ANÁLISE LIMITE EM PÓRTICOS

Sylvio Martins Caro Júnior

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM

ENGENHARIA MECÂNICA.

Aprovada por:

________________________________________________

Profa. Lavinia Maria Sanabio Alves Borges, D.Sc.

________________________________________________ Prof. José Luis Lopes da Silveira, D.Sc.

________________________________________________ Profa. Angela Cristina Cardoso de Souza, D.Sc.

________________________________________________ Dra. Cyntia Gonçalves da Costa Matt, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

JUNHO DE 2006

ii

CARO JÚNIOR, SYLVIO MARTINS

Análise Limite em Pórticos [Rio de

Janeiro] 2006

VII, 58 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ,

M.Sc., Engenharia Mecânica, 2006)

Dissertação - Universidade Federal do

Rio de Janeiro, COPPE

1. Análise Limite em Pórticos

I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )

iii

Por este trabalho agradeço a Deus que me

dirigiu a começar o mestrado e me fortaleceu em todos

os momentos, à minha esposa Sandra e ao meu filho

Daniel por terem suportado minha ausência em muitos

períodos e à minha orientadora, professora Lavinia,

pela paciência.

iv

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

ANÁLISE LIMITE EM PÓRTICOS

Sylvio Martins Caro Júnior

Junho / 2006

Orientadora: Lavinia Maria Sanabio Alves Borges

Programa: Engenharia Mecânica

Este trabalho tem como objetivo a proposição de um modelo de análise limite

para determinação da carga de colapso em pórticos, considerando a superfície de

escoamento na sua forma não linear. Mostra-se que, além das hipóteses clássicas da

teoria de vigas, nenhuma outra aproximação é necessária para a formulação discreta do

problema. Os esforços normais são incluídos na função de plastificação e esta também é

utilizada na sua forma não linear. Para a solução do problema, foi desenvolvido um

algoritmo cuja idéia básica é utilizar em cada iteração uma fórmula de Newton para a

solução do conjunto de igualdades que constituem as condições de otimalidade

associados ao problema de análise limite. Esta primeira fase é seguida de uma segunda

em que se realiza um relaxamento de passo e um escalonamento dos esforços, para

preservar as restrições de admissibilidade plástica ao final da iteração.

v

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

LIMIT ANALYSIS ON FRAMES

Sylvio Martins Caro Júnior

June / 2006

Advisor: Lavinia Maria Sanabio Alves Borges

Department: Mechanical Engineering

The aim of this work is to propose a model of limit analysis to determine the

collapse load on frames, considering the yield surface on its non linear form. It shows

that any approach, besides the classic hypotheses of the theory of beams, is necessary

for the discreet formulation of the problem. The normal efforts are included in the

plasticity function which is also considered on its non linear form. For the solutions of

the problem, was developed an algorithm whose basic idea is to use a Newton-like

formula on each iteration, for the solution of the set of equalities that forms the

optimality conditions associated to the limit analysis problem. This first stage is

followed by a second one in which is carried out a step relaxation and a stress scaling,

in order to preserve the plastic admissibility constraint at the end of the iteration.

vi

Sumário

1 Introdução..................................................................................................................... 1

2 Modelos de Vigas Retas ............................................................................................... 3

2.1 Equilíbrio .......................................................................................................... 3

2.2 Cálculo de Superfícies Limite de Escoamento em Perfis Simétricos

Submetidos à Flexão e Esforço Axial............................................................. 8

2.2.1 Cálculo da Superfície de Escoamento para Vigas Submetidas a Tração

e Flexão Combinadas ......................................................................... 9

2.2.2 Superfícies de Escoamento para Perfis Retangulares e

Tubulares .......................................................................................... 11

2.3 Dissipação Plástica em Vigas ......................................................................... 17

3 Análise Limite em Pórticos ........................................................................................ 18

3.1 Taxas de Deformação Elástica ....................................................................... 19

3.2 Teorema do Limite Inferior ............................................................................ 20

3.3 Teorema do Limite Superior........................................................................... 20

3.4 Caracterização Matemática do Problema ....................................................... 21

4 Algoritmo de Solução................................................................................................. 24

4.1 Primeiro Estágio, Estimativa de Incremento pela Fórmula de Newton ......... 26

4.2 Segundo Estágio, Relaxação do Passo e Escalonamento da Tensão.............. 31

4.3 Atualização ..................................................................................................... 33

4.4 Requisitos para a Inicialização ....................................................................... 34

4.5 Critério de Convergência................................................................................ 34

4.6 Resumo do Algoritmo para Análise Limite.................................................... 35

vii

5 Aplicações .................................................................................................................. 40

5.1 Aplicação 1 ..................................................................................................... 40

5.2 Aplicação 2 ..................................................................................................... 45

5.3 Aplicação 3 ..................................................................................................... 49

6 Conclusões.................................................................................................................. 55

Referências Bibliográficas.............................................................................................. 57

1

Capítulo 1

Introdução

O principal objetivo deste trabalho é a proposição de um modelo de análise

limite para determinação da carga de colapso em pórticos, considerando a superfície de

escoamento na sua forma não linear. Mostra-se que, além das hipóteses clássicas da

teoria de vigas, nenhuma outra aproximação é necessária para a formulação discreta do

problema.

A teoria de análise limite é uma teoria consagrada, tratada em diversos trabalhos

(Borges et al. 1996, Casciaro e Cascini, 1982, Cohn e Maier, 1977, Christiansen 1980,

1981 e 1996, Dang Hung, 1983, Frémond, 1980, Frémond e Friaa, 1982, Gao Yang,

1988, Gaudrat, 1991, Gill, 1970, Huh e Yang, 1991, Lubliner, 1990, Martin, 1975,

Panagiotopoulos, 1985, Romano e Sacco, 1985, Zouain et al, 1993), que fornece

ferramentas que permitem o cálculo direto das cargas sob as quais um corpo, que pode

ser aproximadamente modelado como elástico perfeitamente plástico ou que sofre um

processo de encruamento limitado, atinge um estado crítico. Entende-se por estado

crítico um estado no qual ocorrem grandes aumentos de deformação plástica, sem

nenhum aumento na carga. No caso de corpos perfeitamente plásticos, este estado é

chamado de fluxo plástico irrestrito ou colapso plástico, e o estado de carregamento no

qual isto se torna possível é chamado de carregamento limite.

A análise limite de estruturas sob carregamento proporcional consiste em achar o

fator de carga limite ℜ∈α de maneira que um corpo sofra colapso plástico quando

submetido a um sistema de cargas de referência amplificado uniformemente por α..

Na análise limite em vigas e pórticos é usual não incluir os esforços axiais na

condição de plastificação e, mesmo quando estes são incluídos, a superfície de

escoamento é aproximada por funções lineares (Hodge, 1959, Borges, 1984, Lubliner,

1990). Na proposta deste trabalho, os esforços normais são incluídos na função de

plastificação e esta é utilizada na sua forma não linear.

O problema de análise limite pode ser enunciado através de princípios de

otimização e, no caso de superfícies de escoamento lineares ou linearizadas, é usual

2

utilizar técnicas de programação linear para a solução (Casciaro e Cascini, 1982, Cohn e

Maier, 1977, Christiansen 1980, 1981, Lubliner, 1990, Martin, 1975, Borges, 1984).

No presente trabalho, para a solução do problema, foi desenvolvido um

algoritmo, considerando a superfície de escoamento não linear, e projetado para

aproveitar a estrutura particular do problema em questão. Este procedimento numérico é

baseado no proposto por Borges et al. (1996) para problemas de elementos finitos

bidimensionais.

A idéia básica do algoritmo é utilizar em cada iteração uma fórmula de Newton

para a solução do conjunto de igualdades que constituem as condições de otimalidade

dos problemas de otimização que, originalmente, são utilizados para enunciar o

problema de análise limite. Esta primeira fase é seguida de uma segunda em que se

realiza um relaxamento de passo e um escalonamento dos esforços, para preservar as

restrições de admissibilidade plástica ao final da iteração.

O conteúdo deste trabalho está dividido em cinco capítulos adicionais ao atual.

No Capítulo 2 são apresentados os princípios básicos que norteiam a formulação elasto-

plastica de vigas e pórticos, especificamente as condições de equilíbrio, cinemática e

equações constitutivas. Neste mesmo capítulo são apresentadas as equações que

definem a função de escoamento para barras retas de seção retangular e seção tubular.

Baseando-se nos conceitos enunciados no Capítulo 2, no terceiro capítulo é

apresentada a teoria geral de análise limite, incluindo a caracterização matemática do

fenômeno de colapso plástico, a apresentação dos princípios de otimização que resultam

desta caracterização, seguida de uma breve discussão sobre as características básicas do

problema a ser resolvido. No Capítulo 4 é apresentada toda a metodologia envolvida no

desenvolvimento do algoritmo proposto, além de um resumo da estrutura de

programação dentro do ambiente computacional Mathematica®.

Finalmente, visando validar a formulação apresentada, no Capítulo 5, alguns

resultados obtidos em aplicações clássicas são apresentados e comparados com os

obtidos na literatura.utilizada. No Capítulo 6 são apresentadas as conclusões

fundamentais do trabalho.

3

Capítulo 2

Modelos de Vigas Retas

Neste capítulo é apresentado o modelo discreto de vigas, definido a partir das

condições de equilíbrio de um elemento de viga reta. A partir destas condições são

deduzidos a matriz de equilíbrio BT e um sistema que representa a forma discreta do

equilíbrio para pórticos e vigas. Neste aspecto, a definição do modelo discreto não

envolve nenhuma aproximação.

Em seguida, são deduzidas as expressões das superfícies de escoamento para

perfis retangulares e tubulares, sendo mostrado que são praticamente idênticas.

2.1 Equilíbrio

Nesta seção será mostrado um processo de discretização, baseado no princípio

de Mínima Energia Complementar, aplicado a um elemento de viga reta. Toda teoria é

baseada nos princípios básicos de equilíbrio que são impostos de forma exata.

A primeira parte do processo consiste em descrever o conjunto de campos

equilibrados αS por um sistema definido por um número finito de equações. Para tal,

considera-se a Figura 3.1, onde estão representandos os esforços internos no sistema

local de coordenadas e carga distribuída W(x, y)=(Wxg,( y), Wyg(x)), orientada na direção

do sistema global (x, y). Os esforços internos são definidos de acordo com a Figura 3.1,

onde:

Ni, Nj - são os esforços axiais nos nós inicial i e final j ;

Vi, Vj - são os esforços cortantes nos nós inicial i e final j ;

Mi, Mj - são os momentos fletores nos nós inicial i e final j .

4

Figura 3.1: Esforços Internos no elemento.

Por equilíbrio, é trivial mostrar que:

j i r0N N w (r)dr

L= − � (2.1)

Li j

i s0

M -M rV w (r) 1- dr

L L� �= + � �� �

� (2.2)

i jj s0

M -M rV w (r) dr

L L

L= − � (2.3)

onde L é o comprimento do elemento e

r xg ygw (r) W (y)cos( ) W (x)sin( )= θ + θ (2.4)

s xg ygw (r) W (y)sin( ) W (x)cos( )= − θ + θ (2.5)

lembrando que ( ) ( ), e ,x x r s y y r s= = . Portanto, verifica-se, que existem apenas três

esforços independentes na definição do equilíbrio do elemento, ou seja, todo o

Vi

x

y

r

s

θ

Mi

Mj

Wxg,(y)

Wyg,(x)

Vj

Nj

Ni

5

equilíbrio é descrito apenas por três parâmetros e mais um termo independente que é

função do carregamento distribuído e da posição da seção no elemento (Borges, 1984).

Por conveniência, foram escolhidos os esforços Ni, Mi e Mj como os parâmetros

independentes e, desta forma, o vetor de parâmetros do modelo, para cada elemento e, é

dado por:

, ,Te

i i jQ N M M� = � (2.6)

Definindo-se o vetor de esforços internos dos elementos por:

( )

( )( )

er

N rQ r

M r�

= � �

(2.7)

as Eqs. (2.1)-(2.3) podem ser reescritas na forma:

( ) ( ) ( )e er wQ r r Q Q r= Υ + (2.8)

onde

0

0 0

1 0 0 ( )( ) ( )1

0 ( )( ) ( )(1 )

r

r

w r L

s s

w dr Q rr r

w r d r w dL L L

ξ ξ

ξξ ξ ξ ξ ξ

� −� � � Υ = =− � � − − −� � �

�

� � (2.9)

Por equilíbrio, pode-se também estabelecer a relação entre os esforços internos

elementares e os externos, representados por eLR

e T e eL LR B Q W= + (2.10)

sendo TLB denominada matriz de equilíbrio.

As componentes de eLR no sistema global de coordenadas são obtidas pela

transformação:

6

e eT eG LR T R= (2.11)

sendo T a matriz de rotação do sistema local para o global. Substituindo (2.10) em

(2.11) obtém-se a equação de equilíbrio elementar descrita em relação ao sistema global

de coordenadas, ou seja,

e eT e eG gR B Q W= + (2.12)

onde

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

-cos - 0 cos 0- cos -1 - cos 0

-cos 0 -cos 1

e

sen sen

B sen L L sen L L

sen L L sen L L

θ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θ

� � = � � �

(2.13)

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

0

0

0 0

0 0

( ) 1-

cos ( ) 1-

0

cos ( ) sin ( )

( ) cos ( )

0

L

s

L

s

eg

L L

r s

L L

r s

rsen w r dr

L

rw r dr

L

Wr

w r dr w r drLr

sen w r dr w r drL

θ

θ

θ θ

θ θ

� � �− � �� � ��

� � �� � �

� �� � = � � − −� � � − +� � �

�

�

� �

� �

(2.14)

Define-se agora o vetor de forças F, de dimensão igual ao número de graus de

liberdade não restritos da estrutura (ngl), contendo todas as cargas e momentos nodais

aplicados à estrutura, descritos em relação ao sistema global de coordenadas, ou seja,

F=[Fxgi, Fygi, FMi]T para i= 1....ngl. (2.15)

Para associar as variáveis elementares e da estrutura serão utilizadas as matrizes

Booleanas, ou seja:

7

e e e eu QU L U Q L Q= = (2.16)

onde Ue representa o vetor de deslocamentos nodais elementares e U da estrutura,

ambos referidos ao sistema global de coordenadas. O vetor Q contém os esforços

internos de todos os elementos da estrutura. Cabe ressaltar que, ao contrário dos

deslocamentos que são contínuos nos nós, os esforços são considerados descontínuos

entre elementos. Desta forma, o vetor Q é obtido simplesmente coletando-se

seqüencialmente os vetores Qe, tendo assim dimensão igual a 3 nel, sendo nel o número

total de elementos da estrutura.

O equilíbrio global da estrutura pode agora ser obtido aplicando-se o Princípio

dos Trabalhos Virtuais, escrito agora como:

* * *

1

.nel

e eG

n

R U F U U V=

⋅ = ∀ ∈� (2.17)

ou

* * * * *

1 1

. ( ) .nel nel

e T e e T eT e eu G u Q g

n n

L R U F U L B L Q W U F U U= =

⋅ = � + ⋅ = ∀� � (2.18)

Sendo U* o conjunto de todos os deslocamentos virtuais admissíveis. (Feijóo, 1981).

Desta forma, o equilíbrio da estrutura pode ser escrito como:

* *( ) 0TgB Q W F U U+ − ⋅ = ∀ (2.19)

onde

T e T eT e e T eu Q g u gB L B L W L W= = (2.20)

Cabe observar que a simbologia adotada em (2.20) representa a montagem das matrizes

globais na forma usual dos métodos de análise matricial de estruturas e no método dos

elementos finitos.

8

Como U* é um vetor de deslocamento arbitrário, a igualdade anterior é

equivalente a impor:

T

gB Q F W= − (2.21)

O sistema (2.21) representa a forma discreta do equilíbrio para pórticos e vigas. Deve-se

observar que a proposição deste sistema não envolve nenhuma aproximação adicional

às hipóteses básicas da teoria clássica de vigas.

Em resumo, o conjunto αS que contém todos os esforços internos equilibrados

com uma carga externa, representada pelo vetor gWFR −= , amplificada pelo

parâmetro α, pode agora ser escrito como:

( ){ }TgS Q B Q F Wα α= = − (2.22)

2.2 Cálculo de Superfícies Limite de Escoamento em Perfis

Simétricos Submetidos à Flexão e Esforço Axial

Nesta seção serão apresentadas as equações que definem as superfícies de

escoamento vigas tendo seções transversais retangulares e/ou tubulares, submetidas a

esforços axiais e de flexão.

Seja M0 o momento que plastifica toda a seção quanto está submetida somente à

flexão e N0 a tensão que plastifica toda a seção quanto está submetida a esforço axial

puro. Para perfis simétricos em relação a y e z e constituídos de material em que a

tensão limite de escoamento a tração é idêntica a tensão limite de escoamento a

compressão, a superfície limite de vigas pode ser definida a partir das condições de

equilíbrio e distribuição de tensão de colapso apresentada na Figura 3.2. Assim, obtém-

se:

0 YN Aσ= (2.23)

0 YM Acσ= (2.24)

9

Figura 3.2 - Perfil Simétrico em relação a y e z. (a) Distribuição de tensão quando

submetida ao esforço M0, (b) Distribuição de tensão quando submetida ao esforço N0.

onde Yσ a tensão limite de escoamento em tração pura, A é a área da seção transversal e

c o centróide da semi-área da seção em relação a um eixo que passa pelo centróide da

seção.

2.2.1 Cálculo da Superfície de Escoamento para Vigas Submetidas a

Tração e Flexão Combinadas

Para o estudo da interação entre os esforços axiais e de flexão na situação de

colapso, as equações serão consideradas apenas para o caso de esforços de momento

positivos. Os demais casos podem ser obtidos por simetria.

Comparando as Figuras 3.2 e 3.3, observamos que o esforço normal age no

sentido de diminuir o valor de M0, deslocando a linha neutra de uma quantidade e. Com

isto, podemos calcular a influência do esforço normal considerando o deslocamento da

linha neutra quando em flexão pura (no caso coincidente com o eixo z), para uma

posição (-e), no caso de termos tração ou (+e) no caso de termos compressão.

10

Figura 3.3: Perfil Simétrico – Tração e Flexão combinadas.

(a) Distribuição de tensão submetido a Tração e Flexão combinadas.

(b) e (c) Decomposição em flexão e tração, respectivamente.

Assim,

( )2Y n nM Ac A cσ= − (2.25)

e

2Y nN Aσ= (2.26)

onde nA é a área submetida apenas a tração e nc é o centróide da porção central da viga

submetida apenas a tração. Como 0 0 e Y YM Ac N Aσ σ= = ,

0

21 n nA c

M MAc

� �= −� �� �

(2.27)

0

2 nAN N

A= (2.28)

ou,

0 0

1nM N cM N c

+ = (2.29)

11

2.2.2 Superfícies de Escoamento para Perfis Retangulares e Tubulares

As equações anteriores serão utilizadas para definir a superfície limite de seções

retangulares e tubulares.

Figura 3.4: Perfil retangular.

Considerando o perfil retangular da Figura 3.4, então 2n

ec = e

4h

c = e,

conseqüentemente,

2nc e

c h= (2.30)

Como 2 2 e nA b e A bh= = ,

2 2 ne Ah A

= (2.31)

e

0

2nc e Nc h N

= = (2.32)

Substituindo (2.32) em (2.29), tem-se a superfície de escoamento para o perfil

retangular dada por:

12

2

0 0

1M NM N

� �+ =� �� �

(2.33)

Definindo as variáveis adimensionais m e n por

0M

Mm = ,

0NN

n = , (2.34)

tem-se:

12 =+ nm (2.35)

Considerando, agora, o perfil tubular da Figura 3.5,

Figura 3.5: Perfil tubular.

onde mA é a área submetida apenas a flexão e mc é o centróide da porção central da viga

submetida apenas a flexão, tem-se:

( )2

1dt

Aπα += ,

dt2

1−=α , mn AA

A −=2

e mmnn cAcA

Ac −=2

(2.36)

t

13

Utilizando as expressões (2.36d) e (2.36c) em (2.27) e (2.28), respectivamente tem-se

0 0

2 2, 1m m mM A c N A

M Ac N A= = − (2.37)

onde,

( ) ( ) ( ) ( )

222 22 cos

arccos cos cos4 2m

sendA

γ γγ α γ α γ

α� �� �

= − − + −� �� �� �� �� �

, (2.38)

( ) ( )( )3 33 22 cos

12m md

c A sen γ α γ� �

= − −� �� �

. (2.39)

A substituição de (2.38) e (2.39) em (2.37) resulta em

( ) ( )( )33 22

30

cos

1

senMM

γ α γ

α

� �− −� �

� �=−

(2.40)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

22 2

20

cos2 2 2 arccos 2cos cos

11

senNN

γγ γ α γ α γ

αα π

� �− − + −� �

� �= −−

(2.41)

As superfícies de escoamento para barras de seção retangular e tubular estão

representadas graficamente na Figura 3.6. Podemos verificar que, apesar da diferença

marcante entre as funções analíticas que definem estas superfícies, geometricamente

elas diferem muito pouco.

14

Figura 3.6: Superfícies de escoamento para barra retangular e barra tubular sob tração e

flexão combinadas.

Em muitas aplicações práticas em elastoplasticidade e análise limite, estas

superfícies não-lineares, como a das barras retangulares e tubulares, são aproximadas

por segmentos lineares (Onat e Prager, 1954, Borges, 1984), introduzindo uma

aproximação ao modelo. Neste trabalho, esta aproximação não será considerada.

Por outro lado, como evidenciado na Figura 3.6, as superfícies de escoamento

para elementos de viga de seções retangulares e tubulares diferem muito pouco, sendo

quase coincidentes. Assim sendo, por simplicidade, a equação da superfície de

escoamento para a seção tubular será sempre aproximada por uma forma quadrática

como a da seção retangular, utilizando os valores de 00 e MN da seção tubular.

Assim, no algoritmo que será definido no próximo capítulo, como função que

define a superfície de colapso ou superfície limite será definida a forma quadrática

(2.33), ou seja,

1),(2

00

−���

����

�+=

NN

M

MNMf (2.42)

onde M significa “+” se M > 0 e “-” se M < 0. Esta notação foi introduzida para

compactar em uma única expressão os dois modos de plastificação.

A forma matricial, mais conveniente para implementação computacional, é

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

m

barra retangular barra tubular

15

( )( )

( )( )

( )( ) 1

10

)(0001

),(0

20 −

�

�

� �

�

�+ �

�

�⋅ �

�

� �

�

�=

rM

rNM

rMrM

rN

rM

rNNNMf . (2.43)

ou, compactamente

( )( ) ( ) ( ) ( ) 1e e e er r r rf Q r CQ r Q r A Q r= ⋅ + ⋅ − (2.44)

onde

�

�

�=

0001 2

0NC ,

�

�

�=

0

0MM

A . (2.45)

Utilizando Eq. (2.8) em (2.44), obtém-se

( ) ( ) ( ) ( )rKQraQQrcQrf eeee ,,,, ααα −⋅+⋅= (2.46)

onde

( ) CrYCrYrc T == )()( , (2.47)

( ), 2 ( ) ( , ) ( )α α= +T Twa r Y r CQ r Y r A , (2.48)

( ) [ ]1),()(),()()(, −⋅+⋅,−= rQArYrQrQCrYrK wT

wwT αααα . (2.49)

A forma (2.46), escrita em relação aos parâmetros do modelo discreto, será a

efetivamente utilizada no algoritmo desenvolvido no trabalho, por incorporar à

definição da superfície limite a representação discreta dos esforços internos associados

ao modelo de viga. Estas restrições devem então ser impostas em “nk” pontos dentro de

cada elemento, adequadamente selecionados, para garantir a não violação da

admissibilidade das tensões em qualquer ponto da estrutura.

No caso de estruturas carregadas estritamente com cargas nodais, em cada

elemento, a verificação da admissibilidade plástica apenas nos nós garante a verificação

16

em toda a estrutura, tendo em vista a conexidade de f e a linearidade da distribuição de

esforços. No caso de cargas distribuídas, é preciso escolher pontos distribuídos ao longo

dos elementos, mas não é trivial uma escolha adequada para garantir a admissibilidade

estrita em toda a estrutura.

Por simplicidade, a notação 0)( ≤Qf será utilizada para expressar o conjunto

das nk x nel restrições de admissibilidade plástica dos esforços impostas à estrutura.

Assim, cada componente do vetor )(Qf contém a restrição associada a um ponto de

verificação e a desigualdade deve ser entendida componente a componente, ou seja:

[ ] nkknelerQfQfQf ke

rek �� 1,10))(()(0)( ==≤=≡≤ (2.50)

Finalmente, cabe observar que o parâmetro de amplificação de carga α aparece

na função de plastificação somente nos casos em que o carregamento distribuído é

considerado como carga viva e amplificado na mesma proporção das cargas

concentradas. Este é o caso, por exemplo, quando α é visto como um fator de segurança

em relação ao colapso plástico.

No algoritmo será também necessário o cálculo do gradiente e da matriz

Hessiana da função de plastificação, computados a partir da derivada de (2.46) em

relação a eQ e α, ou seja:

( ) ( ) ( ), , 2 ,ee e

Qf r Q c r Q a rα α∇ = + (2.51)

( ) ( ) ( , ), , ,e e dK r

f r Q a r Qdα ααα αα

∇ = ∇ ⋅ − (2.52)

( ) ( )rcQrf eQe 2,,2 =∇ α (2.53)

( ) ( ) ( )raQrfd

rKdQrf e

Qe

e ,,,),(

,, 22

2 ααααα ααα ∇=∇=∇ (2.54)

17

2.3 Dissipação Plástica em Vigas

Finalmente, cabe lembrar que aqui, a dissipação plástica é definida em função dos

esforços generalizados )(rQer e das taxas de deformação generalizada,

( ) 0 ( ) ( )TpD r r k rε� = �

�� onde 0ε� é a taxa de deformação da linha neutra e k� é a taxa de

deformação de curvatura. Assim, em cada elemento a dissipação é dada por:

( ) ],0[0),()(),(max)(L

0

LrrQfdrrDrQD er

per

Q

per

∈∀≤⋅=ℵ � αα (2.55)

Como nas vigas a plastificação é definida por deformações plásticas localizadas, a

expressão (2.55) é reduzida à soma da dissipação plásticas que ocorre em cada pondo

onde a tensão atingiu a superfície limite e se desenvolvem rótulas e/ ou expansões

plásticas. Assim,

( ) 0)(,)()()(1

=⋅=ℵ �=

ker

nk

kk

pk

er

p rQfrDrQD α (2.56)

onde rk representa a coordenada local dos nk pontos do elemento onde ocorrem rótulas

( pθ�∆ ) e expansões plásticas ( pu�∆ ), simbolicamente representados pelo vetor

+

−=

�

�

�

∆∆

= )()( kp

p

kp rU

urD �

�

�

θ (2.57)

onde +

−)( krU� representa o salto nas taxas nos campos de velocidades em rk .

Pode-se mostrar que as condições de ótimo do problema (2.55) são equivalentes

a lei da normalidade (Borges et al., 1996, Christiansen, 1980, Lubliner, 1990):

( )1 1

,αλ α= =

= ∇�� �nel nel

kP ek e

e k

D f Q (2.58)

( ) ( ) nkkneleQfQf ek

ek

ek

ek ���� 1,10,00, ===≥≤ λαλα (2.59)

18

Capítulo 3

Análise Limite em Pórticos

A teoria de análise limite fornece ferramentas que permitem o cálculo direto das

cargas sob as quais um corpo, que pode ser aproximadamente modelado como elástico

perfeitamente plástico ou que sofre um processo de encruamento limitado, atinge um

estado crítico. Entende-se por estado crítico um estado no qual ocorrem grandes

aumentos de deformação plástica, consideravelmente maiores que as deformações

elásticas, sem nenhum aumento na carga. No caso de corpos perfeitamente plásticos,

este estado é chamado de fluxo plástico irrestrito ou colapso plástico, e o estado de

carregamento no qual isto se torna possível é chamado de carregamento limite.

Pode ser mostrado que no estado de fluxo plástico irrestrito a taxa de

deformação elástica é nula e, então, uma teoria baseada em comportamento rígido-

plástico é válida também para corpos elasto-plásticos.

A prova do teorema de análise limite é baseada no princípio da máxima

dissipação plástica, e conseqüentemente, ele é válido somente para materiais padrão.

O estado de colapso plástico iminente é o estado em que ocorre uma taxa

deformação não nula ( 0PD ≠ ) sob carregamento constante ( 0=−= WFR ��� ). A

classificação de “iminente” é importante por estarmos olhando para o início de um

estado onde a deformação inicial é da mesma ordem de magnitude da deformação

elástica, assim as mudanças de geometria podem ser desconsideradas e a aceleração

também, e o problema pode ser tratado como quase estático.

Apesar da generalidade dos conceitos que serão apresentados, toda teoria de

análise limite será aqui formulada no âmbito restrito de estruturas como pórticos e

vigas, utilizando a notação apresentada no capítulo anterior.

19

3.1 Taxas de Deformação Elástica

Assume-se que as equações de equilíbrio e as condições de contorno de tensão

podem ser diferenciadas em relação ao tempo sem mudança de forma,

conseqüentemente o princípio dos trabalhos virtuais é válido também em relação às

taxas de tensão.

Seja um campo de deslocamentos virtuais tUδ� e um campo de taxa deformação

virtual pD , sendo U� um campo de velocidade atual e δt um pequeno incremento de

tempo. No colapso iminente então,

0)()()()()()(1 1 0

1-

1 0

= �

�

�⋅+⋅==⋅ � � ���

= ==

nel

e

nk

k

Ler

erk

Pk

er

nel

e

Ler drrQrQrDrQrDrQUR ���� C (3.1)

onde C é matriz que contem as constantes elásticas do material e Q�-1C é a parcela

elástica da deformação. A positividade da energia elástica, isto é 0-1 ≥⋅ QQ ��C ,

combinada com a inequação de Drucker 0)()(1

≥⋅�=

kP

nk

kk

er rDrQ , determina que no

colapso iminente as taxas de tensão desaparecem, então pe DDD == e 0 .

Em outras palavras, um corpo sofrendo colapso plástico se comporta como se

fosse rígido-plástico ao invés de elasto-plástico (Lubliner, 1990). Este resultado,

primeiramente observado por Drucker et al. (1951), torna possível a aplicação do

teorema de análise limite, previamente formulado para corpos rígido-plásticos, a corpos

elasto-plásticos.

Adicionalmente, caracteriza-se como estando em colapso iminente um corpo

submetido a um campo de tensões Q, equilibradas com o carregamento externo

representado pelo vetor R, e associadas via relação constitutiva a um campo de taxas de

deformações D, puramente plásticas e compatíveis com um campo de velocidades U� .

Para caracterizar matematicamente este problema, serão enunciados a seguir os dois

teoremas fundamentais da análise limite: o teorema do limite inferior e do limite

superior.

20

3.2 Teorema do Limite Inferior

Se, de alguma maneira, pode-se determinar o campo de tensões Q*,

plasticamente admissíveis e equilibradas com a carga R* = (1/αs)R, onde αs é um fator

numérico, então, a partir do Princípio das Potências Virtuais,

[ ] )(1

)()(111

11 1

* ���== =

ℵ=⋅=⋅=⋅=⋅nel

e

Pe

s

nel

e

nk

kk

Pk

er

sss

DrDrQUBQURUBQαααα

����� (3.2)

lembrando que )( pe Dℵ representa a dissipação plástica em cada elemento como

definido em (2.56). Por outro lado, pelo Princípio da Máxima Dissipação Plástica

(Drucker et al., 1951, Lubliner, 1990), a partir de (2.56) tem-se:

UBQrDrQDnel

e

nel

e

nk

kk

Pk

er

Pe �⋅=⋅≥ℵ� ��= = =

*

1 1 1

* )()()( (3.3)

Comparando (3.3) e (3.2) verifica-se então que αs ≥ 1. Em outras palavras, o fator αs,

dito multiplicador de carga estático, é um fator de segurança.

3.3 Teorema do Limite Superior

Supõem-se agora que, ao invés de Q*, seja possível determinar um mecanismo

de colapso, isto é, um campo de velocidades *U� cinematicamente admissível e

compatível com um campo de taxas de deformação puramente plásticas D* = Dp* e

associado ao carregamento R*.

O Princípio da Máxima Dissipação Plástica implica que

* *

1 1 1

( ) ( ) ( )

para ( ) ( ) 0 1 1

nel nel nke e

r k ke e k

e er k r

D Q r D r

Q r f Q k nk e nel= = =

ℵ ≥ ⋅

∀ ≤ = =

� ��

� �

(3.4)

21

Por outro lado, pelo Princípio das Potências Virtuais e considerando que a

função dissipação é uma função positiva e homogênea de grau um, é possível obter um

parâmetro cα , tal que

���== =

ℵ=⋅=⋅nel

e

enel

e

nk

kkk

erc DrDrQUR

1

*

1 1

*** )()()(α� (3.5)

De outra forma, combinando (3.4) e (3.5) deduz-se que αc ≥ 1, significando que

αc, dito multiplicador de carga cinemático, é um fator de sobre carga.

3.4 Caracterização Matemática do Problema

Em resumo, a análise limite para carregamentos proporcionais consiste em achar

o fator de carga limite +ℜ∈α tal que uma carga de referência R, amplificada

uniformemente por α produza colapso plástico em um corpo ou estrutura. Neste caso, os

dois teoremas anteriormente enunciados podem ser expressos da seguinte maneira: As

cargas externas aplicadas a um corpo que estão em equilíbrio com um campo de tensões

que de nenhuma maneira violam o critério de escoamento, não excedem as cargas de

colapso. As cargas que realizam trabalho positivo em um campo de velocidade

cinematicamente admissível, a uma taxa igual a dissipação plástica total, são no mínimo

iguais às cargas de colapso.

Se as cargas oriundas da aplicação dos dois teoremas são iguais, então elas são

iguais às cargas de colapso. Em particular, se for encontrado um campo de tensões

estaticamente e plasticamente admissível e um campo de velocidades cinematicamente

admissível de tal maneira que a taxa de deformação produzida é associada às tensões,

então se terá encontrado uma solução completa.

Em resumo, o problema discreto de análise limite em pórticos e vigas consiste

em achar um fator de carga ℜ∈α , um vetor de tensão nelQ 3ℜ∈ , um vetor velocidade

nU ℜ∈� e um vetor multiplicador plástico nelnk×ℜ∈λ� , de maneira que o sistema

representado pela matriz de equilíbrio BT: nq ℜ→ℜ e uma função convexa

22

( ) nelnkRQf ×∈ entra em colapso plástico sob alguma carga proporcional a um dado vetor

de força nR ℜ∈ .

Assume-se que todos os movimentos de corpo rígido são governados por

deslocamentos cinemáticos prescritos, assim o núcleo da matriz B contém somente o

vetor velocidade nulo.

As quatro formulações seguintes são expressões equivalentes do problema de

análise limite discreto em virtude da convexidade de ( )Qf (Cohn e Maier, 1977,

Christiansen 1980, Borges et al., 1996):

(i) Formulação Estática

0),(max

**

***

3* ≤

−=

×ℜ∈ℜ∈ Qf

RQBT

Q nel αα

ααα

(3.6)

(ii) Formulação Cinemática

�=ℜ∈

=⋅ℵ=nel

e

e

UURUB

n1

1)(min ���

α (3.7)

onde

nkkrQfUBrQUB ke

nk

k

eek

e

rQ

e

ke

��� 10))(()(max)(1)(

=≤⋅=ℵ �=

(3.8)

(iii) Condições de Otimalidade

( ) 0, =∇− λα �� QfUB Q (3.9)

0=− RQBT α (3.10)

1),(. =⋅∇+ λαα�� QfUR (3.11)

( ) ( ) nkkneleQfQf ek

ek

ek

ek ���� 1,10,00, ===≥≤ λαλα (3.12)

23

Todas as versões discretizadas das formulações de análise limite (i), (ii) e (iii)

levam a um tipo único de problema dimensional finito, entretanto, os campos de tensões

e velocidades não são únicos. A unicidade é restrita ao fator de colapso.

24

Capítulo 4

Algoritmo de Solução

Para resolver o problema de análise limite discreto será utilizado um algoritmo

proposto por Borges et al. (1996), aqui adaptado para o modelo de vigas e pórticos.

Cada interação do algoritmo consiste em usar a fórmula de Newton para solução do

sistema formado pelo conjunto de igualdades pertencentes às condições de otimalidade

(3.9)-(3.12), seguidas por uma relaxação no passo e um escalonamento de tensão para

preservar a condição de admissibilidade plástica.

As condições de otimalidade (3.9)-(3.12), podem ser escritas na forma:

( ) ( )0; , Q 0; e 0g x f α λ= ≤ ≥� (4.1)

onde

( )

( )

0

,1),(.

,

)( =

�

�����

�

−⋅∇+−

∇−

=

λαλα

αλα

α�

��

��

QG

QfUR

RQB

QfUB

xgT

Q

(4.2)

�

����

�

=

λα�

�U

Q

x (4.3)

nkkneleQfdiagQG ek �� 1,1)),((),( === αα (4.4)

sendo a matriz B definida pela Eq. (2.20) e as componentes dos gradientes ( )QfQ ,α∇ e

),( Qf αα∇ dadas por (2.51) e (2.52), respectivamente. Deste ponto em diante a

referência em relação aos modos de plastificação ( nkknele �� 1,1 == ) serão

simplesmente designados por nknelm ×= �1 .

25

Utiliza-se um procedimento de dois estágios para achar uma nova iteração x a

partir do valor atual x (incógnitas do problema). No primeiro estágio, defini-se uma

estimativa de incremento 0xd para x realizando uma iteração de Newton para as

equações não lineares ( ) 0=xg . Então, a estimativa intermediária para x é

00xdxx += (4.5)

No segundo estágio, o incremento de tensão 0Qd é reduzido por um escalar s,

chamado fator de relaxação, e a tensão resultante é escalonada por um fator p, de

maneira a garantir que ao final da iteração os esforços definidos por

( )0QsdQpQ += (4.6)

satisfaçam a condição de admissibilidade plástica.

Da mesma forma, o fator de colapso α é também modificado pela mesma regra,

( )0ααα sdp += (4.7)

a fim de manter a condição de equilíbrio satisfeita ao longo de todo o processo. Este

passo de relaxação e escalonamento é repetido até que αα > .

A nova interação é

[ ]TUQx λα 0�= (4.8)

onde 0U� é obtido no primeiro estágio e α e Q no segundo. As componentes de λ são

as mesmas de 0λ� , exceto para as não positivas, que são substituídas por um número

positivo pequeno.

26

4.1 Primeiro Estágio, Estimativa de Incremento pela Fórmula de

Newton

Esta subseção apresenta em maior detalhe as etapas do primeiro estágio da

iteração. Um incremento 0xd em x é computado utilizando a seguinte fórmula de

iteração relacionada a ( ) 0g x = :

( ) ( )0xI x d g x= − (4.9)

onde, de acordo com fórmula de Newton, ( ) ( )I x g x= ∇ . Neste caso,

0

0

00)( =

�

�����

�

∇−∇Λ−∇−−−−

−∇−−−

=

Gff

fHRH

RB

fHBH

xI

Q

TTTQ

TQQQQ

α

αααα

α

(4.10)

sendo

nelnkmdiag m ×==Λ �1)(λ (4.11)

e

2 2 2QQ m QQ m Q m Q m m m

m m m

H f H f H fα α αα ααλ λ λ= ⋅∇ = ⋅∇ = ⋅∇� � � (4.12)

onde os gradientes estão definidos em (2.53) e (2.54).

A matriz HQQ é, geralmente, positiva semi-definida. Para obter uma versão

positiva definida desta matriz, conveniente para o desenvolvimento do algoritmo,

propõe-se uma pequena perturbação na matriz HQQ, que passa a ser escrita como:

� +∇⋅=m

mQQmQQ MfH )( 2 ελ (4.13)

27

onde ε é um número prescrito pequeno e M é uma matriz fixa preestabelecida. Esta

fórmula geral pode ser simplificada para os casos de vigas e pórticos, tendo em vista

que de acordo com (2.47),

( )

�

�����

�

===∇000000

001

)()(

20

2N

rYCrYrcf TmQQ (4.14)

Assim mQQ f2∇ pode ser aproximada simplesmente por:

�

�������

�

=∇

20

20

20

2

00

00

001

N

N

N

fmQQ

ε

ε (4.15)

onde ε deve ser um parâmetro pequeno quando comparado com a unidade (ε << 1).

Expandindo as condições na Eq. (4.9), associadas aos sistemas, (4.2), (4.3) e

(4.10), e assumindo que o equilíbrio nos nós livres é exatamente satisfeito para os

valores atuais de Q e α, conduz ao seguinte sistema de equações:

0 0 0 0 0α αλ− + ∇ + =��QQ Q Q QH d BU f H d (4.16)

0 0 0α− =TQB d d R (4.17)

0 0 0 0 1α α αα α λ+ ⋅ + + ∇ ⋅ =��TQ QH d R U d H f (4.18)

e 0 0 0 0α α λΛ∇ + ∇ + =�T

Q Qf d f d G (4.19)

28

onde 0 0 e Qd dα são estimativas de incremento para Q e α respectivamente, enquanto,

0 0 e λ��U são estimativas para e λ��U .

Este sistema linear de equações deve ser resolvido para as incógnitas 0 0 0 0, , e α λ��Qd U d a fim de achar a estimativa de incremento 0

xd .

O termo 0QQ QH d iguala a diferença entre as taxas de deformação plástica e as

totais em (4.16). A Eq. (4.17) representa o equilíbrio incremental, enquanto a Eq. (4.18)

impõe a necessidade de que a potência externa seja igual a um. O significado da Eq.

(4.19) será explicado mais adiante, na próxima seção.

Existem algumas características em comum na estrutura das matrizes

, , , eα αα α∇ ∇QQ Q QH H H f f e o vetor R, decorrentes da estrutura do modelo discreto,

que facilitam a solução do sistema (4.16)-(4.19). Por exemplo, a matriz QQH é

composta por blocos quadrados disjuntos entre elementos. Porque os parâmetros de

esforços internos são desacoplados, isto é, cada parâmetro está associado a um único

elemento.

Assim, sendo a matriz QQH uma matriz bloco-diagonal e positiva definida,

pode-se eliminar a incógnita 0Qd do sistema linear, fazendo uso de (4.16).

( )0 1 0 0 0α αλ−= − ∇ −��

QQQ Q Qd H BU f H d (4.20)

A Eq. (4.20), e várias das que estão por vir, envolvem quantidades e operações

referentes a um elemento finito por vez. Com a intenção de simplificar, está sendo

omitido, sempre que possível, o índice que denota o elemento.

A Eq. (4.20) é agora substituída em (4.19). Também multiplica-se (4.19) por 1−Λ , assumindo-se que λ�m é estritamente positivo para qualquer modo plástico m. Esta

consideração será garantida pela regra de atualização, realizada no final da iteração.

Assim,

( ) ( )1 1 0 1 1 0 1 0α α αλ− − − − −∇ ∇ − Λ + Λ ∇ − ∇ = ∇� �T T T

Q QQ Q Q QQ Q Q QQf H f G f f H H d f H BU (4.21)

Conseqüentemente, define-se

29

1 1 1 1 , α α α− − − −= ∇ ∇ − Λ = Λ ∇ − ∇T T

Q Q QQ Q Q QQ QW f H f G W f f H H (4.22)

e

1−= ∇QQ

TQT H f (4.23)

Foi provado em Zouain et al. (1993) que a matriz simétrica QW é positiva

definida, sob certas hipóteses a respeito da função plástica f, que podem ser fisicamente

interpretadas. Então, de (4.21)-(4.23),

0 1 0 0α αλ − � = − �

� �TQW T BU W d (4.24)

Introduzindo esta expressão em (4.20), obtem-se

0 0 0α α= +�ep T

Qd BU T W d� (4.25)

onde

1 1− −= −ep TQQH TW T� (4.26)

A Eq. (4.25) pode ser interpretada como uma relação tangente entre os esforços

internos e a deformação, representada por �BU , com ep� sendo a matriz de módulo

elasto-plástico “fictícia”. Foi provado em Zouain et al. (1993) que ep� é positiva semi-

definida.

Substituindo (4.25) em (4.17) conduz a

0 0α=� �KU d R (4.27)

onde a matriz K é obtida montando a contribuição de cada elemento na seguinte

expressão:

T epK B B= � (4.28)

30

e

α= −� T TR R B T W (4.29)

Pode-se interpretar K como uma rigidez elasto-plástica variável em cada iteração.

Usa-se (4.27) e (4.18) para deduzir a seguinte seqüência, com intuito de calcular 0 0 e α�d U :

Primeiro resolve-se

ˆ ,=U �K R (4.30)

em seguida, U é usado para obter

( ) 10 ˆα

−= ⋅�d R U (4.31)

e, finalmente, faz-se

0 0 ˆα=�U d U (4.32)

As incógnitas remanescentes 0 0 e Qd λ� são obtidas em termos elementares,

substituindo 0�U em (4.25) e (4.24).

31

4.2 Segundo Estágio, Relaxação do Passo e Escalonamento da

Tensão

O único requisito para gerar um algoritmo de pontos interiores é garantir a

viabilidade em relação às restrições das inequações ( ) 0 e 0f Q λ≤ ≥ ao final da

iteração. Nesta seção é descrito o procedimento utilizado para determinar os esforços

finais, que são plasticamente admissíveis. A aproximação do fator de carga α é

devidamente definida, de maneira que o equilíbrio seja sempre satisfeito. A condição

0, . . 0,i eλ λ≥ ≥� é garantida pelo critério de atualização utilizado ao final da iteração,

que modifica 0λ� , eliminando as componentes não-positivas.

De início, escolhe-se um fator de relaxamento s para o incremento de 0Qd . A

admissibilidade é garantida através do escalonamento dos esforços, i.e.

( )0QQ p Q sd= + (4.33)

sendo o fator de escalonamento p computado restringindo cada modo da função de

escoamento a ser estritamente negativo.

A tensão Q e o fator plástico α satisfazem o equilíbrio ao início da iteração. Por causa

da Eq. (4.17), 0 0 e Qd dα satisfazem, também, os requisitos de equilíbrio.

Consequentemente, as condições de equilíbrio

0α− =TB Q R (4.34)

serão preservadas em cada iteração se o fator de colapso é escalonado e relaxado da

mesma maneira que a tensão, ou seja, se

( )0p sdαα α= + (4.35)

Assim,

32

( )( ) ( )0 0min |m m m Q f mmp p f p sd Q sd f Qαα γ= + + + = (4.36)

onde ( )0,1fγ ∈ é dado por

0 0min ,f f dαγ γ α� = � (4.37)

e ( )0 0,1fγ ∈ é um parâmetro de controle fornecido. Esta regra previne que qualquer

função plástica se torne exatamente ativa em uma única iteração, enquanto pode se

aproximar de zero em poucas iterações.

Discutimos a seguir algumas propriedades das aproximações geradas a fim de se

determinar um critério apropriado para escolher o fator de relaxamento do passo s.

Em vista das condições de equilíbrio entre 0 0 e Qd dα e da restrição da potência

externa unitária (4.18), temos

0 0 0α = ⋅� �d KU U (4.38)

onde K é positiva semi-definida. Assim 0dα é não-negativa e ( )0 0,Qd dα é uma direção

ascendente para a função objetivo α da formulação estática (3.6).

Por outro lado, considerando a equação vetorial (4.19) em forma de componente,

0 0λ λ∇ = −� �Tm m Q m mf d f (4.39)

conclui-se que

00 0= � ∇ =Tm m Qf f d (4.40)

pela hipótese de λ�m ser estritamente positivo. Isto significa que 0Qd é tangente à

superfície 0=mf se este modo estiver ativo.

As propriedades de 0 0 e Qd dα mencionadas acima, permitem afirmar que é sempre

possível obter um fator de relaxamento s, pequeno o suficiente para garantir a condição

33

de ascendência também para a tensão modificada Q , porque a cada iteração ( )Q Q−

torna-se mais próximo à direção de ascendência 0Qd .

Baseado nisto, estabelece-se a seguinte estratégia para determinar o fator s. No

começo assume-se 1s = , então é encontrada uma primeira estimativa para p, de acordo

com (4.36). Se para esta estimativa α computada por (4.35) for menor que α, substitui-

se s por ssγ , onde ( )0,1sγ ∈ é um parâmetro pré-estabelecido. Para este novo s o fator

de escalonamento p é computado novamente. Este procedimento é repetido até que se

tenha α α≥ . Um bom processo de convergência apresentará valores de s e p próximos

de um nas últimas iterações.

4.3 Atualização

O conjunto de variáveis , , e α λ��T U deve ser atualizado para se realizar, se

necessário, uma nova iteração. Primeiro atualiza-se e Q α com os já computados

e Q α . Nota-se que não há necessidade de atualizar o vetor velocidade.

Finalmente atualiza-se λ� , levando em consideração que deve ser estritamente

positivo, de maneira que a matriz Λ possa ser invertida.

( )0 0max , λλ λ λ γ λ∞

← =� � �m m m (4.41)

e

0min , Qd

Qλ λγ γ�

= � � �

(4.42)

onde 0λγ é uma tolerância prescrita, ⋅ é a norma Euclidiana e

∞⋅ é a norma do

máximo valor absoluto das componentes. Esta regra permite que λ�m convirja a um valor

de multiplicador de Lagrange positivo, se este for o caso para 0λ�m , enquanto estão sendo

ajustados a um valor positivo pequeno, esses parâmetros λ�m , correspondendo a 0λ�m ,

tendem a zero.

34

4.4 Requisitos para a Inicialização

Foi assumido em (4.9) que a equação de equilíbrio é exatamente satisfeita para

os valores iniciais de cada iteração. Além disto, os incrementos de tensão e do fator de

carga computados também estão relacionados pelo equilíbrio como conseqüência de

(4.17). Então, basta inicializar o algoritmo com o par ( ),Q α em concordância com as

condições de equilíbrio para obter-se aproximações de carga e tensão equilibradas em

todo o processo de convergência.

A admissibilidade plástica das tensões no início de cada iteração também foi

assumida, e é preservada no final em virtude do escalonamento de tensão descrito na

seção anterior.

Consequentemente, escolhe-se

( )1

0, 0 e 0

α λ −= = =�mm

Qf

(4.43)

como valores iniciais para o algoritmo, viáveis com respeito à admissibilidade plástica e

o equilíbrio.

4.5 Critério de Convergência

Para testar se a convergência foi ou não alcançada, considera-se o conjunto de

condições de otimalidade (3.9)–(3.12) e o equilíbrio, Eq. (3.10). A igualdade da

potência externa (3.11) e a restrição da admissibilidade plástica (3.12a) são garantidas

no procedimento de iteração. Então, utiliza-se 0 0 e λ��U para checar se o presente valor

de Q concorda com as Eqs. (3.9), (3.12b) e (3.12c). Assim, a convergência é alcançada

se o seguinte critério for satisfeito:

0 0 0λ ε∞∞

− ∇ ≤�� �m DBU f BU (4.44)

0 0 , m 1, ,λλ ε λ∞

≥ − =� � �m k (4.45)

35

e

( )0 0 , se < 0λλ ε λ ε∞

≤ −� �m m f mf f (4.46)

onde os parâmetros , e D fλε ε ε são tolerâncias prescritas.

As observações finais sobre o algoritmo dizem respeito à possibilidade de se

detectar singularidade ou um mau condicionamento na pseudo matriz de rigidez K.

Recorda-se que foi provado que K é somente positiva semi-definida, apesar de

que todos os movimentos rígidos foram eliminados em B. Além disto, a Eq. (4.27) deve

ser satisfeita, na solução, para a velocidade de colapso e dα igualado a zero, em

conseqüência, K necessariamente tende a se tornar singular.

A questão é se a singularidade de K é ou não condição suficiente para a

convergência. Obviamente, um resultado teórico para esta questão seria muito útil. De

qualquer maneira, precisa-se inserir um teste quanto a singularidade na decomposição

de K.

4.6 Resumo do Algoritmo para Análise Limite

Apresenta-se agora um resumo do algoritmo utilizado para resolver o problema

de análise limite. Por simplicidade, este resumo será restrito aos casos onde não há

cargas distribuídas. Neste caso, os subíndices Q e α ,que aparecem na notação dos

gradientes e Hessianas (Eq. (4.10)), podem ser dispensados, tendo em vista que só o

parâmetro Q é considerado nos cálculos das derivadas e, portanto, não há possibilidade

de conflito nas definições.

Como mencionado anteriormente, cada elemento finito é associado, numa

relação de um para um, a um subconjunto de parâmetros de esforços globais e a um

subconjunto de restrições de admissibilidade plástica globais. Assim, a estrutura

matemática do modelo de pórticos permite que se realize todos os cálculos no âmbito

elementar. A única equação global a ser montada é a que aparece no sistema linear

(4.30). Entretanto, por brevidade e por não gerar maiores conflitos de notação, o

superíndice e, indicando o elemento, não foi adotado.

Os parâmetros do algoritmo e os valores típicos usados nas aplicações deste

trabalho foram os seguintes:

36

Parâmetros de controle:

0 2 0 4 -710 , 10 a 10 , 0.3, 0.5 ou 0.7f sλγ γ γ− −= = =

Perturbação para ( )2kf Q∇ :

3 510 a 10ε − −=

Parâmetros para checar a convergência:

3 12 3 310 a 10 , 10 , 10D fλε ε ε− − − −= = =

O algoritmo foi implementado no programa Mathematica, versão 5.0 de 2003,

utilizando-se funções básicas de programação, tais como IF, FOR, WHILE, GOTO.

37

I) INICIALIZAÇÃO

00

==

α

eQ

for cada modo plástico:

( )10m

mfλ −=�

end for

II) ESTIMATIVA DO INCREMENTO

for cada elemento e

( )( ) 11 2

1

1

1 1

D

Monte em

QQ QQ

QQ

QQ

m m

Q

TQ Q

ep TQ

e T ep

e

H f M

T H f

W T f G

D H TW T

K B B

K K

λ ε−

−

−

−

− −

= ∇ +

= ∇

= ∇ − Λ

= −

=

� �

end for

Decompor K

if algum elemento da diagonal de K se tornar menor ou igual a zero

then terminate

38

solve ˆKU R= �

( ) 10

0 0

ˆ.

ˆ

d RU

d U

α

α

−=

=U

�

�

for cada elemento 0 1 0T

QW T BUλ −=� �

end for

III) TESTE DE CONVERGÊNCIA

If 0 0 0DBU f BUλ ε

∞∞− ∇ ≤�� �

and

for cada modo plástico em cada elemento

0 0m λλ ε λ

∞≤� �

or

( )0m f mf fε≥

end for

then terminate (com a convergência alcançada)

IV) ESTIMATIVA DO INCREMENTO DE TENSÃO

for cada elemento e 0 0epQd D BU= �

end for

39

V) RELAXAMENTO DO PASSO E ESCALONAMENTO DA TENSÃO

=fγ min �

�

�

αγ α

00 ,

df

s=1

repeat until α α>

00ααα sd+=

for cada elemento

0Q

s sdQQ +=

for cada modo plástico encontre mp tal que

( )( ) ( )0sm m f mf p Q f Qα γ+ =

end for

end for

=p min mp

ss

p

sγαα

←= 0

end repeat

VI) ATUALIZAÇÃO

αα ←

=λγ min

�

��

�

Q

dQ0

0 ,λγ

for cada elemento

spQQ ←

for cada modo plástico

mλ ←� max ( )0 0,m λλ γ λ∞

� �

end for

end for

40

Capítulo 5

Aplicações

A fim de validar o algoritmo utilizado, foram realizadas algumas aplicações

conhecidos da literatura.

5.1 Aplicação 1

A primeira aplicação, retirada da seção 6.3.2 de Lubliner (1990), consiste em

uma barra de comprimento L engastada na extremidade esquerda e apoiada na direita,

com duas cargas pontuais proporcionais a um determinado parâmetro β como mostra a

Figura 5.1 .

Figura 5.1: Barra engastada na extremidade esquerda e apoiada na direita.

A viga foi modelada com 3 elementos de viga reta e seção quadrada, idênticos,

mesma seção, comprimento, esforço axial de colapso 0N e momento de colapso 0M , e

nós no engaste, em L/3, 2L/3 e no apoio em L. Os pontos de verificação foram os

próprios nós.

De acordo com Lubliner (1990), a relação entre o fator de colapso α e o

momento de colapso M0 deve ser:

βF (1-β)F

L/3 L/3 L/3

41

015 2 , para 1

1 3MLF

α ββ

= < <+

(5.1)

e

012 2 , para 0<

2 3MLF

α ββ

= <−

(5.2)

Uma outra maneira de apresentar o resultado seria considerando as cargas

aplicadas em L/3 e 2L/3 como independentes, sendo respectivamente, F1 e F2. Desta

forma chega-se, através da análise do equilíbrio e considerando 0M M= no engaste, a

duas inequações,

,152

,122

021

021

LM

FF

LM

FF

≤+

≤+ (5.3)

representadas graficamente na Figura 5.2. Na região interna às retas, não ocorre colapso

plástico. O fator de colapso α é o multiplicador que leva ao ponto de interseção da reta

que passa pela origem e o ponto formado pelas nossas cargas, com as retas das

inequações.

Figura 5.2: Diagrama de interação entre as cargas.

0

5

10

0 5 10

2 0F L M

1 0F L M

β=0.7

β=0.3

42

Utilizando 0 0

0

15, 1.67 e 0.7M MFL N L

β= = = , resulta em 08.8235MFL

α = .

O resultado do algoritmo foi um fator de colapso 08.8173MFL

α = em 9 iterações,

como mostra o gráfico da Figura 5.3, onde se pode notar que a partir da quinta iteração

os valores de α estabilizaram.

Figura 5.3: Fator de colapso versus número de iterações para 0.7β = .

Identifica-se uma rótula plástica no engaste e outra em L/3. A Figura 5.5(a)

mostra o mecanismo de colapso resultante com as respectivas rótulas, indo de encontro

ao apresentado por Lubliner (1990). Os resultados dos momentos também foram bem

coerentes, dando 0M em 0 e 3L , zero em L e 0.93 0M em 2 3L .

Considerando agora, 0.3β = para a mesma relação 0 0

0

15 e 1.67M MFL N L

= = ,

tem-se 07.0588MFL

α = . O algoritmo apresentou como resultado 07.0500MFL

α = em 8

iterações, convergindo de forma estável a partir da quarta iteração, como mostra a

Figura 5.4

0

FLM

α

Iteração

6

7

8

9

0 3 6 9

43

Figura 5.4: Fator de colapso versus número de iterações para 0.3β = .

Também neste caso, o mecanismo apresenta uma rótula plástica no engaste e

agora, a rótula plástica que surgia em L/3, aparece em 2L/3. A Figura 5.5(b) mostra o

mecanismo de colapso resultante com as respectivas rótulas, indo de encontro ao

apresentado por Lubliner (1990). Os resultados dos momentos continuam coerentes,

dando 0M em 0 e 2 3L , zero em L e 0.36 0M em 3L .

Figura 5.5: Mecanismo de colapso, linhas tracejadas. (a) 0.7β = , (b) 0.3β = .

0.7β = 0.3β =

0 L 0 L

(a) (b)

0

FLM

α

Iteração

6.56

6.80

7.04

0 2 4 6 8

44

Nesta aplicação o resultado é idêntico ao da referência, pois o esforço axial é

nulo e a linearização da superfície de escoamento proposta em Lubliner (1990) não

influi no resultado.

45

5.2 Aplicação 2

A segunda aplicação (Lubliner, 1990) consiste de um pórtico bi-engastado,

formado por três barras, submetido a uma força horizontal e a uma força vertical, como

mostra a Figura 5.6.

O pórtico foi modelado com 4 elementos de viga reta e seção quadrada,

idênticos, mesma seção, comprimento, esforço axial de colapso 0N e momento de

colapso 0M , formados por nós nos pontos A, B, C D, e E. Os pontos de verificação

foram os próprio nós.

Figura 5.6: Pórtico bi-engastado submetido a uma força vertical e uma horizontal.

Do teorema do limite superior, chega-se às seguintes inequações (Lubliner,

1990):

021

01

02

122

4

8

MLFHF

MHF

MLF

≤+

≤

≤

representadas graficamente na Figura 5.7. Na região interna às retas, não ocorre colapso

plástico.

H

L

F2

F1

A

B

C D

E

46

Escolhendo, por exemplo, 2 0 5F L M = e 1 0 2F H M = para

0

0

1.5 e 12.5,H ML N L

= = leva a um fator de colapso α = 1.33, através da interseção da

reta que passa pela origem e o ponto (2,5), com as retas das inequações, Figura 5.7 .

Deve-se levar em conta que Lubliner (1990) não considerou a contribuição do esforço

axial de colapso N0 .

Figura 5.7: Diagrama de interação entre as cargas.

O resultado do algoritmo foi um fator de colapso α = 0.85 em 7 iterações, como

mostra o gráfico da Figura 5.8, onde pode-se notar que a partir da quarta iteração os

valores de α estabilizaram. Este valor é coerente por ser menor do que o valor que não

considera o esforço axial de colapso N0 .

0

4

8

0 4 8

02 MLF

01 MHF

47

Figura 5.8: Fator de colapso versus número de iterações.

No colapso foram geradas três rótulas plásticas, uma em cada engaste e outra no

centro da segunda barra. O mecanismo de colapso, Figura: 5.9(a), assemelha-se ao

apresentado por Lubliner (1990).

Os resultados dos momentos também foram coerentes, dando 0M nos engastes e

no centro da barra horizontal e 0.06 0M nos pontos B e D. Indo de encontro ao diagrama

de momento fletor proveniente da teoria, Figura 5.9(b).

0,83

0,84

0,85

1 2 3 4 5 6 7

Iteração

α

48

(a)

(b)

Figura: 5.9: (a) Mecanismo de colapso, linhas tracejadas,

(b) diagrama de momento fletor.

M0

M0 M0

49

5.3 Aplicação 3

Esta aplicação consiste em um arco circular de raio r, bi-apoiado, de tal forma

que os apoios apenas permitem rotação, submetido a uma determinada força vertical F

na parte superior central, como mostrado na Figura 5.10 .

Figura 5.10: Arco bi-apoiado.

O arco foi modelado por elementos de viga reta e seção tubular, foram utilizados

4 elementos idênticos, ou seja, com mesma seção, comprimento, esforço axial de

colapso 0N e momento de colapso 0M . Os elementos foram distribuídos

uniformemente ao longo da geometria do arco. A Figura 5.11 mostra os elementos e os

respectivos nós numerados, modelados no algoritmo. Os pontos de verificação foram os

próprios nós.

F

50

Figura 5.11: Modelagem com 4 elementos.

O resultado do algoritmo para a relação 0 0

0

14.4 e 30.5M MN R FR

= = foi um fator

de colapso α = 0.63 em 3 iterações, sendo as duas últimas idênticas, mostrando

estabilidade na convergência como pode ser observado na Figura 5.12 .

Figura 5.12: Fator de colapso versus número de iterações.

F

1

2 3

4

5

α

0,62

2 3 1

Iteração

0,63

51

O resultado apresentado por Lubliner (1990) é um fator de colapso

α = 0.49. Entretanto, ele utiliza uma aproximação linear para a superfície de

escoamento.

Também é apresentada por Lubliner (1990), uma equação para os momentos ao

longo do arco variando com um ângulo φ , que vai de zero radianos em F, a 2π no

apoio. O gráfico desta equação é mostrado na Figura 5.13 .

Figura 5.13: Momento ao longo do arco.

Os momentos resultantes do algoritmo foram: zero nos apoios, nós 1 e 5, 0M

nos nós 2 e 4 e zero no nó 3. As rótulas resultaram nos nós 2 e 4, sendo coerente com o

valor máximo dos momentos resultantes nestes nós, 0M . Pelo gráfico da Figura 5.13, o

valor máximo do momento ocorre em 0.93 radianos, consequentemente onde se forma

rótula. O nó mais próximo do modelo está em 4 0.79π = radianos, no caso o nó 2, e

também o 4 por simetria. Pelo gráfico, 0.79 radianos equivale a 95% de 0M . A Figura

5.14 apresenta o gráfico dos momentos obtidos pelo algoritmo.

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

-1

-0.5

0.5

1

φ (rd)

M(φ)/M0

52

Figura 5.14: Momento ao longo do arco apresentado pelo algoritmo.

O mecanismo de colapso, com as respectivas rótulas, está apresentado na Figura

5.15, pelas linhas tracejadas. A única diferença é que, segundo Lubliner (1990), deve

aparecer uma rótula também no centro do arco, nó 3, o que pode ser notado pelo gráfico

dos momentos, Figura 5.13. Em 0φ = o momento também é máximo, 0M . O

mecanismo de colapso é idêntico ao apresentado por Lubliner (1990).

Figura 5.15: Mecanismo de colapso, linhas tracejadas..

M(φ)/M0

-1

-0,5

00 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5

φ(rd)

F

53

Vamos agora aprimorar o modelo utilizando-se oito elementos, idênticos aos

anteriores, ao invés de quatro, Figura 5.16.

A convergência foi idêntica a do modelo com quatro elementos, mostrada na

Figura 5.12, apresentando o mesmo valor para o fator de colapso α .

Os momentos resultantes foram: zero nos apoios, nós 1 e 9, e no centro, nó

5; 0M nos nós 3 e 7; e 0.74 0M nós 2, 4, 6 e 8 .

Também neste caso, as rótulas aparecem nos nós 3 e 7, que equivalem ao nós 2 e

4 do modelo com quatro elementos, e continuou não resultando rótula no centro do

arco, nó 5. O mecanismo de colapso permanece idêntico ao apresentado em Lubliner

(1990),. Figura 5.17.

Foram colocados dois pontos de verificação adicionais, na metade do elemento

entre os nós 4 e 5, e 5 e 6, para verificar a rótula central. Entretanto, estes não

apresentaram rótula. Com estes pontos, o algoritmo convergiu em sete iterações, dando

o mesmo valor do fator de colapso α anterior, a partir da segunda iteração. Mostrando

que apesar de apenas três iterações no caso anterior, a estabilidade é confiável.

Figura 5.16: Modelo com 8 elementos.

1

2

3

4 5

6

7

8

9

F

54

Figura 5.17: Mecanismo de colapso para 8 elementos, linhas tracejadas.

F

55

Capítulo 6

Conclusões

Neste trabalho foi apresentada uma formulação para análise limite em pórticos

planos que inclui o desenvolvimento de um algoritmo do tipo Newton para solução do

problema. No modelo proposto não foram incluídas outras aproximações além das

usuais previstas nas hipóteses clássicas de vigas. A superfície de escoamento adotada

considera a influência do esforço normal no critério de plastificação e foi tratada na sua

forma não linear.

A vantagem em se utilizar superfícies não lineares não se limita à possibilidade

de redução no número de restrições impostas ao modelo mas, principalmente, à

eliminação das aproximações induzidas por estas linearizações. Muitas vezes, estas

linearizações induzem à aproximações sem significado físico claro e podem ser de

difícil concepção. Como exemplo, cita-se o caso de superfícies linearizadas para perfis

tubulares (Borges, 1984).

O algoritmo se mostrou confiável para o cálculo de cargas e da distribuição de

esforços no colapso, identificando mecanismos de colapso idênticos aos previstos pela

teoria, com rótulas plásticas bastante coerentes em relação às soluções analíticas

encontradas na literatura (Lubliner, 1990).

O procedimento se mostrou robusto tanto para o cálculo de colapso em

estruturas onde o esforço axial é nulo, como foi o caso do exemplo apresentado na seção

5.1, como nos casos onde o esforço axial foi considerado. Quando não há esforços

axiais, o resultado é exatamente o mesmo obtido em soluções analíticas

(Lubliner,1990).

Na aplicação 2, o fator de colapso divergiu do encontrado pela teoria de

referência, sendo 64% do apresentado por Lubliner (1990). Este resultado é previsível,

pois Lubliner não considera o esforço axial nas restrições plásticas, o que

necessariamente conduz a um valor superestimado para o fator de colapso.

Adicionalmente, observa-se que nos exemplos estudados a convergência foi

estável. Em particular, no exemplo apresentado na seção 5.3, o número de iterações para

56

a convergência do algoritmo aumentou de três para sete, quando foram considerados

dois pontos de verificação adicionais.

Em geral, para o estudo de análise limite em vigas, os esforços axiais não são

preponderantes e, portanto, o modelo que limita apenas o valor máximo do esforço

fletor, oferece uma boa aproximação. Entretanto, este modelo não é adequado quando se

deseja verificar a influência do esforço normal, como é o caso de vigas curvas, onde a

presença do esforço axial tem maior influência no comportamento estrutural. O modelo

de vigas curvas é particularmente importante para os estudos de linhas de tubulações

onde, além da pressão interna, outros esforços podem ter atuação significativa no

sistema.

Neste sentido é que foi pensada a análise mostrada na seção 5.3, onde um arco

de 180° foi modelado com elementos retos. O fator de colapso calculado através da

metodologia aqui proposta foi 28% maior que o de Lubliner (1990). A solução analítica

proposta por Lubliner (1990) considera o esforço axial de colapso e uma linearização da

superfície limite. Foi observado que, mesmo tendo–se em conta a aproximação

geométrica do arco por elementos retos, a diferença entre os fatores de colapso

computado e o apresentado por Lubliner foi menor nos arcos do que no pórtico

apresentado na seção 5.2.

No caso do arco, o fato de não ter sido apresentado rótula no centro, prevista por

Lubliner, atribui-se a utilização de elementos de viga reta para a modelagem

geométrica. Por outro lado, as duas rótulas simétricas foram previstas perfeitamente.

Uma proposta para futuros trabalhos, seria utilizar modelo de viga curva para a

modelagem, o que, provavelmente, trará melhores resultados para aplicações em vigas

curvas.

O estudo aqui proposto fornece uma primeira idéia para, futuramente, combinar

os efeitos da pressão interna em dutos com os carregamentos adicionais que estes

sofrem, como os considerados aqui neste trabalho, para análise limite em linhas de

tubulação.

Finalmente, é importante mencionar que futuramente o modelo aqui proposto

deve incluir, no conjunto de restrições, critérios de projeto baseados na condição de

estabilidade geométrica, sob pena de falhar na previsão do colapso como um todo. Na

presença de esforços axiais, em muitos casos a carga que provoca instabilidade

geométrica pode ser bem mais crítica do que a carga que provoca colapso plástico.

57

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