INSPER - IBMEC SO PAULOFaculdade de Economia e Administrao

Projeto de Iniciao Cientfica Daniela Bertolla Rocha

Anlise de Freqncias no Mercado Financeiro

So Paulo 20101

INSPER - IBMEC SO PAULOFaculdade de Economia e Administrao

Projeto de Iniciao Cientfica Daniela Bertolla Rocha

Anlise de Freqncias no Mercado Financeiro

Orientador: Prof. Dr. Marco Antnio Leonel Caetano Insper Ibmec SP

So Paulo 20102

SumrioCaptulo 1 - Introduo.................................................................................................... 4 Captulo 2 Tcnicas de Anlise de Fourier .................................................................. 7 Captulo 3 Estudo das Freqncias ............................................................................ 12 Captulo 4 Programao e Automao de Planilhas para FFT ................................. 27 Captulo 5 Perodos ................................................................................................... 41 Captulo 6 Modelos com adio de Sazonalidades .................................................... 49 Captulo 7 Anlise e Projees de algumas Empresas ............................................... 54 Captulo 8 Anlise de Wavelet ................................................................................... 62 Captulo 9 Tcnicas para o uso da Wavelet ................................................................ 66 Captulo 10 Usando o Toolbox Wavelet no Matlab .................................................. 73 Captulo 11 IMA ndice de Mudanas Abruptas .................................................... 77 Captulo 12 Concluso ............................................................................................... 83 Bibliografia .................................................................................................................... 85

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Captulo 1 Introduo

1.1 ObjetivosO objetivo bsico da anlise de Fourier encontrar periodicidades em uma srie de dados em situes na qual as frequncias so conhecidas e deseja-se estimar amplitude e fases. Esse trabalho abordar a tcnica de Fourier para um entendimento sob o aspecto das freqncias e harmnicos sobre eventos relacionados ao mercado financeiro, sobretudo bolsa de valores. O objetivo do trabalho : (a) Estudo e compreenso da teoria de Fourier. (b) Utilizao da teoria de Fourier em dados financeiros coletados. (c) Possvel identificao de padro de freqncias para eventos de mudana de tendncias.

1.2 Transformadas de Fourier

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Transformada de Fourier uma transformada integral que expressa uma funo em termos de funes de base sinusoidal, como soma ou integral de funes sinusoidais multiplicadas por coeficientes. A equao bsica de ajuste de uma srie de Fourier : x(t ) = a + b cos(t ) + c sen(t ) + ...

(1.1)

As transformadas contnuas e discretas de Fourier tm muitas aplicaes em disciplinas cientficas em Fsica, Fsica e Qumica Quntica, Teoria dos nmeros, Anlise combinatria, Processamento de sinal, Processamento de imagem, Teoria das probabilidades, Estatstica, Criptografia, Acstica, Oceanografia,Ssmica,ptica, Geometria e outras reas. Nos campos relacionados com o processamento de sinal, a transformada de Fourier tipicamente utilizada para decompor um sinal nas suas componentes em frequncia e suas amplitudes. (Wikipdia, 2008) A verso discreta da transformada de Fourier pode ser calculada rapidamente por computadores, utilizando algoritmos baseados na transformada rpida de Fourier e para isso preciso ter valores x k discretos. Um mtodo utilizado para o calculo dessa funo o algoritmo FFT (Fast Fourier Transform), que uma ferramenta do Microsoft Excel. Para iniciar esse calculo no Excel, temos uma srie de dados distribuda no tempo e desejamos conhecer as freqncias desse harmnico, para tanto necessria a aquisio de N pontos de x(t), com o tempo de amostragem t.

1.3 Jean-Baptiste Joseph Fourier

Jean-Baptiste Joseph Fourier foi um matemtico e fsico francs, celebrado por iniciar a investigao sobre a decomposio de funes peridicas em sries trigonomtricas convergentes chamadas sries de Fourier e a sua aplicao aos 5

problemas da conduo do calor. A Transformada de Fourier foi designada em sua homenagem. (Wikipdia, 2008)

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Captulo 2 Tcnicas de Anlise de Fourier

2.1 Passos da AnliseA anlise das empresas feita a partir de sinais de freqncia em ciclos, freqncia angular e por perodo. Escolhem se empresas do Ibovespa para a utilizao dessa ferramenta. Para descobrir a freqncia em ciclos utilizamos a seguinte frmula:f1 = f 0 + f 2 = f1 + ... 1 N .t 1 N .t

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obs: f 0 = 0 Como os tempos so: 1, 2, 3, ..., ou seja, um intervalo de 1 dia. Ento nesse casot = 1 . Cada freqncia calculada colocada na coluna H, e ser o eixo x do grfico de freqncia em ciclos. Para encontrar a freqncia angular usamos: = 2f , sendo f a freqncia em

ciclos calculada anteriormente. O resultado colocado na coluna I, e ser o eixo x do grfico de freqncia angular. Para descobrir o perodo com maior magnitude de FFT que o perodo dominante do evento utilizamos o grfico de perodos. O perodo obtido por: T = 1/ f f estando na coluna H j calculada. O resultado colocado na coluna J e ser o eixo x do grfico de perodos. Como incio de aplicao, utiliza-se de planilhas Excel, com o intuito de realizar uma anlise de freqncias para aes da Bovespa. Inicialmente feita a aquisio de n pontos da srie de dados da ao que desejamos analisar. A srie de dados colocada em coluna do Excel aps as datas e o tempo de amostragem que so colocados nas colunas A e B respectivamente.

Figura 1 Tabela (Fechamentos VIVO3)

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Aps colocados os dados no Excel, deseja-se encontrar uma funo f tal que f ( xi ) y i . Para isso, utiliza-se o mtodo dos mnimos quadrados, que uma tcnica de ajuste de coeficientes para um dado modelo no qual se procura estimar o melhor ajuste para um conjunto de dados. Tenta-se minimizar a soma dos quadrados das diferenas entre a curva ajustada e os dados adquiridos. A frmula utilizada para estimar uma reta ( y ) pelo mtodo dos Mnimos Quadrados :

y = ax+b

onde,

a=

n xi y i x i y i n xi2 ( xi )2

(2.1)

y x x x y b= n x ( x ) i 2 i i i 2 i 2 i

i

(2.2)

sendo x a coluna B e y a coluna C da planilha da Figura 1. Para calcular as sazonalidades, subtraram-se os valores estimados dos valores reais. Os resultados dessa subtrao encontram-se na coluna E da planilha da Figura 1. Para fazer a FFT da coluna E utiliza-se a ferramenta do Excel, Anlise de Dados- Anlise de Fourier conforme Figura 2.

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Figura 2 Anlise de Fourier No intervalo de entrada colocada a coluna E, onde se encontram as sazonalidades e no intervalo de sada colocada a coluna F, onde sero colocados os resultados na anlise. possvel observar que os coeficientes da transformada de Fourier aparecem com nmeros complexos na forma y = a + bi . Para se descobrir a magnitude dos coeficientes deve-se tomar o mdulo do nmero complexo obtido por y = a 2 + b 2 Para obter o mdulo usa-se a funo IMABS( ) do Excel. Essa funo est em inserir- funo- engenharia:

Figura 3 IMABS 10

O resultado do IMABS colocado na coluna G, mostrando a magnitude dos coeficientes.

2.2 Anlise de FourierA anlise dos grficos feita atravs dos picos observados, pois indicam dominncias de repeties dos eventos. Um pico em 2, por exemplo no grfico de Frequncia em Ciclos indica que um fenmeno se repete com essa freqncia, ou seja, 2 ciclos por dia. No grfico de Freqncia angular, o pico medido em radianos, portanto, um pico em 2 no grfico de Freqncia Em Ciclos equivalente a um pico em 12,56 (2. .2) no grfico de Freqncia Angular. Por fim, os picos do grfico de Perodo so utilizados para encontrar de quanto em quanto tempo um ciclo repetido, ou seja, uma freqncia de 2 ciclos/dia significa que esse fenmeno se repete a cada 0,5 dia.

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Captulo 3 Estudo das Freqncias

A anlise citada no captulo anterior foi realizada com aes das empresas Avon Products, Vivo, Colgate- Palmolive e Marisa. Inicialmente os fechamentos de cada uma das empresas foram retirados do site Economtica. Em seguida foi feita a estimao da reta pelo mtodo dos mnimos quadrados para o clculo das Sazonalidades e ento a anlise de Fourier foi realizada. Finalmente foram feitos os grficos de Freqncia em ciclos, Freqncia angular e Perodo. Foi realizada uma visualizao ampliada dos perodos mais freqentes em todo o histrico dos dados obtidos das aes negociadas na Bovespa. Os resultados encontram-se a seguir:

3.1 Caso 1 Fechamentos da Avon Products, de 1/4/1999 11/08/2006

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Fechamentos + Mnimos Quadrados45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 500 1000 1500 2000 2500

Figura 4 Fechamentos e Mnimos Quadrados Na Figura 4 encontram-se os fechamentos da empresa Avon Products de 1/4/1999 11/08/2006, na mesma figura esto tambm as estimativas encontradas pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados explicado no Captulo 2 e representado pelas frmulas (2.1) e (2.2).

Sazonalidades15 10 5 0 -5 -10 -15 0 500 1000 1500 2000 2500

Figura 5 Sazonalidades A Figura 5 uma representao das Sazonalidades, que so encontradas a partir da subtrao entre os Fechamentos e as estimativas encontradas pelo Mtodo do Mnimos Quadrados.

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Frequncia em Ciclos4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 -500 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Figura 6 - Freqncia em ciclos A Figura 6 uma representao das Freqncias em Ciclos para o perodo todo.

Frequncia em Ciclos4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16

Figura 7 - Freqncia em ciclos da rea circulada Para uma melhor visualizao optou-se por uma ampliao da rea circulada na Figura 7, onde se observa um pico de maior freqncia em aproximadamente 0,01. Essa freqncia encontrada indica que os valores dessa ao se repetem a cada 0,01 perodo de tempo. Caso um investidor desejasse a aquisio de tal ao, o mesmo preo seria realizado em 0,01 dias a frente.

14

Frequncia Angular4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 -500 0 5 10 15 20 25 30

Figura 8 - Freqncia angular A Figura 8 uma representao das Freqncias Angulares para o perodo todo.

Frequncia Angular4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Figura 9 - Freqncia Angular da rea circulada Para uma melhor visualizao optou-se por uma ampliao da rea circulada na Figura 9, onde se observa um pico de maior freqncia em aproximadamente 0,05.

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Perodo4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 -500 0 100 200 300 400 500 600

Figura 10 - Perodo

3.2 Caso 2 Fechamentos da Vivo, de 2/1/2001 3/12/2004

Fechamentos + Mnimos Quadrados120 100 80 60 40 20 0 -20 0 500 1000 1500 2000 2500

Figura 11 Fechamentos e Mnimos Quadrados Na Figura 11 encontram-se os fechamentos da empresa Vivo de 2/1/2001 3/12/2004. Tambm na Figura 11 esto as estimativas encontradas pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados.

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Sazonalidades 30 20 10 0 -10 0 -20 -30 -40 -50 -60 -70

500

1000

1500

2000

2500

Figura 12 Sazonalidades A Figura 12 uma representao das Sazonalidades, que so encontradas a partir da subtrao entre os Fechamentos e as estimativas encontradas pelo Mtodo do Mnimos Quadrados.

Frequncia em ciclos14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 -2000 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Figura 13 - Freqncia em ciclos A Figura 13 uma representao das Freqncias em Ciclos para o perodo todo.

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Frequncia em Ciclos14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

Figura 14 - Freqncia em ciclos da rea circulada Para uma melhor visualizao optou-se por uma ampliao da rea circulada na Figura 14, onde se observa um pico de maior freqncia em aproximadamente 0,005. Caso um investidor desejasse a aquisio de tal ao, o mesmo preo seria realizado em 0,005 dias a frente.

Frequncia Angular14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 -2000 0 5 10 15 20 25 30

Figura 15 - Freqncia angular A Figura 15 uma representao das Freqncias Angulares para o perodo todo.

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Frequncia Angular14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Figura 16 - Freqncia Angular da rea circulada Para uma melhor visualizao optou-se por uma ampliao da rea circulada na Figura 14, onde se observa um pico de maior freqncia em aproximadamente 0,005.Perodo14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 -2000 0 100 200 300 400 500 600

Figura 17 - Perodo

3.3 Caso 3 Fechamentos da Colgate- Palmolive, de 31/12/1999 11/06/2007

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Fechamentos + Mnimos Quadrados80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 500 1000 1500 2000 2500

Figura 18 Fechamentos e Mnimos Quadrados Na Figura 18 encontram-se os fechamentos da empresa Colgate-Palmolive de

31/12/1999 11/06/2007. Tambm na Figura 18, esto as estimativas encontradaspelo Mtodo dos Mnimos Quadrados.

Sazonalidades20 15 10 5 0 -5 0 -10 -15 -20 500 1000 1500 2000 2500

Figura 19 - Sazonalidades A Figura 19 uma representao das Sazonalidades, que so encontradas a partir da subtrao entre os Fechamentos e as estimativas encontradas pelo Mtodo do Mnimos Quadrados.

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Frequncia em Ciclos6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 -1000 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Figura 20 - Freqncia em ciclos A Figura 20 uma representao das Freqncias em Ciclos para o perodo todo.

Frequncia Em Ciclos6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Figura 21 Freqncia em Ciclos da rea circulada Para uma melhor visualizao optou-se por uma ampliao da rea circulada na Figura 21, onde se observa um pico de maior freqncia em aproximadamente 0,001. Caso um investidor desejasse a aquisio de tal ao, o mesmo preo seria realizado em 0,001 dias a frente.

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Frequncia Angular6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 -1000 0 5 10 15 20 25 30

Figura 22 - Freqncia angular A Figura 20 uma representao das Freqncias Angulares para o perodo todo.

Frequncia Angular6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Figura 23 - Freqncia Angular da rea circulada Para uma melhor visualizao optou-se por uma ampliao da rea circulada na Figura 23, onde se observa um pico de maior freqncia em aproximadamente 0,001.

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Perodo6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 -1000 0 100 200 300 400 500 600

Figura 24 - Perodo

3.4 Caso 4 Fechamentos da Marisa, de 2/1/2001 3/12/2004

Fechamentos + Mnimos Quadrados20 15 10 5 0 0 200 400 600 800 1000 1200

Figura 25 Fechamentos e Mnimos Quadrados Na Figura 25 encontram-se os fechamentos da empresa Marisa de 2/1/2001 3/12/2004. Tambm na Figura 25, esto as estimativas encontradas pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados.

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Sazonalidades8 6 4 2 0 -2 0 -4 -6 -8 200 400 600 800 1000 1200

Figura 26 Sazonalidades A Figura 26 uma representao das Sazonalidades, que so encontradas a partir da subtrao entre os Fechamentos e as estimativas encontradas pelo Mtodo do Mnimos Quadrados.

Frequncia em Ciclos1400 1200 1000 800 600 400 200 0 -200 0 0,5 1 1,5 2 2,5

Figura 27 - Freqncia em ciclos A Figura 27 uma representao das Freqncias em Ciclos para o perodo todo.

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Freqncia em Ciclos1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Figura 28 - Freqncia Em Ciclos da rea circulada Para uma melhor visualizao optou-se por uma ampliao da rea circulada na Figura 28, onde se observa um pico de maior freqncia em aproximadamente 0,005. Caso um investidor desejasse a aquisio de tal ao, o mesmo preo seria realizado em 0,005 dias a frente.

Frequncia Angular1400 1200 1000 800 600 400 200 0 -200 0 2 4 6 8 10 12 14

Figura 29 - Freqncia angular A Figura 29 uma representao das Freqncias em Angulares para o perodo todo.

25

Freqncia Angular1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Figura 30 - Freqncia Angular da rea circulada Para uma melhor visualizao optou-se por uma ampliao da rea circulada na Figura 30, onde se observa um pico de maior freqncia em aproximadamente 0,005.

Perodo1400 1200 1000 800 600 400 200 0 -200 0 100 200 300 400 500 600

Figura 31 - Perodo

26

Captulo

4

Programao

e

Automao de Planilhas para FFT

Para fazer a anlise de Fourier para qualquer srie de dados, foi feito um UserForm com todos os passos da construo dos grficos, assim possvel analis-los automaticamente. Um UserForm uma forma de interao entre o usurio e o computador.

27

Figura 32 User Form

4.1 Programao Boto tirar traosInicialmente, foi feito o boto tirar traos para que os dados da coluna dos fechamentos fossem arrumados atravs de um VBA.

Figura 33 Boto Tirar traos Em feriados os fechamentos no so contabilizados, assim esses dias so representados por um trao como mostrado a seguir:31,45034 31,58018 31,75995

Para eliminar esses traos atravs de um VBA, foi feita a programao mostrada a seguir: 28

Sub tirartraos()

Dim i As Integer Dim n As Integer

i=2

n = Cells(65536, 1).End(xlUp).Row - 1

Do While i = Cells(i + 1, 3) And Cells(i + 1, 3) >= Cells(i + 2, 3) And Cells(i, 3) 0 And Cells(i + 1, 3) 0 And Cells(i + 2, 3) 0 And Cells(i, 3) > 0.9 Then Cells(i, 5) = 1 Cells(i + 1, 5) = 1 End If Next i

79

For i = 1 To n If Cells(i, 5) = 0 And Cells(i + 1, 5) = 1 Then For j = i To n If Cells(j, 5) = 1 And Cells(j + 1, 5) = 0 Then Cells(j, 11) = Cells(i + 1, 3) Cells(j, 12) = Cells(i + 1, 2) Cells(j, 13) = Cells(j + 1, 3) Cells(j, 14) = Cells(j + 1, 2) i=j j=n End If Next j End If Next i j=1 For i = 1 To n If Cells(i, 3) > 0 And Cells(i + 1, 3) = 0 Then Cells(i + 1, 6) = 1 End If Next i i=1 Do While i