ANÁLISE NUMÉRICA DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS EM … · exemplo de luta e perseverança....
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Ricardo Henrique Dias
ANLISE NUMRICA DE PAVIMENTOS DE EDIFCIOS EM LAJES NERVURADAS
Dissertao apresentada Escola de Engenharia de So Carlos da Universidade de So Paulo, como parte dos requisitos para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia de Estruturas.
Orientador: Prof. Associado Joo Batista de Paiva
So Carlos
2003
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Este trabalho dedico minha me, Elza,
exemplo de luta e perseverana.
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AGRADECIMENTOS
Agradeo ao professor orientador Joo Batista de Paiva, pela amizade e compreenso; pelos
valiosos esclarecimentos, e pelo direcionamento indispensvel ao desenvolvimento do
trabalho.
Ao professor Jos Samuel Giongo, pelas trocas de idias, correes e sugestes, e pela
amizade.
Ao CNPq, pela bolsa de estudo nos anos iniciais do mestrado.
Aos amigos da ps-graduao: Clayton de Castro, Humberto Correia Lima, Fernando
Menezes Filho, Ricardo Carrazedo, Andrei Merlin, Gustavo Tristo, Andr Branco e em
especial ao Rodrigo Delalibera, pelo apoio dado durante o desenvolvimento deste trabalho.
Aos funcionrios do Departamento de Engenharia de Estruturas, em especial Rosi
Rodrigues e Maria Nadir Minatel.
Aos meus pais Jos e Elza, irmos Alessandra e Rodrigo, e minha querida Ligia, pela
compreenso nesses anos, e pelos incentivos nos momentos difceis. Aos meus tios Jlio e
Lurdes, e a minha av Augusta, pelo apoio durante o curso de graduao.
Aos Engenheiros e Professores Antonio Carlos Peralta, Jorge Silka Pereira e Rogrio Gomes
de Carvalho, pelas oportunidades e contribuies dadas ao meu desenvolvimento
profissional, que tambm se refletiram neste trabalho.
A todos que de alguma maneira contriburam para que este trabalho fosse desenvolvido.
E a Deus, acima de tudo, minha gratido infinita.
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RESUMO
DIAS, R. H. (2003). Anlise numrica de pavimentos de edifcios em lajes nervuradas.
Dissertao (Mestrado) Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo,
So Carlos, 2003.
Este trabalho verifica, por meio de anlises numrico-paramtricas de lajes nervuradas, o
quanto a desconsiderao (ou a considerao de maneira simplificada) da excentricidade
existente entre os eixos das nervuras e o plano mdio da capa influencia nos resultados de
deslocamentos e esforos atuantes nas peas que compem estes sistemas. Foram
apresentados os conceitos tericos relativos cada modelo de clculo permitido pelas
normas tcnicas, e foram realizadas anlises considerando variaes nos seguintes
parmetros: relao entre a altura da capa e a altura total da laje nervurada; relao entre a
distncia entre os eixos das nervuras e a distncia entre os pontos de apoio, e espaamento
entre os eixos das nervuras. Os diferentes modelos mecnicos foram analisados utilizando o
Mtodo dos Elementos Finitos, por meio do programa computacional ANSYS 5.5,
considerando-se um comportamento elstico-linear para o material concreto armado. Foram
relacionados aspectos importantes a serem observados na escolha do modelo adequado, de
acordo com os parmetros analisados, para serem aplicados nos escritrios de clculo.
Verificou-se a necessidade da considerao da excentricidade, seja por modelo realista, ou
por modelos simplificados, para a obteno de resultados numricos mais prximos do
comportamento da estrutura real.
Palavraschave: lajes nervuradas elsticas; enrijecedores excntricos; Mtodo dos Elementos
Finitos; Concreto Armado - estruturas.
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ABSTRACT
DIAS, R. H. (2003). Numerical analysis of building floors in ribbed slabs. Dissertao
(Mestrado) Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo, So Carlos,
2003.
This work verifies, through parametric-numerical analysis of slabs stiffened with ribs, how
much the disregard (or regard in a simplified way) of the existent eccentricity between the
axis of the ribs and the medium plan of the plate influences on the results of displacements
and acting efforts over the parts wich make the system. The theorical concepts related to
each model of calculation allowed through technical codes have been presented, and,
analysis have been made considering variations in the following parameters: relation
between plate height and total height of the waffle slab; relation of distance between the axis
of the ribs and the distance between the supporting points, and the gap between the axis of
the ribs. Different mechanical models have been analysed using the Finite Element Analysis,
through the computer program ANSYS 5.5, considering an elastic-linear behaviour for the
reinforced concrete material. Important aspects have been disclosed and should be carefully
looked into for an adequate model choice, according to the analysed parameters to be applied
in the design's offices. The need for eccentricity consideration has been verified, be it by
using a realistic model or by simplified models, for close numerical results gathering of the
real structural behaviour.
Keywords: Stiffened elastic slabs; eccentric stiffeners; Finite Element Analysis; Reinforced
concrete - structures.
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SUMRIO
RESUMO 07
ABSTRACT 09
CAPTULO 1 - APRESENTAO DO TRABALHO 15
1.1 INTRODUO AO CAPTULO 1 15
1.2 OBJETIVOS 18
1.3 TCNICAS E MTODOS EMPREGADOS 19
1.4 SNTESE DOS CAPTULOS 20
CAPTULO 2 A ANLISE DE LAJES NERVURADAS UTILIZANDO PROCESSOS SIMPLIFICADOS 21 2.1 INTRODUO AO CAPTULO 2 21
2.2 ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS CONVENCIONAIS E SEM
VIGAS POR ANALOGIA DE PLACA 22
2.2.1 A Teoria Clssica das Placas Delgadas Istropas e Orttropas 26
2.2.2 O conceito de espessura equivalente 29
2.2.2.1 Definio da largura colaborante da seo "T" 31
2.2.3 Os parmetros elsticos do concreto armado na Teoria da Placa Orttropa
Equivalente 36
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2.2.4 Simulao dos pilares nos Modelos de Teoria da Placa Orttropa Equivalente 41
2.2.5 Processos e Mtodos de clculo aplicando a Teoria de Placa Orttropa Equivalente 42
2.3 ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS CONVENCIONAIS E SEM
VIGAS POR ANALOGIA DE GRELHA 43
2.3.1 O funcionamento estrutural das grelhas 45
2.3.2 O processo de Analogia de Grelha aplicado s lajes nervuradas 45
2.3.2.1 As propriedades geomtricas das barras da grelha 46
2.3.2.2 Os parmetros elsticos do concreto na Analogia de Grelha 47
2.3.2.3 Carregamento da grelha 49
2.3.2.4 Considerao da vinculao dos pilares nos modelos de Analogia de Grelha 50
2.3.3 Processos e mtodos de anlise de grelhas 52
2.4 ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS SEM VIGAS POR MTODOS
ELSTICOS DE PRTICOS VIRTUAIS 53
2.4.1 O Mtodo dos Prticos Mltiplos para o clculo dos esforos 58
2.4.1.1 Caractersticas geomtricas dos elementos do Prtico Mltiplo 59
2.4.1.2 Os parmetros elsticos do concreto armado no Processo de Prticos Mltiplos 60
2.4.1.3 Combinaes de tramos carregados e descarregados 60
2.4.1.4 Determinao dos esforos nos Prticos Mltiplos 61
2.4.1.5 Distribuio dos esforos calculados segundo o Mtodo de Prticos Mltiplos do
projeto de reviso da NBR6118/2000 62
2.4.2 O Mtodo dos Prticos Equivalentes para o clculo dos esforos 62
2.4.2.1 O pilar equivalente 66
2.4.2.2 A rigidez da laje nervurada no modelo de Prticos Equivalentes 69
2.4.2.3 Combinaes de tramos carregados e descarregados 73
2.4.2.4 Os parmetros elsticos do concreto armado no Mtodo dos Prticos Equivalentes 75
2.4.2.5 Determinao dos esforos nos Prticos Equivalentes 75
2.4.2.6 Distribuio dos momentos fletores entre as faixas de laje 77
2.4.3 O Mtodo dos Prticos Virtuais para o clculo dos deslocamentos elsticos 78
CAPTULO 3 - A ANLISE DE LAJES NERVURADAS CONSIDERANDO A EXCENTRICIDADE NERVURAS-CAPA DE FORMA MAIS REALISTA 85 3.1 INTRODUO AO CAPTULO 3 85
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3.2 REVISO BIBLIOGRFICA 86
3.3 A CONSIDERAO DA EXCENTRICIDADE DE FORMA MAIS REALISTA NESTE TRABALHO 97
CAPTULO 4 - OS MODELOS MECNICOS EM MEF APLICADOS ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS 101 4.1 INTRODUO AO CAPTULO 4 101 4.2 OS ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS NAS ANLISES NUMRICAS 103 4.3 OS MODELOS MECNICOS APLICADOS NESTE TRABALHO 111 4.4 VERIFICAO DA VALIDADE DOS MODELOS EM MEF APLICADOS NESTE TRABALHO 121 4.5 COMENTRIOS SOBRE OS RESULTADOS DAS MODELAGENS DOS EXEMPLOS DA BIBLIOGRAFIA 189
CAPTULO 5 - EXPERIMENTAO NUMRICO-PARAMTRICA DE LAJES NERVURADAS 191 5.1 INTRODUO AO CAPTULO 5 191 5.2 DESCRIO DAS EXPERIMENTAES NUMRICO-PARAMTRICAS 192
5.2.1 Variao da relao altura total da capa (hf) pela altura total da laje (h), mantendo os
outros fatores de anlise fixos 192
5.2.2 Variao da relao espaamento entre os eixos das nervuras (a1) pela distncia entre
os apoios (l), mantendo os outros fatores de anlise fixos 199
5.2.3 Variao do espaamento entre os eixos das nervuras, com distncia entre os pontos de
apoio ajustada a um nmero fixo de nervuras por lado 216
5.3 RESULTADOS DAS EXPERIMENTAES 221
5.3.1Resultados apresentados nas modelagens das lajes com variao da relao hf/h 226
5.3.2 Resultados apresentados nas modelagens das lajes com variao da relao a1/l 293
5.3.3 Resultados apresentados nas modelagens das lajes com variao do espaamento entre os eixos das nervuras 377
CAPTULO 6 - CONSIDERAES FINAIS E CONCLUSES 439
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 449
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CAPTULO 1 APRESENTAO DO TRABALHO
1.1 INTRODUO AO CAPTULO 1
A anlise estrutural de pavimentos de edifcios por meio de mtodos
numricos constitui-se, atualmente, em rotina nos escritrios de projeto. O clculo e
detalhamento com o auxlio de softwares praticamente imprescindvel, devido
principalmente ao ritmo imposto pelos contratantes do projeto estrutural e a necessidade de
avaliar as diversas possibilidades de sistemas procurando, dessa forma, a de melhor
viabilidade econmica.
Ao tratar-se de pavimentos de edifcios, estudos j foram feitos buscando
identificar a soluo estrutural que gere maior economia global.
Nos edifcios de vrios pisos as lajes so responsveis por elevada parcela do
consumo de concreto. Utilizando-se lajes macias nos pavimentos esta parcela chega
usualmente a quase dois teros do volume total da estrutura. Assim, mostraram a necessidade
do estudo dos critrios de escolha dos tipos de lajes a serem empregados nos edifcios de
vrios pisos tendo em vista a obteno de solues tcnicas e economicamente otimizadas.
BOCCHI JNIOR (1995) indicou que essa necessidade de racionalizao na
construo civil com a minimizao dos custos e prazos vem fazendo das lajes nervuradas
uma opo cada vez mais difundida.
Em uma anlise de custos ALBUQUERQUE (1998) mostrou que um
pavimento em laje nervurada convencional (juntamente com vigas) utilizando caixotes de
polipropileno foi o mais econmico dentre as diversas alternativas estudadas, apresentando
uma reduo de 15,15% no custo total da estrutura.
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A empresa ATEX do Brasil, produtora de caixotes de polipropileno, fez um
estudo comparativo de consumo de materiais atravs da anlise de cinco lajes simplesmente
apoiadas, nervuradas e macias de espessura equivalente em inrcia flexo, utilizando
como processo de clculo a Teoria de Placa para ambos os sistemas, atravs de tabelas.
Concluiu que, em mdia, a utilizao das lajes nervuradas como soluo resulta em uma
economia de 28,8% no consumo de concreto e 38,4% no consumo de ao, em comparao
com a laje macia.
Alm do critrio economia, outros que pesam na escolha das lajes
nervuradas como soluo estrutural para pisos de pavimentos so a liberdade arquitetnica
(j que permitem grandes vos) e a simplificao na execuo da obra, em termos de formas
e escoramentos, quando aplicado em sistemas sem vigas, de acordo com a Figura 1.1, onde
v-se a simplificao na execuo de formas.
FIGURA 1.1: Simplificao na execuo de formas com o uso de lajes nervuradas
As lajes nervuradas tiveram origem em 1854, conforme LIMA et al. [200?],
quando um fabricante ingls de gesso e cimento chamado William Boutland Wilkinson
obteve a patente, na Inglaterra, de um sistema que j demonstrava o domnio dos princpios
bsicos de funcionamento do concreto armado ao dispor barras de ao nas regies
tracionadas das vigas. Wilkinson percebeu que a rigidez da laje podia ser aumentada por
meio da insero de vazios utilizando-se moldes de gesso regularmente espaados e
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separados por nervuras, aonde barras de ao eram colocados na sua poro inferior no meio
do vo e subiam para a parte superior da viga nas proximidades dos apoios. A laje possua
um vo de aproximadamente 4 m em cada direo e uma malha de barras de ao era
colocada na parte inferior da camada de concreto de 4 cm de espessura que cobria as
nervuras, conforme a Figura 1.2. interessante verificar que Joseph Monier (1823-1906)
considerado inventor do concreto armado, a partir de sua patente obtida em 1867, mas
certo que j em 1850 vrias pessoas, em diferentes partes do mundo, construam peas em
concreto armado, inclusive o prprio Monier.
FIGURA 1.2: Laje nervurada patenteada por Wilkinson, na Inglaterra, em 1854
[LIMA et al. [200?]]
O sistema nervurado, conforme citado em FRANCA & FUSCO (1997),
uma evoluo natural das lajes macias, pois resultam da eliminao da maior parte do
concreto abaixo da linha neutra, o que permite o aumento econmico da espessura total das
lajes pela criao de vazios em um padro rtmico de arranjo ou com a utilizao de material
inerte, que no colabora com a resistncia da laje. Com isso tem-se um alvio do peso
prprio da estrutura e um aproveitamento mais eficiente dos materiais, ao e concreto, j que
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a mesa de concreto resiste aos esforos de compresso e a armadura os de trao, sendo que
a nervura de concreto faz a ligao mesa-alma.
Segundo o projeto de reviso da Norma Brasileira Registrada NBR
6118/2000 - Projeto de Estruturas de Concreto, lajes nervuradas so as moldadas no local
ou com nervuras pr-moldadas, cuja zona de trao constituda por nervuras entre as quais
pode ser colocado material inerte. Neste trabalho sero tratadas apenas as lajes nervuradas
moldadas no local, em concreto armado.
Usualmente, para as lajes nervuradas, tm-se painis apoiados em vigas mais
rgidas que as nervuras, num sistema chamado de convencional. Contudo, podem tambm
serem utilizadas nos pisos de lajes sem vigas.
Pelo uso cada vez mais crescente destes sistemas de lajes nervuradas,
convencionais ou sem vigas, v-se a necessidade de um claro entendimento das diversas
possibilidades de anlise estrutural, comparando os processos simplificados com os mais
especializados em busca de resultados mais prximos da realidade.
Assim, com a alta capacidade de processamento atualmente disponvel pelos
computadores comea a ser vivel a considerao de fatores usualmente negligenciados nas
anlises, buscando os resultados mais prximos possveis do comportamento real dessas
estruturas.
Um dos fatores usualmente desconsiderados nas anlises numricas, ou
considerados de forma simplificada, nos escritrios de clculo estrutural, a excentricidade
existente entre os eixos das nervuras e o plano mdio da placa. O problema desta interao
placa-viga, que j aparece nos pavimentos convencionais de concreto armado (sistemas laje
macia apoiadas em vigas) ainda mais importante nos sistemas de lajes nervuradas devido
ao grande nmero de nervuras que participam na rigidez global da estrutura e que, dessa
forma, no devem ter sua contribuio subestimada pela desconsiderao das
excentricidades.
1.2 OBJETIVOS
Visando contribuir para o aprimoramento da anlise estrutural de lajes
nervuradas este trabalho tem como objetivos principais:
- apresentar uma reviso bibliogrfica relativa a cada soluo estrutural
aproximada permitida anlise de lajes nervuradas convencionais e sem vigas pelas normas
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tcnicas, descrevendo as caractersticas fundamentais dos processos, bem como as vantagens
e desvantagens frente a solues mais realistas;
- apresentar um estudo numrico amplo sobre a interao placa-viga no
clculo estrutural de lajes nervuradas, aplicando o Mtodo dos Elementos Finitos,
considerando como fator principal de anlise a excentricidade existente entre o eixo da
nervura e o plano mdio da placa e sua influncia nos deslocamentos e esforos. O estudo
numrico avaliar principalmente a influncia das variveis nmero de nervuras por lado,
espaamento entre as nervuras e altura das nervuras em relao altura da placa;
- apresentar uma comparao entre os resultados de esforos e
deslocamentos apresentados pelas teorias de clculo simplificadas (Teoria da Placa
Orttropa Equivalente e Teoria de Grelha) e modelos mais realistas (com elementos finitos
que consideram a excentricidade na formulao), buscando determinar o quanto as
simplificaes influenciam na anlise estrutural das lajes nervuradas.
1.3 TCNICAS E MTODOS EMPREGADOS
Os modelos de clculo adotados anlise de lajes nervuradas sero aplicados
a exemplos numricos de lajes enrijecidas por nervuras e resolvidos por meio do Mtodo dos
Elementos Finitos, utilizando-se o software ANSYS 5.5.
O Mtodo dos Elementos Finitos, ou MEF, constitui-se no mtodo numrico
mais utilizado na anlise estrutural, visto que capaz de ser aplicado aos diversos tipos de
estruturas, apresentando resultados bastante satisfatrios. Alm disso, o uso de um software
comercial na anlise ressalta a condio de que os resultados obtidos neste trabalho podem
ser obtidos tambm pelos projetistas de estruturas, j que existem no mercado diversos
programas computacionais comerciais que disponibilizam a opo da considerao da
excentricidade da viga em relao placa, objetivo primordial deste trabalho.
Os elementos finitos utilizados sero elementos de viga bidimensional,
elementos de viga tridimensional aplicados de forma concntrica e excntrica em relao ao
plano das placas e finalmente elementos de casca tridimensional.
Em todos os modelos aplicados neste trabalho so vlidas as seguintes
condies:
- os materiais das lajes nervuradas so elsticos, homogneos e istropos;
- as deformaes transversais por cisalhamento so negligenciadas;
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- a anlise de primeira ordem geomtrica, ou seja, desconsideram-se
grandes deslocamentos;
- todos os carregamentos so aplicados ortogonalmente ao plano mdio da
placa;
- os enrijecedores so prismticos e tm pelo menos uma simetria de seo
transversal.
1.4 SNTESE DOS CAPTULOS
Este trabalho foi dividido em seis captulos conforme comentrios:
Neste Captulo 1 apresenta-se uma introduo ao tema por meio de uma
viso geral dos assuntos tratados neste trabalho, os motivos de interesse, os objetivos a serem
atingidos e os mtodos e tcnicas empregados.
No Captulo 2 procuram-se detalhar os mtodos simplificados de anlise de
lajes nervuradas permitidas pelas normas, descrevendo as caractersticas essenciais dos
processos e mtodos, bem como as vantagens e desvantagens frente a solues mais
realistas.
No Captulo 3 apresentam-se as formas de considerao da excentricidade
nos modelos em Mtodo dos Elementos Finitos aplicados neste trabalho, descrevendo-se
tambm experimentaes numricas anteriores encontradas na reviso bibliogrfica que
apresentam resultados comparativos entre modelos simplificados e modelos realistas.
No Captulo 4 descrevem-se as caractersticas dos modelos mecnicos em
Mtodo dos Elementos Finitos adotados anlise das lajes nervuradas deste trabalho. So
apresentadas as caractersticas dos elementos finitos utilizados e procede-se a uma
verificao da validade dos modelos atravs da aplicao dos mesmos exemplos
anteriormente resolvidos em diversos artigos encontrados na bibliografia.
No Captulo 5 apresenta-se a experimentao numrica visando avaliar a
influncia das variveis nmero de nervuras por lado, espaamento entre as nervuras e altura
das nervuras em relao altura da placa nos resultados de deslocamentos e esforos,
aplicando-se os modelos adotados neste trabalho. Os resultados so comparados e os erros
avaliados.
No Captulo 6 discutem-se as concluses e consideraes finais. Alm disso,
faz-se sugestes para a continuao do trabalho e aprofundamento dos tpicos de anlise
envolvidos.
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CAPTULO 2 A ANLISE DE LAJES NERVURADAS
UTILIZANDO PROCESSOS SIMPLIFICADOS
2.1 INTRODUO AO CAPTULO 2
A anlise estrutural de lajes nervuradas por processos simplificados , at os
dias de hoje, muito difundida nos escritrios de clculo. Os modelos adotados podem ser
resolvidos atravs de softwares facilmente disponveis: anlise de grelha, anlise de prtico
plano e tabelas de clculo de lajes macias.
Contudo, o comportamento desta estrutura no bem definido quando da
considerao das simplificaes.
Como mostrado em BOCCHI JNIOR (1995) as lajes nervuradas
apresentam um comportamento elstico intermedirio entre placa e grelha. Assim, as normas
tcnicas permitem que, alm do clculo dos esforos solicitantes e deslocamentos segundo a
teoria das placas, pode-se faz-lo segundo a teoria das grelhas. Contudo o autor indica, em
um estudo comparativo entre os resultados obtidos para esforos solicitantes e
deslocamentos empregando-se a teoria das placas, por meio de tabelas [PINHEIRO (1993)],
e teoria das grelhas, por meio do programa GPLAN3 [CORRA & RAMALHO (1987)], que
nem sempre os valores obtidos pelos dois processos so compatveis. Para uma laje quadrada
de 6,48 m de lado, com distncia entre nervuras a < 50 cm, obteve discrepncias entre os
valores de momentos fletores da nervura de at 18% entre os dois processos.
A anlise estrutural das lajes nervuradas por processos simplificados, a fim
de obter-se tanto os deslocamentos quanto os esforos solicitantes, pode ser realizada por
meio de modelagem destas como estruturas bidimensionais, planas, elsticas, considerando a
excentricidade entre mesa e nervura de forma implcita, das seguintes maneiras:
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- Analogia de Placa ou Teoria da Placa Orttropa Equivalente: considerao
da inrcia da seo T para a obteno de uma espessura equivalente de laje macia,
constante, para lajes nervuradas convencionais e sem vigas;
- Analogia de grelha: considerao da inrcia da seo T, onde mesa e
alma trabalham juntas num sistema linear de grelha, para lajes nervuradas convencionais e
sem vigas;
- Processo dos Prticos Mltiplos proposto pela NB1/1978: considerao da
espessura equivalente para o clculo da laje nervurada em modelo de prtico plano
considerando a interao laje-pilar, para lajes nervuradas sem vigas, com capitis ou bacos
junto aos pilares;
- Processo dos Prticos Equivalentes proposto pelo Cdigo American
Concrete Institute ACI-318: considerao ou da espessura equivalente, ou das sees reais
para o clculo da laje nervurada como modelo de prtico plano mais refinado, substituindo o
pilar por um pilar equivalente, aplicvel a lajes nervuradas sem vigas com capitis ou bacos
junto aos pilares.
2.2 ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS
CONVENCIONAIS E SEM VIGAS POR ANALOGIA DE PLACA
Um dos mtodos mais populares de anlise de lajes nervuradas sob flexo
conhecido como Teoria da Placa Orttropa Equivalente, ou Analogia de Placa, originalmente
desenvolvido apenas para um material elstico ideal (logo, tratando-se de concreto armado,
vemos a sua validade apenas na fase elstica do concreto).
A filosofia do mtodo converter a placa enrijecida por nervuras em uma
placa macia, de espessura constante, equivalente em comportamento laje nervurada.
Assim, a flexo geral do sistema de placa enrijecida por nervuras computada utilizando-se
algum mtodo convencional e os resultados so superposies daqueles obtidos da flexo
local dos enrijecedores e painis de laje.
De acordo com KENNEDY & EL-SEBAKHY (1982) as constantes elsticas
de uma estrutura orttropa equivalente podem ser tomadas como semelhantes quelas que
geram o comportamento flexo e toro de uma laje nervurada justificando, assim, o uso
da teoria. Concluram que a Teoria da Placa Orttropa aplicada sob a resoluo de Sries de
Fourier pode ser utilizada com confiana para estimar o comportamento elstico de lajes
nervuradas.
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Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
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DEB & BOOTON (1987) indicaram que a substituio da laje nervurada por
uma laje macia equivalente, apesar de menos preciso do que um modelo em que o sistema
de placa enrijecida por nervuras tratado como elementos de placas e vigas interagindo
adequadamente pode ser prefervel, especialmente em uma anlise no-linear fsica, em
termos de economia de processamento computacional, bem como na simplicidade de entrada
de dados. Concluram que as formulaes orttropas podem ser consideradas precisas na
estimativa de deslocamentos e tenses para uma placa enrijecida submetida a carregamento
uniformemente distribudo, podendo a mxima tenso no enrijecedor ser esperada como 20%
a favor da segurana quando os enrijecedores so pouco espaados.
Tambm conforme AJDUKIEWICZ & STAROSOLSKI1 apud
BARBIRATO (1997) os mtodos baseados na analogia de placas proporcionam resultados
satisfatrios no que refere-se ao comportamento da estrutura.
DEB et al. (1991) indicaram que uma premissa comum nas teorias de placa
orttropa aplicadas a placas com enrijecedores ortogonais assumir a ausncia de toro nos
enrijecedores, o que pode ocasionar resultados errneos quando os enrijecedores no
estiverem razoavelmente prximos. Tambm demonstraram que a Teoria da Placa Orttropa
Equivalente no vlida para a anlise de laje submetida a carregamento concentrado,
verificando-se uma grande superestimativa das tenses nos enrijecedores quando da
aplicao da teoria, reafirmando o que foi observado por CLARKSON2 apud DEB et al.
(1991).
De acordo com MUKHOPADHYAY (1992) e PALANI et al. (1992) este
modelo no consegue evoluir para uma soluo satisfatria do problema. A mesma opinio
compartilhada em SHEIKH & MUKHOPADHYAY (1992).
BEDAIR (1997) acrescenta que aparecem dificuldades se os enrijecedores
no so idnticos nas duas direes ou no igualmente espaados, o que faz com que a
espessura resultante no seja uniforme, ou haja a necessidade de mudana das dimenses em
planta da laje.
ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000) verificaram, experimentalmente, que
o comportamento de uma laje nervurada em modelo reduzido foi significativamente
diferente do comportamento da respectiva laje macia equivalente. Verificaram que a laje
1 AJDUKIEWICZ, A.B.; STAROSOLSKI, W. (1990). Reinforced concrete slab-column
structures. Amsterdam, Elsevier. 2 CLARKSON, J. (1962). The behaviour of deck stiffening under concentrated loads. Trans. R. Inst.
Naval Arch. 140,57-65.
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Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
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macia equivalente rompeu-se com uma carga 60% menor que a carga de ruptura da laje
nervurada correspondente.
Neste trabalho, visando utilizar o processo, em adio s condies bsicas
na formulao da equao diferencial de uma placa orttropa (ou preferencialmente istropa,
se as nervuras forem idnticas em forma e espaamento nas duas direes ortogonais), as
condies seguintes devem ser adotadas e/ou verificadas:
a) o nmero de nervuras deve ser grande o suficiente, cinco ou mais por
lado, conforme ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000), para que a estrutura real possa ser
substituda por uma idealizada e com propriedades contnuas. Outros autores apresentaram
parmetros mais especficos em relao ao nmero de nervuras: HOPPMANN et al. (1956)
compararam entre resultados tericos (pela Teoria da Placa Orttropa) e experimentais nos
deslocamentos e deformaes, encontrando os resultados mais prximos entre eles na
relao a1/l = 0,071, sendo a1 = espaamento entre os centros dos enrijecedores e l =
dimenso do lado analisado da laje, de acordo com a Figura 2.1; DEB et al. (1991)
encontraram diferenas de 5 a 10% nos deslocamentos e tenses na placa, a favor da
segurana, utilizando uma relao a1/l = 0,067 para placa submetida a carga uniformemente
distribuda. Dessa forma, h indcios de que a relao em torno destes valores a mais
adequada. Neste trabalho esta investigao ser complementada;
l
a1
FIGURA 2.1: Espaamento entre as nervuras
b) o plano neutro em qualquer das duas direes ortogonais coincide com o
centro de gravidade da seo total na correspondente direo.
SAPOUNTZAKIS & KATSIKADELIS (2000) acrescentaram que para o
uso da Teoria da Placa Orttropa Equivalente necessrio que a relao entre a rigidez do
enrijecedor e a rigidez da placa (ou laje) no seja to grande, o que caracterizaria uma
predominncia da ao das vigas.
Conforme a Norma Brasileira de Concreto Armado, mesmo considerando as
lajes nervuradas como elementos estruturais complexos, estas podem ser calculadas como
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
25
elementos de placa dando-lhes assim o mesmo tratamento das lajes macias, observando-se
para isso algumas condies, enumeradas a seguir:
a) Segundo a NB1/1978 - Projeto e Execuo de Estruturas de Concreto
Armado, tem-se:
- a distncia livre entre nervuras no deve ultrapassar 100 cm;
- a espessura das nervuras no deve se inferior a 4 cm e da mesa no deve ser
menor que 4 cm, nem que 1/15 da distncia livre entre nervuras, garantindo-se dessa forma a
exeqabilidade adequada de sua concretagem e o eventual alojamento de tubulaes de
distribuio de energia eltrica;
- o apoio das lajes deve ser feito ao longo de uma nervura;
- nas lajes armadas numa s direo so necessrias nervuras transversais
sempre que haja aes concentradas a distribuir ou quando o vo terico for superior a 4 m,
exigindo-se duas nervuras no mnimo se o vo ultrapassar 6 m. De acordo com FIORIN
(1998), as nervuras transversais devem possuir praticamente a mesma altura das
longitudinais, e apresentar a mesma seo transversal de armadura inferior destas, enquanto
na parte superior deve-se colocar pelo menos 40% da armadura inferior;
- em nervuras com espessura inferior a 8 cm no permitido colocar
armadura de compresso na face oposta mesa;
Alm destas prescries contidas no item 6.1.1.3, tem-se outras da
NB1/1978 para tratar-se a laje nervurada como placa:
- a resistncia da mesa flexo dever ser verificada como laje apoiada nas
bordas sempre que a distncia livre entre nervuras superar 50 cm ou houver carga
concentrada no painel entre nervuras;
- as nervuras sero verificadas ao cisalhamento como vigas se a distncia
livre entre nervuras ultrapassar 50 cm, e como laje em caso contrrio;
- nas lajes armadas em uma s direo deve-se colocar uma armadura de
distribuio, na mesa de compresso, de 0,9 cm2/m ou 1/5 da armadura principal;
- os estribos, quando necessrios, no devem ter espaamento maior que 20
cm, nem dimetro maior que 1/8 da largura das nervuras.
b) Segundo o projeto de reviso da NBR6118/2000, tem-se:
- a espessura da mesa, quando no houver tubulaes horizontais embutidas,
deve ser maior ou igual a 1/15 da distncia entre nervuras, e no menor que 3 cm; o valor
mnimo absoluto deve ser de 4 cm quando existirem tubulaes embutidas de dimetro
mximo de 12,5 mm;
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
26
- a espessura das nervuras no deve ser inferior a 5 cm;
- no permitido o uso de armadura de compresso em nervuras de
espessura inferior a 8 cm;
- para lajes com espaamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 60
cm devem ser dispensadas a verificao da flexo da mesa e para a verificao do
cisalhamento da regio das nervuras permite-se a considerao dos critrios de laje;
- para lajes com espaamento entre eixos de nervuras entre 60 cm e 110 cm
exige-se a verificao da flexo da mesa e as nervuras sero verificadas ao cisalhamento
como vigas;
- para lajes nervuradas com espaamento entre eixos de nervuras maior que
110 cm a mesa deve ser projetada como laje macia, apoiada na grelha de vigas, respeitando-
se os seus limites mnimos de espessura.
Alm das condies contidas no item 13.1.4.2, o projeto de reviso da
NBR6118/2000 indica que, havendo necessidade de estribos, estes no devem ter
espaamento superior a 20 cm.
De acordo com o EUROCODE (1992) uma laje nervurada pode ser tratada
como laje macia quando:
- as nervuras possurem rigidez suficiente toro;
- a distncia entre as nervuras no ultrapassar 150 cm;
- a espessura da mesa for maior ou igual a 5 cm ou 4 cm (quando existir
bloco de fechamento permanente entre as nervuras), ou maior de 1/10 da distncia livre entre
nervuras.
2.2.1 A Teoria Clssica das Placas Delgadas Istropas e Orttropas
A resoluo de um elemento de placa de espessura constante submetido a
nveis baixos de tenses perpendiculares ao plano mdio, delgado e sofrendo pequenos
deslocamentos, segundo o mtodo clssico da elasticidade, feita atravs da integrao da
equao diferencial de equilbrio de Lagrange, proposta em 1816, que possibilita o clculo
dos esforos solicitantes e dos deslocamentos para um ponto qualquer no interior da placa
istropa, mostrada na Eq. 2.1:
D
q)(g
y
w
yx
w2
x
w4
4
22
4
4
4 +=
+
+
(2.1)
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
27
sendo:
)12.(1
E.hD
2
3
= = rigidez da placa flexo (2.2)
E: mdulo de deformao longitudinal do material;
h: altura da laje;
: coeficiente de Poisson do material;
(g + q): ao aplicada perpendicularmente ao plano da placa, no ponto
considerado, no interior da placa;
w: deslocamento medido perpendicularmente ao plano da laje.
x,y: eixo de coordenadas ortogonais para o plano mdio da placa.
O sistema de coordenadas do elemento de placa dado na Figura 2.2.
h/2
Z
X
Y
B
C
A
O dxdy
FIGURA 2.2: Sistema de coordenadas de um elemento de placa
Para que o problema seja resolvido necessrio que se aplique s bordas as
condies de contorno conforme o tipo de vinculao, sendo os clssicos:
a) nas bordas simplesmente apoiadas, perpendiculares ao eixo Ox, tem-se
que os deslocamentos w sero nulos e, se no houver momentos prescritos, mx tambm ser
nulo
w = 0 e 0y
w.
x
w2
2
2
2=
+
(2.3)
b) nas bordas perfeitamente engastadas, perpendiculares ao eixo Ox, tem-se
que os deslocamentos w sero nulos e o giro x, no sendo prescrito, dever ser nulo ao
longo dessa borda
w = 0 e 0xw ==
x (2.4)
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
28
c) nas bordas livres, perpendiculares ao eixo Ox, as reaes de apoio rx e os
momentos fletores mx ao longo desse apoio devero ser nulos
0yx
w).(2
x
w2
3
3
3=
+
(2.5)
0y
w.
x
w2
2
2
2=
+
(2.6)
As equaes para as bordas perpendiculares ao eixo Oy so as mesmas das
demonstradas, alterando-se apenas as variveis x e y.
Aps a integrao da equao diferencial tem-se o deslocamento ortogonal
ao plano em qualquer ponto da placa. Conhecidos os deslocamentos podem ser obtidos os
momentos, esforos cortantes e reaes, atravs de combinaes apropriadas de derivadas da
funo de deslocamento. As tenses podem ser determinadas a partir dos momentos e
esforos cortantes.
A espessura constante pedida na teoria, para as lajes nervuradas, obtida
atravs do clculo da chamada espessura equivalente, que ser posteriomente apresentado.
Para uma placa macia equivalente orttropa, no caso em que a forma ou o
espaamento entre as nervuras forem diferentes nas duas direes ortogonais, dada uma
distribuio de carga e para conhecidas condies de contorno, os deslocamentos, momentos
e cortantes so determinados pela integrao da equao diferencial seguinte, de acordo com
TIMOSHENKO & WOINOWSKY-KRIEGER (1959):
y)P(x,y
w.D
yx
w2.H.
x
w.D
4
4
y22
4
4
4
x =+
+
(2.7)
onde:
Dx e Dy = rigidezes flexo nas duas direes ortogonais;
2.H = rigidez total toro, soma das rigidezes toro nas direes x e y,
ou seja, Dxy e Dyx, e as rigidezes acopladas D1 e D2, que representam a contribuio da flexo
para a toro da placa.
Assim, tem-se:
2.H = (Dxy + Dyx + D1 + D2) (2.8)
onde:
Dxy e Dyx = rigidezes toro nas direes x e y, sendo:
12
G.hD D
3
yxxy == (2.9)
D1 e D2 = contribuio da flexo na toro da placa enrijecida, sendo:
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
29
)1.(12
.hE.D D
2
3cs
21
== (2.10)
O termo de rigidez 2.H, segundo BARES & MASSONNET (1968), pode
tambm ser escrito na forma:
yx D.D.2. 2.H = (2.11)
onde:
yx
21yxxy
D.D.2
DDDD +++= (2.12)
O valor de tem um valor limite superior igual a 1 para uma placa
verdadeiramente istropa, onde H = Dx = Dy e um limite inferior igual a 0 para uma grelha
com os elementos desprovidos de rigidez toro, ou seja, nesse caso H = 0.
Entretanto, para o caso de um enrijecedor torcional, geralmente aplicados em
pisos de pontes flexveis, por exemplo, tem-se H2 > (Dx.Dy), e conseqentemente > 1.
Para aplicaes prticas, de acordo com BARES & MASSONET (1968),
tem-se:
x
sxx S
E.ID = (2.13)
y
syy S
E.ID = (2.14)
onde:
Isx e Isy = momentos de inrcia nas sees das nervuras com respeito aos
eixos neutros nas direes x e y, respectivamente;
Sx e Sy = espaamento das nervuras.
2.2.2 O conceito de espessura equivalente
Em JI3 et al. apud BARBIRATO (1997) v-se que a determinao da laje
macia de rigidez equivalente laje nervurada baseia-se no conceito de espessura
equivalente.
3 JI, X.; CHEN, S. et al. (1985). Deflection of waffle slabs under gravity and in-plane loads. In:
SABNIS, G., ed. Deflections of concrete structures. Detroit, ACI. P.283-295. (ACI SP-66).
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
30
O processo consiste em considerar a espessura equivalente como a espessura
de uma placa uniforme que tenha o mesmo comportamento flexo que uma laje nervurada,
de acordo com a Figura 2.3.
b1
laje macia equivalente
heq
a1 = bf
material inerte
bf
a1
b2 bw
hf
h
FIGURA 2.3: Processo de espessura equivalente macia para uma laje nervurada istropa
A espessura equivalente da laje pode ser calculada considerando a
equivalncia do momento de inrcia flexo, pela frmula:
1/3
1eq a
12.Ih
= (2.15)
sendo:
heq: espessura da laje macia equivalente;
a1: distncia entre eixos de nervuras;
I: momento de inrcia flexo da seo transversal T, sem a considerao
da fissurao, e em relao ao eixo baricntrico horizontal.
Alm desse processo, diferentes espessuras equivalentes podem tambm ser
obtidas utilizando equivalncia em momento de fissurao ou em mdulo de resistncia.
Na anlise estrutural deve-se sempre atentar para os valores de peso prprio
da laje nervurada, que no so os mesmos apresentados pela laje macia de espessura
equivalente em inrcia flexo.
A laje equivalente considerada istropa se as nervuras forem igualmente
espaadas nas duas direes, e orttropa em caso contrrio.
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
31
Em um estudo das caractersticas dos deslocamentos de lajes nervuradas de
concreto armado JI3 et al. apud ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000) testaram uma laje
nervurada em modelo reduzido, em concreto armado, sob carga transversal e compararam os
resultados da rigidez no campo elstico no-fissurado (estdio I) com aqueles obtidos pelo
Mtodo dos Elementos Finitos e pelo conceito de espessura equivalente. Concluram que o
Mtodo da Espessura Equivalente conduz a uma superestimativa da rigidez toro e a uma
subestimativa dos deslocamentos. Para compensar este fato sugeriram que a espessura
equivalente fosse reduzida em aproximadamente 20%. Agindo todo o carregamento de
servio, estando o concreto no campo elstico fissurado (estdio II), sugeriram que a rigidez
efetiva fosse estimada como 40% da rigidez inicial, ou seja, daquela estando o concreto no
campo elstico no-fissurado (estdio I).
ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000), em testes realizados com modelos de
laje nervurada, confirmaram a melhora de resultados com a reduo da espessura em 20%
para o concreto no campo elstico. Concluram, entretanto, que estimativas melhores da
rigidez no campo elstico fissurado do concreto, quando da atuao da carga total, so
obtidas assumindo-se uma reduo de 25% da rigidez inicial.
Neste trabalho haver modelos (para lajes nervuradas de concreto armado)
utilizando a espessura da laje macia equivalente sem qualquer reduo na espessura, e os
resultados apresentados por estes sero comparados com os modelos utilizando as
consideraes de ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000), reduzindo-se 20% da espessura da
laje macia equivalente, nas anlises elsticas consideradas.
2.2.2.1 Definio da largura colaborante da seo T
Para o clculo do momento de inrcia do elemento de barra de seo integral
T torna -se necessrio definir a largura colaborante da mesa de concreto. Na laje nervurada
deve ser considerada a seo T pelo fato de que a mesa tem a funo de solidarizar as
nervuras, compatibilizando assim os deslocamentos. Dessa forma a mesa participa da rigidez
da laje, em composio com a nervura.
De acordo com a teoria elementar de vigas (assumindo que as sees planas
permanecem planas depois da flexo da viga) a tenso normal x para um ponto com
coordenadas (y,z) dada pela Eq. 2.16, no qual implica uma tenso constante na direo y.
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
32
z.I
M
y
yx = (2.16)
sendo:
My = momento fletor atuante na viga;
Iy = momento de inrcia flexo da viga;
z = distncia da fibra ao centro de gravidade da seo homognea.
Conforme LEONHARDT & MNNIG (1978) surge, ao longo da juno da
laje com a viga, uma fora cortante V desconhecida que atua cisalhando no plano e que
solicita a laje como chapa, conforme a Figura 2.4.
A partir das tenses introduzidas pela fora cortante V que determina-se a
largura colaborante (ou largura efetiva).
Assim, no caso de sees de viga T (ou associao de viga e largura
colaborante de laje), os deslocamentos longitudinais nas partes da mesa distantes da nervura
(na direo y) defasam daqueles prximos nervura devido ao da transmisso da tenso
de cisalhamento no plano da placa para o enrijecedor (atuao da fora cortante V). Esta
defasagem resulta na distribuio no-uniforme de tenses axiais ou longitudinais, de acordo
com a Figura 2.5.
Foras cisalhantes no plano da laje (V) entre mesa e alma
colaborao da laje flexo ( b)
colaborao da laje comochapa ( s) a qual
solicitada pelas foras cortantes
b
bw
l/2
s
FIGURA 2.4: Colaborao da laje em uma viga T
[LEONHARDT & MNNIG (1978)]
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
33
b4bw
hf
x (0)x (y) x (y)
z
y
b1
FIGURA 2.5: Distribuio de tenso x na mesa de uma viga T
[TENCHEV (1995)]
Este fennemo chamado de defasagem de cisalhamento (ou shea r lag).
Se a largura da mesa grande a Eq. 2.16 ir subestimar significativamente a tenso na
interseo nervura-mesa. Entretanto, ainda possvel obter um valor correto para a mxima
tenso usando uma largura efetiva de mesa b1, da seguinte forma:
= 4b
0 y(y)x (0)x 1 d.
1b
(2.17)
A Eq. 2.17 de uso pouco prtico se x desconhecida e, pela dificuldade
de aplicao, no ser utilizada neste trabalho.
Uma formulao alternativa dada por:
b1 = .b4 (2.18)
sendo:
b1 = largura efetiva;
b4 = largura construda da mesa;
= coeficiente de defasagem de cisalhamento (ou shear lag).
O problema da considerao da largura colaborante tem sido estudado por
diversos pesquisadores, visando-se determinar os valores adequados para .
TENCHEV (1995) efetuou um estudo paramtrico da distribuio de tenses
em vigas orttropas considerando diversas condies de contorno e sees transversais, alm
do caso de placas finas enrijecidas por nervuras, o que o caso de lajes nervuradas. Utilizou
no Mtodo dos Elementos Finitos um modelo bidimensional e estabeleceu uma frmula
emprica para o coeficiente de shear lag utilizado no clculo da largura efetiva
colaborante da seo T.
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
34
WANG & RAMMERSTOFER (1996) apresentaram um processo
empregando o Mtodo de Faixas Finitas para a previso da largura colaborante em placas
enrijecidas sujeitas flexo, onde interpolaram o comportamento da estrutura na direo
longitudinal por funes harmnicas e na direo transversal por funes polinomiais,
assumindo na resoluo a Teoria Clssica das Placas. Encontraram resultados satisfatrios
com a teoria proposta. Afirmaram que, para carregamento concentrado, a idealizao das
nervuras por um modelo de viga resulta em erros relativamente grandes, sendo necessrio
que se aplique na anlise da placa enrijecida submetida a esse carregamento um modelo de
placa bidimensional para o enrijecedor.
A largura colaborante da mesa pode ser determinada tambm seguindo as
normas tcnicas brasileiras, com a nomenclatura de acordo com a Figura 2.6 sendo, sem
dvida, o mtodo mais utilizado nos escritrios brasileiros de clculo estrutural:
a) segundo a NB1/1978, que pede:
0,10.a b1 8.hf 0,5.b2
bf = 2.b1 + bw (2.19)
onde:
a = l para tramo simplesmente apoiado;
a = 0,75.l para tramo com momento fletor numa s extremidade;
a = 0,60.l para tramo com momento nas duas extremidades;
a = 2.l para tramo em balano;
l: comprimento do tramo;
b2: distncia livre entre as nervuras;
b1: aba da seo T.
b) segundo o projeto de reviso da NBR6118/2000, que pede:
0,10.a b1 0,5.b2
bf = 2.b1 + bw 0,10.a + bw (2.20)
onde:
a = l para tramo simplesmente apoiado;
a = 0,75.l para tramo com momento fletor numa s extremidade;
a = 0,60.l para tramo com momento nas duas extremidades;
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
35
a = 2.l para tramo em balano;
l: comprimento do tramo;
b2: distncia livre entre as nervuras;
b1: aba da seo T.
b4b3
b3
bf
bwb4
b1
bf
b2 bw
FIGURA 2.6: Nomenclaturas para a determinao da largura da mesa colaborante segundo a
NBR6118
Neste trabalho sero aplicados apenas modelos utilizando as consideraes
do projeto de reviso da NBR6118/2000 para o clculo da largura colaborante. Na maioria
dos casos aplica-se a considerao b1 = 0,5. b2.
Conforme LEONHARDT & MNNIG (1978), pelo desenvolvimento das
trajetrias de compresso na laje, pode-se verificar que prximo a um apoio extremo a
largura colaborante da laje menor que para o meio do vo. Assim, a mesma depende do
afastamento do apoio. Contudo, para as experimentaes numricas deste trabalho ser
considerada uma largura colaborante nica para toda a extenso da nervura. O projeto de
reviso da NBR6118/2000 permite o clculo de uma largura colaborante nica para todas as
sees de uma viga contnua desde que ela seja calculada a partir do trecho de momentos
positivos onde resulte mnima.
Logo, tendo a largura colaborante bf pelo processo citado, o momento de
inrcia da seo integral em relao ao centro de gravidade da pea pode ser determinado
dividindo-se a seo transversal em retngulos.
Dessa forma, separando a mesa de concreto da nervura a fim de ter-se duas
sees retangulares conforme a Figura 2.7, tem-se:
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
36
z cg
hf
h
b f
bw
FIGURA 2.7: Diviso da seo transversal T em sees retangulares
( ) ( )2
fcgfw
3fw
2f
cgff f3
f fy 2
hhz.h -h .b
12hh.b
2h
hh..hb12.hb
I
+
+
++= z
(2.21)
onde:
Iy = momento de inrcia flexo da seo transversal T;
zcg = ordenada do centride da seo T, medido a partir da face inferior da
nervura, dada por:
( )
( )fwff
ffff
2fw
cg hh.b.hb
.h.bhh2
h2
hh.b
z+
++
= (2.22)
Agora, tendo o momento de inrcia, pode-se calcular a espessura equivalente
da laje e, com ela, os esforos e deslocamentos por processo simplificado.
2.2.3 Os parmetros elsticos do concreto na Teoria da Placa Orttropa
Equivalente
a) Mdulo de deformao longitudinal do concreto
Conforme a norma NB1/1978, tem-se que as anlises elsticas devem ser
feitas utilizando-se:
Ecs = 0,9.Ec [MPa] (2.23)
sendo:
Ec = 6600.(fck + 3,5)1/2 [MPa] (2.24)
Ecs: mdulo de elasticidade secante do concreto;
Ec: mdulo de elasticidade tangente do concreto;
fck: resistncia caracterstica do concreto compresso.
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
37
Segundo o projeto de reviso da NBR6118/2000 o mdulo de elasticidade a
ser utilizado nas anlises elsticas de projeto, especialmente para a determinao de esforos
solicitantes e verificao de estados limites de servio, deve ser o mdulo secante, dado por:
Ecs = 0,85.Ec [MPa] (2.25)
sendo:
Ec = 5600.(fck)1/2 [MPa] (2.26)
Ecs: mdulo de elasticidade secante do concreto;
Ec: mdulo de elasticidade tangente do concreto;
fck: resistncia caracterstica do concreto compresso.
A considerao de apenas 85% do mdulo de elasticidade tangente do
concreto uma forma de compensar os efeitos da deformao lenta nas peas de concreto.
Assim, neste trabalho ser aplicado o mdulo de elasticidade secante
proposto pelo projeto de reviso da NBR6118/2000, sem redues, quando da anlise das
lajes nervuradas pela Teoria da Placa Orttropa Equivalente nos modelos sem reduo da
espessura da laje macia equivalente e naquele com as redues propostas por ABDUL-
WAHAB & KHALIL (2000).
Estes pesquisadores apresentaram processo alternativo na determinao da rigidez da laje slida equivalente e que envolve com mais preciso o comportamento do
concreto armado e de seus estados elstico no-fissurado (estdio I) e elstico fissurado
(estdio II), aplicando-se laje nervurada um mdulo de elasticidade longitudinal chamado
de mdulo efetivo. O processo e suas formulaes so apresentados abaixo, contudo no
foram utilizados neste trabalho devido necessidade da verificao da linha neutra em cada
nervura em um processamento inicial, bem como o clculo das reas de armadura durante a
anlise, o que foge dos objetivos do trabalho.
O processo criado baseia-se no conceito de disco elementar inicialmente
proposto para placas perfuradas. Para placas e lajes com disposio quadrada de buracos
sujeitas a um uniforme campo de tenso assumiram que uma distoro uniforme ocorria e,
dessa forma, apenas uma nica clula (ou buraco) precisava ser considerada na formulao
que relacionava o mdulo de elasticidade do concreto e o respectivo mdulo efetivo do
concreto. Comparando o comportamento de um disco elementar com um disco sem buraco,
chegaram ao mdulo de elasticidade efetivo, Ee, dado pela expresso:
( )( )
( ) ( )+==
1.11.1
EE
Rcs
e
(2.27)
onde, de acordo com a Figura 2.8, tem-se:
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
38
=
1
w1
aba
.785,0 (2.28)
Assumiram ento que a placa nervurada podia ser considerada formada por
uma srie de discos elementares conectados, cada disco tendo a forma de uma placa circular
com um buraco no centro, de acordo com a Figura 2.8.
A soluo para a laje nervurada foi obtida pelos autores para os campos
elstico no-fissurado do concreto (estdio I) e elstico fissurado (estdio II), demonstrados
na Figura 2.9. A presena de armadura no concreto foi considerada pelos autores na
formulao, j que contribuem no enrijecimento da laje.
As
a1
bwb2
FIGURA 2.8: Clula quadrada da laje nervurada e Disco Elementar Equivalente
[ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000)]
Estdio II
Estdio I
M
x
d
x.Ecs
a1/2
linha neutra
a1/2
As
a1/2a1/2
As
x.Ecs
Mlinha neutra
hdx
FIGURA 2.9: Discos Elementares Equivalentes submetidos flexo nos estdios I e II
[ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000)]
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
39
As formulaes para cada estdio, determinadas pelos autores do artigo, so
apresentadas abaixo.
- Campo elstico no-fissurado do concreto
Para um disco elementar de concreto armado submetido a um momento
fletor uniforme radial no campo elstico no-fissurado (ou estdio I), de acordo com a Figura
2.9, assumiram que ocorre uma distoro uniforme. A altura da linha neutra x n a seo
transformada dada por:
K2.h Kh
x 2
++= (2.29)
onde:
( )
.Ra-1 .m.2.A
K 1
s = (2.30)
sendo:
As = rea da armadura de trao;
m = coeficiente modular = Es/Ecs;
R = Ee/Ecs
Ee = mdulo de elasticidade efetivo do concreto.
Das consideraes das foras internas, calcula-se o brao de alavanca do
momento, la, dado por:
( ) ( )( ) ( )
x.32
x-dK..3x-h3.
x-dK..3x-h2. l
2
23
a ++
+= (2.31)
O mdulo de elasticidade efetivo E et obtido atravs do equacionamento
da relao entre a rotao do contorno externo do disco elementar de concreto armado com
aquela de um disco slido homogneo com a mesma espessura h. Assim, tem-se:
3
a2
e
et
h
l.x.6EE
= (2.32)
onde:
Ee=R.Ecs
- Campo elstico fissurado do concreto
Aps o aparecimento da primeira fissura assumiram que a resistncia do
concreto submetido trao podia ser negligenciado, conforme Figura 2.9. A altura da linha
neutra determinada por:
( )[ ]4.dKK.K.21
x ++= (2.33)
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
40
Como antes, atravs do equacionamento da relao entre a rotao do
contorno externo para um disco slido equivalente com aquela obtida pelo disco elementar
de concreto armado, o mdulo de elasticidade efetivo E et para uma laje macia de concreto
armado no campo elstico fissurado (estdio II) dado por:
( )22
e
et
-112.
3x
-d.x.6
EE
= (2.34)
onde:
Ee=R.Ecs
b) Mdulo de deformao transversal do concreto
De acordo com a NB1/1978, tem-se que o mdulo de deformao transversal
do concreto obtido admitindo-se o coeficiente de Poisson = 0,20, resultando:
Gc = 0,4.Ecs = 2376.(fck + 3,5)1/2 [MPa] (2.35)
onde:
Gc: mdulo de elasticidade transversal do concreto.
No projeto de reviso da NBR 6118/2000 tem-se que o mdulo de
deformao transversal do concreto tambm calculado adotando = 0,20, resultando:
Gc = 0,4.Ecs = 1904.(fck)1/2 [MPa] (2.36)
onde:
Gc: mdulo de elasticidade transversal do concreto.
Apesar da orientao da norma muitos autores recomendam valores menores
para o mdulo de deformao transversal.
LEONHARDT & MNNIG (1978) sugeriram dividir o mdulo de
deformao transversal do concreto por 100, j que as microfissuras no concreto, que
existem mesmo a pea estando no Estdio I, j reduzem a sua rigidez toro.
TAKEYA (1985) sugeriu adotar Gc = 0,15.Ecs. (2.37)
Props esta reduo, porm, em modelos de grelha que simulavam lajes
lisas, argumentando que essa reduo em pisos de concreto armado interessante por levar
em conta a fissurao de maneira geral. Aqui essa reduo ser testada para verificar os
efeitos no comportamento do modelo em laje macia com espessura equivalente.
Assim, nos modelos de Teoria da Placa Orttropa Equivalente sero
aplicados o mdulo de elasticidade transversal sugerido por TAKEYA (1985), nos modelos
sem reduo da espessura da laje equivalente. Com isso haver um aumento nos momentos
fletores atuantes na placa, e conseqentemente uma diminuio nos momentos volventes.
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
41
Nos modelos com espessura reduzida conforme ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000) ser
considerado o valor de Gc integral.
2.2.4 Simulao dos pilares nos modelos de Teoria da Placa Orttropa
Equivalente
De acordo com CORRA (1991) a vinculao dos pilares no plano do
pavimento de edifcios pode ser considerada de forma simplificada atravs da colocao de
um n no centro do apoio, impedindo-se a os graus de liberdade ou ento associando ao
mesmo vnculos deformveis atravs da considerao do pilar de forma tridimensional,
processo que ser utilizado nas modelagens deste trabalho, de acordo com a Figura 2.10. Os
pilares, quando da anlise de pavimentos intermedirios, sero lanados com a altura
duplicada e considerados engastados na base fornecendo, dessa forma, um adequado
coeficiente de mola, explicitado posteriormente.
Na modelagem da laje nervurada pela Teoria de Placa necessrio, pelos
fundamentos do Mtodo dos Elementos Finitos, que as placas em torno do n do pilar
concorram para ele. Assim, em algumas geometrias, um ajuste por meio de elementos finitos
triangulares poder sempre ser efetuado, conforme a Figura 2.10.
y
z
xp-
dire
ito d
uplo
elementos de casca triangulares junto aos pilares elementos de casca
quadrangulares
FIGURA 2.10: Ajuste dos elementos de placa junto aos pilares
Ainda de acordo com CORRA (1991) quando o pilar tiver grande
dimenso em planta ser simulado por meio de trs ns: um no centro do pilar, do qual sair
a barra segundo o eixo z com a seo geomtrica real do pilar e com a altura duplicada; e
mais dois ns, cada um prximo s faces do pilar. Interligando os ns sero lanados
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
42
elementos finitos de viga tridimensional, no plano x-y, de rigidez infinita, que pode ser
verificado na Figura 2.11.
y
x
trechos rgidossimulando pilares de grande dimenso
FIGURA 2.11: Trecho rgido para pilares de grande dimenso em planta
2.2.5 Processos e mtodos de clculo aplicando a Teoria da Placa Orttropa
Equivalente
Determinada a espessura equivalente, a laje nervurada pode ser calculada
como se fosse uma placa em uma anlise elstica.
A integrao da equao diferencial de equilbrio das placas delgadas
apresentada anteriormente, para as lajes retangulares pode ser feita de vrias formas:
a) tabelas montadas por Czerny e Bares onde utilizaram o processo de
Diferenas Finitas o que, como mostrado em SILVANY (1995), no caso de placas com
formas no-regulares, com aberturas e distribuio de aes complexas, no so de aplicao
prtica;
b) aplicao direta dos mtodos numricos como o Processo das Diferenas
Finitas, Mtodo dos Elementos Finitos ou Mtodo dos Elementos de Contorno, utilizando
softwares como auxlio.
Neste trabalho ser aplicado o Mtodo dos Elementos Finitos atravs do
software ANSYS 5.5, onde as placas sero discretizadas por elementos de casca plana e os
pilares simulados por elementos de barra tridimensionais.
Aps calculados os momentos e os esforos cortantes por faixa de um metro,
na laje macia equivalente, nas duas direes, esses valores devem ser multiplicados pelo
valor da largura colaborante bf, verificando-se em seguida o cisalhamento e a flexo, tanto na
mesa quanto nas nervuras, ao tratar-se do dimensionamento.
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
43
2.3 ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS
CONVENCIONAIS E SEM VIGAS POR ANALOGIA DE GRELHA
A complexidade e as limitaes dos mtodos clssicos da elasticidade
aplicados na Teoria de Placas fizeram pesquisadores buscarem outros mtodos para a
determinao de esforos e deslocamentos em lajes macias.
Segunto o Cdigo ACI-435 (1989) Marsh, em 1904, substituiu uma laje
macia uniformemente carregada por uma malha de vigas que se cruzavam. Contudo, em sua
modelagem, negligenciou os momentos torores da placa, gerando assim um erro de 25%
nos momentos fletores para uma placa simplesmente apoiada.
Posteriormente a teoria foi modificada por Marcus numa tentativa de levar
em conta os momentos torores desprezados por Marsh. Dessa forma, introduziu fatores de
modificao no clculo dos momentos fletores e deslocamentos, relacionando condies de
vinculao e caractersticas geomtricas.
Em 1952 foi apresentado por Ewell, Okubo e Abrams um mtodo
denominado Mtodo de Analogia de Grelha. Nesse processo desenvolvido a influncia do
momento toror pde ser considerada de maneira direta e imediata. A placa macia foi
inicialmente dividida em faixas nas direes ortogonais escolhidas e, posteriormente,
substitudas por vigas equivalentes, com as mesmas propriedades de flexo e toro. Nestas,
foram calculados os esforos e deslocamentos, fazendo-se a compatibilizao de momentos
torores e fletores por ns, ou pontos de cruzamento das vigas da grelha, conforme Figura
2.12.
A placa macia e a grelha devem ser tais que, quando submetermos as duas
estruturas ao mesmo carregamento elas se deformaro de maneira idntica, e os esforos em
qualquer barra da grelha sero iguais s resultantes das tenses na seo transversal da
posio da laje que a barra representa.
Indicou que o processo foi utilizado pioneiramente em computador por
Lightfoot e Sawko, em 1959. A facilidade computacional do processo d-se principalmente
porque a tcnica trabalha com elementos lineares, ou elementos de barra, onde a resoluo
da estrutura resulta em um problema simples de anlise matricial: o problema de grelhas.
Dessa forma, o alto grau de hiperestaticidade e deslocabilidade das grelhas no um
empecilho para a anlise quando do uso de computadores.
Algumas diferenas de comportamento fsico entre placas macias e grelhas
existem, contudo, e so enumeradas abaixo:
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
44
- o equilbrio da laje d-se com a igualdade entre os momentos torores
atuantes nas duas direes; na grelha equivalente no h princpio fsico ou matemtico para
que isso ocorra;
- o momento fletor da laje, em qualquer direo, depende tanto da curvatura
naquela direo quanto da curvatura na direo ortogonal; no elemento de barra o momento
fletor somente proporcional prpria barra.
BARBOZA (1992) mostra, contudo, comparando-se os resultados obtidos
com a analogia de grelha e com o mtodo dos elementos finitos, que a analogia oferece
resultados satisfatrios para lajes macias. Assim, espera-se resultados ainda melhores ao
analisar-se lajes nervuradas por este processo devido maior semelhana geomtrica entre
ambos estrutura real e modelo mecnico, em um modelo tridimensional.
(c) deslocamento devido ao momento no plano l-o-m
(b) substituio das faixas pelas vigas
(a) diviso da placa em faixas
M
p
nm
lo
viga equivalente 2-2
32
1
C
AB
CB
A
3
12
faixa de laje 2-2
AB
C
CB
A
32
1
32
1
FIGURA 2.12: Analogia de grelha aplicada lajes macias
[ACI-318-89]
Mas, de acordo com SHEIKH & MUKHOPADHYAY (1992), a modelagem
de placas enrijecidas atravs de sistemas de grelhas tm fracassado na evoluo de uma
soluo genrica satisfatria.
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
45
2.3.1 O funcionamento estrutural das grelhas
A grelha, quando tratada como estrutura plana, recebe aes solicitantes
perpendicularmente ao seu plano. Na anlise desses elementos esto envolvidos trs esforos
internos, de acordo com a Figura 2.13: o esforo cortante normal ao plano da grelha, o
momento fletor normal ao eixo da barra e o momento toror axial barra. Com isso, tm-se
ento trs deformaes, conjugadas aos esforos internos.
Ao determinar-se os esforos solicitantes e deslocamentos de uma laje
nervurada segundo a teoria das grelhas a estrutura como um todo deve resistir s aes, j
que as vigas no so tratadas de forma independente.
A
A
P
Seo A-A
Mt
M
V
FIGURA 2.13: Esforos solicitantes na barra de uma grelha plana
Assim, para que o clculo seja econmico, preciso considerar que a
transferncia das aes ocorra no plano da estrutura o que, com eficincia, s ocorre se as
nervuras tiverem rigidezes semelhantes. Dessa forma, se as nervuras de uma direo forem
mais rgidas que as da outra direo elas absorvero maiores parcelas de esforos solicitantes
e a transmisso dos mesmos ocorrer apenas em uma direo, o que foge da teoria
econmica das grelhas.
2.3.2 O processo de Analogia de Grelha aplicado lajes nervuradas
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
46
Para a aplicao do processo s lajes nervuradas torna-se evidente que as
mesmas j so um conjunto de vigas e, assim, tem-se a prpria malha equivalente, onde as
barras tero seo transversal T devido a mesa de concreto. Sero ento concentradas nas
vigas as rigidezes toro e flexo da placa.
De acordo com TANAKA & BERCIN (1998) implicitamente considera-se a
excentricidade existente entre o eixo da nervura e o plano mdio da placa atravs das
translaes de eixos no clculo das inrcias das sees transversais compostas. Nesta
aproximao, segundo os pesquisadores, a dificuldade est na determinao da largura
colaborante, aquela hipottica representao da placa na viga, o mesmo problema
encontrado para o clculo da espessura da laje macia equivalente em comportamento uma
laje nervurada demonstrado anteriormente.
Para que se tenha um modelo de grelha que expresse tanto o comportamento
da estrutura (laje nervurada) quanto do material (concreto armado) algumas consideraes
tambm devem ser feitas na concepo da grelha quanto s propriedades geomtricas da
seo e parmetros do concreto.
2.3.2.1 As propriedades geomtricas das barras da grelha
a) Momento de Inrcia flexo das barras da grelha Para a determinao dos esforos, considerando a seo integral de concreto
em um clculo elstico, as nervuras da laje devem ser consideradas como sees T, com
largura colaborante da laje, e a inrcia a flexo das mesmas ser calculada como j
demonstrado anteriormente, ou seja, neste trabalho haver modelos utilizando as
consideraes do projeto de reviso da NBR6118/2000.
b) Momento de Inrcia toro das barras da grelha
As tores que ocorrem na maioria das grelhas so esforos advindos da
compatibilidade de deformaes haja visto que, medida que se reduz a rigidez toro da
barra de grelha, os momentos de toro tambm so reduzidos at que, para um limite
terico de rigidez nula toro, tem-se tambm momentos de toro nulos. Dessa forma,
geralmente, nos pisos de edifcios em grelha surgem esforos de toro meramente oriundos
da compatibilidade das deformaes. Verifica-se tambm ser possvel a ocorrncia de uma
situao em que h equilbrio com toro nula, no caso de baixa rigidez toro ou no caso
de tolerar-se plastificaes, conforme SUSSEKIND (1985).
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
47
A norma brasileira NBR 6118/1978 permite desprezar os momentos de
toro de compatibilidade para o clculo das peas no Estado Limite ltimo j que a tem-se
a barra fissurada e, dessa forma, a mesma tem inrcia toro muito reduzida.
Do item 14.5.7.2 do projeto de reviso da NBR 6118/2000 v-se que, de
maneira aproximada, pode-se reduzir a rigidez toro das vigas (exceto em peas curtas)
por fissurao utilizando-se 15% da rigidez elstica.
J SUSSEKIND (1985) recomendou considerar como inrcia toro, para
elementos de concreto fissurados, 20% da inrcia It da seo homognea, constituindo-se
num valor tolervel para a considerao da inrcia toro de compatibilidade.
Ambas as recomendaes conduzem a valores reduzidos de toro, e so
satisfatrias.
SUSSEKIND (1985) e LEONHARDT & MNNIG (1978) apresentaram o
momento de inrcia toro da seo bruta para sees compostas por retngulos, de acordo
com a teoria da elasticidade, para elementos retangulares onde h >> b, calculado pela
seguinte expresso:
).h(b.31
I in
1i
3it
== (2.38)
onde:
bi: menor dimenso da poro i da seo transversal;
hi: maior dimenso da poro i da seo transversal.
LEONHARDT & MNNIG (1978) apresentaram tambm uma tabela com
valores mais especficos de inrcia toro para sees retangulares de acordo com a relao
entre as dimenses da seo transversal.
Neste trabalho a inrcia toro das peas sero calculadas de acordo com
LEONHARDT & MNNIG (1978), na Eq. 2.38, contudo utilizando apenas 15% dessa
inrcia bruta, de acordo com o projeto de reviso da NBR6118/2000, supondo-se a
fissurao das peas (mesmo na anlise elstica, j que este um recurso satisfatrio para
simular o comportamento do material concreto armado tambm em servio).
2.3.2.2 Os parmetros elsticos do concreto armado na Analogia de Grelha
a) Mdulo de deformao longitudinal do concreto
Segundo o projeto de reviso da NBR 6118/2000:
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
48
Ecs = 0,85.Ec [MPa] (2.39)
sendo:
Ec = 5600.(fck)1/2 [MPa] (2.40)
Ecs: mdulo de elasticidade secante do concreto;
Ec: mdulo de elasticidade tangente do concreto;
fck: resistncia caracterstica do concreto compresso.
O valor do mdulo de elasticidade secante do concreto pode ainda ser
reduzido para se considerar os efeitos da fissurao, como foi aplicado em BOCCHI
JNIOR (1995), que considerou apenas 70% do valor do mdulo em suas anlises.
TAKEYA (1985) indicou que a reduo do mdulo de elasticidade
interessante, porm complexo de quantificar, j que parte da laje pode trabalhar no Estdio I
e parte no Estdio II, alm de ocorrer o efeito da retrao e da deformao lenta do concreto.
Neste trabalho, nos modelos de Analogia de Grelha, sero aplicados o
mdulo de elasticidade secante proposto pelo projeto de reviso da NBR6118/2000, sem
redues.
b) Mdulo de deformao transversal do concreto
De acordo com projeto de reviso da NBR6118/2000:
Gc = 0,4.Ecs = 1904.(fck)1/2 [MPa] (2.41)
onde:
Gc: mdulo de elasticidade transversal do concreto.
Apesar da orientao da norma muitos autores recomendam valores menores
para o mdulo de deformao transversal.
TAKEYA (1985) sugeriu adotar Gc = 0,15.Ecs. (2.42)
J BOCCHI JNIOR (1995) indicou que, j levando em conta a diminuio
da inrcia toro da pea, a diminuio do mdulo de deformao transversal devido a
fissurao no torna-se necessrio.
Contudo, nos modelos de Analogia de Grelha deste trabalho sero aplicados
o mdulo de elasticidade transversal sugerido por TAKEYA (1985), para simular melhor o
material concreto armado, mesmo nas anlises elsticas.
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
49
2.3.2.3 Carregamento da grelha
Todo o carregamento da grelha pode ser aplicado diretamente nos ns da
estrutura atravs do processo de rea de influncia, conforme a Figura 2.14:
Qi = (g + q).Ai (2.43)
sendo:
Qi : carga nodal aplicada grelha no n;
(g + q) : carga total atuante na laje;
Ai : rea de influncia do n i.
l/2l/2 l/2l/2
l/2l/2
l/2l/2
i
eixos das nervuras
FIGURA 2.14: rea de influncia para o clculo de carga nodal em grelhas
Porm, interessante considerar todas as aes atuantes na laje nervurada
como uniformemente distribudas ao longo das barras da grelha, conforme Figura 2.15, o que
representa melhor a forma dos diagramas de momentos fletores das nervuras.
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
50
eixo
da
nerv
ura
rea de influnciacarga uniformesobre a nervura
FIGURA 2.15: Carga uniformemente distribuda sobre as nervuras
Assim, pode-se imaginar a laje nervurada como constituda de vrias lajes
menores apoiadas nas nervuras, onde as aes sero distribudas como reaes de apoio s
nervuras.
Neste trabalho as cargas distribudas uniformemente sobre a laje nervurada,
nos modelos de grelha, sero lanadas uniformemente distribudas ao longo das nervuras.
2.3.2.4 Considerao da vinculao dos pilares nos modelos de Analogia de
Grelha
Quando um modelo de grelha plana processado por meio de softwares
apropriados para tal sistema possvel considerar a influncia das rigidezes dos pilares por
meio da introduo de constantes de mola aos ns dos apoios da grelha equivalente,
conforme Figura 2.16.
a) rigidez do pilar s deformaes axiais:
A grandeza da deformao na direo axial do pilar pequena e,
conseqentemente, pouco significativa, podendo ser desprezada nas anlises do pavimento.
Assim, pode ser considerada uma rea elevada de seo transversal nos pilares nas anlises.
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
51
x
yz
i
Kz,i: rigidez do pilar deformao axial
Kx,i: rigidez do pilar flexo segundo a direo x
Ky,i: rigidez do pilar flexo segundo a direo y
FIGURA 2.16: Representao das constantes de mola aplicadas ao apoio de uma grelha
b) rigidez do pilar flexo:
As rigidezes do pilar devem ser avaliadas tanto na direo x quanto na
direo y, e so incorporadas no n contido na barra da grelha, na direo correspondente,
respectivamente obtendo-se Kx e Ky, quando o software para anlise de grelha permitir a
introduo automtica das constantes de mola no n vinculado.
Neste trabalho, quando da considerao dos pilares, os mesmos sero
lanados de forma mais realista, associando-se grelha barras referentes aos pilares
formando um conjunto tridimensional, j que o sistema ser analisado atravs de barras
tridimensionais no ANSYS 5.5. Os pilares sero lanados com a altura duplicada e
considerados engastados na base, de acordo com a Figura 2.17 fornecendo, dessa forma, um
adequado coeficiente de mola de valor:
K = (2.Ecs.I)/l (2.44)
sendo:
K: constante de mola do pilar;
Ecs: mdulo de elasticidade secante longitudinal do concreto;
I: momento de inrcia flexo da seo no eixo considerado;
l: altura do p-direito.
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
52
p-d
ireito
dup
lo
x
z
y
FIGURA 2.17: Considerao dos pilares nos modelos de grelha deste trabalho
De acordo com CORRA (1991) os pilares de grande dimenso sero
modelados utilizando-se trs ns no plano XY do pavimento em grelha, criando-se dessa
forma dois trechos rgidos no mesmo plano (ou barras de alta inrcia flexo) modelados
pelo elemento de barra tridimensional disponvel no ANSYS 5.5. Ligando o n central ao n
da base do pilar ser utilizado novamente o elemento de barra tridimensional, contudo tendo
as caractersticas reais do pilar, ao longo do seu eixo, de acordo com a Figura 2.18.
trechos rgidos
barra com as caractersticas reais do pilar, mas com o dobro da altura
FIGURA 2.18: Caractersticas da modelagem dos pilares de grande dimenso
2.3.3 Processos e mtodos de anlise de grelhas
Tendo as caractersticas geomtricas e parmetros do concreto a anlise da
grelha plana, sem os pilares no modelo, pode ser feita por diversos mtodos e processos.
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
53
Um dos processos mais utilizados a Anlise Matricial, que pode ser
encontrada em diversos programas computacionais de grelha plana.
Neste trabalho, contudo, ser aplicado o Mtodo dos Elementos Finitos, pelo
ANSYS 5.5, onde as nervuras sero discretizadas por elementos finitos de viga
tridimensional, assim como os pilares. Na verdade ser um modelo onde a laje nervurada
simulada por barras, como uma grelha, mas em conjunto com os pilares, o que confere ao
modelo caractersticas de prtico tridimensional.
2.4 ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS SEM VIGAS
POR MTODOS ELSTICOS DE PRTICOS VIRTUAIS
Alm dos sistemas convencionais de piso de lajes nervuradas, ou seja,
aqueles com a existncia de vigas mais rgidas no conjunto, tem-se tambm sistema especial,
sem vigas.
Esse sistema aliado a piso em nervuras pode ser verificado na Figura 2.19.
FIGURA 2.19: Laje nervurada sem vigas
[NAWY (1995)]
Em algumas lajes desse sistema podem ser colocadas vigas de borda com a
funo de diminuir os momentos fletores nas lajes e deslocamentos, constituindo-se num
apoio de contorno, absorvendo tambm a toro e a puno al geradas. Outra vantagem da
utilizao das vigas nas bordas do pavimento a formao de prticos para resistir s aes
laterais, quando conectadas a pilares.
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
54
Esse tipo de sistema estrutural apresenta grande versatilidade quanto ao
projeto arquitetnico, j que a inexistncia de vigas permite uma maior liberdade na
disposio de cmodos no pavimento.
Como nas lajes sem vigas tem-se o apoio diretamente no pilar necessrio
que neste sistema com pavimento em laje nervurada a regio em torno dos pilares seja
macia, tendo capitis (engrossamento dos pilares) ou bacos (engrossamento de lajes
macias ou, neste caso, lajes macias de espessura constante embutidas na laje nervurada).
Dessa forma, as regies macias tero dupla finalidade: absorver os momentos negativos que
surgem no entorno dos pilares internos e resistir ao efeito de puncionamento que ocorre
nessa regies, junto aos pilares.
A puno, que deve ser verificada nas lajes lisas nervuradas, o fenmeno
de perfurao devido s altas tenses de cisalhamento, provocadas por foras concentradas
ou agindo em reas pequenas.
A verificao da puno, em vrias normas, baseada no mtodo da
superfcie de controle, ou seja, consiste no clculo de uma tenso nominal de cisalhamento
na superfcie a verificar. Tendo esse valor e o da resistncia do concreto pode-se fazer a
verificao. Este , por exemplo, o processo utilizado no projeto de reviso da
NBR6118/2000 que considera como superfcies crticas as seguintes, de acordo com a Figura
2.20:
a) permetro C, do pilar ou da carga concentrada, onde verifica-se a tenso
de compresso diagonal do concreto;
b) permetro C, afastado 2.d do pilar ou da carga concentrada, sendo d a
altura til da laje na regio considerada, verificando-se a capacidade de ligao a puno
associada resistncia trao diagonal;
c) permetro C, utilizado quando necessrio colocar armadura transversal,
afastado 2.d da ltima armadura transversal, sendo d a altura til da laje no trecho
considerado.
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
55
(b) macio com armadura transversal
(a) macio sem armadura transversal
C"
2d2d
C'
C
FIGURA 2.20: Permetros de controle da puno segundo o projeto de reviso da
NBR6118/2000
Como pode-se observar, caso o concreto no resista ao efeito de
puncionamento torna-se necessrio distribuir armaduras de puno radialmente ao pilar,
podendo as barras estarem inclinadas para atravessar a zona tracionada ortogonalmente em
relao s tenses de trao.
A ruptura por puncionamento d-se segundo uma superfcie tronco-
piramoidal com inclinao de 30 a 35 graus, sendo brusca e sem aviso prvio, conforme a
Figura 2.21:
linha de ruptura por puno30 a 35 graus
FIGURA 2.21: Ruptura por Puno
Verifica-se, assim, que a regio macia em torno dos pilares, nos sistemas
sem vigas, deve abranger em planta a regio de altas concentraes de fora cisalhante.
TESORO (1991) afirmou que os pavimentos em lajes nervuradas sem vigas
devem ser analisados da maneira mais realista possvel em conjunto com os pilares. Assim,
-
Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas
56
complementou que pouco serve empregar mtodos que resolvem perfeitamente a laje se
estes no contemplarem adequadamente o clculo dos pilares.
Quanto aos processos de determinao dos esforos solicitantes e
deslocamentos o projeto de reviso da NBR6118/2000 afirma que o clculo de lajes lisas (ou
lajes sem vigas apoiadas diretamente sobre pilares) deve ser realizado mediante emprego de
procedimento numrico adequado, citando: mtodo das diferenas finitas, mtodo dos
elementos finitos ou mtodo dos elementos de contorno. Como mostrado em
ALBUQUERQUE (1998), a existncia de softwares que possibilitam a anlise estrutural
pelos mtodos dos elementos finitos e a sua confiabilidade fizeram com que o mesmo fosse o
mais difundido para o clculo das lajes lisas.
Em casos particulares, quando os pilares estiverem dispostos em filas
ortogonais de maneira regular e com vos pouco diferentes o projeto de reviso da
NBR6118/2000 permite o clculo dos esforos por processo elstico aproximado que
consiste em adotar, em cada direo ortogonal, prticos mltiplos num processo de anlise
bidimensional. Pede, porm, que se assim for procedida a anlise sejam ento estudadas
cuidadosamente as ligaes das lajes com os pilares, com especial ateno nos casos de
assimetria de forma e de carregamento, devendo ser obrigatria a considerao dos
momentos de ligao entre laje e pilares extremos.
Um mtodo mais refinado de clculo do que o dos Prt