Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 1 Sistemas de equações lineares...

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

1

Sistemas de equações lineares

Métodos Directos


2

Decomposição LU

A=LU

yUx

bLy

L – matriz triangular inferiorU – matriz triangular superior

bxUL bAx y

Resolução de 1 sistema quadrado

Resolução de 2 sistemas triangulares


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Método de Gauss

Pivot – elemento da diagonal akk

Para anular os elementos abaixo da diagonal aik

Multiplicar (mantêm a.s.) a linha pivot pelo factor

Adicionar (mantêm c.d.) a linha obtida à linha i

kk

ika

a


4

Estabilidade do método

Solução aproximada de Ax=b

Que é solução exacta de

Método estável (2º caso)

Método instável (1º caso)

x~

AA~

AA~

bxA~~~


5

Para o método ser estável

Escolha Total de pivot.O maior elemento em valor absoluto

da matriz reduzida .Desvantagens :

• Demora muito tempo a calcular o maior elemento da matriz reduzida em cada iteração.

• Troca de colunas troca de variáveis.• Não ganha muito em estabilidade quando

comparado com o 2ºcaso.


6

Para o método ser estável

Escolha parcial de pivot (2ºcaso).O maior elemento em valor absoluto

da 1ª coluna da matriz reduzida.

Vantagens :• É rápido determinar o maior elemento em

valor absoluto da primeira coluna da matriz reduzida.

• Não precisa de guardar a ordem das variáveis.

Desvantagens : • Nem sempre é estável.


7

Escolha parcial escalonada

O elemento a*ik , da 1ª coluna da matriz

reduzida, cuja razão absoluta entre a*ik e

o maior elemento, em valor absoluto, da linha i de A é máxima.

ijnj

ii

ik

kis

sk add

a

d

a

1

**maxondemax


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Condição de um sistema

Num sistema mal condicionado uma pequena variação nos dados pode provocar uma grande alteração na solução final

Sistema mal condicionado Sistema bem condicionado


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Como se mede a condição?

Se b é exacto:

Demonstração:Se A é não singular

e

A

AAA

x

x

kAcond

1

.1bAxbAx bxA ~~ E

xAAx ~~1

xAAxx ~~ 1

xAAAA ~~1 xAAAx ~~~ 1

xAAxx ~~ 1

A

AAA

x

xx 1

~

~


10

Definição de norma

∥.∥:ℂnm→ℜ+0:

∥A∥=0 sse A=0

CAA

BABA

BABA


11

Normas compatíveisxAA

x 1max

Vector Matriz

i

ie xxx 22 )(2 AAA H

i

ixx 1 i

ijj

aA max1

ii

xx max j

iji

aA max

ij

ije aA 2

p

i

pip xx

1

?

?


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k – número de condição

Se b não é exacto

1)cond( 1 AAAk

b

b

A

A

A

Ak

k

x

x

1

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

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Métodos Iterativos

bAx dCxx

dCxx

xnn )()1(

)0(

xx n ?

A = M – N e M facilmente invertível

A x = b (M – N) x = b x=M –1 (N x + b) M x= N x + b

d=M –1 bC=M –1 N


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Métodos Iterativos Exemplo Resolva o sistema

2563

23

952

213

312

321

xxx

xxx

xxx

2563

23

952

321

321

321

xxx

xxx

xxx

(solução exacta xT=(2,-3,-1))


15

Exemplo

2563

23

952

213

312

321

xxx

xxx

xxx

25

2

9

063

301

520

13

12

11

3

2

1

k

k

k

k

k

k

x

x

x

x

x

x

25

2

9

03

02

01

x

x

x

x0 x1 x2 x3

-9 120 363 -4260

-2 -86 -2 2914

-25 -40 851 1076

║xk-xk-1║ 129 891 4623

Processo divergente

(solução exacta xT=(2,-3,-1))


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Teorema do ponto fixo

Para sistemas (x) = M –1 (N x + b)

Cálculo do erro

)()()()()(

)()(

011

1

11xxxxxx

xxxx

kkkk

kk

= ║M-1N║

e 0 < < 1 ( - constante de Lipschitz)


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Teoremas

Se existir uma norma para a qual

então o processo é convergente. O processo é convergente sse o raio

espectral de C

Se (C )>1 o processo é divergente

║C║= ║M-1N ║ <1

(C )=maior valor próprio de C em módulo

( (C)) <1

Condição suficiente

Condição necessária e suficiente


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Como obter boas fórmulas de recorrência?

Os métodos mais comuns usam as submatrizes:

000

00

0

00

00

00

0

00

000

2

112

22

11

21

21

n

n

nnnn

a

aa

U

a

a

a

D

aa

aL

UDLA


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Método de Jacobi

M=D N=-(L+U) Condição suficiente de convergência

|| M-1N || = || D-1(L+U) || < 1 Fórmula de recorrência

dxCx kk )1()(

C=-D-1(L+U)d=D-1b

Resolver cada equação i em ordem a xi


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Condições suficientes de convergência

Definição Uma matriz é estritamente diagonal dominante

por linhas (colunas) se

jiijjj

ijijii aaaa

Matriz estritamente dominante Jacobi convergente

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