analise fatorial

1Prof. Lor Viali, Dr. PUCRS/UFRGS Departamento de Estatstica

Prof. Lor Viali, Dr.

[email protected];

[email protected];

http://www.pucrs.br/famat/viali;

http://www.mat.ufrgs.br/~viali/

p

Prof. Lor Viali, Dr. PUCRS/UFRGS Departamento de Estatstica

A teoria dos mtodos estatsticos multivariados pode ser explicada razoavelmente bem somente com uso de alguma lgebra matricial. Por essa razo til, seno essencial ter pelo menos algum conhecimento nessa rea (Bryan F. J. Manly).

Estatstico Ecologista com mais de 30 anos de experincia como pesquisador, consultor e professor de Estatstica.


Factor Analysis (FACAN)


As principais aplicaes da tcnica da Anlise de Fatores (FactorAnalysis) so:

(1) Identificar dimenses latentes, isto , fatores que justifiquem as correlaes observadas entre as variveis.


(2) Substituir o conjunto original de variveis (em geral grande) e correlacionadas por um conjunto menor de variveis sem correlao ou com baixa correlao.

(3) Objetivo Global: parcimnia, isto , reduo da complexidade.


O que Anlise de Fatores uma classe de processos utilizados na

reduo e sumarizao de dados (Malhotra, 2001);

um nome genrico dado a uma classe de mtodos estatsticos multivariados, cujo propsito principal definir uma estrutura fundamental em uma matriz de dados (Hair et al., 1995).


Alm disso, a anlise de fatores aplicada como redutora de dados ou motodo (exploratrio) de deteco de estruturas.

O termo anlise de fatores foi introduzido por Thurstone em 1931.

L. L. Thurstone (1887-1955)Psicometrista

http://www.indiana.edu/~intell/lthurstone.html


V1, V2, V3,V4, V5, V6,V7, V8, V9

Quais variveisexplicam

a mesma coisa?

V1, V5

V3, V6, V8 , V9V2, V4, V7

QualidadeExperinciaUtilidade


V1, V5

V3, V6, V8 , V9

V2, V4, V7

Qualidade

Experincia

Utilidade

Fatores

Quais variveis medem a mesma coisa?

O quanto estasvariveis medem

a mesma coisa?


ObjetivosExaminar a interdependncia entre todas as

variveis (correlaes).Reduzir diversas variveis, provavelmente

correlacionadas, a uma quantidade menor e mais facilmente gerencivel.Analisar a estrutura das correlaes entre

um grande nmero de variveis, definindo um conjunto menor de dimenses bsicascomuns, chamadas fatores.


Reduzir massas de informao a um tamanho mais facilmente gerencivel;

A cincia busca explicaes mais simples (lei da parcimnia);

AF prope-se a reduzir a complexidadedas variveis a uma maior simplicidade.

Importncia


HistricoCharles Spearman (1904), psiclogo americanoPesquisa sobre habilidades mentais

Buscava identificar um fator comum para matemtica, vocabulrio, comunicao, arte, lgica, etc...Fator bsico de inteligncia geral - Fator GDesenvolveu a Anlise de Fatores

Factor Analysis ou FacAn


AplicaesIdentificar fatores que expliquem as correlaes

entre um conjunto de variveis;Identificar, em um conjunto maior de variveis,

um conjunto menor que se destaque para uso em uma futura anlise multivariada;Sumarizar os dados, para obter uma

melhor percepo do objeto de pesquisa.


Termos bsicosComunalidade: representada por h2, a proporo

da varincia de uma varivel que compartilhada com os fatores comuns na anlise de fatores.

Autovalor: a varincia padronizada associada com um particular fator. A soma dos autovalores no pode exceder o nmero de variveis (itens), uma vez que cada item contribui com a unidade na soma das varincias.


Fator: uma combinao linear das variveis (itens) no sentido de uma regresso, onde o escore total do teste a varivel dependente e os itens so as variveis independentes.

Carga do fator: a carga de um fator expressa a correlao do fator com a varivel. O quadrado da carga do fator indica a proporo da varincia partilhada entre a varivel e o fator.


Escore do fator: Medida composta criada para cada observao em cada fator da anlise. Os pesos dos fatores so utilizados em conjunto com os valores originais da varivel para calcular cada um dos escores. Os escores dos fatores so padronizados da mesma forma que o escore z.


Matriz padro dos fatores: uma matriz contendo os coeficientes ou cargas utilizadas para expressar um item em termos do fator. Ela coincide com a matriz de estrutura se os fatores so ortogonais (no-correlacionados).

Matriz estrutura dos fatores: uma matriz contendo as correlaes dos itens com cada um dos fatores.


Soluo rotada dos fatores: uma soluo, onde os eixos so girados com o propsito de mostrar um padro mais visvel das cargas dos fatores.

Grfico de declividade (Scree plot): um diagrama mostrando os autovalores de cada fator.

Teste de esfericidade de Bartlett: Verifica se todas as correlaes dentro da matriz de correlaes so significativas.


Matriz de correlao anti-imagem: a matriz das correlaes parciais entre as variveis (itens) aps a anlise de fatores. Representa o grau com que os fatores explicam um ao outro nos resultados.

Anlise de factores comum: modelo de fatores na qual os fatores so baseados numa matriz de correlao reduzida, isto , as comunalidades so inseridas na diagonal da matriz de correlao e a extrao dos fatores baseada somente na varincia comum excluindo as varincias especficas e do erro.


Varincia do erro: varincia de uma varivel devido a erros na coleta ou medida dos valores.

Medida de adequao da amostra (MAS - Measureof Sampling Adequacy): medida calculada tanto para a matriz de correlao quanto para cada varivel individualmente avaliando a adequao da aplicao da anlise de fatores. Valores maiores do que 0,5 tanto para a matriz como um todo quanto para as variveis indivualmente indicam que o mtodo adequado.


Etapas1. Formular o problema2. Montar matriz de correlaes3. Validar a Anlise de Fatores4. Determinar o mtodo5. Determinar Nmero de Fatores6. Rotacionar Fatores7. Interpretar Fatores8. Atribuir Nomes aos Fatores


1. Formular o problemaPesquisar e definir os constructos que fundamentaro as variveis originais.Altamente recomendado que as variveis analisadas sejam especificadas com base em pesquisas anteriores. Tamanho da amostra: 4 a 5 vezes o nmerode variveis na pesquisa.Observao: no mnimo, 100 unidades.


Determinar as variveis a se pesquisar;

Definir o tamanho da amostra;

Aplicar o instrumento de pesquisa;

Preparar os dados em uma tabela nxk

(itens)x(variveis).


Variveis

inp...in3in2in1In

...............i3p...i33i32i31I3

i2p...i23i22i21I2

i1p...i13i12i11I1

Vp...V3V2V1Itens

Base de dados nxp


2. Montar Matriz de Inter-correlaesCorrelacionar todas variCorrelacionar todas variveis entre siveis entre si

1...0,90,30,8Vp

...............

...1-0,60,8V3

...1-0,3V2

...1V1

VpV3V2V1Variveis


3. Validar a Anlise de Fatores

Confirmar a validade da AF para os dados coletados, atravs dos seguintes testes:

1.1. Teste de esfericidade de Bartlett;Teste de esfericidade de Bartlett;

2.2. AdeqAdeqacidadeacidade da amostra de Kaiserda amostra de Kaiser--MeyerMeyer--

Olkin (KMO).Olkin (KMO).


Considere a matriz de interConsidere a matriz de inter--correlacorrelaes es abaixoabaixo conhecida como matriz conhecida como matriz identidadeidentidade..

1...0,000,000,00Vp

...............

...10,000,00V3

...10,00V2

...1V1

VpV3V2V1Variveis


SeriamSeriam extraextradosdos tantostantos fatoresfatores quantoquanto

varivariveisveis, , umauma vezvez queque cadacada varivarivelvel seriaseria seuseu

prprprioprio fator ;fator ;

ElaEla totalmentetotalmente nono fatorfatorvelvel. .

As variAs variveis veis soso totalmentetotalmente nono--colinearescolineares. .

Se fosse Se fosse aplicadaaplicada a AF a AF nestanesta matrizmatriz


Testa a hiptese nula, de que as variveis no

sejam correlacionadas na populao;

Fornece a probabilidade de que a matriz de

correlaes possua correlaes significativas em

algumas das variveis.

1. 1. Teste de esfericidade de BartlettTeste de esfericidade de Bartlett


Matriz de correlaes = matriz identidade;Valor elevado do determinante da matriz

favorece a rejeio da hiptese nula;Executa uma transformao qui-quadrado do

determinante da matriz de correlao.Se esta hiptese no puder ser rejeitada, ento a

convenincia da AF questionvel.


um ndice que varia de 0 a 1.Compara as magnitudes dos coeficientes de correlao

observados, com as dos coeficientes de correlao parciais; ndice < 0,50: as correlaes entre os pares de

variveis no podem ser explicadas por outras variveis - no se deve utilizar a AF.

3. AdeqAdeqacidadeacidade da amostra da amostra deKaiserdeKaiser--MeyerMeyer--OlkinOlkin (KMO)(KMO)


4. Determinar o Mtodo

Anlise dos componentes principais (*);Mxima verossimilhana (*);Fatorao pelo eixo principal (*);Mnimos quadrados generalizados (*);Mnimos quadrados no-ponderados (*);Fatorao alfa (*);Mnimo residual ;

Selecionar o mSelecionar o mtodo de extratodo de extrao de fatoreso de fatores


Componentes PrincipaisModelo no qual os fatores esto baseados na

varincia total ;

Tantos componentes quanto variveis;O primeiro componente tem a maior varinciacomum, componentes sucessivos possuem maisvarincias especficas e varincia do erro; adequado para extrair a maior proporo da

varincia com o menor nmero de fatores. Prof. Lor Viali, Dr. PUCRS/UFRGS Departamento de Estatstica

Mxima Verossimilhana

Produz estimativas dos parmetros que so as mais provveis de terem produzidos as correlaes observadas; A amostra deve ter se originado de uma

populao normal multivariada.


Fatorao pelo eixo principal

Utiliza o quadrado da correlao mltiplacomo estimativa das comunalidades; As comunalidades so colocadas na diagonal

da matriz principal, antes da extrao dos fatores.


Mnimos quadrados no-ponderados

Minimiza o quadrado da diferena entre as matrizes de correlaes obeservadas e reproduzidas;


Mnimos quadrados generalizados

Tambm minimiza o quadrado da diferenaentre as matrizes de correlaes obeservadas e reproduzidas;Pondera o resultado pelos valores dos itens

envolvidos na anlise.


Fatorao alfa

Trata os itens como uma amostra da populaode todos os possveis itens;

Seleciona os fatores com o objetivo de maximizar o coeficiente alfa de confiabilidade.


Fatorao pela imagem

baseada no conceito de uma imagem de um item;

O item seria a varivel (dependente) de umaregresso mltipla onde os demais itens seriamas variveis independentes.


Fatorao pelo mnimo residual

Os fatores so extrados da matriz de

correlao ignorando os elementos da

diagonal.


5. Determinar Nmero de Fatores

Pode-se reter todos os fatores cujos

autovalores excederem um valor especificado

(por exemplo 1) ou reter um nmero especfico de fatores.

Definir o critrio de extrao dos fatores.


1. A priori;

2. Com base nos autovalores;

3. Com base no grfico de declive;

4. Com base na percentagem de varincia;

5. Com base na confiabilidade meio a meio;

6. Com base em testes de Significncia.

Critrios de extrao dos fatores:


1. A Priori

O pesquisador j sabe quantos fatores devem ser extrados antes de comear;Os programas de computador permitem que se

informe o nmero de fatores que se deseja extrair;til quando o pesquisador est testando uma teoria ou hiptese a respeito do nmero de fatores.


2. Com base nos autovalores a tcnica mais comum de extrao de valores.Qualquer fator deve responder pela varincia de

pelo menos uma varivel;Cada varivel tem varincia = 1 (padro)Deve-se reter fatores com autovalor >= 1

(critrio de Kayser);Mais adequado para quantidade de variveis

entre 20 a 50.


Autovalores

Varincia extrada por um fatorEscores padro tem varincia unitria e desta

forma a varincia total igual ao nmero de variveis na matriz de correlao;

Um fator com autovalor maior ou igual a um explica mais a variabilidade do que uma nicavarivel.


3. Com base na declividade

Construir o grfico da declividade

Plotar os autovalores em ordem de magnitude

descrescente.


Au t

ova l

ores

Nmero de Fatores

Grfico da Declividade

Scree = declividade


4. Com base no % da varincia

Adiciona fatores at que um determinado

percentual da varincia total seja obtido.


6. Rotao dos Fatores

o processo de ajustar os eixos dos fatores

de modo a obter uma soluo mais simples e

teoricamente mais significativa;

Eixo dos fatores: quadro de referncia;

Rotao: mudana de perspectiva.


O processamento (software) gera a matriz de

fatores;

A matriz contm os coeficientes que expressam

as variveis em termos de fatores;

Os coeficientes so chamados de cargas dos

fatores. So as correlaes entre variveis e

fatores.


A matriz rotada de fatores ser utilizada para

se poder identificar mais claramente quais

variveis pertencem a quais fatores.


Varimax

Quartimax

Oblqua (Oblimin direta)

MMtodos de rotatodos de rotao de fatores:o de fatores:


Existem dois mtodos de rotao

varimax:

Critrio de Thurstone e

Varimax de Kayser

VarimaxVarimax:: simplifica colunas. Fornece o contrastemximo entre as variveis dentro de cada fator;


Objetiva que cada linha da matriz das cargas

dos fatores deve ter pelo menos um zero e que cada

fator deve ter um conjunto de cargas prximas de

zero. A rotao empregada pelo mtodo era

parcialmente subjetiva e no levava a solues nicas.

Critrio de Thurstone :

10


Rotaes analticas melhoram o critrio de

Thurstone (rotao grfica). Entre eles o de Kayser

mais utilizado dos mtodos de rotao analtica.

Este mtodo utiliza a maximizao interativa das

varincias das colunas das cargas dos fatores.

Varimax de Kayser :


Quartimax: simplifica linhas. Fornece

contraste mximo nas cargas dos fatores

dentro de cada varivel;

Oblqua: roda os eixos de forma que os

vrtices podem ter ngulos diferentes de 90

graus.


7. Interpretar Fatores

Construir um Grfico de Carregamento de

Fatores (Factor Loading);

Utilizar a carga dos fatores como

coordenadas para o grfico;

Preparar o grfico a partir da matriz rotada

de fatores.


Fatores

0,645...0,2000,3440.725Vp

.........0,332...0,2200,6510.134V3

0,390...2900,4260.851V2

0,405...0,2500,0130.932V1

fiiiiiiVariveis

A matriz de inter-correlaes kxk reduzida a matriz kxf de carga dos fatores


Carga dos Fatores

Correlao das variveis originais (itens) com os fatores;Significncia: regra prtica (0,5);Comunalidades identifcam itens pobres;

Quanta varincia de cada varivel explicada por todos os fatores;


A carga de um fator a correlao entre a varivel e o fator que foi extrado dos dados;

Exemplo

0,405...0,2500,0130.932V1

fiiiiiiVariveisFatores

Considerando a tabela anterior observe-se a carga do fator i.

11


A varivel V1 est altamentecorrelacionada com o fator i , praticamentesem correlao com o fator i , com pequenacorrelao com o fator iii e uma mdia correlao com o fator f.

Interpretao


O quanto da varincia da varivel V1 medida ou explicada pelos f fatores que foramextrados?

Comunalidade

Simplesmente tome a soma dos quadrados das cargas dos fatores:

0,9322 + 0,0132 + 0,2502 + + 0,4052 =

Este resultado denominado Comunalidadeda varivel.


InterpretaoOs fatores so identificados em relao s

variveis que se manifestam inspeo dacarga dos fatores;

A rotao simplifica a interpretao da matrizdos fatores;

Estrutura simples: uma carga alta para cadavarivel em apenas um fator;


Cada linha ter apenas uma carga significativa;

Cada coluna ter vrias cargas nosignificativas;

Entre cada par de colunas cargas nosignificativas no se sobrepe;

Correlao entre fatores levanta a questo de fatores de segunda ordem.


Escores dos fatores

A matriz dos coeficientes dos fatores A matriz dos coeficientes dos fatores

mostra os coeficientes pelo qual os itens so mostra os coeficientes pelo qual os itens so

multiplicados para obter os escores dos multiplicados para obter os escores dos

fatores. Existem trs mfatores. Existem trs mtodos de determinatodos de determinao o

destes escores.destes escores.


Escores de regresso: os escores de regresso dos os escores de regresso dos fatores possuem mfatores possuem mdia zero e varincia igual ao dia zero e varincia igual ao quadrado do coeficiente de regresso mquadrado do coeficiente de regresso mltipla entre ltipla entre os escores estimados dos fatores e os valores os escores estimados dos fatores e os valores verdadeiros do fator. Eles podem estar verdadeiros do fator. Eles podem estar correlacionados mesmo quando os fatores so correlacionados mesmo quando os fatores so assumidamente ortogonais. A soma das assumidamente ortogonais. A soma das discrepncias ao quadrado entre os valores discrepncias ao quadrado entre os valores verdadeiro e estimado dos fatores sobre todos os verdadeiro e estimado dos fatores sobre todos os itens itens minimizada.minimizada.

12


Escores de Bartlett: os escores dos fatores de os escores dos fatores de Bartlett apresentam mBartlett apresentam mdia zero. A soma dos dia zero. A soma dos quadrados dos fatores sobre todos os itens quadrados dos fatores sobre todos os itens minimizada.minimizada.Escores de Anderson-Rubin: os escores dos fatores os escores dos fatores de Andersonde Anderson--Rubin so uma modificaRubin so uma modificao dos o dos escores de Bartlett para assegurar a escores de Bartlett para assegurar a orgonalidadeorgonalidadedos fatores estimados. Eles apresentam mdos fatores estimados. Eles apresentam mdia zero dia zero e desvio padro um.e desvio padro um.


8. Atribuir nomes aos Fatores

Avaliar as variveis de maior carga, de cada

fator;

Atribuir um nome descritivo aos fatores;

Detectar a essncia das variveis

individuais;

Abstrair o objeto de pesquisa.

Prof. Lor Viali, Dr. PUCRS/UFRGS Departamento de Estatstica Prof. Lor Viali, Dr. PUCRS/UFRGS Departamento de Estatstica

Utilizar o arquivo seven.var e

realizar uma anlise de fatores utilizando

o SPSS.


DARLINGTON, R. B., WEINBERG, S., WALBERG, H. Canonical variate analysis and related techniques. Review of Educational Research, p. 453-454, 1973.

HAIR, J. F. Jr. et al. Multivariate Data Analysis, 5 ed., Prentice Hall, Upper Saddler River, NJ. 1998.

KACHIGAN, S. K.. Statistical Analysis. Radius Press, New York, NY. 1986.


KERLINGER, F. N., Metodologia da Pesquisa em Cincias Sociais: um tratamento conceitual. So Paulo: Edusp, 1979.

KIM, J. O.; MUELLER, C. W. Factor Analysis: What it is and how to do it. Sage Publications,1978.

KIM, J. O.; MUELLER, C. W. Introduction to Factor Analysis. Sage Publications, 1978.

MALHOTRA, Naresh, K.: Pesquisa de Marketing: Uma orientao aplicada. Porto Alegre: Bookman, 2001 (3. ed.), 720 p.

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