Anlise Matricial de Estruturas ReticuladasUm curso para acadmicos de Engenharia Civil

Marcus Vincius Silva Cavalcanti

Anpolis, abril de 2006

Sumrio

1 Introduo e Conceitos Bsicos p. 4

1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 4

1.2 Classificao e Tipologia das Estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 5

1.2.1 Estruturas Reticuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 5

1.2.2 Estruturas no Reticuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 6

1.2.3 Endereamento de Ns, Barras e Conectividade . . . . . . . . . . . . . p. 7

1.3 Deslocamentos e Deformaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 8

1.3.1 Deslocamentos e Deformaes Associadas . . . . . . . . . . . . . . . p. 9

1.3.2 Carregamentos (Aes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11

1.3.3 Princpio da Superposio dos Efeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12

1.3.4 Onde os carregamentos provocam deslocamentos . . . . . . . . . . . . p. 13

1.4 Equilbrio e Compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

1.4.1 Equilbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

1.4.2 Compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

1.5 Indeterminao Esttica e Cinemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

1.5.1 Indeterminao Esttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

1.5.2 Indeterminao Esttica Externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

1.5.3 Indeterminao Esttica Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

1.5.4 Indeterminao Cinemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

1.6 Flexibilidade e Rigidez de Mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

1.7 Flexibilidade e Rigidez de Elementos Estruturais . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

1.7.1 Coeficientes de Flexibilidade e Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

1.7.2 Matrizes de Flexibilidade e de Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

2 Fundamentos Tericos dos Mtodos da Flexibilidade e Rigidez p. 31

2.1 Introduo ao Mtodo da Flexibilidade - Abordagem Geral . . . . . . . . . . . p. 31

2.2 Introduo ao Mtodo da Flexibilidade - Abordagem Matricial . . . . . . . . . p. 34

2.3 Introduo ao Mtodo da Rigidez - Abordagem Geral . . . . . . . . . . . . . . p. 40

2.4 Introduo ao Mtodo da Rigidez - Abordagem Matricial . . . . . . . . . . . . p. 44

2.5 Resumo da introduo aos mtodos da flexibilidade e da rigidez . . . . . . . . p. 51

Anexos p. 52

Referncias p. 55

41 Introduo e Conceitos Bsicos

1.1 Introduo

Desde que a tecnologia possibilitou o uso de computadores, os analistas estruturais vem desenvol-vendo tcnicas numricas e computacionais para otimizar o processo de anlise de estruturas demodo produtivo e seguro.

Mtodos consagrados de anlise estrutural, tais como o mtodo das foras e o mtodo dos deslo-camentos foram o alvo inicial das tcnicas computacionais de anlise estrutural. E com base emformulaes e equaes matemticas fundamentadas e desenvolvidas no campo da lgebra matri-cial, nasceu a tcnica computacional da anlise matricial de estruturas, que posteriormente evoluiupara mtodos mais consagrados, tais como diferenas finitas, elementos finitos e de contorno emais recentemente, elementos discretos e operadores discretos.

No se pode esquecer que todos esses mtodos e tcnicas so a implementao numrica de mo-delos fsico-matemticos de anlise estrutural. Isto , o mtodo na verdade uma tcnica que usao computador para resolver as equaes que foram formuladas pelos modelos tericos. Normal-mente, para a grande maioria dos problemas de anlise estrutural, a teoria que serve de base paratodos os mtodos e tcnicas numricas a Teoria da Elasticidade. portanto, sempre bom terem mente, que intil e infrutfero tentar estudar um mtodo cumputacional sem o entendimentodo modelo terico que o sustenta. Assim, apesar de neste texto ser feita uma reviso dos conceitosbsicos de anlise estrutural, os captulos e tpicos sero desenvolvidos partindo-se da suposiode que o leitor conhece a teoria das estruturas, a mecnica dos slidos, ou em um contexto geral aTeoria da Elasticidade.

Nas subsees seguintes sero apresentados conceitos bsicos de anlise estrutural que sero uti-lizados nas explicaes e desdobramentos dos prximos captulos. Trata-se de uma reviso deconceitos j vistos por aqueles que j estudaram a mecnica dos slidos, tambm conhecida emmuitas academias por teoria das estruturas. Apesar de serem conceitos genricos, o presente texto

5restringir sua enunciao e aplicao a anlise de estruturas reticuladas, objeto de estudo destetrabalho.

1.2 Classificao e Tipologia das Estruturas

Classificar pode ser muitas vezes um processo complexo, e no nosso objeto de estudo discutircritrios e parmetros de classificao estrutural que podem variar conforme a necessidade de cadaestudo. Para o nosso estudo, adotaremos uma classificao bem simples que divide as estruturasem duas classes:

Estruturas Reticuladas

Estruturas no Reticuladas

1.2.1 Estruturas Reticuladas

So todas aquelas constitudas por barras de eixo reto. Existem quatro tipos principais de estruturasreticuladas, que so:

Trelias

Vigas

Prticos

Grelhas

As trelias, vigas e prticos podem ser planos, quando todas as barras e carregamentos estocontidos em um mesmo plano ou espaciais quando a disposio das barras e/ou carregamentos tri-dimensional. J as grelhas so, por construo, estruturas em que os carregamentos so sempreortogonais ao plano da estrutura.

Para efeito de anlise estrutural, as estruturas reticuladas so descritas e caracterizadas pelas suasbarras e pelos seus ns. A enumerao das barras e ns essencial para a anlise computacionalda estrutura. Por esse motivo todas as barras e ns devem ser numerados de forma racional elgica. Nos captulos futuros esse processo de numerao de barras e ns ser estudado maisdetalhadamente.

6Alm de numerar adequadamente ns e barras, deve-se estabelecer a conectividade da estrutura,que nada mais do que listar todas as barras, especificando os nmeros do n inicial e do n finalde cada barra.

Prtico plano

Prtico espacial

Trelia EspacialTrelia plana

GrelhaViga

Figura 1: Estruturas Reticuladas

1.2.2 Estruturas no Reticuladas

Esto nessa classificao todas as estruturas que no se enquadram na primeira, sendo principal-mente as placas, cascas e membranas.

Arco

Placa

Casca

Figura 2: Estruturas no Reticuladas

71.2.3 Endereamento de Ns, Barras e Conectividade

Um requesito essencial para a anlise de estruturas reticuladas o endereamento dos ns e dasbarras. O endereamento dos ns se faz em relao a um sistema de refercia ao passo que oendereamento das barras, que a partir de agora chamaremos de conectividade, se faz em relaoao posicionamento dos ns. Analisando a Figura 3, percebe-se que a mesma possui 12 ns e 21barras. essencial antes de qualquer anlise saber a posio de cada n e saber onde comea eonde termina cada barra.

2

4

6

3 5 7 91

8

11 12

1 3

4

57

8

9

12

13

14

1517 19

62 10 18 21

20

1611

2,0 1,0 2,01,0 1,0 1,0

2,0

1,0

1,010

Figura 3: Trelia plana

Considerando um sistema de eixos coordenados x y com origem no n 1 da trelia apresentadana Figura 3, teremos a seguinte tabela de endereos:

Tabela 1: Tabela de Coordenadas dos ns da Figura 3

N Coord-X Coord-Y1 0,00 0,002 2,00 2,003 2,00 0,004 3,00 3,005 3,00 0,006 4,00 4,007 4,00 0,008 5,00 3,009 5,00 0,00

10 6,00 2,0011 6,00 0,0012 8,00 0,00

Agora que j sabemos as coordenadas dos ns, resta saber a conectividade das barras, ou seja, ondecomea e onde termina cada barra. Para a trelia apresentada na Figura 3, temos a seguinte tabelade conectividade:

8Tabela 2: Tabela de Conectividade das Barras da Figura 3

Barra N Inicial N Final1 1 22 1 33 2 34 2 45 2 56 3 57 4 58 4 69 4 7

10 5 711 6 712 6 813 7 814 7 915 8 916 8 1017 9 1018 9 1119 10 1120 10 1221 11 12

1.3 Deslocamentos e Deformaes

A histria dos delocamentos e das deformaes assemelha-se ao dilema do ovo e da galinha.Afinal, quem nasceu primeiro, o deslocamento ou a deformao ?

Algums autores defendem que quando um slido (no rgido) solicitado por aes externas, omesmo se deforma, ou seja, muda de forma e essas deformaes que geram os deslocamentos.

Ao se analisar mais atentamente essa questo pode-se ponderar que deformaes no so mensu-radas, elas so calculadas. O que se pode medir de fato so os deslocamentos. Basta lembrar doclssico ensaio de trao que todo estudante de engenharia faz assim que comea a estudar resis-tncia dos materiais. Coloca-se a barra na prensa e se aplica fora paulatinamente. O que de fatomedido durante o ensaio so a fora que a prensa aplica (ou transmite) a barra e o comprimento

9da mesma, ou em outras palavras, o deslocamento relativo entre as duas extremidades da barra. Apartir desses valores medidos possvel calcular a deformao linear. Assim, sob essa tica, naanlise estrutural o que vem primeiro so os deslocamentos. A partir dos deslocamentos que secalculam as deformaes associadas.

1.3.1 Deslocamentos e Deformaes Associadas

Agora que j verificamos que o deslocamento precede a deformao e que a partir dos desloca-mentos que se obtm as deformaes, podemos estabelecer uma associao entre deslocamentos edeformaes.

Dependendo de como a estrutura se desloque, podemos calcular uma deformao associada aesse tipo de deslocamento e a associao mais simples que se pode fazer entre deslocamento edeformao a medida da deformao linear, obtida a partir de uma relao entre a fora aplicadaa uma barra reta e o deslocamento axial relativo que se verifica entre as extremidades da mesma.

Barra

Vlvula

Rgua

Garra Fixa Garra

Manmetro

Bra

o H

idr

ulico

Figura 4: Ensaio de trao

Analisando o desenho esquemtico apresentado na Figura 4, percebemos que no possvel medirdiretamente nenhuma deformao. O que o ensaio nos fornece diretamente e que podem ser me-didos so: a fora aplicada a barra e o comprimento da barra para cada situao de carregamento.Medindo-se a seo transversal da barra para cada situao de carregamento pode-se facilmentecalcular a tenso na barra, como:

=FA

(1.1)

Onde F a fora transmitida pela prensa e A a rea da seo transversal da barra.

10

Medindo-se o comprimento da barra para cada situao de carregamento e subtraindo-se do com-primento original que a barra possua antes do ensaio, tem-se a medida do deslocamento relativoda barra, que nesse caso iremos chamar de alongamento da barra, que calculado como sendo:

= l f li (1.2)

Onde l f o comprimento final da barra, medido para cada situao de carregamento e li ocomprimento inicial da barra, medido antes do incio do ensaio, quando nenhum carregamentoestava aplicado a barra.

Agora, DEPOIS QUE TODAS AS MEDIDAS FORAM REALIZADAS, podes-se CALCU-LAR A DEFORMAO ASSOCIADA atravs da seguinte equao:

=li

(1.3)

Onde a deformao linear. Uma deformao associada ao deslocamento axial de uma barrasubmetida apenas a foras normais.

assim, medindo-se a fora F , a rea da seo transversal A, e o alongamento para vrioscarregamentos consecutivos e incrementais que se obtm uma relao entre tenso e deformao,que no caso do regime eltico dada por:

= E (1.4)

Onde E o mdulo de elasticidade longitudinal e a Equao (1.4) conhecida como Lei de Hooke.

A deformao linear no a nica que pode ser calculada quando um slido se desloca devidoa ao de foras que o solicitam. Existem outras situaoes de carregamento e deslocamentoque nos permitem calcular deformaes especficas e associadas para cada situao. Podemos porexemplo, calcular a distoro que uma deformao angular associada a deslocamentos angularesque surgem no slido. A situao esquemtica ilustrada na Figura 5 mostra um caso onde umabarra solicitada a toro e pode-se calcular a deformao associada a essa solicitao.

Existe todo um estudo realizado pela Mecnica dos Slidos que busca relacionar e calcular asdeformaes que surgem em um slido quando o mesmo solicitado por aes externas, e assu-

11

Barra Garra Fixa Garra giratria Parafuso

A

A

Figura 5: Toro em uma barra

miremos daqui por diante que o leitor esteja familiarizado com as relaes entre deformaes ecarregamentos estabelecidas pela teoria da elasticidade.

Esperamos ainda que antes de prosseguir o leitor tenha compreendido duas idias principais: aprimeira que os deslocamentos surgem primeiro, e que a partir da medida deles que secalculam as deformaes. A segunda idia a de que existem deformaes associadas para cadatipo de configurao e correlao entre os deslocamentos e as aes que os provocaram.

1.3.2 Carregamentos (Aes)

Como j percebemos no tpico anterior, os deslocamentos no surgem do nada e que para todoe qualquer deslocamento deve existir uma causa, e esta causa em anlise estrutural chamada deao ou, para os mais antigos, de carregamento.

Carregamento ou ao toda fora que solicita a estrutura, tal como seu peso prprio, carga de uti-lizao, sobrecargas, enfim toda e qualquer fora que tente provocar o deslocamento da estrutura.As aes podem ser divididas e classificadas de inmeras formas dependendo da convenincia.

Em anlise de estruturas existem duas formas de classificar os carregamentos: A primeira tomapor base a velocidade de aplicao da carga, e segundo esse critrio as aes podem ser estticasou dinmicas. So aes dinmicas todas aquelas cargas que so aplicadas a uma velocidade capazde despertar as foras de inrcia do slido. Quando a velocidade de aplicao for suficientementelenta, as foras de inrcia no so despertadas e o carregamento classificado como esttico. Noestudo presente neste texto consideraremos apenas os carregamentos estticos.

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Uma outra forma de classificar os carregamentos tem como critrio a sua distribuio, existindosegundo esse critrio, cargas concentradas e cargas distribudas. Essas duas formas de classificaodos carregamentos so suficientes e convenientes para os casos estudados neste trabalho.

1.3.3 Princpio da Superposio dos Efeitos

Para os slidos que respondem as solicitaes na forma do regime elstico, quando os desloca-mentos so suficientemente pequenos (cerca de 400 vezes menores que a maior dimenso) vlidoafirmar que: O efeito global de um conjunto de aes igual a soma dos efeitos individuais de cadaao. Este o princpio da superposio dos efeitos.

A Figura 6 ilustra o princpio da superposio dos efeitos. A estrutura est sujeita a duas aes queatuam ao mesmo tempo. Assim, de acordo com o princpio da superposio dos efeitos, qualquerefeito causado pela atuao combinada das duas aes pode ser calculado a partir da soma dosefeitos das aes atuando isoladamente.

Ponrtanto, se voc sabe calcular o deslocamento no meio do vo (por exemplo) devido a ao 1atuando isoladamente, e tambm sabe calcular o deslocamento no mesmo ponto (meio do vo)devido a ao 2 atuando isoladamente, o deslocamento no meio do vo causado pelas duas aesatuando ao mesmo tempo ser igual a soma dos deslocamentos (no meio do vo) obtidos quandoas aes atuavam isoladamente.

A1A1A2 A2

Figura 6: Superposio de Efeitos

Desse modo, por mais complexas que sejam as combinaes de carregamento, sempre que forpossvel aplicar o princpio da suprposio dos efeitos, os carregamentos combinados podem serdivididos em aes individuais, e qualquer efeito global, como deslocamento em um ponto, podeser obtido a partir da soma dos efeitos individuais das aes atuando isoladamente.

Nas estruturas analisadas ao longo deste texto ser considerado vlido aplicar o princpio da su-perposio dos efeitos na anlise.

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1.3.4 Onde os carregamentos provocam deslocamentos

Quando uma ao externa solicita um slido na forma do regime elstico, esta ao provoca des-locamentos nos pontos desse slido. Por mais que possa parecer bvio, importante ressaltar queuma ao porvoca deslocamentos em infinitos outros pontos diferentes daquele onde ela prpriaest aplicada.

A1A2

0 1 2 3 4 5 6 7

Figura 7: Deslocamentos numa viga

Analisando a viga da Figura 7, vemos que existem duas aes aplicadas a viga, e que essas aesso responsveis pelo deslocamento de toda a viga. No ponto 1 no existe nenhuma carga aplicada,e o mesmo se deslocou. O deslocamento verificado no ponto 1 em parte causado pela ao A1e em parte causado pela ao A2, desse modo podemos express-lo matematicamente da seguinteforma:

1 = D11 +D12 (1.5)

Na equao 1.5, temos que:

1 o deslocamento total no ponto 1

D11 a parcela de deslocamento no ponto 1, causada pela a ao 1

D12 a parcela de deslocamento no ponto 1, causada pela a ao 2

Assim, poderamos escrever genericamente que:

i =n

j=1

Di j (1.6)

14

Onde:

n o nmero de aes que solicitam a estrutura

i o deslocamento total no ponto i

Di j uma parcela de deslocamento no ponto i

O ndice i indica a posio onde ocorre o deslocamento

O ndice j indica qual a ao que contribui para a parcela de deslocamento Di j

Assim, se desejamos representar todos os seis deslocamentos indicados na Figura 7 na formagenrica apresentada pela Equao (1.6), teremos que:

1 = D11 +D122 = D21 +D223 = D31 +D324 = D41 +D425 = D51 +D526 = D61 +D62

(1.7)

1.4 Equilbrio e Compatibilidade

1.4.1 Equilbrio

Uma estrutura, ou elemento estrutural, est em equilbrio esttico quando a fora e o momentoresultantes so nulos em qualquer ponto do corpo em anlise. Como a anlise estrutural se d noespao tri-dimensional sempre possvel decompor a fora e o momento resultantes nos termos desuas componentes cartesianas, de forma que pode-se matematicamente expressar o equilbrio daseguinte forma:

Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0Mx = 0 My = 0 Mz = 0

(1.8)

A situao apresentada na Figura 8 ilustra uma situao onde se aplicam as Equaes (1.8).

As Equaes (1.8) expressam as condies de equilbrio para qualquer slido no espao. Existemcasos particulares em que as estruturas so idealizadas em modelos planos, assim as Equaes (1.8)

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X

Y

Z

Figura 8: Equilbrio Espacial

podem ser reduzidas a apenas trs equaes, sendo duas de translao, relativas aos somatrio deforas e uma de rotao, relativa ao somatrio de momentos. No caso apresentado na Figura 9 asequaes de equilbrio assumiriam a forma apresentada na Equaes (1.9):

Fx = 0 Fy = 0Mz = 0

(1.9)

X

Y

Figura 9: Equilbrio Plano

Como podemos observar em (1.8) e (1.9), nas equaes de equilbrio, as foras so as incgnitasa serem determinadas para a soluo do problema.

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1.4.2 Compatibilidade

Para que a anlise estrutural esteja completa tambm necessrio atender s condies de com-patibilidade da estrutura. Atender s condies de compatibilidade nada mais do que apresentar,ao final da anlise, deslocamentos previamente esperados em determinados pontos da estrutura.

Na viga da Figura 7, sabemos que no ponto 0 no podem existir translaes verticais e nem ho-rizontais e tambm sabemos que o ngulo de giro da barra naquele ponto diferente de zero. Domesmo modo sabemos que no ponto 7 no pode existir translao vertical e que tanto a translaohorizontal quanto o giro so no nulos. Portanto, para a simples viga apresentada na Figura 7existem seis condies de compatibilidade que devem ser observadas, trs para cada n. Dessemodo, uma abordagem terica que use os deslocamentos para determinar o equilbrio da estrutura(mtodo da rigidez) deve obedecer as condies de compatibilidade impostas a estrutura.

Nas equaes de compatibilidade, as incgnitas so os deslocamentos a serem determinados paraa soluo do problema.

1.5 Indeterminao Esttica e Cinemtica

1.5.1 Indeterminao Esttica

Como j vimos na seo [1.4] uma estrutura est em equilbrio esttico quando os somatrios dosmomentos e das foras nulo em qualquer ponto do corpo, condio matematicamente traduzidanas Equaes 1.8. Vimos ainda que nestas equaes as foras so as incgnitas a serem determi-nadas. Toda vez que esse nmero de foras incnitas a serem determinadas for maior que onmero de equaes de equilbrio disponveis, a estrutura ser estaticamente indeterminada.

Essa situao de um nmero maior de foras incgnitas superior ao nmero de equaes de equi-lbrio pode ocorrer de duas formas: atravs de uma indeterminao esttica externa ou via indeter-minao esttica interna, como veremos a seguir.

1.5.2 Indeterminao Esttica Externa

A indeterminao esttica externa configura-se quando o nmero de foras incgnitas aplicadasexternamete a estrutura superior ao nmero de equaes de equilbrio para resolver a estrutura.Do ponto de vista prtico e usual, as reaes de apoio que so as foras incnitas aplicadas

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externamente a estrutura, e sob este prisma pode-se dizer que toda vez que o nmero de re-aes de apoio exceder o nmero de equaes de equilbrio a estrutura ser externamenteestaticamente indeterminada.

Ainda importa saber o quanto uma estrutura pode ser externamente estaticamente indeterminada,e isso se faz atravs do clculo do grau de indeterminao esttica externa (Ge). Que pode serexpresso matematicamente expresso da seguinte forma:

Ge = NRANEE (1.10)

Onde NRA o nmero de reaes de apoio e NEE o nmero de equaes de equilbrio. Lem-brando que no plano NEE = 3 e no espao NEE = 6.

Na Figura 10 so apresentados alguns casos de estruturas externamente estaticamente indetermi-nadas. Tambm apresenta-se nessa figura o clculo do grau de indeterminao esttica externaGe.

(a) (b)

(c)(d)

NRA = 6NEE = 3Ge = 3

NRA = 5NEE = 3Ge = 2

NRA = 4NEE = 3Ge = 1

NRA = 10NEE = 6Ge = 4

Figura 10: Estruturas exteriormente estaticamente indeterminadas

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(c)

(b)

(d)

(a)

Gi = 3

Gi = 3

Gi = 3

Gi = 9

(b)

Figura 11: Estruturas internamente estaticamente indeterminadas

1.5.3 Indeterminao Esttica Interna

Uma estrutura ser internamente estaticamente indeterminada quando no for possvel calcularas foras que atuam internamente na estrutura, mesmo nos casos onde seja possvel calcular asreaes de apoio. Do ponto de vista prtico, as foras internas que atuam na estrutura so osesforos internos (momento fletor, esforo cortante, esforo normal,etc).

Esta situao onde no se consegue calcular os esforos internos da estrutura ocorre quando oselementos estruturais se fecham em uma clula impossobilitando calcular o equilbrio de umaseo transversal atravs da diviso da estrutura em carregamentos a esquerda e a direita de umaseo, tal como ocorre nos exemplos apresentados na Figura 11.

O clculo do grau de indeterminao esttica interna Gi no to simples quando o clculo de Ge.De modo simplificado calcula-se Gi da seguinte forma:

Gi = NRCNEI (1.11)

Onde NRC igual ao nmero de clulas fechadas onde no se pode dividir a estrutura em esquerdae direita, e NEI o nmero de esforos internos presentes na clula.

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No exemplo da Figura 11-(a) existe uma clula e trs esforos internos na clula, uma vez queem barras de prticos planos podem existir momento fletor, esforo normal e esforo cortante.Portanto, neste caso Gi = 3. No caso da Figura 11-(d) existem trs clulas e trs esforos em cadaclula, logo, Gi = 9.

O grau de indeterminao esttica total igual a soma dos graus de indeterminao esttica exteriore interior, e quanto maior for esse nmero, maior ser o esforo computacional para calcular asforas incgnitas, maior ser o esforo computacional do mtodo da flexibilidade.

1.5.4 Indeterminao Cinemtica

Como j vimos na seo [1.4], quando uma estrutura submetida a uma ao, esta se desloca.Sabemos ainda que alguns ns da estrutura tm seus deslocamentos previamente determinados,como por exemplo nos apoios. Esses deslocamentos previamente determinados so as condiesde equilbrio cinemtico da estrutura, que tambm chamamos de condies de contorno.

Alm dos ns onde esses deslocamentos so conhecidos, a estrutura pode possuir outros ns ondeno se conhece os valores dos deslocamentos. Nesses pontos, os deslocamentos so indetermina-dos, e a quantidade desses deslocamentos indeterminados o grau de indeterminao cinemticada estrutura.

Como exemplo, podemos analisar a estrutura da Figura 11-d. Nesta estrutura existem 8 ns. Comose trata de uma estrutura plana, em cada um desses ns existem trs possibilidades de deslocamento(translao em x, translao em y e rotao em z), totalizando um total de 24 deslocamentospossveis. Desses 24 deslocamentos possveis 3 so determinados, que so as translaes nos doisapoios. Assim esta estrutura possui 19 indeterminaes cinemticas.

J no caso da estrutura na Figura 11-d existem 8 ns com 6 possibilidades de movimento (estru-tura espacial), totalizando 48 possibilidades de deslocamento. Dessas 48 possveis, analisando osapoios, percebemos que 10 deslocamentos so determinados (2 apoios do 2o gnero e 2 engastes),fazendo com que a estrutura possua 38 indeterminaes cinemticas.

Em anlise estrutural, tambm costuma-se chamar o nmero de indeterminao cinemtica degraus de liberdade da estrutura.

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1.6 Flexibilidade e Rigidez de Mola

As equaes de flexibilidade e rigidez exprimem as relaes entre aes e deslocamentos em umaestrutura. O entendimento de como essas equaes so formuladas fundamental para a anlisematricial via mtodos da flexibilidade ou da rigidez.

Os conceitos de flexibilidade e rigidez podem ser ilustrados com o auxlio da mola apresentadana Figura 12, onde a mesma tracionada pela ao A, e devido a solicitao dessa mesma ao, amola distende-se do comprimento L at o comprimento + L, sendo a ao A a responsvel peloalongamento (deslocamento) .

L

Figura 12: Mola sujeita a trao

Qualquer estudante de Engenharia vai lembrar de como se calcula a constante elstica da molausando a Lei de Hooke. Para isso basta descobrir qual a fora que provoca um deslocamentounitrio na mola, com a velha e boa frmula:

F = Kx (1.12)

Onde x o deslocamento que a fora F provoca e K a constante eltica da mola. Portanto, naEquao (1.12) K a fora que capaz de provocar um deslocamento unitrio na mola, ou seja,quando x = 1. Quanto mais alto for o valor de K maior ser a fora necessria para distender oucomprimir a mola, ou em outras palavras mais rgida ser a mola.

Em anlise de estruturas o princpio o mesmo. Entretanto, apenas com finalidade didtica etambm com o objetivo de mater sempre uma mesma simbologia matemtica tanto nos casos maissimples quanto nos mais complexos, utilizaremos as mesmas notaes que estamos usando paraforas (Ai) e deslocamentos (i e Di j) desde o princpio deste trabalho. Desse modo, a Equao(1.12) reescrita do seguinte modo:

21

A = S (1.13)

Onde:

o deslocamento provocado pela ao A.

S a fora necessria para provocar um deslocamento unitrio ( = 1)

Assim, quanto maior for o valor de S mais difcil ser deslocar a mola, ou seja, mais rgida ser amola, e por esse motivo S conhecido como sendo a RIGIDEZ da mola.

Uma outra forma de relacionar aes e deslocamentos pode ser escrita da seguinte forma:

= FA (1.14)

Onde:

o deslocamento provocado pela ao A. (de novo e sempre)

F o deslocamento que surge na mola quando aplica-se uma ao unitria na mesma A = 1

Deste modo, quanto maior for o valor de F mais fcil ser deslocar a mola, ou seja, mais flexvelser a mesma, e por esse motivo, F conhecido como sendo a FLEXIBILIDADE da mola.

Quando estamos determinado o valor de S a pergunta a ser respondida a seguinte: qual a foranecessria para provocar um deslocamento unitrio na mola, ao passo que na determinao dovalor de F a pergunta a ser respondida consiste em dizer qual o valor do deslocamento que provocado por uma ao unitria na mola.

Analisando as Equaes (1.13) e (1.14) percebemos que F e S so grandezas inversamente propor-cionais, ou em outras palavras, a RIGIDEZ o inverso da FLEXIBILIDADE, o que matematica-mente expresso pelas Equaes (1.15).

F =1S

= S1 e S = 1F

= F1 (1.15)

22

1.7 Flexibilidade e Rigidez de Elementos Estruturais

1.7.1 Coeficientes de Flexibilidade e Rigidez

Os princpios descritos para a mola so vlidos para toda e qualquer estrutura que se desloca emregime linear elstico quando solicitada por uma nica ao, o que nos permite distender os con-ceitos de flexibilidade e rigidez de mola para os conceitos de flexibilidade e rigidez de elementosestruturais, e por conseginte, de estruturas. Vejamos o caso da estrutura apresentada na Figura13.

A

Figura 13: Barra sujeita a trao

No caso da Figura 13 temos uma barra engastada em uma extremidade e solicitada em outra extre-midade por uma ao A, posicionada na mesma direo do eixo longitudinal da viga. Sabemos, daResistncia dos Materiais, que para o caso da barra da Figura 13, o deslocamento axial e dadopor:

= ALE

(1.16)

Onde:

o deslocamento provocado pela ao A;

L o comprimento da barra;

E o mdulo de elasticiade longitudinal do material que constitui a barra, e

a rea da seo transversal da barra.

23

Se fizermos A = 1 na Equao (1.16) teremos o valor do deslocamento , provocado por umaao unitria, ou em outros termos, a flexibilidade da barra quando submetida a aes normaisaplicadas no eixo da mesma. Assim, a flexibilidade F de uma barra prismtica submetida a umaao normal aplicada no seu eixo longitudinal descrita atravs da Equao (1.17).

F =L

E(1.17)

Como j sabemos que a rigidez o inverso da flexibilidade podemos tambm obter o valor darigides S para a barra da Figura 13, conforme expresso na Equao (1.18).

S = F1 =(

LE

)1=

EL

(1.18)

Uma vez que obtivemos F e S podemos agora relacionar as aes e os deslocamentos para ocaso da Figura 13 em termos de sua rigidez ou de sua flexibilidade ao deslocamento longitudinalprovocado por uma ao normal, na forma das Equaes (1.19)

= F AA = S

(1.19)

As Equaes (1.19) so as iguais as Equaes (1.13) e (1.14), s que neste caso, os valores deF e A foram obtidos para uma situao estrutural especfica. Veremos mais adiante que F e Aso respectivamente chamados de coeficiente de flexibilidade e coeficiente de rigidez, e que suadeterminao depende de tcnicas especficas para cada tipo de situao estrutural. Veremos aindamais adiante, vrias formas de se obter esses valores utilizando o princpio dos trabalhos virtuaise a tcnica da carga virtual unitria

Vejamos agora o caso da viga engastada apresentada no esquema estrutural da Figura 14

Agora, ao invs de tracionar a barra, a ao na extremidade provoca a flexo da barra. Neste caso, odeslocamento vertical indicado na Figura 14 pode ser obtido via tcnica da carga virtual unitria,utilizando o princpio dos trabalhos virtuais, sendo expresso por:

= 1EI

ZMMds (1.20)

Onde:

24

S

1

A

L

1

F

Figura 14: Viga em balano com ao na extremidade

E o mdulo de elasticidade longitudinal do material que constitui a barra

I o momento de inrcia da seo transversal em relao a sua linha neutra

M a expresso que define o valor dos momentos fletores reais

M a expresso que define o valor dos momentos fletores virtuais

Admitindo um sistema de coordenadas com origem na extremidade onde a ao A est aplicada,teremos as seguintes expresses de momento:

M(x) =A x (0 x L)M(x) =1 x (0 x L)

Multiplicando M(x) por M(x), teremos que:

= 1EI

Z L0

A x2dx = AL3

3EI

Desse modo, obtivemos o valor do deslocamento vertical na extremidade da viga provocado pelaa ao A.

= AL3

3EI (1.21)

Agora, para o caso da viga na Figura 14, se quisermos saber qual o deslocamento provocado

25

por uma ao unitria na extremidade onde atua a ao A, basta fazer A = 1 na equao 1.21, eficaremos com:

= 1 L3

3EI = =L3

3EI

E como o valor do deslocamento provocado por uma ao unitria definido como sendo aflexibilidade F , temos que para o caso do deslocaemento indicado na Figura 14, a flexibilidade(F) dada por:

F =L3

3EI (1.22)

Sabendo o valor da flexibilidade expressa na Equao (1.22), podemos relacionar ao e desloca-mento na forma expressa na Equao (1.23):

= F A (1.23)

Agora, se quisermos saber qual a fora necessria para provocar um deslocamento unitriobasta fazer = 1 na Equao 1.21, e ficaremos com:

1 =AL3

3EI = A =3EIL3

E como o valor da fora A que provoca um deslocamento unitrio definido como sendo arigidez (S), temos que para o caso do deslocaemento indicado na Figura 14, a rigidez (S) dadapor:

S = 3EIL3

(1.24)

Sabendo o valor da rigidez expressa na Equao (1.24), podemos relacionar ao e deslocamentona forma expressa na Equao (1.25):

A = S (1.25)

As Equaes (1.25) e (1.23) so respectivamente iguais as Equaes (1.13) e (1.14), com a di-

26

ferena que desta vez, para o caso especfico da barra apresentada na Figura 14, obtivemos oscoeficientes de flexibilidade e de rigidez utilizando o princpio dos trabalhos virtuais.

1.7.2 Matrizes de Flexibilidade e de Rigidez

At agora, nos exemplos que apresentamos, para cada estrutura existia apenas um deslocamentoem anlise e portanto, apenas um nico coeficiente de flexibilidade e um nico coeficiente de rigi-dez, situao que serviu para explicar os conceitos de flexibilidade e de rigidez, mas que em casosprticos no ser aplicada, uma vez que na anlise de estruturas usuais o nmero de deslocamentose aes consideravelmenet elevado. Nestes casos, ao invs de trabalharmos com coeficientesnicos, iremos utilizar matrizes de coeficientes, matrizes essas que so nominadas de matriz derigidez e matriz de flexibilidade.

Os casos que veremos na presente seo ilustram apenas a utilizao das matrizes de flexibilidadee rigidez nas equaes que correlacionam aes com deslocamentos, ainda no discutiremos aobteno dos coeficientes de flexibilidade e de rigidez.

Para ilustrar a obteno das citadas matrizes, analisemos o caso da viga de dois vos sujeita a trsaes, conforme apresentado na Figura 15. Digamos que para esse caso desejemos obter os trsdeslocamentos 1, 2 e 3 indicados na figura, considerados positivos nos mesmos sentidos dasaes aplicadas nos pontos 1, 2 e 3.

Sabemos que cada deslocamento composto de parcelas de deslocamento correspondentes asaes aplicadas na estrutura, de forma que:

1 = D11 +D12 +D132 = D21 +D22 +D233 = D31 +D32 +D33

(1.26)

Sabemos ainda que se for possvel aplicar o princpio dos trabalhos virtuais, as parcelas de des-locamento Di j podem ser calculados considerando as aes atuando isoladamente na estrutura.Assim, podemos expressar a parcela de deslocamento Di j, considerando apenas a ao j. Nocaso especfico apresentado na Figura 15, podemos expressar D11 calculando o deslocamento noponto 1 considerando apenas a ao A1 atuando isoladamente. Assim, se soubermos qual odeslocamento que provocado por uma ao unitria no ponto 1 acharemos um coeficiente deflexibilidade que correlaciona o deslocamento 1 com a ao A1 dado por:

27

D11 = F11 A1 (1.27)

Pelo mesmo raciocnio que nos permitiu escrever a Equao (1.27), podemos escrever que:

D12 = F12 A2D13 = F13 A3 (1.28)

Nas Equaes (1.27) e (1.28), os coeficientes F11, F12 e F13 so obtidos atravs do clculo dodeslocamento no ponto 1 causado pelas aes A1, A2 e A3 atuando isoladamente. Para ser maisespecfico, o coeficiente F11 o deslocamento vertical no ponto 1 provocado pela ao A1, ao passoque F12 o deslocamento vertical no mesmo ponto 1 agora causado pela ao A2, e finalmente F13 o deslocamento vertical no mesmo ponto 1 causado provocado pela ao A3. Como j sabemosque o deslocamento provocado por uma ao unitria a flexibilidade, obtemos os coeficientesde flexibilidade Fi j onde o ndice i indica o ponto onde o deslocamento considerado, e o ndicej indica o ponto onde a ao unitria foi aplicada. Na Figura 15 esse processo graficamenteapresentado.

Aplicando o mesmo racioccio com o qual obtivemos as Equaes (1.27) e (1.28), podemos escre-ver que:

D21 = F21 A1D22 = F22 A2D23 = F23 A3

(1.29)

De modo anlogo, teremos que:

D31 = F31 A1D32 = F32 A2D33 = F33 A3

(1.30)

Assim, usando as Equaes (1.27), (1.28), (1.29) e (1.30), podemos correlacionar todos as aesA com os deslocamentos , do seguinte modo:

28

1

2 3

F11

F31F21

1

F13

F23 F33

F12

F32F22

A1 A2

A3

1

1

Figura 15: Coeficientes de flexibilidade para viga com dois vos

1 = F11 A1 +F12 A2 +F13 A32 = F21 A1 +F22 A2 +F23 A33 = F31 A1 +F32 A2 +F33 A3

(1.31)

As equaes (1.31) podem ser matricialmente expressas na forma da Equao (1.32).

123

=

F11 F12 F13F21 F22 F23F31 F32 F33

A1A2A3

(1.32)

Em termos genricos para uma estrutura qualquer, temos que:

[] = [F][A] (1.33)

29

Onde:

[] a matriz de deslocamentos;

[F] a matriz de flexibilidade, e

[A] a matriz das aes.

A Equao (1.33) expressa os deslocamentos em funo das aes, utilizando para isso a matrizde flexibilidade [F]. Porm, se a partir da mesma Equao (1.33) quisermos expressar as aes emfuno dos deslocamentos, chegaremos a Equao (1.34):

[A] = [F]1[] (1.34)

Onde [F]1 a matriz de flexibilidade invertida, de forma que para as mesmas aes e desloca-mentos apresentados na Figura 15, podemos dizer que [S] = [F]1, e ento escrevermos a Equao(1.35).

[A] = [S][] (1.35)

Na Equao (1.35) as aes so expressas em funo dos deslocamentos e a matriz [S] umamatriz de rigidez para a estrutura apresentada, matriz essa que pode ser obtida a partir da inversoda matriz [F] ou diretamente atravs da identificao de valores de carregamento que provocamdeslocamentos unitrios nas mesmas direes e sentidos indicados pelos deslocamentos 1, 2 e3 da Figura 15. Tal processo graficamente ilustrado na Figura 16.

Analisando o processo fsico ilustrado na Figura 16 vemos que o que se procura agora quaisso as aes que provocam deslocamentos unitrios, ou seja, quais os coeficientes de rigidez.Se analisamos o ponto 1 especificamente, e perguntamos quais as aes que provocam um des-locamento unitrio na mesma direo e sentido de 1, fazendo com que 2 e 3 sejam nulos,obteremos os coeficientes S11, S21 e S31, e assim suscessivamente, at obtermos a matriz de rigi-dez [S], em racioco semelhante ao desenvolvido na obteno dos coeficientes de flexibilidade damatriz [F]. Os deslocamentos 2 e 3 so nulos no caso desses trs coeficientes, por que a per-gunta que tentamos responder quais so as aes que provocam deslocamento unitrio apenasno ponto 1. Quando repetirmos a mesma investigao para os pontos 2 e 3, acharemos os demaiscoeficientes de rigidez que compe a matriz de rigidez.

30

1

2 3

S11 S21S31

S22 S32

S33

S12

S13 S23

A1 A2

A3

1

1

1

Figura 16: Coeficientes de rigidez para viga com dois vos

Determinar os valores dos coeficientes de rigidez e flexibilidade de uma estrutura genrica umatarefa muito difcil. O que usualmente se faz determinar esses coeficientes para certos tipos deestruturas de forma especfica e isolada, construindo-se assim uma tabela de valores desses coefici-entes para situaes previamente determinadas. De posse desses valores previamente conhecidos,divide-se a astrutura global de forma que os coeficientes de flexibilidade e de rigidez da estruturaglobal possam ser obtidos a partir das combinaes dos coeficientes conhecidos priori.

31

2 Fundamentos Tericos dos Mtodos daFlexibilidade e Rigidez

Veremos neste captulo os fundamentos tericos dos mtodos da rigidez e da flexibilidade. Apesarde estes fundamentos poderem ser aplicveis a anlise estrutural em geral, os veremos especifi-camente aplicados a estruturas reticuladas, o que por outro lado cobre um nmero razovel deelementos estruturais usualmente utilizados na Engenharia de Estruturas.

A formulao dos mtodos ser desenvolvida em lgebra matricial, o que permite escrever equa-es generalizadas para qualquer tipo de estrutura, com a vantagem adicional da abordagem matri-cial ser facilmente assimilvel em algoritimos computacionais, permitindo o uso de computadoresna anlise, o que a maior vantagem desses mtodos, uma vez que o computador capaz deanalisar um grande nmero de estruturas em tempo reduzido, aumentando consideravelmente aprodutividade do analista estrutural.

2.1 Introduo ao Mtodo da Flexibilidade - Abordagem Geral

Inicialmente veremos os fundamentos tericos do mtodo da flexibilidade, que pode ser utilizadona soluo de qualquer mtodo estaticamente indeterminado, ou seja, toda vez que existirem maisforas incgnitas do que equaes de equilbrio disponveis para a soluo do problema.

Para enteder o mecanismo de funcionamento do mtodo, vamos inicialmente analisar a viga apre-sentada na Figura 17-(a).

Com a finalidade de poupar tempo e tambm evitando reinventar a roda, adotaremos a nomeclaturasemelhante a utilizada por (GERE; WEAVER, 1981) na denominao de aes, reaes, desloca-mentos e matrizes em geral. Assim que os termos forem surgindo na soluo do problemas, iremosnominando os termos que se fizerem necessrios.

32

Observando a estrutura apresentada na Figura 17-(a), vemos que trata-se de uma estrutura planacom quatro reaes de apoio possveis. A partir de agora, convencionaremos representar as reaesde apoio, atravs de um trao cortando a fora ou binrio que a constitui, isso diferenciar as aesdas reaes.

Como a viga da Figura 17-(a) uma estrutura plana, significa que existem trs equaes de equil-brio possveis para resolver o problema, ao passo que a mesma estrutura apresenta quatro reaesde apoio incgnitas, o que torna a estrutura estaticamente indeterminada do primeiro grau, e dize-mos ento que a estrutura possui um redundante esttico, que pode ser obtido a partir da quebra dequalquer um dos vnculos (restrio ao deslocamento nos apoios) da estrutura.

Na soluo via mtodo da flexibilidade, quebra-se um dos vnculos nos apoios, e para manter acompatibilidade da estrutura acrescenta-se o redundante esttico equivalente ao vnculo rompido,que a prpria reao de apoio do vnculo que foi rompido. Qualquer um dos vnculos pode serrompido, mas no caso dos quatro vnculos apresentados na Figura 17-(a), optou-se por romper ovnculo que impedia o deslocamento vertical no ponto B da viga, fazendo com que a estruturaassuma a forma apresentada na Figura 17-(b).

HAMA

w

BR

AR BR

w

B

BR(e)

DB

L

w

(a)

(b)

(c)

(d)

(f)

1

Figura 17: Exemplo de aplicao do Mtodo da Flexibilidade

Como a viga da Figura 17-(a) era estaticamente indeterminada do primeiro grau, ao se romper um

33

vnculo obteve-se a estrutura estaticamente determinada (isosttica) apresentada na Figura 17-(b).Porm, ao se romper um vnculo mandatrio que se aplique o redundante esttico na estrutura namesma direo e sentido da reao do apoio rompido, aplica-se o redndante RB como o indicadona Figura 17-(c).

Desse modo, podemos representar os efeitos globais da viga da Figura 17-(a) como sendo a somados efeitos isolados das vigas das Figuras 17-(b) e 17-(c).

Agora, para determinar o valor da redundante RB, calcularemos o deslocamento em B, para os casosdas vigas das Figuras 17-(b) e 17-(c). O clculo desses deslocamentos geralmente realizadoatravs do mtodo da carga virtual unitria, tal qual foi realizado na seo 1.7.1. Aplicando a

mesma tcnica, obtemos o valor de B =wL4

8EI (positivo no sentido indicado na Figura 17-(d)). Da

mesma forma, para a viga da Figura 17-(b) obtemos o valor de DB = RBL3

3EI, positivo no sentido

indicado pela Figura 17-(e).

Agora, convencionaremos que o sentido da redundante ser sempre positivo, e tambm que osdeslocamentos no sentido da redundante sero sempre positivos. Aps adotar essa convenoescrevemos a equao de compatibilidade do n B da estrutura da viga original, apresentada naFigura 17-(a). Sabemos portanto que o deslocamento vertical do n B da Figura 17-(a) nulo, oque nos permite escrever a Equao (2.1):

DBB = 0 DB =RBL3

3EI wL4

8EI = 0 (2.1)

Isolando o valor de RB na Equao (2.1), teremos o valor do redundante esttico dado por:

RB =38wL (2.2)

Como a estrutura estaticamente indeterminda do primeiro grau, ao se obter o valor de um redun-dante esttico (RB), pode-se agora obter as demais reaes de apoio atravs das trs equaes deequilbrio disponveis para a viga plana.

A Equao (2.1) que permitiu a soluo do problema chamada de equao de compatibilidade,uma vez que determina os valores de deslocamentos em ns da estrutura. esta equao queexprime a condio de compatibilidade de que o deslocamento vertical do n B deve ser nulo,e a partir dessa equao que obtemos o valor de um redundate esttico que nos d a soluo do

34

problema, uma vez que conhecido o valor de um redundante, as demais reaes incgnitas podemser obtidas atravs das trs equaes de equilbrio disponveis para estruturas planas.

Podemos ainda desenvolver uma soluo mais sistemtica que nos permita chegar no mesmo valorde RB. Esta sistematizao nos permitir expressar as equaes de equilbrio e compatibilidade emtermos gerais e matriciais, caminhando assim no sentido da generelizao matricial que utilizare-mos na anlise das estruturas.

Um primeiro passo a ser dado no sentido dessa sistematizao, descobrir qual o deslocamento no mesmo sentido e direo da redundante esttica, quando aplicamos no lugar da redundanteuma carga unitria, como indicado na Figura 17-(f). Desse modo, podemos expressar o valor dodeslocamento DB, causado por RB como sendo o produto da fora redundante RB pelo desloca-mento causado por uma fora unitria, assim teramos que DB = RB. Com essa nova abordagem,a Equao de compatibilidade (2.1) pode ser reescrita na forma da Equao (2.3):

B +RB = 0 (2.3)

Na Equao (2.3) B o deslocamento no ponto B, causado pela Ao w na estrutura liberada. tomado negativo porque contrrio ao sentido da redundante no ponto B. Enquanto , representaum coeficiente de flexibilidade, uma vez que o deslocamento provocado por uma ao unitria noponto B, e numa forma mais geral denotamos pelo smbolo F. O termo nulo a direita da igualdade a condio de compatibilidade que determina qual deve ser o deslocamento do n B, que em numaforma mais geral denotamos por B, assim, podemos reescrever mais uma vez a Equao (2.3) naforma generalizada apresentada pela Equao (2.4):

B = B +F RB (2.4)

2.2 Introduo ao Mtodo da Flexibilidade - Abordagem Ma-tricial

Agora vejamos o caso apresentado na Figura 18:

No caso da viga apresentada na Figura 18-(a) temos uma estrutura estaticamente indeterminada dosegundo grau, e neste caso, a soluo do problema via mtodo da flexibilidade requer que sejamrompidos dois vnculos da viga. No caso especfico da viga da Figura 18-(a) foram rompidos

35

HAMA

w

AR BR CR

CRBR

F11F21

F12F22

w

(b)

1

L/2 L/2

(a)

(c)

1

w

DL1 DL2

(e)

(f)

(d)

Figura 18: Mtodo da Flexibilidade - Viga com dois redundantes

os vnculos dos apoios B e C. Como determina o mtodo da flexibilidade, foram colocados osredundantes estticos RB e RC no locais onde os vnculos foram rompidos, resultando no esquemaestrutural da Figura 18-(c).

O prximo passo calcular os deslocamentos na estrutura liberada nos pontos onde atuam osredundantes. Em primeiro lugar, calculam-se os deslocamentos devido a ao do carregamentoque solicita a estrutura (o carregamento distribudo w). Em seguida calculam-se os deslocamentosdevido a ao dos redundates RB e RC.

A partir de agora, chamaremos os deslocamentos devido aos carregamento de DL. O subndiceL indica apenas que um deslocamento devido ao carregamento (em ingls load), no sendopropriamente um subndice, mais um indicador. Os DLi tero os subndeces i, que indicam aposio i onde o deslocamento est sendo calculado.

Para o caso apresentado na Figura 18-(d), podemos calcular DL1 e DL2 atravs da tcnica da cargavirtual unitria do modo ilustrado nas Figuras 19 e 20.

36

DL1

DL1

X

(b)

DL2(a)

Y

1

w

DL1 =1

EI

ZM(M)ds

M(x) =wL2

8

wx2

2p/(0 x L/2)

M(x) =x p/(0 x L/2)

DL1 =1

EI

Z L/20

(wL2x

8+

wx3

2

)dx

DL1 =3wL4

128EI

Figura 19: Deslocamento DL1 na estrutura liberada devido as cargas

w

D DL2(a)

L1

X

(b)

Y1

DL2

DL2 =1

EI

ZM(M)ds

M(x) =wx2

2p/(0 x L)

M(x) =x p/(0 x L)

DL2 =1

EI

Z L0

wx3

2dx

DL2 =wL4

8EI

Figura 20: Deslocamento DL2 na estrutura liberada devido as cargas

37

Agora que j calculamos os valores dos deslocamentos devido aos carregamentos atuando na es-trutura liberada, falta calcular os deslocamentos devido a ao dos redundates atuando na estruturaliberada. S que desta vez, calcularemos as flexibilidades nos pontos 1 e 2 de tal sorte que pode-remos expressar os deslocamentos devido aos redundantes em funo de suas respectivas flexibili-dades. Os clculos das flexibilidades, est ilustrado nas Figuras 21 e 22.

F11

F21X

Y

1

F11 =1

EI

ZM(M)ds

M(x) = x p/(0 x L/2)

M(x) = x p/(0 x L/2)

F11 =1

EI

Z L/20

x2dx

F11 =L3

24EI

F21 =1

EI

ZM(M)ds

M(x) = x p/(0 x L/2)

M(x) =L2

+ x p/(0 x L/2)

F21 =1

EI

Z L/20

(Lx2

+ x2)

dx

F21 =5L3

48EI

Figura 21: Flexibilidades F11 e F21 na estrutura liberada

Agora que j sabemos as flexibilidades nos pontos 1 e 2, podemos calcular os deslocamentos naestrutura liberada devido a ao das redundantes estticas. Uma vez que j foram calculadas asflexibilidades, podemos expressar os deslocamentos na forma da Equao (2.5):

D11 = F11RBD12 = F12RCD21 = F21RBD22 = F22RC

(2.5)

Agora que j sabemos quais os valores dos deslocamentos causados pelo carregamento e pelasredundates, podemos escrever as equaes de Equilbrio para os ns B e C (que chameremos de 1e 2), na forma da Equao (2.6):

38

X

Y

1

F12

F22

F12 =1

EI

ZM(M)ds

M(x) =L2

+ x p/(0 x L/2)

M(x) = x p/(0 x L/2)

F12 =1

EI

Z L/20

Lx2

+ x2dx

F12 =5L3

48EI

F22 =1

EI

ZM(M)ds

M(x) = x p/(0 x L)

M(x) = x p/(0 x L)

F22 =1

EI

Z L0

x2dx

F22 =L3

3EI

Figura 22: Flexibilidades F12 e F22 na estrutura liberada

1 =3wL4

128EI +F11RB +F12RC

2 =wL4

8EI +F21RB +F22RC(2.6)

A Equao (2.6) pode ser matricialmente expressa na forma da Equao (2.7):

[12

]=

[DL1DL2

]+

[F11 F12F21 F22

]

[RBRC

](2.7)

Adotando a nomeclatura semelhante a utilizada por Gere e Weaver (1981), nominaremos os des-locamentos gerais como D; os deslocamentos devido as cargas de DL, e as foras redundatesdenotadas por Q. Desse modo a Equao (2.7), reescrita em temos gerais na forma da Equao(2.8):

[D1D2

]=

[DL1DL2

]+

[F11 F12F21 F22

]

[Q1Q2

](2.8)

Substituindo os valores j calculados para a Equao (2.8), obteremos a Equao (2.9):

39

[00

]=

[

3wL4128EI

wL48EI

]+

[L3

24EI5L3

48EI5L3

48EIL3

3EI

]

[RBRC

](2.9)

Agora, se desejamos obter os valores das redundantes [Q], isolamos esse termo da Equao (2.9),obtendo a Equao (2.10):

[RBRC

]

[L3

24EI5L3

48EI5L3

48EIL3

3EI

]=

[3wL4128EIwL48EI

](2.10)

De modo, que se desejamos obter os valores das redundantes, precisaremos inverter a matriz deflexibilidade, conforme indicado na Equao (2.11):

[RBRC

]=

[L3

24EI5L3

48EI5L3

48EIL3

3EI

]1 [ 3wL4128EIwL48EI

](2.11)

Utilizando a tcnica algbrica descrita em Boldrini et al. (1980), podemos obter a inversa da matrizde flexibilidade, dada pela Equao (2.12):

[F]1 =48EI7L3

[16 55 2

](2.12)

Assim, podemos reescrever a Equao (2.11) na forma da Equao (2.13):

[RBRC

]=

48EI7L3

[16 55 2

]wL4

128EI

[3

16

](2.13)

Resolvendo (2.13), chegamos aos valores dos redundantes expressos na Equao (2.14)

[RBRC

]=

3wL56

[32

17

](2.14)

40

2.3 Introduo ao Mtodo da Rigidez - Abordagem Geral

Como j vimos, a formulao fsca do mtodo da rigidez inversa a adotada no mtodo da flexibi-lidade, entretanto, como ser mostrado nas prximas sees, a formulao metemtica idndica.No mtodo da flexibilidade as incgnitas a serem calculadas eram as redundantes estticas, sig-nificando que o nmero de ncgnitas a calcular era igual ao grau de indeterminao esttica.J no mtodo da rigidez, as incnitas a se calcular so os deslocamentos nodais desconhecidos,significando que o nmero de incgnitas a se calcular igual ao grau de indeterminao cine-mtica da estrutura.

Uma caracterstica particular do mtodo da rigidez o uso intensivo de aes de extrmidade emmembros restringidos que podem ser obtidas utilizando o mtodo da rigidez, e depois de tabelados,aplicados ao mtodo da rigidez. Nesse texto usaremos as tabelas deduzidas por Gere e Weaver(1981), que esto apresentadas nos anexos 1 e 2.

Para ilustrar uma abordagem generalizada do mtodo da rigidez analisaremos a viga cujo esquemaestrutural est apresentado na Figura 23(a), que para fins de comparao ser igual ao caso apre-sentado na viga da Figura 17(a).

MB

B

mB

LBA

(b)

(c)

(a)

(d)

Figura 23: Mtodo da Rigidez - abordagem geral

41

Com a finalidade de simplificar a anlise, e uma vez que os resultados prticos assim o permitem,ser desprezado o deslocamento axial da viga. Considerando essa simplificao, o primeiropasso da anlise consiste em determinar qual o grau de indeterminao cinemtica da estrutura.No caso especfico da viga apresentada na Figira 23(a), existem duas possibilidades de movi-mento em cada n (translao vertical e rotao em A e B), totalizando quatro possibilidades demovimento. Dessas quatro possibilidades, trs so conhecidas, que so os deslocamentos nulos(translao vertical e rotao) do n A e a translao vertical nula do n B. Desse modo, apenasum deslocamento desconhecido (rotao do n B), sendo portando a estrutura cinematicamenteindeterminada do primeiro grau.

Quando a anlise era realizada pelo mtodo da flexibilidade, logo aps identificar os redundantesestticos, procedia-se a "liberao" das restries onde se encontravam tais redundantes. Agora,com o mtodo da rigidez faremos exatamente o contrrio, ou seja, procederemos a "restrio" dosdeslocamentos nos pontos onde se encontram os redundantes cinemticos. Aplicando esse proce-dimento a viga da Figura 23(a), obteremos a estrutura restringida apresentada na Figura 23(b).

Ainda traando um paralelo com a anlise realizada via mtodo da flexibilidade, onde logo apsa "liberao" da estrutura aplicava-se consecutivamente os carregamentos reais e os redundatesa fim de se obterem os deslocamentos cada uma dessas duas situaes (viga liberada sujeita aoscarregamentos e viga liberada sujeita aos redundates) provocava nos ns analizados; No mtododa rigidez adotaremos estratgia semelhante, ou seja, analisaremos a estrutura restringida sujeitaaos carregamentos reais, conforme mostrado na Figura 23(c) e aos redundantes, que agora soredundantes cinemticos, conforme mostrado na Figura 23(d).

A diferena que agora investigaremos quais as aes de extrmidade que surgem na viga restrin-gida quando a mesma sujeita aos carregamentos e aos redundantes. Para isso feremos uso dastabelas apresentadas nos Anexos 1 e 2 deste trabalho.

ANLISE DA ESTRUTURA RESTRINGIDA SUJEITA AOS CARREGAMENTOS REAIS - Figura 23(c)

Ao se retringir a rotao do n B, surge um momento MB na extrmidade direita da viga, mo-mento esse que no existe na viga real, posto que o apoio em B permite rotao. Agora no entanto,estamos interessados em descobrir qual seria o momento reativo em B se a viga sujeita aos carrega-mentos reais (carga distribuda) fosse engastada nesse apoio, e observando o Anexo 1, percebemosque se trata do caso 4 da tabela, e portanto temos o momento expresso na Equao (2.15):

42

MB =wL2

12(2.15)

O sinal positivo do momento na Equao (2.15), indica que o momento tem o mesmo sentido queo indicado na Figura 23(c), ou seja, o momento est no sentido horrio.

ANLISE DA ESTRUTURA RESTRINGIDA SUJEITA AOS DESLOCAMENTOS REDUNDANTES - Figura23(d)

Uma vez que o momento reativo em B no existe na viga real, e que o mesmo somente surgiudevido a restrio do movimento no ponto onde ocorre o redundante cinemtico, necessrio apli-car um momento no mesmo ponto B, momento esse devido ao deslocamento redundante aplicadona estrutura restringida. O valor desse momento pode ser obtido no caso 3 da tabela do anexo 2.Assim chegaremos ao momento expresso na Equao (2.16):

mB =4EI

LB (2.16)

O sinal positivo de mB na Equao (2.16), indica que o mesmo tem o mesmo sentido arbitrado naFigura 23(d), ou seja, mB est no sentido anti-horrio. Note que no caso de B = 1, mB ser umcoeficiente de rigidez SB = 4EIL , de modo que mB = SBB. Ainda na Equao (2.16) E o mdulode elasticidade do materiail que constitui a viga e I o momento de inrcia da seo transversalem relao ao eixo que passa pela linha neutra da mesma seo transversal.

SUPERPOSIO DOS EFEITOS - EQUILBRIO DO N B

Agora que j obtivemos as aes de extremidade devidas aos carregamentos e aos deslocamentosredundantes, podemos proceder o equilbrio do n B, a partir do princpio da superposio dosefeitos que nos permite afirmar que o esquema estrutural da viga da Figura 23(a) pode ser obtidoa partir da superposio dos efeitos das vigas mostradas na Figuras 23(c) e na Figura 23(d). Antesporm, devemos adotar uma conveno de sinais afim de que a equao de superposio sejaadequadamente escrita. Adotando a conveo de que os momentos anti-horrios so os positivos,podemos expressar o momento em B na forma da Equao (2.17):

MB = MB +mB (2.17)

43

Onde:

MB o momento em B na estrutura real (zero neste caso);

MB o momento em B causado pelos carregamentos na estrutura restringida, e

mB o momento em B causado pelos redundantes cinemticos na estrutura restringida

Observando a conveno de sinais para os momentos, e sabendo que neste caso o momnento em Bdeve ser nulo, podemos reescrever a Equao (2.17) na forma da Equao (2.18):

4EIL

BwL2

12= 0 (2.18)

A partir da soluo da Equao (2.18), podemos obter o valor de B, expresso na Equao (2.19):

B =wL3

48EI(2.19)

A soluo da Equao de superposio (2.17) o cerne do mtodo da rigidez. Aps determinadosos valores dos deslocamentos incgnitos pode-se obter as reaes de apoio e esforos internos nasextremidades das barras, utilizando a mesma tcnica de superposio que foi aplicada na deter-minao dos prprios deslocamentos. Assim, no caso especfico da viga da Figura 23(a), pode-sedeterminar a reao em B como sendo a soma dos efeitos das reaes em B obtidas na estrun-tura restringida sujeita respectivamente aos carregamentos e aos deslocamentos redundantes, detal sorte que a reao vertical em B (RB) pode ser expressa na forma da Equao (2.20):

RB = RB + rB (2.20)

Onde:

RB a reao vertical em B na estrutura real (zero neste caso);

RB a reao vertical em B causado pelos carregamentos na estrutura restringida, e

rB a reao vertical em B causado pelos redundantes cinemticos na estrutura restringida

Consultando as mesmas tabelas dos anexos 1 e 2, obtemos os seguintes valores:

44

RB = wL2

rB = 6EIL2 B

(2.21)

Uma vez que j obtivemos o valor de B na Equao (2.19), basta subistituir esse valor e os valoresdas Equaes (2.21) na Equao (2.20), que teremos a seguinte relao:

RB =wL2

(6EIL2

wL3

48EI

)(2.22)

Resolvendo a Equao (2.22), chegamos ao valor da reao vertical em B, dada pela Equao(2.23):

RB =wL2

wl8 RB =

38

wl (2.23)

Como j era esperado, o valor da reao vertical em B, calculado pelo mtodo da rigidez e expressopela Equao (2.23) o mesmo valor obtido pelo mtodo da flexibilidade e expresso pela Equao(2.2).

2.4 Introduo ao Mtodo da Rigidez - Abordagem Matricial

A viga da Figura 23 representa um caso simples de apenas um grau de indeterminao cinemtica,didaticamente vlido para ilustrar o mtodo da rigidez, entretanto ao se analisar uma estrutura maiscomplexa, com um nmero maior de indeterminaes cinemticas necessrio um procedimentomais sistematizado e facilmente generalizvel. Para ilustrar esse procedimento mais sistematizadoanalisaremos o caso apresentado na Figura 24.

O primeiro passo da anlise da viga apresentada na Figura 24(a) o clculo do grau de indetermina-o cinemtica e a identificao dos deslocamentos incgnitos. Desconsiderando os deslocamentosaxiais, a viga da Figura 24(a) pode ter at 6 deslocamento nodais (translao vertical e rotao dosns A, B e C). Desses seis deslocamentos possveis, 4 so conhecidos (dois do n A, um do nB e um do n C), desse modo, a estrutura cinematicamente indeterminada do segundo grau e osdeslocamentos desconhecidos so as rotaes dos ns B e C, que nominaremos respectivamentede D1 e D2, conforme o indicado na Figura 24(a).

45

D1 D2

2L L L

S11 S21

S12 S22

A1 A2

AL1 AL2

w P

A B C(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

P

Figura 24: Mtodo da Rigidez - abordagem matricial

O segundo passo da anlise obter a estrutura restringida, colocando engastes nos pontos onde aestrutura apresenta os deslocamentos incgnitos D1 e D2, ou seja, nos pontos B e C. Desse modoobtm-se a estrutura restringida apresentada na Figura 24(b).

Em seguida da detreminao da estrutura restringida, calcula-se as aes de extrmidade na estruturarestringida devidas ao carregamento real, para tanto, utilizam-se os valores pr-tabelados do anexo1, casos 1 e 4. 1 Essas aes de extremidade esto graficamente indicadas na Figura 24(b) e seronomidadas por AL1 e AL2.

Utilizando os valores tabelados no Anexo 1, e lembrando que para o n B contribuem 2 barras ao1 importante perceber que para esse problema o o valor de L na tabela igual a 2L (vo correspondente no

problema)

46

mesmo tempo (barra AB e barra BC), teremos que:

AL1 =w(2L)2

12+

P(L)(L)2

2L2=

PL4

wL2

3AL2 =

PL4

(2.24)

Agora que j sabemos os valores das aes de extremidade devidas aos carregamentos reais, de-vemos calcular os valores dessas mesmas aes de extremidade agora devidas a ao dos deslo-camentos incgnitos. Para que a soluo fique mais genrica e mais matricialmente tratvel cal-cularemos primeiramente os valores das aes de extrmidade devido a deslocamentos unitriosnos memsmo pontos e sentidos dos deslocamentos D1 e D2, de modo que as aes de extremidadedevida aos deslocamentos sero expressas na forma [S][D]. Utilizando a segunda tabela do anexo1 e lembrando que concorrem duas barras no ponto B (barras AB e BC), teremos:

S11 =4EI2L

+4EI2L

S11 =4EI

L

S21 =2EI2L

S21 =EIL

S12 =2EI2L

S12 =EIL

S22 =4EI2L

S22 =2EI

L

(2.25)

Agora que j obtivemos os valores das aes de extremidade devido a deslocamentos unitriospodemos expressar essas mesmas aes em funo dos deslocamentos incnitos na forma matricial[S][D], e logo em seguida escrevermos a equao de equilbrio, tambm conhecida como equeode superposio para os ns B e C, da seguinte forma:

[A] = [AL]+ [S][D] (2.26)

Onde:

[A] a matriz das aes nodais globais (todas nulas no caso da viga da Figura 24(b));

[AL] a matriz das aes de extremidade devida a ao dos carregamentos na estrutura res-

47

tringida;

[S] a matriz de rigidez (matriz das aes de extremidade devida a deslocamentos unitriosna estrutura restringida), e

D a matriz dos deslocamentos incgnitos.

Tambm costuma-se nominar [A], [AL] e D por vetores.

Para o caso da viga da Figura 24(b) a Equao (2.26) expressa como:

[A1A2

]=

[AL1AL2

]+

[S11 S12S21 S22

]

[D1D2

](2.27)

Substituindo os valores j obtidos nas Equaes (2.24) e (2.25) na Equao (2.27), teremos:

[00

]=

(PL4

wL23

)PL4

+ EI

L

[4 11 2

]

[D1D2

](2.28)

Isolando a matriz do termos independentes ([AL]) da Equao (2.28), teremos que:

(wL2

3 PL4

)

PL4

= EI

L

[4 11 2

]

[D1D2

](2.29)

Neste ponto da anlise chega-se a um sistema de equaes onde a matriz (ou vetor) [D] o vetordas incgnitas a serem determinadas. Reescrevendo a Equao (2.29) de outra forma, fica maisfcil visualizar a expresso matricial de um sistema de equaes, conforme mostrado na Equao(2.30):

EIL

[4 11 2

]

[D1D2

]=

(wL2

3 PL4

)

PL4

(2.30)

Existem vrias formas de se resolver a Equao (2.30), que em termos prticos resolvida nume-ricamente, atravs de um mtodo numrico especfico para a soluo de sistemas de euqaeslineares. No caso especfico do mtodo da rigidez, onde a matriz de rigidez S sempre umamatriz quadrada e simtrica, a decomposio de Cholesky (1924) um mtodo numericamenteveloz e eficiente.

48

Em captulos posteriores aprofundaremos os estudos em alguns mtodos numricos necessriospara a montagem e a soluo de sistemas de equaes como os da Equao (2.30). Por ora, conti-nuemos a soluo imaginando que ela ser realizada sem a ajuda de um computador digital. Paraisso ser necessrio obter a inversa da matriz de rigidez [S]1. Uma das formas de se inverter umamatriz quadrada apresentada por Boldrini et al. (1980), e seguindo esta metodologia obteremosa inversa da matriz de rigidez apresentada na Equao (2.30) como sendo a matriz [S]1 (2.31):

[S]1 = L7EI

[2 1

1 4

](2.31)

Uma vez que se tem a inversa da matriz de rigidez [S1], pode-se resolver a Equao (2.30),chegando-se a expresso da Equao (2.32):

[D1D2

]=

L7EI

[2 1

1 4

]

(wL2

3 PL4

)

PL4

(2.32)

O vetor [D] da Equao (2.32) contm os deslocamentos que solucionam o problema, expressospor:

[D1D2

]=

L7EI

(2wL2

3 PL4

)(

wL23

3PL4

) (2.33)

Agora que os deslocamentos foram encontrados, possvel calcular as reaes de apoio e esforosinternos nas extremidades dos membros. Existem basicamente dois caminhos para se proceder osclculos restantes: um deles visa a otimizao para soluo via mtodo numrico e computadordigital, outra possibilita a soluo analtica do problema.

Em termos prticos, bvio que para os problemas mais complexos adota-se a soluo via com-putador digital, e nos prximos captulos veremos essa abordagem de maneira mais aprofundada.Entretanto, antes de adentrar-mos na seara da programao em computadores digitais necessriocompreender a mecnica dos processos de clculo do mtodo da rigidez, visto que essa compre-eno essencial para que futuramente possamos realmente entender o uso dos algoritimos deprogramao na soluo computacional das anlises matriciais de estruturas reticuladas.

Na soluo via mtodo da rigidez, primeiramente so calculados os deslocamentos, e a partir destespode-se achar as reaes de apoio e esforos internos nas barras, conforme vimos de maneira

49

genrica na Seo 2.3. Agora, que j sasbemos os valores dos deslocamentos, podemos calcularas reaes de apoio conforme o especificado na Equao (2.34):

AR = ARL +ARD D (2.34)

Onde:

AR o vetor que contm as reaes de apoio da estrutura real

ARL o vetor das reaes de apoio da estrutura restringida sujeita as cargas

ARD o vetor das reaes de apoio da estrutura restringida sujeita aos deslocamentos

D o vetor dos deslocamentos j calculados

Os valores de ARL e ARD so obtidos usando as mesmas tabelas do anexo 1.

De modo anlogo ao da Equao (2.34), podemos calcular as aes de extrmidade dos membrosna forma expressa pela Equao (2.35):

AM = AML +AMD D (2.35)

Onde:

AM o vetor que contm as aes de extremidade da estrutura real

AML o vetor das aes de extremidade da estrutura restringida sujeita as cargas

AMD o vetor das aes de extremidade da estrutura restringida sujeita aos deslocamentos

D o vetor dos deslocamentos j calculados.

Os valores de AML e AMD tambm so obtidos usando as mesmas tabelas do anexo 1.

Calculemos as reaes de apoio para o exemplo da viga da Figura 24, utilizando a Equao (2.34).O esquema estrutural da Figura 25 indica como obter cada uma das parcelas da Equao (2.34)

50

(b)

2L L LAR1 AR3 AR4

ARL2

AR2

ARL1 ARL3 ARL4ARD21

ARD31 ARD41ARD11

ARD32ARD12 ARD42

ARD22

P

w P

A B C(a)

(d)

(c)

(e)

Figura 25: Mtodo da Rigidez - abordagem matricial

51

2.5 Resumo da introduo aos mtodos da flexibilidade e darigidez

Mtodo da Flexibilidade Mtodo da Rigidez

Caracterizao do problema Caracterizao do problema

Clculo do grau de indeterminao esttica Clculo do grau de indeterminao cinemtica

Identificar possveis redundantes estticas Identificao das redundates cinemticas

Escolha da estrutura liberada Determinao da estrutura restringida

Clculo de deslocamentos na estrutura liberadadevido a ao dos carregamentos reais

Clculo de aes de extremidade na estruturarestringida devido a ao dos carregamentos re-ais

Clculo de deslocamentos na estrutura liberadadevido a ao dos redundantes estticos

Clculo de aes de extremidade na estruturarestringida devido a ao dos redundantes cine-mticos

Montagem da equao de compatibilidade Montagem da equao de equilbrio

Soluo da equao de compatibilidade Soluo da Equao de Equilbrio

Clculo de demais deslocamentos, reaes, etc Clculo de demais esforos iternos, reaes, etc

52

Anexos

53

Anexo 1: Aes de extremidade devidas aos carregamentos (GERE; WEAVER, 1981)

P P P

w

a bR RBA

P

ba

x

y

z

BA

M MR RA

B

BA

1 2

a a

3

a b

M 4

5 6

7 8

w

a

w

a b T

T

TA B

MA = Pab2

L2 MB =Pa2bL2 MA =MB =

PaL (La)

RA = Pb2

L (3a+b) RB =Pa2L (a+3b) RA = RB = P

MA = MbL2 (2ab) MB =MaL2 (2ba) MA =MB =

wL212

RA =RB = 6MabL3 RA = RB =wL2

MA = wa2

12L2 (6L28aL+3a2) MB = wa

3

12L2 (4L3a)

RA = PbL RB =PaL RA =

wa2L3 (2L

32a2L+a3) RB = wa3

2L3 (2La)

MA = wL2

30 MB =wL220

TA = TbL TB =TaL RA =

3wL20 RB =

7wL20

54

Anexo 2: Aes de extremidade devidas aos deslocamentos (GERE; WEAVER, 1981)

1

2

3

4

MA

MB

MBMA

A BR R

A B

L

T T

LR R

A

BA

R RL

B

R =EA

L

MA = MB =6EI

L2R =

12EIL3

MA =2EI

LMB =

4EIL

R =6EI

L2

T =GJ

L

G = mdulo de elasticidade transversalJ = momento de inrcia polar da seo transversal

55

Referncias

BOLDRINI, J. L. et al. lgebra Linear. So Paulo - SP: Harbra Ltda., 1980.CHOLESKY, A. L. Note sur une methode de resolution des equation normales provenant delapplication de la methode des moindres carrs a un systeme dequations lineaires en nombreinferieure a celui des inconnues. application de la methode a la resolution dun systeme definidequations lineaires. Bulletin Geodesique, v. 7:1, p. 6777, 1924.

GERE, J. M.; WEAVER, W. J. Analysis of Framed Structures. Travessa do Ouvidor, 11 - Rio deJaneiro-RJ: EDITORA GUANABARA S.A, 1981.