ANÁLISE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM REGIME PERMANENTE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos

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ANÁLISE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM REGIME

PERMANENTE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE

POTÊNCIA

1 – INTRODUÇÃO

O cálculo do fluxo de potência, fluxo de carga, ou em inglês, load flow, em um SEP consisteessencialmente na determinação do estado de operação desta rede dada sua topologia e uma certacondição de carga.

Este estado de operação consiste de:! determinação das tensões e ângulos para todos os barramentos do sistema;! determinação dos f luxos de potência ativa e reativa através dos ramos do sistema;

! determinação das potências ativas e reativas, geradas, consumidas e perdidas nos diversoselementos do sistema.

Esta análise de f luxo de potência é um dos estudos mais frequentes realizados em SEP. Ele por si

só pode constituir um estudo próprio ou fazer parte de um outro estudo mais complexo, por exemplo:! estudo próprio: planejamento da operação, expansão do sistema, etc;! outros estudos: parte dos estudos de estabilidade, de otimização, de confiabilidade, etc.

Como exemplo de aplicação de simulações de f luxo de potência, pode-se citar:! es tudos para planejamento do SEP, verif icando as providências a serem tomadas com o

crescimento do sistema;! avaliação das condições operativas do SEP, ou seja, analisar as condições operativas da rede em

regime normal e de emergência;! es tudos de avaliação e determinação de medidas corretivas para a operação do sistema em

condições de emergência, como, por exemplo, ajustes de taps de transformadores, condições dechaveamento de bancos de capacitores, redespacho de geração das unidades do sistema,

sincronização de unidades fora de operação, etc;! determinação dos limites de transmissão de potência do SEP;! etc.

Até 1930 todos os cálculos de f luxo de potência eram feitos à mão, o que exigia inúmeras

s implif icações e impossibilitava a análise de grandes sistemas, devido a quantidade de cálculosmatemáticos necessários para a obtenção de resposta, mesmo para pequenos sistemas. Entre 1930e 1956 foram usados analisadores de rede para resolver problemas de f luxo de potência. Osanalisadores de rede (Netw ork Calculators - Westinghouse ou Netw ork Analysers - GE) são modelos

em miniatura da rede em estudo, onde o comportamento do sistema era determinado pela medidade grandezas elétricas no modelo. O problema básico da imprecisão e lentidão de cálculo continuou


2

e só pode ser sanado mais modernamemente com a utilização de computadores digitais. As

pr imeiras tentativas tiveram sucesso limitado, visto que os programas apenas automatizavam oscálculos dos métodos manuais, usando equações de laços e de malhas, e não explorandoadequadamente a capacidade do computador.

Em 1954, L.A. Dunstan no artigo Digital Load Flow Studies, apresentou uma primeira análise de

redes utilizando computadores digitais. Em 1956, Ward e Hale apresentaram o primeiro programade computador, realmente bem sucedido, para solução de f luxo de potência, no artigo Digital

Computer Solution of Power-Flow Problems. O programa apresentado por Ward e Hale utilizava aformulação nodal do problema e resolvia as equações não lineares que descreviam a rede, por um

método iterativo de New ton modif icado. Os programas que imediatamente se seguiram, utilizaramo método de Gauss-Seidel. Com o sucesso do método de Ward e Hale um grande número de artigosde Glimm e Stagg, de Brow n e Tinney foram publicados sugerindo modif icações nos algoritmos eincorporando características adicionais aos programas computacionais. Na década de 60, com o

crescimento dos SEP e com a tendência de interligação dos mesmos, através de ligações em altatensão, foi aumentado rapidamente o número de ligações e de barramentos representativos dosistema. As características do método de Gauss-Seidel fazem com que ele não se adapte bem as is tema representados por um grande número de barras, de forma que se tornou necessário a

pesquisa de um outro método de solução de problemas de f luxo de potência.

Após vários anos de pesquisa realizados pela Bonneville Pow er Administration (BPA) foi desenvolvidoum método extremamente bem sucedido de solução das equações de f luxo de potência através do

algoritmo de New ton-Raphson. O método se adaptou muito bem a grandes sistemas, como tambémobtinha solução de problemas em que o método de Gauss-Seidel havia falhado.

Atualmente, o método de New ton-Raphson é o mais utilizado para a solução de problemas de f luxo

de potência. Desde sua primeira formulação ele vem sofrendo diversas complementações no sentidode torná-lo cada vez mais poderoso. Novos métodos, utilizando algoritmos semelhantes ao deNew ton-Raphson também vem sendo desenvolvidos a f im de obter maior rapidez e menor memóriacomputacional, como por exemplo, os métodos desacoplados.

Apesar de todos estes métodos, a solução do problema do f luxo de potência continua sendo objetode muita pesquisa e estudo, visando o desenvolvimento de métodos de solução cada vez maispoderosos, rápidos e confiáveis.

De uma maneira geral, o problema do f luxo de potência caracteriza-se por ser não linear e portantosão necessários, conforme já comentado e se verá adiante, processos iterativos de cálculo numéricopara resolução do problema (por isso os métodos diretos de análise nodal ou de malhas, usados nateoria de circuitos não podem ser utilizados). A não linearidade das equações decorre de certas

características da modelagem de alguns componentes do sistema.

Na análise de f luxo de potência interessa-se em obter uma solução do sistema operando em regimepermanente senoidal, por isso a modelagem do sistema é estática, o que signif ica que as equações

e inequações representativas da rede são algébricas e não diferenciais.


3

2 – SUPOSIÇÕES E APROXIMAÇÕES

Nos cálculos de f luxo de potência comumente são feitas as seguintes simplif icações:

! As cargas ativas e reativas nos barramentos do sistema são supostas constantes.As cargas embora possam variar signif icativamente dentro de períodos longos de tempo, o fazemde maneira lenta e gradual, quase imperceptível dentro de pequenos intervalos de tempo. Logo,

o resultado é obtido em um estudo é válido dentro de um intervalo de tempo razoável. Quandoocorre variações de cargas muito elevadas basta alterar seu valor e efetuar uma nova simulação.

Em algumas situações especiais pode ser necessário modelar algumas características dinâmicas

das cargas. Isto pode acarretar a necessidade de modelos mais elaborados da mesma, de outroscomponentes do sistema e também de modif icações no algoritmo de resolução das equações dosistema. Por exemplo:! carga de retif icação (fábrica de alumínio, etc);! carga de metrô, trem, etc;

! outros (efeito corona em linhas de transmissão, etc).

Uma outra modelagem de cargas pode ser feita através de representação por corrente constanteou impedância constante.

! Admite-se que a rede opere de maneira equilibrada em suas três fases e, portanto, umarepresentação unif ilar é suficienteEsta simplif icação não afeta de forma signif icativa a precisão dos resultados.

Caso ocorra situações de desequilíbrio na rede, tais como:! linhas não transpostas, ou não totalmente transpostas;! cargas monofásicas ou bifásicas de elevada potência, tais como, fornos elétricos, ferrovias, etc,

em corrente alternada;! faltas assimétricas de um modo geral, tais como defeitos fase-terra, dupla fase, dupla fase-

terra, bem como abertura de condutores;! estudos mais sofisticados de estabilidade e proteção;

! etc;será necessário a análise através de um fluxo de potência trifásico, onde são representados todasas três fases do sistema.

! Os elementos passivos do sistema são representados com parâmetros concentradosCom isso é evitado a necessidade de equações diferenciais para representação dos elementos.

No presente curso, a atenção será focalizada no f luxo de potência convencional, onde as trêshipóteses acima são consideradas aceitáveis.

P kG

Q kG

( k )

(k)

P k Q kC C

C

(k)

Y k


4

3 – REPRESENTAÇÃO DOS COMPONENTES

3-1 – Geradores

São representados pelas potências ativa e reativa (indutiva ou capacitiva) que devem entregar aobarramento que estão conectados, como mostra a f igura 1.

Figura 1 – Representação do gerador para estudos de f luxo de potência

Estas potências podem ser conhecidas (especif icadas) ou então serem obtidas como resultado dofluxo de potência.

3-2 – Cargas

São representadas pelas potências ativa e reativa consumidas, supostas constantes, como ilustradona f igura 2.

Figura 2 – Representação da carga, como potência constante, para estudos de f luxo de potência

Como exemplo de cargas de potência constante, pode-se citar, as parcelas ativa dos motoressíncronos e de indução (com restrições) e as parcela reativa dos motores síncronos (sem grande

precisão).

A lgumas cargas podem ser representadas como uma impedância constante, ou seja, por umaadmitância ligada do barramento à referência, como mostra a f igura 3.

Figura 3 – Representação da carga, como impedância constante, para estudos de f luxo de potência

0YC

k ' ( PC

k & jQC

k )V

2B

V2k × S

B

(k)

C

kI

0IC

k ' (PC

k & j QC

k )VB

VE SB

0SC

k' P

Ck % j Q

Ck ' 0V

k( 0I

C

k)( ' V

kI

Ck e

j Nk

Nk ' 2k & (k

0YC

k

PC

k Vk

QC

k Vk

SB

VB

0IC

k

Nk

2k (k


5

Logo:

onde: - admitância ligada do barramento a referência (pu);

- potência ativa em MW absorvida pela carga a tensão em kV; - potência reativa em MVAr absorvida pela carga a tensão em kV;

- potência de base em MVA; - tensão de base em kV.

Como exemplo de cargas de impedância constante, pode-se citar, as parcelas ativa dos aquecedorese das lâmpadas incandescentes (aproximadamente), sendo a parcela reativa nula.

Também outras cargas podem ser representadas como cargas que absorvem corrente constante,como mostra a f igura 4.

Figura 4 – Representação da carga, como corrente constante, para estudos de f luxo de potência

Logo:

Neste tipo de carga as grandezas consideradas f ixas são o módulo da corrente que f lui pelamesma e o defasamento angular dessa corrente em relação a tensão do barramento de

alimentação:

sendo:

onde e são, respectivamente, os ângulos de fase da tensão e da corrente, ambos expressosem relação à mesma referência.

Como exemplo de carga de corrente constante, pode-se citar, as parcelas ativa das lâmpadasfluorescentes e de certos tipos de cargas de retif icação em escala industrial.

Yi0

= jb ik

2

= r + jxZ ik ik ik

Yk0

= jb ik

2

(i) (k)

Yi0

Yk0

Zik

= B

B

A - 1=

B

A - 1=

(i) (k)

0A ' cosh (0( R)

0B ' 0Zc

senh (0( R)

0Zc 'r ik % jx ik

j bik

0( ' (r ik % jx ik) jbik

B

.B

B

0A 0B 0C 0D

0Zc

γ̇


6

3-3 – Linhas de Transmissão

São representadas pelo seu circuito equivalente, conforme ilustrado na f igura 5.

Figura 5 – Representação da linha de transmissão para estudos de f luxo de potência

No caso de linhas de transmissão curtas ( até 40 km), é comum desprezar as susceptânciascapacitivas no circuito equivalente.

As linhas médias e longas devem ser representadas pelo circuito equivalente completo.

No caso das linhas longas os parâmetros devem ser corrigidos (teoria da linha longa) e podem ser

obtidos através dos parâmetros , , e da linha considerada como um quadripolo como podeser visto na f igura 6.

Figura 6 – Representação da linha de transmissão por um quadripoloonde:

sendo:

- impedância característica da linha de transmissão (pu); - constante de propagação da linha de transmissão (rad).

Se a linha possuir reatores, é comum representá-los nos barramentos terminais da mesma, como se

fossem reatores de barra, como mostra a f igura 7.

Q kR

iQR

(i) (k)

Z ik(i) (k)

(i) (k)

Z ik

p : pi k

(i) (k)

i0Y Yk0

Yik

B

0Zik


7

Figura 7 – Representação da linha de transmissão com reatores em seus extremos

Este procedimento evita tornar assimétrico o circuito equivalente da linha, o que iria ocorrer casoos reatores forem diferentes nas duas extremidades da linha (ou só existissem em uma delas) efossem incorporados à susceptância shunt da linha, e facilita a obtenção do f luxo reativo consumidopelos reatores (o que não ocorre caso os reatores sejam incorporados à linha).

3-4 – Transformadores de 2 enrolamentos

Normalmente, são representados pela sua impedância de dispersão.

Se o transformador não apresenta taps, coloca-se simplesmente a impedância de dispersão entreos barramentos terminais do transformador, como mostrado na f igura 8, onde é sua impedânciade dispersão em pu referida à potência de base.

Figura 8 – Representação do transformador para estudos de f luxo de potência

Se o transformador apresenta somente taps variáveis em fase, a representação do mesmo estáapresentado na f igura 9, sendo seu modelo mostrado na f igura 10.

Figura 9 – Representação do transformador com taps para estudos de f luxo de potência

Figura 10 – Modelo do transformador com taps em fase

0Yik '1

pi pk0Zik

0Yi0 ' 0Yik

pk & pi

pi

0Yk0

' 0Yik

pi& p

k

pk

pi 'Vtap i

VBi

pk 'Vtap k

VBk

1: p + jq Z ik(i) (k)

0Ii

0Ik

'

1

0Z ik

&p & j q

p 2 % q 2

1

0Z ik

&p % j q

p 2 % q 2

1

0Z ik

1

p 2 % q 2

1

0Z ik

0Vi

0Vk

0Zik

Vtap i

Vtap k

VBi

VBk

B


8

sendo:

onde: - impedância de dispersão do transformador em pu referida à potência de base;

- tensão nominal do enrolamento (tap) do lado i; - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado k;

- tensão de base do barramento (i); - tensão de base do barramento (k).

Pode-se observar no modelo acima que ao se elevar o tap do transformador do lado k (p > 1), pork

exemplo, para aumentar a tensão deste barramento, acarretará que a susceptância do barramento(k) para a terra resulta em um valor positivo (capacitivo) e do barramento (i) para a terra um valornegativo (indutivo), tendendo a aumentar a tensão do barramento (k) e a diminuir a do barramento(i), o que está de acordo com o esperado.

A figura 11 mostra o transformador com taps variáveis em fase e quadratura (ou só em quadratura).

Figura 11 – Representação do transformador com taps em fase e quadratura,para estudos de f luxo de potência

Neste caso não é possível a determinação de um circuito equivalente, sendo o transformadorrepresentado na forma matricial:

(i) (k)

(j)

( fic )Z

Z

Zi-fic k-fic

j-fic

0Zi&fic '1

2( 0zik % 0zji & 0zkj)

0Zj&fic '1

2( 0zji % 0zkj & 0zik)

0Zk&fic '1

2( 0zkj % 0zik & 0zji)

0Zik

0zik

0zkj

0zji

0zik

0zkj

0zji


9

onde:

- impedância de dispersão do transformador em pu referida à potência de base; p - tap em fase do transformador do enrolamento do lado k; q - tap em quadratura do transformador do enrolamento do lado k.

3-5 – Transformador de 3 enrolamentos

Os transformadores de 3 enrolamentos podem ser representados por seu equivalente em triânguloou em estrela.

A representação pelo equivalente em estrela acarreta o aparecimento de um nó f ictício entre os

barramentos terminais do transformador, como pode ser visto na f igura 12.

Figura 12 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em estrela,

para estudos de f luxo de potênciasendo:

onde: - impedância i-k do transformador referida à potência de base (pu); - impedância k-j do transformador referida à potência de base (pu); - impedância j-i do transformador referida à potência de base (pu).

As impedâncias , e são obtidas de ensaios de curto-circuito realizados nos trêsenrolamentos do transformador. Todas a impedâncias devem estar em pu ou então referidas aomesmo lado do transformador.

Nesta representação o transformador de três enrolamentos é representado por três transformadoresde dois enrolamentos e se o mesmo apresentar taps variáveis eles podem ser representados damaneira vista na seção precedente.

Uma outra maneira de representar o transformador de três enrolamentos é através de um circuito

Z ik

jiZ Z kj

(j)

(i) (k)

0Zik '

0Zi&fic. 0Zk&fic % 0Zi&fic. 0Zj& fic % 0Zj& fic.0Zk&fic

0Z j&fic

0Zkj '0Zi&fic. 0Zk& fic % 0Zi&fic. 0Zj&fic % 0Zj&fic. 0Zk&fic

0Zi&fic

0Zji '

0Zi&fic. 0Zk& fic % 0Zi&fic. 0Zj& fic % 0Zj& fic.0Zk&fic

0Zk&fic

(i) (k)

Yk0

ikY

YkjYji

1

2

Yi01Yi0

3

2j0Yj0Y3

Yk0

(j)


10

ligado em triângulo. Nesta representação não é necessário a criação do barramento f ictício, como

pode ser observado na f igura 13.

Figura 13 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em triângulo, para estudos de f luxo de potência

As impedâncias entre os barramentos terminais do transformador podem ser obtidas dos valores darepresentação em estrela:

deve-se observar que estas admitâncias são diferentes das obtidas no ensaio do transformador.

Se o transformador apresentar taps variáveis em fase, tem-se o equivalente mostrado na f igura 14.

Figura 14 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em triângulo, com taps variáveis em fase

0Yik '1

pi . pk . 0Zik

0Yi01' 0Yik

pk & pi

pi

0Yk01' & 0Yi01

pi

pk

0Ykj '1

pk . pj . 0Zkj

0Yk02' 0Ykj

pj & pk

pk

0Yj02' & 0Yk02

pk

pj

0Yji '1

pj .pi . 0Zji

0Yj03' 0Yji

pi & pj

pj

0Yi03

' & 0Yi03

pj

pi

pi 'Vtap i

VBi

pj 'Vtap j

VBj

pk

'Vtap k

VBk

Vtap i

Vtap k

Vtap j

VBi

VBk

VBj


11

sendo:

onde: - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado i;

- tensão nominal do enrolamento (tap) do lado k; - tensão nominal do enrolamento (tap) do lado j;

- tensão de base do barramento (i); - tensão de base do barramento (k);

- tensão de base do barramento (j);

3-6 – Compensadores Síncronos

São representados como geradores síncronos com a potência ativa zerada, como indicado na f igura

15.

Q k

S

0.0

(k)

S

0SS

k ' j QS

k

(k)

MAX

MIN

I

MAXMINQI MIN

B

BMAX

LIMITE DECORREN TE

V

VMIN

V

I MAX

Q

FAIXA DECONTROLE

VR EF

SS

k

QS

k


12

Figura 15 – Representação da carga, como impedância constante, para estudos de f luxo de potência

Tem-se:

onde: - potência complexa em MVA (ou pu) gerada; - potência reativa em MVAr (ou pu) gerada.

3-7 – Compensadores Estáticos

Existem vários tipos de compensadores estáticos, como por exemplo:! capacitores e reatores chaveáveis mecanicamente;! reatores saturáveis;

! capacitores e reatores controlados (tiristores);! etc.

Um modelo básico simplif icado de um compensador estático e de sua característica estãoapresentados na f igura 16.

Figura 16 – Representação do compensador estático para estudos de f luxo de potência

Quando o compensador estático está funcionando dentro de sua faixa de controle ele é representadopor uma reatância (X ) alocada entre o barramento do sistema no qual o compensador está

CE

conectado e um barramento auxiliar com tensão f ixa no valor a ser controlado. A reatância X variaCE

tipicamente entre 0 e 5% e pode ser obtida das características dos componentes e da faixa de ajuste.

CEjX

CE

V

(k)

REF

MAX

MINjBV

I= jB SE >I MAX

= jB SE < V MIN

(k)

ICE > IMAX Y B ' BMIN 'QMAX

V2MAX

VCE < VMIN Y B ' BMAX 'QMIN

V2

MIN


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S e X f or igual a zero o compensador é representado como um síncrono, f ixando a tensão doC E

barramento no qual está conectado. Este modelo está apresentado na f igura 17.

Figura 17 – Representação do compensador estático, dentro de sua faixa de controle,para estudos de f luxo de potência

Quando o ponto de operação está fora da região de controle o compensador estático é representadocomo um elemento shunt com uma susceptância (B), que depende do ponto de operação (item 9),como mostrado na f igura 18.

Figura 18 – Representação do compensador estático, fora de sua faixa de controle,

para estudos de f luxo de potência

Para:

Dependendo do tipo de estudo a ser feito o compensador pode ser representado da mesma maneiraque os compensadores síncronos.

3-8 – Capacitores Série

São representados como uma reatância negativa, como pode ser visto na f igura 19.

Eventualmente os capacitores série também podem ser representados englobando sua reatância àreatância do circuito B equivalente da linha de transmissão. Esta representação além de não ser

muito correta, tem o inconveniente de não possibilitar obter a tensão nos terminais do capacitor.

-jX C(i) (k)

(k)(k)

REATOR CAPACITOR ( )( )

Q kR Q k

C

Qk

SB

' bk

.V

k

VB

2

Y bk'

Qk(pu )

V2

k(pu)

bk ' Qk(pu )n

Qk(pu )

Vk(pu )

bk

Vk( pu)


14

Figura 19 – Representação do capacitor série para estudos de f luxo de potência

3-9 – Capacitores e Reatores de Barra

São representados pela potência reativa fornecida por eles, sob tensão nominal, no barramento no

qual estão conectados, como mostra a f igura 20.

Figura 20 – Representação do reator e capacitor de barra para estudos de f luxo de potência

No caso de capacitores a potência reativa fornecida é considerada positiva e no caso de reatores éconsiderada negativa.

Apesar dos capacitores e reatores apresentarem uma perda de potência ativa, que é traduzido peloseu fator de qualidade, ela é desprezada nos estudos de f luxo de potência.

Como a potência fornecida por tais elementos é função do quadrado da tensão (impedânciaconstante) ela não f ica constante durante a operação do sistema. Por esta razão, quando se fornecea potência nominal do elemento se fornece também a tensão para o qual esta potência está referida,

possibilitando obter a susceptância do elemento, valor este constante. Para uma condição qualquerde tensão, tem-se:

onde: - potência reativa fornecida pelo elemento ao barramento no qual está conectado (pu);

- módulo da tensão no barramento (pu); - susceptância do elemento (pu);

Na condição nominal de operação do elemento, tem-se que a tensão é igual a 1.0 pu, logo:

jb k

(k)

(k)

C

Vk

.

..

.S k

kp

kq

ki

S

S

S

GS k

TS k}

0SG

K & 0SC

k & 0ST

k ' 0

bk

j bk[ 0YN ]

0SG

k

0SC

k

0ST

k


15

A susceptância será conectada entre o barramento (k) e a terra, como mostra a f igura 21.

Figura 21 – Modelo do reator e capacitor de barra

O valor de é adicionado apenas ao elemento da matriz relativo ao barramento (k).

4 – FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA

Teoricamente existem uma infinidade de maneiras de descrição analítica das redes elétricas, a partir

das leis de Kirchhoff para os nós e malhas, e das relações entre a tensão e corrente na resoluçãode fluxo de potência. Mas, na prática, todos os métodos atuais de solução de f luxo de potência usama análise nodal na sua formulação, com a diferença que são consideradas as potências injetadas nosnós (barras) do sistema, ao invés das correntes.

Seja um barramento qualquer de um SEP mostrado na f igura 22.

Figura 22 – Barramento de um SEP

onde:

- potência complexa gerada no nó (k); - potência complexa consumida no nó (k); - potência complexa transferida do nó (k) para os demais nós da rede (incluindo a terra) através

do sistema de transmissão.

O equilíbrio de potências (Primeira Lei de Kirchhoff) no nó (k) do sistema pode ser dado por:

[ 0YN ] [ 0VN ] ' [ 0IN ]

0SI

k' 0S

G

k& 0S

C

k

0SI

k ' 0ST

k

0SI

k' 0V

k0I(

kY 0I

k'

( 0SI

k)(

0V(

k

[ 0IN

] '0S

I

N

0VN

(

'0S

G

N& 0S

C

N

0VN

(

0SG

N & 0SC

N

0VN

(

' [ 0YN ] [ 0VN ]

[ 0YN

]

[ 0VN ]

[ 0IN ]

[ 0VN ] [ 0IN ]

[ 0YN ]&1 [ 0IN ]

0SI

k

0SG

k

0SC

k

0Vk

[ 0IN ]


16

Como já visto, a equação nodal de uma rede de n nós, em termos da matriz é dado por:

onde: - matriz de admitância nodal do sistema, de ordem n x n;

- vetor das tensões nodais do sistema, contendo n elementos; - vetor das correntes injetadas nos nós do sistema, contendo n elementos.

Como já comentado o objetivo fundamental do cálculo de um fluxo de potência é a determinação das

tensões nodais (dos barramentos) do sistema, ou seja, o vetor . Se o vetor fosse conhecido,o problema estaria resolvido (bastaria multiplicar por ). Ocorre, no entanto, que não éconhecido, uma vez que as gerações e cargas são representadas através de potências. A potênciacomplexa injetada em um barramento (k) de um sistema, denominada , é dada pela diferença

entre a potência complexa gerada no barramento (k), , e a potência complexa consumida nestebarramento , valores estes constantes.

Logo:

Tem-se que esta potência complexa injetada é exatamente a potência disponível para ser transmitidaaos demais barramentos do sistema:

A potência injetada relaciona-se com a corrente complexa injetada no nó (k), por:

onde é a tensão do nó (k).

Usando a equação acima para cada barramento do sistema pode-se obter o vetor em funçãodas potências injetadas e das tensões nos barramentos:

Embora as equações anteriores sejam lineares, a introdução da equação acima leva a um modelonão linear.

Finalmente:

( 0SG

k & 0SC

k )(

0V(

k

' j

n

j ' 1

0Ykj0Vj

Re( 0S

G

k & 0SC

k )(

0V(

k

' Re j

n

j ' 1

0Ykj0Vj

Im( 0S

G

k & 0SC

k )(

0V(

k

' Im jn

j ' 1

0Ykj0Vj

PG

k

QG

k

PC

k

QC

k

Vk

2k


17

Para um barramento qualquer:

Pode-se notar que a cada barramento do sistema corresponde uma equação complexa. Estasequações podem ser separadas em suas partes real e imaginária, cada uma delas dando origem aduas equações resultantes reais. Assim para o nó (k) resulta:

Logo, um sistema com n barramentos será modelado por 2n equações reais, não lineares.

Pode-se observar que cada barramento do sistema fica caracterizado por seis grandezas:

! a potência ativa gerada, ;

! a potência reativa gerada, ;

! a potência ativa consumida, ;

! a potência reativa consumida, ;

! o módulo da tensão, ;

! o ângulo de fase da tensão, .

Como no f luxo de potência convencional as cargas ativas e reativas (potência consumidas) sãosupostas conhecidas, restam em cada barramento (nó), 4 variáveis a serem determinadas: aspotências ativa e reativa geradas e o módulo e ângulo de fase da tensão. Logo, o número total de

variáveis do problema é, então 4n.

Então para tornar possível uma solução das equações acima, e conseqüentemente do f luxo depotência, tem-se que especif icar a priori, para cada barramento (nó) do sistema, duas das quatro

variáveis, a f im de reduzir o número de incógnitas ao número de equações.

À primeira vista, pode parecer que o mais lógico seria especif icar os valores das potências ativas ereativas geradas em cada barramento, deixando como incógnitas o módulo e o ângulo de fase da

tensão, já que o objetivo básico do f luxo de potência é a determinação das tensões dos barramentosdo sistema. Isto, no entanto, não é possível de ser feito porque em todo sistema elétrico operandoem es tado permanente (situação do f luxo de potência) deve existir equilíbrio entre a geração, o

0SG

T & 0SC

T & 0SP

T ' 0

0SG

k Y conhecida

0Vk Y a ser determinada

0SG

T

0SC

T

0SP

T

PG

k QG

k


18

consumo e as perdas de energia. Este equilíbrio é dado por:

onde: - potência complexa total gerada; - potência complexa total consumida;

- potência complexa total perdida.

Embora as cargas ativas e reativas sejam conhecidas a priori, as perdas ativas e reativas do sistemasó ficam conhecidas se forem conhecidas as tensões de todos os barramentos do sistema, o que só

ocorre após a solução do f luxo de potência. Conseqüentemente não se pode especif icar os valoresde todas as potências ativas e reativas geradas no sistema, pelo menos uma potência ativa e reativadevem ficar sem especif icação para que as perdas do sistema possam ser supridas.

Dependendo de quais variáveis são especif icadas e quais são consideradas como incógnitas, pode-se definir três tipos de barramentos (nós):

! Barramentos (Nós) de Carga ou Tipo PQ

São barramentos (nós) onde as potências ativa e reativas geradas são especif icadas e o módulo

e o ângulo da tensão são as variáveis a serem determinadas na solução do f luxo de potência:

Normalmente são considerados como nós deste tipo:S barramentos de suprimento a consumidores;S barramentos de chaveamento;S barramentos f ictícios criados para representar certos pontos de interesse no f luxo de carga,

embora f isicamente não sejam barramentos propriamente ditos, como, por exemplo, pontos

intermediár ios entre as barras terminais da linha de transmissão, nós criados por circuitosequivalentes de transformadores, etc.

No caso de haver geradores conectados a este tipo de barramento, f ixa-se também as potências

ativas e reativas geradas, e . Este tipo de procedimento é usado, normalmente, parapequenos geradores do sistema.

! Barramentos (Nós) de Geração ou Tipo PV ou de Tensão Controlada

São barramentos (nós) onde a potência ativa e o módulo da tensão são especif icados, f icando

como incógnitas a potência reativa gerada e o ângulo de fase da tensão:

P Gk e * 0Vk* Y conhecidos

QGk e 2k Y a serem determinados

0Vk Y conhecida

0SG

k Y a ser determinada

PC

k % j QC

k(P

Gk % P

Ck )

QC

k


19

Normalmente são considerados como nós deste tipo:S barramentos do sistema onde estão conectados geradores;S barramentos do sistema onde estão conectados compensadores síncronos e compensadores

estáticos.

Na realidade, um barramento no qual esteja conectado uma máquina síncrona tanto pode serconsiderado como barramento tipo PV como tipo PQ, dependendo de se especif icar o módulo datensão ou a potência reativa gerada, respectivamente. Prefere-se especif icar o módulo da tensão

(tipo PV) por que a faixa de valores aceitáveis para o módulo da tensão de um barramento é muitomais restrita do que a dos valores de potência reativa gerada pelos geradores e síncronos.

Caso ex is ta uma carga neste barramento, utiliza-se o valor durante a

solução e o valor somente é utilizado após a obtenção do f luxo de potência, pois a potênciareativa total injetada é uma das incógnitas a serem obtidas.

! Barramento (Nó) de Referência ou Oscilante ou Compensador ou de Balanço ou "Swing"ou "Slack" ou de Folga

É um bar ramento (nó) onde o módulo e o ângulo de fase da tensão são especif icados e aspotências ativas e reativas geradas são as variáveis a serem determinadas:

Este barramento tem duas funções principais:

S permitir que pelo menos uma potência gerada, ativa e reativa, não sejam especif icadas, de talmodo que as perdas ativas e reativas do sistema que também são incógnitas e só serãoconhecidas no f inal da solução, possam ser incluídas no balanço de potência do sistema, apósa solução do f luxo de potência;

S f ornecer uma referência para os ângulos de fase das tensões dos demais barramentos do

sistema. Normalmente, as equações usadas nos métodos de solução são escritas em funçãodas diferenças de ângulo de fase das tensões em barramentos adjacentes, por isso, torna-senecessário f ixar um desses ângulos para que os demais possam ser determinados (pois umamesma distribuição de f luxos no sistema pode ser obtida ao adicionar uma constante qualquer

a todos os ângulos de fase dos barramentos do sistema, o que mostra a indeterminação nasvariáveis angulares, tornando necessária a adoção de uma referência angular). Usualmente,fixa-se o valor zero para o ângulo de fase da tensão do barramento oscilante, embora não seja

[ 0YN ]


20

obrigatório.

O barramento oscilante não é (a não ser em casos especiais) a referência para os módulos dastensões. Como visto na formação da matriz , esta referência é, geralmente, a terra.

Em um sistema totalmente conexo, ou seja, que não apresenta subsistemas desconexos, apenas

um barramento oscilante é especif icado, mas se o sistema for constituído por vários subsistemasdesconexos ou interligados apenas em corrente contínua, haverá necessidade de tantosbarramentos oscilantes quantos forem os subsistemas.

A escolha da barra oscilante deve ser feita entre os nós de geração do sistema, e deve serescolhido, se possível, um nó com potência suficiente para atender os requisitos de potêncianecessários. Também, a f im de evitar grandes diferenças entre os valores dos ângulos de fasede barramentos situados nos extremos do sistema deve escolher um barramento, do ponto de

vista elétrico, o mais central possível.

Os três t ipos de barras acima são as mais freqüentes e mais importantes que aparecem naformulação do f luxo de potência. Existem algumas situações particulares, como:

! controle de intercâmbio entre áreas;! controle de tensão de uma barra de carga através do módulo da tensão de uma barra remota ou

de taps de transformadores (LTC);! barra de tensão controlada com limites de geração reativa especif icada, ou barra de carga com

controle de tensão;! etc;nos quais são feitos formulações especiais ou mudanças de um tipo de barramento em outro duranteo processo de resolução do f luxo de potência.

Do que foi analisado até o presente momento, pode-se concluir que o cálculo do f luxo de potênciaexige a solução de um sistema de equações algébricas não lineares. Os recursos matemáticos pararesolução de equações não lineares são poucos e além disso tem-se o fato de geralmente não serpossível dizer se um sistema de equações não lineares tem ou não solução, se a solução obtida é

única ou se existem várias outras soluções matematicamente válidas, se um determinado métodode solução é capaz de obter alguma ou todas as soluções possíveis ou ainda qual solução seráobtida.

Todos os problemas acima ficam atenuados pelo fato de que as faixas de valores que podem assumiras variáveis envolvidas no f luxo de potência, praticamente são as mesmas para a grande maioria dosSistemas de Potência, o que permite uma análise dos resultados obtidos e procurando-se corrigir asdistorções que aparecem.

Antes de analisar os métodos iterativos mais importantes para a resolução do f luxo de potência serãovistas as expressões que, utilizando os valores de tensão obtidos, permitem o cálculo dos f luxos depotência ativa e reativa em todos os ramos do sistema, das perdas ativas e reativas em cada ramo

e no sistema como um todo, das potências ativa e reativa geradas no barramento oscilante e daspotências reativas geradas nos barramentos PV. Vale enfatizar que estes cálculos são todos diretos(não iterativos), uma vez conhecidas as tensões nodais do sistema.

Ski

( k )Vki

( i )V

shI

jxik

jb ik

2

r ik

jb ik

2

ikS seI

0Sik ' 0Vi0I(

ik

0Ski '0Vk0I(

ki

0Iik ' 0Ise % 0Ish

0Ise

'0V

i& 0V

k

ri k % jxik

' ( 0Vi& 0V

k) 0y

ik' ( 0V

i& 0V

k)(& 0Y

ik)

0I sh ' j0Vib

i k

2

0Vi

0Vk

rik

xik

bik

0Sik0I ik

0Ski0Iki

0Ii k

0Ise

0Ish


21

! Cálculo dos Fluxos de Potência Ativa e Reativa dos Ramos

Seja a f igura 23 que ilustra um ramo representado por uma l inha de transmissão ligando doisbarramentos (i) e (k) de um sistema.

Figura 23 – Ramo representativo da linha de transmissão

onde: - tensão complexa do barramento (i); - tensão complexa do barramento (k);

- resistência série total da linha, em módulo;

- reatância série total da linha, em módulo; - susceptância shunt total da linha, em módulo.

Tem-se:

onde e são a potência complexa e a corrente que, saindo do barramento (i), f luem peloramo i-k em direção ao barramento (k). Da mesma forma pode-se escrever:

onde e são, agora, a potência complexa e a corrente que, saindo do barramento (k), f luempelo ramo i-k em direção ao barramento (i).

Da f igura observa-se que a corrente desmembra-se em duas componentes, uma que f luipelo elemento série do ramo i-k, denominado de e outra que f lui pelo elemento shunt queestá do lado do barramento (i) em direção a terra, denominada por . Logo:

As componentes acima são dadas por:

0Iik ' ( 0Vi &0Vk)(& 0Yik ) % j

0Vibik

2

0Sik ' 0Vi ( 0Vi &0Vk )(& 0Yik ) % j

0Vibik

2

(

' ( 0Vi0V(

i & 0Vi0V(

k )(& 0Y(

ik) & j0Vi0V(

i bik

2

Pik' Re 0S

ik

Qik ' Im 0Si k

Pik ' ViVk (Gik cos2ik % Biksen 2ik ) & GikV2

i

Qik ' ViVk (Gik sen2ik & Bikcos2ik ) % Bik &bik

2V

2i

Pki ' VkVi (Gik cos2ki % Bkisen 2ki ) & GikV2

k

Qki ' Vk Vi (Gik sen2ki & Bikcos2ki ) % Bik &bik

2V

2k

0Yik

[ 0YN

]

0Si k

Vi Vk 2i k ' 2i & 2k

Pki Qk i

[ 0YN]


22

onde é o elemento ik da matriz . Daí, tem-se

Portanto:

As potências ativa e reativa que compõe a potência complexa acima, são dadas por:

Desenvolvendo a expressão acima da potência complexa e tomando suas partes real e imaginária obtém-se:

onde e são os módulos das tensões dos barramentos (i) e (k) e é a diferençaentre os ângulos de fase das tensões nas barras (i) e (k).

Para obtenção de e , basta trocar os índices i e k dos módulos e ângulos de fase dastensões nas expressões acima. Daí:

No caso de haver várias linhas de transmissão, em paralelo, ligando os barramentos (i) e (k) dos is tema, como ilustra a f igura 24, tem-se que a matriz conterá, nas posições i-k e k-i, aadmitância equivalente (com sinal trocado) de todos os ramos série em paralelo, o que signif ica

a perda das características próprias de cada uma das linhas de transmissão do sistema.Normalmente, nos cálculos de f luxo de potência, deseja-se determinar os f luxos de potência ativae reativa em cada um dos circuitos em paralelo, o que acarreta a não possibilidade de utilizaçãodireta das expressões acima. Nesse caso deve-se calcular os f luxos de potência utilizando os

parâmetros físicos das linhas (resistência, reatância e susceptância).

( k )iV( i )

jxik1r ik

1

jb ik2

1jb ik2

1

jxiknr ik

n

jb ik2

njb ik2

n

jxik2

r ik2

jb ik2

2jb ik2

2

Vk

Gik ' &rik

r2

ik % x2

ik

Bik 'xik

r2ik % x

2ik

Pik

'1

r2

ik % x2

ik

ViV

k( x

iksen 2

ik& r

ikcos2

ik) % V

2i r

ik

Qik '1

r2

ik % x2

ik

&ViVk ( xik cos2ik % rik sen2ik % V2

i xik & V2

i

bik

2

Pki '1

r2

ik % x2

ik

Vk Vi ( xiksen 2ki & r ikcos2ki ) % V2

k r ik

Qki

'1

r2

ik % x2

ik

&VkV

i( x

ikcos2

ki% r

iksen2

ki% V

2k x

ik& V

2k

bik

2


23

Figura 24 – Linhas de transmissão em paralelo

Tem-se que:

Substituindo nas expressões anteriores, obtém-se as seguintes expressões:

Pik

' ViV

k( G

ikcos2

i k% B

iksen2

ik) & G

ikV2

i

Qik

' ViV

k( G

iksen2

ik& B

ikcos2

ik) % B

ikV2

i

Pk i

' VkV

i( G

k icos2

k i% B

k isen2

k i) & G

k iV2

k

Qk i

' VkV

i( G

k isen2

k i& B

k icos2

k i) % B

k iV2

k

Pik

' &Pk i

'V

iV

ksen2

ik

xt

Qik

' &V

iV

kcos2

ik

xt

%V

2

i

xt

Qk i

' &V

kV

icos2

k i

xt

%V2

k

xt

Pik

' (p2 % q2 )gik

V2i& V

iV

kp(g

ikcos2

ik% b

iksen2

ik) % V

iV

kq(g

iksen2

ik& b

ikcos2

ik)

Qik

' & (p2 % q 2)bik

V2i& V

iV

kp(g

iksin2

i k& b

ikcos2

ik) & V

iV

kq(g

ikcos2

ik% b

iksen2

ik)

Pk i

' gik

V2

k & ViV

kp(g

ikcos2

k i% b

iksen2

k i) & V

iV

kq(g

iksen2

k i& b

ikcos2

k i)

Qk i

' & bik

V2

k& V

iV

kp(g

iksin2

k i& b

ikcos2

k i) & V

iV

kq(g

ikcos2

k i% b

iksen2

k i)

bi k


24

No caso do ramo que liga os barramentos (i) e (k) ser um transformador, sem taps ou com taps

nos seus valores nominais, as expressões para cálculo dos f luxos de potência ativa e reativapodem ser obtidas de maneira idêntica às obtidas para as linhas de transmissão (inclusive podemser usadas as mesmas expressões, só que zerando o termo ).

Para transformadores com tap na posição nominal tem-se:

Como normalmente desprezam-se as perdas nos transformadores:

onde x é a reatância de dispersão do transformador .t

Para transformadores com taps fora do nominal (em fase ou quadratura), tem-se:

Desprezando as perdas no transformador:

Pi k

'V

iV

k

(p2 % q 2) xt

[p sen2i k% q cos2

i k]

Qi k

'V

2

i

xt

&V

iV

k

(p 2 % q2 ) xt

( pcos2i k& q sen2

i k)]

Pk i

'V

iV

k

(p2 % q 2)xt

[p sen2k i& q cos2

k i]

Qk i

'1

(p2 % q 2)xt

[V2k& V

iV

k(p cos2

k i% q sen2

k i)]

Pi k

' pGi k

V2i% V

iV

k(G

i kcos2

i k% B

i ksen2

i k)

Qi k

' pBi k

V2i% V

iV

k(G

i ksin2

i k& B

i kcos2

i k)

Pk i

' &G

i k

pV 2

k% V

iV

k(G

i kcos2

k i% B

i ksen2

k i)

Qk i

'B

i k

pV 2

k% V

iV

k(G

i ksin2

k i& B

i kcos2

k i)

Pi k

'V

iV

k

pip2 x

t

sen2i k

Qi k

'V

2

i

p2i

xt

&V

iV

k

pip

kx

t

cos2i k

Pk i

'V

iV

k

pip

kx

t

sen2k i

Qk i

'V2

k

p2k

xt

&V

iV

k

pip

kx

t

cos2k i


25

Se o transformador só apresenta taps em fase, ou seja, q = 0, tem-se:

A expressão geral para um transformador sem perdas e com taps nos enrolamentos do lado i (p)i

e k (p ) é a seguinte:k

Se o elemento que liga os barramentos (i) e (k) for um capacitor série, tem-se:

Pi k' &P

k i' &

ViV

ksen2

i k

xC

Qi k'

ViV

kcos2

i k

xC

&V 2

i

xC

Qk i'

VkV

icos2

k i

xC

&V

2

k

xC

Pi0 ' 0

Qi 0 '

V2i

xsh

'V

i

Vnom

2

Qnom

% Y capacitor

& Y reator

)Pi k' P

i k& (&P

k i) ' P

i k% P

k i

)Qi k' Q

i k& (&Q

k i) ' Q

i k% Q

k i

xC

)Pi k

)Qi k

)Pi k

)Qi k


26

onde a reatância entra em módulo.

Finalmente para capacitores e reatores de barra (shunt) ligados no barramento (i), tem-se:

! Cálculo das Perdas Ativas e Reativas no Sistema

As perdas ativas e reativas em um ramo i-k de um sistema são dadas pelas diferenças entre as

potências ativas e reativas que saem do barramento (i) e as que chegam ao barramento (k). Comoas potências que chegam ao barramento (k) vindas do barramento (i) são dadas pelo negativo daspotências que saem do barramento (k) em direção ao barramento (i), tem-se

:

onde:

- perda de potência ativa no ramo i-k;

- perda de potência reativa no ramo i-k.

O valor de é sempre positivo indicando que para a potência ativa sempre ocorre umadissipação no ramo, a menos que a resistência entre os barramentos (i) e (k) seja nula quando,

então a perda ativa é zero. Para o caso de , pode-se encontrar valores negativos, indicandoque na realidade ocorreu um ganho de potência reativa no ramo i-k (o que ocorre com os bancosde capacitores série e com as linhas de transmissão com um carregamento abaixo de suapotência característica).

As perdas totais do sistema são dadas pela soma das perdas em todos os ramos. No caso dapotência ativa, a perda total obtida por esta soma é igual (a menos de uma certa tolerânciacompatível com a tolerância de convergência do processo iterativo) à soma das potências ativas

injetadas nos barramentos, ou seja, à diferença entre a geração ativa total do sistema e o

)Pto ta l

' jn

j ' 1

P I

j' j

n

j ' 1

P G

j& P C

j

)Qto ta l

' jn

j ' 1

QI

j% Q

sh

j' j

n

j ' 1

QG

j& Q

C

j% Q

sh

j

0SG

j' 0S

C

j% 0S

T

j' 0S

C

j% 0V

j jn

k ' 1

0Vk0Y

j k

(

( j ' 1,2, ...., n)

P G

j' P C

j% P T

j' P C

j% Re 0V

j jn

k ' 1

0Vk0Y

j k

(

QG

j' Q C

j% Q T

j' QC

j% Im 0V

j jn

k ' 1

0Vk0Y

j k

(

P G

j' P C

j% j

n

k ' 1

Pj k

QG

j' Q

C

j% j

n

k ' 0

Qj k

Qs h

j

PT

jQ

T

j


27

consumo total de potência ativa (cargas). Então:

No caso da potência reativa, a presença de eventuais capacitores ou reatores de barra deve serlevada em conta no cálculo da perda total.

onde é a potência reativa gerada pelo capacitor ou reator shunt porventura existente nobarramento (j).

! Cálculo das Potências Ativas e Reativas Geradas

As potências ativa e reativas geradas nos barramentos do sistema podem ser obtidas diretamente

das equações de equilíbrio de potência nos nós (barramentos). Tem-se:

Separando as expressões acima em suas componentes real e imaginária, obtém-se:

como e são dados pelas somas de todos os f luxos ativos e reativos, respectivamente, quesaem do barramento (j) em direção a todos os barramentos ligados a ele (incluindo a terra através

dos elementos shunt, no caso da potência reativa), tem-se ainda:

(k)

Vk

( a )

(k)

Vk

( b ) ( c )

(k) Vk


28

onde a terra é denotada como barramento (0).

Es tas expressões devem ser utilizadas para obter as potências ativa e reativa geradas pelobarramento oscilante e a potência reativa geradas pelas barras PV.

Deve-se lembrar que as expressões acima foram obtidas considerando-se a seguinte convenção de

sinais:(a)as injeções de potência são positivas quando entram nos barramentos e negativa quando saem

dos barramentos;(b)os f luxos de potência são positivos quando saem do barramento e negativos quando entram;

(c)os f luxos nos elementos shunt dos barramentos são positivos quando entram no barramento enegativo quando saem.

A figura 25 ilustra esta convenção de sinais.

Figura 25 – Convenção de sinais para o f luxo de potência nos elementos do SEP

5 – MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA

Como visto no item anterior as equações do f luxo de potência são não lineares, o que exige umprocesso iterativo para resolve-las. A literatura técnica registra um sem número de métodoscomputac ionais para o cálculo iterativo das tensões nodais, a partir das equações já descritas.

Apenas alguns poucos, no entanto, chegaram a ter qualquer uso prático em programas de uso geral.

Qualquer que seja o método escolhido, cinco propriedades principais são requeridas para suautilização:

! Alta velocidade computacional. Isto é especialmente importante quando se trabalha com grandessistemas, com aplicações em tempo real (on-line), com múltiplos casos de f luxo de potência, emanálise de contingências, etc;

! Baixos requisitos de memória computacional. Isto é importante para grandes sistemas e para usode pequenos computadores que apresentam uma pequena capacidade de memória como, porexemplo, nos computadores para aplicações on-line.

! Confiabilidade e segurança da solução obtida. O resultado obtido deve inspirar confiança.

a)

Quanto as

equações

da rede

Equações

nodais

Matriz Admitância [ 0YN

]

Matriz Impedância [ 0ZN

]

Equações

de malha

Matriz Admitância [ 0YM

]

Matriz Impedância [ 0ZM

]

b)

Quanto ao

método de

solução

Método de Gauss

Método de Gauss&Seidel

Método da Relaxação

Método das Secantes

Método de Newton&Raphson

Método Misto (Gauss&Seidel e Newton&Raphson)

[ 0YN

] [ 0ZN]

[ 0YN

]

[ 0ZN]


29

! Versatilidade. É importante que o método seja versátil para representar e resolver além dos

problemas convencionais, diferentes ajustes nos sistema, diferentes representações doscomponentes e ser susceptível a incorporar processos mais complicados.

! Simplicidade. O algoritmo de resolução deve ser de fácil codif icação computacional.

Os métodos para resolução das equações do f luxo de potência podem ser divididos quanto asequações da rede utilizada e quanto ao tipo de solução iterativa para a determinação das grandezasda rede. Pode-se citar:

Em geral, pela facilidade de aplicação e construção são utilizadas as equações nodais com amatriz (mais comum) e a matriz .

Em cada um dos métodos acima existem algumas variantes e opções visando melhorar aconvergência, minimizar o número de cálculos e memória computacional utilizada.

Inicialmente chegou a ser bastante usado o Método de Gauss-Seidel (versão melhorada do

Método de Gauss) que, na sua versão que trabalha com a matriz , apresenta as vantagensde ser de implementação computacional muito fácil e ocupar muito pouca memória de

computador. No entanto, este método tem as desvantagens de gastar muito tempo para chegarà solução e, mais grave, apresentar baixa confiabilidade de convergência.

Na tentativa de melhorar a confiabilidade, foi desenvolvida uma versão do método que trabalha

com a matriz . Em parte, o objetivo foi conseguido (maior confiabilidade de convergência),porém as custas de uma maior dif iculdade de implementação e gastos computacionais de tempoe memória bem maiores.

Com a evolução da tecnologia dos computadores principalmente no que conserne ao aumento de

capacidade de memória, o Método de Newton-Raphson surgiu com uma boa opção e começouser bastante investigado. Nos dias de hoje, praticamente todos os programas de uso geral para


30

a solução de f luxos de potência utilizam diferentes variações do Método de New ton-Raphson.

Esse método foi desenvolvido em sua formulação clássica no f im da década de sessenta. Apesarde ser de implementação não muito simples, ele apresenta gastos computacionais de tempo ememória bastantes razoáveis. Mais importante, porém, e a sua grande confiabilidade deconvergência que veio permitir o seu uso generalizado, mesmo em sistemas antes consideradosdif íceis , embora reconheça-se que em alguns tipos de aplicações o método de Gauss-Seidel

possa ser mais eficiente. Mais modernamente, surgiram formulações alternativas, baseadas nométodo de New ton-Raphson que, sem perda signif icativa da confiabilidade, proporcionam umamaior eficiência computacional e são indicadas em situações onde o aspecto de tempo de soluçãotorna-se predominantemente importante.

O Método da Relaxação pode-se dizer que é uma variante do método de Gauss-Seidel. Já o

Método da Secante deriva-se do método de New ton-Raphson. O Método Misto apresentacombinações dos métodos anteriores, como por exemplo, iniciar o processo iterativo com ométodo de Gauss-Seidel passando posteriormente para o método de New ton-Raphson.

Deve-se ter em mente que apesar do grande desenvolvimento dos computadores digitais no que seref ere aos aumentos de velocidade de processamento e de capacidade de memória é ainda degrande importância se ter um método eficiente para a resolução do problema do f luxo de potênciasno que tange à redução do tempo de processamento e da memória requerida.

Es ta importância decorre tanto do fato de que cada vez mais os Sistemas de Potência estãoc rescendo vertiginosamente, apresentando um grande aumento no número de barramentosrepresentados e no número de ligações entre estes barramentos exigindo computadores com

maiores capacidades de memória como também do fato de se ter necessidade do controle maisdireto do sistema, necessitando daí um método mais rápido.

Também a convergência do processo iterativo que existe na solução do f luxo de potência pode f icar

comprometida nas redes modernas pois além de complexas estas redes às vezes possuemcapacitores série (reatâncias negativas), cargas bastante pesadas, transformadores de trêsenrolamentos, além de, mais recentemente, também a representação de elos de corrente contínua,compensadores estáticos variáveis, cargas variando com a tensão, representação de motores de

indução, etc, situações que normalmente prejudicam a convergência.

5-1 – Método de Newton-Raphson

O método de New ton-Raphson ou simplesmente método de New ton é um método numérico para a

determinação de raízes reais de equações não lineares mais sofisticado. Não só, na maioria doscasos, ele não oferece riscos de divergência, como também, como regra geral, a convergência porele proporcionada é muito mais rápida do que nos métodos visto anteriormente. O método de New toné um método de interpolação e a idéia da resolução de equações não lineares por este método veiode I.New ton, sendo posteriormente alterada por J.Raphson.

f1(x

1, x

2, ... , x

k, ... , x

n) ' 0

f2(x

1, x

2, ... , x

k, ... , x

n) ' 0

.

fk(x1, x2, ... , x

k, ... , x

n) ' 0

.

.

fn(x1, x2, ... , x

k, ... , x

n) ' 0

f1 (x i

1 % )xi

1, xi

2 %)xi

2, ... , xi

k% )x

i

k, ... , x

i

n% )x

i

n) ' 0

f2 (x i

1 % )xi

1, xi

2 %)xi

2, ... , xi

k% )x

i

k, ... , x

i

n% )x

i

n) ' 0

.

fk(x i

1 % )x i

1, x i

2 % )x i

2, ... , x i

k% )x i

k, ... , x i

n% )x i

n) ' 0

.

.

fn(x i

1 %)x i

1, x i

2 %)x i

2, ... , x i

k%)x i

k, ... , x i

n%)x i

n) ' 0

f(x1 %)x1, x2 %)x2, ... , xk% )x

k, ... , x

n%)x

n) ' f(x1, x2, ... , x

k, ... , x

n) %

% )x1

M f

M x1

% )x2

M f

M x2

% ... % )xk

M f

M xk

% ... % )xn

M f

M xn

%

%12!

)x1

M

M x1

% )x2

M

M x2

% ...% )xk

M

M xk

% ...%)xn

M

M xn

2

f%

% .......... %

%1

m!)x1

M

M x1

% )x2

M

Mx2

% ...% )xk

M

M xk

% ...% )xn

M

M xn

m

f%

% Rm

x1, x2, ... , xk, ... , x

n

x i

k(x i

1, x i

2, ... , x i

k, ... , x i

n)

)xi

1, )xi

2, ... , )xi

k, ... , ∆x

i

n,x

i

1, xi

2, ... , xi

k, ... , x

i

n

(x1, x

2, ... , x

k, ... , x

n)


31

Seja resolver o sistema de equações a seguir:

Seja um vetor das variáveis que constituem uma aproximação a uma

das raízes do sistema acima. Assumindo que sejam as correçõesnecessárias para que , correspondam a solução deste sistema, tem-se que:

O teorema de Taylor para uma função de duas ou mais variáveis em torno de um ponto , diz que:

Rm

x1, x2, ... , xk, ... , x

n'

1(m% 1)!

)x1

M

M x1

% )x2

M

M x2

% ...%)xk

M

M xk

% ...%)xn

M

M xn

(m % 1)

f(x1% 2)x

1, x

2% 2)x

2, ... , x

k% 2)x

k, ... , x

n% 2)x

n), (0 < 2 < 1)

f1 (x i

1, x i

2, ... , x i

k, ... , x i

n) % )x i

1

Mf1

M x1

% )x i

2

M f1

M x2

% ... % )x i

k

M f1

M xk

% ... % )x i

n

M f1

M xn

' 0

f2 (x i

1, x i

2, ... , x i

k, ... , x i

n) % )x i

1

Mf2

M x1

% )x i

2

M f2

M x2

% ... % )x i

k

M f2

M xk

% ... % )x i

n

M f2

M xn

' 0

.

fk(x i

1, x i

2, ... , x i

k, ... , x i

n) % )x i

1

M fk

M x1

% )x i

2

M fk

Mx2

% ... % )x i

k

M fk

M xk

% ... % )x i

n

M fk

M xn

' 0

.

.

fn(x i

1, x i

2, ... , x i

k, ... , x i

n) % )x i

1

M fn

M x1

% )x i

2

M fn

M x2

% ... % )x i

k

M fn

M xk

% ... % )x i

n

M fn

M xn

' 0

(x1, x2, ... , xk, ... , x

n)

xi

1, xi

2, ... , xi

k, ... , x

i

n)x

i

1 , )xi

2, ... , )xi

k, ... , )x

i

n

(xi

1, xi

2, ... , xi

k, ... , x

i

n)

xi

1

fk(x i

1 , xi

2 , ... , xi

k, ... , x

i

n)


32

onde a função f deve ter derivadas parciais contínuas até ordem (m + 1) inclusive e que todas as

derivadas de f que aparecem são calculadas no ponto . R é o erro quem

depende da mais alta derivada considerada:

Dependendo da aproximação desejada para a função f é que se escolhe o valor de m a partir do qualas derivadas de ordem superior a m da função serão desprezadas.

Expandindo a série de equações anteriores pela fórmula de Taylor e se os valores de estão perto da solução, tem-se que são

relativamente pequenos e todos os termos de potência acima de 2 podem ser desprezados. A sériede equações resulta em:

onde as derivadas parciais são calculadas no ponto .

O processo acima "linearizou" o sistema de equações que originalmente era não linear. Ainterpretação geométrica deste processo para somente uma equação é equivalente a substituir um

pequeno arco da curva f(x ) = 0 por uma reta tangente, traçada a partir do ponto . Para o sistema1

de equações consiste em traçar um "plano tangente" à superfície .

f1 (x1, x2, ... , xk, ... , x

n)

f2(x

1, x

2, ... , x

k, ... , x

n)

.

fk(x1, x2, ... , x

k, ... , x

n)

.

.

fn(x1, x2, ... , x

k, ... , x

n)

%

M f1

M x1

M f1M x

2

...M f1

M xk

......M f1

M xn

M f2

M x1

M f2M x

2

...M f2

M xk

......M f2

M xn

. . ... . ...... .

Mfk

M x1

M fk

M x2

...M f

k

M xk

......M f

k

M xn

. . ... . ...... .

. . ... . ...... .

M fn

M x1

M fn

M x2

...M f

n

M xk

......M f

n

M xn

×

)x1

)x2

.

)xk

.

.)x

n

• 0

fi

k % J i . )xi

k • 0

J i

pq'

Mfp

Mxq

)x i

k' & J i &1 . f i

k

x(i %1)

k' x

i

k% )x

i

k

f i

k

J i

)x i

k

fi

kJ i

)x i

k


33

Colocando as equações acima em uma forma matricial, pode-se escrever:

ou seja

onde: - vetor que contem os valores numéricos das equações f(x);

- matriz quadrada de ordem n que contem valores numéricos das derivadas parciais deprimeira ordem de todas as equações f(x), com relação a todas as incógnitas x, calculadasna iteração i. Esta matriz é denominada matriz jacobiana das funções f(x), e seuselementos são definidos por:

- vetor das variações de todas incógnitas x na iteração i.

Logo:

onde os elementos das matrizes e são obtidos pela substituição dos valores atuais (iteraçãoi) das incógnitas x.

A solução para cada pode ser obtida pela aplicação de qualquer método para solução de

s is temas de equações lineares (Gauss, Gauss-Jordan, inversão de matrizes, triangularização esubstituição de trás para frente, etc).

Os novos valores das variáveis x são então calculadas.

a

0

1b

x x1

xb

f(x)

0xa x x

f(x)

0xb

x1a b

x1

0xa

0x x2=x

f(x)

1x 3x=

0x x1

x2 3x

f(x)

x

x(i %1)k ' x

i

k % "k)x

i

k

)xi

k

"k

J i

[J ]


34

O processo é repetido até que entre duas iterações sucessivas a diferença para as funções f sejam

menores que uma tolerância especif icada. A este tipo de convergência diz-se absoluta. Pode-seadotar uma convergência que verif ique a variação dos valores de x , ou seja, os valores de .k

Neste caso os valores das funções f dependerão dos parâmetros das funções f , f , ... , f . 1 2 k

Pode-se notar que o número de iterações até a convergência, como também a possibilidade de

ocorrer a convergência dependerá dos valor inicial adotado. A f igura 26 ilustra esta situação.

Figura 26 – Situações de dif iculdade de convergência do método de New ton-Raphson

Observa-se desta f igura que o método de New ton-Raphson não é muito indicado para resolverequações cuja curva, próxima do ponto de interseção com os eixos das variáveis, é quase horizontal,pois nes te caso a derivada da função poderá dar um número muito grande levando a erros.Normalmente, o método de New ton-Raphson funciona bem com funções contínuas convexas.

Também, se a obtenção da derivada das funções f for muito complicada ou sujeita a erros, édesaconselhável a utilização deste método (pode usar, por exemplo, o método da secante, próximoao de New ton). Finalmente, existem situações no qual o método de New ton-Raphson não traz bonsresultados, como mostra a f igura 27.

Figura 27 – Situações não aconselhadas para a utilização do método de New ton-Raphson

No método de New ton-Raphson pode-se usar fatores de aceleração, ou seja:

sendo o fator de aceleração, que inclusive pode ser variável para cada equação k. Existem outrosmétodos para acelerar o processo, mas o mais simples e mais utilizado é o da extrapolação linear.

Como af irmado a matriz deve ser atualizada a cada iteração. Uma variante do método deNewton é obtida considerando-se a matriz constante durante algumas iterações. Nesta variante,

f(x)

x

f(x )

01x x

0

f(x )1

f(x)

x

f(x )

01x x

0

f(x )1

x (i % 1)k

' x i

k&

fk(x i

1, x i

2, ... , x i

k, ... , x i

n)

M fk

Mxk

0SI

k

0Vk

(

' jn

j ' 1

0Yk j

0Vj


35

o número de iterações para uma dada tolerância de convergência, em geral, é maior que no método

original, mas cada uma das iterações se torna mais rápida pois a matriz jacobiana não precisa serrecalculado a cada passo. A f igura 28 ilustra algumas situações para uma função x qualquer.

Figura 28 – Manutenção da matriz jacobiana durante alguns passos

Um outra variante do método de New ton, consiste em considerar em cada equação somente umavariável, mantendo as demais f ixas, ou seja, cada equação é função de cada uma das variáveis. Com

isto é eliminado a matriz jacobiana, e a equação genérica para uma função f qualquer f ica:k

O método de solução de f luxos de potência com a utilização do método de New ton-Raphson foidesc r ito pela primeira vez em 1959, em um artigo de J.E.Van Ness publicado no AIEE. Embora o

método se revelasse promissor, já que conseguia resolver problemas impossíveis de seremresolvidos pelo método de Gauss-Seidel, com um pequeno número de iterações, a solução era lentae exigia uma grande memória para o armazenamento da matriz jacobiana e solução do sistema deequações lineares. Até 1967, o método f icou em dúvida se era vantajoso com relação ao método deGauss-Seidel. A partir deste ano, após a publicação de uma série de artigos da BPA (Boneville Pow er

Administration) relatando os progressos feitos na aplicação do método de New ton-Raphson ele tomouo devido impulso e hoje se constitui praticamente a base de todos os programas de f luxo de potência.

A aplicação do método de New ton-Raphson a solução de f luxos de carga consiste em definir um

s istema de equações a ser resolvido, que é definido a partir das potências injetadas nos nós dosistema.

A equação que expressa o equilíbrio de potências em uma barra (k) qualquer da rede, é dada por:

S I

k

(' 0V(

k jn

j ' 1

0Yk j

0Vj

PI

k& jQ

I

k' 0V

(

k jn

j ' 1

0Yk j

0Vj

P I

1 & jQ I

1 ' 0V(

1 jn

j ' 1

0Yk j

0Vj

PI

2 & jQI

2 ' 0V(

2 jn

j ' 1

0Yk j

0Vj

.

PI

k& jQ

I

k' 0V

(

k jn

j ' 1

0Yk j

0Vj

.

.

P I

n& jQ I

n' 0V(

n jn

j ' 1

0Yk j

0Vj

P I

1 & jQ I

1 ' f1 ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk, ... , 0V

n)

PI

2 & jQI

2 ' f2 ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk, ... , 0V

n)

.

P I

k& jQ I

k' f

k( 0V1, 0V2, ... , 0V

k, ... , 0V

n)

.

.

P I

n& jQ I

n' f

n( 0V1, 0V2, ... , 0V

k, ... , 0V

n)

(P I

1 & j Q I

1 ) & f1 ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk, ... , 0V

n) ' 0

(P I

2 & j QI

2 ) & f2 ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk, ... , 0V

n) ' 0

.

(P I

k& j Q

I

k) & f

k( 0V1, 0V2, ... , 0V

k, ... , 0V

n) ' 0

.

.

(P I

n& j Q I

n) & f

n( 0V1, 0V2, ... , 0V

k, ... , 0V

n) ' 0


36

Para todas as barras do sistema, tem-se:

ou seja:

ou ainda:

) 0Vi

k' & J i &1 (P I

k& jQ I

k) & f I

k

) 0Vi

k' & J i &1

)PI

k & j)QI

k

0V(i % 1)

k' 0V

i

k% ) 0V

i

k

*)Pk* < >

P

*)Qk* < >

Q

) 0Vi

k0V

k

J i

)PI

k& j)Q

I

k)

(P I

k & Pi

kcalc

) & j(Q I

k & Qi

kcalc

)

Pi

kcalc

Q i

kcalc

)Pk

)Qk

ξP

ξQ

ξ ' ξP' ξ

Q


37

Aplicando o método de New ton-Raphson, obtém-se:

onde:

- vetor das variações das tensões na iteração i;

- jacobiano do sistema;

- vetor constituído por termos do tipo:

sendo:

- potência ativa injetada na barra (k), obtida com valores de tensão disponíveis da iteração anterior; - potência reativa injetada na barra (k), obtida com valores de tensão disponíveis da iteração anterior.

Daí:

O sistema acima é constituído de equações complexas, que devem ser desmembradas em equaçõesreais, para que seja possível sua resolução. Este desmembramento pode ser feito em coordenadaspolares ou cartesianas.

O desmembramento em coordenadas polares dá origem aos métodos desacoplados, e apresentaa vantagem de trabalhar com módulo e ângulo das tensões, que são variáveis que possuemsignif icado físico nos sistemas de potência. Já o desmembramento em coordenadas cartesianas, de

acordo com a literatura a respeito, tem se mostrado mais eficiente ao se aplicar o método de New ton-Raphson. Também, como se verá adiante, o desmembramento das equações em coordenadaspolares possibilita a eliminação das equações dos módulos das tensões das barras tipo PV. Nodesmembramento por coordenadas cartesianas perde-se a vantagem desta simplif icação.

O critério normal para convergência no f luxo de potência é que os erros de potência e/ou (dependendo do tipo da barra (k)) sejam menores que um erro (ou tolerância) máximo especif icado,ou seja:

onde e são valores empíricos, e normalmente . Os valores do erro máximo

usados na prática variam de sistema para sistema e de problema para problema. Em grandessistemas, um erro de 1 MW/MVAr oferece precisão suficiente para a maioria dos estudos práticos(neste caso em pu, basta fornecer como tolerância o inverso da potência de base do sistema emestudo). Precisão mais elevada, da ordem de 0.1 MW/Mvar são necessários para estudos especiais,

jn

j ' 1

)P2

j% j

n

j ' 1

)Q2

j< >

P Q

P I

1 & j Q I

1 ' jn

j ' 1

* 0V1* *0V

j*e

j (2j & 21)(G1 j% jB1 j

)

PI

2 & j QI

2 ' jn

j ' 1

* 0V2* *0V

j*e

j (2j & 22)(G2 j% jB2 j

)

.

PI

k & j QI

k ' jn

j ' 1

* 0Vn* * 0V

j*e

j (2j & 2j) (Gk j% jB

k j)

.

.

P I

n& j Q I

n' j

n

j ' 1

* 0Vn* * 0V

j*e j (2j & 2n)(G

n j% jB

n j)


38

como por exemplo, em estudos de estabilidade. Em pequenos sistemas, o valor do erro pode ser

reduzido. Face a estas incertezas, há uma tendência de se usar pequenos valores de tolerância,menores que os realmente necessários.

O critério acima é o mais comumente usado. Uma variante utilizada para se testar a convergênciaé a seguinte:

Os programas para cálculo de f luxo de potência também podem incluir outros tipos de testes paraver if icar se o método de solução está conduzindo o sistema para a divergência ou para algumasolução es tranha. Um teste razoável é checar após cada iteração se o valor das tensões nosbar ramentos estão dentro de uma faixa arbitrária (por exemplo, 0.8 a 1.2 pu), cancelando o

processamento em caso contrário. Com isto pode evitar gastos desnecessários em tempo decomputação e também problemas de overflow ou underf low nas operações matemáticas.

O Método de New ton-Raphson em coordenadas polares consiste em expressar as tensões das

barras em forma polar e as admitâncias do sistema em forma cartesiana, as expressões de equilíbriode potência tornam-se:

Separando as partes real e imaginária das equações acima, tem-se:

P I

1 ' jn

j ' 1

V1 Vj(G1 j

cos21 j% B1 j

sen21 j)

Q I

1 ' jn

j ' 1

V1 Vj(G1 j

sen21 j& B1 j

cos21 j)

PI

2 ' jn

j ' 1

V2 Vj(G2 j

cos22 j% B2 j

sen22 j)

QI

2 ' jn

j ' 1

V2 Vj(G2 j

sen22 j& B2 j

cos22 j)

.

P I

k' j

n

j ' 1

VkV

j(G

k jcos2

k j% B

k jsen2

k j)

Q I

k' j

n

j ' 1

Vk

Vj(G

k jsen2

k j& B

k jcos2

k j)

.

.

P I

n' j

n

j ' 1

Vn

Vj(G

n jcos2

nj% B

n jsen2

nj)

QI

n' j

n

j ' 1

Vn

Vj(G

njsen2

n j& B

njcos2

n j)

2k j' 2

k& 2

j

Vk' * 0V

k*

Vj' * 0V

j*


39

onde para uma barra qualquer:

Rearranjando e agrupando adequadamente as equações acima, obtém-se:

PI

1 & V1 jn

j ' 1

Vj(G1 j

cos21 j% B1 j

sen21 j) ' 0

PI

2 & V2 jn

j ' 1

Vj(G2 j

cos22 j% B2 j

sen22 j) ' 0

.

P I

k& V

k jn

j ' 1

Vj(G

k jcos2

k j% B

k jsen2

k j) ' 0

.

.

P I

n& V

n jn

j ' 1

Vj(G

n jcos2

nj% B

njsen2

nj) ' 0

Q I

1 & V1 jn

j ' 1

Vj(G1 j

sen21 j& B1 j

cos21 j) ' 0

QI

2 & V2 jn

j ' 1

Vj(G2 j

sen22 j& B2 j

cos22 j) ' 0

.

QI

k & Vk j

n

j ' 1

Vj(G

k jsen2

k j& B

k jcos2

k j) ' 0

.

.

Q I

n& V1 j

n

j ' 1

Vj(G

n jsen2

n j& B

n jcos2

nj) ' 0


40

ou

f1 (21, 22, ... , 2k, ... ,2

n, V1, V2, ... , V

k, ... , V

n) ' 0

f2 (21, 22, ... , 2k, ... ,2

n, V1, V2, ... , V

k, ... , V

n) ' 0

.

fk(21, 22, ... , 2

k, ... ,2

n, V1, V2, ... , V

k, ... , V

n) ' 0

.

.

fn(21, 22, ... , 2

k, ... ,2

n, V1, V2, ... , V

k, ... , V

n) ' 0

g1 (21, 22, ... , 2k, ... ,2

n, V1, V2, ... , V

k, ... , V

n) ' 0

g2 (21, 22, ... , 2k, ... ,2

n, V1, V2, ... , V

k, ... , V

n) ' 0

.

gk(2

1, 2

2, ... , 2

k, ... ,2

n, V

1, V

2, ... , V

k, ... , V

n) ' 0

.

.

gn(21, 22, ... , 2

k, ... ,2

n, V1, V2, ... , V

k, ... , V

n) ' 0


41

Aplicando o método de New ton-Raphson a este conjunto de equações, tem-se:

)2i

1

)2i

2

.

)2i

k

.

.

)2i

n

)Vi

1

)V i

2

.

)V i

k

.

.

)Vi

n

' & J i &1

f i

1

fi

2

.

f i

k

.

.

f i

n

gi

1

g i

2

.

g i

k

.

.

gi

n

)2i

k

)V i

k

' & J i &1)P

i

k

)Q i

k

2(i %1)k

V(i % 1)k

'

2i

k

V i

k

%

)2i

k

)V i

k

J i 'H i N) i

Mi L) i

Hr s'

M fr

M2s

N)r s'

M fr

MVs


42

ou seja:

Dai:

A matriz jacobiana, neste caso, constará de 4 submatrizes, da forma:

sendo os elementos que formam cada submatriz::

! submatriz [H]

! submatriz [N']

Mr s'

Mgr

M2s

L)

r s'

Mgr

MVs

)2k

)Vk

Vk

Nr s' V

s

M fr

MVs

Lr s

' Vs

Mgr

MVs

)2i

k

)Vi

k

V i

k

' &

H i N i

M i L i

&1

)P i

k

)Qi

k

fr' P I

r& V

r jn

j ' 1

Vj(G

r jcos2

r j% B

r jsen2

r j)

Hr s

L)

r sM

r s

N )

r sθ


43

! submatriz [M]

! submatriz [L']

Os índices r e s adotados acima referem-se aos nós do sistema e não propriamente aos eixos da

matriz jacobiana.

Com a f inalidade de tornar iguais numericamente os termos e , e simétricos os termos e da matriz jacobiana, redefine-se o vetor das variações das incógnitas V e , como:

com isso as submatrizes N' e L' passam a ser denominadas N e L e seus elementos redefinidoscomo:

! submatriz [N]

! submatriz [L]

Logo:

As equações de definição dos elementos das submatrizes [H], [N], [M] e [L], resultam em:

! submatriz [H]:

Hr s'

M fr

M2s

' &Vr

Vs(G

r ssen2

r s& B

r scos2

r s)

Hr r'

M fr

M2r

' &Vr j

n

j ' 1

j …r

Vj(B

r jcos2

r j& G

r jsen2

r j) '

' &Vr j

n

j ' 1

j … r

Vj(B

r jcos2

r j& G

r jsen2

r j) & V 2

rB

r r% V2

rB

r r'

' &Vr j

n

j ' 1

Vj(B

r jcos2

r j& G

r jsen2

r j) % V 2

rB

r r'

' V2

rB

r r& )Q

i

r% Q

I

r

fr' P

I

r& V

r jn

j ' 1

Vj(G

r jcos2

r j% B

r jsen2

r j)

Nr s' V

s

M fr

MVs

' &Vr

Vs(G

r scos2

r s% B

r ssen2

r s)

Nr r' V

r

M fr

MVr

' &Vr j

n

j ' 1

j … r

Vj(G

r jcos2

r j% B

r jsen2

r j) % 2 V

rG

r r'

' &Vr j

n

j ' 1

Vj(G

r jcos2

r j% B

r jsen2

r j) % V

rG

r r'

' &Vr j

n

j ' 1

Vj(G

r jcos2

r j% B

r jsen2

r j) & V2

rG

r r'

' &V2r

Gr r% )P i

r& P I

r

gr' Q I

r& V

r jn

j ' 1

Vj(G

r jsen2

r j& B

r jcos2

r j)


44

- elementos de fora da diagonal (r … s):

- elementos da diagonal (r = s):

! submatriz [N]:



! submatriz [M]:

Mr s'

Mgr

M2s

' Vr

Vs(G

r scos2

r s% B

r ssen2

r s) ' &N

r s

Mr r'

Mgr

M2r

' &Vr j

n

j ' 1

j … r

Vj(G

r jcos2

r j% B

r jsen2

r j) & V

2r G

r r% V

2r G

r r'

' &Vr j

n

j ' 1

Vj(G

r jcos2

r j% B

r jsen2

r j) % V2

rG

r r'

' V2r

Gr r% )P i

r& P I

r

gr' Q I

r& V

r jn

j ' 1

Vj(G

r jsen2

r j& B

r jcos2

r j)

Lr s' V

s

Mgr

MVs

' &Vs

Vr(G

r ssen2

r s& B

r scos2

r s) ' H

r s

Lr r' V

r

Mgr

MVr

' &Vr j

n

j ' 1

j … r

Vj(G

r jsen2

r j& B

r jcos2

r j) & 2 V

rB

r r'

' &Vr j

n

j ' 1

Vj(G

r jsen2

r j& B

r jcos2

r j) & V

rB

r r'

' &Vr j

n

j ' 1

Vj(G

r jsen2

r j& B

r jcos2

r j) % V

2

rB

r r'

' V 2r

Br r% )Q i

r& Q I

r

)Pi

r)Q

i

r


45



! submatriz [L]:



Os valores e correspondem aos erros (desvios ou"mismatches") de potência ativa ereativa na barra (r), e são obtidos com as fórmulas já descritas. Cabe lembrar que não se pode obter

o "mismatch" de potência reativa nas barras PV.

Das expressões apresentadas pode-se notar que as submatrizes [H], [N], [M] e [L] apresentams imetria em relação à diagonal principal e que sempre que as barras (r) e (s) não estiverem

diretamente conectadas, os termos H , M , N e L (e seus simétricos) serão nulos. Estasrs rs rs rs

particularidades e mais as já relatadas nas equações apresentadas permitem economia no tempocomputacional na montagem da matriz jacobiana, além do fato da matriz jacobiana ser uma matriz

MPk

MVk

' 0 eMQ

k

MVk

' 0

)P i

)Q i' &

H i N i

M i L i

)2 i

)V i

V i

2(i % 1)

V(i % 1)'

2i

V i%

)2i

)V i

0YN

θk

θk

QI

k

V2


46

esparsa e com estrutura de esparsidade semelhante à estrutura de esparsidade da matriz .

Para se levar em conta os tipos de barras na utilização do método de New ton-Raphson tem-se que:

! barra tipo PQ:Para uma barra (k) qualquer, tipo PQ, como V e sãodesconhecidos, são necessários duas

k

equações f e g .k k

! barra tipo PV:Para uma barra (k) qualquer, tipo PV, como V é conhecido e é desconhecido, só é necessário

k

uma equação f (a equação correspondente a pode ser desprezada).k

Para as barras tipo PV, como o módulo da tensão não varia, todas as derivadas parciais comrelação a esta tensão serão nulas:

sendo por isto a tensão V eliminada do vetor coluna das incógnitas.k

! barra tipo :Para a barra oscilante, como V e 2 são conhecidos, não é necessário nenhuma equação para estabarra.

5-2 – Métodos Desacoplados

Os SEP apresentam, quando operando em regime normal, um fraco acoplamento entre os f luxos depotência ativa e reativa (esta propriedade é mais efetiva para redes em tensões mais elevadas, acimade 230 kV). Os f luxos de potência ativa são fortemente influenciados pelo ângulo de fase das tensões

das barras e praticamente independentes dos módulos das tensões. Já os f luxos de potência reativasão fortemente dependentes do módulo das tensões das barras e fracamente influenciados pelosângulos de fase dessas tensões. Logo, pequenas variações na tensão não causam variaçõess ignif icativas na potência ativa e pequenas variações no ângulo não acarretam variações

signif icativas na potência reativa.

Os métodos desacoplados procuram tirar partido destas propriedades e estão intimamente

relacionados com o método de New ton-Raphson tradicional.

As equações básicas do método de New ton-Raphson em coordenadas polares são as seguintes:

Pot. AtivaForte influência de 2

Praticamente independente de V

Pot. ReativaForte influência de V

Praticamente independente de 2

Gr s

< < Br s

2r s

Y pequeno Ycos2

r s• 1

sen2r s

• 0

Nr s

' & VrV

s(G

r scos2

r s% B

r ssen2

r s)

Nr r' &V 2

rG

r r% )P i

R& P I

R

Hr s

' & VrV

s(G

r ssen2

r s& B

r scos2

r s)

Hr r' V 2

rG

r r& )Q i

R% Q I

R

Nr s

<< Hr s

Mr s

' VrV

s(G

r scos2

r s% B

r ssen2

r s)

Mr r' V 2

rG

r r% )P i

R& P I

R

)2 )V

)P )Q

θ


47

Os termos e que são as correções no ângulo e na tensão a cada iteração são valores

aprox imados (devido ao truncamento no termo de 1ª ordem das equações de f luxo de potênciadesenvolv idas segundo o método de Taylor). Como os resíduos e são calculados demaneira exata, a solução f inal pode ser obtida com qualquer precisão adotada, simplesmenteprolongando-se o processo iterativo, independente da maior ou menor precisão das correções a cadaiteração.

Os métodos numéricos são mais efetivos quando incorporam em si as propriedades físicas dossistemas aos quais são aplicados. Por isso, os métodos desacoplados desenvolvidos para a soluçãodo f luxo de potência procuram explorar as características de acoplamento P e QV, ou seja:

Este desacoplamento no método de New ton-Raphson traduz nos valores numéricos dos elementosdas submatrizes [M] e [N]. Tem-se que:

Os elementos das submatrizes [N] e [H] são dados por:

Logo, pode observar que:

Os elementos das submatrizes [M] e [L] são dados por:

Lr s' &V

rV

s(G

r ssen2

r s& B

r scos2

r s)

Lr r' V2

rG

r r% )Q i

R& Q I

R

Mr s

<< Lr s

)P i

)Q i' &

H i 0

0 L i

)2 i

)V i

V i

)P i ' & H i )2 i

)Q i ' & L i )V i

V i

)P i (V i

k,2i

k) ' & H i(V i

k,2i

k) )2i

)Q i (V i

k,2i

k) ' & L i(V i

k,2 i

k) )V i

V i

2( i % 1) ' 2i % )2i

V ( i % 1) ' V i % )V i

)P i (V i

k ,2i

k ) ' & H i(V i

k ,2i

k ) )2i

2( i % 1) ' 2i % )2i

[2k]

[Vk]

[2k] [V

k]


48

Logo, pode observar que:

Baseado no exposto acima foram desenvolvidos vários métodos para a solução do f luxo de potência

explorando estas características. Estes métodos desacoplados alteram apenas o algoritmo deresolução, sem afetar o modelo da rede, por isso não afetam a solução f inal do f luxo de potência.

No Método de New ton-Raphson Desacoplado (Decoupled Newton) despreza-se as submatrizes [M]

e [N] e as equações do f luxo de potência tornam-se:

Daí:

As equações acima são denominadas equações do fluxo de potência desacopladas.

As equações acima são resolvidas simultaneamente e depois atualizado os valores de e de

, até obter-se a convergência f inal:

O esquema mais adequado consiste em resolver as equações do f luxo de potência desacoplado emalternância, sempre atualizando os valores, ora de , ora de , até obter-se a convergênciafinal:

)Q i (V i

k,2( i % 1 )

k) ' & L i (V i

k,2( i % 1)

k) )V i

V i

V ( i % 1) ' V i % )V i

[H] ' [V ] [H)]

[L] ' [V ] [L))] ' [V ] [L)] [V ]

)P i ' & V i H) i)2 i

)Q i ' & V i L) i V i )V i

V i

)P i

V i' & H) i

)2 i

)Q i

V i' & L) i

)V i

H)r s

' &Vs(G

r ssen2

r s& B

r scos2

r s)

H)r r'

QI

r& )Q

i

r

Vr

% VrB

r r

L)r s

' &(Gr s

sen2r s

& Br s

cos2r s

)

L)r r'

)Qi

r& Q

I

r

V2r

% Br r

θ


49

Pode-se notar que no algoritmo na forma alternada as aproximações feitas (desprezando [M] e [N])são parcialmente compensadas pela imediata correção das variáveis e V a cada meia iteração.

Em alguns artigos os autores recomendam trocar a segunda equação do f luxo desacoplado por uma

equação de corrente, o qual melhora o processo de convergência.

O método desacoplado pode ainda sofrer uma modif icação que, em alguns sistemas, podeapresentar uma convergência um pouco mais rápida.

As submatrizes [H] e [L] podem ser escritas como:

onde a matriz [V] é uma matriz diagonal cujos elementos são as magnitudes das tensões nodais. Asequações do f luxo desacoplado f icam:

Logo:

onde os elementos destas submatrizes são:

Hr s' L

r s' &V

rV

s(G

r ssen2

r s& B

r scos2

r s)

Hr r' Q

I

r& )Q

i

r% V

2

rB

r r

Lr r' )Q

i

r& Q

I

r% V

2

rB

r r

Gr s

< < Br s

cos2k m

. 1

sen 2k m

. 0

V2

rB

r r> > )Q

r& Q

I

r

θ

x

r


50

Com a utilização do desacoplamento tanto a memória computacional exigida na utilização do

algoritmo como o tempo computacional de cada iteração são reduzidos. O número de iterações parachegar a convergência é, geralmente, maior que o método clássico.

Existem situações nos quais os subsistemas P2 e QV tem velocidades de convergência distintas: umdos subsistemas converge antes do outro. Nestes casos pode-se iterar somente com o subsistema

ainda não convergido. Para que isto seja possível são adotados índices para indicar se ossubs is temas P e QV estão convergidos. Ao f inal de cada meia iteração verif ica-se se o outrosubsistema está convergido, em caso afirmativo, volta-se a iterar no mesmo subsistema.

Vários algoritmos são possíveis para a resolução alternada das equações do f luxo de potência pelométodo desacoplado, sendo mais indicado resolver sempre as equações desacopladas utilizandoos valores de [2] e [V] mais recentes.

O Método de New ton-Raphson Desacoplado Rápido (Fast Decoupled) é um prolongamento dométodo desacoplado e foi desenvolvido por Alsac e Stott.

Seja as expressões dos elementos das submatrizes [H] e [L]:

As seguintes aproximações podem ser introduzidas:

! Em sistemas de transmissão, principalmente em alta tensão, x >> r. Para linhas de transmissão

acima de 230 kV, a relação é maior do que 5, podendo chegar a 20 em linhas de 500 kV. Os

transformadores também apresentam uma resistência desprezível. Logo, para um elementoqualquer entre as barras (r) e (s):

! Sob condições normais de carregamento, as defasagens angulares entre os barramentos do

sistema apresentam um valor não muito elevado, donde pode-se aproximar:

! As reatâncias shunt (cargas, reatores, capacitores, shunt de linhas) de um sistema de transmissãosão muito maiores que as reatâncias série (linhas e transformadores). Logo, em pu, em valorabsoluto, pode-se dizer:

Hr s

' Lr s

. VrV

sB

r s

Hr r' L

r r. V

2

rB

r r. V

rV

rB

r r

)P i ' & V i B ) V i )2i

)Q i ' & V i B ))V i )V i

V i

)P i

V i' & B ) V i )2i

)Q i

V i' & B)) V i )V i

V i

)P i

V i' & B) V i )2i

)Q i

V i' & B)) )V i

)P i

V i' & B ) )2i

)Q i

V i' & B )) )V i

)2 )V

V

[ 0YN

]


51

Com isso as expressões acima podem ser reescritas como:

Logo as equações desacopladas f icam:

As tensões a esquerda estão relacionadas com os termos )P e )Q. Logo:

As tensões a direita estão relacionadas com os termos e . Logo:

Os termos V a direita de [B’] inf luenciam os f luxos de potência reativa. Considerando estes termos

como sendo f ixos no valor 1 pu, tem-se as equações:

que são as equações do método desacoplado rápido.

Pode-se notar que:

! As submatrizes [B’] e [B”] são elementos da matriz , portanto só dependem dos parâmetrosda rede, não dependendo das variáveis do sistema (módulo e ângulo das tensões das barras);

B )r s

'1

xr s

B )r r

' & jn

j ' 1

1x

r r

B ))r s

' Br s

B ))r r' B

r r

br s

&1

xr s

[ 0YN

]


52

! A submatriz [B’] tem dimensão da submatriz [H], portanto de (n - 1) x (n - 1), onde n é o númerode barras do sistema.

! A submatriz [B”] tem dimensão da submatriz [L], portanto de n x n , onde n é o número dePQ PQ PQ

barras PQ do sistema.

O método desacoplado é completado com:

! Omite-se da submatriz [B’] a representação de componentes que afetam predominantemente os

fluxos reativos (reatâncias shunt, taps em fase de transformadores);

! Omite-se da submatriz [B”] a representação de componentes que afetam os f luxos ativos(taps em quadratura de transformadores);

! Desprezam-se as resistências série no cálculo dos elementos de [B’], aproximando-se por

. Isto não é muito importante mas segundo alguns autores contribui para a convergência.

Com isso os elementos das submatrizes [B’] e [B”] são dados por:

onde B e B são os elementos da matriz de susceptâncias [B] (parte imaginária da matriz ) ers rrr

x é a reatância série da linha de transmissão ou transformador (em módulo).rs

Com tudo isso as submatrizes [B’] e [B”] resultam reais, esparsas e constantes. Dependendo dométodo adotado para resolução das equações desacopladas, estas submatrizes necessitam serinvertidas ou triangularizadas apenas uma vez no começo da solução do f luxo de potência. A

submatriz [B”] é simétrica e, se não existem transformadores defasadores no sistema (ou se existem,alternativamente), [B’] também resulta simétrica.

A s equações do método desacoplado rápido são resolvidas rapidamente que é um dos maiores

atrativo deste método. Vários algoritmos são possíveis para a resolução das equações do f luxo depotência desacoplado rápido, sendo mais indicado resolver sempre as equações alternativamenteusando os valores de [2] e [V] mais recentes.

125 MW50 MVAr

1.04 pu

ALFA-GERALFA BETA TETA-GERTETA

1.035 pu

150 MW

GAMA

220 MW 90 MVAr

rS/km

xS/km

cnF/km

Rkm

Xd

%


53

6 – EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO

Obter o f luxo de potência para o SEP apresentado na f igura 40 pelos métodos de New ton-Raphson

e desacoplado rápido. Use uma tolerância de 0.1 MW/Mvar. Os dados do sistema estãoapresentados nas tabelas 1 e 2.

Figura 40 – Diagrama unif ilar do SEP para cálculo de f luxo de potência

Tabela 1 – Dados de linhas de transmissão

De - Para

Alfa - Beta 0.055 0.450 8.800 100

Beta - Teta 0.055 0.450 8.800 140

Alfa - Gama (1) 0.060 0.300 7.600 210

Alfa - Gama (2) 0.060 0.300 7.600 210

Gama - Teta 0.060 0.300 7.600 190

Tabela 2 – Dados dos transformadores

De - ParaTensão S NúmerokV/kV MVA Unidades

Alfa Ger - Alfa 16/230 110 13.2 2

Teta Ger - Teta 13.8/230 80 9.6 2

PARA CADA LT

SC5 = 1.25 + j0.51V = 1.04 0.0o

j0.06

r = 0.0238x = j0.1191b/2 = j0.1591

r = 0.0104x = j0.0851b/2 = j0.0878(1)

(4) (5)

1.035V2=

G2P = 1.5

j0.06r = 0.0146x = j0.1191b/2 = j0.1229

r = 0.0216x = j0.1078b/2 = j0.1440

(6) (2)

(3)

SC = 2.2 + j0.93

(1) (2) (3)

0YN

'

0.0000 & j16.6667 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000

0.0000 % j0.0000 0.0000 & j16.6667 0.0000 % j0.0000

0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 5.0143 & j24.6092

0.0000 % j16.6667 0.0000 % j0.0000 &3.2295 % j16.1477

0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000

0.0000 % j0.0000 0.0000 % j16.6667 &1.7848 % j8.9238

(4) (5) (6)

0.0000 % j16.6667 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000

0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j16.6667

&3.2295 % j16.1477 0.0000 % j0.0000 &1.7848 % j8.9238

4.6452 & j43.9909 &1.4156 % j11.5825 0.0000 % j0.0000

&1.4156 % j11.5825 2.4268 & j19.6452 &1.0112 % j8.2732

0.0000 % j0.0000 &1.0112 % j8.2732 2.7959 & j33.5968

>max ' 0.1 MW/MVAr '0.1100

' 0.001 pu

0YN


54

Adotando numeração para os barramentos do sistema apresentado acima e adotando como potência

de base 100 MVA, pode-se montar o seguinte diagrama unif ilar em pu apresentado na f igura 41.

Figura 41 – Diagrama unif ilar com os dados do SEP

Com os dados acima pode-se montar a matriz :

Admitindo a barra (1) como barra oscilante, não será necessário realizar nenhuma iteração para estabarra.

A tolerância especif icada corresponde a:

V01 ' 1.040/0.0E pu (barra V2)

V02 ' 1.035/0.0E pu (barra PV)

V03 ' 1.000/0.0E pu (barra PQ)

V04 ' 1.000/0.0E pu (barra PQ)

V05 ' 1.000/0.0E pu (barra PQ)

V06 ' 1.000/0.0E pu (barra PQ)

)P2 ' PI

2 & V2 V2 G22 % V6 (G26 cos226 % B26 sen226 ) '

' 1.5 & 0.0 & 1.035[1.035× 0.0000 % 1.000× 0.0000] ' 1.5 pu

)P3' P I

3 & V3

V3G

33% V

4(G

34cos2

34% B

34sen2

34) %

V6(G

36cos2

36% B

36sen2

36) '

' 0.0 & 2.2 & 1.000[1.000× 5.0143 % 1.000× (&3.2295) %

% 1.0000× (&1.7848)] ' &2.2 pu

)P4 ' PI

4 & V4 V1 (G41 cos241 % B41 sen241 ) % V3 (G43 cos243 % B43 sen243 ) %

V4 G44 % V5 (G45 cos245 % B45 sen245 ) '

' 0.0 & 1.000[1.040× 0.0000 % 1.000× (&3.2295) %

% 1.0000× 4.6452 % 1.0000× (&1.4156)] ' 0.0

)P5 ' PI

5 & V5 V4 (G54 cos254 % B54 sen254 ) % V5 G55 %

V6 (G56 cos256 % B56 sen256 ) '

' 0.0 & 1.25 & 1.000[1.000× (&1.4156) % 1.000× 2.4268 %

% 1.000× (&1.0112)] ' &1.25 pu

)P6 ' PI

6 & V6 V2 (G62 cos262 % B62 sen262 ) % V3 (G63 cos263 % B63 sen263 ) %

V5 (G65 cos265 % B65 sen265 ) % V6 G66 '

' 0.0 & 1.000[1.035× 0.0000 % 1.000× (&1.7848) %

% 1.000× (&1.0112) % 1.000× 2.7959] ' 0.0

[)P0

k] [)Q

0

k]


55

Adotando como condição inicial para as tensões das barras os seguintes valores:

pode-se obter os valores dos elementos dos vetores e , a f im de verif icar o erro depotência:

)Q3' Q I

3 & V3

(&V3B

33% V

4(G

34sen2

34& B

34cos2

34) %

V6(G

36sen2

36& B

36cos2

36) '

' 0.0 & 0.9 & 1.000[&1.000× (&24.6092) & 1.000× 16.1477 &

& 1.000× 8.9238] ' &0.4377 pu

)Q4 ' QI

4 & V4 V1 (G41 sen241 & B41 cos241 ) % V3(G43 sen243 & B43 cos243 ) &

V4 B44 % V5 (G45 sen245 & B45 cos245 ) '

' 0.0 & 1.000[&1.040× 16.6667 & 1.000× 16.1477 &

& 1.000× (&43.9909) & 1.000× 11.5825] ' 1.0727 pu

)Q5 ' QI

5 & V5 V4 (G54 sen254 & B54 cos254 ) & V5B55 %

V6 (G56 sen256 & B56 cos256 ) '

' 0.0 & 0.5 & 1.000[&1.000× 11.5825 & 1.000× (&19.6452) &

& 1.000× 8.2732] ' &0.2895 pu

)Q6 ' QI

6 & V6 V2 (G62 sen262 & B62 cos262 ) % V3(G63 sen263 & B63 cos263 ) %

V5 (G65 sen265 & B65 cos265 ) & V6 B66 '

' 0.0 & 1.000[&1.035× 16.6667 & 1.000× 8.9238 &

& 1.000× 8.2732 & 1.000× (&33.5968)] ' 0.8502 pu

* )P 03 * ' 2.2 > 0.001 pu

)Pn

)Qn

fn

gn


56

Comparando o maior valor do erro de potência encontrado acima com o erro tolerado, tem-se:

Com isso o processo iterativo inicia. O primeiro passo é montar a matriz jacobiana. Para isto é maisfácil montar inicialmente as quatro submatrizes [H], [N], [M] e [L], como indicado a seguir, onde e representam as funções e do erro de potência.

! Submatriz [H]:

[H ] '

M)P2

M22

M)P2

M23

M)P2

M24

M)P2

M25

M)P2

M26

M)P3

M22

M)P3

M23

M)P3

M24

M)P3

M25

M)P3

M26

M)P4

M22

M)P4

M23

M)P4

M24

M)P4

M25

M)P4

M26

M)P5

M22

M)P5

M23

M)P5

M24

M)P5

M25

M)P5

M26

M)P6

M22

M)P6

M23

M)P6

M24

M)P6

M25

M)P6

M26

(2) (3) (4) (5) (6)

H0 '

&17.2500 0.0000 0.0000 0.0000 17.2500

0.0000 &25.0715 16.1477 0.0000 8.9238

0.0000 16.1477 &45.0636 11.5825 0.0000

0.0000 0.0000 11.5825 &19.8557 8.2732

17.2500 8.9238 0.0000 8.2732 &34.4470

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

[M ] '

M)Q3

M22

M)Q3

M23

M)Q3

M24

M)Q3

M25

M)Q3

M26

M)Q4

M22

M)Q4

M23

M)Q4

M24

M)Q4

M25

M)Q4

M26

M)Q5

M22

M)Q5

M23

M)Q5

M24

M)Q5

M25

M)Q5

M26

M)Q6

M22

M)Q6

M23

M)Q6

M24

M)Q6

M25

M)Q6

M26

(2) (3) (4) (5) (6)

M0 '

0.0000 5.0143 &3.2295 0.0000 &1.7848

0.0000 &3.2295 4.6452 &1.4156 0.0000

0.0000 0.0000 &1.4156 2.4268 &1.0112

0.0000 &1.7848 0.0000 &1.0112 2.7959

(3)

(4)

(5)

(6)


57

Substituindo os valores (iteração 0), obtém-se:

! Submatriz [M]:


[N ] '

V3

M)P2

MV3

V4

M)P2

MV4

V5

M)P2

MV5

V6

M)P2

MV6

V3

M)P3

MV3

V4

M)P3

MV4

V5

M)P3

MV5

V6

M)P3

MV6

V3

M)P4

MV3

V4

M)P4

MV4

V5

M)P4

MV5

V6

M)P4

MV6

V3

M)P5

MV3

V4

M)P5

MV4

V5

M)P5

MV5

V6

M)P5

MV6

V3

M)P6

MV3

V4

M)P6

MV4

V5

M)P6

MV5

V6

M)P6

MV6

(3) (4) (5) (6)

N0 '

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

&5.0143 3.2295 0.0000 1.7848

3.2295 &4.6452 1.4156 0.0000

0.0000 1.4156 &2.4268 1.0112

1.7848 0.0000 1.0112 &2.7959

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

[L ] '

V3

M)Q3

MV3

V4

M)Q3

MV4

V5

M)Q3

MV5

V6

M)Q3

MV6

V3

M)Q4

MV3

V4

M)Q4

MV4

V5

M)Q4

MV5

V6

M)Q4

MV6

V3

M)Q5

MV3

V4

M)Q5

MV4

V5

M)Q5

MV5

V6

M)Q5

MV6

V3

M)Q6

MV3

V4

M)Q6

MV4

V5

M)Q6

MV5

V6

M)Q6

MV6

(3) (4) (5) (6)

L0 '

&24.1469 16.1477 0.0000 8.9238

16.1477 &42.9182 11.5825 0.0000

0.0000 11.5825 &19.4347 8.2732

8.9238 0.0000 8.2732 &32.7466

(3)

(4)

(5)

(6)


58

! Submatriz [N]:


! Submatriz [L]:


J0 '

&17.2500 0.0000 0.0000 0.0000 17.2500 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 &25.0715 16.1477 0.0000 8.9238 &5.0143 3.2295 0.0000 1.7848

0.0000 16.1477 &45.0636 11.5825 0.0000 3.2295 &4.6452 1.4156 0.0000

0.0000 0.0000 11.5825 &19.8557 8.2732 0.0000 1.4156 &2.4268 1.0112

17.2500 8.9238 0.0000 8.2732 &34.4470 1.7848 0.0000 1.0112 &2.7959

0.0000 5.0143 &3.2295 0.0000 &1.7848 &24.1469 16.1477 0.0000 8.9238

0.0000 &3.2295 4.6452 &1.4156 0.0000 16.1477 &42.9182 11.5825 0.0000

0.0000 0.0000 &1.4156 2.4268 &1.0112 0.0000 11.5825 &19.4347 8.2732

0.0000 &1.7848 0.0000 &1.0112 2.7959 8.9238 0.0000 8.2732 &32.7466

)P0k

)Q0

k

' & J 0

)20k

)V0k

V0k

[ 0YN

]

)20k

)V 0k

V0

k

)P0

k

)Q0

k


59

Nas submatrizes [H], [M], [N] e [L], pode-se notar o grau de esparsidade, apesar de ser um sistema

pequeno, em comparação com a matriz e também a simetria apresentada pelos valoresnuméricos de seus elementos.

! Matriz jacobiana:A dimensão da matriz jacobiana será 9 x 9, correspondendo a quatro barras tipo PQ e uma barra

tipo PV. Utilizando-se das submatrizes obtidas pode-se montar a seguinte matriz jacobiana, paraa primeira iteração:

Obtida a matriz jacobiana pode-se montar a seguinte equação:

A equação acima, para obtenção dos vetores incógnitas e , pode ser resolvida de

vár ias maneiras, sendo uma das mais indicadas, inclusive para uso computacional, através da

triangularização de Gauss da matriz jacobiana e a solução do sistema resultante por substituição detrás para frente. No presente exercício será feito a inversão da matriz jacobiana, visto que sua

dimensão não é muito elevada e em seguida a multiplicação pelo vetor .

Invertendo a matriz jacobiana resulta:

J0 &1 '

&0.2088 &0.0908 &0.0577 &0.0965 &0.1508 &0.0014 &0.0045 &0.0009 0.0043

&0.0908 &0.1078 &0.0577 &0.0715 &0.0908 0.0077 &0.0013 &0.0000 0.0018

&0.0577 &0.0577 &0.0577 &0.0577 &0.0577 0.0000 0.0000 0.0000 &0.0000

&0.0965 &0.0715 &0.0577 &0.1235 &0.0965 &0.0005 &0.0018 0.0059 0.0019

&0.1508 &0.0908 &0.0577 &0.0965 &0.1508 &0.0014 &0.0045 &0.0009 0.0043

0.0014 &0.0077 &0.0000 0.0005 0.0014 &0.0778 &0.0398 &0.0369 &0.03110.0045 0.0013 &0.0000 0.0018 0.0045 &0.0398 &0.0482 &0.0375 &0.0206

0.0009 0.0000 &0.0000 &0.0059 0.0009 &0.0369 &0.0375 &0.0867 &0.0322

&0.0043 &0.0018 0.0000 &0.0019 &0.0043 &0.0311 &0.0206 &0.0322 &0.0469

)202

)203

)204

)205

)20

6

)V03

V0

3

)V04

V04

)V05

V05

)V0

6

V06

' & J 0 &1

1.5000

&2.2000

0.0000

&1.2500

0.0000&0.4377

1.0727

&0.2895

0.8502

)20

k

)V0

k

V0

k


60

Logo os vetores de variação e f icam:

Resultando em:

)202

)20

3

)204

)205

)206

)V03

V0

3

)V04

V0

4

)V05

V0

5

)V06

V0

6

'

&0.0069

&0.1971

&0.1125

&0.1651

&0.0939

0.0060

0.0393

0.01760.0392

212 ' 2

02 % )2

02 ' 0.0 & 0.0069 ' &0.0069 rad ' &0.40E

213 ' 2

03 % )2

03 ' 0.0 & 0.1871 ' &0.1871 rad ' &10.72E

214 ' 2

04 % )2

04 ' 0.0 & 0.1125 ' &0.1125 rad ' &6.45E

215 ' 2

05 % )2

05 ' 0.0 & 0.1651 ' &0.1651 rad ' &9.46E

216 ' 2

06 % )2

06 ' 0.0 & 0.0939 ' &0.0939 rad ' &5.38E

V 13 ' V0

3 % )V03 ' 1.0 % 0.0060 ' 1.0060 pu

V 14 ' V0

4 % )V04 ' 1.0 % 0.0393 ' 1.0393 pu

V 15 ' V0

5 % )V05 ' 1.0 % 0.0176 ' 1.0176 pu

V 16 ' V0

6 % )V06 ' 1.0 % 0.0392 ' 1.0392 pu

[)P1

k] [)Q

1

k]


61

onde os valores das correções dos ângulos estão em radianos e os valores das correções de tensãoem pu. Com estes valores pode-se obter as tensões e ângulos das variáveis para a primeira iteração:

Com os valores acima pode-se obter e , os quais devem ser comparados com atolerância de 0.001 pu. O processo iterativo irá continuar até ser obtida a convergência, o qual ocorrecom 3 iterações. A tabela 3 ilustra os valores encontrados a cada iteração.

(2) (3) (4) (5) (6)

[B) ] '

&16.6667 0.0000 0.0000 0.0000 16.6667

0.0000 &26.0744 16.7937 0.0000 9.28070.0000 16.7937 &45.2159 11.7556 0.0000

0.0000 0.0000 11.7556 &20.1524 8.3968

16.6667 9.2807 0.0000 8.3968 &34.3442

(2)

(3)(4)

(5)

(6)

(3) (4) (5) (6)

[B) ] '

&24.6092 16.1477 0.0000 8.9238

16.1477 &43.9909 11.5825 0.0000

0.0000 11.5825 &19.6452 8.2732

8.9238 0.0000 8.2732 &33.5968

(3)

(4)

(5)

(6)

1.0350/&0.40E 1.0350/&0.74E 1.0350/&0.76E

1.0060/&10.72E 0.9823/&10.83E 0.9819/&10.84E

1.0393/&6.45E 1.0191/&6.52E 1.0187/&6.53E

1.0176/&9.46E 0.9969/&9.54E 0.9966/&9.54E

1.0392/&5.38E 1.0230/&5.62E 1.0229/&5.63E

)Pmax

MW

)Qmax MVAr

[B) ] [B))]

[B)]

[ 0YN

) ]

[B))][ 0Y

N]


62

Tabela 3 – Valores de cada iteração para o método de New ton-Raphson

Iteração 1 Iteração 2 Iteração 3

Barra (2)

Barra (3)

Barra (4)

Barra (5)

Barra (6)

7.271 0.052 0.000

Barra (3) (3) (3)

23.088 0.443 0.000

Barra (4) (4) (4)

Pelo método Desacoplado Rápido é necessário montar as submatrizes e ao invés damatriz jacobiana, sendo que estas são montadas somente uma vez no início do processo iterativo.

A matriz é obtida desprezando os elementos shunt do sistema (no caso, somente assusceptâncias das linhas de transmissão) e a resistência de todos os elementos. Com isso, montandoa matriz pode-se extrair:

A matriz como não existe transformadores defasadores no sistema, é extraída diretamenteda matriz :

)P i

V i' & [B )] [)2i ]

1.45

&2.20

0.00

&1.25

0.00

' &

&16.6667 0.0000 0.0000 0.0000 16.6667

0.0000 &26.0744 16.7937 0.0000 9.2807

0.0000 16.7937 &45.2159 11.7556 0.0000

0.0000 0.0000 11.7556 &20.1524 8.3968

16.6667 9.2807 0.0000 8.3968 &34.3442

)202

)203

)204

)205

)20

6

)202 ' &0.0197 rad

)203 ' &0.1997 rad

)204 ' &0.1200 rad

)205 ' &0.1765 rad

)206 ' &0.1067 rad

21

2 ' 20

2 % )20

2 ' 0.0000 & 0.0197 ' &0.0197 rad ' &1.1E

21

3 ' 20

3 % )20

3 ' 0.0000 & 0.1997 ' &0.1997 rad ' &11.4E

214 ' 2

04 % )2

04 ' 0.0000 & 0.1200 ' &0.1200 rad ' &6.9E

215 ' 2

05 % )2

05 ' 0.0000 & 0.1765 ' &0.1765 rad ' &10.1E

216 ' 2

06 % )2

06 ' 0.0000 & 0.1067 ' &0.1067 rad ' &6.1E

[)P0k]

[)Q0

k]


63

Os elementos do vetor , nesta primeira iteração, são idênticos aos já obtidos anteriormente,

dev ido a mesma estimativa inicial adotada para as tensões. Como o erro resultou superior àtolerância especif icada será necessário proceder a correção dos ângulos. No método desacopladorápido, na primeira "meia" iteração, os novos valores dos ângulos serão dados por:

Tem-se então:

Resolvendo o sistema de equações lineares acima, obtém-se:

Com isto os novos valores dos ângulos passam a ser:

Os elementos do vetor , utilizando os valores de tensão (módulo da iteração anterior eângulo já corrigido nesta "meia" iteração), são:

)Q3' Q I

3 & V3

(& V3B

33% V

4(G

34sen2

34& B

34cos2

34) %

V6(G

36sen2

36& B

36cos2

36) '

' 0.0 & 0.9 & 1.000[&1.000× (&24.6092) %

% 1.000× (&3.2295× sen(&4.5E) & 16.1477× cos(&4.5E)) %

% 1.000× (&1.7848× sen(&5.3E) & 8.9238× cos(&5.3E))] '

' &0.9500 pu

)Q4 ' QI

4 & V4 V1 (G41 sen241 & B41 cos241 ) % V3 (G43 sen243 & B43 cos243 ) &

V4 B44 % V5(G45 sen245 & B45 cos245 ) '

' 0.0 & 1.000[&1.040× 16.6667× cos(&6.9E ) %

% 1.000× (&3.2295× sen(4.5E) & 16.1477× cos(4.5E)) &

& 1.000× (&43.9909) %

% 1.000× (&1.4156× sen(3.2E) & 11.5825 cos(3.2E)) ] '

' 1.2150 pu

)Q5 ' Q I

5 & V5 V4 (G54 sen254 & B54 cos254 ) & V5 B55 %

V6 (G56 sen256 & B56 cos256 ) '

' 0.0 & 0.5 &

& 1.000[1.000× (&1.7848× sen(&3.2E) & 11.5825× cos(&3.2E) &

& 1.000× (&19.6452) %

% 1.000× (&1.0112× sen(&4.0E) & 8.2732× cos(&4.0E))] '

' &0.4785 pu

)Q6 ' Q I

6 & V6 V2 (G62 sen262 & B62 cos262 ) % V3 (G63 sen263 & B63 cos263 ) %

V5 (G65 sen265 & B65 cos265 ) & V6B66 '

' 0.0 & 1.000[&1.035× 16.6667× cos(5.0E) %

% 1.000× (&1.7848× sen(5.3E) & 8.9238× cos(5.3E) %

% 1.000× (&1.0112× sen(4.0E) & 8.2732× cos(4.0E) &

& 1.000× (&33.5968)] ' 0.9626 pu

*)Q03 * ' 1.215 > 0.001 pu


64

Comparando o maior valor do erro de potência reativa encontrado com o erro máximo tolerado, tem-se:

Como o erro resultou acima da tolerância, completa-se a iteração (com a segunda "meia" iteração)

)Q i

V i' & [B))] [)V i]

&0.9500

1.2150

&0.4785

0.9626

' &

&24.6092 16.1477 0.0000 8.9238

16.1477 &43.9909 11.5825 0.0000

0.0000 11.5825 &19.6452 8.2732

8.9238 0.0000 8.2732 &33.5968

)V0

3

)V 04

)V 05

)V0

6

)V03 ' &0.0159 pu

)V04 ' 0.0214 pu

)V05 ' &0.0016 pu

)V06 ' 0.0240 pu

V13 ' V 0

3 % )V03 ' 1.0000 & 0.0159 ' 0.9841 pu

V14 ' V 0

4 % )V04 ' 1.0000 % 0.0214 ' 1.0214 pu

V15 ' V 0

5 % )V05 ' 1.0000 & 0.0016 ' 0.9984 pu

V16 ' V 0

6 % )V06 ' 1.0000 % 0.0240 ' 1.0240 pu

)Q


65

corrigindo o módulo das tensões, através da equação:

Tem-se então:

Resolvendo o sistema de equações lineares acima, obtém-se:

Com isto os novos valores dos módulos das tensões passam a ser:

completa-se assim a primeira iteração.

O processo iterativo irá continuar até ser obtida a convergência, o qual ocorre na 3ª iteração, do

mesmo modo que no método desacoplado, só que o tempo computacional gasto foi menor. A tabela4 ilustra os valores encontrados a cada iteração, lembrando que é obtido após a correção doângulo da tensão.

( 0S I

1)( ' 1.040/0.0o (0.0 & j16.6667)× 1.040/0.0o %

% (0.0 % j16.6667)1.0215/&6.49o '

' 1.9999 & j0.4340 Y 0S1 ' 1.9999 % j0.4340 pu

)Pmax MW

1.0350/&0.70E 1.0350/&0.71E

0.9841/&10.77E 0.9843/&10.78E

1.0214/&6.47E 1.0215/&6.49E

0.9984/&9.48E 0.9988/&9.49E

1.0240/&5.57E 1.0241/&5.58E

)Qmax MVAr

0.9843/&10.77E 0.9844/&10.78E

1.0215/&6.47E 1.0215/&6.49E

0.9988/&9.48E 0.9988/&9.49E

1.0241/&5.57E 1.0241/&5.58E


66

Tabela 4 – Valores de cada iteração para o método Desacoplado Rápido

Iteração 1 Iteração 2 Iteração 3

9.626 0.786 0.016

Barra (3) (3) (4)

Barra (2)

CONVERGÊNCIA

POTÊNCIA

ATIVA

Barra (3)

Barra (4)

Barra (5)

Barra (6)

0.579 0.117 0.007

Barra (4) (3) (3)

Barra (3)

CONVERGÊNCIA

POTÊNCIA

REATIVA

Barra (4)

Barra (5)

Barra (6)

Com os valores de tensão encontrados (módulo e ângulo) a determinação das demais grandezaspode ser feita através de cálculos diretos, utilizando de fórmulas já deduzidas no ítem anterior. Estescálculos correspondem a 2ª etapa de resolução do f luxo de potência. Tem-se:

! Potência injetada pela barra oscilante (1):

Pode-se notar que a barra oscilante está fornecendo potência reativa ao sistema.

! Potência reativa injetada pela barra (2) - PV:

Q I

2 ' & Im (1.035/&0.71o))( (0.0& j16.6667)× 1.035/&0.71o %

% (0.0 % j16.6667)× 1.0241/&5.58o ' 0.2511 pu

0S14 ' 1.9999 % j0.4334 pu

0S26

' 1.5017 % j0.2511 pu

0S34 ' &0.6610 & j0.3058 pu (por LT)

0S36

' &0.8763 & j0.2895 pu

0S41 ' &1.9999 & j0.2011 pu

0S45

' 0.6535 % j0.1180 pu

0S43 ' 0.6723 % j0.0420 pu (por LT)

0S54

' &0.6488 & j0.2588 pu

0S56 ' &0.5998 & j0.2419 pu

0S62

' &1.5017 & j0.1213 pu

0S65 ' 0.6052 % j0.0351 pu

0S63

' 0.8939 % j0.0868 pu

) 0S14

' 0S14

% 0S41

' 0.0000 % j0.2323 pu

) 0S26 ' 0S26 % 0S62 ' 0.0000 % j0.1298 pu

) 0S34

' 0S34

% 0S43

' 0.0113 & j0.2638 pu (por LT)

) 0S36 ' 0S36 % 0S63 ' 0.0176 & j0.2027 pu

) 0S45

' 0S45

% 0S54

' 0.0045 & j0.1408 pu

) 0S56 ' 0S56 % 0S65 ' 0.0054 & j0.2068 pu


67

o que signif ica que o gerador da barra (2) também está fornecendo potência reativa ao sistema.

! Fluxo nas ligações do sistema:

! Perda de potência nos ramos do sistema:

! A perda ativa total será dado pela soma de todas as perdas nos ramos do sistema:

) Pto ta l

' )P14

% ) P26

% 2) P34

% ) P36

% )P41

% ) P45

% ) P56

'

' 0.0501 pu

) P I ' PI

1 % PI

2 % PI

3 % PI

5 ' 1.9999 % 1.5 & 2.2 & 1.25 ' 0.0499 pu

1.040 0.0 o

0.984 -10.8 o

65.4

28.9

125 MW50 MVAr

ALFA-GERALFA BETA TETA-GERTETA

GAMA

220 MW 90 MVAr

1.035 -0.7 o0.999 -9.5 o 1.024 -5.6 o1.022 -6.5 o

200.0

43.425.1

150.0

2 x 66.1

2 x 30.6

11.8 3.5

87.6

60.5

8.7

89.42 x 67.2

2 x 4.2


68

valor este que praticamente coincide com a soma das potências injetadas pelas barras:

a menos de um pequeno erro (0.002 pu = 0.2 MW), perfeitamente aceitável.

Os resultados do f luxo de potência se encontram plotados na f igura 42.

Figura 42 – Resultados do f luxo de potência

7 – REFERÊNCIAS

1 - ”Introdução à Teoria de Sistemas Elétricos de Potência”, Olle I. Elgerd, Mc Graw Hill do Brasill,1978.

2 - “Computer Methods in Power System Analysis”, G.W. Stagg, A..H. El-Abiad, Mc Graw Hill, 1968.

3 - “Análise de Sistemas de Potência”, J.C. Tibúrcio, EFEI.

4 - ”Elementos de Análise de Sistemas de Potência”, Willian D.Stevenson Jr, Mc Graw Hill, 1975.

5 - “Sistema Elétricos de Potência - Regime Permanente, volume 2", D.S. Ramos, E.M. DiasGuanabara 2, 1982.

6 - “Electric Power Systems”, Syed A. Nasar, Schaum’s Outline Series, McGraw Hill, 1990.

7 - “Modern Power Systems”, J.R.Neuensw ander, International Textbook Company, 1971.

8 - “Power System Analysis”, C.A.Gross, John Wiley & Sons, 1979.


69

9 - “Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica”, A.Monticelli, Edgard Blücher Ltda, 1983.

10 - “Fluxo de Potência - Método de Newton-Raphson”, C.M.V.Tahan,Dissertação de Mestrado,EPUSP, 1978.

11 - “Aspectos Teóricos Relacionados a Solução de Fluxos de Potência”, M.A.P.Lefévre, 1978.

ANÁLISE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM REGIME PERMANENTE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

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