AnáliseCombinatória Professor DEJAHYR LOPES JUNIOR.

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AnáliseAnálise

CombinatóriaCombinatória

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Introdução: Dados dois conjuntos A = {a1, a2, . . . , am} e B = {b1, b2, b3, . . . , bn}, o total de pares distintos (ai, bj) que podemos formar com os elementos dos dois conjuntos é igual a: n .m

a1

b1 b2

b3

b n

a2

b1 b2

b3

b n

am

b1 b2

b3

b n

. . . . . . . . . . . . .

n pares n pares n pares+ +

+. . . . . . . . .

n + n + n + . . . + n (m vezes) = n.m

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Exemplos

1) Para revestir o piso e a parede de um banheiro um arquiteto pode escolher entre 6 tipos de pisos e 9 tipos de

azulejos. Se um tipo de piso pode ser usado com qualquer tipo de azulejo, de quantas maneiras o arquiteto pode

combinar o par para revestir o banheiro?

Piso = {P1, P2, P3, . . . , P6}

Azulejos = {A1, A2, A3, . . . , A9}

nP = 6

nA = 9

npares= 69 npares= 54

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2) Se você vai a um restaurante que oferece 10 pratos diferentes e 6 sucos diferentes, de quantas maneiras você

pode fazer uma refeição se você pode tomar ou não suco?

Pratos = {P1, P2, P3, . . . , P10} nP = 10

Sucos = {N1, N2, N3, . . . , N6} nS = 6

Se você optar por não tomar o suco: no de refeições = 10

Se você optar por tomar o suco: no de refeições = 106 = 60

Total = 10 + 60 = 70

ou

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Tipos de agrupamentos:

Arranjos: Importa a ordem dos elementos

Permutação:Importa a ordem dos elementos

Combinações:Não importa a ordem dos elementos

Podemos analisar a partir do PFC

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Exemplos

Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números formados por dois algarismos distintos podem ser formados?

Como não é possível repetir algarismos, temos:

6 5 = 30 númerosCom os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números formados por dois algarismos podem ser formados?

Agora pode repetir algarismos:

6 6 = 36 números

São exemplos de arranjos, o primeiro sem repetição (simples) e o segundo com repetição

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Sair Entrar

Outro exemplo: A frente de um prédio tem 10 portas de entrada. Se uma pessoa, ao entrar no prédio, nunca usa a mesma porta para sair, de quantas maneiras distintas ela

pode entrar e sair do prédio?

10 9 = 90x

Ma

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Se a pessoa entrar e sair por qualquer porta:

Ma

10 x 10 = 100

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Princípio Fundamental da Contagem

Considerando os conjuntos:

A = {a1, a2, a3, . . . , am}

B = {b1, b2, b3, . . . , bn}

C = {c1, c2, c3, . . . , cp}

.....................................

X = {x1, x2, x3, . . . , xu}

O total de agrupamentos possíveis do tipo

(ai, bj, ck, . . . , xt}

Total = mnp. . . t

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Exemplo

De quantas maneiras diferentes uma moça poderá escolher uma saia, uma blusa, um par de meias e um par de sapatos se ela tem 6 saias, 4 blusas, 2 pares de sapatos e 5 pares de

meias?

Saia Blusa Sapatos Meias

6 x 4 x2 5x = 240

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Se for possível repetir elementos no agrupamento formado, teremos:

p casas

n n n n . . . . . . . . . . . . . .

Total = nnn . . .n = np

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ExemploCalcular quantos números de 4 algarismos distintos podem

ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6.

6 5 4 3x x x = 360

4 casas

Quem está aqui!

Não pode estar aqui!

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E se fosse possível repetir algarismos?

6 6 6 6x x x = 1296

Quem está aqui!

Pode estar aqui!

4 casas

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Calcular quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6.

6 5 4 3x x x

5 casas

2x = 720

Calcular quantos números de 6 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6.

6 5 4 3x x x

6 casas

2x = 7201x

6 fatorial = 6! = 6x5x4x3x2x1

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Arranjos ou Arranjos SimplesVamos considerar o exemplo: Dado um conjunto de 5 pessoas e vamos escolher 3 delas para formarmos uma

diretoria. A primeira escolhida será presidente, a segunda vice e a terceira secretária. De quantas formas isso poderá

ser feito?

Pessoas = {a, b, c, d, e}

abcacbbacbcacabcba

abdadbbadbdadabdba

abeaebbaebeaeabeba

acdadccadcdadacdca

aceaeccaeceaeaceca

adeaeddaedeaeadeda

bcdbdccbdcdbdbcdcb

bcebeccbecebebcecb

bdebeddbedebebdedb

cdeceddcedececdedc

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abcacbbacbcacabcba

abdadbbadbdadabdba

abeaebbaebeaeabeba

acdadccadcdadacdca

aceaeccaeceaeaceca

adeaeddaedeaeadeda

bcdbdccbdcdbdbcdcb

bcebeccbecebebcecb

bdebeddbedebebdedb

cdeceddcedececdedc

abc abd Porque tem elementos diferentes (c d)

Isso é chamado de diferença na natureza dos elementos.

abc acb

Porque os elementos ocupam posições diferentes; b é vice em abc e secretária em acb e c é exatamente o contrário.

Isso é chamado de diferença na ordem dos elementos.

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Logo, para reconhecer se os agrupamentos formados são arranjos ou não, é só escrever um deles e mudar a

ordem de elementos distintos que o compõe. Se o novo agrupamento obtido for diferente do anterior, temos ARRANJOS, se o agrupamento obtido for igual ao

escrito, não temos ARRANJOS.

Arranjos são agrupamentos que diferem entre si na ordem ou na natureza de seus elementos.

No caso anterior, como tiramos de um conjunto de 5 elementos 3 deles para compor uma diretoria, temos

“Arranjos de 5 elementos tomados 3 a 3.”

A5,3

Simboliza “Arranjo”.Quantidade de elementos

do conjunto dado.

Quantidade de elementos agrupados.

= 60Total de possíveis diretorias a serem

formadas.

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Vamos considerar alguns exemplos

Quantos números pares formados por 4 algarismos distintos podem ser feitos usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7?O conjunto do qual tiraremos os elementos tem 7 termos(n = 7)

Usaremos 4 deles, ou seja teremos 4 casas para serem preenchidas.

Devemos sempre preencher a casa condicionada

Par

36 5 4

6x5x4x3 = 360

1204.5.6!3

!6

)!36(

!63,6

A

Ou pela fórmula do Arranjo:

Assim: 120.3 = 360

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Considerando que as placas de um carro tem 3 letras e 4 algarismos e que as letras são retiradas de um alfabeto que tem 26 letras distintas, determinar quantas placas existem

formadas por letras distintas e algarismos distintos.

26 25 24 10 9 8 7

26x25x24x10x9x8x7 = 78.624.000

Se for possível repetir letras ou algarismos será possível emplacar 175.760.000 veículos auto-motores.

Vocês já imaginaram quantos veículos auto-motores tem no Brasil?

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03) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 quantos números com algarismos distintos existem de 1 até 1000?

De 1 até 1000 temos números com 1 algarismo, ou 2 ou 3.

Com 1 algarismo:9

Com 2 algarismo:9 8x = 72

Com 3 algarismo:9 8x 7x = 504

Total = 9 + 72 + 504 = 585

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04. Uma pessoa esqueceu sua senha bancária de 6 dígitos, porém, lembra que os dois primeiros dígitos são letras distintas e vogais e os quatro últimos são algarismos pares. Quantas tentativas ela terá que fazer, no máximo, se for possível, para acertar a senha?

Letras Algarismos

x 4 5 5 5x x x5 x 5

Total = 12500

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Permutações SimplesPermutações são agrupamentos feitos com todos os elementos de um conjunto dado sendo que cada agrupamento difere dos demais apenas pela ordem de seus elementos.Dado um conjunto com n elementos vamos fazer todos os arranjos possíveis com n elementos.

. . . . . . . . . . . .

n (n – 1) (n – 2) 3 2 1

nP n!

n casas

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Na figura temos 4 meninos e uma menina prontos para entrarem no clubinho dos meninos. Logicamente é um dia atípico, visto que a entrada de meninas é proibida, principalmente sendo a Mônica. Mas vão entrar. Se Jeremias é um perfeito cavalheiro e só entra após a Mônica, de quantas maneiras diferentes os cinco podem entrar no clubinho.

(Revista Mônica No 186 – Editora Globo)

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Calcular a quantidade de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra BRASIL.

Brasil tem 6 letras diferentes e todas serão usadas

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 P6 = 6! = 720

De quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem fazer uma fila indiana se duas delas (A e B) pretendem ficar uma ao lado da outra?

Consideramos as duas pessoas (A e B) como uma só. Pode ser B e A.

5 4 3 2 1 = 5! = 2402 x

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05. Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando os algarismos 1, 3, 4, 5 e 8, qual é o lugar ocupado pelo número 54831?

Vamos procurar quantos são os números menores do que 548311

3

4

5 1

5 3

5 4

5 4 1

3

5 4 8 1

P4 = 4! = 24

P4 = 4! = 24

P4 = 4! = 24

P3 = 3! = 6

P3 = 3! = 6

P2 = 2! = 2

P2 = 2! = 2

P1 = 1! = 1

Total:

89

menores.

Lugar ocupado

90o

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12111098!

O preenchimento das casas, apresentado nos exemplos anteriores, é um bom método. Devemos lembrar que o seu

uso implica em obter agrupamentos diferentes quando mudamos a ordem dos elementos do agrupamento.

Observações

Como vimos: 0! = 1, 1! = 1

Lembremos como simplificar frações envolvendo fatorial

12!

8!=

8!= 11880

Desenvolvemos o maior fatorial até chegar no

menor e simplificamos.

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Vamos considerar o exemplo: Dado um conjunto de 5 pessoas, vamos escolher 3 delas para formarmos uma

comissão.

Pessoas = {a, b, c, d, e}

abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde

Combinações Simples ou Combinações

Se mudarmos os elementos de lugar nos agrupamentos, os mesmos não mudam. A comissão abc é a mesma acb.

abc = bac

A ordem não muda o agrupamento.

abc abd

Os agrupamentos são diferentes na natureza dos elementos.

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Como calcular o total de combinações simples?

Vamos considerar o exemplo de cálculo de arranjo de 5 tomados 3 a 3. abc

acb

bac

bca

cab

cba

abd

adb

bad

bda

dab

dba

abe

aeb

bae

bea

eab

eba

acd

adc

cad

cda

dac

dca

ace

aec

cae

cea

eac

eca

ade

aed

dae

dea

ead

eda

bcd

bdc

cbd

cdb

dbc

dcb

bce

bec

cbe

ceb

ebc

ecb

bde

bed

dbe

deb

ebd

edb

cde

ced

dce

dec

ecd

edc

Vamos observar que de cada coluna aproveitamos apenas uma combinação.

3

3 55

A 5.4.3C 10

6 6

6 = 3!“Número de casas” fatorial

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Combinações são agrupamentos que diferem entre si apenas na natureza de seus elementos.

Na formação das comissões tínhamos 5 elementos no conjunto e escolhemos apenas 3.

C5,3

5 x 4 x 3

3!=

5.4.3

3.2.1= 10

= 5!

(5 – 3)!.3!

Quantidade de elementos agrupados.

Quantidade de elementos do conjunto dado.

Total de possíveis comissões a serem formadas.

= 5.4.3!2!3!

= 10

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06. Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem misturas explosivas.

6 serão misturadasPerigo

Não usando!!!

68

8! 8.7.6!C 28

(8 6)!6! 2!.6!

Não usando uma e usando a outra!!!

58

8! 8.7.6.5!C 56

(8 5)!5! 2!.5!

Trocando as duas incompatíveis!!!

58

8! 8.7.6.5!C 56

(8 5)!5! 2!.5!

28 + 56 + 56 = 140

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Permutação com repetiçãoPartindo do exemplo: calcular o total de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra PIRACICABA.

A palavra tem 10 letras. Se todas fossem diferentes a quantidade de anagramas seria igual a 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800

A letra A aparece 3 vezes. Mudando o A de lugar com ele mesmo, obtém-se 6 palavras (3!) das quais aproveita-se uma. A letra I aparece 2 vezes, logo, mudando de lugar o I com ele obtém-se 2 palavras (2!) e aproveita-se apenas uma, o mesmo ocorre (2) com a letra C.

3,2,210P =

6.2.210!

3! 2! 2!=

3.628.800= 151.200

Para calcular a permutação de n elementos com repetição de um deles vezes, outro vezes, outro vezes e assim sucessivamente, até um vezes tem-se a fórmula:

, , ,...,n

n!P

! ! !... !

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De quantas maneiras diferentes podemos distribuir 9 cartas distintas de um baralho em 3 montinhos distintos?

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3

39C 3

6C 33C

3!

x x= 280

Mudando um grupo de lugar com outro não acarreta mudança na distribuição.

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Permutação CircularDe quantas maneiras diferentes n pessoas podem se colocar em uma fila circular?

Pn’ = (n – 1)!

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Arranjos Completos

Tratando-se de arranjos completos podemos ter elementos repetidos nos agrupamentos.

Exemplo: Não existe restrição para numerar uma placa de veículos auto motores. A placa é formada por 3letras de um alfabeto de 26 letras e quatro algarismos escolhidos de zero a nove (10 algarismos).

3 Letras 4 Algarismos

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000 Placas

pR(n,p) (n,p)A A' n

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Combinações Completas

Tratando-se de combinações completas podemos ter elementos repetidos nos agrupamentos.

As Combinações Completas são pouco usadas nos diversos problemas que temos visto ao longo dos nossos estudos.

R(n,p) (n,p)(n p 1)!

C C'(n 1)!p!

Ex.: De quantas maneira podemos guardar 7 bombons em uma caixa, sabendo-se que dispomos de 4 sabores diferentes?