Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

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    nlise

    E ITOR FILI

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    I

    t

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    Direitos exclusivos para a lngua portuguesa

    Copyright 1996 by Djairo Guedes de Figueiredo

    LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora S A

    Travessa do Ouvi dor, 11

    Rio de Janeiro, RJ CEP 20040-040

    Reservados todos os direitos.

    proibida a duplicao ou

    reproduo deste volume, no todo ou em parte,

    sob quaisquer formas ou por quaisquer meios

    eletrnico, mecnico, gravao, fotocpia, ou outros ,

    sem permisso expressa da Editora.

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    SO RE O UTOR

    Djairo Guedes de Figueiredo, natural de Limoeiro do Norte, Cear, formou-se em En

    genharia Civil pela ento Universidade do Brasil no Rio de Janeiro, em 1956. Fez seus es

    tudos de ps-graduao no Courant Institute da Universidade de Nova Iorque, onde obteve

    os graus de Master of Science 1958) e Doctor ofPhilosophy 1961). Foi professor visitante

    nas Universidades de Wisconsin, Chicago, Maryland e Miami, e professor titular das Uni

    versidades de Illinois, Braslia e do IMPA. Atualmente professor titular da UNICAMP.

    Em 1965 e 1984 foi agraciado com bolsa da Fundao Guggenheim. membro titular da

    Academia Brasileira de Cincias, e pesquisador IA do CNPq desde 1985. Em 1992 foi pre

    miado com a Bolsa de Reconhecimento Acadmico Zeferino Vaz , pelo Conselho Uni

    versitrio da UNICAMP. Em 1995 o presidente da Repblica lhe outorgou a Gr-cruz da

    Ordem do Mrito Cientfico.

    Seu campo de pesquisa a Teoria das Equaes Diferenciais Parciais, tendo escrito

    vrias monografias e artigos de pesquisa publicados em revistas especializadas no Brasil e

    no exterior.

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    PREF IO D SEGUND EDIO

    Este um livro de Anlise Matemtica, uma das reas mais bsicas da Matemtica.

    Analistas, gemetras ou matemticos aplicados necessitam desse embasamento para pros-

    seguir seus estudos nas reas respectivas. Esse um curso que segue o curso de Clculo das

    nossas universidades. Contm parte substancial daquele curso apresentado de modo cuida-

    doso dentro do rigor imprescindvel para os cursos de Matemtica. Assim, introduzimos o

    Clculo Diferencial e Integral de funes reais de uma varivel real, aps a apresentao

    axiomtica dos nmeros reais. Isso nos permite oferecer uma teoria dedutiva rigorosa, mas

    agradvel e bonita

    Tivemos a preocupao de fazer um texto que apresente uma continuao natural dos

    cursos de Clculo. claro que os conhecimentos adquiridos naquele curso so de grande

    valia, principalmente para fazer os muitos exerccios do texto. Trabalhar nesses exerccios

    uma parte essencial no processo de aprendizagem dessa matria. As sugestes ao final do

    texto s devem ser usadas aps muitas tentativas de resolver esses exerccios. So precisa-

    mente essas tentativas possivelmente muitas vezes frustradas) que constituem o mtodo de

    estudo e criao em Matemtica.

    O texto atual a segunda edio do livro publicado em 1975. Diversas alteraes fo-

    ram introduzidas neste texto. Vrios erros de imprensa presentes na primeira edio foram

    corrigidos e algumas demonstraes foram modificadas. Nossa deciso de publicar uma

    segunda edio desta obra veio aps ouvirmos insistentes solicitaes de colegas que vm

    utilizando cpias, cada vez mais raras da primeira edio, em seus cursos introdutrios de

    Anlise. Entretanto, ao Professor Joo Carlos Nascimento Pdua expressamos nossa maior

    gratido, por ter ele se prontificado a ler todo o texto anterior, fazer correes e sugestes.

    Com tal colaborao, no poderamos nos recusar a oferecer uma segunda edio de

    nlise I

    Campinas, maio de 1996

    Djairo Guedes de Figueiredo

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    PREFCIO DA PRIMEIRA EDIO

    A presente monografia destina-se aos alunos de graduao das nossas universidades.

    Pressupe-se que o leitor esteja familiarizado com a tcnica do Clculo Diferencial e In

    tegral de funes reais de uma varivel real. Isso porque no temos aqui um nmero sufici

    entemente grande de exerccios, que permita ao estudante desenvolver uma certa percia em

    resolver problemas do tipo computacional. Cremos que um estudante de Matemtica deva

    ter um curso semestral de Clculo antes de estudar o assunto desta monografia, que nada

    mais do que um texto do curso de Anlise I das universidades. O curso de Clculo, sendo

    mais superficial, mais consonante com o nvel do aluno que entra na universidade. Por

    outro lado, fornece rapidamente uma idia do que o Clculo, do tipo de problemas que

    resolve e das suas aplicaes a outros ramos do conhecimento. Assim, o leitor que comear

    a ler este trabalho j ter uma boa motivao e uma viso global da matria em estudo. Assim,

    ele apreciar melhor certos pontos que poderiam parecer filigranas s pessoas que os vis

    sem pela primeira vez.

    O texto escrito com o rigor que a Anlise ganhou no decorrer do sculo passado. A

    fundamentao lgica dos nmeros reais logo apresentada no primeiro captulo, o que o

    torna relativamente longo. Atravs dos exemplos e de vrias observaes, procuramos esti

    mular no estudante o esprito crtico e nele despertar curiosidade por outros cursos de Ma

    temtica. Lembramos, porm, ao leitor as palavras de Gibran Khalil Gibran: Nenhum ho

    mem poder revelar-vos nada seno o que j est meio adormecido na aurora do vosso co

    nhecimento.

    O presente trabalho passou por um processo evolutivo que comeou com a monogra

    fia do autor publicada pela OEA,

    Funes Reais

    em 1970. Em sua segunda fase, o texto foi

    expandido e constituiu um dos cursos oferecidos no 9. o Colquio Brasileiro de Matemtica,

    em 1973. Finalmente com a adio de mais exerccios, reformulao de vrias sees e in

    cluso de mais dois captulos, chegou-se forma presente, que ora includa na Coleo

    Elementos de Matemtica do IMP

    Nesse processo, vrias pessoas contriburam de diferentes modos. Agradecemos, em

    especial, ao Prof. Elon Lages Lima, a Mrcia Maria de Pinho, aos meus alunos no 9. Col

    quio e a minha esposa.

    Braslia outubro de 1973

    Djairo Guedes de Figueiredo

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    SUMARIO

    1 NMEROSREAIS 1

    1.1. Conjuntos e funes 1

    1.2. Nmeros racionais 3

    1.3. INF e SUP 5

    1.4. Nmeros reais 9

    1.5. Desigualdades 12

    1.6. Sucesses numricas 17

    1.7. Propriedades de limite 19

    1.8. Exemplos de sucesses 23

    1.9. Sucesses montonas 27

    1.10. O Teorema de Bolzano Weierstrass 28

    1.11. O critrio de Cauchy 31

    1.12. Sries numricas 33

    1.13. Representao decimal 41

    1.14. Conjuntos enumerveis 45

    2 FUNESREAIS 48

    2.1. Funes reais 48

    2.2. Limites laterais de uma funo 52

    2.3. Operaes com limites das funes 57

    2.4. Funes contnuas 60

    2.5. Operaes com funes contnuas 62

    2.6. Funes contnuas em intervalos fechados 65

    2.7. Funes montonas 67

    2.8. Funo inversa 69

    2.9. Funes injetivas da reta 70

    2.10. Funes lineares 72

    3 FUNESDERNVEIS 75

    3.1. A derivada 75

    3.2. Operaes com funes derivveis 78

    3.3. Derivadas de algumas funes 79

    3.4. Derivada da funo inversa 80

    3.5. Derivao de funes compostas 81

    3.6. O Teorema do Valor Mdio 84

    3.7. A frmula de Taylor 89

    3.8. Os pontos crticos de uma funo 91

    3.9. Sries de potncias 97

    3.10. A srie de Taylor de uma funo 101

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    xiv

    4 FUNES TRIGONOMTRICAS 104

    4.1. As funes seno e co-seno 105

    4.2. Outras funes trigonomtricas 111

    4.3. Funes inversas 112

    4.4. A Trigonometria 114

    5 A INTEGRAL 116

    5.1. Noo de rea 116

    5.2. Integral superior e integral inferior 120

    5.3. A integral 123

    5.4. Demonstrao do Teorema 504 125

    5.5. Operaes com funes integrveis 127

    5.6. Valor absoluto de uma funo integrvel 131

    5.7. A integral como limite 134

    5.8. A restrio de uma funo integrvel 136

    5.9. Uma condio necessria e suficiente de integrabilidade 139

    Apndice: O teorema de Heine-Borel 144

    6

    FUNES LOGARTMICA E EXPONENCIAL 147

    6.1. Logaritmo 147

    6.2. Funo exponencial 152

    6.3. Potncias irracionais 156

    6.4. A funo aX 157

    6.5. A funo xb 157

    6.6. O nmero e como limite 158

    6.7. A constante de Euler-Mascheroni 160

    6.8. A frmula de Stirling 160

    Apndice: Algumas indeterminaes - Regra de L Hspital 164

    7 RELAES ENTRE DERIVAO E INTEGRAO 171

    7.1. Existncia de primitivas 171

    7.2. Teorema Fundamental do Clculo 175

    7.3. Operadores de derivao e de integrao 178

    7

    A

    Mudana de varivel nas integrais 179

    7.5. Integrao por partes 180

    7.6. Teoremas do valor mdio para integrais 182

    8 INTEGRAIS IMPRPRIAS 186

    8.1. Integrais de funes no-limitadas em um intervalo 186

    8.2. Integrais de funes definidas em intervalos infinitos 192

    9 SUCESSES E SRIES DE FUNES 197

    9.1. Sucesses de funes 197

    SU R O

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    SU R O

    9.2.

    9.3.

    9.4.

    9

    9.6.

    9.7.

    9.8.

    9.9.

    9.10.

    9.11.

    Sries de funes 201

    Convergncia uniforme das sries de potncias e o Teorema de Abel 204

    Testes de Abel e de Dirich1et 207

    Apndice sobre sries numricas condicionalmente convergentes 211

    Convergncia uniforme e integrao 216

    Convergncia uniforme e derivao 220

    Funes contnuas sem derivada em nenhum ponto 223

    O Teorema de Arzel Ascoli 225

    O Teorema da Aproximao de Weierstrass 229

    Condensao de singularidades 232

    Teoremas tauberianos 233

    xv

    APNDICE 236

    REFERNCIAS 253

    NDICE ALFABTICO 255

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    Captulo

    Nmeros Reais

    Conjuntos e Funes

    Os conceitos de conjunto e funo pertencem aos fundamentos da Matemtica

    moderna. Portanto, ao iniciar o nosso trabalho, sentimos a necessidade de fazer

    algumas consideraes sobre tais conceitos, a fim de evitar seu uso inadequado

    posteriormente.

    A formalizao da Teoria dos Conjuntos em um contexto logicamente rigo

    roso obra de grandes matemticos deste e do sculo passado. As contribuies

    de Cantor, Hilbert e G6del so decisivas e profundas.

    No presente trabalho, no utilizamos nenhum dos aspectos delicados da Teoria

    dos Conjuntos. Na verdade, necessitamos apenas definir alguns termos. A pa

    lavra conjunto usada para designar uma coleo qualquer de objetos. Por exem

    plo, o conjunto das carteiras, em uma sala de aula, o conjunto das crianas me

    nores de dez anos, o conjunto dos nmeros pares. Lidaremos, em geral, com

    conjuntos numricos

    isto , conjuntos constitudos por nmeros. Como, por exem

    plo, o conjunto N dos nmeros naturais, o conjunto IR dos nmeros reais, o con

    junto IR

    dos nmeros reais positivos etc. Chamamos a ateno do leitor para

    o fato de que consideramos a noo de conjunto como primitiva e que, portanto,

    no passvel de definio.

    Os objetos que constituem um dado conjunto so chamados os elementos do

    conjunto. Usamos a notao x E

    A

    para dizer que um elemento x est em um

    conjunto

    A

    e l-se x pertence a

    A

    Uma propriedade

    P

    caracteriza um conjunto

    A se todo elemento de A satisfaz propriedde P e se, reciprocamente, todo elemen

    to que satisfaz propriedade P pertence ao conjunto. Via de regra, um conjunto

    dado atravs de propriedades que o caracterizam.

    P. ex., IR+ o conjunto dos elementos x de IR tais que x >

    O,

    ou, em smbolos,

    IR+

    {x

    E IR:

    x

    >

    O}.

    Cada parte

    B

    de um conjunto

    A

    chamada um

    subconjunto

    de

    A.

    Mais

    pr cisamente, B um subconjunto de A em smbolos, B C A ou A B se todo

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    2

    NMEROS RE IS C Po

    x E

    B tal que

    x E

    A.

    A

    expresso B C A l-se B contido em A e A

    B l-se

    A

    contm

    B.

    Usamos as seguintes notaes: A U B para designar o conjunto dos elementos

    que esto em A ou em B; A li B para designar o conjunto dos elementos que esto

    simultaneamente em A e em B; A ~ B para designar o conjunto dos elementos que

    esto em A mas no em B.

    Uma funo f de um conjunto A em um conjunto B uma regra que a cada

    elemento

    x

    E

    A

    associa um elemento

    f x)

    em

    B. f x)

    chamado o

    ralor

    de

    f

    no

    elemento x. O conjunto A chamado o domnio conhecido tambm por campo

    de definio) da funo f, e o conjunto B chamado o contradomnio. Usamos

    a seguinte notao que explicita o domnio e o contradomfnio da funo:

    f: A

    >

    B. No demais repetir que, dada uma funo f: A

    >

    B, o valor da

    funo em um elemento x E

    A

    univocamente determinado.

    Exemplos de funes

    i) A

    =

    B

    =

    IR e

    f x)

    =

    x2, isto , a funo que a cada real

    x

    associa o seu

    quadrado x2

    ii)

    A

    =

    B

    = IR+ e

    f x)

    = V~, isto , a funo que a cada real positivo

    x associa sua raiz quadrada positiva.

    iii) A

    =

    IR+, B

    =

    IR e

    f x)

    = -

    V~, isto , a funo que a cada real positivo

    x associa sua raiz quadrada negativa.

    iv)

    A

    =

    B

    =

    IR

    e

    f x)

    =

    para

    para

    para

    X O

    x O

    x

    B o conjunto dos elementos

    y

    de B tais que existe

    pelo menos) um x

    E

    A tal que f x)

    = y

    chamado a imagem de A pela funo

    1,

    e designado por f A).

    A imagem do domnio pela

    f

    no necessariamente o contradomnio todo

    cf. Exs. i), iii), iv), v), vi) acima). No Ex. ii), a imagem do domnio coincide

    com o contra domnio. Uma funo f: A

    >

    B tal que f A)

    =

    B chamada d,e

    sobrejeo

    ou

    funo sobrejetiva.

    Elementos distintos do domnio de uma funo f podem ter o mesmo valor

    no contradomnio. Em outras palavras, podemos ter a seguinte situao:

    Xl

    ~

    X2

    e

    f Xl)

    =

    f X2)

    No Ex. i), a funo

    f x)

    =

    x2 tem o mesmo valor nos pontos

    1 e-L No Ex. vi) todos os racionais vo no mesmo ponto pela funo de Dirichlet.

    Uma funo

    f

    A

    ~

    B que leve elementos distintos de A em elementos diStintos

    de B chamac1a de injeo ou funo injetiva. Em outras palavras, f A ~ B

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    2 NMEROS RACIONAIS

    3

    uma injeo se, para todo par de pontos

    XI

    e

    X2

    em A tais que

    XI

    :F

    X2

    tem-

    se j xl =1= j x2 . As funes (ii), (iii), (v) acima so injetivas.

    Uma funo que seja, ao mesmo tempo, uma injeo e uma sobrejeo chama

    da de

    bijeo

    ou

    funo bijetiva.

    A funo (ii) acima bijetiva.

    Sejam f:

    A

    --?

    B

    e C

    C A

    dados. A funo

    j:

    C --?

    B

    definida por j x =

    f x ,

    para todo

    x

    E

    C, chamada a

    restrio de f

    ao subconjunto C. Essa funo

    f ge:almente, designada por fie. Por exemplo, a funo j: IR --? IR definida

    como f x = x a restrio da funo (iv) ao conjunto

    IR .

    O leitor interessado encontrar um tratamento detalhado das idias aqui apre

    sentadas nas referncias [7], [9] ou [19]. O artigo de Paul Cohen e Reuben Hersh

    na referncia [12] faz um tratamento completo da axiomtica da Teoria dos Conjuntos.

    2 Nmeros Racionais

    Usamos as seguintes notaes:

    N conjunto dos nmeros naturais 1,2,3,

    7l conjunto dos nmeros inteiros ... , - 2, - 1, O, 1, 2, ...

    10 - conjunto dos nmeros racionais, isto , dos nmeros da forma

    p/q,

    onde p e q so inteiros e q O.

    No est no nosso programa fazer um estudo sistemtico dos trs conjuntos numri

    cos acima. Entretanto, deveremos utilizar as propriedades desses conjuntos. Assim, fare

    mos apenas alguns comentrios rpidos. Um estudo detalhado dos inteiros pode ser visto

    nas referncias [9] e [15]. O leitor que no esteja familiarizado com os Princpios da Boa

    Ordenao e da Induo pode recorrer a essas referncias.

    Como o leitor deve observar, os nmeros racionais nada mais so que as fra

    es da Aritmtica do curso de primeiro grau. Quando lhe ensinaram a operar com

    fraes, a rigor, o que se estava fazendo era definir as operaes de adio e mul

    tiplicao. As propriedades (1) a (6) dessas operaes enunciadas a seguir, apesar

    de usadas freqentemente, no receberam maior ateno. Isto parece explicvel,

    porque os nmeros inteiros gozam de quase todas essas propriedades. E, na ver

    dade, se construirmos os racionais a partir dos inteiros, tais propriedades podem

    ser deduzidas facilmente de propriedades anlogas para

    7l.

    Tambm foram ensi

    nadas relaes do tipo 8/6 = 4/3 e 3/1 = 3. No fundo, essas duas relaes so

    escritas por definio e, portanto, no se demonstram. A primeira define a relao

    de igualdade entre as fraes, isto , p/q = ris se ps = qr. A segunda igualdade

    faz uma identificao do conjunto 7l com um subconjunto de

    10,

    isto , com o

    subconjunto

    {p/q

    ElO:

    q

    = I}.

    Portanto, com um certo abuso de linguagem, dizemos que 7l um subconjunto

    de

    10.

    Um corpo F um conjunto de elementos x,y,z, ... , onde se acham definidas

    as operaes de adio (i.e., a cada par de elementos

    x

    e

    y

    em

    F

    corresponde um

    elemento de F que se designa por x y e de multiplicao (i.e., a cada par de

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    4

    NMEROS RE IS C Po

    elementos x e y em F corresponde um elemento de F que se designa por xy satis

    fazendo s propriedades que seguem.

    1

    Leis comutativas:

    x

    +

    y

    =

    y

    +

    x, xy

    =

    YX.

    2 Leis assocativas: x

    +

    y

    +

    z = X

    +

    y

    +

    z , xy z = x yz .

    3 Existncia de um zero: existe um elemento O E F tal que x + O = x

    para todo x E F.

    4 Existncia de uma unidade: existe um elemento 1 E F tal que xl

    =

    X.

    5 Existncia de inversos: dado

    x E F.

    existe - x

    E F

    tal que x

    + -

    x =

    = O, e dado x E F, x ~ O, existe [I E F tal que x.rl

    =

    1.

    6 Lei distributiva: x + y z

    =

    xz + yz.

    imediato verificar que o conjunto

    Q

    dos racionais um corpo. Observe tambm

    que 7L no um corpo.

    O leitor deve familiarizar-se com a interpretao geomtrica dos racionais,

    utilizando uma reta R, onde se escolhem dois pontos, o O e o 1.

    o

    Fig l

    1

    R

    Os inteiros so marcados facilmente, se usarmos o segmento de extremidades

    O

    e 1 como unidade. Os racionais so obtidos por subdivises adequadas do seg

    mento unidade. Se imaginarmos os nmeros racionais marcados sobre a reta,

    veremos que eles formam um subconjunto da reta que denso no sentido que escla

    recemos a seguir.

    Dado um ponto qualquer da reta, poderemos obter racionais to perto dele

    quanto se queira; basta tomar subdivises cada vez mais finas da unidade. Pode

    parecer, pois, que os racionais cobrem a reta R, isto , a cada ponto de R corres

    ponde um racional. Que isso no verdade j era conhecido pelos matemticos

    da Escola Pitagrica. Sabiam eles que a hipotenusa de um tringulo retngulo

    issceles no comensurvel com os catetos, isto , se os catetos tm comprimento

    igual a 1, ento a hipotenusa no racional. Portanto, o ponto

    P

    da reta

    R,

    obtidotraando-se a circunferncia centrada em O e raio igual hipotenusa, no corres

    ponde a um racional ver Figura 1.2 .

    o

    ,

    ,

    \

    \

    \

    \

    \

    ,

    I

    1 P

    Fig l 2

    Demonstrao de que a hipotenusa no racional

    Suponhamos, por contradio, que a hipotenusa seja um racional

    p q.

    Po

    demos supor que p e q so primos entre si. Pelo Teorema de Pitgoras, (p/q) =

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    15/59

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    16/59

    6

    NMEROS RE IS C Po

    ordenado F podemos introduzir uma ordem estrita entre seus elementos, do se

    guinte modo:

    x >

    y

    .se

    x

    y E

    P.

    No caso dos racionais, essa precisamente a ordem usual, pois

    x

    E Q se

    x >

    O.

    Usamos ainda estes smbolos: ~,

    y ou x = y

    x < y

    se

    y> x

    x S; y

    se

    y

    ;

    x.

    Alm disso, utilizamos a seguinte terminologia:

    x > y l-se x maior que y

    x ~ y l-se x maior ou igual a y

    x

    O; ii) O

    >

    x se, e s se,

    x:;

    O e x

    EE

    P.

    Deixamos ao leitor a verificao das seguintes propriedades, que so vlidas

    em qualquer corpo ordenado:

    1)

    x> y y

    z}x

    z

    x> y z

    t

    }x

    z>y t

    > y z

    0

    }z > yz

    > O, xy > O =} y > O

    5)

    x> O, O

    y=}O

    xy> x O

    y

    =}

    xy > O

    > y z qualquer =} x + z > y + z

    8)

    Se F:; {O}, ento, 0< 1.

    9)

    O

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

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    1.3 INF SUP

    Observao O ::; uma relao de ordem em F isto :

    (i)

    x::; x

    para todo

    x E F

    (reflexividade);

    (ii)

    x::; y

    e

    y

    x

    =}

    x

    =

    y

    (anti-simetria);

    (iii) x::; y y

    z

    =}

    x

    z (transitividade).

    Alm disso, ::; o que se chama de

    ordem total

    isto , alm de (i), (ii) e (iii)

    temos

    (iv) dados x

    y E

    IR =} ou x

    y

    ou y x

    Deixamos ao leitor a demonstrao das propriedades (i) - (iv).

    ota superior

    Seja

    F

    um corpo ordenado e

    A

    um subconjunto de

    F

    Um

    elemento x E F uma cota superior de A se x ~ y para todo y E A Existem

    conjuntos que no tm cota superior. Por exemplo, considere o corpo ordenado

    li

    dos nmeros racionais; fcil ver que o subconjunto N dos nmeros naturais no tem

    cota superior (cf.Exerc. 2 da Se. 1.4).Esse fatomotiva a seguintedefinio:um subconjunto

    A de F se diz limitado superiormente se ele possui cota superior.

    ota inferior De modo anlogo, introduzimos os conceitos de cota inferior

    e conjunto limitado inferiormente. Um elemento

    x E F

    uma

    cota inferior

    se

    x::;

    y,para todo

    y E

    A Existem conjuntos que no possuem cota inferior. O

    conjunto 71. dos nmeros inteiros no tem cota inferior no corpo Q dos nmeros

    racionais. Um subconjunto

    A

    de um corpo ordenado

    F

    se diz

    limitado inferior-

    mente

    se ele possui cota inferior.

    Supremo de um conjunto limitado superiormente Seja F um corpo ordenado

    e A C F um subconjunto limitado superiormente. O supremo do conjunto A

    que designamos por

    supA

    definido como a menor das cotas superiores de

    A

    (quan

    do existe ). Em outras palavras,

    x E F

    o supremo de

    A

    se:

    (i)

    x

    for cota superior de

    A

    e

    (ii) se

    z

    for uma cota superior de A ento,

    x

    z

    O Exerc. 2, no final desta seo, mostra um conjunto limitado superionnente que no

    possui supremo.

    Exemplo 1. Considere o corpo ordenado

    Q

    e o subconjunto A dos racionais

    maiores que O e menores que 1, i.e.,

    A = {y E Q O < y < I}.

    Qualquer racional maior ou igual a 1 cota superior, e supA

    =

    1.

    fcil ver

    que supB = 1, onde B = {y E Q O ::; y l}. Por esses exemplos, vemos que

    o sup (quando existe ) pode pertencer ou no ao conjunto.

    fnfimo de um conjunto limitado inferiormente Seja F um corpo ordenado, e

    A C F

    um subconjunto limitado inferiormente.

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    18/59

    8

    NMEROS RE IS C Po

    o

    nfimo de um conjunto A, que designamos por infA, definido como a maior

    das cotas inferiores (quando existe ). Em outras palavras, x

    C F

    o nfimo de

    A se:

    i

    x for cota inferior de A e

    (ii) se z for uma cota inferior de A ento x 2:: z.

    o

    Ex. 3, a seguir, mostra um conjunto que no possui

    in/

    Exemplo 2. Considere, no corpo ordenado dos racionais, os conjuntos A e

    B definidos no Ex.

    I

    acima. V-se que infA

    = O

    e infB

    = O.

    Como no caso

    do sup, o inf (quando existe ) pode pertencer ou no ao conjunto.

    Exemplo 3. Considere o seguinte subconjunto dos raCIOnaiS

    A = {x E O : x2 > 2, x > O}.

    Demonstraremos que A no tem inf (em O). Seja

    B = {x E iQ : x2 < 2, x > O}.

    Como no existe racional tal que

    x2 =

    2, segue-se que dado um racional positivo

    r, ento ou r E A ou r E B. Em primeiro lugar, provamos:

    ( 1) se x E

    A

    =}

    existe y E

    A

    tal que y

    2, i.e.,

    ( 3) p2

    2q2 n2

    2pn

    + 1

    >

    O.

    Como

    x

    E

    A

    temos que

    p2

    2q2 > O.

    Logo, (3) se verifica para

    n

    suficiente

    mente grande (quo grande?). De modo anlogo, provamos (2). A seguir, su

    ponhamos que

    A

    tenha nfimo, que designamos por

    xo.

    Ento

    Xo ::; x

    para todo

    x

    E

    A

    vista de (1),

    Xo

    no pode pertencer a

    A

    pois, de outro modo, ~averia

    y E A tal que y < xo, o que seria absurdo. Logo, Xo deve pertencer a B. A vista

    de (2), existe, pois z E B tal Xo < z Como z2 < 2, segue-se que z cota inferior

    para A. Isso, porm, contradiz o fato de

    Xo

    ser o inf de A.

    Concluso: A no tem in/

    EXERCCIOS

    Usando um argumento anlogo ao empregado no Ex. 3, o leitor pode

    demonstrar que o conjunto B definido no Ex. 3 no possui supremo.

    2

    Um subconjunto de um corpo ordenado se diz

    limitado

    se for limitado

    superiormente e limitado inferiormente. D um exemplo de um conjunto limitado

    que no possui nem sup nem inf

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    19/59

    4 NMERO REAIS

    4 Nmeros Reais

    9

    Agora definimos o conjunto IR dos nmeros reais, como sendo um corpo orde

    nado onde se verifica a propriedade a seguir.

    Postulado de Dedekind

    Todo subconjunto no-vazio de

    IR

    constitudo de

    elementos positivos, tem um nfimo.

    O Postulado de Dedekind realmente determna o corpo dos reais entre todos

    os corpos ordenados. (A rigor essa determinao feita a menos de isomorfis

    mos.) O corpo IR assim definido contm um subconjunto que est em correspon

    dncia biunvoca com o conjunto 11) dos racionais. Na realidade, essa corres

    pondncia goza da propriedade de preservar as operaes de adio e multiplica

    o; correspondncias biunvocas desse tipo tomam o nome de isomorfismos. Para

    todos os efeitos, podemos simplificar essa questo do isomorfismo e simplesmente

    dizer que IR contm Q: Q C IR. A reta R um belo modelo geomtrico para

    o corpo IR: cada ponto de R representa um real e, vice-versa, a cada real corresponde

    um ponto de R As afirmaes feitas no presente pargrafo requerem demonstrao.

    O leitor poder encontr-Ias, p. ex., na referncia

    [10 .

    Deixamos ao leitor as verificaes dos seguintes fatos que decorrem direta

    mente do Postulado de Dedekind.

    EXERctCIOS

    Se um conjunto A de IR tem uma cota inferior, ento A tem inf

    2 Se B um conjunto que tem uma cota superior, ento sup B = - inf B ,

    onde -

    B = {x E IR : x = - b, b E B}.

    Da se segue que todo conjunto

    no-vazio, que tem cota superior, tem um sup.

    3

    Mostre que o conjunto

    N

    dos nmeros inteiros positivos no tem cota superior.

    4

    Mostre que dado um real positivo

    a,

    existe um inteiro positivo

    1

    n

    tal que -

    b

    6

    Sejam

    x

    E IR

    e

    A = {r

    E IR :

    r

    E

    11)

    e

    x < r}.

    Mostre que

    x = inf

    A.

    7

    Mostre que o conjunto

    11)

    denso

    em

    IR.

    Em outras palavras, dados dois

    nmeros reais quaisquer

    x < y,

    existem racionais

    r

    tais que

    x < r < y.

    Os nmeros reais, que no so racionais, so chamados

    irracionais.

    Um

    modo de produzir exemplos de nmeros reais tomar

    inf

    de subconjuntos no-vazios

    de racionais positivos. Por ex., o conjunto

    A

    do Ex. 3, da Se. 1.3, olhado como

    um subconjunto dos nmeros reais, tem um nfimo b E IR, em virtude do Postu

    lado de Dedekind. Provamos, na Se. 1.3 que b no racional. Eis, pois, um exemplo

    de um nmero irracional; esse nmero

    designado porV2.- A justificativa para

    essa notao jaz no seguinte resultado:

    A equao x2 = 2 tem uma e s uma soluo real positiva.

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    20/59

    NMEROS REAIS CAPo

    Esse um resultado sobre a existncia e unicidade de soluo para uma equao.

    A unicidade facilmente provada, supondo que existem duas solues reais positi

    vas a e b: a2

    =

    2 e b2

    =

    2, o que acarreta a2 b2

    =

    0, ou seja, (a

    b)(a

    +

    b)

    =

    O.

    Como

    a

    >

    e

    b

    >

    0, temos

    a

    b

    >

    0, o que implica

    a b

    =

    0, ou seja,

    a

    =

    b.

    A existncia de soluo real positiva para x2

    =

    2 obtida provando-se que

    b = inf A A,

    o conjunto do Ex. 3 da S. 1.3) satisfaz equao:

    b2 =

    2. Basta

    mostrar que b2

    2 no so verdadeiras. Primeiro suponha que

    b2

    2 _ b2 Isso mostra que b

    -;:;

    e uma cota

    inferior do conjunto

    A;

    portanto,

    b

    no poderia ser o nfimo de

    A.

    Por outro

    lado, suponha que b2

    >

    2.

    fcil de ver, como se fez acima, que se n

    E

    N for

    tomado adequadamente, teremos (b

    ~

    2

    >

    2. Em virtude do Exerc. 7, exis

    te r E Q tal que b

    1- O ::::;az

    O existe

    no

    (que pode depender

    deM

    tal que, para todo

    n

    2::

    no,

    temos

    ar. < M

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    29/59

    7 PROPRIEDADES DO LIMITE

    9

    Uma sucesso pode divergir sem que seus termos se tornem arbitrariamente

    grandes, como, p. ex., a sucesso ii) acima. A divergncia, neste caso, decorre

    de que os termos se acumulam junto a dois pontos diferentes, 3 e O.

    Seja A

    =

    {nl < nz < ...} um subconjunto infinito de N. A restrio s iA

    de uma sucesso s: N ~ IR s: n an a A chamada uma subsucesso. Portanto,

    a subsucesso s IA uma sucesso definida do seguinte modo: a cada

    j

    E N corres-

    ponde s nj =

    an

    J

    EXERCCIOS

    Seja

    k

    um nmero real positivo dado. Prove que uma sucesso

    an

    con

    verge para r se, dado E > O existir no E N tal que lan r I < k para n ;::=: no.

    2

    Mostre que as sucesses ii) e iv), apesar de no convergirem, contm

    subsucesses convergentes. D um exemplo de uma sucesso que no contm

    nenhuma subsucesso convergente.

    3

    Seja

    an

    uma sucesso convergente. Mostre que qualquer subsucesso

    tambm convergente. Alm disso, se o limite de an

    r,

    o limite de qualquer

    subsucesso tambm

    r.

    4

    D exemplo de uma sucesso que contm subsucesses convergentes para

    cada

    n

    E N. Em outras palavras, os termos da sucesso se acumulam em

    torno de todos os inteiros positivos.)

    5 Calcule o limite da sucesso an cujo termo geral

    1 1 1 I

    an

    = T2

    23

    34

    ... n n

    1)

    6

    Mostre que se a sucesso

    an

    no converge para

    r

    E

    IR, ento existem

    o > O e uma subseqncia an tais que I Qn r I ;::: o para todo

    j E

    N.

    7 Propriedades de Limite

    Propriedade

    Se

    an

    e

    bn

    so duas sucesses convergentes, ento a su

    cesso

    an

    bn

    convergente, e

    lim

    an

    bn

    =

    lim

    an

    lim

    bn

    Observao. D um exemplo para mostrar que an e bn podem divergir,

    mas an + bn converge.

    Propriedade 2

    Se

    an

    e

    bn

    so sucesses convergentes, ento a sucesso

    anbn convergente, e

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    30/59

    NMEROS RE IS C Po

    Obserl ao. Em particular, se (bn) fosse uma sucesso constante, isto , bn =

    ~~

    b para todo n, a Propriedade 2 se reduziria s seguintes asseres: se (a,,)

    converg;;ntc, ento

    (ban)

    convergente, onde

    b

    um real qualquer; alm disso,

    tem-se

    lim (ban) = b lim a,: .

    Decorre, pois, que lim -

    a,,) = -

    lim

    an

    E isso, juntamente com a Proprie

    dade I, implica que a diferena

    (a bn)

    de duas sucesses convergentes conver

    gente, e

    lim (a

    bn) =

    lim a lim

    b .

    Propriedade 3. Se (a,J uma sucesso convergente, ento a sucesso (Ia I

    dos valores absolutos tambm convergente, e

    lim

    Ia

    1

    =

    Ilim

    an I

    Propriedade Se

    (a,,)

    uma sucesso convergente tal que

    a :;

    O para todo

    11,

    e lim

    an:;

    O, ento a sucesso

    (l/a,,)

    convergente, e

    lim

    (l/a,,) =

    1/lim

    a .

    Propriedade 5. Se (an) uma sucesso convergente tal que an

    >

    O e lim an =

    = O, ento (l/a,,) tende para + 00. Reciprocamente, se (b,,) tende para + 00,

    e

    bn

    >

    O para todo

    11,

    ento a sucesso

    (l/b,)

    converge para O.

    Observao.

    Uma propriedade anloga pode ser enunciada com relao a

    00.

    Pondo as duas asseres em um enunciado nico, teremos: se a < O

    para todo

    11,

    ento lim a

    =

    O se, e s se, lim l/a,,) = - 00 .

    O leitor pode concluir facilmente que no necessrio supor

    an >

    O

    para todo

    n

    na Propriedade 5 ou

    a

    O para

    n

    maior que um certo

    no.

    Ex.: a sucesso

    10, - 3, 10, - 1, I, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge para O, e sua inversa - 1/10,

    1/3, 1/10, - 1, 1, 2, 3, 4, ... tende para

    00.

    Propriedade 6. Se (a,,) e

    (bn)

    forem duas sucesses convergentes e an

    ;

    bn,

    para todo

    n,

    ento

    1im G

    ;

    lim bn

    Observao. Do que foi dito acima, a concluso da Propriedade 6 ainda

    vlida se G

    ;

    b se verificar somente a partir de um certo no.

    Propriedade 7. Se (an) e

    (bn)

    forem sucesses tais que

    Gn

    ;

    bn,

    para todo

    n

    ou para

    n

    maior que um certo

    no),

    e

    (an)

    tender para

    00,

    ento

    (bn)

    tambm

    tender para 00.

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    31/59

    7 PROPRIEDADESDE LIMITE

    2

    As Propriedades 6 e 7 tm bastante utilidade no clculo explcito de alguns

    limites. P. ex., suponhamos que queremos calcular o limite de uma sucesso an),

    e que possamos determinar duas outras sucesses

    bn)

    e

    Cn)

    que tm o mesmo

    limite r, e tais que bn an Cn Ento, pela Propriedade 6, lim a = r. Uma

    tal situao ocorre na Se. 1.8. Uma outra situao que requer o uso de nPropriedade

    7 tambm l ocorre.

    Deixamos ao leitor a tarefa de demonstrar essas duas propriedades. Apenas

    para ilustrar o tipo de argumento que usado nessas demonstraes, daremos a

    seguir a demonstrao da Propriedade 2. Utilizaremos o seguinte teorema que

    tambm importante em outras ocasies.

    Teorema 1.3. Seja a.) uma sucesso convergente. Ento, existe k > O tal que

    I

    an

    I ~

    k para todo n.

    Observao.

    Quando um tal

    k

    existir, dizemos que a sucesso limitada.

    Portant, o Teorema 1.3 poderia ser assim enunciado: toda sucesso convergente

    limitada . Comparando os conceitos de sucesso limitada e de conjunto limi

    tado (cf. Se. 1.3), o leitor ver que uma sucesso limitada se o conjunto {an}

    for limitado.

    Demonstrao do Teorema1.3.

    Seja

    r

    o limite da sucesso. Ento, dado

    E,

    digamos

    E

    =

    1, existe

    110

    tal que

    1 an

    r

    I

    1 e escrevemos

    3 V= 1 + bn

    onde bn > O, e varia para cada

    n.

    De 3 obtemos

    onde usamos a desigualdade 1 acima. Da obtemos

    a I

    O

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    35/59

    1.8

    X MPLOS

    SUCESSES 25

    onde

    Cn >

    O, e varia com

    n.

    De 4 e 1 obtemos

    a=

    1

    O,

    existe um elemento do conjunto

    {an},

    digamos

    a ,

    tal

    que a >m~E. Como a seqncia montona no-decrescente, segue-se que

    ao > m E para todo n ~ no. Logo, lao - ml

    b1] =:> [az, bz] =:> ... =:> [a ,

    bn]

    =:> . uma sucesso de intervalos fechados, cada um contendo o seguinte. Su

    ponha que a sucesso bn

    an)

    dos comprimentos de tais intervalos tende a

    O.

    Demonstre que existe um nico ponto c comum a todos esses intervalos.

    4. D um exemplo para mostrar que a concluso do exerccio precedente

    no se verifica, se os intervalo.s forem abertos. Mostre tambm que se os com

    primentos dos intervalos no tenderem a zero, a interseo pode ser vazia; para

    tal use intervalos ilimitados.

    5. Mostre que a sucesso VI,

    vi

    2 + V2, ... , V2 + v2 + v 2, ... , con

    verge para 2.

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    38/59

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    39/59

    1.10

    O TEOREM DE BOLZ NQ WEIERSTR SS

    29

    superior. Como vimos na Se. 1.7 uma sucesso an) limitada se {an} for um

    conjunto limitado.

    Teorema 1.5. Bolzano-Weierstrass.) Toda sucesso limitada a.) contm uma

    subsucesso convergente.

    Demonstrao. Definimos um conjunto B de reais do seguinte modo: x

    E

    B,

    se existir no mximo um nmero finito de ndices n tais que On seja maior do que x .

    Como o conjunto

    {anl

    limitado, segue-se que existe k

    >

    O tal que I

    a..

    I:S k para todo

    n.

    Logo, -k uma cota inferior para o conjunto B. Portanto, pelo Postulado de Dedekind, B

    tem nfImo; sejam tal nftmo. Agora vamos construir uma subsucesso

    (all

    de aJ tal que

    an. ~ m. O intervalo (m 1,m

    +

    1 contm termos da sucesso aJ par~uma inftnidade

    de}valoresde

    n,

    pois, de outro modo,

    m

    1 estaria em

    B

    e, portanto,

    m

    no seria o nfimo

    de

    B;

    tome um desses termos de an, digamos alll, ento,

    la l

    m I

    < 1.

    O intervalo (m

    1/2, m + 1/2) contm termos da sucesso (ali) para uma

    infinidade de valores de

    n,

    o que se prova do mesmo modo que no caso precedente;

    seja a , um tal termo e tal que n2

    >

    nl Observe que

    0 2

    pode ser igual a an1

    .

    Ento,

    la 2

    m

    I

    nj-l >...>

    n2

    > nl Deste modo constri-se uma subsucesso

    a j)

    de

    On)

    tal que

    Onj -+ m,

    quando j ---7 cx>, pois

    o que completa a demonstrao do teorema.

    Seja

    an)

    uma sucesso e c um nmero real. Dizemos que c um ponto de

    acumulao da sucesso an) se, para cada E

    >

    O dado, existir um nmero infinito

    de inteiros

    n

    tais que

    Ia

    c I

    < E.

    fcil de ver que c um ponto de acumulao

    da sucesso

    (a,,),

    se, e somente se, ela contiver uma subsucesso convergindo para c.

    O Teorema de Bolzano-Weierstrass pode ser tambm enunciado ,assim: Toda

    sucesso limitada tem pelo menos um ponto de acumulao . E claro que tal

    ponto pode ser ou no um termo da sucesso.

    Exemplos:

    i) a sucesso 2,2, ... tem um nico ponto de acumulao: 2;

    ii) a sucesso 1, 1/2, 1, 1/3, 1, 1/4, ... tem dois pontos de acumulao: 1 e O;

    iii) a sucesso 1, 2, 1; 3, 1, 4, ... tem um ponto de acumulao: 1.

    Seja A um subconjunto de

    IR.

    Um real c um ponto de acumulao do con

    junto A se, para cada

    E >

    O, existir um nmero infinito de y E A tais que Iy

    - c I < E.

    claro que conjuntos A com um nmero finito de pontos no podem

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    40/59

    3

    NMEROS RE IS C Po

    ter pontos de acumulao. H, por outro lado, conjuntos infinitos que no tm

    pontos de acumulao; p. ex., {I, 2, 3, ... }. Entretanto, vale o seguinte resultado.

    Proposio 1 1 Todo conjunto infinito limitado A de nmeros reais tem pelo

    mcnos um ponto de acumulao.

    Demonstrao. Um conjunto A infinito se existir uma aplicao injetiva

    de N em A, isto , para cada n E N pode-se fazer corresponder um Xn E A, de

    tal modo que Xn 1= Xm para

    n

    1=

    m.

    Demonstramos a Proposio 1.1 simplesmente

    considerando a sucesso (xn) e aplicando o Teorema de Bolzano-Weierstrass para

    concluir que existe um ponto de acumulao c da sucesso (xn). fcil ver que

    tal c tambm um. ponto de acumulao de A.

    Exemplos:

    1) Os pontos de acumulao do conjunto [0,1]

    =

    {x

    E R; O:::;

    x :::;

    n

    so todos os pontos de

    [O,

    I].

    2) Os pontos de acumulao do conjunto {x

    E

    Ii]:

    O

    < x < I} so todos

    os pontos de

    [O,

    1].

    3) O conjunto {I, 1/2, 1/3, ... } tem um nico ponto de acumulao:

    O.

    Observao. V-se, pelos exemplos acima, que o conjunto dos pontos de acumulao

    de um conjunto dado pode ou no intersecionar o conjunto. Pode inclusive cont

    10.

    EXERCCIOS

    1 D um exemplo para mostrar que uma sucesso an), como no Teorema

    de Bolzano-Weierstrass, pode conter mais de uma subsucesso convergente.

    2 Sem a hiptese de

    (a,,)

    ser limitada no se pode concluir que ela contenha

    uma subsucesso convergente. D um exemplo. Entretanto, pode-se concluir

    que, quando tal coisa no ocorrer, ento existe uma subsucesso tendendo para-oo

    ou

    Lim sup).

    Dada uma sucesso an), define-se o

    limite superior

    de an)

    o

    qual se representa por lim sup an) como o nmero real s que goze da seguinte

    propriedade: dado

    E

    >

    0, existe apenas um nmero finito de ndices

    n

    tais que

    an > s

    E,

    e existe um nmero infinito de ndices n tais que an > s

    E.

    Para

    entender bem esse conceito, determine os lim sup de algumas das sucesses exemplificadas

    acima. Observe que se a sucesso converge, ento seu limite coincide com o

    fim

    sup. Mostre que se uma sucesso tem lim sup, ento existe uma subsucesso que

    converge para esse lim sup.

    4 Um inf). Dada uma sucesso a,,), definimos o limite inferior de a,,)

    o qual se representa por

    lim in{ Gn),

    como sendo o nmero

    (j

    que goze da seguinte

    propriedade: dado E

    >

    existe apenas um nmero finito de ndices 11 tais que

    a < IT E, e existe um nmero infinito de ndices 11 tais que a

    O, existir no E N tal que lan aml < E para m, n

    >

    no.

    Demonstrao.

    Suponhamos, primeiramente, que

    an

    seja convergente e

    seja r seu limite. Ento, dado E

    >

    O, existe no tal que lan r

    I

    no.

    Logo, se

    nem

    so maiores que

    no

    temos, usando a desigualdade do tringulo:

    lan

    am

    I ::;

    lan

    r

    I

    Iam

    r

    I

    < E/2 E/2

    =

    E

    Reciprocamente, suponhamos que a condio do teorema seja satisfeita e pro

    v;:mos que an convergente. Devemos, pois, descobrir o limite r. Pela hip-

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    42/59

    tese, dado E= 1, existe

    110

    tal que

    NMEROS RE IS C Po

    Ia -

    ano

    I < I, para 11, m 2 110.

    Logo,

    Ia - a 0 I < I, para

    11

    2

    110.

    Da d.::sigualdadc do tringulo segue-se ento:

    S~ja agora k o m:lior dos nmeros

    lar I, la21, ... , lano-ll,

    e seja k o maior dos

    dois nmeros, k e

    1 + Ia ,; I.

    Portanto,

    I)

    Ia I ;:;. k, para todo 11.

    Aplicando o Teorem3 de Bolzano-Weierstrass, segue-se que (a,,) contm uma

    subsucesso convergente (a,,), e seja r seu limite. Logo, dado E > O, existe no

    E

    E N tal que .

    (2)

    la i r I < E

    para I1j

    2

    11,/. Por outro lado, em virtude da hiptese, temos que, dado

    E

    > O,

    existe 110 E N tal que

    Ia

    am

    I

    O, existir

    110

    que pode depender de

    )

    tal

    que Ian am I < para todos 11, m 2 110. O Teorema 1.6 diz que uma sucesso

    (a,,) de nmeros reais convergente se, e s se, ela for de Cauchy. Em virtude deste

    fato, que toda sucesso de Cauchy tem um limite, o conjunto dos reais chamado

    completo.

    A noo de completo, como o leitor v, depende somente das distn

    cias cf. Se. 1.5) entre os elementos da sucesso; em vista disso, tal noo pode

    ser estudada em outros conjuntos onde se possa medir distncias de pontos.

    Esses conjuntos so chamados espaos mtricos; ao leitor interessado recomenda

    mos a referncia [18].

    ii) Uma sucesso (an) de nmeros racionais denominada uma sucesso

    de Cauchy se, dado

    > O, existir

    110

    que pode depender de

    )

    tal que lan

    am 1

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    43/59

    2 SRIES NUMRICAS

    33

    < E para todos n, m ?: no. ( a mesma definio acima, exceto que considera

    mos apenas racionais.) Considerando apenas racionais, vemos que existem suces

    ses de Cauchy de nmeros racionais que no convergem

    para um nmero racional.

    Ex.: a sucesso 1, 1,4, 1,41, 1,414, ... que converge (no conjunto dos reais) para

    V2.

    Em virtude de haver sucesses de Cauchy de racionais que no convergem

    para um racional, dizemos que o conjunto dos racionais no completo.

    (iii) O conjunto dos reais pode ser construido a partir dos nmeros racionais.

    Daremos, a seguir, um esboo do mtodo, cujos detalhes podem ser encontrados

    na referncia [6], cf. tambm [18]. A impreciso desse esboo ser perdovel,

    se conseguirmos despertar o interesse de algum leitor para estudar a questo mais

    a fundo

    Considere o conjunto C de todas as sucesses de Cauchy de nmeros racio

    nais. (Um elemento de C uma sucesso de nmeros racionais ) Como no

    desejamos distinguir entre sucesses que esto perto uma da outra (P' ex.:

    ( 1+ ~) e (1 - ~) ) , consideramos um novo conjunto C', cujos elementos

    so classes ou subconjuntos de C'. (Um elemento de C' um conjunto de sucesses

    de Cauchy de racionais ) Nesse conjunto C , define-se operaes de adio e mul

    tiplicao e demonstra-se que C' um corpo. Define-se tambm uma ordem em

    C', e prova-se que com essa ordem C' um corpo ordenado. Finalmente, de

    monstra-se que o corpo ordenado C' satisfaz o Postulado de Dedekind. Esse

    corpo C' definido como o corpo dos reais.

    EXERCCIOS

    1. Seja

    a,J

    Ull4Huce o coovoegindo pma

    a

    ER Mo, e que a , cc%50 [ ;; t.

    a;

    converge tambm para a. Mostre que a recproca falsa.

    2. Seja

    P,)

    uma sucesso de tennos positivos convergindo para p. Mostre que a su-

    cesso ( V p ,., Pn

    tambm converge para p.

    u

    2

    1)

    a

    3. Seja an) uma sucesso de termos positivos tais que lim ~

    =

    p. Mostre

    an

    lim

    ~an = p.

    Sries Numricas

    Nesta seo, trataremos de atribuir um sentido soma infinita

    'O

    .J an =a - a2 1 ...

    n ~

    1

    onde os termos an so nmeros reais dados. Urna expresso da forma (I) cha

    mada uma srie numrica.

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    44/59

    NM ROS R IS CAPo 1

    mente: seja p um nmero inteiro positivo fixado, ento, a srie

    ou diverge) se, e s se, a srie

    f an

    convergir ou. divergir).

    n~p

    Associamos sucesso

    an

    dada acima uma nova sucesso AnJ, chamada

    sucesso das reduzidas

    ou

    das somas parciais,

    que assim definida

    n

    An

    =

    L:

    ai

    =

    ai

    + +

    ano

    j~1

    Sea sucesso An tiver um limite S, dizemos que a srie 1) converge, e que

    sua

    soma

    S. Se a sucesso

    An

    no tiver limite, diremos que a srie 1)

    diverge.

    No caso de convergncia, escrevemos

    ~

    S = L: ano

    n=1

    ~

    Exemplo

    1.

    L: 2-n

    A soma parcial

    An

    igual a 1 - 2-n, cf. Exerc. 2, da

    n l

    Se. 1.8.

    claro que o limite de

    An

    1. Logo, a srie em pauta converge e suasoma 1.

    Exemplo

    2.

    t

    rn, onde

    Ir I O,

    existir

    110

    que pode depender de E) t~? que

    I

    jf; aj

    I

    < E para todos m 2: n 2:

    no.

    Deixamos a demonstrao a cargo do leitor e sugerimos o uso do critrio de

    Cauchy para convergncia de sucesses, ;e., Teorema 1.6.

    .~

    Corolrio 1.1.

    Se a srie

    L: an

    convergir, ento

    lim an = O.

    n =

    1

    Observao. O Teorema 1.7 mostra que a convergncia ou no de uma srie

    no influenciada pelo que se passa em nmero finito de termos. Mais precisa-

    00

    L:

    an

    converge

    n

    =1

    E I

    3 A .. h ~.

    ..f-.

    1 d D ..

    emp o.

    sene armomca, ~ -, lverge. e lato, temos

    n = 1 n

    2n 1 1 1 1 1 1 1

    2.: ----:-= - + --1 + ...+ -2

    >

    -2 + ...+ -2 = -2

    =n J n n + n n n

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    45/59

    1.12

    SRIES NUMRI S

    e aplicando o Teorema 1.7, o resultado se segue.

    , Exemplo

    4. A srie

    t

    n~

    diverge, como decorre do Corolrio 1.1, pois

    n~l

    n.

    , n

    . ln

    n n n

    temos a segUlnte estlmatlva para seu termo gera ;t=T 2 --;; > 1.

    Exemplo

    5. As sries t 1 e t

    n

    divergem. V-se que a sucesso das

    n=1 n=l

    reduzidas tende para cx). Neste caso, a sucesso das reduzidas torna-se

    00

    ilimitada. A srie

    L: -

    1) um exemplo de uma srie divergente, cujas re-

    n=1

    duzidas se mantm limitadas; de fato, a sucesso das reduzidas

    -1,

    O,

    -1,

    O,...).

    Observao. O Ex. 3 acima mostra que o Corolrio 1.1 fornece apenas uma

    condio necessria para a convergncia de uma srie. Em outras palavras, a

    srie t an pode divergir e, apesar disso, pode-se ter lim Qn = O. Entretanto,

    n=1

    se os termos an alternarem de sinal, ento a condio lim an

    =

    O quase sufi-

    ciente para a convergncia da srie. Mais precisamente, temos o seguinte resul

    tado, que conhecido como o Teste de Leibnitz.

    Teorema 1.8.

    Sries alternadas.) Seja a,,) uma sucesso de nmeros reais

    no-negativos, tais que ai ~ a2

    ~

    ao ~ .. e lim a

    =

    O. Ento a srie aI

    Qz Q3 - Q4 ... converge.

    Demonstrao. Primeiramente, observamos que as reduzidas de ordem par formam

    uma sucesso no-decrescente. De fato,

    onde as expresses em cada parntese so no-negativas.

    Analogamente, a sucesso das reduzidas de ordem mpar no-crescente:

    onde as expresses em cada parntese so no-negativas. A seguir, observamos

    que a sucesso

    (S2n)

    limitada superiormente, pois

    S2n:::::;

    S2n 1 :::::;SI, e da SI

    uma cota superior para essa sucesso. Do mesmo modo, a sucesso (S2n+l)

    limitada inferiormente, visto queS2n 1 ~ S2n+2

    ~

    S2, e da S2 uma cota inferior

    para a sucesso das reduzidas de ordem mpar. Aplicando o Teorema 1.4, con

    clumos que existem nmeros reais

    r

    e

    s

    tais que

    lim

    S2n

    = r e lim S2n l = s.

    Como lim S2n l

    =

    lim S2n lim a2n+I, e an

    ~

    O, segue-se que r

    =

    s, o que

    demonstra o teorema.

    Uma srie

    t

    an majorada por uma srie de termos positivos

    t

    bn, se

    n=1 n=l

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    46/59

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    47/59

    2 SRIES NUMRICAS

    2) pode ser escrita na forma

    a qual um: .majorante da srie

    t

    an, segue-se que esta tambm converge.

    n=l

    ro

    ii) Reciprocamente, suponhamos que L: an convirja. Como a srie

    a2

    +

    n=1

    2a4

    4as

    ... pode ser escrita na forma

    a2

    a4

    a4

    as

    as

    as

    as

    ...

    a qual tem como majorante a srie

    t

    an,

    segue-se que a primeira srie tambm

    n=2

    converge e, conseqentemente, a srie 2) convergente, como queramos provar.

    Exemplo

    7. A srie t n-P converge, se

    p>

    1. Basta aplicar o Teorema 1.11

    n l CD m

    e observar que, neste caso, a srie 2) L: 2i 21 -V = L: 2V-1 -; = 1/ 21)--1 - 1).

    i-o

    j-O

    Exemplo

    8. Veja Exercs. 14, 15 e 16 da Se. 6.2.

    Apresentaremos, a seguir, dois testes para a convergncia absoluta de sries

    numricas.

    Teorema 1 12

    Teste da razo ou teste de D Alembert.} Consideremos uma

    srie

    t

    an

    e suponhamos que

    lim

    I

    an+ 1

    I

    exista. Seja

    I

    tal limite. Ento:

    = l

    n co

    an

    i)

    a srie converge absolutamente se

    I < 1; ii)

    a srie diverge se I

    > 1; iii) o

    leste inconcludente se

    I

    =

    1.

    Demonstrao.

    i) Do fato que

    I

    = lim \

    a:: 1

    I segue-se que existe

    no

    tal que

    3)

    I an+ 1 I

    >

    ;; ;

    b,

    para n no,

    onde

    b

    qualquer real tal que I

    < b

    1, segue-se que existe no tal que, para n

    ~

    no, tem-se

    1~1>1

    ,.

    Logo la -I11 ~ Ia

    I.

    para n no. Portanto. a,.) no pode convergir para O.

    Logo. pelo Corolrio 1.1, a srie

    t

    a deve divergir .

    -I

    i) Para as sries

    t

    n-1 e

    t

    ,.2, temos

    I

    = 1.

    -I ,,-1

    Por outro lado, a primeira srie diverge, enquanto a segunda converge.

    Teorema 1.13. Teste da raiz ou Teste de Cauchy.) Considere a srie

    t

    a

    n=1

    e suponha que lim

    -vr;;:T

    exista. Seja 1 esse limite. Ento: i) a srie converge

    absolutamente se 1

    1; iii) o teste inconcludente

    se

    1

    =

    1.

    Demonstrao. i) Pela definio de limite, segue-se que existe no tal que,

    para n

    ~

    no, temos

    4)

    -\ 'fa:T ~ b,

    onde b qualquer real, 1< b < 1. De 4), obtemos

    A desigualdade acima mostra que a srie t

    Ia I

    majorada pela srie geo

    mtrica t b . Como b < 1, segue-se, pelo nT~orema 1.9, que a srie :t

    Ia I

    n= =

    converge.

    ii) Se I > 1, conclumos que existe

    no

    tal que, para n ~ no, temos ~ ~

    ?::

    1. Dai

    lan

    I ?::

    1, para

    n?:: no

    e, portanto, a sucesso

    an)

    no tende a O. Pelo

    00

    Corolrio 1.1, conclumos que a srie L: an diverge.

    n

    iii)

    fcil ver, usando um resultado da Se. 1.8, que I= I para as sries L:

    n-1

    ro

    n

    e L:

    n-2

    A primeira srie diverge, enquanto a segunda converge.

    n=

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    49/59

    1.12 SRIES NUMRICAS

    Observao.

    Os dois testes acima estabelecem de fato condies suficientes para

    a convergncia de uma srie. A informao que nos d sobre divergncia pode ser

    conseguida mais diretamente, verificando-se que o termo geral da srie no tende

    a zero.

    EXERClcIOS

    1. Use o Teorema 1.4 para provar o seguinte resultado: Uma srie de ter

    mos no-negativos convergente se, e s se, as reduzidas formarem uma sucesso

    limitada.

    2. Prove que

    1

    L:

    ---=1.

    n=l

    n n

    +

    1)

    3. Use o exerccio anterior e prove que

    . 1

    1

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

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    40

    NM ROS R IS CAPo 1

    10. Teste da razo em uma forma mais forte,)

    Considere a srie t an,

    n=1

    , L I

    I

    an+1

    I

    1 ] f

    I

    an+1 I

    sejam

    =

    1msup ---a:: e

    =

    1m10

    -----o:- .

    Mostre que (i) se

    L

    1 a srie diverge,

    (iii) se I

    1 ~ L o teste inconcludente.

    11. Teste da raiz em umaforma maisforte,)

    Considere a srie L:

    a

    e seja

    n~ n=1

    ==

    1imsup V I

    an

    I, Mostre que (i) se

    L

    1 a srie diverge, (iii) se L

    =

    1 o teste inconcludente.

    12. Seja t an uma srie de termos positivos. Mostre que

    n=1

    1 f an+l

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

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    (2)

    00

    L:

    n=i+1

    NMEROSRE IS C Po

    logo, em (2) s6 temos igualdades e da se segue que bJ = aJ + 1, Qn = 9 e bn

    =

    O

    para

    n 2': j + 1.

    Se definirmos

    [D*

    como o subconjunto de

    [D

    formado por decimais que no

    tm todos os elementos iguais a 9, a partir de uma certa ordem, ento a funo

    f

    definida acima, restrita a [D*

    injetiva.

    Mostramos agora que f sobre [0,1) e,

    portanto, temos a correspondncia biunvoca

    [D* ~

    [0,1)

    .al a2

    L:

    1 n

    =l

    9 [.

    +1)

    eja, pois, r

    E

    [0,1). Consideremos a decomposio [0,1) =

    j :lo

    to

    e, portanto, r pertence a um, e s um, desses subintervalos: r E lt = [ ~~' aII~ 1) .

    [aI aI

    +

    1)

    9

    [aI

    j aI j +

    1 )

    segUIr, consIderemos 10 -W = j~ 10 + 102' 10 + -wz e se-

    . [ aI a2 aI a2 + 1) .

    eclOnemos a2 tal que r E 12= 10 + 102-' 10 +102 . E assIm por di-

    ante. Pelo Teorema dos Intervalos Encaixantes, n 1 consiste em um nico

    n=l

    ponto;

    I

    designa o intervalo fechado que tem as mesmas extremidades que 1n

    00

    Como n 1 :1 r, segue-se que a sucesso formada pelas extremidades esquerdas

    n=l

    dos

    1n

    converge p~ra

    r

    e, portanto,

    r = 1 l~n,

    e a decimal que se toma para

    corresponder a

    r

    e

    .aI a2

    Uma

    dzima peri6dica

    uma decimal na qual, aps um nmero finito de termos,

    aparece um bloco de termos (chamado o perodo) e a partir da a decimal

    constituda pela repetio sucessiva desse bloco. De modo mais rigoroso, podemos

    proceder assim. Uma decimal

    uma funo

    f:

    N ->

    {O,

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

    Uma decimal peridica se existirem m e n tais que, para todo k

    >

    m, temos

    f(k)

    =

    f(k

    +

    n).

    Exemplos:

    (i)

    .777...

    =

    .7

    (ii)

    .01333~.

    =

    .013

    (iii) .235747474 = .23574

    (iv) .2394394394 = .2394,

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

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    3 REPRESENTAODECIMAL

    43

    onde o perodo formado pelos termos que tm um ponto sobre eles. As dzimas

    peridicas representam nmeros racionais que podem ser calculados assim. Ve

    jamos o Ex. iii):

    onde se reconhece que, a partir do segundo termo, temos uma srie geomtrica.

    Portanto,

    . . 235 74 1

    .23574

    =

    103

    103 102 _ 1

    isto ,

    3)

    ou, finalm~nte:

    .. 23574 - 235

    .23574 = 99000

    . . 23339

    .23574

    =

    99000

    o

    que acabamos de fazer para o exemplo acima vlido em geral.

    Teorema 4 Transformao de dzimas peridicas em fraes ordinrias.

    A dzima peridica

    .al az ...

    am b1

    bn

    um

    nmero racional que pode ser escrito

    como

    4)

    alamb1 bn

    -

    al .. am

    9 9 0 0

    onde o denominador da frao um nmero com n noves e m zeros.

    Deixamos ao leitor a demonstrao deste teorema, a qual feita do mesmo

    modo como operamos no exemplo acima.

    Observao. Uma dzima peridica simples, se ela for constituda apenas

    da parte peridica. Nos exemplos acima apenas a i) uma dzima peridica sim-

    ples. Outro exe~plo ~eria

    :s3i.

    Conclui-se do Teorema

    1.14

    que a dzima pe

    ridica simples

    1

    n

    igual a

    b1bn

    9 ... 9

    onde o de~ominador um nmero constitudo de n noves. Toda dizima peridica

    que no for simples chamada composta.

    Da observao acima e do Teorema 1.14, decorre o seguinte:

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    54/59

    44

    NMEROS REAIS CAPo

    (I) toda dzima peridica simples igual a uma frao irredutvel cujo de

    nominador no divisvel nem por 2 nem por 5;

    (lI) uma dzima peridica composta com

    m

    termos na parte no-peridica

    igual a uma frao irredutvel cujo denominador

    divisvel por

    2m

    ou

    5m,

    mas

    no por potncias mais elevadas de 2 ou 5.

    Para provar (lI) basta observar que o numerador de (4) no divisvel simul

    taneamente por 2 e por 5, pois isso implicaria que ele fosse divisvel por 10. E

    isso acarretaria bn = am Mas, ento, am no pertenceria parte no-peridica

    da dzima, pois a parte peridica seria amb1 ... bn-1.

    As recprocas de (I) e (lI) so verdadeiras.

    1 ) Uma frao irredutvel

    p/q

    E

    [0,1),

    cujo denominador

    q

    no seja divisvel

    nem por 2 nem por 5, igual a uma dzima peridica simples.

    (lI ) Uma frao irredutvel p/q E [0,1), cujo denominador seja divisvel por

    uma potncia de

    2

    ou de 5 sejam 2ml e 5m2, e seja m = max (mI, m2) >

    O),

    uma

    dzima peridica com m termos na parte no-peridica.

    Demonstrao de (1 ).

    Por hiptese, mdc

    q,

    10)

    =

    i.e., o mximo divisor

    comum de q e 10

    1, ou ainda, q e 10 so primos entre si. Os possveis restos das

    divises das potncias inteiras positivas de 10 por q so em nmero (no mximo)

    de

    q.

    Logo, existem nI

    > n2

    tais que

    (5)

    (6)

    IOnl =

    aIq + r

    10 2

    =

    a2q

    +

    r

    onde a > a2 e r so inteiros no-negativos. Por um lado, temos

    (7)

    e, por outro lado, segue-se de (5) e (6) que

    (8)

    Portanto, q deve dividir 10 - 1, uma vez que mdc(q, 10 2) = 1. Isto , existe

    b E N tal que

    n

    1

    = bq

    Da se segue que

    1 b b b

    q = 10-;

    +

    102

    +

    103

    + ...

    e, portanto, p/q uma dzima peridica simples cujo perodo tem n termos e cons

    titudo dos algarismos do nmero bp acrescidos por zero esquerda, se necessrio,

    para completar os

    n

    dgitos.

    Demonstrao de lI ). Temos, por hiptese, que

    q =

    2m15~b, onde

    mde (b, 10)

    =

    1. Logo,

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

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    4 CONJUNTOS ENUMERVEIS 45

    9)

    10m

    L

    = a

    +

    .E.L,

    q ql

    onde a E N e

    Pl/ql

    E [0,1), com mdc

    ql>

    10)

    =

    1. Aplicamos agora o resul

    tado I) frao

    Ptlql>

    que ento se expressa como uma dzima peridica simples.

    Logo, se segue de 9) o resultado procurado.

    Exemplos de aplicao. 1) A decimal .101001000100001 ... , onde o nmero

    de zeros entre os I s vai aumentando, um nmero irracional.

    2) a decimal seguinte representa um nmero irracional:

    .11101010001010 ... ,

    onde o termo de ordem n 1, se n for primo, e zero em caso contrrio. De fato,

    a. decimal no termina. pois a sucesso dos nmeros primos infinita. Alm disso,

    essa decimal no pode ser uma dizima peridica, porque isso implicaria que existis

    sem

    me

    p inteiros positivos tais que

    m em +

    kp, para todo k E N, fossem nme

    ros primos. Mas isso no possvel, bastando tomar

    k = m.

    4 Conjuntos Enumerveis

    Um conjunto

    A

    enumervel,

    se for possvel definir uma funo bijetiva

    j: N

    .>A.

    Exemplos. 1) O conjunto dos nmeros pares {2,4, 6, ... } enumervel;

    basta tomar f n = 2n, n E N.

    2) O conjunto l dos inteiros { ... , - 2, - 1, O, 1, 2, ... } enumervel;

    basta tomar fel = O, f 2n = n e f 2n

    +

    1) = - n.

    3) Um subconjunto qualquer de N finito ou enumervel. A funo

    f

    nesse

    caso a ordem natural em N. A rigor, a possibilidade de definir tal funo de

    corre do chamado Princpio da Boa Ordenao dos Inteiros. Ver [16]

    4) Usando o exemplo anterior temos: seja B um subconjunto de um con

    junto enumervel, ento

    B

    finito ou enumervel.

    5) O conjunto 0+ dos racionais positivos enumervel. Demonstraremos

    que o conjunto F de todos os

    p/q, p, q

    E N

    enumervel. Como 0+ C F e

    Q~no finito segue-se de 4) que 0+

    enumervel. Para ver se F

    enumervel,

    basta olhar a tabela

    1

    1 1

    ,--> 2

    3 .....4

    .....,6..

    ,/

    /

    /

    /

    2

    2

    I

    2356

    ~

    /

    ,/

    /

    /

    3

    3

    I

    2

    3

    46

    ,/

    /

    /

    /

    4

    4

    4

    I

    23

    t

    /

    ,/

    /

    5

    5

    I

    235

  • 8/10/2019 Analise I Djairo Guedes Figuei Cap 1

    56/59

    46

    NMEROS RE IS C Po

    Seguindo-se as setas obtm-se uma ordenao do conjunto F; e a funof: N -? F

    neste caso ser assim definida: f n = n-simo elemento de F.

    Observaes. 1 A unio de um conjunto finito A com um conjunto enu

    merve1 B enumervel. De fato sejam

    ento A U B enumervel pois podemos definir f: N -? A U B como se segue

    1 an,

    f n =

    bn_p,

    se

    se

    l n p

    p

    1::::;

    n.

    2 A unio de dois conjuntos enumerveis enumerveI. De fato sejam

    A

    =

    {aI> a2

    e B

    =

    {b1, b2,

    os dois conjuntos enumerveis. Ento

    A

    U

    B

    enumervel porque podemos

    definir f: N -? A U B como se segue

    p se

    n=2p

    f n

    =

    bp

    se

    n

    =

    2p

    1

    Das observaes 1 e 2 e do fato que

    Q

    enumervel segue-se:

    Teorema 5 O conjunto Q dos nmeros racionais enumervel.

    A seguir provamos o resultado.

    Teorema 6 O conjunto IR dos nmeros racionais

    enumervel.

    Demonstrao Mtodo diagonal de Cantor . Basta provar que o conjunto

    dos reais em [0 1 no enumervel. Suponhamos por contradio que fosse.

    Ento usando as representaes decimais de UJ*, cf. Se. 1.13 poderamos escrever

    todos os reais de [0 1 em uma tabela assim

    Agora construamos o seguinte real

    b1 b2 b3

    onde

    b}

    um algarismo diferente de ai} e de 9. Obviamente esse real no figura

    na tabela acima e da o absurdo.

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    : CONJUNTOS ENUMERVEIS

    EXERCCIOS

    Considere uma coleo enumervel de conjuntos finitos

    A1

    Az

    Mos-

    tre que a unio U

    An

    tambm enumervel.

    n

    Sugesto~

    Ver a tabela do Ex. 5.

    2 Considere uma coleo enumervel de conjuntos eilumerveis: An

    = {an1 an an } para

    n =

    1 2 3 .... Mostre que U An enumervel.

    2 3 n=l

    Sugesto

    Ver a tabela do Ex. 5.

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    58/59

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    : CONJUNTOS ENUMERVEIS

    EXERCCIOS

    Considere uma coleo enumervel de conjuntos finitos

    AI

    A2

    Mos-

    tre que a unio U n tambm enumervel

    n

    Sugesto~ Ver a tabela do Ex 5

    2 Considere uma coleo enumervel de conjuntos enumerveis:

    n

    Mostre que U

    n

    enumervel

    n

    Sugesto. Ver a tabela do Ex 5