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Departamento de Engenharia Civil

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ANÁLISE PARAMÉTRICA E PROBABILÍSTICA DA REATIVAÇÃO E ABERTURA DE FALHAS GEOLÓGICAS

Aluna: Analice Lima de Carvalho Orientadora: Deane de Mesquita Roehl

Coorientadora: Fernanda Lins Gonçalves Pereira Coorientadora: Maria Fernanda Figueiredo de Oliveira

1. Introdução

Na análise de reservatórios de petróleo, pode ser determinante a existência de falhas geológicas, que são descontinuidades naturais entre os blocos de rochas, cuja estabilidade depende do estado de tensões ao seu redor. Dessa forma, certas atividades como a mineração e a extração de fluidos podem gerar perturbações ao longo do plano da falha que, se suficientemente elevadas, causam o deslizamento e a reativação da falha.

A reativação de falhas pode causar possíveis danos, como: instabilidade e colapso de poços, escape de fluido para a superfície ou para camadas porosas próximas e agravamento de subsidência do solo [8]. Wiprut e Zobach afirmam ser complexa a relação das falhas com a migração de fluidos nos reservatórios já que as falhas podem trabalhar como barreiras selantes ou como condutores [13]. As falhas reativadas, porém, por terem seu selo vertical rompido, fornecem eficientes caminhos para o fluxo de fluidos, podendo transmiti-los para outras camadas ou até mesmo para a superfície. Sendo assim, em processos de captura e estocagem de carbono (Carbon Capture and Storage – CCS) e de recuperação avançada de petróleo (Enhanced Oil Recovery – EOR), as pressões de injeção aplicadas aos reservatórios devem ser definidas conhecendo-se a pressão em que ocorre a reativação.

No estudo da reativação de falhas, existem muitos parâmetros a serem considerados e associadas a cada um deles existem incertezas que tornam a análise passível de erros. Nesses casos, para reduzir a possibilidade de falhas, uma alternativa é recorrer à análise probabilística que é uma ferramenta já bastante conhecida por permitir considerar as incertezas do problema. Apesar de ainda não ter sido muito utilizada para analisar a possibilidade de reativação de falhas, a análise probabilística é bastante utilizada nas mais variadas áreas. Em estruturas de concreto armado, por exemplo, a análise probabilística é utilizada na confecção das normas que regem os projetos além de ser utilizada em diversos estudos envolvendo o desempenho das estruturas.

Outra aplicação da análise probabilística é a construção de poços, onde, segundo Rocha e Azevedo, as propriedades de interesse são inferidas a partir de parâmetros registrados em forma de medições elétricas, acústicas e radiativas [12]. Para a análise da reativação de falhas não é diferente, as propriedades das rochas e das falhas são geralmente determinadas de forma indireta ou experimentalmente, a partir de ensaios de laboratório


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em amostras retiradas do campo, gerando valores médios para estes parâmetros. Pela natureza destes dados, existem muitas incertezas envolvidas, o que justifica a realização da análise probabilística.

O objetivo deste trabalho é estender a análise paramétrica realizada por Nacht et al [8], em um modelo sintético de reservatório com uma falha geológica, inserindo novas inclinações às mesmas, mantendo-se os valores de profundidade e de espessura do reservatório usados anteriormente. Utilizando, da mesma forma, uma abordagem analítica simplificada e outra numérica, para obter os valores de incremento da poropressão que provocam a reativação e abertura da falha. Com o conhecimento desses resultados, aplica-se a mesma metodologia probabilística usada no trabalho de Pereira et al. [10], e faz-se um estudo com o intuito de evidenciar a importância do tipo de função de distribuição de probabilidade das variáveis na resposta final do problema e finalmente comparar os resultados.

2. Reativação de falhas

Zoback classifica as falhas de acordo com o Esquema de Anderson, como mostrado na Figura 1. Neste esquema, a partir das magnitudes das tensões atuantes nas falhas (��, ��, ��), elas são classificadas como normais, transcorrentes ou reversas [15].

Figura 1. Esquema de Anderson, falhas: a) normal; b) transcorrente; c) reversa. [8]

Quando a tensão cisalhante atuante no plano da falha é igual a sua resistência ao cisalhamento, ela é dita reativada, causando um deslocamento relativo entre as suas duas faces. Para determinar a tensão cisalhante resistente ��, utiliza-se o critério de Mohr-Coulomb:

�� 1�

Onde é a coesão da falha, μ � �� é o coeficiente de atrito da falha para um

dado ângulo de atrito �, � é o coeficiente de Biot, � é a poropressão e � é a tensão normal no plano de falha. A diferença �� representa a tensão normal efetiva que ocorre no plano de falha �� .

As tensões normal e cisalhante, que ocorrem no plano da falha, podem ser calculadas utilizando as relações de transformação de tensão:


3

� � ��

� �� cos 2� �2�

� � �� sin 2� �3�

Em que � é o ângulo da falha com a direção horizontal e as componentes de tensão

vertical �� e de tensão horizontal �� são dadas, respectivamente, por:

�� # $%& ' �� () �4� Onde $ é o peso específico do solo, %& é o incremento de altura e () é o coeficiente

de empuxo no repouso. A partir da relação entre as equações (1) e (3), é possível inferir a tendência de reativação da falha, assim:

+, � -

-. �5�

De acordo com a equação (1), ao aumentar o incremento de poropressão, a

resistência ao cisalhamento da falha é reduzida, até que se iguala à tensão atuante no plano da falha. Dessa forma, quando o valor de +, atinge o valor 1, a tensão cisalhante aplicada na falha é igual a que a falha pode resistir e ela reativa.

2.1. Análise analítica simplificada

A abordagem analítica simplificada é utilizada para estimar a poropressão que causa a reativação da falha durante a injeção. A simplificação adotada considera que as tensões vertical e horizontal não se alteram com a injeção de poropressão, apenas as tensões efetivas sofrem mudanças, decrescendo com o aumento da poropressão, até que o círculo de Mohr atinja a envoltória de Mohr-Coulomb, e a falha reative. A Figura 2 mostra o diagrama de Mohr durante a injeção. O círculo se move para a esquerda sem alterar de tamanho.

Figura 2. Diagrama de Mohr-Coulomb para a reativação de falhas durante a injeção [8]


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Adotando a simplificação � 0� � � 1� � �Δ� na equação da trajetória de Mohr-Coulomb, apresentada na equação 1, obtém-se:

Δp � �4 5σ78 � 9:;

< = �6� Onde ∆� é o incremento de poropressão de injeção que causa a reativação da falha. �

é a tensão cisalhante no plano na falha, neste caso � � ��, logo +, � 1.

2.2. Análise geomecânica em elementos finitos

No caso de falhas no regime extensional Andersoniano, a mudança de tensão na formação pode ser estimada pelo plano de deformação de uma seção perpendicular a falha e alinhada com a direção da tensão horizontal mínima.

Modelos discretos de elementos finitos podem ser construídos para essas seções transversais, compreendendo os horizontes estratigráficos e as falhas geológicas. Neste trabalho, a análise poro-elastoplástica em termos de tensões efetivas sob condições drenadas são realizadas com o simulador de elementos finitos não-linear AEEPEC2D desenvolvido por Costa [4]. No modelo de elementos finitos, o comportamento é definido pelo modelo constitutivo de Mohr-Coulomb e tensão de cut-off nula. As rochas são discretizadas com elementos finitos serendipity de oito nós quadrilateral quadrático, mostrado na figura 3.

Figura 3. Elemento finito serendipity, de oito nós quadrilateral [5].

As falhas foram modeladas com elementos de interface (ou ligação) quadráticos de oito nós [6], e seus coeficientes de rigidez são estimados considerando as rochas vizinhas correspondentes e uma espessura equivalente. Um modelo constitutivo simula o comportamento tração-separação das tensões normal efetiva e cisalhante que atuam na falha. No modelo, a extensão da falha fora do reservatório é considerada horizontalmente selada durante toda a análise e verticalmente selada enquanto não há deslizamento ou abertura. Falhas que interceptam o reservatório são consideradas inicialmente não-seladas. Conforme o processo de reativação/abertura desenvolve-se fora do reservatório, as extensões afetadas comunicam-se com o reservatório.


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As tensões verticais e horizontais efetivas in situ são incluídas como tensões geostáticas iniciais variando com a profundidade usando coeficientes de pressão lateral apropriados �()� para cada camada e um gradiente de tensão vertical efetiva média �$@�. Pressões no reservatório e nas falhas comunicantes são aplicadas em incrementos e afetam apenas as componentes de tensão normal efetiva pelo coeficiente de Biot, que é dado como único para os elementos da falha.

Em toda a análise incremental, o parâmetro +, é monitorado ao longo das falhas em busca de qualquer possibilidade de reativação. Como resultado, a máxima pressão de injeção admissível sobre a pressão no reservatório virgem �∆�� para prever a reativação da falha pode ser obtida.

3. Análise Probabilística

A teoria da probabilidade é um assunto abordado em diversas áreas de conhecimento das ciências exatas, pois possui uma vasta aplicabilidade. Através da teoria da probabilidade, desenvolveu-se a metodologia probabilística, que é uma ferramenta utilizada para diversas finalidades. Paliga utiliza a análise probabilística para estudar o comportamento de vigas de concreto armado. Segundo ele, o objetivo da análise probabilística de estruturas é determinar o efeito da dispersão dos parâmetros de projeto no seu comportamento final, tornando-se, assim, uma ferramenta de análise de confiabilidade alcançada no projeto estrutural [9].

Em geotecnia, Whitman aponta as principais aplicações como sendo a possibilidade de fazer projetos otimizados, em face da incerteza em relação ao comportamento das cargas e a presença e disposição de camadas mais fracas de solo e rocha em uma rede de perfurações por exemplo. Ele aponta ainda a utilização da teoria da confiabilidade e a avaliação de riscos para a análise mais consistente da segurança de componentes, subestruturas e instalações [14].

Para a realização da análise existem diversos métodos, chamados probabilísticos e softwares específicos programados com base nesses métodos, como o NESSUS, que é a ferramenta utilizada neste trabalho. Além disso, muitos softwares dispõe de bibliotecas de ferramentas probabilísticas, como é o caso do Maple, do MATLAB e do Excel. Para realizar uma análise probabilística no NESSUS, o primeiro passo é entrar com a função de avaliação (função Z) A�B� � A�C�, C�, . . . , C �, onde C1�F � 1, . . . , G� são as variáveis aleatórias. Essa função de avaliação pode ser declarada usando uma função implícita, como a obtida na equação 6 ou usando um modelo numérico, como o ABAQUS ou ANSYS.

Uma vez definidas as variáveis aleatórias (VAs), elas deverão ser discretizadas através do tipo de função de distribuição de probabilidade (FDP) e seus respectivos parâmetros. Deve-se então definir o melhor método de análise probabilística considerando, entre outros fatores, o tipo de resposta que se deseja obter: dado um nível de probabilidade, um nível de desempenho, curva de distribuição de probabilidade completa, análise de sensibilidade etc.


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3.1. Variáveis aleatórias e suas funções de distribuição de probabilidade

Uma variável aleatória (VA) ou randômica, ao contrário de uma variável determinística que assume um valor fixo, pode assumir um valor qualquer dentro de um range de valores possíveis [1]. Assim, quando a magnitude de um parâmetro não é fixa, mas pode assumir um valor qualquer, ele é considerado uma VA.

Conforme explica Hoek, em mecânica das rochas, parâmetros como o ângulo de atrito, a resistência à compressão uniaxial de amostras, a inclinação e a orientação de descontinuidade sem uma massa de rocha e tensões medidas in situ ao redor de uma abertura podem não ter um único valor fixo, mas pode assumir qualquer valor dentro de um determinado intervalo [7]. Não há uma maneira de predizer exatamente o valor que um destes parâmetros assumirá e por isso podem ser considerados VAs.

As variáveis randômicas estão associadas a funções de densidade de probabilidade. A área sob a função de densidade de probabilidade (FDP) em um determinado intervalo fornece a probabilidade de ocorrência de um valor dentro desse intervalo, e é expressa por H�B�. Além desta função, outra função importante é a função de distribuição acumulada (FDA), que fornece a probabilidade de um valor ser menor ou igual ao valor adotado, e é denotada por I�B�. A figura 4 exemplifica as duas funções.

Figura 4. Função de densidade de probabilidade (esquerda) e função de distribuição acumulada (direita), para uma distribuição normal com média = 0 e desvio = 1.

Existem diversos tipos de distribuições de probabilidade, com seus parâmetros específicos, as utilizadas neste trabalho são descritas a seguir.

• Lognormal

HJ�B� � �K√�M exp P� �

� 5Q7�R�:ST =�U �7�

Onde W é o valor esperado de X � ln�C�, i.e. W � X�ln B� � �Q7 R, e Z é o desvio

padrão de [G�C� i.e. Z � \]^_ �ln B� � �Q7 R, W e Z se relacionam com a média e o desvio padrão de C através das seguintes relações:


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W � ln �R � �� Z� ' Z� � ln P�1 5à

ba=�U �8�

• Gumbel

HJ�B� � � expd��C � e� � expf��C � e�gh �9�

Onde o valor esperado é X�C� � e ).jkk�l e o desvio padrão é √]^_ � m

√n l.

• Normal

HJ�B� � �à√�m exp P� �

� 5R:baà

=�U �10� Em que a média é �R e o desvio padrão é �R, é geralmente denotada por p��R, �R�.

• Weibull

HJ�B� � q� 5J

�=q:� exp r� 5J�=qs �11�

Em que o valor esperado é X�C� � tΓ 51 �q= e o desvio padrão é √]^_ �

t rΓ 51 �q= � Γ� 51 �

q=s�/�

, sendo Γ a função Gama.

3.2. Métodos de análise probabilística

Os métodos probabilísticos foram desenvolvidos como meio para fazer a determinação ou uma aproximação da função conjunta de densidade de probabilidade, HJ�B�, além de aproximar o domínio de integração. Dessa forma, aos diferentes métodos, correspondem diferentes níveis de aproximações [3]. Há diversos métodos probabilísticos, alguns dos métodos mais utilizados, disponíveis no NESSUS são citados abaixo.

• Monte Carlo

Este método pode ser definido como uma simulação que abrange a utilização de números aleatórios, sendo uma técnica que permite a solução de problemas muito complexos. A vantagem desta simulação é que não há limite no número de variáveis do problema ou na complexidade do modelo, pois a resolução dos problemas independe do número de variáveis.

Segundo Beck, a simulação de Monte Carlo é aplicada na análise estrutural como uma forma de simular numericamente um experimento que não realizável na prática [3].


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Testa-se a estrutura para todas as combinações possíveis de resistência e ação, que são variáveis randômicas.

Apesar de tenderem, teoricamente, ao resultado exato com o aumento do número de simulações, método de simulação como o Monte Carlo podem apresentar problemas, pois estão sujeitos a erros de modelo, aproximações algorítmicas na geração dos números aleatórios, etc. Sendo assim, o resultado é extremamente dependente da qualidade dos números aleatórios utilizados [3].

Como o processo de amostragem nesta simulação não tem memória, a distribuição dos pontos de amostragem não é uniforme e podem ocorrer aglomerados de amostragem. A figura 5 mostra um exemplo com duas variáveis aleatórias, X1 e X2, onde foram geradas 15 amostras. É possível obter aglomerados de dois ou mais dos pontos de amostragem que ocorrem próximos uns dos outros.

Figura 5. Gráfico de X1 e X2 para o método Monte Carlo [2].

O método pode ser usado como forma de se obter experiência e confiança no uso de outros métodos mais eficientes, uma vez que pode fornecer o intervalo em que a resposta final está contida e o formato aproximado da curva da FDA. A probabilidade de falha é obtida efetuando um número p de experimentos e relacionando-o com o número de amostras que falham p0 .

w0 � xyx �12�

• LHS

A diferença entre o método da amostragem por hipercubo latino (Latin Hypercube

Sampling – LHS) e o Monte Carlo é a técnica de amostragem, o que o torna mais avançado e eficiente. O LHS tem uma amostragem de "memória", o que significa que evita repetir as amostras já avaliadas antes. Geralmente, esse método requer 20% a 40% menos loops de simulações do que o Monte Carlo para fornecer os mesmos resultados com a mesma


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precisão. No entanto, esse número é largamente dependente do problema. A figura 6 exemplifica o método, e mostra a distribuição regular dos pontos [2].

Figura 6. Gráfico de X1 e X2 para o método LHS [2].

• FORM e SORM

Esses dois métodos são conhecidos como métodos de transformação por serem baseados em uma transformação dada pela equação de Hassofer e Lind. As diferenças entre eles são descritas a seguir:

No método de confiabilidade de primeira ordem (First Order Reliability Method – FORM), é utilizada uma função linear para aproximar a equação do estado de limite e toda a informação estatística a respeito das variáveis aleatórias do problema, o que abrange distribuições marginais não gaussianas assim como os coeficientes de correlação entre pares de variáveis.

No método de confiabilidade de segunda ordem (Second Order Reliability Method – SORM), é empregada a mesma informação estatística para a construção da função conjunta de densidades do método anterior, mas a equação de estado de limite último é aproximada por uma equação de segundo grau [3].

• MV, AMV e AMV+

Os métodos de valor médio podem fornecer respostas rápidas, análises de confiabilidade com resultados razoáveis para muitas aplicações práticas e são particularmente úteis para análises computacionalmente exigentes. O método do valor médio (Mean Value – MV) baseia-se nas derivadas da função de desempenho em torno da média das entradas. O método do valor médio avançado (Advanced Mean Value – AMV) constrói uma série de Taylor de primeira ordem, aproximando a função de desempenho em torno da média das entradas e utiliza esta aproximação para estimar o ponto com maior probabilidade de falha (Most Probable Failure Point – MPP). A probabilidade de falha é, então, baseada em uma aproximação do estado limite de primeira ordem. O método do valor médio avançado com iterações (Advanced Mean Value with Interactions – AMV+) é


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bastante semelhante ao anterior, mas são utilizadas iterações adicionais para encontrar o MPP, a fim de obter um resultado mais preciso [11].

4. Modelo sintético de reservatório com uma falha

O modelo de reservatório estudado neste trabalho é um modelo sintético, bidimensional e com uma falha normal, como mostrado na figura 7. Assim como o modelo de referência utilizado por Nacht et al [8] e Pereira et al [10], nesse trabalho o modelo de referência possui ângulo de falha �=45°, com um reservatório de espessura ��=100m, a uma profundidade de soterramento de &=1200m. Os valores das propriedades das rochas são mostrados na tabela 1, em que X representa o módulo de elasticidade de Young, z é o coeficiente de Poisson e é a coesão. Para a falha são adotados valores de coesão =0.5MPa e ângulo de atrito {=20°.

Figura 7. Modelo sintético de reservatório com uma falha (�=45°, &=1200m e ��=100m).

Camada X (GPa) z (MPa) Capeadora superior 17,0 0,30 1,5

Reservatório 15,0 0,25 2,0 Capeadora inferior 17,0 0,30 1,5

Tabela 1. Valores das propriedades das rochas do modelo.

O estado inicial de tensões pode ser obtido da seguinte forma:

�′� � $′& ' �� ′� � () �13�

onde $′ é o peso específico efetivo da rocha, adotado como $′=12,5 kN/m³, e () é o coeficiente de empuxo no repouso, adotado como ()=0,5 para o respectivo modelo de referência. A distribuição inicial de pressão no reservatório é considerada constante e hidrostática.

5. Estudo paramétrico

No trabalho de Nacht et al [8], a análise paramétrica é realizada modificando-se os valores de profundidade (400m, 1200m e 2000m), espessura do reservatório (20m, 100m e 180m) e inclinação da falha geológica (30º, 45º e 60º), em um modelo sintético de


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reservatório com uma falha. Neste trabalho, são acrescidos à análise paramétrica, os ângulos de 15º, 75º e 90º. Os resultados são mostrados na tabela 2. A sigla NO (Não Ocorre) é usada quando o fenômeno de reativação ou abertura não ocorre.

Caso � (°) & (m) �� (m) }� (kPa)

Analítico Elementos Finitos Reativação Reativação Abertura

1

15

400 20

4489,10 NO 2500

2 100 2700 2500 3 180 2700 2500 4

1200 20

10719,81 7100 7300

5 100 7000 7300 6 180 6900 7300 7

2000 20

16950,53 11200 12100

8 100 11200 12500 9 180 10900 12300

10

30

400 20

2774,51 2400 2400

11 100 2400 2400 12 180 2300 2400 13

1200 20

5576,04 5100 7000

14 100 5000 7100 15 180 4800 6900 16

2000 20

8377,58 7600 11700

17 100 7400 11400 18 180 7200 10900 19

45

400 20

1689,39 1900 2300

20 100 1800 2300 21 180 1700 2200 22

1200 20

2320,70 2600 6100

23 100 2600 6200 24 180 2500 5800 25

2000 20

2952,01 3300 9200

26 100 3200 9200 27 180 3100 10300 28

60

400 20

1524,51 1800 2100

29 100 1700 2100 30 180 1600 2000 31

1200 20

1826,04 2100 6000

32 100 2200 5100 33 180 2100 5100 34

2000 20

2127,58 2400 7600

35 100 2500 8800 36 180 2400 8500


12

37

75

400 20

2324,03 NO 2000

38 100 1900 1900 39 180 1900 1900 40

1200 20

4224,62 4200 5800

41 100 4200 5700 42 180 4100 5700 43

2000 20

6125,21 6100 9500

44 100 6100 9400 45 180 5900 - 46

90

400 20

3873,74 NO 1900

47 100 NO 1900 48 180 NO 1800 49

1200 20

8873,74 NO 5700

50 100 NO 5600 51 180 NO 5500 52

2000 20

13873,74 NO 9400

53 100 NO 9200 54 180 NO -

Tabela 2. Resultados do incremento de poropressão para abordagem analítica e numérica.

5.1. Análise dos resultados paramétricos

Os gráficos da figura 8 expressam visualmente os resultados da análise paramétrica para reativação pelos métodos analítico e numérico retirados da tabela 2.

Figura 8. Resultados da poropressão de reativação obtidos através dos métodos analítico simplificado e numérico.

101520253035404550556065707580859095

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Âng

ulo

de f

alha

θ(°

)

∆p (MPa)

Resultados da análise paramétrica para reativação


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Verifica-se que para o ângulo de 60º, em relação aos demais ângulos, mudanças nos parâmetros estudados pouco influenciam no incremento de poropressão. Já para ângulos menores, como o de 15º, essa influência é maior, já que as respostas das abordagens analíticas e numéricas divergem mais do que para os demais ângulos.

Observa-se ainda que a espessura do reservatório, considerada na análise numérica tem pouca influência na resposta final, visto que os símbolos que representam as diferentes espessuras avaliadas estão muito próximos. Além disso, nota-se que a variação de incremento de poropressão é proporcional ao aumento da profundidade de soterramento do reservatório.

Com o propósito de melhor compreender o porquê de grandes divergências entre os resultados analíticos e numéricos das análises de reativação para o ângulo de 15º, são feitos os diagramas de Mohr-Coulomb dos estados de tensão inicial e final e suas respectivas trajetórias para três casos estudados na tabela 2.

Figura 9. Diagrama de Mohr-Coulomb para �=45°, &=1200 m e ��=100 m (Reativação).

A figura 9 refere-se ao caso 23 da tabela 2 (�=45°, &=1200 m e ��=100 m), para as análises numérica e analítica de reativação. Para essa situação, a diferença entre as duas análises é de aproximadamente 10%, relação que pode ser considerada pequena se comparada com as análises feitas para � � 15°. Nota-se que o ponto do círculo que toca a envoltória é perpendicular à direção horizontal (2�=90°), e por isso o círculo caminha pouco para a esquerda e não reduz muito seu raio, o que faz os erros não serem tão elevados.

τ (kPa)

σ (kPa)


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A figura 10 refere-se ao caso 41 da tabela 2 (�=75°, &=1200 m e ��=100 m), para essa situação, a diferença entre as duas análises é menor que 1%. Apesar do círculo caminhar mais para a esquerda e reduzir mais seu raio, os erros não são tão elevados devido à posição do ponto do círculo que toca a envoltória (2�=150°), situação que favorece a redução dos erros.


τ (kPa)

σ (kPa)

τ (kPa)

σ (kPa)


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A figura 11 refere-se ao caso 3 da tabela 2 (�=15°, &=400 m e ��=180 m), assim como no caso 41, o círculo caminha mais para a esquerda e reduz mais seu raio, porém os erros são mais elevados (~65%) devido a posição do ponto do círculo que toca a envoltória (2�=30°), situação que prejudica o uso do método analítico.

6. Estudo probabilístico

A análise probabilística é feita com base no trabalho de Pereira et al. [10], que utiliza o mesmo modelo sintético de reservatório com uma falha de Nacht et al. [8] (�=45° e H=1200m) e os métodos analítico e numérico para a análise geomecânica. Neste trabalho utiliza-se o software NESSUS®, onde o primeiro passo é entrar com a função de avaliação que pode ser declarada usando uma função implícita ou um programa externo. Os parâmetros geomecânicos que fazem parte dos métodos de solução são escolhidos como VAs. Uma vez definidas as VAs, elas deverão ser caracterizadas através do tipo de função de distribuição de probabilidade (FDP) e seus respectivos parâmetros. No trabalho de Pereira et. al. [10], é definido um intervalo de valores possíveis de cada VA, tabela 3, e as mesmas recebem os parâmetros ajustados para uma distribuição lognormal com probabilidade de ocorrência do mínimo de 0,05 (5%) e probabilidade de ocorrência do máximo de 0,95 (95%). No trabalho são testados os diversos métodos disponíveis no programa NESSUS®, concluindo que o método de análise probabilística mais adequado considerando, entre outros fatores, o tipo de resposta que se deseja obter dado um nível de probabilidade, um nível de desempenho, curva de distribuição de probabilidade completa e análise de sensibilidade é o método AMV+ (Advanced Mean Value with Iterations) com diferença central, passos de diferenças finitas em torno do desvio padrão de ± 0,1 σ.

VA Determinístico Mínimo Máximo

(kPa) 500 0 500 � (°) 20 20 40

$' (kN/m³) 22,5 12,5 19 () 0,5 0,47 0,65

Tabela 3. Valores de entrada no software Maple.

Neste estudo, as VAs também são ajustadas para outros tipos de FDP existentes no programa NESSUS®, são elas: Gumbel, Normal e Weibull. Esse ajuste é feito no Maple, utilizando a biblioteca “Statistics”. Inicialmente, são feitos quatro testes para cada variável, variando-se os passos de diferenças finitas entre ± 0,01 σ e ± 0,2 σ. Com isso, testa-se a influência da alteração do valor do passo de diferenças finitas nos resultados e na convergência das análises. Os resultados são mostrados nas tabelas 3, 4, 5 e 6.

p ± 0,01 σ ± 0,05 σ ± 0.1 σ ± 0.2 σ

Z N°

Iter. Erro (%) Z

N° Iter.

Erro (%) Z

N° Iter.

Erro (%) Z

N° Iter.

Erro (%)

0,01 0,505 3 - 0,505 2 - 0,502 N. C. 0,657 0,492 N. C. 2,672


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0,04 2,322 2 - 2,322 2 - 2,322 2 - 2,312 N. C. 0,400

0,05 2,726 2 - 2,726 2 - 2,726 2 - 2,718 N. C. 0,316

0,1 3,791 2 - 3,790 2 - 3,789 2 - 3,784 N. C. 0,180

0,2 4,996 1 - 4,996 1 - 4,996 1 - 4,996 1 -

0,3 5,822 1 - 5,822 1 - 5,822 1 - 5,822 1 -

0,4 6,507 1 - 6,507 1 - 6,506 1 - 6,504 1 -

0,5 7,136 0 - 7,136 0 - 7,136 0 - 7,136 0 -

0,6 7,757 0 - 7,757 0 - 7,757 0 - 7,757 0 -

0,7 8,418 1 - 8,418 1 - 8,418 1 - 8,416 1 -

0,8 9,191 1 - 9,191 1 - 9,191 1 - 9,191 1 -

0,9 10,276 2 - 10,275 2 - 10,275 2 - 10,274 2 -

0,95 11,185 2 - 11,185 2 - 11,185 2 - 11,185 2 -

0,99 12,963 4 - 12,963 4 - 12,963 4 - 12,963 4 -

Tabela 4. Influência da variação do σ para a distribuição Lognormal.

p ± 0,01 σ ± 0,05 σ ± 0,1 σ ± 0,2 σ

Z N°

Iter. Erro (%) Z

N° Iter.

Erro (%) Z

N° Iter.

Erro (%) Z

N° Iter.

Erro (%)

0,01 0,472 2 - 0,471 N. C. 0,178 0,469 N. C. 0,706 0,459 N. C. 2,832

0,05 2,180 2 - 2,180 2 - 2,177 N. C. 0,107 2,170 N. C. 0,429

0,06 2,321 2 - 2,321 2 - 2,321 2 - 2,312 N. C. 0,391

0,1 3,056 2 - 3,056 2 - 3,055 2 - 3,049 N. C. 0,252

0,2 4,101 1 - 4,101 1 - 4,101 1 - 4,101 1 -

0,3 4,849 1 - 4,849 1 - 4,849 1 - 4,849 1 -

0,4 5,489 1 - 5,488 1 - 5,488 1 - 5,489 1 -

0,5 6,091 1 - 6,090 1 - 6,091 0 - 6,091 0 -

0,6 6,700 0 - 6,700 0 - 6,700 0 - 6,700 0 -

0,7 7,363 1 - 7,362 1 - 7,362 1 - 7,360 1 -

0,8 8,159 1 - 8,159 1 - 8,159 1 - 8,159 1 -

0,9 9,321 2 - 9,321 2 - 9,321 2 - 9,322 2 -

0,95 10,349 3 - 10,349 3 - 10,349 3 - 10,349 3 -

0,99 12,759 N.C. 3,822 12,758 N.C. 3,821 12,758 N.C. 3,823 12,758 N.C. 3,831

Tabela 5. Influência da variação do σ para a distribuição Gumbel.

p ± 0,01 σ ± 0,05 σ ± 0,1 σ ± 0,2 σ

Z N°

Iter. Erro (%) Z

N° Iter.

Erro (%) Z

N° Iter.

Erro (%) Z

N° Iter.

Erro (%)

0,01 -0,081 3 - -0,082 N. C. 1,299 -0,086 N. C. 5,248 -0,098 N. C. 21,105

0,03 2,321 2 - 2,321 2 - 2,321 2 - 2,311 N. C. 0,441


17

0,05 3,194 2 - 3,194 2 - 3,194 2 - 3,186 N. C. 0,261

0,1 4,496 2 - 4,496 2 - 4,495 2 - 4,490 N. C. 0,135

0,2 5,833 1 - 5,833 1 - 5,833 1 - 5,833 1 -

0,3 6,689 1 - 6,689 1 - 6,689 1 - 6,689 1 -

0,4 7,375 1 - 7,375 1 - 7,374 1 - 7,376 0 -

0,5 7,990 0 - 7,990 0 - 7,990 0 - 7,990 0 -

0,6 8,586 1 - 8,586 1 - 8,586 1 - 8,585 0 -

0,7 9,211 1 - 9,211 1 - 9,211 1 - 9,209 1 -

0,8 9,931 1 - 9,931 1 - 9,931 1 - 9,931 1 -

0,9 10,920 2 - 10,920 2 - 10,920 2 - 10,918 1 -

0,95 11,736 2 - 11,736 2 - 11,736 2 - 11,735 2 -

0,99 13,272 3 - 13,272 3 - 13,272 3 - 13,267 2 -

Tabela 6. Influência da variação do σ para a distribuição Normal.

p ± 0,01 σ ± 0,05 σ ± 0,1 σ ± 0,2 σ

Z N°

Iter. Erro (%) Z

N° Iter.

Erro (%) Z

N° Iter.

Erro (%) Z

N° Iter.

Erro (%)

0,01 -0,061 3 - -0,062 N. C. 1,989 -0,065 N. C. 7,791 -0,079 N. C. 31,225

0,03 2,321 2 - 2,321 2 - 2,322 2 - 2,310 N. C. 0,502

0,05 3,926 2 - 3,926 2 - 3,926 2 - 3,918 N. C. 0,205

0,1 5,415 2 - 5,415 2 - 5,414 2 - 5,415 2 -

0,2 6,867 1 - 6,866 1 - 6,867 1 - 6,867 1 -

0,3 7,758 1 - 7,758 1 - 7,757 1 - 7,755 1 -

0,4 8,451 0 - 8,451 0 - 8,451 0 - 8,451 0 -

0,5 9,056 0 - 9,056 0 - 9,056 0 - 9,056 0 -

0,6 9,629 0 - 9,629 0 - 9,629 0 - 9,629 0 -

0,7 10,215 1 - 10,215 1 - 10,215 1 - 10,214 1 -

0,8 10,867 1 - 10,867 1 - 10,867 1 - 10,867 1 -

0,9 11,722 1 - 11,722 1 - 11,722 1 - 11,722 1 -

0,95 12,389 1 - 12,389 1 - 12,389 1 - 12,389 1 -

0,99 13,565 2 - 13,565 2 - 13,565 2 - 13,564 2 -

Tabela 7. Influência da variação do σ para a distribuição Weibull.

6.1. Análise dos resultados probabilísticos

A partir desses testes, chega-se à conclusão de que os valores de z (poropressão) não sofrem mudanças significativas com alteração do passo de diferenças finitas. Nota-se também que para os maiores valores de ± σ, em todas as distribuições, há um aumento nas análises que não convergem. No entanto, apesar de não atingir a convergência, os valores de z para o mesmo nível de probabilidade são bastante próximos entre si. Comparando as


18

planilhas anteriores, nota-se ainda que o valor de ± σ que menos contém análises não convergidas é ± 0,05 σ. Toma-se esse valor como referência para fazer os testes com probabilidade de ocorrência do mínimo = 0,01 (1%) e probabilidade de ocorrência do máximo = 0,99 (99%), tabela 8, e também para fazer os gráficos da função de distribuição acumulada (FDA), figura 12.

Distribuição Lognormal Distribuição Gumbel Distribuição Normal Distribuição Weibull

p ± 0,05 σ

p ± 0,05 σ

p ± 0,05 σ

p ± 0,05 σ

Z N° Iter. Z N° Iter. Z N° Iter. Z N° Iter.

0,01 2,726 2 0,01 1,894 2 0,01 3,171 2 0,01 4,459 2

0,05 4,123 2 0,05 2,864 2 0,05 4,858 2 0,05 6,567 1

0,1 4,824 1 0,1 3,397 1 0,1 5,631 1 0,1 7,436 1

0,2 5,640 1 0,2 4,059 1 0,2 6,488 1 0,2 8,337 0

0,3 6,212 1 0,3 4,550 1 0,3 7,067 1 0,3 8,908 0

0,4 6,692 1 0,4 4,979 1 0,4 7,543 0 0,4 9,366 0

0,5 7,136 0 0,5 5,390 0 0,5 7,975 0 0,5 9,771 0

0,6 7,576 0 0,6 5,811 0 0,6 8,399 0 0,6 10,155 0

0,7 8,044 1 0,7 6,273 1 0,7 8,845 1 0,7 10,546 0

0,8 8,590 1 0,8 6,831 1 0,8 9,360 1 0,8 10,979 0

0,9 9,348 1 0,9 7,637 1 0,9 10,064 1 0,9 11,540 0

0,95 9,981 2 0,95 8,343 2 0,95 10,641 1 0,95 11,972 0

0,99 11,184 2 0,99 9,783 5 0,99 11,726 2 0,99 12,768 1

Tabela 8. Resultados dos testes com ��í = 0,01 e ��áR = 0,99.

É possível constatar através da comparação entre as colunas da tabela 8, que os valores de poropressão resultantes para o mesmo nível de probabilidade variam bastante dependendo da distribuição escolhida. Esses valores são ilustrados graficamente através das curvas de função de distribuição acumulada da figura 12.

Observando-se as curvas (figura 12) dos resultados dos testes com diferentes valores de probabilidade para máximo e mínimo nota-se grandes diferenças nos resultados para as mesmas distribuições, chegando a apresentar na distribuição Weibull, uma diferença de 2,0 MPa para a probabilidade de 1%. Conclui-se então, que os valores de poropressão resultantes, para o mesmo nível de probabilidade, variam bastante dependendo da distribuição escolhida, evidenciando a importância de uma análise estatística, onde a partir de histogramas são feitos os ajustes das funções de distribuição de probabilidade.


19

Figura 12. Gráficos da FDA para ��í =0,01 e ��áR=0,99 e para ��í =0,05 e ��áR=0,95.

7. Conclusões finais e sugestões

A metodologia para a análise probabilística em reservatórios com falhas geológicas é um assunto em desenvolvimento, uma vez que cada possível problema envolvido pode se tornar uma função de avaliação dentro do contexto da análise de risco.

Este trabalho aborda dois métodos utilizados na literatura para cálculo da reativação de falhas geológicas em reservatórios, um analítco simplificado e outro numérico em elementos finitos. Além disso, é feita uma revisão bibliográfica dos principais conceitos da análise probabilística, tais como: variáveis aleatórias, funções de distribuição de probabilidade e métodos de análise probabilística.

A partir de um modelo sintético de reservatório com uma falha geológica é continuado o estudo paramétrico realizado por Nacht et al. [8], inserindo novas inclinações ao mesmo, mantendo-se os valores de profundidade e de espessura do reservatório usados anteriormente. Percebe-se que os resultados da abordagem analítica para os valores pequenos de ângulo de falha são os que mais divergem da análise numérica.

Outra questão relevante abordada no trabalho, é o estudo com o intuito de evidenciar a importância do tipo de função de distribuição de probabilidade das variáveis na resposta final do problema, aplicando a metodologia probabilística usada no trabalho de Pereira et al. [10]. Observa-se que o tipo de distribuição aplicada tem grande influência na curva de distribuição de probabilidade acumulada da resposta, mostrando claramente que a análise estatística, onde a partir de histogramas são feitos os ajustes das funções de distribuição de probabilidade, é indispensável para esse tipo de análise.


20

Para dar continuidade à investigação probabilística em reservatórios com falha geológica, recomenda-se:

• Análise numérica dos demais ângulos estudados neste trabalho;

• Estudo de sensibilidade das variáveis aleatórias envolvidas;

• Implementação de outras formas de ajuste das variáveis aleatórias, no caso de falta de dados estatísticos;

• Aplicação de outras funções de avaliação.

8. Referências

1 ANG, A.H-S e TANG, W. H., Probability concepts engineering: emphasis on applications to environmental engineering, 2ª Edição, 2007.

2 ANSYS Release 11.0, Documentation, 2007.

3 BECK, A.T., Curso de Confiabilidade Estrutural. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. São Carlos, 2008.

4 COSTA, A.M. Uma aplicação de métodos computacionais e princípios de mecânica das rochas no projeto e análise de escavações destinadas a mineração subterrânea. Tese de doutorado. UFRJ, 1984.

5 FELIPPA, C. Introduction to Finite Element Methods (ASEN 5007) - Fall 2011. Department of Aerospace Engineering Sciences. University of Colorado at Boulder. http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM, acessado em 23 de maio de 2012.

6 GOODMAN, R.E. et al. A model for the mechanics of jointed rocks. ASCE Journal of Soil Mechanics Found Div., 94:637–659, 1968.

7 HOEK, E. Practical Rock Engineering, Factor of safety and probability of failure, 2007.

8 NACHT, P.K. et al., Investigation of Geological Fault Reactivation and Opening, Mecánica Computacional. Argentina, 2010.

9 PALIGA, C.M., Análise probabilística de vigas de concreto armado recuperadas à flexão através do método de Monte Carlo utilizando um modelo de Elementos Finitos. 2008. Tese de doutorado em engenharia civil. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil – PPGEC. UFRGS. Porto Alegre, Brasil.

10 PEREIRA, F. L. G. Et al., Probabilistic analysis of a faulted hydrocarbon reservoir during CO2 injection. ARMA, Chicago, USA, 2012.

11 RIHA, D. et. al., NESSUS Users' Manual, 2010.


21

12 ROCHA, L.A.S.e AZEVEDO, C.T., Projeto de Poços de Petróleo, 2009.

13 WIPRUT, D. e ZOBACK, M.D., Fault reactivation and fluid flow along a previously dormant normal fault in the northern North Sea. Geology, 2000.

14 WHITMAN. R. V. Evaluating calculated risk in geotechnical engineering.1984. J. Geotech. Engng, ASCE 110 (2).

15 ZOBACK, M. D., Reservoir Geomechanics, Cambridge University Press, 2007.

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