COPPE/UFRJ

UMA CONTRIBUIO PARA A ANLISE DE ESTABILIDADE DE POO DE PETRLEO CONSIDERANDO A INFLUNCIA DA RUPTURA VOLUMTRICA

Michel Nunes Zahn

Dissertao

de

Mestrado

apresentada

ao

Programa de Ps-graduao em Engenharia Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessrios obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Civil. Orientadores: Luiz Landau Lcia Carvalho Coelho

Rio de Janeiro Abril de 2010

UMA CONTRIBUIO PARA A ANLISE DE ESTABILIDADE DE POOS DE PETRLEO CONSIDERANDO A INFLUNCIA DA RUPTURA VOLUMTRICA

Michel Nunes Zahn DISSERTAO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PS-GRADUAO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE MESTRE EM CINCIAS EM ENGENHARIA CIVIL .

Examinada por: ________________________________________________ Prof. Luiz Landau, D.Sc. ________________________________________________ Prof. Jos Luis Drummond Alves, D.Sc. ________________________________________________ Prof. Eduardo Setton Sampaio da Silveira, D.Sc. ________________________________________________ Eng. Lcia Carvalho Coelho, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL ABRIL DE 2010

Zahn, Michel Nunes Uma contribuio para a anlise de estabilidade de poos de petrleo considerando a influncia da ruptura volumtrica / Michel Nunes Zahn. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2010. XVI, 127 p.: il.; 29,7 cm. Orientadores: Luiz Landau Lcia Carvalho Coelho Dissertao (mestrado) UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Civil, 2010. Referencias Bibliogrficas: p. 120-127. 1. Estabilidade de poos. 2. Modelos elastoplsticos. 3. Elementos Finitos. I. Landau, Luiz, et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Ttulo

ii

A Michel e Gleiceiii

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Luiz Landau e ao Prof. Jos Luis Drummond Alves, pela oportunidade, orientao, apoio e incentivo durante toda a caminhada deste trabalho. A Dra. Lcia Carvalho Coelho, um agradecimento muito especial por ter me orientado e cuja participao foi fundamental no desenvolvimento desta tese. A todos os colegas do grupo de mecnica dos slidos, em particular ao Nestor e ao Jos Ricardo por terem me ajudado e orientado nos primeiros passos e dvidas com o ANSYS. A Monica Stoque pelo apoio administrativo necessrio durante todo o curso. Ao corpo tcnico e administrativo do Laboratrio de Mtodos Computacionais para Engenharia, pelo suporte tcnico e humano. secretaria acadmica do Programa de Engenharia Civil da COPPE, pela presteza em encaminhar os procedimentos necessrios ao desenvolvimento deste trabalho. A minha v Idalina e a minha esposa Nathlia, pelo suporte familiar e a todos os meus familiares e amigos que me ajudaram nesta rdua tarefa.

iv

Resumo da Dissertao apresentada COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessrios para a obteno do grau de Mestre em Cincias (M.Sc)

UMA CONTRIBUIO PARA A ANLISE DE ESTABILIDADE DE POOS DE PETRLEO CONSIDERANDO A INFLUNCIA DA RUPTURA VOLUMTRICA

Michel Nunes Zahn

Abril/2010

Orientadores: Luiz Landau Lcia Carvalho Coelho

Programa: Engenharia Civil

Este trabalho apresenta um estudo sobre estabilidade de poos de petrleo baseado em modelagem numrica pelo mtodo de elementos finitos utilizando teoria da plasticidade. Foi analisado o impacto da ruptura volumtrica na estabilidade em poos horizontais. O mecanismo de ruptura volumtrica utilizado para prever a possibilidade da ocorrncia de areia na fase de produo do reservatrio. Para estas simulaes utilizou-se o software ANSYS com o modelo elastoplstico de cap model para dados de rocha coletados na literatura. Este trabalho mostrou a importncia em considerar o mecanismo da ruptura volumtrica, ainda pouco estudada, na estabilidade de poos e previso de areia.

v

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fullfilment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

CONTRIBUTION TO OIL WELLBORE STABILITY ANALYSIS CONSIDERING THE INFLUENCE OF VOLUMETRIC FAILURE

Michel Nunes Zahn April/2010

Advisors: Luiz Landau Lcia Carvalho Coelho

Department: Civil Engineering

This dissertation presents a study on stability of oil wells based on numerical modeling by finite element method using theory of plasticity. The impact of volumetric failure in stability in horizontal wells was analyzed. The volumetric failure mechanism is used to predict the possible occurrence of sand in the production phase of the reservoir. For these simulations was used the ANSYS software with the elastoplastic cap model. Rock data was collected from literature. Parametric studies were made. This study shows the importance of considering the volumetric failure in the prediction of wellbore stability analysis and sand prediction.

vi

NDICE

1. Introduo 1.1 Motivao....................... 1 1.2 Objetivo................... 2 1.3 Metodologia............................................................... 3 1.4 Pressupostos e Limitaes................................. 3 1.5 Descrio dos Captulos............................................ 3 2. Anlise de Tenses e Estabilidade em poos de petrleo 2.1 Introduo................ 4 2.2 Tenses atuantes em um reservatrio................... 4 2.2.1 Estado Inicial de Tenses......................................... 5 2.2.2 Presses de poro........................................... 6 2.2.3 Lei das Tenses Efetivas.......................................... 7 2.3 Anlise de tenses em poos de petrleo................. 8 2.3.1 O Efeito do Furo no Estado Inicial de Tenses......................10 2.3.2 Efeito do Fluxo de Fluidos...............................................11 2.4 Estabilidade de poos.............................................. 12 2.4.1 Ruptura por cisalhamento.......................................................14 2.4.2 Ruptura por trao...........................................................16 2.4.3 Ruptura volumtrica........................................................16 2.5 Produo de areia.................................................... 21 2.5.1 Previso de areia....................................................................23 2.5.2 Ruptura por trao em rochas mal consolidadas...................23 2.5.3 Fatores Indutores da Produo de Slidos............................24

vii

2.5.4 Fatores relacionados resistncia..................................25 2.6 Critrios de Estabilidade de Poos e Produo de areia....... 26 2.6.1 Critrios de estabilidade de poos..........................................26 2.6.2 Critrios de produo de areia.......................................... ....27 2.7 Modelagem da estabilidade de poos e previso da ocorrncia de produo de areia.................................................................................... 29 3. Formulao Poroelastoplstica 3.1 Formulao do problema poroelstico................. 32 3.1.1 Variveis cinemticas...................................... 33 3.1.1.1 Deformaes do volume poroso......................... 33 3.1.1.2 Incremento do Contedo de Fluido......................... 35 3.1.2 Variveis dinmicas............................................. 36 3.1.2.1 Tenses.................................................................. 36 3.1.2.2 Presses de Poro................................................... 38 3.1.3 Lei das Tenses Efetivas..................................... 39 3.1.4 Relaes tenso x deformao.......................................... 39 3.1.5 Lei de Darcy....................................................................... 42 3.1.6 Equao de Continuidade do Fluido...................................... 43 3.1.7 Equaes que governam o problema.................................... 43 3.1.8 Analogia entre a poroelasticidade e a termoelasticidade...... 45 3.1.9 Poroelastoplasticidade........................................................... 46 3.1.9.1 Deformaes plsticas............................................ 46 3.1.9.2 Critrio de escoamento........................................... 46 3.1.9.3 Lei do fluxo.............................................................. 47 3.1.9.4 Lei do endurecimento............................................. 48 3.1.10 O problema quasiesttico.................................................... 48 4. Modelagem da Estabilidade de Poos e Previso de Areia 4.1 Introduo.........50viii

4.2 Comportamento volumtrico das rochas.....50 4.3 Modelagem no Programa ANSYS.....52 4.4 Modelos Constitutivos para geomateriais do ANSYS.......... 53 4.3.1 Modelo de Drucker Prager do ANSYS.................................. 55 4.3.2 Modelo de Drucker-Prager estendido do ANSYS.................. 54 4.3.3 Cap Model do ANSYS........................................................... 55 4.5 Parmetros do modelo......................... 62 4.6 Modelagem Poroelstica................................ 63 4.7 Metodologia.................................................... 64 4.8 Validao do modelo.......................................... 65 4.8.1 Soluo Analtica................................................................... 65 4.8.2 Exemplo da validao............................................................ 68 4.8.2.1 Perfurao.............................................................. 68 4.8.2.2 Produo................................................................. 70 5. Simulaes Numricas 5.1 Introduo........ 73 5.2 Determinao dos Parmetros para Anlise Numrica........... 74 5.3 Descrio das anlises................................... 76 5.3.1 Geometria dos modelos..........................................................76 5.3.2 Condies de contorno...........................................................79 5.3.3 Previso de areia....................................................................81 5.4 Simulaes numricas.................................................. 82 5.4.1 Material Elstico.....................................................................82 5.4.2 Carbonato com critrio de Drucker-Prager............................86 5.4.3 Arenito com critrio de Drucker-Prager.................................88 5.4.4 Carbonato com critrio de Drucker-Prager com cap model................................................................................... 88

ix

5.4.5

Arenito

com

critrio

de

Drucker-Prager

com

cap

model................ ................................................................................ 90 5.5 Variaes Paramtricas.............................. 93 5.5.1 Variao da Tenso in Situ.................................................... 93 5.5.2 Variao do Raio do Cap de Trao....................................100 5.6 Modelagem na fase de produo.................................106 5.7 Anlise dos Resultados................................ 113 6. Concluses e Recomendaes 6.1 Concluses ...................................................................................116 6.2 Sugestes para futuras pesquisas................................................ 118 Referncias Bibliogrficas.................................................................. 120

x

ndice de Figuras:Figura2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15

DescrioTenso e deslocamento em coordenadas cilndricas Fonte: (COELHO ET AL, 2001) Comparao entre perfil de resistncia da rocha e os parametros de laboratrio Fonte: STEPHEN (2003) Correlao de resistncia medida para 9 poos Fonte: STEPHEN (2003) Formao de faixas de compactao discretas e difusas em arenitos porosos - Fonte: (BAUD ET AL, 2003) Breakouts em arenitos com porosidade variando de 15 a 28% Fonte: (HAIMSON, 2007) Breakouts em arenitos de alta porosidade variando de 15 a 28% Fonte: (HAIMSON, 2007) Resultados de ensaios triaixiais em diferentes nveis de tenso de confinamento para o calcrio Tavel - Fonte: (BAUD ET AL, 2008) Pontos que delimitam a resistncia do calcrio Tavel Fonte: (BAUD ET AL, 2008) Caps que delimitam a resistncia do material para rochas de diferentes porosidades - Fonte: (BAUD ET AL, 2008) Micromecanismos associados nos modos de ruptura compressiva em rochas porosas e superfcie de ruptura correspondente Fonte: (BAUD ET AL, 2008) Efeitos de saturao da gua Fonte: (STEPHEN, 2003) Modelo de Mohr-Coulomb bilinear Fonte: (NOURI ET AL, 2006) Limite de trao associado superfcie de Mohr-Coulomb Fonte: (VAZIRI ET AL, 2002) Cap model implementado no ANSYS Fonte: Release 11.0 Documentation for ANSYS Curva tenso efetiva x porosidade (COELHO, 2001) Cap Model proposto por (DRUCKER ET AL, 1957) Fonte: (CHEN & BALADI, 1985) Superfcie de escoamento Drucker-Prager e Mohr-Coulomb Fonte: Release 11.0 Documentation for ANSYS Envoltria de cisalhamento Fonte: Release 11.0 Documentation for ANSYS Funo de compactao do cap Fonte: Release 11.0 Documentation for ANSYS Funo de expanso do cap Fonte: Release 11.0 Documentation for ANSYS Perfil de superfcie de escoamento Fonte: Release 11.0 Documentation for ANSYS Cap Model Fonte: Release 11.0 Documentation for ANSYS Poo Real Tenso tangencial (sem efeitos poroelsticos) (MPa) Tenso radial (sem efeitos poroelsticos) (MPa) Grfico dos Resultados da tenso tangencial e radial Tenses poroelsticas tangenciais (MPa) Tenses poroelsticas radiais (MPa) Grfico dos Resultados da tenso poroelsticas tangencial e

Pgina9 15 15 17 17 18 19 19 20 21 24 30 30 31 52 54 55 57 58 59 60 61 66 69 69 70 71 71 72

xi

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28 5.29 5.30 5.31 5.32 5.33 5.34 5.35

radial Ajuste do cap model para o carbonato Ajuste do cap model para o arenito Ajuste do cap model para o carbonato com acrscimo de cut off de trao Geometria do Poo(metros) Modelo do Poo Condio de contorno da fase de perfurao Condio de contorno da fase de produo(cargas aplicadas no contorno + deformaes poroelsticas) Tenses em X Material Elstico (MPa) Tenses em Y Material Elstico (MPa) Fase de Perfurao - Tenso Radial (MPa) Elstica Fase de Perfurao - Tenso Tangencial (MPa) Elstica Fase de Perfurao - Tenso XY(MPa) -Elstica Fase de Perfurao: Tenso Radial Material DruckerPrager (MPa) Fase de Perfurao: Tenso Tangencial Material DruckerPrager (MPa) Fase de Perfurao Razo de Tenses Fase de Perfurao: Tenso Radial Material DruckerPrager (MPa) Fase de Perfurao: Tenso Tangencial Material DruckerPrager (MPa) Fase de Perfurao Primeira Deformao Plstica Principal(MPa) Fase de Perfurao Terceira Deformao Plstica Principal(MPa) Fase de Perfurao Razo de Tenses Fase de Perfurao: Tenso Radial Material DruckerPrager (MPa) Fase de Perfurao: Tenso Tangencial Material DruckerPrager (MPa) Fase de Perfurao Primeira Deformao Plstica Principal(MPa) Fase de Perfurao Terceira Deformao Plstica Principal(MPa) Fase de Perfurao Razo de Tenses Fase da Perfurao Tenso Radial para o carbonato (MPa) Fase da Perfurao Tenso Tangencial para o carbonato (MPa) Fase da Perfurao Primeira Deformao Plstica Principal para o carbonato (MPa) Fase da Perfurao Terceira Deformao Plstica Principal para o carbonato (MPa) Fase da Perfurao Razo de Tenso para o carbonato (MPa) Fase de Perfurao Tenso Radial para o carbonato (MPa) Fase de Perfurao Tenso Tangencial para o carbonato (MPa) Fase de Perfurao Primeira Deformao Plstica Principal para o carbonato (MPa) Fase de Perfurao Terceira Deformao Plstica Principal para o carbonato (MPa) Fase de Perfurao Razo de Tenso para o carbonatoxii

75 79 76 77 77 81 81 83 83 85 85 85 87 87 87 89 89 89 89 90 91 91 92 92 92 95 96 97 98 99 101 102 103 104 105

5.36 5.37 5.38 5.39 5.40 5.41 5.42 5.43 5.44 5.45 5.46 5.47 5.48 5.49 5.50

(MPa) Distribuio de presso de poro no entorno do Poo (MPa) Distribuio de presso de poro no entorno do Poo (MPa) Fase de Produo: Tenso Radial (MPa) Elstica Fase de Produo: Tenso Tangencial (MPa) Elstica Fase de Produo - Tenso XY(MPa) Elstica Fase de Produo: Tenso Radial Material DruckerPrager (MPa) Fase de Produo: Tenso Tangencial Material DruckerPrager (MPa) Fase de Produo Primeira Deformao Plstica Principal (MPa) Fase de Produo Terceira Deformao Plstica Principal (MPa) Fase de Produo Razo de Tenses Fase de Produo: Tenso Radial Material DruckerPrager (MPa) Fase de Produo: Tenso Tangencial Material DruckerPrager (MPa) Fase de Produo Primeira Deformao Plstica Principal(MPa) Fase de Produo Terceira Deformao Plstica Principal(MPa) Fase de Produo Razo de Tenses

107 107 108 108 108 109 109 110 110 110 112 112 112 112 113

xiii

SimbologiaB= coeficiente de Skempton Cr =compressibilidade do volume poroso Ct =compressibilidade dos gros da rocha (rocha macia)

C ijkl = matriz constitutivac= calor especfico

d = multiplicador plstico

E m = tensor de deformaes mdias

E v = tensor de deformaes desviadoraseij = componentes do tensor de deformaes desviadoras

Fm = funo de escoamentof = foras por unidade de volume atuantes no corpo

f i = foras de corpo por unidade de massag = acelerao da gravidade

g p = funo potencial plstico

gro = coeficiente de sobrecargaG = Mdulo de elasticidade transversal ou mdulo de deformao cisalhante

G p = gradiente de presso de poroh = altura da coluna de fluido I = tensor identidade

I1 , I 2 , I 3 = primeiro, segundo e terceiro invariante do tensor de tenses, respectivamente J 1 , J 2 , J 3 = primeiro, segundo e terceiro invariante do tensor de tenses, respectivamentek= permeabilidade K = mdulo de deformao volumtrica

K f = mdulo de deformao volumtrica do fluido

K u = mdulo de deformao volumtrica no-drenadoK = razo entre a tenso horizontal e a tenso vertical ks = mdulo de deformao volumtrica do volume poroso m = contedo de fluido Mf = massa de fluido contida em um volume de controle.

Pe = presso externa aplicada no ensaio no-drenado

p = presso de fluido/poropresso

xiv

pe = presso esttica do reservatrio pp(r) = campo de presses de poro radial pw = presso de fluido na parede do poo pw = diferencial de presso de fluido na parede do poo

qi =Q = vazo s = tensor de tenses desviadoras

s ij = componentes do tensor de tenses desviadoras

S = coeficiente de armazenamentot = foras atuantes no cortorno de um volume

) t = foras externasT = temperatura V = volume de controle

V f = volume de fluidoGrego:

= constante de Biot-Willis

t = coeficiente de expanso trmica ij = delta de Kroenecker (para i = j , ij = 1 ; i j , ij = 0 )m = variao do contedo de fluido

v = deformao volumtricam = v3= deformao mdia

= primeiro parmetro de Lam = parmetro de endurecimento = densidade

f

= densidade do fluido

z = perfil de densidades da rocha acima do ponto considerado ij = delta de Kroeneker

= porosidade

= viscosidade do fluido

= tensor de tenses

ij = tenses efetivas

H = componente horizontal maior das tenses in-situxv

m = tenso mdia r = tenso radial

v v

= componente horizontal menor das tenses in-situ = componente vertical das tenses in-situ = componente tangencial das tenses em coordenadas cilndricas

= coeficiente de Poisson = ngulo da coordenada cilndrica

= porosidade

= contorno = domnio

ndices: f = fluido

xvi

Captulo 1INTRODUO

1.1

MotivaoA explotao de hidrocarbonetos em ambiente marinho na costa brasileira A rea do Pr-Sal,

demanda novas tecnologias para sua viabilidade econmica.

localizada na Bacia de Santos em uma regio de lmina dgua que varia entre 1900 a 2400 metros a 290 km da costa do Rio de Janeiro, possui reservatrios de rochas carbonticas a cerca de 5000 metros de profundidade sob uma camada de sal que pode aingir a espessura de 2000m. J as reservas de leo pesado da costa brasileira tambm demandam a utilizao de estratgias para melhorar a produtividade dos poos. Neste cenrio, a utilizao de poos direcionais e horizontais vem aumentando nos ltimos anos, devido ao grande avano nas tcnicas de perfurao e completao destes tipos de poos. Estes poos permitem o aumento da recuperao das reservas. No caso dos poos horizontais, o aumento da rea exposta ao fluxo aumenta sua vantagens em relao aos poos verticais, sobretudo em ambientes marinhos, nos quais o posicionamento das plataformas crtico devido s condies do mar. estabilidade de poos e previso de areia. nestes projetos. A aplicao da mecnica das rochas em estudos de estabilidade de poos remonta ao trabalho de BRADLEY (1979). Diversos modelos baseados na mecnica do contnuo foram desenvolvidos, desde modelos elsticos a modelos elastoplsticos mais elaborados. Nos modelos elsticos (MORITA, 2004), formulaes analticas permitem avaliar o estado de tenses no entorno do poo. Aps o estado de tenses na rocha ser avaliado, aplica-se um critrio de ruptura por compresso ou trao para prever a estabilidade. Os critrios de ruptura por compresso mais utilizados so os critrios de Mohr-Coulomb, Drucker-Prager, Lade modificado ou Hoek & Brown. J o critrio mais utilizado para ruptura por trao considera como limite a a resistncia trao da rocha para a tenso efetiva mnima. Estes modelos so considerados muito conservativos, uma vez que a ocorrncia de um ponto no entorno do poo que tenha As condies adversas de produo e de geometria dos poos remete ao problema da Estes problemas apresentam grandes impactos nos custos do poo. Sua previso e monitoramento um tem fundamental

1

atingido o critrio de ruptura no implica na instabilidade do poo. Mtodos numricos como o mtodo das diferenas finitas ou elementos finitos associados teoria da plasticidade clssica foram desenvolvidos. Estes modelos apresentam a vantagem de indicar a extenso da regio plastificada, fornecendo um melhor indicador da severidade da instabilidade do poo. Estes modelos em geral consideram a ocorrncia de dois modos de ruptura no entorno do poo: a ruptura por trao e a ruptura por cisalhamento. Estes modelos foram ficando mais complexos medida em que foram incorporando outras fsicas associadas ao problema de estabilidade: modelos poroelsticos (DETOURNAY & CHENG, 1993) , modelos termoporoelsticos (WANG & DESSEAULT, 2003) plsticos, modelos qumico-termoporoelastoplsticos (YU ET AL, 2001) e suas verses associadas teoria da plasticidade. Avanos nos modelos elastoplsticos para melhorar os indicadores de estabilidade foram desenvolvidos aplicando a teoria da bifurcao e da localizao em faixas de cisalhamento (shear bands). Para incorporar o efeito da microestrutura da rocha, aproximaes atravs do modelo contnuo de Cosserat (PAPANASTASIOU & VARDOULAKIS, 1989) foram propostas, bem como a utilizao da elastoplasticidade gradiente (ZERVOS ET AL, 2001), que utiliza termos do gradiente de deformao nas variveis de estado. Todos os modelos elastoplsticos descritos acima dependem de um modelo constitutivo realista capaz de reproduzir os diversos modos de ruptura que ocorrem no entorno de um poo. Estudos experimentais apontam que as rochas submetidas a altas tenses de confinamento podem atingir o limite de resistncia compresso hidrosttica, quando ocorre a severa compactao do meio poroso, com severa reduo da permeabilidade e porosidade. Este tipo de ruptura denominada neste trabalho de ruptura volumtrica. COELHO ET AL (2005) apresentaram um estudo numrico em reservatrio da costa brasileira e apontaram que este tipo de ruptura pode ser atingida naquelas condies de reservatrio. Estes resultados so compatveis com os estudos experimentais de HAIMSON (2007), que identificou um padro de breakout em formato de fenda fina, que avana para dentro da formao, um formato distinto dos observados em rochas de menor porosidade.

1.2

ObjetivoEste trabalho apresenta um estudo sobre a influncia da ruptura volumtrica na

estabilidade de poos. Para isto foram utilizados modelos constitutivos capazes de representar os diversos modos de ruptura nas rochas porosas, obtidos de dados

2

experimentais disponveis na literatura. Finalmente, foi feita uma avaliao dos parmetros que impactam na estabilidade de poos horizontais.

1.3

MetodologiaModelagens numricas pelo mtodo dos elementos finitos para anlise

elastoplstica foram efetuadas comparando-se os modelos constitutivos mais utilizados para a previso da plastificao da rocha. A possibilidade da ocorrncia da ruptura volumtrica foi avaliada atravs do modelo constitutivo tipo cap model. Estudos experimentais recentes indicam que este mecanismo apresenta grande potencial de produo de areia. A modelagem computacional do reservatrio foi realizada no software ANSYS. As anlises foram realizadas num PC.

1.4

Pressupostos e LimitaesAs hipteses para modelagem do problema do poo horizontal adotadas nesse

trabalho so: Utiliza-se elementos planos triangulares, considerado o poo como um problema de estado plano de deformaes. Foi modelado somente do poo para tirar proveito da simetria do problema e um melhor desempenho computacional. O macio rochoso tratado como um meio contnuo isotrpico e homogneo, com comportamento do material segundo as leis da teoria clssica da plasticidade com fluxo associativo. A formulao utilizada a de pequenos deslocamentos e pequenas deformaes. A modelagem foi feita atravs do programa ANSYS utilizando modelos de ruptura de Drucker-Prager e cap model.

1.5

Descrio dos CaptulosSeguindo-se a esta Introduo, o Captulo 2 apresenta uma reviso sobre o

estado da arte na estabilidade de poos e produo de areia e as metodologias utilizadas na sua predio. O Captulo 3 apresenta os fundamentos tericos de anlises de tenses que ocorrem num poo de petrleo adotadas neste trabalho. O Captulo 4 apresenta a metodologia utilizada na modelagem computacional. No Captulo 5 descreve-se as simulaes numricas efetuadas. O Captulo 6 apresenta as concluses e sugestes para futuras pesquisas.

3

Captulo 2ANLISE DE TENSES E ESTABILIDADE EM POOS DE PETRLEO 2.1 IntroduoAs diversas intervenes no meio poroso gerada pela perfurao, produo e as diversas operaes durante a vida til de um poo provocam alteraes no estado de tenses inicialmente existente na rocha. Estas alteraes podem provocar dano mecnico na vizinhana do poo e a degradao da sua resistncia. Quando um poo perfurado, a carga que era suportada pela rocha removida transferida para a vizinhana da cavidade, que por sua vez preenchida por um fluido de perfurao. Este fluido impe uma tenso radial na parede do poo, geralmente de grandeza similar presso esttica do reservatrio, para impedir o fluxo de fluidos. problemas na estabilidade do poo. Na fase de produo, a extrao de fluidos reduz a presso de poros do reservatrio, aumentando a tenso efetiva na matriz rochosa. O diferencial de presses na parede do poo tambm induz alteraes no estado de tenses. Nesta etapa, busca-se determinar a queda de presso crtica na parede do poo a partir da qual o poo se torna instvel. Em rochas fracas, mal consolidadas ou inconsolidadas, a instabilidade pode gerar o problema da produo de areia. Estes fatores introduzem solicitaes no meio poroso. Caso a rocha no seja suficientemente resistente, podem ocorrer

2.2

Tenses atuantes em um reservatrioNa mecnica clssica a tenso associada a slidos macios (ROCHA &

AZEVEDO, 2009), isto , slidos no porosos. Isto definitivamente no o caso de solos e rochas que sabidamente so materiais porosos. Neste caso, recorre-se a teoria da poroelasticidade de Biot, que estuda o acoplamento entre as mudanas nas tenses e as mudanas na presso de fluido. O modelo conceitual de Biot consiste em uma descrio macroscpica de um

4

Volume Elementar Representativo composto por um esqueleto slido preenchido por fluido em movimento nos poros. Desta forma, o estado de tenses atuantes em um reservatrio consiste em trs tenses principais mutuamente ortogonais mais a presso de poro.

2.2.1 Estado Inicial de TensesO estado inicial de tenses pode ser decomposto em duas componentes horizontais e uma vertical. Usualmente considera-se a tenso na direo vertical como uma das tenses principais. Isto vlido em regies no expostas a atividade tectnica ou que as tenses geradas por esta atividade tenham sido relaxadas (FJAER, 2008). Neste caso e em condies homogneas, a tenso vertical deve-se ao peso das camadas superiores regio em estudo e conhecida como tenso de sobrecarga (ROCHA & AZEVEDO, 2009). Ela avaliada segundo a equao:Z

v = g z ( z )dz0

(2.1)

onde:

v zg

: tenso vertical ou tenso de sobrecarga:

perfil de densidades das camadas acima do ponto considerado

: acelerao da gravidade : variao da profundidade.

Z

A relao:

v = gro ZDefine o coeficiente de sobrecarga (overburden) gro .

(2.2)

A relao entre a tenso horizontal e a tenso vertical dada pelo coeficiente K que aqui denominado coeficiente de tenso horizontal:

K = h v

(2.3)

5

Em regies de sedimentao recente essa relao pode ser definida pela teoria da elasticidade:

K =

(1 )

(2.4)

Esta expresso oriunda do carregamento unidimensional de um material elstico, sobre uma superfcie plana contnua e sem sofrer deformao lateral. O valor de K varia de 1 a 10 para profundidades rasas (at 150 m) e de 0,2 a 1,5 em profundidades maiores (FJAER, 2008). Em geral, as tenses horizontais no so iguais, sobretudo devido s tenses tectnicas. Assim, as tenses horizontais principais so designadas H e

h , onde a primeira designa a tenso horizontal maior e a segunda a tensohorizontal menor. Existem diversas tcnicas na literatura para determinao das tenses iniciais no macio (GOODMAN, 1989).

2.2.2 Presses de poroA presso que o fluido no reservatrio exerce sobre a rocha a presso de poros ou presso hidrosttica. Em condies estticas, esta presso definida pelo peso da coluna hidrosttica do fluido, dada por:

pe = f ghonde:

(2.5)

pe = presso hidrosttica de fluido atuante na rocha

f = massa especfica do fluidog = acelerao da gravidade h =altura da coluna de fluidoA presso de poro atuante em uma determinada profundidade em um reservatrio pode ser definida atravs do gradiente de presso de poro G, que a relao entre a presso de poros pe e sua profundidade de atuao D:

6

p Gp = e D

(2.6)

Conhecido o gradiente de presso de poro, pode-se avaliar a presso de poros atravs de:

pe = G p D

(2.7)

2.2.3 Lei das Tenses EfetivasSegundo TERZAGHI (1943), o comportamento da rocha saturada regido pela Lei das Tenses Efetivas, ou seja, as tenses que atuam em um volume poroso saturado podem ser decomposta uma parcela correspondente s tenses no esqueleto slido as tenses efetivas, e outra devido presso nos poros:

kk

= kk p 3 3

(2.8)

ou, em termos dos trs eixos coordenados:

ij = ij p ijonde:

(2.9)

ij

ij

: tenso efetiva : tenso total

= 1 Cr Ct

Cr Ct: constante de Biot-Willis : compressibilidade da rocha porosa : compressibilidade da rocha sem poros (gros).

(2.10)

Considerando que as tenses que atuam na rocha so as tenses efetivas, as tenses efetivas sero designadas daqui por diante neste trabalho por ij .

7

2.3

Anlise de tenses em poos de petrleoA perfurao do poo de petrleo provoca mudanas no estado inicial de

tenses da formao rochosa. A presena do furo gera uma nova distribuio de tenses no macio. Devem ser considerados trs campos de tenses para simular o estado de tenses no entorno do poo (POLILLO, 1986): uma nova distribuio do estado de tenses iniciais introduzida pela perfurao do poo, o efeito da presso de fluido na cavidade e o efeito do fluxo dos hidrocarbonetos. O estado de tenses no entorno de um poo convenientemente representado atravs de coordenadas cilndricas, que se relacionam com as coordenadas cartesianas pela relao (figura 2.1):

rr = ( xx + yy ) + ( xx yy ) cos 2 + xy sin 2 = ( xx + yy ) ( xx yy ) cos 2 xy sin 2 zz = zzonde:

1 2

1 2

(2.11) (2.12) (2.13)

1 2

1 2

rr

: tenso radial:

xx yy

tenso em x

: tenso em y : tenso cisalhante : tenso tangencial : tenso axial

xy zz

8

figura 2.1 tenso e deslocamento em coordenadas cilndricas fonte: (COELHO ET AL, 2001)

A tenso axial aquela que atua paralelamente ao eixo do poo, nas paredes deste, sendo funo, dentre outros, das propriedades da rocha e das tenses in situ. Durante a perfurao de um poo, material rochoso removido, retirando-se o suporte dado ao material remanescente. Caso o furo na rocha no seja preenchido por fluido, o equilbrio atingido somente atravs de uma concentrao de tenses tangenciais ao redor do furo. O preenchimento do poo com fluido de perfurao gera uma presso contra as paredes do poo, originando tenses radiais. Sua magnitude na parede do poo igual presso hidrosttica gerada pelo fluido de perfurao. As tenses radiais conseguem repor parte do suporte que havia na rocha antes da perfurao, reduzindo assim a magnitude das tenses tangenciais geradas.

9

O estado de tenses ao redor de um poo pode variar segundo a direo do raio e o ngulo de inclinao. Esta variao altamente complexa e depende de diversos fatores como: Alinhamento do poo em relao s tenses in situ. Magnitude das tenses in situ Comportamento das deformaes das rochas (deformao elstica, plstica ou devido fluncia) Geometria do furo (circular, elptica)

As tenses na rocha tendem novamente ao estado de tenso in situ medida em que o raio se distancia do poo. Pode-se observar que as tenses na parede do poo tm geralmente as seguintes caractersticas (ROCHA & AZEVEDO, 2009): A tenso tangencial a tenso principal maior; A tenso axial a tenso principal intermediria, embora em alguns poos verticais rasos (1000 m de profundidade) ela pode se tornar a tenso principal menor; A tenso radial a tenso principal menor.

2.3.1 O Efeito do Furo no Estado Inicial de TensesA partir da definio da tenso efetiva, sabe-se que o efeito das tenses ao redor do poo e das tenses in situ reduzido pela presso dos poros. Desta forma faz-se necessria a determinao da distribuio da presso de poros a partir do centro do poo. Esta distribuio vai depender da existncia ou no de fluxo para dentro ou para fora do poo, caracterizando o fluido de perfurao como um fluido penetrante ou no penetrante. Um fluido dito no penetrante quando no h fluxo do mesmo entre o poo e a formao, j o fluido penetrante, quando h fluxo entre o poo e a formao. Durante a perfurao do poo, material rochoso removido e um o fluido no-penetrante introduzido na cavidade visando evitar o influxo de fluidos para o interior da cavidade e garantir a integridade estrutural do poo. Assim, estas duas operaes introduzem alteraes no estado de tenses iniciais no entorno do poo: o desequilbrio causado pela cavidade e a presso exercida pelo fluido.

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O efeito do furo simulado no modelo numrico com a introduo de um estado inicial de tenses no macio, definindo no contorno externo do modelo uma carga distribuda equivalente as tenses in situ, e tenses nulas na parede do poo. Simultaneamente aplicada na parede do poo uma presso equivalente a diferena entre o peso do fluido de perfurao e a presso esttica do reservatrio. Assim o efeito do furo e o efeito da lama so simulados pela soma das tenses de cada um na parede do poo. A presso de fluido atuante na cavidade dada por:

pw = pw peonde:pw pe

(2.14)

: presso do fluido na cavidade : presso esttica do reservatrio.

2.3.2 Efeito do Fluxo de FluidosNa fase de produo, os hidrocarbonetos devem ser tratados como um fluido penetrante, pois o mesmo percola da formao para o interior do poo. Seja pw a presso de fluido na parede do poo. A diferena de presso entre o fluido na cavidade do poo e a presso esttica do reservatrio induz um campo de poro-presses pp(r) que funo da posio, que tende para pe a uma distncia grande do poo. O efeito deste diferencial de presso introduzido pelo acrscimo de deformao volumtrica

(d kk ) p ,

causada pela compresso uniforme das

partculas devido variao da presso de poro:

(d kk ) p = onde:

ks

dp p ij

(2.15)

dpp

: acrscimo de poro-presses : coeficiente de expanso volumtrica de Biot

ks ks =

3K (1 + v )

(2.16)

11

Nesta fase, introduz-se os efeitos da presso lquida de fluido na cavidade e das deformaes volumtricas induzidas para variao de poro-presso no macio.

2.4

Estabilidade de poosROCHA & AZEVEDO (2009) consideram a existncia de basicamente dois

tipos de rupturas que podem ocorrer nas paredes do poo: a ruptura por cisalhamento, causado por esforos compressivos, e a ruptura por trao, sendo que a primeira causada pelo peso de fluido de perfurao insuficiente para assegurar o equilbrio de tenses ao redor do furo e a segunda ocorre por excesso de peso de fluido que induz o tracionamento da rocha. Conclui-se que existe um limite superior e inferior para o valor aceitvel do peso de fluido a ser utilizado durante a perfurao. Os tipos de falha no entorno do poo so: Colapso: o desmoronamento da parede do poo ou a reduo do seu dimetro devido ao cisalhamento. Conseqncias: reduo do dimetro do poo, priso de coluna no caso de ruptura dctil. Em rochas frgeis, ocorre o desmoronamento parcial ou total da parede do poo: priso de coluna devido aos cascalhos, eroso mecnica ou hidrulica de rochas pouco consolidadas. Ocorre devido a um peso de fluido insuficiente para assegurar a integridade do furo. Fratura: corresponde ao fraturamento da formao a partir da parede do poo, devido trao. A fratura tende a se propagar na direo perpendicular menor tenso in-situ. A janela de peso de lama admite um limite superior e um limite inferior. Para isto, definem-se quatro tipos de presso: Presso de fratura superior: a presso dentro do poo que causa a fratura superior da rocha. Desta forma, se a presso no interior do poo for igual ou maior que este valor ocorrer a ruptura da rocha por trao. Partindo da configurao do poo estvel, aumentandose a presso de fluido, a tenso radial aumenta e torna-se a tenso principal maior e a tenso circunferencial pode se tornar de trao. O limite superior da densidade do fluido de perfurao para que no haja a fratura da formao denominado gradiente de fratura

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superior. Assim, durante a perfurao do poo, devem ser utilizados valores de densidade do fluido inferiores ao gradiente da fratura superior. Presso de fratura inferior: a presso dentro do poo que causa a fratura inferior da rocha. Desta forma, se a presso no interior do poo for igual ou menor que este valor ocorrer a ruptura da rocha por trao. Reduzindo-se o peso de fluido, pode-se gerar um gradiente de presso negativo, o que provoca tacionamento na parede do poo, que pode causar desmoronamento do mesmo. Esta fratura gerada por fluidos no-penetrantes. Para fluidos penetrantes, a fratura tangencial s ocorre se a resistncia trao for zero. O limite inferior da densidade do fluido de perfurao para que no haja a fratura da formao denominado gradiente de fratura inferior. Presso de colapso inferior: a presso que causa o colapso inferior (deformao e/ou desmoronamento) da parede do poo. Se a presso no interior do poo for igual ou menor que este valor ocorrer a falha da rocha por cisalhamento. Reduzindo-se o peso de fluido, reduz-se a tenso radial e aumenta a tangencial, aumentando a tenso diferencial, consequentemente os crculos de Mohr, o que pode levar ruptura por cisalhamento no topo do poo. A falha por colapso inferior ocorre no plano na direo da menor tenso horizontal. O limite inferior da densidade do fluido de perfurao para que no haja o colapso da formao o gradiente de colapso inferior Presso de colapso superior: a presso que causa o colapso superior (deformao e/ou desmoronamento) da parede do poo. Aumentando-se o peso de fluido, aumenta a tenso radial e reduz-se a tangencial, invertendo as relaes de tenso principal: a radial torna-se maior e a circunferencial menor, aumenta a tenso diferencial. Desta forma, se a presso no interior do poo for igual ou maior que este valor ocorrer a falha da rocha por cisalhamento. Este limite o gradiente de colapso superior. este conjunto de presses e/ou gradientes que determina a estabilidade de um poo. Caso o poo se torne instvel, isto , a presso dentro dele ultrapasse alguns desses limites podem ocorrer problemas durante a perfurao.

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2.4.1 Ruptura por cisalhamentoA ao conjunta das tenses in-situ e da presso do fluido no interior do poo induzem a ruptura por cisalhamento na vizinhana do poo (MENDOZA, 2003). Assim, essa ruptura ocorre na parede da cavidade quando o valor das tenses no entorno da cavidade ultrapassa o valor da resistncia compresso, e quando baixas presses de produo no fundo do poo geram elevados valores da presso do fluido no interior do poo. A resistncia ao cisalhamento usualmente definida atravs do critrio de ruptura de Mohr-Coulomb, no qual se usa dois parmetros (coeso e ngulo de atrito). Essas propriedades podem ser determinadas atravs de uma srie de ensaios de compresso triaxial, nos quais as amostras so carregadas at a sua ruptura em severas presses de confinamento. A curva tenso-deformao armazenada durante esses carregamentos, fornecem uma informao que pode ser usada pra determinar a ltima tenso em cada presso de confinamento. Esses dados tambm fornecem informaes sobre as propriedades elsticas da rocha a partir do mdulo de Young, e coeficiente de Poisson. Para ajudar a reduzir os custos dos ensaios no laboratrio e de operaes de amostragens, foram desenvolvidas tcnicas de determinao das propriedades mecnicas baseados em perfilagem. Uma aproximao correlacionar dado de perfilagem com as propriedades medidas da rocha (STEPHEN, 2003). As Figuras 2.2 e 2.3 ilustram como esta tcnica de modelagem se equipara com os parmetros medidos em laboratrio.

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FIGURA 2.2 Comparao entre perfil de resistncia da rocha e os parametros delaboratrio Fonte: STEPHEN (2003)

FIGURA 2.3 Correlao de resistncia medida para 9 poos Fonte: STEPHEN (2003)

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2.4.2 Ruptura por traoNa vizinhana do poo, a ruptura provocada pela tenso radial no nvel do gradiente de fratura inferior ocorre na direo tangencial (ROCHA & AZEVEDO, 2009). Este tipo de ruptura gera cascalhos lascados da parede do poo. Para que este tipo de ruptura ocorrer, necessrio que haja uma tenso radial de trao na parede do poo. Na fase de perfurao, isto corresponde condio de presso subbalanceada (underbalance), na qual a presso na parede do poo inferior presso de fluidos na formao. Esta uma situao comum em poos perfurados em reservatrios de alta presso. No caso da tenso tangencial ou axial atingir o limite de ruptura por trao, ocorrer o fraturamento da formao, cuja direo de propagao depender das condies do reservatrio e sobretudo das tenses in-situ. A tendncia de propagao na direo da menor tenso in-situ (ROCHA & AZEVEDO, 2009).

2.4.3 Ruptura volumtricaUsualmente no se considera a ocorrncia da ruptura volumtrica em poos de petrleo, pois usualmente admite-se a ideia expressa por PAPAMICHOS (1999) de que deformaes plsticas hidrostticas no so significantes no entorno de poos e canhoneios. A possibilidade da ocorrncia de ruptura volumtrica no entorno do poo nas condies de um reservatrio da costa brasileira foi avaliada por COELHO ET AL (2005). As rochas suscetveis a este tipo de ruptura so aquelas de alta porosidade, cujo esqueleto formado por uma estrutura aberta (FJAER ET AL, 2008). Estudos em rochas de alta porosidade (BAUD, 2004) submetidas a altas tenses de confinamento demonstram um padro de ruptura distinto daquele observado na ruptura por cisalhamento. Trata-se da localizao das deformaes em faixas finas muito compactadas, com reduzida porosidade e permeabilidade, conforme ilustra a figura 2.4:

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Figura 2.4 Formao de faixas de compactao discretas e difusas em arenitos porosos - Fonte: (BAUD ET AL, 2003)

HAIMSON (2007) realizou diversos ensaios fsicos de perfurao em blocos de rocha de diversos nveis de porosidade e identificou padres distintos para breakous em rochas de baixa porosidade e de alta porosidade. Breakouts em rochas de porosidade mais baixa apresentaram o padro ilustrado na figura 2.5.

FIGURA 2.5 Breakouts em arenitos com porosidade variando de 15 a 28% Fonte: (HAIMSON, 2007)

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FIGURA 2.6 Breakouts em arenitos de alta porosidade variando de 15 a 28% Fonte: (HAIMSON, 2007)

No caso de materiais de alta porosidade, os brekaouts apresentaram um padro em forma de fenda com comprimento extenso na direo da formao, muito estreita e com espessura constante (figura 2.6). No seu entorno pode-se observar a ocorrncia de um material muito compactado e com a porosidade reduzida em relao rocha adjacente. Este padro ainda objeto de estudos e este mecanismo em escala de poos reais ainda no compreendido. Estudos numricos conduzidos por COELHO ET AL (2005) mostram que a ruptura por compactao ocorre na direo perpendicular tenso principal maior, o que compatvel com os estudos de HAIMSON. A determinao da resistncia compresso hidrosttica feita atravs de ensaios de compresso hidrosttica ou ensaios triaxiais em clulas de alta presso. Os resultados destes ensaios relacionam a tenso aplicada deformao volumtrica e a resposta volumtrica da rocha avaliada. A figura 2.7 mostra o resultados deste tipo de ensaio em diferentes nveis de tenso de confinamento para o calcrio Tavel, com 11% de porosidade (BAUD ET AL, 2008). Pode-se observar que a amostra sofre dilatncia em nveis baixos de confinamento (a partir do ponto C), associada ruptura por cisalhamento. Para tenses de confinamento mais altas, o ponto C* indica o incio da ruptura volumtrica. A compactao do material cessa aps um determinado nvel de deformao volumtrica e o material passa a sofrer dilatncia (ponto C*). Estes pontos caractersticos (C, C* e C*)

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podem ser plotados no espao das tenses mdias x tenses desviadoras para definir uma superfcie de ruptura, conforme ilustra a figura 2.8 para o calcrio Tavel.

FIGURA 2.7 Resultados de ensaios triaixiais em diferentes nveis de tenso de confinamento para o calcrio Tavel - Fonte: (BAUD ET AL, 2008)

FIGURA 2.8 Pontos que delimitam a resistncia do calcrio Tavel Fonte: (BAUD ET AL, 2008)

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O nvel de tenses em que este fenmeno ocorre funo da porosidade da rocha. A figura 2.9 ilustra os caps que delimitam a resistncia do material para rochas de diferentes porosidades.

FIGURA 2.9 Caps que delimitam a resistncia do material para rochas de diferentes porosidades - Fonte: (BAUD ET AL, 2008) Quando o material sofre ruptura volumtrica por compresso hidrosttica, o fenmeno denominado colapso de poros. Caso a compactao inelstica ocorra sob cisalhamento, denomina-se compactao induzida por cisalhamento (shear enhanced compaction). Aps atingida a resitncia compresso hidrosttica, o material sofre endurecimento (hardening), at atingir uma configurao to compacta que o seu comportamento passa a ser dilatante. A figura 2.10 mostra esquematicamente contornos da superfcie de cisalhamento e da ruptura volumtrica associada aos micromecanismos de ruptura observados no laboratrio (BAUD ET ALL, 2008). A evoluo da ruptura por cisalhamento gera faixas de cisalhamento (shear bands) com comportamento dilatante. No domnio do cap, observa-se a formao de faixas de compactao discretas (compaction bands). Na transio entre os dois comportamentos, os micromecanismos apresentam um comportamento misto. O comportamento puramente hidrosttico representado pelo colapso de poros.

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FIGURA 2.10 Micromecanismos associados nos modos de ruptura compressivaem rochas porosas e superfcie de ruptura correspondente Fonte: (BAUD ET AL, 2008)

2.5

Produo de areiaQuando hidrocarbonetos so extrados do reservatrio, partculas slidas

podem se desagregar da rocha e serem carreadas pelo fluido em movimento. Quando o volume carreado expressivo, o fenmeno denominado produo de areia. Segundo DUSSEAULT & SANTARELLI (1989), o fluxo de slidos pode

ocorrer por curto espao de tempo, ocorrendo no incio da vida til do poo, ou pode variar ao longo da vida til, e em alguns casos gerar uma produo contnua, alcanando nveis catastrficos. Os slidos gerados podem ser depositados no fundo do poo, causando obstruo das cavidades perfuradas. Podem ainda ser transportadas pela corrente de produo, provocando danos nos equipamentos de elevao, vlvulas de segurana e equipamentos de superfcie. H ainda o risco de bloqueio da tubulao interna do poo, que pode impedir o fluxo de fluidos. Neste caso, necessria a interveno para a remoo da obstruo. Os slidos produzidos, por estarem envolvidos por hidrocarbonetos, requerem uma estratgia de descarte sem que provoquem danos ambientais.

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Em algumas condies, a produo de areia pode ter um efeito benfico sobre a produo de leo, como no caso da extrao de leos de alta viscosidade, e em poos de baixa produtividade. Neste caso, uma quantidade limitada de produo de slidos pode ser admitida. A opo por permitir a produo de slidos exige monitoramento das quantidades produzidas atravs do planejamento das taxas de fluxo; controle da eroso dos equipamentos, avaliao peridica da integridade do poo e adequado tratamento e depsito das areias produzidas. A seleo de uma estratgia apropriada para minimizar o impacto da produo de areia necessria e depende de muitos fatores, como o ngulo de inclinao do poo e a disponibilidade de equipamentos necessrios para o manuseio, as propriedades da rocha, o transporte e depsito das areias retiradas, alm dos parmetros do reservatrio. Para impedir a ocorrncia de areia, tcnicas de excluso mecnica podem ser utilizadas, tais como: seleo dos intervalos a perfurar, baseados na caracterizao mecnica das formaes atravs da perfilagem, que limita a taxa de produo; a utilizao de obturadores de cascalho, muito utilizada em poos abertos e revestidos; a utilizao de frac-packing, que associa o fraturamento de pequena extenso da formao com os obturadores de cascalho; a injeo de resinas qumicas em poos abertos a fim de consolidar os gros de areia da formao; a injeo de vapor de gua alcalina para a consolidao dos gros de areia da formao sem precipitao e dissoluo de slica. Para gerenciar o risco da produo de areia, necessria a utilizao de tecnologias para seu controle. Essas tecnologias incluem modelagem computacional para previso de tendncias de produo de areia, tcnicas para prevenir ruptura de formao, melhores prticas de completao que aumentam a produtividade, monitoramento de tcnicas para determinar quando e quanto de areia produzida, manipulao da produo de areia com equipamentos de superfcie. Finalmente, o ltimo tem importante na deciso de gerenciamento de areia, a quantificao e a durao desta produo de areia. Recentes trabalhos como WILSON (2002) e CHIN (2002) tiveram o foco de prever taxas e volumes de produo de areia. Estes modelos podem melhorar a preciso (e reduzir o risco) se associados com a modelagem de produo de areia.

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2.5.1 Previso de areiaA previso de areia um tem importante no projeto de poos de petrleo, pois possibilita a preveno da ocorrncia da areia, bem como seu controle. Para tal previso, a utilizao de modelos preditivos de suma importncia para fornecer indicadores confiveis sobre o risco de areia. Estes modelos podem ser baseados em observaes de campo, estudos de produo de areia em laboratrios, e modelos tericos (VEKEN, 1991). A grande maioria dos trabalhos publicados sobre o processo de produo de areia coincide em especificar dois mecanismos para o fenmeno: ruptura por trao e por cisalhamento. A ocorrncia desses mecanismos funo da diferena entre a poro-presso da formao e a presso do fluido no interior do poo, das foras de percolao e das propriedades do meio poroso.

2.5.2 Ruptura por trao em rochas mal consolidadas ou inconsolidadasQuando as foras de percolao devidas ao fluxo geram tenses de trao que, por sua vez, promovem o arraste de partculas do reservatrio, especialmente em rochas fracamente consolidadas ocorre a ruptura por trao. Esse tipo de instabilidade frequentemente verificada em poos com elevadas taxas de produo que levam dilatao dos slidos desagregados e a perda das interaes mecnicas entre as partculas (MENDOZA, 2003). Os principais parmetros que governam a estabilidade das cavidades so o gradiente da poro-presso e da presso do fluido no interior do poo segundo MORITA (1989). Em muitas formaes, a produo de areia no se inicia at que a certa quantidade de gua seja produzida. Isto se deve ao fato de que se estes sedimentos foram inicialmente depositados com gua, os gros de areia estaro molhados. O leo ser movido para a formao, a gua ser substituda, exceto para uma camada fina ao redor de cada gro de areia (figura 2.11). Nessas condies, a presena de duas fases de fluidos resultam em significantes presses capilares comprimindo os gros de areia. Essas foras permanecem at a

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concentrao dgua aumentar. Quando isto ocorre, a formao pode apresentar uma significante reduo de resistncia, com o inicio da produo de areia.

FIGURA 2.11 Efeitos de saturao da gua Fonte: (STEPHEN, 2003)

Para estimar o efeito do aumento do influxo da gua na resistncia da areia, ensaios de laboratrio de resistncias compresso podem ser realizados em vrias saturaes de gua. Um modelo terico foi desenvolvido por HAN ET AL (2000) para prever a reduo da resistncia associado com o aumento da saturao da gua. Embora, mesmo com um completo entendimento do relacionamento entre resistncia da rocha e a saturao da gua, para decises de gerenciamento de areia, importante ter um conhecimento do teor de gua que ocasionar a ruptura. Este tipo de predio pode apenas ser feito combinando um modelo de reservatrio com um modelo de fluxo do poo. AUGUSTINE (2002) descreveu este tipo de modelo.

2.5.3 Fatores Indutores da Produo de SlidosSegundo MENDOZA (2003) os fatores bsicos que controlam a produo de areia, j que aumentam o potencial de desagregao dos gros da matriz so: magnitude das tenses in-situ, que determinante na concentrao de tenses efetivas na parede do poo e das cavidades canhoneadas;. a produo inicial de areia provocada por plastificao e amolecimento do material a baixos nveis de tenso efetiva.

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gradientes de presso de poro, cuja variao durante a produo em um reservatrio sujeito a um campo de tenses desviadoras, pode levar reduo da sua resistncia ao cisalhamento,

a velocidade e a viscosidade do fluido, que afetam diretamente a migrao de finos, atravs do meio poroso; esta migrao, por sua vez, promove o tamponamento parcial dos poros reduzindo a permeabilidade da formao e incrementando o gradiente de poropresso

mudanas na saturao dos fluidos: medida que o leo produzido, seu volume se reduz e aumenta a saturao relativa da gua; este aumento, quer por influxo do prprio reservatrio, quer por injeo para manter a presso, degenera a rocha matriz, favorecendo a produo de areia e a instabilidade das cavidades.

2.5.4 Fatores relacionados resistnciaAs operaes necessrias ao desenvolvimento do poo modificam as propriedades caractersticas da rocha matriz. A reduo da resistncia da formao durante a produo causada, principalmente, pelos carregamentos cclicos sobre a mesma, devidos s contnuas interrupes da produo para manuteno do poo e que provocam uma elevao na taxa de produo de slidos. A deformao causada pela concentrao de tenses nas paredes do poo, durante a perfurao quebra a cimentao natural e induz uma perda de coeso, o que pode gerar um material de resistncia e consistncia reduzidas e, portanto, de fcil remoo pelo fluido de perfurao (MENDOZA, 2003). Na completao, para fixar-se o revestimento formao, utiliza-se cimento que pode sofrer contrao e conseqente reduo da tenso radial. Cria-se assim, uma zona fragilizada, composta por material similar areia, susceptvel a ser arrastado pelo fluxo de produo. A operao de canhoneio, realizada aps a cimentao, induz a desintegrao da estrutura da rocha reservatrio na vizinhana do canhoneio. Esse procedimento provoca a produo de slidos a partir das paredes plastificadas das pequenas cavidades formadas.

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A destruio da estrutura da rocha ao redor das cavidades canhoneadas produz zonas com diferentes comportamentos mecnicos, como descrevem DUSSEAULT & SANTARELLI (1989). Na zona mais afastada, observa-se uma regio elstica no afetada pelo canhoneio. A regio adjacente cavidade, onde a rocha est completamente desagregada, se comporta de forma idealmente plstica. Entre essas duas zonas, uma regio intermediria, na qual a estrutura da rocha apresenta um dano varivel, exibe um comportamento elastoplstico. Os arcos de areia so estruturas estveis composta por gros de areia dispostos num determinado arranjo capaz de suportar as cargas transmitidas pelo qfluxo de fluidos e pelas partculas que o compem. Eles podem ocorrer ao redor de cada ranhura ou cavidade perfurada, como um mecanismo de reteno da produo de areia. Sendo sua tamanha funo da velocidade do fluxo que os atravessa, um incremento na taxa de produo do fluido demanda um incremento no raio do arco para que se mantenha sua integridade (BIANCO, 1999). A ruptura dos arcos de areia pode levar a intensa produo de slidos (BRATLI & RISNES, 1981).

2.6

Critrios de Estabilidade de Poos e Produo de areia

2.6.1 Critrios de estabilidade de poosEm condies de campo, a ruptura do poo implica na ocorrncia de breakouts, priso de coluna ou no colapso de segmentos do poo. Na anlise de tenses obtida atravs da mecnica das rochas, necessrio definir um critrio de estabilidade. Em materiais elsticos, o critrio geral definir a ruptura do material quando a tenso admissvel atingida. Este um critrio muito conservador, uma vez que este valor pode ser atingido em um nico ponto na vizinhana do poo sem que implique em problemas de estabilidade. A elastoplasticidade apresenta uma vantagem em relao aos critrios elsticos, uma vez que permite inferir regies plastificadas. A partir deste tipo de anlise, o critrio mais comum a utilizao da deformao plstica equivalente. No caso de anlise de problemas de priso de coluna, o critrio utilizado pode ser o de fechamento mximo da cavidade. (PAPANASTASIOU & ZERVOS, 2004).

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Modelos mais recentes para previso da estabilidade de poos so baseados na localizao de deformaes em faixas de cisalhamento. Entretanto estes modelos necessitam incorporar a resistncia residual ps-pico da curva tenso x deformao na ruptura por cisalhamento. Para tratar este problema, duas abordagens vem sendo utilizadas: o modelo contnuo de Cosserat e a teoria da elastoplasticidade gradiente. No primeiro caso, a microestrutura do material introduzida atravs de graus de liberdade extra que representam microrrotaes (MENDOZA, 2003; PAPANASTASIOU & VARDOULAKIS, 1994), enquanto que no segundo caso, a formulao introduz termos gradientes da deformao nas equaes de evoluo das variveis de estado (ZERVOS ET AL, 2001). Todos os modelos elastoplsticos mencionados requerem uma adequada relao constitutiva para uma boa representao da resposta do material s solicitaes a que submetido. Os modelos constitutivos mais utilizados so o modelo de Drucker-Prager e Mohr-Coulomb, que sero descritos com mais detalhe do captulo 4. Este fenmeno pode ser representado atravs de modelos constitutivos do tipo cap model. Diversos modelos que delimitam o estado de tenses hidrosttico admissvel em materiais geolgicos esto disponveis na literatura. Entre eles, os mais utilizados so os modelos de estados crticos (ANDRADE & BORJA, 2007), o modelo de Lade-Kim (LADE & KIM, 1995) e os cap models. Este trabalho utiliza o cap model implementado no software ANSYS, desenvolvido conforme a formulao de FOSSUM & FREDRICH (2000).

2.6.2 Critrios de produo de areiaVrios critrios de produo de areia so relatados na literatura. Todos os critrios discutidos apresentam como pr-requisito para produo de areia a completa desagregao do material na face de abertura. Deste modo, produo de areia ocorre apenas nas regies plastificadas. Esta premissa usada para desenvolver critrio de produo de areia, apresentada posteriormente. Alm da desagregao do material, necessrio o carreamento deste material desagregado para o interior do poo. O primeiro conjunto de critrios assume-se que a produo de areia somente ocorre quando detectada a ruptura por cisalhamento (MORITA ET AL,

27

1996). As desvantagens dessa abordagem que ela negligencia o papel das foras de arrasto, que so o primeiro fator na produo de areia. O material da rocha ao redor do poo pode estar totalmente desagregado, porm as foras de arrasto induzidas pelo escoamento podem no ser suficientes para carrear as partculas desagregadas. Outro critrio de produo de areia, elaborado por NOURI ET AL (2006), baseado no gradiente de presso crtica. PAPAMICHOS & MALMANGER (1999) e STAVROPOULOU (1998) tratam a produo de areia como um fenmeno de eroso associado a uma rocha danificada no entorno do poo. A limitao destes modelos reside no fato de que a intensidade das foras induzidas pelo escoamento dependente no apenas do diferencial de presso na parede do poo ou da taxa de fluxo, mas tambm da geometria da cavidade. YI ET AL (2005) adotam a resistncia compresso simples como critrio de resistncia. VAZIRI ET AL (2002) usaram como critrio de produo de areia a ocorrncia de trao nas regies onde houve ruptura por cisalhamento do material. A crtica feita a este critrio que as tenses efetivas em planos distintos do plano de tenso principal mnimo podem ser compressivas, oferecendo um atrito intergranular e um trancamento entre as partculas que podem obstruir a sua mobilidade. Outros modelos (NOURI ET AL, 2006) consideram como critrio a ocorrnca da tenso mdia de trao (ao invs da tenso efetiva principal mnima) no material desagregado, uma vez que a resistncia por atrito mnima neste estado. NOURI ET AL (2006), baseados na simulao numrica de experimentos atravs do mtodo das diferenas finitas, apresentaram diversos fatores que impactam na produo de areia: condies operacionais (diferencial de presso na parede do poo e depletao), tcnica de completao, resistncia e comportamento mecnico da formao, permeabilidade e o contorno mvel do poo devido ao fluxo de slidos. NOURI (2007) aponta que a produo de areia considerada a partir da face do poo quando houver perda de cimentao: a coeso degrada para zero e a tenso efetiva mdia na regio desagregada desenvolve tenses mdias de trao, devido s foras de arrasto.

28

Diferentes critrios de produo de areia podem resultar diferentes previses da produo de areia, considerando mesmo conjunto de parmetros. Isto enfatiza a importncia da seleo de critrio da produo de areia no sucesso de sua predio.

2.7

Modelagem da estabilidade de poos e previso da

ocorrncia de produo de areiaDiante deste cenrio e de todos os problemas associados produo de areia, este trabalho busca explorar um modelo constitutivo capaz de representar todos os modos de ruptura observados na estabilidade de poos e previso de areia. Conforme descrito anteriormente, na anlise da plastificao de poos de petrleo, os mecanismos de ruptura amplamente aceitos e conhecidos esto associados ao cisalhamento e trao (ROCHA & AZEVEDO, 2009; FJAER ET AL, 2008). A ocorrncia da ruptura volumtrica foi modelada por NOURI ET AL (2003), utilizando um modelo constitutivo para cisalhamento do tipo de Mohr-Coulomb com um cut-off no ponto de ruptura por compresso hisdrosttica. DETOURNAY (2009) utilizou modelo constitutivo semelhante em um simulador de diferenas finitas associado ao fluxo de fluidos para reproduzir o mecanismo da fratura em forma de fenda. A utilizao de cap models para representar o fenmeno foi proposta por COELHO (2001), que demonstrou, a partir de dados de reservatrio do Campo de Congro (SOARES, 2000), que o mecanismo de ruptura volumtrica pode ser alcanado para os nveis de tenso que ocorrem no reservatrio. GUEVARA JUNIOR (2006) implementou um modelo de cap que consiste em uma superfcie nica e suave em um programa de elementos finitos tridimensional. Estes modelos no apresentam nenhum tratamento especial para a degradao da resistncia na regio prxima trao, o que pode superestimar a resistncia neste nvel de tenses. NOURI ET AL (2006) apresentaram um modelo de Mohr-Coulomb bi-linear para considerar a degradao da coeso associado a um corte (cut-off) de resistncia trao para o tratamento da previso de areia (figura 2.12). Seu modelo acopla o efeito do fluxo de fluidos e simula a remoo do material uma vez

29

que sua resistncia seja anulada. Desta forma, apresentam uma quantificao do volume de areia produzido em comparao com ensaios fsicos.

FIGURA 2.12 Modelo de Mohr-Coulomb bilinearFonte: (NOURI ET AL, 2006)

Para simular o comportamento do material na regio tracionada, VAZIRI ET AL (2002) propuseram um modelo de Mohr-Coulomb suavizado, no qual a resistncia a trao definida atravs de uma superfcie hiperblica que tangencia de forma suave a superfcie de Mohr-Coulomb, conforme ilustra a figura 2.13.

FIGURA 2.13 Limite de trao associado superfcie de Mohr-Coulomb Fonte: (VAZIRI ET AL, 2002)

30

Este trabalho prope-se a explorar o programa ANSYS, que possui um modelo constitutivo do tipo cap model em superfcie suave associado uma superfcie de cisalhamento (Figura 2.14). O cap delimita a tenso admissvel tanto a trao como compresso. Desta forma, este modelo capaz de identificar os modos de ruptura tanto compressivas (cisalhamento e compactao) e a degradao da resistncia no domnio da trao. Busca-se avaliar as condies paramtricas para a ocorrncia da ruptura volumtrica em reservatrios de petrleo. As potencialidades e limites deste modelo para a previso da estabilidade de poos na fase de perfurao e produo so apresentadas e discutidas e indicaes para melhoria da modelagem da produo de areia so apresentadas.

FIGURA 2.14 Cap model implementado no ANSYSFonte: Release 11.0 Documentation for ANSYS

31

Captulo 3FORMULAO POROELASTOPLSTICA

As formaes existentes em sub-superfcie esto sempre submetidas a algum tipo de tenso in situ. Antes da perfurao do poo, a rocha encontra-se em estado de equilbrio de tenses. Durante a vida til de um poo, as diversas intervenes no subsolo alteram o estado inicial de equilbrio de tenses inicialmente existente na rocha. estabilidade e produo de areia. No momento que o poo perfurado e a rocha removida, ocorre uma alterao no estado de tenso existente no subsolo, gerando uma redistribuio destas tenses no entorno da cavidade, mais especificamente na parede do poo e em sua vizinhana. De forma a tentar recompor esse estado de tenso inicial, a rocha removida substituda por fluido de perfurao, que possui duas funes principais: impedir o influxo de fluidos para o poo e manter a integridade das paredes do poo. J na fase de produo, a extrao de fluidos aumenta a tenso efetiva da rocha, induzindo um carregamento. Nesta fase, o limite de compressibilidade da rocha pode ser alcanado, o que pode gerar a quebra de cimentao, quebra de gros e a severa compactao do meio poroso. Este captulo apresenta os fundamentos tericos utilizados para anlise de tenses e estabilidade do poo e os critrios de estabilidade de poos. Estas alteraes nas tenses podem atingir o limite de resistncia da rocha e provocar sua desagregao, gerando problemas de

3.1

Formulao do problema poroelsticoA formulao poroelstica desenvolvida segue o trabalho de WANG (2000).

O material poroso preenchido com fluido considerado do ponto de vista macroscpico como um material homogneo continuo. Esta aproximao considera que as quantidades mecnicas so ponderadas em escalas de espao e tempo grandes em relao descrio dos processos micromecnicos, mas pequenos em relao aos fenmenos em escala macroscpica. Admite-se que o meio poroso isotrpico.

32

A conveno de sinais a da mecnica dos slidos: trao positiva. O modelo conceitual foi proposto por BIOT (1941) e consiste em um esqueleto slido preenchido por um fluido em movimento, sendo que o comportamento das duas fases conectado. Segundo WANG (2000), as grandezas envolvidas na poromecnica so de natureza cinemtica ou de natureza dinmica.

3.1.1 Variveis cinemticasAs grandezas cinemticas referem-se ao movimento. No problema poromecnico elas so:

3.1.1.1.

Deformaes do volume poroso

O campo de deformaes de um material poroso definido em termos do campo de deslocamentos do material de forma idntica ao conceito de deformaes em elasticidade:

xx = yy =

u xv y

zz =

w z(3.1)

xy = + 2 y x xz = 1 u w + 2 z x 1 v w

1 u

v

yz = + 2 z y

33

As deformaes acima esto correlacionadas ao campo de deformaes decomposto em suas componentes u, v, w, correspondentes s direes coordenadas x, y, z, respectivamente. Elas esto referidas ao volume poroso composto pela fase slida e fluida. Estas grandezas so convenientemente representadas pelo tensor de deformaes:

xx = yx zx

xy yy zy

xz yz zz

(3.2)

A deformao volumtrica a soma das trs deformaes nas direes ortogonais e descreve o acrscimo ou decrscimo de volume:

v =

VV

= 11 + 22 + 33

(3.3)

Seja a deformao mdia definida como:

m =

v3

(3.4)

O valor da deformao volumtrica independe do eixo coordenado, portanto ele um invariante. O tensor de deformaes pode ser decomposto em dois: um refere-se s deformaes mdias m e o outro s deformaes desviadoras:

m m = 0 0

0

m0

0 0 m

(3.5)

exx v = m = e yx ezx

exy e yy ezy

exz xx m e yz = yx ezz zx

xy yy m zy

xz yz zz m

(3.6)

As deformaes mdias esto associadas deformao volumtrica do corpo e as deformaes desviadoras associam-se s distores sofridas pelo corpo.

34

3.1.1.2.

Incremento do Contedo de Fluido

O incremento do contedo de fluido o volume de fluido que entra no volume de controle normalizado pelo volume de controle (WANG, 2000). A variao no contedo de fluido em volume de controle ocorre devido deformao, mudanas na presso de poro e presena de fontes ou sumidouros (RICE, 1998). Seja a porosidade:

=

Vp , V

(3.7)

Onde Vp o volume de poros. O contedo de fluido definido como:

m=

Mf V

(3.8)

Onde Mf a massa do fluido contido em um corpo de material poroso que ocupa o volume V em um estado de referncia livre de tenses ou presses. Em condies saturadas, Vf o volume de poros, portanto:

m = f

(3.9)

f = densidade do fluidoA variao de contedo de fluido devido a pequenas variaes nas deformaes elsticas :

m = f + f = fOnde:

p + f Kf

(3.10)

f =

f pKf

(3.11)

K f = mdulo de deformao volumtrica da fase fluidap = presso de fluido No caso de um meio poroso saturado com um fluido incompressvel:

f = 0

(3.12)

35

Adicionalmente, um material poroso cuja matriz rochosa seja incompressvel possui deformao volumtrica igual variao da porosidade, portanto, neste caso particular:

m = kk

(3.13)

A expresso acima indica que o volume de fluido trocado em um elemento igual mudana de volume no slido poroso (DETOURNAY & CHENG, 1993), (WANG, 2000).

3.1.2 Variveis dinmicasAs variveis dinmicas so aquelas que provocam o movimento. Em poroelasticidade elas so as tenses e poropresses, definidas enquanto fora dividida pela rea em que atuam no limite da rea tendendo para zero. As tenses so uma grandeza vetorial enquanto que a presso uma grandeza escalar, uma vez que esta produz uma fora igual por unidade de rea em todas as direes.

3.1.2.1.

Tenses

A descrio completa de um estado de tenses em um ponto pode ser dada atravs da definio das tenses em relao a superfcies orientadas em trs direes ortogonais. Este estado de tenses convenientemente representado atravs do tensor de tenses de Cauchy:

xx xy xz = yx yy yz zx zy zz

(3.14)

As componentes do tensor de tenses podem ser classificadas em tenses normais, que atuam na direo normal ao plano; e tenses cisalhantes, que atuam na direo tangencial aos planos ortogonais. Da condio de equilbrio:

xy = yx ; xz = zx ; yz = zy Tenses principais

(3.15)

36

O tensor de tenses varia com a orientao dos planos ortogonais em relao a uma configurao de referncia. As direes destes planos que geram um estado de tenses em que as tenses de cisalhamento so nulas so denominadas direes principais. As componentes do estado de tenses neste caso so apenas tenses normais, que so denominadas tenses principais. Estas tenses costumam ser ordenadas segundo sua magnitude:

1 > 2 > 3 Invariantes de tenso Embora as componentes do estado de tenses variem com a orientao dos planos em relao a eixos coordenados, algumas propriedades deste tensor no variam. Estas propriedades so chamadas invariantes de tenso. Os invariantes mais comuns so:

I1 = xx + yy + zz2 2 2 I 2 = ( xx yy + yy zz + zz xx ) + xy + yz + xz

(3.16) (3.17) (3.18)

2 2 2 I 3 = xx yy zz + 2 xy yz xz xx yz yy xz zz xy

Tenses mdias Define-se tenso mdia como aquela que causa compresso uniforme ou

tracionamento uniforme (de mesma magnitude em relao aos trs eixos coordenados):

m =(3.19)

xx + yy + zz3

=

I1 3

Tenses desviadoras As distores so causadas pelas tenses desviadoras, que so obtidas

subtraindo a tenso mdia das tenses normais no tensor de tenses:

s xx s = s yx s zx

s xy s yy s zy

sxy s xz s xz xx m yy m s yz (3.20) s yz = s yx s zy zz m s zz s zx

37

Os invariantes do tensor de tenses desviadoras so definidos de forma similar aos invariantes de tenso:

J1 = s xx + s yy + s zz = 02 2 J 2 = s xx s yy + s yy s zz + s zz s xx + s xy + s 2 + s xz yz 2 2 J 3 = s xx s yy s zz + 2s xy s yz s xz s xx s 2 s yy s xz s zz s xy yz

(3.21)

(

)

(3.22) (3.23)

Equaes de equilbrio A condio de equilbrio de um corpo em repouso requer que todas as

foras que atuam nele se anulem. Isto impe requisitos de simetria das tenses de cisalhamento xy = yx ; xz = zx ; zy = yz e tambm gera um conjunto de

equaes em termos do gradiente de tenses, que so as equaes do balano de foras ou equaes de equilbrio:

xx xy xz + + f x = 0 + x z y yx x + yy y + yz z + f y = 0(3.24)

zx zy zz + + f z = 0 + x z yonde: f x , f y , f z so as foras de corpo por unidade de massa .

3.1.2.2.

Presses de Poro

Em um meio poroso saturado, o fluido que ocupa os poros exerce uma presso hidrosttica p sobre o esqueleto slido. Os estados de tenso atuantes em um elemento podem ser definidos como tenso total e tenso efetiva. A carga atuando em uma rocha saturada est distribuda tanto sobre a matriz quanto sobre o fluido contido em seus poros. Os efeitos das tenses aplicadas so alterados pela presena de presso de poros, que atua em todas as direes dentro da rocha, ajudando a suportar ou aliviar grande parte das tenses

38

aplicadas. Se no fossem pelos fluidos contidos nos poros, as tenses aplicadas seriam transmitidas integralmente para as rochas via contato gro a gro. Assim, a tenso total definida como a relao entre a fora e a rea do volume poroso em que atua. A tenso efetiva aquela que atua na matriz slida, ou seja, a tenso total menos a presso de fluido

3.1.3 Lei das Tenses EfetivasSegundo TERZAGHI (1943), o comportamento da rocha saturada regido pela Lei das Tenses Efetivas, ou seja, as tenses que atuam em um volume poroso saturado podem ser decomposta uma parcela correspondente s tenses no esqueleto slido as tenses efetivas, e outra devido presso nos poros:

kk

= kk p 3 3

(3.25)

ou, em termos dos trs eixos coordenados:

ij = ij p ijonde:

(3.26)

ij

: tenso efetiva : tenso total

ij

= 1 Cr Ct

Cr Ct: constante de Biot-Willis : compressibilidade da rocha porosa : compressibilidade da rocha sem poros (gros).

(3.27)

3.1.4 Relaes tenso x deformaoAs relaes constitutivas, que relacionam as tenses s deformaes, so construdas admitindo-se a linearidade entre as variveis dinmicas (tenses e presses) e as variveis cinemticas (deformaes e variao do contedo de fluido).

39

No caso de um material isotrpico saturado por um fluido incompressvel, as relaes constitutivas poroelsticas so descritas como (WANG, 2000):

xx = 2G xx + kk p yy = 2G yy + kk p

zz = 2G zz + kk p xy = 2G xy

xz = 2G xz yz = 2G yzEm notao indicial: (3.28)

ij = 2G ij + kk ij p ijEm termos de deformaes:

(3.29)

ij =Onde:

1 2G 3K 2G ij 9 K kk ij + 3K p ij 2G

(3.30)

=GG=

2 o primeiro parmetro de Lam. 1 2

(3.31)

E o mdulo de elasticidade transversal. 2(1 + )

(3.32)

E, = mdulo de elasticidade e coeficiente de Poisson

Como os efeitos poroelsticos afetam apenas as parcelas de tenso hidrosttica e deformao volumtrica, as relaes constitutivas podem ser expressas em termos destas grandezas por:

kk = Ku kk (Ku B )mp = (Ku B ) kk + Ku B

(3.33) (3.34)

m

Em termos das deformaes:

kk =

1 m + p K K

(3.35)

40

m =

K

m +

KB

p

(3.36)

As constantes volumtricas poroelsticas consistem ento dos parmetros , K u , K e B. Os parmetros Ku , B so, respectivamente, o mdulo de

deformao volumtrica no-drenado e o coeficiente de Skempton, enquanto que o coeficiente de Biot-Willis e K o mdulo de deformao volumtrica drenado. A importncia do acoplamento poroelstico depende da taxa de movimento do fluido nos poros em relao ao movimento da fase slida. Os limites deste comportamento podem ser definidos pela condio no-drenada e pela condio drenada. No caso de um carregamento rpido, o intervalo de tempo de aplicao da carga muito menor que o tempo necessrio para a dissipao das presses de poro (condio no drenada). No caso de um carregamento lento, a presso de fluido permanece constante no elemento, porque o fluido possui o tempo adequado para atingir o equilbrio com o entorno (condio drenada). destas condies de carregamento. As respostas poroelsticas so caracterizadas por parmetros fsicos diferentes em funo Estes parmetros so obtidos atravs dos ensaios drenados e no-drenados. No primeiro caso, uma amostra de rocha saturada deformada admitindo-se o escoamento do fluido e mantendo-se a presso constante. No segundo caso, durante o ensaio o contedo de fluido mantido constante e o acrscimo de carga gera um acrscimo nas presses de poro. As constantes poroelsticas necessrias para a definio das relaes constitutivas (3.34) e (3.36) so obtidas a partir destes ensaios drenados e nodrenados, conforme: Coeficiente de deformao volumtrica drenado:

Pe = K kkonde Pe a presso externa aplicada Coeficiente de deformao volumtrica no-drenado:

(3.37)

Pe = Ku kkCoeficiente de Skempton:

(3.38)

O coeficiente de Skempton, obtido do ensaio no drenado, correlaciona a resposta da presso de poro ao acrscimo de presso aplicada:

41

p B= P mCoeficiente de Biot-Willis:

(3.39)

= 1

K Ks

(3.40)

onde K s o coeficiente de deformao volumtrica da fase slida O termo K definido por WANG (2000) como o coeficiente de expanso volumtrica de Biot. As equaes (3.35) e (3.36) podem ser descritas em termos matriciais como:

1 kk K = m K

K m p KB

(3.41)

Partindo-se da hiptese de que a presso de poro induzida pela variao da tenso mdia muito pequena durante o comportamento nodrenado, o primeiro termo da equao (3.36) pode ser anulado e as equaes (3.35) e (3.36) so desacopladas:

1 kk K = m 0

K m p KB

(3.42)

3.1.5 Lei de DarcyEm um meio poroso saturado submetido a um carregamento ou extrao de fluidos, a Lei de Darcy descrita em termos do diferencial de presso em relao a uma configurao de referncia. Esta lei estabelece que:

qi = onde:

k

p

(3.43)

k = condutividade hidrulica, = viscosidade do fluido.

42

3.1.6 Equao de Continuidade do FluidoA equao da continuidade do fluido como funo do tempo dada por:

m + q = Q tOnde Q representa uma fonte de fluido.

(3.44)

Substituindo a lei de Darcy na equao de continuidade, obtm-se a equao da presso de poro:

m k 2 p=Q t Substituindo m pelas relaes (3.36):

(3.45)

p k S B m + 2 p = Q t t onde:

(3.46)

S =

KB

(3.47)

o coeficiente de armazenamento. A equao acima admite que somente um fluido sature no meio poroso, no caso, de meio poroso saturado com gua e leo submetido ao fluxo monofsico de leo as equaes acima so vlidas desde que a compressibilidade total seja calculada como somatrio das compressibilidades das fases. E que a permeabilidade absoluta seja substituda pela permeabilidade efetiva ao leo.

3.1.7 Equaes que governam o problemaAs equaes que governam o escoamento de fluido em um meio poroelstico saturado apresentam onze variveis bsicas: seis componentes de tenso, trs componentes de deslocamentos, a presso de poro e o incremento de contedo de fluido. Estas variveis so obtidas a partir das equaes: Seis relaes constitutivas para as componentes de deformao ou tenso e uma relao constitutiva para a presso de poro (equao (3.29) e (3.34)).

43

Trs equaes de equilbrio de foras (equaes (3.1)).

Uma equao no-homognea de difuso de poropresso (3.46), que contm a derivada temporal da tenso ou deformao combinada Lei de Darcy obedecendo ao requisito de conservao da massa de fluido. A soluo requer que as equaes acima sejam satisfeitas simultaneamente

em cada passo de tempo (equilbrio elastosttico) e satisfaam as condies de contorno e iniciais. Utiliza-se a formulao dos deslocamentos para determinar as equaes diferenciais parciais que governam o problema poroelstico (WANG, 2000). As equaes parciais so obtidas a partir das equaes de equilbrio de foras nas direes coordenadas. Nestas equaes so substitudas as relaes constitutivas e ento as equaes de compatibilidade de deslocamentos e chega-se s equaes em termos dos eixos coordenados:

G 1 2 G 1 2 G 1 2

2 2 2 p u v w + G 2 u = + Fx 2 + x xy xz x 2 2 2 p u v w + G 2 v = + 2 + Fy yx y y yz 2 2v 2 w p u 2 + yx zy + z 2 + G w = z Fz

(3.48)

Observe-se que o termo de presses de poro equivalem a foras de corpo. O fluxo de fluidos dado pela equao (3.45). Aplicando a equao da variao do contedo de fluido em termos das tenses mdias, equaes (3.13) e (3.13) obtmse a equao da difuso da presso de poro (DETOURNAY & CHENG, 1993):

p k S B m + 2 p = Q t t Onde:

(3.49)

S =

KB

(3.50)

o coeficiente de armazenamento a presso constante.

44

3.1.8 Analogia entre a poroelasticidade e a termoelasticidadeExiste uma analogia matemtica entre a poroelasticidade e a

termoelasticidade (WANG, 2000). A termoelasticidade associa a teoria da conduo de calor com equaes constitutivas que acoplam as tenses e os campos de temperatura. A equao da difuso de calor anloga equao da difuso poroelstica. Para um material isotrpico, a equao da difuso de calor dada por:

cou

2T 2T 2T T k 2 + 2 + 2 = q x t y z

(3.51)

T k 2 1 = T+ q t c conde: t = temperatura k = condutividade trmica = densidade c = calor especfico q = taxa de gerao de calor por unidade de volume

(3.52)

A similaridade entre a equao (3.52) e a equao (3.49) evidente. Atravs da escolha adequada dos parmetros, obtm-se equao similar. A relao deformao-tenso termoelstica funo da tenso mdia e da diferena de temperatura em relao a uma temperatura de referncia:

v =

1 m + t T Kt

(3.53)

Onde t = coeficiente de expanso trmica. Esta equao tambm anloga equao (3.35). A correspondncia dos parmetros ilustrada na tabela 3.1.

45

3.1.9 PoroelastoplasticidadeA poroelastoplasticidade uma extenso da teoria poroelstica, que considera a ocorrncia de deformaes irreversveis (plsticas) na rocha porosa saturada. Segundo FJAER (2008), o conceito de ruptura da rocha est associado ao estado da matriz slida, portanto, as tenses efetivas so aquelas responsveis pelos mecanismos de ruptura das rochas. Os conceitos bsicos associados teoria da plasticidade so: deformaes plsticas, critrio de escoamento, lei do fluxo e lei de endurecimento.

Tabela 3.1 Correspondncia entre parmetros da equao da difuso trmica e poroelstica Trmica Condutividade Poroelstica

kt

k

S

Termo de acmulo Coeficiente de expanso

ct

K

3.1.9.1.

Deformaes plsticas

Um corpo poroso submetido a um estado de tenses ij e a uma presso de poros p sofre uma deformao ij e a uma variao fracionria no contedo de fluido aparente m que podem ser divididas em duas parcelas: uma parcela elstica reversvel e uma parcela plstica irreversvel:p e ij = ij + ij

(3.54)

3.1.9.2.

Critrio de escoamento

O critrio de escoamento uma funo do estado de tenses e define um limite dos a partir do qual as deformaes plsticas ocorrem. A ocorrncia de

46

deformaes puramente elsticas se d para estados de tenso no interior do domnio desta funo. Deformaes plsticas ocorrem somente para estados de tenso situados no contorno desta superfcie. Matematicamente: Domnio de evoluo das deformaes elsticas:

Fm ij < 0 e dFm < 0Domnio de evoluo das deformaes plsticas:

( ) ( )

(3.55)

Fm ij = 0 e dFm = 0

(3.56)

3.1.9.3.

Lei do fluxo

Incrementos de deformao de volume poroso so definidos pela relao constitutiva elstica (3.30). Os incrementos de deformao plstica so dados pela lei de fluxo:p d ij = d

g p ij

(3.57)

Onde g p a funo potencial plstico, cujo gradiente normal direo das deformaes plsticas e d um escalar positivo denominado multiplicador plstico que assume as seguintes condies para incrementos infinitesimais de tenses:

d > 0 se dFm = 0 e Fm = 0 d = 0 se dFm < 0 e Fm < 0onde:

(3.58) (3.59)

dFm =

Fm d ij ij

(3.60)

Quando a funo potencial plstico igual funo de escoamento, diz-se que a lei do fluxo associativa ou associada. Caso contrrio, a lei do fluxo chamada no-associativa.

47

3.1.9.4.

Lei do endurecimento

Segundo GUEGUN ET AL (2004) e GUEGUN & BOUTCA (2004), a variao das tenses residuais em escala microscpica induzidas por processos plsticos leva a uma evoluo do domnio elstico conhecido como endurecimento. Pode-se descrever o endurecimento como a capacidade do material em suportar carga adicional aps o escoamento inicial. A representao desta evoluo feita atravs de i parmetros de endurecimento i :

Fm = Fm ij , p, i

(

)

(3.61)

Um material idealmente plstico ou elasto-plstico perfeito pode suportar infinitas deformaes plsticas sem que haja mudanas no nvel das tenses.

3.1.10 O problema quasiestticoO problema tratado de forma que as equaes de equilbrio esttico so satisfeitas para cada instante de tempo. A equao constitutiva que relaciona as tenses e as deformaes no esqueleto slido independente da presso de poro. A relao de tenso incremental x deformao incremental definida por:

d ij = Cijkl d ij (d kk ) ponde:

(

)

(3.62)

dij (dkk)p

: deformao total do esqueleto slido : deformao devido variao da presso de poro.

Substituindo (3.30)) em (3.62):

dp p d ij = Cijkl d kl kl ks

(3.63)

Em um meio contnuo deformvel, a condio de equilbrio e a condio de compatibilidade dos deslocamentos so satisfeitas pela aplicao do Princpio dos Trabalhos Virtuais em todo o domnio, cuja expresso em termos matriciais dada por (COELHO, 2001):

48

T t T T d d u dfd u dtd = 0

(3.64) onde:

: deformaes virtuais u : deslocamentos virtuais f : incremento de foras volumtricast : incremento de foras atuantes no contorno.Aplicando-se o Princpio das Tenses Efetivas (3.25) expresso acima, obtm-se:

T

dd + T Idp p d d = 0 t

(3.65)

onde:

dt = uT df d + uT dtd

(3.66)

so as foras volumtricas e as foras externas atuantes no contorno e I o tensor identidade. No caso do poo, as foras externas so representadas pela superposio da presso lquida de fluidos e o alvio de tenses geradas pelo efeito do furo. O estado inicial de tenses no gera esforos, pois se encontra em equilbrio, tem-se que as foras volumtricas so nulas. Reescrevendo a equao (3.66):

dt = u I Id (pw )d + uT t o d

(3.67)

O primeiro termo da equao acima representa as cargas geradas pela variao das p