Analise I Djairo Guedes Figueiredo Capitulo 2

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Capítulo 2 Funções Reais 2.1. .Funções Reais Na Seç. 1.1, definimos o conceito geral de função. Ne~ta, porém, estamos interessados em um tipo especial de funções - as funções reais. Dizemos que uma função f é real, se seu campo de definição é o conjunto IR ou um subconjunto dele, e seu contradomínio é o conjunto IR. Usamos a notação [))(f) para designar o campo de definição da função f Exemplos: (i) f(x) = x para todo x E IR. Aqui [))(f) = IR. (ii) f(x) = x para x E [0,1]. [))(f) = [0,1]. (iii) f(x) = x + 1 para x E (0,1) = O para x = O. [))(f) = [0,1). (iv) f(x) = 2x - 1 para x E (1,2]. [))(f) = (1,2]. (v) f(x) = x2 para x E IR. [))(f) = IR. (vi) f(x) = v~, para x ~ O. [))(f) = [O,+ co). (vii) f(x) = Ix I, para todo x E IR. [))(f) = IR. (viii) f(x) = 1, para x > O O, para x = O - 1, para x < O. [))(f) = IR. (ix) f(x) = [x], para todo x E IR, onde [x] designa o maior inteiro menor ou igual a x. [))(f) = IR. (x) f(x) = l/x, para x ~ O. [))(f) é o conjunto IR menos o ponto x = O. Chamamos atenção para o fato de que uma expressão algébrica tão-somente não define uma função. E necessário explicitar seu campo de definição. Entretanto, é comum dar uma expressão algébrica e tomar (implicitamente) como campo de definição os pontos onde a expressão ~ntido. Assim, as expressões algébricas J(x) = Yx(x - 1) e g(x) = Vi Vx - 1 conduzem a funções diferentes. pois para a primeira 1Qi(f) = {x E IR: x ~ O ou X 2: I} e para a segunda D(g) = {x E IR: x 2: I}.

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Capítulo 2

Funções Reais

2.1. .Funções Reais

Na Seç. 1.1, definimos o conceito geral de função. Ne~ta, porém, estamosinteressados em um tipo especial de funções - as funções reais. Dizemos queuma função f é real, se seu campo de definição é o conjunto IR ou um subconjuntodele, e seu contradomínio é o conjunto IR. Usamos a notação [))(f) para designaro campo de definição da função f

Exemplos:

(i) f(x) = x para todo x E IR. Aqui [))(f) = IR.(ii) f(x) = x para x E [0,1]. [))(f) = [0,1].

(iii) f(x) = x + 1 para x E (0,1)= O para x = O. [))(f) = [0,1).

(iv) f(x) = 2x - 1 para x E (1,2]. [))(f) = (1,2].

(v) f(x) = x2 para x E IR. [))(f) = IR.

(vi) f(x) = v~,para x ~ O. [))(f) = [O,+ co).

(vii) f(x) = Ix I, para todo x E IR. [))(f) = IR.

(viii) f(x) = 1, para x > OO, para x = O

- 1, para x < O. [))(f) = IR.

(ix) f(x) = [x], para todo x E IR, onde [x] designa o maior inteiro menorou igual a x. [))(f) = IR.

(x) f(x) = l/x, para x ~ O. [))(f) é o conjunto IR menos o ponto x = O.Chamamos atenção para o fato de que uma expressão algébrica tão-somente

não define uma função. E necessário explicitar seu campo de definição. Entretanto,é comum dar uma expressão algébrica e tomar (implicitamente) como campo de

definição os pontos onde a expressão ~ntido. Assim, as expressões algébricasJ(x) = Yx(x - 1) e g(x) = Vi Vx - 1 conduzem a funções diferentes. poispara a primeira 1Qi(f) = {x E IR: x ~ O ou X 2: I} e para a segunda D(g) ={x E IR: x 2: I}.

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2.1 FUNÇÕES REAIS 49

Um modo de interpretar geometricamente wna função é traçar seu gráfico. Para isso,tomamos wn sistema cartesiano de coordenadas, isto é, wn par de retas perpendiculares ondemarcamos o Oe o 1, como indicamos na Figura 2.1.

1

Fig.2.1

1

y ------.,PIIIIIIx

Fig.2.2

Assim, como já se viu na Seç. 1.4, cada ponto da reta RI é representávelpor um real, o mesmo acontecendo com os pontos da reta R2' Vemos, então,que dado um ponto P do plano, podemos determinar um número real x como

4

3

(1. 2)T---'

(- 2, 3/2) c-----------,,III,,

-1- ---- - - - - - - - - -'(3, -1)

-4 -3 -2 -1,IIII,II,,IL _

o

-2

2 4

-3

-4

Fig.2.3

a interseção da reta RI com a reta perpendicular a RI e passando por P. Umoutro real, y, é também determinado como a interseção da reta R2 com a retaperpendicular a R2 passando por P.

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50 FUNÇÕES REAIS CAPo2

Com esse procedimento, associamos a cada ponto P do plano um par (x, y)de reais, que são chamados as coordenadas de P. Reciprocamente, dado um par(x, y) de reais, determinaremos um ponto P como interseção da reta perpendiculara Rh passando por x, com a reta perpendicular a R2 passando por y. (Ver osexemplos da Fig.2.3.)

Pelo que acabamos de expor, vemos que há uma correspondência biunívocaentre os pontos do plano e os pares (x, y) de reais. A primeira coordenada, x,é sempre marcada sobre a reta Rh que é chamada o eixo dos x. A segunda co­ordenada, y, é marcada sobre a reta R2, que é chamada o eixo dos y.

Voltemos à questão da interpretação gráfica de uma função. O gráfico deuma função f é o subconjunto do plano formado pelos pontos (x,f(x)), quando xpercorre o campo de detinição da função. Tracemos o gráfico de algumas das funções defi­nidas acima. (Ver Fig. 2.4.)

-1 1

(O (vii)

2 ---------~: II II I

1 ----~ :I I II I IJ I I

3

(ix)

1 2O-1-2

IIIIIIIII I~--- -2I II II I

~-----J.----- -3(vi ii)

10-------

-------{)-1

------0:.-------. -3O

Fig.2.4

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2.1 FUNÇÕES REAIS 51

Para traçar os gráficos das funções (v), (vi) e (x) (Figs. 2.5, 2.6 e 2.7), é conve­niente, como na maior parte dos casos, fazer uma tabela. Na primeira coluna,colocamos alguns números do domínio da função e, na segunda coluna, escreve­mos os valores correspondentes da função. O número de pontos que conside­ramos na tabela depende da precisão que desejamos para o gráfico. Vejamos oEx. (v).

X Xl

O

O

1

2

2

4

3

9

-1

1 (v)

-2

4

-3

9 -3-2-1 23

Fig.2.5

Antes de traçarmos o gráfico de uma função, vale a pena analisá-Ia por ummomento, a fim de tentarmos descobrir alguma simetria ou algum fato que simpli­fique o trabalho. P. ex., a função f(x) = x2 tem uma simetria com relação aoeixo dos y, pois (x, Xl) e (- X, x2) são pontos do gráfico. Logo, basta computar os pontos dográfico para x 2: O.

O gráfico de f(x) = v-; é o conjunto dos pontos (x, y) do plano tais que x ~

~ O e y = v-;. Observamos, primeiramente, que y2 = x, de onde uma tabelapara f(x) =V-; seria obtida a partir de uma tabela para a função x2 (tomandosomente os reais x ~ O), trocando as colunas. Assim usando a tabela acima ob­temos:

x v73

OO

211

14

22

34567899

3 (vi)Fig.2.6

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52 FUNÇÕES REAIS CAP.2

Finalmente, vejamos o exemplo (x). Com as tabelas a seguir,

xIl/x xI1/x

1

1 -1-12

1/2 -2-1/23

1/3 -3-1/34

1/4 -4-1/4

podemos

traçar o gráfico mostrado naFig.2.7

1~/21/3!/4

--_:_===±=:::J::~!, ,I

2 3

(Xl

4

Fig.2.7

Não é difícil ver que o gráfico de l/x é simétrico em relação à diagonal .:1, indicadana Fig. 2.7.

2.2. Limites Laterais de uma Função

Consideremos uma função real f: A --io IR definida em um subconjunto A dosnúmeros reaÍs.

Definição 1. Seja c um número real tal que, para algum d > c, o intervaloaberto (c, d) esteja contido em A. Esta situação ocorreria, p. ex., se A = (a, b]e c fosse um ponto do interior do intervalo (a, b] ou se c = a. A função f: A -- IRtem limite à direita no ponto c se existir um real r tal que, para qualquer sucessão

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2.2 LIMITES LATERAIS DE UMA FUNÇÃO 53

(Xn) contida em A, com Xn > c, e convergindo para c, tenhamos que a sucessão(f(Xn» converge para r, i.e., limf(xn) = r. Tal número r é chamado o limite àdireita de f no ponto c, o qual é geralmente designado pelas notações f(e+) ou

lim f(x). Observe que a função não precisa estar definida no ponto c para o,,->c+

limite à direita existir, pois c podia ser igual a a no caso A = (a, b] exemplificadoacima.

Definição 2. Seja agora c um real tal que, para algum c' < c, o intervaloaberto (c', c) esteja contido em A. Por exemplo, A = [a, b) e c um ponto interiordo intervalo A ou c = b. A função f: A -> R tem limite à esquerda no ponto c seexistir um real s tal que, para qualquer sucessão (xn) contida em A, com Xn < c,e convergindo para c, tenhamos lim f(xn) = s. Tal número s é chamado o limiteà esquerda de f no ponto c, o qual é geralmente. designado por f(c -) ou limf(x).

x-+c-

Como no caso do limite à direita, a existência do limite à esquerda no ponto c nadatem a ver com a função estar ou não definida no ponto c.

Definição 3. Seja, agora, c um real tal que existam intervalos abertos (c', c)(c, d) contidos em A. Por exemplo, isso seria o caso se A contivesse um intervaloI e c fosse um ponto do interior de I; ou ainda, se A fosse composto de dois inter­valos consecutivos, como [O, 1) e (1,2) e c = 1. Vemos, no primeiro exemplo,que c pertence a A e, no segundo, que c não pertence a A. A função f: A --? Rtem limite em um tal ponto c se existem os limites à direita e à esquerda, f(c+) ef(c-), e são iguais. Esse valor comum é chamado o limite de f no ponto c. e édesignado por lim f(x).

x-+c

As definições dos limites laterais de uma função f no ponto c, usando suces­sões (xn) convergindo para c, foram preferidas, no presente trabalho, por dois moti­vos: (l) parece-nos mais fácil entender tais limites relacionando-os diretamentecom os limites de sucessões já estudados; (2) as demonstrações dos teoremas e dosexercícios da Seç. 2.3 são mais simples usando essas definições. Entretanto, oproblema de provar que certo número é o limite lateral de uma função dada é maisfacilmente resolvido, usando os resultados abaixo, os quais dão condições neces­sárias e suficientes para um número ser limite lateral. Em alguns textos, essascondições são as próprias definições dos limites laterais.

Teoremll 2.1. Seja f: A -;. IR uma função real e c um ponto tal que o intervalo(c, d) C A para algum d > c. Então, a condição necessária e suficiente para quer seja o limite à direita de f no ponto c é que, dado I: > O, exista ó > O (ó dependendode 1:) tal que jf(x) - r I < I: para c < x < c + Ó.

Demonstração. 1) A condição é suficiente. Dada (xn) tal que Xn E (c, d)e Xn ~ c, queremos provar que !(xn) ~ r. Isto é, queremos provar que dadoE > O, existe no E N tal que I!(xn) - ri < E para n 2: no' Pela hipótese, sabemosque, dado E > O, existe õ > O tal que I!(xn) - ri < E, se c < Xn < C + 8.Portanto; como xn ~ c, basta escolher no de modo que c < Xri < C + õ paran 2: no. 2) A condição é necessária. Suponha, por contradição, que exista Eo > O

tal que para todo 8 > O se tenha lfixn) - r I > Eo, para algum x tal que c <

x < c + 8. Tomando para 8 os termos da sucessão (~} obtemos uma sucessão

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54 FUNÇÕES REAIS CAPo2

(Xn) tal que xn ~ c e If(xn) - r I > €O. Mas isso contradiz o fato de r ser olimite lateral à direita de f no ponto c. Assim, fica estabelecida a necessidade dacondição do teorema.

De modo análogo, demonstramos os resultados a seguir.

Teorema 2.2. Seja f: A --.,. IR uma função real e c um ponto tal que o intervalo(c', c) C A para algum c' < c. Então, a condição necessária e suficiente para quer seja o limite lateral à esquerda de f no ponto c é que, dado E > O, existe ó > O talque If(x) - r I < E para c - ó < x < C.

Teorema 2.3. Seja f: A --7 IR uma função real e c um ponto tal que os inter­valos (c', c) e (c, d) estejam contidos em A para algum c' < c e algum d > c. Então,a condição necessária e suficiente para que r seja o limite de f no ponto c é que, dadoE > O, exista ó > O tal que If(x) - r I < E para O < Ix - c I < ó.

Usando esses teoremas, podemos estudar eficientemente os limites lateraisdas funções exemplificadas na Seç. 2.1.

(i)

(ii)

(iv)

(v)

Para a função (i), temos f(O+) = f(O-) = O e, portanto, lim f(x) = O.",-+0

Para a função (ii), lim f(x) não existe, apesar de f(O+) existir.",-+0

Para a função (iv), f(l +) = I, e f não é definida para x = 1.

Para a função (v), temos lim f(x) = 4, pois",-+2

Ix2 - 41 = Ix + 211x - 21 < 5\x - 21

para O < Ix - 2 I < ó < 1. Portanto, dado E > O, com E < 5, tomemos

o = E/5.

(viii) Para a função (viii), f(O+) = 1 e f(O-) = - 1, enquanto f(O) = O·

(ix) Para a função (ix), f(3+) = 3 e f(3-) = 2.

(x) Para a função (x), f(O+) e f(O-) não existem.

o leitor pode facilm::mte ver que, para os Exs. (ii), (iii) e (iv), as funções têmlimite à direita em certos pontos, mas não limite à esquerda, ou vice-versa.

O Ex. (x) é de uma função para a qual f(O+) e f(O-) não existem. Nestecaso, a não-existência desses limites decorre do fato de que a função se torna ilimitadanas proximidades de O. Nas circunstâncias do Ex. (x), é comum dizer que o limitelateral é + 00 ou - 00, conforme o caso. O leitor deve, porém, compreenderque isso é um], convenção e que de nenhum modo essa situação está incorporadana definição. (De fato, + 00 e - 00 não são números I). Daremos, agora, umexemplo de uma função cujos limites laterais em um ponto não existem, apesarde a funçã.o se manter limitada:

If(x) = sen -, para x r6- O.x

Para esta função, f{O +) e f{O -) não existem. A função de Dirichlet definida na Seção 1.1não possui limites Iatérais em .nenhum ponto x E IR.

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2.2 LIMITES LATERAIS DE UMA FUNÇÃO 55

o caráter local do limite. Nas três definições anteriores pediu-se a existência deintervalos adjacentes ao Ronto c onde a função f fosse definida e uma certa pro­priedade fosse válida. É fácil ver que, no caso da Definição· 1, poderíamostomar, em vez do intervalo (c, d), qualquer intervalo (c, di), com c < di < d. Emoutras palavras, f(c+) existe se, e somente se, existir um real r tal que, para qual­quer d' com c < d' ~ d, temos que: dada uma sucessão (Xn), com Xn E (c, di) econvergindo para c, então f(xn) converge para r. Isso mostra que a questão daexistência dos limites em um ponto depende tão-somente do comportamento dafunção "perto" daquele ponto.

Teorema 2.4. Seja f: A -;. IR uma função real, e suponhanos que c seja umreal tal que existam intervalos (c', c) e (c, d) contidos em A. Então, f tem limiteno ponto c se, e só se, existir um número real r, tal que f(xn) -;. r, para qualquer su­cessão (xn), contida nos intervalos (c', c) e (c, d), e convergindo para c.

Observação. Como antes, não se requer que c pertença a A. As sucessões(xn) não estão necessariamente em um mesmo intervalo (c', c) ou (c, d); elas podemoscilar de um lado e outro de c.

Demonstração. Deixamo-Ia ao leitor. Como sugestão, lembramos que hátrês possibilidades quanto à localização dos termos Xn: 1) existe um no tal que, paratodo n ~ no, Xn E (c', c); 2) existe no tal que, para todo n ~ no, Xn E (c, d);3) Xn se compõe de duas subsucessões (xni) e (xm) satisfazendo, respectivamente,às condições postas nas Definições 1 e 2.

Observação. O que estabelecemos a seguir tem o mérito de simplificar a ve­rificação de que um certo número r é limite lateral (ou limite) de uma funçãofnum pontoc. Na Definição 1, vimos que devíamos tomar todas as sucessões (Xn) contidasem A convergindo para c e com Xn > c e provar que f(xn) --? r. Uma perguntanatural é a seguinte: será necessário verificar isso para todas as sucessões?É também natural esperarmos que baste considerar as sucessões decrescentes. Éisso que provamos a seguir. Suponha, então, que para toda sucessão decrescente(Xn) contida em A, convergindo para c, tenhamos f(xn) -;. r. Seja agora (Yn) umasucessão arbitrária contida em A com Yn > c e Yn --? c; suponhamos, por contra­dição, que fCYn) não convirja para r. Logo, existe d > O e uma subsucessão (yn)de (yn) tal que: (*) If(Yn) - r I > d. Como (Yn.) converge para c e Ynj > c, se­gue-se que existe uma subsucessão (Ym) de (Yn),J a qual é decrescente e convergepara c. (Prove isso!) Então, pela hipótese, temos que f(Ym) -;. r, o que contra­diz a desigualdade (*) acima. De modo análogo, podemos provar que, na Defi­nição 2, basta tomar sucessões (xj que sejam crescentes.

Limites quando x -;. ro. Ao tentar traçar o gráfico de uma função f: A --+ IR

definida em um conjunto A que contém um intervalo infinito (p. ex., A ~ [a, + ro »,vemos que é extremamente importante saber qual é seu comportamento para va­lores arbitrariamente grandes de x, ou, como é comum dizer-se, quando x tendepara + ro. Uma resposta adequada a esse problema será conseguida atravésda introdução do limite de f(x), quando x -;. + ro, e do limite de f(x), quandox -;. - ro, o que faremos a seguir.

Seja A um subconjunto de IR que contém um intervalo da forma [a, + ro)para algum número real a. Uma função f: A -;. IR tem limite quando x -;. + ro

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56 FUNÇÕES REAIS CAPo2

usando um argumento semelhante ao do exemplolim f(x) = 1.

.,-++",

se existir um número real r tal que, para qualquer sucessão (x,,) contida em A etal que x" - + 0:>, temos que f(x,,) - r. O número r é chamado o limite de f(x),quando x - + 0:>, e usamos a notação r = lim f(x).

",-++",

Exemplo 1. f(x) = sen x, para todo x real. Apesar de não havermos intro­duzido ainda as funções trigonométricas, imaginamos que o leitor esteja familia­rizado com as mesmas, e queremos dar este exemplo para mostrar que o limite def(x), quando x - + 0:>, pode não existir.

De modo análogo, podemos definir o limite de f(x), quando x - - 0:>, parafunções f' A - IR, cujo campo de definição A contenha intervalos da forma(- 0:>, a].

EXERCíCIOS

1. Seja f: A - IR uma função definida em um conjunto A, o qual contémum intervalo da forma [a, + 0:». Prove que r é o limite def(x), quando x- + (1),se, e só se, dado E > O, existir um real N (o qual pode depender de E) tal queIf(x) - ri < E para todo x;::: N.

2. Enuncie e prove um resultado análogo para limite de f(x), quandox- - 0:>.

1 1Exemplo 2. f(x) = 1 para x > - 1. Temos If(x) - O I = ---<+x 1 +x

N d N' .. . 1 1 L l' ji() O< E para x > , on e e um mtelro maIOr que - -. ogo, 1m x = .E ",-++ '"

X + 1 1Exemplo 3. f(x) = --- para x > O. Neste caso, If(x) - 1 I = -, ex x

anterior, mostramos que

Exemplo 4. f(x) = x2 para todo real. Neste caso,f(x) > x se x> 1, o queimplica que não pode existir nenhum número real r > O que seja lim f(x). Como,

",-++ '"para qualquer M > O dado, existe N > O tal que f(x) > M, para x > N, dizemosque lim f(x) = + 0:>.

",-++ o>

Exemplo 5. f(x) = - x3• Como no exemplo anterior, lim f(x) não existe,",-++",

pois f(x) < - X. Acontece, entretanto, que dado M > O existe N > O tal quef(x) < - M, para x > N. Neste caso, dizemos que lim f(x) = - 0:>.

",-++",

3. Mostre que o limite de f no ponto c é determinacÍ~ univocamente. Istoé, se lim f(x) = r e lim f(x) = s, então r = s."

:e---+c x-+c

4. Seja [x] o maior inteiro menor oú igual a x. Mostre que lim [~; = 1.",-++ '"

S. Sejaf: A - IR uma função real e c um ponto tal que (e', c) C A e (c, d) CC A para algum c' < c e algum d > e. Mostre que o limite de f em c existe se,

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2.3 OPERAÇOES COM LIMITE DE FUNÇOES 57

e só se, dado E > 0, pudermos determinar ó tal que lJ(x) - f(y) I < E paraO < Ix - c I < ó e O < Iy - c I < Ó.

6. Seja f: IR --lo IR. Mostre lim f(x) existe, se, e somente se, dado E > O,x->+'"

pudermos determinar N tal que If(x) - f(y) I < E para x, y ~ N.

2.3. Operações com Limites de Funções

Podemos definir operações de adição e multiplicação de funções reais do seguintemodo:

Definição de adição. Sejam f: A --lo IR e g: A --lo IR duas funções reais comos mesmos campos de defimção. A função s: A --lo1R, definida por

s(x) =f(x) + g(x),

para todo x E A, é chamada a S011Ul das funçõesf e g, e é designada por f + g.

Definição de multiplicação. Sejam f: A --lo1R e g: A --j.1R duas funções reaiscom os mesmos campos de detinição. A função p: A ~ IR definida por

p(x) = f(x) g(x),

para todo x E A, é chamada o produto das funções f e g, e é designada por fg.

Observação. O leitor pode ver facilmente que as duas operações, acima, de­finidas no conjunto das funções reais do tipo f: A --7 IR, satisfazem às leis comu­tativa, associativa e distributiva. Isso decorre do fato de serem os reais um corpo(cf. Seç. 1.4).

Um caso particular da multiplicação é aquele em que g(x) é uma função cons­tante, i.e., g(x) = a para todo x E A. Portanto, af, onde a é número real, é afunção real definida por (af) (x) = af(x).

Definição da função li I. Seja f: A --7 IR uma função real. A funçãoI.f I: A --7 IR é definida por

Ifl (x) = If(i) I,para todo x E A.

Definição da função l/f. Seja f: A --7 IR uma função real tal que f(x) ~ O,para todo x E A. A função IIf: A ---..IR é definida por

(I/f) (x) = I/f(x),para todo x E A.

Agora, enunciamos algumas propriedades do limite de funções em um ponto.

Teorema 2.5. Sejam f: A --lo1R e g: A --lo1R duas funções reais definidas emumsubconjunto· A de IR. Então,

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58 FUNÇÕES REAIS CAPo2

(a) Se os limites à direita de f e g no ponto c existem, então as funções f + g,fg e If I têm limite à direita no ponto c e:

(1)

(2)

(3)

lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)x~c+ x-4c+ x---+c+

lim [f(x) . g(x)] = lim f(x) . lim g(x)x---*c+ z--+c+ z---+c+

lim If(x) I = I lim f(x) I:z:--tc+ x----tc+

(b) Enunciado análogo para os limites à esquerda.

(c) Se os limites de f e g no ponto c existem, então as funções f + g, fg e If Itêm limite no ponto c e

(4)

(5)

(6)

lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)X---+c x---+c x--J>c

lim [f(x) . g(x)] = lim f(x) . lim g(x)x---+c z--+c x--+C

lim If(x) I = Ilim f(x)l.x---+c :Z:--+c

Demonstração. Para ilustrar, demonstremos a relação (I); as relações (2),(3) e as análogas para o limite à esquerda têm demonstrações semelhantes. Seja(Xn) uma sucessão decrescente contida em A e convergindo para c. Como f e gtêm limite à direita no ponto c, temos que (f(xn» converge para f(c+) e (g(Xn»converge para g(c+). Então, a sucessão (f(Xn) + g(xn» converge para f(c+) ++ g(c+), em virtude da Propriedade 1 para limites de sucessões. Logo, o limiteà direita de f + g, no ponto c, existe e satisfaz a relação (1). A parte (c) doteorema é conseqüência imediata das partes (a) e (b).

Teorema 2.6. Seja f: A -l- IR uma função real definida em um subconjuntoA de IR. Suponha que f(x) ;6. O para x E A. Então:

(a) Se o limite à direita de f no ponto c existe e é diferente de zero, então o li­mite à direita de l/f no ponto c existe, e

(7) 1. 11m -- =x->c+ f(x)

1lim f(x) .x--+c+

(b) Enunciado análogo para o limite à esquerda.

(c) Se o limite de f no ponto c existe e é diferente de O, então o limite de l/fexiste, e

I. 11m -=x->c f(x)

1

limf(x) .x->c

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2.3 OPERAÇÕES COM LIMITE DE FUNÇÕES 59

Demonstração de (a). Seja (Xn) uma sucessão decrescente contida em A econvergindo para c. Então, em virtude da Propriedade 1, para limites de suces­sões, a sucessão (I/f(xn)) converge para I/lim f(xn). Mas, a existência do limiteà direita de f, no ponto c, implica que I/limf(xn) = I/f(c+). Logo, a função I/ftem limite à direita no ponto c, o qual satisfaz a relação (7). A parte (b) tem umademonstração análoga. A parte (c) é uma conseqüência das partes (a) e (b).

EXERCÍCIOS

1. Sejam f: A -Jo IR e g: A -Jo IR duas funções reais definidas em um certosubconjunto A dos reais, tais que f(x) .:::;g(x) para todo x E A. Se f e g tiveremlimite em um certo ponto c, mostre que Iimf(x) .:::;lim g(x).

:z;--tc x---'Joc

2. Se no exercício anterior tivermos f(x) < g(x) para todo x E A, dê umcontra-exemplo para mostrar que, em geral, não se tem limf(x) < lim g(x), admi-tindo a existência dos dois limites. x ....•c x ....•c

3. Sejam f, g e h funções reais definidas em um conjunto A C IR. Se f(x) .:::;.:::;g(x) .:::;h(x) para todo x E A e se os limites de f e h existirem e forem iguaisem um ponto c, prove que g também terá limite em c e limf(x) = lim g(x) == Um h(x). x ....•c x ....•x

x ....•c

4. Enuncie e demonstre resultados análogos aos dos Teorema 2.5 e 2.6 parao caso dos limites de f(x) e g(x), quando x -Jo + CXl (ou X -Jo - CXl).

5. Prove que Um f(x) = r e lim g(x) = + CXl implicamx---tc x--tc

lim [f(x) + g(x)] = + CXl

x ....•c

e lim [f(x) . g(x)] = ± CXl, conforme r > O ou r < O.x ..•.•c

6. Dê exemplos para provar que a última relação do Exerc. 5 não se verifica,em geral, no caso de r = O.

7. Seja f: [a, + CXl) -> IR uma função positiva, i.e., f(x) >O para todo x ~ a.Prove que lim f(x) = + 00 se, e só se, lim [l/f(x)] = O.

x---t+w x---t+oo

8. Considere dois polinômios P(x) = aux" + alxn-1 + + a" e Q(x) =,= bux'" + b1x"'-1 + ...+ bm, cujos coeficientes ao, ... , a", bo, , bm são númerosreais e ao ;;'" O e bo ;;'" O. Os inteiros n e 112 são os graus de P e Q, respectivamente.Um polinômio de grau n tem, no máximo, n raÍzes reais, i.e., a equação P(x) = O

tem no máximo n soluções reais (não necessariamente diferentes). Portanto, paratodo x real, diferente das raÍzes de Q(x), podemos definir uma função pela expres­são f(x) = P(x)/Q(x). Calcule os limites de f(x), quando x -> + CXl e quandox ~. - CXl. Considere' os diferentes casos: n > 112, n = 112 e n < m.

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60 FUNÇÕES REAIS CAPo2

Obsen'oçüo, O "Teorema fundamental da Álgebra" diz que um polinômioP(x) de grau n tem exatamente n raízes complexas (não necessariamente diferentes).Observe que o conjunto dos números complexos inclui o conjunto dos númerosreais; portanto, algumas das raízes (ou mesmo todas, dependendo do polinômio)de P(x) podem ser reais. Uma demonstração do Teorerna fundamental da Álgebrapode ser encontrada na referência [10].

9. Se I(x) ~ O e lim/(x) = r, mostre que lim vi I(x) = Vi.x~c x--+c

10. Mostre que

Vlh-~(i) lim ------- = 1

.,-+() X

~-l 1(ii) Um ----- 3.,->0 x

2.4. Funções Contínuas

Seja I um intervalo de qualquer um dos tipos seguintes: (a, b), [a, b), (a, b],[a,b], (a, 0:», (- o:>,b], [a, 00), (- 00, b), (- 00,0:». Uma função realf :I ---+ IR se diz contínua em um ponto c do interior de I se

I(c) =/(c+) = I(c-).

Se o intervalo contém a extremidade a, então a função I: I --.IR é contínua em ase I(a) = I(a+). Se o intervalo I contém a extremidade b, então a função I: I ---+ IR

se diz contínua em b se I(b) = I(b-). Uma função I: I ---+ IR se diz contínua nointervalo I, se ela for contínua em todos os pontos de I. Será útil para referênciasfuturas introduzir as terminologias: I contínua à direita em c se I(c) = I(c+) e Icontínua à esquerda em c se I(c) =/(c-).

Exemplos da Seç. 2.1. É fácil ver que as funções (i), (v) e (vii) são contínuasem IR. A função (ii) é contínua no intervalo [O, 1]. A função (iii) não é con­tínua para x = O. A função (iv) é contínua em (1,2]. A função (vi) é contínua e[O, + 0:». A função (viii) não é contínua em x = O. A função (ix) não é cont' uapara x E 7L. As restrições da função (x) às semi-retas (- 00, O) e (O, + o:> sãocontínuas. A função (x) não está definida em x = O; o leitor pode ver facil enteque não é possível defini-Ia aí, de modo que a função resultante seja contínuei; defato, já observamos que 1(0+) e 1(0-) não existem para a função (x).

Os pontos onde uma função I: I ---+ IR não é contínua são chamados pontosde descontinuidade. Costuma-se dizer que a função tem uma descontinuidade emtal ponto. A descontinuidade é de primeira espécie se os limites à direita e à esquer­da existirem, mas forem diferentes. Qualquer outro tipo de descontinuidade échamado de segunda espécie. Nos Exs. (viii) e (ix) da Seç. 2.1, as descontinui­dades são de primeira espécie. No Ex. (x), O é um ponto onde I tem uma descon­tinuidade de segunda espécie. A função I(x) = sen (l/x) apresentada na Seç. 2.2

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2.4 FUNçÕeS CONTíNUAS 61

tem uma descontinuidade de segunda espécie em x = O. As seguintes funçõestêm também descontinuidades de segunda espécie em x = O.

Exemplos:

(xi) f(x) = l/x para x ~ O

f(O) = O

(xii) f(x) = l/x para x > O

f(x) = x para x ~ o.

Em um ponto e, onde uma função f tiver os limites à direita e à esquerda. deftnimoso salto de f como sendo J{e+) - J{c-). Se uma função é contínua, o salto é iguala O. A recíproca não é verdadeira: o salto pode ser O sem que a função seja contínuanaquele ponto. Exemplo: J{x) = x para x * O e J{O) = l.

Nos pontos de descontinuidade de primeira espécie, o salto está sempre deftnido e éum número real positivo, negativo, ou mesmo nulo, como acabamos de exempliftcar.

A seguinte caracterização de continuidade será de grande valia em demonstra­ções de vários teoremas mais adiante.

Teorema 2.7. Uma função f: I ~ IR definida em um intervalo I é contínuaem um ponto c E I se, e só se, para toda sucessão (xn) em I, tivermos que

xn -7 C ~ f(xJ -7 f(e).

Demonstração. Suponhamos que f seja contínua em c. Então f tem limiteno ponto c, e limf(x) =f(c). Se (Xn) é uma sucessão convergindo para é, tal que

x->c

para n ~ no, temos Xn E 1""-... {c}, então pelo Teorema 2.4, seguir-se-á que f(xn) ~ f(e).Se não existir tal no, então (xn) é formada de duas subsucesJões (xnj), tal que Xnj == c para todo j, e (Xm,), tal que xmj E 1""-... {c} para todo j. E claro quef(xn) ~ f(e) ,

pois f(xnj) = f(c). E pelo Teorema 2.4, f(xm) ~ f(c). ~~n) -7 f(e). (VerExerc. 12, Seç. 1.7.) Reciprocamente, se para qualquer ~cessão (Xn)\C I"'. {e} con­vergindo para c, tivermos que f(xn) -7 f(c), então p~Jo Teorema 2.4 seguir-se-áque lim f(x) = f(c). Isto prova a continuidade de fem c.

x->c

Deixamos ao leitor a demonstração do teorema seguinte.

Teorema 2.8. Seja f: I ~ IR uma função definida em um intervalo I. Então,f é contínua em c E I se, e só se, para qualquer E > O dado, existir um ó > O tal que

x E I, Ix ~ c I < Ô =? If(x) - f(c) I < E.

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62 FUNÇÕES REAIS CAPo 2

Deimição da função composta. Sejam f: A ----+ IR e <p: B --+ IR duas funçõesreais tais que a imagem f(A) está contida em B. A função h: A ----+ IRdefinida por

h(x) = <p(f(x))

para todo x E A é chamada a função composta de f e <p,e se designa por <po f

Fig.2.8

Teorema 2.9. Sejam f: A ---l. IRe <p:B -+ IRduas funções reais, tais que f(A) CC B. Suponha que f tenha limite em um ponto c, e seja m tal limite. Suponha que<pseja contínua no ponto m. Então, a função composta <po f tem limite no ponto c e

lim <p(f(x)) = <p(m).x->c

Demonstração. Seja (x,,) uma sucessão contida em A"" {c} convergindo para C.

Pela hipótese sobre f, segue-se que f(xn) ----+ m. Como <p é contínua, usamos oTeorena 2.7 para obter <p(f(Xn)) --+ <p(m). Ora, isso é verdade para toda sucessão(Xn) C A"" {c} convergindo para C. Logo, pelo Teorema 2.4, o resultado se segue.

2.5. Operações com Funções Contínuas

Usando as propriedades de limites de função, obtemos facilmente os resulta­dos que seguem. Algumas das demonstrações ficam a cargo do leitor.

Teorema 2.10. A soma de duas funções contínuas f: I- IR e g: I --+ IR defi­nidas em um mesmo intervalo I é contínua.

Teorema 2.11. O produto de duas funções contínuas f: I --i IR e g: I -;.IR de­finidas em um intervalo I é contínua.

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2.5 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES CONTíNUAS 63

Corolário 2.1. Se f: I --Jo [R é uma função contínua em um intervalo I, e a éum número real, então a função af é contínua.

Demonstração. Use o Teorema 2.11 com a função g constante e igual a a.

Corolário 2.2. A diferença (f - g) de duas funções contínuas f: I --Jo [R eg : 1-+ [R em um interralo I é contínua.

Demonstração. Do Corolário 2.1 segue-se que - g é contínua. Portanto,o resultado se segue pela aplicação do Teorema 2.10 a f e - g.

Teorema 2.12. Se f: I --Jo IR é uma função contínua em um intervalo I e f(x) r!r! O, para todo x em I, então a função 1/f é conrínu([ em L

Corolário 2.3. Se f: I --Jo IR e g: I --Jo IR são funções contínuas em um intervaloI e f(x) ,r! O para todo x E I, então a função gjf é contínua em r.

Demonstração. Direta a partir do~ Teoremas 2.11 e 2.12.

Teorema 2.13. Se f: I --Jo IR é uma função contínua em um intervalo I, entãoa função If I é também contínua em r.

Teorema 2.14. Sejam f: I -+ IR e tp: J --Jo IR duas funções contínuas em inter­valos I e J, e tais que a imagem f(I) esteja contida em J. Então a função compostatp o f é contínua em r.

Demonstração. Provemos a continuidade em um ponto c. Como f é contí­nua em c,temos que limf(x) = f(c). E, como a função tp é contínua em f(c), temos

x->c

que lim tp(y) = tp(f(c». Pelo Teorema 2.9 sobre limites de funções compostas,y->f(c)

temos quelim tp(f(x» = tp(f(c»,x->c

o que mostra que tp o f é contínua em c.

EXERCíCIOS

1. Sejam f: I -+ IR e g: I -+ IR duas funções contínuas definidas em um In­tervalo I. Mostre que as funções

h(x) = max[f(x), g(x)]

k(x) = min[f(x), g(x)]

são contínuas em I. (Observe como as funções h e k são definidas: dado x E I,considere os dois números reais f(x) e g(x), e defina h(x) como sendo o maior dosdois, e k(x) como o menor.)

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64 FUNÇÕES REAIS CAPo2

2. Seja 1: IR --> IR uma função tal que f(Àx) = Àf(x) para todo À E IR e todox E IR. Mostre que f é continua.

3. Seja f: IR --> IR definida assim: f(x) = O, se x for irracional. Se x for ra-

Seç. 1.1).

tome a representação de x por uma fração irredutivel L, onde q > O,q

Mostre que f é contínua nos irracionais e descontínua nosdefina f(x) = -l.q

racionais. (Compare essa função com a função de Dirichlet, ver

cional,

4. Seja I um intervalo qualquer dado; uma função f: I ~ IR é lipschitzianase existe M> O tal que If(x) - f(y) I ~ M Ix - y I, p&ra todos x,y em I. Mostreque f é contínua em I.

5. Seja I um intervalo; f: I --> IR é Hõlder-contínua se existirem a > O e Mtais que If(x) - f(y) I ::::;M Ix - y Ia, para todos x, y em I. M é chamado a cons­tante de Hõlder e a o expoente de Hõlder. Mostre que f é contínua em I. (Obser­vação. a = 1 é o caso do Exerc. 4. Se a > 1, prova-se quefé constante, cf. Exerc. 2da Seç. 3.6.)

6. Mostre que a função f(x) = x2, definida em Ix I ::::;17, é lipschitziana,mas f(x) = x2, definida em - co < X < co, não é. Dê outros exemplos de fun­ções lipschitzianas.

7. Mostre que a função f(x) = xl/Z, definida para x ?': O, não é lipschitzianaem nenhum intervalo contendo a origem. Entretanto, f é IUilJcf-contínua comexpoente 1/2 em x 2 O.

8. Sejam I um intervalo e f: I --> IR e g: I --> IR funções lipschitzianas. Mostreque f + g é lipschitziana. Se I for limitado, mostre que fg é lipschitziana. Mostre,através de exemplos, que no caso do produto de funções o resultado é falso se Inão for limitado.

9. Uma função f: IR --> IR é localmente lipschitziana se, para qualquer Xo E IR,existirem E > O eM> O, ambos dependendo de xo, tais que If(x) - f(y) I :::;

::::;Mlx - yl, para I x - Xo I < E e Iy - Xo I <E. Mostre que f é contínuaem IR. Dê exemplos de funções localmente lipschitzianas que não são lips­chitzianas.

10. Uma função f: IR --> IR é localmente hõlderiana (ou localmente Hõlder­-contínua) se, para qualquer xo, existirem E > O, M > O e a > O, tais que If(x) -- f(y) I ~ M Ix - y Ia, para Ix - Xo I < E e Iy- yo I < E. Mostre que f é con-tínua em IR. (Se a = 1, temos o caso do Exerc. 9 e se a > 1, então f é constante(cf. Exerc. 2, da Seç. 3.6).

11. Seja I o intervalo aberto (0,1) e f: I -7 IR uma função Hõlder-contÍnuaem I. Mostre que lim f(x) e lim f(x) existem. (Sugestão. Use o Exerc. 5, da

,1;-+0+ X-+l-

Seç. 2.2, devidamente adaptado para limites laterais.)

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2.6 FUNÇÕES CONTINUAS EM INTERVALOS FECHADAS

2.6. Funções Contínuas em Intervalos Fechados

65

Uma função f: A ~ IR definida em um subconjunto A dos reais é li"Jitadasuperiormente se existir um número real M tal que

(I) f(x) ~ M, para todo x E A.

(v) inf f = O e sup f = + O)

(vii) inf f = O e sup f = + O)

Em outras palavras, usando a terminologia introduzida na Seç. 1.3: f é limitadasuperiormente, se a imagem f(A) tem uma cota superior. Portanto. o M da re­lação (I) pode ser qualquer cota superior. Pelo Postulado de Dedekind. o conjuntof(A), no caso de uma função limitada superiormente, tem um supremo. Defini­mos, então, o supremo da função f (em símbolos sup f) como sendo o supremo doconjunto f(A).

Analogamente, uma função f: A ---+ IR definida em um conjunto A C IR é li­mitada inferiormente se existir um número real N tal que

f(x) ~ N, para todo x E A.

o ínfimo de f, que se designa por inff, é definido como sendo o ínfimo do conjunto fl.A).

Exemplos. As funções (i), (ix) e (x), definidas na Seç. 2.1. não têm nem su­premo nem ínfimo. É comum dizermos que o supremo de f é + co, quando talsupremo não existir. Analogamente, usamos a convenção inf f = - O) se o Ínfi­mo não existir. Para algumas das outras funções definidas na Seç. 2.1, temoS;

(ii) inf f = O e sup f = 1.

(iii) inf f = O e sup f = 2.

-"\1j

J

Uma função f: A ---+ IRdefinida em um conjunto A C IR é \1inJjJgdfr~fOr limi­tada superiormente e limitada inferiormente. As funções dos Exs. (ii), (iii), (iv)e (viii) são limitadas. É claro que uma função f é limitada se, e só se, existir K > Otal que If(x) I ~ K para todo x E A.

Dada uma função limitada superiormente, pode existir ou não um pontoXo E A tal que f(xo) = sup f Para a função (iii) não existe um tal xo, enquantoque para a função (iv) existe. Diz-se que a função assume máximo em A, quandoexistir um tal Xo, e o número sup f será chamado de máximo de f Consideraçõesanálogas para o ínfimo: quando existir Xo E A tal que f(xo) = inf f, então o inf fserá chamado o mínimo de f e diremos que a função assume mínimo em A.

Teorema 2.15. Seja f: [a, b] --+ IR uma função real contínua definida em umintervalo fechado [a, b]. Então, f assume máximo e mínimo em [a, b].

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66 FUNÇÕES REAIS CAPo2

Observação. A existência de um tal ponto parece óbvia, a partir do exameuo grático da função contínua! Entretanto, não devemos basear nossas demonstrações emargumentos geométricos com os gráfiCós,pois, em certos casos, o gráfico pode ser compli­cado e difícil de visualizar. Como, p. ex., o gráfico da função de Dirichlet definida na Seç.1.1.

Para a demonstração do Teorema 2.15 necessitaremos do lema a seguir.

Lema 2.1. Seja f: [a, b] --+ IR uma função contínua em um intervalo fechado[a. b]. Então, f é limitada.

Demonstração. Vamos mostrar que f é limitada superiormente. De modoanálogo, demonstraríamos que f é limitada inferiormente. Suponhamos, porcontradição, que f não fosse limitada superiormente. Logo, dado n E N, existex" E [a, b] tal que f(x,,) > n. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass (Seç. 1.10),(XII) contém uma subsucessão (Xnj) convergente, seja r o seu limite, o qual pertenceao intervalo [a,b]. Pela continuidade da f, segue-se (feorema 2.7) queAxn.) --+ Ar).Portanto, a partir de um certo nj temos 1

f(xn) < f(r) + 1.

Isto, porém, contradiz o fato de que f(xn) > nj. O lema está provado.

Demonstração do Teorema 2.1S. Seja Mo sup de f em [a, b] o qual existe,em virtude do Lema 2.1. Dado n E N, existe Xn E [a, b] tal que M - f(x,J << l/no Pois, se não existisse, então M - f(x) ;;:::l/n para todo x E [a, b] e daíM - l/n ;;:::f(x), o que contradiz o fato de M ser o sup de f. Construímos destemodo uma sucessão (xn). Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, segue-se que(x,,) contém uma subsucessão convergente (x"J)' e seja r seu limite. Pela continui­dade de f, segue-se (Teorema 2.7) que f(x"J) --'f(r). Como M - f(x"5) < l/ni.concluímos por propriedades de limites de sucessões (Propriedade 6, Seç. 1.7) queM =f(r), como queríamos provar.

Outro resultado que também parece razoável, a partir da análise do gráficode uma função contínua, é o seguinte teorema, conhecido como Teorema do ValorIntermediário.

Teorema 2.16. Seja f: [a, b] --+ IR uma função contínua definida no intervalo fe­chado [a, b]. Então, afunção f assume todos os valores entre f(a) e f(b). Em outraspalavras, a imagem f([a, b]) contém o intervalo fechado com extremidades f(a) e f(b).

A demonstração utiliza os seguintes lemas.

Lema 2.2. Seja f: I --+ IR uma função contínua num intervalo I. Suponha que,para um ponto Xo E I, se tenha f(xo) < c. Então, existe um E > O tal que f(x)< c para todo x E I tal que Ix - Xo I ~ E.

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2.7 FUNÇÕES MONÓTONAS 67

Demonstração por contradição. Suponha que, qualquer que seja n, existax" E I tal que Ix" - Xo I < l/n e f(x,,) ;::::c. A sucessão (x,,) assim construídaconverge para xo. Pela continuidade de f, segue-se (Teorema 2.7) que f(x,,) --->

-c> f(xo). Daí decorreria f(xo) ;::::c, o que contradiz a hipótese f(xo) < c. .

Lema 2.3. f COI/W no Lema 2.1. Suponha que, para Xo E I, f(xo) > d. Então,existe E > O tal que f(x) > d para todo x E I e Ix - xol :::; E.

Demonstração. Aplique o Lema 2.2 à função g(x) = - f(x).

Demonstração do Teorema 2.16 Para fixar as idéias, suponhamos que f(a) <<f(b), e seja c um ponto do intervalo (f(a),f(b)). Queremos provar que existeXo E [a, b] tal que f(xo) = c. Seja A = {x E [a, b] f(x) ::;; c}. O conjunto A énão-vazio, e b é uma cota superior para ele. Logo, o supremo de A existe; sejaXl tal sup. É claro que Xl ::;; b. Além disso, Xl < b. De fato, sendo f(b) > c,segue-se, pelo Lema 2.3, que existe um E > O tal que, para todo x E [b - E, b]

temos f(x) > c. Logo, os x desse intervalo são cotas superiores do conjunto Ae, portanto, b não pode ser o supremo de A. Agora, provemos que f(xl) = c.Suponhamos que I(xl) < c; então, pelo Lema 2.2, segue-se que existe E > O talque f(x) < c para todo x E [Xl - E, Xl + E], o que contradiz o fato de Xl ser osup de A. A outra possibilidade, I(xl) > c, também não ocorre, pois, usando oLema 2.3, teríamos um E > O tal que f(x) > c para todo x E [Xl - E, Xl + E],

o que mostra que Xl - E é cota superior para o conjunto A; isso contradiz o fatode Xl ser o supremo de A. Logo,/(xl) deve ser igual a c, o que prova o teorema.

EXERCíCIOS

1. Seja f: [O, 1] ---? IR uma função real contínua. Suponha que I(x) E Qpara qualquer X E [O, 1] e que 1(0) = 1. Mostre que 1 =: 1.

2. Seja I: [O, 1] -c> [O, 1] uma função contínua, cujos domínio e conya­domínio são o intervalo fechado [O, 1]. Mostre que existe Xo E [O, 1] tal (queI(xo) = Xo. 1\

Ob,maçãa. O ponto x. é ohamado nm panta fixo da função f. Um re~ )tado semelhante é válido para funções de várias variáveis, mas a demonstração ~não é tão simples; nesse caso o resultado toma o nome do Teorema de Brouwere é uma das poderosas armas da Análise nas investigações em campos da Matemá-tica e em suas aplicações.

2.7. Funções Monótonas

Seja I: I -c> IR uma função definida em um intervalo 1. Damos as seguintesdefinições:

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68

f é crescente se f(XI) < f(X2), para Xl < X2 em I;

f é decrescente se f(XI) > f(X2), para Xl < X2 em I;

f é não-decrescente se f(XI) ~ f(X2), para Xl < X2 em I;

f é não-crescente se f(XI) ?:: f(X2), para Xl < X2 em I.

FUNÇÕES REAIS CAPo2

É claro que toda função crescente é não-decrescente, e toda função decrescenteé não-crescente. Obviamente, esses conceitos sobre a variação de uma funçãonada têm a ver com continuidade (cf. Exs. (viii) e (ix) da Seç. 2.1.). Usa-se a expres­são monótona para qualquer um dos quatro tipos de funções acima definidas.

Teorema 2.17. Uma função não-decrescente f: I ~ iR definida em um inter­valo I tem limites laterais em todos os pontos de r.

Observação. É claro que se c E I é uma extremidade de I, então só existeum dos limites laterais. Se uma das extremidades do intervalo I não pertencera I, então o limite lateral em c pode não existir (cf. Exs. (x) da Seç. 2.1).

Demonstração do Teorema 2.17. 1) Seja c um ponto do interior de I ou aextremidade direita, no caso de esta pertencer ao intervalo I. Provemos que o li­mite à esquerda de f, no ponto c, existe. Considere o conjunto A dos f(x) parax < C. Como f(c) é uma cota superior para A, segue-se, pelo Postulado de De­dekind, que A tem supremo, que designamos por m. Seja agora (xn) uma suces­são crescente contida em I e convergindo para c. Como f é não-decrescente,(f(xn)) é uma sucessão não-decrescente e, portanto, converge, e seja d o seu limite.É claro que d ~ m. Se d < m, então existe X < c tal que: (*) d <f(x). ComoXn ~ c, segue-se que existe n tal que X < Xn e daí f(x) ~ f(xn). Esta desigualdadejuntamente com (*) dá d < f(xn), o que contradiz o fato de a sucessão não-decres­cente (f(xn)) convergir para d. Logo, (f(xn)) converge para m, qualquer que sejaa sucessão (Xn) crescente, contida em I e convergindo para C. Isso mostra quef(c-) existe e é igual a ln.

2) Se c é um ponto interior ou a extremidade esquerda, no caso de esta per­tencer ao intervalo, então f(c+) existe. De modo análogo ao procedimento daprimeira parte, provamos que f(c+) é o ínfimo do conjunto dos f(x) para X > C.

Nota. Decorre da demonstração acima que, se f é não-decrescente e c é umponto interior do intervalo I, então

(I) f(c-) s-; f(c) ~ f(c+)·

Corolário 2.4. Toda função não crescente f: I --? IR, onde I é um interl'alo,tem limites laterais nos pontos de L

Demonstração. A função - f é não-decrescente. Pelo Teorema 2.17, - ftem os limites laterais. Pelas propriedades dos limites laterais de funções (cf.Seç. 2.3), segue-se que f também tem os limites laterais nos pontos de I.

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2.8 FUNÇÕES INVERSA

EXERCíCIOS

69

1. Seja I um intervalo. Diz-se que uma função f: I ---j. IR satisfaz a proprie­dade do valor intermediário se dados p,q E fel), então os pontos entre p e q per­tencem a f(I). Mostre que, se f satisfaz a propriedade do valor intermediário e émonótona, entãofé contínua. Mostre que existem funções não-contínuas que satisfazem apropriedade do valor intermediário.

2. Uma função f' I ---j. IR é localmente monótona não-decrescente se, para qualquer Xo

E I, existir E> O tal quefseja monótona não-decrescente em (Xo - fE, Xo + E). Demonstreque uma tal f é monótona não-decrescente em I.

3. Seja f: I --+ IR uma função real monótona definida em um intervalo I.Mostre que o conjunto dos pontos de descontinuidade da f é enumerável ou fínito.

2.8. Função Inversa

Seja f: A ---j. B uma função injetiva definida em um conjunto A e tomandovalores em um conjunto B. Relembremos que f injetiva significa f(XI) ~ f(X2)para Xl ~ X2 em A (cf. Seç. 1.1). Para uma tal f, podemos definir a função inver­saf-1:f(A) --+ A, que tem por domínio a imagemf(A) e por contradominio o con­junto A, do seguinte modo: para Y E f(A) temos f-1(y) = X, onde X E A é o ele­mento (único, por ser f injetiva) tal que f(x) = y.

Observe que f-1 :f(A) ---j. A é sobrejetiva. Obviamente, toda função crescente(ou decrescente) é injetiva. Para funções contínuas vale uma recíproca deste fato:"toda função f: I ---+ IR injetiva contínua é ou crescente ou decrescente." Issoserá provado na Seç. 2.9.

Lema 2.4. Seja f: I ---j. IR unUlfunção contínua e crescente em um intervalo I.Então, a imagem f(I) é um intervalo. Além disso, se c pertence ao interior de I, entãof(c) pertence ao interior de f(I).

Observação. Esse lema nos diz, então, que se I for um intervalo aberto (a, b),

então f(l) é também um intervalo aberto (c, d), no qual uma ou ambas as extremiJ:la~espodem ser infinitas. Se I é um intervalo fechado [a, b] então f(I) é bém ~intervalo fechado. Intervalos do tipo [a, b) são transformados em inte alos do tipo[c, d), onde d pode ser + 00. Dê exemplos das várias possibilida es.

i

Sugestão. Funções como f(x) = - l/x para x> O, e g(x) ~1/(I + x2),para todo x E IR, podem ajudar.

Demonstração do Lema 2.4. 1) Para mostrar que f(I) é um intervalo, o quedevemos fazer é provar que, se.yl e Y2, YI < Y2 pertencerem a f(1), então o inter­valo [Yi, Y2] estará contido emf(/). Sejam Xl e X2 os pontos de I Üüs que f(XI) = YIe f(X2) = Y2. Logo, devemos provar que [f(XI),j(X2)] CfCl). Isto, porém, de­corre do teorema do valor intermediário (cf. Teorema 2.16).

2) Seja agora c um ponto do interior de I. Seja E > O, tal que [c - E,

C + E] C 1. Pela primeira parte deste teorema, já provada, a imagem do intervalo

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70 FUNÇÕES REAIS CAP.2

(c - E, C + E) é um intervalo J, cujas extremidades são f(c - E) e f(c + E). Sendof crescente, segue-se que f(c - E) < f(c) < f(c + E), o que mostra que f(c) é umponto do intervalo J e, a /ortiori, de f{l).

Teorema 2.18. Seja f: I ---...IR uma função contínua crescente em um intervaloI. Então, a função inversa f-l: f(1) ---...IR é também continua.

Demonstração. Primeiramente observamos que a função inversa f-l :f(l) --+ IR

é também crescente. Para provar o teorema, basta demonstrar as duas assertivasseguintes:

(i) Seja d um ponto do interior de fel) ou a extremidade direita do intervalof(l), caso essa pertença a f(l). Então, para toda sucessão crescente (Yn), Yn --+ d,tem-se que f-l(yn) ---l- f-l(t!).

(ii) d pertence ao interior de f(1) ou é a extremidade esquerda, caso essapertença a f(1). Então, para toda sucessão decrescente (Yn), Yn -+ d, temosj-l(yn) --+ f-l(d).

Demonstramos (i) e deixamos ao leitor a demonstração (análoga) de (ii). SejamXn e c os pontos (únicos) de I tais que j(xj=Yn e j(c)=d. É fácil de ver que asucessão (xj é crescente e limitada superiormente por c. Logo, pelo Teorema 1.4,existe a tal que Xn --+ a. Usando a continuidade de f, através do Teorema 2.7, obtemosj(xj --+ j(a). Isso, juntamente com Yn = .f{xn) --+ d, implica j(a) =d. E como / é crescente(portanto injetiva), temos que a = c. Logo, xn --+ c, como queríamos.

Corolário 2.5. Seja f: I -+ IR uma função contínua decrescente em um inter­valo r. Então, a função inversa rI:f(l) --+ IR é também continua.

Demonstração. A função g = - f é crescente. Por conseguinte, pelo teoremaanterior g-l: g(I) --+ IR é contínua. Ora, g(1) = - fel) e f-I(y) = g-I( - y) paratodo y E [(I). A continuidade de f-1, segue-se usando o Teorema 2.14, pois afunção f-l é a composta da função contínua g-I e da função contínua

h: IR --+ IR,

definida por h(x) = - x, para todo x E IR.

Observação. O Teorema 2.18 não é verdadeiro se f for apenas não-decres­cente, pois nesse caso f-l nem é definida.

Exercício. Considere o plano R2, munido do sistema de coordenadas usual(x, y). Seja B a reta bissetriz do primeiro e terceiro quactrantes, i.e., a reta Y = x.Dado um subconjunto A de R2, definimos o refletido A' de A com relação a B,como sendo o conjunto A' = {(a, b) E R2: (b, a) E A}. Seja f' I --+ R uma funçãocontínua crescente e g: j(l) --+ R sua inversa. Mostre que o gráfico de g é o refletidocom relação a B do gráfico de f

2.9. Funções Injetivas da Reta

Teorema 2.19. Seja f: I --J- IR uma função contínua e injetiva definida em umintervalo I. Então, f é uma função crescente ou uma função decrescente.

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2.9 FUNÇÕES INJETlVAS DA RETA 71

Demonstração. (1) Sejam a, b E I, com a < b. Sendo f injetiva, segue-seque um dos dois casos deve ocorrer:

(l.i) f(a) <f(b); (1.ii) f(a) > f(b).

(2) Sejam a, b, e E I, com a < b < e. Provemos que um dos dois casosdeve ocorrer:

(2.i) f(a) < f(b) < f(e); (2.ii) f(a) > f(b) > f(e)

Suponhamos, em vista da parte (1) acima, que f(a) < f(e). (A outra possibi­lidade poderá ser tratada com um raciocínio análogo.) Devemos provar que ocaso (2.i) ocorre. Suponhamos, por contradição, que f(a) > f(b). Seja r umnúmero real comum aos intervalos (f(b),f(a» e (f(b),f(e». Pelo teorema do valorintermediário, existem pontos Xl E (a, b) e X2 E (b, e) tais que f(Xl) = r e f(X2) = r.Isso, porém, contradiz a injetividade da função f De modo inteiramenteanálogo, provamos que f(b) > f(e) não pode ocorrer.

(3) Sejam a, b, e, d E I, com a < b < e < d. Provemos que um dos doiscasos deve ocorrer:

(3.i) f(a) <f(b) <f(e) <f(d); (3.ii) f(a) > f(b) > f(e) > fed)o

Suponhamos, em vista da parte (2) acima, que

(*) f(a) < f(b) < f(e).

(A outra possibilidade, i.e., (2.ii), poderá ser tratada de modo análogo.) Deve-mos provar que, feita esta hipótese, i.e., desigualdade (*), o caso (3.i) ocorre. Con­

sideremos os pontos b, e, d. Aplicando a parte (2) novamente, concluím~," \

(**) f(b) <f(e) <f(d),

pois a outra possibilidade está descartada em virtude de já sabermos que f(b) << f(e). As desigualdades (*) e (**) dão (3.i).

(4) Provemos, finalmente, que f é crescente ou decrescente. Fixemos doispontos a, b E I, a < b. Em vista da parte (1), temos f(a) < f(b) ou f(a) > f(b).

Provaremos que, no primeiro caso, a função é crescente e que, no segundo, ela édecrescente. Consideremos o primeiro caso. Sejam x e y pontos quaisquer deI com x < y, e provemos que f(x) < f(y). O que devemos fazer é ver a localizaçãodos pontos x e y em relação a a e b. No entanto, em qualquer caso decorrerá adesigualdade procurnela. Por exemplo. se x < y < a < b, decorre, em vista da parte(3) e de já sabermos que f(a) <f(b), que f(x) <f(y) <f(a) <f(b). Deixamos

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72 FUNÇÕES REAIS CAPo2

ao leitor a consideração (inteiramente análoga) dos demais casos das posições dex e y, bem como o caso f(a) > f(b).

2.10. Funções Lineares

Sejam a e b dois números reais dados. A função f: R -;. R, definida por

(1) f(x) = ax + b,

para todo x E IR, é chamada uma função linear. O nome linear provém de que,como analisaremos abaixO, o gráfico de f é uma reta. A continuidade def é ime­diata.

O gráfico de f(x). Para x = O, temos f(x) = b. Logo, o gráfico de f passapelo ponto (O, b). Se b = O, o gráfico da f correspondente, f(x) = ax, passa pelaorigem. Consideremos esse caso primeiro. Há três possibilidades:

1.a a = O. Neste caso, j{x) = O, e o gráfico de f é simplesmente o eixodos x;

2.a a > O. Sejam Xl e X2 dois reais diferentes de zero e designemos: YI ==f(XI), Y2 = f(X2)' Como YI = aXI e Y2 = aX2, temos

(2)

p

Observe que para (x, y), no gráfico, os números x e Y têm o mesmo sinal.Logo, se são negativos, temos y/x = Iy 1/ Ix I. À vista disso, a relação (2) implicaque os triângulos OPXI e OQX2 das figuras abaixo são semelhantes.

Fig.2.9

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2.10 FUNÇÕES LINEARES 73

Portanto, os pontos (x, y) do gráfico de f(x) = ax são precisamente os pontos deuma reta passando pela origem, cuja equação é y = (IX, (/ > O.

3.a a < O. Como no caso anterior, podemos provar que o gráfico de fex) == ax é uma reta passando pela origem, cuja equação é y = (IX, com a < O.

Para o caso geral, f(x) = ax + b, o gráfico é o transladado do gráfico deg(x) = ax por b, no sentido vertical. Logo, é a reta cuja equação é y = (IX + b.

Reciprocamente, dada urna reta R em um plano coordenado (x, y), ela é ográfico de uma função linear, se R não for paralela ao eixo dos y. De fato, dadaa reta y = ax + b, a função linear correspondente será j{x) = ax + b.

EXERCíCIOS

1. Seja f: IR ---J. IR uma função contínua tal que

f(x +y) = f(x) +f(y),

para todos x e y em IR. Prove que f é linear, ou mais precisamente, da forma ax.

Observação. Existem funções que satisfazem a relação acima mas não sãoda forma ax. Decorre do Exerc. 1 que tais funções não são contínuas. A demons­tração da existência de tais [unções é uma peça matemática difícil, mas particular­mente bonita e elegante. Ela usa o Lema de Zorn, base de Hamel '" Curioso?Consulte a referência [6].

2. Seja f: IR --J. IR uma função tal que

f(x + y) = f(x) + f(y)e

f(x) ~ O, para x ~ O.

Prove que f é da forma ax, o que em particular implica que f é contínua.

3. Sejaf: I~ IR uma função definida em um intervalo I que pode ser infinito.A função f é chamada convexa se

f(Àa + (1 - À)b) ~ Àf(a) + (l - À)f(b),

para todo À E [O, 1] e todo par a, b em 1. Mostre que f ser convexa significa queo segmento de reta ligando os pontos (a,f(a» e (b,f(b» está acima do gráficoda função y = f(x). Verifique que as funções y = x, y = x2 são convexas. Dêoutros exemplos.

j

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74 FUNÇÕES REAIS CAP.2

4. Seja f: (a, b) -)o IR uma função convexa. Demonstre que

f(c) - f(x) < f(d) - f(c)c-x - d-c '

para x, c, d no intervalo (a, b) e tais que x < c < d.

5. Demonstre que toda função convexa f: (a, b) -)o IR, definida em um inter­valo aberto (a, b), é contínua.

6. Dê um exemplo para mostrar que uma função convexa em um intervalonão é necessariamente contínua.

7. Uma função f:1R -)o IRsatisfaz a propriedade do valor médio se, para qual­quer Xo E IR e r> O, temos f(xo) =t [f(xo + r) +f(xo - r)]. Se uma função fsatisfizer a propriedade do valor médio e for contínua, então ela será linear.

8. Sejam f: I -)o IR e g: J -)o IR duas funções convexas, com f(l) C J e f cres­cente. Mostre que a função composta f o g é convexa.

9. Sejam f: I -)o IR e g: I -)o IR duas funções convexas, definidas em um mes­mo intervalo I. Mostre que a função máx (f, g) é convexa. E a função min Cf, g)?