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Atividades Comentadas de Análise Combinatória

1

Sumário

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM ................................. 2

PERMUTAÇÃO SIMPLES ................................................................. 5

PERMUTAÇÃO CIRCULAR .............................................................. 8

ARRANJO SIMPLES ......................................................................... 9

COMBINAÇÃO SIMPLES ............................................................... 10

COMBINAÇÃO COMPLETA ........................................................... 14

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................ 17

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PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM QUESTÃO 01 Três ingleses, 4 americanos e 5 franceses serão dispostos em fila de modo que pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada de modo que o primeiro da fila seja um francês de nome Alain que é o mais novo do grupo? a) 7.644 c) 5.324 e) 3.456 b) 6.912 d) 4.732 SOLUÇÃO Alain 4 franceses 4 americanos 3 ingleses. entre os franceses = 4! entre americanos e ingleses. 4!*3!*2!=24*6*2 = 288 288*4! = 6912 QUESTÃO 02 (GAMA FILHO-RJ) Quantos são os inteiros positivos, menores que 1 000 que tem seus dígitos pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}? a) 15 c) 28 e) 42 b) 23 d) 39 SOLUÇÃO Cada um dos dígitos do número ou é 1, ou 2, ou 3, independentemente dos valores dos demais dígitos. Como se trata de números menores do que 1000, podemos dividir a Contagem em três partes: 1 - Números com um dígito (de 1 a 9): São três: 1, 2, 3; 2 - Números com dois dígitos (de 10 a 99): São nove, pois o primeiro dígito pode ser ocupado de três diferentes formas (ou 1, ou 2, ou 3) e o segundo idem, logo, pelo princípio da contagem, o total é 3*3 = 9; 3 - Número com três dígitos (de 100 a 999): São vinte e sete, pois o primeiro dígito pode ser ocupado de três diferentes formas, o segundo e o terceiro idem, logo, pelo princípio da contagem, o total é 3*3*3 = 27. Portanto, o total de inteiros positivos, menores do que 1000, que tem seus dígitos pertencentes ao conjunto {1, 2, 3} são 39 = 3 + 9 + 27. QUESTÃO 03 Cinco rapazes e as respectivas namoradas foram jantar num restaurante. De quantas maneiras diferentes se podem dispor os dez jovens numa mesa retangular, com 5 lugares de cada lado, de tal modo que os 2 membros de cada par de namorados fiquem frente a frente! a) 4360 c) 252 b) 3840 d) 960 SOLUÇÃO Inicialmente temos que: A faz par com B, C com D, E com F, G com H e I com J. Perceba que temos 10 pessoas para colocar em qualquer um dos 10 lugares disponíveis. Logo em seguida de escolher 1 das 10, temos como obrigação colocar o seu par de frente a ela. Restando 10 – 2 = 8 pessoas para os demais lugares. Das 8 podemos distribuí-las em qualquer um dos lugares disponíveis e quando escolhido o lugar também temos a obrigação de colocar seu par em frente a ela. Restando 8 – 2 = 6 Utilizaremos esse mesmo raciocínio até cessarem os lugares disponíveis ao redor da mesa. Pelo principio da contagem temos: 10*8*6*4*2 = 3840

QUESTÃO 04 Sabendo que um quarto tem 5 portas, determine o número de maneiras distintas de se entrar nele e sair dele por uma porta diferente. a) 18 c) 20 e) 22 b) 19 d) 21 SOLUÇÃO 5*4 = 20 maneiras distintas. QUESTÃO 05 (CEFET – PR) O número de anagramas da palavra NÚMERO, em que nem vogal, nem consoantes fiquem juntas é: a) 12 c) 48 e) 72 b) 36 d) 60 SOLUÇÃO N_M_R_ � Vogais podem permutar 3! e Consoantes podem permutar 3! (t1 = 3!*3! = 36) _N_M_R � Vogais podem permutar 3! e Consoantes podem permutar 3! (t2 = 3!*3! = 36) T = total T= t1 + t2 � T = 72 QUESTÃO 06 De quantas maneiras distintas podem ficar sentados três rapazes e quatro moças num banco de sete lugares, sabendo que se sentam alternadamente por sexo, ou seja, cada rapaz fica sentado entre duas moças? a) 121 c) 144 b) 133 d) 156 SOLUÇÃO Temos que começar com uma mulher porque se começar com um homem ficam duas juntas no fim. Então: m h m h m h m 4*3*3*2*2*1*1 = 144 QUESTÃO 07 (UNEB – 09) A quantidade de maneiras distintas que 4 moças e 4 rapazes podem se sentar em uma fila de 8 assentos, de modo que nunca haja nem dois rapazes vizinhos e nem duas moças sentadas uma ao lado da outra, é igual a: a) 2304 c) 576 e) 256 b) 1152 d) 380 SOLUÇÃO De acordo com o problema apresentado, a primeira pessoa da fila pode ser um rapaz (M-F-M-F-M-F-M-F) ou uma moça (F-M-F-M-F-M-F-M). Então teremos: 2*4!*4! = 1152 QUESTÃO 08 Para proteger um arquivo que continha um documento confidencial, Alberto criou uma senha com uma seqüência de 4 algarismos distintos, na qual o último algarismo é o dobro do primeiro. Para abrir o arquivo, o número máximo de tentativas diferentes é igual a: a) 90 c) 168 e) 280 b) 112 d) 224 SOLUÇÃO Para satisfazer a condição na qual o último algarismo é o dobro do primeiro, teríamos: 1 __ __ 2 {Como são algarismo distintos, é uma questão de arranjo}. 2 __ __ 4 {Temos para o 1° algarismo 8 números, e para o 2° 7 números}. 3 __ __ 6 {Como temos 4 condições pré-estabelecidas, fica: 8*7*4}. 4 __ __ 8 {Portanto, 8*7*4 = 224 tentativas}

3

QUESTÃO 09 (UNEB) A quantidade de número múltiplos de 4, com 4 algarismos distintos, que se pode formar com os elementos do conjunto A = {1, 2, 3 4, 6} é igual a: a) 12 c) 24 e) 36 b) 18 d) 26 SOLUÇÃO Para que o número seja divisível por 4 seus dois últimos dígitos devem ser múltiplos de 4. Então os números devem ser terminados em: __ __ 12 {Temos para o 1° algarismo 3 números, e para o 2° 2 números}. __ __ 16 {Temos para o 1° algarismo 3 números, e para o 2° 2 números}. __ __ 24 {Temos para o 1° algarismo 3 números, e para o 2° 2 números}. __ __ 32 {Temos para o 1° algarismo 3 números, e para o 2° 2 números}. __ __ 36 {Temos para o 1° algarismo 3 números, e para o 2° 2 números}. __ __ 64 {Temos para o 1° algarismo 3 números, e para o 2° 2 números}. Assim temos, 6*6 = 36 múltiplos de 4. QUESTÃO 10 Quantas combinações de respostas corretas temos numa prova de 60 questões com 5 opções cada questão? SOLUÇÃO Cada questão tem uma resposta correta. Temos, por questão, um total de C5,1 = 5 combinações. Usando o princípio fundamental da contagem, temos então, em 60 questões, um total de C5,1*60 = 300 combinações. QUESTÃO 11 De quantas maneiras podemos classificar os 4 empregados de uma micro-empresa nas categorias A ou B, se um mesmo empregado pode pertencer às duas categorias? SOLUÇÃO Vamos nomear os empregados: C, D, E e F. O empregado C pode pertencer à categoria A, B ou às duas. Logo, ele tem três possibilidades. Se o empregado C tem essas três possibilidades, os outros empregados também tem, não é? Utilizando o PFC temos: 3*3*3*3 = 81 QUESTÃO 12 (UFPR) Um grupo de 8 pessoas vai entrar em um veículo no qual existem 3 lugares voltados para trás e 5 lugares voltados para frente. No grupo, há 2 pessoas que preferem bancos voltados para trás, 3 pessoas que preferem bancos voltados para frente e as demais não têm preferência. O número de possibilidades para a ocupação dos lugares pelas 8 pessoas, de modo que se respeitem as preferência é? SOLUÇÃO Pessoas Trás: T1 e T2 Pessoas Frente: F1, F2, F3 Outras: X1, X2, X3 As partições possíveis no conjunto dos X são 3: {{(X1);(X2; X3)}; {(X2); (X1;X3)}; {(X3); (X1;X2)}} Supondo os arranjos com X1 trás, X2 e X3 frente: T: T1 T2 X1: A3,3 = P3 = 3*2*1 F: F1 F2 F3 X2 X3 = A5,5 = P5 = 5*4*3*2*1 Teríamos: T x F = (3*2*1)*(5*4*3*2*1) Para as 3 partições: 3*(3*2*1)*(5*4*3*2*1) = 6*6*6*10 = 2 160.

QUESTÃO 13 (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos e 2 crianças vai viajar num automóvel de 5 lugares, sendo 2 na frente e 3 atrás. Sabendo-se que só 2 pessoas podem dirigir e que as crianças devem ir atrás e na janela ,o número total de maneiras diferentes através das quais estas 5 pessoas podem ser posicionadas, não permitindo crianças irem no colo de ninguém, é igual a: a) 120 c) 48 e) 8 b) 96 d) 24 SOLUÇÃO Pensei assim: _ _ | Ja_ Jb, onde as crianças podem ficar (Ja: janela a ou Jb: janela b). Como tem 2 crianças, 2 possibilidades para Ja e 1 para Jb. _ _ | 2 _ 1 Restam 3 adultos. Seja x,y,z os adultos. Se só x e y que podem dirigir, tem 2 possibilidades para ocupar o lugar de motorista. 2 _ | 2_1 sobraram 2 adultos, 2 possibilidades para ocupar o lugar da frente, e sobra 1 para ficar entre as crianças. Assim: 2*2*2*1*1 = 8 QUESTÃO 14 Três moças e os respectivos namorados posam para uma fotografia. De quantas maneiras se podem dispor, lado a lado, de modo que cada par de namorados fique junto na fotografia? a) 12 c) 36 b) 24 d) 48 SOLUÇÃO Considere cada casal como um bloco: _ _ _ Assim temos 3*2*1 maneiras de dispor lado a lado. Agora a permutação entre eles (namorado e namorada): 2!*2!*2! R. 3!*(2!)³ = 48. QUESTÃO 15 Com os algarismos de 1 a 9, quantas centenas de pares pode-se formar, sem que haja repetição de algarismos? SOLUÇÃO Para termos números pares de três algarismos temos necessariamente o dígito para na casa das unidades. Assim: O algarismo da unidades pode ser 2, 4, 6, 8 � 4 possibilidades; O algarismo das centenas ≠ do das unidades � 8 possibilidades; O algarismo das dezenas ≠ do das unidades e das centenas � 7 possibilidades. Utilizando o PFC temos: 8*7*4 = 224 QUESTÃO 16 (PROFMAT – 2011.2) Uma equipe esportiva composta por 6 jogadoras está disputando uma partida de 2 tempos. No intervalo do primeiro para o segundo tempo podem ser feitas até 3 substituições e, para isto, o técnico dispõe de 4 jogadoras no banco. Quantas formações distintas podem iniciar o segundo tempo? SOLUÇÃO Nenhuma substituição: 1 formação. 1 substituição: Há 4 maneiras de escolher a substituta e 6 maneiras de escolher quem será substituída dando 4*6 = 24 formações diferentes. 2 substituições: Há 6 maneiras de escolher as substitutas e 15 maneiras de escolher as que serão substituídas, dando 6*15 = 90 formações diferentes. 3 substituições: Há 4 maneiras de escolher as substitutas e 20 maneiras de escolher as que serão substituídas, dando 4*20 = 80 formações diferentes. Total: 1 + 24 + 90 + 80 = 195 formações diferentes.

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QUESTÃO 17 (PROFMAT – 2012.1) De quantas maneiras é possível escolher três números inteiros distintos, de 1 a 20, de forma que a soma seja par? a) 1620 c) 570 e) 120 b) 810 d) 720 SOLUÇÃO Para que a soma seja par, ou (a) os 3 números são pares ou (b) um deles é par e os outros dois são ímpares. Há 10 números pares e 10 números ímpares entre os inteiros de 1 a 20. Os casos (a) seriam, portanto, 10*9*8 = 720, se importasse a ordem, mas como a ordem não importa dividimos por 3! = 6, o que dá 120. Os casos (b): temos 10 escolhas para o número par; depois 10*9 escolhas para os dois números ímpares, mas devemos dividir por 2 porque a ordem não importa, perfazendo 45; então são 10*45 = 450 possibilidades. Somando os dois casos, são 120 + 450 = 570. QUESTÃO 18 Quantos múltiplos de 5 existem com 4 algarismos diferentes? a) 448 c) 546 e) 1008 b) 504 d) 952 SOLUÇÃO Se é múltiplo de 5 então termina ou com o algarismo zero ou com o algarismo 5. Vamos contá-los separadamente. Se termina com zero, significa que só há os algarismos de 1 a 9 disponíveis para as três primeiras posições. Isso dá 9*8*7 = 504 possibilidades. Se termina com 5, então a primeira posição não pode nem ser 5, nem ser zero, o que dá 8 possibilidades. Escolhido esse algarismo, a segunda posição tem à disposição os algarismos de 0 a 9, exceto o 5 e aquele escolhido na primeira posição, ou seja, tem 8 possibilidades. Para a terceira posição, restam 7 possibilidades. Então são 8*8*7 = 448 possibilidades. Somando as duas, são 448 + 504 = 952 possibilidades. QUESTÃO 19 No nosso sistema decimal, quantos números inteiros positivos de 4 algarismos distintos podemos formar e que sejam múltiplos de 5? SOLUÇÃO Para ser múltiplo de 5, deve terminar com 0 ou 5. Por isso vamos dividir o processo em 2 etapa: 1ª etapa (Utilizando o número 5 no algarismos das unidades): Temos 8 possibilidades para a unidade de milhar, 8 para a centena, 7 para a dezena e 1 possibilidade para a unidade que é o 5 � 8*8*7*1 = 448 2ª etapa (Utilizando o número zero no algarismo das unidades): Temos 9 possibilidades para a unidade de milhar, 8 para a centena, 7 para a dezena e 1 possibilidade para a unidade que é o zero � 9*8*7*1 = 504 Logo, 448+504 = 952 números QUESTÃO 20 Calcular a soma de todos os números de 5 algarismos distintos formados com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6. SOLUÇÃO Você pode formar P = 5! = 120 números distintos como os 5 algarismos dados. Os números têm essa forma : abcde. Repare que um número qualquer de 5 dígitos da forma abcde onde a, b, c, d e e são números naturais, pode ser escrito como: abcde = 10000*a + 1000*b + 100*c + 10*d + e. Cada número aparece 120/5 = 24 em cada posição, então: 24*(2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 24*20 = 480 Portanto: � nas unidades aparece: 480 vezes; � nas dezenas aparece: 10*480 = 4.800 vezes; � nas centenas aparece: 100*480 = 48.000 vezes; � nas unidades de milhar aparece: 1000*480 = 480.000 vezes; � nas dezenas de milhar aparece: 10000*480 = 4.800.000.

Somando tudo, temos: 4.800.000

480.000

48.000

4.800

+ 480

5.333.280

QUESTÃO 21 Considere todos os números inteiros positivos escritos com exatamente cinco algarismos ímpares distintos. Qual é o valor da soma desses números? a) 6666600 c) 6660000 e) 6000000 b) 6666000 d) 6600000 SOLUÇÃO Os algarismos ímpares são cinco: 1, 3, 5, 7, 9. O total de números que podem ser escritos com 5 algarismos ímpares distintos é, portanto, 5*4*3*2*1 = 120. Para cada algarismo possível, há 24 deles que terminam com esse algarismo. Então a soma das unidades desses números é igual a:

24*(1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 24*25 = 600 Pela mesma razão, a soma das dezenas tem o mesmo valor, mas sendo dezenas elas somam 600*10 = 6000. As centenas somam 60000, os milhares somam 600000 e as dezenas de milhares somam 6000000. A soma total dá 6666600. QUESTÃO 22 Com os algarismos 1, 2, ..., 9 formam-se números de quatro algarismos distintos. Quantos são maiores que 4326? SOLUÇÃO Total de possibilidades com os 9 números = 9*8*7*6 = 3 024 Começando com 1, 2, 3 -----> 3*8*7*6 = 1 008 Começando com 41 e 42 ----> 2*7*6 ..= ......84 Começando com 431 -------> 6 ............= ........6 Começando com 432 -------> 3 ............= ........3 _________________________________________ Total inferior ou igual a 4326 ..............= 1101 Maiores do que 4326 = 3024 – 1101 = 1923 QUESTÃO 23 (FATEC – SP) Uma pessoa dispõe de 4 discos diferentes de MPB, 4 discos diferentes de rock e 2 diferentes de música clássica. O número de modos distintos como essa pessoa pode organizá-los em uma estantes, de tal forma que discos do mesmo gênero estejam sempre juntos e os de rock sempre na mesma ordem, é: a) 144 c) 48 e) 288 b) 1 152 d) 50 SOLUÇÃO Os 3 gêneros podem se permutar na estante, portanto há 3! = 6 maneiras de arrumá-los na estante. Os CDs de rock só tem uma maneira de arrumar, pois não podem se permutar = 1 maneira. Os 4 CDs de MPB podem se permutar de 4! = 24 maneiras. Os dois CDs de música clássica podem se permutar de 2! maneiras = 2 maneiras. Portanto, as maneiras de arrumar todos eles são: (1*24*2)*6 = 288 maneiras. QUESTÃO 24 Quantos números compreendidos entre 2000 e 7000 podemos escrever com os algarismos ímpares sem os repetir? SOLUÇÃO

5

Devemos trabalhar com o conjunto composto por {1, 3, 5, 7, 9}. Assim: � Unidade de milhar: 3 ou 5 {temos 2 opções}; � Centenas: 1, 3, 5, 7 ou 9 {Mas já foi usado 1, então 4 opções}; � Dezenas: 1, 3, 5, 7 ou 9 {Mas já foi usado 2, então 3 opções}; � Dezenas: 1, 3, 5, 7 ou 9 {Mas já foi usado 3, então 2 opções}. Portanto: 2*4*3*2 = 48 números. QUESTÃO 25 Tomando-se no máximo 3 elementos distintos do conjunto {0,1,2,3,4}, a quantidade de números inteiros não negativos que podem ser formados é: a) 48 c) 69 e) 80. b) 64 d) 72 SOLUÇÃO Como o problema diz no máximo 3 elementos distintos, devemos considerar os mínimos também, assim: � com 3 elementos: 4*4*3 = 48 (4 primeiro porque o zero não pode ser primeiro) � com 2 elementos : 4*4 = 16 (4 primeiro porque o zero não pode ser primeiro) � com 1 elemento: 5 {0,1,2,3,4} (pode iniciar com 0 pois continuará o mesmo números de elementos) Portanto: 48 + 16 + 5 = 69 QUESTÃO 26 Um professor de Matemática quase foi atropelado por um motorista apressado. Um policial foi testemunha do ocorrido, mas estava em uma posição da qual não conseguiu ver a placa do veículo. Após anotar o modelo do veículo, perguntou ao professor se ele havia visto a placa. O professor respondeu: “A placa do carro era formada pelas letras ABC, nessa ordem, e quatro algarismos cujo produto, era, com certeza, 21.” Quantas placas diferentes podem existir com as características indicadas pelo professor? SOLUÇÃO Divisores de 21 menores do que 10 � 1, 3, 7 Possíveis placas: � Começados com 1:1137 – 1173 – 1317 – 1371 – 1713 – 1731 � Começados com 3: 3117 – 3171 – 3711 � Começados com 7: 7113 – 7131 – 7311 Portanto: 12 placas. QUESTÃO 27 Num grupo de sete alunos, dois deles não se toleram e não desejam sair lado a lado em uma fotografia. A foto será deles sentados em fila. De quantos modos eles poderão sentar, respeitando essa incompatibilidade? SOLUÇÃO Dos 7 alunos dois deles, que chamaremos de A e B, não podem ficar juntos. O total de permutações possíveis que podemos tirar essa foto é 7! Agora para facilitar nossos cálculos os colocaremos juntos como sendo um só corpo |AB| e permutaremos essas fotos. |AB| _ _ _ _ _ = 6! {Como |AB| pode permutar entre si o total será 2*P6 = 2*6!} A quantidade de modos possíveis que podemos fazer para tirar essa foto é: T = 7! – 2*6! = 7*6! – 2*6! = 6!*(7 – 2) = 5*6! = 3600 QUESTÃO 28 Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é: a) 518400 c) 720 e) 54 b) 1440 d) 120

SOLUÇÃO � Para o primeiro cadeado temos: 10 para o 1° dígito, 9 para o 2° e 8 para o 3°. Assim, pelo PFC, temos 10*9*8 = 720 possibilidades para o primeiro cadeado. � Para o segundo cadeado vale o mesmo: 720 maneiras diferentes. Então multiplicamos esses resultados: 720*720 = 518400 QUESTÃO 29 Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5? SOLUÇÃO No algarismo das unidades � 1 modo (tem que ser o 5); No algarismo das unidades de milhar � 3 modos (não pode ser 5); No algarismo das centenas � 4 modos; No algarismo das dezenas � 4 modos. Para finalizar basta multiplicar tudo: 1*3*4*4 = 48 QUESTÃO 30 Na mesa de saladas de um restaurante tem alface, pepino, pimentão, cenoura, tomate e beterraba. Há quatro temperos disponíveis. Quantos tipos de saladas diferentes podem ser preparadas com esses ingredientes, de modo que todas as saladas contenham alface e possam ter um ou nenhum tempero? SOLUÇÃO SALADAS: (só alface) � 1 (alface e outra 1 verdura) � C7,2 � C6,1 = 6 (alface e outras 2 verduras) � C7,3 � C6,2 = 15 (alface e outras 3 verduras) � C7,4 � C6,3 = 20 (alface e outras 4 verduras) � C7,5 � C6,4 = 15 (alface e outras 5 verduras) � C7,6 � C6,5 = 6 (alface e outras 6 verduras) � C7,7 � C6,6 = 1 Temos: 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 tipos de saladas sem nenhum tempero. Saladas com temperos: 4*1 + 4*6 + 4*15 + 4*20 + 4*15 + 4*6 + 4*1 = 256 Total de saladas com e sem temperos: 256 + 64 = 320 tipos de saladas. PERMUTAÇÃO SIMPLES

QUESTÃO 01 (UFSC – 93) Quantos números diferentes podemos obter permutando os algarismos do número 336 223? a) 30 c) 50 b) 40 d) 60 SOLUÇÃO Note que temos uma Permutação Simples com termos repetidos.

QUESTÃO 02 Uma urna contém 3 bolas azuis e 2 verdes. De quantas maneiras podemos retirar as 5 bolas, umas por vez e sem reposição? SOLUÇÃO Temos uma permutação com repetição.

2,3

5

5! 5 4 3!10

2! 3! 2 1 3!P

× ×= = =

× × ×

QUESTÃO 03 Pretende-se dispor, numa prateleira de uma estante, seis livros, dois dos quais são de Astronomia. De quantas maneiras diferentes

6

o podemos fazer, de tal forma que os dois primeiros livros, do lado esquerdo, sejam os de Astronomia? a) 24 c) 48 b) 36 e) 60 SOLUÇÃO P2*P4 = 2*1*4*3*2*1 = 48 QUESTÃO 04 (UFSC) Quantos números de cinco algarismos podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3 respeitadas as repetições apresentadas? a) 12 c) 6 e) 18 b) 30 d) 24 SOLUÇÃO Temos uma permutação com termo repetidos.

2,2

5

5! 5 4 3 2!30

2! 2! 2 1 2!P

× × ×= = =

× × ×

QUESTÃO 05 (UEPG-PR) Com uma letra R, uma letra A e um certo número de letras M, podemos formar 20 permutações. O número de letras M é: a) 6 c) 4 e) 8 b) 12 d) 3 DADOS n = 2 + x (total de letras) n1 = x (quantidade de letras repetidas, no nosso caso a letra M).

. SOLUÇÃO Trata-se de uma Permutação com Elementos Repetidos.

2 + 2x + x + x² = 20 x² + 3x - 18 = 0 ∆ = (3)² - 4.1.(-18) ∆ = 81 x' = 3 x'' = - 6 (Não convém, pois estamos trabalhando com fatorial). QUESTÃO 06 De quantas maneiras se podem sentar em uma fila de doze cadeiras, cinco brasileiros, quatro norte-americanos e três alemães, de modo que os de mesma nacionalidade fiquem juntos? SOLUÇÃO Vamos considerar os representantes de cada nacionalidade como sendo um só. Assim teremos a permutação simples de 3 elementos: P3 = 3! = 3*2*1 = 6 Permutando dos 5 brasileiros entre si: P5 = 5! = 5*4*3*2*1 = 120 Permutando os 4 americanos entre si: P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 Permutando os 3 alemães entre si: P3 = 3! = 3*2*1 = 6 Podemos encontrar o número de maneiras que eles podem sentar na fila multiplicando os valores encontrados. Assim temos: N = 6*(5!)*(4!)*(3!) � N = 103680 QUESTÃO 07 Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e Rita, vão ao cinema, sentando-se em lugares consecutivos na mesma fila. O número de

maneiras que os quatro podem ficar dispostos de forma que Pedro e Luísa fiquem sempre juntos e João e Rita fiquem sempre juntos é: a) 2. c) 8. e) 24. b) 4. d) 16. SOLUÇÃO Vamos colocar Pedro e Luísa dentro de um saco 1 (S1) Vamos colocar João e Rita dentro de um saco 2 (S2), dessa forma ambos os casais passam a funcionar como se fossem uma única pessoa. Ficamos, então com 2 sacos {S1, S2}, para permutarem. Temos, então: 2! = 2. MUITA ATENÇÃO AGORA, pois cada casal pode mudar de posição entre si de duas maneiras diferentes dentro de cada saco. Portanto: 2*2!*2! = 8. QUESTÃO 08 (PROFMAT – 2011.1) Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e escrevem-se os números formados em ordem crescente. O número que ocupa a 50ª posição é: a) 25413 c) 31245 e) 31425 b) 25431 d) 31254 SOLUÇÃO Observe que em ordem crescente, a permutação na primeira posição é 12345. Então, fixando o algarismo, pelo princípio fundamental da contagem, há 4! = 4*3*2*1 = 24 possibilidades nas permutações do tipo 1 _ _ _ _ (isto é, as primeiras 24 permutações em ordem crescente tem o algarismo 1 na dezena de milhar). Seguindo o raciocínio, tem-se mais 24 permutações cujo algarismo na dezena de milhar é 2, esgotando assim as primeiras 48 permutações em ordem crescente. Portanto, como a 49ª permutação é 31245 tem-se que a 50ª permutação é 31254. QUESTÃO 09 (PROFMAT – 2012.1) Um engenheiro fará uma passarela de 10 metros de comprimento, ligando a porta da casa ao portão da rua. A passarela terá 1 metro de largura e ele, para revesti-la, dispõe de 10 pedras quadradas de lado 1 metro e 5 pedras retangulares de 1 metro por 2 metros. Todas as pedras são da mesma cor, as pedras de mesmo tamanho são indistinguíveis umas das outras e o rejunte ficará aparente, embora com espessura desprezível. De quantas maneiras ele pode revestir a passarela? SOLUÇÃO Para uma calçada composta com 10 pedra 1 X 1. Temos:

10

10

10!1 modo

10!P = =

Para uma calçada composta por 8 pedras 1 X 1 e 1 pedra 2 X 1 (9 pedra ao todo). Temos:

8

9

9! 9 8!9 modos

8! 8!P

×= = =

Para uma calçada composta por 6 pedras 1 X 1 e 2 pedras 2 X 1 (8 pedras ao todo). Temos:

6,2

8

8! 8 7 6!28 modos

6!2! 6! 2 1P

× ×= = =

× ×

Para uma calçada composta por 4 pedras 1 X 1 e 3 pedras 2 X 1 (7 pedras ao todo). Temos:

4,3

7

7! 7 6 5 4!35 modos

4!3! 4! 3 2 1P

× × ×= = =

× × ×

Para uma calçada composta por 2 pedras 1 X 1 e 4 pedras 2 X 1 (6 pedras ao todo). Temos:

2,4

6

6! 6 5 4!15 modos

2!4! 2 1 4!P

× ×= = =

× ×

Para uma calçada composta por 5 pedras 2 X 1. Temos:

7

5

5

5! 5!1 modo

5! 5!P = = =

Somando tudo temos: 10 8 6,2 4,3 2,4 5

10 9 8 7 6 5 1 9 28 35 15 1 89P P P P P P+ + + + + = + + + + + =

QUESTÃO 10 De quantas maneiras podemos atribuir os nomes de Paulo, Antônio e José a 11 meninos, com a condição de que três deles se chamem Paulo, dois se chamem Antônio e seis se chamem José? SOLUÇÃO Temos uma permutação simples com termos repetidos. Note que são 11 meninos (n° de termos), onde 3 devem se chamar Paulo, 2 Antônio e 6 José. Assim teremos:

3,2,6

11

11! 11 10 9 8 7 6! 554404620

3!2!6! 3 2 1 2 1 6! 12P

× × × × ×= = = =

× × × × ×

QUESTÃO 11 Quantos anagramas tem a palavra PROFESSOR? SOLUÇÃO Trata-se de uma permutação simples com termos repetidos, onde temos 9 elementos (9 letras na palavra) com as seguintes repetições: 2 R’s, 2 O's e 2 S’s. Assim temos:

2,2,2

9

9! 36288045360 anagramas

2!2!2! 8P = = =

QUESTÃO 12 De quantos modos é possível sentar 7 pessoas em cadeiras em fila de modo que duas determinadas pessoas dessas 7 não fiquem juntas? SOLUÇÃO Primeiramente vamos encontrar P7 em fila: P7 = 5040 maneiras. Agora iremos encontrar fazer a permutação da pessoas em fila mas considerando duas pessoas quaisquer da fila como sendo uma só, ou seja elas fiquem juntas (depois multiplicaremos por 2, pois elas podem permutar entre si): 2*P6 = 2*720 = 1440 maneiras. Para finalizar basta subtrair um valor do outro: 5040 – 1440 = 3600 maneiras distintas. QUESTÃO 13 Foi colocado na ordem crescente todos os números formados pela permutação dos algarismos 1, 2, 5, 7 e 9. Nesta série, qual a posição ocupada pelo número 51972? SOLUÇÃO Calculando as permutações: Iniciados por 1: 1 __ __ __ __ = 4*3*2*1 = 24 n° iniciados por 1; Iniciados por 2: 2 __ __ __ __ = 4*3*2*1 = 24 n° iniciados por 2; Iniciados por 51: 51279, 51297, 51729, 51792, 51927, 51972. Portanto, 24 + 24 + 6 = 54° posição. QUESTÃO 14 A respeito das letras da palavra “TESOURA”: a) Quantos anagramas apresentam as letras S, O e U juntas e nessa ordem? SOLUÇÃO Faça a permutação simples considerando as letras “S”, “O” e “U” juntas e nessa ordem uma única letra. Assim teremos uma permutação simples de 5:

5 5! 5 4 3 2 1 120 anagramasP = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

b) Quantos anagramas apresentam as letras S, O e U juntas? SOLUÇÃO

Vamos colocar as letras “S”, “O” e “U” dentro de um saco, em seguida façamos a permutação do “saco de letras” com as demais letras. Ficamos, então com uma permutação simples de 5 (com no item anterior). Temos, então:

5 5! 5 4 3 2 1 120 anagramasP = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

MUITA ATENÇÃO AGORA, pois as letras contidas no saco podem mudar de posição entre si de 3! = 3.2.1 = 6 maneiras diferentes dentro do saco.

Portanto: 56 6 120 720 anagramasP⋅ = ⋅ =

QUESTÃO 15 Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. SOLUÇÃO

5 5! 5 4 3 2 1 120 anagramasP = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

QUESTÃO 16 Num grupo de 5 pessoas duas são irmãs. O número de maneiras distintas que elas podem ficar em fila, de maneira que as duas fiquem sempre juntas, é igual a: a) 24 c) 120 e) 420 b) 48 d) 240 SOLUÇÃO Vamos colocar as duas irmãs dentro de um saco em seguida vão fazer a permutação entre o “saco de irmãs” e as demais pessoas da fila. Ficamos, então com uma permutação simples de 4

pessoas. Temos, então: 4 4 3 2 1 24 maneirasP = ⋅ ⋅ ⋅ =

MUITA ATENÇÃO AGORA, pois as duas irmãs podem mudar de posição entre si de 2! = 2.1 = 2 maneiras diferentes dentro do saco. Portanto o n° de maneiras que as duas irmãs podem ficar juntas na

fila é: 42 2 24 48 maneirasP⋅ = ⋅ =

QUESTÃO 17 (UFT) O número de maneiras que 4 italianos e 2 americanos podem se sentar numa fila, de modo que as pessoas de mesma nacionalidade fiquem juntas, é: a) 30 c) 96 b) 48 d) 720 SOLUÇÃO Vamos colocar os italianos dentro de um saco 1 (S1) e os americanos dentro de um saco 2 (S2), dessa forma ambos os compatriotas passam a funcionar como se fossem uma única pessoa. Ficamos, então com 2 sacos {S1, S2}, para permutarem. Temos, então: 2! = 2.1 = 2. MUITA ATENÇÃO AGORA, pois cada compatriota pode mudar de posição entre si de 4! = 4.3.2.1 = 24 maneiras diferentes (os italianos) e 2! = 2.1 = 2 maneiras diferentes (os americanos) dentro de cada saco. Portanto: 2.24.2 = 96. QUESTÃO 18 (ESAF GESTOR – 2000) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem juntas é igual a: a) 6 c) 24 e) 48 b) 12 d) 36 SOLUÇÃO Vamos colocar as mulheres dentro de um saco 1 (S1) e os homens dentro de um saco 2 (S2), dessa forma ambos do mesmo sexo passam a funcionar como se fossem uma única pessoa. Ficamos, então com 2 sacos {S1, S2}, para permutarem. Temos, então: 2! = 2.1 = 2. MUITA ATENÇÃO AGORA, pois cada sexo pode mudar de posição entre si de 2! = 2.1 = 2 maneiras diferentes (as mulheres)

8

e 3! = 3.2.1 = 6 maneiras diferentes (os homens) dentro de cada saco. Portanto: 2.6.2 = 24. PERMUTAÇÃO CIRCULAR QUESTÃO 01 Determine de quantas maneiras distintas podemos dispor 4 homens e 4 mulheres quaisquer em torno de uma mesa de modo que cada homem tenha sempre ao seu lado duas mulheres, ou seja, uma do lado esquerdo e outra de seu lado direito? SOLUÇÃO Você deve fazer a aplicação da Permutação Circular (PC) entre os homens ou entre as mulheres, conforme sua escolha, em seguida faça a permutação dos outros entre as pessoas do sexo oposto. Da seguinte maneira: PC(4)*P4 = (4 – 1)!*4! = 3!*4! = 3*2*1*4*3*2*1 = 144 maneiras. QUESTÃO 02 De quantos modos quatro casais podem sentar-se em torno de uma mesa circular, não sentando juntos dois homens e nem um homem com sua acompanhante? a) 21 c) 24 b) 32 d) 12 SOLUÇÃO Bom primeiro colocarei os homens na mesa circular seja eles A,B,C,D. A quantidade de maneiras possíveis para isso é: PC(4) = M = (4 – 1)! M = 3*2*1 = 6 maneiras Agora vamos imaginar que A faz par com F, B com G, C com H e D com I A--------F B--------G C--------H D--------I Observando na figura do lado que cada homem não pode colocar nem o seu par e nem o par do seu companheiro vizinho, exemplo: A não pode com F e B não pode com G. Então no espaço entre A e B não podemos por nem F nem G. Isso serve para os demais... Nesse caso podemos colocar uma permutação de n – 2 pares para completar as maneiras possíveis. Daí teremos: P = 6*(n – 2)! � P = 6*(4 – 2)! � P = 6*2 = 12 QUESTÃO 03 De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma roda de ciranda de modo que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas? SOLUÇÃO Colocando primeiro os meninos em cadeiras alternadas: P' = (5 - 1)! � P' = 4! � P' = 24 Agora podemos distribuir as meninas: P" = 5! � P" = 120 Concluindo: P = P'*P" � P = 2880 QUESTÃO 04

De quantos modos 12 crianças podem formar uma roda, alternando meninos e meninas? SOLUÇÃO Considerando 6 meninas e 6 meninos temos: 6!*5! = 720*120 6!*5! = 86400 QUESTÃO 05 Quantos colares podemos formar usando quatro contas, todas diferentes? a) 2 c) 6 e) 12 b) 4 d) 8 SOLUÇÃO Os colares são como uma circunferência e portanto teremos uma permutação circular. A permutação circular é dado por P(n-1)! onde n é o números de peças diferentes nesse caso. PC(4) = (4 – 1)! = 3! = 6 QUESTÃO 06 De quantas maneiras diferentes um casal, três filhos e duas filhas podem sentar-se em torno de uma mesa circular de modo que as filhas não fiquem juntas? SOLUÇÃO AB = Casal DEF = Três filhos GH = Duas filhas. Total de pessoas = 7 Como podemos permutar essas 7 pessoas na mesa circular? PC(7) = (7 – 1)! = 6! = 6*5*4*3*2*1 = 120*6 = 720 Agora vamos imaginar que as irmãs estão juntas GH. Considerando GH um corpo só podemos permutar ABCDEFGH PC(6) = (6 – 1)! = 5! = 5*4*3*2*1 = 120. Como GH permutam entre si as permutações possíveis são 120*2 = 240. Então as maneiras diferente que podemos fazer é. M = 720 – 240 = 480 QUESTÃO 07 Dez crianças vão fazer uma roda e entre as crianças estão os irmãos Leonardo e Juliana. Quando Leonardo não dá a mão para Juliana ele chora muito. De quantas maneiras podem essas crianças dar as mãos e formar uma roda de modo que não perturbe o pequeno Leonardo? a) 40320 c) 20160 b) 80640 d) 10080 SOLUÇÃO O número de permutações circulares é dado por: (n – 1)! Como as crianças Leonardo e Juliana devem ficar sempre juntas, as duas crianças devem ser consideradas apenas uma. Seria como se tivéssemos apenas 9 crianças, porém elas podem trocar de lugar entre si logo, o número de maneiras será: 2*(n – 1)! = 2*(9 – 1)! = 2*8! = 2*40320 = 80 640 QUESTÃO 08 Em um jantar deve-se acomodar cinco pessoas (A, B, C, D e E) em mesa circular. Sabendo-se que A e B nunca se sentam lado a lado, quantas são as maneiras de se dispor as pessoas na mesa? SOLUÇÃO A permutação em circular é dada por PC(m) = (m – 1)! a permutação total que podemos fazer nessa mesa é: PC(5) = (5 – 1)! = 4! = 24 Agora iremos considerar AB como um único corpo. Assim temos |AB|, C, D, E Distribuindo esses 4 corpo na mesa temos: PC(4) = (4 – 1)! = 3! = 6.

9

Só que AB podem permutar entre si, ou seja, 2*6=12 com eles juntos. As maneiras de se dispor as pessoas na mesa são: M = 24 – 12 = 12 QUESTÃO 09 8 pessoas que devem sentar-se à mesa circular, A e B nunca podem ser vizinhas. Quantas são as disposições possíveis? SOLUÇÃO Trata-se se um permutação circular onde as formas que as 8 pessoas devem se sentar ao redor de uma mesa circular é dado por: PC(8) = (8 - 1)! � PC(8) = 7! � PC(8) = 5040 Considerando que as pessoas A e B sejam sempre vizinhas (Vamos amarrá-las juntas, assim elas funcionam como se fossem uma só pessoa). Nesse caso temos 7 pessoas. Forma de 7 pessoas se sentarem ao redor de uma mesa circular. PC(n) = (n – 1)! � PC(7) = (7 – 1)! � PC(7) = 6! � PC(7) = 720. OBS.: MUITA ATENÇÂO AGORA! Como as pessoas A e B estão amarradas juntas elas podem mudar de lugar entre si de 2 formas (AB ou BA). Portanto: 2*720 = 1440. Logo: 5040 – 1440 = 3600 possibilidades. QUESTÃO 10 De quantos modos diferentes 7 pessoas poderão sentar-se em torno de uma mesa redonda se: a) elas puderem sentar-se em qualquer lugar? SOLUÇÃO PC(7) = (7 – 1)! � PC(7) = 6! � PC(7) = 720 b) duas determinadas pessoas não puderem sentar-se uma ao lado da outra? SOLUÇÃO Considera-se os dois com um única pessoa e note também que eles podem permutar entre si (AB ou BA). Calculando a permutação circular dos 6 termos: 2*PC(6) = 2*(6 – 1)! � 2*PC(6) = 2*5! � 2*PC(6) = 2*120 2*PC(6) = 240 {Os dois juntos} Mas o problema determina que eles fique separado. Então subtraia esse valor do total de permutações. PC(7) – 2*PC(6) = 720 – 240 = 480 QUESTÃO 11 De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 6 crianças de modo que duas delas, Vera e Isadora, não fiquem juntas? SOLUÇÃO Trata-se de uma questão que envolve conhecimento de permutação circular. Encontrando o número total de permutações circulares: PC(n) = (n – 1)! � PC(6) = (6 – 1)! � PC(6) = 5! � PC(6) = 120 No total temos 6 elementos para dispor em círculo, ou seja, novamente utilizaremos Permutação Circular. Mas agora a restrição é diferente, as duas crianças NÃO podem ficar juntas. Para esta situação, iremos calcular o número total de disposições (sem restrição) e diminuir deste resultado o número de disposições em que as crianças estão juntas. Encontrando o número permutações com Vera e Isadora juntas {Vamos considerar as duas crianças uma só, daí teremos uma permutação circular de 5 elementos e multiplicamos por 2 porque elas por permutar entre si}: 2*PC(5) = 2*(5 – 1)! � 2*PC(5) = 2*4! � 2*PC(5) = 48 Logo, o número de disposições em que Vera e Isadora não estão juntas é: 120 – 48 = 72. QUESTÃO 12 De quantos modos 5 mulheres e 6 homens podem formar uma roda de ciranda de modo que as mulheres permaneçam juntas?

SOLUÇÃO Considere todas as mulheres uma pessoa só e aplique a permutação circular com os 6 homens (Teremos uma permutação circular de 7 elementos). PC(7) = (7 – 1)! � PC(7) = 6! � PC(7) = 720 Note que as mulheres podem permutar entre si (Teremos permutação simples das 5 mulheres). P5 = 5! = 120 Multiplicando os dois teremos: PC(7)*P5 = 720*120 = 86400 modos ARRANJO SIMPLES QUESTÃO 01 Num ônibus há 10 lugares. Se seis pessoas entrarem nesse ônibus, então, quantas maneiras diferentes podemos encontrá-las sentadas? SOLUÇÃO Temos um arranjo simples de 10 termos (número de cadeiras) tomados 6 a 6 (número de pessoas). A10,6 = 10*9*8*7*6*5 QUESTÃO 02 Um torneio de xadrez no qual cada jogador joga com todos os outros, uma única vez, tem 351 partidas. O número de jogadores que disputam o torneio é: a) 19 c) 23 e) 27 b) 22 d) 26 SOLUÇÃO Trata-se de uma questão sobre arranjo simples de n termos tomados 2 a 2. Assim temos: An,2 = n!/[2!(n – 2)!] = 351 � n*(n – 1)/2 = 351 n² – 2 – 702 = 0 Resolvendo essa equação do 2° grau encontramos como resposta n = 27. QUESTÃO 03 (Concurso de professor da Bahia) Seis amigos - Alfredo, Bruno, Caio, Davi, Eduardo e Fred - vão participar de um evento e devem formar três duplas, de modo que, em cada dupla, haja um líder e um auxiliar, podendo qualquer um dos amigos ser escolhidos líder de dupla ou auxiliar. Calcule o número de maneiras diferentes de os seis amigos poderem organizar-se. SOLUÇÃO Trata-se de arranjo, pois temos a distinção de "um líder e um auxiliar". Arranjo de 6 tomados 2 a 2: A6,2 = 30 Arranjo de 4 tomados 2 a 2: A4,2 = 12 Arranjo de 2 tomados 2 a 2: A2,2 = 2 Número de maneiras diferentes de os seis amigos poderem organizar-se: A6,2*A4,2*A2,2 = 30*12*2 = 720 QUESTÃO 04 Numa promoção feita por uma conhecida empresa fabricante de refrigerantes, em cada tampinha vinha um prognóstico com relação ao primeiro, segundo e terceiro colocados, respectivamente, dentre os vinte e quatro participantes da 15ª Copa do Mundo de Futebol. Para ser contemplada, uma pessoa devia possuir uma tampinha que, ao final do campeonato, trouxesse, na ordem, os primeiros classificados. Assim, para ter a certeza de ser premiada, quantas tampinhas, no mínimo, uma pessoa deveria juntar, antes do início da copa? SOLUÇÃO

10

Trata-se de um problema que envolve conhecimentos de arranjo simples, pois a ordem que os times aparecem no prognóstico influencia na sua classificação. O n° mínimo de tampinhas é dado pelo arranjo das 24 seleções tomadas 3 a 3. Assim temos:

24! 24 23 22 21!24,3

(24 3)!A

× × ×= =

− 21!12144 tampinhas=

QUESTÃO 05 Quantos jogos serão disputados pelos times Vasco da Gama, Flamengo, Fluminense e Botafogo em um torneio de futebol dividido em dois turnos? SOLUÇÃO Como são dois turnos trata-se de um arranjo simples (se fosse apenas um turno seria uma combinação simples). Então temos arranjo de 4 tomados 2 a 2:

4! 4 3 2!4, 2

(4 2)!A

× ×= =

− 2!12 jogos=

QUESTÃO 06 Uma banda de rock deve escolher 10 músicas, dentro de um conjunto de 15 músicas, para formar seu novo CD. A ordem da escolha é importante, pois é a sequência em que as músicas aparecerão no CD. Quantas escolhas são possíveis? SOLUÇÃO Primeiro temos que a ordem das músicas é importante e, por último, que será preciso escolher 10 dentre 15 músicas para montar o CD. Portanto, trata-se de um arranjo simples de 15 elementos tomados 10 a 10. Assim: A15,10 = 10897286400 possibilidades de fazer o CD. QUESTÃO 07 Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resultados são possíveis para os três primeiros lugares? SOLUÇÃO Trata-se de um arranjo simples, pois a ordem em que os times são dispostos formam conjuntos diferentes. Assim teremos arranjo de 20 times tomados 3 a 3: A20,3 = 6840 possibilidades de formação. QUESTÃO 08 Em um torneio (de dois turnos) do qual participam seis times, quantos jogos são disputados? SOLUÇÃO Se fosse um único turno teríamos uma combinação, mas com se trata de dois turno temos um arranjo simples de 6 times tomados 2 a 2. Então temos: A6,2 = 30 partidas. QUESTÃO 09 Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estação de partida e de chegada respectivamente? SOLUÇÃO Como a ordem das estações faz diferença (estação de partida e estação de chegada) temos, portanto um arranjo simples de 16 elementos tomados 2 a 2. Então teremos: A16,2 = 240 tipos de bilhetes. QUESTÃO 10

As 5 finalistas do concurso para Miss Universo são: Miss Japão, Miss Brasil, Miss Finlândia, Miss Argentina, e Miss Noruega. De quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, segundo e o terceiro lugares neste concurso? SOLUÇÃO Como a ordem de colocação das Misses faz diferença, portanto temos um arranjo simples de 5 tomados 3 a 3. Então teremos: A5,3 = 60 possibilidades. QUESTÃO 11 Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, ..., 9. O segredo do cofre é formado por uma sequência de 3 dígitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para abri-lo (Suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos distintos). SOLUÇÃO Como as ordens que os dígitos são escolhidos dão origem a senhas diferentes e os dígitos são distintos, portanto teremos um arranjo simples de 10 elementos tomados 3 a 3. Então teremos: A10,3 = 720 tentativas. QUESTÃO 12 Dez automóveis disputam uma corrida. De quantas maneiras diferentes pode ocorrer a classificação dos 3 primeiros colocados se não pode haver empate? SOLUÇÃO Trata-se de um arranjo simples de 10 carros nos quais são tomados 3 a 3 (3 primeiros colocados). A10,3 = 720 modos diferentes. QUESTÃO 13 Quando havia exatamente 20 quartos vagos em um hotel, chegaram 10 hóspedes. O número de maneiras diferentes que esses hóspedes podem ser distribuídos nos quartos de modo que cada quarto seja ocupado por um único hóspede é: a)A10,10 c)A20,2 e)A10,2 b)A20,20 d)A20,10 SOLUÇÃO É só pensar: Para o primeiro hóspede vão haver 20 possibilidades. Para o segundo que entrar, 19 possibilidades (O primeiro já pegou um quarto!). O terceiro, 18 (Já tem dois quartos ocupados!)... O quarto, 17... E assim vai até o décimo hóspede que terá 11 possibilidades dentro das 20 possibilidades iniciais no hotel. Então fica: 20*19*18*17*16*15*14*13*12*11 possibilidades. Que é o mesmo que A20,10. QUESTÃO 14 (ESAF TFC) Em um campeonato participam 10 duplas, todas com a mesma probabilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes poderemos ter a classificação para os três primeiros lugares? a) 240 c) 420 b) 270 d) 720 SOLUÇÃO Teremos um arranjo simples de 10 tomados 3 a 3:

10,3

10! 10 9 8 7!

(10 3)!A

⋅ ⋅ ⋅= =

− 7!720 maneiras=

COMBINAÇÃO SIMPLES QUESTÃO 01

11

(PROFMAT – 2011.2) Um campeonato com 25 clubes é disputado num ano, com um único turno, pelo sistema de pontos corridos (cada clube joga uma vez com cada um dos outros). Em cada semana há sempre o mesmo número de jogos e não há jogos na semana do Natal nem na do Carnaval. O número de jogos que devem ser disputados em cada semana é: a) 5 c) 8 e) 10 b) 4 d) 6 SOLUÇÃO Como cada clube joga uma vez com cada um dos outros clubes, temos que o número de jogos no campeonato será: C25,2 = 300 jogos Lembre-se que em um ano temos aproximadamente 52 semanas,

pois 365

527

≅ .

Sabemos que não há jogos em duas semanas do ano, logo só haverá jogos em 50 semanas do ano, assim, o número de jogos que serão disputados em cada semana será:

3006 jogos por semana

50=

QUESTÃO 02 Dez pessoas participaram de uma reunião e no final, cada uma cumprimentou outra, apenas uma vez, através de um aperto de mão. Quantos apertos de mão foram dados ao todo? SOLUÇÃO

10, 2 45 apertos de mãoC =

QUESTÃO 03 (ITA-SP) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham duas das letras a,b, e c? a)1692 c)1520 e)1392 b)1572 d)1512 SOLUÇÃO Para escolhermos 4 letras, sem importar a ordem, de modo que contenham duas das letra a, b e c, temos: C3,2 * C7,2 = 3*21 = 63 modos. Como os anagramas são as permutações das 4 letras escolhidas, o número de anagramas é: C3,2 * C7,2*4! = 3*21*24 = 1512 QUESTÃO 04 De quantas maneiras distintas um grupo de 10 pessoas pode ser dividido em 3 grupos de 5, 3 e 2 pessoas? SOLUÇÃO Os grupos serão divididos em grupos e essas escolhas independem da ordem. Uma vez formado o 1° grupo, o número de pessoas diminui.

I) 1ª escolha: 10,5

10! 10 9 8 7 6 5!

5! 5!C

× × × × ×= =

× 5! 5!×

252=

II) 2ª escolha: 5,3

5! 5 4 3!

3! 2! 3!C

× ×= =

×

102!

=

×

III) 3ª escolha: 2,2

2! 2!

2! 0!C = =

× 2!1

1=

×

Logo há 252x10x1 = 2520 maneiras. QUESTÃO 05 (UFRJ) Uma estante de biblioteca tem 16 livros: 11 exemplares do livro "Combinatória é fácil" e 5 exemplares de "Combinatória não é

difícil". Considere que os livros com mesmo título sejam indistinguíveis. Determine de quantas maneiras diferentes podemos dispor os 16 livros na estante de modo que dois exemplares de Combinatória não é difícil nunca estejam juntos. SOLUÇÃO Fixando os livros de combinatória é fácil (F), teremos algo assim:

_F_F_F_F_F_F_F_F_F_F_F_ Onde “_” são os espaços em brancos que poderemos colocar os livros combinatória não é difícil. Logo temos 12 possibilidades para colocar os livros, mas só dispomos de 5 livros, então desses 12 devemos escolher 5 espaços, portanto: C12,5*C7,7 = 792*1 = 792 QUESTÃO 06 De quantos modos 12 pessoas podem ser repartidas em 3 grupos, tendo cada grupo, 4 pessoas? SOLUÇÃO No primeiro grupo temos 12 pessoas tomadas 4 a 4: C12,4 = 495 No segundo grupo (como já foi formado o 1° grupo de 4 pessoas 12 – 4 = 8 ) temos 8 pessoas tomadas 4 a 4: C8,4 = 70 No terceiro e último grupo (como já foi formado o 1° grupo e o 2° grupo e tirado de 4 pessoas em cada 12 – 8 = 4) temos 4 pessoas tomadas 4 a 4: C4,4 = 1 Agora vamos multiplicar os resultados encontrados em cada grupo e dividir pela permutação entre eles 3!:

12, 4 8, 4 4,4 495 70 15775 modos

3! 3 2 1

C C C× × × ×= =

× ×

QUESTÃO 07 De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em dois grupos de 4 pessoas cada? a) 15 b) 20 e) 95 c) 35 d) 70 SOLUÇÃO Para o primeiro grupo temos: C8,4 = 70 Para o segundo grupo temos: C4,4 = 1 Multiplicando tudo e dividindo por 2! (porque os grupos podem permutar entre si, então são contados 2 vezes):

8,4 4,4 70 1 7035 modos

2! 2 1 2

C C× ×= = =

×

QUESTÃO 08 Uma equipe de competição com 9 membros, sendo um coordenador e seu adjunto, costuma expor seus projetos em eventos. Para isso, a delegação enviada deve ser de no mínimo dois e no máximo quatro componentes, sendo, pelo menos, um desses, o coordenador ou o adjunto. O número de possibilidades de se compor cada delegação é de: a) 5*31 c) 2³*23 e) 2³*5*31 b) 5²*31 d) 2²*5*23 SOLUÇÃO 1) Total de combinações:

9,2 9,3 9,4 36 84 126 246C C C+ + = + + =

2) Combinações que não têm nem o coordenador nem o adjunto:

7,2 7,3 7,4 21 35 35 91C C C+ + = + + =

Para finalizar vamos encontrar o número de possibilidades de se compor uma delegação subtraindo o 2 do 1: 246 – 91 = 155 = 5*31

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QUESTÃO 09 Um grupo de 8 rapazes decidiu acampar e levam duas barracas diferentes: uma com capacidade máxima de 3 pessoas e a outra de 5 pessoas. De quantos modos diferentes todas as pessoas do grupo podem ser alojadas? SOLUÇÃO Na barraca com 5 lugares: Na barraca com 3lugares: C8,5 = 56 C3,3 = 1 As duas barracas juntas: C8,5*C3,3 = 56*1 = 56 QUESTÃO 10 (Unb – DF) Sete pessoas trabalham em um mesmo setor de uma fábrica que funciona em três turnos diários. No primeiro turno trabalham duas pessoas, no segundo turno trabalham duas e no terceiro três. Calcule de quantas maneiras pode-se fazer a escala do dia, sabendo-se que as únicas duas mulheres da equipe não podem trabalhar no terceiro turno. SOLUÇÃO Temos 5 homens e 2 mulheres e as mulheres não trabalham no 3º turno. Para o 3° turno temos 5 homens para 3 vagas: C5,3 = 10 Para o 1° turno temos 7 – 3 = 4 (2 homens e 2 mulheres) para 2 vagas: C4,2 = 6 Para o 2° turno temos 4 – 2 = 2 (não se sabe ao certo se são homens, mulheres ou homem e mulher) para 2 vagas: C2,2 = 1 Para encontrar a quantidade de maneiras de se fazer uma escala basta multiplicar os valores encontrados: C5,3* C4,2* C2,2 = 10*6*1 = 60. QUESTÃO 11 De um grupo de 5 mesa tenistas três serão escolhidos para representar o Brasil.Quantos trios podemos formar? SOLUÇÃO Temos uma combinação simples de 5 tomados 3 a 3. Assim: C5,3 = 5!/2!*3! = 5*4*3!/2*3! = 10 QUESTÃO 12 (CEFET – MG) O dono de um sítio tem 6 vacas e alguns porcos. Ao agrupar seus animais em grupos de 3 vacas e 2 porcos, observou que havia 720 maneiras diferentes de fazê-lo. O número de porcos do sítio é igual a: a) 5 c) 8 e) 10 b) 6 d) 9 SOLUÇÃO C6,3*Cn,2 = 720 (6!/3!.3!)*(n!/2!(n-2)!) = 720 10*n*(n-1) = 720 n² – n – 72 = 0 n = 9 porcos QUESTÃO 13 (IME – 2007) Um grupo de nove pessoas, sendo duas delas irmãos, deverá formar três equipes, com respectivamente dois, três e quatro integrantes. Sabendo que os dois irmãos não podem ficar na mesma equipe, o número de equipes que podem ser organizadas é: a) 288 c) 480 e) 960 b) 455 d) 910 SOLUÇÃO Caso não houvesse restrição teríamos: C9,2*C7,3*C4,4 = 1260 Se os 2 irmãos estivessem no grupo de 2 pessoas: C2,2*C7,3*C4,4 = 35

Se os 2 irmãos estivessem no grupo de 3 pessoas: C7,1*C6,2*C4,4 = 105 Se os 2 irmãos estivessem no grupo de 4 pessoas: C7,2*C5,2*C3,3 = 210 Logo, temos 35 + 105 + 210 = 350 possibilidades de formar grupos em que os dois irmãos estão juntos. Daí, o nº procurado é 1260 – 350 = 910. QUESTÃO 14 Teresa pretende convidar 5 de 11 amigos para um jantar em sua casa. (a) Quantas escolhas Teresa possui, se 2 dos 11 amigos são desafetos e não aceitam estar juntos? SOLUÇÃO R = Total – (caso em que escolhe os dois amigos desafetos juntos) R = C11,5 – C9,3 (escolhidos eles, restaram 3 amigos de 9 para convidar) R = 378 (b) Quantas escolhas Teresa tem, se 3 dos 11 amigos não aceitam participar do jantar a menos que juntos? SOLUÇÃO 1 – Se nessa escolha, não incluir os 3 amigos teremos o seguinte: C8,5 = 56; 2 – Se nessa escolha, incluir os 3 amigos teremos o seguinte: C8,2 = 28. Encontrando o número de escolhas: C8,5 + C8,2 = 84 QUESTÃO 15 De quantas maneiras diferentes podemos colocar 8 livros em 3 gavetas de modo que fiquem 2 na primeira gaveta,3 na segunda gaveta e 3 na terceira gaveta? SOLUÇÃO Trata-se de uma combinação simples. Onde temos: 1 – Na primeira gaveta (8 tomados 3 a 3): C8,3 = 56; 2 – Na segunda gaveta (8 – 3 = 5 tomados 2 a 2): C5,2 = 10; 3 – Na terceira gaveta (5 – 2 = 3 tomados 3 a 3): C3,3 = 1. Para encontrar o número de maneiras é só multiplicar os valores encontrados: C8,3*C5,2*C3,3 = 56*10*1 = 560 possibilidades. QUESTÃO 16 Um piano de brinquedo possui 7 teclas, que emitem sons distintos entre si, correspondentes às 7 notas. Se forem pressionadas, ao mesmo tempo, no mínimo 3 e no máximo 6 teclas, o total de sons diferentes que podem ser obtidos é de: a) 21 c) 42 e) 98 b) 28 d) 63 SOLUÇÃO Como a ordem não importa se trata de uma combinação, portanto: C7,3 + C7,4 + C7,5 + C7,6 = 98 QUESTÃO 17 Em um setor de uma empresa, trabalham 3 geólogos e 4 engenheiros. Quantas comissões diferentes de 3 pessoas podem ser formadas com, pelo menos, 1 geólogo? SOLUÇÃO Com 1 geólogo: C3,1*C4,2 = 3*6 = 18 {Pois os geólogos tem uma vaga e os engenheiros tem 2 vagas}. Com 2 geólogos: C3,2*C4,1 = 3*4 = 12 {Pois os geólogos tem 2 vagas e os engenheiros tem 1 vaga}. Com 3 geólogos: C3,3*C4,0 = 1*1 = 1 {Pois os geólogos tem 3 vagas e o engenheiros nenhuma}. Então o número de comissões possíveis é:

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C3,1*C4,2 + C3,2*C4,1 + C3,3*C4,0 = 18 + 12 + 1 = 31 QUESTÃO 18 Adriana tem dinheiro apenas para ir ao parque de diversões e brincar em apenas um dos 7 brinquedos disponíveis ou ir ao cinema e assistir apenas um filme dos 5 disponíveis. Dessa forma de quantas maneiras diferentes Adriana pode se divertir? a) 35 c) 24 b) 64 d) 12 SOLUÇÃO Se Adriana resolver ir ao parque: C7,1 = 7 Se resolver ir ao cinema: C5,1 = 5 Então o número de maneiras diferentes que ela pode se divertir é: C7,1 + C5,1 = 7 + 5 = 12 QUESTÃO 19 Uma equipe de corrida de aventura é composta por quatro membros, sendo um deles obrigatoriamente mulher. Dez pessoas foram convidadas a participar da seleção da equipe, das quais 4 são mulheres. Quantas equipes diferentes podem formar com esse grupo? a) 250 c) 240 e) 300 b) 195 d) 210 SOLUÇÃO Temos 10 pessoas = 4 mulheres e 6 homens. Equipe com 1 mulher e 3 homens: C4,1*C6,3 = 4*20 = 80 Equipe com 2 mulheres e 2 homens: C4,2*C6,2 = 6*15 = 90 Equipe com 3 mulheres e 1 homem: C4,3*C6,1 = 4*6 = 24 Equipe com 4 mulheres e nenhum homem: C4,4*C6,0 = 1*1 = 1 Então o número de equipes diferentes é: C4,1*C6,3+C4,2*C6,2+C4,3*C6,1+C4,4*C6,0 = 80 + 90 + 24 + 1 = 195 QUESTÃO 20 (Concurso para professor da Bahia) Seis amigos - Alfredo, Bruno, Caio, Davi, Eduardo e Fred - vão participar de um evento e devem formar três duplas, de modo que não haja liderança, isto é, os dois membros de cada dupla tenham as mesmas responsabilidades. Calcule o número de maneiras diferentes de os seis amigos poderem organizar-se. SOLUÇÃO Nesse caso temos uma combinação simples. C6,2*C4,2*C2,2 = 15*6*1 = 90 QUESTÃO 21 De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres? SOLUÇÃO Grupo formado por 2 mulheres e 4 homens: C4,2*C7,4 = 6*35 = 210 Grupo formado por 3 mulheres e 3 homens: C4,3*C7,3 = 4*35 = 140 Grupo formado por 4 mulheres e 2 homes: C4,4*C7,2 = 1*21 = 21 O número de modos de escolha é: C4,2*C7,4 + C4,3*C7,3 + C4,4*C7,2 = 210 + 140 + 21 = 371. QUESTÃO 22 Quantas somas podem ser formadas usando 5 moedas de valores diferentes.

SOLUÇÃO Para uma única moeda: C5,1 = 5 Para duas moedas: C5, 2 = 10 Para três moedas: C5,3 = 10 Para quatro moedas: C5,4 = 5 Para cinco moedas: C5,5 = 1 Somando tudo: C5,1 + C5, 2 + C5,3 + C5,4 + C5,5 = 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31 QUESTÃO 23 De quantos modos podemos repartir 8 brinquedos diferentes entre 3 garotos, sendo que os dois mais velhos recebam 3 brinquedos cada e o mais novo 2 brinquedos? SOLUÇÃO Para o primeiro garoto mais velho temos uma combinação simples de 8 brinquedos tomados 3 a 3: C8,3 = 56 Para o segundo garoto mais velho temos uma combinação simples de 8 – 3 = 5 (pois já foram retirado 3 pelo primeiro menino) brinquedos tomados 3 a 3: C5,3 = 10 Para o último e mais novo garoto temos uma combinação simples de 5 – 3 = 2 (pois já foi retirado 3 pelo segundo menino) brinquedos tomados 2 a 2: C2,2 = 1 Multiplicando tudo temos: C8,3*C5,3*C2,2 = 56*10*1 = 560 QUESTÃO 24 Num exame, um professor entregou aos alunos uma prova com 10 questões, das quais eles deveriam escolher seis. De quantas maneiras os alunos poderiam responder a prova, considerando-se que, em cada uma, pelo menos 4 das questões escolhidas deveriam estar entre as sete primeiras da prova entregue pelo professor? SOLUÇÃO Escolher 4 questões das 7 primeiras e 2 questões das 3 últimas: C7,4*C3,2 = 35*3 = 105 maneiras Escolher 5 questões das 7 primeiras e 1 questão das 3 últimas: C7,5*C3,1 = 21*3 = 63 maneiras Escolher 6 questões das 7 primeiras e nenhuma das 3 últimas: C7,6*C3,0 = 7*1 = 7 maneiras A quantidade de maneiras possíveis que os alunos podem fazer isso é somando tudo. Assim temos: C7,4*C3,2 + C7,5*C3,1 + C7,6*C3,0 = 105 + 63 + 7 = 175 QUESTÃO 25 (MAPOFEI - 76) Um químico possui 10 (dez) tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 (seis) dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva? SOLUÇÃO

Sendo maneiras de associar 6 substâncias entre

10 e maneiras de associar 6 substâncias em que as duas estão inclusas.

Portanto, QUESTÃO 26 (UFSM – RS) Uma enfermidade que tem sete sintomas conhecido é detectada pelo médico, se o paciente apresentar 4 ou mais

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desse sintomas. Para que seja feito um diagnóstico seguro, o número de combinações possíveis de sintomas diferentes é: a) 1 c) 21 e) 64 b) 7 d) 35 SOLUÇÃO Como a ordem não interessa e sim o número de sintomas trata-se de uma combinação simples, onde está se dizendo que a enfermidade será confirmada se tiver no mínimo 4 sintomas, pode ter 4 ou 5 ou 6 ou até 7. Para que o diagnóstico seja feito com segurança. Temos o seguinte: C7,4 + C7,5 + C7,6 + C7,7 = 64 QUESTÃO 27 De quantas maneiras podem-se distribuir 12 brinquedos diferentes entre três crianças, de modo que cada uma receba quatro brinquedos? a) 23560 c) 32742 b) 480 d) 34650 SOLUÇÃO Trata-se de uma Combinação Simples, pois a ordem que é dado os brinquedos não altera os brinquedos que a criança recebe.

Criança 1 (12 tomados 4 a 4):

Criança 2 (8 tomados 4 a 4):

Criança 3 (4 tomados 4 a 4): O número de maneiras que os brinquedos podem ser distribuídos:

QUESTÃO 28 Num acampamento estão 14 jovens sendo 6 paulista , 4 cariocas e 4 mineiros.Para fazer a limpeza do acampamento será formado por uma equipe com 2 paulista ,1 carioca e 1 mineiro escolhido ao acaso.O número de maneiras possíveis para se formar essa equipe de limpeza é: SOLUÇÃO C6,2*C4,1*C4,1 = 15*4*4 = 240 maneiras QUESTÃO 29 Dois daltônicos fazem parte de um grupo de 10 pessoas. De quantas maneiras distintas pode-se selecionar 4 pessoas desse grupo, de maneira que haja pelo menos um daltônico entre os escolhidos? a) 140 c) 285 e) 392 b) 240 d) 336 SOLUÇÃO Encontrando o número de maneiras de formar o grupo: C10,4 = 210 maneiras. Quando pensamos que haja pelo menos um daltônico entre os escolhidos, isso que dizer que pode ter um ou dois. O que não pode acontecer é de não haver nenhum daltônico, ou seja, tiramos isso do total de maneiras possíveis. Encontrando o número de maneiras que não haja daltônicos no grupo (10 – 2 = 8 pessoas não daltônicas): C8,4 = 70 Encontrando o número de maneiras de que haja pelo menos um daltônico no grupo: 210 – 70 = 140 QUESTÃO 30 Nove pessoas desejam subir à cobertura de um edifício, dispondo, para isso, de dois elevadores, um com 4 lugares e outro com 5 lugares. O número de formas de distribuí-las nos elevadores é: a) 630 c) 180 e) 126 b) 252 d) 378

SOLUÇÃO Podemos distribuir primeiro no elevador de 4 lugares e depois no de 5 lugares, ou podemos primeiro no de 5 lugares e depois no de 4 lugares, por tanto, existe essas duas possibilidades. 2*C9,4*C5,5 = 2*126 � 2*C9,4*C5,5 = 252 QUESTÃO 30 Num determinado setor de um hospital trabalham 5 médicos e 10 enfermeiros.Quantas equipes distintas, constituídas cada uma por 1 médico e 4 enfermeiros podem ser formadas nesse setor? SOLUÇÃO Encolhendo os médicos: C5,1 = 5 Escolhendo os enfermeiros: C10,4 = 210 Encontrando o número de equipes: C5,1*C10,4 = 5*210 = 1050 COMBINAÇÃO COMPLETA QUESTÃO 01 Qual é o número total de maneiras distintas de se distribuir 20 notas, de R$100,00 cada uma, entre 4 pessoas? SOLUÇÃO C23,20 = 1771 Você pode usar: ache o número de soluções da equação abaixo. Aqui no nosso fórum há algumas questões que fala desse assunto. a + b + c + d = 20 QUESTÃO 02 (ITA) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação x + y + z + w = 5 é: a) 36 c) 52 e) 56 b) 48 d) 54 SOLUÇÃO Um raciocínio alternativo, seria o seguinte: Temos que parti 5 unidades em 4 partes ordenadas,de modo que fique cada parte um número maior ou igual a zero. Indiquemos cada unidade por um ponto então elas serão representadas por: |. . . . .| Como queremos dividir as 5 unidades em 4 parte,vamos usar 3 barras para fazer a separação. Cada modo de dispormos os pontos e as barras dará origem a uma solução. Por Exemplo: |.|..|.|.| |..|..|.|0| Ora, como temos 8 símbolos 5 . e 3 | Os números de soluções inteiras e não negativa da Equação x+y+z+w=5 é: N=8!/5!*3! N=8*7*6*5!/5!*3! N=8*7*6/3*2*1 N=8*7 N=56 QUESTÃO 03 Uma indústria fabrica 5 tipos de balas que são vendidas em caixas de 20 balas, de um só tipo ou sortidas. Quantos tipos de caixas podem ser montados? SOLUÇÃO A equação fica assim: x + y + z + u + v = 20. 4 : nº de sinais de mais; 20: solução. Faça a combinação simples de (20 + 4) tomados 20 a 20: C24,20 = 10626 tipos de caixas QUESTÃO 04

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De quantos modos podemos compras 3 refrigerantes em uma loja onde há 5 tipos de refrigerantes? SOLUÇÃO A equação fica assim: x + y + k + z + w = 3. 4: n° de sinais de mais; 3: solução. Faça a combinação simples de (3 + 4) tomados 3 a 3: C7,3 = 35 modos QUESTÃO 05 Quantas são as soluções inteiras e não negativas de x + y + z = 5? SOLUÇÃO 2: n° de sinais de mais; 5: solução. Faça a combinação simples de (2 + 5) tomados 5 a 5: C7,5 = 21 soluções QUESTÃO 06 Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. De quantas formas uma pessoa pode escolher cinco pastéis? a) 18 c) 15 e) 25 b) 21 d) 35 SOLUÇÃO Podemos transformar esse problema em um sistema linear com a seguinte equação: c + q + p = 5 2: n° de sinais de mais; 5: solução. Faça a combinação simples de (2 + 5) tomados 5 a 5: C7,5 = 21 soluções. QUESTÃO 07 Uma mercearia tem em seu estoque, pacotes de café de 6 marcas diferentes. Uma pessoa deseja comprar 8 pacotes de café. De quantas formas pode fazê-lo? SOLUÇÃO Podemos transformar esse problema em um sistema linear com a seguinte equação: a + b + c + d + e + f = 8 5: n° de sinais de mais; 8: solução. Faça a combinação simples de (5 + 8) tomados 8 a 8: C13,8 = 1287 formas. QUESTÃO 08 Uma confeitaria vende 5 tipos de doces. Uma pessoa, deseja comprar 3 doces. De quantas formas isto pode ser feito? SOLUÇÃO Podemos transformar esse problema em um sistema linear com a seguinte equação: a + b + c + d + e = 3 4: n° de sinais de mais; 3: solução. Faça a combinação simples de (4 + 3) tomados 3 a 3: C7,3 = 35 formas. QUESTÃO 09 Temos duas urnas A e B. De quantas formas podemos colocar 5 bolas indistinguíveis, podendo eventualmente uma das urnas ficar vazia? SOLUÇÃO Podemos transformar esse problema em um sistema linear com a seguinte equação: a + b = 5 1: n° de sinais de mais; 5: solução. Faça a combinação simples de (1 + 5) tomados 5 a 5: C6,5 = 6 formas.

QUESTÃO 10 De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7 sabores? SOLUÇÃO Podemos transformar esse problema em um sistema linear com a seguinte equação: a + b + c + d + e + f + g = 4 6: n° de sinais de mais; 4: solução. Faça a combinação simples de (6 + 4) tomados 4 a 4: C10,4 = 210 modos. QUESTÃO 11 Quantas são as soluções inteiras e não negativas de x + y + z ≤ 5? SOLUÇÃO As soluções inteiras e não negativas de x + y + z ≤ 5 dividem-se em vários grupos: x + y + z = 5 {2 ‘+’ e 5 ‘solução’ � C7,5}; x + y + z = 4 {2 ‘+’ e 4 ‘solução’ � C6,4}; x + y + z = 3 {2 ‘+’ e 3 ‘solução’ � C5,3}; x + y + z = 2 {2 ‘+’ e 2 ‘solução’ � C4,2}; x + y + z = 1 {2 ‘+’ e 1 ‘solução’ � C3,1}; x + y + z = 0 {2 ‘+’ e 0 ‘solução’ � C2,0}. Basta somar tudo: C7,5 + C6,4 + C5,3 + C4,2 + C3,1 + C2,0 = 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56 QUESTÃO 12 Quantas são as soluções inteiras e não negativas da inequação x + y + z ≤ 20 com x ≥ 2, y ≥ 2 e z ≥ 2? SOLUÇÃO O problema que sabemos resolver é contar as soluções inteiras com as variáveis sendo maiores ou iguais a zero. Para fazer um problema recai no outro, pomos: x = a + 2; y = b + 2; z = c + 2. Substituindo os novos valores na equação inicial: a + 2 + b + 2 + c + 2 = 20 � a + b + c = 20 – 6 � a + b + c = 14. Na nova equação temos: 2: n° de sinais positivos; 14: solução. Faça a combinação simples de (2 + 14) tomados 14 a 14: C16,14 = 120 modos. QUESTÃO 13 Quantas são as soluções inteiras não negativas de x + y + z + w < 6? SOLUÇÃO A inequação x + y + z + w < 6 possui uma relação biunívoca com a equação x + y + z + w + f = 5 (porque o primeiro inteiro menor que 6 é o 5). Assim teremos: 4: n° de sinais positivos; 5: solução. Faça a combinação simples de (4 + 5) tomados 5 a 5: C9,5 = 126 formas. QUESTÃO 14 A fábrica X produz 8 tipos de bombons que são vendidos em caixas de 30 bombons (de um mesmo tipo ou sortidos). Quantas caixas diferentes podem ser formadas? SOLUÇÃO Oito tipos de bombons: x, y, z, k, w, t, u, v. São vendidos em caixas contendo 30 unidades: x + y + z + k + w + t + u + v = 30. Assim temos:

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7: n° de sinais positivos; 30: solução. Faça a combinação simples de (7 + 30) tomados 30 a 30: C37,30 = 10 295 472 caixas diferentes. QUESTÃO 15 Quantas são as soluções inteiras e não negativas de x + y + z < 10? SOLUÇÃO A inequação x + y + z < 10. Agora note que é pedido as soluções positivas, ou seja, maiores que zero. Portanto: x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1. A nova inequação fica a + 1 + b + 1 + c + 1 < 10 � a + b + c < 7 e ela possui uma relação biunívoca com a equação a + b + c + f = 6 (porque o primeiro inteiro menor que 7 é o 6). 3: n° de sinais positivos; 6: solução. Faça a combinação simples de (3 + 6) tomados 6 a 6: C9,6 = 84 soluções. QUESTÃO 16 Quantas são as soluções inteiras positivas x + y + z = 10? SOLUÇÃO A equação x + y + z = 10. Agora note que é pedido as soluções positivas, ou seja, maiores que zero. Portanto: x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1. A nova equação fica a + 1 + b + 1 + c + 1 = 10 � a + b + c = 7. 2: n° de sinais positivos; 7: solução. Faça a combinação simples de (2 + 7) tomados 7 a 7: C9,7 = 36 soluções. QUESTÃO 17 Quantas soluções inteiras positivas têm a equação: x*y*z*k = 512? a) 220 c) 135 e) 48 b) 210 d) 72 SOLUÇÃO 512=29 x.y.z.k = 29 Reescrevendo: 2t.2n.2m.2p =29 2(t+n+m+p) = 29 Logo, t + n + m + p = 9 Usando o método "pau-bola": ooo | | | | | | | | | Permutando:

9,3 9,3

12 12

12!220 soluções

9!3!P P= ⇒ =

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] HAZZAN, S.: Fundamentos de Matemática Elementar: Combinatória Probabilidade. 3 ed. São Paulo: Atual, v. 5, (ano). [2] MORGADO, A.O.L.; CARVALHO, J.B.P.; CARVALHO, P.C.P.; FERNADEZ, P.; Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: SBM, 1991. Sites acessados: http://pir2.forumeiros.com/f48-probabilidades-e-analise-combinatoria http://cursomentor.files.wordpress.com/2010/06/lista-de-exercicios-e28094-analise-combinatoria-v-1.pdf http://fortium.edu.br/blog/vanderlan_marcelo/files/2010/04/Folha-de-matem%C3%A1tica_Fortium_ANVISA_Anal-Comb-e-Probabilidade.pdf