Análise por Variáveis de Estado DICA Para informações adicionais, consulte Capítulo 5 do...
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Análise por Variáveis de Análise por Variáveis de EstadoEstado
DICA Para informações adicionais, consulte
Capítulo 5 do Benjamin Kuo
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1.1. Introdução: Introdução: Palavras chave e tópicosPalavras chave e tópicos
•Variáveis de estado
•Diagrama de estado
•Matriz de transição de estado
•Equação de transição de estado
• Equação característica
•Autovalor
•Auto vetor
•Transformação de Similaridade
•Decomposição
•Controlabilidade
•Observabilidade
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Análise por Variáveis de Análise por Variáveis de Estado Estado Objetivos deste Objetivos deste capítulo:capítulo:
•
•Apresentar os métodos básicos de variáveis de estado, e de equações de estado.
• Transformações de similaridade serão apresentadas, para facilitar o projeto de sistemas de controle.
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Análise por Variáveis de Análise por Variáveis de Estado Estado Objetivo deste Objetivo deste capítulo, (cont.)capítulo, (cont.)
•Será estabelecida a relação entre a abordagem convencional de funções de transferência e de variáveis de estado.
•Finalmente será definido os conceitos de observabilidade e controlabilidade
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Representação matricial e ou 2. Representação matricial e ou vetorial de equações de estado vetorial de equações de estado e de saídae de saída
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Representação matricial e ou 2. Representação matricial e ou vetorial de equações de estadovetorial de equações de estado
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado2. Matriz de Transição de Estado
• Matriz de transição de estado é definida como sendo a matriz que satisfaz:
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado2. Matriz de Transição de Estado
• Matriz de transição de estado é definida como sendo a matriz que satisfaz:
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• Por exemplo :
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado 2. Matriz de Transição de Estado (cont)(cont)
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• Se x(o) é o estado inicial pata t=0 então
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• Que é a solução para a equação de estado diferencial linear homogênea pata t>=0
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado 2. Matriz de Transição de Estado (cont)(cont)
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ou
sAXoxssX
• Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados da equação de estado tem-se
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado 2. Matriz de Transição de Estado (cont)(cont)
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•Ou ainda
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado 2. Matriz de Transição de Estado (cont)(cont)
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•Um método alternativo de se resolver a equação de estado homogênea é ter (supor) como solução:
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado 2. Matriz de Transição de Estado (cont)(cont)
Ate•É fácil de supor que
é solução da equação de estado homogênea, pois
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado 2. Matriz de Transição de Estado (cont)(cont)
• portanto
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado33. Significância da Matriz de . Significância da Matriz de Transição de EstadoTransição de Estado
• A Matriz de transição de estado representa a resposta livre do sistema .
•Ela governa a resposta do sistema quando excitado pela condição inicial somente
• E ainda, a matriz de transição de estado (t) define a transição dos estados da condição inicial t=0 até t, quando as entradas são zero.
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado44. Propriedades da Matriz de . Propriedades da Matriz de Transição de EstadoTransição de Estado
• 1. (0) = I ( matriz identidade )
• 2. (t) = (-t)
• 3. (t2- t1) (t1- t0) = (t2- t0)
• 4. [(t)]k= (kt)
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado55. Equação de Transição de Estado. Equação de Transição de Estado
• A equação de transição de estado é definida como sendo a solução da equação de estado homogênea
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado55. Equação de Transição de Estado, . Equação de Transição de Estado, cont.cont.
•No domínio de Laplace
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•Ou no domínio do tempo
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado55. Equação de Transição de Estado, . Equação de Transição de Estado, cont.cont.
•No domínio de Laplace
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•Ou no domínio do tempo
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ou
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado55. Equação de Transição de Estado, . Equação de Transição de Estado, cont.cont.
•Se no entanto a condição inicial for t0, então
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Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado55. Equação de Transição de Estado, . Equação de Transição de Estado, cont.cont.
•A equação de saída será em função da condição inicial e do vetor de entrada, substituindo-se x(t) na equação de saída
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