UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANOFACULTAD DE INGENIERA AGRCOLAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA AGRCOLA

T E S I S

ANLISIS COMPARATIVO DE CAUDALES MXIMOS DEL RIO HUANCAN MEDIANTE MTODOS DETERMINISTICOS Y PROBABILSTICOS CON FINES DE DISEO HIDRULICO

PRESENTADO POR EL BACHILLER:

PLYNIO OCTAVIO CARRILLO APAZA PARA OPTAR EL TITULO PROFESIONAL DE:

INGENIERO AGRCOLA

PUNO PER2010

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

FACULTAD DE INGENIERIA AGRICOLAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA AGRICOLAT E S I S

ANALISIS COMPARATIVO DE CAUDALES MAXIMOS DEL RIO HUANCANE MEDIANTE METODOS DETERMINISTICOS Y PROBABILISTICOS CON FINES DE DISEO HIDRAULICO

Presentada a la Coordinacin de Investigacin de la Facultad de Ingeniera Agrcola; como requisito para optar el Titulo de:

INGENIERO AGRICOLA

APROBADO POR:

PRESIDENTE DEL JURADO: Ing Ricardo Bardales Vassi

PRIMER JURADO: Ing. Edilberto Huaquisto Ramos

SEGUNDO JURADO: M.Sc. Percy Arturo Ginez Choque

DIRECTOR DE TESIS: M.Sc. Oscar Mamani Luque

DEDICATORIA

A mi querida madre, fuente de inspiracin para llegar a alcanzar mis logros y que desde la eternidad me gua por el buen camino, con su sabidura.

A mi querido padre que con sus sabios consejos me gua por la vida y el apoyo incondicional que me brinda, a mis hermanos, Gloreliz y Luis, por su apoyo en todo momento.

AGRADECIMIENTO

A mi alma mater, a la Universidad Nacional del Altiplano- Puno. A la Facultad de Ingenieria Agricola.

A mi padre por su constante apoyo, por sus buenos consejos, por su sacrificio incansable, que han llevado a ser lo que soy.

A mis hermanos, Gloreliz, por su apoyo incondicional.

Al Ing. Msc. Oscar Mamani Luque, asesor de la presente tesis por su apoyo desinteresado, y haberme guiado acertadamente para llevar a cabo la culminacin de la presente tesis

A mis docentes de la Facultad de Ingeniera Agrcola, en especial al Ing Ricardo Bardales Vassi, Ing Msc Percy Arturo Ginez Choque, y al Ing Edilberto Huaquisto Ramos, y a todos aquellos docentes, amigos y compaeros que de alguna u otra manera hicieron posible la realizacin de la presente investigacin.

NDICE GENERAL

DEDICATORIA.AGRADECIMIENTO.NDICE DE CUADROS.NDICE DE GRFICOS.NDICE DE TABLAS.RESUMEN. Pg.IINTRODUCCIN11.1 GENERALIDADES.11.2 JUSTIFICACIN.21.3 ANTECEDENTES.31.4 OBJETIVOS.4IIREVISIN BIBLIOGRFICA62.1. CUENCA HIDROGRFICA.62.1.1. PARTES DE UNA CUENCA 62.1.2. CARACTERIZACIN DE CUENCAS72.2. PARMETROS METEOROLGICOS92.3. PRECIPITACIN. 102.3.1. PRECIPITACIN MXIMA PROBABLE.122.3.2. ANLISIS DE CONSISTENCIA DE LA INFORMACIN HIDROMETEOROLOGIA. 132.3.3. COMPLETACION DE DATOS HIDROLGICOS.162.4. DEFINICIN DE MXIMA AVENIDA172.4.1. ORIGEN Y FORMACIN DE UNA AVENIDA.192.4.2. COMPONENTES DEL CAUDAL 192.4.3. MTODOS DE ESTIMACIN DE AVENIDAS. 212.5. DEFINICIN DE CONCEPTOS ESTADSTICOS.262.5.1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES CONTINUAS31 a. Distribucin normal.31b. Distribucin Log normal.32c. Distribucin Gamma.32d. Distribucin Pearson tipo III. 33e. Distribucin de valor extremo. 332.5.2. ESTIMACIN DE PARMETROS DE DISTRIBUCIONESTERICAS36a. Mtodo grafico. 36b. Mtodo de mnimos cuadrados. 36c. Mtodo de momentos. 37d. Mtodo de mxima verosimilitud. 382.5.3. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE.39a. Prueba estadstica Chi cuadrado.39b. Prueba Smirnov-Kolmogorov. 402.5.4. FACTOR DE FRECUENCIA422.6. ESTRUCTURAS HIDRULICAS.43III MATERIALES Y MTODOS483.1 MATERIALES.483.1.1 Ubicacin de la zona en estudio 483.1.2 Informacin meteorolgica e hidromtrica.493.1.3 Equipos para el procesamiento e impresin.493.2 MTODOS503.2.1Obtencin de los caudales mximos mensuales.503.2.2Formacin de la serie anual503.2.3 Determinacin de los parmetros estadsticos.50a.Media aritmtica: 50b.Varianza: 51c.Coeficiente de asimetra: 523.2.4 Anlisis de consistencia de la informacin hidromtrica y Meteorolgica523.2.5 Anlisis de saltos53a. Anlisis visual de hidrograma.53b. Anlisis de doble masa.54c. Anlisis estadstico.55c.1Consistencia de la media. 55c.2Consistencia de la desviacin estndar.57d.Correccin de la informacin.58e.Bondad de la informacin corregida.583.2.6 Completacin de datos hidrometeorologicos..59a. Promedio aritmtico.59b. Regresin simple.59c. Regresin mltiple.603.2.7 Descripcin de las funciones de distribucin de frecuencias tericas.61a. Distribucin normal.61b. Distribucin Log normal 2 parmetros.62c. Distribucin Extrema tipo I.63d. Distribucin Pearson tipo III.643.2.8 Prueba de bondad de ajuste.66a. Ajuste KolmogorovSmirnov 663.2.9 Prediccin de caudales mximos mediante el factor de frecuencia de las distribuciones tericas.67a. Distribucin Normal y Log normal 2 parmetros.68b. Distribucin extrema tipo I.68c. Distribucin Pearson tipo III693.2.10 Determinacin de caudales mximos mediante el mtodo Mac Math 69a. Formacin de la serie anual.70b. Determinacin de precipitaciones mximas en 24 horas para diferentes periodos de retorno.70c. Determinacin de los niveles de diseo.71d. Determinacin de la intensidad mxima de lluvia.71e. Determinacin del coeficiente de escorrenta.72

IVRESULTADOS Y DISCUSIN.694.1 De la formacin de la serie anual.734.2 Del anlisis de consistencia de la informacin hidromtrica y metereolgica.734.2.1 Anlisis de saltos.73a. Anlisis visual de histogramas.76b. Anlisis de doble masa.864.3 De la estimacin de parmetros estadsticos.904.4 De la estimacin de caudales mximos mediante el mtodo Probabilstico. 91a. Estimacin del factor de frecuencia.91b. De la estimacin de caudales mximos empleando las distribuciones tericas estudiadas.91c. De la estimacin de parmetros de las distribuciones terica.95d. De la prueba de bondad de ajuste.954.5 De la estimacin de caudales mximos mediante el mtodo Mac Math.96a. Informacin meteorolgica.96b. De la determinacin de precipitacin mxima en 24 horas para Diferentes periodos de retorno.98c. De la intensidad mxima para diferentes periodos de retorno.98d. De la determinacin del coeficiente de escorrenta.99e. De la determinacin de los caudales mximos.100

4.6.De la calibracin de caudales estimados mediante el mtodo de Mac Math y el mtodo probabilstico 101

VCONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES1055.1 CONCLUSIONES1065.2 RECOMENDACIONES107

VIBIBLIOGRAFA108

NDICE DE CUADROS.Cuadro N:Pg.Cuadro 3-1: Ubicacin de las estaciones metereolgicas en estudio.49Cuadro 4-1: Serie histrica de caudales mximos diarios (m3/s) del rio Huancan74Cuadro 4-2: Serie Histrica de precipitacin mxima de 24 horas (mm)75Cuadro 4-3: Valores de caudales mximos del rio Huancan acumulados (m3/s)87 Cuadro 4-4: Valores de precipitacin mxima de 24 horas anuales (mm) Acumulados de 06 estaciones88 Cuadro 4-5: Parmetros estadsticos de la muestra.90Cuadro 4-6: Factor de frecuencia de las distribuciones tericas estudiadas91Cuadro 4-7: Resultados de la estimacin de caudales mximos mediante las distribuciones tericas estudiadas.94Cuadro 4-8: Resultados de la estimacin de parmetros de las distribuciones tericas.95Cuadro 4-9: Resultados de la prueba de ajuste Smirnov Kolmogorov96Cuadro 4-10: Promedio de Precipitacin Mxima en 24 Horas (mm)97Cuadro 4-11: Precipitacin mxima 24 horas (mm), para diferentes periodos de retorno98Cuadro 4-12: Intensidades mximas (mm/h), para la cuenca del rio Huancan.99Cuadro 4-13: Uso de la tierra en la cuenca del rio Huancan (km2)99Cuadro 4-14: Caudales mximos generados (m3/s) mediante el mtodo Mac Math.101Cuadro 4-15: Resultados de la calibracin de caudales estimados mediante el Mtodo Mac Math.102Cuadro 4- 16: Resultados de caudales estimados mediante Mtodos deterministicos y probabilsticos. 103

NDICE DE GRAFICOS.Grafico 4-1: Hidrograma de caudales mximos mensuales del rio Huancan.76Grafico 4-2: Hidrograma de caudales mximos anuales del rio Huancan.77Grafico 4-3: Hidrograma de precipitacin mxima de 24 horas de la estacin Huancan.78Grafico 4-4: Hidrograma de precipitacin mxima de 24 horas anuales de la estacin Huancan.78Grafico 4-5: Hidrograma de precipitacin mxima de 24 horas de la estacin Putina79Grafico 4-6: Hidrograma de precipitacin mxima de 24 horas anuales de la estacin Putina.80Grafico 4-7: Hidrograma de precipitacin mxima de 24 horas de la estaci Arapa 81Grafico 4-8: Hidrograma de precipitacin mxima de 24 horas anuales de la estacin Arapa. 81 Grafico 4-9: Hidrograma de precipitacin mxima de 24 horas de la estacin Muani82Grafico 4-10: Hidrograma de precipitacin mxima de 24 horas anuales de la estacin Muani. 83 Grafico 4-11: Hidrograma de precipitacin mxima de 24 horas de la estacin Ananea84Grafico 4-12: Hidrograma de precipitacin mxima de 24 horas anuales de la estacin Ananea84Grafico 4-13: Hidrograma de precipitacin mxima de 24 horas de la estacin Cojata.85Grafico 4-14: Hidrograma de precipitacin mxima de 24 horas anuales de la estacin Cojata.86Grafico 4-15: Diagrama de doble masa de caudales mximos del rio Huancan(m3/s)85Cuadro 4-15 b Resultados de caudales estimados mediante mtodos deterministicos y probabilsticos.85Grafico 4-16: Diagrama de doble masa de las series de precipitacin mxima de 24 horas.90Grafico 4-17: Caudales mximos (m3/s) generados con distribuciones tericas.93Grafico 4 -18: Calibracin de la estimacin de caudales mediante el mtodo Mac Math.104

NDICE DE TABLAS.Tabla 1: Periodo de retorno para diferentes tipos de estructuras.71Tabla 2: Factores de escorrenta de Mac Math.72

RESUMEN

Uno de los aspectos importantes en el estudio de Mximas Avenidas es la determinacin de su magnitud, en el presente trabajo motivo de tesis, se determina los Caudales Mximos del rio Huancan, por ser uno de los principales afluentes a la Cuenca Endorreica del Lago Titicaca, mediante modelos probabilsticos y el Mtodo Emprico Mac Math.

El Objetivo es realizar el anlisis comparativo en los Caudales Mximos del ro Huancan, determinado mtodos probabilstico y determinstico, para determinar la magnitud de la descarga de diseo para obras de Defensas Ribereas.

La metodologa empleada es la siguiente: Formar series anuales de Caudales Mximos del rio Huancan y series anuales de Precipitacin Mxima de 24 horas de las estaciones Huancan, Putina, Arapa, Muani, Ananea y Cojata. Realizar el Anlisis De Consistencia de la informacin Hidromtrica y Meteorolgica. Determinar los Caudales Mximos mediante mtodos probabilsticos empleando las distribuciones Normal, Log Normal 2 Parametros, Extrema Tipo I y Pearson Tipo III, empleando los Factores de Frecuencia de las Distribuciones y determinando los Parmetros de las Distribuciones Tericas estudiadas. Determinar los caudales mximos mediante el mtodo de Mac Math. Determinar la Intensidad mxima de lluvia en la cuenca. Determinar el rea de la cuenca. Determinar la pendiente media del curso principal. Determinar el Coeficiente de Escorrenta de Mac Math. Realizar la prueba de ajuste Kolgomorov-Smirnov para cada una de las Distribuciones Tericas. Realizar la calibracin de los caudales estimados mediante el mtodo Mac Math con los caudales estimados mediante el mtodo probabilstico.

Los resultados de la investigacin son: La serie de Caudales Mximos del rio Huancan son consistentes y homogneos, no existen saltos y al realizar el Anlisis de Doble Masa el grafico es una lnea recta. La serie de Precipitaciones Mximas de 24 horas de las estaciones Huancan, Putina, Arapa, Muani, Ananea y Cojata son consistentes. Los Caudales estimados con las Distribuciones Normal, Log normal 2 Parmetros, Extrema tipo I y Pearson tipo III, para periodos de retorno de 10, 25, 50 y 100 aos, son confiables porque se tom datos fuente caudales aforados en el rio Huancan. La prueba de ajuste Kolmogorov y Smirnov nos indica que las distribuciones tericas Normal, Log Normal 2 Parmetros, y Extrema Tipo I tienen buen ajuste, mientras que la Distribucin Pearson Tipo III, no se ajusta. Los Caudales estimados mediante el mtodo Mac Math, para los periodos de retorno de 10, 25, 50 y 100 aos son similares no hay mucha diferencia, esto debido a que los Parmetros Coeficiente de Escorrenta, rea y Pendiente, no varan, solamente la Intensidad Mxima varia con el periodo de retorno. Los Caudales estimados para diferentes periodos de retorno, mediante el mtodo Mac Math, son mayores que los caudales estimados mediante el mtodo probabilstico; en consecuencia es necesario calibrarlos. Al realizar una Correlacin Lineal, considerando como variable dependiente a los Caudales generados con el Mtodo Mac Math, y la variable independiente a la serie de Caudales generados mediante Mtodos Probabilsticos, se tiene una Ecuacin Lineal Y=15.0063+0.9525X; con un Coeficiente de Correlacin de 0.995; en consecuencia, los resultados de Caudales Mximos calibrados estimados mediante el Mtodo Mac Math, se pueden utilizar para el diseo de Obras Hidrulicas,

Entre las conclusiones del estudio se tienen: Los Caudales Mximos estimados mediante las Distribuciones Normal, Log Normal, Extrema Tipo I y Pearson Tipo III, para periodos de retorno de 10, 25, 50 y 100 aos, son confiables porque se tom como dato fuente Caudales Mximos aforados. Los Caudales Mximos estimados con modelos probabilsticos, por lo general, dan valores diferentes para igual periodos de retorno, quedando a criterio la seleccin del valor ms probable el mismo que debe tener una relacin con la importancia de la magnitud y ubicacin de la Obra Hidrulica. La serie de Caudales Mximos Anuales del rio Huancan se ajustan a las Distribuciones Tericas Normal, Log Normal 2 Parmetros, Extrema Tipo I y Pearson Tipo III, basado en la prueba de ajuste KolmogorovSmirnov; mientras que la Distribucin Pearson Tipo III, no se ajusta. Los resultados de Caudales estimados con el Mtodo de Mac Math calibrados, se pueden utilizar para el diseo de Obras Hidrulica.

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IINTRODUCCIN

1.5 GENERALIDADES.

En los estudios hidrolgicos es sumamente importante el conocimiento de las caractersticas del caudal que drena una cuenca determinada, as como conocer el valor mximo o caudal pico que se espera para un perodo de retorno dado, o el caudal mnimo para ciertas condiciones meteorolgicas presentes. Otras veces se requiere del conocimiento del rendimiento anual, mensual o medio, a largo plazo; es decir, del volumen de agua que se puede extraer de la cuenca para satisfacer algn requerimiento o demanda.

El agua proveniente de la precipitacin que excede a la capacidad de retencin superficial, fluye por diversos caminos hacia la red de drenaje y se mide y evala en algn sitio de inters del cauce de un ro como escorrenta o escurrimiento. Ese sitio constituye se suele denominar como la estacin hidromtrica de salida y es el punto ms bajo de la cuenca.

Los mbitos geogrficos en donde se desarrollan las cuencas hidrogrficas afluentes al Lago Titicaca se presentan muchas veces desastres naturales como las inundaciones principalmente, en donde perjudica a los campos de cultivo, viviendas, carreteras centros educativos, etc. Sin embargo, en cuencas con informacin hidromtrica de caudales mximos medidos, como son las cuencas de los ros Huancan, Ramis, Coata e Ilave, de alguna manera se puede prevenir estos desastres, mientras que en cuencas sin esta informacin no es posible esta prevencin.

Muchas obras hidrulicas construidas, consideraron en su diseo caudales medios de estaciones hidromtricas cercanas a la de inters; esto por falta de informacin de caudales mximos; cuando se presentan eventos extremos, en algunas de estas estructuras hidrulicas se producen fallas por sub dimensionamiento .en el diseo de la estructura; los mismos que con el tiempo se destruyen totalmente, ocasionando perdidas econmicas

Existen varios mtodos para estimar las descargas mximas en un determinado punto del cauce. Heras (1972), los clasifica en los siguientes mtodos: Directos, Empricos, Estadsticos, Hidromtricos y de Correlacin hidrolgica; sin embargo, los investigadores pierden inters en realizar estudios hidrolgicos en cuencas en donde no hay informacin meteorolgica.

1.6 JUSTIFICATION

Un estudio de mximas avenidas se realiza para conocer con cierto nivel de confianza, la mxima magnitud de la descarga en un determinado punto del cauce; sta descarga servir a los ingenieros para que puedan realizar un adecuado diseo de las estructuras hidrulicas (Presas, Bocatomas, Alcantarillas, Puentes, Defensas Ribereas, etc). La seleccin de un caudal de diseo menor a sta magnitud, traer como consecuencia el colapsa miento de la estructura; y por el contrario, la seleccin de un caudal de diseo mayor a sta magnitud, implicar un sobredimensionamiento de la misma. En consecuencia, con la seleccin de un adecuado caudal de diseo, se evitarn las fallas por defecto, y los gastos innecesarios por sobredimensionamiento.

El conocer la mxima magnitud de la descarga, tambin nos permitir tomar las precauciones necesarias en las defensas ribereas, para evitar las inundaciones a los campos de cultivo, viviendas, carreteras, etc.

En el presente trabajo, para determinar las mximas descargas, se emplean dos mtodos: a) Mtodos Deterministicos; y dentro de ella, se emplean las Funciones de Distribucin Normal, Log normal 2 parmetros, Extrema tipo I y Pearson tipo III; y b) Mtodo Emprico Mac Math.

El rio Huancan, es uno de los principales afluentes al Lago Titicaca (Zona Peruana), el mismo es de rgimen permanente, y sus mximas descargas se presentan generalmente en los meses de enero, febrero y marzo; y raramente en diciembre y abril.

1.7 ANTECEDENTES.

Para el estudio de mximas avenidas, muchos autores emplearon el mtodo probabilstico, y dentro de ste mtodo, las Funciones Tericas de Distribucin de Frecuencias Normal, Log Normal 2 Parmetros, Extrema Tipo I y Pearson Tipo III; los cuales se citan a continuacin.

La distribucin Log Normal 2 Parmetros fue estudiada por primera vez por Galton, en 1875; se caracteriza por tener un lmite inferior igual a cero y poseer un solo mximo. Entre los autores que emplearon sta distribucin para estudios de mximas avenidas se tien a Guevara (1975) emple para el ro Caete, Vivar (1985) para el ro Rimac, Sotero (1987) para el ro Chicama y Ramos (1987) para el ro Mala; todos ellos obtuvieron buenos resultados.

La Distribucin Extrema Tipo I, fue propuesta por Gumbel y es apropiado para estudios de mximas avenidas. Entre los autores que emplearon sta distribucin para determinar las mximas descargas, se cita a los siguientes: Paulet (1967) emple para el ro Chancay, Joo (1970) para todos los ros de la Costa del Per, Hashimoto (1974) para el ro Pisco, Molina (1975) para el ro Santa, Ramos (1987) para el ro Mala y Sotero (1987) para el ro Chicama; todos ellos obtuvieron buenos resultados a excepcin del ltimo autor. Entre los autores que emplearon sta distribucin para determinar las mximas avenidas de los ros afluentes al Lago Titicaca se cita a los siguientes: Chambilla (1977) emple para el ro Ilave, Canaza (1978) para el Ramis, Huanca (1982) para el ro Huancan y Condori (1984) para el ro Coata; todos ellos obtuvieron buenos resultados.

La Distribucin Pearson Tipo III fue propuesta por Karl Pearson, y tiene gran aplicacin en hidrologa para el anlisis de caudales pico. Joo (1970), emple sta distribucin para determinar las descargas mximas de los ros de la Costa del Per; Sotero (1987), emple para el ro Chicama y Ramos (1987), para el ro Mala.

Sin embargo, podemos mencionar que muchas instituciones, como PRORRIDRE, PELT, AGRORURAL, PERPEC, FONCODES, entre otros, emplean los mtodos empricos para determinar los caudales mximos, los mismos que son utilizados en el diseo de obras hidrulicas como son Alcantarillas, Puentes, Bocatomas, Defensas Ribereas, entre otras, obteniendo buenos resultados.

1.8 OBJETIVOS.

Los objetivos que se persiguen en el presente estudio, son los siguientes:

Objetivo general:

Realizar el anlisis comparativo en los caudales mximos del ro Huancan, mediante mtodos probabilstico y determinstico, para determinar la magnitud de la descarga de diseo para obras de defensas ribereas

Objetivos especficos:

1. Realizar el anlisis de consistencia de la serie histrica de caudales mximos del rio Huancan y de las series histricas de precipitacin mxima de 24 horas de las estaciones consideradas en la cuenca del rio Huancan.

2. Determinar los caudales mximos del rio Huancan mediante el Mtodo Determinstico Mac Math para un periodo de retorno de 50 aos.

3. Determinar los caudales mximos del rio Huancan mediante el Mtodo Determinstico a travs de las Distribuciones Tericas Normal, Log Normal 2 Parmetros, Extrema Tipo I y Pearson Tipo III, para un periodo de retorno de 50 aos.

IIREVISION BIBLIOGRAFICA

2.1 CUENCA HIDROGRAFICA.

APARICIO (1996) define una cuenca hidrogrfica como una zona de la superficie terrestre en donde (si fuera impermeable) la gota de lluvia que caen sobre ella tienden a ser drenadas por el sistema de corrientes hacia el mismo punto de salida.

REYES (1992), menciona que una cuenca hidrogrfica o de drenaje de un cauce est delimitado por el contorno, en cuyo interior el agua es recogida y concentrada en la entrega al dren mayor. Este concepto tambin puede referirse a un punto cualquiera del dren antes de la entrega, y es muy usado en los estudios hidrolgicos.

Segn VASQUEZ (2000), una cuenca es un territorio y un rea geogrfica (suelo, agua, clima precipitacin pluvial, escorrenta subterrnea, etc.) delimitados por la coleccin del agua que se deriva en una fuente de agua. Esta contiene determinados recursos naturales que otorgan posibilidades a la vida humana y animal. Su hilo conductor es el ciclo hidrolgico y la cultura de la poblacin que ocupa y se relaciona con la naturaleza. Ese hilo se encuentra constantemente generndose, regenerndose o degenerndose, con la intervencin del hombre y su sociedad, los cuales forman juntos un todo indivisible con la naturaleza.Los elementos ms importantes de una cuenca son: el agua, el suelo, el Clima, la vegetacin, la topografa, la flora, la fauna y el hombre.

2.1.1 PARTES DE UNA CUENCA VASQUEZ (2000), menciona que las cuencas alto andinas normalmente constan de 3 partes:

Parte alta.- Estas comprenden altitudes superiores a los 3000 msnm. Llegando en algunos casos hasta los 6000 msnm. En tales reas se concentra el mayor volumen de agua, dado que all la precipitacin pluvial es intensa y abundante. La precipitacin total anual promedio alcanza los 1000 2000 mm/ao.

Parte media.- Es la comprendida entre los 800 y 3000 msnm. Las precipitaciones promedio que caen en estas zonas varan entre los 100 1000 mm/ao.

Parte baja.- Abarcan desde el nivel del mar hasta los 800 msnm. La precipitacin promedio que cae en la zona es muy escasa siendo menor a 100 mm/ao.

2.1.2 CARACTERIZACIN DE CUENCAS

MEJIA (2006), menciona que las caractersticas fisiogrficas de la cuenca pueden ser explicadas a partir de ciertos parmetros o constantes que se obtienen del procesamiento de la informacin cartogrfica y conocimiento de la topografa de la zona de estudio. La cuenca como unidad dinmica natural es un sistema hidrolgico en el que se reflejan acciones recprocas entre parmetros y variables. Las variables pueden clasificarse en variables o acciones externas, conocidas como entradas y salidas al sistema, tales como: precipitacin, escorrenta directa, evaporacin, infiltracin, transpiracin; y variables de estado, tales como: contenido de humedad del suelo, salinidad, cobertura vegetal, entre otros. Los parmetros en cambio permanecen constantes en el tiempo y permiten explicar las caractersticas fisiomorfologicas de la cuenca.

rea.- Es la superficie de la cuenca comprendida dentro de la curva cerrada de divortium aquarum. La magnitud del rea se obtiene mediante el planimetrazo de la proyeccin del rea de la cuenca sobre un plano horizontal. Dependiendo de la ubicacin de la cuenca, su tamao influye en mayor o menor grado en el aporte de escorrenta, tanto directa como de flujo de base o flujo sostenido. El tamao relativo de estos espacios hidrolgicos define o determinan, aunque no de manera rgida, los nombres de micro cuenca, sub cuenca o cuenca,

Permetro.- Es la longitud de la lnea de divortium aquarum. Se mide mediante el curvmetro o directamente se obtiene del Software en sistemas digitalizados.

Factor de Forma.- Es la relacin entre el rea A de la cuenca y el cuadrado del mximo recorrido (L). Este parmetro mide la tendencia de la cuenca hacia las crecidas, rpidas y muy intensas a lentas y sostenidas, segn que su factor de forma tienda hacia valores extremos grandes o pequeos, respectivamente.

Coeficiente de Gravelius o ndice de Compacidad.- Parmetro adimensional que relaciona el permetro de la cuenca y el permetro de un crculo de igual rea que el de la cuenca. Este parmetro, al igual que el anterior, describe la geometra de la cuenca y est estrechamente relacionado con el tiempo de concentracin de del sistema hidrolgico. Las cuencas redondeadas tienen tiempos de concentracin cortos con gastos pico muy fuertes y recesiones rpidas, mientras que las alargadas tienen gastos pico ms atenuados y recesiones ms prolongadas.

Altitud Media.- Es el parmetro ponderado de las altitudes de la cuenca obtenidas en la carta o mapa topogrfico. En cuencas andinas este parmetro est relacionado con la magnitud de la lmina de precipitacin, variacin lineal muy importante en estudios regionales donde la informacin local es escasa.

Pendiente de Laderas o Pendiente de la Cuenca.- Es el promedio de las pendientes de la cuenca, es un parmetro muy importante que determina el tiempo de concentracin y su influencia en las mximas crecidas y en el potencial de degradacin de la cuenca, sobre todo en terrenos desprotegidos de cobertura vegetal. Existen variadas metodologas, tanto grficas como analticas, que permiten estimar la pendiente de la cuenca.

Pendiente del Cauce Principal o del Mximo Recorrido.- Es el promedio de las pendientes del cauce principal. Este parmetro se relaciona directamente con la magnitud del socavamiento o erosin en profundidad y con la capacidad de transporte de sedimentos en suspensin y de arrastre. Dependiendo de la pendiente, existirn tramos crticos de erosin y tramos crticos de sedimentacin, los primeros relacionados con las mayores pendientes y la segunda con las mnimas.

2.2. CARACTERISTICAS METEOROLOGICAS.

Segn CHOW (1994), los principales parmetros meteorolgicos que se deben considerar un estudio hidrolgico, se presentan a continuacin.

Radiacin solar. La Radiacin Solar es la ms importante fuente de energa en el planeta y puede cambiar grandes cantidades de agua lquida en vapor de agua. La cantidad potencial de radiacin que puede llegar a una superficie evaporante viene determinada por su localizacin y poca del ao. Debido a las diferencias en la posicin del planeta y a su movimiento alrededor del sol, esta cantidad potencial de radiacin es diferente para cada latitud y para las diversas estaciones del ao. La radiacin solar real que alcanza la superficie evaporante depende de la turbidez de la atmsfera y de la presencia de nubes que reflejan y absorben cantidades importantes de radiacin. Cuando se determina el efecto de la radiacin solar en la evapotranspiracin, se debe tambin considerar que no toda la energa disponible se utiliza para evaporar el agua. Parte de la energa solar se utiliza tambin para calentar la atmsfera y el suelo.

Temperatura del aire. La radiacin solar absorbida por la atmsfera y el calor emitido por la tierra levan la temperatura del aire. El calor sensible del aire circundante transfiere energa al cultivo y entonces ejerce un cierto control en la tasa de evapotranspiracin. En un da soleado y clido, la prdida de agua por evapotranspiracin ser mayor que en un da nublado y fresco.

Humedad del aire. Mientras que el aporte de energa del sol y del aire circundante es la fuerza impulsora principal para la evaporacin del agua, la diferencia entre la presin de vapor de agua en la superficie evapotranspirante y el aire circundante es el factor determinante para la remocin de vapor. reas bien regadas en regiones ridas secas y calientes, consumen grandes cantidades de agua debido a la gran disponibilidad de energa y al poder de extraccin de vapor de la atmsfera. En cambio en regiones hmedas tropicales, a pesar de que el ingreso de energa es elevado, la alta humedad del aire reducir la demanda de evapotranspiracin. En este ltimo caso, como el aire est ya cerca de saturacin, puede absorber menos agua adicional y por lo tanto la tasa de evapotranspiracin es ms baja que en regiones ridas.

Velocidad del viento. El proceso de remocin de vapor depende en alto grado del viento y de la turbulencia del aire, los cuales transfieren grandes cantidades de aire hacia la superficie evaporante. Con la evaporacin del agua, el aire sobre la superficie evaporante se satura gradualmente con vapor. Si este aire no se substituye continuamente por un aire ms seco, disminuye la intensidad de remocin de vapor de agua y la tasa de evapotranspiracin disminuye.

Presin atmosfrica. La presin atmosfrica, P, es la presin ejercida por el peso de la atmsfera terrestre. La evaporacin en altitudes elevadas ocurre en parte gracias a la baja presin atmosfrica que se expresa con la constante psicromtrica. Este efecto es, sin embargo, pequeo y en los procedimientos del clculo, el valor medio para una localidad es suficiente.

2.3 PRECIPITACION.

GUEVARA (2004) Menciona que la precipitacin es el principal vector de entrada del ciclo hidrolgico y se refiere a la cantidad total de agua que cae sobre la superficie terrestre. Se presenta en forma lquida (lluvia, niebla y roco o escarcha), o slida (nieve y granizo). Se deriva del vapor de agua atmosfrica; sus caractersticas estn sometidas a la influencia de otros factores climticos, tales como viento, temperatura y presin atmosfrica. La humedad atmosfrica es una condicin necesaria pero no suficiente para la formacin de la precipitacin. Primeramente se requiere del proceso de la condensacin y luego otro proceso que cree las gotas de agua que deben precipitar.

La condensacin se atribuye a una o ms de las siguientes causas: (1) enfriamiento dinmico o adiabtico; (2) mezcla de masas de aire de diferentes temperaturas; (3) enfriamiento por contacto; y (4) enfriamiento por radiacin. Sin embargo, la causa ms importante viene a ser el enfriamiento dinmico, la cual produce prcticamente toda la precipitacin.

La condensacin del vapor de agua en gotitas de nubes ocurre con la presencia de partculas higroscpicas muy pequeas denominadas ncleos de condensacin, constituidas por sal proveniente de los ocanos, y productos de combustin que contiene cido sulfrico y ntrico. Estas partculas poseen un dimetro menor que un micrn (). Ocasionalmente se encuentran ncleos de condensacin de hasta 5 de dimetro.

El nmero de ncleos de sal existente vara entre 10 y 1000 por cm3; mientras que las partculas de combustin dependen de la naturaleza de la regin y de las operaciones industriales existentes. Normalmente se requiere desde unos segundos para producir una partcula de agua de 10 sobre un ncleo de condensacin hasta aproximadamente un da para formar una gota de lluvia de 3 mm de dimetro.

Segn VILLON (2002) la altura de precipitacin que cae en un sitio dado, difiere de la que cae en los alrededores, aunque sea en sitios cercanos. Los pluvimetros registran la lluvia puntual, es decir, la que se produce en el punto en la que est instalada el aparato. Para muchos problemas hidrolgicos, se requiere conocer la altura de precipitacin media de una zona, la cual puede estar referida a la altura de precipitacin diaria, mensual, anual, media mensual, media anual.Altura de precipitacin diaria, es la suma de las lecturas observadas en un da.Altura de precipitacin media diaria, es el promedio aritmtico de las lecturas observadas en un da.Altura de precipitacin mensual, es la suma de las alturas diarias, ocurridas en un mes.Altura de precipitacin media mensual, es el promedio aritmtico de las alturas de precipitacin mensual, correspondiente a un cierto nmero de meses.Altura de precipitacin anual, es la suma de las alturas de precipitacin mensual, ocurridas en un ao.Altura de precipitacin media anual, es el promedio aritmtico de las alturas de precipitacin anual, correspondiente a un cierto nmero de aos.

2.3.1 PRECIPITACION MAXIMA PROBABLE.

CHOW (1994), menciona que dentro del contexto de la probabilidad de ocurrencia de eventos extremos, nace la interrogante de sobre cul podra ser la magnitud de la creciente mxima probable. El anlisis probabilstico slo indica que a medida que la probabilidad de ocurrencia se acerca a cero, la magnitud de la creciente tiende al infinito. Pero como las crecientes son el resultado directo o indirecto de la precipitacin, es lgico pensar que le valor mximo es establecido por limitaciones fsicas.Para obtener una idea del impacto que producir una tormenta semejante a la mxima probable, consideremos slo los efectos desastrosos ocasionados por las crecidas en las regiones inundables, las cuales se producen como consecuencia de tormentas severas mucho menores que la mxima probable. Muchas veces las estructuras hidrulicas (presas, puentes, defensas ribereas, etc.) se ubican en lugares donde las fallas pueden producir daos catastrficos (instalaciones urbanas e industriales, vidas humanas, etc.), por lo que para su diseo se considera una seguridad absoluta, es decir, se selecciona el Caudal Mximo Probable (CMP), ya sea por razones humanitarias y/o econmicas. El caudal mximo probable es una consecuencia directa de la precipitacin mxima probable (PMP), por lo que, en la mayora de los estudios hidrolgicos se llevan a cabo estimaciones del lmite superior para la precipitacin.La precipitacin mxima probable (PMP) se define como la mayor altura terica de lluvia para una duracin dada fsicamente posible, sobre una cuenca en particular y en una cierta poca del ao. En otros trminos, podra definirse a la PMP como aquella lluvia que ocasiona una creciente con una probabilidad de excedencia virtualmente nula.

2.3.2. ANALISIS DE CONSISTENCIA DE LA INFORMACION HIDROMETEOROLOGIA.

ALIAGA (1983), menciona que antes de iniciar cualquier anlisis o utilizar los datos observados en las estaciones pluviomtricas o hidromtricas, hay necesidad de realizar ciertas verificaciones de los valores de precipitacin o caudal.

Los datos hidrolgicos en general, estn constituidos por una larga secuencia de observaciones de alguna fase del ciclo hidrolgico obtenidas para un determinado lugar. No obstante que un registro largo sea lo deseable, se debe reconocer que cuanto ms largo es el perodo de registro, mayor ser la posibilidad de error. Una serie generada en esas condiciones, si los errores o cambios fueran apreciables, es inconsistente, o carece de homogeneidad. El anlisis de consistencia de la informacin hidrometeorolgica es uno de los aspectos ms importantes que se tiene que realizar en los estudios hidrolgicos

Anlisis grafico.- a fin de detectar posibles datos inconsistentes en la serie histrica, se procede al anlisis visual de la informacin el mismo que ha consistido en lo siguiente:

a.- Anlisis de histogramas.- esta fase complementaria consiste en analizar visualmente la distribucin temporal de toda la informacin hidrometeorolgica disponible combinando con los criterios obtenidos del campo para detectar la regularidad o irregularidad de los mismos. De la apreciacin visual de estos grficos se deduce si la informacin es aceptable o dudosa, considerndose como informacin dudosa o de poco valor para el estudio, aquella que muestra en forma evidente valores constantes en perodos en los cuales fsicamente no es posible debido a la caracterstica aleatoria de los datos.

Los histogramas son grficos que representan la informacin pluviomtrica o hidromtrica en el tiempo. Mediante el anlisis de los histogramas es posible detectar saltos y/o tendencias en la informacin histrica. Se debe aclarar que este anlisis es nicamente con fines de identificacin de las posibles inconsistencias, las mismas que debern ser evaluadas estadsticamente mediante el test respectivo.

b.- Anlisis de doble masa, es una herramienta muy conocida y utilizada en la deteccin de inconsistencias en los datos hidrolgicos mltiples cuando se disponen de dos o ms series de datos. Un quiebre de la recta de doble masa o un cambio de pendiente, puede o no ser significativo, ya que si dicho cambio est dentro de los lmites de confianza de la variacin de la recta para un nivel de probabilidades dado, entonces el salto no es significativo, el mismo que se comprobar mediante un anlisis de consistencia.

Mediante este mtodo se determina la consistencia relativa de una estacin respecto a otra estacin ndice o a un promedio de estaciones. El anlisis grfico comparativo se realiza a travs de la curva doble masa, que tiene como ordenada los valores de precipitacin anual acumulada de la estacin analizada y como abscisa los valores de precipitacin anual acumulada de la estacin ndice o estacin promedio; en el siguiente Figura se muestra el grafico de la lnea de doble masa.

Anlisis estadstico:- la no homogeneidad e inconsistencia en secuencias hidrolgicas representa uno de los aspectos ms importantes del estudio en la hidrologa contempornea, particularmente en lo relacionado a la conservacin, desarrollo y control de recursos hdricos. Inconsistencia es sinnimo de error sistemtico y se presenta como saltos y tendencias. Uno de los dos elementos ms importantes a tener en cuenta en el anlisis de consistencia con relacin a los datos existentes en el pas es la longitud de registro y el nivel de informalidad que por limitaciones de recursos econmicos tiene el proceso de recoleccin y manipuleo de la informacin fuente. De all que es preferible partir de la duda y no de la aceptacin directa o fcil.

El Anlisis de la informacin se realiza en las componentes determinsticas transitorias de la serie que son: Anlisis de Salto y Anlisis de Tendencia. Los saltos, son formas determinsticas transitorias que permiten a una serie estadstica peridica pasar desde un estado a otro, como respuesta a cambios hechos por el hombre, debido al continuo desarrollo y explotacin de recursos hidrulicos en la cuenca o cambios violentos que en la naturaleza puedan ocurrir. Los saltos se presentan en la media, desviacin estndar y otros parmetros. Pero generalmente el anlisis ms importante es en los dos primeros.

En los casos en que los parmetros media y desviacin estndar resultasen estadsticamente iguales, la informacin original no se corrige por ser consistente con 95 % de probabilidades, aun cuando en el anlisis de doble masa se observe pequeos quiebres. Si resulta la media y desviacin estndar estadsticamente diferentes, entonces se corrige mediante una ecuacin que permite mantener los parmetros del perodo ms confiable.

2.3.3. COMPLETACION DE DATOS HIDROLOGICOS.

MEJIA (2006), menciona que el producto final de una estacin de medicin de lluvias o descargas debe ser una serie de valores diarios (o con intervalos diferentes) a lo largo de los aos. Esto posibilitar la aplicacin a esos datos de anlisis estadsticos, a fin de extraer lo mximo de informacin de ellas y extender geogrficamente o extrapolar temporalmente la informacin.

Muchas estaciones de precipitacin o descargas tienen perodos faltantes en sus registros, debido a la ausencia del observador o a fallas instrumentales. A menudo es necesario estimar algunos de estos valores faltantes para lo cual existen muchas formas de suplir estas deficiencias y el grado de aceptacin de uno de estos mtodos va a depender de la cantidad de observaciones faltantes en el registro de datos. Entre estos mtodos podemos mencionar los siguientes:

Completacin de datos mediante un promedio de datos existentes. Completacin de datos mediante el mtodo de razones normales. Completacin de datos por correlacin entre dos estaciones.

La Completacin de Datos mediante un Promedio Simple, se realiza si dentro del registro de datos faltan menos del 5% de informacin estos se pueden completar con un simple promedio de todos los datos existentes o la semisuma de los datos del ao anterior y del siguiente.

La completacin de Datos mediante el Mtodo de Razones Normales se realiza cuando existen en los registros de los datos, das o intervalos grandes sin informacin, por imposibilidad del operador o falla del instrumento registrador. En ese caso, la serie de datos de que se dispone en una estacin X, de los cuales se conoce la media en un determinado nmero de aos, presenta vacos que debe ser rellenada.

Consiste en ponderar los valores de lluvia de la estaciones ndice (A,B,C) en proporcin al valor normal anual de lluvia en la estacin X con cada una de las estaciones ndices, con la siguiente ecuacin:

donde:Px = dato faltante que se va a estimar.NA , NB , NC = precipitacin anual normal en las estaciones ndices.PA , PB , PC = precipitacin de las estaciones ndices durante el perodo de tiempo del dato faltante que se est estimando.Nx = precipitacin anual normal de la estacin X.

Antes de ver la forma como se completan los datos mediante correlacin y regresin es importante indicar que en todos los casos las estaciones, a ser correlacionadas, deben tener similitud en su ubicacin (altitud, latitud, longitud, distancia a la divisoria) y estn cercanos; entre los principales modelos de regresin usados en hidrologa, podemos mencionar:Regresin lineal simple:Y = a + bXRegresin logartmica: Y = a + b ln(X)Regresin Potencial:Y = a Xb Regresin exponencial:Y = a exp (bX)

2.4. DEFINICION DE MAXIMA AVENIDA

REMENIERAS (1965), define como el caudal cuya frecuencia tiene una probabilidad menor del 5 %.

MILLER (1966), define como la mayor avenida que puede esperarse razonablemente en una corriente dada y en un punto que se elija.

GUEVARA (1973), define como un mltiplo de las descargas medias diarias, el cual puede ser de 35 veces.

MOLINA (1975), define como la mxima descarga de un ro, o el caudal que haya superado a todas las dems observadas durante un perodo de tiempo.

ARESTEGUI (1983), define como el acontecimiento correspondiente a la circulacin de un caudal extraordinario por el cauce de un ro.

SOTERO (1987), define como el mayor volumen de agua que pasa por un determinado punto de control, a consecuencia de una fuerte precipitacin.

ROCHA (1993) Las avenidas son fenmenos naturales que suelen causar grandes daos en todo e! mundo. Debemos precisar que no es lo mismo avenida que inundacin. Una avenida es fundamentalmente un fenmeno hidrometeorolgico; que se debe a las condiciones naturales. En cambio una inundacin es el desbordamiento de un ro por incapacidad de su cauce para contener el caudal que se presenta.

CHAVEZ (1994) La importancia del anlisis de las crecidas obedece a la necesidad de definir las magnitudes de stas para determinar finalmente el caudal de diseo necesario para que el ingeniero plantee las soluciones adecuadas a problemas como los sistemas de proteccin contra crecientes, se trata de proyectos de obras que protejan contra los daos que puedan ocasionar las inundaciones, la erosin por las fuertes correntadas, etc., en las poblaciones, en las reas cultivadas, centros de trabajo, vas de comunicacin, etc., es decir, de sistemas importantes para la vida y bienestar humanos. Su mxima importancia tiene tugar cuando hay amenaza directa para la vida de las personas.

2.4.1. ORIGEN Y FORMACION DE UNA AVENIDA.

CHOW (1994), menciona que la formacin de una avenida tiene como fuentes de origen a las precipitaciones y fusin de nieves, principalmente. La mxima avenida, generalmente se produce a causa de una precipitacin excepcional por su intensidad, duracin y extensin.

2.4.2. COMPONENTES DEL CAUDAL

GUEVARA (2004), menciona que el escurrimiento o caudal se conforma de cuatro procesos o componentes que se diferencian por el tiempo que tardan en llegar a la estacin de medicin y por la va de llegada: Escurrimiento superficial, escurrimiento subsuperficial, escurrimiento subterrneo y lluvia que cae sobre el cauce.

El Escurrimiento Superficial viene a ser el agua, proveniente de las precipitaciones, que fluye por gravedad sobre la superficie del terreno, siguiendo la pendiente natural; este componente del caudal es retardado por las irregularidades del suelos y la cobertura vegetal; se hace ms rpido a medida que se acerca a los cursos de drenaje, donde adquiere mayor velocidad. Por lo tanto, una cuenca con una red hidrogrfica densa descarga el escurrimiento superficial con una mayor prontitud que otras con redes menos densas. El caudal mximo ocurre cuando llega a la estacin de salida el escurrimiento superficial de la parte media de la cuenca, o cuando toda el rea de la hoya est aportando escorrenta. El escurrimiento superficial depende de factores como la naturaleza de la cuenca, topografa, manto vegetal, estado de humedad inicial y caracterstica de la precipitacin. Una lluvia corta de baja intensidad en terrenos permeables y secos producir muy poco o ningn escurrimiento superficial; en terreno impermeable o suelos saturados, esa misma precipitacin originar un escurrimiento superficial de cierta importancia.

El escurrimiento subsuperficial denominado tambin interflujo o caudal hipodrmico es aquel que proveniente de las precipitaciones que se han infiltrado y que se desplaza lentamente por debajo, pero cerca de la superficie, sin llegar al nivel fretico o agua subterrnea, de forma tal que tiende a ser casi horizontal para aflorar en algn talud o en algn sitio de la superficie situado ms abajo del punto de infiltracin. Es igual a la diferencia entre el agua total infiltrada y la suma de la que repone la humedad del suelo y la que percola a los estratos impermeables (que llega al nivel fretico). Vara con la con la naturaleza geolgica del suelo y la topografa. Un estrato relativamente impermeable cercano a la superficie es un factor decisivo en el escurrimiento subsuperficial. Este componente del caudal ocurre con mucha frecuencia en las regiones crsticas, como consecuencia de la presencia de canales de circulacin establecidos por la disolucin del material calcreo de ese tipo de suelos.

El escurrimiento subterrneo o flujo base, est formado por el agua infiltrada que percola hacia la zona de saturacin del perfil del suelo, incrementando el nivel de las aguas subterrneas y sale a la red hidrogrfica debido a la gradiente hidrulica, originando el caudal base de los ros. Es el caudal de estiaje o de la estacin seca del ao y desempea un papel regulador del nivel fretico. Tambin depende de la estructura y geologa del suelo y subsuelo, de la intensidad de la lluvia y de las caractersticas fsicas del perfil del suelo, entre las cuales , la principal es la permeabilidad.

La recarga de agua subterrnea vara de un sitio a otro y de una poca del ao a otra debido a las condiciones de entrada que son variables y del carcter de la precipitacin. El agua de la lluvia que ocurre en exceso al humedecimiento del suelo , es decir, despus que se satisface la diferencia de humedad del suelo entre el momento en que se inicia la precipitacin y el momento en el cual el suelo se satura, es la que recarga al reservorio o almacn de aguas subterrneas. Una condicin que afecta considerablemente la recarga es el tipo de vegetacin. Una zona boscosa produce mayor recarga que un terreno arable, el agua es limpia y no obstruye los intersticios de penetracin. La topografa del terreno influye en la recarga, pues en zonas de grandes pendientes es mayor el escurrimiento superficial que el subterrneo, ya que, a mayor pendiente, menor oportunidad para que las aguas se infiltren.

La precipitacin directa sobre el cauce es la porcin de la lluvia, generalmente de pequea magnitud, que desde el primer momento cae directamente sobre el curso de agua, cabalga sobre el flujo del cauce sin haber discurrido previamente por alguna de las vas que hemos indicado ms arriba. Al extenderse la superficie de las corrientes captar ligeramente ms precipitacin en beneficio del caudal del cauce, el cual aumenta mientras contina la lluvia. Este componente del escurrimiento puede ser importante si la cuenca contiene cuerpos de agua de grandes dimensiones, como lagos naturales o artificiales (embalses).

2.4.3. METODOS DE ESTIMACION DE AVENIDAS.

HERAS (1972), menciona los siguientes mtodos para estimar las mximas avenidas:

Mtodo directo.- Este mtodo no tiene una aplicacin estadsticamatemtica, pero da una informacin til. Consiste en elegir un tramo caracterstico de un ro, y en ella se fijan las cotas mximas alcanzadas por el agua; a partir de stas cotas se estiman los caudales mximos. Los errores que se cometen en el clculo de los caudales se deben a los cambios bruscos de las secciones del cauce y a la variacin de la relacin nivelcaudal.

Mtodo emprico.- Mediante ste mtodo, las descargas mximas se determinan empleando frmulas empricas. Sotero (1987), cita 15 frmulas, las cuales estn en funcin del rea de la cuenca, precipitacin, pendiente del ro principal y de un coeficiente de correccin. El principal inconveniente para la aplicacin directa de estas frmulas es la determinacin del coeficiente de correccin.

Mtodo hidromtrico.- Este mtodo est basado en la relacin causaefecto. El caudal mximo se calcula a partir de una lluvia extraordinaria que cae en la parte alta de la cuenca, y del mecanismo de escurrimiento. Dentro de ste mtodo tenemos el hidrograma unitario, hidrograma sinttico y a las curvas isocronas.

Mtodo estadstico o probabilstico.- Este mtodo consiste en calcular el caudal mximo en funcin a la distribucin de frecuencias de una serie histrica y al comportamiento terico de una curva de frecuencias. Entre las funciones de distribucin de frecuencias tericas que ms se utilizan en el estudio de mximas avenidas, tenemos a las siguientes: Log normal 2 parmetros, Log normal 3 parmetros, Extrema tipo I y Pearson tipo III.

Mtodo de correlacin hidrolgica. Este mtodo consiste en hacer una correlacin entre una cuenca con datos hidrolgicos y otra cuenca que carece de toda informacin o tenga informacin incompleta.

CHAVEZ (1994) Los problemas de ingeniera, tanto para los casos de seguridad como los de aprovechamiento del agua, estn ntimamente relacionados con la economa de los sistemas de obras que es necesario proyectar para resolverlos convenientemente. De esta inevitable relacin emerge el concepto de "caudal de Diseo que; es el caudal mayor, adoptado a partir de criterios condicionantes, tcnicos y econmicos, exigidos por los objetivos de! proyecto, que en una estructura hidrulica ad-hoc pueda admitir, resistir o dejar pasar.La disponibilidad de informacin suficiente y apropiada, o la falta de ella, determinar el mtodo ms adecuado que se debe utilizar para el anlisis del rgimen y magnitud de los caudales. Conviene tomar en cuenta lo siguiente:

Series Estadsticas de Aforos.- La disponibilidad de estadsticas de aforos sistemticamente hechas es la mejor fuente de informacin, cuanto ms extensa y mayor correccin de las observaciones, mayor ser la probabilidad de una ajustada aproximacin.Series Estadsticas de Lluvias.- Es en importancia la segunda fuentes de datos a los cuales acudir, aunque su aplicacin requiere de un proceso analtico intermedio que comprenda la incidencia de factores como: prdidas, retardos, etc.Escasez o Falta de Datos.- La escasez o !a falta de datos, ya sea de caudales o lluvias, dieron lugar a ingeniosas relaciones empricas entre algn parmetro pasible de mensura y alguno determinable indirecta y razonablemente para proponer frmulas empricas racionales.

PAULET (1974), indica que existen varios mtodos para el estimado de descargas especficas:

Frmulas empricas que predicen la descarga en funcin de parmetros de la cuenca y coeficientes de aplicacin regional.

Mtodos analticos que utilizan la informacin histrica para establecer. Por ejemplo, curvas de lluvias mximas probables, hidrogramas unitarios, etc.

Mtodos estadsticos que expresan las descargas probables en funcin de la distribucin de frecuencias de la serie histrica y en base al conocimiento que se tiene sobre el comportamiento terico de la curva de frecuencias.

TERAN (1998), menciona que existen varios mtodos para determinar los caudales mximos como:

Mtodos Empricos.- Lo constituyen las frmulas empricas, las cuales en la actualidad son poco usadas por la existencia de otros procedimientos y la aplicacin de la informtica.

Mtodos Histricos.- Permiten conocer (a mxima avenida registrada para un perodo determinado, en base a la recopilacin de datos sobre las avenidas ocurridas

Mtodos de Correlacin Hidrolgica.- Se aplica cuando no se cuenta con datos hidrolgicos y pluviomtricos; en este caso se aplica la correlacin con los datos de mximos caudales de una cuenca vecina o prxima, cuyas caractersticas en sus aspectos topogrficos, geolgicos, suelos, y tipos de cobertura, sean similares a la cuenca en estudio.

Mtodos Directos o Hidrulicos.- Permiten obtener informacin bastante til, sobre todo para fijar con precisin la altura de niveles alcanzados por e! agua en tiempos pasados y permite conocer e! gasto mximo instantneo.

Mtodos Estadsticos o Probabilsticos.- Permiten a travs de un registro histrico de mximas avenidas, estimar la mxima avenida de diseo por su extrapolacin mediante su probable distribucin en diversos perodos de retorno.

Mtodos Hidrolgicos.- Reproducen en forma aceptable el fenmeno, en base a parmetros como precipitaciones mximas y caractersticas fsicas de la cuenca. Existen desventajas al extrapolar algunas de sus variables, por la irregularidad de las lluvias en la cuenca, y determinar las prdidas por infiltracin, que pueden distorsionar al estimar las avenidas a partir de las lluvias.

VILLON (2002), menciona que para disear las dimensiones de un cauce, sistemas de drenaje, muros de encauzamiento, alcantarillas, vertedores, etc., se debe calcular o estimar el caudal de diseo, que para esos casos son los caudales mximos y existen varios mtodos como:Mtodo Directo o de la Seccin y la Pendiente.Mtodos Empricos.Mtodo del Nmero de curva.Mtodos Estadsticos.

VARAS (1972), menciona que a travs de los aos se han desarrollado una infinidad de mtodos que van desde frmulas empricas hasta complejos modelos matemticos. Cada uno de estos mtodos presenta ventajas y desventajas y an no existe consenso sobre cul de ellos es el que da resultados ms realistas. Claro est que el estado actual de la tcnica y la mayor cantidad de informacin con que se cuenta han permitido descartar algunos de los mtodos ms primitivos.

Cualquiera que sea el mtodo que se utilice para determinar las crecidas de diseo siempre interesa asociar una probabilidad de excedencia o perodo de retomo con ese caudal. Ello implica necesariamente entonces un anlisis probabilstico de la informacin con lo cual se determinar la crecida de diseo. Si no se cuenta con Estadstica de caudales para el estudio y se emplean mtodos como la frmula Racional o el hidrograma unitario habr que hacer un anlisis de frecuencia de las precipitaciones para determinar la probabilidad asociada con el caudal que se calcule. Si se tiene informacin de crecidas se podr hacer un anlisis de frecuencia de esos valores para determinar la crecida que tenga un cierto perodo de retorno.

APARICIO (1996), indica que en general, los registros de precipitacin son ms abundantes que los de escurrimiento y, adems, no se afectan por cambios en la cuenca, como construccin de obras de almacenamiento y derivacin, talas, urbanizacin, etc. Por ello, es conveniente contar con mtodos que permitan determinar el escurrimiento en una cuenca mediante las caractersticas de la misma y la precipitacin. Las caractersticas de la cuenca se conocen por medio de planos topogrficos y de uso de suelo, y la precipitacin a travs de mediciones directas en el caso de prediccin de avenidas frecuentes. Los principales parmetros que intervienen en el proceso de conversin de lluvia a escurrimiento son los siguientes:rea de la cuenca.Altura de la precipitacin.Caractersticas generales o promedio de la cuenca (forma, pendiente, vegetacin, etc.)Distribucin de la lluvia en el tiempo.Distribucin en el espacio de la lluvia y de las caractersticas de la cuenca.

VASQUEZ (1997), afirma que con el anlisis de los datos hidrolgicos pueden presentarse el caso que tenga disponible registros histricos de caudales, entonces un anlisis probabilstico puede ser conveniente dependiendo de! problema a resolver. El caso ms frecuente es cuando no se dispone de caudales, por lo que ser necesario calcular stos a partir de la lluvia, usando un modelo hidrolgico lluvia-escorrenta. Tambin, interesa conocer el hidrograma de la creciente o avenida, principalmente cuando se trata de embalses.

2.5. DEFINICION DE CONCEPTOS ESTADISTICOS.

a. Espacio Muestral.- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadstico y se representa con el smbolo S. Cada resultado de un Espacio Muestral se le llama elemento o miembro del Espacio Muestral o simplemente punto Muestral.

b. Eventos.- Un evento es un subconjunto de un Espacio Muestral. Son los resultados posibles que se pueden presentar en la realizacin de un experimento.

c. Probabilidad.- La probabilidad de un evento, P(A) es la posibilidad de que este ocurra cuando se hace una observacin de la variable aleatoria. Si una muestra de N observaciones tiene NA valores en el rango del evento A, entonces P(A) = NA/N.

Las probabilidades obedecen a ciertos principios:

Probabilidad total: si en el Espacio Muestral S, est completamente divididos en m eventos o reas no traslapadas A1, A2, ....,Am, entonces:P (A1) + P (A2) +......+ P (Am) = P(S) = 1.

Complementariedad: En un Espacio Muestral S, si A es el complemento de A, entonces: P (A) = 1 P(A).

Probabilidad condicional: En un Espacio Muestral S, si existen en ella dos eventos A y B, la probabilidad de que el evento B ocurra cuando ya ocurri algn evento A, se denomina probabilidad condicional y se denota por P(BA). Esta probabilidad se define como:

Si la ocurrencia de B no depende de la ocurrencia A se dice que los eventos son independientes, entonces P(BA)= P(B) y P(AB)= P(A)

d. Variable aleatoria.- Es una funcin que asocia un nmero real con cada elemento del Espacio Muestral. A una variable aleatoria se le conoce tambin como una variable estocstica, porque sus valores son nmeros reales que no pueden predecirse con certeza antes de ocurrir el fenmeno, es decir ocurren al azar.

Las clases de variables aleatorias son:

Variable aleatoria discreta.- Se dice que una variable aleatoria es discreta si se pueden contar su conjunto de resultados posibles. El Espacio Muestral contiene un nmero finito de posibilidades.Variable aleatoria continua.- Se dice que una variable aleatoria es continua cuando sus valores se encuentran en un rango continuo y pueden ser representados por cualquier numero entero o decimal

e. Funciones de frecuencia y probabilidad.- Si las observaciones de una muestra estn idnticamente distribuidas (cada valor de la muestra extrado de la misma distribucin de probabilidad) estas pueden ordenarse para formar un histograma de frecuencia. Primero, el rango factible de la variable aleatoria se divide en intervalos discretos, luego se cuenta el nmero de observaciones que cae en cada uno de los intervalos y finalmente el resultado se dibuja como una grfica de barras.

El ancho x del intervalo utilizado para construir el histograma de frecuencia se escoge tan pequeo como sea posible y de tal manera que caigan suficientes observaciones dentro de cada uno de los intervalos para que el histograma tenga una variacin razonablemente suave en el rango de la informacin.

Si el nmero de observaciones ni en el intervalo i, que cubre el rango [ Xi - x, Xi ], se divide por el nmero total de observaciones n, el resultado se conoce como la funcin de frecuencia relativa fs(x):

La cual es una estimacin de P (Xi -X X Xi), la probabilidad de que la variable aleatoria X caiga en el intervalo [ Xi x, Xi ]. El subndice s indica que la funcin se calcula utilizando informacin de la muestra.

La suma de los valores de las frecuencias relativas hasta un punto dado es la funcin de frecuencia acumulada FS (x):

Es un estimativo de P(X Xi), la probabilidad acumulada de Xi.Las funciones e frecuencia relativa y de frecuencia acumulada estn definidas para una muestra; las funciones correspondientes para la poblacin se aproximan con lmites a medida que n y x o.

En el lmite la funcin de frecuencia relativa dividida por el intervalo de longitud x se convierte en la funcin de densidad de probabilidad f(x):

La funcin de frecuencia acumulada se convierte en la funcin de distribucin de probabilidad F(x).

Cuya derivada es la funcin de densidad de probabilidad.

Para un valor dado de x, F(x) es la probabilidad acumulada P(X x), y puede expresarse como la integral de la funcin de densidad de probabilidad sobre el rango X x:

Donde: u = es una variable de integracin auxiliar y.

Desde el punto de vista de ajuste de la informacin de la muestra a una distribucin terica, las cuatro funciones - frecuencia relativa Fs(x) y frecuencia acumulada Fs(x) para la muestra, y distribucin de probabilidad F(x) y densidad de probabilidad f(x) para la poblacin pueden ordenarse en un ciclo

f. Parmetros estadsticos.- El objetivo de la estadstica es extraer la informacin esencial de un conjunto de datos, reduciendo un conjunto grande de nmeros a un conjunto pequeo de nmeros. Las estadsticas son nmeros calculados de una muestra los cuales resumen sus caractersticas mas importantes.

Los parmetros estadsticos son caractersticas de una poblacin, tales como y en una ecuacin. Un parmetro estadstico es el valor esperado E de alguna funcin de una variable aleatoria . Un parmetro simple es la media , el valor esperado de la variable aleatoria. Para una variable aleatoria X, la media es E(X), y se calcula como el producto de x y la correspondiente densidad de probabilidad f(x), integrando sobre el rango factible de la variable aleatoria.

E(X) es el primer momento alrededor del origen de la variable aleatoria, una medida del punto medio o tendencia central de la distribucin.La estimacin por la muestra de la media es el promedio x de la informacin de la muestra:

el valor estimado de la muestra de la varianza esta dado por.

En la cual el divisor es n-1 en lugar de n para asegurar la que la estadstica de la muestra no sea sesgada, es decir, que no tenga una tendencia, en promedio, a ser mayor o menor que el valor verdadero. La varianza tiene dimensiones de [X]2.

La desviacin estndar es una medida de la variabilidad que tiene las mismas dimensiones de X. La cantidad de es la raz cuadrada de la varianza y se estima por s, a medida que la desviacin estndar aumenta, aumenta la dispersin de la informacin.

El coeficiente de variacin CV = /, estimado por s/x, es una medida adimensional de la variabilidad.

La simetra de una distribucin alrededor de la media se mide utilizando la asimetra (oblicuidad) la cual es el tercer momento alrededor de la media:

La asimetra normalmente se determina con la siguiente ecuacin:

Un estimativo de la muestra de y est dado por:

2.5.1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES CONTINUAS.

Segn CHW (1994), menciona que las distribuciones de probabilidad de las variables continuas son las siguientes: a. Distribucin normal.- La distribucin normal surge del teorema del lmite central, el cual establece que si una secuencia de variables aleatorias Xi son independientes y estn idnticamente distribuidas con media y varianza 2 , entonces la distribucin de la suma de n de estas variables aleatorias, tiende hacia la distribucin normal con media y varianza 2 ; a medida que n aumenta. El punto importante es que esto es cierto sin importar cul es la funcin de distribucin de probabilidad de X.

As, por ejemplo, la distribucin de probabilidad de la media de la muestra puede aproximarse como una distribucin normal con media y varianza (1/n)2 n2 = 2//n sin importar cul es la distribucin de x. Las variables hidrolgicas, como la precipitacin anual, calculadas como la suma de los efectos de muchos eventos independientes tienden a seguir la distribucin normal. Las principales limitaciones de la distribucin normal en la descripcin de variables hidrolgicas son, por un lado, que esta varia a lo largo de un rango continuo [-,], mientras que la mayor parte de las variables hidrolgicas son positivas, y por otro lado, que es simtrica alrededor de la media, mientras que la informacin hidrolgica tiende a ser asimtrica.

b. Distribucion Log normal.- Si la variable aleatoria Y= log X esta normalmente distribuida, entonces se dice que X est distribuida en forma log normal. Chow (1954) llego a la conclusin de que esta distribucin se aplica a variables hidrolgicas formadas como productos de otras variables debido a que si X = X1X2X3...Xn, entonces Y tiende a una distribucin normal para valores grandes de n siempre y cuando los Xi sean independientes y estn idnticamente distribuidos.

La distribucin lognormal tiene las ventajas sobre la distribucin normal de que est limitada (X>0) y de que la transformacin log tiende a reducir la asimetra positiva comnmente encontrada en informacin hidrolgica, debido a que al tomar logaritmos se reducen en una proporcin mayor los nmeros grandes que los nmeros pequeos.

Algunas limitaciones de la distribucin lognormal son, por un lado, que tiene solamente dos parmetros y, por otro lado, que requiere que los logaritmos de los datos sean simtricos alrededor de su media.

c. Distribucin Gamma.- El tiempo que toma la ocurrencia de un nmero de eventos en un proceso de Poisson est descrito por la distribucin gamma, la cual es la distribucin de una suma de variables aleatorias independientes e idnticas, distribuidas exponencialmente.

La distribucin gamma tiene una forma que vara suavemente similar a la funcin de densidad de probabilidad tpica, y es muy til para la descripcin de variables hidrolgicas asimtricas sin el uso de la transformacin log. Se ha aplicado a la descripcin de la distribucin de profundidades de precipitacin en tormentas, por ejemplo.

La distribucin gamma incluye la funcin gamma (), para un entero positivo , y en general por:

La distribucin gamma de dos parmetros (parmetros y ) tiene como lmite inferior cero, lo cual es una desventaja para la aplicacin a variables hidrolgicas que tienen un lmite inferior superior a cero.

d. Distribucin Pearson tipo III.- tambin llamada la distribucin gamma de tres parmetros, introduce en tercer parmetro el lmite inferior e, de tal manera que por el mtodo de los momentos, los tres momentos de la muestra ( la media, la desviacin estndar y el coeficiente de asimetra) pueden transformarse en los tres parmetros , y , de la distribucin de probabilidad. El sistema de distribuciones Pearson incluye siete tipos: todos son soluciones para f(x) en una ecuacin de la forma.

Dnde.d es la moda de la distribucin ( el valor de x para el cual f(x) es un mximo), y Co,C1, y C2: son coeficientes que deben determinarse.

Por tanto, la distribucin normal es un caso especial de la distribucin Pearson tipo III para describir una variable no asimtrica.

La distribucin Pearson tipo III se aplic por primera vez en la hidrologa por Foster (1924) para describir la distribucin de probabilidad de picos de crecientes mximos anuales. Cuando la informacin es muy asimtrica positivamente, se utiliza una transformacin log para reducir la asimetra.

e. Distribucin de valor extremo.- Los valores extremos son valores mximos o mnimos seleccionados de conjuntos de datos. Por ejemplo, el caudal mximo anual en un lugar dado es el mayor caudal registrado durante un ao y los valores de caudal mximo anual para cada ao de registro histrico conforman un conjunto de valores extremos que puede analizarse estadsticamente. Fisher y Tippett (1928) han demostrado que las distribuciones de valores extremos seleccionados de conjuntos de muestras de cualquier distribucin de probabilidad convergen en una de las tres formas de distribuciones de valor extremo, llamadas tipo I, II y III respectivamente, cuando el nmero de valores extremos seleccionados es grande.

Las propiedades de las tres formas limitantes fueron desarrolladas por Gumbel (1941) para la distribucin de Valor Extremo tipo I (EVI, por sus siglas en ingls), por Frechet (1927) para la distribucin de Valor Extremo tipo II (EVII) y por Weibull (1939) para la distribucin de Valor Extremo tipo III (EVIII).

Jenkinson (1955) demostr que estas tres formas limitantes eran casos especiales de una distribucin nica llamada la distribucin de Valor Extremo General (GEV, por sus siglas en ingls). La funcin de distribucin de probabilidad para la GEV es

Donde:k, u, y : Son parmetros

CHEREQUE (1989) indica que dada una variable aleatoria, interesar describir la probabilidad de ocurrencia de los distintos estados. Esto se consigue gracias a un modelo matemtico de su comportamiento o modelo probabilstico. Esta distribucin probabilstica permite calcular: Las probabilidades de los distintos estados o valores que pueden tomar la variable aleatoria; La probabilidad de tener valores mayores o menores que un determinado lmite y los valores de probabilidad de ocurrencia asociados a cada valor de la variable aleatoria.

Segn se trate de variables discretas o continuas, se usarn modelos de distribucin probabilsticos discretos o continuos. Sern modelos deiscretos aquellos cuya funcin densidad de probabilidad y funcin de probabilidad acumulada se encuentra definidas para determinados valores que puede tomar la variable.

Las principales distribuciones discretas son: Distribucin Binomial y Distribucin de Poisson

Las principales distribuciones continuas son: Distribucin Uniforme, Distribucin Normal, Distribucin Log normal, Distribucin Gamma y Distribuciones de Valores Extremos

APARICIO (1996), menciona que entre las funciones de distribucin de probabilidad usados en hidrologa, se estudian las siguientes: Normal, Log Normal, Pearson III y Gumbel

Las funciones Normal y Log Normal son generalmente apropiadas para variables aleatorias que cubren todo el rango de valores de los resultados posibles del experimento bajo anlisis, como por ejemplo los volmenes de escurrimiento mensual en un ro. Las funciones Gumbel se desarrollaron para el anlisis de los valores extremos o mnimos anuales. La funcin Pearson Tipo III ocupa un lugar intermedio.

LINSLEY (1988) ; menciona que sobre el anlisis probabilstico de crecientes tiene aplicacin tambin para la precipitacin. Los valores de la precipitacin mxima horaria o diaria generalmente se ajustan bien a distribuciones tales como la de Fisher-Tippett (de Valores Extremos Tipo I), Log Pearson, Log Normal o Gamma. En reas hmedas donde el valor medio es alto, la precipitacin mensual, por estaciones o la precipitacin total anual se aproximar a una Distribucin Normal. En reas secas una distribucin asimtrica tal como Log-Pearson, Log Normal, Gamma y las transformadas raz cuadrada y raz cbica de la distribucin Normal producen ajustes mejores.

2.5.2. ESTIMACIN DE PARMETROS DE DISTRIBUCIONES TERICAS.

VILLON (2002), menciona que para determinar los valores numricos de los parmetros de la distribucin terica, a partir de los datos mustrales, se utilizan varios mtodos de estimacin, siendo en orden ascendente de menor a mayor eficiencia, los siguientes: Grfico, Mnimos Cuadrados, Momentos y Mxima Verosimilitud.

a. Mtodo grafico.- Consiste en plotear los valores de la distribucin emprica sobre un papel especial, donde la distribucin terica asignada a priori, se puede representar como una lnea recta, y de all estimar los parmetros buscados.As. El papel de probabilidades normal, representa la distribucin normal como una lnea recta. El papel de probabilidades log-normal, representa la distribucin log-normal como una lnea recta. El papel de probabilidades extremas, representa la distribucin Gumbel como una lnea recta.

b. Mtodo de mnimos cuadrados.- este mtodo es ms aplicable para la estimacin de los parmetros de una ecuacin de regresin; Por ejemplo, dada la recta de regresin lineal Y=a+bx; donde a y b son los parmetros.

El error entre el valor observado i y el terico es: Ei =yi a-bxiLa suma de los cuadrados de los errores de los valores observados es.

Esta suma puede minimizarse para a y b, esto se consigue derivando parcialmente S en funcin de cada estimado a y b, e igualando a cero, es decir:

Estas ltimas ecuaciones se denominan ecuaciones normales, las cuales resueltas dan para a y b:

c. Mtodo de momentos.- el principio bsico de la estimacin por el mtodo de los momentos es establecer para cada funcin de distribucin la relacin entre los parmetros y los momentos centrales, de tal manera que: = fi ( i, i +1,...) = f2 (j, j + 1,...) = f3 (k, k + 1,...)

donde:,,: son los parmetros de la funcin de distribucin.i, j, , k: son los momentos con respecto a la media, o momentos centrales de la poblacin.

Como los momentos son estimados a partir de los momentos de la muestra como estimadores sesgados o insesgados, el resultado que se obtienen ser como estimadores sesgados o insesgados de los parmetros.

Cuando la distribucin de probabilidad, a la que se estiman los parmetros por este mtodo es simtrica y particularmente si es normal, se puede demostrar que este es un mtodo muy eficiente, pero cuando las distribuciones son asimtricas y por lo tanto sesgadas, como sucede muy a menudo con la mayora de las variables hidrolgicas, el utilizar este mtodo representa un prdida de eficiencia en la estimacin.

d. Mtodo de mxima verosimilitud.- Dada una funcin densidad de probabilidad.

F(x,, , , ....)Donde:, , ,..... son los parmetros que deben ser estimados.

Se define la funcin verosimilitud de la muestra, como la productoria:

Siendo N, el tamao de la muestra.

El mtodo de mxima verosimilitud, consiste en estimar , , , ... a partir de la muestra de tal manera que L sea mxima. Esto se obtiene por la diferenciacin parcial de L con respecto a cada parmetro e igualando a cero.

Puesto que f(x) es no negativa, un valor mximo de L ser, en general positivo. Como el logaritmo natural lnL es una funcin monotmicamente creciente de L, esta tiene un mximo precisamente en los puntos en que L tiene un mximo. Por lo tanto, se puede usar InL en lugar de L, es decir:

Este artificio, permite transformar una productora a una sumatoria, donde: a,b,c, son estimadores de , , ,...

Entonces el conjunto de ecuaciones de mxima verosimilitud es:

El mismo que tiene tantas ecuaciones como incgnitas.

Las propiedades de los estimadores calculados por el mtodo de mxima verosimilitud, son: Usualmente insesgado; si la eficiencia de estimadores existe para los parmetros , , ,..., el mtodo puede producirlos y la solucin de la ecuacin de verosimilitud proporciona un estimador que converge al valor poblacional cuando el tamao muestral tiende a infinito, por lo que el estimador es consistente.

2.5.3. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE.

Segn VILLON (2002), las pruebas de bondad de ajuste consisten en comprobar grafica y estadsticamente si las frecuencia emprica de la serie analizada, se ajusta a una determinada funcin de probabilidades terica seleccionado a priori, con los parmetros estimados en base a los valores mustrales. Las pruebas ms utilizadas son el Ajuste Estadstico Chi Cuadrado y Smirnov-Kolgomorov.

a. Prueba estadstica Chi cuadrado.- es la ms comnmente usada para verificar la bondad de ajuste de la distribucin emprica a una distribucin terica conocida:

La expresin general de Chi-cuadrado esta dado por.

donde:Xc2: valor calculado de chi-cuadrado a partir de los datos.Oi: nmero de valores observados en el intervalo de clase i.ei: nmero de valores esperados en el intervalo de clase ik: nmero de intervalos de clase

el valor de Xc2 obtenido se compara con el Xt2 de las tablas, cuyo valor se determina con:Nivel de significacin : =0.05 = 0.01Grados de libertad: g.l = K.- 1- .h

Las ventajas y limitaciones de esta prueba son:

Es aplicable slo para ajustes a la distribucin normal, puesto que ha sido desarrollado en base a datos normales e independientes. es realizada en la funcin densidad de datos agrupados en intervalos de clases. Requiere un conocimiento a priori de la funcin de distribucin terica utilizada en el ajuste. En la prctica se usa para cualquier modelo de ajuste, pero estrictamente es vlido slo para lo normal. Es de fcil aplicacin. Al utilizar esta prueba, se debe tener cuidado que en cada intervalo de clase, se tenga por lo menos 5 observaciones.

b. Prueba Smirnov-Kolmogorov.- consiste en comparar las diferencias existentes entre la probabilidad emprica de los datos de la muestra y la probabilidad terica, tomando el valor mximo del valor absoluto, de la diferencia entre el valor observado y el valor de la recta terica del modelo, es decir:

= mx. F(x)-P(x)

Donde: = estadstico de Smirnov-Kolmogorov, cuyo valor es igual a la diferencia mxima existente entre la probabilidad ajustada y la probabilidad emprica.F(x)= probabilidad de la distribucin de ajuste o terica.P(x)= Probabilidad experimental o emprica de los datos, denominada tambin frecuencia acumulada.

Las ventajas y limitaciones de esta prueba son: No requiere un conocimiento a priori de la funcin de distribucin terica. Es aplicable a distribuciones de datos no agrupados, es decir, no se requiere hacer intervalo de clase. Es aplicable a cualquier distribucin terica. Se aplica en la funcin de distribucin acumulada y no en la funcin de densidad. Comparndola con la prueba chi cuadrado, no hay condicin de que cada clase de frecuencia deba contener un mnimo de 5 valores observados. No es una prueba exacta, sino una prueba aproximada.

2.5.4. FACTOR DE FRECUENCIA

El clculo de las magnitudes de eventos extremos por el mtodo utilizado requiere que la funcin de distribucin de probabilidad sea invertible, es decir, dado un valor para T o [ F(xT) = T/(T-1)], el correspondiente valor de xT puede determinarse. Algunas funciones de distribucin de probabilidad no son fcilmente invertibles, incluyendo las Distribuciones Normal y Pearson tipo III, requirindose un mtodo alternativo para calcular las magnitudes de eventos extremos para estas distribuciones.La magnitud xT de un evento hidrolgico extremo puede representarse como la media ms desviacin xT de la variable con respecto a la media.

XT = + XT

Esta desviacin con respecto a la media puede igualarse al producto de la desviacin estndar y el factor de frecuencia KT; es decir, XT . La desviacin XT y el factor de frecuencia KT son funciones del periodo de retorno y del tipo de distribucin de probabilidad a utilizarse en el anlisis. Por consiguiente, la ecuacin anterior puede expresarse como:

XT = + KT

La cual puede aproximarse por:

XT = x + KT s

En el evento de que la variable analizada sea y = log. X, entonces se aplica el mismo mtodo a las estadsticas para los logaritmos de los datos, utilizando.

y el valor requerido de XT se encuentra tomando el antilogaritmo de YT.

La ecuacin del factor de frecuencia fue propuesta por Chow (1951), y se aplica a muchas distribuciones de probabilidad utilizadas en el anlisis de frecuencia hidrolgica. Para una distribucin dada, puede determinarse una relacin K-T entre el factor de frecuencia y el periodo de retorno correspondiente. Esta relacin puede expresarse en trminos matemticos o mediante una tabla.

2.6. ESTRUCTURAS HIDRULICAS.SILVA (2004), menciona que dentro de las estructuras hidrulicas estn comprendidas las obras que tienen por objeto almacenar o conducir agua; en este contexto son estructuras hidrulicas las siguientes:

Presas de embalse con sus obras accesorias de desviacin, captacin y vertimiento de excesos. Presas de derivacin y sus correspondientes obras de desviacin y de captacin. Conductos a superficie libre. Conductos a presin. Obras de proteccin contra inundaciones. Obras de proteccin por ataques de ros o quebradas contra sus mrgenes, o contra estribos y pilas de puentes. Obras de encauzamiento de corrientes naturales. Puertos y obras de proteccin de playas. Instalaciones para explotacin de aguas subterrneas. Para llegar al diseo de las estructuras hidrulicas es necesario pasar por varias etapas que incluyen los siguientes pasos: Anlisis de la Demanda. Exploracin preliminar y elaboracin de posibles esquemas del proyecto. Pre factibilidad para analizar diferentes opciones y hacer un primer descarte. Factibilidad Tcnica y Econmica. En esta etapa se analizan las opciones que son tcnicamente posibles, se realizan diseos preliminares y se estudian costos, beneficios, impacto social e impacto ambiental de las obras. Al final de esta etapa se recomienda la opcin que puede llevarse a diseo. El anlisis de las estructuras hidrulicas se realiza por medio de un equipo interdisciplinario en el cual predominan las siguientes especialidades: Cartografa Geotecnia Hidrologa e Hidrulica Estructuras En la Cartografa se utilizan levantamientos de campo, mapas del Instituto Geogrfico, fotografas areas, restituciones y fotografas de satlite para determinar coordenadas, cotas, curvas de nivel, longitudes de las conducciones y dimensiones de las obras.La Geotecnia se encarga de los trabajos de exploracin del suelo y del subsuelo, de los estudios de infiltracin y permeabilidad, de las condiciones de cimentacin y de la estabilidad de muros de gravedad y de presas de tierra.La informacin que entregan los estudios Hidrolgicos es primordial para determinar las dimensiones y las polticas de operacin de las estructuras hidrulicas. Esta informacin incluye el anlisis de los regmenes climatolgico y pluviomtrico de la zona de proyecto, los regmenes de caudales slidos y lquidos de ros y quebradas, los hidrogramas de creciente, los modelos de trnsito de crecientes y los de operacin de embalses. Se combinan conceptos de Hidrologa Bsica, Hidrologa Aplicada e Hidrologa Estocstica.En el estudio Estructural se disean cimientos y estructuras de concreto, se elaboran especificaciones, planos de construccin, cuadros de cantidades de obra y presupuesto.Una presa de embalse es simplemente una pared que se coloca en un sitio determinado del cauce de una corriente natural con el objeto de almacenar parte del caudal que transporta la corriente.Esto que parece tan sencillo no lo es tanto: La pared debe ser diseada para que soporte las fuerzas que se generan por la presin del agua, y para que impida filtraciones a lo largo de su estructura y en las superficies de contacto entre la estructura y el terreno natural adyacente. Adems, la presa debe contar con obras complementarias que permitan el paso del agua que no se embalsa y con estructuras de toma para captar y entregar el agua embalsada a los usuarios del sistema.

SILVA (2003), menciona que el diseo de las obras apropiadas de control debe hacerse luego de que se conozcan los resultados de los estudios hidrolgicos, hidrulicos y geomorfolgicos del tramo que recibe la influencia de la construccin de dichas obras. Los resultados de los estudios hidrolgicos, hidrulicos y geomorfolgicos presentan pronsticos sobre la evolucin futura de la corriente y estimativos sobre magnitudes de los caudales medios, mnimos y de creciente, niveles mnimos, mximos y medios, posibles zonas de inundacin, velocidades de flujo, capacidad de transporte de sedimentos y socavacin,Las obras ms comunes en corrientes naturales son las siguientes: Obras transversales para control torrencial. Operan como pequeas presas vertedero. Su objetivo principal es el de reducir la velocidad del flujo en un tramo especfico, aguas arriba de la obra. Actan como estructura de control. Pueden fallar por mala cimentacin, o por socavacin generada inmediatamente aguas abajo.

Espolones para desviacin de lneas de flujo. Son estructuras agresivas que, en lo posible, deben evitarse porque pueden producir problemas erosivos sobre las mrgenes del tramo aguas abajo.

Espolones para favorecer los procesos de sedimentacin. Son efectivos cuando se colocan en un sector de alto volumen de transporte de sedimentos en suspensin. Son estructuras permeables, cuyo objetivo es inducir la sedimentacin en un tramo adyacente, aguas arriba de las obras. Pueden fallar por erosin en la punta del espoln o en el tramo inmediatamente aguas abajo.

Obras marginales de encauzamiento. Son obras que se construyen para encauzar una corriente natural hacia una estructura de paso, por ejemplo un puente, box-culvert, alcantarilla, etc. Deben tener transiciones de entrada y salida. En el diseo debe considerarse que estas obras de encauzamiento producen un aumento en la velocidad del agua con el consiguiente incremento en la socavacin del lecho

Obras longitudinales de proteccin de mrgenes contra la socavacin. Son muros o revestimientos, suficientemente resistentes a las fuerzas desarrolladas por el agua. En algunos casos tambin deben disearse como muros de contencin. Pueden fallar por mala cimentacin, volcamiento y deslizamiento.

Acorazamiento del fondo. Consisten en refuerzo del lecho con material de tamao adecuado, debidamente asegurado, que no pueda ser transportado como carga de fondo. Algunas veces la dinmica del ro produce tramos acorazados en forma natural. El fondo acorazado es un control de la geometra del cuce.

Proteccin contra las inundaciones. Son obras que controlan el nivel mximo esperado dentro de la llanura de inundacin. Pueden ser embalses reguladores, canales adicionales, dragados y limpieza de cuces, o jarillones. Estas obras pueden ser efectivas para el rea particular que se va a defender, pero cambian el rgimen natural del flujo y tienen efectos sobre reas aledaas, los cuales deben ser analizados antes de construir las obras. Los materiales de uso frecuente en este tipo de obras son los siguientes: Concreto: ciclpeo, simple o reforzado. Gaviones, colchonetas. Piedra suelta, piedra pegada. Tablestacas metlicas o de madera. Pilotes metlicos, de concreto o de madera. Bolsacretos, sacos de suelo-cemento, sacos de arena. Fajinas de guadua. Elementos prefabricados de concreto: Bloques, expodos, etc. El diseo de las obras combina varias disciplinas, Hidrulica Fluvial, Geotecnia y Estructuras. La primera, es la ms importante porque suministra la informacin bsica que permite determinar las condiciones de cimentacin y la magnitud de las fuerzas que van a actuar sobre las obras que se proyecten.

VILLON (2002) menciona que la hidrometra es la rama de la Hidrologa que estudia la medicin del escurrimiento. Para este mismo fin, es usual emplear otro trmino denominado aforo. Aforar una corriente significa determinar, a travs de mediciones, el caudal que pasa por una seccin dada y en un momento dado. La estimacin o determinacin de los caudales mximos se necesita para disear:

Las dimensiones de un cauce Sistema de drenaje: agrcola, aeropuerto, ciudad, carretera Muros de encauzamiento para proteger ciudades y plantaciones Alcantarillas Vertedores de demasas Luz en puentes

MATERIALES Y MTODOS

3.3 MATERIALES.

3.3.1 Ubicacin de la zona en estudio Esta dada por la cuenca hidrogrfica del rio Huancan, la misma que forma parte de la Cuenca endorreica del Lago Titicaca, la que pertenece al Sistema Hdrico (T.D.P.S.). En el Plano P-1 (Anexo), se muestra el plano de la cuenca hidrogrfica del rio Huancan, y en la Figura N 3-1, se muestra el plano de ubicacin de la zona en estudio.

3.3.2 Informacin meteorolgica e hidromtrica.

La informacin meteorolgica e hidromtrica obtenida para el presente estudio, corresponden a los registros histricos de descargas mximas mensuales y anuales del rio Huancan, y precipitacin mxima de 24 horas de las estaciones Huancan. Putina, Arapa, Muani, Ananea y Cojata, proporcionado por el Servicio Nacional de Meteorologa e Hidrologa (SENAMHI).

a.Ubicacin de las estaciones meteorolgicas.

La ubicacin geogrfica y poltica de las estaciones meteorolgicas de Huancan. Putina, Arapa, Muani, Ananea y Cojata, se presentan en el Plano P-1 (Anexo) y el Cuadro 31

Cuadro 31: Ubicacin de las estaciones meteorolgicas en estudio

ESTACIONAnaneaArapaCojataHuancaneMuaniPutina

TIPOCOCOCOCOCOCO

CUENCARamisTiticacaSuchesHuancanHuancanHuancan

DISTRITOAnaneaArapaCojataHuancaneMuaniPutina

PROVINCIASan AntonioAzangaroHuancanHuancanAzangaroSan Antonio

REGIONPunoPunoPunoPunoPunoPuno

ALTITUD466038304380389039483878

LATITUD SUR1440'42.4"1508'10.5"1501'00"1512'5.4"14