Analise de circuitos

CAPITULO 08

Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES

RESPOSTA EXCITAO SENOIDAL PARA CIRCUI-TOS RL, RC E RLC SOLUO POR EQUA-ES DIFERENCIAIS

PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA DEE CIRCUITOS I

Professor Silvio Lobo Rodrigues 2

8.1 INTRODUO A funo senoidal uma das mais importantes para a teoria de circuitos e por vrias razes foi escolhida para ser utilizada na maioria das aplicaes eltricas. Uma das razes evidente dos resultados do captulo anterior; a resposta natural de um circuito de segunda ordem sub amortecido uma senide amortecida e, caso no haja perda uma senide pura. Assim, parece ser a senide uma escolha natural, como seria a exponencial decrescente. De fato, a natureza de um modo geral, parece ter um carter senoidal; o movimento de um pndulo, uma bola pulando, a vibrao de uma corda de violo, a atmosfera polpitica de qualquer pas e muitos outros. Uma outra razo encontrada na dependncia existente entre a funo senoidal e qualquer outra funo peridica. O matemtico francs Fourier demonstrou que a grande maioria das funes peridicas pode ser representada pela soma de um nmero infinito de funes senoidais, no tempo, com as freqncias mltiplas da freqncia fundamental em que se repete a funo peridica. Uma terceira razo encontrada numa importante propriedade matemtica da funo senoidal. Suas derivadas e integrais tambm so funes senoidais. Como a resposta forada tem a mesma forma que a funo excitao. Suas integrais e derivadas tambm sero senoidais. A funo-excitao senoidal produzir uma resposta forada senoidal em todo circuito linear. A funo excitao senoidal permite, assim, um manuseio mais simples que qualquer outra funo. Finalmente, a funo senoidal tem importantes aplicaes prticas. uma funo fcil de ser gerada e sua forma de onda usada, predominantemente, pela indstria de gerao e distribuio de energia eltrica. 8.2 CARACTERSTICAS PRINCIPAIS DE UMA SENIDE

Uma voltagem de variao senoidal definida como: ou

(8.1) Os parmetros que definem uma onda senoidal so: a amplitude de Vm, a freqncia angular e a fase . Vemos na figura 8.1 uma onda senoidal cuja fase = 0.

Figura 8.1 Funo senoidal v(t) = Vmsent traada em funo a) t b) t.

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

m

m

v t V sen t

v t V cos t

= + = + = + = + = + = + = + = +




Na figura 8.1a a funo representada em funo de t e a sua natureza peridica evidente sendo o perodo de 2 radianos. Na figura 8.1b, sent traado como uma funo do tempo e, neste caso, o perodo T. O perodo pode ser expresso em graus ou ocasionalmente em unidades, tais como centmetros ou polegadas. A uma onda senoidal com um perodo T correspondem 1/T perodos cada segundo. Logo sua freqncia f :

(8.2) Assim, 1Hz idntico a um ciclo por segundo. Da figura 9.1a podemos observar que:

(8.3)

(8.4) Na figura 8.2 podemos observar uma senide, defasada, estando adiantada de radianos.

Figura 8.2 Senide defasada de radianos Vmcos(t+). Em Engenharia Eltrica, o ngulo de fase , geralmente, dado em graus e no em radianos, no havendo nenhuma confuso se o smbolo de grau for sempre utilizado. Assim, podemos representar: ou Duas ondas senoidais que devem ser comparadas em fase devem ser escritas como ondas senoidais ou como ondas cossenoidais; ambas devem ser escritas com amplitude positiva e devem ter a mesma freqncia. Ento, podemos dizer que: Em relao a

1f HzT

====

T 22 2 f rad/sT

= = = =

= = = = = = = =

(((( ))))(((( ))))

v 100sen 2 1000t 6v 100sen 2 1000t 30

= = = =

= = = =

(((( )))) (((( ))))1 m1v t V sen 5t 30= = = =

(((( )))) (((( )))) (((( ))))2 m2 m2v t V cos 5t 10 V sen 5t 100= + = += + = += + = += + = +




Est atrasada de 130, ou tambm correto dizer que v1 est 230 avanado em relao a v2 j que pode ser escrita como: 8.3 RESPOSTA FORADA FUNO-EXCITAO SENOIDAL CIRCUITO RL Inicialmente, escreveremos a equao diferencial que se aplica ao circuito dado. A soluo completa dessa equao composta de duas partes: a soluo complementar (chamada de resposta natural) e a soluo particular (ou resposta forada). A resposta natural independente da forma matemtica da funo-excitao e depende, apenas, do tipo do circuito, dos valores dos elementos e das condies iniciais. A soluo natural pode ser obtida admitindo-se que todas as funes-excitaes sejam nulas e, deste modo, a equao reduzida a uma simples equao diferencial homognea. A resposta natural para os circuitos RL, RC e RLC idntica s j estudadas. Usaremos resposta em estado de repouso como sinnimo de resposta forada e os circuitos que comearemos a analisar estaro no estado de repouso senoidal ou estado estacionrio senoidal. Consideremos agora o circuito RL mostrado na figura 8.3. A fonte de voltagem senoidal vs = vmcost foi ligada h muito tempo e a resposta natural j amorteceu totalmente. Vamos obter a resposta forada.

Figura 8.3 Um CKT RL alimentado por fonte senoidal. A equao diferencial para o circuito

(8.5) A soluo para i(t) da forma:

(8.6) Onde I1 e I2 so constantes que dependem de Vm, R, L, e .

(((( )))) (((( ))))2 m2v t V sen 5t 260= = = =

mdiL Ri V cos tdt

+ = + = + = + =

(((( )))) 1 2i t I cos t I sen t= + = + = + = +




Substitudo (8.6) em (8.5): Para que esta equao seja verdadeira em todo t: Resolvendo o sistema:

(8.7) Logo a equao para i(t) fica:

(8.8) Esta forma de soluo um pouco complicada e podemos escrev-la numa forma mais simples:

(8.9) Fazendo a expanso de i(t) e comparando com a equao 8.8 obtemos A e .

(8.10)

(8.11)

Dividindo as equaes:

(8.12)

Desenhando um tringulo auxiliar obtemos:

(8.13)

(((( )))) (((( ))))1 2 1 2 m

1 2 2 1 m

LI sen t LI cos t RI cos t RI sen t V cos tLI RI sen t LI RI V cos t 0

+ + + = + + + = + + + = + + + =

+ + + = + + + = + + + = + + + =

1 2

2 1 m

LI RI 0LI RI V 0 + = + = + = + =

+ =+ =+ =+ =

m1 2 2 2

m2 2 2 2

R VIR L

L VIR L

====

++++

====

++++

(((( )))) m m2 2 2 2 2 2R Li t V cos t +V sen t R L R L

= = = = + + + ++ ++ +

(((( )))) (((( ))))i t Acos t= = = =

m m2 2 2 2 2 2

m2 2 2

m2 2 2

R V L VAcos cos t Asen sen cos t sen t R L R L

R VAcosR L

L VAsenR L

+ = + + = + + = + + = + + ++ ++ ++ +

= = = =++++

= = = =++++

1Asen L Ltg tgAcos R R

= = == = == = == = =

2 2 2

RcosR L

= = = =++++




Figura 8.4 Tringulo auxiliar onde Aplicando a equao 8.13 na 8.10:

(8.14) A soluo para i(t) pode ento ser escrita:

(8.15) Como pode ser observado, a corrente est atrasada em relao a tenso. O ngulo de defasagem depende da razo entre L e R. Chamamos L de reatncia indutiva do indutor; sua unidade OHMS e d uma medida da reao imposta pelo indutor passagem de corrente senoidal. A resposta natural mais a resposta forada, isto , a resposta completa fica ento:

(8.16) Onde k obtido a partir das condies iniciais do CKT.

2 2 2

RcosR L

= = = =++++

m2 2 2

VAR L

====

++++

(((( )))) 1m2 2 2

V Li t cos t tgRR L

= = = = + +++

(((( ))))R t 1mL

2 2 2

V Li t ke cos t tgRR L

= + = + = + = + + +++




8.4 RESPOSTA FORADA ENTRADA SENOIDAL CKT RC Consideremos o circuito da figura 8.5 ao qual aplicada a corrente i(t) = Imcost

Figura 8.5 CKT RC paralelo alimentado por uma fonte senoidal. A equao diferencial para o circuito pode ser obtido a partir da equao de ns para as correntes.

(8.17) Vamos considerar o CKT em estado de repouso, isto , o transitrio j desapareceu. A soluo forada da forma:

(8.18) Aplicando na equao diferencial: Reunindo as componentes em seno e cosseno: A soluo para todo t:

(8.19)

(8.20)

mdv vI cos t Cdt R

= + = + = + = +

f 1 2v V cos t V sen t= + = + = + = +

1 2m 1 2

V VI cos t CV sen t CV cos t cos t sen tR R

= + + + = + + + = + + + = + + +

2 11 2 m

V VCV sen t CV I cos t 0R R

+ + + = + + + = + + + = + + + =

21

12 m

VCV 0R

V CV I 0R

+ = + = + = + =

+ =+ =+ =+ =




Resolvendo o sistema:

(8.21)

(8.22) A soluo forada ento expressa por:

(8.23)

Da mesma forma a resposta forada pode ser colocada na forma:

(8.24)

(8.25) Dividindo as equaes:

(8.26) Usando um tringulo auxiliar. Figura 8.6 Tringulo auxiliar onde

1 m2 2 2

2

2 m2 2 2

RV I1 R C

R CV I1 R C

= = = =

+ +++

= = = =

+ +++

(((( ))))2

mm2 2 2 2 2 2

R I R Cv t cos t I sen t1 R C 1 R C

= + = + = + = +

+ ++ ++ ++ +

(((( )))) (((( ))))o2

mm2 2 2 2 2 2

m2 2 2

2

m2 2 2

v t Acos t

R I R CAcos cos t Asem sen t cos t I sen t1 R C 1 R C

R IAcos1 R C

R CAsen I1 R C

= = = = + = + + = + + = + + = +

+ ++ ++ ++ + = = = =

++++

= = = = + +++

1

tg RCtg RC

= = = = = = = =

(((( ))))21cos

1 RC = = = =

+ + + +




Da figura obtm-se: Aplicando na equao 8.24 temos:

(8.27) A soluo forada fica representada por:

(8.28) A soluo completa para o circuito considerando a resposta natural mais a forada toma a seguinte forma:

(8.29) Onde k obtido a partir das condies iniciais. 8.5 RESPOSTA ENTRADA SENOIDAL CKT RLC Vamos estudar a forma de soluo para um CKT srie dado pela figura 8.7.

Figura 8.7 CKT RLC srie resposta entrada senoidal.

(((( ))))21cos

1 RC = = = =

+ + + +

(((( ))))m

2

R IA1 RC

====

+ + + +

(((( )))) (((( )))) (((( ))))1m

2

R Iv t cos t tg RC1 RC

= = = = + + + +

(((( )))) (((( )))) (((( ))))t

1mRC2

R Iv t ke cos t tg RC1 RC

= + = + = + = + + + + +




A equao diferencial para o CKT ser de 2 ordem e pode ser obtida a partir das equaes de malha. Como:

(8.30)

A soluo completa para esta equao tem duas componentes, a resposta natural e a forada.

(8.31) Vamos desenvolver a soluo utilizando como exemplo os seguintes dados para o circuito da figura 8.7. Usando os dados fornecidos escreveremos a equao diferencial que representa o CKT.

(8.32) Observe que a funo u(t) serve apenas para indicar que a fonte entrou em operao em t=0. Para obtermos a soluo natural precisamos determinar as razes caractersticas que nos indicaro o tipo de amortecimento e a forma de soluo.

(((( ))))s R L cm c

v t v v vdiv cos t Ri L vdt

= + += + += + += + +

= + + = + + = + + = + +

c

2c c

m c2

dvi Cdt

d v dvV cos t LC RC vdt dt

====

= + + = + + = + + = + +

(((( ))))c cn cfv t v v= += += += +

(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))

s

L

c

1L H2

C 1F3R2

v t u t cos 2t

i 0 2A

v 0 1V

====

====

= = = =

====

====

====

(((( ))))2

c cc2

d v dv1 3u t cos 2t v2 d t 2 dt

= + += + += + += + +

2

2

1 2

1 3s s 1 02 2s 3s 2 0

3 9 8s s 1 s 21

+ + =+ + =+ + =+ + =

+ + =+ + =+ + =+ + =

= = = = = = = = = = = =




Logo, o circuito superamortecido e a resposta natural da forma:

(8.33) Para a obteno da soluo forada, partimos da hiptese de soluo:

(8.34) E ento aplicamos a equao diferencial. Vamos antes obter a 1 e 2 derivadas para facilitar a soluo. Levando equao diferencial: Passando para a forma:

t 2tcn 1 2v A e A e

= += += += +

cf 1 2v V cos 2t V sen2t= += += += +

cf1 2

2cf

1 22

dv 2V sen2t 2V cos 2tdt

d v 4V cos 2t 4V sen2td t

= += += += +

= = = =

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

2 1

2 1

1

2

cf

1 3cos 2t 4V cos 2t 4V sen2t 2V cos 2t 2V sen2t V cos 2t V sen2t2 2

2V 3V V 1 cos 2t 2V 3V V sen2t 0

V 3V 1 0V 3V 0

V 3V1V

103V

101 3V cos 2t sen2t

10 10

= + + + += + + + += + + + += + + + + + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + = + = + = + = = = = == = = =

= = = =

====

= += += += +

(((( ))))cfv Acos 2t1 3Acos cos 2t Asen sen2t cos 2t sen2t

10 101Acos

103Asen

10tg 3 108,4

= = = =

+ = + + = + + = + + = +

= = = =

= = = =

= = = = = = = =




(8.35) A soluo completa pode, ento, ser escrita: Para obteno das constantes A1 e A2 usa-se as condies iniciais. Como vc(0)=1V:

(8.36) Para usarmos a corrente inicial precisamos da derivada da tenso no capacitor pois como o circuito srie: iL(0+)=iC(0+). Aplicando a condio inicial:

(8.37) Resolvendo o sistema formado por 8.36 e 8.37 temos: A soluo final ento obtida:

(8.38)

(((( ))))cf

110A 0, 3168

cos108,4v 0,3168cos 2t 108,4

= == == == =

= = = =

(((( )))) (((( ))))t 2tc 1 2v t A e A e 0, 3168cos 2t 108,4 = + + = + + = + + = + +

1 2

1 2

1 A A 0,1A A 1,1= + = + = + = +

+ =+ =+ =+ =

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

c c

t 0

c t 2t1 2

i 0 dv 2 2 V sC dt 1

dv tA e 2A e 0,6336sen 2t 108,4

dt

++++

====

= = == = == = == = =

= = = =

(((( ))))1 21 2

1 2

2 A 2A 0,6336sen 108,42 A 2A 0,6

A 2A 1,4

= = = =

= += += += +

= = = =

1 2A 3,62 A 2,5= = = = = = = =

(((( )))) (((( ))))t 2tcv t 3,6e 2,5e 0,3168cos 2t 108,4 = + = + = + = +



Professor Silvio Lobo Rodrigues

Figura 8.8 A resposta completa repre 8.6 ANLISE DOS NS E DAS MALHAS PARA CKT Neste item vamos utilizar os mtodos de anlise ddiferencial para o circuito dado. Consideremos o circuito da figura 8.9 para o qual sno capacitor (Vo) e corrente no indutor (Io).

Figura 8.9 Anlise de ns para obteno da equa Para o n 1 temos: (((( )))) (((( ))))t1 1 o 1 2 s0

1

dv v 1C I v v dt i tdt R L

+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =

sentada pela

RLC

e ns e malha

o conhecidos

o diferenci

13

linha cheia.

s para determinar a equao

os valores iniciais de tenso

al que define o CKT.

(8.39)




Para o n 2:

(8.40) Podemos ainda estabelecer a condio inicial para a tenso v1:

(8.41) Somando as equaes 8.39 e 8.40 obtemos:

(8.42) Derivando a equao 8.40: Ficando ento:

(8.43) Derivando a ltima expresso:

(8.44) Usando as expresses 8.43 e 8.44 na equao 8.42: Simplificando e multiplicando por R2 todos os termos chegamos finalmente equao diferencial em v2.

(8.45)

Para completar a soluo precisamos obter as condies iniciais para v2. Do circuito obtemos:

(8.46)

(((( ))))t 2o 1 202

v1I v v dt 0L R

+ = + = + = + =

(((( ))))1 ov 0 V ====

(((( ))))1 1 2 s1 2

dv v vC i tdt R R

+ + =+ + =+ + =+ + =

2 1 2

2

v v dv1 0L L R dt

+ = + = + = + =

21 2

2

dvLv vR dt

= += += += +

21 2 2

22

dv dv d vLdt dt R dt

= += += += +

(((( ))))2

2 2 2 2 2s2

2 1 1 2 2

dv d v v dv vLC LC i tdt R dt R R R dt R

+ + + + =+ + + + =+ + + + =+ + + + =

(((( ))))2

2 2 22 2 2 s2

1 1

d v dv RLLC R C 1 v R i tdt R dt R

+ + + + =+ + + + =+ + + + =+ + + + =

(((( ))))2 2 ov 0 R I ====




Da expresso 8.43 podemos obter:

(8.47) Para determinar v1 basta aplicar a soluo obtida para v2 na expresso 8.43. Aplicando Thvenin no CKT da figura 8.9 obtemos um CKT que pode ser resolvido pela aplicao da anlise de malhas.

Figura 8.10 Equivalente Thevenin da figura 8.9. As condies so mantidas vc(0)=Vo e iL(0)=Io. Para a malha 1:

(8.48) Para a malha 2:

(8.49)

(8.50)

Somando 8.49 e 8.48

(8.51)

(((( ))))(((( ))))

t22 2 2 1 o0

2 o

di 1L R i i i dt V 0dt C

i 0 I

+ + =+ + =+ + =+ + =

====

(((( )))) (((( ))))2 21 2t 0

dv Rv 0 v 0

dt L

====

= = = =

21 2

2

dvLv vR dt

= += += += +

(((( ))))t1 1 o 1 2 s01R i V i i dt vC

+ + =+ + =+ + =+ + =

21 1 2 2 s

diR i L R i Vdt

+ + =+ + =+ + =+ + =




Desta expresso obtemos:

(8.52) Diferenciando 8.49:

(8.53) Aplicando (8.52) em (8.53): Simplificando e multiplicando por C:

(8.54) A equao (8.54) representa a equao diferencial para o CKT em termos de i2. As condies iniciais so definidas por:

(8.55)

(8.56) Aps obter i2 pode-se obter i1 a partir da equao (8.52).

(8.57)

s 2 21 2

1 1 1

V di RLi iR R dt R

= = = =

22 2 2 1

22

d i di i iL R 0dt dt C C

+ + =+ + =+ + =+ + =

2s2 2 2 2 2

2 221 1 1

vd i di i di RLL R i 0dt dt C R C R C dt R C

+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =

2s2 2 2

2 221 1 1

Vd i di RLLC R C 1 idt R dt R R

+ + + + =+ + + + =+ + + + =+ + + + =

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

2 o

o2 22 o 2 o

t 0

i 0 i

Vdi R 1i 0 V R Idt L L L

====

====

= + = = + = = + = = + =

s 2 21 2

1 1 1

v di RLi iR R dt R

= = = =




8.7 EXERCCIOS

1) Obtenha o ngulo de atraso de i2 em relao a i1 se (((( ))))1i (t) 120cos 100 t 30 A= = = = DDDD quando:

a) (((( ))))2i (t) 8cos 100 t 20 A= += += += + DDDD b) (((( ))))2i (t) 5sen 100 t 50 A= += += += + DDDD c) (((( ))))2i (t) 6sen 100 t 30 A= = = = DDDD

Soluo: a) (((( )))) (((( ))))1i (t) 8cos 100 t 20 8cos 100 t 160 A= + = = + = = + = = + = D DD DD DD D i2 esta atrasada de 130o em relao a i1.

b) (((( )))) (((( ))))1i (t) 5sen 100 t 50 5cos 100 t 40 A= + = = + = = + = = + = D DD DD DD D

i2 esta atrasada de 10o em relao a i1.

I2 -160o -30o

I1

I2

-40o -30o

I1




c) (((( )))) (((( )))) (((( ))))2i (t) 6sen 100 t 30 6sen 100 t 210 6cos 100 t 120 A= = = = = = = = = = = = D D DD D DD D DD D D

i2 esta atrasada de 90o em relao a i1. 2) Encontre A,B,C e se

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))60cos 120 t 30 40sen 120 t 45 Acos 120 t Bsen 120 t Ccos 120 t + + = + = + + + = + = + + + = + = + + + = + = +D DD DD DD D

Soluo:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

60cos 120 t 30 40sen 120 t 45 60 cos 120 t cos 30 sen 120 t sen 30

40 cos 120 t cos 45 sen 120 t cos 45

51,96cos 120 t 30sen 120 t 28, 28sen 120 t 28,28cos 120 t

80, 24cos 120 t 58,28sen 120 t

+ + = + + + = + + + = + + + = +

+ + =+ + =+ + =+ + =

= + + + == + + + == + + + == + + + =

= + = + = + = +

D D D DD D D DD D D DD D D D

D DD DD DD D

A = 80,24 B = 58,28

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

o

o

Ccos 120 t Ccos cos 120 t Csen sen 120 t

Ccos 80,24 Csen 58, 28

senC 58, 28C cos 80, 24

tg 0,62537

3680, 24C 99,17

cos 36

+ = + = + = + =

= = = = = = = =

= = = =

= = = =

= = = =

= == == == =

I2

-120o -30o

I1




3) No circuito abaixo determine em t = 6ms os valores de

a) i (t) b) A potncia absorvida pelo resistor c) A potncia absorvida pelo indutor

Soluo:

a) div Ri Ldt

= += += += +

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

f 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 1 2 1

2

di50cos 100 t 15i 0,05dt

i I cos 100 t I sen 100 t

50cos 100 t 15 I cos 100 t I sen 100 t 0,05 100 I sen 100 t 100 I cos 100 t

50cos 100 t 15I 5 I cos 100 t 50 15I 5 I

0 15I 5 I sen 100 t 15I 5 I5 II

= + = + = + = +

= + = + = + = +

= + + + = + + + = + + + = + + + = + = + = + = + = + = + = + = +

= = = = = = = =

====

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

1 1

1

2

f

f

I15 350I 1,5898

31,4491,5898I 1,6648

3i 1,5898cos 100 t 1,6648sen 100 t

i 6ms 0,4913 1,5833 1,092A

====

= == == == =

= == == == =

= + = + = + = +

= + == + == + == + =

b) (((( )))) (((( ))))2 2Rp 15.i t 15. 1,092 17,89W= = == = == = == = =

15

50mH i(t) v(t)=50cos(100t)V




c) L Lp v i====

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))

L

L

L

L

div L 0,05 100 1,5898sen 100 t 100 1,6648cos 100 tdt

v t 24,97sen 100 t 26,15cos 100 t

v 6ms 23,75 8,08 31,83

p 6ms 31,83 1,092 34,76W

= = + = = + = = + = = + = + = + = + = +

= = = = = = = =

= = = = = = = =

4) Depois de usar o teorema de Thvenin para simplificar o circuito abaixo determine, em

t = 0, os valores de: a) R1v b) R2v c) Lv

Soluo:

50 160

2H 200 10sen(200t) V

VR2 VR1

+

vL

-

- + + -

160

200 vL

+

50 2H

vR1 -

+

-

0,2sen(200t) A




(((( )))) di8sen 200t 200i 2dt

= += += += +

Sendo (((( )))) (((( ))))f 1 2i I cos 200t I sen 200t= += += += +

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

1 2 1 2

2 1

2 1 1 2

2 2

2

1

R1

8sen 200t 200I cos 200t 200I sen 200t 2 200I sen 200t 2 200I cos 200t8 200I 400I0 200I 400I I 2I

8 200I 800II 8mAI 16mA

i t 8sen 200t 16cos 200t mA

v 160i t 1,6sen 200t 2,56cos 200t V

= + + = + + = + + = + +

= = = =

= + = = + = = + = = + =

= += += += +

====

= = = =

= = = =

= = = = = = = =

Em t = 0 vR1 = -2,56V

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))L

L

div L 2 1,6cos 200t 3,2sen 200tdt

v 0 3, 2V

= = += = += = += = + ====

Para a obteno de vR2 obtemos a equao de lao no circuito inicial

(((( )))) R2 R1 L100sen 200t v v v= + += + += + += + +

160

-

40

2H

+

vL

vR1 + -

8sen(200t) V i




Em t = 0 R2v 2,56 3, 2 0,64V= + = = + = = + = = + =

5) Para o circuito abaixo mostre que a corrente i definida por di26i 0,01 24cos1000tdt

+ =+ =+ =+ = .

Soluo: Chamando de i a corrente que sai da fonte

(((( ))))(((( ))))

X

X

i 0,02v i 1

v 20i 2

= += += += +

====

(((( )))) (((( ))))X di24cos 1000t 10i v 0,01 3dt= + += + += + += + + ( 2 ) em ( 1 ) (((( ))))i 0,4i i 0,6i 4 = + == + == + == + =

( 2 ) e ( 4 ) em ( 3 ) (((( )))) di24cos 1000t 10 0,6i 20i 0,01dt

= + += + += + += + +

(((( )))) di24cos 1000t 26i 0,01dt

= += += += +

10 20

10mH 0,02vX 24cos(1000t)V

i

vX + -

i'




6) Sendo (((( )))) (((( ))))Sv 20cos 5t 30cos 10t V= += += += + , no circuito que segue, determine i1(t).

Soluo: Usa-se o teorema da superposio considerando vs como duas fontes independentes de

freqncias 1 = 5 rad/s e 2 = 10 rad/s . Para a 1 fonte

(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

1

11

1

i A cos 5t Bsen 5tdi20cos 5t 10i 2dt

20cos 5t 10Acos 5t 10Bsen 5t 2 5Asen 5t 2 5Bcos 5t20 10A 10B0 10B 10A A B20 20A A 1 e B 1i cos 5t sen 5t

= += += += +

= += += += +

= + + = + + = + + = + +

= += += += +

= == == == =

= = == = == = == = =

= += += += +

10

2H

i1

vS

10

2H

i1

20cos(5t)V




Para a 2 fonte

(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

2

22

2

1 2

i Ccos 10t Dsen 10tdi30cos 10t 10i 2dt

30cos 10t 10Ccos 10t 10Dsen 10t 2 10Csen 10t 2 10Dcos 10t30 10C 20D0 10D 20C D 2C30 10C 40C C 0,6 e D 1,2i 0,6cos 10t 1,2sen 10t

i t i t i t

i t cos 5t sen 5t 0,6cos 10t 1,2

= += += += +

= += += += +

= + + = + + = + + = + +

= += += += +

= == == == =

= + = == + = == + = == + = =

= += += += +

= += += += +

= + + += + + += + + += + + + (((( ))))sen 10t

Passando para a forma

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

1 1 2 2

1 1 1 1

1 1 1

2 2 2 2

2 2 2

i t k cos 5t k cos 10t

k cos 1 tg 1 452k sen 1 k 1,4142

k cos 0,6 tg 2 63,41,2k sen 1,2 k 1, 342

sen 63,4

i t 1,414cos 5t 45 1, 342cos 10t

= + = + = + = + = = = = = = = = = = = =

= = = = = = = = = = = =

= = = = = = = = = = = =

= = = = = = = = = = = =

= += += += +

DDDD

DDDD

DDDD (((( ))))63,4 DDDD

10

2H 30cos(10t)V

i2




7) Para a forma de onda senoidal mostrada na figura que segue determine: a) o perodo T; b) a freqncia f; c) a freqncia ; d) a fase ; e) a amplitude mxima A sendo (((( )))) (((( ))))f t Asen t= + = + = + = + Soluo:

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( ))))

3

3

f t Asen t

f 0 5 5 Asen

f 1, 2 0 0 = Asen 1,2 10

A 8 do grfico5sen8

38,68 0,675 rad1,2 10 0,675 0562,5 rad / s

2 1a) T 11,17ms fT

b) f 89,52Hzc) 2 89,52 562,5 r

= + = + = + = + = = = = = = = = = + = + = + = +

====

= = = = = = = = = = = = = = = =

= = = =

= = == = == = == = =

====

= = = = = = = =

DDDD

ad / sd) 38,68e) A 8

= = = = ====

DDDD

1,2

-5

f(t)

t(ms)

-8




8) Uma senide de 100Hz tem um valor mximo positivo de 50V em t = 0,1234s. Expresse a senide na forma A cos(t) + B sen(t).

Soluo:

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

mv t v sen t

v t 50sen 2 100 0,1234

= + = + = + = + = + = + = + = +

A senide mxima quando 2 100 0,12342

+ = + = + = + =

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

77,5345 75,96 rad 0,56177 rad s2

v t 50sen 200 t 0,5618

v t 50sen 200 t cos 0,5618 50cos 200 t sen 0,5618

v t 45,32sen 200 t 26,63cos 200 t

= = = = = = = = = = = = = = = =

= = = =

= = = =

.

9) No circuito que segue (((( ))))sv 20cos 500t 100= += += += + DDDD e (((( ))))Rv k cos 500t 45 V= += += += + DDDD . Se L = 80mH

encontre R, K, i(t) e vL(t).

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

ki t cos 500t 45R

di20cos 500t 100 k cos 500t 45 0,08dt

500k20cos 500t cos 100 20sen 500t sen 100 k cos 500t 45 0,08 sen 500t 45R

= += += += +

+ = + ++ = + ++ = + ++ = + +

= + + + = + + + = + + + = + + +

DDDD

D DD DD DD D

D D D DD D D DD D D DD D D D

R

80mH vL +

-

vR + -

i(t)

vs=20cos(500t + 100)




(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))3,472cos 500t 19,696sen 500t k cos 500t cos 45 ksen 500t sen 45

40k 40ksen 500t cos 45 cos 500t sen 45R R

k 2 40k 2 k 2 40k 23,472 19,6962 R 2 2 R 2

3,472 2 40k 19,696 2 40k 40k k k 1R R R2 2

40k 1R

= = = =

= = = = = = = =

= = = += = = += = = += = = +

++++

D DD DD DD D

D DD DD DD D

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

4,91

4,91k401R

4,91 4027,854 140 R1R

4,9127,854 R 40R 40

27,854 R 40 4,91R 196,4

1114,16 196,4 27,854 4,91 R917,76 R 28,0132,764

4,91k 11,456401

28,0111,456i t cos 500t28,01

= = = =

====

= + = + = + = +

= + = + = + = +

= + = + = + = +

= + = + = + = +

= = = = = = = =

= == == == =

= += += += +(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

L

L

L

45

i t 0,410cos 500t 45

dv t 0,08 0,410cos 500t 45dt

v t 16,4sen 500t 45 V

v t 16,4cos 500t 135 V

= += += += +

= += += += + = += += += +

= += += += +

DDDD

DDDD

DDDD

DDDD

DDDD




10) Use repetidas transformaes de fontes sobre o circuito abaixo e obtenha i(t).

(((( ))))

(((( ))))

1m2 2 2

1

2 2 2

v Li t cos t tgRR L

90 400 0,2i t cos 400t tg6060 400 0, 2

= = = = + +++

= = = = ++++

30

10 20

0,2H

2cos(400t) A 5cos(400t) A

i(t)

40cos(400t) V 50cos(400t) V

20 30 0,2H 10

i(t)

90cos(400t) V

60

0,2H

i(t)




(((( )))) (((( ))))(((( ))))

190i t cos 400t tg 1,33600 6400

i t 0,9cos 400t 53,1

= = = = ++++ = = = = DDDD

Analise de circuitos

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