Analise Sis Lineares4

EN 2706- Anlise de Sistemas Dinmicos Lineares

Prof. Marat Rafikov Centro de Engenharia, Modelagem e

Cincias Sociais Aplicadas (CECS) E-mail: [email protected]

EN2706 - Anlise de Sistemas Dinmicos Lineares

Recomendao: Instrumentao e Controle

Ementa:

1. Apresentao de sistemas dinmicos lineares multivariveis.

2. Descrio por equaes de estado.

3. Extrao dos autovalores e autovetores.

4. Estudo de estabilidade local e global.

5. Critrios de estabilidade de Lyapunov.

6. Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares.

7. Matriz de transio de estados.

8. Observabilidade.

9. Controlabilidade.

Linearizao de sistemas dinmicos no-lineares


Exemplo. O pndulo.


A equao:

Introduzindo variveis de estado

temos

onde


Os pontos de equilbrio podem ser encontrados do

sistema:

Ento, os pontos crticos so:

Intuitivamente achamos que o ponto x = 0 y = 0

estvel e os outros so instveis.


Para investigar a estabilidade local temos que usar o sistema

linearizado.


Sistema linearizado

Consideraremos um sistema autnomo no-linear:

(1)

O nosso interesse examinar o comportamento das trajetrias do

sistema (1) na vizinhana do ponto crtico x* = 0.

Podemos apresentar o sistema (1) na seguinte forma:

(2)

supondo que x* = 0 ponto crtico isolado do sistema (2).


Admitiremos que e que x* = 0 ponto crtico

isolado do sistema linear

(3)

Suponhamos que

(4)

Um sistema (2) com condio (4) chama-se sistema

quase-linear.

O sistema (3) chama-se sistema linearizado.


Teorema 1. Sejam os autovalores do sistema linearizado (3).

Ento o sistema quase-linear (2) assintoticamente estvel se

todas as partes reais de autovalores so negativas, e o sistema

quase-linear (2) instvel se pelo menos um autovalor tem a

parte real negativa.

Consideraremos a interpretao escalar para caso n = 2:

e .

Ento, a condio (4) ser satisfeita se e somente se

, quando .


Vamos escrever agora o sistema (1) em forma escalar:

(5)

O sistema (5) quase-linear na vizinhana de um ponto

crtico sempre que as funes F e G tenham

derivadas parciais contnuas at a ordem dois.

Usando a frmula de Taylor, teremos:


Ento (5) se reduz a

Ou em forma vetorial

onde


Exempo. Encontraremos os sistemas linearizados para

pndulo.

Neste caso

As derivadas parciais so

Ento o sistema linearizado na origem tem a seguinte

forma:


O sistema linearizado no ponto

onde


Pontos espirais assintoticamente estveis do pndulo


Pontos de sela instveis do pndulo amortecido


Diagrama de fase do pndulo amortecido

Mtodo Indireto de Lyapunov

Considere o seguinte sistema no-linear:

)(xfx (6) onde x e f so vetores de dimenso n. O seguinte sistema chama-se linearizado:

xAx (7) onde A matriz jacobiana:


n

nnn

n

n

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

A

...

............

...

...

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

. (8)

Ento, denotando com i os autovalores de A (i = 1, ..., n),

podemos concluir: - A origem assintoticamente estvel se 0Re , para todo i .

- A origem instvel se 0Re , para um ou mais autovalores de A.

Estabilidade de sistemas no-lineares

Determinar os pontos crticos de cada sistema e investigar a estabilidade local destes pontos:

Estabilidade de sistemas no-lineares

Mtodo direto de Lyapunov


Definio 1. A funo V definida positiva em D se

V(0,0) = 0 e V(x,y) > 0 para todos os outros pontos de

D.

Definio 2. A funo V definida negativa em D se

V(0,0) = 0 e V(x,y) < 0 para todos os outros pontos de

D.


Definio 3. A funo V semidefinida positiva em D

se V(0,0) = 0 e V(x,y) 0 para todos os outros pontos

de D.

Definio 4. A funo V semidefinida negativa em D

se V(0,0) = 0 e V(x,y) 0 para todos os outros pontos

de D.


Consideraremos um sistema autnomo na forma

vetorial:

(1)

Teorema 1. Suponhamos que o sistema (1) tenha um

ponto crtico isolado na origem. Se existir uma funo

V que seja contnua e tenha as primeiras derivadas

parciais contnuas, e que seja definida positiva, e sua

derivada calculada nas trajetrias do sistema (1) seja

definida negativa num certo domnio D (que contenha

a origem), ento a origem um ponto crtico

assintoticamente estvel. Se for semidefinida

negativa, ento a origem um ponto crtico estvel.


Teorema 2. Suponhamos que o sistema (1) tenha um

ponto crtico isolado na origem. Seja V uma funo

contnua que e tenha as primeiras derivadas parciais

contnuas. Suponhamos que V(0,0) = 0 e que em

qualquer vizinhana da origem exista pelo menos um

ponto no qual V seja positiva (negativa). Ento se

existir um domnio D que contenha a origem e no qual

a derivada calculada nas trajetrias do sistema (1)

seja definida positiva (negativa) em D, ento a origem

um ponto crtico instvel.


Exemplo. Mostrar que o ponto crtico do sistema autnomo

assintoticamente estvel.

Escolhendo

teremos


Atribuindo b = 0, temos V positiva definida e negativa

definida.

Exerccios 1. Usando funes de Lyapunov, investigar a

estabilidade dos seguintes sistemas:


Exerccios 2. Usando funes de Lyapunov, investigar a

estabilidade dos seguintes sistemas:

Estabilidade segundo Lyapunov

Bibliografia

Boyce, W.E. & Di Prima, R.C. Equaes diferenciais elementares e

problemas de valores de contorno. Editora: John Wiley & Sons, Inc.

La Salle, J. & Lefschetz, S. Stability by Liapunovs Direct Method

with Applications. Academic Press, 1961.

Monteiro, L.H.A. Sistemas Dinmicos. 2-a Edio. So Paulo:

Editora Livraria da Fsica, 2006.

Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno. 5-a Edio. So

Paulo: Pearson & Prentice Hall, 2010.

Zill, D.G. Equaes diferenciais com aplicaes em

modelagem. So Paulo: Thomson, 2003.

Bibliografia

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