Análise de Carregamento Hidrodinâmico em Estruturas Flutuantes - Parte I A Excitação

Setembro 2012

Análise de Carregamento Hidrodinâmico em Estruturas Flutuantes

João Henrique VOLPINI MattosEngenheiro NavalRegional Sales Manager - Maritime & Offshore Solutions (South America), DNV Software

Baia da Guanabara – Abril 2010

Parte I – A Excitação

Presenter

Presentation Notes

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Hidrodinâmica

Slide 2

Resistência ao avanço : Avalia a resistência contra o movimento causadaprimariamente pelo fluxo de água ao longo do casco.

Propulsão : A força para mover o navio através da água é dado por propulsoresde vários tipos, jatos de água, vela, etc. Sua iteração com o meio irá definir aeficiência propulsiva.

Carregamento hidrodinâmico : Avalia as pressões, forças e momentosinduzidos no casco pelas ondas, correnteza, etc.

Movimento do navio : Avalia os movimentos (deslocamentos, velocidade eacelerações) da embarcação e sua resposta em ondas.

Manobrabilidade : Avalia o controle e manutenção da posição e direção daembarcação.

É uma especialidade da mecânica dos fluidos que trata da iteração entrecorpos rígidos e fluidos (notadamente incompressíveis) através do estudo doescoamento ao longo do casco da unidade, bem como em outros corposcomo pás do propulsor, leme, túnel do impelidor lateral, etc.


Características Importantes Algumas características do comportamento em ondas são importantes no

projeto de uma unidade flutuante, sob o ponto de vista da segurança econforto :- Movimentos e acelerações em diversos pontos do

casco- Tensões ocorrentes em pontos do casco.- Ocorrência de batida de proa (slamming).- Incidência de água no convés (green sea).- Ocorrência de emersão do propulsor.- Perda de velocidade em ondas.

Slide 3

Para calcular tudo isto, o primeiro passo é umacompreensão adequada das ondas : seu com-portamento real, seus modelos matemáticos,sua distribuição no tempo e no espaço, ...

© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 4

AlgumaMatemática(não tão)

Básica


Aí Vem Coisa .... Você que provavelmente tem um background em matemática, engenharia

civil, mecânica dos fluidos ou física, certamente não tem medo dederivadas parciais ou funções de transferência quadráticas …

Ou tem ?

Na matemática aplicada à hidrodinâmica, temos que conhecer algunsconceitos; cálculo vetorial, equações diferenciais, operadores diferenciais,números complexos...

Não que este conhecimento seja fundamental a compreensão deste texto,mas será se quiser ler posteriormente algum livro ou artigo sobre oassunto.

Slide 5

Presenter

Presentation Notes

... Um curso de engenharia eletrônica antes é interessante. Eles utilizam todos estes conceitos matemáticos no seu dia a dia.


Alfabeto Grego

Slide 6

LETRA NOME UTILIZAÇÃO

α Alpha

β BetaÂngulo entre o aproamento e a direção da onda, parâmetro de escala de Weibull

γ Gamma Fator de intensificação de pico, assimetria

δ Delta Amplitude da onda

ε Epsilon Largura de banda

ζ Zeta Elevação da onda

η Eta

θ Teta Parâmetro de localização de Weibull, ângulo de arfagem

ι Iota

κ Kappa

λ Lambda Comprimento da onda

μ Mu Profundidade relativa, média estatística de valores

LETRA NOME UTILIZAÇÃO

ν Nu Coeficiente de viscosidade cinemática

ξ Xi Fator de amortecimento

ο Omicron

π Pi 3.1415926535897932384626...

ρ Rho Densidade

σ Sigma Desvio padrão

τ Tau Período de retorno

υ Upsilon

φ PhiFunção de distribuiçãoacumulada, ângulo de jogo, potencial de velocidades

χ Chi

ψ Psi Ângulo de guinada

ω Omega Frequência angular

Presenter

Presentation Notes

1º passo – aprender grego arcaico !


Produto Escalar O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores A e B é um

número real resultado do produto do comprimento de A pela projeção de B em A

Em um sistemas de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde

então

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( )θcos. BABA

=•

( )( )

nn

n

iii

n

n

babababa

bbbaaa

+++==•

==

∑−

...

,,...,,,...,

22111

21

21

BA

BA

A

B

|B|cos(θ)

Presenter

Presentation Notes

As principais propriedades do produto escalar são as seguintes: • comutativo: A·B = B·A • distributivo em relação à adição : A· (B + B) = A·B + A·C • λ ∈ R, (λ A) · B¯ = λ (A · B). • A · A = 0 se, e somente se, A = 0.


Produto Vetorial

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O produto vetorial (ou produto externo) entre dois vetores A e B no espaço tridimensional é um outro vetor perpendicular a ambos os vetores (ou normal ao plano formado por ambos)

Em notação matricial, se

então

A

A ₓ B

B|A ₓ B|

( )nBABA ˆsin. θ

=× n é o vetor unitário perpendicular tanto a A quanto a B

[ ] [ ]321321321321 bbbbbbaaaaaia =++==++= kjiBkjiA

e

=−+−+−=×

321

321122131132332 det)()()(bbbaaababababababakji

kjiBA

i, j, k são os vetores unitários nas direções x,y,z

Presenter

Presentation Notes

Propriedades algébricas : O produto vetorial é anticomutativo, A × B = -B × A, Distributivo sobre a adição, A × (B + C) = A × B + A × C, É compatível com a multiplicação escalar, tal que (rA) × B = A × (rB) = r(A × B)


Funções Trigonométricas e Hiperbólicas Enquanto as funções trigonométricas geram círculos, as funções hiperbóli-

cas vão gerar uma hipérbole.

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𝑥= cos𝛼𝑦 = sin𝛼

𝑥= cosh𝛼 =𝑒𝛼 + 𝑒−𝛼

2𝑦 = sinh𝛼 =

𝑒𝛼 − 𝑒−𝛼

2

x2 + y2 = 1

sincostan

sinh

cosh

tanh

Presenter

Presentation Notes

É importante conhecer a forma das funções para saber quando aproximá-las pelo ângulo e quando tendem a infinito.


Em vários processos físicos existem grandezas que variam com a posição e o tempo e que podem ser representadas por uma função f(x,y,z,t) que é denominada campo.

Um campo é estacionário quando independe do tempo f(x,y,z).

Um campo é escalar quando a grandeza característica do campo é escalar.

Exemplos :

Campo

• A distribuição de temperatura em uma sala.

• A intensidade do som em um cinema.

• O campo magnético terrestre.

• A velocidade da água em uma pia aberta.

Campo escalar

Campo vetorial

zyxzyxf sin53),,( 2 −+=

)3,5,53(),,( xyxzyzxzyxF +=


Foi introduzido pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton, sendo usado no cálculo vetorial para denominar o operador diferencial.

Em coordenadas cartesianas

ou ou

Em coordenadas cilíndricas

Em coordenadas esféricas

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O Operador Nabla

zyx ˆˆˆzyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇

zρ ˆˆ1ˆz∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇ ϕϕρρ

kjizyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇

ϕϕθθ

ˆsin1ˆ1ˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇rrr

θr

i, j, k são os vetores unitários nas direções x,y,z

∂∂

∂∂

∂∂

=∇zyx

,,

ρ

William Rowan HamiltonMatemático irlandês 1806-1865


Gradiente É uma função vetorial que indica o sentido e direção da maior alteração do

valor uma função escalar por unidade de espaço.

Suponha um campo escalar f(x,y,z), então

Exemplo :

kjizf

yf

xff

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

kji zyf

zyxzyxf

cos103então

sin53),,(se 2

−+=∇

−+=

O gradiente de f(x,y) em (x,y) é normal à “curva de nível” no ponto (x,y), apontando para a direção de crescimento máximo de f(x,y).

Em suma, o gradiente de uma função escalar é um vetor com módulo, direção e sentido que representa a taxa máxima de crescimento desta função escalar.

Presenter

Presentation Notes

Gradientes só podem ser aplicados sobre funções escalares. No gradiente derivamos a função em relação a cada um dos eixos.


Divergente Divergente de um campo vetorial F é um escalar que representa o fluxo do vetor por

unidade de volume

Ele é calculado como o produto escalar entre o operador e um campo vetorial.

Suponha um campo vetorial , então

Ou seja, divergente é um operador que mede a magnitude da “fonte” ou “sumidouro” de um campo vetorial em um dado ponto, isto é, pode ser entendido como um escalar que mede a dispersão dos vetores do campo em um determinado ponto.

zF

yF

xF zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=•∇ F

dSVVSV ∫∫→

=•∇)(0

.lim nFF

kjiF zyx FFF ++=

V é o volume em uma região arbitráriaS(V) é a superfície deste volumen é o vetor normal à área

Exemplo : Se o ar é aquecido em uma sala, ele irá se expandir em todas as direções. O divergente será positivo pois se obser-varmos um pequeno volume desta região teremos mais ar saindo do que entrando neste volume : uma fonte.

yyzyxyzyx sin21sin3)55()cos10()23( +=−+=•∇−++−++−= VkjiV

∇

Presenter

Presentation Notes

Divergente só pode ser aplicado sobre funções vetoriais. No divergente derivamos os componentes da função em cada eixo em relação a este eixo, somando aritméticamente seus valores


Rotacional

Suponha um campo vetorial , então

Ou em termos matriciais

kjiF

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=×∇yF

xF

xF

zF

zF

yF xyzxyz

kjiF zyx FFF ++=

zyx FFFzyx ∂

∂∂∂

∂∂

=×∇

kji

F

A

Fdsc

A

∫→

=•×∇0

limˆ)( nF

A direção do rotacional aponta para o eixo de rotação e sua magnitude é dada pelo módulo do rotacional.

O rotacional de um campo vetorial pode ser entendido físicamente como uma medida de sua circulação por unidade de área (vorticidade).

kjiVkjiV 265 )55()cos10()23( −+=×∇−++−++−=

zyxyzyx

Hermann Ludwig Ferdinand von HelmholçtzMédico e físico alemão 1821-1894


Laplaciano O operador Laplaciano é um escalar definido como o divergente de um

gradiente. Na verdade, isto é uma simplificação, pois ele também pode ser aplicado a campos vetoriais.

2

2

2

2

2

22

zf

yf

xffff

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆=∇=∇•∇

Exemplo : Fisicamente o Laplaciano pode ser visualizado como uma medida da “concavidade” ou mudança de direção de uma função - uma rampa linear teria Laplaciano nulo.

kjiFF zyx FFF 2222 ∇+∇+∇=∇=∇×∇

Laplaciano escalar aplicado a um campo escalar.

Laplaciano vetorial aplicado a um campo vetorial. Pode ser encarado como a soma dos laplacianos dos componentes ortogonais.

Equação de Laplace 02 =∇ f

Pierre Simon LaplaceMatemático francês 1749-1827


Escoamento Potencial Em fluidodinâmica, um escoamento potencial é aquele que pode descrever

o campo de velocidades como o gradiente de uma função escalar : o potencial de velocidades.

Exemplo matemático

Se o escoamento é potencial, então

Se o fluido é incompressível, então

O escoamento potencial não apresenta turbulência nem camada limite.

ϕ∇=v

0=×∇ v

02 =∇ ϕ

)2,3(),(23),(

=+=

yxyxyx

vϕ

O rotacional é nulo

O Laplacianol é nulo


Teorema de Green Matematicamente, o Teorema de Green relaciona a integral de linha ao

longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por esta curva.

Seja C uma curva simples fechada derivável e D a região do plano delimitada por C. Sejam P e Q duas funções reais de variável real com derivadas parciais contínuas na região contendo D, então :

∫ ∫∫

∂−

∂∂

=+C

DdA

dyP

xQQdyPdx

Na fluidodinâmica este teorema é utilizado para descrever o relacionamento pelo qual um fluido incompressível se move ao longo ou através de uma fronteira em um plano e o modo pelo qual ele se move dentro desta região.

George GreenMatemático inglês 1793-1841


Física(meio)

Básica


Milha Náutica : A definição atual da milha náutica (ou milha marítima) foi adotadaem 1929 pela First International Extraordinary Hydrographic Conference, realizadaem Mônaco.

1 mn = 1852 m

Milha NáuticaNáutica

Milha

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Historicamente a milha náutica foi definida como sendo o comprimento de 1 minuto de arcoao nível do mar, medida ao longo dos meridianos ou do equador.

A milha terrestre é definida como 5280 pés (1609.344 m), e historicamente foi definida naRoma antiga como a distância percorrida em 1000 passos por uma coluna de soldados.

Presenter

Presentation Notes

A milha náutica também é utilizada nos meios aeronáuticos.


Nó O nó (knot) é a unidade de velocidade normalmente utilizada nos meios marítimos.

1 nó = 1 mn/h = 1852 m/h = 0.5144 m/s = 1,852 km/h

Slide 20

O nome veio historicamente do processo utilizadopara medir velocidades, onde uma corda com nósespaçados de 50 pés, amarrada a uma tábua demadeira triangular com pesos (para se manterafundada) era jogada pela popa. Uma ampulheta de30 segundos era utilizada, contando-se quantos nóspassavam pela amurada neste intervalo.

50 ft x 0.3048 m = 0.51 m/s30 s 1 ft

Demonstração


Leis de Newton 1ª Lei (Lei da Inércia)

2ª Lei (Princípio Fundamental da Dinâmica)

3ª Lei (Princípio da Ação e Reação)

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Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em linha reta a menos que seja obrigado a mudar por forças impressas a ele. A mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa e se faz segundo a linha reta pela qual se imprimeesta força.

A uma ação sempre se opõe uma reação igual em sentido contrário.

Isaac NewtonFísico inglês 1642-1727

00 =⇒=∑ dtdvF

avvpF

mdtdm

dtmd

dtd

====)(

∑∑ −= abba ,, FF

Não é preguiça, é inércia !

Presenter

Presentation Notes

Lembra do 2º grau ?


Equação de Bernoulli Para um fluxo permanente sem viscosidade e incompressível, um aumento

na velocidade do fluido ocorre simultaneamente com uma diminuição napressão ou na energia potencial do fluido.

Slide 22

constante2

2

=++ρpghv

O princípio de Bernoulli pode ser utilizadopara justificar a força de sustentação de umaerofólio. Se o ar na parte superior domesmo se move mais rapidamente do que naparte inferior, haverá uma diferença depressão para cima.

Daniel BernoulliMatemático holandês 1700-1782

Presenter

Presentation Notes

Este princípio não diz porque o ar na parte superior se move mais rapidamente. Não é por causa do caminho mais longo, senão uma placa plana inclinada não sofreria lift. Isto é explicado pela circulação, condição de Kutta.


Equação de Navier-Stokes São equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Newtonianos.

Elas são equações a derivadas parciais que permitem determinar os camposde velocidade e de pressão num escoamento. Estas equações estabelecem quemudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são simplesmente oresultado das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas (similar a fricção)atuando dentro do fluido.

Em notação vetorial, assumem a seguinte forma

Para escoamentos invíscitos (μ=0) chega-se à equação de Euler

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Claude Louis Marie Henri NavierEngenheiro e matemático francês 1785-1832

George Gabriel StokesMatemático e físoco irlandês 1819-1903

VpgDt

VD

2∇+∇−= µρρ

Massa por unidade de volume vezes aceleração

Força gravitacional por unidade de volume

Força de pressão por unidade de volume

Força viscosa por unidade de volume

pgDt

VD∇−=

ρρ

Presenter

Presentation Notes

Um fluido newtoniano é um fluido em que cada componente da tensão cisalhante é proporcional ao gradiente de velocidade na direção normal a essa componente. A constante de proporcionalidade é a viscosidade dinâmica. Estas são equações diferenciais que descrevem o movimento do fluido, e que diferentemente das equações algébricas, não procuram estabelecer uma relação entre as variáveis de interesse (por exemplo. velocidade e pressão). Em vez disto, elas estabelecem relações entre as taxas de variação ou fluxos destas quantidades. Em termos matemáticos, estas razões correspondem a suas derivadas. As equações de Navier-Stokes para o caso mais simples de um fluido ideal com viscosidade zero, estabelecem que a aceleração (a razão de variação da velocidade) é proporcional a derivada da pressão interna


Ondas de Gravidade

Presenter

Presentation Notes

Não há ondas apenas na superfície do mar.


Ondas de Gravidade Ondas geradas no meio fluido ou na interface entre a água e o ar, tendo

como força de restauração principal a gravidade.

Mesmo não transportando massa (ao menos na teoria linear), transportamenergia (quem viaja é a forma da onda, não a matéria).

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A medida em que a profundidade aumenta, omovimento das partículas diminue. A umaprofundidade igual a metade do comprimentoda onda o movimento orbital das particulas émenos que 5% o da superfície.

Presenter

Presentation Notes

A tensão superficial é insignificante.


Origem das Ondas de Gravidade Correntes de ar : Resultante da

ação do vento soprando em umaextensão suficiente da superfície dooceano (pista).

Correntes marítimas : Devido aoefeito dos campos de pressãoatmosférica que geram os ventos e ascorrentes marítimas.

Marés : Associada a variação do nívelmédio da superfície livre da água,causada pela interferência da Lua edo Sol sobre o campo gravitacional daTerra.

Deslocamentos de terra ou gelo.

Slide 26


Características Gerais das Ondas Oceânicas Irregulares e randômicas em formato, altura, comprimento e velocidade de

propagação.

Slide 27

Classificação :• Wind seas (vagas) : Geradas pelo vento no local, em geral

não possuem uma direção coerente nem formato definido.

• Swell (marulho ou ondulação) : As mais comuns. sepropagam por milhares de quilometros, tendendo a se alinhare agrupar em séries. Em um determinado local pode existirswell vindo de vários outros locais.

• Tsunami : Gerada por perturbações sísmicas (terremotos,erupções vulcânicas, etc.). Não oferecem perigo em alto mar.

• De capilaridade : Formadas no início das correntes de vento,morrem quando o vento termina, sendo amortecidas pelatensão superficial da água.

Presenter

Presentation Notes

Um modelo randômico pode ser criado pela soma de vários componentes de onda regulares com diferentes amplitudes, frequências e direções. Tsunamis tem comprimento de onda de 130 a 160 km,´podendo atingir 1000 km, períodos de 15 min a 2 h e velocidades maiores que 360 nós (650 km/h). Sua altura em grandes profundidades é de menos de 1 m, mas em águas rasas a velocidade e comprimento diminuem e sua altura pode alcanças 30 m. Meteoro K-T. 65 milhões de anos. 5-10 km, 72.000 km/h, onda de 900 m. Capilares tem comprimento de onda muito pequeno (até 1.7 cm)


Como as Ondas Nascem Em geral resultam do vento soprando sobre uma grande área do oceano

(pista - fetch) durante um bom tempo.

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- Inicialmente o movimento turbulento do ar começa aperturbar o equilíbrio da água pela ação de pulsos depressão sobre a superfície, surgindo as ondas decapilaridade (ripples).

- Se o vento aumentar, as ondas começam a se formar e ainterferir na passagem do vento. Ele encontra maiorresistência para vencer as cristas e cavados e tem início atransferência de energia para a superfície da água.

- Se o vento continua por mais tempo e distância, avelocidade das ondas pode se igualar a sua velocidade (oumesmo ultrapassá-la), formando o que é chamado de“mar totalmente desenvolvido” (a energia ganha do ventoé igual à perdida para a gravidade).


Influência da Pista e Velocidade do Vento Na figura podemos estimar a altura significativa das ondas, partindo dos

valores de velocidade do vento (eixo vertical) e comprimento da pista (eixohorizontal), ou velocidade do vento e sua duração (linhas tracejadas),determinando a altura das ondas (linhas cheias).

Slide 29

Velo

cidad

e do v

ento

(m/s)

Duração (h)

Comprimento da pista (km)

Altu

ra (m

)


Como as Ondas Morrem Perdem energia devido ao espalhamento.

Empinamento (shoaling). É o processo no qual a altura da onda aumenta amedida em que a profundidade diminue (a profundidade é consideradarasa quando d <= λ/20). Seu período é mantido, mas o comprimento evelocidades também diminuem.

A onda quebra quando sua altura é maior que 78% da profundidade oumenor que 1/7 do seu comprimento.

Dependendo da inclinação do fundo, da altura e do comprimento da onda(em águas profundas), a forma da arrebentação pode variar

Slide 30

- Deslizantes : inclinação suave

- Tubulares : Inclinação intermediária

- Ascendentes : Inclinação acentuada. Na verdade as ondas nunca quebram.


Altura Máxima das Ondas A altura da onda é limitada pela sua quebra.

A altura máxima por quebra é dada por

A altura máxima por quebra também pode ser mostrada como uma funçãodo período da onda para diferentes profundidades, como no gráfico

Slide 31

=

λπλ dHb

2tanh142.0

7λ

=bH Em águas profundas

Em águas rasas a altura dequebra pode ser tão baixacomo 78% da profundidadelocal, mas em regiões extensase muito planas pode diminuir a55% da profundidade local.

Presenter

Presentation Notes

A tangente hiperbólica de um grande número tende a 1.


Ondas Internas Propagam-se na interface de separação entre massas de água com

densidades diferentes. Qualquer perturbação é suficiente para provocarestas ondas.

Slide 32

Com frequência bem mais baixa do que asondas de superfície (períodos entre 10 e 20min), mas com amplitude significativamentemaior (dezenas de metros), as ondas internasfazem com que as partículas que estão nasuperfície (como detritos, derramamento depetróleo, etc.) convirjam e se acumulemsobre os seus cavados.

Presenter

Presentation Notes

Períodos de 10 a 20 min. Amplitude até 150m.


Medindo asOndas


Teoria das OndasNa análise de estruturas submetidas a carregamento de ondas, elas podemser modeladas por métodos determinísticos ou estocásticos.

Quanto àRegularidade

Quanto àLinearidade

Ondas Regulares : São periódicas e uniformes, possuindo um comprimento λ, período T e uma altura H bem definidos.

Ondas Irregulares : pode ser representado pela superposição linear de ondas regulares com diferentes amplitudes, frequências e fases.

Ondas Lineares : Satisfazem as condições do movimento ser irrotacional e o fluido incompressível (a matéria não se desloca).

Ondas Não-Lineares : As partes “altas” da onda se movem mais rápido que as “baixas”.

Presenter

Presentation Notes

O comportamento determinístico é governado por leis exatas; o comportamento estocástico é governado pelo acaso.


λ

AC

AT

Hx

z

Características Físicas das Ondas 1

Comprimento da onda λ [m] é a distância entre duas cristas sucessivas. Período da onda T [s] é o intervalo de tempo para a onda percorrer um ciclo

completo. Velocidade de fase é a velocidade de propagação da forma da onda [m/s].

Frequência da onda [Hz] é número de ciclos que a onda realiza por unidade de tempo.

Frequência angular da onda [rad/s].

Número de onda [rad/m] é o número de ciclos da onda por unidade de com-primento.

Slide 35

Tc λ

=

Tf 1

=

fT

ππω 2= 2

= T, f e ω

estão interligados

λπ2

= k



Altura ou amplitude da crista AC é a distância do nível de águas paradas até acrista.

Profundidade ou amplitude do cavado AT é a distância do nível de águas paradasaté o cavado.

Altura da onda H é a distância vertical do cavado até a crista H = AC + AT

Ondas lineares são simétricas em relação ao nível médio da água.

Ondas regulares não lineares são assimétricas, (AC > AT), e a velocidade de fase cdepende da altura da onda H.

Slide 36

λ

AC

AT

Hx

z

Presenter

Presentation Notes

Se a esbeltez for grande (> 1/7) a onda tende a quebrar



Esbeltez é a proporção entre a altura da onda e seu comprimento

Altura relativa é a proporção entre a altura da onda e a profundidade

Profundidade relativa é a proporção entre a profundidade e o comprimento da onda

Slide 37

λ

AC

AT

Hx

z

Leito marinho

d

dH

λµ d

=

Horace LambMatemático inglês 1849-1934

λHS =


Grupos de Ondas

Slide 38

)tanh()2sinh(

2121 kd

kg

kdkdcg

+=

==

λπ

λπω dgkdgk 2tanh2)tanh(

Na teoria linear de ondas pode ser demonstrado que a velocidade de fase dependedo comprimento da onda e profundidade local

Em um local do oceano são gerados trens de ondas com vários comprimentos deonda e períodos ligeiramente diferentes. Estas ondas vão interferir formando umúnico grupo de ondas resultantes.

Velocidade de grupo cg é a velocidade pela qual a modulação das amplitudes daonda (a energia) se propaga.

Relação de dispersão para ondas lineares [rad/s]

2=

λπ

πλ dgc 2tanh

Presenter

Presentation Notes

A relação de dispersão para ondas lineares estabelece que existe apenas uma única relação entre w, k e d (ou T, L e d). Logo, se duas quantidades são conhecidas, a terceira é encontrada.


Escala de Estado de Mar WMO O conceito de estado de mar (sea state) é vago, pois não indica o período

das ondas. Entretanto, é largamente utilizado.

Definido pela World Meteorological Organization, é baseado na Escala deDouglas para “wind seas”.

Slide 39

CÓDIGOWMO DESIGNAÇÃO

ALTURA DAS ONDAS (m)

0 Espelhado 0

1 Chão 0-0.1

2 Encrespado 0.1-0.5

3 Pequena vaga 0.5-1.25

4 Cavado 1.25-2.5

5 Grosso 2.5-4

6 Alteroso 4-6

7 Tempestuoso 6-9

8 Encapelado 9-14

9 Excepcional 14+

WMO 4

WMO 9WMO 7

WMO 6

Henry Percy DougllasHidrógrafo inglês 1879-1939

Presenter

Presentation Notes

Não confundir com Escala Beaufort para ventos, embora haja uma certa correlação. Na escala Beaufort U (nós) = 1.87 x B ^ 1.5 (B = fator Beaulfort)


Caracterização do Estado de Mar

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O estado de mar é melhor caracterizado por várias estatísticas, sendo asprincipais :- Altura significativa Hs.- Período médio entre cruzamentos zero Tz ou período de pico Tp

- Direção da propagação das ondas

Alguns destes parâmetros são historicamente obtidos por estimativasvisuais feitas por um observador treinado.

Outros podem ser obtidos a partir de análises estatísticas a partir de umatabulação dos dados coletados H1/3, Hrms). Finalmente, através de análises estatísticas mais complexas a partir do

espectro de distribuição de energia, parâmetros mais confiáveis podem serobtidos (Hs, Tp, σ, etc.)

(s)83.2

(m)68.144.0

75.0

Vp

Vs

TTHH

=

=

Presenter

Presentation Notes

Hs é a média de alturas do terço mais alto das ondas. Tz tembém é conhecido como período espectral médio. Tp é o periodo da onda com máxima energia, determinado pelo seu espectro. A comparação entre Hv e Hs foi feita pela comparação de mais de 2 milhões de observações com os valores medidos por bóias.


Obtenção dos Dados por Ondógrafo Em geral é utilizado um ondógrafo para registrar ao longo do

tempo as elevações ocorridas. Com o uso de acelerômetros épossível também coletar informações relacionadas às direções deincidência das ondas. Vários parâmetros podem ser obtidos dasérie temporal.

Slide 41

Após a retirada do ruído da sérietemporal é aplicada a FFT, convertendoos sinais de elevação em função dotempo para uma modalidade de energiaassociada à frequência (δ2/ω x ω).

O ajuste do espectro é feito por expres-sões matemáticas que o definem emfunção de alguns parâmetros comoforma, altura significativa de onda eperíodo de pico.

Presenter

Presentation Notes

Frequência típica de coleta : 1 a 2 Hz Duração da coleta 30 min Com FFT o número de operações para o cálculo vai de N**2 para Nlog(N). Ex, se N = 3600 vai de 12.960.000 para 12.800


Análise da Série Temporal 1

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sinalenvelope

Tempo (s)

Elev

ação

(m)

Série Temporal

Tabulação dos Dados

Probabilidade Relativa

H (m)

Probabilidade Acumulada

H (m)


Análise da Série Temporal 2 A partir da análise de um registro das alturas de onda, vários parâmetros

podem ser estabelecidos.

Slide 43

PARÂMETRO VALORAmplitude média Ā 0.04 m

Desvio padrão σ 2.40 m

Amplitude média quadrática Arms 2.40 m

Amplitude máxima Amax 9.97 m

Amplitude mínima Amin -8.18 m

Cruzamentos 0 ↑ 1112

Nº Máximos 1289

Nº Mínimos 1282

Altura Pico-Pico ↑ 17.64 m

Altura Pico-Pico ↓ 17.07 m

Período médio de cruzamento zero Tz 9.71 s

Período médio entre cristas Tc 8.38 s

H1/3 9.25 m

H1/10 11.78 m


Obtenção dos Dados por Satélite Satélites de observação com vários tipos de sensores,

radares e câmeras são utilizados atualmente.

Slide 44

Da imagem complexa pode-se gerar a imagemamplitude, que é o módulo da imagem complexa.

Para a medição de altura de ondas (e de terreno) éutilizado o radar SAR (Synthetic Aperture Radar). Oradar gera um pulso que é refletido, contendo duasinformações importantes : a amplitude do sinal deretorno e a diferença de fase em relação ao sinalirradiado, que juntos são tratados como uma imagemcomplexa bruta.

Satélite ERS-2 (1995)

Funcionamento do SAR

Imagem amplitude (cores claras são ondas maiores)

Presenter

Presentation Notes

Os satélites de observação são classificados em duas grandes categorias. Satélites geoestacionários, como os satélites Meteosat, que está posicionado em órbita geoestacionária a 36 000 km de altitude. Estes satélites perspectiva suficiente para olhar a cada instante o quinto da superfície da Terra, os contras de sua resolução espacial é limitada uma vez que é da ordem de km. Sua aparente imobilidade pode transmitir imagens do lugar de observação, a cada 15 minutos para o Meteosat 8. Os satélites de órbita polar, como SPOT, ENVISAT, Jason, ou NOAA evoluir em órbitas chamado "baixo", cerca de 800 km. Devido à baixa altitude, estes satélites diferem sobre os detalhes da superfície. ERS = European Remote-Sensing Satellite ERS-2, foi lançado em 21 de abril de 1995, em um foguete Ariane 4, do Centro Espacial da Guiana, perto de Kourou, Guiana francesa. ERS-2 funcionou sem giroscópios desde fevereiro de 2001, resultando em alguma degradação dos dados fornecidos pelos instrumentos. A unidade de fita a bordo falhou em 22 de junho de 2003, deixando os instrumentos que operam apenas dentro de visibilidade de uma estação terrena. Desde a falha de unidade de fita, estações terrestres adicionais foram adicionadas para aumentar a funcionalidade do satélite na coleta de dados. Apesar do lançamento do Envsat em 2002, sua vida útil foi aumentada até 2011. Ao longo de uma série de queimas em julho, agosto e setembro para levá-lo a uma órbita mais baixa, o ERS-2 finalmente foi esvaziado de todos os combustíveis em 5 de setembro de 2011. Às 13:16:38 as baterias foram desligadas, deixando a nave espacial em uma órbita onde irá reentrar na atmosfera da terra e desintegrar-se com segurança no prazo de 15 anos.


Ondas Regulares


Teorias de Ondas Airy : A elevação da onda é aproximada por uma senóide.

Stokes : A altura da crista é maior que a altura do cavado. Cristas mais agudas do que o cavado.

Cnoidal : Cristas muito mais agudas do que o cavado.

Solitária : A altura da crista é praticamente igual a altura da onda (não há cavados).

Slide 46


O Problema a Ser Resolvido

Conservação da massa

Conservação do momento

Condições de contorno

Equações :

Slide 47

Determinar o potencial do campo de velocidades das ondas de superfície φ.

Hipóteses básicas :1. Fluido incompressível (densidade constante)2. Fluido invíscido (não tem viscosidade) : escoamento irrotacional3. Movimento coplanar (despreze espalhamento - eixo y)

λ

Hd

x

z

ζ(x,t)

Leito marinho z = -d

Nível da água z = 0

Presenter

Presentation Notes

Invíscido = sem viscosidade


Equações de Conservação da Massa e Momento

Equação geral de Navier-Stokes : 01=•∇+ v

DtD ρ

ρ

Hipótese 1: Fluido incompressível

0

0

=•∇

=

v

DtD

ρ

Hipótese 2 : Movimento irrotacional ϕ∇=

=×∇

v

v

0

Hipótese 3 : Nada se move em y

A densidade é constante.

O divergente de velocidades é nulo.(água que entra = água que sai)

O rotacional de velocidades é nulo.

A velocidade pode ser expressa como ogradiente de uma função potencial.

Não há escoamento transversal

então

então

A variação da massa em umvolume infinitesimal é igualà massa que nele entra menosa massa que sai.

Slide 48

0=∂∂

yϕ

Equação de Bernoulli não estacionária: 0=++∂∂

− gzpt ρφ

Presenter

Presentation Notes

Dro/Dt = derivada total. Ro é função de várias variáveis (x,y,z,t) que por sua vez são funções de uma única variável t (ao seguirmos uma linha de fluxo)


Condições de Contorno No leito do oceano (em z = -d) : 0=

∂∂

zϕ

Slide 49

Na superfície livre (z = ζ) :

– Condição de contorno cinemática : uma partícula do fluido que está na superfície livre lá permanece (sua velocidade vertical é igual a velocidade vertical da superfície do fluido).

– Condição de contorno dinâmica : A pressão atmosférica é considerada nula pois uma pressão constante não exerce força resultante sobre o corpo.

A velocidade do fluido normal ao fundo é nula.

ζζϕζϕ=

∂∂

∂∂

−∂∂

=∂∂

− zxxtz

em

0. =+∂∂

− ζϕ gt

Bernoulli aplicado a z = ζ onde p = 0

Considerando que a altura da onda seja pequena quando comparada ao seu comprimento, o termo de inclinação δζ/δx=0.

tz ∂∂

=∂∂

−ζϕ


O Resultado Linear Considerando uma onda senoidal onde são conhecidas a amplitude H, o

comprimento λ e seu período T, a elevação de sua superfície pode serexpressa por

Através da separação de variáveis chegamos à solução

Aplicando esta solução a Bernoulli em z=0, chegamos à relação dedispersão

50

( ) ( )λππωωζ 22sin

2, ==− = k

TtkxHtx e onde

( ) ( )[ ]( ) ( )tkxkd

zdkgHtzx ωω

φ −+

= coscosh

cosh2

,,

==

λπ

λπω dgkdgk 2tanh2)tanh(2

Presenter

Presentation Notes

Como c = w/k, observa-se que ondas com comprimentos de onda mais longos se propagam mais rapidamente do que ondas mais curtas, havendo, portanto, dispersão. O caráter dispersivo em águas profundas faz com que ondas com diferentes características se propaguem independentemente. Em profundidades pequenas, C = SQRT(gd), significando que todas as ondas se propagam com a mesma velocidade a qual é função apenas da profundidade.


Influência da Profundidade nas Ondas A teoria linear de ondas é uma solução da equação de Laplace, o que leva

a seguinte formulação para a velocidade de fase

A partir daí podemos verificar porque a profundidade da água pode serclassificada em 3 categorias :

- Águas profundas

Para profundidades maiores que 50% do comprimento da onda, a velocidade de fase não éinfluenciada pela profundidade. Este é o caso da maior parte das ondas na superfície dooceano.

- Águas rasas

Quando a profundidade é menor que 5% do comprimento da onda, a velocidade de fase édependente somente da profundidade, não sendo mais uma função do seu comprimento.

- Águas intermediárias

Para todos os outros casos, ambos a profundidade e o comprimento tem uma influênciasignificativa na velocidade de fase.

Slide 51

πλ

λπ

λ 20.12tanh5.0 gcdd

=⇒≈

⇒>

gdcdπdd=⇒≈

⇒<

λπ

λλ22tanh05.0

2=

λπ

πλ dgc 2tanh

λλ 5.005.0 << d

Presenter

Presentation Notes

Tanh(PI)=0.99627 e Tanh(0.1PI)=0.30422 enquanto 0.01PI=0.31416 : erros na faixa e abaixo de 3%


Teoria de Onda de Airy (Onda Senoidal)

Slide 52

A altura da onda é pequena em comparação com seu comprimento ouprofundidade da água.

Condições de contorno na superfície livre são satisfeitas no nível médio deáguas tranquilas e não no nível real de elevação das ondas.

Parâmetros que definem uma onda linear : H (ou ζa), d, T, ʎ

λ

ζa

x

z crista

cavado

George Biddell AiryAstrônomo inglês 1801-1892

Presenter

Presentation Notes

Desenvolvida por George Biddel Airy (matemático e astrônomo britânico) no século 19 (Tides and Waves – 1841). As condições de contorno são linearizadas, desprezando-se os termos de seunga ordem e superiores, obtendo-se apenas a solução de primeira ordem.


Relação de dispersão [m/s]

Comprimento da onda [m]

Velocidade de fase [m/s]

Velocidade de grupo [m/s]

Elevação da superfície ζ = ζa sin(kx - ωt) [m]

Pressão subsuperficial p = ρ g exp(kz) ζa sin(kx - ωt) [Pa]

onde g = aceleração da gravidade (9.81 m/s2)ρ = densidade da água (1025 kg/m3)

Observe que z se torna mais negativo a medida em que vamos para o fundo.

Ondas Senoidais em Águas Profundas

Slide 53

πλ

πω 2.2g

kggTgc ====

Para águas profundas (d > 0.5 λ)

πλ

2

2gT=

λπggk 2

==Ω

24221 cgTg

kgcg ====

πω

Presenter

Presentation Notes

Formulação para velocidades, acelerações e deslocamentos podem ser encontradas em RP-C205.


Ondas Senoidais em Águas Intermediárias

Slide 54

Para águas intermediárias (0.5 λ < d < 0.05 λ)

A formulação envolve funções hiperbólicas, fazendo com que váriosparâmetros tenham que ser calculados por métodos numéricos ouaproximações.

Relação de dispersão

Comprimento da onda λ é a solução de

Velocidade de fase

Velocidade de grupo

Pressão subsuperfícial

=

λπ

λππ dg

T2tanh22 2

( )dkkgc .tanh=

[ ] ).sin(.).cosh(

).(cosh.. xkthk

zhkgp −.+

= ωρ

==Ω

λπ

λπ dgkdgk 2tanh2)tanh(

)tanh()2sinh(

2121 kd

kg

kdkdcg

+=

Presenter

Presentation Notes

O gráfico foi calculado em função de fórmulação polinomial de 4ª ordem apredentada no DNV-RP-C205. Formulação para velocidades, acelerações e deslocamentos podem ser encontradas em RP-C205.


Ondas Senoidais em Águas Rasas

Slide 55

Para águas rasas (d < 0.05 λ)

Relação de dispersão

Comprimento da onda

Velocidade de fase

Velocidade de grupo

Pressão subsuperficial (aproximadamente a hidrostática) p = ρg(ζ + z)

gdT=λ

gdc =

gdgdkλπ2

==Ω

cgdcg ==


Teoria de Onda de Stokes A medida em que a altura da onda aumenta com relação ao comprimento,

(esbeltez S aumenta) ela vai se afastando da onda linear.

Slide 56

Cavado mais achatado (e longo) do que a cris-ta.

Amplitude até a crista é maior que amplitudeaté o cavado.

O movimento das partículas não é fechado,havendo um pequeno deslocamento na dire-ção da propagação (Stokes drift).

Por isto as ondas conseguem transportar sedi-mentos, derrames de petróleo, etc.

O equacionamento da onda é feito através deexpansão em série de Taylor. O último termoda série define a ordem da onda de Stokes.

George Gabriel StokesMatemático irlândes 1819-1903

Presenter

Presentation Notes

Desenvolvida por George Gabriel Stokes, matemático e físico irlândes (On the Theory of Oscillatory Waves, 1847) Se pararmos no primeiro elemento da série iremos recair na onda de Airy. sen(x)=x-x^3/6+x^5/120-x^7/5040...


Parâmetros da Onda de Stokes de 2ª Ordem Velocidade de fase

Elevação da superfície

Pressão subsuperficial

Stokes drift

Slide 57

( )kdkgc tanh=

[ ] )](2cos[)2cosh(2)(sinh)cosh(

3

2

tkxkdkdkdH ω

λπζ −+8

=

1)](2cosh[2sinh4

)](2cos[31

)(sinh)](2cosh[

2sinh43 2

2

2

−+−−

−+

= dzkkd)(

gHtkxkd

dzkkd)(

gHpλ

ρπωλ

ρπ

cHU

kddzkcHU

2

2

2

.

)(sinh)](2cosh[.

=

+

=

λπ

λπ

Aproximação para águas profundas

Qualquer profundidade

Presenter

Presentation Notes

Formulação para velocidades, acelerações e deslocamentos podem ser encontradas em RP-C205.


Teoria de Onda Cnoidal É uma solução periódica não-linear e exata da equação não linear diferen-

cial parcial proposta por Korteweg e de Vries (equação KdV).

É utilizada para descrever ondas de gravidade de comprimento extrema-mente grandes quando comparados à profundidade.

Aplicável quando λ > 5d e

A solução das equações é complexa, dependendo de aproximaçõesnuméricas. Além disto é instável quando o número de onda k é elevado.

Outra solução foi proposta por Benjamin-Bona-Mahomy (equação BBM).

Slide 58

gdT 7>

Diederik KortewegMatemático holandês 1848-1941

Gustav de VriesMatemático iholandês 1866-1934

Presenter

Presentation Notes

Derivadas em 1985 por Diederick Korteweg e Gustav de Vries (matemáticos holandeses) Thomas Brooke Benjamin (físico e matemático inglês), Jerry Lloyd Bona (matemático americano) e John J. Mahony (matemático australiano) (Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems, 1972)


Onda Solitária É uma onda em águas rasas (solitão) que consiste em um único desloca-

mento de água acima do seu nível médio.

Foi descrita pela primeira vez em 1834 por John Scott Russel quando eleobservou a onda causada pela parada brusca de uma barcaça em umcanal. É uma descrição razoável da onda causada por um tsunami, mas é utilizada

também na progressão de ondas periódicas quando a profundidade émenor que 10% do comprimento da onda. Teoricamente seu comprimento é infinito, mas para propósitos práticos :

- Velocidade de fase

- Número de onda

- Comprimento da onda

- Elevação

Slide 59

)( Hdgc +=

343dHk =

)]([sech2 ctxkH − = ζkπλ 2

=

John Scott RussellEngenheiro naval escocês 1808-1882

Presenter

Presentation Notes

Engenheiro escocês (Report on Waves, 1844) Em x = λ/2 a amplitude da onda já é de 0.74% de H


Aplicabilidade das Teorias de Ondas Três parâmetros são utilizados para determinar qual teoria de ondas deve

ser aplicado a um problema específico :- Altura da onda H- Período da onda T- Profundidade da lâmina d’água d

Adimensionais decorrentes :

- Esbeltez (steepness)

- Profundidade relativa

- Número de Ursell

Slide 60

3

2

==µ

λ Sd

HU R 3

.

22gTHHS π

λ==

22gTdd π

λµ ==

UR mede o impacto da profundidade sobre a não-linearidade da onda

Subrata Kumar ChakrabartiEngenheiro indiano 1941-2009

Presenter

Presentation Notes

O número de Ursell indica a não-linearidade das ondas de gravidade (indica a proporção entre o termo de 2ª ordem e o de 1ª na onda de Stokes) Ex. : T = 15s, d=1000m, H=7m x=0.45 y = 0.003 Stokes 2ª ordem


Quiz 1

Calcule a velocidade de fase e a velocidade de grupo para uma onda linear decomprimento 200m nas profundidades de 2000, 80 e 10m.

Slide 61

𝜆 = 200

k = 2𝜋200

=0,0314 ondas/m

2=

λπ

πλ dgc 2tanh

+=

)2sinh(21

2 kdkdccg

λπ2

= k

d (m) c (m/s) cg (m/s)2000 17,67 8,84

80 17,56 9,3610 9,74 9,43

Uma onda regular plana propaga-se em águas profundas com período de 16s. Qual o comprimento da onda e sua velocidade de fase m/s ?

m/s 25.2

16.81,9.2

===ππ

gTc

m 4002

16.81,92

22

===ππ

λ gT


Quiz 2

No projeto de navios aliviadores para a Bacia de Campos, a Petrobrás recomendaHs=3.5m e Tp=9s. Qual seria a teoria de ondas a utilizar ? Investigue nas profundi-dades mínima e máxima da bacia (100m e 2500m).

Slide 62

Vazamento de óleo em uma FPSO no Campo de Tupi a 250km da costa, em lâminad’água de 2000m ! Ondas de 1.5m de altura com período de 6s e comprimento de40m são medidas no local. Em quanto tempo as manchas de óleo começarão aaparecer nas praias ? Desconsidere a variação de profundidade até a costa e o vento.

00424,06.81,9

5,1

66,56.81,9

2000

22

22

==

==

gTH

gTd

m/s

ondas/m

67,6640

157,04022

===

===

Tc

k

λ

πλπ

mês s

m/s

1107,209250

250000

0925,067,6.40

5,1

6

2

2

===

=

=

=

x,

t

U

cHU

π

λπ

Stokes 2ª ordem

00189,09.81,9

5,1

126,09.81,9

100

22

22

==

==

gTH

gTd

00189,09.81,9

5,1

145,39.81,9

2500

22

22

==

==

gTH

gTd

d=100m d=2500m Em ambos os casos a utilizaçãode Stokes 2ª ordem seria suficie-nte (embora a Petrobrás requeirasempre 5ª ordem).


Ondas Irregulares


Ondas Irregulares 1 Na fase de projeto preliminar as ondas regulares representam um bom

modelo para a representação do estado do mar.

Slide 64

Um estado real de mar apresenta característicasaleatórias de amplitude, frequência e fase,havendo a impossibilidade matemática de definiruma relação sólida que determine seu comporta-mento : é um processo estocástico.

Quando se considera o modelo estocástico pode-serepresentar o estado de mar formado pelasuperposição de diferentes ondas senoidais comdiferentes amplitudes, frequências e fases(hipótese Gaussiana).

Presenter

Presentation Notes

Padrões estocásticos são aqueles que têm origem em processos não determinísticos, com origem em eventos aleatórios


Quão Acertada é Esta Hipótese ? Na hipótese Gaussiana, o processo é completamente descrito por :

- Média- Variância

A partir de dados obtidos no mar, pode ser afirmado que :- Para mar calmo a moderado (< 4m) ele pode ser considerado estacionário para

períodos de mais de 20 minutos. Para estados de mar mais severos isto pode serquestionado mesmo para períodos de 20 minutos.

- Para estados de mar acima do moderado (4 a 8m) os modelos Gaussianos aindasão precisos, mas o desvio aumenta com a severidade do estado de mar.

- Se o mar é suficientemente profundo, a elevação da onda pode ser consideradaGaussiana, independentemente do estado de mar.

Slide 65

Presenter

Presentation Notes

Na teoria da probabilidade e na estatística, a variância de uma variável aleatória é uma medida da sua dispersão estatística, indicando quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado.


Ondas Irregulares 3

Slide 66

2

2agE ζρ

=

...)(2

23

22

21 +++= aaa

gE ζζζρ

As ondas irregulares são caracterizadaspor um espectro de onda que descreve adistribuição de energia (altura) em relaçãoà sua frequência ou período.

O mar irregular é descrito pela sua energia total e não pela forma daonda. Para uma onda senoidal simples a densidade de energia é descrita por

Para um mar irregular, composto por um somatório de ondas senoidais, adensidade de energia será

Presenter

Presentation Notes

Densidade de energia média da onda por unidade de área, equivalente à adição da energia cinética e da energia potencial. A energia da onda (E), ou seja, a densidade de energia média da onda por unidade de área superficial das ondas de gravidade (em J/m2) é, de acordo com a teoria linear das ondas, proporcional à altura da onda (H). Podemos retornar do espectro de energia para a forma da onda ? Não ! Precisariamos do espectro de fases.


Ondas Irregulares 4

Se a irregularidade das ondas observadasé somente na direção do vento dominante,de modo que existe várias ondas unidire-cionais com separação variável masmantendo seu paralelismo, o mar é conhe-cido como de cristas longas (long-crested).

Se as irregularidades são aparentes aolongo das cristas das ondas em ângulosperpendiculares ao vento, o mar é conheci-do como de cristas curtas (short-crested ouconfused sea).

Slide 67

Após o vento ter soprado de forma constante por um período de tempo, aelevação do mar pode ser assumida como estatísticamente estável. Isto éconhecido como “mar totalmente desenvolvido”.


AlgumaEstatística(não tão)

Básica


Distribuições de Probabilidade 1 Distribuição de probabilidade é uma função que descreve a probabilidade

de uma variável randômica assumir determinados valores.

Considerando que uma variável aleatória discreta x toma os valores x1, ...xn, então :

- Média aritmética :

- Valor eficaz :

- Média geométrica :

- Moda : É o valor de maior frequência.- Mediana : Dependendo se o número de elementos ordenados for ímpar ou par, é

o valor central ou a média dos valores próximos ao centro.

- Desvio padrão :- Variância :

Slide 69

∑=

+++==

n

i

ni n

xxxxn

x1

21 ...1

( )∑=

−−

=n

ii xx

n 1

2

11σ

2σ

nxxxx

nx n

n

iirms

222

21

1

2 ...1 +++== ∑

=

nn

ni

nig xxxxx ...211 =Π= =

Presenter

Presentation Notes

Média é o valor esperado como valor médio de várias observações, e não o valor esperado de uma observação. Valor eficaz ou valor médio quadrático é uma medida estatística da magnitude de uma quantidade variável Desvio padrão e variância são medidas da dispersão estatística.


Mediana : Md é o valor de x para o qual F(x)=0.5

Moda : Mo é o valor de maior frequência

Desvio padrão :

Distribuições de Probabilidade 2 Uma variável randômica contínua x tem uma

função de distribuição de probabilidade f(x)de modo que a probabilidade P da variávelestar entre dois valores a e b é

A função F da distribuição acumulada de x é

Média :

Slide 70

∫=≤≤b

a

dxxfbxa )(]P[

∫∞−

=x

dxxfxF )()(

modamedianamédia

f(x)

F(x)

∫+∞

∞−

= dxxfx )(.µ

( )∫+∞

∞−

−= dxxfx )(.2µσ

f(x)

Presenter

Presentation Notes

F também é conhecida como função acumulada de probabilidades de não excedência Q=1-F é conhecida como curva de probabilidade de excedência Definir média, mediana e moda. Média é a média ponderada de todos os valores possíveis que uma variável randômica contínua pode assumir. Mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior na distribuição de probabilidade. Moda é o valor que ocorre com maior frequência. Sequencia 1,2,3,4 : Média 2.5 Mediana 2.5 Sequência 1,2,4,8 : Média 4.75 Mediana 3


Assimetria : Indica o grau de afastamento da simetria de uma distribuição

1º Coeficiente de Pearson : 2º Coeficiente de Pearson :

Assimetria : Indica o grau de afastamento da simetria de uma distribuiçãoAssimetria : Indica o grau de afastamento da simetria de uma distribuiçãoAssimetria : Indica o grau de afastamento da simetria de uma distribuição

Distribuições de Probabilidade 3

Slide 71

σµγ )(3 dM−

=σ

µγ )( oM−=

Curtose : Indica o grau de achatamento de uma distribuição, indicando a concentração de valores nas suas caudas, em relação a uma distribuição normal

( )3

)(.

3

4

−−

=∫

+∞

∞−

σ

µ dxxfxc

SimétricaAssimetria positiva

Assimetria negativa

do MM ==µ µ≤≤ do MM od MM ≤≤µ

Presenter

Presentation Notes

c varia de -2 a +infinito c=0 distribuição normal


Distribuições de Probabilidade 4 Algumas formas de distribuição de probabilidade :

Slide 72

Distribuição Parâmetros Características Aplicabilidade Aspecto

DiscretaValores e probabi-lidade de ocorrên-cia destes valores

Assume apenas os va-lores fornecidos

Utilizada na escolha de parâmetrosdas entidades. Por ex., em uma loja30% dos clientes compram merca-dorias no balcão e 70% nas prate-leiras.

Uniforme Maior e menor va-lor

Todos os valores nointervalo têm a mesmaprobabilidade de ocor-rência

Quando não se tem nenhuma infor-mação sobre o processo ou apenasos valores limites.

Triangular Menor valor, mo-da e maior valor Simétrica ou não

Quando se conhece a moda, o me-nor e o maior valor que podem ocor-rer.

Exponencial Média Variância alta e caudapara a direita

Grande variabilidade dos valores.Independência entre um valor eoutro. Muitos valores baixos e pou-cos altos. Utilizada em estatística defalhas.

Normal Média e desviopadrão

Simétrica com formade sino. Variabilidadecontrolada pelo des-vio padrão.

Probabilidade de valores acima eabaixo da média são iguais.


Distribuições de Probabilidade 5 Procurando dar um tratamento matemático aos mais diversos fenômenos

da natureza, diversos tipos de funções de distribuição foram desenvolvidos:

Slide 73

– Beta– Cauchy– Dagum– Fisher-Tippet– Gama– Gaussiana– Gumbel– Laplace– Levy– Pareto– Qui-Quadrado– Rayleigh– Rice– Von Mises– Weibull– Etc.


Distribuição Normal ou GaussianaConsiderada a mais proeminente distribuição de probabilidade na estatística(simplicidade, conveniência para vários tipos de amostragens, etc.)

Formulação :- Função de distribuição :

- Distribuição acumulada :

- Média ( = moda e mediana) : μ- Variância : σ 2

Slide 74

( )

−−= 2

2

2exp

21)(

σµ

πσxxf

( ) dxxxFx

∫∞−

−−= 2

2

2exp

21)(

σµ

πσ

Regra 68-95-99.7

Carl Friedrich GaussMatemático alemão 1777-1855

Presenter

Presentation Notes

X pode ir de – infinito a + infinito Regra 68-95-99.7


Distribuição de RayleighÉ um tipo de distribuição observada quando a magnitude total de um vetor érelacionada às suas componentes direcionais não correlacionadas masnormalmente distribuídas e com a mesma variância (ex.: velocidade dovento, propagação das ondas do mar, etc.).

Formulação :- Função de distribuição :


- Média :

- Mediana :

- Moda :

- Variância :

Slide 75

−= 2

2

2 2exp)(

σσxxxf

−−= 2

2

2exp1)(

σxxF

σπσ 253.12

≈

σσ 177.1)4ln( ≈

σ

22 429.02

4 σσπ≈

−

f(x)

F(x)

John William Strut (Lord Rayleigh)Matemático inglês 1842-1919

Presenter

Presentation Notes

X é um real positivo Idealizada por Lord Rayleigh no final do século XIX para descrever a distribuição da intensidade dos sons emitidos por um número infinito de fontes.


Distribuição de Weibull 1É utilizada extensivamente em análise de confiabilidade e de falha, gover-nando o tempo para a ocorrência do elo mais fraco de vários processossimultâneos de falha.

Formulação para 3 parâmetros :

- Função de distribuição :


onde k = parâmetro de formaβ = parâmetro de escalaϴ = parâmetro de localização

Se considerarmos x como o tempo para a falha

Slide 76

−−

−=

− kkxxkxf

βθ

βθ

βexp)(

1

k < 1 indica que a taxa de falha diminui com o tempo(mortalidade infantil).

k = 1 indica que a taxa de falha independe do tempo.

k > 1 indica que a taxa de falha aumenta com o tempo(morte por velhice).

f(x)

x

F(x)

x

−−−=

kxxF

βθexp1)(

Ernest Hajlmar Waloddi WeibullEngenheiro suíço 1887-1979

Se θ = 0 recaímos na distribuição de Weibull de 2 parâmetros


Distribuição de Weibull 2- Média :

- Mediana :

- Moda :

- Variância :

- Assimetria :

Slide 77

Para a determinação dos parâmetros a partir de dados coletados são utili-zados os momentos da função de distribuição

γσµ === 32

21 mmm

2

32

3

)/11()/21(

)/11(2)/11()/21(3)/31(

kk

kkkk

+Γ−+Γ

+Γ++Γ+Γ−+Γ=γ

k

kk

1

1

−

+ βθ

k1

)]2[ln(βθ +

+Γ+=

k11 βθµ

1)!-(n(n)GamaFunção

=Γ

+Γ−

+Γ=

kk1121 222 βσ

∫+∞

=0

)(. dxxfxm nn


Distribuição de Gumbel (log-Weibull)Utilizada para modelar a distribuição dos máximos de um número de amos-tras de várias distribuições (estatística de extremos).

Formulação :

- Função de distribuição :


- Média :

- Mediana :

- Moda : μ

- Desvio padrão :

Slide 78

−−−=

βµxxF expexp1)(

γβµ +

( )( )2lnlnβµ −

6βπσ =

−−

−=

βµ

βµ

βxxxf expexpexp1)(

Emil Julius GumbelMatemático alemão 1891-1966

γ= 0,57721 (constante de Euler-Mascheroni)

Presenter

Presentation Notes

X é um real positivo


Quiz O seguinte histograma de altura de ondas foi obtido de uma série temporal

em uma amostra de um sistema de ondas irregulares :

Slide 79

1. Qual é a altura significativa H1/3 desta amostragem ?2. Nesta tempestade, qual a probabilidade que a altura da onda

exceda 2.75m ?

H (m) Nº Obs.

< 0.25 00.25-0.75 300.75-1.25 601.25-1.75 1101.75-2.25 422.25-2.75 282.75-3.25 183.25-3.75 103.75-4.25 2

> 4.25 0

Presenter

Presentation Notes

1 : 2.51m 2: 0.10 Utilize a planilha HISTO01 para calcular os resultados.


Espectros


Espectro de Densidade de Energia O registro das ondas não pode ser escrito como uma onda senoidal, mas

pode ser caracterizado por várias ondas com diferentes amplitudes, perío-dos e fases.

Slide 81

Uma vez calculadas estas ampli-tudes e períodos das ondas com-ponentes (a fase é desprezada), éplotado um espectro de densidadede energia em função da frequên-cia.

frequênciade

nsida

de de

ene

rgia

Ampli

tude

ζ(m

)

tempo (s)

A densidade de energia em um partitular inter-valo de frequência é dado por

A partir do espectro e de sua idealização mate-mática vários outros parâmetros podem ser cal-culados.

ωζρ

2

2g


Características dos Espectros

Slide 82

Características espectrais importantes:

– Momento espectral de ordem n

– Momento espectral de ordem 0 (área sob a curva)

– Desvio padrão

– Período médio

∫∞

)=0

0 ( ωω dSm

0m=0σ

– Período médio de cruzamento zero ou período médio dos zeros ascendentes

– Período médio entre picos

– Período modal T0 (ou período de pico Tp) é o período no qual o máximo de energia ocorre.

– Largura de banda

– Altura significativa ........................................

– Se a largura de banda do espectro for estreita (ε =0) então

– Se a banda for larga (ε =1) então

−=

−1= 2

2

40

22 1

z

p

TT

mmmε

2

002 2

mmTT mz π==

4

224 2

mmTm π=

∫∞

=0

)( ωωω dSm nn

−=

214ou

2

03/1εmHH s

04 mHS =

00 828.2

24 mmHS ≈=

ω [rad/s]

S[m

2/(r

ad/s

)]

ω0, T0, f0

T

1

001 2

mmTT m π==

Presenter

Presentation Notes

Periodo médio Tm01 corresponde a frequência média do espectro. H1/3 também é representado por Hs A largura de banda classifica a irregularidade do estado de mar. A maioria dos espectros de mar tem largura de banda estreita e < 0.6. Não confundir Tp com Tz


Idealização Matemática dos Espectros Várias idealizações matemáticas dos espectros de ondas do mar estão

disponíveis na literatura.- Bretschneider de um parâmetro (HS). O período associado é típico de mares totalmente

desenvolvidos).

- Pierson-Moskovitz (1964). O espectro é definido pela velocidade nominal do vento a umaaltura de 19.5 m acima do nível do mar. Utilizado em mar totalmente desenvolvido.

- Bretschneider de dois parâmetros ou ISSC (HS e ). Substitue PM quando amodelagem de mar totalmente desenvolvido é muito restritiva.

- JONSWAP (JOint North Sea WAve Project 1973). Utilizado para descrever ondas em águascosteiras em mares não totalmente desenvolvidos. Apresenta um pico mais estreito que oITTC.

- DNV. Uma formulação mais generalizada do espectro, utilizando um fator de intensificaçãode pico que é determinado a partir da altura de onda e do período modal.

- Ochi-Hubble (1976). É um espectro formulado para descrever mares que sejam umacombinação de 2 estados de mar diferentes. É um espectro de 2 picos.

- Torsethaugen (1996). É obtido pelo ajuste de 2 funções JONSWAP generalizadas a umespectro médio obtido na plataforma continental norueguesa.

Slide 83

T


É conhecida apenas a altura significativa Hs.

Distribuição espectral onde e

Frequência modal

Espectro Bretschneider de 1 ParâmetroÉ definido apenas em termos da altura de onda, sendo utilizado apenas em mares plenamente desenvolvidos.

Slide 84

22 11.300811.0

SHg == βα

−=) 5 4exp(

ωβ

ωαωBS

sHg4.00 =ω

Charles L. BretschneiderEngenheiro americano 1895-1975

Constante de Philips


São conhecidas a altura significativa HS e o período médio .


Momento espectral de ordem 0

Altura característica

Período médio de cruzamento zero

Período de pico

Espectro Bretschneider de 2 Parâmetros ou ITTCÉ um espectro de banda larga que contém todas as frequências de onda atéo infinito. Entretanto, na prática as ondas de alta frequência (ripples) sãonegligenciadas e o espectro efetivamente se torna de banda estreita.

Slide 85

−=) 5 4exp(

ωβ

ωαωITTCS

44

2 69175.172TT

HS == βα

βα40 =m

TTz 92.0=

TTP 296.1=

04 mHS =

T

Presenter

Presentation Notes

ISSC : International Ship and Offshore Structures Congress Recomendado pelo ITTC para mar plenamente desenvolvido sem vagas. Também conhecido como Pierson-Moskowitz modificado.


Espectro Pierson-MoskowitzAssume que um vento constante de velocidade U19.5 incidiu por um longotempo em uma grande área, e que as ondas estão em equilíbrio com ele(mar totalmente desenvolvido).

Slide 86

É conhecida a velocidade do vento a 19.5 m de altura U19.5.


Altura de onda significativa

Período de pico

−=) 5

4

5.19

exp(UgSPM ω

βωαω 74.0.00811.0 2 == βα g

gUHS

25.1921.0=

gUTP

5.191644.7=

Atualmente a velocidade do vento é medida a 10 m de altura, e considera-se a seguinte relação

Outra formulação do espectro105.19 .026,1 UU ≈

−=

−4

5

42

45exp

165

p

pSPM HS

ωω

ωω

Willard J. Pierson Jr.Oceanógrafo americano 1922-2003

Lionel I. MoskowizOceanógrafo americano 1937-

Presenter

Presentation Notes

Recomendado pelo ITTC para mar desenvolvido


Espectro JONSWAPSimilar ao espectro de Pierson-Moskowitz, exceto que as ondas continuam acrescer com a distância ou tempo, e o pico do espectro é mais pronunciadopor um fator de intensificação de pico γ. É utilizado em águas costeiras. São conhecidas a altura significativa HS e o período de pico Tp.

Distribuição espectral

onde

γ = em geral 3.3

Slide 87

−−

=

25.0exp

)()( PP

PMJ SASσω

ωω

γ γωω)ln(287.01 γγ −=A

>=≤=

=0

0

para09.0para07.0

ωωσωωσ

σb

a

PP T

πω 2=

É o espectro utilizado pela Petrobrás nacosta brasileira. Para a Bacia de Campos :

γγγ+

+== −

89.105e4.6 491.0

pzp TTT

JS é um modelo razoável quando

0.56.3 ≤<S

P

HT

Presenter

Presentation Notes

JOint North Sea WAve Project Recomendado pelo ITTC para mar não totalmente desenvolvido. Γ é ajustado estatisticamente. Criado a partir de um extenso programa de medições entre 1968 e 1969 no Mar do Norte, entre a Alemanha e a Islândia. Adotado como padrão pelo ITTC em 1984.


Espectro DNVUma formulação mais generalizada de espectro que recai em Bretschneider quando γ = 1 e em JONSWAP quando γ = 3.3

Slide 88

0.10.5

15.175.5exp0.56.3

0.56.3se

=⇒>

−=⇒≤<

=⇒≤

γ

γ

γ

S

P

S

P

S

P

S

P

HT

HT

HT

HT

O fator de intensificação de pico γ depende da altura significativa e do período modal.

Distribuição espectral

onde

−

−

−

=

2

2 12

1exp

5 4exp)( P

DNVSωω

σγ

ωβ

ωαω

>=≤=

=0

0

para09.0para07.0

ωωσωωσ

σb

a

PP T

πω 2=

[ ]

4

4

4

24

20

)ln(287.015

P

P

S

T

TH

πβ

γπα

=

−=


Comparação entre Espectros

Slide 89

ESPECTRO H T γ VWIND OBS.

ITTC Requerido Requerido 1.0 Não aplicável

Mar desenvolvido

BRETSCNEIDER Requerido Especificado pelo método 1.0 Não

aplicávelMar desenvolvido

JONSWAP Requerido Requerido 3.3 Não aplicável

Mar nãodesenvolvido

DNV Requerido Requerido 1.0~5.0 Não aplicável Qualquer mar

PIERSON-MOSKOWITZ

Estimado pelo método

Estimado pelo método

Não aplicável Requerido Mar

desenvolvido

ITTC

JONSWAP


Espectros DirecionaisPara mares confusos (short-crested) um espectro direcional é mais realísticoe muito importante para o cálculo das cargas nas estruturas marítimas, poiso movimento de resposta depende altamente do ângulo de encontro. Parasimulação é comum separar o espectro direcional como um produto de duasfunções :

Slide 90

𝑆 𝜔,𝜒 = 𝑆 𝜔 .𝑀(𝜒)

𝑀(𝜒) é a função de espalhamento


Função de Espalhamento

Onde 𝜒0 é a direção dominantede propagação das ondas, e osvalores de s=1 e 2 são comu-mente utilizados.

Slide 91

para

caso contrário

Presenter

Presentation Notes

Esta função é bastante utilizada em Engenharia Oceânica, apesar de ser extremamente conservativa pois considera o mesmo espalhamento para todas as componentes de frequência.


Quiz

ω (Hz) 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

Sζ (ω) 0.00 0.75 0.95 0.43 0.12 0.00

Slide 92

Um espectro simplificado de energia de ondas é dado por :

1. Utilizando o método dos trapézios, calcule a altura significativa, o período médio T e o período médio de cruzamento zero Tz. Dê uma explicação física de cada um.

2. Determine a probabilidade de exceder uma onda de 4m neste espectro, utilizando a função de densidade de probabilidade de Rayleigh.

3. Determine também o número de vezes por hora que esta altura de onda será excedida.

4. Explique o termo mo na função de densidade de probabilidade de Rayleigh.

5. Qual a probabilidade da altura significativa de onda H1/3 ser excedida ?

6. Qual a desvantagem de utilizar Tz quando analizando um espectro de ondas medidas ?

Dens

idade

espe

ctral

(m2 s

)

Frequência angular (rad/s)

Presenter

Presentation Notes

1 : H1/3 = 2.7 T=7.0 Tz = 6.9 2 : P = 1.2% 3 : 6.3 x por hora (Tz deve ser utilizado) 4 : A magnitude de m0 na distribuição de Rayleigh é a área espectral da variável considerada. Esta distribuição é válida para espectros mais ou menos estreitos. 5 : P = exp(-2) = 0.135 6 : A incerteza do rabo truncado do espectro tem uma influência maior em Tz do que em T.


A Onda Centenária


Segurança dos Sistemas Estruturais Oceânicos A segurança é vinculada à idéia de sobrevivência aos riscos inerentes ao

meio em que estiver envolvida a estrutura.

As estruturas devem ser projetadas de modo a suportar as tensõesprovenientes das ações ambientais mais extremas durante sua vida útil edentro de um custo econômico aceitável.

Alturas significativa de onda em um período de 50 ou 100 anos é um parâ-metro que pode ser estimado por meio da estatística de valores extremos.

Slide 94


Estatísticas de Curto e Longo Prazo Estatísticas de curto prazo são válidas somente para um período de tempo

de até uns poucos dias, enquanto uma tempestade mantém suas carac-terísticas básicas.

Para cada tempestade ou amostra podemos utilizar a altura de ondasignificativa Hs e o período de cruzamento zero Tz para construir um espec-tro e então determinar as estatísticas de curto prazo.

Durante este período o mar é descrito por um espectro estacionário S(ω,ζ).

No longo prazo o mar não é estacionário.

As estatísticas de longo prazo podem ser representadas como a soma devárias estatísticas de curto prazo, analisando em conjunto um grupo detempestades com diferentes durações a alturas de onda.

Em geral são feitas diversas medições curtas a intervalos pré-determinados(ex.: medições de 3 em 3 horas com duração de 10 a 30 minutos).

Slide 95


Quadrados de Marsden As estatísticas das ondas não se alteram somente em função do tempo;

também dependem da área geográfica onde estão sendo feitas asmedições.

Os quadrados de Marsden (QMD) dividem o globo em uma grade quesegue os palalelos e meridianos, de 10º em 10º, identificando cadaquadrado por um número.

Slide 96

Os quadrados podem ainda ser subdivididos em 100 par-tes (10 x 10), numerados de 0 a 99, de modo a melhorar a precisão.

1 mn = 1` medido sobre o equador = 1852 m

William MarsdenHistoriador inglês 1754-1836

Presenter

Presentation Notes

Esta subdivisão é utilizada pela World Meteorological Organization (WMO). A projeção apresentada é a de Mercartor. Na superfície real do Globo as células são aproximadamente quadradas próximo ao equador, e se tornam progressivamnte estreitas e curvas a medida em que se aproximam dos pólos.


Recomendação 34 do IACS para Dados de Ondas Divide o globo em 52 zonas náu-

ticas para estimativa dos parâ-metros de distribuição de longoprazo.

Apresenta os parâmetros paradistibuição por Weibull de 2 pa-râmetros para cada área.

Utilizado para determinação domomento fletor em ondas sobrea viga-navio.

Slide 97


Obtenção da Altura da Onda Centenária 11. Selecione os dados relevantes. Em geral, Hmax e Thmax

ou Hs e Tp ou Tz para cada amostra.

2. Ajuste os parâmetros da distribuição selecionada aosdados coletados. Existem vários métodos de ajuste.

3. Defina o período de retorno (ou intervalo de recor-rência) da onda, pelo menos 3x a vida útil da estrutura(por ex. 50 ou 100 anos).

4. Calcule o valor altura significativa de onda e o períodocorrespondente.

Slide 98

LOCAL Bacia de Campos Golfo do México

RETORNO 10 anos 100 anos 10 anos 100 anos

Hs [m] 7.2 7.8 10.0 15.8

Tp [s] 14.8 15.6 13.0 15.4

Hmax [m] 13.3 14.5 17.7 27.9

Thmax [s] 14.4 15.0 11.7 13.9

Presenter

Presentation Notes

Os furacões Dennis, Katrina e Rita alteraram os valores do GOM.


Obtenção da Altura da Onda Centenária 2 Selecione os dados relevantes (no caso Hs). Não se esqueça de verificar a

duração de cada amostra.

Slide 99

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 2 4 6 8 10 12 14 16

f(H

s)

Hs

Escolha o tipo de distribuição a utilizar (no caso Weibull de dois parâmetros ⇒ θ=0).


Obtenção da Altura da Onda Centenária 3 Integre numericamente a curva anterior obtendo a probabilidade acumu-

lada F para cada Hs. Calcule a probabilidade de excedência de F (Q = 1 –F).

Lembre-se que em Weibull de 2 p. então

A correlação entre Q e Hs pode ser melhor observada em uma escalalogarítma. Plote X = ln(Hs) contra Y = ln(-ln(Q)).

Slide 100

-2,5-2

-1,5-1

-0,50

0,51

1,52

2,53

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

ln (- ln (Q) )

ln (Hs)

exp)( exp1)(

−=

−−=

kkxxQxxFββ

Por mínimos quadrados ajuste uma reta aos pontos, determinando os coeficientes a e b de Y = aX+b

Determine os parâmetros de forma e escala k e β da distribuição de Weibull.

−=⇒−=

=

kbkb

ka

expln ββ

Presenter

Presentation Notes

Atenção ! Lambda não é comprimento de onda


Obtenção da Altura da Onda Centenária 4 Defina o período de retorno. No nosso exemplo, τ = 100 anos.

Admitindo-se ondas com persistência de 3 horas, haverá 2922 registros de

ondas por ano, portanto em τ anos a probabilidade de não excedência do valor de retorno será de

Determine o valor de Hs100.

Slide 101

99999658.0292200

112922

11)( 100 =−=−=τSHQ

Quanto estimando valores extremos, é importante que a cauda da distribuição ajustada tenha uma boa correlação com os dados coletados. Nestes casos em geral é utilizada a distribuição de Weibull de 3 parâmetros. Uma outra alternativa é utilizarmos Hmax ao invés de Hs em cada amostra. Neste caso, em geral é utilizada a distribuição de Gumbel. Para estimativa do período da onda (necessário para determinação do seu comprimento), em geral se fazem análises de distribuição conjunta H-T.


Vento


Vento Vento é o deslocamento de ar, que migra de regiões de alta pressão

atmosférica para pontos onde esta pressão é menor.

Normalmente são classificados por sua velocidade, duração, tipos de forçasque causam, regiões nos quais eles ocorrem e seus efeitos.- Ventos com grande variação de velocidade em

curso espaço de tempo são chamados derajadas, que podem também se referir aoscursos momentos em que a velocidade do ventoé máxima.

- Ventos fortes de duração intermediária (cerca de1 minuto) são chamados de instabilidade oulufada.

- Ventos de longa duração tem diversos nomes,associados com sua intensidade média, comobrisa, vento, tempestade, furacão.

Rajada em UK

Ciclone em SC


Escala de Beaufort É uma escala que mede a intensidade dos ventos tendo em conta a sua

velocidade e os efeitos resultantes no mar e em terra.

Slide 104

Francis BeaufortHidrógrafo irlandês 1774-1857

Grau Designação m/s km/h nós Aspecto do mar Efeitos em terra

0 Calmo <0,3 <1 <1 Espelhado Fumaça sobe na vertical

1 Aragem 0,3 a 1,5 1 a 5 1 a 3 Pequenas rugas na superfície do mar Fumaça indica direcção do vento

2 Brisa leve 1,6 a 3,3 6 a 11 4 a 6 Ligeira ondulação sem rebentação As folhas das árvores movem; os moinhos começam a trabalhar

3 Brisa fraca 3,4 a 5,4 12 a 19 7 a 10 Ondulação até 60 cm, com algunscarneiros As folhas agitam-se e as bandeiras desfraldam ao vento

4 Brisa moderada 5,5 a 7,9 20 a 28 11 a 16 Ondulação até 1 m, carneiros frequentes Poeira e pequenos papéis levantados; movem-se os galhos das árvores

5 Brisa forte 8 a 10,7 29 a 38 17 a 21 Ondulação até 2.5 m, com cristas e muitoscarneiros Movimentação de grandes galhos e árvores pequenas

6 Vento fresco 10,8 a 13,8 39 a 49 22 a 27 Ondas grandes até 3.5 m; borrifos Movem-se os ramos das árvores; dificuldade em manter um guarda chuva aberto; assobio em fios de postes

7 Vento forte 13,9 a 17,1 50 a 61 28 a 33 Mar revolto até 4.5 m com espuma e borrifos Movem-se as árvores grandes; dificuldade em andar contra o vento

8 Ventania 17,2 a 20,7 62 a 74 34 a 40 Mar revolto até 5 m com rebentação e faixas de espuma

Quebram-se galhos de árvores; dificuldade em andar contra o vento; barcos permanecem nos portos

9 Ventania forte 20,8 a 24,4 75 a 88 41 a 47 Mar revolto até 7 m; visibilidade precária Danos em árvores e pequenas construções; impossível andar contra o vento

10 Tempestade 24,5 a 28,4 89 a 102 48 a 55 Mar revolto até 9 m; superfície do mar branca Árvores arrancadas; danos estruturais em construções

11 Tempestade violenta 28,5 a 32,6 103 a 117 56 a 63 Mar revolto até 11 m; pequenos navios sobem nas

vagas Estragos generalizados em construções

12 Furacão >32,7 >118 >64 Mar todo de espuma, com até 14 m; visibilidade nula Estragos graves e generalizados em construções


Modelagem do Vento Normalmente é dividido em duas componentes : um valor médio e um

valor flutuante ou rajada (gust).

É um fenômeno 3D, mas em aplicações marítimas é restrito a 2D, e asvelocidades são consideradas apenas no plano horizontal, não havendocomponentes verticais.

O vento é parametrizado pela velocidade U e direção ψ. Sua direção étomada na direção em que o vento está vindo, medida a partir do norte,positiva para leste.

Slide 105

Sensores de direção e velocidade média do vento(anemômetro)


Componente Médio do Vento Flutuações de variação lenta na velocidade e direção média do vento

podem ser modeladas como um processo de 1ª ordem de Gauss-Markov ,isto é, segue uma distribuição Gaussiana e os estados anteriores sãoirrelevantes para a predição dos estados seguintes, desde que o estadoatual seja conhecido.

Slide 106

Presenter

Presentation Notes

Um processo de Markov é um processo estocástico “desmemoriado”, que a probabilidade do sistema estar no estado i no período (n+1) depende somente do estado em que o sistema está no período n. Ou seja, para os processos de Markov, só interessa o estado imediato.


Rajada de Vento A rajada de vento pode ser modelada como um processo estocástico com

um espectro em particular.

Slide 107

0 0.01 0.02 0.03 0.040

50

100

150

200

250

300

350

400S

pect

ral d

ensi

ty [(

m/s

)2 /Hz]

Frequency [Hz]

Wind spectra (U=20 m/s)

DavenportHarrisAPIISO

Presenter

Presentation Notes

Vários modelos de espectros existem e concordam bem na faixa de lata frequênxcia, mas apresentando grandes diferenças em baixa frequência.


Perfil de Vento O perfil de velocidades do vento depende das condições de estabilidade

atmosférica, podendo variar bastante sua forma ao longo de 24 horas.

Uma abordagem mais simplificada (neutra) assume o seguinte perfil :

onde α= 1/7 a 1/8

Slide 108

𝑈 𝑧 = 𝑈𝑧𝑧𝑒𝑧(𝑧𝑧𝑧𝑒𝑧

)𝛼

Modelos de perfis de velocidade do vento


Correnteza


Correnteza A correnteza pode ser criada por vários fatores :

- Marés : regulares, seguindo os movimentos harmônicosdos planetas.

- Circulação dos oceanos (ex. Corrente do Golfo)- Ventos de tempestades- Ondas internas causadas por gradientes de densidade.

Podemos dividir a modelagem da correnteza em trêsníveis de detalhe :- Correnteza na superfície do oceano, para uso na

modelagem da resposta de embarcações de superfície.- Perfil completo de correnteza, para uso na modelagem

de risers, linhas de ancoragem, etc.- Correnteza próxima ao fundo, para uso no cálculo de

dutos e umbilicais submarinos em contato com o solo.

Presenter

Presentation Notes

Correntes de marés são importantes na foz dos rios. O sol é responsável por metade do movimento das marés.


Perfil da Correnteza Em vários projetos a correnteza pode ser a causa

principal do carregamento hidrodinâmico. Portan-to, a seleção de um perfil adequado é importante.

Modelos de perfis de correnteza retangular, triangular, ...

Efeito da correnteza em uma coluna de perfuraçãoCorrenteza

BOPCabeça do poço

Correntes de profundidade podem afetar significativa-mente o perfil resultante.

Perfil de correnteza em águas profundas em diferentes instantes.

A decisão pode ser bastante complexa.


As Vezes aMatemática

Falha

1...99999.01

99910

..999999.0910..999999.910

...99999.0

===

+=+=

==

aa

aaaa

a

Presenter

Presentation Notes

Na verdade não falha 1=0.99999 é um fato aceito pelos matemáticos. Outra prova 1/9=0.1111111 entáo 9 x 1/9 = 0.999999999


Megatsunami A maior onda já registrada ocorreu na Baía de Lituya, na costa sul do

Alasca em 1958. Um terremoto de 8,3 graus na escala Richter atingiu a área e desprendeu 40 milhões de metros cúbicos de terra e gelo de uma geleira na montanha no fundo da baía. Quando os destroços atingiram aágua, uma onda de 520 metros foi criada.

Slide 113

Nível da onda

Presenter

Presentation Notes

Nos últimos 150 anos, a Baía de Lituya teve cinco megatsunamis.


A Onda Traiçoeira (rogue wave) 1 Nas últimas duas décadas do século XX mais de 200 grandes navios (L > 200m)

afundaram devido ao “mau tempo”. Relatórios de (poucos) sobreviventes informavam ondas de 30 m de altura. Comunidade cientifica cética. Estas ondas só aconteceriam a cada 10.000 anos

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Medições das ondas por laserem plataformas offshore noMar do Norte registraram 446ocorrências de ondas de maisde 25 m em 12 anos. O projeto MAXWAVE (2003),

com observação das ondaspor satélites, apresentou em 3semanas mais de 10 ondasgigantes com mais de 25 mde altura em todo mundo.

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Foto 1A : Esso Languedoc (superpetroleiro francês) – 1980 – Onda de 25 a 30m varrendo o convés. Foto 1B : Petroleiro norueguês Wilstar avariado em 1974 Fig 1C : Medição de ondas por satélite em 1996 Foto 2A : Farol Fastnet na Irlanda, ONDA DE 48M EM 1985 Foto 2B : Baia de Biscay (França) em 1940 Fotos 3ª, B 2C : Navio químico sueco Stolt Surf, 1977, Pacífico Norte, ondas de 22m Primeira comprovação : Plataforma fixa Draupnet no Mar do Norte, costa da Noruega, em 1º de janeiro de 1995 mediu por laser uma onda de 25.6 m em um mar com altura significativa de 12 m.


A Onda Traiçoeira (rogue wave) 2 Rogue ou freak waves são ondas relativamente grandes (H > 2HS) que

ocorrem espontaneamente em águas profundas, dependendo de umnúmero de fatores coincidentes tais como vento forte e convergência decorrentes.

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Clique na imagem para ver o filme.


Mudanças Climáticas Dados coletados de observações de satélite e bóias desde 1985 demons-

tram que os ventos no oceano e as alturas de onda aumentaramsignificativamente nos útimos 25 anos. Por exemplo :

- Sudeste da Austrália

- Nordeste do Pacífico

As alturas extremas de onda cresceram nos últimos 20 anos cerca de0.25% ao ano nas regiões equatoriais, e até 1% ao ano nas latitudes maisaltas.

Implicações na engenharia costeira, offshore, navegação, e processos deerosão.

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mHmH

6

52008max

1985max

=

=

mHmH

14

102008

100

1996100

=

=

TLP Mars antes e depois do Katrina

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Furacão Ivam no Golfo do México em 2004 : sensores de pressão no leito marítimo detectam onda de 27.7m. A plataforma foi projetada para suportar ondas de até 22m e ventos de até 225km/h simultaneamente. Katrina superou isto (Hs 16.91m, Hmax estimado 32m, L 320m, U 280 km/h) Furacão Katrina (agosto 2005) 47 platforms destroyed with 20 suffering extensive damage. 6 rigs broken from moorings and set adrift. 3 platform rigs destroyed and 1 jack-up capsized (Rowan New Orleans) 2 jackups, 5 semi-subs and 2 platform rigs suffering extensive damage. Furacão Rita (setembro 2005) 66 platforms destroyed, with 32 more suffering extensive damage. 13 MODUs broke their moorings and were set adrift. 1 jackup rig was sunk 7 jack-ups and 2 semi-subs experiencing extensive damage.


E como diria Netuno ...

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Hs=? Tz=?

λ=?

Reduza-se à sua insignificância estatística !


DNV (2010) “DNV-RP-C205 Environmental Conditions and Environmental Loads”http://exchange.dnv.com/publishing/Codes/download.asp?url=2010-10/rp-c205.pdf

HAVES, S. (2000) “On the Prediction of Extreme Wave Crest Heights”, Statoil, Stavanger, Norway

Sarpkaya, T (1979) “Mechanics of Wave Forces on Offshore Structures”, Van Nostrand Reinhold Company, New York, USA

Coastal and Hydraulics Laboratory (1984) “Coastal Engineering Manual”, US Army Corp of Engineers, Washington DC, USA

Chakrabarti, S.K. (2003) “Hydrodynamics of Offshore Structures”, WIT Press, Southampton, UK

WMO (1968) “Guide to Wave Analysis and Forecasting”, Geneva, Switzerland

Dean, R. G (1984) “Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists”, World Scientific

Pierson, W.J. et Moskowitz, L. (1963) “A Proposed Spectral Form for Fully Developed Wind Seas Based on the Similarity Theory of S.A. Kitaigorodskii”, NY University, USA

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DNV (2010) “DNV RP C205 Environmental Conditions and Environmental Loads”C205 Environmental Conditions and Environmental Loads”C205 Environmental Conditions and Environmental Loads”

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Análise de Carregamento Hidrodinâmico em Estruturas Flutuantes - Parte I A Excitação

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