Captulo 2

Funes Reais

2.1. .FunesReais

Na Se.1.1,definimoso conceitogeralde funo. Ne~ta,porm,estamosinteressadosem um tipo especialde funes- as funesreais. Dizemosqueumafunof real,seseucampodedefinio o conjuntoIR ou umsubconjuntodele,e seucontradomnio o conjuntoIR. Usamosa notao[))(f) paradesignaro campode definioda funof

Exemplos:

(i) f(x) =x paratodo x E IR. Aqui [))(f) =IR.(ii) f(x) =x parax E [0,1]. [))(f) =[0,1].(iii) f(x) =x +1 parax E (0,1)

=Oparax =O. [))(f) =[0,1).(iv) f(x) =2x - 1 parax E (1,2]. [))(f) =(1,2].(v) f(x) =x2 parax E IR. [))(f) =IR.(vi) f(x) =v~,parax ~ O. [))(f) =[O,+co).(vii) f(x) = Ix I, paratodo x E IR. [))(f) =IR.(viii) f(x) =1, parax >O

O,parax =O- 1, parax

2.1 FUNES REAIS 49

Ummododeinterpretargeometricamentewnafunotraarseugrfico.Paraisso,tomamoswnsistemacartesianodecoordenadas,isto,wnparderetasperpendicularesondemarcamoso Oe o 1,comoindicamosnaFigura2.1.

1

Fig.2.1

1

y ------.,PIIIIIIx

Fig.2.2

Assim, como j se viu na Se. 1.4,cada ponto da reta RI representvelpor um real, o mesmo acontecendocom os pontos da reta R2' Vemos, ento,que dado um ponto P do plano, podemos determinarum nmero real x como

4

3

(1. 2)T---'

(- 2,3/2) c-----------,,III,,

-1- ---- - - - - - - - - -'(3, -1)

-4 -3 -2 -1,IIII,II,,IL _

o

-2

2 4

-3

-4

Fig.2.3

a interseoda reta RI com a reta perpendiculara RI e passandopor P. Umoutro real, y, tambm determinadocomo a interseoda reta R2 com a retaperpendiculara R2 passandopor P.

50 FUNES REAIS CAPo2

Com esseprocedimento,associamosa cadapontoP do planoum par (x,y)de reais,quesochamadosas coordenadasde P. Reciprocamente,dadoum par(x,y) dereais,determinaremosumpontoP comointerseodaretaperpendiculara Rh passandopor x, coma retaperpendiculara R2 passandopor y. (Ver osexemplosda Fig.2.3.)

Pelo queacabamosde expor,vemosqueh umacorrespondnciabiunvocaentreos pontosdo planoe os pares(x,y) de reais. A primeiracoordenada,x, sempremarcadasobrea retaRh que chamadao eixodosx. A segundaco-ordenada,y, marcadasobrea retaR2, que chamadao eixodosy.

Voltemos questoda interpretaogrficade umafuno. O grficodeumafunof o subconjuntodo planoformadopelospontos(x,f(x)),quandoxpercorreo campodedetiniodafuno.Tracemoso grficodealgumasdasfunesdefi-nidasacima.(VerFig. 2.4.)

-1 1

(O (vii)

2 ---------~: II II I

1 ----~ :I I II I IJ I I

3

(ix)

1 2O-1-2

IIIIIIIII I~--- -2I II II I

~-----J.----- -3(vi ii)

10-------

-------{)-1

------0:.-------.-3O

Fig.2.4

2.1 FUNES REAIS 51

Paratraaros grficosdasfunes(v), (vi)e (x) (Figs.2.5,2.6e2.7),conve-niente,comona maiorpartedos casos,fazerumatabela. Na primeiracoluna,colocamosalgunsnmerosdo domnioda funoe, na segundacoluna,escreve-mos os valorescorrespondentesda funo. O nmerode pontosqueconside-ramosna tabeladependeda precisoquedesejamosparao grfico. VejamosoEx. (v).

X Xl

O

O

1

2

2

4

3

9

-1

1 (v)

-2

4

-3

9 -3-2-1 23Fig.2.5

Antesdetraarmoso grficodeumafuno,valea penaanalis-Iapor ummomento,a fim detentarmosdescobriralgumasimetriaou algumfatoquesimpli-fique o trabalho. P. ex., a funof(x) =x2 temumasimetriacom relaoaoeixodosy, pois(x, Xl) e(- X, x2) sopontosdogrfico.Logo,bastacomputarospontosdogrficoparax 2: O.

O grficodef(x) =v-; o conjuntodospontos(x,y) do planotaisquex ~~ O e y =v-;. Observamos,primeiramente,quey2 =x, de ondeumatabelaparaf(x) =V-; seriaobtidaa partir de umatabelaparaa funox2 (tomandosomenteos reaisx ~ O), trocandoas colunas. Assimusandoa tabelaacimaob-temos:

x v73

OO

211

14

22

34567899

3 (vi)Fig.2.6

52 FUNES REAIS CAP.2

Finalmente,vejamoso exemplo(x). Com as tabelasa seguir,

xIl/x xI1/x1

1 -1-12

1/2 -2-1/23

1/3 -3-1/34

1/4 -4-1/4

podemos

traaro grficomostradonaFig.2.7

1~/21/3!/4

--_:_====:::J::~!, ,I 2 3

(Xl

4

Fig.2.7

No difcilverqueo grficode l/x simtricoemrelao diagonal.:1, indicadana Fig. 2.7.

2.2. LimitesLateraisdeumaFuno

Consideremosumafunorealf: A --io IR definidaemum subconjuntoA dosnmerosreas.

Definio1. Sejac um nmerorealtal que,paraalgumd > c, o intervaloaberto(c,d) estejacontidoem A. Esta situaoocorreria,p. ex.,se A =(a,b]e c fosseumpontodo interiordo intervalo(a,b] ou sec =a. A funof: A -- IRtemlimite direitano pontoc seexistirumrealr tal que,paraqualquersucesso

2.2 LIMITES LATERAIS DE UMA FUNO 53

(Xn) contida em A, com Xn >c, e convergindopara c, tenhamosque a sucesso(f(Xn convergepara r, i.e., limf(xn) =r. Tal nmero r chamado o limite direita de f no ponto c, o qual geralmentedesignadopelas notaesf(e+) oulim f(x). Observe que a funo no precisaestar definida no ponto c para o

,,->c+

limite direita existir, pois c podia ser igual a a no casoA =(a,b] exemplificadoacima.

Definio 2. Seja agora c um real tal que, para algum c' c. Ento, a condionecessriae suficientepara quer sejao limite direitadef nopontoc que,dadoI: >O, exista >O ( dependendode 1:) tal que jf(x) - r I < I: para c O, existeno E N tal que I!(xn) - ri

54 FUNES REAIS CAPo2

(Xn) tal que xn ~ c e If(xn) - r I > O. Mas isso contradizo fato de r ser olimite lateral direita de f no ponto c. Assim, fica estabelecidaa necessidadedacondiodo teorema.

De modo anlogo, demonstramosos resultadosa seguir.

Teorema2.2. Seja f: A --.,.IR umafuno real e c umponto tal queo intervalo(c', c) C A para algumc' O, existe >O talque If(x) - r I

2.2 LIMITES LATERAIS DE UMA FUNO 55

o carter local do limite. Nas trsdefiniesanteriorespediu-seaexistnciadeintervalosadjacentesao Rontoc ondea funof fossedefinidae umacertapro-priedadefosse vlida. fcil ver que, no caso da Definio1, poderamostomar,emvezdo intervalo(c,d), qualquerintervalo(c,di), comc c e provarquef(xn) --? r. Uma perguntanatural a seguinte:ser necessrioverificar isso para todas as sucesses? tambmnaturalesperarmosquebasteconsiderarassucessesdecrescentes.issoqueprovamosa seguir. Suponha,ento,queparatodasucessodecrescente(Xn) contidaemA, convergindoparac, tenhamosf(xn) -;. r. Sejaagora(Yn) umasucessoarbitrriacontidaemA comYn > c e Yn --? c; suponhamos,por contra-dio,quefCYn) noconvirjaparar. Logo, existed > O e umasubsucesso(yn)de (yn) tal que: (*) If(Yn) - r I >d. Como (Yn.) convergeparac e Ynj >c, se-gue-seque existeuma subsucesso(Ym) de (Yn),J a qual decrescentee convergeparac. (Proveisso!) Ento,pelahiptese,temosquef(Ym) -;. r, o quecontra-diz a desigualdade(*) acima.De modo anlogo,podemosprovarque,na Defi-nio2, bastatomarsucesses(xj quesejamcrescentes.

Limites quandox -;. ro. Ao tentartraaro grficodeumafunof: A --+IRdefinidaemumconjuntoA quecontmumintervaloinfinito(p.ex.,A ~ [a,+ro,vemosque extremamenteimportantesaberqual seucomportamentoparava-loresarbitrariamentegrandesdex, ou,como comumdizer-se,quandox tendepara +ro. Uma respostaadequadaa esseproblemaserconseguida atravsda introduodo limitedef(x), quandox -;. +ro, e do limitedef(x), quandox -;. - ro, o quefaremosa seguir.

SejaA um subconjuntode IR quecontmum intervaloda forma [a, +ro)paraalgumnmeroreala. Uma funof: A -;. IR temlimite quandox -;. +ro

56 FUNES REAIS CAPo2

usando um argumentosemelhanteao do exemplolim f(x) =1.

.,-++",

seexistirum nmeroreal r tal que,paraqualquersucesso(x,,) contidaemA etal quex" - +0:>, temosquef(x,,) - r. O nmeror chamadoo limite def(x),quandox - +0:>, e usamosa notaor = lim f(x).

",-++",

Exemplo 1. f(x) =senx, paratodo x real. Apesarde no havermosintro-duzidoaindaas funestrigonomtricas,imaginamosqueo leitorestejafamilia-rizadocomasmesmas,e queremosdaresteexemploparamostrarqueo limitedef(x), quandox - + 0:>, podeno existir.

De modoanlogo,podemosdefiniro limitedef(x), quandox - - 0:>, parafunesf' A - IR, cujo campode definioA contenhaintervalosda forma(- 0:>,a].

EXERCCIOS

1. Sejaf: A - IR umafunodefinidaemum conjuntoA, o qual contmumintervalodaforma[a,+0:. Provequer o limitedef(x), quandox- +(1),se,e s se,dadoE >O, existirum real N (o qualpodedependerde E) tal queIf(x) - ri < E paratodo x;::: N.

2. Enunciee prove um resultadoanlogopara limite de f(x), quandox- - 0:>.1 1

Exemplo 2. f(x) = 1 para x > - 1. TemosIf(x) - O I =--- O. Neste caso, If(x) - 1 I =-, ex xanterior,mostramosque

Exemplo 4. f(x) =x2 paratodoreal. Nestecaso,f(x) >x sex> 1, o queimplicaquenopodeexistirnenhumnmerorealr >O quesejalimf(x). Como,

",-++'"paraqualquerM >O dado,existeN >O tal quef(x) >M, parax >N, dizemosque lim f(x) =+0:>.

",-++o>

Exemplo 5. f(x) =- x3 Como no exemploanterior,lim f(x) no existe,",-++",

poisf(x) O existeN >O tal quef(x) N. Nestecaso,dizemosque lim f(x) =- 0:>.

",-++",

3. Mostrequeo limitedef no pontoc determinac~univocamente.Isto, se lim f(x) =r e lim f(x) =s, entor =s."

:e---+c x-+c

4. Seja[x] o maiorinteiromenoro iguala x. Mostrequelim [~; =1.",-++'"S. Sejaf: A - IR umafunoreale c umpontotal que(e', c) C A e (c, d) C

C A paraalgumc' e. Mostrequeo limitedef emc existese,

2.3 OPERAOES COM LIMITE DE FUNOES 57

e s se, dado E >0, pudermosdeterminar tal que lJ(x) - f(y) I

58 FUNES REAIS CAPo 2

(a) Se os limites direitade f e g no ponto c existem,entoasfunesf +g,fg e If I tm limite direita no ponto c e:

(1)

(2)

(3)

lim [f(x) +g(x)] =lim f(x) + lim g(x)x~c+ x-4c+ x---+c+

lim [f(x) . g(x)] =lim f(x) . lim g(x)x---*c+ z--+c+ z---+c+

lim If(x) I =I lim f(x) I:z:--tc+ x----tc+

(b) Enunciadoanlogopara os limites esquerda.

(c) Se os limitesde f e g no pontoc existem,ento as funesf +g, fg e If Itm limite no ponto c e

(4)

(5)

(6)

lim [f(x) +g(x)] = lim f(x) + lim g(x)X---+c x---+c x--J>c

lim [f(x) . g(x)] = lim f(x) . lim g(x)x---+c z--+c x--+C

lim If(x) I = Ilim f(x)l.x---+c :Z:--+c

Demonstrao. Para ilustrar, demonstremosa relao (I); as relaes (2),(3) e as anlogaspara o limite esquerdatm demonstraessemelhantes. Seja(Xn) uma sucessodecrescentecontida em A e convergindopara c. Como f e gtm limite direita no ponto c, temos que (f(xn convergepara f(c+) e (g(Xnconvergepara g(c+). Ento, a sucesso(f(Xn)+g(xn converge para f(c+)++g(c+),em virtude da Propriedade 1 para limites de sucesses. Logo, o limite direita de f+g, no ponto c, existee satisfaza relao (1). A parte (c) doteorema conseqnciaimediatadas partes (a) e (b).

Teorema2.6. Seja f: A -l- IR uma funo real definidaem um subconjuntoA de IR. Suponhaque f(x) ;6. O para x E A. Ento:

(a) Se o limite direitade f no pontoc existee diferentede zero, entoo li-mite direita de l/f no ponto c existe, e

(7) 1. 11m -- =x->c+f(x)

1lim f(x) .x--+c+

(b) Enunciadoanlogopara o limite esquerda.

(c) Se o limite de f no ponto c existee diferentede O, entoo limite de l/fexiste, e

I. 11m -=x->c f(x)

1

limf(x) .x->c

2.3 OPERAES COM LIMITE DE FUNES 59

Demonstraode (a). Seja (Xn) uma sucessodecrescentecontidaem A econvergindoparac. Ento,emvirtudeda Propriedade1,paralimitesde suces-ses,a sucesso(I/f(xn)) convergepara I/limf(xn). Mas, a existnciado limite direitadef, no pontoc, implicaque I/limf(xn) =I/f(c+). Logo, a funoI/ftemlimite direitano pontoc,o qualsatisfaza relao(7). A parte(b)temumademonstraoanloga.A parte(c) umaconseqnciadaspartes(a) e (b).

EXERCCIOS

1. Sejamf: A -Jo IR e g: A -Jo IR duasfunesreaisdefinidasem um certosubconjuntoA dosreais,taisquef(x) .:::;g(x) paratodo x E A. Sef e g tiveremlimiteem um certoponto c, mostreque Iimf(x) .:::;limg(x).

:z;--tc x---'Joc

2. Se no exerccioanteriortivermosf(x) O paratodox ~ a.Provequelim f(x) =+ 00 se,e s se, lim [l/f(x)] =O.

x---t+w x---t+oo

8. Consideredois polinmiosP(x) =aux"+alxn-1 + +a" e Q(x) =,=bux'" +b1x"'-1+...+bm, cujoscoeficientesao, ... , a", bo, , bm so nmerosreaise ao ;;'" O e bo ;;'" O. Os inteirosn e 112 soosgrausdeP e Q, respectivamente.Um polinmiodegraun tem,no mximo,n razesreais,i.e.,a equaoP(x) =Otemno mximon soluesreais(nonecessariamentediferentes).Portanto,paratodox real,diferentedasrazesdeQ(x), podemosdefinirumafunopelaexpres-so f(x) =P(x)/Q(x). Calculeos limitesdef(x), quandox ->+CXl e quandox ~. - CXl. Considere'os diferentescasos:n >112, n =112 e n

60 FUNES REAIS CAPo2

Obsen'oo, O "Teorema fundamental da lgebra" diz que um polinmioP(x) de grau n tem exatamenten razescomplexas(no necessariamentediferentes).Observe que o conjunto dos nmeros complexosinclui o conjunto dos nmerosreais; portanto, algumasdas razes (ou mesmotodas, dependendodo polinmio)de P(x) podem ser reais. Uma demonstraodo Teorernafundamentalda lgebrapode ser encontradana referncia [10].

9. Se I(x) ~ O e lim/(x) =r, mostre que lim viI(x) =Vi.x~c x--+c

10. Mostre que

Vlh-~(i) lim ------- =1

.,-+() X

~-l 1(ii) Um ----- 3.,->0 x

2.4. FunesContnuas

Seja I um intervalo de qualquer um dos tipos seguintes:(a,b), [a,b), (a, b],[a,b], (a, 0:, (- o:>,b], [a, 00), (- 00, b), (- 00,0:. Uma funo realf :I ---+ IR se diz contnuaem um ponto c do interior de I se

I(c) =/(c+) =I(c-).

Se o intervalo contm a extremidadea, ento a funo I: I--.IR contnuaemaseI(a) =I(a+). Se o intervaloI contma extremidadeb, ento a funoI: I ---+ IRse diz contnuaem b seI(b) =I(b-). Uma funo I: I ---+ IR se diz contnuanointervaloI, seela for contnuaem todos os pontos de I. Sertil para refernciasfuturas introduzir as terminologias:I contnua direita em c se I(c) =I(c+) e Icontnua esquerdaem c seI(c) =/(c-).

Exemplosda Se. 2.1. fcil ver que as funes(i), (v) e (vii) so contnuasem IR. A funo (ii) contnua no intervalo [O, 1]. A funo (iii) no con-tnua para x =O. A funo (iv) contnuaem (1,2]. A funo (vi) contnuae[O, +0:. A funo (viii) no contnua em x =O. A funo (ix) no cont' uapara x E 7L. As restriesda funo (x) s semi-retas(- 00, O) e (O, +o:> socontnuas. A funo (x) no estdefinida em x =O; o leitor pode ver facil enteque no possvel defini-Ia a,de modo que a funo resultantesejacontnuei;defato, j observamosque1(0+)e 1(0-) no existempara a funo (x).

Os pontos onde uma funo I: I ---+ IR no contnua so chamadospontosde descontinuidade.Costuma-sedizer que a funo tem uma descontinuidadeemtal ponto. A descontinuidade deprimeiraespcieseos limites direitae esquer-da existirem,mas forem diferentes. Qualquer outro tipo de descontinuidadechamado de segundaespcie. Nos Exs. (viii) e (ix) da Se. 2.1, as descontinui-dadesso de primeiraespcie. No Ex. (x), O um ponto ondeItem uma descon-tinuidade de segundaespcie. A funoI(x) =sen (l/x) apresentadana Se. 2.2

2.4 FUNeS CONTNUAS 61

tem uma descontinuidadede segunda espcieem x =O. As seguintesfunestm tambm descontinuidadesde segundaespcieem x =O.

Exemplos:

(xi) f(x) =l/x para x ~ Of(O) =O

(xii) f(x) =l/x para x > Of(x) =x para x ~ o.

Em umpontoe,ondeumafunof tiveros limitesdireitae esquerda.deftnimoso salto def como sendoJ{e+) - J{c-). Se uma funo contnua,o salto iguala O. A recprocano verdadeira:o saltopode ser O semque a funoseja contnuanaquele ponto. Exemplo:J{x) = x para x * O e J{O) = l.

Nos pontosdedescontinuidadedeprimeiraespcie,o saltoestsempredeftnidoe umnmerorealpositivo,negativo,oumesmonulo,comoacabamosdeexempliftcar.

A seguintecaracterizaode continuidadeser de grandevalia em demonstra-es de vrios teoremasmais adiante.

Teorema2.7. Uma funo f: I ~ IR definida em um intervalo I contnuaem umponto c E I se, e s se, para toda sucesso(xn) em I, tivermosque

xn -7 C ~ f(xJ -7f(e).

Demonstrao. Suponhamosque f seja contnua em c. Ento f tem limiteno ponto c, e limf(x) =f(c). Se (Xn) uma sucessoconvergindopara , tal que

x->c

para n ~ no,temosXn E 1""-... {c},entopeloTeorema2.4,seguir-se-quef(xn) ~ f(e).Se no existirtal no, ento (xn) formada de duassubsucesJes(xnj), tal que Xnj ==c para todoj, e (Xm,), tal quexmj E 1""-... {c}para todoj. E claro quef(xn) ~ f(e) ,pois f(xnj) =f(c). E pelo Teorema 2.4, f(xm) ~ f(c). ~~n) -7f(e). (VerExerc. 12, Se.1.7.)Reciprocamente,separa qualquer~cesso(Xn)\CI"'. {e} con-vergindo para c, tivermos que f(xn) -7f(c), ento p~Jo Teorema 2.4 seguir-se-que lim f(x) =f(c). Isto prova a continuidadede fem c.

x->c

Deixamos ao leitor a demonstraodo teorema seguinte.

Teorema2.8. Seja f: I ~ IR umafuno definidaem um intervaloI. Ento,f contnuaemc E I se, e s se,para qualquerE >O dado,existir um >O tal que

x E I, Ix ~ c I

62 FUNES REAIS CAPo 2

Deimioda funocomposta.Sejamf: A ----+ IR e

2.5 OPERAES COM FUNES CONTNUAS 63

Corolrio 2.1. Se f: I --Jo [R umafuno contnuaem um intervaloI, e a um nmeroreal, entoa funo af contnua.

Demonstrao. Use o Teorema2.11coma funog constantee iguala a.

Corolrio 2.2. A diferena (f - g) de duas funes contnuasf: I --Jo [R eg :1-+ [R em um interralo I contnua.

Demonstrao. Do Corolrio2.1 segue-seque - g contnua. Portanto,o resultadose seguepelaaplicaodo Teorema2.10a f e - g.

Teorema2.12. Se f: I --Jo IR umafunocontnuaem um intervaloI e f(x) r!r! O, para todo x em I, entoa funo1/f conrnu([ emL

Corolrio 2.3. Se f: I --Jo IR e g:I --Jo IR sofunescontnuasemumintervaloI e f(x) ,r! O para todo x E I, entoa funo gjf contnuaem r.

Demonstrao. Direta a partir do~Teoremas2.11e 2.12.

Teorema2.13. Se f: I --Jo IR umafuno contnuaem um intervaloI, entoa funo If I tambmcontnuaem r.

Teorema2.14. Sejam f: I -+IR e tp:J --Jo IR duasfunes contnuasem inter-valosI e J, e tais quea imagemf(I) estejacontidaem J. Ento a funo compostatpo f contnuaem r.

Demonstrao. Provemosa continuidadeemum pontoc. Comof cont-nuaemc,temosquelimf(x) =f(c). E, comoa funotp contnuaemf(c), temos

x->c

que lim tp(y)=tp(f(c. Pelo Teorema2.9sobrelimitesde funescompostas,y->f(c)

temosquelim tp(f(x =tp(f(c,x->c

o quemostraque tp of contnuaem c.

EXERCCIOS

1. Sejamf: I -+IR e g: I -+IR duasfunescontnuasdefinidasem um In-tervaloI. Mostreque as funes

h(x) =max[f(x), g(x)]k(x) =min[f(x), g(x)]

socontnuasem I. (Observecomoasfunesh e k sodefinidas:dado x E I,considereos doisnmerosreaisf(x) e g(x), e definah(x) comosendoo maiordosdois,e k(x) comoo menor.)

64 FUNES REAIS CAPo2

2. Seja1: IR --> IR uma funo tal quef(x) =f(x) para todo E IR e todox E IR. Mostre quef continua.

3. Sejaf: IR --> IR definida assim:f(x) =O, se x for irracional. Se x for ra-

Se. 1.1).

tome a representaode x por uma frao irredutivel L, onde q >O,q

Mostre que f contnua nos irracionais e descontnuanosdefina f(x) =-l.q

racionais. (Compare essafuno com a funo de Dirichlet, ver

cional,

4. Seja I um intervalo qualquer dado; uma funo f: I ~ IR lipschitzianase existeM> O tal que If(x) - f(y) I ~ M Ix - y I, p&ratodos x,y em I. Mostrequef contnua em I.

5. Seja I um intervalo;f: I --> IR Hlder-contnuase existirema >O e Mtais que If(x) - f(y) I ::::;M Ix - y Ia, para todos x, y em I. M chamadoa cons-tantede Hlder e a o expoentede Hlder. Mostre quef contnuaem I. (Obser-vao.a =1 o casodo Exerc.4. Sea > 1,prova-sequef constante,cf. Exerc.2da Se. 3.6.)

6. Mostre que a funo f(x) =x2, definida em Ix I ::::;17, lipschitziana,masf(x) =x2, definida em - co

2.6 FUNES CONTINUAS EM INTERVALOS FECHADAS

2.6. FunesContnuasemIntervalosFechados

65

Uma funof: A ~ IR definidaemum subconjuntoA dos reais li"Jitadasuperiormenteseexistirum nmeroreal M tal que

(I) f(x) ~ M, paratodo x E A.

(v) inf f =O e supf =+ O)(vii) inf f =O e supf =+O)

Em outraspalavras,usandoa terminologiaintroduzidana Se.1.3:f limitadasuperiormente,se a imagemf(A) temumacotasuperior. Portanto.o M da re-lao(I) podeserqualquercotasuperior. PeloPostuladodeDedekind.o conjuntof(A), no casode umafunolimitadasuperiormente,temum supremo.Defini-mos,ento,o supremodafunof (emsmbolossupf) comosendoo supremodoconjuntof(A).

Analogamente,umafunof: A ---+ IR definidaemum conjuntoA C IR li-mitada inferiormenteseexistirum nmerorealN tal que

f(x) ~ N, paratodox E A.

o nfimodef,quesedesignaporinff, definidocomosendoo nfimodo conjuntofl.A).

Exemplos. As funes(i), (ix) e (x), definidasna Se.2.1.no tmnemsu-premonemnfimo. comumdizermosqueo supremodef +co, quandotalsupremonoexistir. Analogamente,usamosa convenoinff =- O) se o nfi-mo no existir. Para algumasdas outrasfunesdefinidasna Se.2.1,temoS;

(ii) inf f =O e supf =1.(iii) inf f =O e supf =2.

-"\1j

J

Umafunof: A ---+ IRdefinidaemumconjuntoA C IR\1inJjJgdfr~fOrlimi-tadasuperiormentee limitadainferiormente.As funesdos Exs. (ii), (iii), (iv)e (viii)solimitadas. claroqueumafunof limitadase,esse,existirK >Otal que If(x) I ~ K paratodo x E A.

Dada uma funolimitada superiormente,pode existirou no um pontoXoE A tal quef(xo) =supf Paraa funo(iii) no existeum tal xo, enquantoqueparaa funo(iv)existe. Diz-sequea funoassumemximoem A, quandoexistirumtal Xo,e o nmerosupf serchamadodemximodef Consideraesanlogasparao nfimo:quandoexistirXoE A tal quef(xo) =inf f,entoo inf fserchamadoo mnimodef e diremosquea funoassumemnimoemA.

Teorema 2.15. Seja f: [a,b] --+ IR umafuno real contnuadefinida em umintervalofechado [a,b]. Ento, f assumemximo e mnimo em [a,b].

66 FUNES REAIS CAPo2

Observao. A existnciade um tal pontoparecebvia,a partirdo exameuogrticodafunocontnua!Entretanto,nodevemosbasearnossasdemonstraesemargumentosgeomtricoscomosgrfiCs,pois,emcertoscasos,ogrficopodesercompli-cadoedifcildevisualizar.Como,p.ex.,ogrficodafunodeDirichletdefinidanaSe.1.1.

Para a demonstraodo Teorema2.15necessitaremosdo lemaa seguir.

Lema 2.1. Seja f: [a,b] --+ IR umafuno contnuaem um intervalofechado[a. b]. Ento, f limitada.

Demonstrao. Vamosmostrarquef limitadasuperiormente.De modoanlogo,demonstraramosque f limitada inferiormente.Suponhamos,porcontradio,quef no fosselimitadasuperiormente.Logo, dadon E N, existex" E [a,b] tal quef(x,,) >n. Pelo Teoremade Bolzano-Weierstrass(Se.1.10),(XII) contmumasubsucesso(Xnj) convergente,sejar o seulimite,oqualpertenceao intervalo[a,b]. Pela continuidadedaf, segue-se(feorema2.7) queAxn.)--+Ar).Portanto,a partirde um certonj temos 1

f(xn) nj. O lemaestprovado.

Demonstraodo Teorema2.1S. SejaMo supdef em [a,b] o qualexiste,em virtudedo Lema 2.1. Dado n E N, existeXn E [a,b] tal queM - f(x,J -c>f(xo). Da decorreriaf(xo) ;::::c, o quecontradiza hiptesef(xo) d. Ento,existe E > O tal que f(x) > d para todo x E I e Ix - xol :::; E.

Demonstrao. Apliqueo Lema2.2 funog(x) =- f(x).

Demonstrao do Teorema 2.16 Parafixaras idias,suponhamosquef(a) < O tal que,para todo x E [b - E, b]temosf(x) >c. Logo, os x desseintervalosocotassuperioresdo conjuntoAe, portanto,b no podesero supremode A. Agora, provemosquef(xl) =c.SuponhamosqueI(xl) < c; ento,pelo Lema2.2,segue-sequeexisteE > O talquef(x) c, tambmnoocorre,pois,usandooLema2.3, teramosum E >O tal quef(x) >c para todo x E [Xl - E, Xl +E],o quemostraqueXl - E cotasuperiorparao conjuntoA; issocontradizo fatodeXl sero supremodeA. Logo,/(xl) deveseriguala c, o queprovao teorema.

EXERCCIOS

1. Sejaf: [O, 1] ---? IR uma funoreal contnua. Suponhaque I(x) E QparaqualquerX E [O, 1] e que1(0)=1. Mostreque1 =: 1.

2. SejaI: [O, 1] -c> [O, 1] uma funocontnua,cujos domnio e conya-domnioso o intervalofechado[O, 1]. Mostre queexisteXo E [O, 1] tal (queI(xo) =Xo. 1\

Ob,maa. O pontox. ohamadonmpantafixo da funof. Um re~ )tadosemelhante vlidopara funesde vriasvariveis,masa demonstrao~no to simples;nessecasoo resultadotomao nomedo Teoremade Brouwere umadaspoderosasarmasdaAnlisenasinvestigaesemcamposda Matem-ticae emsuasaplicaes.

2.7. FunesMontonas

SejaI: I -c> IR umafunodefinidaem um intervalo1. Damosas seguintesdefinies:

68

f crescentesef(XI)

2.8 FUNES INVERSA

EXERCCIOS

69

1. Seja I um intervalo. Diz-se que uma funo f: I ---j. IR satisfaza proprie-dadedo valor intermediriose dadosp,q E fel), ento os pontos entre p e q per-tencema f(I). Mostre que, sef satisfaza propriedadedo valor intermedirioe montona,entof contnua.Mostrequeexistemfunesno-contnuasquesatisfazemapropriedadedo valorintermedirio.

2. Umafunof' I ---j. IR localmentemontonano-decrescentese,paraqualquerXoE I, existirE> O talquefseja montonano-decrescenteem(Xo - fE, Xo +E). Demonstrequeumatalfmontonano-decrescenteem I.

3. Seja f: I --+ IR uma funo real montona definida em um intervalo I.Mostre que o conjuntodos pontosde descontinuidadedaf enumervelou fnito.

2.8. FunoInversa

Seja f: A ---j. B uma funo injetiva definida em um conjunto A e tomandovalores em um conjunto B. Relembremosque f injetiva significaf(XI) ~ f(X2)para Xl ~ X2 em A (cf. Se. 1.1). Para uma tal f, podemosdefinir a funo inver-saf-1:f(A) --+ A, que tem por domnio a imagemf(A) e por contradominioo con-junto A, do seguintemodo: para Y E f(A) temosf-1(y) =X, onde X E A o ele-mento (nico, por ser f injetiva) tal que f(x) =y.

Observe quef-1 :f(A) ---j. A sobrejetiva. Obviamente,toda funo crescente(ou decrescente) injetiva. Para funescontnuasvale uma recprocadestefato:"toda funo f: I ---+ IR injetiva contnua ou crescenteou decrescente." Issoser provado na Se. 2.9.

Lema 2.4. Seja f:I ---j. IR unUlfunocontnuaecrescenteem um intervalo I.Ento,a imagemf(I) umintervalo. Alm disso,sec pertenceao interiorde I, entof(c) pertenceao interior de f(I).

Observao.Esse lema nos diz, ento,que se I for um intervaloaberto(a, b),entof(l) tambmum intervaloaberto(c, d), no qual umaou ambasas extremiJ:la~espodemser infinitas. Se I um intervalo fechado [a, b] entof(I) bm ~intervalofechado. Intervalosdo tipo [a, b) so transformadosem inte alos do tipo[c, d), onde d pode ser + 00. D exemplosdas vrias possibilidaes.

i

Sugesto. Funes como f(x) =- l/x para x> O, e g(x) ~1/(I +x2),para todo x E IR, podem ajudar.

Demonstraodo Lema 2.4. 1) Para mostrar quef(I) um intervalo,o quedevemosfazer provar que, se.yl e Y2, YI O, tal que [c - E,C +E] C 1. Pela primeira partedesteteorema,j provada,a imagemdo intervalo

70 FUNES REAIS CAP.2

(c- E, C +E) umintervaloJ, cujasextremidadessof(c - E) ef(c +E). Sendof crescente,segue-sequef(c - E)

2.9 FUNES INJETlVAS DA RETA 71

Demonstrao. (1) Sejama, b E I, com a

72 FUNES REAIS CAPo2

ao leitora considerao(inteiramenteanloga)dosdemaiscasosdasposiesdex e y, bemcomoo casof(a) >f(b).

2.10. FunesLineares

Sejama e b doisnmerosreaisdados. A funof: R -;. R, definidapor

(1) f(x) =ax +b,

paratodox E IR, chamadaumafuno linear. O nomelinear provmde que,comoanalisaremosabaixO,o grficodef umareta.A continuidadedef ime-diata.

O grficodef(x). Para x =O, temosf(x) =b. Logo, o grficodef passapeloponto(O, b). Seb =O, o grficodaf correspondente,f(x) =ax, passapelaorigem. Consideremosessecasoprimeiro. H trspossibilidades:

1.a a =O. Nestecaso,j{x) = O, e o grficodef simplesmenteo eixodos x;

2.a a >O. SejamXl e X2 doisreaisdiferentesde zeroe designemos:YI ==f(XI), Y2 =f(X2)' ComoYI =aXI e Y2 =aX2, temos

(2)

p

Observequepara (x, y), no grfico,os nmerosx e Y tmo mesmosinal.Logo, sesonegativos,temosy/x = Iy 1/Ix I. vistadisso,a relao(2)implicaqueos tringulosOPXI e OQX2 dasfigurasabaixososemelhantes.

Fig.2.9

2.10 FUNES LINEARES 73

Portanto, os pontos (x, y) do grfico def(x) =ax so precisamenteos pontos deuma reta passando pela origem,cujaequaoy =(IX, (/ >O.

3.a a

74 FUNES REAIS CAP.2

4. Sejaf: (a,b) -)o IR umafunoconvexa.Demonstreque

f(c) - f(x)