MATEMTICA PROF.: FERNANDO ANLISE COMBINATRIA

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Princpio Multiplicativo ou Princpio Fundamental da

Contagem (PFC)

Se uma deciso d1 pode ser tomada de x maneiras

e se, uma vez tomada a deciso d1, a deciso d2 puder ser

tomada de y maneiras ento o nmero de maneiras de se

tomarem as decises d1 e d2 xy.

Estrartgias Importantes.

1) Pequenas dificuldades adiadas costumam transforma-se

em grandes dificuldades. Se alguma deciso mais

complicada que as demais, ela deve ser tomada em primeiro

lugar.

2) No adiar dificuldades: Pequenas dificuldades adiadas

costumam se transformar em imensas dificuldades. Se uma

das decises a serem tomadas for mais restrita que as

demais, essa a deciso que deve ser tomada em primeiro

lugar.

Exerccios de Fixao

Ex1.: Um vago de trem possui seis portas. De quantas

maneiras distintas um passageiro pode entrar e sair dele

por uma porta diferente da que usou para entrar?

Ex2.: Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5:

a) Quantos nmeros de trs algarismos podemos formar?

b) Quantos nmeros de trs algarismos distintos podemos

formar?

c) Quantos nmeros mpares de quatro algarismos distintos

podemos formar?

Ex3.: Quantos nmeros mpares de quatro algarismos

distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4,

5?

Ex4.: Quantos nmeros de trs algarismos podem ser

formados, utilizando os algarismos do sistema decimal, de

modo que:

a) sejam mpares e de algarismos algarismos distintos?

b) no tenham o algarismos igual a 7?

c) tenha pelo menos um algarismo igual a 7?

Ex5.: (UFAL) Quantos nmeros pares de quatro algarismos

distintos podem ser formados com os elementos do

conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4}?

a) 60 b) 48 c) 36 d) 12 e) 18

Ex6.: (CONSULPLAN) Considerando os elementos do

conjunto A = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}, quantos nmeros inteiros

de cinco algarismos distintos maiores que 64.000 podem ser

formados?

A) 1.260 B) 2.610 C) 1.620 D) 1.602 E) 2.160

Ex7.: As placas de automveis eram todas formadas por 2

letras (inclusive K, Y e W) seguidas por 4 algarismos. Hoje

em dia, as placas dos carros esto sendo todas trocadas e

passaram a ter 3 letras seguidas e 4 algarismos. Quantas

placas de cada tipo podemos formar?

Ex8.: (IFRN-2005) Um turista, em frias no Brasil, deseja

fazer uma viagem da cidade A at a cidade C, passando pela

cidade B. Para ir da cidade A cidade B, existem quatro

rodovias e duas ferrovias. Para ir da cidade B at a cidade

C, existem duas rodovias e trs ferrovias. O nmero de

opes diferentes que o turista tem para fazer essa

viagem, utilizando obrigatoriamente rodovia e ferrovia em

qualquer ordem :

(A) 36 (B) 16 (C) 14 (D) 48

Ex9.: (UFPE-2006) Na figura a seguir temos um esboo de

parte do centro da cidade do Recife com suas pontes. As

setas indicam o sentido do fluxo de trfego de veculos. De

quantas maneiras, utilizando apenas o esboo, poder uma

pessoa ir de carro do ponto A ao ponto B (marco zero) e

retornar ao ponto de partida passando exatamente por trs

pontes distintas?

a) 8 b) 13 c) 17 d) 18 e) 20

Ex10.: Uma sala tem 6 lmpadas com interruptores

independentes. De quantos modos pode-se ilumin-la, se

pelo menos uma das lmpadas deve ficar acesa?

a) 12 b) 6 c) 63 d) 64

Ex11.: (FGV - SP) Um restaurante oferece no cardpio 2

saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades

de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja

uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma

sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poder fazer seu

pedido ?

a) 90 b) 100 c) 110 d) 130 e) 120

Ex12.: (PUC-PR) Durante um exerccio da Marinha de

Guerra, empregaram-se sinais luminosos para transmitir o

cdigo Morse. Este cdigo s emprega duas letras (sinais):

ponto e trao. As palavras transmitidas tinham de uma a

seis letras. O nmero de palavras que podiam ser

transmitidas :

a) 30 b) 15 c) 720 d) 126 e) 64

Ex13.: (EsPCEx 2006) Um tabuleiro possui 16 casas

dispostas em 4 linhas e 4 colunas. De quantas maneiras

diferentes possvel colocar 4 peas iguais nesse tabuleiro

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de modo que, em cada linha e em cada coluna, seja colocada

apenas um pea?

a) 4096 b) 576 c) 256 d)64 e) 16

Ex14.: (Uneb-BA) Uma senhora idosa foi retirar dinheiro em

um caixa automtico, mas se esqueceu da senha. Lembrava

que no havia o algarismo 0, que o primeiro algarismo era 8,

o segundo era par, o terceiro era menor que 5 e o quarto e

ltimo era mpar. Qual o maior nmero de tentativas que ela

pode fazer, no intuito de acertar a senha?

a) 13 b) 60 c) 75 d) 60 e) 80

Ex15.: (UNESP) Na conveno de um partido para

lanamento da candidatura de uma chapa ao governo de

certo estado havia 3 possveis candidatos a governador,

sendo dois homens e uma mulher, e 6 possveis candidatos a

vice-governador, sendo quatro homens e duas mulheres.

Ficou estabelecido que a chapa governador/vice-governador

seria formada por duas pessoas de sexos opostos. Sabendo

que os nove candidatos so distintos, o nmero de maneiras

possveis de se formar a chapa

a) 18. b) 12. c) 8. d) 6. e) 4.

Ex16.: (UFRN-2003) Um fenmeno raro em termos de data

ocorreu s 20h02min de 20 de fevereiro de 2002. No caso,

20:02 20/02 2002 forma uma seqncia de algarismos que

permanece inalterada se reescrita de trs para a frente. A

isso denominamos capicua. Desconsiderando as capicuas comeadas por zero, a quantidade de capicuas formadas

com cinco algarismos no necessariamente diferentes

a) 120 b) 720 c) 900 d) 1000

Ex17.: (ENEM) No Nordeste brasileiro, comum

encontrarmos peas de artesanato constitudas por

garrafas preenchidas com areia de diferentes cores,

formando desenhos. Um arteso deseja fazer peas com

areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o

mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa,

palmeira e fundo), conforme a figura.

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a

casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas

cores cinza ou verde. Se o fundo no pode ter a mesma cor

nem da casa nem da palmeira, por uma questo de

contraste, ento o nmero de variaes que podem ser

obtidas para a paisagem

a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.

Ex18.: (UFF) O estudo da gentica estabelece que, com as

bases adenina (A), timina (T), citosina (C) e guanina (G),

podem-se formar, apenas, quatro tipos de pares: A-T, T-A,

C-G e G-C.

Certo cientista deseja sintetizar um fragmento de DNA

com dez desses pares, de modo que:

- dois pares consecutivos no sejam iguais;

- um par A-T no seja seguido por um par T-A e vice-versa;

- um par C-G no seja seguido por um par G-C e vice-versa.

Sabe-se que dois fragmentos de DNA so idnticos se

constitudos por pares iguais dispostos na mesma ordem.

Logo, o nmero de maneiras distintas que o cientista pode

formar esse fragmento de DNA :

a) 211 b) 220 c) 2 10 d) 210 e) 22 10

Ex19.: Existem 4 estradas que unem as cidades A e B e 5

estradas que unem as cidades B e C. H tambm 2 estradas

que unem A a C, no passando por B. Usando estas estradas,

o nmero de viagens possveis, partindo de A, passando por

C e voltando para A :

a) 22 b) 44 c) 484 d) N.D. A

Ex20.: (UFPE) O mapa abaixo representa a diviso do Brasil

em suas regies. O mapa deve ser colorido de maneira que

regies com uma fronteira em comum sejam coloridas com

cores distintas. Determine o nmero (n) de maneiras de se

colorir o mapa, usando-se 5 cores. Indique n/10.

Ex21.: (UERJ) Uma bicicleta de marchas tem trs

engrenagens na coroa, que giram com o pedal, e seis

engrenagens no pinho, que giram com a roda traseira.

Observe a bicicleta a seguir e as tabelas que apresentam os

nmeros de dentes de cada engrenagem, todos de igual

tamanho.

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Cada marcha uma ligao, feita pela corrente, entre uma

engrenagem da coroa e uma do pinho.

Um dente da 1 engrenagem da coroa quebrou. Para que a

corrente no se desprenda com a bicicleta em movimento,

admita que a engrenagem danificada s deva ser ligada 1

ou 2 engrenagem do pinho.

Nesse caso, o nmero mximo de marchas distintas, que

podem ser utilizadas para movimentar a bicicleta, de:

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16

Ex22.: (IME) Seja um barco com 8 lugares, numerados como

no diagrama dado. H 8 remadores possveis para guarnec-

lo com as seguintes restries: os remadores A e B s

podem ocupar posies mpares e o remador C, posio par.

Os remadores D, E, F, G e H podem ocupar quaisquer

posies. Quantas configuraes podem ser obtidas com o

barco totalmente guarnecido

TESTES

1) (UFRN) A figura a seguir representa um mapa das

estradas que interligam as comunidades A, B, C, D, E e F

Assinale a opo que indica quantos percursos diferentes

existem para se chegar comunidade D (partindo-se de A),

sem que se passe mais de uma vez numa mesma comunidade,

em cada percurso.

a) 72

b) 12

c) 18

d) 36

2) (UFPE) Uma prova de matemtica constituda de 16

questes do tipo mltipla escolha, tendo cada questo 5

alternativas distintas. Se todas as 16 questes forem

respondidas ao acaso, o nmero de maneiras distintas de se

preencher o carto de respostas ser:

a) 80 b) 16 c) 532 d) 1610 e) 516

3) (UFSCAR) Considere a figura a seguir. O nmero de

caminhos mais curtos, ao longo das arestas dos cubos,

ligando os pontos A e B, .

a) 2. b) 4. c) 12. d) 18. e) 36.

4) (UCSal-BA) Um cdigo pra leitura tica constitudo

por 6 barras, branca ou pretas. Nenhum cdigo tem barras

de uma s cor. Veja dois exemplos desses cdigos:

Quantos desses cdigos, distintos entre si, podem ser

formados?

a) 128 b) 64 c) 32 d) 62 e) 12

5) (FUVEST) Quantos so os nmeros inteiros positivos de

5 algarismos que no tm algarismos adjacentes iguais?

(A) 59 (B) 9 84 (C) 8 94 (D) 85 (E) 95

6) (OBM) Voc sabe que existem 9 nmeros de um

algarismo, 90 nmeros de dois algarismos, 900 nmeros

de trs algarismos, etc. Considere agora cada nmero cujo

ltimo algarismo direita representa o nmero de

algarismos desse nmero. Por exemplo, o nmero 9 074

um deles, pois 4 o nmero de seus algarismos. Quantos

nmeros desse tipo existem ?

A) 99 999 999 C) 100 000 000 E) 1 000 000 000

B) 99 999 992 D) 10 000 000

7) (UNICAMP-SP) Numa Kombi viajam 9 pessoas, das quais

4 podem dirigir. De quantas maneiras diferentes possvel

acomod-las (3 banco da frente, 3 no banco do meio e 3 no

banco detrs) de forma que uma das 4 que dirigem ocupe o

lugar da direo?

8) (ENEM) A escrita Braile para cegos um sistema de

smbolos no qual cada carter um conjunto de 6 pontos

dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se

destaca em relao aos demais. Por exemplo, a letra A

representada por

O nmero total de caracteres que podem ser representados

no sistema Braile

A) 12 B) 31 C) 36 D) 63 E) 720

9) (BANCO DO BRASIL-2011-FCC) Suponha que, para sacar

certa quantia de sua conta em um caixa eletrnico, um

correntista do Banco do Brasil deve lembrar-se de uma

senha numrica de seis dgitos e de um cdigo de trs

letras. Florncio, cliente do Banco do Brasil, pretendia usar

o caixa eletrnico para fazer um saque, entretanto,

lembrava-se apenas de algumas caractersticas de sua

senha numrica e do respectivo cdigo de letras:

os trs primeiros dgitos eram 455 e os trs ltimos

correspondiam a um nmero mpar de trs algarismos

distintos entre si;

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o cdigo de letras era composto das letras H, J e K, no

necessariamente nessa ordem.

O total de senhas que tm essas caractersticas :

(A) menor que 1 000. (D) divisvel por 7.

(B) mpar. (E) maior que 2 000.

(C) quadrado perfeito.

10) (IME-2005) O sistema de segurana de uma casa utiliza

um teclado numrico, conforme ilustrado na figura.

Um ladro observa de longe e percebe que:

a senha utilizada possui 4 dgitos;

o primeiro e o ltimo dgitos encontram-se numa mesma

linha;

o segundo e o terceiro dgitos encontram-se na linha

imediatamente superior.

Calcule o nmero de senhas que devero ser

experimentadas pelo ladro para que com certeza

ele consiga entrar na casa.

Teclado numrico

11) (UFMG) Em uma lanchonete, os sorvetes so divididos

em trs grupos: o vermelho, com 5 sabores; o amarelo, com

3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma

casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha no pode

conter 2 bolas de um mesmo grupo.

O nmero de maneiras distintas de se pedir uma casquinha

a) 71 b) 86 c) 131 d) 61

12) A mala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo uma

senha com 5 algarismos, cada um dos quais podendo variar

de 0 a 9. Ele esqueceu a senha que escolhera como segredo,

mas sabe que atende s condies:

Se o primeiro algarismo for mpar, ento o ltimo algarismo

tambm ser mpar;

Se o primeiro algarismo par, ento o ltimo algarismo

igual ao primeiro;

A soma dos segundo e terceiro algarismos 5.

Nessas condies, quantas so as possveis senhas da mala

Dr. Z?

13) (UFRN) Quantos nmeros de telefones com prefixo 231

existem em Natal, com todos os dgitos distintos e o ltimo

digito igual ao dobro do penltimo? (Lembrete: considere

que os telefones em Natal tm nmeros com 7 dgitos).

14) (UFMG) Numa cidade A, os nmeros de telefones tm

sete algarismos, sendo que trs primeiros constituem o

prefixo da cidade. Os telefones que terminam em 10 so

reservados para as farmcias, e os que tm os dois ltimos

algarismos iguais, para mdicos e hospitais.

A quantidade dos demais nmeros de telefones

disponveis na cidade A :

a) 1650 b) 2100 c) 4800 d) 8900 e) 9000

15) (PUC-SP) Um debate poltico ser realizado por uma

rede de televiso com 5 candidatos prefeitura de uma

cidade. O debate ser formado por duas partes:

1 Parte: O jornalista que coordenar o debate escolher,

de todas as formas possveis, dois candidatos: ao primeiro,

o jornalista formular uma pergunta e, ao segundo, ele

pedir que comente a resposta do primeiro.

2 Parte: Cada candidato escolher, tambm, de todas as

formas possveis, dois outros candidatos: ao primeiro, o

candidato formular uma pergunta e, ao segundo, ele pedir

que comente a resposta do primeiro.

Qual o nmero mnimo de perguntas que devem ser

elaboradas pelo jornalista e pelos candidatos, admitindo que

um mesma pergunta no seja formulada mais que uma vez?

a) 36 b) 72 c) 80 d) 20 e) 64

16) (UFRN-2002) De acordo com o Conselho Nacional de

Trnsito CONTRAN, os veculos licenciados no Brasil so

identificados externamente por meio de placas cujos

caracteres so trs letras do alfabeto e quatro algarismos.

Nas placas abaixo, as letras esto em seqncia e os

algarismos tambm.

O nmero de placas que podemos formar com as letras e os

algarismos distribudos em seqncia, como nos exemplos, :

A) 192 B) 168 C) 184 D) 208

17) (UFF-2011) Muitos consideram a Internet como um novo

continente que transpassa fronteiras geogrficas e conecta

computadores dos diversos pases do globo. Atualmente,

para que as informaes migrem de um computador para

outro, um sistema de endereamento denominado IPv4

(Internet Protocol Version 4) usado. Nesse sistema, cada

endereo constitudo por quatro campos, separados por

pontos. Cada campo, por sua vez, um nmero inteiro no

intervalo [0, 28 - 1]. Por exemplo, o endereo IPv4 do

servidor WEB da UFF 200.20.0.21. Um novo sistema est

sendo proposto: o IPv6. Nessa nova verso, cada endereo

constitudo por oito campos e cada campo um nmero

inteiro no intervalo [0, 216 - 1].

Com base nessas informaes, correto afirmar que

(A) o nmero de endereos diferentes no sistema IPv6 o

qudruplo do nmero de endereos diferentes do sistema

IPv4.

(B) existem exatamente 4.(28 - 1) endereos diferentes no

sistema IPv4.

(C) existem exatamente 232 endereos

diferentes no sistema IPv4.

(D) o nmero de endereos diferentes no

sistema IPv6 o dobro do nmero de

endereos diferentes do sistema IPv4.

(E) existem exatamente (28 - 1)4 endereos diferentes no

sistema IPv4.