Anexo 2 - Circuitos Elétricos Em CA

8/17/2019 Anexo 2 - Circuitos Elétricos Em CA

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ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Alternada 5/42

Índice

1. CORRENTE ALTERNADA? .................................................................................................................. 7

1.1. Formas da Corrente Eléctrica ................................................................................................... 7

1.2. Corrente Alternada versus Corrente Contínua......................................................................... 8

2. C ARACTERÍSTICAS DA CORRENTE ALTERNADA ............................................................................ 9

2.1. Valor Instantâneo - u(t).............................................................................................................. 9

2.2. Período - T e Frequência - f ...................................................................................................... 9

2.3. Amplitude Máxima - Um ..........................................................................................................10

2.4. Valor Eficaz - U........................................................................................................................10

3. R ESISTÊNCIA, R EACTÂNCIA INDUTIVA, R EACTÂNCIA C APACITIVA E IMPEDÂNCIA..............12

3.1. Circuitos com Resistências ...................................................................................................... 12

3.2. Circuitos com Indutâncias (Bobinas).....................................................................................123.3. Impedância Indutiva (Bobina + Resistência) ....................................................................... 14

3.4. Circuitos com Capacitâncias (Condensadores) .................................................................... 16

3.5. Impedância Capacitiva (Condensador + Resistência).........................................................18

3.6. Circuito RLC Série (Resistência + Indutância + Condensador) ....................................... 21

3.7. Circuito RLC Paralelo (Resistência + Indutância + Condensador)..................................23

3.8. Comentário Sobre Análise de Circuitos em Corrente Alternada.......................................24

4. POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, ACTIVA, R EACTIVA E APARENTE..................................................26

4.1. Potência Instantânea ................................................................................................................ 264.2. Potência Activa ......................................................................................................................... 26

4.3. Potência Reactiva......................................................................................................................27

4.4. Potência Aparente.....................................................................................................................28

5. COMPENSAÇÃO DO F ACTOR DE POTÊNCIA..................................................................................29

5.1. Inconvenientes da Potência/Energia Reactiva.....................................................................29

5.2. Compensação do Factor de Potência .................................................................................... 30

6. SISTEMAS TRIFÁSICOS ......................................................................................................................33

6.1. Sistemas Trifásicos versus Sistemas Monofásicos..................................................................33

6.2. Produção - Alternador Trifásico.............................................................................................33

6.3. Sistema Equilibrado..................................................................................................................35

6.4. Condutor Neutro......................................................................................................................36

6.5. Tensões Simples e Compostas................................................................................................36

6.6. Ligação de Receptores Trifásicos - Triângulo e Estrela......................................................38

6.7. Cálculo de Potência dos Sistemas Trifásicos ........................................................................ 39

7. R EFERÊNCIAS ....................................................................................................................................42


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6/42 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Alternada


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1. CORRENTE A LTERNADA ?

A primeira coisa que é necessário perceber, é o que é a corrente alternada e porque é que é tãoutilizada.

1.1. Formas da Corrente Eléctrica A energia eléctrica, sendo utilizada de múltiplas maneiras, pode apresentar-se nos circuitos emdiferentes formas:

Contínua

O fluxo de electrõesdá-se apenas numsentido

Constante

A tensão/corrente éconstante

Obtém-se a partir depilhas, baterias,dínamos, fontes detensão, rectificação decorrente alternada

Variável

A tensão/corrente varia

Obtém-se a partir defontes de tensão

Descontínua

O fluxo de electrõesdá-se nos doissentidos

Periódica

A tensão/corrente varia sempre damesma maneira,repetindo-se aolongo do tempo

Sinusoidal

A variação da corrente ésinusoidal

Obtém-se a partir dealternadores,geradores de sinal

Quadrada/Triangular

A variação da corrente érectangular/triangular

Obtém-se a partir de

geradores de sinal

Não periódica

A tensão/correntenão se repete notempo

Sinais de rádio etelevisão, ruído(electromagnético)

São de salientar as duas formas de corrente eléctrica mais utilizadas:

Corrente contínua constante - conhecida por corrente contínua ( CC, emPortuguês, ou DC em Inglês)

Corrente descontínua periódica sinusoidal - conhecida por corrente alternada( CA , em Português, ou AC em Inglês)


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1.2. Corrente Alternada Corrente Contínua

Desde o início da história da electricidade que se iniciou a questão da opção entre correntecontínua (CC) e corrente alternada (CA). A partir de 1882, a CA foi adoptada para otransporte e distribuição de energia eléctrica em larga escala [1], pelas seguintes razões [2]:

A elevação e o abaixamento de tensão são mais simples Tal como já foi referido no ponto ‘Noções Sobre Sistemas Eléctricos deEnergia’, para reduzir as perdas energéticas no transporte de energia eléctrica énecessário elevar o valor da tensão. Posteriormente, a distribuição dessaenergia eléctrica aos consumidores, é necessário voltar a baixar essa tensão.Para isso utilizam-se transformadores elevadores e abaixadores de tensão, deconstrução bastante simples e com um bom rendimento. O processo dereduzir e aumentar a tensão em CC é bastante mais complexo, emboracomecem a aparecer, hoje em dia, sistemas de electrónica de potência capazesde executar essa tarefa (embora com limitações de potência).

Os alternadores (geradores de CA) são mais simples e têm melhor rendimento queos dínamos (geradores de CC).

Os motores de CA, particularmente os motores de indução são mais simples etêm melhor rendimento que os motores de CC.

A CA pode transformar-se facilmente em CC por intermédio de sistemasrectificadores.


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2. C ARACTERÍSTICAS DA CORRENTE A LTERNADA

2.1. Valor Instantâneo - u(t)

O valor instantâneo de uma grandeza alternada sinusoidal - u - pode representar-sematematicamente em função do tempo - t:

u(t) = Um.sin ( t)

em que representa a velocidade angular (velocidade de rotação do alternador que gera aenergia eléctrica alternada sinusoidal) e representa-se em radianos por segundo - rad/s. Arelação entre a velocidade angular, a frequência e o período é a seguinte:

= 2.f = 2 / T

Se considerarmos um vector U, de comprimento Um, rodando à velocidade , o valorinstantâneo u será a projecção vertical desse vector:

wt

w (rad/s)

Um

uU

Figura 1: Valor instantâneo como projecção de vector em rotação

Efectivamente, podemos confirmar graficamente a relação matemática:

u = Um.sin ( t)

2.2. Período - T e Frequência - f

Dado que a CA se repete periodicamente (ciclicamente), uma das característica fundamentais éo valor do intervalo de tempo entre repetições (ou ciclos), ou seja, o período - T, cujaunidade é o segundo - s.

t

u

Figura 2: Período de uma tensão alternada sinusoidal

T


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É comum utilizar-se uma outra característica da CA, directamente relacionada com o período- a frequência - f . Esta grandeza representa o número de ciclos que ocorre num segundo e asua unidade é o Hertz - Hz.

A relação entre a frequência e o período é então:

f T

1

Note-se que o período e a frequência são características comuns a todos os sinais periódicos,

isto é. não se utilizam apenas em corrente alternada sinusoidal, mas também em sinais deoutras formas (quadrada, triangular, digital, etc.).

2.3. Amplitude Máxima - Um

Também designada por valor máximo ou valor de pico, a amplitude máxima é o valor

instantâneo mais elevado atingido pela grandeza (tensão, corrente, f.e.m., etc.). Para asgrandeza tensão e corrente, este valor pode ser representado pelos símbolos Um e Im. Podemconsiderar-se amplitudes máximas positivas e negativas:

t

u

Figura 3: Amplitude máxima de uma tensão alternada sinusoidal

2.4. Valor Eficaz - U

O valor eficaz de uma grandeza alternada é o valor da grandeza contínua que, para uma dadaresistência, produz, num dado tempo, o mesmo Efeito de Joule (calorífico) que a grandezaalternada considerada.

Exemplo:

Em Portugal, a tensão (e a corrente) da rede pública têm uma frequência f = 50 Hz,correspondendo a um período T = 20 ms.

Quer isto dizer que a tensão de que dispomos nas tomadas de nossas casas descreve 50 ciclosnum segundo, mudando de sentido 100 vezes por segundo.

Exemplo:

A frequência de um sinal de rádio modulado em frequência (FM) anda na ordem dos 100MHz, descrevendo portanto 100 milhões de ciclos num segundo.

Um

Um


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No caso de grandezas alternadas sinusoidais, o valor eficaz é 2 vezes menor que o valormáximo, independentemente da frequência ( Figura 4 ):

I I

I m

m 2

0 7. e U U

U m

m 2

0 7.

Note-se que: A prova desta relação pode encontrar-se, por exemplo, em [3].

O valor eficaz não é o mesmo que o valor médio aritmético.

A relação de 2 entre o valor máximo e o valor eficaz só se verifica para CA. Paraoutras formas de onda, a relação é diferente.

O valor indicado pelos voltímetros e amperímetros, quando se efectuam medidasem CA, é o valor eficaz.

Quando é referido um dado valor de uma tensão ou corrente alternada, este serásempre um valor eficaz, salvo se outro for explicitamente mencionado.

t

u

Figura 4: Valor eficaz de uma tensão alternada sinusoidal

Refira-se ainda que, em determinadas situações, o que interessa considerar é o valor máximoda grandeza e não o valor eficaz. No dimensionamento de isolamento eléctrico, por exemplo,

deve considerar-se o valor máximo de tensão. O valor máximo admissível por um multímetro,por exemplo, poderá ser de 1100 V para CC e de 780 V para CA (porque um valor eficaz de780 V corresponde a um valor de pico de 1100 V, aproximadamente).

Exemplo:

Quando dizemos que a tensão da rede é de 230 V, estamos a indicar o seu valor eficaz. O valor máximo da tensão será:

Um 230 / 0.7 330 V

U 0.7xUm

Um


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3. R ESISTÊNCIA , R EACTÂNCIA INDUTIVA , R EACTÂNCIA C APACITIVA EIMPEDÂNCIA

A análise de circuitos em corrente alternada (CA) implica o estudo do comportamento de trêselementos eléctricos básicos: resistência, indutância (bobina) e capacidade (condensador).

3.1. Circuitos com Resistências

Quando um circuito contém apenas resistências puramente ohmicas, a corrente é, emqualquer instante e devido à Lei de Ohm, proporcional à tensão. Se a tensão aplicada a umaresistência é alternada sinusoidal, a corrente terá também um formato sinusoidal, anulando-senos mesmos instante da tensão e atingindo o máximo nos mesmos instantes da tensão ( Figura 5 ).

Tempo

T e n s ã o / C o r r e n t e

Corrente

Tensão

Figura 5: Fase entre a tensão e corrente sinusoidais numa resistência

Diz-se então que a tensão e a corrente nesse circuito estão em fase, isto é, estão sincronizadasuma com a outra.

Se tivermos:

u = Um.sin ( t)

a corrente, em qualquer instante de tempo, será:

i u

R

U

Rwt I wt m m . sin . sin

Se representarmos estas duas grandezas vectorialmente, teremos dois vectores colineares:

UI

Figura 6: Vectores tensão e corrente numa resistência

3.2. Circuitos com Indutâncias (Bobinas)

Tal como vimos nas noções de electromagnetismo, numa bobina, quando a corrente varia, éauto-induzida uma f.e.m. (pela Lei de Lenz, contrária à causa que lhe deu origem). Esta força(contra) electromotriz expressa-se pela seguinte forma:

e Li

t


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em que L é o coeficiente de auto-indução da bobina. Conclui-se então que, numa bobina,quando a corrente varia, a f.c.e.m. também varia. Se supusermos que a corrente instantânea seexpressa pela seguinte equação:

i = Im.sin ( t)

a tensão aos terminais da bobina será:

u e L i

t L

I wt

t I w L wt I w L wt

m

m m .sin

. . .cos . . .sin º90

Verificamos então que existe um desfasamento de 90º entre a corrente que percorre umabobina e a tensão aos terminais dessa bobina:

U

I90º

Figura 7: Vectores tensão e corrente numa bobina

Em termos de representação temporal, teremos:

Tempo

T e n s ã o

/ C o r r e n t e

Corrente

Tensão

Figura 8: Fase entre a tensão e corrente sinusoidais numa bobina

Reparando na Figura 8 , podemos observar que quando a corrente se anula (inclinaçãomáxima), a tensão é máxima (negativa ou negativa) e que quando a corrente atinge os seusmáximos negativos ou positivos (inclinação nula), a tensão anula-se.

À razão entre o valor máximo da tensão (Um ) e o valor máximo da corrente (Im ) numa bobina,igual a .L, dá-se o nome de reactância indutiva ( XL ):

X L = .L = 2.f.L

A reactância indutiva mede-se em ohms e representa a maior ou menor oposição (resistência)de uma bobina à passagem da corrente alternada. Ao contrário do que acontece numaresistência, esta oposição varia com a frequência do sinal. Quanto maior a frequência, maiorserá a reactância indutiva, implicando uma maior oposição à passagem da corrente. Para afrequência nula, a reactância indutiva será também nula, correspondendo a bobina a um curto-circuito. Para frequência infinita, a reactância indutiva será também infinita, correspondendo a

bobina a um circuito aberto.


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3.3. Impedância Indutiva (Bobina + Resistência)

Como nenhuma bobina tem resistência nula (nem nenhuma resistência tem indutância nula),podemos representar uma bobina real como uma bobina ideal (indutância pura - L ) em sériecom uma resistência ideal (puramente resistiva - R ):

R

UR

I

~ L U

LU

Figura 9: Circuito com impedância indutiva

Do que vem de trás, podemos dizer que:

A tensão UR na resistência R está em fase ( 0º ) com a corrente I

A tensão UL na bobina L está em quadratura ( 90º ) com a corrente I

Aplicando a Lei de Kirchoff das malhas ao circuito da Figura 9 , fica:

U = UR + UL

Podemos representar esta relação em termos vectoriais da seguinte forma:

UR

I

UL

U

Figura 10: Vectores tensão e corrente em circuito com impedância indutiva

Exemplo:

Uma f.e.m. de 10 V de valor eficaz e 50 Hz de frequência é aplicada a uma bobina de 0.1 H.Determine a reactância indutiva da bobina e a corrente que a percorre.

Resolução:

Para a reactância indutiva,X L = .L = 2.f.L = 2 x 50 x 0.1

X L 31

A corrente terá o valor (eficaz) de

I = E / X L = 10 / (2 x 50 x 0.1) = 1 / (2 ) 0.16 A


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Em termos temporais, temos a adição de duas sinusóides desfasadas de 90º:

Tempo

T e n s ã o

UR

UL

U

Figura 11: Fase entre a tensão e corrente sinusoidais numa impedância indutiva

Obviamente que a amplitude de U, pelo Teorema de Pitágoras : U U U R L 2 2

Mas, sabemos que

UR = R.I e UL = X L.I

Define-se então impedância Z como a divisão da tensão U pela corrente I:

Z U

I

Como a corrente I tem fase nula, pode desenhar-se um triângulo de vectores para a

impedância Z, reactância indutiva XL e resistência R , similar ao triângulo de tensões:

R

XL

Z

Figura 12: Triângulo de impedância em circuito com impedância indutiva

Obviamente que o módulo de Z, será:

Z R X L 2 2

O ângulo é o mesmo que o ângulo entre a tensão na resistência ( UR ) e a tensão total ( U ), epode calcular-se através de, por exemplo:

= arccos (R / Z) ou = arctan (X L / R)


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3.4. Circuitos com Capacitâncias (Condensadores)

Tal como vimos na referência ao campo eléctrico, a carga num condensador é dada, emqualquer instante de tempo por:

Q = C.U

Dado que a corrente é definida como a passagem de carga eléctrica, por unidade de tempo:

I = Q / t

então, a relação entre a tensão e a corrente, num condensador de capacidade C é I C

U

t .

Tal como nas bobinas, conclui-se então que, num condensador, quando a tensão varia, acorrente também varia. Se supusermos que a tensão instantânea se expressa pela seguinteequação:

u = Um.sin ( t)

a corrente que atravessa o condensador será:

i C

u

t C

U wt

t U w C wt U w C wt

m

m m

.sin. . .cos . . .sin º90

Exemplo:

Uma bobina de indutância 0.1 H e resistência 80 é ligada a uma fonte de alimentação de100 V, 600 Hz. Calcular a impedância do circuito e a corrente fornecida pela fonte. Qual odesfasamento entre a tensão e a corrente totais?

Resolução: A reactância indutiva,

X L = .L = 2.f.L = 2 x 600 x 0.1

X L 377

Se R = 80 , a impedância será de:

Z = (802 + 3772 ) 385

A corrente calcula-se pela Lei de Ohm :

I = U / Z = 100 / 385 0.26 A

Para calcular o desfasamento, sabemos que

= arctan (X L / R) = arctan (377 / 80) 78º

Nota:

Se considerarmos a corrente como a origem das fases, poderemos escrever as expressões dacorrente e da tensão em função do tempo da seguinte maneira:

i = Im.sin (wt) = 2 x I x sin (wt) = 0.26 x 2 sin (1200.t)

u = Um.sin (wt + ) = 2 x U x sin (wt + ) = 100 x 2 sin (1200.t + 78º)


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Verificamos então também existe um desfasamento de 90º entre a corrente que percorre ocondensador e a tensão aos terminais desse condensador, só que agora, quem “vai à frente” éa corrente:

U

I

90º

Figura 13: Vectores tensão e corrente num condensador

Em termos de representação temporal, teremos:

Tempo

T e n s ã o / C o r r e n t e

Corrente

Tensão

Figura 14: Fase entre a tensão e corrente sinusoidais num condensador

A figura anterior permite observar que quando a tensão se anula (inclinação máxima), acorrente é máxima (negativa ou negativa) e que quando a tensão atinge os seus máximosnegativos ou positivos (inclinação nula), a corrente anula-se.

À razão entre o valor máximo da tensão (Um ) e o valor máximo da corrente (Im ) numcondensador, igual a 1/( .L), dá-se o nome de reactância capacitiva ( XC ):

X C = 1 / ( .C) = 1 / (2.f.C)

A reactância capacitiva mede-se em ohms e representa a maior ou menor oposição (resistência)de um condensador à passagem da corrente alternada. Tal como o caso das indutâncias, estaoposição varia com a frequência do sinal. Quanto menor a frequência, maior será a reactância

capacitiva, implicando uma maior oposição à passagem da corrente. Para a frequência nula(CC), a reactância capacitiva será infinita, correspondendo o condensador a um circuitoaberto. Para frequência infinita, a reactância capacitiva será nula, comportando-se ocondensador como um curto-circuito.


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3.5. Impedância Capacitiva (Condensador + Resistência)

Importa agora verificar o comportamento de um circuito com um condensador ( C ) em sériecom uma resistência ( R ):

R

UR

I

~ U

CU C

Figura 15: Circuito com impedância capacitiva

Podemos dizer que:

A tensão

UR na resistência

R está em

fase (

0º ) com a corrente

I

A tensão UC no condensador C está em quadratura ( 90º ) com a corrente I

Aplicando a Lei de Kirchoff das malhas ao circuito da Figura 15 , fica:

U = UR + UC

Exemplo:

Calcule a reactância de um condensador de capacidade 1F, quando ligado num circuito àfrequência de:

a) 100 Hz

b) 5000 HzQue corrente fluiria no circuito em cada um dos casos, se a tensão fosse de 10 V?

Resolução:

A reactância capacitiva será,

a) X C = 1 / ( .C) = 1 / 2.f.C = 1 / (2 x 100 x 10-6 ) 1590

b) X C = 1 / ( .C) = 1 / 2.f.C = 1 / (2 x 5000 x 10-6 ) 31.8

A corrente terá o valor (eficaz) de

a) I = E / X C = 10 / 1590 6.3 mAb) I = E / X C = 10 / 31.8 314 mA


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Podemos representar esta relação em termos vectoriais da seguinte forma:

UR

I

UC U

Figura 16: Vectores tensão e corrente em circuito com impedância capacitiva

Em termos temporais, temos a adição de duas sinusóides desfasadas de 90º:

Tempo

T e n s ã o

UR

UC

U

Figura 17: Fase entre a tensão e corrente sinusoidais numa impedância capacitiva

Tal como para o caso indutivo, pode calcular-se a amplitude de U pelo Teorema de Pitágoras :

U U U R C 2 2

Mas, sabemos que

UR = R.I e UC = X C.I

A impedância total do circuito Z será:

Z U

I

Considerando a tensão U com fase nula, pode desenhar-se um triângulo de vectores para a

impedância Z, reactância capacitiva XC e resistência R , similar ao triângulo de tensões:

R

XC

Z

Figura 18: Triângulo de impedância em circuito com impedância capacitiva

O módulo de Z será portanto:

Z R X C 2 2


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O ângulo é o mesmo que o ângulo entre a tensão na resistência ( UR ) e a tensão total ( U ), epode calcular-se através de, por exemplo:

= arccos (R / Z) ou = arctan (X C / R)

Exemplo:

Liga-se uma resistência de 40 em série com um condensador de 50 F, ambos alimentadospor 110 V. Se a corrente no circuito for de 2 A, qual a frequência da fonte de alimentação?Qual a tensão no condensador e na resistência?

Resolução:

Se para uma tensão aplicada de 110 V, a corrente que flui no circuito é de 2 A, a impedânciapode ser calculada:

Z = 110 / 2 = 55

Agora, se

Z = (R 2 + X C 2 )então

X C = (Z2 - R 2 ) = (552 - 40 2 ) 37.75

Para calcular a frequência, sabemos que

X C = 1 / (2fC)

f = 1 / (2CX C )

f 106 / (2 x 50 x 37.75) 84.3 Hz

As tensões aos terminais dos elementos são

UR = R.I = 2 x 40 = 80 V

UC =X C.I 2 x 37.75 75.5 V

Para confirmar estes resultados, podemos verificar se a soma de dois vectores perpendicularesde amplitudes 80 V e 75.5 V resulta num vector com amplitude de 110 V, isto é:

U = (UR 2 + UC2 )

U = (802 + 75.52 ) 110 V

Confirma-se portanto o resultado.


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3.6. Circuito RLC Série (Resistência + Indutância + Condensador)

Consideremos um circuito com resistência, reactância indutiva e capacitiva ( Figura 19 ). Naprática, todos os circuitos têm estes elementos. Embora alguns dos respectivos valores possamser muito pequenos em relação aos outros e portanto desprezáveis. De facto, há semprefenómenos indutivos e capacitivos inerentes a um circuito, ainda que possam ser pouco

intensos (por exemplo, o problema dos parâmetros distribuídos em qualquer linha detransporte de energia eléctrica).

R

UR

I

~

UC

U

C

L UL

Figura 19: Circuito RLC série

A resistência R poderá incluir a resistência de outros elementos, como por exemplo a dabobina.

Pela Lei das Malhas sabemos que:

U = UR + UC + UL

Devemos distinguir três situações diferentes:

1ª Situação

UL > UC (X L > X C ) Circuito IndutivoEm termos vectoriais:

UR

I

UL

U

UC

UC+U

L

Figura 20: Vectores tensão e corrente em circuito RLC indutivo


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2ª Situação

UL < UC (X L < X C ) Circuito Capacitivo

Em termos vectoriais:

UR I

UL

U

UC

UC+U

L

Figura 21: Vectores tensão e corrente em circuito RLC capacitivo

3ª Situação

UL = UC (X L = X C ) Circuito em Ressonância

Em termos vectoriais:

UR

I

UL

U

UC

Figura 22: Vectores tensão e corrente em circuito RLC em ressonância

Como pode ser observado, as tensões no capacitância e na indutância anulam-se mutuamente.Esta situação (de ressonância) deve ser evitada, pois podem produzir-se sobretensões elevadas,perigosas para pessoas e instalações (danificação de isolamentos nas máquinas eléctricas, porexemplo). No entanto, existem casos em que a ressonância é utilizada.

Para cada circuito RLC há uma frequência da tensão aplicada que o leva à ressonância. Afrequência para a qual X L = X C denomina-se de frequência de ressonância - f r e pode sercalculada da seguinte maneira:

X X f L f C

f LC

L C r r

r

2

1

2

1

2


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3.7. Circuito RLC Paralelo (Resistência + Indutância + Condensador)

Consideremos um circuito com resistência, reactância indutiva e capacitiva ligados em paralelo( Figura 19 ). Na prática, todos os circuitos têm estes elementos. Embora alguns dos respectivos

valores possam ser muito pequenos em relação aos outros e portanto desprezáveis. De facto,há sempre fenómenos indutivos e capacitivos inerentes a um circuito, ainda que possam ser

pouco intensos (por exemplo, o problema dos parâmetros distribuídos em qualquer linha detransporte de energia eléctrica).

I

~ LU C

IC

R

IL

IR

Figura 23: Circuito RLC paralelo

Consideramos, neste caso, que todos os elementos são “puros”.

Pela Lei dos Nós sabemos que:

I = IR + IC + IL

Exemplo:

Considere um circuito RLC série com R = 100 , L = 0.5 H e C = 10 F.

a) Determine a frequência de ressonância do circuito

b) Calcule UL e UC para uma f.e.m. aplicada de 200 V, à frequência de ressonância

Resolução:

a) f r = 1 / (2(LC)) 1 / 6.28 (0.5 x 10 x 10-6 ) 74.1 Hz

b) Como as reactâncias indutiva e capacitiva se anulam, à frequência de ressonância,

I = U / Z = U / R = 200 / 100 = 2 A

Para calcular as tensões aos terminais dos elementos reactivos,

X C = X L = 2 f rL 2 x 74.1 x 0.5 224.2

e então

UC = UL = X LI 224.2 x 2 = 448.4 V Como verificamos, a tensão aos terminais da indutância e da capacitância é mais do dobro daf.e.m. aplicada ao circuito (200 V). Podem portanto surgir sobretensões indesejáveis ao bomfuncionamento dos circuitos.


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Comparando com o caso da série RLC, agora devemos considerar um triângulo de correntesformado pelos vectores de cada uma das correntes:

IR U

IL

I

IC

IC+IL

Figura 24: Triângulo de correntes em circuito RLC paralelo

Em termos algébricos (e porque os elementos são puros), podemos escrever:

I2 = IR 2 + (IC - IL )2

I = (IR 2 + (IC - IL )2 )e

cos I

I

R

O módulo da impedância total do circuito obtém-se por

Z U

I

Tal como no circuito RLC série, distinguem-se três casos particulares:

IL > IC (X L < X C ) Circuito IndutivoIL < IC (X L > X C ) Circuito Capacitivo

IL = IC (X L = X C ) Circuito em Ressonância

Analogamente ao que acontecia com as tensões no circuito RLC série em ressonância, aquisão as correntes na capacitância e na indutância que se anulam mutuamente. Enquanto que nocircuito RLC série poderiam aparecer sobretensões, no circuito RLC paralelo são as correntesque podem ser demasiado elevadas

Dado que a ressonância ocorre quando X L = X C, a frequência de ressonância - f r é calculadada mesma maneira que no caso do circuito RLC série:

f LC

r 1

2

3.8. Comentário Sobre Análise de Circuitos em Corrente Alternada

O estudo de circuitos eléctricos de CA é feito a partir das mesmas leis gerais estudadas para ocaso de CC. Assim, num circuito de CA verifica-se que em qualquer instante a soma algébricadas diferenças de potencial ao longo de uma malha é nula (Lei das Malhas de Kirchoff) e asoma algébrica das correntes num nó é também nula (Lei dos Nós de Kirchoff).

No entanto, como no caso da CA as tensões e as correntes são variáveis, a análise de circuitosem CA tornar-se-ia extremamente complexa se trabalhássemos no domínio dos tempos oucom a representação gráfica de vectores (tal como temos estado a trabalhar). Para simplificaresta análise existe a , que permite o estudo do comportamento


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dos circuitos de uma forma mais simplificada. A utilização desta transformada torna-sefundamental quando analisamos circuitos com associações mais complexas de elementos(resistências, indutâncias e condensadores).

Tal como outras transformadas (Fourier, Laplace, Z, etc.), as grandezas são transformadaspara o domínio de Steinmetz (complexo), onde são efectuadas todas as operações necessárias

para a resolução do circuito (adições, multiplicações, etc.), de um modo muito mais simples.Um caso muito simples da utilização de uma transformada é o da Régua de Cálculo, que erautilizada antigamente, antes de aparecerem as máquinas calculadoras, para executar operaçõesde multiplicação, divisão e exponenciação. Operações de multiplicação, por exemplo, podemconverter-se para o “domínio logarítmico” transformando-se em operações de soma, pois, porexemplo: A x B = alog (log A + log B).

Não parece ser relevante o estudo pormenorizado dos circuitos em CA no âmbito de umBacharelato em Engenharia Mecânica de Transportes. Por esta razão, fica aqui feito ocomentário para que quem eventualmente tiver necessidade de trabalhar com estes circuitos, opossa fazer, recorrendo à Transformada de Steinmetz, que poderá estudar em qualquer livro

ou sebenta nesta área (Análise de Circuitos Eléctricos em Corrente Alternada, Teoria deElectricidade, Teoria dos Circuitos, etc.).


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4. POTÊNCIAS INSTANTÂNEA , A CTIVA , R EACTIVA E A PARENTE

4.1. Potência Instantânea

Considere-se um circuito ao qual se aplicou uma tensãou = Um.sin ( t)

e que é percorrido pela corrente

i = Im.sin ( t + )

A potência dissipada em cada instante - potência instantânea - é igual ao produto de u por i.

Vamos apresentar o gráfico da potência instantânea p para cada tipo de circuito. Assim, paracada instante, multiplicam-se os valores respectivos de u e i, entrando em linha de conta como sinal algébrico correspondente ao sentido das grandezas.

Supondo que os valores máximos da tensão e da corrente são:

Um = 1.5 V e Im = 1 A

podemos representar graficamente as grandezas corrente, tensão e potência em função dotempo:

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

Tempo

I

ur

p

Figura 25: Potência, tensão e corrente numa resistência

O facto de a potência p ser sempre positiva significa que o circuito está a receber energia,estando neste caso a ser consumida na resistência.

4.2. Potência Activa

Há instantes em que a potência se anula, significando que a resistência não recebe potência eoutros instantes em que a potência atinge o máximo. Na prática, apenas nos interessa o valormédio dessa potência ( P ), que corresponde no gráfico da Figura 25 ao valor médio dasinusóide de p:

P U I U I UI

UI m m

2

2 2

2

2

2

.

No exemplo anterior,

P

U I m m

21 15

2 0 75

.

. W


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Esta potência média é a potência activa medida pelos Wattímetros (aparelhos de medida depotência). A sua expressão geral é:

P = RI2 = UI.cos ()

em que é o ângulo entre a tensão e a corrente (no caso da resistência, = 0º e cos 90º =

1).

4.3. Potência Reactiva

Podemos também traçar o gráfico da potência instantânea para uma indutância pura,considerando os mesmos valores máximos para a tensão e corrente:

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

Tempo

I

uL

p

Figura 26: Potência, tensão e corrente numa indutância

Note-se que a potência instantânea p é alternadamente positiva e negativa, com umafrequência dupla da tensão e corrente existentes na indutância.

Se a potência instantânea de um receptor é positiva, ele consome energia da fonte dealimentação. Nas alturas em que essa potência é negativa, esse receptor fornece energia àfonte de alimentação.

No caso da indutância, esta recebe e fornece energia, alternadamente, sendo a média nula, istoé, a energia recebida é igual à energia devolvida, pelo que não é dissipada.

Se ligarmos um Wattímetro para medir a potência activa, ele indica potência nula - P = 0 W.

Apesar de não ser consumida, esta energia circula no circuito traduzindo-se numa correnteeléctrica. A potência correspondente a esta energia oscilante designa-se por PotênciaReactiva e representa-se por Q.

Para uma indutância pura, Q pode ser calculada pela seguinte expressão:

Q = X LI2

No caso geral, para determinarmos a potência aparente de um elemento ou circuito,utilizamos a seguinte expressão:

Q = UI.sin ()

em que U e I são a tensão e corrente nesse elemento ou circuito e é o ângulo entre tensão ecorrente. No caso da indutância pura, esse ângulo é de 90º (sin 90º = 1). A potência reactivapode medir-se por intermédio de Varímetros e a sua unidade é o Volt-Ampère Reactivo -

VAr.


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4.4. Potência Aparente

À potência que aparentemente se consome num dado circuito CA, atendendo à tensão e àintensidade da corrente que o percorre chama-se Potência Aparente. Esta potênciarepresenta-se por S, mede-se em Volt-Ampère - VA e pode ser determinada pela expressão:

S = UIEm termos vectoriais, podemos representar o chamado triângulo de potências (caso indutivo):

P

QS

Figura 27: Triângulo de Potências

Podemos então relacionar o módulo das três potências da seguinte maneira:

S P Q 2 2

Exemplo:

Dois motores M1 e M2 estão ligados em paralelo sob uma tensão de 220 V, 50 Hz. Sabendo ascorrentes que estes absorvem e os respectivos factores de potência:

I1 = 20 A, cos 1 = 0.8

I2 = 30 A, cos 2 = 0.7

Calcule a corrente total e o factor de potência total.Resolução:

Sabemos que

P1 = U.I1.cos 1 = 220 x 20 x 0.8 = 3.52 KW

P2 = U.I2.cos 2 = 220 x 30 x 0.7 = 4.62 KW

Q1 = P1.tg 1 = 3.52 x 103 x 0.75 = 2.64 KVAr

Q2 = P2.tg 2 = 4.62 x 103 x 1.02 = 4.71 KVAr

As potências totais do conjunto dos dois motores será:

P = P1 + P2 = 3.52 + 4.62 = 8.14 KW

Q = Q1 + Q2 = 2.64 + 4.71 = 7.35 KVAr

Podemos determinar a potência aparente S, através de

S = (P2 + Q2 ) = (8.142 + 7.352 ) 10.97 KVA

O módulo da corrente total será:

I = S / U = 10970 / 220 48.86 A

O factor de potência do conjunto é:

cos = P / S = 8.14 / 10.97 = 0.74


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5. COMPENSAÇÃO DO F ACTOR DE POTÊNCIA

5.1. Inconvenientes da Potência/Energia Reactiva

Embora só a potência activa seja consumida, também a potência reactiva representa um gastopara quem gera, transporta e distribui a energia, pois já vimos que as perdas ( Efeito de Joule )dependem da intensidade de corrente que percorre os condutores. Desta forma, ao fornecedorde energia interessa que não existam potências a oscilar na rede (reactivas).

Interessa portanto que a potência activa P seja o mais próxima possível da potência aparenteS. Se dividirmos P por S, ficamos com:

P

S

UI

UI

coscos

A esta relação entre a potência activa P e a potência aparente S chama-se factor de potência.

A existência de factores de potência inferiores a 1 nas instalações industriais deve-se aosreceptores indutivos, maioritariamente motores eléctricos (mas também outros, tais comolâmpadas fluorescentes), que são constituídos internamente por bobinas (indutâncias).Normalmente não existem receptores capacitivos.

Podem enunciar-se alguns inconvenientes da existência de energia reactiva nas instalaçõeseléctricas:

Para o produtor de energia

Um alternador (gerador de CA utilizado nas centrais produtoras) é

principalmente caracterizado pela sua tensão U e pela máxima intensidade decorrente I (condicionada pela secção dos condutores das suas bobinas), isto é,pela sua potência aparente S = UI. Podemos desde já concluir que, estando oalternador a debitar a sua corrente máxima, a potência activa P que ele está aproduzir dependerá do cos da instalação consumidora. Assim, se osutilizadores tiverem um baixo cos implica que, para uma certa potência(activa) a fornecer, o alternador terá de ser construído para uma potênciasuperior sendo, portanto, de maior volume e preço.

O transformador elevador de tensão e toda a aparelhagem necessária (corte,seccionamento, protecção) têm de ser dimensionados para maiores

intensidades.

Exemplo:

Considere duas fábricas que consomem a mesma potência activa P = 1 MW com idênticatensão U = 10 KV, mas com factores de potência diferentes: cos 1 = 1 e cos 2 = 0.4.

Sendo P = UIcos , temos:

I1 = P1 / (U cos 1 ) = 106 / (104 x 1) = 100 A

I2 = P2 / (U cos 2 ) = 106 / (104 x 0.4) = 250 A

Para a mesma potência, a segunda instalação absorve uma corrente duas vezes e meia superiorà primeira. Este excesso de corrente traduz a circulação de energia reactiva que não éconsumida, mas que se traduz numa corrente indesejável que ocupa a rede.


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Temos assim que o produtor de energia exigirá que os utilizadores elevem ofactor de potência das suas instalações ou que paguem uma quantia consoantea energia reactiva que circula.

Para o transportador e distribuidor de energia

Se uma linha, dimensionada para uma certa potência aparente (S = UI), vaialimentar instalações com factores de potência baixos, implica que oinvestimento feito vai ser mal aproveitado, pois transportará energia activa (P)aquém da sua capacidade e, consequentemente, o consumidor receberá umaquantia baixa mesmo com a linha a plena carga (I = Imax ).

De modo análogo, a mesma linha poderia alimentar mais instalações, desdeque para as mesmas potências activas os respectivos factores de potênciafossem superiores.

Quanto mais elevada é a intensidade de corrente que percorre uma linha,maiores são as perdas (quedas de tensão e Efeito de Joule ), maior é o tamanho

dos dispositivos de corte, seccionamento e protecção, assim como ostransformadores abaixadores de tensão das subestações e dos postos detransformação.

Para o utilizador de energia

Ao utilizador (consumidor) também interessa que o factor de potência seja omais próximo de 1 pois, caso contrário, por exemplo numa fábrica, otransformador abaixador terá de ter uma potência aparente (S) superior, sendoportanto mais caro.

Para uma dada secção dos condutores de alimentação dos receptores, haverámaiores quedas de tensão e perdas de energia (que são contadas e pagas).

Poder-se-à nessa situação aumentar a secção dos condutores, o que aumenta ocusto da instalação.

A aparelhagem de corte, seccionamento e protecção terá de suportarintensidades superiores.

Se o factor de potência subir acima de um determinado limite, o consumidorserá penalizado pelas entidades produtoras, transportadoras e distribuidoras,pagando o excesso de energia reactiva. No caso português (EDP), se a energiareactiva “consumida” exceder 3/5 da energia activa. Cada KVAk a mais serápago a uma taxa de 1/3 do custo do KWh. Temos portanto que

Q

P tg

3

5

0857

31

cos .

º

5.2. Compensação do Factor de Potência

Conseguir um alto factor de potência, o mais próximo possível de 1, é portanto uma vantagempara todos os intervenientes da Cadeia da Energia Eléctrica.


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Em instalações de alguma dimensão, tais como fábricas, é conveniente compensar baixosfactores de potência. Este “melhoramento” da instalação é vulgarmente efectuadorecorrendo à utilização de condensadores em paralelo com os receptores, de modo a que acorrente “capacitiva” que neles circula vá anular (reduzir ao máximo) a corrente “indutiva”dos receptores:

R

It

~

L

U C

I

IC

Receptor

indutivo

Figura 28: Compensação do factor de potência

Em termos vectoriais, fica:

It

U

IC

I

Figura 29: Vectores na compensação do factor de potência

Através da ligação em paralelo da capacidade adequada, conseguiu anular-se a componenteindutiva da corrente, existindo apenas a componente activa (ângulo = 0º, cos = 1).

Na prática não se tenta anular a componente indutiva dado que:

A potência aparente está sempre a variar (a potência consumida pelos motores variaconsoante a carga).

Não é permitida a sobre-compensação de uma instalação (a instalação ficacapacitiva) pois pode provocar o aparecimento de sobretensões nas linhas.

Para calcular a capacidade dos condensadores (podem ser vários associados em paralelo), vamos recorrer a um exemplo.

Exemplo:

Queremos elevar de 0.7 para 0.8 o factor de potência de uma instalação. Esta consome 50KW a uma tensão de 220 V, 50 Hz. Calcular a capacidade a colocar em paralelo à entrada dainstalação.


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Resolução:

Considerando que:

cos i e Qi representam, respectivamente, o factor de potência e a potência reactiva dainstalação na situação inicial, antes de estar compensada

cos f e Qf representam, respectivamente, o factor de potência e a potência reactivada instalação na situação final, depois de compensada

Sabemos que

cos i = 0.7 tg i = 1.02

cos f = 0.8 tg f = 0.75

As potências reactivas são

Sem o condensador,

Qi = P.tg i = 50 x 103 x 1.02 = 51 KVAr

Com o condensador,

Qf = P.tg f = 50 x 103 x 0.75 = 37.5 KVAr

A potência reactiva que o condensador tem de ser capaz de trocar com a instalação é igual àdiferença das potências atrás calculadas:

Sem o condensador,

QC = Qi - Qf = (51 - 37.5) x 103 = 13.5 KVAr

A capacidade do condensador que a uma tensão de 220 V, 50 Hz, produz uma potênciareactiva de 13.5 KVAr pode ser calculada:

QC = X C IC2 = X C.(U / X C )2

C = QC / (w.U2 )

Então, para os valores do problema,

C 13500 / (314 x 2202 ) 888 F

A corrente absorvida pela instalação antes e depois da compensação é:

Ii = P / (U cos i ) = 50000 / (220 x 0.7) 325 A

If = P / (U cos f ) = 50000 / (220 x 0.8) 284 A


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6. SISTEMAS TRIFÁSICOS

6.1. Sistemas Trifásicos Sistemas Monofásicos

Apresentam-se a seguir algumas vantagens dos sistemas trifásicos em relação aos monofásicos([2]), a nível da sua produção, transporte e utilização:

Considerando dois alternadores, um monofásico e outro trifásico, de igual volume epreço, o segundo tem uma potência aproximadamente 50% superior ao primeiro.

Tal deve-se ao facto de haver um maior aproveitamento do perímetro do estator,isto é, há mais bobinas que são sede de f.e.ms. induzidas ([2]).

O somatório da secção dos condutores necessários para transportar umadeterminada potência é menor que nos sistemas monofásicos, em igualdade decondições de potência transportada, perdas e tensão nominal de transporte ([4]).

Para transportar uma dada quantidade de energia bastam três (ou quatro, comneutro) fios em trifásico, enquanto em monofásico seriam necessários seis fios deigual secção (ou dois de secção tripla) ([2]).

A capacidade dos sistemas trifásicos de produzir campos magnéticos girantes,permite a utilização dos motores assíncronos trifásicos, aparelhos simples, robustose económicos que detêm a quase totalidade do mercado em tracção eléctricaindustrial ([2], [4]).

A partir de um sistema trifásico podem obter-se três sistemas monofásicos (talcomo em nossas casas).

6.2. Produção - Alternador TrifásicoDescrevemos anteriormente a produção de corrente alternada sinusoidal por meio de umalternador. Na realidade, a maior parte dos alternadores geram tensões trifásicas, isto é, temtrês bobinas idênticas e independentes, dispostas simetricamente no estator, formando ângulosde 120º entre si [(2]):

NS

w

e1

e3

e2

Figura 30: Produção de três f.e.ms. por meio de um alternador trifásico

Quando o rotor roda, induz-se em cada bobina uma f.e.m. alternada sinusoidal. Estas f.e.m.têm igual amplitude máxima e estão desfasadas de 120º umas das outras, ou seja, de 1/3 deperíodo.


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Estas grandezas podem representar-se em termos matemáticos como:

e1 = Em.sin ( t)

e2 = Em.sin ( t - 120º)

e3 = Em.sin ( t - 240º)

Estas f.e.ms. (tensões) podem representar-se graficamente tal como na figura seguinte:

Tempo

T e n s ã o

u1

u2

u3

Figura 31: Tensão num sistema trifásico

Assim, este alternador designa-se por Alternador Trifásico, dado que produz três tensõesalternadas com fases diferentes. O alternador que apenas produz uma tensão designa-se por

Alternador Monofásico.

Tal como na corrente alternada monofásica, estas grandezas temporais podem representar-se vectorialmente:

U1

120º

U2

U3

w (rad/s)

Figura 32: Vectores tensão num sistema trifásico


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6.3. Sistema Equilibrado

Consideremos as três bobinas do alternador atrás descrito, a alimentarem três receptoresidênticos (resistências, neste caso), um em cada fase:

v w

u

x

y

zR

R

R

I1

I3

I2

Figura 33: Alimentação independente de três receptores idênticos

Para alimentar independentemente três receptores, é portanto necessário utilizar seis fios. Seos três receptores tiverem a mesma impedância, estes são percorridos por três corrente I1, I2 eI3, com idêntico valor eficaz mas desfasadas de 120º:

I1

120º

I2

I3

Figura 34: Vectores corrente num sistema trifásico equilibrado

Diz-se então que o sistema está equilibrado, pois a soma das três correntes é sempre nula (asoma de três vectores iguais e desfasados de 120º é um vector nulo.


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Na figura seguinte, URN é uma tensão simples e UST é uma tensão composta:

v w

u

x

y

z

N

R

S

T

UR

UST

Figura 37: Tensões simples e compostas

Temos portanto três tensões simples e três tensões compostas distintas entre si:

Tensões simples: UR , US, UT

Tensões compostas:

Tensão entre a fase R e a fase S - URS = UR - US

Tensão entre a fase S e a fase T - UST = US - UT

Tensão entre a fase T e a fase R - UTR = UT - UR

Podemos também representar estas tensões em termos vectoriais:

UR

US

UT

-US

URS

URS

URT

UST

Figura 38: Representação vectorial das tensões simples e compostas

Demonstra-se que o comprimento dos vectores das tensões compostas é 3 vezes superior aodas tensões simples, isto é:

Uc = 3.Us

De facto, para as redes de distribuição de baixa tensão, temos que

Us 230 V

Uc 3.230 400 V

Nas redes de distribuição, normalmente, indicam-se as tensões do modo: 230/400 V.


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Nas redes de transporte de alta e média tensões, apenas se indica o valor das tensõescompostas. Assim, quando é indicado que uma linha tem tensões de 220 kV ou 30 kV , são os

valores eficazes de tensões compostas.

6.6. Ligação de Receptores Trifásicos - Triângulo e Estrela

Os receptores trifásicos são formados por três elementos eléctricos (bobinas, resistências, etc.)que podem ser ligados de duas maneiras:

Em estrela - Y

Em triângulo -

Na ligação de receptores em estrela, já considerada atrás, poderão ocorrer dois casos:

Os receptores têm a mesma impedância - sistema equilibrado

Os receptores têm impedâncias diferentes - sistema desequilibrado

Repare-se que num sistema em estrela equilibrado, o condutor neutro é dispensável (tal comofoi referido atrás), isto é, ele pode ser retirado sem alteração do funcionamento dos receptores,já que a sua corrente é sempre nula. De facto, cada uma das linhas de fase faz de retorno emrelação às outras duas.

Há motores trifásicos cujas bobinas estão ligadas em estrela. Assim, poder-se-ia (sóidealmente, como vamos ver a seguir) alimentar o motor apenas com as três fases,dispensando-se o neutro.

No caso da estrela desequilibrada, o somatório das correntes nas fases não é nulo, sendoindispensável a ligação no condutor de neutro. Mesmo nos casos em que a estrela énormalmente equilibrada, não se deve cortar o neutro, dado que se faltar uma fase (porcorte de um dispositivo de protecção, por exemplo) estabelece-se um desequilíbrio de tensões.

Um exemplo de um receptor trifásico desequilibrado e ligado em estrela é o fogão eléctrico.Este têm diversas resistências para o forno e para os discos. Estas resistências estãodistribuídas pelas três fases, mas não têm todas o mesmo valor de resistência. Além disso, nãoestão sempre todas ligadas simultaneamente, pelo que é necessário levar o condutor de neutroao aparelho. Assim, além dos três condutores de fase, temos ainda o condutor de neutro e ocondutor de terra.

Saliente-se ainda que se pretende equilibrar ao máximo os sistemas trifásicos, de modo a que acorrente no condutor de neutro seja o menor possível. Uma menor corrente no neutro tem a

vantagem de permitir a utilização de um condutor de menor secção, para as mesmas perdasenergéticas. É por isso que o condutor de neutro é normalmente mais fino que os condutoresde fase (caso das linhas de transporte de energia eléctrica com neutro).


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Na ligação de receptores em triângulo, os receptores estão ligados entre as fases, tal comomostra a figura seguinte, para o caso de resistências:

R

RR

R

S

T

Figura 39: Ligação de receptores em triângulo

Tal como na ligação de receptores em estrela, na ligação em triângulo poderão ocorrer doiscasos:

Os receptores têm a mesma impedância - sistema equilibrado

Os receptores têm a impedâncias diferentes - sistema desequilibrado

A corrente num receptor (de fase) pode ser calculada dividindo a tensão compostas aos seusterminais pela sua impedância.

As correntes de linha podem ser determinadas de duas maneiras, consoante o sistema estáequilibrado ou não:

Sistema equilibrado - as correntes nas linhas (R, S, T) são 3 vezes superiores àscorrentes nos receptores (correntes de fase).

Sistema desequilibrado - as correntes nas linhas são determinadas em termos vectoriais, através da aplicação da Lei dos Nós de Kirchoff aos três nós.

Como conclusão pode dizer-se que nas montagens em estrela com neutro e em triângulo osreceptores (monofásicos) funcionam independentemente uns dos outros.

6.7. Cálculo de Potência dos Sistemas Trifásicos

Quer a carga seja equilibrada ou não, podem calcular-se (medir-se) as potências consumidasem cada fase e somar-se. Assim, somam-se as potências activas aritmeticamente:

P = PR + PS + P T

As potências reactivas têm de se somar algebricamente (tendo em conta se são indutivas oucapacitivas)

Q = QR + QS + Q T

No caso de sistemas equilibrados (triângulo ou estrela), pode utilizar-se a fórmula queseguidamente se apresenta:

P = 3.Uc.Il.cos

Q = 3.Uc.Il.sin

S = 3.Uc.Il


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em que:

Uc é a tensão composta (entre duas fases)

Il é a corrente nas linhas

Seguem-se alguns exemplos da medição de potência em sistemas trifásicos.

Exemplo 1:

Os elementos aquecedores de um forno, ligados em triângulo, absorvem uma corrente naslinhas de 20 A. Determine:

a) A potência do forno sabendo que a tensão na rede é 230/400 V

b) A intensidade que percorre cada elemento

Resolução:

a) P = 3.Uc.Il.cos = 3 x 400 x 20 x 1 13800 W = 13.8 kW

b) If = Il / 3 = 20 / 3 11.5 A

Exemplo 2:

Um motor trifásico tem as seguintes características nominais indicadas na chapa:

Potência útil - 15 Cv

Tensão - 400 V

Factor de potência - 0.75

Intensidade na linha - 24 A

Determine o rendimento do motor.Resolução:

É necessário determinar a potência absorvida pelo motor

Pa = 3.Uc.Il.cos = 3 x 400 x 24 x 0.75 12420 W 12.4 kW

O rendimento será

= Pu / Pa = 15 x 735 / 12420 0,8877 89 %

Exemplo 3:

Três resistências de 23 estão ligadas numa rede trifásica de 230/400 V. Calcule a potênciaabsorvida quando estão ligadas em estrela e em triângulo.

Resolução:

A potência pode ser dada, genericamente por:

P = 3.Uc.Il.cos

Em estrela fica:

P Y = 3.Uc.Il.cos = 3 x 230 x Il x 1 e Il = 230 / 23 = 10 A

Então,P Y = 3 x 230 x 10 = 6900 W


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Em triângulo temos:

P = 3.Uc.Il.cos = 3 x 230 x Il x 1 e Il = 3. If = 3 x ( 3 x 230 / 23) = 30 A

P = 3 x 230 x Il = 20700 W (= 6900 x 3)

Concluindo, podemos dizer que a potência absorvida na ligação em triângulo é 3 vezesmaior que na ligação em estrela.

Anexo 2 - Circuitos Elétricos Em CA

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