares,

incluindo duas letras O. Logo podemos concluir que temos

uma permutação de 6 elementos com um dos elementos

repetidos duas vezes:

2

6P

2

656 P!2

!630 36030 800.10

Alternativa correta, letra E.

27. (FGV /2007). Colocando em ordem os números resultantes das

permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posição ocupará o número

35 241?

a) 55ª

b) 70ª

c) 56ª

d) 69ª

e) 72ª

O número 35241 é precedido pelos números da forma:

1 ___ ___. ___. ___. que são em número de !44 P

___ ___. ___. ___. que são em número de !44 P

3 ___ ___. ___. que são em número de !33 P1

I

III

3 ___ ___. ___. que são em número de 2IV !33 P

3 ___ ___. ___. que são em número de 4V !33 P

II 2

3 ___. ___. que são em número de 5VI !22 P13 ___. ___. que são em número de 5VII !22 P2

Contabilizamos 4!+4!+3!+3!+3!+2!+2!=70


30. (FGV /2006). José quer dispor 8 CDs numa disqueteira tipo torre de

8 lugares. São 5 CDs de diferentes bandas de rock, além de 3 outros de

jazz, de bandas distintas. De quantos modos eles podem ser dispostos, de

maneira que tanto os CDs de rock quanto os de jazz estejam numa

determinada ordem, podendo estar misturados os CDs dos dois tipos de

música?

a) 336

b) 20160

c) 56

d) 6720

e) 40320

Observe algumas possibilidades de dispor os CDs na torre, segundo

as regras do enunciado:

32154321 JJJRRRRR

35432211 JRRRRJRJ

53423211 RJRJRRJR

Perceba que os CDs de rock e jazz não podem permutar entre sim.

Vamos considerar que os CDs de rock e jazz são iguais. Veja o exemplo

segue:

JJJRRRRR

JRRRRJRJ

RJRJRRJR A questão está resumida em calcular todas as permutações de 8

elementos com 5 e 3 elementos repetidos:

3,5

8P!3!5

!8

56


34. (UFPI/2006). Sob as retas paralelas não-coincidentes r e s , marcam-

se 5 e 9 pontos distintos, respectivamente. O número de quadriláteros

convexos com vértices nesses pontos é:

a) 720

b) 360

c) 260

d) 148

e) 46

r

s

r//s

Para formar um quadrilátero convexo na figura acima, basta tomar

dois pontos aleatórios na reta de cima e dois na reta de baixo. Veja

também que a ordem dos pontos não importa. Vamos usar as fórmulas de

combinação em conjunto com o princípio multiplicativo:

2,9C 2,5C!2!3

!5

!2!7

!9

1036 360


35. (UEPB/2005). Com os números 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números da

forma p/q diferente de 1 podemos escrever?

a) 22

b) 20

c) 26

d) 24

e) 18

As frações iguais a 1 são quando p=q. Não esqueça que p/q é

diferente de q/p.

Usando o princípio multiplicativo, temos:

___5 ___. 4 20


37. (CEFET PR/2008). A “FACULDADE HIPOTENUSA” dispõe de 13

professores de uma disciplina “X”, sendo que, desses, apenas 4 são

doutores. Para poder lançar no mercado um novo curso, são necessários

5 professores dessa disciplina “X”, dos quais pelo menos um deve ser

doutor. De quantas maneiras podemos dispor esses professores para que

se cumpra essa exigência?

a) 1161

b) 1287

c) 126

d) 154440

e) 139320

PRIMEIRO MODO:

Calcular todas as maneiras uma a uma.

4,91,4 CC Um doutor e quatro graduados: 1264 504

Dois doutores e três graduados: 3,92,4 CC 846 504

Três doutores e dois graduados:

Quatro doutores e um graduado:

2,93,4 CC 364 144

1,94,4 CC 991

161.1

SEGUNDO MODO:

Vamos calcular todos os grupos com cinco professores e tirar os

grupos com cinco graduados.

5,13C 5,9C 1261287 161.1


46. (MACK SP/2007). Em uma sala de aula há 25 alunos, quatro deles

considerados gênios. O número de grupos, com três alunos, que pode ser

formado, incluindo pelo menos um dos gênios, é

a) 580

b) 1200

c) 970

d) 1050

e) 780

Vamos calcular todos os grupos com três alunos e tirar os

grupos apenas com alunos não gênios.

3,25C 3,21C 330.1300.2 970


48. (UFPA/2007). No cartão da mega-sena existe a opção de aposta em

que o apostador marca oito números inteiros de 1 a 60. Suponha que o

apostador conheça um pouco de Análise Combinatória e que ele

percebeu que é mais vantajoso marcar um determinado número de

cartões, usando apenas os oito números, de modo que, se os seis números

sorteados estiverem entre os oito números escolhidos, ele ganha, além da

sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja

feita usando apenas seis números, a quantidade de cartões que o

apostador deve apostar é

a) 8

b) 25

c) 28

d) 19

e) 17

Um breve comentário sobre a Mega-Sena

Vamos analisar os jogos com mais de 6 dezenas em um cartão, ou

seja, com 7, 8, 9 ou 10.

Para isto vamos primeiro ver como é o jogo da mega-sena pelo caixa

econômica federal. Veja um volante da mega-sena.

58555042262308

555042262308

585042262308

585542262308

585550262308

585550422308

585550422608

585550422623

6,7C!1!6

!7

7 14$27 R

5943352814080401

594335281408

594335281404

594335280804

594335140804

593528140804

594328140804

433528140804

594335280801

594328140801

433528140801

594335280401

594335281401

594335140801

593528140801

594335140401

433528140401

593528140401

594328140401

594335080401

593528080401

594328080401 432814080401

592814080401

352814080401

433528080401

593514080401

594314080401

433514080401

6,8C!2!6

!8

28 56$228 R


50. (UEPB/2006). Existem n maneiras distintas de marcar 6 círculos na

figura ao lado, marcando exatamente 2 em cada coluna e 1 em cada

linha. O valor de n é

a) 36

b) 120

c) 45

d) 90

e) 60

Vamos preencher os círculos de algumas

maneiras possíveis dentro das condições do

problema. De quantas formas podemos escolher 2

círculos na primeira coluna:

2,6C!4!2

!6

15

De quantas formas podemos escolher 2

círculos na segunda coluna:

2,4C!2!2

!4

6

De quantas formas podemos escolher 2

círculos na terceira coluna:

2,2C!0!2

!2

1

901615: PFC


01. (UFRN RN/2000). Em virtude de uma crise financeira, uma fábrica

dispõe de apenas quatro vigilantes para ocuparem sete postos de

vigilância. Considerando que, em cada posto, fica, no máximo, um

vigilante e que o posto da entrada principal não pode ficar

desguarnecido, indique a opção correspondente ao número de maneiras

distintas de que o chefe de segurança pode dispor para distribuir os

vigilantes.

Obs.: Duas maneiras são ditas idênticas se, em ambas, os vigilantes

ocupam os mesmos postos e cada posto é ocupado pelo mesmo vigilante;

caso contrário, são ditas distintas.

a) 35

b) 80

c) 480

d) 840

Lembrando que em cada posto fica no máximo, um vigilante e o

posto da entrada principal não pode ficar vazio, logo temos:

1p 2p 4p 5p 6p 7p3p

Ora, para ocupar o portão principal (que necessariamente deve ser

ocupado) temos 4 possibilidades (qualquer um dos 4 vigilantes). Agora

resta escolher 3 dos 6 lugares restantes para colocar os 3 outros

vigilantes e isto pode ser feito de 6x5x4=120 modos distintos. Assim

pelo princípio fundamental da contagem temos 4x120=480 modos

distintos de distribuir os vigilantes nos postos obedecendo as exigências

impostas pelo enunciado.


03. (UFRN RN/2003). Um fenômeno raro em termos de data ocorreu às

20h02min de 20 de fevereiro de 2002. No caso, 20:02 20/02 2002 forma

uma seqüência de algarismos que permanece inalterada se reescrita de

trás para a frente. A isso denominamos capicua. Desconsiderando as

capicuas começadas por zero, a quantidade de capicuas formadas com

cinco algarismos não necessariamente diferentes é:

a) 120

b) 720

c) 900

d) 1000

Os algarismos disponíveis são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Assim podemos formar as seguintes capicuas (palíndromos):

___9 ___. 10 ___. 10 ___. 1 ___. 1 900


04. (UFRN RN/2005). Um painel eletrônico é constituído por 100100

pequenos retângulos, cada um deles com três minúsculos pontos

luminosos das três cores fundamentais: vermelho, amarelo e azul, com,

respectivamente, 100, 90 e 80 tonalidades. A combinação dessas

tonalidades produz uma gama de novas cores, para formar as imagens no

painel. Considerando-se que todas as distintas imagens no painel são

formadas a partir da combinação de todas as possíveis tonalidades de

cores de cada retângulo, pode-se provar que o número máximo das

imagens produzidas no painel que não contêm tons de azul é:

a) 80106

b) 72106

c) 100106

d) 90106

Como a tonalidade não deve conter azul podemos

escolher 100 tons de vermelho e 90 tons de amarelo e além

disto são 100x100=10.000 retângulos. Assim a quantidade

de configurações possíveis é:

6109090100100100


06. (UFRN RN/2008). Numa caixa, são colocadas dez bolas que têm a

mesma dimensão. Três dessas bolas são brancas, e cada uma das outras

sete é de uma cor diferente. O número total de maneiras de se escolher

um subconjunto de três bolas, dentre essas dez, é:

a) 32

b) 128

c) 64

d) 256

Temos as seguintes possibilidades:

As três bolas serem brancas; Neste caso temos evidentemente apenas

uma possibilidade de retirarmos três bolas brancas, visto que só existem

três bolas brancas na caixa: 13,3 C

Podemos retirar uma bola branca e duas outras de cores diferentes, o

que pode ser feito de: 212,7 C

Finalmente temos a possibilidade de não retirarmos nenhuma branca,

o que pode ser feito de: 353,7 C

Outra possibilidade seria retirar duas bolas brancas e apenas uma de

cor distinta, o que pode ser feito de 7 maneiras .

64357211 Alternativa correta, letra C.

01. (ITA). Uma escola possui 18 professores sendo 7 de Matemática, 3

de Física e 4 de Química. De quantas maneiras podemos formar

comissões de 12 professores de modo que cada uma contenha

exatamente 5 professores de Matemática, com no mínimo 2 de Física e

no máximo 2 de Química ?

a) 875

b) 1877

c) 1995

d) 2877

e) n.d.a.

Vamos analisar todos os possíveis casos:

?,40,42,35,7 CCCC

4,41,42,35,7 CCCC

3,42,42,35,7 CCCC

4,40,43,35,7 CCCC

3,41,43,35,7 CCCC

2,42,43,35,7 CCCC

25214321

512.146321

2111121

33644121

75666121

287775633621521.1252


02. (Espcex). Numa classe de 30 alunos da EsPCEx, 10 são oriundos de

Colégios Militares (CM) e 20, de Colégios Civis (CC). Pretende-se

formar grupos com três alunos, de tal forma que um seja oriundo de CM

e dois de CC. O número de grupos distintos que podem ser constituídos

dessa forma é:

a) 200

b) 900

c) 1260

d) 1900

e) 4060

Como temos que escolher dois alunos oriundos

colégios civis, temos uma combinação de 20 elementos

tomados 2 a 2:

2,20C 190

Agora temos que escolher um aluno oriundo entre 10

dos colégios militares. Usando o principio multiplicativo,

temos: 900.110190


05. (Espcex-2005). Uma prova de um concurso público engloba as

disciplinas Matemática e Inglês, contendo dez questões de cada uma.

Segundo o edital, para ser aprovado, o candidato precisa acertar, no

mínimo, 70% das questões da prova, além de obter acerto maior do que

ou igual a 60% em cada disciplina. Em relação às questões da prova,

quantas possibilidades diferentes terá um candidato de alcançar,

exatamente, o índice mínimo de aprovação?

a) 18 900

b) 33 300

c) 38 760

d) 77 520

e) 125 970

São 20 questões, 10 de matemática e 10 de inglês. Mínimo de 70% das questões (14) e 60% em cada disciplina (6 de

cada prova, ao todo 12).

Primeiro caso: 6 de 10 em matemática e 8 de 10 em inglês:

8,106,10 CC 450.945210

Segundo caso: 6 de 10 em inglês e 8 de 10 em matemática:

8,106,10 CC 450.945210

Terceiro caso: 7 de 10 em inglês e 7 de 10 em matemática:

7,107,10 CC 400.14120120

300.33400.14450.9450.9


06. (ITA-2002) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos

formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das

letras a, b e c?

a) 1692

b) 1572

c) 1520

d) 1512

e) 1392

Primeira parte: Temos que escolher duas letras entre a, b e c

32,3 C

Segunda parte: Temos que escolher duas letras entre as 7

restantes. 212,7 C

Terceira parte: As 4 letras escolhidas pode permutar entre si.

Pelo princípio multiplicativo, temos:

512.124213!42,72,3 CC


Análise combinatória - EBD · Árvore de possibilidades Se lançarmos uma moeda três vezes ao...

Documents

Transcript of Análise combinatória - EBD · Árvore de possibilidades Se lançarmos uma moeda três vezes ao...