Análise combinatória - Princípios básicos I

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Análise combinatória

Princípios básicos I

Teoria e exemplos

Princípio da adição

Exemplos de aplicação

Princípio da multiplicação


Princípio da multiplicação:

consequência do princípio da adição

Princípio da subtração

Princípio da divisão

1

2

3

4

5

6

7



O princípio da adição é de grande simplicidade e, embora possa parecer trivial, tem aplicações surpreendentemente úteis na análise combinatória. Pode ser definido do seguinte modo.

Princípio da adiçãoSe os conjuntos A1, A2, … , Ak constituem uma partição do conjunto U, então o número de elementos de U pode obter-se como a soma dos elementos de cada um dos subconjuntos que constituem a partição. Ou seja:

|U| = |A1 | + | A2 | + … + | Ak|

Vamos ilustrar visualmente, com um exemplo muito simples.

No conjunto U está definida uma partição constituída pelos conjuntos A, B e C.

U = A ∪ B ∪ C



O conjunto A tem 2 elementos, B tem 3 e C tem 4:

|A| = 2|B| = 3|C| = 4

Como facilmente ser verifica, temos:

|U| = 9e

|U| = |A| + | B | + | C |

|U| = 2 + 3 + 4 = 9

Vamos em seguida observar uma forma alternativa para apresentar o mesmo conceito.

Admitamos que:

▪ O acontecimento A1 pode ocorrer de n1 maneiras diferentes

▪ O acontecimento A2 pode ocorrer de n2 maneiras diferentes

…▪ O acontecimento Ak pode ocorrer de nk maneiras

diferentes

Então, o número de maneiras de pelo menos um dos acontecimentos ocorrer é igual a




O princípio da adição pode ser usado para dividir um conjunto em partes (efetuando uma partição do conjunto) de forma a mais facilmente resolver um problema combinatório. Para vermos como isso pode ser feito, vamos apresentar alguns exemplos.

Imagine que temos dois conjuntos de objetos: o conjunto A com x elementos e o conjunto B com y elementos:

| A | = x | B | = y

De quantas maneiras diferentes podemos escolher um objeto de qualquer um destes conjuntos?

Se podemos escolher apenas um objeto de cada um desses dois conjuntos, há x maneiras de escolher um objeto do

n n n1 2 k+ + ... + =

k

i 1=

ni



conjunto A e y maneiras de escolher um objeto do conjunto B. Por isso, o número total de possibilidades é igual à soma do número de elementos do conjunto A e do número de elementos do conjunto B. Ou seja, é igual a

x + y

Para viajar entre as cidades A e B existem 3 diferentes meios de transporte: aéreo, marítimo e rodoviário. O transporte por via aérea pode ser feito de 3 formas diferentes. O transporte marítimo pode ser feito apenas de 1 única forma. O transporte por terra pode ser feito de 4 formas diferentes. De quantas maneiras diferentes se pode fazer a viagem entre A e B?

Podemos interpretar o problema da seguinte forma:

▪ O acontecimento A1: “fazer a viagem por ar”, pode ocorrer de 3 formas diferentes;

▪ O acontecimento A2: “fazer a viagem por mar”, pode ocorrer de 1 só forma;

▪ O acontecimento A3: “fazer a viagem por terra”, pode ocorrer de 4 formas diferentes;

Aplicando o princípio da adição, o número de maneiras de pelo menos um dos acontecimentos ocorrer é:

3 + 1 + 4 = 8

Graficamente, temos:



Com as letras A, B, C e D queremos formar uma sequência de 2 letras, em ordem alfabética. Quantas são as diferentes sequências que se podem formar?

Podemos usar o princípio da adição e refletir do seguinte modo:

▪ A sequência pode começar por A, por B ou por C (não pode começar por D pois nesse caso, como D é a última letra do conjunto, não seria possível criar uma sequência por ordem alfabética, como é exigido pelas condições do exemplo).

▪ Se começar por A, temos 3 sequências possíveis:

AB, AC e AD.

▪ Se começar por B temos 2 sequências possíveis

BC e BD.



▪ Se começar por C só há 1 sequência

CD.

Usando o princípio da adição temos

3 + 2 + 1 = 6

Considere os inteiros entre 1 e 99. Quantos desses inteiros possuem uma só vez o algarismo 8?

Representemos por U o conjunto dos inteiros entre 1 e 99 que possuem uma só vez o número 8. Podemos começar por criar uma partição do conjunto U, constituída pelos subconjuntos A e B definidos da seguinte forma:

▪ O subconjunto A contém os elementos de U com um só dígito;

▪ O subconjunto B contém os elementos de U com dois dígitos.



O subconjunto B pode, por sua vez, ser dividido numa partição de dois subconjuntos:

B1: Conjunto em cujos elementos o 8 está na posição das unidades.

B2: Conjunto em cujos elementos o 8 está na posição das dezenas.

Quanto ao conjunto A é evidente que esse conjunto possui um só elemento (número 8). Portanto:

| A | = 1

Os elementos do conjunto B1 são os pares ordenados de dois algarismos em que o número das unidades é 8 e o número das dezenas é diferente de 0 e de 8:



B1 = {(1,8), (2,8), (3,8), (4,8), (5,8), (6,8), (7,8), (9,8)}

Temos assim:| B1 | = 8

Os elementos do conjunto B2 são os pares ordenados de dois algarismos em que o 8 figura na posição das dezenas, excluindo o par (8,8) porque contém duas vezes o número 8, o que contraria a definição do conjunto B. Os elementos de B2 são os seguintes.

B2 = {(8,0),(8,1),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6),(8,7),(8,9)}

Como facilmente se verifica, o número de elementos de B2 é igual a 9

| B2 | = 9



De acordo com o princípio da adição, o número de elementos do conjunto U é

U = | A | + | B | = | A | + | B1 | + | B2 | = 1 + 8 + 9 = 18

É evidente que o resultado a que chegámos está certo, porque o raciocínio é correto.

No entanto, e uma vez que não se trata de um exemplo com muitos números, é interessante verificar esse resultado apresentando numa tabela todos os números de 1 a 99 e identificando, nessa tabela, os números que correspondem à condição que definimos: terem uma só vez o algarismo 8. Apresentamos em seguida a tabela com os números assinalados.

Tabela com os inteiros de 1 a 99

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99



Considere a seguinte equação

a2 + b2 < 3

Quantos são os pares ordenados (a, b) de números inteiros que constituem uma solução da equação?

Para usar o princípio da adição, podemos dividir o problema em 3 subconjuntos:

▪ A = Conjunto dos pares ordenados (a, b) que são solução da equação a2 + b2 = 0

▪ B = Conjunto dos pares ordenados (a, b) que são solução da equação a2 + b2 = 1

▪ C = Conjunto dos pares ordenados (a, b) que são solução da equação a2 + b2 = 2



Vamos ver como a técnica de partição do conjunto nos permite obter facilmente a solução do problema.

Temos então

De fato, só se a e b forem ambos iguais a 0 é que a equação

a2 + b2 = 0

se transforma numa igualdade

02 + 02 = 0

É fácil verificar que o conjunto dos pares ordenados de B são de fato as soluções da equação



a2 + b2 = 1

Vamos verificar cada uma das soluções:

▪ (1,0) 12 + 02 = 1 a = 1 e b = 0 1 + 0 = 1

▪ (-1,0) (-1)2 + 02 = 1 a = -1 e b = 0 1 + 0 = 1

▪ (0,1) 02 + 12 = 1 a = 0 e b = 1 0 + 1 = 1

▪ (0,-1) 02 + (-1)2 = 1 a = 0 e b = -1 0 + 1 = 1

Vamos ver que é igualmente fácil verificar que os elementos de C constituem as soluções da equação

a2 + b2 = 2

Vamos verificar cada uma das soluções:



▪ (1,1) 12 + 12 = 2 a = 1 e b = 1 1 + 1 = 2

▪ (1,-1) 12 + (-1)2 = 2 a = 1 e b = -1 1 + 1 = 2

▪ (-1,1) (-1)2 + 12 = 2 a = -1 e b = 1 1 + 1 = 2

▪ (1,-1) 12 + (-1)2 = 2 a = 1 e b = -1 1 + 1 = 2

Finalmente, de acordo com o princípio da adição, temos

| A | + | B | + | C | = 1 + 4 + 4 = 9




O princípio da multiplicação, também designado por princípio fundamental da contagem, ou princípio fundamental da análise combinatória, pode ser apresentado através da seguinte definição.

Imagine que uma tarefa pode ser dividida em n etapas. O número de formas de executar a etapa 1 é igual a m1. Admita ainda que, qualquer que seja a forma escolhida para executar a etapa 1, o número de formas de executar a etapa 2 é igual a m2. E assim sucessivamente.

Finalmente, o número de maneiras de executar a etapa n é igual a mn, independentemente também da forma como tenham sido executadas as etapas anteriores.

Nestas condições, o número total de formas de executar a tarefa é igual a

m1 x m2 x ... x mn

O mesmo princípio pode ainda ser apresentado da seguinte forma equivalente, recorrendo ao conceito de produto cartesiano de conjuntos.



Podemos considerar que o número de maneiras diferentes de executar cada etapa é um conjunto Ai com mi elementos (com o índice i a variar de 1 a n).

O número total de maneiras de executar a tarefa é igual ao produto cartesiano dos conjuntos

A1 x A2 x ... x An

ou seja o conjunto dos n-tuples

( x1, x2, ... , xn )

em que

x1 ∊ A1, x2 ∊ A2, ... , xn ∊ An


Imaginemos uma tarefa que pode ser executada em 2 etapas. Admitamos que o número de maneiras de executar a primeira etapa é igual a n e que o número de maneiras de executar a segunda etapa é igual a m, independentemente da escolha feita na primeira etapa. De quantas formas poderá a tarefa ser executada?



A primeira etapa pode ser executada de n maneiras diferentes e a segunda etapa pode ser executada de m maneiras. Então, de acordo com o princípio fundamental da contagem, a tarefa pode ser executada de

n x m

maneiras diferentes.

A resolução do exemplo torna-se mais intuitiva se considerarmos que n = 2 (a primeira etapa pode ser executada de 2 maneiras distintas) e m = 3 (a segunda etapa pode ser executada de 3 maneiras diferentes).



Imagine três cidades: a cidade A, a cidade B e a cidade C. Admita que, para ir da cidade A até à cidade C é necessário passar pela cidade B. Há 3 caminhos diferentes para ir de A a B. Para ir da B a C existem 2 caminhos diferentes. Em esquema:

A questão que se coloca é a seguinte: de quantas formas se pode escolher um caminho para ir da cidade A até à cidade C?



Ora bem, trata-se de uma tarefa que pode ser dividida em duas etapas: a etapa que consiste em ir da cidade A até à cidade B e a etapa que consiste em ir da cidade B até à cidade C.

Como podemos observar no esquema:

▪ A primeira etapa (de A para B) pode ser feita de 3 formas diferentes (utilizando o caminho x, o caminho y ou o caminho z).

▪ A segunda etapa (ir de B para C) pode ser feita de 2 maneiras diferentes (usando o caminho u ou usando o caminho v).

É fácil concluir que o número total de caminhos diferentes para ir de A a C é igual ao produto do número (3) de maneiras de ir de A para B pelo número (2) de maneiras de ir de B para C. Ou seja

3 x 2 = 6

Portanto, 6 é o número total de caminhos diferentes que podem ser usados para ir de A até C.

Considere o conjunto V formado pelas vogais a, e, i, o e u.

V= { a, e, i, o, u }

Quantas são as sequências de 2 letras, sem repetições, que se podem formar com essas 5 vogais?



O número de maneiras de escolher a primeira letra é 5 (igual ao número de elementos do conjunto das vogais).

Usando a terminologia do produto cartesiano, podemos dizer que o conjunto dos elementos que podem ser escolhidos para a primeira etapa é o conjunto A1 e que esse conjunto tem 5 elementos (que neste caso são as cinco letras vogais).

O conjunto A2 tem 4 elementos pois, uma vez que não se admitem repetições, o conjunto A2 tem menos um elemento que o conjunto A1 (tem menos a letra escolhida como a primeira letra da sequência).

Assim, o número de elementos do produto cartesiano

A1 x A2

é o conjunto dos 2-tuples (neste caso, como são só dois, podem chamar-se pares ordenados) em que o primeiro elemento pertence a A1 e o segundo pertence a A2.



O número de pares ordenados que resultam do produto cartesiano

A1 x A2

é igual a

5 x 4 = 20

Como não é um número excessivamente grande podemos enumerar esses 2-tuples (ou pares ordenados):

Uma senhora prepara-se para sair e pretende escolher um vestuário composto por um chapéu, uma blusa, uma saia e uns sapatos. Possui 3 chapéus, 8 blusas, 4 saias e 5 pares de sapatos. Admitindo que todas as peças combinam bem umas com as outras, de quantas formas diferentes pode a senhora decidir a forma como se vai vestir?

Podemos considerar que se trata de uma tarefa composta por 4 “etapas”:

1. Escolha do chapéu, que pode ser executada de 3 maneiras diferentes porque há 3 chapéus para escolher;



Assim, o número total de escolhas possível é igual ao produto das escolhas possíveis em cada uma das “etapas”, ou seja:

3 x 8 x 4 x 5 = 480

Admitindo que um alfabeto possui 26 letras diferentes, de quantas maneiras se poderá criar uma sequência de 2 letras distintas?

Trata-se igualmente de uma tarefa que pode ser decomposta em duas etapas: a primeira etapa consiste na escolha da primeira letra, e a segunda etapa consiste na escolha da outra letra.

2. Escolha da blusa, que pode ser executada de 8 maneiras diferentes porque tem 8 blusas;

3. Escolha da saia, que pode ser executada de 4 maneiras diferentes, porque a senhora tem 4 saias para escolher;

4. Escolha dos sapatos, que pode ser executada de 5 maneiras diferentes porque há 5 pares de sapatos.



Pois bem: então de quantas maneiras podemos escolher a primeira letra? Como o alfabeto da linguagem possui 26 letras, podemos facilmente concluir que a primeira etapa pode ser executada de 26 maneiras diferentes.

E para a segunda etapa, quantas são as possibilidades? Dado que as letras têm de ser diferentes, já só restam 25 letras por onde escolher. Por isso, a segunda etapa pode ser executada de 25 maneiras diferentes.

Assim, a tarefa de criar uma sequência de duas letras distintas a partir de um conjunto de 26 letras pode ser realizada de

26 x 25 = 650

maneiras diferentes.



Consideremos o exemplo anterior, mas vamos colocar a seguinte questão: e se as letras não tivessem de ser distintas? Nesse caso, quantas seriam as maneiras diferentes de criar essa sequência de duas letras?

Nessas condições, para completar a primeira etapa (escolha da primeira letra), teríamos 26 possibilidades. E, uma vez que se admite a possibilidade de repetição, para concluir a segunda etapa continuaríamos a ter as mesmas 26 possibilidades. Desse modo, o número total de maneiras diferentes de criar uma sequência de duas letras, não necessariamente diferentes, ou seja, admitindo a possibilidade de letras repetidas, seria

26 x 26 = 676

Ainda com base no mesmo exemplo, uma outra questão: de quantas maneiras se pode criar uma sequência de três letras diferentes?

Bem, neste caso estamos perante uma tarefa que pode ser executada em três etapas sequenciais:



a escolha da primeira letra, a escolha da segunda e a escolha da terceira.

Para realizar a primeira etapa temos 26 possibilidades. Como se pretende que as letras sejam diferentes, não pode haver repetições e, por isso, para a segunda etapa, que consiste na escolha da segunda letra, já só temos 25 possibilidades. Finalmente, para executar a terceira etapa (escolha da terceira letra da sequência), temos só 24 possibilidades. Assim, o número total de possibilidades será:

26 x 25 x 24 = 15600

Uma caixa contém três bolas, numeradas de 1 a 3.

Dessa caixa retira-se ao acaso uma bola e em seguida (sem repor a bola que saiu na primeira extração) retira-se uma segunda bola da caixa. Quantos são os resultados possíveis desta experiência?



Este modelo de tiragem designa-se por tiragem sem reposição. Trata-se de uma tarefa que pode ser dividida em duas etapas.

A primeira etapa (escolha da primeira bola) pode acontecer de 3 maneiras diferentes, porque a caixa tem inicialmente 3 bolas.

A segunda etapa pode ocorrer de 2 maneiras diferentes (porque quando se retira a segunda bola, a caixa só contém 2 bolas). Admitindo, por hipótese, que na primeira tiragem foi escolhida a bola vermelha com o número 1, a composição da caixa, antes da segunda tiragem é a seguinte:

Assim, o número total de sequências diferentes que podem ocorrer nesta experiência é igual a

3 x 2 = 6

Este exemplo permite-nos chamar a atenção para um pequeno mas significativo pormenor. O princípio da multiplicação diz que o número de maneiras de fazer a segunda escolha é independente da escolha que é feita na primeira. Isto é: para a segunda escolha, há o mesmo número de possibilidades, qualquer que seja a escolha que foi feita na primeira. Mas isso não significa que essas possibilidades sejam as mesmas.



De fato, qualquer que seja a bola escolhida na primeira tiragem, há sempre duas possibilidades para a segunda tiragem. Mas quais são essas duas possibilidades? Bem, isso já depende do resultado da primeira tiragem.

Por exemplo, se na primeira tiragem saiu a bola 1, as duas possibilidades para a segunda tiragem são as bolas 2 e 3.

Se na primeira sai a bola 2, as possibilidades para a segunda são 1 e 3.

Finalmente, se na primeira saiu 3, as possibilidades para a segunda são 1 e 2.

Isto é: são sempre duas, mas essas duas são diferentes consoante o resultado da primeira.



Numa caixa há n bolas amarelas e m bolas vermelhas. De quantas maneiras poderemos tirar no máximo duas bolas da caixa, que não sejam da mesma cor, desde que pelo menos uma bola seja escolhida?

Vamos refletir do seguinte modo, identificando os vários casos que podem ocorrer, esquecendo para já a restrição de que tem de ser escolhida pelo menos uma bola.

Consideremos primeiro o que se pode passar com as bolas amarelas. Há um total de n bolas amarelas. Os casos que se podem dar são os seguintes: o número de bolas amarelas escolhidas pode ser 0, 1, 2, …, n. Um total de (n + 1) casos.

O número de bolas vermelhas escolhidas pode também ser 0, 1, 2, …, m. Um total portanto de (m + 1) possibilidades.

Ou seja, para cada um dos (n + 1) casos de bolas amarelas, temos (m + 1) casos de bolas vermelhas. O número total de casos seria portanto

(n + 1) (m + 1)

No entanto, nestes casos que estamos a considerar está incluído um que não é admitido pelas condições do problema: aquele em que o número escolhido de bolas amarelas é igual a 0 e o número de bolas vermelhas também é 0. De fato, as



condições do problema especificam que deve ser escolhida pelo menos uma bola. Por isso, o número de bolas amarelas pode ser 0 e o número de bolas vermelhas também, mas não podem ser ambos iguais a 0, porque isso equivaleria a não escolher nenhuma bola. Temos pois de excluir o caso em que não é escolhida nenhuma bola. Por isso, ao número total de casos é necessário subtrair 1. O número pedido será portanto

(n + 1) (m + 1) – 1

Não percebi. Porque é que se tira um? Isto precisava de um exemplo concreto, com um número concreto de bolas amarelas e bolas vermelhas para se ver mais facilmente…

Vamos então apresentar o problema com um número concreto de bolas: 2 bolas amarelas e 3 bolas vermelhas.

Seguindo o raciocínio anterior, e considerando que, se há 2 bolas amarelas, então há 3 possibilidades de escolha dentro das amarelas (nenhuma bola amarela, a bola amarela 1 ou a bola amarela 2). No caso das bolas vermelhas, há 4 possibilidades (nenhuma bola vermelha, bola vermelha 1, bola vermelha 2 ou bola vermelha 3).

O número total de possibilidades seria pois

3 x 4 = 12



No entanto, nestas 12 possibilidades, há uma que não é válida: aquela em que não é escolhida nenhuma bola amarela e nenhuma bola vermelha.

O quadro anterior, mostra que a possibilidade de não escolher nenhuma bola, tem de ser excluída. Por isso, o resultado será

3 x 4 – 1 = 11

Considere o seguinte conjunto com n elementos:

U = { x1, x2, ... , xn }

Determine o número de subconjuntos.

O número de combinações com 0, 1, 2, … , n elementos de U pode obter-se através do seguinte raciocínio. Para cada elemento de U há 2 possibilidades: ou esse elemento entra na



combinação ou não entra. Como há n elementos no conjunto, o número total de combinações será

2 x 2 x ... x 2 = 2n

Um alfabeto tem 26 letras. De quantas formas se pode formar uma sequência ordenada de 3 letras de forma que duas consoantes distintas sejam seguidas por uma vogal?

No alfabeto há 21 consoantes e 5 vogais. Para as primeiras 2 consoantes distintas há 21 x 20 possibilidades. Para a última vogal há 5 possibilidades.

O número total será

21 x 20 x 5 = 2100

Temos 5 caixas dispostas em fila e 2 bolas: uma amarela e uma vermelha. De quantas maneiras podem essas duas bolas ser distribuídas pelas 5 caixas, de modo que não fiquem 2 bolas na mesma caixa?



[Chegamos evidentemente à mesma conclusão se considerarmos primeiro as possibilidades para colocar a bola vermelha e, em seguida, a bola amarela].

Numa festa há 8 casais. De quantas formas diferentes se pode organizar uma dança em que nenhum dos membros de cada casal seja par do outro (considerando que os pares são de sexos diferentes)?

Podemos começar por admitir que vamos escolher de início uma caixa para colocar a bola amarela. Para esta etapa temos 5 possibilidades. Como não podemos colocar 2 bolas na mesma caixa, a caixa onde foi colocada a primeira bola não é considerada para a colocação da segunda bola. Restam, pois, 4 possibilidades (4 caixas) para colocar a bola vermelha. O número total de possibilidades é portanto

5 x 4 = 20



Para fazer parte de um par, a mulher pode ser escolhida de 8 maneiras diferentes. Dos 8 homens presentes na festa, um deles é o marido. Por isso, restam 7 homens para escolher o outro elemento do par. As possibilidades são pois:

8 x 7 = 56

[Como é evidente, a conclusão é idêntica se começarmos por escolher o homem para a formação do par].

Quantos são os números pares com 2 dígitos?

Para que um número seja par, o dígito das unidades tem de ser 0, 2, 4, 6 ou 8. O dígito das unidades pode pois ser escolhido de 5 maneiras diferentes:

0, 2, 4, 6 e 8

O dígito das dezenas pode ser pode ser um qualquer. Existem 9 possibilidades:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9



O conjunto dos números pares com dois dígitos tem pois

9 x 5 = 45 elementos.

Vamos observar num quadro os números pares com dois dígitos.

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Quantos são os números ímpares com 2 dígitos, diferentes?

Podemos raciocinar da seguinte forma:

Para escolher o dígito das unidades temos 5 possibilidades (porque para um número ser ímpar tem de terminar em 1, 3, 5, 7 ou 9):

1, 3, 5, 7 e 9

Para o dígito das dezenas temos 8 possibilidades (e não 9 porque os dígitos têm de ser diferentes e um dos dígitos já foi escolhido para as unidades).



O número pretendido é

5 x 8 = 40

Vamos observar esses 40 dígitos num quadro.

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Quantos são os números pares com 2 dígitos, diferentes um do outro?

Para resolver este problema vamos considerar dois casos:

a) o número das unidades é 0 b) o número das unidades é diferente de 0.

Vamos usar o princípio da adição e o princípio da multiplicação. Por isso criamos uma partição.

Consideramos o universo U como o conjunto de todos os números que são pares, têm dois dígitos, e esses dígitos são diferentes.



Vamos definir neste conjunto a seguinte partição:

A: Conjunto de todos os pares com 2 dígitos e cujo algarismo das unidades é 0;

B: Conjunto de todos os pares com 2 dígitos e cujo algarismo das unidades é diferente de 0.

O conjunto A tem 9 elementos porque para preencher a posição das dezenas há 9 possibilidades (algarismos de 1 a 9) e, para a posição das unidades só há uma (porque o algarismo das unidades é sempre 0).

9 x 1 = 9

O conjunto B tem 32 elementos porque, para a posição das unidades há 4 possíveis algarismos (2, 4, 6, 8) e para a posição



das dezenas há 8 possibilidades (os 9 dígitos de 1 a 9 menos o que foi escolhido para as unidades). Será portanto

4 x 8 = 32.

Aplicando o princípio da adição temos:

9 + 32 = 41

Uma password é composta por 3 letras seguidas de 3 ou 4 dígitos e finalizada com 2 letras (o sistema não distingue letras maiúsculas e minúsculas). Determinar o número total de passwords possíveis.

Temos dois tipos de passwords:

a) as que são compostas por 3 + 3 + 2 = 8 caracteres e b) as que são compostas por 3 + 4 + 2 = 9 caracteres.

Admitindo que existem 26 letras e 10 dígitos, temos:



No caso a), o número total de possibilidades é igual a

263 x 103 x 262 = 11881376000.

No caso b), as possibilidades são:

263 x 104 x 262 = 118813760000.

De acordo com o princípio da adição, o número total de passwords é igual a

11881376000 + 118813760000 = 130695136000

Considere o primeiro milhão de números inteiros. Determine em quantos desses números aparece uma vez o número 1, uma vez o número 2 e uma vez o número 3.

Podemos imaginar que existem 6 posições a preencher. Essas 6 posições correspondem aos números de 000000 a 999999.



O número 1, por exemplo, pode ocupar uma dessas 6 posições. Um dos outros números, o número 2 por exemplo, pode ocupar uma das restantes 5 e, finalmente, o outro número, neste caso o 3, pode ocupar uma das restantes 4.

Ficam assim 3 posições por preencher, e essas 3 posições podem ser ocupadas por qualquer dos outros 7 dígitos.


Temos assim:

6 x 5 x 4 x 7 x 7 x 7 = 41160

. . .


Temos um grupo de 2 homens e 3 mulheres. De quantas formas podem todos eles ser postos em fila de modo que nenhum homem fique entre duas mulheres?

Para que nenhum homem fique entre duas mulheres, as mulheres têm de ficar juntas. Podemos assim considerar que as mulheres constituem um “grupo”.

Dessa forma trata-se de considerar todas as possíveis permutações de 2 + 1 = 3 “elementos” (2 homens mais um “grupo” de 3 mulheres.

Aplicando o princípio da multiplicação, o número de permutações diferentes desses 3 “elementos” é

3 x 2 x 1 = 3! = 6

Podemos observar uma representação visual dessas 6 diferentes formas de distribuir 2 homens e um “grupo” de 3 mulheres.



A explicação é a seguinte:

Para o primeiro lugar da permutação existem 3 possibilidades; para o segundo, existem 2 e para o terceiro só existe 1 posição. Mas o problema não fica resolvido, porque as mulheres, dentro do seu “grupo”, podem igualmente permutar as suas posições de

3! = 6

formas diferentes, de acordo com o mesmo raciocínio.



Vejamos a representação visual das possíveis distribuições dentro do “grupo” das mulheres.

Finalmente, como para cada distribuição dos 2 homens e do “grupo” das mulheres, existe a distribuição das mulheres dentro do seu “grupo”, aplicando o princípio da multiplicação, o número total de filas que se podem formar é

3! x 3! = 6 x 6 = 36

Podemos observar uma representação visual que sugere a formação das 36 possíveis “filas” que podem ser formadas nas condições definidas.



Princípio da multiplicação: consequência do princípio da adição

O princípio da multiplicação pode ser considerado como uma consequência do princípio da adição. Vamos chegar a essa conclusão, com o seguinte raciocínio.

Como sabemos, pelo princípio da multiplicação, o número total de maneiras de executar uma tarefa em duas etapas, a primeira das quais pode ser executada de a maneiras diferentes e a segunda de b maneiras diferentes é igual a



a x b

Se X é o conjunto de todas as maneiras de executar a primeira etapa da tarefa, então o conjunto X tem a elementos, ou seja

|X|= a

Vamos admitir que os elementos desse conjunto X são os seguintes:

X = { x1, x2, ... , xa }

Por outro lado, admitamos que o conjunto Y é o conjunto de todas as formas de completar a segunda etapa. O conjunto Y tem portanto b elementos, ou seja

|Y| = b

Vamos admitir que os b elementos desse conjunto se podem representar da seguinte forma:

Y = { y1, y2, ... , yb }

As diferentes sequências de 2 elementos que se podem formar a partir do conjunto X e do conjunto Y são os pares ordenados

( xi, yj )

com i = 1, 2, … , a e j = 1, 2, … ,b.



Admitamos que U é o conjunto desses pares ordenados:

U = { ( xi, yj ) com i = 1, 2, ... , a e j = 1, 2, ... , b }

Como o número desses pares ordenados é igual a

a x b

então o número de elementos de U é (a x b), ou seja

|U| = a x b

Vamos em seguida criar uma partição do conjunto U formada por a subconjuntos

U1, U2 , … , Uaem que:

▪ U1 é o subconjunto de pares ordenados em que x1 figura em primeiro lugar;

▪ U2 é o subconjunto de pares ordenados em que x2 figura em primeiro lugar;

…

▪ Ua é o subconjunto de pares ordenados em que xa figura em primeiro lugar.



Verifica-se facilmente que se trata de uma partição porque, como cada um dos Ui começa por um elemento diferente não há pares ordenados iguais nos vários subconjuntos da partição: os conjuntos Ui são mutuamente exclusivos.

Por outro lado, uma vez que o número de subconjuntos corresponde ao número total de possibilidades para o primeiro elemento da sequência, esgotam-se todas as possibilidades de formação de pares ordenados, pelo que a união dos a subconjuntos Ui corresponde ao conjunto U.

Daí resulta que:

U = U1 ∪ U2 ∪ … ∪ Ua

Por outro lado, cada um destes subconjuntos possui b elementos. Porquê? Vejamos.

Por exemplo, o conjunto U1 é o conjunto dos pares ordenados em que x1 é o primeiro elemento e o segundo elemento é cada um dos vários yj que são em número de b.



Portanto, U1 tem b elementos, assim como todos os outros subconjuntos da partição.

Temos assim:

| Ui | = b

| U | = | U1 | + | U2 | + … + | Ua |

| U | = b + b + … + b

a vezes

| U | = a x b



Vemos assim que o princípio da multiplicação é, na verdade, uma consequência do princípio da adição.

O exemplo seguinte permite, de uma forma interessante do ponto de vista do raciocínio combinatório, conjugar o princípio da adição e o princípio da multiplicação.

Quantos são os inteiros entre 1 e 999 que contêm uma só vez o número 8?

Representamos por U o conjunto de todos os inteiros que contêm uma só vez o número 8. Esse conjunto pode ser decomposto numa partição constituída pelos seguintes subconjuntos:

▪ A: subconjunto dos elementos de U com 1 só algarismo▪ B: subconjunto dos elementos de U com 2 algarismos▪ C: subconjunto dos elementos de U com 3 algarismos

Dado que se trata de uma partição, temos:

| U | = | A | + | B |+ | C |



Quanto ao conjunto A é fácil concluir que só possui 1 elemento (o número 8):

| A | = 1

Relativamente ao conjunto B (conjunto dos números com 2 algarismos, um dos quais o número 8), podemos considerar nesse conjunto uma partição constituída pelos subconjuntos B1 e B2.

▪ O subconjunto B1 é o subconjunto dos elementos de B em que o 8 figura na posição das unidades.

▪ O subconjunto B2 é constituído pelos elementos de B em que o 8 figura na posição das dezenas.



B1 tem 8 elementos

Chega-se a esta conclusão com o seguinte raciocínio. Para a posição das dezenas há 8 possibilidades (não pode ser o 0 nem o 8, restam portanto, 8 algarismos). Para a posição das unidades só uma possibilidade, pois por hipótese essa posição contém o 8.

Temos, portanto

| B1 | = 8

B2 tem 9 elementos

De fato, para a posição das dezenas há apenas uma possibilidade (essa posição é ocupada pelo número 8). Para a posição das unidades temos 9 possibilidades (todos os algarismos, menos o 8).



Portanto

| B2 | = 9

Logo, como

| B | = | B1 | + | B2 | vem

| B | = 8 + 9 = 17

Para o conjunto C podemos definir uma partição com os seguintes subconjuntos:

▪ C1: constituído pelos elementos de 3 algarismos com o 8 na posição das unidades;

▪ C2: constituído pelos elementos de 3 algarismos com o 8 na posição das dezenas;

▪ C3: constituído pelos elementos de 3 algarismos com o 8 na posição das centenas;



No caso do conjunto C1 a posição das unidades está ocupada, pelo que resta calcular as possibilidades para as posições das centenas e das dezenas. Para a posição das centenas há 8 possibilidades (não pode ser 0 nem 8). Para a posição das dezenas há 9 possibilidades (só não pode ser o 8). Assim, temos:

| C1 | = 8 x 9 = 72

No conjunto C2 é a posição das dezenas que está ocupada, pelo que é necessário determinar as possibilidades para as outras posições. Para as centenas, há 8 possibilidades (não pode ser o 0 nem o 8). Para as unidades há 9 (só não pode ser o 8). Assim:

| C2 | = 8 x 1 x 9 = 72



Finalmente, no caso do conjunto C3 a posição das centenas está ocupada com o número 8, pelo que temos de usar o princípio da multiplicação para achar as várias possibilidades para as restantes posições. Quer para a posição das centenas, quer para a posição das unidades existem 9 possibilidades (só não pode ser o 8). Por isso, o número de elementos de C3 é

| C3 | = 1 x 9 x 9 = 81

O número total de elementos do conjunto C é pois:

| C | = | C1 | + | C2 |+ | C3 |

| C | = 72 + 72 + 81 = 225

E assim, para o conjunto U temos

| U | = | A | + | B |+ | C |

| U | = 1 + 17 + 225 = 243

Concluímos assim que o número de inteiros entre 1 e 999 que contêm uma só vez o número 8 é igual a 243.




O princípio da subtracção constitui na realidade uma aplicação do princípio da adição. Vamos apresentá-lo de forma isolada para apreciar o tipo de problemas que podem ser resolvidos através da aplicação desse princípio.

Princípio da subtraçãoDado um conjunto fundamental ou universo U, e sendo X um subconjunto desse universo, o complementar do conjunto X no universo U representa-se por

cXou por

X

e é o conjunto de todos os elementos que pertencem a U mas não pertencem a X ou seja

X = { x ∈ U: x ∉ X }

Como é evidente, os conjuntos X e X constituem uma partição de U e portanto:



| U | = | X | + | X |

Ou seja:

| X | = | U | - | X |

A aplicação do princípio da subtração pode revelar-se útil para a resolução de alguns problemas, como podemos observar no exemplo seguinte.

Admita que num determinado país as matrículas dos automóveis são formadas por 6 letras (de um alfabeto de 26). Dentre o número total de possíveis matrículas, calcular o número de matrículas que têm letras repetidas.

Se representarmos o conjunto de todas as matrículas possíveis por U e se representarmos por X o conjunto de matrículas que têm letras repetidas, o conjunto X representa as matrículas que não têm letras repetidas.



Pelo princípio da subtração, temos

| U | = | X | + | X |

donde se tira que:

| X | = | U | − | X |

Ora bem, neste caso torna-se mais fácil calcular, por um lado, o número de total de matrículas (o número total de elementos do conjunto U) e, por outro, o número total de matrículas que não têm letras repetidas. Depois é só achar a diferença para obter o número pretendido.

Pela aplicação do princípio da multiplicação, temos:

|U| = 266 = 308915776

| X | = 26 x 25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 165765600

Portanto:| X | = | U | − | X |

| X | = 308915776 – 165765600 = 143150176

O número de matrículas com letras repetidas é 143150176




O princípio da divisão constitui um caso particular do princípio da multiplicação. A sua formulação pode ser feita do seguinte modo.

Princípio da divisãoSeja U um conjunto com um número finito de elementos. Admita que existe uma partição de n subconjuntos, que todos os subconjuntos da partição possuem o mesmo número de elementos e, ainda, que esse número é igual a m. Daqui pode concluir-se que o conjunto U tem (n x m) elementos, ou seja

| U |= n x m

Temos então a seguinte relação:

Vamos (de novo, mas agora com uma abordagem diferente) considerar o problema que consiste em determinar quantos são os inteiros de 0 a 999 em que o número 8 figura apenas uma vez.

Seja U o conjunto desses números. Vamos admitir que os números são sempre representados por 3 dígitos. Por exemplo 008, 048, 830. Nesse conjunto U pode definir-se uma partição constituída por três subconjuntos:



A: constituído pelos elementos em que o 8 está na posição das unidades;

B: constituído pelos elementos em que o 8 está na posição das dezenas;

C: constituído pelos elementos em que o 8 está na posição das centenas;

Vamos verificar que todos estes subconjuntos possuem o mesmo número de elementos.

A tem 81 elementos

A posição das unidades está ocupada com o número 8 e as posições das dezenas e das centenas têm 9 possibilidades cada (só não podem ter o 8). Portanto

| A | = 9 x 9 = 81



B tem 81 elementos

A posição das dezenas está ocupada com o número 8, mas as outras duas têm 9 possibilidades cada (só não podem ter o 8). Assim

| B | = 9 x 9 = 81

C tem 81 elementos

A posição das centenas está ocupada com o 8, mas as outras duas têm 9 possibilidades cada (só não podem ter o 8). Por isso

| C | = 9 x 9 = 81



Considerando o princípio da divisão, temos:

| U | = n x m

Ora, como n = 3 e m = 81, vem

|U| = 3 x 81 = 243

(resultado a que já tínhamos chegado por outro processo).


Análise combinatória - Princípios básicos I

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