Analogia+de+Grelha+Equivalente

Lajes Maciças

Analogia de Grelha Equivalente

Estruturas II – Concreto Armado

Prof. M.Sc. Antonio de Faria

Agosto-2015

Introdução - Cenários

• Impossibilidade de resolver as placas com a equação

fundamental;

• As lajes como elementos isolados apoiados em

elementos rígidos;

• Microcomputadores;

• Programas de análise estrutural avançados;• Programas de análise estrutural avançados;

• Analisar o comportamento de um pavimento como um

todo e também lajes isoladas levando em consideração

a influência da flexibilidade dos apoios e da rigidez à

torção, tanto das lajes como das vigas, sendo ainda

possível incluir na análise a não linearidade física do

concreto armado;

Cálculo de Lajes Maciças com Analogia de

Grelha

• na substituição de um pavimento por uma grelha

equivalente;

• Lightfoot & Sawko (1959).

• Nos elementos de placa sendo a divisão entre eles de b e

a espessura da placa de h;

Cálculo de Lajes Maciças com Analogia de

Grelha

Inércia à torçãoInércia à flexão

12

hbI

3

f

⋅=

6

hbI2I

3

ft

⋅=⋅=

• Nos elementos de viga (considerando apenas retangular

com b=largura e h=altura;

3

bhI

3

t

⋅=

12

hbI

3

f

⋅=

Inércia à flexão Inércia à torção

Pavimento utilizado como exemplo de aplicação

com teoria das placas e grelha equivalente

Esquema estrutural das lajes do pavimento

Considerações

• O processo de se utilizar a teoria das placas com resolução

por série é muito simplificado e a solução não depende das

dimensões e vãos das vigas pois os contornos das lajes são

considerados indeslocáveis na vertical e não há impedimento

à rotação das lajes pelas vigas;

• A separação das lajes como feita na figura mostrada a seguir,

impede conhecer melhor a interferência de uma laje na outra

vizinha;vizinha;

Considerações

• Apesar de ser o mais demorado, o programa GPLAN, por ter sua geometria

gerada por arquivo texto, pode ser facilmente adatado para outras soluções,

tais como:

RESG

1, 12, 1, 1,0,0,

121,132,1,1,0,0,

Consideração de apoios indeslocáveis

nos contornos de L1, L2 e L3

Consideração apenas dos pilares

como apoio

RES

1,1,0,0,

7,1,0,0,

12,1 0,0,121,132,1,1,0,0,

73,79,1,1,0,0,

13,109,12,1,0,0,

19,115,12,1,0,0,

24,120,12,1,0,0,

12,1 0,0,

73,1,0,0,

79,1,0,0

121,1,0,0,

127,1,0,0

132,1,0,0,

- No caso da consideração apenas dos pilares como apoio é necessário corrigir as inércias

das vigas;

- Para considerar este mesmo pavimento sem vigas, bastaria colocar nas características

dos elementos do tipo 1 (vigas de contorno) e 3 (vigas internas) as características de laje;

Grelha Equivalente usada no Programa GPLAN,

mostrando os elementos


mostrando os nós


mostrando os pilares


mostrando as vigas laterais (tipo 1)


mostrando as vigas centrais (tipo 3)


mostrando as lajes

Listagem básica para o uso do GPLANOPTE 3,3,3,3,3,

EXEMPLO_5_6

TESE

PISO_Sem_cargas_Viga

NOGP

1,12,1,0.0,10.0,11.0,10.0,

121,132,12,0.0,0.0,11.0,0.0,

RES

1,1,0,0,

12,1,0,0,

7,1,0,0,

73,1,0,0,

79,1,0,0,

121,1,0,0,

127,1,0,0,

132,1,0,0,

BARG

1,11,1,1,1,2,1,1,

12,22,1,13,1,14,1,2,

23,33,1,25,1,26,1,2,

34,44,1,37,1,38,1,2,

132,141,1,2,12,14,12,2,

142,151,1,3,12,15,12,2,

152,161,1,4,12,16,12,2,

162,171,1,5,12,17,12,2,

172,181,1,6,12,18,12,2,

182,191,1,7,12,19,12,3,

192,201,1,8,12,20,12,2,

202,211,1,9,12,21,12,2,

212,221,1,10,12,22,12,2,

222,231,1,11,12,23,12,2,

232,241,1,12,12,24,12,1,

73,77,1,79,1,80,1,2,

PROP

1,1,0.06,1.25E-03,2.59E-04,

2,1,0.10,8.33E-05,1.67E-04,

3,1,0.06,1.25E-03,2.59E-04,

MATL

1,3E07,1.25E06,

FIMG

CARR1

CNOG34,44,1,37,1,38,1,2,

45,55,1,49,1,50,1,2,

56,66,1,61,1,62,1,2,

67,77,1,73,1,74,1,3,

78,88,1,85,1,86,1,2,

89,99,1,97,1,98,1,2,

100,110,1,109,1,110,1,2,

111,121,1,121,1,122,1,1,

122,131,1,1,12,13,12,1,

CNOG

1,132,1,-5,

1,12,1,2.5,

121,132,1,2.5,

13,109,12,2.5,

24,120,12,2.5,

FIMC

FIME.

Lajes Maciças - Exemplo Comparativo

• Determinar os esforços no pavimento de lajes maciças cuja

planta de formas está indicada a seguir, utilizando o sistema

CALCO (Grelha Equivalente) e o Sofware CYPECAD (M.E.F.);

• Considerar que as salas serão utilizadas para escritórios, que

as lajes deverão ter todas a mesma espessura (12,0 cm) e que

o revestimento inferior de gesso, para efeito de cálculo de

carga, pode ser desprezado;carga, pode ser desprezado;

• Serão admitidos os seguintes dados de projeto:

� Contrapiso com espessura de 2,0 cm - γ = 19 kN/m3;

� Piso emborrachado, cujo peso de 0,20 kN/m2 íncluí a cola;

� Sobrecarga na laje 2,0 kN/m2 (escritório);

� Vigas: largura bw = 20 cm e altura h = 50 cm;

� Concreto com resistência característica fck = 20 MPa;

� Peso de paredes (internas e externas) = 5,0 kN/m

Pavimento utilizado como exemplo de aplicação

com teoria das placas e grelha equivalente

• Configuração 01;– Resolve-se a laje com grelha equivalente, considerando os pilares como

indeslocáveis na vertical;

– Os elementos de viga tem características de viga e com torção baixa;

– Carga P atuando em cada nó – P = 8,58x1,0x1,0 = 8,58 kN;

Configuração Estrutural 01

Pavimento do exemplo com forma e grelha

gerada pelo programa CALCOP ( x )1 20 20 P ( x )2 20 20 P ( x )3 20 20V ( x )1 12 50

Laje

Lx= cmLy= cm

e= cm

600

600

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 B 9 B 10 B 11

B 12 B 13 B 14 B 15 B 16 B 17 B 18 B 19 B 20 B 21 B 22

B 23 B 24 B 25 B 26 B 27 B 28 B 29 B 30 B 31 B 32 B 33

B 34 B 35 B 36 B 37 B 38 B 39 B 40 B 41 B 42 B 43 B 44

B 45 B 46 B 47 B 48 B 49 B 50 B 51 B 52 B 53 B 54 B 55

122

B123

B124

B125

B1

26

132

B133

B134

B135

B1

36

142

B143

B144

B145

B1

46

152

B153

B154

B155

B1

56

162

B163

B164

B165

B1

66

172

B173

B174

B175

B1

76

182

B183

B184

B185

B1

86

192

B193

B194

B195

B1

96

202

B203

B204

B205

B2

06

212

B213

B214

B215

B2

16

222

B223

B224

B225

B2

26

232

B233

B234

B235

B2

36

P ( x )4 20 20 P ( x )5 20 20

P ( x )6 20 20 P ( x )7 20 20 P ( x )8 20 20

V ( x )2 12 50

V ( x )3 12 50

V (

x )

412

50

V (

x )

512

50

V (

x )

612

50

Laje

Lx= cmLy= cm

e= cm

600

400

12

Laje

Lx= cmLy= cm

e= cm

500

1000

12

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132

B 56 B 57 B 58 B 59 B 60 B 61 B 62 B 63 B 64 B 65 B 66

B 67 B 68 B 69 B 70 B 71 B 72 B 73 B 74 B 75 B 76 B 77

B 78 B 79 B 80 B 81 B 82 B 83 B 84 B 85 B 86 B 87 B 88

B 89 B 90 B 91 B 92 B 93 B 94 B 95 B 96 B 97 B 98 B 99

B100 B101 B102 B103 B104 B105 B106 B107 B108 B109 B110

B111 B112 B113 B114 B115 B116 B117 B118 B119 B120 B121

126

B127

B128

B129

B130

B131

B

136

B137

B138

B139

B140

B141

B

146

B147

B148

B149

B150

B151

B

156

B157

B158

B159

B160

B161

B

166

B167

B168

B169

B170

B171

B

176

B177

B178

B179

B180

B181

B

186

B187

B188

B189

B190

B191

B

196

B197

B198

B199

B200

B201

B

206

B207

B208

B209

B210

B211

B

216

B217

B218

B219

B220

B221

B

226

B227

B228

B229

B230

B231

B

236

B237

B238

B239

B240

B241

B

Configuração Estrutural 01 - Calco


Nó 72 (Laje 02)

δmáx = 33,72 mm

Configuração Estrutural 01 - Cypecad

Cota (11,0; 5,0 m)

δmáx = 32,36 mm

Configuração Estrutural 01 - Grelha


Nó 72 (Laje 02)

δmáx = 33,82 mm

• Configuração 02;– Resolve-se a laje com grelha equivalente, considerando que todos os

pontos que pertencem as vigas são indeslocáveis na vertical;

– A ação a considerar em cada nó correspondente;




Nó 70 (Laje 2)

δmáx = 5,58 mm


Cota (8,75; 4,75 m)

δmáx = 4,96 mm


Nó 70 (Laje 2)

δmáx = 5,21 mm

• 1) Configuração 03;– Resolve-se a laje com grelha equivalente, acrecentando-se um pilar e uma

viga a estrutura, de modo a reduzir a viga vertical da direita, de um vão de

10,0 para 5,0 m e ainda prolongando-se a viga horizontal de tal forma que

se tenha 04 lajes ao invés de 03;






Nó 40 (Laje 1)

δmáx = 11,44 mm


Cota (2,75; 7,00 m)

δmáx = 11.70 mm


Nó 88 (Laje 1)

δmáx = 11,33 mm

• 1) Configuração 04;– Resolve-se a laje com grelha equivalente, aumentando-se a dimensão da

viga lateral direita de 20 x 50 para 20 x 100 cm;





Nó 40 (Laje 1)

δmáx = 11,78 mm


Cota (2,75; 7,00 m)

δmáx = 11.94 mm


Nó 88 (Laje 1)

δmáx = 11,75 mm

Comparativo de Flechas (mm)

Modelo Local CALCO Cypecad Grelha% Dif.

Grelha/Calco

% Dif.

Grelha/Cypecad

1 V6 - Centro 33,72 32,36 33,82 +0,297% +0,451%

Resultados encontrados e comentários

2 Laje 2 - Centro 5,58 4,96 5,21 -6,631% +5,040%

3 Laje 1 - Centro 11,44 11,70 11,33 -0,962% -3,162%

4 Laje 1 - Centro 11,78 11,94 11,75 -0,255% -1,591%

• Toda vez que se considera apenas os pilares como pontos há,

sem dúvida, uma variação muito grande das derivadas da função

deslocamento, ou seja, os momento serão elevados;

• Desta forma toda vez que ocorre um ponto (e apenas ele na

região do entorno) indeslocável na vertical, ocorre um momento

fletor (negativo para cargas verticais aplicadas), de grande valor;

• Este ponto pode ser considerado como um ponto de


• Este ponto pode ser considerado como um ponto de

“perturbação” nas deformações, conforme se mostra nas figuras

a seguir:

ponto de perturbação Zona de perturbação

• Esquemas estruturais do pavimento com o pilar sendo

o ponto de perturbação e no segundo caso com a barra

de placa após o pilar se apresentando como zona de perturbação


• Assim é fato que as vigas interferem bastante no cálculo, sendo que

se tiverem grande inércia fazem com que os momentos negativos

da placa aumentem;

• Assim pode-se dizer que quanto maior a rigidez dos elementos de

contorno da placa mais possibilidade de momentos negativos altos

ocorre;

• Em CARVALHO (1994) como se usou a inércia das vigas como Te, os


• Em CARVALHO (1994) como se usou a inércia das vigas como Te, os

resultados encontrados foram mais que nos exemplos aqui

realizados em que se considerou a inércia da laje apenas com seção

retangular;

• Uma maneira de se atenuar o efeito de perturbação dos pilares é

fazer uma malha de elementos pouco espaçados na região do pilar

(conforme detalhe apresentado a seguir);

• Além de considerar um número maior de nós e barras considera-se

que estas (barras internas ao pilar) tenham rigidez muito grande;

Esquema estrutural considerando mais barras

em torno do pilar, para diminuir o efeito da

perturbação

pilar pilar com malha refinada

pilar

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