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Análise e Síntese de Algoritmos

Fluxos Máximos em Grafos CLRS, Cap. 26

2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 2

Contexto

• Algoritmos elementares em grafos (CLR, Cap. 22)

• Árvores abrangentes de menor custo (CLR, Cap. 23)

• Caminhos mais curtos com fonte única (CLR, Cap. 24)

• Caminhos mais curtos entre todos os pares (CLR, Cap. 25)

• Fluxos máximos em grafos (CLR, Cap. 26)

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Resumo

• Fluxos Máximos em Grafos– Motivação– Definições & Propriedades– Método de Ford-Fulkerson– Teorema do Fluxo-Máximo Corte-Mínimo– Análise do algoritmo genérico– Algoritmo de Edmonds-Karp– Análise do algoritmo de Edmonds-Karp– Emparelhamento Bipartido Máximo– Algoritmos baseados em Pré-Fluxos

• Fluxos de Custo Mínimo


Um Problema: fornecer água a Lisboa

• Pretende-se determinar qual o volume de águamáximo (por segundo), que é possível fazer chegara Lisboa a partir da Barragem do Castelo do Bode– Existe uma rede de condutas de água que permitem o

envio da água do Castelo do Bode para Lisboa– Cada conduta apresenta uma capacidade limite, de metros

cúbicos por segundo

– Encontrar um algoritmo eficiente para resolver esteproblema

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Fluxos Máximos em Grafos

• Dado um grafo dirigido G=(V, E):– Com um vértice fonte s e um vértice destino t– Em que cada arco (u,v) é caracterizado por uma capacidade

não negativa c(u,v)• A capacidade de cada arco (u,v) indica o valor limite de

“fluxo” que é possível enviar de u para v através do arco(u,v)

– Pretende-se calcular o valor máximo de “fluxo” que é possívelenviar do vértice fonte s para o vértice destino t, respeitandoas restrições de capacidade dos arcos

• Exemplo


Fluxo Máximo em Grafos Aplicações

• Envio de materiais em rede de transportes– Água, petróleo ou gás– Contentores– Electricidade– Bytes– …

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Fluxo Máximo em Grafos Aplicações

• Para redes de fluxo com múltiplas fontes e/ou destinos– Definir super-fonte que liga a todas as fontes– Definir super-destino ao qual ligam todos os destinos– Capacidades infinitas entre super-fonte e fontes, e entre

destinos e super-destino


Fluxo Máximo em Grafos Definições

• Uma rede de fluxo G = (V, E) é um grafo dirigido em quecada arco (u,v) tem capacidade c(u, v) ≥ 0– Se (u,v) ∉ E, então c(u,v) = 0

• Dois vértices especiais: fonte s e destino t• Todos os vértices de G num caminho de s para t

– Grafo ligado, |E| ≥ |V| - 1

• Um fluxo G = (V, E) é uma função f : V × V → R tal que:– f(u, v) ≤ c(u, v) para u, v ∈ V (restrição de capacidade)– f(u, v) = - f(v, u) para u, v ∈ V (simetria)– para u ∈ V - { s, t }: (conservação de fluxo)( ) 0v,uf

Vv

=!"

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Fluxo Máximo em Grafos Definições

• Valor de um fluxo:

• Problema do Fluxo Máximo:– Dada rede de fluxo G com fonte s e destino t, calcular o

fluxo de valor máximo de s para t

• Exemplo:

( )!"

=Vv

v,sff

s

u

v

t

5/10

5/10

4/10

6/101/5

Valor do fluxo: 10Fluxo máximo: 20


Fluxo Máximo em Grafos Propriedades• Dados conjuntos de vértices X e Y:

• Rede de fluxo G = (V, E); f fluxo em G; X, Y, Z ⊆ V:– f(X,X) = 0 (cancelamento de termos)– f(X,Y) = -f(Y,X)– Se X ∩ Y = ∅:

• f(X ∪ Y,Z) = f(X,Z) + f(Y,Z) (expansão do somatório)• f(Z,X ∪ Y) = f(Z,X) + f(Z,Y) (expansão do somatório)

( ) ( )!!" "

=Xx Yy

y,xfY,Xf

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Método de Ford-Fulkerson

• Definições:– Perspectiva– Redes residuais– Caminhos de aumento– Cortes em redes de fluxo

• Teorema do Fluxo-Máximo Corte-Mínimo

• Método de Ford-Fulkerson– Algoritmo– Complexidade

• Problemas de convergência


Método Genérico

Ford-Fulkerson-Method(G,s,t)inicializar fluxo f a 0while existe caminho de aumento p

aumentar fluxo f utilizando preturn f

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Redes Residuais

• Dado G = (V, E), um fluxo f, e u,v ∈ V– capacidade residual de (u,v):

• Fluxo líquido adicional que é possível enviar de u para v– cf(u,v) = c(u,v) - f(u,v)

– rede residual de G:• Gf = (V, Ef), onde Ef = { (u,v) ∈ V × V : cf(u,v) > 0 }

– Cada arco (residual) de Gf permite apenas fluxo líquidopositivo

• Exemplo


Redes Residuais (Cont.)

• G = (V, E), f um fluxo, Gf rede residual; f’ fluxo em Gf

• Fluxo de soma f + f’ definido para cada par u,v ∈ V:(f + f’)(u,v) = f(u,v) + f’(u,v)

• Fluxo de soma é um fluxo com valor |f + f’| = |f| + |f’|– Propriedades de um fluxo são verificadas: restrição de

capacidade, simetria e conservação de fluxo• Obs: f’ é definido em Gf e é um fluxo

– Cálculo do valor de fluxo:( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

'ff

v,s'fv,sf

v,s'fv,sf

v,s'ff'ff

VvVv

Vv

Vv

+=

+=

+=

+=+

!!

!

!

""

"

"

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Caminhos de Aumento

• Dado G = (V, E) e um fluxo f– caminho de aumento p:

• caminho simples de s para t na rede residual Gf

– capacidade residual de p:• cf(p) = min { cf(u,v) : (u,v) em p }

– cf(p) permite definir fluxo fp em Gf, |fp| = cf(p) > 0– f’ = f + fp é um fluxo em G, com valor |f’| = |f| + |fp| > |f|

• Exemplos


Cortes em Redes de Fluxo

• Um corte (S, T) de G = (V, E) é uma partição de V emS e T = V - S, tal que s ∈ S e t ∈ T– fluxo líquido do corte (S, T):

– capacidade do corte (S, T):

• Se G = (V, E) com fluxo f, então o fluxo líquido atravésde um corte (S, T) é f(S,T) = |f|– T = V - S; f(S,T∪S) = f(S,T) + f(S,S); f(S,T) = f(S,V) - f(S,S)– f(S,T) = f(S,V) - f(S,S) = f(S,V) = f(s,V) + f(S - s,V) = f(s,V) = |f|

• Obs: para u ∈ S - s, f(u, V) = 0

( )!!" "

=Su Tv

v,uc)T,S(c

( )!!" "

=Su Tv

v,uf)T,S(f

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Cortes em Redes de Fluxo (Cont.)

• Qualquer valor de fluxo é limitado superiormentepela capacidade de qualquer corte de G– (S,T) qualquer corte, e f um fluxo:

( ) ( ) ( )!!!!" "" "

=#==Su TvSu Tv

)T,S(cv,ucv,ufT,Sff

S T


Fluxo-Máximo Corte-Mínimo

• Seja G = (V, E), com fonte s e destino t, e um fluxo f.Então as proposições seguintes são equivalentes:1. f é um fluxo máximo em G2. A rede residual Gf não contém caminhos de aumento3. |f| = c(S,T) para um corte (S,T) de G

• 1. ⇒ 2.– Admitir que f é fluxo máximo em G mas que Gf tem caminho de

aumento– Então é possível definir um novo fluxo f + fp com valor |f| + |fp| >

|f|; uma contradição

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Fluxo Máximo Corte Mínimo (Cont.)

• 2. ⇒ 3.– Gf sem caminhos de aumento– S = { v ∈ V : existe caminho de s para v em Gf }; T = V - S;

s ∈ S e t ∈ T– Com u ∈ S e v ∈ T, temos f(u,v) = c(u,v), pelo que

• |f| = f(S,T) = c(S,T)

• 3. ⇒ 1.– Dado que |f| ≤ c(S,T), para qualquer corte (S,T) de G– Como |f| = c(S,T) (definido acima), então f é fluxo máximo


Recapitular

• Fluxos Máximos em Grafos– Definições

• Capacidades (dos arcos)• Fluxos• Capacidades residuais• Redes residuais• Caminhos de aumento

– Para aumento de fluxo– Método de Ford-Fulkerson– Teorema do fluxo máximo corte mínimo

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A Seguir

• Fluxos Máximos em Grafos– Método de Ford-Fulkerson

• Análise do algoritmo genérico– Algoritmo de Edmonds-Karp


Algoritmo de Ford-Fulkerson Básico

Ford-Fulkerson(G,s,t)foreach (u,v) ∈ E[G]

f[u,v] = 0f[v,u] = 0

while existe caminho de aumento p na rede residual Gfcalcular cf(p)foreach (u,v) ∈ p

f[u,v] = f[u,v] + cf(p) // Incrementar valor dofluxo

f[v,u] = - f[u,v]

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Análise do Algoritmo Básico

• Número de aumentos de fluxo pode ser elevado

• Fluxo máximo = 2000000– No pior caso: número de caminhos de aumento é 2000000

s

u

v

t

1000000

1000000

1000000

10000001

1000000

1000000

s

u

v

t

1000000

10000001

rede de fluxo caminho de aumento comcapacidade residual = 1


Análise de Algoritmo Básico (Cont.)

• Para valores racionais das capacidades– Converter todas as capacidades para valores inteiros– Número de caminhos de aumento limitado por valor

máximo do fluxo |f*|– Complexidade: O(E |f*|)

• Por exemplo: DFS para encontrar caminho de aumento

• Para valores irracionais das capacidades– Algoritmo básico pode não terminar– Algoritmo básico pode convergir para valor incorrecto

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Algoritmo de Edmonds-Karp

• Escolher caminho de aumento mais curto no númerode arcos– Utilizar BFS em Gf para identificar caminho mais curto– Complexidade: O(V E2)

• Exemplos


Algoritmo de Edmonds-Karp — Análise

• Definições:– δf(s,v): distância mais curta de s para v na rede residual Gf

– δf’(s,v): distância mais curta de s para v na rede residual Gf’

– Sequência de acontecimentos considerada:• f → Gf → BFS → p → f’ → Gf’ → BFS → p’

• Resultados:– δf(s,v) cresce monotonamente com cada aumento de fluxo– Número de aumentos de fluxo é O(V E)– Tempo de execução é O(V E2)

• O(E) devido a BFS e aumento de fluxo a cada passo

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• δf(s,v) cresce de forma monótona com cada aumentode fluxo– Prova por contradição: considere-se o primeiro v ∈ V tal que,

após aumento de fluxo (de f para f’), a distância do caminhomais curto diminui, δf’(s,v) < δf(s,v)

– Seja p= 〈s,…,u,v〉 o caminho mais curto de s para v em Gf’

δf’(s,u) = δf’(s,v)-1δf’(s,u) ≥ δf(s,u) (v é o primeiro que falha)

– (u,v) ∈ Ef : δf(s,v) ≤ δf(s,u)+1 ≤ δf’(s,u)+1 = δf’(s,v)– (u,v) ∈ Ef e (u,v) ∈ Ef’ : aumento de fluxo de v para u– Aumento sempre pelo caminho mais curto, então o caminho

mais curto entre s e u em Gf tem como último arco (v,u):δf(s,v) = δf(s,u)-1 ≤ δf’(s,u)-1 = δf’(s,v)-2 Contradição !




• Número de aumentos de fluxo é O(V E)– arco (u,v) na rede residual Gf é crítico se capacidade residual de

p é igual à capacidade residual do arco• arco crítico desaparece após aumento de fluxo

– Quantas vezes pode arco (u,v) ser arco crítico?• Como caminhos de aumento são caminhos mais curtos, δ

f(s,v) = δf(s,u) + 1• (u,v) só volta à rede residual após arco (v,u) aparecer em

caminho de aumento (com fluxo f ’)– Como, δf’(s,u) = δf’(s,v) + 1– Dado que, δf(s,v) ≤ δf’(s,v) (resultado anterior)– Obtém-se, δf’(s,u) = δf’(s,v) + 1 ≥ δf(s,v) + 1 = δf(s,u) +

2

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– Distância de s a u aumenta pelo menos de duas unidadesentre cada par de vezes que (u,v) é crítico

• No limite, distância de s a u é não superior a |V| - 2• Pelo que arco (u,v) pode ser crítico O(V) vezes• Existem O(E) pares de vértices• Na execução do algoritmo de Edmonds-Karp o número

total de vezes que arcos podem ser críticos é O(V E)• Como cada caminho de aumento tem um arco crítico

– Existem O(V E) caminhos de aumento

• Complexidade de Edmonds-Karp é O(V E2)– Complexidade de BFS é O(V+E) = O(E) (dado V = O(E))– Aumento de fluxo em O(E)


Recapitular

• Fluxos Máximos em Grafos– Método de Ford-Fulkerson

• Análise do algoritmo genérico• Complexidade (valores inteiros): O(E |f*|)• Com valores irracionais pode não terminar

– Algoritmo de Edmonds-Karp• Análise da complexidade O(V E2)

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A Seguir

• Fluxos Máximos em Grafos– Emparelhamento Bipartido Máximo


Emparelhamento Bipartido Máximo

• G = (V, E) não dirigido

• Emparelhamento:– M ⊆ E, tal que para qualquer vértice v ∈ V não mais do que

um arco em M é incidente em v

• Emparelhamento Máximo:– Emparelhamento cardinalidade máxima (na dimensão de M)

• Grafo Bipartido:– Grafo pode ser dividido em V = L ∪ R, em que L e R são

disjuntos e em que todos os arcos de E estão entre L e R

• Emparelhamento Bipartido Máximo:– Emparelhamento máximo em que G é bipartido

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• Construir G’:– V’ = V ∪ {s, t}

– Atribuir capacidade unitária a cada arco de E’

• Emparelhamento bipartido máximo em G equivale aencontrar fluxo máximo em G’

• Exemplo

( ){ }( ) ( ){ }( ){ }Rv:tv,

Evu, e R,vL,u:vu,

Lu:us,E'

!"

!!!"

!=



• Dados G e G’:1. Se M é um emparelhamento em G, existe um fluxo f de valor

inteiro em G’, com |f| = |M|

– Seja M um emparelhamento, e (u,v) ∈ M.• Definir f utilizando arcos de M, f(s,u) = f(u,v) = f(v,t) = 1.• Para restantes arcos (u,v) ∈ E’, f(u,v) = 0

– Os caminhos s → u → v → t para todo o (u,v) ∈ M sãodisjuntos em termos dos vértices, com excepção de s e t

– Como existem |M| caminhos, cada um com uma contribuiçãode uma unidade de fluxo para o fluxo total f, |f| = |M|

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• Dados G e G’:2. Se |f| é um fluxo de valor inteiro em G’, existe um

emparelhamento M em G, com |f| = |M|

– Definir M = {(u,v): u ∈ L, v ∈ R e f(u,v) > 0}• Para cada u ∈ L, existe no máximo um v ∈ R tal que

f(u,v)=1– Apenas um arco incidente com capacidade 1– Capacidades são inteiras

• De forma simétrica para v ∈ R– Logo M é um emparelhamento– |M| = f(L,R) = f(s,L) = f(s,V’) = |f|



• Se todas as capacidades têm valor inteiro, então parafluxo máximo f, |f| é inteiro– Indução no número de iterações do algoritmo genérico de

Ford-Fulkerson

• Emparelhamento bipartido máximo |M| em Gcorresponde a |f|, em que f é o fluxo máximo de G’– Se |M| é emparelhamento máximo em G, e |f| não é máximo

em G’, então existe f’ que é máximo– f’é inteiro, |f’| > |f|– e f’ corresponde a emparelhamento |M’|, com |M’| > |M|;

contradição– …

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• A aplicação do algoritmo genérico de Ford-Fulkerson tem complexidade O(E |f*|)

• Emparelhamento bipartido máximo é não superior amin(|L|,|R|) = O(V) e tem valor inteiro– i.e., no caso do emparelhamento máximo, |f*| = O(V)

• Complexidade de identificação do emparelhamentobipartido máximo é O(V E)


Recapitular

• Fluxos Máximos em Grafos– Definições e Propriedades– Método de Ford-Fulkerson– Algoritmo de Edmonds-Karp– Emparelhamento Bipartido Máximo

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A Seguir

• Fluxos Máximos em Grafos– Algoritmos de Pré-Fluxo (push-relabel)– Correcção do algoritmo genérico– Análise do algoritmo genérico– Algoritmo Relabel-To-Front

• Análise do algoritmo Relabel-To-Front


Fluxo Máximo Utilizando Pré-Fluxos

• Motivação & Intuição• Operações Básicas• Algoritmo Genérico• Correcção do Método• Análise do Método

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Pré-Fluxos — Intuição

• Operação mais localizada do que Ford-Fulkerson– Não identificar caminhos de aumento

• Propriedade da conservação de fluxo não é mantidadurante execução do algoritmo

• Cada vértice u contém reservatório de fluxo– Representa excesso de fluxo e(u)– Começar por enviar todo o fluxo possível de s para vértices

adjacentes• Noção de altura de cada vértice, que evolui com

aplicação do algoritmo– Envio de fluxo só de vértices mais altos para vértices mais

baixos– Fazer subir altura de vértices em caso de necessidade de envio

de fluxo


Pré-Fluxos — Definições

• Pré-Fluxo: f : V × V → R– Verifica restrições de capacidade, simetria e f(V, u) ≥ 0 para

vértices u ∈ V - { s }– Não verifica necessariamente conservação de fluxo

• Excesso de fluxo: e(u) = f(V, u)– u ∈ V - { s, t } transborda se e(u) > 0

• Uma função h : V → N é uma função de alturas seh(s) = |V|, h(t) = 0, e h(u) ≤ h(v) + 1 para todo o arcoresidual (u,v) ∈ Ef– Função de alturas permite estabelecer condições para ser

possível enviar fluxo de u para v

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Pré-Fluxos — Operações Básicas

Push(u,v)df(u,v) = min(e[u], cf[u,v])f[u,v] = f[u,v] + df(u,v)f[v,u] = - f[u,v]e[u] = e[u] - df(u,v)e[v] = e[v] + df(u,v)

Relabel(u)h[u] = 1 + min{h[v] : (u,v) ∈

Ef}

Aplica-se quando utransborda, e (u,v) ∈ Ef implica h[u] ≤ h[v]

Aplica-se quando utransborda, cf[u,v] >0, e h[u] = h[v] + 1

Enviar fluxo de u para v:

Subir altura de u:



• Operação de envio de fluxo de u para v, Push(u, v):– Saturating push: arco (u, v) fica saturado após aplicação da

operação Push (i.e., f(u,v) = c(u,v) ⇔ cf(u,v)=0)• Caso contrário: Nonsaturating push

– OBS: Após um Push(u, v) nonsaturating, u deixa de transbordar(i.e., e(u)=0)

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Initialize-Preflow(G, s)foreach v ∈ V[G]

h[u] = 0e[u] = 0

foreach (u,v) ∈ E[G]f[u,v] = 0f[v,u] = 0

h[s] =|V[G]|foreach u ∈ Adj[s]

f[s,u] = c(s,u)f[u,s] = -c(s,u)e[u] = c(s,u) ( )

!"# =

=contrário caso

se

0

suVuh


Pré-Fluxos — Algoritmo Genérico

Generic-Push-Relabel(G)Initialize-Preflow(G, s)while existe operação de Push ou Relabel aplicável

seleccionar e executar operação de Push ou Relabelreturn f

• Exemplo

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Pré-Fluxos — Correcção do Método

• G = (V, E), rede de fluxo com fonte s e destino t, fum pré-fluxo, e h uma função de alturas para f. Sevértice u transborda, então u pode ser sujeito a umaoperação de Relabel ou de Push– h é função de alturas, pelo que h(u) ≤ h(v) + 1– Se operação de Push não aplicável a u, então para

qualquer arco residual (u, v), h(u) < h(v) + 1, pelo que h(u) ≤h(v)

• Assim, operação de Relabel pode ser aplicada a u



• h[u] nunca decresce; se operação de Relabel éaplicada, h[u] aumenta de pelo menos 1 unidade– Valor de h[u] apenas alterado em Relabel– Aplicar Relabel se, para todo o (u, v) ∈ Ef, h[u] ≤ h[v]

• h[u] < 1 + min { h[v] : (u,v) ∈ Ef }– Pelo que valor de h[u] aumenta (de pelo menos 1 unidade)

após Relabel

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• Durante a execução do algoritmo genérico o valorde h é mantido como função de alturas– Inicialmente h é uma função de alturas– Relabel(u) mantém h como função de alturas

• Arco (u, v) em Ef– h[u] ≤ h[v] + 1 após Relabel, pela definição de Relabel

• Arco (w, u) em Ef– h[w] ≤ h[u] + 1 antes de Relabel implica h[w] < h[u] + 1

após Relabel de u– Push(u,v) mantém h como função de alturas

• (v, u) incluído em Ef

– h[v] = h[u] – 1 < h[u] + 1• (u, v) removido de Ef

– deixa de existir restrição em h devido a (u, v)



• Recapitular– G = (V, E), rede de fluxo com fonte s e destino t, f um pré-

fluxo, e h uma função de alturas para f. Se vértice utransborda, então u pode ser sujeito a uma operação deRelabel ou de Push

– h[u] nunca decresce; se operação de Relabel é aplicada,h[u] aumenta de pelo menos 1 unidade

– Durante a execução do algoritmo genérico valor de h émantido como função de alturas

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• Em Gf não existe caminho de s para t– Prova por contradição– Admitir caminho p = 〈v0, v1, …, vk〉 de s para t em Gf, com

v0=s e vk=t• Podemos admitir p caminho simples, k < |V|

– i = 0, 1, …, k-1• (vi, vi+1) ∈ Ef, e h[vi] ≤ h[vi+1] + 1 (função de alturas)

– Pelo que, h[s] ≤ h[t] + k– Como h[t] = 0, então h[s] ≤ k < |V|– Mas h[s] = |V|; uma contradição !



• Se algoritmo genérico termina, o pré-fluxo calculado é ofluxo máximo para G– Inicialmente temos um pré-fluxo

• Devido a Initialize-Preflow– Algoritmo mantém a existência de pré-fluxo invariante

• Push e Relabel não alteram invariante– Se algoritmo termina, e[u] = 0 para qualquer vértice u

• Caso contrário poderia aplicar-se Push ou Relabel !– Nesta situação, pré-fluxo é um fluxo

• Porque não existem vértices a transbordar !– E não existe caminho de s para t na rede residual

• Porque h é função de alturas !– Pelo teorema do fluxo máximo corte mínimo, f é o fluxo máximo !!

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Pré-Fluxos — Análise do Método

• Para cada vértice u que transborda existe umcaminho simples de u para s em Gf– OBS: Fluxo enviado tem de poder ser cancelado

• h[u] ≤ 2|V|-1 para u ∈ V– h[s] e h[t] são constantes– Relabel a u apenas aplicado quando vértice u transborda

• Existe caminho simples p de u para s– p = 〈v0, v1, …, vk〉, v0 = u, vk = s, k ≤ |V|-1

• h[vi] ≤ h[vi+1] + 1, i = 0, 1, …, k• h[u] = h[v0] ≤ h[vk] + k ≤ h[s] + (|V|-1) = 2|V| - 1



• O número de operações de Relabel é não superior a2|V|-1 para cada vértice e a (2|V| - 1)(|V| - 2) < 2|V|2no total– Relabel apenas pode ser aplicado a vértices em V - {s, t}, i.e.

|V|-2 vértices– Relabel faz subir valor de h[u] em pelo menos 1 unidade– Para u ∈ V - {s, t}, valores possíveis para h[u] entre 0 e 2|V|-1– Relabel aplicado a u não mais do que 2|V| - 1 vezes– Número total de operações de Relabel não superior a:

• (2|V| - 1)(|V| - 2) < 2|V|2

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• O número de saturating pushes é < 2|V||E|– Analisar saturating pushes de u para v e de v para u

• Após Push(u,v), Push(v,u) requer aumento em h[v] de pelomenos 2 unidades

• Como 0 ≤ h[v] ≤ 2|V|-1, o número máximo de vezes que aaltura de v pode aumentar é |V|

• Esses |V| aumentos de h[v] podem implicar o mesmonúmero de aumentos de h[u], portanto para o par devértices (u,v) o número total de saturating pushes é < 2|V|

– Para todos os pares de vértices obtemos < 2|V||E|



• O número de nonsaturating pushes é 4|V|2(|V|+|E|)– Seja X ⊆ V o conjunto de vértices que transborda– Seja– Cada operação de Relabel(u) aumenta Φ em menos de

2|V|• Limitação da máxima altura possível para um vértice

– Cada Saturating Push aumenta Φ em menos de 2|V|• Apenas um novo vértice pode ficar a transbordar e

alturas não variam– Nonsaturating Push (u,v) decrementa Φ em pelo menos 1

• u deixa de transbordar; v pode passar a transbordar eh[v] - h[u] = -1

– O total de aumento de Φ é < 2|V|(2|V|2) + 2|V|(2|V||E|) =4|V|2(|V|+|E|)

[ ]! "=#

Xvvh

29



– Como Φ ≥ 0, número de nonsaturating pushes é menor doque 4|V|2(|V|+|E|)

• Número de operações elementares é O(V2E)– Utilizar resultados anteriores

• Número de operações limitado pelo número denonsaturating pushes

• Complexidade do algoritmo genérico é O(V2E)– O(V) para operação Relabel (calcular novo valor de h)– O(1) para operação Push (actualizar valores)


Algoritmo Relabel-To-Front

• Complexidade: O(V3)

• Descarga de um vértice u:– Enviar todo o fluxo em excesso para os vértices vizinhos de u

• Lista de vizinhos de u: N[u]– v em lista N[u] se: (u,v) ∈ E ou (v,u) ∈ E

• i.e. vértices para os quais um arco residual (u, v) pode existir– Primeiro vizinho: head[N[u]]– Próximo vizinho de u (a seguir a v): next-neighbor[v]

30



• Operação de descarga de um vértice:

Discharge (u)while e[u] > 0

v = current[u]if v = NIL

Relabel(u)current[u] = head[N[u]]

else if cf(u,v) > 0 and h[u] = h[v] + 1Push(u,v)

elsecurrent[u] = next-neighbor[v]



Relabel-To-Front(G, s, t)Initialize-Preflow(G, s)L = V - {s, t} por qualquer ordemforeach u ∈ V - {s, t}

current[u] = head[N[u]]u = head[L]while u ≠ NIL

oldh = h[u]Discharge(u)if h[u] > oldh

colocar u na frente da lista Lu = next[u]

return f

31


Análise de Relabel-To-Front

• Complexidade do ciclo principal: O(V3)– Não contabilizando o tempo de Discharge– Fase: tempo entre operações de relabel– Número de fases = número de operações de Relabel = O(V2)

• O(V2) para qualquer algoritmo de Pré-Fluxo– Cada fase consiste de O(V) execuções de Discharge

• Total de execuções de Discharge é O(V3)– Complexidade (sem contabilizar Discharge) é O(V3)



• Complexidade acumulada das operações de Discharge:– Operações Relabel:

• Complexidade: O(V E) para O(V2) operações de Relabel– Actualizações de current[u]:

• Executadas O(degree(u)) vezes após Relabel de u• Executadas O(V degree(u)) no total para cada vértice u

(cada vértice pode ser sujeito a O(V) operações de relabel)– Total: O(V E)

– Operações Push:• Saturating pushes: O(V E)• Nonsaturating pushes:

– Limitado pelo número de operações Discharge, porque retornaapós nonsaturating push, i.e. O(V3)

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• Complexidade do algoritmo:– Complexidade (total) das operações de Discharge O(V3)– Complexidade do algoritmo sem operações de Discharge O(V3)

– Complexidade do algoritmo Relabel-To-Front: O(V3)


Fluxos de Custo Mínimo

• G = (V,E), com custos cij e capacidades uij para cadaarco (i,j) ∈ E, e valor b(i) associado com cada i ∈ V– Calcular fluxo xij para cada arco (i,j)

– OBS: Fluxos xij são não negativos• Propriedade de simetria não considerada nesta formulação

( )( )

()( ){ }( ){ }

( ) Ej,iux0

Viibxx:a sujeito

xcxzminimizar

ijij

Ej,i:j Ei,j:jjiij

Ej,iijij

!""

!=#

=

$ $

$

! !

!

33


Fluxos de Custo Mínimo

• Problema genérico de optimização em grafos. Épossível reduzir outros problemas em grafos aoproblema de fluxos de custo mínimo– Exemplos:

• Caminhos Mais Curtos• Fluxo Máximo


Fluxos Máximos

( )

( ){ }( ){ }

{ }

( ) Ej,iux0

t,sVi0xx:a sujeito

xminimizar

ijij

Ej,i:j Ei,j:jjiij

Ei,ssi

!""

#!=#

#

$ $

$

! !

!

csi = -1cji = 0, j ≠ s

xij: fluxo entre i e j

conservação de fluxo

simétrico do fluxo enviadode s para V - {s, t}

34


Caminhos Mais Curtos com Fonte s

( )

{ }( ){ }( ){ }

( ) Ej,ix0

sVi1

si1Vxx

:a sujeito

xcminimizar

ij

Ej,i:j Ei,j:jjiij

Ej,iijij

!"

#$

#%&

'!'

='='( (

(

! !

!

uij = ∞xij: fluxo entre vértices i e j

Enviar uma unidade defluxo de s para cada umdos restantes vértices

Fluxo que saide s é |V|-1

Cada vértice recebeuma unidade de fluxo

cij: peso do arco i,j

Admitir todos os vérticesatingíveis a partir de s


Revisão

• Fluxos Máximos em Grafos– Definições & Propriedades– Método de Ford-Fulkerson– Teorema do Fluxo Máximo Corte Mínimo– Análise do algoritmo genérico– Algoritmo de Edmonds-Karp– Análise do algoritmo de Edmonds-Karp– Emparelhamento Bipartido Máximo– Algoritmos baseados em Pré-Fluxos

• Fluxos de Custo Mínimo

• A seguir:– Programação Linear (CLRS, Cap. 29)

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