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PROFESSOR: Rondineli Loureiro

ANÁLISE COMBINATÓRIA 1. Princípio Fundamental da Contagem Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: P1 é o número de possibilidades da 1ª etapa P2 é o número de possibilidades da 2ª etapa P3 é o número de possibilidades da 3ª etapa ... Pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa, então:

kpppp ⋅⋅⋅⋅ …321 é o número total de possibilidades de o

acontecimento ocorrer. Exemplo: Leia a tira abaixo

Quando Magali se aproximou, os vendedores rapidamente informaram a ela as seguintes opções de comida: o primeiro ofereceu hot-dog simples (maionese, salsicha, catchup e mostarda) ou completo (simples mais purê, batata palha, vinagrete, etc), e o segundo sugeriu sorvete de chocolate, flocos ou morango. Magali, entretanto surpreendeu os vendedores, informando-lhes que acabara de almoçar e estava sem fome. Iria apenas “forrar o estômago”, servindo-se de um sanduíche e de uma bola de sorvete. De quantos modos distintos Magali pôde fazer sua “refeição”?

1 - Para ir ao clube, Júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um par de tênis. Sabendo que ele dispõe de seis camisetas, quatro bermudas e três pares de tênis, responda: de quantas maneiras distintas poderá vestir-se?

2 - Uma moça possui 5 blusas diferentes e 4 saias diferentes. De quantos modos distintos ela pode se vestir?

3 - Uma agência de turismo oferece bilhetes aéreos para o trecho São Paulo — Miami através de duas companhias: Varig ou TAM. O passageiro pode escolher também entre primeira classe, classe executiva e classe econômica. De quantas maneiras um passageiro pode fazer tal escolha?

4 - Um jantar constará de três partes: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas maneiras distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos principais e quatro sobremesas?

5 - O vagão de um trem possui seis portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode entrar no trem e sair dele por uma porta diferente da que usou para entrar?

6 - Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é formado por uma sequência de três algarismos distintos. Além disso, ele sabe que o algarismo das centenas é igual a 4. Se, em média, o ladrão leva 3 minutos para testar uma possível sequência, qual o tempo máximo para o ladrão abrir o cofre?

7 - (UF-CE) Atualmente, as placas dos veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando estas informações, calcule o número de placas distintas que podem ser fabricadas, iniciadas pelas letras HUI, nesta ordem, e cujo último algarismo seja ímpar.

8 - Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 7 cores diferentes, podendo o comprador optar entre os motores 1600cc e 1800cc. Sabendo que os automóveis são fabricados nas versões S, L e LS, quantas são as alternativas para o comprador?

9 - Existem apenas dois modos de chegar a uma cidade X partindo de A. Um deles é ir até uma cidade intermediária B e de lá ir a X. Outro modo é ir até C e de lá chegar a X. Há 10 estradas ligando A e B, 12 ligando B a X, 5 ligando A a C, 8 ligando C a X, nenhuma ligando B e C e nenhuma ligação direta entre A e X. Qual o número de percursos diferentes, por estas estradas, para ir de A até X?

2. Fatorial

Defini-se fatorial de n através da expressão:

123)2()1(! ⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅= …nnnn

Em que:

−

>∈

fatorial:selê!

1

N

nn

nen

Definições especiais:

• 1!1 =

• 1!0 =

Exemplo: Calcule os fatoriais: a) 2! = b) 5! = c) 7! =

1 - Calcule:

a) =!3 b) =!6

c) =⋅ !3!2 d) =−+ !5!3!4

2 - Simplifique as expressões:

a) =

!3

!7 b) =

!3

!4 c) =

!9

!12

d) =

⋅

⋅

!8!6

!9!7 e) =

+

!3

!3!5

Matemática rondicloureiro@gmail.com

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3. Arranjo Simples

Seja B = {b1, b2, ..., bn} um conjunto com n elementos (n ∈

N ).

Denomina-se arranjo simples dos n elementos de B, tomados p a p (p ≤ n), qualquer agrupamento de p elementos distintos, escolhidos entre os elementos de B.

Notação: pnA , ou pnA

Fórmula do Arranjo Simples

)!(

!,

pn

nA pn

−

=

Exemplo: Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar com os dígitos 1, 2, 3 e 4? 4. Combinação Simples

Seja B = {b1, b2,..., bn} um conjunto com n elementos (n ∈

N ).

Denomina-se combinação simples dos n elementos de B, tomados p a p, qualquer subconjunto de p elementos do conjunto B.

Notação: pnC , ou pnC

Fórmula da Combinação Simples

!)!(

!,

ppn

nC pn

⋅−

=

Exemplo: Uma classe tem 30 alunos. Um professor organiza uma prova oral para a qual 5 alunos serão sorteados ao acaso. De quantas formas o Professor poderá escolher os alunos? Observação

Tanto o arranjo quanto a combinação são agrupamentos de p

elementos distintos escolhidos a partir de um conjunto de n

elementos. A diferença é que, no arranjo, se mudarmos a ordem dos

elementos de certo agrupamento, obteremos um novo

agrupamento; na combinação, mudando a ordem dos elementos de

certo agrupamento, obtemos o mesmo agrupamento.

5. Permutação Simples

Seja B = {b1, b2,..., bn} um conjunto com n elementos (n ∈ N ).

Denomina-se permutação simples dos n elementos de B, todo arranjo dos n elementos de B tomados n a n.

Notação: nnn AP ,=

Fórmula da permutação Simples

!nPn =

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com a palavra CAFÉ?

1 - Quatro times de futebol (Vasco, Atlético, Corinthians e Internacional) disputam um torneio. Quantas e quais são as possibilidades de classificação para os três primeiros lugares?

2 - Quantas comissões de três membros podemos formar com os alunos Ayrton, Pedro, Odair e Walter?

3 - Qual o número de anagramas da palavra SOMA? E de LIVRO?

4 - Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

5 - Oito caminhos conduzem ao cume de uma montanha. De quantos modos uma pessoa pode subir e descer por caminhos diferentes?

6 - Para a eleição do corpo dirigente de uma empresa candidatam-se oito pessoas. De quantas maneiras poderão ser escolhidos presidente e vice-presidente?

7 - Considere os anagramas da palavra BRASIL? a) quantos são? b) quantos começam por B? c) quantos começam por vogal? c) quantos apresentam as letras BR juntas e nessa ordem? d) quantos apresentam as letras BR juntas?

8 - Uma estante tem 10 livros distintos, sendo cinco de Álgebra, três de Geometria e dois de Trigonometria. De quantos modos podemos arrumar esses livros na estante, se desejamos que os livros de um mesmo assunto permaneçam juntos?

9 - Oito pessoas, entre elas António e Pedro, vão posar para uma fotografia. De quantas maneiras elas podem ser dispostas se António e Pedro recusam-se a ficar lado a lado?

10 - (PRISE 2005) Para a formação de uma equipe de trabalho, uma empresa realizou um concurso para preenchimento de vagas em seu setor de informática, sendo 2 vagas para Analista de Sistemas e 3 para Técnico. O primeiro colocado no cargo de analista de sistemas terá função de coordenador da equipe e os aprovados no cargo de técnico terão funções idênticas. Todos os aprovados no concurso serão chamados juntos, independente da classificação de cada um. Inscreveram-se 5 pessoas para concorrer ao cargo de analista de sistemas e 6 ao cargo de técnico. Então qual o número de maneiras distintas que essas 5 vagas podem ser preenchidas, para a formação da equipe de trabalho, pelos candidatos?

11 - Seja A um conjunto de 10 pessoas; dessas, apenas 4 têm maioridade. Calcule o número de comissões de 3 elementos que podemos formar com elementos de A, tendo cada comissão pelo menos uma pessoa com maioridade.

12 - Uma pesquisa deseja saber a ordem de preferência dos três maiores ídolos do esporte no Brasil.

a) Quantas respostas diferentes são possíveis, se a cada entrevistado é apresentada uma lista com o nome de 20 esportistas? b) Quantas dessas respostas têm o nome de Guga como 1° colocado? c) Em quantas respostas não aparece o nome de Guga?