Professor Everton Cangussú

Análise Combinatória 1. Princípio Fundamental da Contagem

1.1 Princípio Aditivo “Se um evento pode ocorrer por m ou n maneiras distintas e independentes entre si, para ocorrer esse evento existem (m + n) possibilidades.”

1.2 Princípio Multiplicativo “Se um evento pode ser dividido em duas etapas, em que para realizar a 1º etapa existem m maneiras e para realizar a 2º etapa, n maneiras, então para a ocorrência desse evento existem (m.n) possibilidades.” Exemplos:

01. Um hospital tem quatro portas de entrada que dão para um amplo saguão em que há cinco elevadores. Qual o número de maneiras diferentes de uma pessoa entrar no hospital e tomar um

dos elevadores?

02. Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter

apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?

03. (UFMG – 1998) Observe o diagrama.

Quantas ligações distintas há entre X e Z. a) 41 b) 45 c) 35 d) 39

2. Fatorial

O fatorial de um número natural n, representado por n! (lê-se: n fatorial ou fatorial de n), é um número definido por:

0! 1

! .( 1).( 2). .3.2.1n n n n

, ∀𝑛 ∈ 𝑁∗.

Exemplos. 01. Calcular.

a) 5! = b) 21!

19!

02. Calcule o valor de n em (n – 7)! = 120.

03. Resolver a equação (3x – 5)! = 1. 3. Arranjos Simples.

Seja A um conjunto com n elementos e k um número natural menor ou igual a n. Chamam-se arranjos simples k a k, dos n

elementos de A, aos agrupamentos, de k elementos distintos cada, que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus

elementos.

,

!

!n k

nA

n k

.

Exemplos. 01. Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por um

presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de quantas maneiras pode-se formar uma diretoria?

02. De quantas maneiras podemos escolher um pivô e um ala num

grupo de 12 jogadores de basquete?

03. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos distintos maiores que 300 podemos formar?

04. Com os algarismos 3, 5, 7 e 9 foram formados todos os números naturais possíveis de 3 algarismos e colocados em ordem crescente.

Qual posição do número 739?

4. Permutações Simples Seja A um conjunto com n elementos. Os arranjos simples

de n a n, dos n elementos de A, são chamados permutações simples de n elementos.

!nP n .

Exemplos: 01. Responda: a) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO?

b) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO que iniciam com P e terminam com O?

02. De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares, ficando duas delas sempre juntas, em

qualquer ordem?

5. Combinações Simples

Seja A um conjunto com n elementos e k um natural menor

ou igual a n. Chamam-se combinações simples k a k, dos n elementos de A, aos agrupamentos, de k elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos.

,

!

! !n k

nC

k n k

Exemplos: 01. Quantas comissões de 3 elementos podemos formar com um grupo de 8 pessoas?

02. Um fabricante de doces dispõe de embalagens com capacidade

de 4 doces cada uma. Sabendo-se que ele fabrica 10 tipos diferentes de doces, pergunta-se: quantos tipos de embalagens com 4 doces

diferentes ele poderá oferecer? 03. O conselho desportivo de uma escola é formado por 2

professores e 3 alunos. Candidataram-se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito?

04. Após uma reunião de negócios, foram trocados um total de 15

apertos de mão. Sabendo-se que cada executivo cumprimentou todos os outros, qual é o número de executivos que estavam presentes nessa reunião?

6. Permutação com Repetição.

A permutação de n elementos dos quais são de um

tipo, de outro e de outro, com n , é chamada

de permutação com elementos repetidos.

, , !

! ! !n

nP

.

Exemplos: 01. Quantos são os anagramas da palavra ARARA?

02. Quantos anagramas da palavra CAMARADA começam pela letra A?

7. Permutação Circular. Dados n elementos agrupados em forma circular, temos

que, o número de agrupamentos que podemos formar será dado por:

1 !C nP n

Exemplo. De quantas maneiras podemos colocar quatro pessoas em quatro posições ao redor de uma mesa redonda?

Professor Everton Cangussú

Exercícios

01. (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos

assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:

a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48

02. (ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo

que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a: a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120

03. (ESAF) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2

moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem todas juntas é igual a: a) 6 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48

04. (ESAF) Em um grupo de dança participam dez meninos e dez

meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é dado por:

a) 5.400 b) 6.200 c) 6.800 d) 7.200 e) 7.800

05. (ACAFE) Seis pessoas, entre elas Pedro, estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta é formada por um

presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. O número de maneiras para a composição da diretoria, onde José não é o presidente, será:

a) 120 b) 360 c) 60 d) 150 e) 300

06. (ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile

determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou

Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:

a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60 Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que premie as três primeiras colocadas, julgue os itens a seguir. 07. (Cespe/UnB) O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 58.

08. (Cespe/UnB) O total de possibilidades distintas para as três

primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15.

09. (Cespe/UnB) Se a equipe A for desclassificada, então o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações será 24. Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e Roberto sejam, não necessariamente nesta ordem, os cinco primeiros classificados em um concurso, julgue os itens seguintes.

10. (Cespe/UnB) Existem 120 possibilidades distintas para essa classificação.

11. (Cespe/UnB) Com André em primeiro lugar, existem 20 possibilidades distintas para a classificação.

12. (Cespe/UnB) Com Bruna, Leila e Roberto classificados em

posições consecutivas, existem 36 possibilidades distintas para classificação.

13. (Cespe/UnB) O número de possibilidades distintas para a classificação com um homem em último lugar é 144.

Probabilidade

1. Espaço Amostral e Evento Chamamos de espaço amostral (E) de um experimento aleatório o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer.

Chamamos de evento (A) qualquer subconjunto de um espaço amostral.

2. Probabilidade de um Evento

Chama-se probabilidade do evento A o número P(A) tal que:

n A n deresultados favoráveisP A

n E n deresultados possíveis ,

Onde:

n E : número de elementos de E;

n A : número de elementos de A;

0 1P A ;

Quando A E (evento certo), então 1P A ;

Quando A (evento impossível), então 0P A .

Exemplos.

01. Uma urna contém dez bolinhas, sendo quatro delas azuis e seis vermelhas. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual

a probabilidade que ela seja vermelha? 02. Uma urna contém dez bolinhas, numeradas de 1 a 10. Ao retirar

aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela tenha um número par?

03. Ao arremessar um dado não viciado, qual a probabilidade de sair

um número maior que 6? 3. Probabilidade Complementar

Seja E um espaço amostral finito e não-vazio e A um evento de E. Chamamos complementar de A em relação a E o evento

A .

e 1P A P A .

Exemplo.

Uma urna contém apenas bolas vermelhas, azuis, brancas e pretas. Retira­se ao acaso uma bola da urna. A probabilidade de sair uma

bola vermelha é 5/17. Qual é a probabilidade de sair uma bola que não seja vermelha?

4. Adição de Probabilidades Seja E um espaço amostral finito e não-vazio, e A e B dois

eventos de E. Como n A B n A n B n A B , então:

A B P A B P A P B P A B ;

A B P A B P A P B , dizemos que

A e B são mutuamente exclusivos.

Exemplos.

01. Uma urna contém exatamente vinte bolas, numeradas de 1 a 20. Retira-se, ao acaso, uma bola da urna. Qual é a probabilidade de se obter uma bola com um número múltiplo de 2 ou de 3?

Professor Everton Cangussú

02. Uma urna contém cinco bolas vermelhas, três bolas azuis e quatro bolas brancas. Retira-se, ao acaso, uma bola da urna. Qual é

a probabilidade de sair uma bola vermelha ou uma bola azul?

5. Probabilidade Condicional e Multiplicação de Probabilidades Seja E um espaço amostral finito e não-vazio e A um evento não-vazio de E. A probabilidade condicional de B em relação

a A, é dada por:

.

P B AP B A

P A

Quando os eventos A e B são independentes, temos:

P A B P A P B .

Exemplos. 01. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um “ás vermelho” sabendo que ela é de “copas”?

02. Qual a probabilidade de se obter cara ao se jogar duas vezes uma moeda, isto é, cara na primeira e cara na segunda jogada?

Exercícios.

01. (Enem-2001) Um município de 628 km² é atendido por duas

emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município, conforme mostra a figura:

Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das

emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente, (A) 20%. (B) 25%. (C) 30%. (D) 35%. (E) 40%.

02. (Enem-2007) A queima de cana aumenta a concentração de dióxido de carbono e de material particulado na atmosfera, causa

alteração do clima e contribui para o aumento de doenças respiratórias. A tabela abaixo apresenta números relativos a

pacientes internados em um hospital no período da queima da cana.

Escolhendo-se aleatoriamente um paciente internado nesse hospital

por problemas respiratórios causados pelas queimadas, a probabilidade de que ele seja uma criança é igual a

A) 0,26, o que sugere a necessidade de implementação de medidas que reforcem a atenção ao idoso internado com problemas respiratórios.

B) 0,50, o que comprova ser de grau médio a gravidade dos problemas respiratórios que atingem a população nas regiões das

queimadas. C) 0,63, o que mostra que nenhum aspecto relativo à saúde infantil

pode ser negligenciado. D) 0,67, o que indica a necessidade de campanhas de conscientização que objetivem a eliminação das queimadas.

E) 0,75, o que sugere a necessidade de que, em áreas atingidas pelos efeitos das queimadas, o atendimento hospitalar no setor de

pediatria seja reforçado. 03. Uma loja de material de construção possui 2 caixas de conexões.

Na primeira, das 30 conexões 11 são defeituosas. Na segunda caixa, de 12 conexões, 4 apresentam defeitos. Uma conexão é retirada

aleatoriamente de cada caixa. Calcule a probabilidade de: a) Apenas uma ser defeituosa

b) Ambas serem defeituosas

c) Ambas não serem defeituosas

04. O risco de uma pessoa sofrer um acidente em uma atividade durante a sua vida profissional é de 1/50. Se três pessoas

trabalharem nessa atividade, determine: a) a probabilidade das três pessoas se acidentarem

b) a probabilidade de nenhuma pessoa sofrer um acidente c) a probabilidade de pelo menos uma pessoa se acidentar

05. Um aluno chega atrasado em 40% das aulas e esquece o material didático em 18% das aulas. Supondo eventos independentes, calcule

a probabilidade de: a) O aluno chegar na hora e com material b) Não chegar na hora e ainda sem material

06. Um pesquisador estudou o comportamento de consumo de

bebidas lácteas no Brasil. Analisou a classe econômica do consumidor e o principal aspecto determinante da escolha a marca.

Os dados obtidos estão tabulados na tabela a seguir:

Qual a probabilidade de um consumidor escolhido o acaso: a) Priorizar o preço, dado que é da classe alta.

b) Priorizar a qualidade, dado que é da classe media. c) Ser da classe baixa, dado que atribui maior importância ao fator

qualidade. Uma pesquisa, realizada com 900 pessoas que contraíram empréstimos bancários e tornaram-se inadimplentes, mostrou a seguinte divisão dessas pessoas, de acordo com a faixa etária.

A partir da tabela acima e considerando a escolha, ao acaso, de uma pessoa entre as 900 que participaram da referida pesquisa, julgue os itens subseqüentes. 07. (Cespe/UnB) A probabilidade de essa pessoa não ter menos de 41 anos de idade é inferior a 0,52.

08. (Cespe/UnB) A probabilidade de essa pessoa ter de 41 a 50 anos

de idade, sabendo-se que ela tem pelo menos 31 anos, é superior a 0,5.

09. (Cespe/UnB)A probabilidade de a pessoa escolhida ter de 31 a 40 anos de idade é inferior a 0,3.

10. (Cespe/UnB) A chance de a pessoa escolhida ter até 30 anos de

idade ou mais de 50 anos de idade é superior a 30%.

11. (ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser

escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a

probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a: a) 4/5 b) 10/25 c) 12/25 d) 3/5 e) 4/5

12. (MPU/2004) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no

mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por

João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a

sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a?

“A persistência é o caminho do êxito.”

(Charles Chaplin)