Anlise IMIEET, LEIViktor KravchenkoUniversidade do AlgarveContedo1 Limite e Continuidade de Funes Reais 51.1 Noo de funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Denio de funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Formas de representao de uma funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Sucesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Conjuntos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.5 Funes limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Limite de uma sucesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Limite de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Funes contnuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1 Denio de funo contnua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Continuidade lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.3 Operaes algbricas com funes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.4 Funo composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.5 Funo montona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.6 Funo inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Algumas funes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.1 Funo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.2 Funo logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.3 Funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Derivada e Diferencial 252.1 Acrscimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Comparao de innitamente pequenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Denio de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Denio de diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6 Derivadas da soma, do produto e da diviso de duas funes . . . . . . . 292.6.1 Derivadas das funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.2 Nmero c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.3 Derivada duma funo logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7 Derivada da funo composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7.1 Derivada da funo potncia e derivada da funo exponencial . . . . . . . 3112.7.2 Funo composta exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8 Invarincia do diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.9 Derivada da funo dada em forma paramtrica . . . . . . . . . . . . . . . . 322.10 Derivada da funo inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.10.1Derivadas das funes trigonomtricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 332.11 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.11.1Frmula de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.12 Diferencial de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Integral indenido 353.1 Primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Conceito de integral indenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.1 Denio de integral indenido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.2 Tabela de integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.3 Algumas funes que no so elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Dois mtodos principais de integrao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.1 Integrao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.2 Mtodo de substituio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Integrais elementares que contm o trinmio quadrado . . . . . . . . . . . 423.4.1 Trinmio quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.2 Integrais do tipo_:r + :ar2 + /r + cdr, a ,= 0 (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4.3 Integrais do tipo_:r + :_ar2 + /r + cdr, a ,= 0 (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.4 Integrais do tipo_ _ar2 + /r + c dr, a ,= 0 (3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5 Integrao de funes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.1 Polinmio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.2 Fraco racional prpria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5.3 Integrao de fraces simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5.4 Algoritmo de integrao de funes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.6 Integrao de funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.6.1 Integrais do tipo_1(sinr, cos r) dr, (4)2onde 1 uma funo racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.6.2 Integrais do tipo_sinarcos /r dr, _sinarsin/r dr, _cos arcos /r dr,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.7 Integrao de funes hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.7.1 Funes hiperblicaschr = coshr = cx+ cx2, shr = sinhr = cxcx2tghr = shrchr, ctghr = chrshr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.7.2 Integrao de funes hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.8 Integrao de algumas funes irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.8.1 Integrais do tipo_1_r,_ar + /cr + d_p1q1,_ar + /cr + d_p2q2, _dronde 1 uma funo racional e j1, 1, j2, 2, . . . so nmeros inteiros . . 513.8.2 Integrais do tipo_1_r,_a2r2_dronde 1 uma funo racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.8.3 Integrais do tipo_1_r,_a2 + r2_dronde 1 uma funo racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.8.4 Integrais do tipo_1_r,_r2a2_dronde 1 uma funo racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 Propriedades bsicas das funes contnuas e das funes diferenciveis 534.1 Propriedades das funes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.1 Sobre limites e continuidade das funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.2 Propriedades das funes contnuas sobre um segmento . . . . . . . . . . . 544.2 Propriedades locais das funes diferenciveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2.1 Interpretao geomtrica da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5434.2.2 Monotonia local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2.3 Extremo local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Propriedades das funes diferenciveis num intervalo . . . . . . . . . . . . 564.3.1 Maior e menor valor de uma funo sobre um segmento . . . . . . . . . . . 564.3.2 Zero da derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.3 Teorema dos acrscimos nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3.4 Monotonia num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3.5 Relao entre o crescimento de duas funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4 Regra de LHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4.1 Comparao de innitamente pequenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4.2 Comparao de innitamente grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4.3 Eliminao das indeterminaes do tipo0, , 11, 00, 0(5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5 Assmptotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.6 Frmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.7 Estudo da variao das funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.7.1 Pontos de extremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.7.2 Convexidade e concavidade das curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.7.3 Pontos de inexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.7.4 Esquema geral da construo dos grcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634Captulo 1Limite e Continuidade de FunesReais1.1 Noo de funo1.1.1 Denio de funoSejaA um conjunto.Se a cada rdum subconjunto de Acorresponder um nmero real j, ento a j chama-sefuno de r;a rchama-se argumento ou varivel independente; funo j chama-se tambm varivel dependente.O facto de j ser funo de rexpressa-se abreviadamente pelas frmulas:j = )(r); j = q(r); Domnio e imagem da funo j = )(r) :dom) = r A : )(r) est denidaim) = j R : r dom) tal que j = )(r) Se a cadar dom) corresponder um e s um nmero j, ento a funo j = )(r) chama-seunvoca. Caso contrrio a funo j = )(r) chama-se plurvoca.1.1.2 Formas de representao de uma funo1. TabelaSe A um conjunto nito:A = r1, r2,, rn ,ento a funo j = )(r) pode ser representada na forma duma tabela:r r1r2 rnj j1j2 jn52. Representao grcaGr ) = _(r, )(r)) R2: r dom)_3. Representao analticaj = r2; j = sinr; 1.1.3 SucessoSe dom) = N, ento afuno j = )(:) chama-se sucesso.Uma sucesso pode ser representada como um conjunto de nmerosj1, j2,, jn, que so os valores da funo ) nos pontos correspondentes:jn = )(:)A sucesso j1, j2,, jn,tambm se representa abreviadamente por jn ou(jn) .Exemplos:1, 4, 9,, :2,; sin 1; sin 12,, sin 1:, oujn = :2; jn = sin 1:;; _:2_; _sin 1:_; 1.1.4 Conjuntos limitadosUm conjunto AR chama-se limitado superiormente, se existe um nmero C tal quer _ C, \r AA este nmeroC chama-se majorante ou limite superior do conjunto A:Se existe um majorante do conjunto A, ento existe um conjunto innito de majorantes doconjunto A.Um nmero C0diz-se extremo superior ou supremo do conjunto A e denota-se porsupA, se possui as propriedades seguintes:1. C0 majorante de A;2. nenhum nmero menor que C0 majorante de A.Tem lugar a propriedade importante dos conjuntos de nmeros reais R (que s vezes se chamaAxioma de completude):Axioma 1 Todo o conjunto de nmeros reais A no vazio e limitado superiormente tem supremosupA.6Analogamente, um conjunto AR chama-se limitado inferiormente, se existe um nmeroC tal quer _ C, \r AEste nmeroC chama-se minorante ou limite inferior do conjunto A:Se existe um minorante do conjunto A, ento existe um conjunto innito de minorantes doconjunto A.Um nmero C0diz-se extremo inferior ou nmo do conjunto Ae denota-se por inf A,se possui as propriedades seguintes:1. C0 minorante de A;2. nenhum nmero maior que C0 minorante de A.Do axioma de completude segue que para qualquer conjunto A no vazio e limitado inferior-mente existe inf A.Exemplo:A = _1:, : = 1, 2, _= supA = 1; inf A = 01.1.5 Funes limitadasUma funo j = )(r) diz-se limitada no conjunto1, se '0 tal que [)(r)[ _ 'para todo or 1Exemplos:[sinr[ _ 1para todo or Rr2_ 4para todo or [2, +2]Uma sucesso (jn) est denida para todo o: N, portanto limitada, se '0 tal que [jn[ _ 'para todos : Nou'0tal que todos os jnpertencem ao intervalo[', ']Uma sucesso (jn) no limitada, se\ '0, :0tal que [jn0['ou\'0, :0tal quejn0no pertence ao intervalo[', ']Exemplos: 1) Limitadas:_sin 1:_,_1: + 1_, (1)n ,_ : + 12: 1_, 2) No limitadas:_:2_,_:sin :2_,_:2+ 12: 1_, Teorema 2 A soma algbrica de um nmero nito de sucesses limitadas uma sucesso limitada.71.2 Limites1.2.1 Limite de uma sucessoSucesses innitamente grandesUma sucesso (jn) diz-se innitamente grande se\'0, :0tal que [jn['para todo o::0ou\ '0, :0tal que yn, para todo o::0,no pertence ao intervalo[', ']Uma sucesso (jn) diz-se innitamente grande positiva se\'0, :0tal que jn'para todo o::0Este facto denota-selimjn = +Uma sucesso (jn) diz-se innitamente grande negativa se\'0, :0tal que jn < 'para todo o::0Este facto denota-selimjn = Exemplos: 1) Innitamente grandes:_:2_,_:2+ 12: 1_,_1 :2: + 2_, lim:2= +; lim :2+ 1: 1= +; lim 1 :2: + 2= ;2) No so innitamente grandes:_:2+ (1)n:2_,_:sin :2_, (1)n+ 10000000000Sucesses innitamente pequenasUma sucesso (cn) diz-se innitamente pequena, se\ c0, :0tal que [cn[