ANÁLISE COMBINATÓRIA

FATORIAL

5! = 5.4.3.2.1 = 120

4! = 4.3.2.1 = 24

3! = 3.2.1 = 62! = 2.1 = 2

1! = 1

0! = 1 CONVENÇÃO

Exemplo: Calcular o valor de:

a) 4! + 3! b) 7!

24 + 6

30

7.6.5.4.3.2.1

5040

Observe que:

4!+3! ≠ 7!

c)

!8

!10

n! = n.(n − 1) . (n − 2) . (n − 3). .... 2 . 1

=8!

10.9.8! 90=

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Professor: Josivaldo Passos.

d)

!49

!49!50 −

– 49!

49!

50.49!

49!(50 – 1)

49!

49

O conjunto solução de:

210)!1(

)!1( =−+n

n é:

(n – 1)!= 210

(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)....

(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)!

(n + 1).n.(n – 1)!

(n + 1).n = 210

n2 + n – 210 = 0

n’ = 14 n’’ = - 15(não convém)

Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação(m – 3)! = 1

(m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0!

m – 3 = 1

m = 4

m – 3 = 0

m = 3

Logo a soma dos valores de m é 7

210)!1(

)!1( =−+n

n

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PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades.

Pode ser enunciado dessa forma:

Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que:E1 é o número de possibilidades da 1ª EtapaE2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa : :En é o número de possibilidades da n-ésima EtapaEntão E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer.

Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.)

2626 26 1010 10 10 = 175. 760. 000

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Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podemser formados ?

Alguns números possíveis

244 3215244 5138244 0008244 2344244 0000:::

Usando o princípio fundamental da contagem:

2441010 1010

= 10 000 números

fixo

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Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios?

99100= 9900 maneiras

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USA TODOS ELEMENTOS

NÃO USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO

ARRANJO

COMBINAÇÃO

IMPORTA ORDEM

NÃO IMPORTA ORDEM

Pn = n!p)!(n

! np

nA

−=

p!p)!(n

! np

nC

−=FORMULÁRIO

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EXERCÍCIOS:

1. De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?

Resposta: 6 2. Qual é o número possível de anagramas

que se pode montar com as letras da palavra AMOR?

Resposta: 24

30/06/11 7

3. Quantos números com cinco algarismos distintos, podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9?

Resposta: 120 4. Quantos números com cinco algarismos

podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3?

Resposta: 48 5. Quantos são os anagramas possíveis

com as letras: ABCDEFGHI, começando por AB?

Resposta: 504030/06/11 8

6. Há 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntos?

Resposta: 3456 7. Quantos grupos de 3 pessoas podem

ser montados com 8 pessoas? Resposta: 56

30/06/11 9

8. Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?

Resposta: 499500

9. Em uma sala existem 20 pessoas, 8 mulheres e 12 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?

Resposta: 44352

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10. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comissões com 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades?

Resposta: 120

11. Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Resposta: 81

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12. Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados?

Resposta: 60

13. Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?

Resposta: 15600

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