Anéis Principais

Acadêmicos:Paulo Sérgio

Rosilene Starly Mariano

Proposição 4: Num anel principal todo elemento irredutível é primo.Demonstração:

Proposição 5: Num anel principal A dois elementos quaisquer a e b admite máximo divisor comum em A.Demonstração:

Proposição 6: Um elemento p ≠ 0 de um anel principal A é irredutível se, e somente, se o ideal ˂p˃ é maximal.Demonstração:

Lema 1: Seja I1 c I2 c I3 c ... uma sequência de ideais num anel principal A. Então existe r ≥ 1 de modo que I1 = Ir+1 = ...Demonstração:

Lema 2: Seja A um anel principal. Então um elemento a є A, não nulo e não invertível, admite um divisor irredutível.Demonstração:

Teorema 1: ( Fatoração única ): Seja A um anel principal. Dado um elemento a є A, não nulo e não invertível, existem elementos irredutíveis p1, p2, ... pn (n ≥1) de maneira que a = p1.p2....pn. Além disso, se a = q1.q2....qs com os aj irredutíveis, então n=s e cada fator pi da primeira decomposição é associado do fator qj da segunda decomposição.Demonstração: